Kvantu algoritmi lineāru

vienādojumu sistēmu risināšanai

Andris Ambainis

LU Datorikas fakultāte

Datorzinātnes lietojumi un tās saiknes ar kvantu fiziku

Nr.2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

LU 69. konference, 2011. gada 4. februārī

Varbūtiska sistēma

q1

q2

q4

q3

0.5 0.2 0.1

0.2

Kvantu sistēma

q1

q2

q4

q3

1

2 3

4

i – kompleksi skaitļi

Kvantu sistēma

q1

q2

q4

q3

1

2 3

4

Mērot iegūstam qi ar varbūtību |i|

2.

Lineāras vienādojumu sistēmas

NNNNNN

NN

NN

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

Zināms: a11, a12, ..., aNN, b1, b2, ..., bN.

Jāatrod: x1, x2, ..., xN.

Lineāras vienādojumu sistēmas

Klasiskais algoritms: O(N2.38...).

Ieejas datu apjoms: N2.

Izejas datu apjoms: N.

NNNNNN

NN

NN

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

[Harrow-Hassidim-Lloyd, 2008]

Algoritma rezultāts – kvantu stāvoklis:

N stāvokļi – log N kvantu biti.

Stāvokli var radīt O(log N) laikā.

Nxxx N ...21 21

O(N2.38...) O(log N)

Scientific American

Warp-Speed

Algebra: New

Algorithm Does

Algebra in a Snap

New quantum

algorithm can solve

monster-size

equations.

[Harrow-Hassidim-Lloyd, 2008]

Algoritma rezultāts – kvantu stāvoklis:

Trūkums: no kvantu stāvokļa nevar nolasīt visu

atrisinājumu x1, x2, ..., xN.

Var iegūt daļēju informāciju par atrisinājumu.

NxxxN

...21 21

Pamatideja

N

i

i ib1

N

i

i ix1

Zināms Risinājums

NNNNNN

NN

NN

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

Pamatidejas

NNNN

N

N

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Nx

x

x

x...

2

1

Nb

b

b

b...

2

1

bAx

bAx 1

N

i

i ib1

N

i

i ix1

Algoritma darbības laiks

1. Atkarība no vienādojumu/nezināmo skaita:

O(log N).

2. Kondīcijas skaitlis k.

Kondīcijas skaitlis

Cik daudz mainās atrisinājums,

nedaudz izmainot b1, b2, ..., bN?

NNNNNN

NN

NN

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

Kondīcijas skaitlis

Nx

x

x

...

2

1

Nx

x

x

...

2

1

Izmaiņa: .

Nb

b

b

...

2

1

Izmaiņa: min.

Izmaiņa: max.

min

max

k

Algoritma ātrdarbība

[Harrow, Hassidim, Lloyd, 08]: O(k2 log N).

[A, 2010]: O(k log N).

Algoritma pielietojumi

Kā var izmantot atrisinājumu – kvantu stāvokli?

[Rivošs, 2010]: piemēri, kur no šāda atrisinājuma

var iegūt lietderīgu informāciju (piemēram, xi=1

vienam i, xj=0 pārējiem j).

NxxxN

...21 21