•  Luennot maanantaisin ja tiistaisin 12-14, D101 –  Syksy Räsänen: C326

•  Laskuharjoitukset (25% arvosanasta) –  Anna-Stiina Suur-Uski (C329) ja Jussi Väliviita (A329) –  Neljä ryhmää: ma 14-16 D117, ti 10-12 D117, ti 14-16 E205, ti 16-18

E205, alkaen 17.3. –  Tehtävät ilmestyvät kotisivulle maanantaisin –  Sähköpostiosoitteet: etunimi.sukunimi@helsinki.fi

•  Lopputenttiin osallistuminen edellyttää 25% laskuharjoituspisteistä

•  Kurssin uusiminen edellyttää (tyypillisesti) 25%:a kokonaispisteistä •  Loppukokeen tekemisestä myöhemmin pitää sopia etukäteen •  Kotisivu http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/kfp/

1

Kvan%fysiikan  perusteet  kevät  2014  

Kurssin sisältö

Kvanttimekaniikkaa

•  Historiallista taustaa: Planckin säteilylaki, valosähköilmiö, Bohrin atomimalli

•  Schrödingerin yhtälö, hiukkanen laatikossa, vetyatomi •  Heisenbergin epämääräisyysperiaate, superpositioperiaate •  Operaattoriformalismi, spin •  Schrödingerin kissa, Bellin epäyhtälö, dekoherenssi, klassinen raja

Kvanttikenttäteoriaa

•  Hiukkasfysiikan Standardimalli •  QED, QCD, heikko vuorovaikutus •  Higgsin mekanismi •  Säilymislait •  Feynmanin graafit, virtuaaliset hiukkaset •  Yhtenäisteoriat: supersymmetria, supergravitaatio, säieteoria

2

3

•  Painopiste on ilmiöiden esittelyssä.

•  Kvanttimekaniikkaa käsitellään semikvantitatiivisesti, kvanttikenttäteoriaa lähinnä kvalitatiivisesti.

•  Maalammen ja Perkon kirja ”Lyhyt modernin fysiikan johdatus” sisältää osan kurssilla käsiteltävistä asioista . •  Kenneth Kramerin kirja “Modern physics” saattaa myös olla hyödyllinen.

4  

Kvan%fysiikka  •  Nykyfysiikassa  on  kaksi  perustavanlaatuista  (fundamentaalista)  teoriaa:  

yleinen  suhteellisuusteoria  ja  kvan%ken@äteoria.  

klassinen  mekaniikka  +  kvan%fysiikka   kvan%mekaniikka  

suppea  suhteellisuusteoria  +  kvan%fysiikka   kvan%ken*äteoria  

yleinen  suhteellisuusteoria  +  kvan%fysiikka   kvan%gravitaa0o?  

5  

Kvan%mekaniikka  •  Yleinen  suhteellisuusteoria  on  teoria  ajasta,  avaruudesta  ja  gravitaaGosta.  

•  Kvan%mekaniikka/kvan%ken@äteoria  on  teoria  aineesta  ja  muista  kuin  gravitaaGovuorovaikutuksista.  

•  Kvan%mekaniikka  ja  kvan%ken@äteoria  kuvaavat  kaikkia  mikromaailman  ilmiöitä:  •  Atomit,  molekyylit,  kiinteä  aine  (puolijohteet,  suprajohtavuus),  ...  •   SähkömagneGsmi,  QCD,  heikot  vuorovaikutukset,  ...  

 •  Toisin  kuin  suhteellisuusteorian  tapauksessa,  käytännön  sovellukset  

valtavan  merki@äviä:  kaikki  elektroniikka  ja  nykyaikainen  kemia  pohjaa  kvan%fysiikkaan.  

•  Keskitytään  ensin  kvan%mekaniikkaan,  sen  jälkeen  selitellään  kvan%ken@äteoriaa.  

6  

Luonnonvakioita  •  Suppeassa  suhteellisuusteoriassa  on  valonnopeus  c,  yleisessä  

suhteellisuusteoriassa  lisäksi  Newtonin  vakio  G.  

•  Kvan%mekaanisten  efekGen  suuruu@a  hallitsee  vastaavasG  Planckin  vakio  h.  

•  Kun  skaala  on  suuri  verra@una  Planckin  vakioon,  kvan%mekaaniset  efekGt  ovat  pieniä.  

•  Kun  skaala  on  samaa  suuruusluokkaa  kuin  h,  kvan%mekaniikkaa  ei  voi  sivuu@aa.  

SI-­‐yksiköt    hiukkasfysiikassa  kätevämpi  

h ! 6.62606896 "10#34 Js! 4.13566733"10#15eVs

7  

! ! h2!

"1.054571628 #10$34 Js" 6.58211899 #10$16 eVs

Yksikkö:    [energia  x  aika]  =  [massa  x  nopeus  x  pituus]  =  [liikemäärä  x  pituus]  =  [kulmaliikemäärä]    Kertoo  kvan%efekGen  merki@ävyyden.  

1 eV ! 1.602176487 "10#19J

Planckin  vakio  

Kvan%mekaniikka  on    •  epärelaGvisGnen  (tämä  muu@uu  kvan%ken@äteoriassa)  •  epädeterminisGnen  •  kausaalinen  

Kvan%mekaniikka  muu*aa  klassisen  käsityksen    •  determinismistä  •  aineesta  •  tapahtumisesta  ja  olemisesta  

Kvan%mekaniikka  ei  muuta  kuvaa    •  ajasta  ja  Glasta  •  kausaliteeGsta  •  gravitaaGosta  

8  

Kuten  suhteellisuusteoria,  myös  kvan%mekaniikka  muu%  kvalitaGivisesG  käsityksemme  todellisuudesta.  

9  

•  Kausalitee%:  syy  on  aina  ennen  seurausta,  tai  vähintään  samaan  aikaan.  (”Ei  seurausta  ennen  syytä.”)  

•  Determinismi:  kaikilla  tapahtumilla  on  syy.  (”Ei  seurausta  ilman  syytä.”)  

10

(hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)

•  1900: Planckin säteilylaki •  1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle •  1913: Bohrin atomimalli •  1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi •  1925: Heisenbergin matriisimekaniikka •  1926: Schrödingerin yhtälö •  1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate •  1928: Diracin yhtälö •  1949: Quantum Electrodynamics (QED) •  1964: Higgsin mekanismi •  1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) •  1967: sähköheikko vuorovaikutus •  1973: asymptoottinen vapaus •  1971-1976: supersymmetria, tekniväri, suuri yhtenäisteoria, säieteoria,

supergravitaatio

Kvan%fysiikan  historiaa  

Planckin  säteilylaki  (1900)  

Ääretön  säteilyn  intensitee%  ja  energia:  Klassisen  fysiikan  ultraviole*katastrofi  I ! f 2T

11  

•  Ongelma:  miten  lämpöGlassa  T  oleva  kappale  säteilee?  

•  Ekvipar,,oteoreeman  mukaan  termisessä  tasapainossa  kaikkien  systeemin  vapausasteiden  energia  on  kBT/2.  (Fotonilla  on  kaksi  polarisaaGota,  eli  kBT  per  fotoni;  kB  on  Boltzmannin  vakio.)  

•  Ajatellaan,  e@ä  kiinteä  kappale  koostuu  värähtelijöistä,  joilla  on  eri  taajuuksia  f.  

•  Kolmiulo@eiseen  kappaleeseen  mahtuvien  aaltojen  lukumäärä  on  ∝  f2.      •  Kokonaisenergia  saadaan  laskemalla  kaikki  moodit  yhteen.  Intensitee%  on  

Boltzmannin  vakio  

SI-­‐yksiköt    hiukkasfysiikassa  kätevämpi  

kB !1.380658 "10#23 J/K

! 8.617332 "10#5eV/K

12  

Muunnoskerroin  lämpöGlan  ja  energian  yksiköiden  välillä.  Ei  perustavanlaatuista  merkitystä.  

1 eV !11600 K

Planckin  säteilylaki  (1900)  

E = nhf

Planckin  vakio  

13  

•  Ratkaisu  à  la  Planck:  moodien  energia  on  verrannollinen  taajuuteen:            n  =  1,  2,  3,  ...  

•  Seurauksena  todennäköisyysjakauma  ei  ole  tasainen.  Keskivertoenergia  per  moodi:  

                                               Planckin  säteilylaki  

kBT!hf

ehf /(kBT ) "1

I = 4hf3

c31

ehf /(kBT ) !1

Planckin  säteilylaki  (1900)  

14  

•  Energian  esiintyminen  määräsuuruisissa  erissä                                              eli  kvan,4uminen  oli  mullistava  askel,  jota  ei  klassisen  fysiikan  pui@eissa  voinut  perustella.  

•  Planck  1913:  ”For    my  part,  I  hate  discon,nuity  of  energy  even  more  than  the    discon,nuity  of  emission.”  

E = nhf

Valosähköilmiö  (1905)  

Einstein  1905:  Valo  koostuu  hiukkasista,  joiden  energia  on  

Ongelma:  Kun  metalliin  kohdistaa  valoa,  siitä  irtoaa  elektroneja  siten,  e@ä  

•   Elektronien  määrä  aikayksikössä  ∝  valon  intensitee%  •   Jos  valo  ei  ylitä  Ge@yä  taajuu@a,  elektroneita  ei  vapaudu  •   Elektronien  energia  riippuu  valon  taajuudesta,  mu@a  ei  intensiteeGstä.  

säteilyenergia  kvan0*unut  

elektroni

Emax    =  hf  

E=  hf  

säteily

E = hf

15  

Bohrin  atomimalli  (1913)  

16  

Ongelma:  Atomeilla  on  posiGivisesG  vara@u  ydin,  jonka  ympärillä  on  negaGivisesG  vara@uja  elektroneja.    •  Klassisen  sähkömagneGsmin  mukaan  kiihtyvässä  liikkeessä  olevat  hiukkaset  

lähe@ävät  säteilyä  ja  mene@ävät  energiaa.  

•  Ympyräradalla  oleva  hiukkanen  putoaa  nopeasG  keskustaan,  eli  atomeja  ei  voi  olla  olemassa.  

V

relektroni

säteilyä

nnhmvr ≡=π2

Ei !Ef = hf

Bohrin  atomimalli  (1913)  

17  

•  Bohrin  ehdotus:  salli@uja  ovat  vain  radat,  jotka  toteu@avat  kvan,4umisehdon  

 •  (Huom:  mvr  on  kulmaliikemäärä.)  

•  Elektronin  hypätessä  radalta  toiselle  emi@oituu/absorboituu  fotoni,  jonka  energia  on  

•  Mallissa  klassinen  mekaniikka  pätee  noilla  määrätyillä  radoilla,  mu@a  se  ei  selitä,  miksi  tai  miten  radoilta  siirtyminen  tapahtuu.  

•  Malli  on  kuitenkin  hyvin  ennustusvoimainen.  

Ze2

4!"0r2 =

mv2

rmvr = n!

!

"#

$#

% r = n2!Z!mc

&n2

Za0 036.137

14 0

2

≈≡c

eπε

α hienorakennevakio  

ccnZ

mrnv <<==

α

E = Ekin +Epot = 12mv

2 !Ze2

4!"0r= ! 1

2mc2 Z#

n"

#$

%

&'2

sido@u  Gla  

18  

a0 !!

!mc" 0.52917720859 #10$10m

•  KvanG@umisehdosta  voidaan  ratkaista  salli@ujen  ratojen  säteet  ja  energiat,  ja  täten  myös  fotonien  aallonpituudet.  

 •  Ympyräradalla  sähköinen  vetovoima  on  yhtä  suuri  kuin  keskipakoisvoima              (Z  on  atomiluku):  

•  Säde  on  kvanG@unut  Bohrin  säteen  yksiköissä:  

•  Elektronin  nopeus  on  

•  Elektronin  energia  on  

f =Ei !Ef

h= ! 1

2mc2

hZ!( )2 1

ni2 !

1nf2

"

#$$

%

&''

19  

•  Bohrin  atomimalli  ennustaa,  e@ä  atomit  lähe@ävät  valoa  vain  Getyillä  taajuuksilla.  Atomin  spektriviivojen  taajuudet  voi  ennustaa  elektronien  energiasta:  

E = ! 12mc

2 Z!n

"

#$

%

&'2

de  Broglien  aallonpituus  

! =hp=hmv

•  Miksi  radat  olisivat  kvanG@uneita?  

•  de  Broglie  ehdo%  vuonna  1924,  e@ä  ainehiukkasiin  lii@yy  aalto,  aivan  kuten  valoon:  

20  

•  Aallonpituuden  ja  liikemäärän  suhde  on  sama  kuin  fotoneilla.  

•  Massiivisen  hiukkasen  ”koko”  on  sitä  pienempi,  mitä  raskaampi  se  on.  

•  Koska  h  on  SI-­‐yksiköissä  pieni  (eli  arkinen  skaala  on  iso  verra@una  h:hon),  de  Broglien  aallonpituudella  ei  ole  merkitystä  arki-­‐ilmiöissä.    

de  Broglien  aallonpituus  ja  Bohrin  atomi  

21  

•  Radan  säteen  ja  aallonpituuden  suhde  on  

r = n!mv

= n !2"

! ! =2"rn

•  Vain  sellaiset  radat  ovat  mahdollisia,  joihin  sopii  hiukkasta  kuvaava  seisova  aalto.  

δδψ δ sincos iAAAei +==

amplitudi   vaihe  

ψ  

ψ*  

δδψ δ sincos* iAAAe i −== −

Reψ  

Imψ  

kompleksitaso  

Kompleksiluvussa  kaksi  vapausaste@a,  joita  voi  ajatella  reaali-­‐  ja  imaginaariosana  lukuna  ja  sen  kompleksikonjugaa%na.  

2* AI ==ψψ

Aalto-­‐oppia  

22  

•  Tarkastellaan  kompleksista  aaltoa:  

•  Aallon  intensitee%:  

Tasoaalto  

! = eikx!i!t = cos kx !!t( )+ isin kx !!t( )

täy@ää  avaruuden,  vaihesiirto  ajan  mukana,  kulkee  x-­‐akselin  suuntaan  

x  

t0   t0  +2π/ω  

ψ  

ψ(t)  

Reψ  

Imψ  

ωt  

vaihe  pyörii  kulmanopeudella  ω  ja  palaa  ajan  1/f  jälkeen  samaan  arvoon   23  

k = 2!"

# = 2! f

k  on  aaltoluku  ω  on  kulmanopeus  

kaksi  aaltoa  

!1 = A1ei"1;!2 = A2e

i"2

21 ψψψ += on  myös  aalto  

ψ1  

ψ2  

Reψ  

Imψ  

δψ iAe=

intensitee%  

I = ! 2= !1

2+ !2

2+!1!2

* +!1*!2

= I1 + I2 + 2Re !1!2*( )

= I1 + I2 + 2A1A2 Re ei!1!i!2( )

= I1 + I2 + 2A1A2 cos !1 !!2( )" I1 + I2

kaksi  aaltoa  voi  vahvistaa  tai  heikentää  toisiaan  24  

I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos(!1 !!2 )"[!1,1]! "# $#

2121max 2 IIIII ++=

2121min 2 IIIII −+=

jos  I1  =  I2   1max 4II = 0min =I

25  

Kaksoisrakokoe  

26  

aalto  interferoi  itsensä  kanssa  (valo:  Young  1803  elektroni:  Davisson  ja  Germer  1927)  

aallot  heikentävät  ja  vahvistavat  toisiaan  

biljardipallot  

Koh0  ”uu*a  kvan%mekaniikkaa”  

27  

•  Planckin  säteilylaki,  valosähköilmiön  selitys  ja  Bohrin  atomimalli  olivat  irrallisia  paloja  vailla  yhteistä  viitekehystä.  

•  Nämä  ”vanhan  kvan%mekaniikan”  ideat  johGvat  1920-­‐luvulla  ”uuteen  kvan%mekaniikkaan”,  joka  on  matemaa%sesG  täsmällinen  teoria.  

•  Perustavanlaatuisia  fysiikan  teorioita  ei  voi  johtaa  mistään,  mu@a  niitä  voi  moGvoida.  

•  Tarkastellaan  tasaista  aaltoliike@ä,  ja  oletetaan  e@ä  tasoaalto  kuvaa  vapaata  hiukkasta:  ! = eikx!i"t.

ψψ

ψψ

ωψψ 2

2

2

;; kx

ikx

it

−=∂

∂=

∂

∂−=

∂

∂

! = ! k2

2m

i !!!t

="! = ! k2

2m! = "

!2m

!2!!x2

28  

! = eikx!i"t

•  Fotonille  pätee  kvan%hypoteesin  mukaan  

•  Fotonille  pätee  suhteellisuusteorian  mukaan  

•  Oletetaan  nämä  yleiseksi  yhteydeksi,  joka  pätee  myös  massiivisille  hiukkasille:  

•  Vapaan  massiivisen  hiukkasen  energian  ja  liikemäärän  suhde  klassisessa  mekaniikassa:  

 •  Saadaan  epärelaGvisGsen  vapaan  hiukkasen  dispersiorelaa,o  

E = !! .

E = !! ja p = !k .

p = Ec=hfc=h!= !k.

E = p2

2m

i!!!!t

= "!2

2m!2

!x2+V (x)

#

$%

&

'(!

i!!!(x, t)!t

= "!2

2m#2 +V (x)

$

%&

'

()!(x, t)

Schrödingerin  yhtälö  29  

kinee%nen  energia  +  potenGaalienergia  

Schrödingerin  yhtälö  •  Vapaan  hiukkasen  aalto  toteu@aa  siis  yhtälön  

 •  Vuorovaiku@avan  hiukkasen  energia  on  

•  Oletetaan,  e@ä  sen  ’aalto’  toteu@aa  yhtälön  

E = p2

2m+V (x).

2

222

22 xmmpE

ti

∂

∂−===

∂

∂ ψψψ

ψ

•  Yleistetään  kolmeen  ulo@uvuuteen:   AaltofunkGo  

30  

•  Schrödingerin  yhtälössä  energia  ja  liikemäärä  on  korva@u  derivaatoilla:  

tiE∂

∂→

∇−→ ipkolmessa  ulo@uvuudessa  x

ip∂

∂−→

•  Schrödingerin  yhtälö  on  kvan%mekaniikan  liikeyhtälö,  josta  voi  ratkaista,  miten  aaltofunk,o  käy@äytyy,  kun  potenGaali  on  anne@u.  

 •  Vrt.  Newtonin  II  laki  klassisessa  mekaniikassa,  josta  voi  ratkaista  hiukkasen  

radan,  kun  potenGaali  on  anne@u.    •  Kuten  Newtonin  mekaniikka,  kvan%mekaniikka  ei  kerro,  mikä  potenGaalin  

pitäisi  olla.  (Tähän  tulee  muutos  kvan%ken@äteoriassa.)  

•  Newtonin  II  lain  ratkaisuna  on  hiukkasen  rata,  Schrödingerin  yhtälön  ratkaisuna  on  aaltofunkGo.  Mikä  on  aaltofunkGon  merkitys?  

31  

Bornin  sääntö  •  AaltofunkGo  on  kompleksinen,  eli  ei  voi  olla  havaintosuure.    •  Kvan%mekaniikan  keskeinen  oletus:  todennäköisyystulkinta.  

•  AaltofunkGo  ψ  on  todennäköisyysamplitudi.  

•  Bornin  sääntö:  todennäköisyysGheys  hiukkasen  löytämiseen  paikasta  x  ajanhetkellä  t  on  !(t,x)!*(t,x) = !(t,x) 2 .

•  Todennäköisyys  löytää  hiukkanen  avaruuden  alueesta  V  hetkellä  t  on  

P(V ) = d3x !(t,x)!*(t,x)V! .

•  Hiukkanen  löytyy  aina  jostain,  eli  kun  integroidaan  koko  avaruuden  yli,  saadaan  

Ptot = d3x !(t,x)!*(t,x)! =1.

32  

•  Schrödingerin  yhtälö  on  ensimmäisen  asteen  yhtälö  ajan  suhteen:  

•  Yhtälö  on  lineaarinen,  eli  kahden  ratkaisun  summa  on  ratkaisu,  ja  ratkaisun  voi  kertoa  mielivaltaisella  vakiolla.  

•  VaaGmus  siitä,  e@ä  kokonaistodennäköisyys  on  yksi,  määri@ää  normituksen.  

•  Oletetaan,  e@ä  meillä  on  ratkaisu,  jolle    •  Ainoastaan  sellaiset  aaltofunkGot,  joille  N  on  äärellinen,  kelpaavat  

ratkaisuiksi.  Tällaisia  aaltofunkGoita  sanotaan  normi4uviksi.    •  Määritellään  uusi  aaltofunkGo,  jolle  kokonaistodennäköisyys  on  1.  Tällainen  

aaltofunkGo  on  normite4u.  

i!!!!t

= "!2

2m#2 +V (x)

$

%&

'

()!

d3x !(t,x) 2! = N 2.

Normitus  

!!(t,x) = N !1!(t,x).

33  

•  AaltofunkGo  on  määrite@y  vaihe@a  vaille.  Jos  ψ  on  normite@u  ratkaisu,  niin  myös                          on  ratkaisu  (α  on  reaaliluku).  

•  AaaltofunkGo  ei  ole  fysikaalinen,  mu@a  sen  itseisarvo  on.  

!!(t,x) = ei"!(t,x)

34  

•  Kokoelma  informaaGota,  joka  kertoo  systeemistä  kaiken  mitä  siitä  on  Gede@ävissä,  on  nimeltään  systeemin  ,la.  

•  Klassisessa  mekaniikassa  systeemin  Gla  ajan  funkGona  Gedetään,  kun  tunnetaan  kaikkien  hiukkasten  paikka  ajan  funkGona.  

•  Newtonin  II  laki  on  toisen  kertaluvun  differenGaaliyhtälö  ajan  suhteen,  joten  kun  annetaan  hiukkasten  paikat  ja  nopeudet  alkuhetkellä,  voidaan  ratkaista,  miten  ne  käy@äytyvät  tulevaisuudessa.  

•  Schrödingerin  yhtälö  on  ensimmäisen  asteen  yhtälö  ajan  suhteen,  joten  ratkaisu  on  määrä@y,  kun  annetaan  todennäköisyysamplitudi  alkuhetkellä.  

•  Hiukkasen  rata  on  korva@u  todennäköisyysamplitudilla.  Mitä  tämä  tarkoi@aa?  Mikä  on  todennäköisyyden  merkitys?  Entäpä  hiukkasen  rata?  

•  Palataan  näihin  kysymyksiin  myöhemmin:  tutustutaan  ensin  lisää  matemaa%seen  muotoiluun.  

Normitus  

!(x, t) = e!if (t )"(x)

i!!!(x, t)!t

= "!2

2m#2 +V (x)

$

%&

'

()!(t,x)

* !"f+(x) = "!2

2m#2 +V (x)

$

%&

'

()+(x)

!!2

2m"2 +V (x)

#

$%

&

'()(x) = E)(x)

35  

StaGonaarinen  ratkaisu  •  Etsitään  ratkaisuja,  joiden  todennäköisyysGheys  ei  riipu  ajasta  (f  reaalinen):  

•  Sijoitetaan  Schrödingerin  yhtälöön:    

•  On  olemassa  ratkaisu  vain  jos  f=At+B.  Valitaan  B=0  ja  kirjoitetaan  A=E/ħ:  

kinee%nen  energia  +  potenGaalienergia  =  kokonaisenergia  

!(x, t) = e!iEt!"(x)

36  

StaGonaarinen  ratkaisu  •  StaGonaarisessa  Glassa  

•  Tätä  voi  pitää  energian  määritelmänä:  energia  kertoo,  millä  kulmataajuudella  todennäköisyysamplitudi  värähtelee.  

•  AaltofunkGon  ja  energian  merkitys  tulee  selvemmäksi  käytännön  esimerkkien  avulla.  

•  Vetyatomi  on  GetysG  mielenkiintoinen  tapaus.  

•  Mu@a  tarkastellaan  ensin  kahta  yksinkertaisinta  systeemiä:  vapaa  hiukkanen  ja  hiukkanen  laaGkossa.  

37  

Vapaa  hiukkanen  •  Vapaalle  hiukkaselle  V=0.  Etsitään  staGonaarisia  Gloja:  

•  Schrödingerin  yhtälö  on  siis  (tarkastellaan  yksiulo@eista  systeemiä)  

E! = "!2

2m#2!#x2

$! = Aeikx +Be"ikx

•  Tässä  A  ja  B  ovat  kompleksisia  vakioita  ja   k = 2mE!2

,E = !2k2

2m.

oikealle  liikkuva  tasoaalto        vasemmalle  liikkuva  tasoaalto  

!(x, t) = e!iEt!"(x)

38  

•  Vapaan  hiukkasen  aaltofunkGo  ei  ole  normi@uva.  Tarkastellaan  tapausta  B=0:  

•  Vapaan  hiukkasen  tapauksessa  mikään  paikka  ei  ole  erityisasemassa,  joten  todennäköisyysGheys  ei  riipu  paikasta.  

•  AaltofunkGo  aaltoilee,  todennäköisyys  ei.  

•  Vapaan  hiukkasen  liikemäärä  on  Gsmalleen  määrä@y  ja  paikka  täysin  epämääräinen.  

•  (Tämä  on  erikoistapaus  Heisenbergin  epämääräisyysperiaa@eesta,  johon  palaamme  myöhemmin.)  

! = Aei(kx!!t )

"!!* = A 2

E = !2k2

2m, ! =

!k2

2m

! Ptot = dx !(t, x)! *(t, x)"#

#

$ = A 2 dx"#

#

$ =#

39  

Hiukkanen  laaGkossa  •  Hiukkanen  laaGkossa  on  yksinkertaisin  ei-­‐triviaali  kvan%mekaaninen  

systeemi,  ja  sillä  on  useita  realisGsten  systeemien  keskeisiä  ominaisuuksia.  

•  Yksinkertaisin  hiukkanen  laaGkossa  on  seuraava.  Tarkastellaan  yksiulo@eista  tapausta  ja  sanotaan,  e@ä  potenGaali  on  nolla  välillä  0<x<L  ja  ääretön  muualla.  

•  Hiukkanen  ei  pääse  laaGkosta,  joten  aaltofunkGo  on  nolla  kun  x<0  tai  x>L.  

L  

V  

V  =  0  

V  =  ∞  

!2"(x)!x2

+2m!2(E #V )"(x) = 0

!(0) =!(L) = 0

!(x) = Aeikx +Be"ikx

V  =  ∞  

•  Etsitään  staGonaarisia  Gloja:  

•  Schrödingerin  yhtälö:    

•  LaaGkon  sisällä  V=0:  

!(x, t) = e!iEt!"(x)

Reunaehdot:  

40  

E = !2k2

2m

i!!!(x, t)!t

= "!2

2m#2 +V (x)

$

%&

'

()!(x, t)

!(0) = 0" A+B = 0!(L) = 0" AeikL +Be#ikL = 0

! A eikL " e"ikL( ) = 2iAsinkL = 0

! kL = n!, n = 0,±1,±2,...

41  

•  Pitää  määri@ää  vakiot  A  ja  B.  Käyte@ävissä  on  reunaehdot  ja  normitusehto.  

•  Reunaehdot:  

•  Aaltoluvun  kvanG@umisesta  seuraa  energian  kvan0*uminen:  

E = En =!2k2

2m=!2! 2

2mL2n2 = h2

8mL2n2

•  Selvitetään  vielä  vakio  A.   kvan%luku  n  

iei i −=⇒= θπθ

43

42  

•  Kvan%lukua  n  vastaa  aaltofunkGo  

•  Normitus:  

1= dx !(t, x)! *(t, x)!"

"

# = dx $(x)$ *(x)0

L

#

= 4 A 2 dx0

L

# sin2 n" xL

%

&'

(

)*

= 4 A 2 dx0

L

# 12

sin2 n" xL

%

&'

(

)*+ cos2 n" x

L%

&'

(

)*

+

,-

.

/0

1! "#### $####

= 2L A 2

!n (x) = 2iAsin(knx)

•  Valitaan  vaihetekijäksi    

!n (x) =2Lsin n" x

L!

"#

$

%&A = ei!

2L

Koko  staGonaarinen  ratkaisu  on  

!n (t, x) =!n (x)e"iEnt/! =

2Lsin n" x

L#

$%

&

'(e"iEnt/!; En =

n2h2

8mL2

energiatasot  =  spektri  

E1   ψ1  

ψ4  

ψ3  

E2  

E4  

E3  

E  

mahdolliset  Glat  

43  

ψ2  

44  

r  

)(rV

”laaGkko”  !e2

4!"0r

45  

•  Hiukkanen  laaGkossa  on  yksinkertainen  esimerkki,  mu@a  sisältää  lähes  kaikki  realisGsten  systeemien  keskeiset  kvan%fysikaaliset  ominaisuudet:    •  Raja@uun  Glaan  sido@u  systeemi  ⇒  seisovat  aallot  

                         ⇒  suureiden  kvanG@uminen  •  Todennäköisyyden  oskilloiminen  

•  Jos  laaGkon  syvyys  olisi  äärellinen,  hiukkasella  olisi  mahdollisuus  päästä  pois,  ja  silloin  näkyisi  myös  tunneloitumisena  tunne@u  ilmiö.  (Tästä  lisää  laskuharjoituksissa.)  

•  RealisGnen  tapaus:  vetyatomi,  eli  elektroni  hassun  muotoisessa  ”laaGkossa”