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En la toma de decisiones tratamos con el diseo de planes futuros. De esta formalos datos que describen la situacin de decisin deben ser representativos de loque ocurra en el futuro. Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestrasdecisiones en la naturaleza de la demanda del artculo controlado durante unhorizonte de planeacin especfico. Asimismo, en planeacin financiera,

necesitamos predecir el patrn del flujo de efectivo en el tiempo.

Este captulo presenta tres tcnicas para pronosticar cambios futuros en el nivelde una variable deseada como funcin del tiempo:

1. Regresin lineal

2. Promedio mvil

3. Suavizacin exponencial

La necesidad de proyecciones de la demanda es un requerimiento general a lolargo del proceso de planeacin y control. Sin embargo, tambin podrannecesitarse ciertos tipos de problemas de planeacin, como control de inventarios,compras econmicas y control de costos, pronsticos de los tiempos de espera,precios y costos. Las tcnicas de pronsticos son igualmente aplicables.

El pronstico de los niveles de demanda es vital para la firma como un todo, yaque proporciona los datos de entrada para la planeacin y control de todas lasreas funcionales, incluyendo logstica, marketing, produccin y finanzas. Losniveles de demanda y su programacin afectan en gran medida los niveles decapacidad, las necesidades financieras y la estructura general del negocio. Cadarea funcional tiene sus propios problemas especiales de pronstico.

El xito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, esdecir hacer predicciones sobre el futuro. Estas predicciones se usan para tomardos amplios tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y decisionesestratgicas a largo plazo.

Las decisiones operativas en curso, son la asignacin de pocos recursos, lacompra de materias primas, la determinacin de horarios de trabajo, etc.,

Las predicciones estratgicas a largo plazo tambin dependen de prediccionesexactas. De esta forma el pronstico es la estimacin de las actividades futuras;se basa en el uso de datos anteriores de una variable para producir su desempeofuturo, solo son aplicables para predecir la demanda de artculos para los que sedispone de una cantidad sustancial de informacin anterior y no para productosnuevos.

La definicin de pronstico es simple, sin embargo encierra muchas situacionesque intervienen en su resultado o bien en la consecucin del mismo.

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"Un pro nstico es un inicio o una seal por donde se pu ede saber una cosafutura mediante indic ios"

El pronstico desempea un papel muy significativo en la planeacin demateriales, se pueden encontrar pronsticos de abastecimiento, de condiciones,

comerciales, de tecnologa, precios, etc. Y en cualquiera de estos rtulos elpronstico es necesario para la toma de decisiones.

Aunque es muy cotidiano que hoy en da el manejo de pronsticos en laspequeas y medianas empresas, existen situaciones que tienen que ver con laplaneacin de las necesidades futuras. La problemtica primordial es la pocaconfianza del uso de la tcnica pronstico.

En el sector automotriz las insuficiencias de compra de materiales y produccinprovienen de pronsticos ventas, ya que es responsabilidad la misma rea deventas o mercadeo de los productos, sin embargo cuando los ordenadores de

compra de materiales tienden en compras excesivas o deficientes siempre sonacusados, cuando verdaderamente el generador de esos pronsticos es ventas.

Autores experimentados manifiestan que: "Si la demanda es inferior alpronst ico, el proveedor puede sos pechar que el pron st ico o r iginal era unintento po r obtener un precio favorable o alguna otra con cesin. Si la

demanda excede el pronst ico, los costos del proveedor pueden aum entar

debido a la urgencia, las compras de emergencia, y cambios en losprogramas de prod uccin."

De tal manera los proveedores hacen parte de ese conjunto de incertidumbre quepresenta el pronstico, por ello es prescindible que los ordenadores de losmateriales ayuden a estrechar los contactos con los diferentes proveedores y quegeneren un ambiente empresarial fomentando flexibilidad y cooperacin almomento de sus requerimientos Tambin es cierto que no se deben descartar quede manera regular las actualizaciones y se ajusten a los pronsticos.

En el da a da se encuentran una diversidad de tcnicas para el planteamiento depronsticos y se estas se van desarrollando de manera exponencial, estastcnicas pueden ser cuantitativas y cualitativas y se pueden emplear separadas oen conjunto.

El sector automotriz la tcnica ms usada de pronsticos es la cuantitativa ya queesta se sustenta en la toma de datos del pasado para hacer las proyecciones opredicciones del futuro, algunas tcnicas cuantitativas hacen hincapi enidentificar indicadores que sean sobresalientes mediante los cuales se puedancrear modelos lineales o de regresin mltiple.

Algunas de las tcnicas de pronstico cuantitativas que en la actualidad seutilizan, se desarrollaron durante el siglo XIX; un ejemplo de ello el anlisis deregresin y las tcnicas de series de tiempo. Con la implementacin de tcnicas

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de pronstico ms complejas, junto con la generalizacin del uso de lascomputadoras, los pronsticos acentuaron la atencin durante los ltimos aos, ycualquier persona es capaz de operar datos a partir de un software en unacomputadora de bolsillo y obtener pronsticos.

Quienes han desarrollado los modelos cuantitativos clasifican a algunos de lospronsticos cuantitativos como repetitivos, es decir, que los valores que sepronostican continan un proceder repetitivo a travs del tiempo, la labor de losquienes analizan este tipo de pronsticos es el identificar ese comportamiento ydesarrollar el pronstico, por consiguiente el desarrollar dicho pronstico hacenecesario tener en cuenta algunos factores como el valor constante, tendencia,variaciones estacinales, variaciones cclicas, variaciones aleatorias y puntos demodulacin.

Referente a los pronsticos cualitativos, se consideran ms comunes en lasempresas de servicios ya que se basan en la repuesta de opiniones de diversaspersonas, valorizando con juicio dichas opiniones para utilizarlas al generar elpronstico. Estas tcnicas cualitativas son ms flexibles que las cuantitativas, sinembargo son tan precisas y exactas como estas.

Al momento de elaborar un pronstico y este resulta mal proyectado conlleva aque la planeacin no funciona y todas las reas de la empresa se vuelvenineficientes, repercutiendo en las finanzas y reflejando las pocas ventas obtenidas,abundancias en los inventarios de productos que no requieren los clientes,reduccin de mrgenes, costos ms altos, entre otros problemas.

En trminos de pronosticar variables importantes para una compaa o para unaparte de ella como son las ventas de la empresa, las horas de ausencia porempleado, los costos operativos, las tasa de inters y tipos de cambio delmercado, entre otros, ms sin embargo, las variables macroeconmicas medianen las decisiones que tome la empresa para su futuro.

QU TCNICA UTILIZAR?

Para determinar que tcnica de pronstico, se deben considerar los siguientespuntos:

1. Definir la naturaleza del problema de pronstico.

2. Explicar la naturaleza de los datos bajo investigacin.

3. Describir las capacidades y limitaciones de las tcnicas de pronsticopotencialmente tiles.

4. Desarrollar algunos criterios predeterminados sobre los cuales se pueda tomarla decisin de la seleccin, como son algunas medidas de error.

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BASES DE PRONSTICO.

Ingreso por venta.

Costo de productos manufacturados.

Horas de mano de obra directa

Horas de maquinaria.

Costos de los insumos.

FUENTES DE PRONSTICO.

Externas: Actividades generales de la economa o factores geopolticos, quedespus se relacionan con las actividades empresariales.

Internas: Estima cada producto de una empresa, para despus hacer unpronstico agregado de todas sus actividades.

CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS.SEGN EL TIEMPO:

A Corto Plazo: alcance de un da a un ao, sirve para funciones de control, comoajuste de la Tasa de produccin, del empleo, del pronstico de venta, etc.

A Mediano Plazo: con alcance de una estacin a uno o dos aos. Son usadospara la planeacin operativa, el flujo de caja, el programa de produccin y las

ventas.A Largo Plazo: con un alcance de dos a cinco aos, esto se usa para ampliarplantas, producir nuevos productos, cambiar polticas, adoptar nuevas tecnologas.

El anlisis de regresin es una de las tcnicas estadsticas la cual se utiliza en lainvestigacin al relacionar entre dos o ms variables, una de sus utilizaciones esten la construccin de modelos que permitan predecir el comportamiento de unavariable Y(dependiente, respuesta) en funcin de una o ms variables(independientes, predictivas) X.

El comportamiento de estas variables suelen definirse de manera previa lo quenos remite a un modelo terico, o bien, se tiene el caso de que no exista unarelacin establecida entre estas y sea necesario establecer una primeraaproximacin del comportamiento de las mismas.

Lo anterior se puede lograr usando una herramienta grfica denominadadiagrama de dispersin lo que nos conducira a desarrollar un modelo empricode la relacin que mantienen las variables en estudio.

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Ventajas

Es objetivo, solo depende de los resultadosexperimentales.

Es reproducible, proporciona la misma ecuacinno importa de quien realice el anlisis.

Proporciona una estimacin probabilstica de laecuacin que representa a unos datos experimentales

Proporciona intervalos pequeos de error.

Restricciones

Solo sirve para ajustar modelos lineales

Requiere tener al menos diez mediciones bajolas mismas circunstancias experimentales.

Se requiere de algn equipo de clculo, de locontrario, es muy engorroso el procesamiento de la informacin.

Establece la relacin temporal para la variable de pronstico, implicauna relacin causa-efecto.

La ecuacin general es: Y= + x

Y = Variable dependiente = La altura de la recta.

= La pendiente de la recta. x = Variable independiente.

METODOS DE LOS MNIMOS CUADRADOS.

Para calcular y :

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= altura de la lnea recta.

= pendiente de la recta.

Y = variable dependiente.X = variable independiente.

x = promedio de los valores X.

y = promedio de los valores Y.

n = nmero de observaciones.

Ejemplo

Encontrar la lnea recta del mnimo cuadrado.

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EJEMPLO:

La demanda de un artculo en los ltimos 4 aos se muestra a continuacin:

Demanda(unidades) 2006 2007 2008 2009

Aos 6 8 7 9

Con esta informacin se pide pronosticar la demanda para el ao 2010 y 2011utilizando regresin lineal.

Solucin:

Es necesario hallar la ecuacin de regresin y=+x, donde X representa eltiempo y Y la demanda en unidades del artculo.

Procedemos a hallar y .teniendo en cuenta las ecuaciones planteadasanteriormente.

Esta sera la ecuacin de regresin, ahora para hallar lademanda del ao 2010 remplazamos a x por 5, ya que sera el valor que lecorrespondera en la tabla, pues el 2009 es 4, as el 2011 seria 6.

Remplazando obtendramos:y=5+0,85=9 unidades;y=5+0,86=9,810 unidades.

Aos X Demanda(y) X.Y X 2006 1 6 6 1

2007 2 8 16 4

2008 3 7 21 9

2009 4 9 36 16

TOTALES 10 30 79 30

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Entonces la demanda proyectada para el 2010 sera de 9 unidades y de 10unidades para el 2011.

TALLER DE APLICACIN

Solucione los siguientes ejercicios:1. La demanda de un artculo en unidades en los ltimos 5 aos se describe acontinuacin:

Utilice la tcnica de regresin lineal para estimar el nmero de unidades que seproyectan de demanda para el ao 2010.

2. El nmero de estudiantes matriculados en los ltimos 4 aos en una institucinde educacin bsica secundaria se describe a continuacin:

Mediante regresin lineal pronostique el nmero de estudiantes que sematricularan en el ao 2010.

El Promedio Mvil o PM es el indicador ms utilizado en anlisis tcnico, ya quees uno de los indicadores experimentados ms antiguos que existen. La utilizacinde un promedio mvil muestra la direccin y la duracin de una tendencia; elpropsito de un promedio mvil es el de ilustrar la tendencia, de una manera mssuavizada. Debido al hecho que el promedio mvil es uno de los indicadores msverstiles y de mayor uso dentro de todos los indicadores, es la base del diseode la mayora de sistemas y estrategias utilizados hoy en da.

Un ejemplo de promedio mvil es el precio promedio del mercado en ciertoperodo de tiempo.

Se describen algunas de las propiedades ms comunes de los promedios mviles:

El promedio mvil es calculado concierto perodo de tiempo predefinido.

Mientras ms corto el perodo, mayor laprobabilidad de una seal falsa.

Mientras ms largo el perodo, menor esla sensibilidad del promedio mvil. Es decir, ms certera pero existirnmenos seales.

Como su mismo nombre lo implica, un promedio mvil es un promedio de uncuerpo cambiante de data.

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Por ejemplo, un promedio mvil de 50 perodos, utilizado al cierre, es constituidopor la sumatoria de los precios de cierre de los ltimos 50 perodos, dividido por50.

Se le designa promedio MVIL, por que nicamente los ltimos perodos son los

evaluados, es decir, son los que estn siendo utilizados para calcular losresultados. Y de esa manera, los datos siendo evaluados se mueven haciaadelante con cada da (o perodo) que avanza.

El anlisis de promedios mviles puede ser realizado a cualquiera de lossiguientes diferentes tipos de precio:

Precio de Apertura:

El anlisis del perodo se hace en base el precio de apertura de cada cuerpo.

Precio de Cierre:

El anlisis del perodo se hace en base el precio de cierre de cada cuerpo.

Precio ms Alto:

El anlisis del perodo se hace en base el precio ms alto de cada cuerpo.

Precio ms Bajo:

El anlisis del perodo se hace en base el precio ms bajo de cada cuerpo.

Precio Medio:

El anlisis del perodo se hace en base el precio medio de cada cuerpo.

Precio Medio = (Precio Alto + Precio Bajo) / 2

Precio Tpico:

El precio tpico del perodo es calculado de la siguiente forma:

Precio Tpico = (Precio Alto + Precio Bajo + Precio Cierre) / 3

Precio Ponderado:

El precio ponderado del perodo es calculado de la siguiente forma:

Precio Ponderado = (Precio Alto + Precio Bajo + Precio Cierre + Precio Cierre) / 4

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Tipos de Promedios Mviles

Promedio Mvil Simple (SMA):

El Promedio Mvil Simple es sin duda el promedio mvil ms utilizado hoy en da.

El Promedio Mvil Simple es a veces llamado un promedio mvil aritmtico ybsicamente es un precio promedio a travs de un perodo de tiempo.

Se calcula sumando los precios de cierre del par analizado durante cierto perodode tiempo y luego se divide dentro del mismo nmero de perodos.

Por ejemplo, el Promedio Mvil de los ltimos 10 das del precio de cierre, divididodentro de 10.

Debido al hecho que el Promedio Mvil Simple da el mismo peso a cada perodo

de precio siendo evaluado, mientras ms largo sea el perodo de tiempo evaluado,mayor ser la suavizacin de los datos ms recientes.

Promedio Mvil Exponencial (EMA):

El indicador de Promedio Mvil Exponencial reacciona ms rpidamente acambios de precios recientes que el Promedio Mvil Simple debido al hecho quesuma los precios de cierre del perodo actual al perodo anterior, dando as mspeso a los ltimos perodos de precio.

El perodo es utilizado para determinar el peso relativo que debera ser asignado a

perodos previos.

La frmula es utilizada para determinar el porcentaje.

Promedio Mvil Suavizado (SMMA):

Debido a que el indicador del Promedio Mvil Suavizado, suaviza el promediomvil por medio de la asignacin de mismos pesos a precios pasados que aprecios recientes, es recomendable utilizar el SMMA con perodos ms largos detiempo para mejores resultados

Promedio Mvil Ponderado Lineal (LWMA)

Un Promedio Mvil Ponderado se calcula a travs de la multiplicacin de de cadaperodo de tiempo anterior por un peso. El peso est basado en el nmero de dasdel promedio mvil.

Un Promedio Mvil Ponderado Lineal, da ms peso a informacin ms recienteque a datos ms antiguos.

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El hecho de que es medido linealmente significa que el dato ms antiguo recibe unvalor de 1, luego el dato que le sigue, un valor de 2, luego el dato que le sigue unvalor de 3 y as sucesivamente, hasta que el ltimo dato recibe un pesoequivalente al perodo.

As que en un LWMA de 25, el peso del primer da es 1, mientras que el peso delda ms reciente es de 25. Esto da 25 veces ms peso al precio de hoy que al dehace 25 das.

Consejos para Operar los promedios Mviles

Recuerde de SIEMPRE confirmar sus puntos de entrada y salida con otrosindicadores cuando utiliza cualquiera de las estrategias anteriormentemencionadas con promedios mviles. Estos otros indicadores pueden ser, pero nose limitan a: MACD, Momentum, RSI, Stochastics & Precio ROC.

Las seales falsas pueden ser evitadas al utilizar perodos ms largos de tiempo.Sin embargo, a pesar de que esto har que se generen menos seales, lasseales brindadas sern ms certeras y exactas.

Cuando inserte promedios mviles en sus grficas, utilice perodos comnmenteusados por la mayora de inversionistas de Forex. Estos perodos pueden ser: 10,50, 100 & 200

Algunos promedios mviles comnmente utilizados como el EMA 200, tambinson utilizados como niveles de soporte o resistencia. As que cuando llegue a estenivel especfico, est atento para observar posibles retracciones de precios.

La suposicin fundamental para esta tcnica es que la serie de tiempo es estable,en el sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente procesoconstante:

yt= b+et donde b es un parmetro constante desconocido estimado a partir de losdatos histricos. Se supone que el error aleatorio e t tiene un valor esperado cero yuna varianza constante. Adems, los datos para los diferentes periodos no estncorrelacionados.

La tcnica del promedio mvil supone que las n observaciones ms recientes sonigualmente importantes en la estimacin del parmetro b. As, en un periodo actualt, si los datos para los n periodos ms recientes son yt-n+1, yt-n+2,...e yt, entonces elvalor estimado para el periodo t+1 se calcula como

yt+1= (yt-n+1+ yt-n+2 +...+yt)/n

No hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio mvil, n. Si lasvariaciones en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo,

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se recomienda una n grande. De otra forma, se aconseja un valor de n pequeo sila variable muestra patrones cambiantes. En la prctica, el valor de n flucta entre2 y 10.

Ejemplo.

La demanda (en nmero de unidades) de un artculo de inventario durante lospasados 24 meses se resume en la tabla. Utilice la tcnica del promedio mvilpara pronosticar la demanda del siguiente mes (t= 25)

TABLA

Mes, t Demanda, yt Mes, t Demanda, yt

1 46 13 54

2 56 14 42

3 54 15 64

4 43 16 60

5 57 17 70

6 56 18 66

7 67 19 57

8 62 20 55

9 50 21 52

10 56 22 62

11 47 23 70

12 56 24 7

Si utilizamos n = 3, la demanda estimada para el siguiente mes (t = 25) ser igualal promedio de las demandas para los meses 22 al 24, es decir, 62+70+723=68.

EJERCICIOS DE APLICACIN

Solucione los siguientes ejercicios:

1. La demanda de un artculo en unidades en los ltimos 5 aos se describe acontinuacin:

Utilice la tcnica del promedio mvil con k= 3 para estimar el nmero deunidades que se proyectan de demanda para el ao 2009 y 2010.

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2. El nmero de estudiantes matriculados en los ltimos 4 aos en una institucinde educacin bsica secundaria se describe a continuacin:

Mediante promedio mvil con k= 4, pronostique el nmero de estudiantes que sematricularan en el ao 2010 y 2011.

El mtodo de suavizacin exponencial es un mtodo de promedio mvilponderado muy refinado que permite calcular el promedio de una seriede tiempo, asignando a las demandas recientes mayor ponderacin quea las demandas anteriores. Es el mtodo de pronstico formal que seusa ms a menudo, por su simplicidad y por la reducida cantidad dedatos que requiere. A diferencia del mtodo de promedio mvilponderado, que requiere n periodos de demanda pretrita y n

ponderaciones, la suavizacin exponencial requiere solamente tres tiposde datos: el pronstico del ltimo periodo, la demanda de ese periodo yun parmetro suavizador, alfa , cuyo valor flucta entre 0 y 1.0. Paraelaborar un pronstico con suavizacin exponencial, ser suficiente quecalculemos un promedio ponderado de la demanda ms reciente y elpronstico calculado para el ltimo periodo. La ecuacin correspondientea este pronstico es:

Ft+1= (demanda para este periodo) + (1- ) (pronstico calculado para elltimo periodo)

Ft+1= Dt + (1- )Ft

La siguiente ecuacin es equivalente:

Ft+1= Ft + (Dt-Ft)

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La constante de suavizacin a es un nmero entre 0 y 1 que entra multiplicandoen cada pronstico, pero cuya influencia declina exponencialmente al volverseantiguos los datos.

Una a baja de ms ponderacin a los datos histricos. Una a de 1 refleja una

ajuste total a la demanda reciente, y los pronsticos sern las demandas reales delos periodos anteriores.

La seleccin de a depende de las caractersticas de la demanda. Los valores altosde a son ms sensibles a las fluctuaciones en la demanda.

Los valores bajos de a son ms apropiados para demandas relativamente estables(sin tendencia o ciclicidad), pero con una gran cantidad de variacin aleatoria.

La suavizacin exponencial simple es un promedio suavizado centrado en elperiodo presente. No se puede extrapolar para efectos de tendencia, por la que

ningn valor de a compensar completamente la tendencia en los datos.

Los valores ordinarios de a varan entre 0.01 y 0.40. Los valores bajos de adisminuyen efectivamente la variacin aleatoria (ruido - dispersin).

Los valores altos son ms sensibles a cambios en la demanda (introducciones denuevos productos y error buscando cul valor reduce el error del pronstico.

Esto puede hacerse fcilmente modelando el pronstico en un programa decmputo, tratando con diferentes valores de a.

Un valor de a que proporcione aproximadamente un grado equivalente desuavizacin tanto como un promedio mvil de un periodo es a = 2 / (n + 1)

Esta forma de la ecuacin muestra que el pronstico para el periodo siguiente esigual al pronstico del periodo actual ms una proporcin del error del pronsticocorrespondiente al mismo periodo actual.

Para poner en marcha la suavizacin exponencial se requiere un pronstico inicial.Hay dos formas de realizar este pronstico inicial: Usar la demanda del ltimoperiodo, o bien, se dispone de datos histricos, calcular el promedio de variosperiodos recientes de demanda. El efecto de la estimacin inicial del promediosobre las estimaciones sucesivas del mismo disminuye a lo largo del tiempoporque, con la suavizacin exponencial, las ponderaciones asignadas a lasdemandas histricas sucesivas, que se utilizan para calcular el promedio,disminuyen exponencialmente.

Ejemplo:

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Una empresa usa suavizacin exponencial simple con a = 0.1 para pronosticar lademanda. El pronstico para la semana de octubre 1 fue de 500 unidades,mientras que la demanda real fue de 450 unidades

a) Pronosticar la demanda de la semana de Octubre 8

b) Supngase que demanda real durante la semana de octubre8 fue de 505unidades. Pronostique la demanda de la semana de octubre 15. Continesepronosticando hasta noviembre 12 suponiendo que las demandas subsecuentesfueron realmente 516, 488, 467, 554 y 510.

Solucin

a) Pronosticar la demanda de la semana de Octubre8

Ft = Ft-1 + a(At-1 - Ft-1)

Ft= 500 + 0.1 (450 - 500)

Ft= 495 unidades

b) Arreglando el procedimiento en forma tabular

Valor a0.1

Semana Demanda

real

Pronstico

anterior

Error delpronstico

FactorCorreccin Pronostico

suavizadoAt-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-1)

Ft = Ft-1 +a (At-1 - Ft-1)

1 450 500 -50 0.1 -5 495

8 505 495 10 0.1 1 496

15 516 496 20 0.1 2 498

22 488 498 -10 0.1 -1 497

29 467 497 -30 0.1 -3 494

5 554 494 60 0.1 6 500

12 510 500 10 0.1 1 501

Lo idneo y deseable es comparar con otros niveles de a y graficar para poderhacer un anlisis

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Semana Demanda

real

Pronstico

anterior

Error delpronstico

Factor Correccin Pronostico

suavizado

At-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-1)

Ft = Ft-1 +a (At-1 - Ft-

1)0ct-01 450 500 -50 0.3 -15 485

8 505 485 20 0.3 6 491

15 516 491 25 0.3 8 499

22 488 499 -11 0.3 -3 495

29 467 495 -28 0.3 -9 487

Nov-05 554 487 67 0.3 20 507

12 510 507 3 0.3 1 508

Valor a0.6

Semana Demanda

real

Pronstico

anterior

Error delpronstico

Factor Correccin Pronostico

suavizado

At-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-1)

Ft = Ft-1 +a (At-1 - Ft-1)

0ct-01 450 500 -50 0.6 -30 470

8 505 470 35 0.6 21 491

15 516 491 25 0.6 15 506

22 488 506 -18 0.6 -11 495

29 467 495 -28 0.6 -17 478

Nov-05 554 478 76 0.6 45 524

12 510 524 -14 0.6 -8 515

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EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Karls Copiers vende y repara mquinas de fotocopiado. El gerentenecesita pronsticos semanales de las solicitudes de servicios, a fin depoder programar las actividades de su personal de servicio. Elpronstico correspondiente a la semana del 3 de julio fue de 23llamadas para servicio. El gerente aplica la suavizacin exponencial con= 0.25. Pronostique usted el nmero de llamadas para serviciocorrespondientes a la semana del 7 de agosto, suponiendo que sta sea

la semana prxima.

2.Los siguientes datos corresponden a las calculadoras vendidas (expresadas enunidades) en una tienda de electrnica durante las ltimas 5 semanas.

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Aplique la suavizacin exponencial con = 0.2, para pronosticar las ventascorrespondientes a las semanas 3 a 6.

MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DEPRONSTICO.

Error Pronstico:

Habitualmente en los casos para proyectar un buen pronstico se debe contar con

excelentes instrumentos, metodologas y experiencia; ya que el mercado actual esmuy cambiante, dinmico y en muchas ocasiones tiende a tener muchoscomponentes aleatorios, lo que conlleva a que pronosticar sea una labor compleja.Por tal motivo cantidades de empresas de hoy en da, han creado puestos ydepartamentos dedicados a pronosticar la demanda.

Debido a que un pronstico es una estimacin se debe tener una tcnica dedesempeo de est, ya que esta tcnica ayudara a determinar cual es el mejormtodo de pronsticos en el caso que se quiera evaluar varios, y para revisar sudesempeo en el tiempo en bsqueda de mejorarlo.

Es importante utilizar una tcnica de estimacin del desempeo (estimacin delerror) comn, y no utilizar medidas propias, ya que en general las medidas propiashacen que se pierda objetividad en el anlisis. Hay algo muy importante que tieneque tener las medidas del desempeo en los pronsticos, que tanto midan cuandoel pronstico fue mayor que el valor real y viceversa, miremos los errores comunesen las empresas cuanto hacen la estimacin del error de pronstico de ventas:

Solo cuentan el error cuando el pronstico es mayor a la venta real, ya quelo que les importa a ellos es la venta perdida.

Solo cuentan el error cuando el pronstico es menor a la venta real, debidoa que lo importante es no tener mucho inventario.

No se cuenta la magnitud de la diferencia si no que se cuenta el nmero deveces que el pronstico estuvo por encima y debajo de la venta real.

Estos errores y muchos mas no miden correctamente el desempeo delpronstico, y en muchos casos dan la sensacin de que el pronstico est bien,mientras por el contrario en la realidad no lo est.

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La cantidad por la cual la demanda real difiere de la demanda pronosticada.Existen tres mediciones de funcionamiento para evaluar un modelo de pronsticoen el que Dt es la demanda real en el periodo t y Ft, es la demanda pronosticadaen el periodo t, encontramos:

RMSE: Error medio cuadrado

MAE: Error medio absoluto

MAPE: Error medio porcentual

EJEMPLO.Se ha desarrollado un modelo de pronstico para predecir las ventas mensualesde un modelo particular de carro basndose en los siguientes datos de los 6meses anteriores, donde hallaremos error de pronstico, error medio cuadrado(RMSE), error medio absoluto (MAE), error medio porcentual(MAPE)

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Como las ventas pronosticadas no son iguales que las ventas reales como podemoscalcular el error de pronstico:

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Los errores de pronostico (+) indican que la demanda real excede el pronstico ylos errores (-)significan que la demanda est por debajo del pronstico.

Ahora hallaremos RMSE y tenemos:

RMSE = 72/6 = 3,46

MAE = 18/6 = 3

MAPE = 28/6 = 4,66

A continuacin los invito a ver este video en donde se desarrolla un ejercicio deerror de pronstico.

Los modelos de inventarios tienen mucha importancia en el mbitolaboral de cualquier empresa o negocio en el cual se necesite tenerinformacin completa sobre los diferentes materiales o insumos quehaya en existencia o que tengan que ser incluidos en la lista de pedidosque deben ejecutarse temporalmente de acuerdo con las necesidades deproduccin de la empresa o segn el comportamiento de la demanda.

Existen diferentes modelos de inventarios, los cuales se aplican enrelacin con los requerimientos del negocio en el cual van a serempleados y se convierten en una base para la toma de decisiones porparte de los gerentes o encargados de produccin que son los que estnpendientes de que no haya faltantes o sobrantes en la produccin, demodo que se generen el denominado logro que no es otra cosa que

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poseer un stock de mercancas que no se mueven o no producenninguna ganancia.

OBJETIVOS

Conocer algunos de los ms efectivos mtodos para la toma dedecisiones en cuanto al manejo de inventarios y sus mtodos decontrol

Determinar cul es el modelo de inventariosms adecuado de acuerdo con la empresa en la cual se vaya aimplementar, de modo que se tenga una certeza de cules son losartculos que se van a necesitar y en qu medida debe realizarseel pedido.

Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artculo y

se puede confiar en las entregas puntuales de un proveedor, siemprepuede colocar pedidos de tal forma que se satisfaga toda la demanda sinnecesidad de un inventario.

Para aprovechar las economas de escala. Al solicitar grandes cantidadesun negocio puede obtener su suministros a un costo inferior, as mismo elnegocio colocara menos pedidos, lo que ahorrara esfuerzos y costosadministrativos. Mantener un flujo de trabajo continuo en un medio deproduccin de mltiples etapas. Cada una de estas razones argumenta afavor de tener grandes inventarios a la mano.

Dependiendo del tipo de empresa el inventario se puede conseguir de 3diferentes formas, de igual manera como otras solo hacen uso de una de

las formas; por tal motivo es relevante hacer conocer las formas a las quese hace referencia:

1. Inventario de materia prima, seconsidera materia prima a todos aquellos productos que van a sufrir unatransformacin para poder estar disponibles para su venta; la importanciaradica en que debe haber existencia dentro de la empresa, ya que locontrario acarreara perdidas.

< !--[if !supportLists]-->2.Inventario de productos en proceso,son los productos a los que todava le quedan pendientes procesos porconsiguiente no estn disponible para la venta.

< !--[if !supportLists]-->3. Inventario de producto terminado,

son los productos que han completado el proceso de produccin y ya seencuentran disponible para la venta.

De igual manera en las empresas donde no existe un proceso demanufactura, sino que se encarga de servicios (compra y venta) artculos,inmuebles, productos, se le define el Inventario como de Mercancas.

La gran cantidad de dinero que manejan las empresas las tienen invertidasen inventarios que consisten en lo siguiente:

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< !--[if !supportLists]-->a) El resultado de la disminucin de lasventas como consecuencia de la recesin econmica de los diferentespases.

< !--[if !supportLists]-->b) Se hace necesario mantener un graninventario para poder ganar tiempo en la produccin y entrega, teniendo en

cuenta que las ventas y la produccin no son constantes todo el tiempo. < !--[if !supportLists]-->c)El Departamento de ventas debe tenersiempre a su disposicin un alto inventario de productos terminados, ya quecuando un cliente solicite un producto se le provee de manera inmediata.

< !--[if !supportLists]-->d) Reducir costos de inversin que esdirectamente proporcional a un gran lote de inventario, ya que se garantizaun menor costo, debido al volumen de compra. Aspectos a tener en cuenta en la Administracin de Inventario

El objeto de la Administracin de Inventario se sustenta en dos aspectos: < !--[if !supportLists]-->El financiar otros proyectos debido a la

destinacin de recursos por que se ha reducido la inversin en inventarios < !--[if !supportLists]--> Prever que las operaciones de

produccin y ventas funcionaran sin restricciones previa planeacin de uninventario suficiente que pueda cubrir la demanda existente.

CARACTERSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS Son las tcnicas utilizadas para determinar cul de estas caractersticas

tiene su modelo para poder aplicar el paquete para realizar el anlisiscorrecto.

< !--[if !supportLists]-->a. Demanda Dependiente: dos o msartculos en los que la demanda de un artculo determinado afecta lademanda de uno o ms de los otros artculos.

< !--[if !supportLists]-->b. Demanda Independiente: dos o msartculos en los que la demanda de un artculo no afecta la demandacualquiera de otros artculos.

< !--[if !supportLists]-->c. Demanda Deterministica ContraProbabilstica: Existen dos categoras:

< !--[if !supportLists]-->Demanda Deterministica: es lademanda de un artculo que se conoce con certeza.

Ejemplo: un proceso de elaboracin de un libro, una mquina inserta las100 hojas por segundo aqu las hojas seran artculos o materias eninventario, la maquina es el cliente y la demanda Determinsticas son las100 hojas por segundo.

< !--[if !supportLists]-->Demanda Probabilstica: es la demandade un artculo que est sujeta a la cantidad significativa de incertidumbre yvariabilidad. Ejemplo: en un hospital usted no sabe cuntos y que tipos depacientes tenga la semana entrante, lo que ocasiona una demandainciertade suministros mdicos.

< !--[if !supportLists]-->d.Dficit o Faltantes: una circunstanciaen la que el inventario disponible es insuficiente para satisfacer la demanda.

< !--[if !supportLists]-->e.Tiempos Lderes: el tiempo entre lacolocacin de periodo de bienes y la llegada de estos bienes enviados porel proveedor.

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< !--[if !supportLists]-->f.Descuentos Cuantitativos: cuando losinventarios son reabastecidos por proveedores externos, la cantidadpagada por artculo puede depender del tamao de ese pedido.

< !--[if !supportLists]-->g.Polticas de Pedidos: es un enfoquepara determinar cmo y cundo reabastecer los inventarios.

CARACTERSTICAS CLAVES: Pedido de artculos en intervalos de tiempo fijos: La cantidad a ordenar estdeterminada por el nivel del inventario en el momento en el que se coloca elpedido. La cantidad pedida cada vez vara. Ejemplo: considere elreabastecimiento de leche en una tienda de abarrotes. Cada martes elgerente de lcteos pide la cantidad, y la cantidad depende de cuantosgalones hay en el estante cuando coloca el pedido. Esta poltica tambin sedenomina revisin peridica pues requiere revisara el nivel de inventario enpuntos fijos de tiempo para determinar cunto ordenar.

Pedido de un nmero fijo de artculos cuando el inventario a la mano llega aun cierto nivel previamente especificado, llamado el punto de nuevospedidos: En este caso, la cantidad pedida siempre es la misma, pero eltiempo entre los pedidos puede variar. Ejemplo: Un gerente de bar puedereordenar cerveza cuando el suministro actual cae por menos de tres cajas.Este nivel puede alcanzarse en 4 semanas cuando el negocio va lento o enuna semana cuando el negocio est activo, digamos durante la semana delsper tazn. Esta poltica tambin se denomina revisin continua, puesrequiere una comprobacin continua del inventario para determinar cundose alcanza el punto de nuevos pedidos.

< !--[if !supportLists]--> i. Revisin Peridica: es la poltica deordenamiento que requiere revisar el nivel de inventarios en puntos fijos detiempo para determinar cundo ordenar sobre la base de inventarios a lamano en ese momento.

< !--[if !supportLists]--> ii. Revisin Continua: es la poltica deordenamiento que requiere revisar el inventario continuamente paradeterminar cundo se alcanza el punto de nuevos pedidos.

< !--[if !supportLists]--> iii. Punto de Nuevos Pedidos: nivel deinventarios en el cual debe colocarse el nuevo pedido

Es aquel modelo matemtico usado como la base para la administracinde inventarios en el que la demanda y el tiempo lder sondeterminsticos. No se permiten los dficits y el inventario se reemplazapor lotes al mismo tiempo.

Caractersticas:

El inventario pertenece a uno y solo un artculo.

El inventario se abastece por lotes.

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La demanda es Determinstica, es decir se conocen cuantas sevenden en un tiempo determinado.

El tiempo gua L es determinstico y se conoce.

Los dficit no estn permitidos.

Componentes de Costos de un Sistema de Inventarios.

El costo de pedidos u organizacin: (K) este es un costo fijo,independiente del nmero de unidades pedidas o producidas. seincurre es este costo cada vez que se coloca un pedido o que seecha a andar una mquina para una corrida de produccin.

El costo de compra: (C) cada unidad pedida incurre en un costo decompra, que es un costo directo por unidad.

El costo de conservacin: (H) este es un costo obtenido por cadaartculo en inventario, un costo de conservacin puede incluir losiguiente:

Costos de almacenamiento: compuestos por los gastos generales delalmacn, seguro, requerimientos de manejo especial, robo, objetosrotos, etc.

Costos de oportunidad del dinero: comprometido en inventario que de

otra manera podra haberse usado o invertido.

Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen loscostos de conservacin se calculan como una fraccin (i) del costounitario C.

H= (Tasa de transferencia)*(Costo de la unidad)

H = i * C

Ejemplo:

Para el Mouse valuado en $20000 con tasa de transferencia de 0.11, elcosto de conservacin por ao por cada unidad es:

H = i * C

H = 0.11 * 20000

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H = $2200

Tasa de Transferencia: (i) es la suma de las fracciones usadas en elclculo de los costos de almacenamiento y oportunidad.

El costo de Dficit: (B) es el costo de no satisfacer la demanda. es decirel costo de que se acabe un artculo. Recuerde que cuando no se puedesatisfacer la demanda la venta se pierde.

TABLA DE RESUMEN

D = demanda por pedido L= El tiempo para recibir un pedido

I= Tasa de transferencia por periodo, est dada siempre en %

K= El costo fijo de colocar un pedido.

C= El costo de compra de pedir cada unidad.

H = (I * C) El costo de conservacin por unidad por periodo.

Formulas del Modelo E.O.Q.

D - demanda por perodo.L - el tiempo gua para recibir un pedido. L = Q*/D

i - tasa de transferencia por pedido.

K - costo fijo de un pedido.

C - costo de compra (costo por unidad).

H - costo de conservacin (H = I x C).

Q - nmero de unidades.

Q* - cantidad optima de pedido.

Q/2- inventario promedio.

CPA. Costo de pedido anual Cp = K x (D/Q).

Cc. Costo por compra anual Cc = C x D.

Costo de conservacin anual Ch= (Q/2) x (H).

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Ct .Costo anual total Cta = (Cp) + (Cc) + (CH).

Nmero de pedidos NP = D/Q*.

Punto de nuevos pedidos (R) R = D x L.

EJEMPLO

1. El hospital de Neiva da servicio a una pequea comunidad. Unsuministro usado con frecuencia es la pelcula de rayos x, que se pide aun proveedor fuera de la ciudad. Como gerente de suministros, debedeterminar cmo y cundo hacer pedidos para asegurar que al hospitalnunca se le termine este artculo critico, y al mismo tiempo, mantener elcosto total tan bajo como sea posible.

Para comprender como la cantidad de pedido (Q) impacta al nivel delinventario con el tiempo, supongamos que ordenamos lotes de:

Q = 4500 pelculas en existencia.

Y el proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana(es decir el tiempo gua es L = 1 semana). El departamento decontabilidad del hospital ha proporcionado los siguientes valores:

Un costo de pedidos fijo de $10000 para cubrir los costos de colocarcada pedido, pagar los cargos de entrega, etc. Un costo de compra de$5000 por cada pelcula sin descuento de cantidad. Una tasa detransferencia de 30% por ao (es decir, i=0.0) para reflejar el costo de

almacenar la pelcula en un rea especial, as como el costo deoportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso.

Solucin

Demanda anual D= (1500 pelculas*12 meses)= 18000 pelculas

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Tiempo gua L= 1 semana= 1/52 de un ao

Tasa de transferencia anual de i= 0.30%

Costo de pedidos K= $10000 por pedido

Costo de pedidos C= $5000 por pelcula

Costo de conservacin anual H= i*C= 0.30*5000= $1500 por pelcula alao.

CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costoconservacin A.

COSTO DE PEDIDOS ANUAL:

K * D / Q = 10000*(18000/4500)= 40000

COSTO DE COMPRA ANUAL: C * D = 5000*18000= 90.000.000

COSTO DE CONSERVACION ANUAL: (Q/2)*H o (Q/2)*(I * C) =(Q/2)*(I* C)=2250*(0.30*5000)= 3.375.00

Ahora remplazamos en la formula general:

CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costoconservacin A.

CTA = 40000+90.000.000+3.375.000

CTA = 93.415.000

Ahora hallamos Q*

Q*=2D*K/H = 2D*K/I*C

Q*= 2D*K/(i * C)

Q*= 2*18000*10000/(0.30*5000)

Q*=489,89 490

NUMERO DE PEDIDOS:

D/Q*=18000*490 = 36,7 37 pedidos

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TIEMPO:

L = Q*/D = 490/18000 = 0.027

NIVEL DE PEDIDOS:

R = D * L =18000*0.027 = 486

Los descuentos por cantidad, que son incentivos de precio para que elcliente compre mayores cantidades del producto, crean presin paramantener un inventario abundante. Por ejemplo, un proveedor puedeofrecer un precio de $4 por unidad, para los pedidos en que solicitenentre 1 y 99 unidades; un precio de $3.50 por unidad, para pedidosentre 100 y 199 unidades; y un precio de $3.000 por unidad, para lospedidos de ms de 200 unidades. El precio del artculo ya no seconsidera fijo, como se supona en la derivacin de la EQQ; en lugar de

eso, si la cantidad del pedido aumenta lo suficiente, se obtiene undescuento en el precio. Por lo tanto, en este caso se requiere un nuevoenfoque para encontrar el mejor tamao del lote, es decir, un mtodoque sopese las ventajas de comprar materiales a precios ms bajos ytener que hacer menos pedidos(es decir, los beneficios de hacer pedidospor grandes cantidades), frente a la desventaja que implica elincremento del costo por el manejo de un inventario mayor.

El costo anual total incluye ahora no solamente el costo de manejo deinventario, (Q/2) (H) y el costo de hacer pedidos, (D/Q) (S), sino

tambin el costo de los materiales comprados. Cualquiera que sea elnivel de precios por unidad, P, el costo total es:

Costo = Costo anual de + Costo anual de + Costo anual de Total manejode inventario hacer pedidos de materiales

El costo unitario de manejo de inventarioH se expresa habitualmentecomo un porcentaje del precio unitario, porque cuanto ms valioso seael artculo que se tiene en inventario, tanto ms alto ser el costo de sumanejo. Por consiguiente, cuanto ms bajo sea el precio unitario, P,tanto ms bajo ser H. Inversamente, cuanto ms alto sea P, tanto msalto ser H. Igual que cuando calculamos anteriormente el costo total.La ecuacin del costo total genera curvas de costo total en forma de U.

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Si el costo anual de materiales se agrega a la ecuacin del costo total,cada curva de costo total se eleva en una magnitud fija.

PROCESO PARA HALLAR EL MEJOR TAMAO DE LOTE

1. A partir del precio ms bajo de todos, calcule la EOQ para cada nivelde precios, hasta que encuentre una EOQ factible. Sabr usted que staes factible si se encuentra en el rango correspondiente a un precio. CadaEOQ subsiguiente es ms pequea que la anterior porque p, y por lotanto H, se vuelve cada vez ms grande y porque esa H ms grandeest en el denominador de la frmula de la EOQ.

2. Si la primera EOQ factible que encuentre corresponde al nivel deprecios ms bajo, esta cantidad representar el mejor tamao del lote.Si no es as, calcule el costo total correspondiente a la primera EOQfactible y a la mayor magnitud del cambio de precio, en cada nivel de

precios ms bajo. La cantidad a la cul corresponde el costo total msbajo de todos ser la ptima.

EJEMPLO PRCTICO

Uno de los proveedores del sistema de salud de Lower Florida Keys hapresentado su plan de precios de descuento por cantidad para alentar asus clientes a que compren mayores cantidades de un catter de tipoespecial. El plan de precios propuesto es el siguiente:

Lower Florida ha estimado que la demanda anual para este artculo esde 936 unidades, el costo que implica hacer esos pedidos es de $45 porpedido y su costo anual de manejo de inventario representa el 25% delprecio unitario del catter. Qu cantidad de dicho catter tendr quepedir el hospital para minimizar su total de costos?

SOLUCION

Paso 1. Encuentre la primera EOQ factible, comenzando con el nivel deprecios ms bajo:

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Un pedido de 77 unidades cuesta realmente $60 por unidad, en lugardel costo de $57 por unidad que se uso en el clculo de la EQQ; por lotanto, esta EQQ no es factible. Intentemos ahora con el nivel de $58.80:

Esta cantidad tampoco resulta factible, porque un pedido de 76 unidadeses demasiado pequeo para que se le aplique el precio $58.80. Intenteahora con el nivel de precios ms alto:

Esta cantidad es factible, porque se encuentra dentro del rangocorrespondiente a su precio, P= $60.00.

Paso 2. La primera EQQ factible, de 75, no constituye el nivel de preciosms bajo de todos. Por lo tanto, tendremos que comparar su costo totalcon las cantidades correspondientes al cambio de precio (300 unidadesy 500 unidades), en los niveles de precio ms bajos ($58.80 y $57.00):

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La mejor cantidad de compra es de 500 unidades, con la cual se obtieneel mayor descuento. Sin embargo, la solucin no siempre funciona as.Cuando los descuentos son pequeos, el costo de manejo de inventarioHes considerable, la demanda D es pequea y los tamaos del lote msreducidos funcionan mejor, aunque se renuncie a descuentos en elprecio.

Hasta ahora habamos supuesto que el pedido llegaba instantneamenteo que la produccin se reabasteca de inmediato. Sin embargo en laprctica una empresa manufacturera va produciendo paulatinamente y atravs del tiempo va vendiendo los artculos que le son demandados. Acontinuacin se explicara un modelo con el supuesto que la produccinse da paulatinamente a una tasa b, que es mayor que la demanda a.

Los costos que se considerarn son:

K: Costo de preparacin para producir u ordenar un lote.

c : El costo de producir o comprar cada unidad.

h : El costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidadde tiempo.

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Recordemos adems:

b : Tasa de produccin de los artculos

a : Tasa de demanda de los artculos.

b>a

Debemos hallar el costo total por unidad de tiempo ($/tiempo). Primero

hallaremos los costos nicamente para un ciclo, por lo que los costosestarn en ($).

Costo por ciclo de produccin u ordenar = K + c Q[$] + [$/ artculo ] *[artculo ] =[$]

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EL sistema de clasificacin ABC

Es una necesidad en casi todas las compaas saber la composicin desus inventarios. Es por ello que existen formas de clasificarlos segn suimportancia.

El sistema de clasificacin ABC nos ayuda a clasificar los inventarios entres categoras:

A: Muy importantes.

B: Medianamente importantes.

C: Poco o nada importantes

Al aplicar el sistema de clasificacin ABC es importante recordar loexpuesto por el economista italiano Pareto referente a que el 20% msimportante de la causa es la responsable del 80% del efecto.

Aplicndolo a los inventarios se vera:

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Un criterio de clasificacin para determinar la importancia de losartculos dentro del inventario es la cantidad promedio en dinero delartculo (Cantidad en artculos promedio * Costo unitario).

Ejemplo:

Suponga que un almacn de cadena maneja 4 tipos de artculos:Electrodomsticos, vestidos para hombres y mujeres, artculoscomestibles, artculos de papelera.

En la siguiente tabla se resume la clasificacin de los artculos:

Hasta el momento hemos venido suponiendo que la demanda esconocida y cierta. Modelo de un perodo sin costo fijo sin embargo la

mayora de los casos nos muestran demandas inciertas y desconocidas.Suponiendo que la demanda para un perodo es una variable aleatoria,es posible conocer su distribucin de probabilidad.

Los modelos estocsticos de inventario, en los que la demanda sedescribe mediante una distribucin de probabilidades. Los modelos quese presentan se clasifican, en el sentido amplio, en situaciones derevisin continua yperidica. Los modelos de revisin peridica incluyentanto casos de un solo periodo como de varios periodos. Las solucionespropuestas van desde el uso de una versin probabilstica de la cantidad

econmica de pedido (CEP o EOQ, de economic order quantity)determinstica hasta casos ms complejos que se resuelven conprogramacin dinmica. La naturaleza probabilstica de la demandaconduce a modelos complejos que quiz no sean tiles en la prctica.Sin embargo, en las publicaciones se han reportado buenasimplementaciones de inventario probabilstico.