lectures in applied econometrics 14
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
1/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
Κ εφάλαιο 14.Διαθρωτική Μεταβολήκαι Μεταβλητικότητα
στις Αγορές
Διαρθρωτική μεταβολή
Η υπόθεση ότι οι παράμετροι του γραμμικού υποδείγματος έου!παραμεί!ει σταθερές σε όλη τη! περίοδο του δείγματος" εί!αι αρκετάισυρή. #ημα!τικά γεγο!ότα όπως οι πόλεμοι" οι διαταραές τω!τιμ$! του πετρελαίου και μεταβολές στο οικο!ομικό ή θεσμικόπεριβάλλο!1" μπορεί !α έου! οδηγήσει σε μεταβολή τηςσυμπερι%οράς τω! οικο!ομικ$! παραγό!τω! και επομέ!ως μεταβολή
στις παραμέτρους του υποδείγματος.
Η πιο γε!ική μορ%ή ε!ός υποδείγματος στο οποίο οι παράμετροιμεταβάλλο!ται διαρο!ικά" εί!αι&
t t t t y x uβ = × + " για κάθε 1, ,t n= L .
'πορούμε !α υποθέσουμε ότι ( )2~ 0,t u iid σ . (ε!ικά" ωστόσο" θα ήτα!δυ!ατό! !α είαμε και μεταβολές στη διακύμα!ση σα! συ!έπεια τηςδιαρθρωτικής μεταβολής" η οποία στο πλαίσιό μας" δε! σημαί!ειτίποτε άλλο παρά μεταβολή στις παραμέτρους.
)ολλές υποθέσεις μπορού! !α γί!ου! σετικά με το! τρόπο με το!
οποίο έου! μεταβληθεί διαρο!ικά οι συ!τελεστές t β . 'πορούμε" για
παράδειγμα" !α υποθέσουμε οτι μεταβάλλο!ται σα! γραμμική
1 Η γνωστή «κριτική του Lucas» στη σύγχρονη μακροοικονομική θεωρία, αφορά το γεγονό ότι μετα!ο"#
στην οικονομική $ο"ιτική τη κυ!#ρνηση ή ακρι!#στερα τι !ασικ# $αραμ#τρου τη %ημοσιονομικήκαι νομισματική $ο"ιτική, $ροκα"ούν μετα!ο"# στι $αραμ#τρου $ου θεωρούσαμε ω %ιαρθρωτικ#
στα οικονομετρικά υ$ο%είγματα, ό$ω $χ η «οριακή ρο$ή για κατανά"ωση» κτ"&
1'
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
2/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
συ!άρτηση του ρό!ου" σα! γραμμική συ!άρτηση του t x " κάποιω!
άλλω! μεταβλητ$! κτλ.
*!" για παράδειγμα μπορούμε !α υποθέσουμε ότι& t t t xβ γ δ ϕ = + + "
α!τικαθιστ$!τας στο αρικό υπόδειγμα" θα είαμε απλά&
( ) ( ) 2 ( (t t t t t t t t y t x x u x tx x uγ δ ϕ γ δ ϕ + + + + + + .
Η ε+ίσωση αυτή" μπορεί !α εκτιμηθεί πολύ εύκολα με τη μέθοδο τω!ελαίστω! τετραγ$!ω! και !α ελέγ+ουμε τη! υπόθεση τηςσταθερότητας του συ!τελεστή" ελέγο!τας τη! από κοι!ού υπόθεση
0δ ϕ = = .
'ια άλλη συ!ηθισμέ!η υπόθεση εί!αι ότι σε κάποια γ!ωστή ήάγ!ωστη ρο!ική στιγμή N ,μετα+ύ 1 και n - ο συ!τελεστής έει
μεταβληθεί +α%!ικά&
1
2
, 1, , , (
, 1, , &t
t N
t N n
β β
β
=
= +
L
L
*! η ρο!ική στιγμή N εί!αι γ!ωστή" τότε το υπόδειγμα μπορεί !αεκτιμηθεί με μια απλή μέθοδο. *! ορίσουμε τη ευδομεταβλητή&
0, 1, , , (
1, 1, ,t
t N I
t N n
=
= +
L
L
και θεωρήσουμε το υπόδειγμα ( )1t t t t t y x I x uβ γ = + + "
εί!αι %α!ερό ότι στη! πρ$τη περίοδο με 0t I = " έουμε 1t t t y x uβ = + " ε!$
στη δεύτερη περίοδο έουμε 1t I = και επομέ!ως προκύπτει
( )1t t t y x uβ γ = + + . /ί!αι προ%α!ές ότι θα έουμε 2 1β β γ = + " ε%όσο!
είμαστε στη δεύτερη περίοδο.
Η εκτίμηση του υποδείγματος ( )1t t t t t y x I x uβ γ = + + " με τη μέθοδο τω!
ελαίστω! τετραγ$!ω!" θα μας δ$σει απευθείας τις εκτιμήσεις τω!β και γ " δηλαδή τω! β1 και β0 και επομέ!ως μας δί!ει τη δυ!ατότητα!α ελέγ+ουμε τη! υπόθεση της διαρθρωτικής μεταβολής" ελέγο!ταςτη! υπόθεση ότι 0γ = " με τη ρήση της tστατιστικής.
*! η ρο!ική στιγμή 2" δε! εί!αι γ!ωστή" η προσέγγιση αυτή δε!εί!αι πλέο! ε%ικτή. #τις περιπτ$σεις αυτές" μπορούμε !α
1)
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
3/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
εκτιμήσουμε το απλό υπόδειγμα t t t y x uα β = + + ρησιμοποι$!τας
ακολουθιακή εκτίμηση ,recursive estimation-.
*!" για παράδειγμα" έουμε 133 παρατηρήσεις" μπορούμε !αε%αρμόσουμε 5 με τις πρ$τες 13" τις πρ$τες 11" τις πρ$τες 10 κτλ.
παρατηρήσεις.
Α σε κά!οια "ροική στιγμή συέβη μια #ιαρθρωτικήμεταβολή$ η #ια#ικασία αυτή θα !ρέ!ει α είαι σε θέση αμας το #εί%ει.
(ια !α κά!ουμε τα πράγματα πιο συγκεκριμέ!α" ας υποθέσουμε ότιέουμε 133 παρατηρήσεις. (ια τις πρ$τες 63 παρατηρήσεις" το
υπόδειγμα εί!αι& 1t t t y x u= + + . (ια τις επόμε!ες 63 παρατηρήσεις" το
υπόδειγμα εί!αι& 1t t t y x u= − − + . 7ποθέτουμε ότι ( )2
~ 0, 0,1t
u iidN και
στις δυο περιόδους.
&α ερωτήματά μας$ είαι #υο. 'ρ(το$ τι θα γίει ααγοήσουμε τη #ιαρθρωτική μεταβολή και εφαρμόσουμε )*σε ολόκληρο το #είγμα+ Δε,τερο$ τι θα μας #εί%ει η#ια#ικασία της ακολουθιακής εκτίμησης$ !ου είαιαυτοματο!οιημέη στο !ρόγραμμα EViews+
8ι σετικές ε!τολές και τα αποτελέσματα" δί!ο!ται στα επόμε!α.
RNDSEED 12
GENR X=NRNDSMPL 1 50GENR Y=1+X+0.1*NRNDSMPL 51 100GENR Y=-1-X+0.1*NRNDSMPL 1 100LS Y C X
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 11/19/06 Time: 2:12
Sample: 1 100
!n"luded obser#ations: 100
Variable $oe%%i"ient Std& 'rror t(Statisti" )rob&
$ (0&16*+*1 0&1,0+9 (1&2+-+11 0&2116
. (0&2-12,9 0&1,6996 (1&*,+2*1 0&06*0
(squared 0&0+-9 Mean dependent #ar (0&1-1-9
1*
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
4/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
dusted (squared 0&02-1- S&D& dependent #ar 1&+6+,-
S&'& o% reression 1&,06 3ai3e in%o "riterion &,,+++
Sum squared resid 1-6&06,2 S"h4ar5 "riterion &,9+6+9
Lo li3elihood (1-0&1--* (statisti" &,0+06,
Durbin(7atson stat 0&9*-++- )rob8(statisti" 0&06*016
20
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
5/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
(0&*
(0&,
0&0
0&,
0&*
1&2
10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100
/e"ursi#e $81 'stimates : 2 S&'&
(0&*
(0&,
0&0
0&,
0&*
1&2
10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100
/e"ursi#e $82 'stimates : 2 S&'&
21
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
6/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
Α!ό τα α!οτελέσματα αυτά$ είαι !ροφαές ότι η #ια#ικασίατης ακολουθιακής εκτίμησης μ!ορεί α μας #(σει μια ισ"υρήέ#ει%η σ"ετικά με τη ,!αρ%η #ιαθρωτικής μεταβολής στο
υ!ό#ειγμά μας. Α!ό τα #ιαγράμματα$ είαι σαφές ότι μετάτη !ερίο#ο -$ η !ρόσθεση #ια#ο"ικ( !αρατηρήσεωαλλά/ει #ραστικά τις εκτιμήσεις και τις ο#ηγεί ασυγκλίου σ0 έα #ιαφορετικό ε!ί!ε#ο.
9!α εμπειρικά ρήσιμο ερ$τημα" εί!αι !οια θα ήτα ησυμ!εριφορά της ακολουθιακής εκτίμησης σε έα υ!ό#ειγμαμε #ια"ροικά σταθερο,ς συτελεστές+ :ο υπόδειγμα για τιςπρ$τες 63 παρατηρήσεις" +έρουμε ότι εί!αι διαρθρωτικά σταθερό καιεπομέ!ως μπορούμε !α το εκτιμήσουμε με 5 και !α διακριβ$σουμεποιο εί!αι το πρότυπο της ακολουθιακής εκτίμησης. :α
αποτελέσματα" %αί!ο!ται στα επόμε!α διαγράμματα.
22
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
7/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
0&96
1&00
1&0,
1&0*
1&12
1&16
10 1+ 20 2+ 0 + ,0 ,+ +0
/e"ursi#e $81 'stimates : 2 S&'&
0&92
0&96
1&00
1&0,
1&0*
1&12
10 1+ 20 2+ 0 + ,0 ,+ +0
/e"ursi#e $82 'stimates : 2 S&'&
2+
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
8/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
*πό τα αποτελέσματα αυτά" εί!αι %α!ερό ότι οι εκτιμήσεις αρί;ου!!α σταθεροποιού!ται μετά από κάποια ρο!ική περίοδο. Η αρική
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
9/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
(0&2
0&0
0&2
0&,
0&6
0&*
1&0
1&2
10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100
$;S;M o% Squares +< Sini%i"an"e
9!ας άλλος ρήσιμος έλεγος εί!αι !α ε+ετάσουμε τις προβλέειςτου υποδείγματος ,για τη! επόμε!η ρο!ική περίοδο" one-step ahead forecast-. :α αποτελέσματα %αί!ο!ται στο ακόλουθο διάγραμμα.
2-
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
10/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
&00
&0+
&10
&1+
(6
(,
(2
0
2
,
10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100
=ne(Step )robabilit> e"ursi#e esiduals
Cασική σημασία έει" %υσικά" !α ε+ηγήσει κα!είς γιατί έ!αυπόδειγμα υπέστη διαρθρωτική μεταβολή σε κάποια συγκεκριμέ!ηρο!ική περίοδο κιD όι σε κάποια! άλλη. :υπικές υποή%ιεςρο!ικές περίοδοι για διαρθρωτική μεταβολή" εί!αι τα έτη στα οποίαείαμε μεγάλες διαταραές τω! τιμ$! του πετρελαίου πουεπηρεά;ου! το σύ!ολο της οικο!ομίας ,1EFG" 1EHE κτλ.-.
(ε!ικά μιλ$!τας" η ,!αρ%η ή ό"ι #ιαρθρωτικής μεταβολήςείαι εμ!ειρικό /ήτημα. Iα πρέπει κα!είς !α ρησιμοποιήσει τιςκατάλληλες μεθόδους για !α διαπιστ$σει τη! ύπαρ+η ή μηδιαρθρωτικής μεταβολής και στη συ!έεια !α ε+ηγήσει το εύρημααυτό. 8ρισμέ!ες κατάλληλες μεθόδους" είδαμε ήδη σε όσα α!αλύσαμεπαραπά!ω.
#τη σύγρο!η οικο!ομετρική θεωρία και ε%αρμοσμέ!η οικο!ομετρία"τρεις α!τιλήεις %αί!εται !α κερδί;ου! έδα%ος σε ότι α%ορά τη!α!άλυση της μεταβολής τω! παραμέτρω!.
2.
λα αυτά τα #ιαγράμματα$ φυσικά$ είαι σε θέση α μας!ροει#ο!οιήσου ότι το υ!ό#ειγμα έ"ει υ!οστεί
#ιαρθρωτική μεταβολή κι0 ε!ομέως θα !ρέ!ει α
ε!αε%ετάσουμε τη ε%ει#ίκευσή του.
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
11/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
'ρ(το" έουμε τη! υπόθεση ότι οι συ!τελεστές μεταβάλλο!ταιδιαρο!ικά με ομαλό τρόπο. 9!α κατάλληλο υπόδειγμα εί!αι το ε+ής&
t t t t y x uβ = + με 1t t t β γ δ β ε −= + × + . 7ποδείγματα αυτής της μορ%ής"
μπορού! !α εκτιμηθού! με τη ρήση του EViews και εί!αι γ!ωστά σα!
υποδείγματα στο! $ρο τω! καταστάσεω! ,state space models-./ί!αι προ%α!ές ότι α! έουμε 1δ < " τότε οι συ!τελεστές συγκλί!ου!"
κατά μέσο! όρο" στη! τιμή ( )/ 1γ δ − . *! υποθέσουμε ότι 1δ = " τότε δε!
έουμε σύγκλιση σε κάποια τιμή.
'ια τέτοια περίπτωση" έει ρησιμοποιηθεί από ορισμέ!ουςερευ!ητές" προκειμέ!ου !α ελεγθεί η υπόθεση μο!αδιαίας ρί;ας στη
σειρά t y . 'ια άλλη ε!δια%έρουσα περίπτωση εί!αι το υπόδειγμα
t t t t y x uα β = + + με 1t t t Aα ρα ε −= + + " στο οποίο μό!ο! η σταθερά
υπόκειται σε ομαλή μεταβολή.
9!α τέτοιο υπόδειγμα μπορεί !α εί!αι ρήσιμο στη! μελέτη τηςεμμο!ής ,persistence- της α+ιολόγησης τω! αμοιβαίω! κε%αλαίω! καιδε! %αί!εται !α έει ε%αρμοσθεί στη σετική βιβλιογρα%ία. :οβασικό ερ$τημα εδ$" εί!αι α! έουμε 0 ρ = . *! η υπόθεση μπορεί !αγί!ει δεκτή" τότε η επιλεκτικότητα μεταβάλλεται με τυαίο τρόπο καιδε! θα υπάρει επα!αληπτικότητα στη! επιλεκτικότητα.
*+ί;ει !α παρατηρήσουμε ότι το υπόδειγμα που α!α%έραμε" έεισέση με το λεγόμε!ο υ!ό#ειγμα 2μετα!ή#ησης Markov = , Markovswitching model- του Hamilton. Η μο!αδική δια%ορά" εί!αι ότι στουπόδειγμα του Hamilton" η παράμετρος βJ μπορεί !α έει μό!ο! δυο
τιμές" έστω 1β και 2β . Η μετάβαση από τη μια τιμή στη! άλλη γί!εται
με κάποιες πιθα!ότητες που εί!αι συμβατές με αυτοσυσέτιση"
δηλαδή α! 1t β β = τότε στη! επόμε!η περίοδο θα έουμε 1 1t β β + = με
μεγάλη πιθα!ότητα.
Δε,τερο" οι παράμετροι ,δηλαδή τα υποδείγματα- αλλά;ου! μό!οότα! υπάρου! μεγάλες διαταραές. 9!α λογικό υπόδειγμα εί!αι το
ε+ής& t t t t y x uβ = + με ( )1t t t I u cβ γ δ ε −= + × ≥ + " για κάποια τιμή του c . :α
υποδείγματα αυτά" δε! έου! μελετηθεί αρκετά και η διερεύ!ησήτους" σίγουρα θα απασολήσει τη! θεωρητική και ε%αρμοσμέ!ηοικο!ομετρία στο μέλλο!. 'ια ε!δια%έρουσα περίπτωση εί!αι ότα!
έουμε απλά 1t t x y −= .
:έτοια υποδείγματα μπορού! !α έου! σημα!τικές ε%αρμογές στουςελέγους για μο!αδιαίες ρί;ες" στη! α!άλυση τω! οικο!ομικ$!διακυμά!σεω!" στη! α+ιολόγηση τω! αμοιβαίω! κε%αλαίω! κτλ.
2'
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
12/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
&ρίτο" έουμε υποδείγματα στα οποία οι συ!τελεστές μεταβάλλο!ταιομαλά" αλλά με δια%ορετικό τρόπο απD ότι στη! πρ$τη περίπτωση.
9ουμε δυο γραμμικά υποδείγματα της μορ%ής& 1t t t y x uβ = + και
2t t t y x uβ = + .
Η μετάβαση από το έ!α υπόδειγμα στο άλλο γί!εται με βάση κάποια
μεταβλητή t z " η οποία μπορεί !α εί!αι μια γραμμική τάση" η
προηγούμε!η τιμή 1t y − ή κάποια άλλη προκαθορισμέ!η μεταβλητή. *!
θεωρήσουμε τη συ!άρτηση μετάβασης&
( )( )
1 (
1 F z
z ψ + −" με 0ψ > "
εί!αι σα%ές ότι καθ$ς z → ∞ " έουμε 1 F → . Kαθ$ς z → −∞ " έουμε0 F → . :ο υπόδειγμα&
( ) ( ) ( )1 2 21t t t t t t t t t t y x F z x F z u x x F z uβ β β δ = + − + = + + "
λέγεται υ!ό#ειγμα ομαλής μετάβασης ,smooth transition model-και μας επιτρέπει !α έουμε μετάβαση από το έ!α υπόδειγμα στο
άλλο" α!άλογα με τη! τιμή του t z .
Η παράμετρος σετί;εται με τη! ταύτητα της μετάβασης και έειμια ιδιαίτερη εμπειρική σημασία. (ια L3 ή +∞ ,δηλαδή μια πολύμεγάλη τιμή- έουμε έ!α ε!ιαίο υπόδειγμα. /πίσης" στη! πρά+η" κάθεσυ!άρτηση κατα!ομής F μπορεί !α ρησιμοποιηθεί σα! συ!άρτησημετάβασης ,π η κα!ο!ική-. Η συ!άρτηση που θεωρήσαμε εδ$"α!τιστοιεί στη λεγόμε!η λογιστική κατα!ομή. :α υποδείγματα αυτά"έου! αποδειθεί πολύ ρήσιμα στη! α!άλυση τω! μη γραμμικ$!ρο!ολογικ$! σειρ$!.
*πό τη! α!άλυσή μας" πρέπει !α εί!αι προ%α!ές ότι η διαρθρωτικήμεταβολή όπως και η ε+ειδίκευση τω! οικο!ομετρικ$! υποδειγμάτω!"γε!ικά" εί!αι εμπειρικό ;ήτημα που απαιτεί κατάλληλους ελέγουςκαι στη συ!έεια τη! ε+ειδίκευση κατάλληλω! υποδειγμάτω! που !αα!τικατοπτρί;ου! τα βασικά αρακτηριστικά τω! σειρ$! που μαςε!δια%έρου! στη συγκεκριμέ!η ε%αρμογή.
:ο γεγο!ός ότι αυτό το καθήκο! απαιτεί ε+οικείωση με τις τε!ικέςτης οικο!ομετρίας" τα ε!αλλακτικά υπάρο!τα υποδείγματα και τιςβασικές ιδιότητες τω! οικο!ομικ$! στοιείω!" πρέπει !α εί!αιαυτο!όητο. Mπως επίσης εί!αι αυτο!όητο ότι η %α!τασία και ηδημιουργική σκέη" μπορού! !α έου! και πραγματικά έου!
2)
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
13/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
!ρωτε,ουσα θέση στη! ε+ειδίκευση τω! οικο!ομετρικ$!υποδειγμάτω!.
2*
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
14/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
3ασικά "αρακτηριστικά τω υ!ο#ειγμάτω μεομα#ο!οιημέη μεταβλητικότητα
)ολλές ρηματοοικο!ομικές σειρές έου! το αρακτηριστικό πουμόλις είδαμε" δηλαδή τη! τάση της μεταβλητικότητας !α εμ%α!ί;εται
σε ομάδες μεγάλω! ή μικρ$! τιμ$!. 'D άλλα λόγια" μικρήμεταβλητικότητα σε μια μέρα ακολουθείται κατά κα!ό!α από μικρήμεταβλητικότητα στη! επόμε!η και το ίδιο συμβαί!ει για τις μεγάλεςτιμές.
*υτό λέγεται συ!ά" ομα#ο!οίηση της μεταβλητικότητας,volatility clustering-.
*υτό σημαί!ει ότι η μεταβλητικότητα πρέπει !α αυτοσυσετί;εται. *ς
θεωρήσουμε ότι t y εί!αι η απόδοση μιας μετοής στη! ημέρα t .
/πομέ!ως το υπόδειγμά μας" θα μπορούσε !α εί!αι το ε+ής απλό&
( )2 0,~t t y IN σ "
2 2
1345 ( 0,01 0,)- 345
t t t σ σ ε
−
− + × + "
( )2~ 0,t iidN ε ε σ " 1ε σ = και 0345 0σ = .
'πορεί έ!α τέτοιο υπόδειγμα !α εί!αι συμβατό με το βασικόαρακτηριστικό που μας ε!δια%έρει εδ$" δηλαδή τη! ομαδοποίησητης μεταβλητικότηταςN 063 παρατηρήσεις από το υπόδειγμα αυτό"προσομοιωμέ!ου με τη ρήση του προγράμματος EViews %αί!ο!ταιστο επόμε!ο διάγραμμα. 8ι ε!τολές που δόθηκα! εί!αι οι ακόλουθες&
RNDSEED 12GENR LOGSIGMASQ=0SMPL 2 250GENR LOGSIGMASQ=-0.01+0.85*LOGSIGMASQ(-1)+NRNDGENR SIGMASQ=EXP(LOGSIGMASQ)GENR SIGMA=SQR(SIGMASQ)GENR Y=SIGMA*NRNDPLOT Y
+0
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
15/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
(20
(10
0
10
20
0
2+ +0 -+ 100 12+ 1+0 1-+ 200 22+ 2+0
Y
/ί!αι %α!ερό ότι το υπόδειγμα έει πετύει !α α!απαράγει τη!ομαδοποίηση της μεταβλητικότητας που μας ε!δια%έρει εδ$" ε%όσο!οι περίοδοι αμηλής και υηλής μεταβλητικότητας εί!αι διακριτέςμετα+ύ τους& Δηλα#ή$ η μια !ερίο#ος ακολουθεί τη άλλη καισε κάθε !ερίο#ο έ"ουμε αρκετές !αρατηρήσεις.
8 λόγος εί!αι απλός. Η μεταβλητικότητα" δί!εται από τη σέση2 2
1345 345
t t t σ γ δ σ ε
−
= + × + και ο στοαστικός όρος t ε δε! εί!αι παρά μια
διαταραή ,shock- στη μεταβλητικότητα αυτή. *! συμβεί !α έουμε
μια μεγάλη θετική διαταραή 1t ε − στη! περίοδο 1t − " τότε η τιμή του2
1345
t σ
− και επομέ!ως του 2 1t σ − θα εί!αι μεγάλη. 'ε τη σειρά της όμως"
και η τιμή του 2t
σ θα τεί!ει !α εί!αι μεγάλη λόγω της σετικά
μεγάλης θετικής τιμής του δ" η οποία στη! περίπτωσή μας εί!αι 3"H6.
#τη συ!έεια" σετικά μεγάλες τιμές τω!2
1t σ − και2
t σ σημαί!ου! ότι ητιμή του t y θα προέρεται από μια κα!ο!ική τιμή με μεγάλη
διακύμα!ση και επομέ!ως μπορού! !α παραθού! μεγάλες θετικές ήαρ!ητικές τιμές" όπως ακριβ$ς βλέπουμε και στο διάγραμμα.
:ο συγκεκριμέ!ο υπόδειγμα λέγεται υ!ό#ειγμα με στο"αστικήμεταβλητικότητα ,stochastic volatility model-. Η εκτίμηση τω!
+1
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
16/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
υποδειγμάτω! αυτ$! με τη μέθοδο της μέγιστης πιθα!ο%ά!ειας" δε!εί!αι καθόλου εύκολη και απαιτού!ται ε+ειδικευμέ!ες μέθοδοιπροσομοίωσης Monte Carlo για τη! εκτίμηση.
Iα πρέπει" επομέ!ως" !α κατασκευάσουμε υποδείγματα τα οποία !α
διατηρού! το βασικό αρακτηριστικό της αυτοπαλί!δρομηςμεταβλητικότητας ,ή α! προτιμάτε" αυτοπαλί!δρομηςετεροσκεδαστικότητας- αλλά !α μπορού! !α εκτιμηθού! μεαπλούστερες μεθόδους.
8 λόγος για το! οποίο υιοθετήσαμε λογαρίθμους στο υπόδειγμα2 2
1345 345
t t t σ γ δ σ ε
−
= + × + εί!αι ότι το ε!αλλακτικό υπόδειγμα2 2
1t t t σ γ δ σ ε
−
= + × + μπορεί !α μας δ$σει αρ!ητικές τιμές της
διακύμα!σης 2t
σ για ορισμέ!ες τιμές τω! παραμέτρω! και τω!
διαταρα$!. )αρόλα αυτά" η α!άλυση εί!αι ευκολότερη στη! δεύτερη
περίπτωση και έτσι δε! θα ρησιμοποιήσουμε λογαρίθμους σε μέροςτης παρακάτω α!άλυσής μας.
8 λόγος για το! οποίο η εκτίμηση με τη μέθοδο της μέγιστηςπιθα!ο%ά!ειας εί!αι δύσκολη" έγκειται α!οκλειστικά και μόο
στη! παρουσία της διαταραής t ε . *! οι διαταραές εί!αι μικρές με
τη! έ!!οια ότι 0ε σ ≈ " μπορεί κα!είς !α τις αγ!οήσει και !α έει2 2
1t t σ γ δ σ
−
= + × .
:ο υπόδειγμα αυτό δε! εί!αι πια συμβατό" δυστυ$ς" με τη!
ομαδοποίηση της μεταβλητικότητας. *! 1δ < " στη! ουσία έουμε μιαε+ίσωση δια%ορ$!" η οποία ότα! λυθεί θα μας δ$σει ότι μετά απόέ!α! μεγάλο αριθμό περιόδω!" η μεταβλητικότητα συγκλί!ει στη!
τιμή ισορροπίας ( )2 26 378 / 1t σ σ γ δ = = − " η οποία αποτελεί απλά τη λύση
της ε+ίσωσης 2 26 6
σ γ δ σ = + × .
*! αυτή εί!αι θετική" τότε μετά από έ!α! αριθμό περιόδω!" η
διακύμα!ση δε! μεταβάλλεται σεδό! καθόλου και έτσι η σειρά t y
προέρεται από μια κα!ο!ική κατα!ομή με μηδε!ικό μέσο καισταθερή διακύμα!ση. 9τσι α! δε! υπάρου! διαταραές στουπόδειγμα" αυτές δε! μπορού! !α α!απτυθού! στο μέλλο! ,μέσω τηςθετικής τιμής του δ- και !α μας δ$σου! ομαδοποίηση τηςμεταβλητικότητας.
:ο πραγματικό κιD ε!δια%έρο! ερ$τημα" λοιπό!" εί!αι με ποιο! τρόπομπορούμε !α έουμε τέτοιες διαταραές α! θέλουμε" %υσικά !α μη
υπάρει ο στοαστικός όρος t ε στο υπόδειγμα.
+2
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
17/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
/ί!αι σα%ές ότι ( ) ( )2 21 1 1t t t ar y yσ − − −= =V E . Η σέση αυτή μπορεί !α γρα%εί
στη! ε!αλλακτική μορ%ή2 2
1 1 1t t t y vσ
− − −
= + " όπου 1t v − εί!αι έ!ας
στοαστικός όρος με μέση τιμή μηδέ!.
*πό τη σέση2 2
1t t σ γ δ σ
−
= + × " έουμε&
( )2 2 21 1 1 1t t t t t y v y vσ γ δ γ δ δ − − − −= + × + = + × + × .
*! συμ%ω!ήσουμε" όπως και προηγούμε!α" ότι ο στοαστικός όροςεί!αι αρκετά μικρός για !α μπορεί !α αγ!οηθεί στη! πρά+η" τότεέουμε απλά ότι&
2 2
1t t yσ γ δ
−
= + × .
:ο υπόδειγμα αυτό λέγεται 567 ,autoregressive conditionalheteroskedasticity - και εί!αι σε θέση !α παράγει ομαδοποίηση τηςμεταβλητικότητας. 8 λόγος εί!αι απλός& *! στη! περίοδο 1t − " είαμε
μεγάλη μεταβλητικότητα τότε" κατά κα!ό!α" η τιμή του t y θα έπρεπε
!α εί!αι μια μεγάλη ,θετική ή αρ!ητική τιμή-. /πομέ!ως" η τιμή του2
1t y
−
θα εί!αι μεγάλη και α! το δ έει μια θετική τιμή κο!τά στη
μο!άδα" η τιμή του 2t
σ θα εί!αι επίσης μεγάλη. 9τσι" κιD η τιμή του t y
θα εί!αι επίσης μεγάλη ,στη θετική ή αρ!ητική κατεύθυ!ση-.
/πομέ!ως" η ε%ει#ίκευση του υ!ο#είγματος 567" εί!αι ηακόλουθη&
( )2~ 0,t t y IN σ "2 2
1 (
t t yσ γ δ
−
+ × .
)ρο%α!$ς" το t y εδ$ έει μέση τιμή μηδέ!" πράγμα που δε! ισύει
γε!ικά για κάθε απόδοση μιας μετοής. /%όσο! το t y μπορεί" εδ$" !α
ερμη!ευθεί σα! απόκλιση από το! μέσο του" έστω μ" έ!α πιο γε!ικό
υπόδειγμα εί!αι&
t t y u µ = + "
( )2~ 0,t t u IN σ "
( ) 22 2
1 1( (
t t t u yσ γ δ γ δ µ
− −
+ × + × − .
++
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
18/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
*κόμη πιο γε!ικά" ο μέσος μπορεί !α εί!αι έ!α υπόδειγμαπαλι!δρόμησης και !α έουμε έτσι έ!α ακόμα πιο γε!ικό υπόδειγμα&
t t t y x uβ = + "
( )2 0,~t t u IN σ "
( ) 22 2
(1 1 1t t t t
u y xσ γ δ γ δ β − − −
+ × + × −= "
όπου t x εί!αι κάποια ερμη!ευτική μεταβλητή ,ή κάποιο διά!υσμα
μεταβλητ$!-. *υτό το υπόδειγμα" δε! εί!αι παρά έ!α υπόδειγμαπαλι!δρόμησης με σ%άλματα OP?Q.
Rυσικά" εί!αι γεγο!ός ότι +εκι!ήσαμε από το υπόδειγμα 2 2 1t t σ γ δ σ −= + × "
στο οποίο η διακύμα!ση εί!αι αυτοπαλί!δρομη. /%όσο! το υπόδειγμαδε! εί!αι συμβατό με ομαδοποιημέ!η μεταβλητικότητα" καταλή+αμε
σD έ!α υπόδειγμα OP?Q. :ο υπόδειγμα OP?Q μπορεί !α εκτιμηθεί μεμη γραμμικές μεθόδους που υπάρου! σD όλα τα οικο!ομετρικάπρογράμματα.
Η αλήθεια εί!αι ότι τ$ρα πια μπορούμε !α εισάγουμε τη! διακύμα!σητης προηγούμε!ης περιόδου και !α έουμε το πιο γε!ικό υπόδειγμα&
2 2 2
1 1t t t uσ γ δ ρ σ
− −
= + × + × "
το οποίο λέγεται 8567 ,generalized autoregressive conditionalheteroskedasticity -.
#το υπόδειγμα αυτό" μπορεί !α δοθεί μια ε!αλλακτική ερμη!εία. :ο
υπόδειγμα 2 21t t
σ γ ρ σ −
= + × γ!ωρί;ουμε ότι δε! παράγει ομαδοποιημέ!η
μεταβλητικότητα ε%όσο! δε! υπάρου! διαταραές. 'πορούμε !αεισάγουμε σα! διαταραή το τετράγω!ο του καταλοίπου της
ε+ίσωσης της προηγουμέ!ης περιόδου" δηλαδή το! όρο 21t
u−
.
*υτό θα μας επιτρέει" σε απλούς όρους !α κά!ουμε το ε+ής. Ηδιακύμα!ση εί!αι μια !τετερμι!ιστική ε+ίσωση δια%ορ$! της μορ%ής
2 2
1t t σ γ δ σ
−
= + × η οποία συγκλί!ει στο επίπεδο ισορροπίας ( )/ 1γ δ − .
8υσιαστικά" με τη! εισαγωγή του όρου 21t
u−
" μετατρέπουμε αυτή τη!
ε+ίσωση στη !έα μορ%ή 2 21t t t
σ γ δ σ ξ −
= + × + " η οποία θα δ$σει στη σειρά
της διακύμα!σης αρακτηριστικά μιας πραγματικής σειράς. 8ι τιμές
που παράγει η ε+ίσωση δια%ορ$! 2 21t t
σ γ δ σ −
= + × εί!αι μο!οτο!ικές και
συγκλί!ου! προς το επίπεδο ισορροπίας" πράγμα που δε! εί!αι ούτερήσιμο ούτε ρεαλιστικό.
+
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
19/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
#το υπόδειγμα 85679: ,SOP?Q in mean- η μεταβλητικότηταρησιμοποιείται σα! ερμη!ευτική μεταβλητή" στο υπόδειγμα τηςπαλι!δρόμησης&
2
t t t t y x uβ ψ σ = + × + "( )2~ 0,t t u IN σ "
2 2 2
1 1t t t uσ γ δ ρσ
− −
= + × + .
8 συ!τελεστής ψ " μετρά τη! επίδραση του κι!δύ!ου ,risk premium-και α!αμέ!εται !α εί!αι θετικός" δεδομέ!ου ότι μετοές μεμεγαλύτερο ρίσκο πρέπει !α παρέου! μεγαλύτερες μέσες αποδόσειςπροκειμέ!ου !α έου! θετική ;ήτηση απD τους επε!δυτές.
/!αλλακτικές μορ%ές της παλι!δρόμησης" εί!αι οι ε+ής&
2345t t t t
y x uβ ψ σ = + × + "
t t t t y x uβ ψ σ = + × + κτλ.
Η βασική %ιλοσο%ία τω! υποδειγμάτω! αυτ$!" πέρα απD τη! ερμη!είατου risk premium" στηρί;εται και στη! ε+ής απλή διαπίστωση.(ε!ικά" εί!αι πολύ δύσκολο !α προβλέουμε τις αποδόσεις τω!
μετο$!. Δηλαδή" παλι!δρομήσεις του t y σε ρο!ικές υστερήσεις ή
άλλες μεταβλητές" δί!ου! σεδό! μηδε!ικά 2 R .
)αλι!δρομήσεις του 2t y σε ρο!ικές υστερήσεις του" δί!ου!
υηλότερες τιμές" πράγμα που σημαί!ει" %υσικά" ότι έουμευποδείγματα τύπου OP?Q. /πομέ!ως" εί!αι λογικό !α σκε%τούμε σε
ποιο βαθμό η μεταβλητικότητα 2t
σ μπορεί !α μας βοηθήσει !α κά!ουμε
καλ,τερες !ροβλέ;εις τω α!ο#όσεω τω μετο"(.
*υτό" επίσης" εί!αι συμβατό με τη! α!τίληη ότι μπορούμε !απροβλέουμε καλύτερα τη μεταβλητικότητα παρά τις ίδιες τιςαποδόσεις. 'D αυτή τη λογική θα %αι!ότα! ευκολότερο !απροβλέουμε α! η απόδοση μιας μετοής βρίσκεται σε %άση υηλής ή
αμηλής μεταβλητικότητας παρά τη! ίδια τη! απόδοσή της. Rυσικάκα!είς πρέπει !α θεωρήσει αυτά τα συμπεράσματα με κάποιο!συ!τηρητισμό" δεδομέ!ου ότι και τα 2 R με τα τετράγω!α τω!αποδόσεω! ,δηλαδή παλι!δρομήσεις που έου! τη μεταβλητικότητασα! ε+αρτημέ!η μεταβλητή- δε %αί!εται !α εί!αι ιδιαίτερα υηλάστη! πρά+η.
+-
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
20/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
:α υποδείγματα τύπου
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
21/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
Dependent Variable: Y
Method: ML ( $? 8Marquardt ( @ormal distribution
Sample 8adusted: 2 2+0
!n"luded obser#ations: 2,9 a%ter adustments
$on#eren"e a"hie#ed a%ter * iterations
Varian"e ba"3"ast: =
A$? B $8 C $8,'S!D8(1E2
$oe%%i"ient Std& 'rror 5(Statisti" )rob&
A$? 0&001262 0&0009,0 1&,2,66 0&1-9,
$ (0&1++,0 0&0,201 (&69-+ 0&0002
Varian"e 'quation
$ 0&-2,9+ 0&099902 -&2121 0&0000'S!D8(1E2 &999-96 0&2*6*, 16&-+-69 0&0000
(squared (0&020660 Mean dependent #ar (0&0,26,
:ο υπόδειγμα που εκτιμάμε" %υσικά δε! εί!αι το γ!ωστό γιατί ταδεδομέ!α κατασκευάσθηκα! με βάση το υπόδειγμα στοαστικήςμεταβλητικότητας.
8 έλεγος για σ%άλματα τύπου OP?Q,0- %αί!εται στο! επόμε!οπί!ακα. *πό τα αποτελέσματα για τη! πιθα!ότητα του ελέγου
έουμε OP?Q σε επίπεδο 6U" αλλά όι σε επίπεδο 1U.
$? Test:
(statisti" &+,*22 )robabilit> 0&06+,
=bs(squared 6&6106, )robabilit> 0&0669
Test 'quation:
Dependent Variable: 'S!DE2
Method: Least Squares
Sample 8adusted: , 2+0
!n"luded obser#ations: 2,- a%ter adustments
Variable $oe%%i"ient Std& 'rror t(Statisti" )rob&
$ *&+,06*- &102-2 2&-+21+6 0&006,
'S!DE28(1 0&0-1,*9 0&06-6 1&12*00- 0&260,
'S!DE28(2 0&1,109 0&06-+ 2&229-1 0&026-
+'
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
22/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
(squared 0&026-6 Mean dependent #ar 10&*,*00
:ο υπόδειγμα στοαστικής μεταβλητικότητας που ρησιμοποιείλογαρίθμους" μπορεί !α γρα%εί σε μια απλούστερη μορ%ή. *ςυποθέσουμε ότι&
( )2 0,~t t y IN σ "2 2
1345 ( 345
t t t σ γ δ σ ε
−
+ × + " ( )2~ 0,t t iidN ε σ .
'πορούμε !α εκ%ράσουμε τη! πρ$τη σέση στη μορ%ή t t t y z σ = " όπου
( )~ 0, 1t z iidN . 7$!ο!τας στο τετράγω!ο και λαμβά!ο!τας
λογαρίθμους" έουμε&
2 2345 ( 345t t t
y σ ξ + " όπου 2 ( 345t t
z ξ εί!αι έ!α στοαστικό σ%άλμα.
*! ορίσουμε 2345t t
aσ = και 2345t t
X y= που αποτελεί στοιεία" το
υπόδειγμά μας εί!αι απλά&
(t t t
X a ξ + "
1 (
t t t a aγ δ ε
−
+ × + .
8 στοαστικός όρος t ξ δε! μπορεί" %υσικά" !α έει τη! κα!ο!ική
κατα!ομή0. *!" ωστόσο" θεωρηθεί σε πρ$τη προσέγγιση σα!κα!ο!ικός" το υπόδειγμα εί!αι σε μια μορ%ή που μπορεί !α εκτιμηθείμε τη μέθοδο μέγιστης πιθα!ο%ά!ειας κιD έ!α! αλγόριθμο που εί!αιγ!ωστός σα! %ίλτρο του alman.
Η μεταβλητή t a " δηλαδή ο λογάριθμος της διακύμα!σης" εί!αι γ!ωστή
σα! μεταβλητή κατάστασης ,state varia!le- και τέτοια υποδείγματαεί!αι γ!ωστά σα! υ!ο#είγματα στο "(ρο καταστάσεω >statespace models?.
8ρισμέ!α απD αυτά τα ε!δια%έρο!τα υποδείγματα" μπορού! !αεκτιμηθού! με τη ρήση του προγράμματος EViews.
:α αρικά μας δεδομέ!α" όπως είπαμε" προέρο!ται από έ!αυπόδειγμα με στοαστική μεταβλητικότητα. )οια θα ήτα! τα
αποτελέσματα" α! παλι!δρομούσαμε το 2t
y στο 21t
y−
N Mπως %αί!εται
στο! επόμε!ο πί!ακα" τα αποτελέσματα δε! εί!αι πολύ καλά. 'ε τη!
2 Η κατανομή του όρου αυτού %εν είναι γνωστή&
+)
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
23/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
έ!!οια αυτή" τα υποδείγματα OP?Q και στοαστικήςμεταβλητικότητας" εί!αι πολύ δια%ορετικά μετα+ύ τους.
+*
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
24/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
Dependent Variable: YE2
Method: Least Squares
Sample 8adusted: 2+0
!n"luded obser#ations: 2,* a%ter adustments
Variable $oe%%i"ient Std& 'rror t(Statisti" )rob&
$ 9&*9,-, &0,+69 &2+0616 0&001
Y8(1E2 0&0*,- 0&06++ 1&2-9*1 0&1*+,
(squared 0&00-11* Mean dependent #ar 10&*06*,
dusted (squared 0&000*2 S&D& dependent #ar ,6&-62,2
S&'& o% reression ,6&6901 3ai3e in%o "riterion 10&+29*
Sum squared resid +62-6& S"h4ar5 "riterion 10&+612
Lo li3elihood (10,&090 (statisti" 1&-6+
Durbin(7atson stat 2&0269 )rob8(statisti" 0&1*+,1+
*! είαμε ρησιμοποιήσει έ!α σήμα OP?Q,4- ο συ!τελεστήςπροσδιορισμού θα αυ+α!ότα! σε περίπου G"6U.
:έλος" για τη! εκτίμηση του υποδείγματος ,S-OP?Q"2 2 2
1 1t t t uσ γ δ ρ σ
− −
= + × + × " τα περισσότερα οικο!ομετρικά προγράμματα
επιβάλλου! τους περιορισμούς ότι τα γ" δ και ρ εί!αι μη αρ!ητικά.
*υτό μας ε+ασ%αλί;ει τη! απαίτηση ότι η μεταβλητικότητα2
t σ εί!αι
θετική.
(ια !α εί!αι το υπόδειγμα στάσιμο" θα πρέπει !α έουμε 1δ ρ + < . *!1δ ρ + ≥ " τότε η διακύμα!ση διαρο!ικά αυ+ά!ει και μετά από έ!α!
αριθμό περιόδω! γί!εται πολύ μεγάλη" με συ!έπεια οι αποδόσεις τηςτιμής της μετοής !α προέρο!ται από κατα!ομές με μεγάληδιακύμα!ση. :ο γεγο!ός αυτό" δε! %αί!εται ρεαλιστικό.
*υτό" μπορείτε !α το διαπιστ$σετε εύκολα με τη ρήση ε!όςπροσομοιωμέ!ου δείγματος" όπως ακριβ$ς κά!αμε στη! αρή. #α!παράδειγμα" μπορείτε !α θεωρήσετε το απλό υπόδειγμα στοαστικής
μεταβλητικότητας&2 2
10,01t t t σ σ ε −= − + + " με ( )~ 0, 1t iidN ε .
#α! μια επιπλέο! άσκηση" α%ή!εται η εκτίμηση τω! αρικ$!δεδομέ!ω! με τη ρήση του υποδείγματος SOP?Q ή SOP?QA. 2αδιαπιστ$σετε γιατί αυτά τα αποτελέσματα δε! εί!αι ικα!οποιητικά.
0
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
25/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
9!α άλλο αρακτηριστικό πολλ$! ρηματοοικο!ομικ$! σειρ$! εί!αιότι παρουσιά;ου! βαριές ουρές ,heavy tails- με τη! έ!!οια ότιυπάρου! περισσότερη μά;α πιθα!ότητας !α εμ%α!ισθού! ακραία%αι!όμε!α ,δηλαδή αποδόσεις G ή 4 τυπικές αποκλίσεις σε σέση μετο! μέσο-. :α υποδείγματα με στοαστική μεταβλητικότητα ή
μεταβλητικότητα τύπου ,S-OP?Q επιτρέπου! τέτοια %αι!όμε!α" σεέ!α! ορισμέ!ο βαθμό.
)ολλές %ορές" αυτός ο βαθμός δε! εί!αι εμπειρικά αρκετός κιD έτσιέου! προταθεί υποδείγματα στα οποία η κατα!ομή τω! αποδόσεω!"
t y " εί!αι "tudent-t με σετικά μικρούς βαθμούς ελευθερίας ! ,για
παράδειγμα" !L6- και μεταβλητικότητα τύπου SOP?Q.
Η κατα!ομή "tudent-t# εί!αι γ!ωστό ότι έει πιο βαριές ουρές σεσέση με τη! κα!ο!ική" εκτός α! οι βαθμοί ελευθερίας +0ν > " στη!οποία περίπτωση ,όπως γ!ωρί;ουμε πολύ καλά από τη θεωρία
ελέγου υποθέσεω!- εί!αι πολύ κο!τά στη! κα!ο!ική κατα!ομή.
8ι ουρές της κατα!ομής εί!αι" γε!ικά" τόσο βαριές" $στε με 1ν = " ημέση τιμή της κατα!ομής δε! υπάρει. (ια !α υπάρει η διακύμα!σητης κατα!ομής" θα πρέπει !α έουμε 2ν > . (ια !α υπάρου! οι πρ$τεςτέσσερεις ροπές" πρέπει !α έουμε ν > . #ε α!τίθεση" ίσως" με ότιγ!ωρί;ουμε για τη! κατα!ομή "tudent-t" δε! εί!αι α!αγκαίο οι βαθμοίελευθερίας ! !α εί!αι έ!ας ακέραιος αριθμός. 8ποιαδήποτε θετικήτιμή εί!αι αποδεκτή. Η κατα!ομή αυτή" μπορεί !α ρησιμοποιηθεί μετο EViews" σε συ!δυασμό με υποδείγματα τύπου SOP?Q. 'ιασύγκριση τω! κατα!ομ$! "tudent με 1ν = και της κα!ο!ικής
κατα!ομής" %αί!εται στο επόμε!ο διάγραμμα.
1
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
26/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
Καταομές !ου ε!ιτρέ!ου !ιο !ολλές ακραίες τιμές$ σεσ"έση με τη καοική καταομή$ είαι γωστές σαλε!τόκυρτες και είαι$ φυσικά$ !ολ, "ρήσιμες στη!εριγραφή τω "ρηματοοικοομικ( στοι"είω.
/πίσης" τόσο η κα!ο!ική όσο και η "tudent-t κατα!ομή εί!αισυμμετρικές. *υτό σημαί!ει" ότι δε! επιτρέπου! ασυμμετρικήσυμπερι%ορά τω! αποδόσεω! τω! τιμ$! τω! μετο$!. Η συμμετρία"εδ$" σημαί!ει" ότι η πιθα!ότητα αποδόσεω! μεγαλύτερω! από το!μέσο" εί!αι ίδια με τη! πιθα!ότητα αποδόσεω! μικρότερω! από το!μέσο ,ή τη! διάμεσο" α! ο μέσος δε! υπάρει-" δηλαδή V.
Kατα!ομές που εί!αι μη συμμετρικές και επίσης έου! βαριές ουρές"υπάρου! αλλά δε! θα μας απασολήσου! εδ$. 'πορούμε" ωστόσο"!α κατασκευάσουμε εύκολα υ!ο#είγματα !ου είαι συμβατά μεασυμμετρική συμ!εριφορά κιD έτσι !α ελέγ+ουμε τη! ύπαρ+ή της.9!α τέτοιο παράδειγμα" εί!αι μια παλι!δρόμηση του τύπου
2
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14
27/27
14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές
1 1t t t t t t y y I y I uα β γ δ
− −
= + + + + " όπου ( )1t t I I y c−= > ισούται με τη μο!άδα"
α! η συ!θήκη 1t y c− > ικα!οποιείται και μηδέ! δια%ορετικά.
Η συ!άρτηση ( ) I × " εί!αι γ!ωστή σα! δείκτρια συ!άρτηση ,indicator
function-. *υτή" δε! εί!αι παρά μια ευδομεταβλητή. :ο c εί!αι απλάμια σταθερά ή ε!δεόμε!α μια παράμετρος που θα πρέπει !αεκτιμηθεί. :ο υπόδειγμα θα εί!αι&
1t t y yα β
−
= + ότα! 1t y c− ≤ και ( ) ( ) 1t t y yα γ β δ −= + + + " δια%ορετικά.
8 έλεγος της υπόθεσης ότι 0γ δ = = " ισοδυ!αμεί με το! έλεγο τηςυπόθεσης ότι δε! έουμε δια%ορετική, δηλαδή ασυμμετρική-συμπερι%ορά α!άλογα με το α! οι τιμές τω! απόλυτω! αποδόσεω!εί!αι μεγάλες ή μικρές.
:έλος" τα υποδείγματα με στοαστική μεταβλητικότητα ήμεταβλητικότητα τύπου ,S-OP?Q" εί!αι πολύ ρήσιμα στη!τιμολόγηση δικαιωμάτω! ,options- με βάση το! κα!ό!α $lack-"choles.