Laskennan matematiikka

Marko HuhtanenOulun Yliopisto

Laskenta: tehtava, joka edellyttaa runsaasti peruslaskutoimitustensuorittamista.

Matematiikka: algebra, analyysi, geometria,...

Laskennan matematiikka: matematiikka, joka on laskennanmotivoimaa.

Yhtaloryhman ratkaisemisen historia sisaltaa kaikki aiheeseenliittyvat vivahteet.

300-lukuYhtaloryhma

3x + 2y + z = 392x + 3y + z = 34x + 2y + 3z = 26

on kirjasta “Yhdeksan Lukua Matematiikan Taiteesta” joka onperaisin viimeistaankin 300-luvulta.

Menetelma jolla yhtaloryhma kirjassa esitetaan ratkaistavaksi, onGaussin eliminaatio.1

Carl Friedrich Gauss eli 1777-1855.

The Arnold principle: If a notion bears a personal name, then thisname is not the name of the inventor.

1“Gaussin eliminaatio” tarkoittaa nykyisin tuettua LU hajotelmaa.

1800-luku

John von Neumann: “By and large it is uniformly true inmathematics that there is a time lapse between a mathematicaldiscovery and the moment when it is useful.”

Yhtaloryhmia alettiin ratkomaan 1800 luvun alussa. Ensimmainensovellus oli astronominen.

Gauss oli merkittava siita syysta, etta han keksi pienimmanneliosumman menetelman.

Pienimman neliosumman menetelmalle loytyi nopeasti paljonkayttoa.

Ongelmien koko alkoi myos kasvaa.

Sittemmin kartografiassa 1800 luvun loppupuolella jouduttiinratkomaan pienimman neliosumman tehtavia.

Jopa 77 × 77 kokoisia yhtaloryhmia ratkottiin kynalla ja paperilla:

...These calculations – all in duplicate – were completed in twoyears and a half – an average of eight computers being employed...

“....In connection with so great a work successfully accomplished,it is but right to remark how much it was facilitated by the energyand talents of the chief computer, Mr. James O’Farrell.”

1900-1960

Kaupallinen lentokoneteollisuus alkoi synnyttamaan runsaastiyhtaloryhmia 1940 luvulta lahtien.

Ongelmien koko alkoi kasvaa kestamattomaksi.

Suurin ongelma joka viela ratkaistiin kasin (=mekaanisellalaskukoneella) oli kokoa 200 × 200.

Tyo veisi kolmessa vuorossa yli kaksi kuukautta. Olettaen etteiyhtakaan nappailyvirhetta tehda.

Nopeampi ratkaiseminen oli mahdollista matematiikan avulla, mm.permutoimalla yhtalot sopivasti ja kayttamalla hyvaksi harvuutta.

(Marchant Model 10ACT, valmistus: USA 1930-1940.)

40-luvun puolivalissa elektronisia tietokoneita alettiinkehittelemaan.

50-luvun puolivalissa kaupallisia tietokoneita alkoi tullamarkkinoille.

Tosin 200 × 200 kokoinen matriisi ei olisi mahtunut niiden muistiin.

Ensimmainen moderni numeerisen analyysin julkaisu: J.vonNeumann and H. Goldstine: Numerical inverting of matricesof high order, Bull. Amer. Math. Soc., pp. 1021–1099, (1947).

Gaussin eliminaatio saatettiin matemaattisesti sellaiseen muotoon,etta se toimi tietokoneissa numeerisesti luotettavasti.

Matriisianalyysi tuli keskeiseksi.

1960-1960-luvulla Suomessakin oli yliopistoissa kaupallisia tietokoneitamm. TKK:lla (Elliott 803 A kayttoon 1961) ja Oulun yliopistossa(Elliott 803 B kayttoon 1965).

Nykypaivan supertietokoneet selviavat 106 × 106 kokoisistatehtavista noin vuorokaudessa.

Jos ei ole supertietokonetta, rinnakkaista laskenta GPU:lla. (Allakuvassa Tesla C1060, nVidialta!)

Pelkka raaka laskentavoima ei riita. Realistiset simulaatiot 3D:ssavaativat helposti jopa 108 muuttujaa.

Taman kokoisten laskennallisten ongelmien ratkaiseminen onmahdollista vain matematiikan avulla.

Ylipaansa, data-massiiviset ongelmat lisaantyvat. 90% tamanpaivan datasta on syntynyt viimeisen kahden vuoden aikana.

Laskennassa (ja datan kasittelyssa) tarvittavaa matematiikkaa eiole helppo ennakoida.

On suositeltavaa suhtautua myotamielisesti myos sellaiseenmatematiikkaan, joka perinteisesti on mielletty olevan heikostiyhteydessa laskentaan.