Arhitektura računalaArhitektura računala1. Brojevni sustavi1. Brojevni sustavi

1

11.0. .0. PregledPregled vjevježžbebe

�Brojevni sustavi

�Dekadski, binarni, heksadekadski sustav

�Pretvorba brojeva iz jednog sustava u drugi

�Artimetika binarnih brojeva

�Koji je sustav najbolji?

2

1.1. Brojevni sustav

Brojevni sustav sastoji se od:

�nepraznog skupa elemenata (znamenki)

�pravila zapisivanja elemenata (znamenki)

Dijele se na:

�pozicijske brojevne sustave

�nepozicijske brojevne sustave

3

1.1. Brojevni sustav

Pozicijski brojevni sustav

� koristi ograničen broj znamenki

� vrijednost znamenke ovisi o njenom položaju(poziciji) u danom broju

� broj znamenki u brojevnom sustavu određuje bazu

sustava B

Nepozicijski brojevni sustav

� koristi neograničen broj znamenki

� znamenke imaju istu vrijednost na različitim

mjestima u zapisu broja

� najpoznatiji - sustav rimskih brojeva (I,V,X,L,C,D,M)

4

1.2. Pozicijski brojevni sustav

Općenito se svaki broj N u nekom pozicijskom brojevnomsustavu može zapisati pomoću baze B, broja znamenakatog broja n i koeficijenata ai:

� Potencije baze zovemo težinskim faktorima ilitežinama pojedinih brojevnih mjesta

� Dekadski, binarni, heksadekadski brojevni sustav

5

1.3. Dekadski brojevni sustav

Koristi skup od 10 znamenki: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Baza dekadskog brojevnog sustava je broj 10.

472 = 4x100 + 7x10 + 2x1

ili korištenjem potencija baze:

472 = 4x102 + 7x101 + 2x100

6

1.4. Binarni brojevni sustav

Koristi skup od 2 znamenke: (0,1) koje zovemo binarnima

Baza binarnog brojevnog sustava je broj 2, a jedno binarno

mjesto se kraće naziva bit (engl. binary digit)

Krajnje desni bit naziva se bitom najmanje težine ili

najmanje značajnim bitom

Krajnje lijevi bit naziva se bitom najveše težine ili

najznačajnim bitom

7

1.5. Dekadski vs. Binarni sustav

Kažemo da je kapacitet dekadskog broja s n znamenaka 10n

Najveći broj koji se može zapisati sa tih n znamenaka je

10n-1 tj. 999...999 (sa n “devetica”)

Kažemo da je kapacitet binarnog broja s n znamenaka 2n

Najveći broj koji se može zapisati sa tih n znamenaka je

2n-1 tj. 111...111 (sa n “jedinica”)

8

1.5. Dekadski vs. Binarni sustav

Da bismo označili pripadnost broja nekom brojevnomsustavu, u indeks mu stavljamo oznaku brojevnog

sustava

� 11(10) označava broj 11 u sustavu s bazom 10 i njegova je vrijednost “jedanaest”

� 11(2) označava broj 11 u sustavu s bazom 2 i njegova je vrijednost “tri”

Postoje samo 10 vrste ljudi:

oni koji kuže binarne brojeve i oni koji ih ne kuže.

9

1.6. Heksadecimalni brojevni sustav

Koristi skup od 16 znamenki:

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

Baza heksadecimalnog brojevnog sustava je broj 16.

Heksadecimalni brojevni sustav iznimno je važan uračunarstvu. Naime, budući je 24=16, to se svakomheksadecimalnom (heksa) znamenkom mogu prikazati 4

bita podataka.

10

111115F

111014E

110113D

110012C

101111B

101010A

100199

100088

11177

11066

10155

10044

1133

1022

111

000

B = 2B = 10B = 16

11

1.7. Pretvorba iz sustava u sustav

� pretvorba iz dekadskog sustava ili u dekadski sustav se vrši neposredno

� pretvorba kod ostalih sustava najćešće posredna, odnosno traži međukorak pretvaranja u dekadski (ili binarni) sustav

Tražimo rješenje M jednadžbe: N(x) = M(z)

gdje su N i M brojevi od kojih je N poznat, a x i z bazebrojevnih sustava.

� 2 moguća slučaja obzirom na vrstu broja N(N>1 ili 1>N>0)

� kod svakog slučaja postoje 2 varijante obzirom na odnosmeđu bazama x i z (x<z ili z<x)

12

1.7.6. Heksadecimalni � binarni

binarni � heksadecimalni

� grupirati znamenke u četvorke, počevši od najmanje

značajnog bita

heksadecimalni � binarni

� svaku znamenku prikazati kao četvorku binarnih brojeva

� po potrebi dodati odgovarajući broj nula s lijeve strane

10110011100110

6EC2

01101110110010

18

1.7.6. Oktalni � binarni

binarni � oktalni

� grupirati znamenke u trojke, počevši od najmanje

značajnog bita

oktalni � binarni

� svaku znamenku prikazati kao trojku binarnih brojeva

� po potrebi dodati odgovarajući broj nula s lijeve strane

10110011100110

64362

11010001111010

19

1.8. Aritmetika binarnih brojeva

� Zbrajanje

� Oduzimanje

� Množenje

� Dijeljenje

� Komplementiranje

• Komplementiranje se izvodi tako da se jedinicezamijene sa nulama i obrnuto.

• Npr. komplement od 101 je 010

20

1.8.1. Zbrajanje binarnih brojeva

Binarno zbrajanje obavlja se analogno kao i dekadsko

zbrajanje, s tim što se prijenos na više brojno mjesto

obavlja nakon postignutog zbroja.

Tablica zbrajanja:

1011

100

10+

21

1.8.2. Oduzimanje binarnih brojeva

Izravno oduzimanje – kao i u dekadskom brojevnom sustavu

Strojno oduzimanje:

1. Broj koji se oduzima (umanjitelj) se komplementira. Naravno, ako umanjitelj ima manje bitova od umanjenika,

treba mu s lijeve strane dodati odgovarajući broj nula. Ovaj komplement zove se jedinični.

2. Jedinični komplement se inkrementira.

Ovaj komplement zove se dvojni.

3. zbroje se dvojni komplement i umanjenik(jedinicu koja se dobije kao preljev [engl. overflow] zbog ispravnosti rezultata treba zanemariti)

22

1.8.2. Oduzimanje binarnih brojeva

Strojno oduzimanje:

100110

- 001110

------------

100110

110001

+ 1

------------

1011000

Izravno oduzimanje:

100110

- 001110

------------

011000

23

1.8.3. Množenje binarnih brojeva

� izračunavanje parcijalnih umnožaka

� sumiranje uz posmak

Tablica množenja:

101

000

10.

24

1.8.3. Množenje binarnih brojeva

Primjer:

110 x 101

-------------------------

110

000

110

-------------------------

11110

25

1.8.4. Dijeljenje binarnih brojeva

Dijeljenje binarnih brojeva provodi se na papiru jednakokao i u dekadskom sustavu

� Najprije se provjeri “ide li” djeljitelj u isto toliki brojnajznačajnijih bitova djeljenika, pa ako “ne ide” spušta

se slijedeći bit

� Operacija se dalje ponavlja, pa

• ako je dijeljenje moguće, pripadna znamenkakoličnika je 1,

• a ako je dijeljenje nemoguće, pripadna

znamenka količnika je 0

26

1.8.4. Dijeljenje binarnih brojeva

111011 : 11 = 10011

- 11

-------

0101

- 11

----------

101

- 11

----------

10

27

1.9. Izbor brojevnog sustava

Koji je brojevni sustav najbolji?

� Sustav koji će zahtijevati najnižu cijenu sklopova,

odnosno onaj koji će minimizirati funkciju koštanja!

Cijena sklopa: C = q x p

� Cijena sklopa proporcionalna je broju različitihvrijednosti (q) koje sklop može pohraniti!

� Cijena sklopa proporcionalna je broju “pozicija” (p)

koje su potrebne za prikazivanje broja iz nekogdefiniranog područja!

28

1.9. Izbor brojevnog sustava

Cijena sklopa: C = q x p

� Broj različitih potencija koji se mogu prikazati s p pozicija je qp

� Najveći broj koji se može prikazati s p pozicija: N<qp

• Primjer: q=2, p=3 =>N<23 tj. N<8

• 1*22 + 1*21 + 1*20 = 7 < 8

� N < qp => lnN < p * lnq => p > lnN / lnq

� C = q*lnN / lnq

� Minimum funkcije C je q = e =2.718 dakle 2 <q <3

29

Zadaci za vježbu 1.

1) Pretvori iz jednog brojevnog sustava u drugi:

• a) 110102(3) = ?(7)

• b) 177(8) = ?(3)

2) Pretvori direktnom pretvorbom:

• a) 1101010101(2) = ?(16)

• b) 7143(8) = ?(2)

3) Sortiraj po ostatku pri dijeljenju sa 3(10):

• a) 1011011(2), 1101110(2), 1100011(2)

• b) 321 (4), 132 (4), 223 (4)

4) Podijeli u binarnom sustavu 17(10) sa 21(6).

30