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LA CLASE VIRTUAL

LOS NUMEROS COMBINATORIOS

NUMEROS COMBINATORIOS

Se recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es,

n!=12 3 … n

y que por convenio

0!=1


Se llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an

a cualquier ordenación de los mismos. Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras pqr son pqr, qrp, rpq, qpr,rqp,prq.

Teorema:El número de permutaciones de n elementos vale n!

En el ejemplo 3!=6


En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez son

pq, pr, qr, qp, rp, rq Teorema: El número de permutaciones de n

elementos tomados de k en k cada vez vale

n!/(n-k)!.


En nuestro ejemplo 3!/(3-2)!=6/1=6 Nota: Si en las permutaciones de n

elementos tomados de k en k cada vez se admitiera repeticiones el número de tales permutaciones sería nk

En nuestro ejemplo 32=9:

pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr


Se llama combinación a una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué elementos la forman

Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras pqr, precisamente pqr. Las combinaciones de pqr tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r


Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión

El primer miembro de la expresión es la notación del número combinatorio n sobre k definido por el segundo miembro.

!)!(

!

kkn

n

k

n


Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por

k

1kn


Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez es

y si se admite repeticiones de letras

32.1

6

!2)!23(

!3

2

3

6...2

4

2

123


El número combinatorio

se puede calcular también de la forma

!)!(

!

kkn

n

k

n

k

knnnn

k

n

321

)1()2)(1(


Se justifica lo anterior mediante

123

)1()2)(1(

)123(123)1)((

123)1)(()1()2)(1(

!)!(

!

k

knnnn

kknkn

knknknnnn

kkn

n

k

n


Se tienen las siguientes propiedades:

1k

n

k

n

k

1n )4

k

n

k-n

n )3

n1

n )2 1

0

n )1

NUMEROS COMBINATORIOS La última propiedad permite obtener los números combinatorios de forma

recursiva, dando origen al llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia:

1

51010515

146414

13313

1212

111

10

n


Los números combinatorios aparecen como coeficientes del binomio de Newton:

n

k

kkn

nnnnn

bak

n

bn

nba

nba

na

nba

0

221 ...210

)(


Utilizando la anterior expresión se puede probar inmediatamente:

n

0k

k

n

0k

n

0k

n)1( )2

2k

n )1

Permutaciones sin repetición

Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que:

-En cada grupo entran todos los n elementos.

- Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará:

Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Si n = 1, se define 1!=1 Si n = 0 se define 0!=1

EJEMPLOS

- ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine?

Sol: P8 =

- ¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta?

Sol: P5 =

- Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?

Sol: P6 =

Permutaciones con repetición.

Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n);

todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ).

Notaremos a este tipo de permutación como:

y se calcularán:

EJEMPLOS:

- ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo?

Sol:

- ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las letras de AMASAS ?

Sol:

- En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera?

Sol:

Combinaciones

Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que:

- En cada grupo entren m elementos distintos

- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula:

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