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Lavoro di “Gruppo” - II

Fulvio Bisi1 Anna Torre1

1Dipartimento di Matematica - Università di Pavia

Stage Orientamento 2016 - 15 giugno

Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 1 / 28

Outline

1 Permutazioni di ordine n

2 GruppiGruppi abelianiTabella moltiplicativaSottogruppiGruppo delle permutazioni

3 Gruppi puntualiSimmetrie del triangolo equilatero


Permutazioni di ordine n

FUNZIONI BIUNIVOCHE DA UN INSIEME FINITO IN

SÈ

Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni biunivoche di {0, 1, 2, . . . , n} insé.

Quante sono?

C’è una ragionevole legge di composizione?

Di quali proprietà gode?



FUNZIONI BIUNIVOCHE DA UN INSIEME FINITO IN

SÈ

Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni biunivoche di {0, 1, 2, . . . , n} insé.

Quante sono?

C’è una ragionevole legge di composizione?

Di quali proprietà gode?

Trovare due elementi che non commutano



A = {1, 2, 3}

f : A → A | {1, 2, 3} → {2, 3, 1}



1 Dato un insieme finito A di n elementi ({1, 2, 3, . . . , n}), le applicazionibiunivoche f : A → A sono n! = 1 · 2 · · · · · n: la dimostrazione si conducemediante il principio di induzione.

2 La normale composizione di funzione dà un’operazione interna: f ◦ g è ilrisultato dell’azione di f sulle immagini secondo g, ossia(f ◦ g)(x) = f (g(x)).



La f è invertibile: A = {1, 2, 3}

f−1 : A → A | {2, 3, 1} → {1, 2, 3}



f−1 ◦ f = id = E (identità)



A = {1, 2, 3}

g : A → A | {1, 2, 3} → {2, 1, 3}



(f ◦ g)(x) = f (g(x))



(g ◦ f )(x) = g(f (x))


Gruppi

DEFINIZIONE DI GRUPPO

Sia G un insieme con una legge di composizione ⋆ che soddisfi le seguentiproprietà:

1 La legge di composizione è Interna

2 Gode della proprietà Associativa

3 C’è un elemento unitario u con la seguente proprietà g ⋆ u = u ⋆ g = g perogni g ∈ G

4 Ogni elemento g ∈ G ha l’elemento inverso cioè un elemento chechiameremo g−1 tale che g ⋆ g−1 = g−1 ⋆ g = u

Se un gruppo contiene un numero finito di elementi questo numero si chiamaordine del gruppo.


Gruppi

DEFINIZIONE DI GRUPPO

Sia G un insieme con una legge di composizione ⋆ che soddisfi le seguentiproprietà:

1 La legge di composizione è Interna

2 Gode della proprietà Associativa

3 C’è un elemento unitario u con la seguente proprietà g ⋆ u = u ⋆ g = g perogni g ∈ G

4 Ogni elemento g ∈ G ha l’elemento inverso cioè un elemento chechiameremo g−1 tale che g ⋆ g−1 = g−1 ⋆ g = u

Se un gruppo contiene un numero finito di elementi questo numero si chiamaordine del gruppo.

Quali insiemi numerici sono gruppo rispetto a +?

Quali rispetto a ·?


Gruppi

CLASSI DI RESTO E ROTAZIONI

Due situazioni diverse riconducibili allo stesso modello:

Gruppo Z/nZ delle classi di resto modulo n, con l’addizione.

Gruppo Cn delle rotazioni nel piano intorno all’origine degli assi di angolimultipli di 2π

n, con la composizione.

Provare cosa succede con n = 1, 2, 3, . . . .


Gruppi

GRUPPI O NON GRUPPI?

Le classi di resto rispetto alla somma sono gruppi?


Gruppi



Le classi di resto rispetto al prodotto sono gruppi?


Gruppi



Le classi di resto rispetto al prodotto sono gruppi?

Le funzioni (tutte) da un insieme finito in sè sono un gruppo?


Gruppi Gruppi abeliani

LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA

Abbiamo visto che non tutti i gruppi sono commutativi.

Un gruppo commutativo si dice ABELIANO

Fare esempi di gruppi abeliani e non abeliani.

Come si riconosce un gruppo abeliano finito dalla tabella?


Gruppi Tabella moltiplicativa

TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE

Consideriamo l’insieme delle rotazioni di angolo multiplo di π

4intorno

all’origine e le indichiamo come: {id, π2, 2π

2, 3π

2} rispettivamente. Costruiamo la

tabella di composizione nel modo seguente:



TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE

Consideriamo l’insieme delle rotazioni di angolo multiplo di π

4intorno

all’origine e le indichiamo come: {id, π2, 2π

2, 3π

2} rispettivamente. Costruiamo la

tabella di composizione nel modo seguente:

⋆ id π

2

2π

2

3π

2

id id π

2

2π

2

3π

2

π

2

π

2

2π

2

3π

2id

2π

2

2π

2

3π

2id π

2

3π

2

3π

2id π

2

2π

2

La tabella è simmetrica rispetto alla diagonale. Cosa significa?



TROVARE TUTTI I GRUPPI DI ORDINE 2 E 3

⋆ id a

id id a

a a id



TROVARE TUTTI I GRUPPI DI ORDINE 2 E 3

⋆ id a

id id a

a a id

⋆ id a b

id id a b

a a b id

b b id a

Ce ne sono altri?



DUE GRUPPI DI ORDINE 4

⋆ id a b c

id id a b c

a a b c id

b b c id a

c c id a b

⋆ id π

2

2π

2

3π

2

id id π

2

2π

2

3π

2

π

2

π

2

2π

2

3π

2id

2π

2

2π

2

3π

2id π

2

3π

2

3π

2id π

2

2π

2

C’è una relazione tra queste due tabelle?



UNA PROPRIETÀ DEI GRUPPI FINITI

Si osservi che, se un gruppo è finito, la definizione di gruppo impone che inogni riga compaiano tutti gli elementi del gruppo.



UNA PROPRIETÀ DEI GRUPPI FINITI

Si osservi che, se un gruppo è finito, la definizione di gruppo impone che inogni riga compaiano tutti gli elementi del gruppo.Infatti, se nella riga di un elemento x non comparissero tutti gli elementi delgruppo ci sarebbe un elemento k ripetuto e quindi avremmo x ⋆ y = x ⋆ y′ = k.Moltiplicando a sinistra per x−1 l’uguaglianza scritta sopra darebbey = x−1 ⋆ k = y′.Analogo ragionamento per le colonne.



UN ALTRO GRUPPO DI ORDINE 4

⋆ id a b c

id id a b c

a a id c b

b b c id a

c c b a id

È davvero diverso dal gruppo di ordine 4 che avevamo già trovato?Questo gruppo si chiama Gruppo di Klein.



NON CE NE SONO ALTRI?



NON CE NE SONO ALTRI?

I casi possibili sono:

a ⋆ a = id,

a ⋆ a = a,

a ⋆ a = b,

a ⋆ a = c.

a ⋆ a non può essere a perchè in tal caso

(a ⋆ a) ⋆ a−1 = (a) ⋆ a−1 = id, ma anche a ⋆ (a ⋆ a−1) = a ⋆ (id) = a ,

e quindi a = id.Se a ⋆ a = id abbiamo il gruppo di Klein, negli altri due casi abbiamo l’altrogruppo di ordine 4 salvo uno eventuale scambio di b con c (provarlo!)


Gruppi Sottogruppi

SOTTOGRUPPI

Definizione di sottogruppo:Sia H ⊆ G si dice che H è un sottogruppo di G quando H è gruppo rispettoalla operazione ⋆ di G ristretta a H.Trovare eventuali sottogruppi di tutti i gruppi di cui abbiamo scritto le tabelle.


Gruppi Gruppo delle permutazioni

Costruiamo la tabella di composizione per il gruppo delle permutazioni diordine 3:

E :

1 → 1

2 → 2

3 → 3

π+ :

1 → 2

2 → 3

3 → 1

π− :

1 → 3

2 → 1

3 → 2

s2,3 :

1 → 1

2 → 3

3 → 2

s1,3 :

1 → 3

2 → 2

3 → 1

s1,2 :

1 → 2

2 → 1

3 → 3


Gruppi Gruppo delle permutazioni

Tabella di composizione delle permutazioni

◦ E π+ π− s2,3 s1,3 s1,2

E E π+ π− s2,3 s1,3 s1,2

π+ π+ π− E s1,3 s1,2 s2,3

π− π− E π+ s1,2 s2,3 s1,3

s2,3 s2,3 s1,2 s1,3 E π− π+

s1,3 s1,3 s2,3 s1,2 π+ E π−

s1,2 s1,2 s1,3 s2,3 π− π+ E


Gruppi puntuali

Quali sono le trasformazioni rigide che lasciano inalterata una figurageometrica?

Quale struttura hanno queste trasformazioni con l’operazione dicomposizione?

Esempi:

1 Le traslazioni in un piano formano un gruppo con la composizione.

2 Il gruppo Cn delle rotazioni di ordine n (cioè di angoli multipli interi di2π/n).

Nel secondo caso un punto del piano rimane fisso: un gruppo ditrasformazioni con questa proprietà viene detto gruppo puntuale.


Gruppi puntuali Simmetrie del triangolo equilatero

GRUPPO DELLE ISOMETRIE DEL TRIANGOLO

EQUILATERO

Prendiamo in considerazione una semplice figura piana: un triangolo

equilatero.

Anzitutto, abbiamo l’identità E, ovviamente. . .



GRUPPO DELLE ISOMETRIE DEL TRIANGOLO

EQUILATERO

. . . la rotazione di un angolo 2π

3; e poi?



Le 6 trasformazioni rigide formano un gruppo con l’operazione dicomposizione (TABELLA!)?

C’è un’analogia con il gruppo delle funzioni biunivoche da {1, 2, 3} in sé(isomorfismo)?


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