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La Cristalografía: una visión globalProducción

y purificación Análisis de datoshklI

Φ(hkl) ?

El problema de la fase

Constr.modelo

Mapa inicial

Modelo final

DT

Refinam.modelo

MRMIRMAD

DifracciónCristalización

Aspectos Básicos de la Difracción de Rayos X

Juan A. HermosoGCMBE- Instituto “Rocasolano”. CSIC. Madrid.

la difracción de rayos X (I)capítulo 3:- HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA

- El espectro electromagnético- Buscando la λ adecuada- Buscando la radiación adecuada- Ejemplo de aplicación- La interacción de la radiación con los estados de la materia

- INTERFERENCIA DE ONDAS- Interferencia de 2 ondas- Experimentos con rejillas.- Ondas y su suma- Ondas contra átomos- El factor de scattering

-UN EXPERIMENTO (CASERO) DE DIFRACCIÓN

- MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL-Construcción del espacio recíproco- Relaciones entre espacio real y espacio recíproco.

-¿CÓMO SE EXPLICA TODO ESTO?- Descripción de Bragg- Descripción de Laue- Equivalencia entre Bragg y Laue- Interpretación de la ley de Bragg según Ewald- Luz sobre el patrón de difracción por fín

- EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA- La fase, la llave que abre los 2 mundos.- Los problemas continúan, el problema de la fase.

la difracción de rayos X (I)capítulo 3:- HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA

- El espectro electromagnético- Buscando la λ adecuada- Buscando la radiación adecuada- Ejemplo de aplicación- La interacción de la radiación con los estados de la materia

- INTERFERENCIA DE ONDAS- Interferencia de 2 ondas- Experimentos con rejillas- Ondas contra átomos- El factor de scattering





HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN- MATERIA

¿Por qué es importante la longitud de onda?

Luz visible Rayos-X

Para penetrar en la muestra se necesita una longitud de onda similar o menor al tamaño de la muestra.

Muestra Muestra

BUSCANDO LA λ ADECUADA


ESRFILL

ILL (Beam-Line DB21)

λ = 7.536 Å∆φ = 0.15ºt (exp) = 30 min/imaget (total)= 6 semanasResolución= 18 Åmaterial parcialmente desordenado

ESRF

λ = 1.0 Å∆φ = 1.0 ºt (exp) = 5 min/imaget (total)= 120 minResolución= 2.8 Åmaterial muy ordenado

BUSCANDO LA RADIACIÓN ADECUADA

Según la longitud de onda y de las relaciones de fase de esta radiación dispersada, nos podemos referir a procesos elásticos, o inelásticos (dispersión Compton), dependiendo de que no cambie, o cambie, la longitud de onda, y de coherencia o incoherencia según que las relaciones de fase se mantengan en el tiempo y en el espacio, o no.

Los intercambios de energía y momento que se producen pueden incluso dar lugar a la expulsión de un electrón fuera del átomo, seguido de la ocupación del nivel de este electrón por electrones de niveles superiores. Todos estos tipos de interacciones dan lugar a diferentes procesos en el material como pueden ser:

refracción absorción fluorescencia dispersión Rayleigh dispersión Compton polarización difracción reflexión ...


La radiación electromagnética puede interaccionar consigo y con la materia, dando lugar a multitud de fenómenos como la reflexión, la refracción, la dispersión, la polarización de la luz ...

Reflexión y refracción de la luz en la superficie de unión entre un vidrio con índice de refracción 1.5 y el aire con índice de refracción 1.0

Refracción de la luz a su paso por un prisma de vidrio. Dependiendo de la longitud de onda (color) del haz que incide desde la izquierda, el ángulo de refracción varía, es decir, se dispersa

Polarización de la luz a su paso por un polarizador. Dependiendo del giro del polarizador, se filtra uno de los componentes de la luz no polarizada que incide desde la derecha de la imagen

Pues bien, la difracción (de los rayos X) es el fenómeno físico a través del cual se manifiesta lainteracción fundamental de los rayos X con los cristales (materia ordenada)

DISPERSIÓN Y DIFRACCIÓN

El índice de refracción de todos los materiales, con relación a los rayos X, es próximo a la unidad, por lo que el fenómeno de la refracción de rayos X es despreciable, y provoca que no se puedan fabricar lentes para ellos. Por lo tanto, el proceso de formación de imágenes, como en el caso de la luz visible, no se puede llevar a cabo con los rayos X.

La absorción se produce por la atenuación del haz transmitido al perder energía por todo tipo de interacciones, fundamentalmente las térmicas, la fluorescencia, las dispersiones inelásticas, la formación de radicales libres y otras modificaciones químicas (que pueden llegar a dar lugar a la degradación del material). La disminución de intensidad sigue un modelo exponencial con la distancia atravesada del material y un coeficiente (coeficiente de absorción lineal) que depende de la densidad y composición del material.

Los procesos de fluorescencia, en los que un electrón es arrancado de un nivel energético del átomo, suministran información sobre la composición química del material. Debido a la expulsión de electrones de los diferentes niveles, se producen discontinuidades bruscas en la absorción contínua de la radiación por el material, lo que permite análisis local alrededor de un átomo (EXAFS).

En el efecto Compton, la interacción es inelástica y la radiación sale con menor energía. Este fenómeno siempre está presente en la interacción de los rayos X con la materia, pero por su baja intensidad, si incoherencia y por afectar a todas las direcciones, contribuye sólo a la radiación de fondo producida en la interacción.

Por dispersión nos vamos a referir aquí a los cambios de dirección que sufre la radiación incidente, y NO al caso de la separación de radiación en componentes según la longitud de onda.


DISPERSIÓN POR DISTINTOS MEDIOS

ORDEN


la difracción de rayos x (I)capítulo 3:- HÁGASE LA LUZ: INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA

- El espectro electromagnético- Buscando la λ adecuada- Buscando la radiación adecuada- La interacción de la radiación con los estados de la materia






La interferencia entre ondas refuerza, disminuye o elimina la amplitud de la onda resultante.

La interferencia cooperativa,que se da especialmente en los cristales como consecuencia de la repetición de los centros dispersores, se llama difracción.

CONCEPTO DE DIFRACCIÓN

Direct beamResultant (A)

EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (I)

A medida que aumenta el ángulo de dispersión aumenta el desfase entre las ondas.

La intensidad resultante depende del ángulo de dispersión

Difracción por una única rendija

Intensity

(C)

(C)

(B)

(B)

(A)

Intensity

EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (II)

Difracción por 2 rendijas

La intensidad resultante depende del ángulo de dispersión.

Para un ángulo de dispersión hay interferencia(constructiva o destructiva) entre las ondas derendijas adyacentes.

El mapeado de la envoltura es inversamente proporcional a la distancia entre rendijas.

EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (III)

Ordenes de Difracción

Atlas of Optical Transforms (G. Harburn, C.A. Taylor, T.R. Welberry; Ed. G. Bell and Sons, London 1975)

EXPERIMENTOS CON RENDIJAS (IV)

molécula rodio - ftalocianina

Dependiendo del tamaño del diagrama de difracción que usemos (resolución), es decir, del número de máximos empleados para formar la imagen, ésta es más o menos reconocible.

Diagramas de difracción

Imágenes ópticas obtenidas

•La Estructura molecular y la ordenación de las moléculas en la celdilla unidad determina las intensidades de los haces difractados.

•Por tanto debemos encontrar una relación entre las Intensidades de los haces difractados y la estructura cristalina. De hecho esta relación es entre los datos de difracción y la distribución de la densidad electrónica en el cristal, ya que los rayos X son dispersados exclusivamente por los electrones en los átomos y no por los núcleos.

•La dispersión (Scattering) es una interacción entre los rayos X como ondas electromagnéticas y los electrones. Si una onda electromagnética incide sobre un sistema de electrones, los componentes eléctricos y magnéticos de la onda ejercen una fuerza sobre los electrones. Esto causa que los electrones oscilen con la misma frecuencia que la onda incidente. Los electrones oscilando actuan como dispersores de radiación y emiten radiación de la misma frecuencia que la radiación incidente.

•Los electrones absorben la energía de la onda incidente y después la emiten: Como hay una atracción entre los electrones y el núcleo atómico, existe una cierta fuerza de restauración de los electrones de un átomo. Sin embargo en la difracción de rayos X, suponemos que los electrones en un átomo pueden entenderse como si fueran electrones libres.

Scattering Preámbulo:

•La Onda dispersada por el cristal puede describirse como la suma del enorme número de ondas dispersadas por cada uno de los electrones del cristal!!!!!

•Si tenemos en cuenta que una única celdilla unidad de un cristal de proteína contiene aproximadamente 10.000 o más electrones y que hay muchísimas celdillas unidad en un cristal…..y que todas esas ondas deben añadirse…..

•Esta claro que necesitamos una forma conveniente de manejar y sumar ondas.

Presentaremos este método inicialmente y veremos cómo se simplifica el proceso. Posteriormente veremos cómo derivar las expresiones para cada onda dispersada por el cristal con la distribución de la densidad electrónica en el cristal y en su celdilla unidad. El siguiente paso será invertir esta expresión y derivar la distribución de la densidad electrónica como una función de la información de scattering.

Scattering Preámbulo:

Una onda es un fenómeno ondulatorio, corresponde a la propagación en el espacio y en el tiempo de una perturbación oscilatoria, es decir, un fenómeno regularmente repetido.

Esta perturbación se propaga a una cierta velocidad (v) y se modela satisfaciendo la llamada ecuación de ondas, escalar o vectorial, dependiendo de la naturaleza de la perturbación. Las soluciones de esta ecuación son, en general, combinaciones de términos trigonométricos que vienen caracterizados, cada uno, por una amplitud (A), que mide el valor extremo (máximo o mínimo) respecto de una situación de

equilibrio de la perturbación, y una fase Φ.

NOCIONES DE ONDAS

Una onda puede describirse como una función coseno:

E es la fuerza del campo electromagnético.

λ es la longitud de onda de la radiación y ν = c/ λ la frecuencia.

c es la velocidad de la luz.

A es la amplitud de la onda.

E (t=0; z) = A cos 2πzλ

NOCIONES DE ONDAS

Al cabo de un tiempo t, la onda recorre t x c = t x λ x ν

Por tanto al tiempo t, la fuerza del campo en la posición z es igual a lo que era al tiempo t = 0 y posición z – t x λ x ν

Para z = 0 E (t; z= 0) = A cos 2πν t = A cos ω t

ω

NOCIONES DE ONDAS

E (t=0; z) = A cos 2πzλ

Consideremos dos ondas con la misma λ y la misma amplitud pero desplazadas una distancia Z (mayúscula) con respecto a la onda original.

Eorig (t; z= 0) = A cos ω t

Enew (t; z= 0) = A cos (ω t + α)

Z corresponde con un salto de fase de (Z/ λ) x 2π = α

• Cos (α +β) = cosα cosβ - sinα sinβ

• sin β = cos (β +90)

NOCIONES DE ONDAS

¿¿Cuándo estarían en fase las dos ondas???

Eorig (t; z= 0) = A cos ω t

Enew (t; z= 0) = A cos (ω t + α) =

A cos (ω t + α) puede visualizarse como compuesto por dos ondas:

• Onda 1 de amplitud A cos α y ángulo de fase 0º.

• Onda 2 de amplitud A sin α y ángulo de fase 90º

La Onda 1 se llama parte real y la onda 2 la parte imaginaria de la onda total.

Para sumar diferentes ondas con distintos ángulos de fase:•Sus partes reales pueden sumarse juntas porque todas ellas tienen ángulo de fase 0º. •Sus partes imaginarias, todas ellas con ángulo de fase 90º, pueden sumarse juntas. .

NOCIONES DE ONDAS

Diagrama de Argand

NOCIONES DE ONDAS

La multiplicación de un vector C en el diagrama de Argand por i significa rotar C 90º en sentido antihorario.

i = √-1

A cos α + i A sin α = Α exp [iα]

Expresión matemática para la onda entera:

Conclusión:

Hemos simplificado el problema de sumar ondas con la misma frecuencia (o λ) aplicando el siguiente procedimiento:

1. Representar cada onda como un vector en un sistema axial bidimensional. La long. de cada vector es igual a la amplitud de la onda y el ángulo que forma con el eje real (horizontal) es la fase respecto a la onda de referencia.

2. El vector que representa la onda total de un sistema se obtiene de la suma de los vectores de cada una de las ondas individuales.

NOCIONES DE ONDAS

NOCIONES DE ONDAS

Algunas propiedades de las funciones exponenciales:

A cos α + i A sin α = Α exp [iα]

Cuando hay varios centros dispersorescomienzan las interferencias ...

Un electrón aislado en el seno de un frente de ondas X se convierte en un foco emisor de rayos X de la misma longitud de onda ...

ONDAS CONTRA PARTICULAS: DISPERSIÓN

DISPERSIÓN POR DOS ELECTRONES

La diferencia del camino entre los dos haces(p + q) depende de:

1) La posición del electrón e2 con respecto al e1.

2) La dirección de dispersión.

p = λ . r. so

q = - λ . r. s

P + q = λ . r. (so – s)

La diferencia del camino:

So y S son los vectores de los haces incidentes y dispersados (y magnitud 1/ λ)

El signo – es porque la proyección de r sobreS tiene sentido opuesto a S

La onda puede imaginarse como reflejándose en un plano tal que θ es el ángulo de reflexión y|S| = 2 sin θ / λ

S es perpendicular a este plano!


La onda que pasa por el electrón e2 está retrasada en fase (comparada con la onda en e1):

-2πr. (so – s) λ / λ = 2πr. S

S = s – socon

P + q = λ . r. (so – s)

Recuerda:Z corresponde con un salto de fase de (Z/ λ) x 2π = α

El producto de dos vectores a y b


Los vectores 1 y 2 tienen igual amplitud y un desfase de 2π r. S (para la onda 2 respecto a la 1 ). El vector T representa la suma de las dos ondas.

T = 1 + 2 = 1 + 1 exp [2π i r. S]


Si utilizamos el Diagrama de Argand para sumar las ondas 1 y 2:

-2πr. (so – s) λ / λ = 2πr. S

P + q = λ . r. (so – s)

El desfase (origen en e1):

Respecto a la onda 0, la onda 1 tiene una fase de 2π R. S y la onda 2 tiene una fase de 2π (r+R). S. El vectorT que representa la suma de las dos ondas será:


-2πr. (so – s) λ / λ = 2πr. S

p + q = λ . r. (so – s)

El desfase (origen en e1):

Si ahora cambiamos el origen a un punto arbitrario O

Conclusión:

• Un cambio de origen de –R provoca un incremento de todos los ángulos de fase de 2π R. S

• La amplitud y la Intensidad (que es proporcional al cuadrado de la amplitud) de la onda T no cambian.


DISPERSIÓN POR UN ÁTOMO

La dispersión de un haz de rayos X por la nube de electrones de un átomo depende de:

- El número de electrones del átomo.

- La posición de los electrones en la nube.

Queremos representar el scattering de una átomo con el origen del sistema en el núcleo (ya que el scattering de un átomo localizado en cualquier parte sería el mismo pero con un cambio de fase, como ya vimos antes…

Como la velocidad de los electrones en el átomo es mucho mayor que la variación del vector eléctrico de la onda, la radiación sólo "ve" una nube electrónica media, que viene caracterizada por la densidad electrónica de carga ρ(r).


La parte imaginaria de cada vector de scattering está compensada por la parte imaginaria de su centrosimétrico que tiene igual long. Pero ángulo de fase de signo opuesto….

El scattering de un átomo siempre es real!!!

Si suponemos que la nube es centrosimétrica alrededor del origen:

ρ (r) = ρ (-r)


El scattering de un átomo no depende deLa orientación del átomo respecto a la dirección de S.

El factor de scattering atómico será:

Si descomponemos la suma en las dos mitades del espacio:

f depende de la longitud de S:

|S| = 2 sinθ / λ

Recuerda que para dos electrones vimos que

|S| = 2 sinθ / λ

EL FACTOR DE SCATTERING ATÓMICO

f es función de 2 sinθ / λ

Factor de scattering para el átomo de carbono

Llamamos factor atómico de dispersión ("scattering") a la razón entre la amplitud dispersada por un átomo y la de un electrón aislado.

el factor atómico de dispersión viene a representar un número de electrones, el número efectivo de electrones, en un tipo concreto de átomo, que dispersan en fase en esa dirección

La hipótesis de isotropía, es decir, que este factor atómico no depende de la dirección de S, no resulta muy adecuada para momentos de transición en los que hay involucrados orbitales d ó f, ni para los electrones de valencia.


Dispersión de la luz por una partícula de tamaño pequeño frente a la longitud de onda

Dispersión de la luz por una partícula de tamaño grande frente a la longitud de onda

Factores atómicos de dispersión calculados para átomos y iones con diferente número de electrones.

El único electrón del hidrógeno (H) apenas dispersa en comparación con los otros elementos, sobre todo a medida que aumenta θ. El hidrógeno es, pues, dificil de "ver".

sin θ/λ

Independiente de la λ

sin θ/λ = 0

f = Z


Factores atómicos de dispersión calculados para iones con el mismo número de electrones que el Ne. Se puede observar que el O-- tiene la nube electrónica más difusa que el Si 4+, y por tanto, su decaimiento es más rápido.

EL FACTOR DE TEMPERATURA

Debido a los movimientos de vibración térmica de losátomos dentro del material, el volumen efectivo delátomo se amplia, lo cual da lugar a una disminuciónexponencial del poder de dispersión y estácaracterizado por el coeficiente B (inicialmenteisotrópico) del factor exponencial de Debye-Waller(1913, 1923):

F(S) exp [ -Biso sen2θ / λ2 ]

Con

B = 8π2<u2>

siendo <u2> la amplitud cuadrática media de vibracióntérmica según la dirección de S. En el modeloisotrópico de vibración, se considera que es igual entodas direcciones.


•En el modelo ISOTRÓPICO de vibración, B suele valer entre 3 y 6 Angstroms2 en cristales de compuestos orgánicos bien formados, para un cristal de proteína suele ser alrededor de 20-30. ¿por qué?

•El factor de temperatura puede describir también unaagitación térmica ANISOTRÓPICA. En este caso el factorde temperatura viene definido matemáticamente por untensor que describe un elipsoide llamado ELIPSOIDE DEVIBRACIÓN.

Estos parámetros térmicos pueden no reflejar únicamente lavibración, pues se ven afectados por otros factores comodesorden estático, absorción, factores de dispersión incorrectos,etc.

En determinación de estructura de proteínasse suele trabajar con factores ISOTRÓPICOS para los átomos individuales. ¿Por qué?

Resolución de los datos experimentales.

Resolución (Å) Observaciones/parámetro (x,y,z,Biso)

3.5 0.53.0 0.82.5 1.42.0 2.81.5 6.2


Para una proteína con 2000 átomos en la unidadasimétrica tendriamos 8000 parámetros desconocidos.Para obtener uns estructura fiable, elnúmero de datosmedidos (reflexiones) debe exceder el número deparámetros y esto no ocurre casi nunca si introducimosel B anisotrópico.

DISPERSIÓN POR UNA CELDILLA

Supongamos una celdilla unitaria con n átomos en posiciones rj (j=1, 2, 3,…n)

Si consideramos como origen el origen de la celdilla:

Si consideramos cada núcleo como su propio origen, los átomos difractarían siguiendo el factor de scattering propio

DISPERSIÓN POR UNA CELDILLA

n es el número de átomos

F(S) se denomina FACTOR DE ESTRUCTURA por que depende de la distribución (estructura) de los átomos en la celdilla unidad

El scattering total de la celdilla:

DISPERSIÓN POR UN CRISTAL

El scattering total del cristal:

El cristal tiene vectores de translación a, b y cy contiene n1 celdillas en la dirección a, n2 en la dirección b y n3 en la dirección c

Si tomamos O como origen. Entonces para la celdilla unitaria con su propio origen en la posición t.a + u.b + v.c ( con t, u, v números enteros) el scattering es:


Dado el enorme número de celdillas en el cristal y que cada vector de scattering apuntan a diferentes orientaciones; el scattering en general del cristal es nulo salvo en el caso particular de que a . S sea un entero h

≠ 0 si y sólo si a.S es un número entero h

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3t = 4t = 5

t = 6

t = 7

2π a.S

Diagrama de Argand

Sólo si a.S es un número entero entonces todos los vectores apuntan hacia la derecha y la suma es apreciable.


Conclusión:

• Un cristal no dispersa rayos X salvo que:a. S = hb. S = kc. S = lSon las llamadas ecuaciones de Laue

La amplitud de la onda total dispersada esproporcional al factor de estructura F(S)y el número de celdillas en el cristal.

Scattering RESUMEN

El factor de scattering atómico

f depende de la longitud de S:

|S| = 2 sinθ / λ

el factor atómico de dispersión f viene a representar un número de electrones, el número efectivo de electrones, en un tipo concreto de átomo, que dispersan en fase en esa dirección

F(S) se denomina FACTOR DE ESTRUCTURA por que depende de la distribución (estructura) de los átomos en la celdilla unidad

El scattering de una celdilla:

el scattering de una celdilla depende del número de átomos y de su disposición dentro de ella.

El scattering de un cristal:La amplitud de la onda total dispersada es proporcional al factor de estructura F(S) y el número de celdillas en el cristal.

a. S = h b. S = k c. S = l ECUACIONES DE LAUE

La λ debe ser proporcional al tamaño del objeto.

La distancia entre puntos es inversamenteproporcional a la distancia entre nudos de la red.

A medida que nos alejamos del centro ladifracción es más débil.

La geometría de los puntos de difracción estárelacionada con la geometría de la red.

La resultante de la difracción cooperativa se denominaFactor de Estructura. Es una onda y se expresa como una amplitud y una fase.

Conceptos Fundamentales

EXPERIMENTO (casero) DE DIFRACCIÓN

Espacio real Espacio recíproco

a

b*

a*b

γ

γ∗

K/b K/a

MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL

Construcción del espacio recíproco

La red recíproca

σhkl = ha* + kb* + lc*

Vector de posición de cualquier punto recíproco

Relaciones entre el espacio real y el recíproco

MÁS ALLÁ DEL ESPACIO REAL

Ley de Bragg

2 d sen θ = n λ

a

bc

INTERPRETACIÓN DE BRAGG

Bragg: Las ondas difractadas se comportan como si se reflejaran en planos imaginarios que pasan a traves de los puntos de la red cristalina

INTERPRETACION DE BRAGG

Ley de Bragg

2 d sen θ = n λ

¿Relación entre θ

y resolución?

Densidad electrónica de una macromolécula calculada enuna zona de la celdilla elemental, a medida que el límite deresolución se ajusta lentamente de 0.5 a 6.0 Å.

Para este cálculo las fases están perfectamentedeterminadas, e igualmente el factor de acuerdo esmáximo (R = 0,0%).Se observa que las cadenas lateralesson prácticamente reconocibles hasta una resolución de 3.5Å.

INTERPRETACION DE BRAGG

Modelo de Ewald

INTERPRETANDO LA LEY DE BRAGG

θA O

P

1/d

Ley de Bragg

2 d sen θ = n λλ /2

sen θ =d

=2 / λ1/d

1/λ

2/λ

-El cristal puede situarse en el centro del círculo de radio 1/λ

-El punto O es el origen de la red recíproca del cristal.

-Cualquier punto de la red recíproca sobre la circunferencia satisface la ley de Bragg

-La difracción de rayos X sólo puede ocurrir cuando un punto de la red recíproca se encuentra sobre la esfera, llamada ESFERA DE REFLEXION o ESFERA DE EWALD.

Red Recíproca y Modelo de Ewald

LUZ SOBRE LA DIFRACCIÓN, AL FIN

Método oscilatorio

Red Recíproca y Modelo de Ewald

LUZ SOBRE LA DIFRACCIÓN, AL FIN

LA INTENSIDAD DIFRACTADA

•K es el factor de escala que permite poner los factores de estructura exp. a la escala absoluta. Se puede estimar mediante el plot de Wilson.

•A es un factor de absorción, que igualmente puede estimarse conociendo la composición del cristal y sus dimensiones.

•L es el denominado factor de Lorentz, que es un factor responsable de corregir la distinta velocidad angular por la que pasan los puntos recíprocos por la superficie de la esfera de Ewald) y para geometrías con goniómetros de cuatro círculos es un factor tan sencillo como 1/sen 2θ, en donde θ representa el ángulo de Bragg de la reflexión (punto recíproco).

•p es el factor de polarización, que corrige el efecto de la polarización del haz incidente sobre el cristal y viene dado por la expresión (1+cos22θ)/2, en donde igualmente θ representa el ángulo de Bragg de la reflexión (punto recíproco).


I rel representa la intensidad promedio (en escala relativa) en un determinado intervalo de θ

fj es la suma al cuadrado de los factores atómicos de dispersión en esa zona angular.

El plot de Wilson

EL valor de la ordenada en el origen es el logaritmo neperiano de C, relacionado con el factor de escala K ( = 1 / √C), que lleva los factores de estructura experimentales a una escala próxima a la absoluta (a la de los factores de estructura teóricos), es decir a la de aquellos que se podrían calcular con el modelo estructural.

La pendiente de la recta representa el valor de -2B, en donde B es un factor de vibración térmico, isotrópico, general para todos los átomos de la estructura







- EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA- La intensidad difractada- La fase, la llave que abre los 2 mundos.- Los problemas continúan, el problema de la fase.

EN BUSCA DE LA FASE PERDIDA

Espacio real Espacio recíprocoEspacio real: cristal Espacio recíproco: espectro

TF

Siempre

???

ρ (x y z) = 1/V Σ |F(h k l)| exp {-2 π i (hx+ky+lz)+ i Φ (h k l)}

IMPORTANCIA DE LA FASES….

• La película muestra el efecto (casi imperceptible) de calcular un mapa de densidad electrónica con amplitudes (intensidades de de difracción) erróneas, es decir, muy mal medidas.

Las imágenes de esta película representan el cambio gradual de las amplitudes (desde valores razonables de desacuerdo con las teóricas, R=10%, hasta valores aleatorios, R=75%).Es interesante darse cuenta de que si las fases son correctas (tal como es el caso) el mapa apenas cambia hasta llegar a valores de R=30% y que es todavía interpretable hasta valores próximos a R=50%.

Efecto de las amplitudes de difracción

La película de la derecha muestra el efecto del cálculo de un mapa de densidad electrónica con fases mal estimadas. La "figura de mérito" de las fases (el coseno del error de la fase) se muestra como "m". Obsérvese la fuerte dependencia existente entre la bondad de las fases y la apariencia del mapa para poder reconocer la localización de los átomos.

Efecto de las fases

LA FUNCIÓN DE PATTERSON

Históricamente hablando, la primera solución al problema de las fasesvino de la mano de Arthur Lindo Patterson.

Basándose en la imposibilidad de resolver de un modo directo la función de la densidad electrónica (Fórmula 1, más arriba, o más abajo), y tras su aprendizaje sobre convolución de transformadas de Fourier con el matemático estadounidense Norbert Wiener, en 1934 Patterson introdujo una nueva función P(uvw) (Fórmula 4, más abajo). Esta nueva función, que define en un nuevo espacio (espacio de Patterson), puede considerarse sin exageración como el desarrollo singular más importante para la Cristalografía, tras el propio descubrimiento de los rayos X por Röntgen en 1895.

Su elegante fórmula, conocida como la función de Patterson (Fórmula 4, más abajo), supone una simplificación de la información contenida en la función de densidad electrónica, ya que suprime la información de las fases, y los módulos de los factores de estructura se sustituyen por sus cuadrados. Es, pues, una función que puede calcularse de inmediato a partir de la información experimental de que se dispone (las intensidades, que a su vez se derivan de los módulos de los factores de estructura).

ρ(xyz) = (1/V) ΣΣΣ [F(hkl)] cos 2π (hx + ky + lz - Φ(hkl)) Función de densidad electrónica

P(uvw) = (1/V) ΣΣΣ [F(hkl)]2 cos 2π (hu + kv + lw)) Función de Patterson

Arthur L. Patterson(1902-1966)

http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/archivos_07/patterson.pdf�

http://es.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener�



Cristal Cristal Patterson

Función de Patterson

Función de densidad elec.

LA FUNCIÓN DE PATTERSON

Alta densidad

• El número de máximos es elevado:

N átomos N2 máximos (N2-N) vectores

Cristal (3 átomos) Patterson (32-3) =6 vectores

• Los máximos son anchos, hay solapamiento:

Cristal Patterson

LA FUNCIÓN DE PATTERSON-PROPIEDADES

• La altura de los máximos es proporcional al producto de los números atómicos implicados:

Altura de los máximos

Zi Zj facilidad para detectar átomos pesados

LA FUNCIÓN DE PATTERSONPROPIEDADES

La simplificación es consecuencia de la pérdida de información que ocurre al pasar de:

(F, φ) F2

Cristal sin centro de simetría Patterson siempre con centro de simetría

uvw + uvw

Simetría de la

función

Simetría del cristal 230 Grupos espaciales

Simetría de Patterson 24 Grupos espaciales

LA FUNCIÓN DE PATTERSONPROPIEDADES

EL PROBLEMA DE LA FASE….¿¿¿CÓMO RESOLVERLO???

Métodos directos ρ≥0, átomos discretos

Remplazamiento Molecular Modelo homólogo

Remplazamiento Isomorfo Subestructura de átomos pesados

Dispersión Anómala Subestructura de átomos anómalos

Modificación de Densidad Aplanamiento de solvente

(mejora de las fases) Histogram matching

Promediado simetría no-cristalográfica

Estructura Parcial

Extensión de fases

Métodos de Faseado

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Más información en:

Mi dirección e-mail: [email protected]

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