KÖPRÜÇAY YILLIK AKIM VERİLERİNE UYGUN OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONU VE KURAKLIK ANALİZİ

Aslı ÜLKE, Türkay BARAN

Dokuz Eylül Üniversitesi, , İnşaat Mühendisliği Bölümü, İZMİR

ÖZET

Kuraklık, yağışın normal limitler altına düşmesi ile meydana gelen doğal kaynakları olumsuz yönde etkileyen hidrolojik bir olay olarak tanımlanabilir. Kuraklık etkisini azaltmak için alınabilecek önlemlerden biri suyu etkili bir biçimde kullanmaktır. Suyun etkin kullanımı; tüketimi denetlemenin yanı sıra, mevcut su kaynaklarının da verimli değerlendirilmesiyle mümkündür. Bu bağlamda, gözlenmiş akımların, kurak dönem akışlarının ve taşkınların tahmini kısaca hidrolojik verilerin değerlendirilmesi ve analizi büyük önem taşımaktadır. Sunulan çalışmada, Orta Akdeniz Havzası’nda bulunan Köprüçay Beşkonak akım gözlem istasyonunda (AGİ) 1940-2000 yılları arasında gözlenmiş yıllık ortalama ve yıllık minimum akım gözlemlerinin olasılık dağılımları araştırılmıştır. Anahtar kelimeler: kuraklık analizi, olasılık dağılımı, Köprüçay-Beşkonak

ABSTRACT

Drought can be defined as a hydrological phenomenon affecting the natural resources negatively, occuring the precipitation decreased to the normal limits. It is essential to use the water in effective manner in order to decrease the harms of the drought. Effective usage of the water is possible not only by taking under control consumption but also by planning to use of current water resources. Therefore, evaluation and analyze of the flows in watery and drought terms shortly hydrologic data, have a great deal of importance in estimation of.

In presented study, the probability distribution of the annual mean and annual minimum flow records observed in the Köprüçay- Beşkonak stream gauging station (SGS), (1940-2000) on the Middle Akdeniz watershed. Keywords: drought analysis, probability distribution , Köprüçay- Beşkonak. 1. GİRİŞ Su kaynaklarından en etkin şekilde yararlanılması, doğanın dengesini bozmadan depolanması, sulama ve su temininin sağlanması gibi pek çok değişik konuda suyun karakteristiklerinin iyi tanınmasına ihtiyaç duyulur. Hidrolojik çalışmaların en önemli ve zor bölümü yağış, akış değerlerine ait ölçümlerin yapılması ve bu verilerin toplanmasıdır. Ölçümlerden elde edilen veriler analiz edilerek bir su kaynağına ait su potansiyeli, kuraklık veya taşkın değerleri ile riskleri hesaplanabilir. Hidrolojik olaylar çok sayıda değişkenin etkisi altında meydana geldikleri için önceden belirlenemeyen bir nitelik, yani rastgelelik unsuru içerirler. Bu nedenle, yağış, akış, buharlaşma, sızma gibi hidrolojik olayların alabileceği değerlerin tahmin edilebilmesi için olasılık ve istatistik yöntemlerinin kullanılması gerekmektedir. Kuraklık, hidrolojik çevrimde önemli dengesizliklere ve bunun sonucunda da su kıtlığına, akarsularda akım azalmasına ve yer altı suyu ile toprak neminin tükenmesine yol açar. Buharlaşma ve terleme süreçleri uzun bir dönem boyunca yağıştan fazla olduğunda kuraklık görülür. Başlıca dört tür kuraklık tanımlanmaktadır [1, 2, 3];

i. En kuru iklimlerin temel özelliği olan sürekli kuraklık ii. Yılın yağmurlu ve kurak mevsimlerinin sınırlarının belirgin olduğu iklimlerdeki

mevsimlik kuraklık iii. Beklenmedik biçimde az yağmur düşmesi sonucu ortaya çıkan kestirilemeyen

kuraklık iv. Sıcaklığın yükselmesine bağlı olarak terleme ve buharlaşmanın neden olduğu

kuraklık. Sunulan çalışmada, Köprüçay-Beşkonak AGİ’nunda 1940-2000 su yıllarında arasında gözlenen yıllık ortalama ve en düşük akışlar değerlendirilmiştir. 2. VERİLER Toros Dağları'ndan doğan Köprüçay, Serik'in güneyinden Akdeniz'e dökülür. Köprüçay-Beşkonak istasyonu Antalya’ya bağlı Serik ilçesinin 36 km. kuzeyindeki Beşkonak Bucağındadır (Şekil 1). İstasyonun yaklaşık kotu 116 m ve yağış alanı 1942,4 km2’dir. İstasyonda seviye ölçeği olarak eşel ve limnigraf kullanılmıştır. Çalışmada, Beşkonak (902) AGİ’nu değerlendirilmiş, yıllık ortalama ve minimum akım değerleri kullanılmıştır [4]. Yıllık ortalama akımların gidişi Şekil 2’de, temel istatistik parametreleri Çizelge 1’de sunulmuştur. Yıllık minimum akımların gidişi Şekil 3’de temel istatistik parametreleri Çizelge 2’de sunulmuştur. Akarsu üzerinde 96 MW kurulu gücünde, yılda 452 GWh enerji üretmesi planlanan Köprüçay- Beşkonak Barajının yapımı kesin proje aşamasındadır [5].

9-2

921

910

902

9-29

9-3

9-38

ANTALYA

A K D E N İ Z

919

BEŞKONAK

Zincirli

Şekil 1.Köprüçay Havzası ve Beşkonak (902) istasyonun yeri

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000yıllar

Yıllık ortalama akışlar

Şekil 2. Köprüçay yıllık ortalama akımlarının gidişi

(m3/s)

Çizelge 1. Yıllık ortalama akımlar ait temel istatistikler Ortalama (µ ) 84,41

Standart Sapma ( σ ) 19,36

Değişkenlik Katsayısı (Cv) 0,23

Çarpıklık Katsayısı (Cs) 0,483

Sivrilik (Ck) 3,14

Xmin 50,042

Xmax 146,5

X0,90 106

X0,10 60

X0,75 98

X0,25 71

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Yıllar

Yıllık Minimum Akımlar

Şekil. 3. Köprüçay yıllık minimum akımlarının gidişi

Çizelge 2. Yıllık minimum akımlara ait temel istatistikler Ortalama (µ ) 31,683

Standart Sapma ( σ ) 4,7 Değişkenlik Katsayısı (Cv) 0,148

Çarpıklık Katsayısı (Cs) -0,12 Sivrilik (Ck) 2,46

Xmin 41,1 Xmax 21,0

(m3/s)

3. YÖNTEM 3.1. Olasılık Dağılımları Sunulan çalışmada, Köprüçay-Beşkonak (902) AGİ yıllık ortalama akışları için normal, lognormal-2 ve lognormal-3 ile gamma-2 ve gamma-3 dağılımları incelenmiştir. Yıllık minimum akımlarda ise bu dağılımlara Weibull dağılımı da ilave edilmiştir. Normal Dağılım Gauss Dağılımı olarak da bilinen bu dağılımın iki parametresi vardır. Bunlardan ilki rastgele değişkenin ortalaması µx, ikincisi rastgele değişkenin standart sapması σx’ dir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve standart normal değişkeni (z) şu şekildedir [6, 7];

]2/)(exp[2

1)( 22xx

x

xxf σµπσ

−−= (1)

x

xxz

σµ−

= (2)

Lognormal Dağılım Normal dağılımın kolay ve özelliklerinin iyi bilinmesinden dolayı normal dağılmış olmayan dağılımların da uygun bir dönüşümle normal dağılıma uydurulması yoluna gidilir. Bu amaçla logaritmik dönüşüm yaygın olarak kullanılır:

)ln( 0xxy −= (3) Lognormal dağılımda rastgele değişken sadece pozitif değerler alabildiği ve dağılımın pozitif çarpıklığı olduğu için bu dağılım pratikte karşılaşılan birçok değişkenlere iyi uyar. Lognormal dağılım ile ilgili hesaplarda (y) değişkeni için normal dağılım tablosundan yararlanılır. Bu dağılımda x0 değerinin sıfır olarak alınmasıyla lognormal-2 dağılımı elde edilir [6, 7].

σµ /)( yyz −= (4)

πσ

σµ

2)(

)(21exp

)(0

2

xx

y

xfy

y

y

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

= (5)

Gamma Dağılımı Gamma dağılımının da lognormal dağılım gibi sadece değişkenin pozitif değerleri için tanımlanmış ve pozitif çarpık bir dağılımdır. Ancak sadece bir parametresi olması (β, biçim parametresi), gamma dağılımını gözlenmiş frekans dağılımlarına uydurulmasını güçleştirdiği için 2 ve 3 parametreli gamma dağılımları da tanımlanmıştır. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve β, biçim parametresi şöyledir;

)(

)(exp)()(

010

βααα

β

Γ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

−

=

− xxxx

xf (6)

2/4 sC=β (7)

3 parametreli gamma dağılımında x0 değerinin sıfır olarak alınmasıyla 2 parametreli gamma dağılımı elde edilir, bu dağılımda x yerine x/ α konur. Buna göre dağılımın ölçek (α) parametresi ve x 0 şu şekilde tanımlanır;

βα /S= (8)

βµ Sx x −=0 (9) Gamma dağılımını kullanabilmek için Pearson Tip III dağılım tablosundan yararlanılır. Bu tablo Cs’ nin çeşitli değerleri için çeşitli aşılma olasılıklarına karşılık gelen frekans faktörü değerlerini göstermektedir. Frekans faktörü şu şekilde tanımlanır [6, 7].

x

xT

xK

σµ−

= (10)

Weibull dağılımı

Düşük akımların gerçek dağılım fonksiyonları bilinmediği için uygulamada makul

“fonksiyonel” bir dağılım öngörülerek bu dağılımın parametreleri örnek dizisinden tahmin

edilir. Kurak akımların analizinde en sık kullanılan dağılımlardan biri de Weibull

Dağılımıdır [8].

Bu dağılımın eklenik olasılık fonksiyonu ;

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=α

β 0

0exp)(xxx

xP (11)

şeklindedir. Burada x0 alt sınır, α ölçek ve β karakteristik kuraklık olarak tanımlanabilir.

Çarpıklık katsayısı (Cs) ile ölçek parametresi α arasında şöyle bir ilişki tanımlanır;

{ } )()(2)()(3)( 33

1123 ααααα BGGGGCs +−= (12) bu eşitlikteki G fonksiyonu

3,2,1)11()( =+Γ= kk

Gk α (13)

olup, burada Γ fonksiyonu tam olmayan gamma fonksiyonudur. Alt sınır (x0), ölçek (α) ve karakteristik kuraklık (β) değerlerinin hesabı ise G fonksiyonuna bağlı şu şekilde tanımlanır.

SBx .0 αβ −= (14) SAx .αµβ += (15)

{ } αα α BGA .)(1 1−= (16)

{ } 2/1212 )()(

−−= ααα GGB (17)

3.2. Olasılık Dağılım Fonksiyonları Uygunluk Testleri

2χ Testi Bu test, N elemanlı bir örneği m sınıfa ayırarak inceler. Buna göre her bir sınıftaki eleman sayısı (Ni), bu elemanların aynı sınıflarda bulunma olasılıkları pi olmak üzere

∑=

−=

m

i i

ii

NpNpN

1

22 )(

χ (18)

Serbestlik derecesine göre hesaplanan 2χ değeri, aşılma olasılığı α olan 2

αχ değerinden küçükse gözlenen dağılımın seçilen teorik dağılıma uygunluğu hipotezi kabul, aksi halde reddedilir [6, 9]. Kolmogorov-Smirnov Testi Gözlenen verilerin eklenik frekans dağılımının teorik bir dağılıma uygunluğunun kontrolünde kullanılan ikinci bir test olan Kolmogorov-Smirnov testinde kullanılan istatistik şöyledir;

)()(max * xiFxiF −=∆ (19) burada F*(xi), i/N formülüyle hesaplanan eklenik frekans dağılım ordinatlarıdır. F(xi) ise seçilen teorik eklenik dağılım fonksiyonun aynı xi değerlerine karşı gelen ordinatlarıdır. Buna göre ∆ istatistiği, gözlenen ve teorik eklenik dağılımların arasındaki farkların en büyüğüdür. ∆ istatistiğinin dağılımı rastgele değişkenin dağılımdan bağımsız olup, sadece örnekteki N eleman sayısına bağlıdır. Hesaplanan ∆ istatistiği, Kolmogorov-Smirnov tablosundan okunan N’ nin çeşitli değerleri için aşılma olasılığı ∆α değerinden küçükse dağılımın uygunluğu hipotezi α anlamlılık düzeyinde kabul, aksi halde reddedilir [6, 9]. Olasılık çizgisi korelasyon testi; Dağılım çizgisinin kontrolü için kullanılabilecek bir diğer test de olasılık çizgisi korelasyon testidir. Bu testte örnekteki her bir elemanın F(xi) küçük kalma olasılılığı hesaplandıktan sonra bu olasılığa karşı gelen standardize normal değişken değeri bulunur bu şekilde belirlenen (xi; zi) çiftleri arasındaki korelasyon katsayısı hesaplanır ve bunun

için α anlamlılık düzeyine ve örnekteki N eleman sayısına bağlı olarak hazırlanan tablodaki kritik değerle karşılaştırılır. Hesaplanan korelasyon katsayısı kritik korelasyon değerinden büyük olması halinde verilerin dağılıma uyduğu söylenir [6, 9]. Bu çalışmada sadece normal dağılım için olasılık çizgisi korelasyon testi uygulanabilmiştir. 4. UYGULAMA Yıllık ortalama ve minimum akımlar için araştırılan dağılımlara ait parametreler Çizelge 3 ve 4’te, her dağılım için çeşitli olasılıklara karşılık gelen değerler Çizelge 5 ve 6’dadır. Normal dağılım kağıdı üzerinde gözlenmiş değerlerle birlikte teorik dağılımların görünümü Şekil 4 ve 5’te sunulmuştur.

Çizelge 3. Yıllık ortalama akımlar için dağılımların parametreleri

Dağılımlar

Dağılım parametreleri µx σx µy σy α β X0

Normal 84,41 19,36 Ln-2 4,41 0,226 Ln-3 84,41 19,36 -36,83

Gamma-2 4,44 19,02 Gamma-3 4,67 17,15 4,32

Çizelge 4. Yıllık minimum akımlar için dağılımların parametreleri

Dağılımlar

Dağılım parametreleri µx σx µy σy α β X0

Normal 31,68 4,7 Ln-2 3,45 0,153 Ln-3 31,68 4,7 149,36

Gamma-2 0,70 45,65 Gamma-3 0,28 277,78 -46,66 Weibull 4,15 33,43 14,30

Çizelge 5. Çeşitli olasılıklar için yıllık ortalama dağılımların aldığı değerler Dağılımlar

P(x) % (Aşılmama olasılığı) 1 2 5 10 20 50 70 90 95 98 99 99,9

Normal 41,5 45,4 51,8 59,5 74,2 84,4 94,6 109,3 115,1 123,5 128,0 143,0

Ln-2 48,6 51,8 56,8 61,5 73,1 82,3 94,7 110,1 119,2 130,8 139,3 165,4

Gamma-2 45,69 49,6 54,9 60,78 67,8 82,9 95,3 109,9 118,3 128,2 135,0 155,4

Gamma-3 46,6 51,5 55,5 60,87 67,5 82,8 95,1 110,2 118,8 129,2 136,4 158,2

Çizelge 6. Çeşitli olasılıklar için yıllık minimum dağılımların aldığı değerler

Dağılımlar P(x) % (Aşılma olasılığı) 1 2 5 10 20 50 70 90 95 98 99 99,9

Normal 42,4 41,0 37,5 36,5 35,0 31,3 28,7 25,5 24,3 22,3 20,5 17,5 Ln-2 45,0 41,5 40,5 38,1 35,2 31,3 28,9 25,7 24,5 23,0 22,1 19,6

Gamma-2 43,6 42,1 39,8 37,9 35,6 31,5 28,9 25,8 24,37 23,4 21,8 20,4 Weibull 45 41,8 39,7 37,95 35,7 31,8 28,7 25,4 24,3 22,4 21,0 20,6

5. SONUÇ VE ÖNERİLER Yıllık ortalama akımlarda 3 parametreli lognormal dağılımın, aynı şekilde yıllık minimum akımlarda da gamma-3 dağılımının alt sınırını veren x0 değerlerinin negatif çıkması ve yıllık minimum akımlarda Ln-3 dağılımının x0 değerinin de anlamsız kalması neticesinde dağılımların uygun olmadığı testlere gerek kalmaksızın anlaşılmıştır. İncelenen dağılımlardan yıllık ortalama akımlar için tüm dağılımlar 2χ testinden geçerken, K-S testinden sadece Ln-2 dağılımı geçememektedir, buna göre en küçük 2χ

değerini veren Gamma-3 dağılımının uygun olduğu görülmektedir. Bununla birlikte Şekil 4 ve Çizelge 7’de görüldüğü gibi, Gamma-2 dağılımının da yıllık ortalama akımları oldukça iyi tanımladığı görülmektedir. Beşkonak akımlarının %80’inin pınar katkısı olduğu göz önüne alındığında Gamma-3 için bulunmuş x0 değerinin çok anlamlı olmadığı sonucuna varılabilir [11, 12, 13]. Dolayısıyla parametre sayısının azlığı da dikkate alınarak yıllık ortalama akımlar için Gamma-2 veya Normal dağılımın kullanılması önerilmektedir. Yıllık minimum akımlarda ise Gamma-2 dışında tüm dağılımlar 2χ testinden geçerken, K-S testinden sadece normal ve Weibull dağılımının geçtiği görülmektedir (Çizelge 8). En küçük 2χ değerini veren Weibull dağılımının yıllık minimum akımlar için uygun olduğu görülmektedir (Şekil 5).

Çizelge 7. Yıllık ortalama akım dağılımlarının test sonuçları

Dağılımlar

Testler Chi-kare 2χ Kolmogorov-Smirnov Olasılık Çizgisi K.T.

Dağılımın 2χ

Kritik 2

;ναχ Dağılımın

∆0,05

Kritik ∆0,05

Dağılımın Korelasyonu

Kritik korelasyon

Normal 5,57 7,815 0,084 0,176 0,984 0,980 Ln-2 4,1 7,815 0,93 0,176

Gamma-2 2,97 7,815 0,075 0,176 Gamma-3 2,71 5,991 0,038 0,176

Çizelge 8. Yıllık minimum akımların dağılımlarının test sonuçları

Dağılımlar

Testler Chi-kare 2χ Kolmogorov-Smirnov Olasılık Çizgisi K.T.

Dağılımın 2χ

Kritik 2

;ναχ Dağılımın

∆0,05

Kritik ∆0,05

Dağılımın Korelasyonu

Kritik korelasyon

Normal 5,967 7,815 0,06 0,176 0,990 0,980 Ln-2 7,61 7,815 0,946 0,176

Gamma-2 9,49 7,815 0,45 0,176 Weibull 5,45 5,991 0,065 0,176

180

160

140

120

100

80

60

40

20

02 5 50 90 95 98 99 99.9 99.99

Gamma-2

Normal

Ln-2Gamma-3

1 10 20 70

Aşılmama Olasılığı (%)

Yıllık

Orta

lam

a D

ebi (

m /

s)3

Şekil 4. Yıllık ortalama akımlara ait dağılımların grafiği

20

25

30

35

40

45

50

55

15

10

Weibull

NormalLn-2

Gamma-2

1 201052 987050 9590 99.999 99.99

Aşılma Olasılığı (%)

Yıllık

Min

imum

Deb

i (m

/s)

3

Şekil 5. Yıllık minimum akımlara ait dağılımların grafiği

KAYNAKÇA [1] J. D. Salas, 1986, State of the Art of Statistical Techniques for Describing Drought Characterics, International Seminar on Drought Analysis, İtalya [2] S. Erinç, 1984, Klimatoloji ve Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları No.3278, İstanbul [3] E. Tümertekin, 1956, Türkiye’ de Kurak Mevsimler, Türk Coğrafya Dergisi , No.15, 2 s, İstanbul [4] EİE (1956-2003), Akım Neticeleri (1935-2000), Elektrik İşleri Etüt İdaresi, Ankara [5] DSİ, 2005, www.dsi.gov.tr , Akdeniz Bölgesi, Planlaması Biten Projeler [6] M. Bayazıt, B. Oğuz, 1994, “İstatistik”, Birsen Yayınevi, İstanbul, 211s. [7] M. Bayazıt, 1981, “Hidrolojide İstatistik Yöntemler”, İTÜ Matbaası, 223s. [8] G. W. Kite, 1977, “Frequency and Risk Analyses in Hydrology”, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado, USA, 223s. [9] M. Bayazıt, 1996, “İnşaat Mühendisliğinde Olasılık Yöntemler”, İTÜ Matbaası, 245s. [10] T. Baran, 1987, “Türkiye'nin güneyindeki akarsu havzalarının brüt su kuvveti potansiyeli”, Hidroloji ve Su Yapıları Yüksek Lisans Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İnşaat Mühendisliği Böl., No.15 (Yön.Ü.Öziş), 255 s, İzmir. [11] T. Baran, N. Harmancıoğlu, Ü. Öziş, 1987, Türkiye'nin akarsu havzalarında karst pınar katkıları, İnşaat Mühendisleri Odası, Türkiye İnşaat Mühendisliği IX. Teknik Kongresi, Bildiriler C II: Su Kaynakları Mühendisliği, s. 299 – 311, Ankara. [12] T. Baran, N. Harmancıoğlu, Ü. Öziş, 1995, Average Base Flow Rates of Karst Spring Effluents in Turkey, International Symposium and Field Seminar on Karst Waters and Environmental Impacts, Antalya.