La fonction

RACINE CARRÉE

Définition La racine carrée d’un nombre x détermine le nombre dont le carré donne x .

Exemples : car 3 x 3 = 9 ou (3)2 = 9

On note la racine carrée de x . x

39

car 7 x 7 = 49 ou (7)2 = 49 749

Propriétés :

baba 155353: Exemple

2

1

aa

b

a

b

a

5

3

5

3: Exemple

aa 2 5255: 2 Exemple

Attention !

- 5 = Ø

Rationalisation du dénominateur

Lorsqu’une fraction comporte un nombre irrationnel au

dénominateur, la rationalisation consiste à le rendre rationnel.

Exemple #1 : 1

2 Rationnaliser .

1

2 =

1

2 x

2

2 =

2

( 2 )2 =

2

2

Irrationnel Rationnel

Exemple #2 : Rationnaliser . 6

4 + 7

6

4 + 7 =

6

4 + 7

x 4 – 7

4 – 7

6 x ( 4 – 7 )

( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 ) =

24 – 6 7

16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )2 =

24 – 6 7

16 – 7 =

24 – 6 7

9 =

8 – 2 7

3 =

Irrationnel

Rationnel

Exemple #3 : Rationnaliser . 10

11 – 7

10

11 – 7 =

10

11 – 7

x 11 + 7

11 + 7

10 x ( 11 + 7 )

( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 ) =

10 11 + 10 7

( 11 )2 + 11 7 – 11 7 – ( 7 )2 =

Irrationnel

10 11 + 10 7

( 11 )2 – ( 7 )2 =

10 11 + 10 7

11 – 7 =

10 11 + 10 7

4 =

5 11 + 5 7

2 =

Rationnel

Équations et graphique

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (h, k).

Exemple :

a b h k

a = - 2

b = 3 h = 1

k = 4

f(x) = x (forme générale de BASE)

f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = a x – h + k

f(x) = -2 3 ( x – 1 ) + 4

f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES)

1

1

Équations et graphique

Sommet (h, k)

(h, k) = sommet

f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

a : + b : + a : + b : –

a : – b : – a : – b : +

Forme canonique <---> générale

Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique.

f(x) = - 3 4x + 8 – 2

f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2

f(x) = - 3 4 x + 2 – 2

f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2

f(x) = -6 x + 2 – 2

Sommet (-2, -2)

1

1

Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique.

f(x) = 12 – 4x + 6

f(x) = - 4x + 12 + 6

f(x) = 4 - (x – 3) + 6

f(x) = - 4 (x – 3) + 6

f(x) = 2 - (x – 3) + 6

Sommet (3, 6)

1

1

Exemple #3 : Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique.

f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3

f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3

f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3

Sommet (2, 3)

1

1

f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3

Recherche de l’équation

Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.

S(8, -5)

Esquisse du graphique

2

2 P(-1, 7)

Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction.

S(8, -5)

Esquisse du graphique

2

2 P(-1, 7)

7 = a - (-1 – 8 ) – 5

f(x) = a x – h + k

f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES)

7 = a - (-9) – 5

7 = a 9 – 5

7 = a (3) – 5

12 = 3a

4 = a

Réponse : f(x) = 4 - ( x – 8 ) – 5

a : + b : –

Résolutions d’équations

Exemple #1 :

Réponse : x { 7 }

Esquisse du graphique Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4 .

0 = 2 x – 3 – 4

4 = 2 x – 3

2 = x – 3

(2)2 = ( x – 3 )2

4 = x – 3

7 = x 1

1

Sommet (3, -4)

Il faut que x – 3 ≥ 0

Alors que x ≥ 3

VALIDATON

0 = 2 (7) – 3 – 4

0 = 2 4 – 4

0 = 4 – 4

0 = 0

Exemple #2 :

Réponse : x { - 2 }

Résoudre 4 5 – 2x = 12 .

5 – 2x = 3

x = - 2

Il faut que 5 – 2x ≥ 0

Alors que x ≤ 5/2 ( 5 – 2x )2 = (3)2

5 – 2x = 9

- 2x = 4 Esquisse du graphique

1

1

Sommet (5/2, 0)

- 2x + 5 = 3

- 2 (x – 5/2) = 3

y = 3

VALIDATON

4 5 – 2(-2) = 12

4 5 – -4 = 12

4 9 = 12

4 (3) = 12

12 = 12

Exemple #3 :

Réponse : x { }

Résoudre 2 x + 4 = 0 .

2 x = - 4 Il faut que x ≥ 0

( x )2 = (- 2)2

x = 4 Esquisse du graphique

1

1

Sommet (0, 4)

x = - 2

Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !

À rejeter

VALIDATON

2 4 + 4 = 0

2 (2) + 4 = 0

4 + 4 = 0

8 0

Résolutions d’inéquations

Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x

Esquisse du graphique

1

1

Sommet (-1, 0)

Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x

x + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥ 0

Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2

x + 1 = 4x2

0 = 4x2 – x – 1

f(x) = g(x)

Esquisse du graphique

1

1

Sommet (-1, 0) x = -b b2 – 4ac

2a

x = -1 (-1)2 – 4(4)(-1)

2(4)

x = -3 17

8

x1 ≈ -0,39 et x2 ≈ 0,64

Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x

x + 1 = 2x

-0,39 ≈ x1

Il faut que x + 1 ≥ 0

Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2

x + 1 = 4x2

0 = 4x2 – x – 1

f(x) = g(x)

0,64 ≈ x2

À rejeter

Réponse : x ] 0,64, + ∞

Esquisse du graphique

1

1

Sommet (-1, 0)

VALIDATON de x1

(-0,39) + 1 = 2(-0,39)

0,61 = -0,78

0,78 -0,78

VALIDATON de x2

(0,64) + 1 = 2(0,64)

1,64 = 1,28

1,28 = 1,28

Exemple #2 : Résoudre f(x) ≥ g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x

Esquisse du graphique

1

1

Sommet (-1, 0)

Réponse : x [ -1 ; 0,64 ]

x + 1 = 2x

-0,39 ≈ x1

Il faut que x + 1 ≥ 0

Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2

x + 1 = 4x2

0 = 4x2 – x – 1

f(x) = g(x)

0,64 ≈ x2

À rejeter