ANALYSE 1, 2013, Uge 2, Tilfjelser

Konvergensradius

Ved forelsningen den 2/5 blev flgende resultater, som ikke star i TL,nvnt.

For det frste kan man fje til Stning 12.6.1, at potensrkken konver-gerer uniformt pa ethvert interval [a c, a + c] hvor 0 < c < r. Det flgernemlig af Lemma 12.6.7 (og den efterflgende bemrkning) hvis man vlgerb sadan at c < b < r (det fremgar ogsa af beviset for Stning 12.6.8).

For det andet kan det vre nyttigt en gang for alle at undersge hvadkvotientkriteriet giver for potensrkker:

Stning 1. Lad

n=0anx

n vre en potensrkke, og antag at grnsevrdien

= limn

an+1

an

eksisterer i [0,]. Da er 1 [0,] konvergensradius for potensrkken.

Her skal 01 fortolkes som og 1 fortolkes som 0.

Bevis. Lad x 6= 0. Af antagelsen flger at kvotientenan+1x

n+1

anxn

=

an+1x

an

gar mod |x| for n. Det flger derfor af Kvotientkriteriet (TL 12.4.5) atpotensrkken er absolut konvergent nar |x| < 1 og divergent nar |x| > 1,altsa henholdsvis nar |x| < 1 og |x| > 1. Det flger nu af Stning 12.6.1at konvergensradius er lig 1.

Man kan formulere et tilsvarende resultat med rodkriteriet. Prv selv!