a cura del gruppo che ha partecipato al progetto lauree scientifiche di matematica

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  • A cura del gruppo che ha partecipato al progetto Lauree Scientifiche di Matematica
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  • Molto spesso la matematica viene utilizzata per studiare e risolvere problemi che si presentano nella vita quotidiana. Oggi vogliamo dimostrare che questa affermazione pu essere pi vera di quanto si possa pensare In una scuola c una classe di 21 studenti non molto bravi a cui spesso e volentieri piace marinare la scuola, soprattutto se si tratta di una giornata particolarmente difficile. P.S.: Ogni riferimento a persone o cose puramente casuale ;).
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  • A maggio il professore di matematica di quella classe decide di fare un compito, ma sa perfettamente che se comunicasse in anticipo il giorno in cui intende fare il compito, la maggior parte della classe si assenterebbe. Ricordiamo che la classe non molto diligente perci, in un eventuale compito in classe, risulta difficile che gli alunni riescano a prendere un voto superiore a quello minimo. (Es. : se il voto minimo 2, chi consegner il compito in bianco avr 2)
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  • Cos il professore, che non solito fissare un compito a sorpresa, decide di usare un altro metodo Un giorno entra in classe e comunica agli studenti che il giorno seguente si terr il compito di matematica, ma precisa:
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  • Se venite tutti, il voto minimo 2; Se viene la maggioranza, essa partir da 5 e gli assenti avranno a priori 1 (poich come se attestassero la loro impreparazione); Se viene la minoranza, il compito si rimanda ed essa nel compito successivo partir da 5 e gli assenti da 1; Se sarete tutti assenti il compito si rimanda e il voto minimo sar 4 per tutti.
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  • A questo punto il professore esce soddisfatto e sorridente dalla classe, mentre tutti lo guardano con aria stupita. Cosa ha pensato il professore? Ma soprattutto Cosa far domani la classe? A proposito, non abbiamo detto che questo professore si chiamava John Nash
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  • Per studiare questa situazione, occorre conoscere qualche elemento della Teoria dei Giochi. Teoria dei Giochi: scienza matematica che studia situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli. In altre parole lo studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra diversi soggetti. In questa situazione, si tratta di un gioco non cooperativo a informazione completa. -Gioco non cooperativo (o competitivo): gioco in cui i giocatori non possono stipulare accordi vincolanti. -Gioco a informazione completa: gioco in cui ogni giocatore ha tutte le informazioni sulle strategie degli avversari e su tutti i possibili esiti di gioco.
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  • Quali azioni saranno scelte dai giocatori? Ogni giocatore cerca di massimizzare il proprio guadagno. In generale, lazione migliore per un giocatore dipende dallazione degli altri partecipanti. Il giocatore deve formulare una teoria sulle azioni degli altri giocatori.
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  • In realt non esiste una vera e propria teoria generale, un algoritmo che determini quale sia il risultato definito del gioco. Esiste tuttavia un concetto fondamentale, che permette di identificare quali insiemi di strategie risulteranno compatibili o stabili: il concetto di equilibrio di Nash. John Nash nel 1949 pens di fondere due concetti: quella di un punto fisso in un piano di coordinate cartesiane e quella della strategia pi razionale che un giocatore pu adottare in relazione alle strategie degli avversari, dimostrando che, in certi casi, esiste una situazione di equilibrio.
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  • Ipotizzando un gioco con due giocatori X e Y;si pu raggiungere lequilibrio di Nash tramite una coppia di strategie: la strategia scelta da X ottimale data la strategia scelta da Y la strategia scelta da Y ottimale data la strategia scelta da X In generale,in un equilibrio di Nash la strategia scelta da ogni giocatore la sua risposta ottimale alle strategie scelte dagli altri giocatori.
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  • In un gioco simultaneo il giocatore X non pu conoscere le mosse del giocatore Y e viceversa. Quindi entrambi formeranno delle ipotesi sullazione dellaltro, ricercando in base a ci la risposta migliore per se stessi. In un equilibrio di Nash le supposizioni dei due giocatori sono reciprocamente corrette. Una volta che le mosse degli avversari sono state rese visibili, i giocatori non sono incentivati a deviare unilateralmente dallequilibrio.
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  • Provando a sintetizzare i dati del problema, le regole che ha stabilito il professore si possono inserire in una tabella. - Le coordinate nelle varie caselle indicano i voti di partenza che avranno le due parti facendo una determinata scelta Minoranza Si PresentaNon si Presenta Maggioranza Si Presenta ( 2;2 )( 5;1 ) Non si Presenta ( 1;5 )*( 4;4 )* * In queste due caselle il compito viene rimandato
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  • Ora che abbiamo indicato le varie possibilit di gioco, iniziamo a valutare la scelta migliore per ogni singolo alunno, a prescindere se esso sia parte della maggioranza o della minoranza della classe. Se vado: inizier da 2 o da 5 Se non vado: inizier da 1 o da 4 E evidente come ogni alunno pensi che la scelta migliore sia andare a scuola, visto che tra le due quella che gli d pi possibilit di prendere un voto pi alto rispetto allaltra. Poich la classe profondamente disunita, ogni alunno indirizzato a scegliere il meglio per se stesso e quindi il giorno seguente tutta la classe andr a scuola e inizier il compito da 2. Questa situazione viene chiamata Equilibrio di Nash.
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  • Minoranza Si PresentaNon si Presenta Maggioranza Si Presenta ( 2;2 )( 5;1 ) Non si Presenta ( 1;5 )*( 4;4 )* CONSIDERAZIONI DA FARE Riguardiamo attentamente la tabella. Se ci soffermiamo a guardare le 4 caselle, la scelta migliore per tutta la classe consiste nel non andare, in modo da rinviare il compito e partire da 4, guadagnando probabilmente la sufficienza. Questo, sebbene sia un risultato globalmente migliorabile (ottimo paretiano) non una situazione di equilibrio. Infatti, anche se tutti gli studenti avessero deciso insieme di non andare, quando sono da soli (la sera prima del compito) si chiederanno quale sia la scelta migliore per loro e, una volta che si saranno resi conto che questa andare, si domanderanno chi che rispetter laccordo e chi far il furbo. Di conseguenza, ci ritroveremo di nuovo al solito dilemma: andare o non andare.
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  • Conclusione: A questo punto possiamo dire che il professore abbia creato un Gioco non cooperativo a informazione completa che gli d la sicurezza che gli alunni avrebbero fatto il compito il giorno dopo partendo da un voto non troppo alto. Per quanto riguarda gli alunnipossiamo indicare due buoni consigli: - rendere il Gioco cooperativo fissando dei vincoli alla scelta pi conveniente per il gruppo (es.: ragazzi, se qualcuno viene a scuola gliela faremo pagare :D); - mettersi a studiare matematica
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  • Written by: Sabrina Briante Luciano Errico Salvatore Improta Paolo Malgieri Federica Nogara Imma Ottaiano Giovanna Sauzullo Rosalia Tammaro
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  • Ringraziamenti: Pr.ssa Mariarita Tammaro Pr.ssa Isabella Sacco Pr.ssa Marina De Cesare

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