LA CLASE VIRTUAL

POLINOMIOS

POLINOMIOS

Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a0,a1,…,an (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor

p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

x ),x(q)x(p

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Se dice que el grado del polinomio p es n cuando an es distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que

Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0.

A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p

x ,0)x(0

POLINOMIOS

La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que

Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la misma potencia de x.

)m,nmax(

0k

kk

m

0j

jj

n

0i

ii xcxbxa

)x(q)x(p)x(r

POLINOMIOS

El producto de los polinomios p y q es el polinomio s de modo que

Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo el máximo de n y m.

mn

0k

kk

n

0i

m

0j

jiji

m

0j

jj

n

0i

ii

xdxba

xbxa)x(q)x(p)x(s

POLINOMIOS

Análogamente el grado del polinomio producto s es a lo sumo m+n.

El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g.

La división por el polinomio nulo no está permitida.

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En general la división de un polinomio f dividendo por un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que– 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo,

– 2º El grado de r es menor que el grado de g o bien r es nulo.

Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.

x ),x(r)x(g)x(q)x(f

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Ejemplo:

(resto) 3x2

2x3x

1xx

(cociente) 1xx2x3x

2x3x1xx2x

)2x3x/()1xx2x(

2

2

33

223

223

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El máximo común divisor de f y g (abreviadamente m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con an=1.

El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con an=1.

Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.

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El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g de un modo sencillo:

1º f=qg+r

2º g=q´r+r´

3º r=q´´r´+r´´ …

hasta que el resto sea nulo.

El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

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Ejemplos:– El m.c.d. de x4-3x2+2 y x4+x3-x-1 es x2-1– El m.c.m de x2-9 y x2-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2)– Los polinomios 8x3-10x2-x+3 y 2x3-5x2-x+6

son primos entre sí.

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El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja).

Teorema: Es un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-.

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Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x-)+r con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x- debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-) por lo que p()=q()( -) =0 y es un cero de p; recíprocamente, si es un cero de p es p()=0, luego 0=q()( -)+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x- .

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Si es un cero de p el polinomio p se puede factorizar de la forma

p(x)=q(x)(x-)

donde (x-) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=an(x-) (x-) (x-)... (x-n)

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Los n ceros obtenidos (repetidos o no) ,,n son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x2+cx+d).

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Si ,,k son los ceros distintos del polinomio p de grado n, con multiplicidades respectivas m1,m2,m3... mk se puede factorizar p de la forma:

Se puede probar que si es un cero de p de multiplicidad m, mayor que la unidad, también es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.

k21 mk

m2

m1n )x...()x()x(a)x(p

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La regla de Ruffini se puede utilizar para:– 1º Hallar p(), donde p es un polinomio y un

valor numérico cualquiera– 2º Hallar el cociente y el resto de la división del

polinomio p(x) y el polinomio x- – 3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio

q(y), mediante la sustitución y=x-. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.

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Ejemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por x+2. Aquí se tiene =-2.

El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x3+1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3

310052

20010

110105

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Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio p(x)=5x4+10x3+x-1 en x=-2 es

Los valores de p y de sus derivadas son calculables por Ruffini en x=-2, llegando a

p(x)=5(x+2)4 -30(x+2)3 +60(x+2)2 -39(x+2)-3

2x

4

44

2x

3

33

2x

2

22

2x

dx

pd)2x(

¡4

1

dx

pd)2x(

¡3

1

dx

pd)2x(

¡2

1

dx

dp)2x(

¡1

1)2(p)x(p