FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT POSLIJEDIPLOMSKI DOKTORSKI STUDIJ STROJARSTVA KVALIFIKACIJSKI ISPIT (330) DOPRINOS OPTIMIRANJU OBLIKA I TOPOLOGIJE PRIMJENOM LEVEL SET METODE I PARAMETRIZACIJE Igor Pehnec Prosinac 2011 Sadraj 1.Saetak i kljune rijei ...................................................................................................................... 2 2.Uvod i osnovni postupci .................................................................................................................. 3 2.1Optimiranje.............................................................................................................................. 3 2.1.1Definiranje fizikalnog modela: ......................................................................................... 4 2.1.2Modeliranje: .................................................................................................................... 4 2.1.3Kriterij izvrsnosti: ............................................................................................................. 4 2.1.4Algoritam za rjeavanje problema ................................................................................... 4 2.2Lagrange-ova formulacija ........................................................................................................ 5 2.3Parametrizacija geometrije ..................................................................................................... 8 2.3.1Opis geometrije Bezier-ovom krivuljom .......................................................................... 8 2.4Problem mehanike vrstih tijela i princip virtualnih radova ................................................. 10 2.5Princip minimuma ukupne potencijalne energije ................................................................. 14 2.6Numerike metode rjeavanja .............................................................................................. 15 2.6.1Metoda konanih elemenata ........................................................................................ 15 2.6.2Metoda zamjenskog materijala - Ersatz material ...................................................... 18 2.6.3Aproksimacija pomodu bezmrene metode - Radijalne bazne funkcije (RBF) .............. 18 2.7Analiza osjetljivosti pri optimiranju ....................................................................................... 24 3.Topoloko optimiranje u mehanici vrstih tijela ........................................................................... 26 3.1Klasini postupak i SIMP postupak topolokog optimiranja uvjeti optimuma ................... 27 3.1.1Osjetljivost procesa ....................................................................................................... 28 3.1.2Usklaivanje mree i postojanje rjeenja ...................................................................... 28 4.Level Set metoda ........................................................................................................................... 31 4.1Rjeavanje metodom konanih razlika (klasini Upwinding postupak) ................................ 32 4.1.1Teinske funkcije i definiranje podruja ........................................................................ 34 4.2Interpolacijske funkcije za Level set funkciju.................................................................... 35 4.3Jednadba gibanja level set funkcije i proces optimiranja .................................................... 37 4.4Izvrsnost i funkcija cilja Level set plohe ................................................................................. 39 4.5Dijagram toka gradijentnog postupka optimiranja pomodu RBF & Level set metode .......... 43 4.6Dijagram toka negradijentnog postupka optimiranja genetskim algoritmom pomodu RBF & Level set metode ............................................................................................................................... 44 5.Dosadanja istraivanja ................................................................................................................. 45 6.Zakljuak i daljnja istraivanja ....................................................................................................... 50 7.Literatura ....................................................................................................................................... 51 Prilog A: Odreivanje pomaka na aksijalno opteredenoj konzoli metodom konanih elemenata jakom i slabom formulacijom ........................................................................................................................... 56 Prilog B: Aproksimacija opde funkcije 3D RBF RPIM metodom............................................................. 63 2 1.Saetak i kljune rijei U ovom radu dan je pregled i temeljne postavke numerikih postupaka potrebnih za optimiranje i aproksimaciju geometrije, te topoloko optimiranje level set metodom. Topoloko optimiranje i optimiranje oblika koji je zadan implicitnom funkcijom sloen je i zahtijevan numeriki postupak zbog velikog broja varijabli, rubnih uvjeta, te zbog mogudeg visokog stupnja nelinearnosti funkcija koje se rjeavaju. U drugom poglavlju opisane su temeljne postavke za opis i optimiranje oblika (geometrije), te neki osnovni principi za numeriku analizu problema mehanike vrstih tijela. Geometrija se opisuje parametarski, te su opisani i neki postupci parametrizacije. Pri klasinom rjeavanju problema mehanike vrstih tijela oblik je zadan, te se odreuju naprezanja. Meutim uvoenjem topolokog optimiranja u mehanici vrstih tijela (trede poglavlje) pojavljuje se problem odreivanja dva nepoznata polja: polje pomaka i oblik, odnosno raspodjela materijala. Oblik uzimamo kao varijablu pri optimiranju, te on kao takav nije zadan. Topolokim optimiranjem mijenjamo strukturu domene. Postupak optimiranja postaje znatno sloeniji jer se pri promjeni topologije mijenja domena koja se optimira, te se klasinim metodama rjeavanja problema mehanike vrstih tijela za novi, topoloki promijenjen oblik, mora uraditi niz numeriki zahtjevnih postupaka, koji znaajno usporavaju i kompliciraju proces optimiranja. U etvrtom poglavlju opisana je level set metoda koja definira dimenzije, oblik i topologiju polja problema. Level set metoda temelji se na implicitnoj funkciji ije nul toke definiraju rubove polja problema. Level set funkciju moemo opisati parametarski, a promjena ove funkcije ima za posljedicu promjenu oblika i topologije. U ovom poglavlju dan je i naelni blok dijagram level set metode za gradijentni postupak i za ne-gradijentni postupak optimiranja. Peto poglavlje daje osvrt na dosadanja istraivanja, te pregled literature vezane uz primjenjivane postupke u ovom radu. Kljune rijei: optimiranje, parametrizacija, RPIM aproksimacijska metoda, topoloko optimiranje, level set 3 2.Uvod i osnovni postupci 2.1Optimiranje Optimiranje je postupak kojim se pri projektiranju ili planiranju odreuje najbolji mogudi izbor slobodnih veliina na temelju prethodno odreenih kriterija.U suvremenoj proizvodnji velika panja se posveduje optimiranju zbog utede resursa i vremena. U inenjerskom smislu optimiranje je traenje ekstrema funkcije uz zadovoljavanje ogranienja. Osnovni cilj optimiranja je minimiziranje trokova odnosno traenje maksimalne dobiti, to se svodi na minimum mase, energije... Standardni inenjerski pristup razvijanja nekog proizvoda izgledao je kao na Slika 1. Slika 1 Stari inenjerski pristup. Ovakav pristup vrio je analizu predloenog rjeenja i na osnovu te analize provjeravala se funkcionalnost proizvoda. Meutim, tenja inenjera je povezati funkcionalnost i tehniko rjeenje, to je shematski prikazano (Slika 2). Slika 2 eljeni inenjerski pristup. U procesu sinteze dozvoljeno je sve to nije zabranjeno. eljeni inenjerski pristup odnosno sinteza je neizvediva, ali pojavom jakih raunala omogudena je simulacija sinteze (kvazisinteza) pomodu optimizatora (Slika 3). Slika 3 Simulacija pravog inenjerskog pristupa. Predloeno rjeenjeAnalizaProvjera funkcionalnostiZadana funkcionalnostSintezaTehniko rjeenjePredloeno rjeenjeAnalizaFunkcionalnostOptimizator4 Sada optimizator na osnovu zadanih parametara sam trai rjeenje, odnosno donosi odluke u danim uvjetima na bazi kriterija izvrsnosti i ogranienja. Postupak optimiranja obuhvada [1]: -fizikalni model problema, -modeliranje za optimiranje, ovarijable optimiranja, okriterij izvrsnosti, odefiniranje ogranienja -matematiki izraz i ovisnost varijabli -postavljanje algoritma za rjeavanje problema, -izrada programa, -testiranje programa. Postoje tri razine optimiranja: -Optimiranje dimenzija -Optimiranje oblika i -Topoloko optimiranje. Optimiranje dimenzija i oblika rjeava se klasino parametrizacijom geometrije koja se optimira, te mijenjanjem parametara kako bi se dobio optimalan oblik. 2.1.1Definiranje fizikalnog modela: Svaki fizikalni model objekta moe se predstavit parametrima i funkcijskim ovisnostima parametara. Dva su fizikalna modela problema za pri optimiranju: -Ako promatramo model kao geometrijsko tijelo, za definiranje geometrije tijela potrebne su nam kontrolne toke odnosno znaajke geometrijskog modela potrebnih za njegov opis. Kontrolne toke su u procesu optimiranja varijable optimiranja. -Model problema mogu biti i uvjeti ravnotee, minimum energije, odnosno minimum trokova, bilo da je rije o mehanici vrstih tijela, mehanici fluida, termodinamici, Varijable optimiranja x predstavljaju viak internih stupnjeva slobode fizikalnog modela, ime se osigurava postojanje beskonanog skupa rjeenja promatranog problema. Na taj nain ispunjena je osnovna pretpostavka za odreivanje optimalnog rjeenja. 2.1.2Modeliranje: Modeliranjem se u procesu optimiranja opisuju fizikalne pojave ili geometrija pomodu matematikih funkcija. Modeliranjem se odreuju ogranienja odnosno uvjeti koje rjeenja moraju zadovoljavati i parametri modela. 2.1.3Kriterij izvrsnosti: Predstavlja osnovu za matematiku izgradnju funkcije cilja. On prosuuje koja su moguda rjeenja promatranog problema najbolja - . Funkcija cilja opisuje se pomodu varijabli optimiranja, na taj se nain promjenom varijabli mijenja funkcija cilja prema optimalnom rjeenju. 2.1.4Algoritam za rjeavanje problema Algoritam sadri popis niza postupaka koje treba izvravati zadanim redoslijedom da bi se dobilo rjeenje odreenog problema. Algoritam se implementira u program raunala, gdje se problem numeriki rjeava. 5 2.2Lagrange-ova formulacija U koliko je potrebno pronadi minimum funkcije (2.1) sa jednakosnim ogranienjima (2.2):

(2.1)

(2.2) Uvjet postojanja ekstrema funkcijeje:

(2.3) Uvjet ekstrema funkcija ogranienja

je:

(2.4) Ako se nalazimo u ekstremu, iz prethodnih jednadbi (2.3) i (2.4), moemo zakljuiti da promjena funkcije cilja zbrojena sa promjenom funkcija ogranienja daje nulu.

(2.5) Jednadbe (2.2) i (2.5) daju n+r jednadbi za odreivanje x i . Lagrange-ov pristup kae da se funkcija, dobiva kombinacijom funkcije ciljai ogranienja

(kojih ima r) pomnoenih sa Lagrange-ovim mnoiteljem , moe minimizirati. Takva sloena funkcija predstavlja minimum funkcije cilja, a potujudi ogranienja [1]:

(2.6) - konstanta kojom se mnoe ogranienja jednakosti. Broj varijabli je proiren za r Lagrange-ovih mnoitelja , ali nuni uvjet za ekstrem Lagrange-ove funkcije istovremeno osigurava i zadovoljavanje ogranienja. Nuni uvjet za ekstrem Lagrange-ove funkcije:

Iz ovih jednadbi slijedi da je u toki minimuma gradijent funkcije cilja linearna kombinacija gradijenta ogranienja pomnoena sa Lagrange-ovim mnoiteljima:

Dakle traenje minimuma funkcije uz jednakosno ogranienje svodi se na odreivanje minimuma Lagrange-ove funkcije bez ogranienja, ali sa povedanim brojem varijabli (r+n). Lagrange-ovi mnoitelji fizikalno se mogu interpretirati kao 'sila' potrebna za nametanje ogranienja. Lagrange-ovi uvjeti mogu se numeriki rjeavati kao sustav nelinearnih jednadbi (Newton-Rapson iterativni postupak), ali to nije opdenito najuinkovitiji postupak, te ovi izrazi predstavljaju podlogu za druge numerike postupke. Ogranienja nejednakosti:

(2.7) transformiraju se u ogranienja jednakosti uvoenjem p dodatnih varijabli ('slack variables') s:

(2.8) Ova transformacija vrijedi jer za proizvoljnu vrijednost

, vrijedi

pa iz

, slijedi da je

. 6 Dodatni uvjet kod ogranienja nejednakosti je da odgovarajudi Lagrange-ovi mnoitelji moraju biti ne negativni , ime je osigurano da su gradijenti funkcije i ogranienja suprotno usmjereni. Kod ogranienja koje je neaktivno (odnosno ije su ne jednadbe zadovoljene - istinite) u trenutnoj toki multiplikatori su jednaki nuli . Promotrimo opdi problem sa ogranienjima:

Ukupna Lagrange-ova funkcije je:

(2.9) - Lagrangeov mnoitelj uz zadana jednakosna ogranienja, - Lagrangeov mnoitelj uz zadana nejednakosna ogranienja, dodane varijable koje ogranienja nejednakosti svode na jednakosna ogranienja Nuni uvjeti za ekstrem Lagrange-ova funkcije nazivaju se Kuhn-Tucker (KT) nuni uvjeti:

(2.10)

(2.11)

Za aktivna ogranienja j koja su u optimumu zadovoljena sa

vrijedi:

i

. Za neaktivna ogranienja koja su zadovoljena sa

, tj.

vrijedi . U optimumu za trenutno aktivna ogranienja multiplikator

je ne-negativan, a za neaktivna . U toki optimuma s ogranienjima negativni gradijent funkcije cilja jednak je linearnoj kombinaciji gradijenta aktivnih ogranienja pomnoen sa pripadajudim Lagrange-ovim multiplikatorima. KT daju (n+r+2p) jednadbi za isto toliko nepoznanica ( ). KT uvjeti nisu praktini za rjeavanje nelinearnih jednadbi. Postoji komplementarnost u matematikoj prirodi optimiranja. Ako napiemo Lagrange-ovu formulaciju za neki problem - jednadba (2.6), postoji mogudnost da se peturbira problem pa Lagrange-ovi multiplikatori postaju dualne varijable, a ne vie varijable optimiranja (geometrijski parametri). Takva formulacija se zove dualna formulacija i moe se uvesti u optimiranju zamjenom varijabli. U nekim situacijama ona je jednostavnija za rjeavanje od izvorne formulacije (tipino kada ima puno ogranienja, a malo aktivnih). Dualna formulacija objanjava se kao sedlasta funkcija gdje su u jednoj strani varijable optimiranja, a u drugoj Lagrange-ov multiplikator (Slika 4). Optimum je min max problem, odnosno optimum je u minimumu funkcije po varijabli i maksimumu funkcije po Lagrange-ovom multiplikatoru [1]. Slika 4 Sedlasta funkcija sa optimumom u minimumu funkcije cilja, odnosno maksimumu lagrangeovog mnoitelja xf(x,)7 Lagrange-ova metoda nije jedina za uvoenje ogranienja. Naime kaznenom formulacijom takoer se moe rjeavati problem optimiranja sa ogranienjima. Ideja vodilja postupka kaznenih funkcija je pretvorba zadatka odreivanja minimuma funkcijeuz ogranienja

i

u zadatak odreivanja minimuma funkcije bez ogranienja , pri emu je: (2.12) gdje jekaznena funkcija. Ne postoji jedinstvena kaznena funkcija, ved je to svaka funkcija koja ima svojstvo da u sluaju prekoraenja ogranienja dodaje veliki iznos funkcijikako ona ne bi imala minimum izvan izvedivog podruja. Jadan od korisnih oblika kaznene funkcijeje

gdje je 'r' pozitivna konstanta. Tada sloena funkcijapoprima oblik:

(2.13) U izvedivom podruju (

) F poprima vrijednosti koje su vede od stvarne funkcije cilja, iako se razlika moe smanjiti doputajudi 'r' da poprimi vrlo male vrijednosti. Meutim, ako se x priblii granici izvedivog podruja, tako da je barem jedno

blisko nuli, , a tada i , postaje vrlo veliko. Ako se traenje zapone unutar izvedivog podruja, minimum funkcije bez ogranienja de sigurno biti unutar izvedivog podruja. Pridavajudi r-u prikladno malu vrijednost (tako da je utjecaj na minimumu malen), minimum zadatka bez ogranienjaodgovara minimumu funkcije s ogranienjima. esto se koristi i kaznena funkcijaoblika

(2.14) gdje je R pozitivna konstanta prikladno velikog iznosa. Vanjska kaznena funkcija se ede koristi, zbog neosjetljivosti na odabir poetne toke, dok kod unutarnje kaznene funkcije poetna toka mora biti unutar izvodivog podruja. Za jednakosna ogranienja koristi se parabolina kaznena funkcija

(2.15) 8 2.3Parametrizacija geometrije U inenjerskoj analizi esto je potrebno neki fiziki oblik predstaviti pomodu jednoznanih izraza. Ova formula treba uz pomod skalarnih parametara matematiki opisati geometrijski oblik pripadnog kontinuiranog fizikog oblika u 2D ili 3D. Skupom skalarnih parametara poopdujemo i jednostavnije pohranjujemo geometrijski oblik, to nam omoguduje njegovu vizualizaciju, zatim simulaciju interakcije oblika sa okolinom te geometrijsku transformaciju [2]. Parametrizacija pohranjuje niz parametara (kontrolnih toaka, nagiba...) koji definiraju geometrijski oblik. Geometrijski model moemo definirati pomodu parametarskih jednadbi. Za opis geometrije moemo koristiti bilo koju parametarsku jednadbu, kao na primjer jednadbe elipse, kruga, valjka, kugle u sluaju da geometrija modela ima slinost sa navedenim primitivima. Sloenije oblike ne moemo precizno opisati primitivima, pa se za opis sloene geometrije koriste polinomne jednadbe kao to su B-krivulje, NURBS krivulje, Bezier-ove krivulje [2], [3], [4], [5]. Za opis geometrije takoer se moe koristiti i Radial Basic Funkcije (RBF), a u kasnijim poglavljima detaljnije demo izloiti opis geometrije Bezier-ovim krivuljama te Radial Point Interpolation Method (RPIM) RBF metodu. Opdenito, geometrijski model nekog objekta moemo opisati pomodu niza parametara interpolacijskom ili aproksimacijskom jednadbom. Interpolacijska jednadba zadane uvjete mora egzaktno zadovoljiti, dok aproksimacijska jednadba predstavlja jednadbu koja prolazi priblino pokraj zadanih uvjeta (kontrolnih toaka), sa to manjim ukupnim odstupanjem svake kontrolne toke od aproksimacijske funkcije (Slika 5). Slika 5 Prikaz Interpolacije i aproksimacije pomodu niza parametara 2.3.1Opis geometrije Bezier-ovom krivuljom Za opis geometrijskog oblika mogu se koristiti Bezier-ove krivulje. Ove krivulje imaju sljededa svojstva: -krivulja poinje od P0 odnosno poetne toke interpolacije i zavrava na Pn, koja se zove krajnja toka interpolacije, -Bezier-ova krivulja je pravac, ako i samo ako su kontrolne toke kolinearne, -poetak (kraj) krivulje je tangenta na prvi (posljednji) dio Bezier-ovog poligona, -krivulja moe biti podijeljena u bilo kojoj toki na dvije pod krivulje ili u proizvoljno mnogo pod krivulja tako da je svaka od njih Bezier-ova krivulja, -neke jednostavne krivulje ne mogu se opisati tono sa jednom Bezier-ovom krivuljom. Bezier-ova krivulja u formi polinoma (Bernstein-ov polinom) glasi :

(2.16) xyInterpolacijaxyAproksimacija9 gdje je :

kontrolne toke n stupanj Bezier-ove krivulje, i se krede od 0 do n, toke aproksimacije idu od P1 do P4 sa podjelom koju zadajemo (Slika 6). t trenutni poloaj aproksimacijske toke na Bezier-ovoj krivulji. Slika 6 prikazuje jednu Bezier-ovu krivulju etvrtog reda (n=4). Slika 6 Konstrukcija kvartne Bezier-ove krivulje (n=4) za trenutak t=0, i t=0.25. Meu-toke A0, A1, A2 i A3 opisuju linearnu Bezier-ovu krivulju, meu-toke B0,B1 i B2 opisuju kvadratnu Bezier-ovu krivulju, a toke C0 i C1 opisuju kubinu Bezier-ovu krivulju. Kvartna Bezier-ova krivulja nastaje kretanjem toke B po pravcu C0 C1. U sluaju velikog broja kontrolnih toaka izmeu koje se povlai jedna Bezier-ova krivulja visokog stupnja, mogu se javiti oscilacije krivulje.Ova pojava izbjegava se uvoenjem vie Bezier-ovih krivulja nieg stupnja u nizu, uz nametanje odgovarajudeg stupnja kontinuiteta izmeu njih putem kontrolnih toaka. Bezier-ovim krivuljama u nizu mogu se opisati i najsloeniji geometrijski oblici a stupanj kontinuiteta izmeu njih omoguduje vizualni kontinuitet tj. kontinuitet nagiba (prva derivacija), kontinuitet inercijskih sila (druga derivacija), kontinuitet impulsa (treda derivacija). Kontinuitet se osigurava tako to iznos derivacije u toki na kraju prve krivulje treba biti jednaka iznosu derivacije u toki na poetku druge krivulje. Ovakav kontinuitet postiemo dodavanjem po dvije kontrolne toke Beziera, izmeu kojih se nalazi toka spoja dvaju krivulja Beziera. Dodane kontrolne toke i spojna toka Beziera trebaju biti kolinearne. Slika 7 prikazuje dvije Bezier-ove krivulje sa razliitim kontinuitetima nagiba. Slika 7 Prikaz dvije Bezier-ove krivulje izmeu kojih nema kontinuiteta nagiba (plava) i izmeu kojih postoji kontinuitet nagiba. Umnokom Bezier-ovih krivulja u dva smjera dobivamo 3D plohe:

(2.17) gdje su x i y parametarske koordinate, a kontrolnih toaka

ima set od (n+1) (m+1). Bernstein-ovi polinom

opisani su ranije, kao i binomni koeficijent:

P0P1P2P3P4BA1A0B0C0B1C1A2B2A3t=0.25P1=A1=B1=C1P3P4P2=A2=B2=C2P0=A0=B0=C0=Bt=01 2 3 4 5 6 7 8 90.511.522.533.54 nKriv=2 ntoc=7 nBez=31 2 3 4 5 6 7 8 90.511.522.533.54 nKriv=2 ntoc=7 nBez=310 2.4Problem mehanike vrstih tijela i princip virtualnih radova U ovom radu promatrat demo mehaniku vrstog tijela kao statiki problem. Teorija elastinosti bavi se razmatranjem pomaka , naprezanjai deformacijatijela, koje nastaju uslijed djelovanja opteredenja (sila) na elastina tijela [6], [7], [8]. Pomak je vektor koji spaja poetni poloaj estice sa poloajem estice nakon djelovanja sile. Deformacija tijela moe se definirati kao relativno produljenje. Za male deformacije, vezu pomaka i deformacije u x smjeru (2.18) moemo zapisati kao:

(2.18) Teorija elastinosti uvodi uvjete kompatibilnosti deformacije (2.19), ime se uvode parcijalne diferencijalne jednadbe drugog reda, koji za x-y ravninu glasi:

(2.19) Ako promatramo statiki problem, polazimo od Newton-ovog zakona za ravnoteno stanje tijela, odnosno ako je sustav estica u ravnotei, tada vrijedi jednadba (2.20) da je ukupna sila sustava jednaka nuli:

(2.20) Vanjske sile koje djeluju na neko tijelo izazivaju pojavu unutarnjih sila izmeu estica tijela, koje se svode na jedinicu povrinete daju naprezanja:

Jednadbu ravnotee za x os razmatrajudi diferencijalni volumen tijela (Slika 9), sada moemo zapisati kao (2.21):

(2.21) Jednadbe koje povezuju naprezanja i deformacije prema Hookeov-om zakonu za x smjer su:

, (2.22) gdje su: smino naprezanje, - smina deformacija, a karakteristike materijala: E Young-ov modul elastinosti, - Poissonov koeficijent,

modul smicanja. U svakoj toki povrine mogu biti zadani rubni uvjeti. Ako su u svakoj toki povrine tijela

zadana opteredenja

tada je statiki rubni uvjet:

(2.23)

- normala u toki Ako su na povrini tijela

zadane komponente pomaka

radi se o geometrijskim rubnim uvjetima:

(2.24) Virtualni radsile koja djeluje na esticu je rad koji sila izvri na kinematiki dopustivom virtualnom pomaku

. Pa ako je suma svih sila u ravnotenom sustavu jednak nuli, tada je i virtualni rad jednaka nuli: 11

(2.25) Virtualni rad nekog tijela je rad svih sila na njima pripadnom virtualnom pomaku. Za ravnoteno stanje ukupni virtualni rad je jednak nuli. Virtualni pomakmora imati sljededa svojstva: -Virtualni pomak jednak je nuli u osloncima (kinematski dopustivo polje) -Virtualni pomak je jako mala veliina (jer ne smije promijeniti naprezanja i deformacije u tijelu, nego samo malo pomaknuti tijelo koje je u ravnotei). -Virtualni pomak je proizvoljna veliina (upravo jer ne ovisi o naprezanjima i deformaciji) Slika 8 Stanje (a) vanjske sile F i unutarnja naprezanjau ravnotei i stanje (b) deformacija * i pomak u* ostvaren Slika 9 Naprezanje u diferencijalnom elementu Promatrajudi jedan segment deformabilnog tijela(Slika 9), moemo izvesti sljededu jednadbu virtualnog rada za 1D problem [7]:

nakon skradivanja prvog lana

rada sa radom

dobijemo:

Uvrstimo li zadobivamo:

Zadnji lan ovog izraza moemo zanemariti jer se javljato daje zanemarivu veliinu, te je virtualni rad za diferencijalni element :

(2.26) tFfA Bu**(a)(b)AF dy dz o = BBF dx dy dzxooc | |= + |c\ .u*fdA**uu dxxc+c12 Slika 10 Prikaz sila u diferencijalnom segmentu za 1D Vektor volumenskih sila

i vektor povrinskog opteredenja

iznose:

Iz jednadbe ravnotee, za x-os slijedi:

(2.27) A veza pomaka i deformacije:

Da bi mogli postaviti jednadbu ukupnog virtualnog rada, koji mora biti jednak nuli, potreban nam je jo rad koje vre sve vanjske sile, po obodu t volumena :

Te jednadbu ukupnog virtualnog rada (2.25) moemo napisati za 1D kao:

(2.28) gdje je povrina tijela

vanjska povrina tijela na kojoj djeluju vanjske sile fs statiki rubni uvjeti

vanjska povrina tijela na kojoj su zadani pomaci

- geometrijski rubni uvjeti - promatrani volumen tijela u* vektor ostvarenih pomaka (moe biti ostvaren i virtualni pomak) fs vektor distribuiranih sila koje djeluju na dijelu povrinu ruba

fv vektor volumenskih sila

- ukupni unutarnji virtualni rad

+

rad vanjskih sila

- ukupni virtualni rad volumenskih sila

- rad koje vre sve vanjske sile, po obodu

Rad svih vanjskih opteredenja koje djeluju na tijelo pohranjuje se u vidu unutarnje energije. Jednadba (2.28) je prepoznatljiva i zove se varijacijska slaba formulacija koju rjeavamo numerikim metodama (konani elementi, meshfree) s tim da su teinske funkcije analogne virtualnim pomacima, to demo u narednim poglavljima detaljnije i obraditi. Sve veliine sada zapisujemo vektorski kako bi vrijedila jednadba za sve smjerove , odnosno jednadba (2.28) u 3D glasi:

(2.29) -Diferencijalni operator L za 3D [8]: FF+dFfdx13

-Vektor naprezanja:

-Vektor deformacija:

-Odnos naprezanja i deformacije iz Hooke-ovog zakona: (2.30) -Matrica elastinih svojstava materijala u svojstvu naprezanja ili u svojstvu deformacija:

(2.31) -Young-ov modul elastinosti E i Poisson-ov broj-Vektor pomaka:

-Vektor deformacije izazvan virtualnim pomakom : Osim navedenih svojstava materijala moemo definirati jo i modul smicanja G, te prostorni modul elastinosti (modul stlaivosti) B [8]. U jednadbi (2.29) prvi integral sa lijeve strane predstavlja ukupni unutarnji virtualni rad:

(2.32) Drugi i tredi integral jednadbe (2.29) gledajudi s lijeva predstavljaju rad vanjskog opteredenja:

(2.33) Rad vanjskog opteredenja jednak je zbroju vanjskog opteredenja

po jedinici volumenai vanjskog opteredenja

po jedinici konture

. Jednadba (2.32) naziva se bilinearnom, jer ima linearnu ovisnost o dva parametra, pomaki virtualni pomak . Ove jednadbe sluit de nam kao temeljne jednadbe za topoloko optimiranje (poglavlje 3) i level set metodu (poglavlje 4.4). Ekvivalentan princip virtualnom radu je princip minimuma ukupne potencijalne energije. 14 2.5Princip minimuma ukupne potencijalne energije Minimum ukupne potencijalne energije je temeljni koncept pri optimiranju u fizici, kemiji, biologiji i inenjerstvu, te je jedan od temeljnih principa prirode. Tijelo ili struktura se pomie i deformira u poloaj koji odgovara minimumu njegove ukupne potencijalne energije. Tipian primjer je grana stabla na koju napada snijeg, te se uslijed teine snijega ona sputa na visinu minimuma potencijalne energije gdje je jednadba ravnotee zadovoljena. Ukupna potencijalna energija je zbroj energije elastine deformacije u deformabilnom tijelu U i potencijalne energije vanjske sile V (2.34) [8]: (2.34) Energija je stacionarna kada neznatna promjena poloaja tijela ne daje promjenu energije: (2.35) Princip minimuma potencijalne energije je u stvari specijalni sluaj principa virtualnih radova elastinog tijela izloenog konzervativnim silama (2.28), te je jednakost vanjskih i unutarnjih virtualnih radova moemo zapisati kao (2.36):

(2.36) Desna strana jednadbe (2.36) predstavlja infinitezimalnu promjenu energije elastine deformacije U, . Lijeva strana predstavlja promjenu potencijalne energijekonzervativne vanjske sile.

(2.37) gdje negativni predznak predstavlja gubitak potencijalne energije kako se sila pomie u smjeru pomaka. Sada jednadba (2.36) postaje: (2.38) Ovo dovodi do jednadbe (2.35) koja je i osnovna jednadba pri razvoju numerikih metoda u mehanici vrstih tijela. Jednadbu minimuma potencijalne energije (2.35) zapisujemo kao:

(2.39) 15 2.6Numerike metode rjeavanja Iz uvjeta ravnotee i rubnih uvjeta dobivene su parcijalne diferencijalne jednadbe (PDJ) (2.18), (2.21), (2.22), (2.23), (2.24), odnosno njegovi 3D ekvivalenti (2.30), koje opisuju promjene stanja unutar tijela koje se dogaaju uslijed vanjskih utjecaja. Problem rjeavanja PDJ podrazumijeva nalaenje rjeenja fizikalnih procesa koje opisuju PDJ. U termodinamici PDJ daju temperaturno polje kod provoenja topline, u mehanici fluida PDJ opisuju protok fluida, u mehanici vrstih tijela PDJ opisuju ponaanje tijela uslijed djelovanja vanjskih opteredenja.Kako su PDJ analitiki teko rjeive ili ih u vedini sluajeva ne moemo rijeiti (zbog sloenosti zadovoljavanja rubnih uvjeta), razvijene su brojne metode koje priblino rjeavaju ove jednadbe. U mehanici vrstih tijela PDJ rjeavaju su se teorijom elastinosti (aproksimativnim priblinim poljima na bazi polinomima i Fourier-ovih redova). Rjeavanje PDJ teorijom elastinosti je ogranieno na jednostavnije geometrije, zbog problema zadovoljavanja sloenih rubnih uvjeta. Kako bi mogli rijeiti probleme sa sloenom geometrijom, koristimo priblino rjeavanje PDJ jednadbi nekim od numerikih metoda kao to su metoda konanih diferencija, metoda konanih elemenata (MKE), konani volumeni, radijalne bazne funkcije (RBF), radial point interpolation method (RPIM)... U naelu sve numerike metode temeljene su na diskretizaciji polja problema pomodu probnih interpolacijskih (aproksimacijskih) funkcija. Pri numerikom rjeavanju PDJ postoje dva problema: prvi je nadi probne funkcije koje de zadovoljiti PDJ, a drugi problem je zadovoljiti rubne uvjete. Ovisno o tome koje varijable promatramo, zadovoljavamo pojedine uvjete. Pa ako su varijable pomaci i deformacije, uvjeti kompatibilnosti deformacija su zadovoljeni te se razmatraju uvjeti ravnotee. 2.6.1Metoda konanih elemenata Pojavom raunala prevladala je metoda konanih elemenata koja se ved oko 50 godina uspjeno koristi pri rjeavanju brojnih tehnikih problema. Metoda konanih elemenata rjeava PDJ integralno, na razini cijele domene. Nastala je ranih 50-tih godina dvadesetog stoljeda. Zasnovana je na diskretizaciji prostora na elemente spojenih vorovima. vorovi su karakteristine toke diskretiziranog prostora u kojima se prate veliine znaajne za proces [9]. Slika 11 Prikaz diskretizacije prostora i vorova Za svaki vor diskretiziranog prostora se primjenom interpolacije probnih funkcija unutar elemenata rauna vrijednost varijabli stanja PDJ. U mehanici vrstih tijela varijable stanja su pomaci u,v i w, dok u elementu vrijedi interpolacija funkcije na temelju vrijednosti u vorovima. Rjeavanje funkcije na cijeloj domeni svodimo na rjeavanje funkcije u vorovima, pri emu je izmeu vorova interpolirana funkcija. Takvo priblino rjeenje probnim funkcijama uvrtava se u izraze za potencijalnu energiju (2.39), iz kojih slijede vrijednosti varijabli stanja u vorovima. Probne (aproksimacijske) funkcije biraju se tako da to bolje opisuje problem. Razvijeni su razliiti konani elementi (npr. polinomni razliitog stupnja, ovisno o broju vorova elementa) o emu ovisi i tonost. Kako bi rijeili problem numerikim metodama, kod problema mehanike vrstih tijela potrebno je formirati jaku formulaciju u obliku minimuma potencijalne energije. Ovu jednadbu moemo svesti F12341234elementvorovi16 na jednadbu slabe formulacije primjerice Galerkin-ovom metodom (ekvivalentna jednadba nieg stupnja derivacije) koja je analogna jednadbi principa virtualnih radova (2.28), tako da dobivamo integralni ekvivalent PDJ. Kad govorimo o MKE, postoje razliite probne funkcije i razliiti konani elementi. Pomaci u elementuprikazuju se ovisno o pomacima u vorovimapomodu interpolacijskih funkcija koje ine matricu funkcija oblika .

Iz odnosa pomaka i deformacije (2.18), dobivamo raspodjelu deformacija u elementu:

matrica meusobne ovisnosti deformacije u elementu i pomaka u vorovima. Varijacijom po nepoznatim veliinama u vorovima elementa dobivamo:

Sada je minimuma ukupne potencijalne energije (2.39) diskretiziran:

(2.40) Iz jednadbe (2.40) izvodi se uvjet ravnotee konanog elementa:

gdje su: matrica krutosti konanog elementa

vektor sila u vorovima od volumenskih sila

vektor sila u vorovima od povrinskog opteredenja vektor koncentriranih vornih sila. Ako uvedemo supstituciju:

, dobivamo osnovnu jednadbu konanih elemenata [8], [9]: (2.41) Promatramo cijeli diskretizirani prostor. Uvoenjem matrice transformacije koja se sastoji od kosinusa smjera pomaka u pravcu lokalnih osi u odnosu na pravce globalnih koordinatnih osi, izvodi se globalna jednadba konanih elemenata: (2.42) Rjeavanjem PDJ metodom konanih elemenata potrebno je dokazati da stanje konvergira ka rjeenju. Ne moemo uvijek postidi konvergenciju. Konvergencija ovisi o odabiru konanih elemenata. Ako odaberemo konani element koji nije u stanju prikazati stanje konstantne deformacije, tada nemamo konvergenciju. Osnovni preduvjet za konvergenciju je odabir elementa koji de prikazati tono rjeenje stanja sa konstantnim vrijednostima deformacije. Drugi preduvjet je takozvani 'patch test'. 'Patch test' je indikator kvalitete konanog elementa [10]. Kvaliteta konanog elementa provjerava se standardiziranim postupkom, tako da se uzme PDJ koji ima poznata analitika rjeenja te se na takvom problemu za podruje od nekoliko elemenata ispituje kvaliteta konanog elementa koja aproksimira ovu PDJ, odnosno gleda se da li je naa aproksimacijska funkcija u stanju dovoljno tono opisati zadanu PDJ. U mehanici tono rjeenje sastoji se od pomaka koji variraju linearnom funkcijom u prostoru tada 'patch test' osigurava konstantne vrijednosti deformacija (nema skoka deformacija). Tredi preduvjet konvergencije je da se ona moe dokazati povedanjem broja elemenata, odnosno sa vedim brojem konanih elemenata, proraun bi trebao konvergirati ka rjeenju. U nastavku je prikazan opdi postupak rjeavanja konanim elementima (dijagram toka) Slika 12: 17 Slika 12 Dijagram toka metode konanih elemenata U prilogu A prikazan je postupak pronalaenja pomaka u aksijalno opteredenoj konzolnoj gredi metodom konanih elemenata. Probne i teinske funkcije odabrane su kao Bezier funkcije. Ulazni parametri:- geometriaj: topoloka domena, definirana kontura oblika- svojstva materijala- diskretizacija problema: vorovi, elementi...- rubni uvjeti- optereenje (sile, tlakovi, temperature...)Zadavanje mree (reinicijalizacija mree) konanih elemenata promatrane domeneFormiranje matrice krutosti elemenata [ke]Dodavanje elemenata matrice krutosti [ke] u globalnu matricu sustava KgNarinjavanje globalnog optereenja [Fg]Dodavanje pomaka ili ogranienja u globalnu matricu krutostiRjeavanje sustava jednadbi za globalne pomake [K][u]=[F]Iz matrice krutosti elemenata [ke], dobivaju se naprezanja []Ispis rjeenja:- globalni pomaci [u]- naprezanja [] Petlja za sve elementePetlja za sve elementePetlja po svim optereenjima18 2.6.2Metoda zamjenskog materijala - Ersatz material Pri rjeavanju metodom konanih elemenata, kod promjene geometrije diskretiziranog prostora (npr. kod optimiranja oblika) potrebno je izvriti ponovno generiranje mree konanih elemenata. Ovaj proces je vremenski skup zbog formiranja konture, generatora mree, Delaunay-eve triangulacije, odnosno triangulacije seta toaka pomodu krunice u svrhu povedanja minimalnog kuta svih kutova u trokutu elementa. Dakle promjena oblika zahtjeva ponovno izvoenje cijelog dijagrama toka Slika 12. Stoga se kao alternativa generiranju nove mree konanih elemenata razvio postupak zamjenskog materijala (Ersatz material njemaka rije zamjenski materijal). Ako zamislimo plou, te da bilo koja formulacija iskopa rupu u ploi. Klasini pristup metodom konanih elemenata bi zahtijevao ponovno generiranje mree materijala (remesh), zbog promjene geometrije. Metoda zamjenskog materijala ostavlja istu mreu konanih elemenata, a na mjestima gdje nema materijala mijenjamo svojstvo materijala (zadajemo meki materijal). Svojstva materijal u promatranoj domeni kontroliramo pomodu krutosti. Krutost materijala koja predstavlja dio domene bez materijala ne smije biti velika jer bi znaajno utjecala na tonost, ali ne smije biti ni jako mala jer bi se pojavio singularitet u konanim elementima (pucanje konanog elementa). Odabir optimalne krutosti materijala na mjestima gdje materijal ne postoji je iskustven, to predstavlja nedostatak u metodi zamjenskog materijala. Jo jedan nedostatak metode Ersatz material je zahtijevanje relativno fine mree konanih elemenata, jer za velike elemente granice tvrdog i mekog materijala mogu biti pregrube. 2.6.3Aproksimacija pomou bezmrene metode - Radijalne bazne funkcije (RBF) Kako su se raunala razvijala i postajala sve bra, tako su i neke metode rjeavanja koje su postojale samo teorijski uspjeno primijenjene, a njihov razvoj otvara mnoge mogudnosti kako u znanstvenom svijetu tako i u praktinoj primjeni. Bez-mrene metode su klasa numerikih algoritama za simulaciju fizikalnih pojava. One su pribline metode rjeavanja problema polja (npr. teorije elastinosti) bez mree za diskretizaciju, koje koriste globalne aproksimacijske funkcije (npr. RBF funkcije). Metoda radijalne bazne funkcije (RBF) je metoda aproksimacije ili interpolacije za bilo kakvu funkciju. Tradicionalni algoritmi zasnivaju se na diskretizaciju prostora mreom (MKE), za razliku od bez-mrene metode koje se oslanjaju na probne interpolacijske ili aproksimacijske funkcije na bazi vrijednosti u odabranim vorovima. Na taj nain dobiva se globalna aproksimacija funkcija. RBF funkcije daju nam probna rjeenja, koja se mogu uvrstiti u funkciju i dati njenu aproksimaciju. Funkcija koja se aproksimira moe biti geometrija, ali mogu biti i PDJ. Ako probna rjeenja uvrstimo u PDJ, dobit demo problem aproksimacije PDJ. RBF metode temelje se na vornim tokama (esticama), te su zbog svoje prirode izvorno nale svoju primjenu u mehanici fluida pri opisu strujanja. Meutim neke metode temeljene na aproksimaciji u vornim tokama nale su uspjenu primjenu u mehanici vrstih tijela, kao na primjer Radial point interpolation method RPIM [11]. RPIM metodom se takoer moe i aproksimirati geometrija, te se istom metodom moe opisati oblik i rijeiti pojave koje se deavaju u zadanoj geometriji (tzv izogeometrijska analiza). Bez-mrene metode bolje opisuju stanja velikih deformacija, nelinearna ponaanja materijala te diskontinuitet i singularnost od metode konanih elemenata. Razlog tome je nepostojanje mree koja ograniava rjeavanje metodom konanih elemenata zbog potrebe za kreiranjem nove mree pri velikim deformacijama, te su kod takvih problema primjerenije bez-mrene metode. 19 2.6.3.1Radial Point Interpolation Method (RPIM) PIM interpolacijska metoda (Point interpolation method) koristi polinome kao bazne funkcije i jedna je od najranijih naina interpoliranja funkcija. Koristi se pri aproksimaciji numerikim metodama. PIM metoda za interpolaciju koristi monome, koji ovisno o dimenziji problema poprima oblik iz Pascal-ovog trokuta [8]: Slika 13 Pascal-ov trokut monomnih funkcija za dvo-dimenzijski prostor Linearna bazna funkcija za 1D izgleda:

Kvadratna bazna funkcija za 1D glasi

dok za 2D kvadratna bazna funkcija izgleda:

RPIM metoda je interpolacijska tehnika bez-mrene metode RBF. RPIM interpolacija proirena je sa polinomom, i moe se zapisati kao [11]:

(2.43) gdje je: n broj radijalnih baznih funkcija (RBF), m broj polinomnih baznih funkcija (m=0 isti RBF) ai i bj koeficijenti koje treba odrediti U RBF-u Ri su funkcije koje ovise o udaljenosti izmeu toaka interesa (), a za 3D problem udaljenost je jednaka:

(2.44) Postoje brojne vrste RBF funkcija:

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48) Pri emu su: q, i c parametri oblika, . Neka istraivanja pokazuju da vrijednost parametra q=0.98 ili q=1.03 daju dobre rezultate u analizi 2D problema u mehanici fluida i vrstih tijela [11]. dc je karakteristina duljina koja se odnosi na udaljenost vorova u prostoru u lokalnoj domeni toke interesa x i obino je jednaka prosjenoj udaljenosti vorova u prostoru za sve vorove u lokalnoj domeni. U RPIM metodi nije uvijek potreban polinomni dio. Na primjer ako se RBF funkcijom aproksimira geometrija, dovoljne su samo radijalne funkcije. Ukoliko RBF aproksimira neko polje iz kojeg slijede pomaci koristimo cjeloviti izraz (2.43), odnosno tada ne moe opisati tono linearno polinomno polje (ne prolazi 'patch test') te se dodaje i polinomni dio. Dodavanjem polinomnog dijela vieg stupnja od linearnog reda moemo osigurati kontinuitet C1 koji je potreban za 'patch test'. Dodavanje polinomnog dijela: 1x yx2xyy2x3x2y xy2y3x4x3y xy3y4x2y220 -moemo povedati tonost rezultata. -reducira se osjetljivost parametara oblika i daje nam se vie slobode i iri raspon u izboru parametara oblika. Ovo vrijedi za bez-mrenu slabu formulaciju. -moe doprinijeti interpolacijskoj stabilnosti za neke RBF. Rjeavanjem jednadbi RPIM (2.43) za poznate vrijednosti aproksimacijske funkcije

dobivamo nepoznate koeficijente ai i bi. Potrebno je rijeiti n linearnih jednadbi, po jednu za svaki vor:

(2.49)

je vektor poznatih funkcijskih vrijednosti aproksimacijske funkcije za kojeg dobivamo vrijednosti koeficijenata ai i bi. Matrica momenata RBF-a u (2.49) glasi:

(2.50) Matrica momenata polinoma (monomi iz Pascal-ovog trokuta Slika 13):

(2.51)

Nepoznatih koeficijenata ima n+m, a (2.49) daje samo n uvjeta. Mogude je dobiti m dodatnih jednadbi iz m ogranienja (rubnih uvjeta) :

(2.52) Stoga, zbog dodanih polinoma definiramo dodatne uvjete, kako bi osigurali jedinstveno rjeenje [12], [13]:

(2.53) te imamo n+4 jednadbe (u koliko se radi o 3D domeni) koje nam rjeavaju n+4 nepoznata koeficijenta. Za 2D problem etvrti izraz u (2.53) nam je suvian. Izrazi (2.53) proizali su iz uvjeta ortogonalnosti n dimenzijskih vektora koeficijenata RBF-ai vektora poloaja vorova (). Ovako odabranim dodatnim uvjetima izbjegavamo kolinearnost za linearne vorove odnosno koplanarnost za kvadratne vorove, itd. Sada sustav jednadbi (2.55) postaje stabilniji jer se jednadbama (2.53) izbjegava singularnost matrice sustava. Jednadbu interpolacije RPIM-om (2.43) mogude je zapisati kao:

(2.54) Kombinacijom jednadbi (2.49) i (2.52) dobivamo interpolacijsku jednadbu kroz rjeenja

:

gdje je kolokacijska matrica Sada dobivamo nepoznate koeficijente: 21

(2.55)

Kada smo izraunali nepoznate koeficijente (pomodu aproksimacijskih toaka), moe se aproksimirati jednadbaza proizvoljnu gustodu toaka. Kombiniranjem jednadbi (2.55) i (2.54), dobivamo [11]:

(2.56) gdje se RPIM funkcija oblika moe zapisati:

Jednadba (2.56) moe se zapisati kao:

(2.57) a derivacija jednadbe (2.57) glasi:

(2.58) gdjepredstavlja koordinate x i y, a zarez oznaava parcijalnu derivaciju po odreenoj koordinati. Valja imati na umu da matrica momenata RBF (R0) moe biti loe uvjetovana kada je broj vorova prevelik, to je uoeno u globalnoj bez-mrenoj formulaciji. Postoji nekoliko prednosti u koritenju RBF funkcija kao osnovnih funkcija pri gradnji PIM funkcije oblika. -koritenje RBF-a moe uinkovito rijeiti problem singularnosti polinoma PIM, koja se javlja uslijed ne mogudnosti izrauna inverzne matrice pri interpolaciji [11]. -RPIM funkcije oblika su stabilne i stoga fleksibilne za proizvoljnu i nepravilnu raspodjelu vorova. Stabilne znai da male promjene u lokaciji ili broju vorova u podranoj domeni nede dovesti do velike promjene u nastaloj RPIM funkciji oblika. -RPIM funkcija se jednostavno moe napisati i za 3D problem. Potrebno je samo varijablu udaljenosti zapisati kao:

. Meutim, RPIM takoer ima neke nedostatke, kao to su: -RPIM funkcije oblika obino daju slabiju tonost kod mehanike vrstih tijela u odnosu na PIM polinomnu funkciju oblika. -Neki parametri oblika moraju se paljivo odrediti, jer mogu utjecati na tonost i performanse RPIM funkcije oblika u bez-mrenoj metodi. -RPIM metoda je obino i numeriki zahtjevnija od polinomne PIM metode, jer su potrebno dodatni vorovi u lokalnom podranom podruju. Svojstva RPIM funkcija oblika: -RPIM funkcija oblika ima svojstva Kronecker delta funkcije. Kronecker delta funkcija je funkcija dvije varijable. U koliko su varijable jednake Kronecer delta funkcija poprima vrijednost 1, a u koliko su varijable razliite funkcija poprima vrijednost 0:

-RPIM funkcija oblika ima svojstvo jedininog udjela (partition of unit). Matematiki, jedinini udio govori da je suma vrijednosti svih funkcija u bilo kojoj toki topolokog prostora jednaka jedinici:

. -RPIM funkcije oblika obino imaju vedi kontinuitet zbog visokog kontinuiteta radijalnih baznih funkcija. -RPIM funkcije s polinomnim izrazima niskog stupnja moe osigurati tonu aproksimaciju linearnih polinoma. RBF funkcije ne mogu aproksimirati linearnu funkciju ako nisu proirene sa linearnim polinomnim dijelom. 22 Rubni uvjeti Promatrajudi polje problema moemo uoiti vorove unutar konture i vorove na granicama. Dio vorova na granicama konture imaju propisan iznos funkcija, a dio ima propisan iznos derivacije funkcije. Ti propisani iznosi nazivaju se rubni uvjeti. Na dijelu konture gdje su propisani iznosi funkcije kroz koje mora prolaziti aproksimacijska funkcija nazivaju se Dirichlet-ove granice, dok su Neumann-ove granice rubni uvjeti na kojima su zadane derivacije funkcija. Hermite-ova interpolacija koristi se kada su zadane vrijednosti funkcije i derivacije kao rubni uvjeti. Slika 14 Hermite-ova interpolacija sa Dirichlet-ovim i Neumann-ovim rubnim uvjetima Interpolacijska funkcija sada izgleda:

(2.59)

- broj vorova na rubu n broj vorova u podranom podruju m broj stupnja polinoma

,

,

nepoznati koeficijenti RBF funkcije raunaju se kao i do sada iz udaljenosti r:

dok je derivacija u smjeru normale:

- koordinata i-tog vora

- koordinata j-tog vora na rubu

i

-kosinus smjera Jednadba (2.59) moe se zapisati kao:

(2.60) gdje je vektor baznih funkcija:

(2.61) a vektor koeficijenata

:

(2.62) 1RUuncc2RUuncc3RUunccPodrana domenaPodruje interesaDerivirana granicaDirichlet-ova granicaUnutarnji vorovi i vorovi na Dirichlet-ovoj granicivor na derivacijskoj granici23 Koeficijenti

odreuju se tako da se interpolira funkcija kroz zadane toke, uz uvjet da je derivacija aproksimirane funkcije u rubnim tokama (kojih ima

) jednaka zadanoj. Tako za sve vorove lokalnog podranog podruja vrijedi:

(2.63) gdje jeZa sve rubne vorove vrijedi:

(2.64) gdje je

Da bi dobili jedinstveno rjeenje, namedemo dodatne uvjete:

(2.65) Slaganjem ovih jednadbi u jedinstvenu matricu, dobivamo:

(2.66) G je generalizirana momentna matrica koja sadri maticu momenata polinoma

(2.51), matricu momenata RBF-a

(2.50). U prilogu B aproksimiran je niz opdih funkcija RPIM metodom aproksimacije. 24 2.7Analiza osjetljivosti pri optimiranju Kako je ranije opisano, optimiranjem minimiziramo funkciju cilja (masa, podatljivost) uz ogranienja ravnotee i nekih ogranienja geometrije Vedina metoda optimiranja koriste niz aproksimacija prvog reda First Order Aproksimation (FOA). Vrijednosti neke opde funkcijemogude je izraunati razvojem u Taylor-ov red (2.67), pri emu oko toke

moemo odrediti ponaanje funkcije . Taylor-ov red koristi derivacije funkcije i glasi:

(2.67) Aproksimacija prvog reda bi znailo da se vrijednost aproksimirane funkcije rauna samo pomodu prva dva lana Taylor-ovog reda:

Potrebna nam je derivacija funkcije cilja ili funkcije ogranienja, ovisno o tome koja se funkcijaaproksimira. Osjetljivost se moe rjeavati na tri naina: numeriki (konane diferencije), analitiki i semi-analitiki. Ako promatramo ogranienja ravnotee, iz poglavlja o konanim elementima, tada bi osnovna jednadba konanih elemenata (2.42) bila eksplicitno uvedena kao ogranienja.

Sada

oznaava dizajn varijable varijable optimiranja (u ovom tekstu dizajn varijable oznaavaju varijable oblika i varijable topologije, dokoznaavaju koordinate toaka u prostoru). U opdem sluaju dizajn varijable X mogu biti i dimenzije. Ovakvom formulacijom dobivamo veliki broj ogranienja, to je nepovoljno, te se takva formulacija izbjegava ugnjedenom (Nested) strukturnim optimiranjem [14]. Ugnjedenom optimizacijskom metodom zanemarit demo uvjete ravnotee, ali de se uvjeti implicitno ubacivati u formulaciju, na nain da se u svakoj iteraciji optimiranja (za svaki ) rijei ravnotea te dobiveno uvrsti u (2.68):

(2.68) Funkcija cilja u ugnjedenoj formulaciji ostaje ista (podatljivost, masa...), kao i sva ogranienja osim ogranienja ravnotee. Ogranienja ravnotee se raunaju iterativno za svaku vrijednost varijabli optimiranja metodom konanih elemenata, te se uvrtava u funkciju minimuma. Iz ovakve formulacije proizlazi da ogranienja ravnotee nisu egzaktno zadovoljena, nego priblino, jer se u prethodnom koraku odreuju pomacikoji se fiksiraju i uvrtavaju u formulaciju funkcije cilja. Sada ugnjedeni algoritam izgleda kao: 1.Postaviti poetna rjeenja

2.Za svaku vrijednost dizajn varijabliraunaju se odgovarajudi pomacimetodom konanih elemenata (2.42). 3.Za trenutni iznos vektora dizajn varijable raunamo funkciju cilja i funkcije ogranienja, te njihove derivacije. 4.Formuliramo eksplicitnu konveksnu aproksimaciju ugnjedenom formulacijom za trenutnu dizajn varijablu . 5.Izraunati nelinearnom metodom optimiranja dizajn varijabluza sljededi korak 6.Vratiti se na korak 2. Numeriko odreivanje osjetljivosti: Osjetljivost se moe odrediti metodom konanih diferencija za bilo koju funkciju cilja. Za neke vrijednosti varijabli dizajna (npr. distribuciju gustoda) moemo jednu kontrolnu toku gustode (gustodu jednog elementa) promijeniti za neki korak : 25

(2.69)

- jedinini vektor varijable j koji daje prirast u zadanom smjeru. Odredimo osjetljivost podatljivosti izrazom (2.70):

(2.70) Ako promatramo povrinu:

. Prvo raunamo trenutnu podatljivost. Zatim je presjek

povedan za korak , te su metodom konanih elemenata dobiveni pomaci

i podatljivost

. Tada jednadba (2.69) daje osjetljivost. Prevelika vrijednost korakadaje veliku greku aproksimacije, dok premala vrijednost ponitava greku (analogno kao i kod numerikog deriviranja, jer je postupak isti). Mana konanih diferencija je potreba izrauna funkcije f u nizu dodatnih toaka. Bolji pristup je analitiki postupak. Napisat demo lanano pravilo dvaju funkcija f i g za 1D problem:

(2.71) generalizirano za vie varijabli:

Ako primijenimo lananu derivaciju na jednadbe (2.68) dobivamo:

(2.72) Nepoznate lanove u jednadbi (2.72)

odreujemo pomodu jednadbe konanih elemenata, koja povezuje pomake i krutost: (2.73) Deriviranjem jednadbe (2.73) dobivamo:

odnosno:

(2.74) Iz izraza (2.74) moemo odrediti

opet metodom konanih elemenata, s tim da nam se javlja pseudo opteredenje (derivacija opteredenja), dok je matrica krutosti uvijek ista. Pseudo opteredenje rauna se kao derivacija opteredenja po dizajn varijablama minus derivacija matrice krutosti po dizajn varijablama puta pomaci. Jednadba (2.74) predstavlja osjetljivost pomaka na dizajn varijable. Osjetljivost nam koristi za linearizaciju bilo koje funkcije, za to nam je potrebna derivacija funkcije. Derivaciju funkcije moemo odrediti ili numeriki (konanim diferencijama) ili analitiki. Dok Nested formulaciju uvodima samo kako bi izbjegli veliki broj ogranienja. Analizu osjetljivosti kod procesa topolokog optimiranja odreuje kolika je promjena funkcije cilja u ovisnosti o promjeni pojedinih varijabli. Kad se funkcija cilja derivira po nekoj varijabli, tada se vidi koliko je osjetljiva ta funkcija cilja za tu varijablu, te se osjetljivost definira kao gradijent funkcije cilja. Kod gradijentnih postupaka optimiranja (Fletcher Reeves ili najbri spust....) to isto se zove smjer traenja jer taj isti smjer koji pokazuje osjetljivost, pokazuje i kako najbre idi prema maksimumu funkcije cilja. 26 3.Topoloko optimiranje u mehanici vrstih tijela U prethodnim poglavljima o numerikim metodama pri klasinom rjeavanju problema mehanike vrstih tijela oblik je zadan, te su se odreivala i optimirala naprezanja. Meutim pri optimiranju topologije u mehanici vrstih tijela postoji problem odreivanja dva nepoznata polja: polje pomaka i oblik, odnosno raspodjela materijala. Oblik uzimamo kao varijablu pri optimiranju, te on kao takav nije zadan. Pri optimiranju oblika i naprezanja, postoji potreba za znaajnijim promjenama geometrije od same promjene veliine pojedinih parametara. Takve promjene nazivaju se topoloke promjene. Topologija je povezanost elemenata nekog sustava. Topolokim optimiranjem mijenjamo strukturu domene (Slika 15 c). Slika 15 Prikaz topoloke promjene oblika Topolokim optimiranjem optimiramo raspodjelu materijala po domeni (geometriju tijela), odnosno mijenjamo strukturu domene obzirom na razliite mogude kriterije (kao na primjer minimum mase, minimum naprezanja, minimum podatljivosti...). Topoloko optimiranje temelji se na principu minimuma potencijalne energije, virtualnih radova elastinih tijela u ravnotei (2.29), za proizvoljni virtualni pomak () (unutarnje opteredenje) [15]. Ove jednadbe dane su u poglavlju o virtualnim radovima 2.4, odnosno principu minimuma energije 2.5. U literaturi vezanoj uz topoloko optimiranje, uobiajena oznaka za virtualni pomak je , za virtualni rad unutarnjih sila, a za virtualni rad vanjskog opteredenja oznaka . Ove veliine u ranijim poglavljima oznaavale su se drugaije (tradicionalnim oznakama), te demo u kontekstu topolokog optimiranja i level set metode prihvatiti nove oznake . Jednadbu (2.32) moemo zapisati i kao:

(3.1) X dizajn varijable (oznaava distribuciju materijala). Odnosno varijable oblika i topologije. ravnoteno polje pomaka virtualno polje pomaka (kinematiki dopustivo) u 3D Dok se linearni oblik opteredenja (vanjska opteredenja) koji je jednak zbroju vanjskog opteredenja

po jedinici volumenai vanjskog opteredenja

po jedinici konture

(rad vanjskog opteredenja (2.33))moe zapisati kao (3.2):

(3.2) Sada problem minimuma podatljivosti (odnosno maksimum krutosti) postaje:

to predstavlja slabu varijacijsku jednadbu sa U pripadnih kinematskih dopustivih polja pomaka.

je vanjsko opteredenje koje djeluje na tijelo,

sile koje djeluju na rubu

elastina svojstava materijala,indeks B predstavlja bilinearnu formu koja je opisana u poglavlju 2.4. 27 Tada se problem dva polja (distribucija materijala i distribucija naprezanja) moe zapisati kao problem maksimiziranja krutosti i minimiziranja pomaka (deformacija):

(3.3) Iz jednadbe se vidi da ako je polje pomaka u optimalnoj strukturi poznato, optimalna raspodjela krutosti je takva da je energija deformacije maksimalna. Funkcija minimuma je podatljivost, te se trai minimalna distribucija mase koja de izdrati naprezanja koja se pojavljuju. Pri topolokom optimiranju ne smijemo zaboraviti da je ovdje rije o dva polja problema minimiziranju geometrije (mase) i maksimiziranju krutosti (minimiziranju podatljivosti). Ako domenu podjelimo na konane elemente, formulacija minimuma podatljivosti poprima oblik:

u pomak, f vektor opteredenja, K matrica krutosti, ovisna o svojstvu materijala

u elementu e. Za N broj elemenata:

element globalne matrice krutosti. Postoji niz metoda topolokog optimiranja kao to je Bubble metoda, Homogenizacijska metoda, ESO metoda (Evolutionary structural optimization) odnosno metoda u kojoj se rjeava polje problema konanim elementima te genetski algoritam u dijelovima gdje su manja naprezanja skida materijal. U ovom radu detaljnije demo opisati SIMP postupak i Level set postupak topolokog optimiranja. 3.1Klasini postupak i SIMP postupak topolokog optimiranja uvjeti optimuma Topoloko optimiranje svodi se na optimiranje raspodjele materijala. Varijabla koja govori o raspodjeli materijala je krutost materijala. Elastina svojstva materijala

mogu poprimiti sve vrijednosti svojstava izotropnog materijala u domeni

i nulu.

(3.4) Tamo gdje je vrijednost 1 znai da u tom djelu ima materijala, a gdje je 0 nema. Svojstva materijala pri topolokom optimiranju zadajemo preko varijable gustoda (). Meutim varijabla optimiranja za gradijentne postupke mora biti kontinuirana (da bi bila derivabilna), te uvodimo kaznenu funkciju koja gustodu stavlja na potenciju p, gdje je p>1, ime se funkcija 0-1 prelazi u kontinuiranu funkciju.

(3.5) Na taj nain materijal tijekom optimiranja lokalno slabi (odnosno jaa), te je za optimalni sluaj gustoda jednaka nuli ili bliska jedinici, ovisno o opteredenju:

,

. Ovakav nain optimiranja gustode materijala naziva se SIMP-model (Solid Isotropic Material with Penalization).

(3.6) 28 SIMP interpolacijska shema je iterativna metoda. Dizajniranjem oblika (strukturno optimiranje) ovisno o pomacima (dobiveni nekim od numerikih metoda) poboljavaju se varijable optimiranja koje opisuju domenu u ovisnosti o funkciji cilja i ogranienjima. Funkcija cilja je minimum virtualnog rada vanjskih sila:

(3.7) uz ogranienje uvjeta ravnotee (3.8) i distribuciju svojstava materijala (3.9):

(3.8)

,(3.9) te uz uvjet ogranienja volumena materijala:

(3.10) Primijenimo li Lagrange-ovu funkciju (poglavlje 2.2) na SIMP metodu optimiranja, iz prethodnih izraza (3.7), (3.8), (3.9) i (3.10) dobivamo:

(3.11) - Lagrange-ov multiplikator za jednakosna ogranienja ravnotee, - polje pomaka polje virtualnih pomaka - Lagrange-ov multiplikator za nejednakosna ogranienja uz ogranienje volumena

i ogranienja graninih vrijednosti gustode

i

. Prvi lan jednadbe (3.11) predstavlja funkciju cilja odnosno minimum virtualnog rada vanjskih sila (3.7). Drugi lan u jednadbi (3.11) odnosi se na ogranienje ravnotee (3.8), tredi lan (3.11) je ogranienje volumena (3.10), dok se zadnja dva lana jednadbe (3.11) odnose na granine vrijednosti gustode . 3.1.1Osjetljivost procesa Analiza osjetljivosti opisana je u poglavlju 2.7, gdje smo definirali osjetljivost kao promjenu funkcije cilja (podatljivost) po promjeni neke pojedinane varijable. U ovom sluaju SIMP topoloke metode optimiranja, varijable za koje se rauna osjetljivost su gustode pojedinih elemenata. Kako varijabli optimiranja (gustode pojedinih elemenata) ima jako mnogo (Large scale problem), a potrebno je odrediti derivacije po svim varijablama optimiranja, osjetljivost se i teko rauna.3.1.2Usklaivanje mree i postojanje rjeenja Kako tonost optimiranja SIMP metodom ovisi o diskretizaciji konanim elementima (zbog ), a konani elementi imaju vedu tonost povedanjem broja konanih elemenata (vidi poglavlje 2.6.1), povedanje broja konanih elemenata pri SIMP topolokom optimiranju moe dovesti do strukture sa mnotvom tankih pojaseva materijala. To uzrokuje beskonano tanku mreastu strukturu, to nije cilj optimiranja. Stoga je potrebno uvesti ogranienja koja de sprijeiti pojavu beskonano tankih pojasa strukture. 29 3.1.2.1Kontrola opsega Jedno od ogranienja koje se moe uvesti kako bi se izbjegla tanka mreasta struktura je kontrola opsega. Kontrolu opsega moemo definirati kao sumu duljina odnosno povrina vanjskih i unutarnjih rubova i kontura. Kontrolu opsega moemo koristiti pri ogranienju broja rupa u promatranoj domeni. Ovu karakteristiku moemo primijeniti i u 0-1 i u SIMP metodi topolokog optimiranja za 2D i 3D probleme. Ogranienje kontrole opsega u formi gornje granice totalne varijacije gustode moemo definirati kao (3.12):

(3.12) - je vrijednost koja govori da li je funkcija za trenutnu varijablu X na rubu. Tamo gdje jevelik imamo nagle promjene iz ima materijala u nema materijala. Moduluzima se jer je svejedno da li se radi o padu ili porastu funkcije (potrebno je samo ustanoviti da li je rub ili nije). Jednadba (3.12) integrira se da bi se zbrojile vrijednosti svih , te na taj nain dobio podatak o duljini granica izmeu praznina i materijala. Slika 16 Prikaz strukture sa jednom rupom (a) i sa velikim brojem rupa (b) u domeni Slika 16 a prikazuje podruje koje ima mali broj prijelaza (rubova), te u tom dijeluima manju vrijednost , dok Slika 16 b ima puno prijelaza iz ima materijala u nema materijala te je vrijednost varijableveda. Za dobru diskretizaciju gustode konanim elementima ogranienje u 2D se moe zapisati:

(3.13)

rub elementa

promjena gustode preko ruba

odnosno izmeu dva susjedna elementa. K broj elemenata parametar koji je mali i pozitivan, za , izraz postaje tonood elementa pozitivnih ogranienja. Jednadba (3.13) poprima vedu vrijednost to se broj skokova

povedava. Ako izmeu pojedinih elemenata nema promjene gustode

, vrijednost P jednaka je nuli, a ako izmeu pojedinih elemenata postoje promjene gustode, odnosno

poprima neku vrijednost, P je pozitivan broj. YXYXa b30 3.1.2.2Metoda ograniavanja gradijenta Tanku mreastu strukturu kao i ishod optimiranja topologije mogude je izbjedi i ogranienjem gradijenta gustode. Pretpostavimo da domena ima jako gustu podjelu odnosno puno vorova u kojima je zadana gustoda . Pojavom tanke mreaste strukture gradijent gustode imat de velike vrijednosti na prijelazima izmeui . Stoga se moe uvesti ogranienje da velike promjene gradijenta u poljima domene ne smiju biti blizu jedna drugoj, ime se izbjegava pojava tanke mreaste strukture.

(3.14) Jednadba (3.14) predstavlja brzinu promjene gustode, te se prihvadaju blage promjene gustode u okolnim vorovima. U koliko je promjena gustode veda od G, ne prihvada se promjena gustode. Problem kod ove formulacije je uvoenje puno ogranienja. Moe se uvesti i da razmak promjena gustode bude dovoljno velik, ime se izbjegava beskonano tanka nit. Postoje strategije pretraivanja gdje se nalaze toke sa velikim promjenama u gustodi. Druga metoda limitiranja vrlo tankih struktura je globalno gradijentno ogranienje, gdje se uvodi ogranienje:

Druge metode limitiranja pojave tanke mreaste strukture temelje se na filtriranju promjene gustode u domeni primjenom razliitih numerikih filtara. Metode limitiranja moemo promatrati kao sita koja proputaju velike promjene gustode, a zadravaju blae promjene. Numeriki filtri nisu u fokusu ovog rada, te ih nedemo detaljnije opisivati. 31 4.Level Set metoda Problem optimiranja topologije oblika je sloen jer istovremeno rjeava dva spregnuta polja problema: -polje pomaka -geometriju odnosno distribuciju materijala Kako je ranije istaknuto, pri optimiranju je mogude definirati tri kategorije: definiranje dimenzija, definiranje oblika i definiranje topologije. Klasino rjeavanje podrazumijevalo je posebno definiranje oblika i topologije, meutim pojavom Level set metode ove tri kategorije integrirale su se u jednu metodu rjeavanja. Ako govorimo o topolokom optimiranju, zadatak je distribuirati odreenu koliinu materijala tako da se optimira odziv (statika nosivost ili dinamiki odziv po nekom spektru). Level set je implicitna funkcija koja opisuje geometriju. Level set funkcija nalazi se u n+1 dimenziju u odnosu na geometriju koju opisuje te njene izo-linije definiraju geometriju. Ovim svojstvom omogudeno je da level set funkcija opisuje i topoloke promjene geometrije pri optimiranju (moe opisati promjenu kao to je stvaranje novih rupa u domeni), a pri tome nije potrebna nova parametrizacija geometrije. Slika 17 Opda implicitna funkcija Slika 17 prikazuje funkciju(Level Set funkciju) za 2D problem koja sjee pravokutnu domenu . Ako je pravokutna domenana x-y ravnini tada presjek funkcijei pravokutne domeneini novu domenu sa otvorima na zadanoj pravokutnoj domeni(Slika 18). Nulta izo-linija level set funkcije daje nam oblik konture u x-y ravnini. Slika 18 Prodor Level set funkcijomu pravokutnu domenuParametrizacija prostornog oblika funkcije , daje parametarski oblik funkcije po dizajn varijablama . Gdje x predstavlja varijable prostora, a X varijable dizajna koje mogu biti oblik, topologija, varijable stanja ( ) , x y uOuxyOcOD xy32 Ovim postupkom uoavamo da je funkcijapromijenila topologiju pravokutnika (dodala rupu). Promjenom oblika ove funkcije moemo promijeniti oblik, veliinu i broj rupa, kao i oblik i topologiju cijelog modela. Promjena oblika moe biti dinamiki proces, te ovisiti i o pseudo-vremenu t. U pravokutnoj domenipostoje sljededa stanja: -stanje ima materijala (unutar) kojeg moemo definirati kao-stanje nema materijala (izvan) kojeg moemo definirati kao(4.1) -granica , gdje su: - podruje sa materijalom - granica podrujaD nepromjenjiva domena unutar koje definiramo oblik i topologiju promatranog podruja . Dakle definirali smo funkcijuu 3D, a oblik koji elimo dobiti je u 2D, odnosno u n-1 dimenziji. U trenutku t funkcija izo linijeje: (4.2) Ako svim tokama Level Set funkcije zadamo brzinu

, dobit demo promjenu Level set funkcije u vremenu (4.3). Ovu formulaciju zapisujemo Hamilton-Jacobi-evom parcijalnom diferencijalnom jednadbom [16] te diferenciranjem (4.2) ona glasi:

(4.3) Za potpunu definiciju jednadbe (4.3) moramo definirati gradijent funkcije , koji za prostor iznosi:

Smjer povedanja funkcijeu zadanoj toki

, odnosno normala je:

(4.4) Hamilton-Jacobi-eva funkcija upravlja promjenom plohe u n+1 dimenziji:

(4.5) gdje je

neka zadana normalna komponenta brzinepromjene Level set funkcije [17]:

(4.6) - de se odabrati razmatranjem minimuma potencijalne energije . 4.1Rjeavanje metodom konanih razlika (klasini Upwinding postupak) Ako promatramo 1D problem tada je derivacija funkcijemetodom desne konane razlike:

(4.7) Odnosno lijeve konane razlike:

(4.8) ovisno o tome da li se uzima lijevi ili desni segment funkcije. Kada vrimo numeriko deriviranje, prethodno je potrebno uoiti u kojem se smjeru krede funkcija , da bi izraun derivacije bio toniji. Brzina

, koja se zadaje svim tokama presjeka funkcijesa x-y ravninom, pomie funkcijuu vremenskom intervaluu novi poloaj. Ako je pomak funkcijeu desno, koristi se lijeva konana 33 razlika (4.8), a kao je pomak u lijevo, koristi se desna konana razlika (4.7) [17]. Razliiti izrauni za lijevi i desni pomak funkcije uzimaju se zbog numerike stabilnosti Slika 19. Slika 19 Prikaz numerikog diferenciranja konanim razlikama Ako se funkcijau vremenu pomie u lijevu stranu, prethodni podatak je sa desne strana (

), te se taj podatak i koristi za proraun derivacije, jer de dati toniji rezultat (jednadba (4.7)). Analogno se za pomak funkcijeu desno uzima vrijednost

(jednadba (4.8)) [17]. Centralna konana razlika (4.9):

(4.9) se ne koristi zbog takoer loe stabilnosti. Uvoenjem veliineizbjegava se dijeljenje sa nulom u jednadbi normale (4.4). Analogno ovim jednadbama moemo definirati jednadbe za prostor. Pa je zakrivljenost u prostoru:

(4.10) Ako je , radi se o konkavnom podruju. Za podruje je konveksno, a ako jeradi se o ravnini. Zakrivljenost moemo izraunati:

(4.11) Stoga je potrebno definirati i drugu derivaciju funkcije :

(4.12) Zakrivljenostbi trebala biti u granicama

. Ako jeizvan ovih granica uzima se vrijednost

ili

ovisno koja je blia izraunatoj. Zakrivljenost se treba uzimati sa oprezom kada je funkcijanepravilna. Slika 20 Prikaz konveksnog (>0) i konkavnog ( 0vani-