analyse 1 noter
DESCRIPTION
(in Danish) Forelæsningsnoter til Analyse 1, Matematisk Institut, Københavns Universitet, 2010.TRANSCRIPT
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
1
Analyse 1 noter
Abstract / disclaimer: Disse noter er mine personlige noter, som er taget til forelæsningerne under faget
Analyse 1 ved Matematisk Institut, Københavns Universitet, i foråret 2011. Alle fejl heri er mine egne, forelæsere
mv. har intet ansvar osv. Jeg håber du får lige så svedige lulz af faget, som jeg fik;) Copyrights osv., men del
endelig løs som en gal så længe du sender undertegnede og resten af verden en solid gang god karma når du gør!
Anders Munk-Nielsen
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
2
Indhold 1 Mere sjov med rækker .............................................................................................................................. 9
1.1 Vigtige eksempler ................................................................................................................................. 9
1.1.1 Den geometriske række (TL sætn. 12.1.1) ................................................................................... 9
1.2 Divergenstesten (12.1.4) – kan kun vise divergens ............................................................................ 10
1.2.1 Eksempel: den harmoniske række .............................................................................................. 10
1.3 Sætning 12.1.7 .................................................................................................................................... 11
1.4 Værktøjer til at afgøre konvergens/divergens – positive rækker ........................................................ 11
1.4.1 Sætning 12.2.1 ............................................................................................................................ 12
1.5 Lol, nu skal vi sml. med integraler ..................................................................................................... 12
1.5.1 Sætning 12.2.3: integraltesten .................................................................................................... 12
1.5.2 Sætning 12.2.4: n^-p ................................................................................................................... 13
1.5.3 Eksempel: Harmoniske række igen ............................................................................................ 13
1.5.4 Sammenligningstestet ................................................................................................................. 13
1.5.5 Grænsesammenligningstesten: 12.2.8 ........................................................................................ 14
1.6 Forholdstesten (kvotientkriteriet), sætning 12.2.12 ............................................................................ 14
1.6.1 Ad (iii): når a = 1 kan det gå begge veje .................................................................................... 15
1.7 Rodkriteriet/rodtesten, 12.2.6 ............................................................................................................. 16
1.7.1 Eksempel på anvendelse af rodtesten ......................................................................................... 16
1.8 Alternerende rækker – Skiftende fortegn ............................................................................................ 16
1.8.1 Eksempel: alternerende harmoniske række – konvergent .......................................................... 17
1.8.2 Sætn. 12.3.1, alternerende-række-test ........................................................................................ 17
1.9 Absolut konvergens (definition 12.4.1) .............................................................................................. 18
1.9.1 Sætning 12.4.2: abs. konv ⇒ konv. ............................................................................................ 18
1.9.2 Def 12.4.3: betinget konvergens ................................................................................................. 18
1.9.3 Sætn. 12.4.9 mv.: Ej abs., men dog alm. konv rækker: handle with care ................................... 19
1.9.4 Sætn. 12.4.12 .............................................................................................................................. 20
2 Konvergens ............................................................................................................................................. 20
2.1 Uniform konvergens ........................................................................................................................... 20
2.1.1 Punktvis & uniform konvergens med kvantorer ......................................................................... 20
2.2 Integration og differentiation af funktionsfølger ................................................................................ 21
2.2.1 Sætning 11.4.1 ............................................................................................................................ 22
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
3
2.3 Man kan ikke slutte om differentiation ud fra uniform konvergens ................................................... 23
2.4 Sætning 11.4.3 .................................................................................................................................... 23
2.4.1 Bevis for sætning 11.4.3 ............................................................................................................. 24
3 FL 2 – rækker af funktioner .................................................................................................................... 25
3.1 Funktionsrækker ................................................................................................................................. 25
3.2 Regneregler ......................................................................................................................................... 26
3.2.1 Sætning A ................................................................................................................................... 26
3.2.2 Sætning B ................................................................................................................................... 26
3.2.3 Sætning C ................................................................................................................................... 27
3.3 Sætn. 12.5.1 Weierstrass’ M-test ........................................................................................................ 27
3.3.1 Eksempel .................................................................................................................................... 29
4 Potensrækker – en konkret funktionsrække ............................................................................................ 30
4.1 Intro..................................................................................................................................................... 30
4.1.1 Eksempel .................................................................................................................................... 30
4.1.2 Eksempel .................................................................................................................................... 31
4.1.3 Eksempel .................................................................................................................................... 31
4.2 Teorem 12.6.1 ..................................................................................................................................... 32
4.2.1 Lemma 12.6.7 ............................................................................................................................. 32
4.2.2 Bevis for 12.6.1 .......................................................................................................................... 33
5 Potensrækker og summer ........................................................................................................................ 33
5.1 Recap af det sidste fra sidste gang ...................................................................................................... 33
5.2 Skitse af beviset for eksistens af konvergensradius ............................................................................ 33
5.3 Sætning 12.6.8 (kontinuitet af sumfunktion for en potensrække) ....................................................... 34
5.3.1 Sætning 12.6.9 (Abels sætning) .................................................................................................. 34
5.4 Differentiation / integration ................................................................................................................ 34
5.4.1 Sætning 12.7.1: Integration af potensrækker .............................................................................. 34
5.4.2 Lemma 12.1.2: Den differentierede række er konvergent .......................................................... 35
5.4.3 Sætning 12.7.3: Differentiation af potensrækker ........................................................................ 35
5.4.4 Konvergensradius ændrer sig ikke ved diff/int ........................................................................... 36
5.5 Löl ....................................................................................................................................................... 36
5.5.1 Eksempel .................................................................................................................................... 36
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
4
5.5.2 Eksempel .................................................................................................................................... 37
5.5.3 ** Grinern eksempel ** afleveringsrelevant ** ......................................................................... 37
5.6 Taylorrækker – recap .......................................................................................................................... 38
5.7 Sætning 12.8.2: Taylor formelsamling ............................................................................................... 38
5.7.1 Sætning 12.8.3 ............................................................................................................................ 39
5.7.2 Implikation ................................................................................................................................. 40
5.8 Substitutionsmetoden .......................................................................................................................... 40
5.9 Nu skal vi fæsde .................................................................................................................................. 41
6 Fourierrækker .......................................................................................................................................... 43
6.1 Recap potensrækker ............................................................................................................................ 43
6.2 Fourierrækker ..................................................................................................................................... 43
6.3 Vores fremgang................................................................................................................................... 44
6.3.1 Overgangsformlerne................................................................................................................. 45
6.3.2 Videre, videre ............................................................................................................................. 45
6.3.3 Smart notation ............................................................................................................................ 46
6.4 Ortonomalitetsrelationer, lemma 2.7 .................................................................................................. 46
7 Fourierrækker videre ............................................................................................................................... 46
7.1 PC2π (piecewisely continuous 2π-per.) ............................................................................................. 47
7.2 Smarte resultater ................................................................................................................................. 48
7.2.1 Sætning 2.8 ................................................................................................................................. 49
8 Fourierrækker .......................................................................................................................................... 49
8.1 Sætning 2.8 ......................................................................................................................................... 49
8.2 Definition 2.7 ...................................................................................................................................... 50
8.3 Bessel’s ulighed (sætning 2.11) .......................................................................................................... 51
8.4 Riemann’s lemma (lemma 2.12) ......................................................................................................... 51
8.5 Tilstrækkelige betingelser for (punktivs) konvergens af Fourierrækker ............................................. 52
9 Anden forelæsningstime ......................................................................................................................... 53
9.1 Højdepunkt: Sætn. 3.2: Kriterium for punktvis konvergens af en Fourierrække ................................ 54
9.1.1 Indskud: egenskab ved Dirichlet’s kerne .................................................................................... 54
9.1.2 Bevis for sætning 3.2 .................................................................................................................. 54
9.2 Stykvis differentiable funktioner ........................................................................................................ 56
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
5
9.2.1 Definition: stykvis differentiabel funktion ................................................................................. 56
9.3 Videre ................................................................................................................................................. 56
9.4 Eksempel fra tavlen ............................................................................................................................ 56
10 Fourierrækker – uniform konvergens...................................................................................................... 57
10.1 Lölen ............................................................................................................................................... 57
10.2 Kombo ............................................................................................................................................ 57
10.2.1 Eksempel .................................................................................................................................... 57
10.3 Lemma 4.2: Fourierkoefficienter for f’ ........................................................................................... 58
10.4 Sætning 4.3: .................................................................................................................................... 59
11 Fourierrækker & varmeledningsligningen .............................................................................................. 60
11.1 Funktioner def’et på intervaller ...................................................................................................... 60
11.2 Skørt ............................................................................................................................................... 61
11.3 Lige / ulige funktioner .................................................................................................................... 61
11.3.1 Opsummering ............................................................................................................................. 63
12 Varmeledningsligningen ......................................................................................................................... 63
12.1 Introduktion: fysik .......................................................................................................................... 63
13 Varmeledningsligningen ......................................................................................................................... 64
13.1 Recap – begynd / randværdiproblemet ........................................................................................... 64
13.2 Sætning 6.1: Eksistens af løsning til begyndelses- og randværdiproblm ....................................... 65
13.3 Bevis ............................................................................................................................................... 66
13.3.1 Trin 1: er uniformt konvergent. ............................................................................................. 66
13.3.2 Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente ........................................... 66
13.3.3 Trin 3: afrunding ........................................................................................................................ 68
13.4 Betydning af randværdi / intitialværdi betingelserne ...................................................................... 68
14 Metriske rum ........................................................................................................................................... 68
14.1 Indledning ....................................................................................................................................... 68
14.2 Abstrakt griner ................................................................................................................................ 69
14.2.1 Eksempel: Talrum ...................................................................................................................... 69
14.3 Danne nye metriske rum ................................................................................................................. 69
14.3.1 Eksempel: enhedskuglen (/sfæren) ............................................................................................. 70
14.3.2 Definition 1.2: E, vektorrum over L ........................................................................................... 70
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
6
14.4 En norm på et vektorrum inducerer en metrik ................................................................................ 70
14.4.1 Normer i de reelle tal .................................................................................................................. 71
14.4.2 P-normen .................................................................................................................................... 71
14.4.3 Bevis for at 1-normen er en norm ............................................................................................... 71
14.5 Vildere abstraktionsniveau ............................................................................................................. 71
14.6 Videre ............................................................................................................................................. 72
15 FL2 .......................................................................................................................................................... 72
15.1.1 Eksempel hvor M er en uendelig mængde ................................................................................. 73
15.1.2 Eksempel ∷ .................................................................................................................... 73
15.1.3 Eksempel: M = [0;1] ................................................................................................................... 74
15.2 Nedarvede metrikker ...................................................................................................................... 74
15.3 Generelle ting: Kugle i metrisk rum ............................................................................................... 74
15.3.1 Eksempel K(0,1) ......................................................................................................................... 75
15.4 Kuglelemmaet ................................................................................................................................. 75
15.5 Def 18: Konvergens i metrisk rum ................................................................................................. 76
15.5.1 Reality check: kan en følge have mere en én grænse med denne definition? ............................. 76
15.5.2 Sætning 1.11: Uniform konvergens ............................................................................................ 76
16 Topologi i metriske rum .......................................................................................................................... 76
16.1 Elementær mængdelære.................................................................................................................. 77
16.2 Löl................................................................................................................................................... 77
16.2.1 Indre, ydre, … ............................................................................................................................ 77
16.2.2 Notation og sammenhænge mellem begreberne ......................................................................... 78
16.3 Eksempler ....................................................................................................................................... 79
16.3.1 Finder mængderne ...................................................................................................................... 79
16.3.2 Eks: betydning af M ................................................................................................................... 79
16.3.3 Eks med löl ................................................................................................................................. 79
16.4 Def.: åben og afsluttet mængde ...................................................................................................... 79
16.5 Abstrakte (men grinern) sætninger ................................................................................................. 79
16.5.1 Sætning 2.5 A afsluttet hvis CA åben......................................................................................... 79
16.5.2 Sætn. 2.6: Egenskaber ved systemet af åbne mængder .............................................................. 80
17 Topologi .................................................................................................................................................. 80
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
7
17.1 Indledning ....................................................................................................................................... 80
17.2 Sætning 2.7 ..................................................................................................................................... 80
17.2.1 Eksempel på forskellen mellem (ii) og (iii) ................................................................................ 81
17.3 Kuglerne er åbne ............................................................................................................................. 81
17.4 Sætn. 2.8: Karakterisation af det indre ........................................................................................... 82
17.4.1 Korollar 2.9 ................................................................................................................................ 82
17.5 Sætning 2.9 (karakteristik af lukket mængde ved følger) ............................................................... 83
17.6 Kontinuitet (karakteristik via åbne mængder) ................................................................................ 83
17.6.1 Sætning 3.1 (følgekarakterisation af kontinuitet) ....................................................................... 83
17.6.2 Sætn. 3.2: (topologisk karakterisation af kontinuitet – ved åbne mængder) .............................. 84
17.6.3 Kontinuitet af sammensat funktion............................................................................................. 87
17.6.4 Kontinuerte funktioner, der er ens på tætte delmængder ............................................................ 87
17.7 Regneoperationerne ........................................................................................................................ 88
17.7.1 Eksempel .................................................................................................................................... 88
17.8 Sætning 3.16 ................................................................................................................................... 89
18 Fuldstændighed ....................................................................................................................................... 90
18.1 Intro: motivation ............................................................................................................................. 90
18.1.1 Illustrativt eksempel ................................................................................................................... 90
18.2 Definition 5.1: Cauchy-følge / fundamentalfølger .......................................................................... 91
18.2.1 Påstand: enhver konvergent følge er en Cauchy-følge ............................................................... 91
18.3 Def. 5.2: Fuldstændigt metrisk rum ................................................................................................ 92
18.3.1 Påstand: Enhver Cuachy følge er begrænset (dvs. indeholdt i en kugle) .................................... 92
18.3.2 Sætn. 6.4 (b): Hvis en Cauchy følge har en konvergent delfølge, da er den selv konvergent .... 92
18.4 Cauchy er konvergent i de reelle tal: Egenskaber for (alle) følger i de reelle tal............................ 92
18.4.1 Opg. 5.2: ..................................................................................................................................... 93
18.5 Fuldstændighed og afsluttethed ...................................................................................................... 93
18.5.1 Sætn. 5.3: .................................................................................................................................... 93
19 Opsamling fra sidst ................................................................................................................................. 94
19.1 Advarende eksempel ....................................................................................................................... 94
19.2 Sætn. 5.7: Funktionsrum med sup-normen er fuldstændige ........................................................... 94
19.3 Definitioner ..................................................................................................................................... 95
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
8
19.3.1 Definition 6.1: Fortætningspunkt ............................................................................................... 95
19.3.2 Definition 6.2: delfølge .............................................................................................................. 95
19.4 Lemma 6.4: Fortætningspunkt iff konvergent delfølge .................................................................. 95
19.5 Lemma 6.4: ..................................................................................................................................... 96
19.6 Sætn. 6.5: Begrænsede følger har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass) .......................... 96
19.7 De reelle tal er en fuldstændig mængde ...................................................................................... 97
19.8 Sætning 6.6: i talrum er kompakt iff afsluttet og begrænset ........................................................... 97
19.9 Def. 6.7: Kompakt mængde ............................................................................................................ 99
19.9.1 Advarsel: I det diskrete rum er afsluttede og begrænsede mængder ikke nødvendigvis kompakte
99
19.10 Sætn. 6.9 (ej eksamensrelevant) ..................................................................................................... 99
19.11 Sætn. 6.10 (Weierstrass) ............................................................................................................... 100
19.12 Sætning 6.11 (ej eksamensrelevant) ............................................................................................. 100
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
9
1 Mere sjov med rækker
Rækker, tænker vi på som repræsenterednde en anden følge, nemlig følgen af afsnitssummer,
hvor .
Vi siger, at den uendelige italrække konvergerer, hvis punktfølgen – dvs. – konvergerer,
og i så fald skriver vi
- (men vi bruger altså udtrykket når den er konvergent og divergent… men i så fald
repræsenterer ’symbolet’ kun selve rækken)
Det gør ingen forskel om vi starter i eller .
1.1 Vigtige eksempler
1.1.1 Den geometriske række (TL sætn. 12.1.1)
Rækken er konvergent hvis og kun hvis . For er rækken altså divergent.
⇒
Bevis
Beviset udnytter, at vi kan opskrive eksplicit
⇒
⇒
Udnyt nu, at ⇒ for og for alle
→ da har altså en grænseværdi, og følgelig er
konvergent, og
⇒
Til gengæld ⇒ for (men bemærk, at så kan gå alle vegne hen)
Nu bliver det lidt tricky… når kan altså ligge på den komplekse enhedscirkel. MEN! Når man
ganger et komplekst tal med sig selv så ganger man modulus med modulus (længde), men det er jo bare ,
så længden er den samme, og så lægger man vinklerne sammen, dvs. kommer til at køre rundt på
cirkelperiferien af den komplekse enhedscirkel.
Men hvad nu hvis ? Jamen så er det jo oplagt → så er rækken jo
.
Hvis vil vi bare fare ud gennem det komplekse plan (forlænger bare vores komplekse vektor).
Lad os indsætte værdier
Se eksempelvis på
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
10
Høhø, men vi kan jo skrive rækken op,
Se nu på 9× den række
Aha, så vi kan også gå den anden vej og sige
1.2 Divergenstesten (12.1.4) – kan kun vise divergens
Selvom den hedder divergenstesten vil vi formulere den således
⇒
IDÉ ∷ Når må rækken være divergent.
Bevis
Hvis så konvergerer den. Men hvis dette er opfyldt, så vil følgen når .
Men så vil (differencen mellem to konvergente rækker er konvergent
og går mod differencen mellem deres grænseværdier.
MEN . Dermed har vi vist, at ∎
BEMÆRK! KUN EN NØDVENDIG BETINGELSE!
Bare fordi har vi ikke en konvergent række, se bare på .
1.2.1 Eksempel: den harmoniske række
Vigtig række, så vi skal se på to beviser for at den er divergent.
Den vokser som logaritmen af det antal led, man har. Den vokser kun som logaritmen af det antal led, man
summer.
Bevis @ modstrid
Antag konvergent, at
Betragt ift. .
Dvs. den sidste halvdel af leddene i . Men disse led kan vi sige noget om.
Men bemærk, at vi har led, som alle er større end .
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
11
MEN! Hvis så vil – , men vi har jo lige vist, at
…MODSTRID! ∎
HUSK! , men er divergent
Fortolkning: leddene skal gå tilpas hurtigt til 0.
1.3 Sætning 12.1.7
Del 1
Det interessante ved dette er, at konvergente ⇒ konvergent.
MEN! Pas på igen, summen af to divergente kan godt være konverngent. Det lyder altså
⇒
Del 2
Det medfører
⇒
ADVARSEL
Del griner
⇒ det er halen, der afgør konvergens.
1.4 Værktøjer til at afgøre konvergens/divergens – positive rækker
Sprogbrug ∷ bogen mener ikke-negativ, når den siger positiv.
OBS!
er ok selvom for nogle … bare den ikke er det i grænsen.
Nu skal vi se på rækker, , hvor .
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
12
1.4.1 Sætning 12.2.1
⇒
Dvs.
Bevis
”⇐ ”
Vi vil vise, at hvis den er begrænset, så er den også konvergent
⇒
er voksende (vi lægger hele tiden noget positivt til)
En voksende, begrænset følge er konvergent, og .
”⇒”
⇒
∎
1.5 Lol, nu skal vi sml. med integraler
POINTE: Integraler er sværere at definere, men nemmere at udregne.
1.5.1 Sætning 12.2.3: integraltesten
Betragt som er positiv, aftagende og kontinuert.
Da gælder der, at
Bemærk, at implikationen går begge veje, men det er typisk nemmere at se om integralet er konvergent (kan
vi ofte udregne)
Bevis
(Se på tegningerne i bogen)
”⇒”
Betragt
Vi kan danne en masse opretstående rektangler, som har bredde 1 og højde .
Da danner integralet en oversum til
.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
13
Men det betyder, at
⇒
Ved at se på tegningerne kan vi se, at
”⇐”
Her ’vender’ vi bare rektanglerne og kigger på undersummerne til integralet
Nu er integralet (arealet under f-kurven) større end hvad rektanglernes areal tilsammen er.
⇒ men hvis integralet så er konvergent er dets areal jo endeligt, og så må specielt noget, der er mindre, have
endelig sum.
Sammenfattende
Alt i alt er altså
1.5.2 Sætning 12.2.4: n^-p
Bevis
Vi viste jo at
er konvergent
OBS! Så skal vi først lige tjekke, at
er positiv, aftagende og kontinuert.
Men det er den jo.
MAN SKAL ALTID TJEKKE FORUDSÆTNINGERNE FOR EN SÆTNING!
∎
Hurra, integraltesten gør det altså meget nemt
1.5.3 Eksempel: Harmoniske række igen
Bemærk ud fra
at
1.5.4 Sammenligningstestet
(i) Lol,
⇒
(ii) Lol igen
⇒
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
14
Bevis
(i)
(ii)
Denne følger af at vende uligheden om i og og så følger (ii) af modstrid med (i).
1.5.5 Grænsesammenligningstesten: 12.2.8
(husk at vi ser på positive rækker, )
⇒
⇒
BEVIS
Vi sætter navn på tingene og sætter
Det betyder, at der findes et så ⇒
(eller mindre end … bare et fast tal)
⇒ men det betyder, ta
⇒ så kan vi bruge sammenligningskriteriet… desværre kan vi bare kun se på halen… men NÅ JA, det var jo
kun halen, der betød noget.
1.6 Forholdstesten (kvotientkriteriet), sætning 12.2.12
Et af de mest benyttede test (evt. sammen med integraltesten)
Vi ser på her fordi vi gerne senere vil dividere med
(i) ⇒ konvergent
(ii) ⇒ divergent
(iii) ⇒ ingen konklusion
Bevis
Idé: sammenlign (sætning) med den geometriske række (eksempel)
(i)
Vi har altså en grænse for
⇒ ⇒
Så vil vi bruge det til at sige, hvor stor er
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
15
⇒
⇒
⇒
Se nu på flg. 2 rækker
1. dvs.
2. dvs.
Vi ved her, at da er konvergent.
Men er i alle elementer mindre end denne, så den er også konvergent
Men så har vi en sætning, der siger, at når halen er konvergent, så er rækken konvergent.
Ergo er konvergent
(ii)
der findes og et så
⇒
Dette gælder altså specielt for
Men så har vi, at de enkelte elementer, , ikke går mod 0, og for en positiv række skal dette være tilfældet.
1.6.1 Ad (iii): når a = 1 kan det gå begge veje
Vi vil i det følgende bevise, at vi ikke kan konkludere noget når ved at give et eksempel på en divergent
række og et eksempel på en konvergent række.
Betragt
Her er og derfor er selvfølgelig
, men den er altså alligevel divergent.
Betragt nu
Her er
⇒
, men rækken er alligevel konvergent.
Og se denne
Her er så
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
16
1.7 Rodkriteriet/rodtesten, 12.2.6
Her er det ikke så vigtigt, om , når blot .
Antag, at
(i) ⇒ konvergent
(ii) ⇒ divergent
(iii) ⇒ ingen konklusion
Beviset for (i) bygger på at sammenligne med en geometrisk række
Bevis
Antager altså, at grænseværdien er
⇒ det betyder, at der findes et og et så
⇒
⇒
KONKLUSION: er konvergent, da i hvert eneste led er begrænset.
→ da halen er konvergent er hele rækken det.
(iii)
Her kommer han igen med et eksempel på hver konklusion og konkluderer at vi ikke kan sige noget
generelt… undervejs udnytter han flg. sammenligningskriterium:
Dvs.
vinder over logaritmen.
1.7.1 Eksempel på anvendelse af rodtesten
Normalt bruger vi kun rodtesten når
Betragt
Her er
Derfor er
Da
er rækken
konvergent
BEMÆRK! Spørgsmålet er, om det er tæller- eller nævnerpolynomiet, der dominerer.
1.8 Alternerende rækker – Skiftende fortegn
Vi skal se på en test, som netop udnytter, at leddene skifter fortegn.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
17
1.8.1 Eksempel: alternerende harmoniske række – konvergent
1.8.2 Sætn. 12.3.1, alternerende-række-test
VIGTIGE FORUDSÆTNINGER
Betragter rækken alternerende, dvs. har alle samme fortegn, og er en aftagende følge,
og
⇒ da er konvergent.
Sætningen giver os, at den alternerende harmoniske række er konvergent.
Bevis
Vi laver en tegning.
Betragt de lige afsnitssummer:
Og de ulige
Lad nu
Vi vil vise, at . Betragt nu
Fordi vi benytter, at
Vi får desuden flg. betragtning
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
18
Hvis vi altså vil inden for 10% af den sande sum, skal vi altså tage led med indtil det næste led er højst 10%.
1.9 Absolut konvergens (definition 12.4.1)
En række, der er konvergent når vi putter absolut værdi på leddene.
BEMÆRK! Den alternerende harmoniske række er ikke absolut konvergent, selvom den er konvergent (når vi
tager absolut værdi af den bliver det jo den harmoniske række, og den er jo divergent.
Hvis en række er konvergent, men ikke absolut konvergent, så siges den at være betinget konvergent.
1.9.1 Sætning 12.4.2: abs. konv ⇒ konv.
⇒
Bevis
Indfør , dvs. den ser kun på de positive ’er og sætter resten til 0.
.
Desuden .
EKSEMPEL
Indse nu, at og
Antag at er konvergent.
Men da er
konvergent og
er konvergent
Men da har vi en sætning, som siger, at differencen mellem dem er konvergent.
1.9.2 Def 12.4.3: betinget konvergens
En række, der er konvergent, men ikke absolut konvergent, kaldes betinget konvergent.
Tænk: der skal ikke meget forstyrrelse til før det kikser.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
19
Forholdstest til afgørelse af absolut konvergens
Udvidelse: vi har en forholdstest, der virker for absolut konvergens… vi tager simpelthen betingede værdier
og så har vi en positiv række, og så kan vi bruge vores forholdstest.
Husk: forholdstesten så på
Her tester man i stedet
(i) ⇒ er absolut konvergent
(ii) ⇒ er divergent (overraskende, husk at ej abs.konv ikke nødv. betyder div… fx er
alt.harm. en ej abs. konv., men dog konv. række)
(iii) ⇒ ingen konklusion.
1.9.3 Sætn. 12.4.9 mv.: Ej abs., men dog alm. konv rækker: handle with care
For Absolut konvergente rækker
→ her er ombytning ok
Dvs. hvis vi laver en ombytning, en permutation
- bijektiv: en-entydig=forskellige værdier til forskellige input, surjektiv (eller på, onto): alle
værdier rammes)
Sætning 12.4.9:
(altså i en anden rækkefølge
Bevis
Se på
Vælg
Da er
- Vi skal bruge dette til at sige,
Vi ved, at
Og så må der gælde lighedstegn hele vejen igennem.
Eksempel på betinget konvergent række
Lemma 12.4.11:
betinget konvergent.
Da gælder der, at
begge er divergente.
Bevis
Bemærk, at
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
20
- Kort bevis, Antag konvergent og omskrive
konv konv, så må
være konv da den er sum af to konv ⇒ MODSTRID
1.9.4 Sætn. 12.4.12
Antag, at er betinget konvergent.
Algoritme: Start med alle de positive led, . Denne række er divergent. Det betyder, at vi skal bare tage nok
led med, så kommer vi over . Men nu skal vi have bragt vores sum ned igen. Det gør vi ved at med tage
negative led, dvs. led fra indtil summen igen er nede på .
Sådan fortsætter vi. Det vil gøre, at vi kan ramme .
Men hvorfor kommer vi tættere og tættere på?
⇒ fordi vi stopper præcis når vi er kommet forbi, så ved vi at afstanden mellem ’et og der, hvor vi har ramt
end – dvs. det sidste skridt vi har taget – er større end den afstand, der var tilbage. Vi var nemlig ikke kommet til
før, og nu er vi over.
Intuition ang. ombytning: Den oprindelige række går mod 0. Dvs. der er kun endeligt mange led i denne
følge, som er større end ethvert . Men der skal jo være mange led i følgen. Så må der være mange, der er
mindre end.
2 Konvergens
Punktvis konvergens:
Man definerer punktfølgen af delsummer, , og punktvis konvergens er så når er konvergent
2.1 Uniform konvergens
funktionsfølge, ,
konvergerer uniformt mod på hvis
(og husk: når vi har skal vi bruge
Bemærk at er en talfølge!
2.1.1 Punktvis & uniform konvergens med kvantorer
⇒
- Denne er sværest fordi vi lægger os fast på et og så skal sætningen holde for alle de ’er der kan være
⇒
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
21
- Her vælger jeg ’et efter ’et
- Sætning fra tirsdags (hvor jeg ikke var der):
Uniform konvergens bevarer kontinuitet
- Kontinuitet kræver noget struktur på den underliggende mængde
- Dvs. grænsefunktionen er også kontinuert
- Derimod bevarer punktvis konvergens ikke nødvendigvis beholder kontinuitet
- Uniform konvergens er specielt også punktvis konvergent
(uniform er strengere)
Målet i dag ∷ hvad bevares ellers ved uniform konvergens → kan vi fx differentiere / integrere? (ja!)
2.2 Integration og differentiation af funktionsfølger
Punktvis konvergens
Betragt funktionen , hvor for uden for
og indenfor intervallet går den lineært op til
og så tilbage ned til 0
Vi har, at konvergerer punktvis til 0 (fordi intet bliver indenfor intervallet)
Integration
Betragt tilfældet , thi så er endepunktet under 1
Hvad er så integralet? → tja det er jo arealet under kurven
- Men vi ved jo alle sammen hvad arealet af en trekant er (halv grund × højde)
- Dvs.
Men hvad så med grænsefunktionen? Tja
⇒
BEMÆRK! GRÆNSEN AF INTEGRALET ER FORSKELLIGT FRA INTEGRALET AF
GRÆNSEN!
Lad os lige finde
FUCK! Så er funktionen ikke bare ej uniformt konvergent… dens går mod !
(husk er den største afstand mellem de to argumenter)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
22
2.2.1 Sætning 11.4.1
, , kontinuerte
Antag, at konvergerer uniformt mod
Lad . Definér ved
Konklusion: Da vil funktionsfølgen konvergere uniformt imod , hvor
.
⇒ specielt hvis og , så vil være grænsen af intengralet fra til
Advarsel: Stamfunktionen tili en uniformt konvergent følge af funktioner er ikke nødvendigvis konvergente
Problemet er nemlig, at vi jo bare kan lægge konstanter til.
Bevis
er kontinuert, da kontinuitet bevares ved uniforme grænser.
Derfor kan vi definere som stamfunktionen til
Vi vil vise, at ’erne konvergerer uniformt mod
→ det betyder, givet skal vi kunne finde så for alle
I bogen ∷ der vælger man sit og viser at det duer… i stedet vil vi regne baglæns og finde ud af, hvordan
skal vælges.
Lad os regne på det
(det er ok pga. kontinuerte funktioner)
PROBLEM! Hvilken side af ligger på? Vi har jo, at
MEN ∷ Vi har jo, at for en funktion . Her er det underforstået, at . Så når vi skriver
integralet
. Her kan man vise, at
. Vi skal bruge dette, men håndtere, at kan
være større eller mindre end
(indholdet bag dette er, at hvis vi kommer til at vende grænserne forkert ift. hvilket tal, der er størst ⇒ så vil
der bare komme et minus ud, og det håndterer vi så ved at tage absolut værdi…)
Vælg nu så der for alle og for alle gælder
⇒
(vi så jo på og skulle få det mindre end … men når vi ser på et integral er det jo et interval
under en kurve, så vi vil sørge for, at det er mindre end arealet under)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
23
Men det er jo kun rigtigt, hvis vi ved, at uligheden gælder for alle … men det ligger (åbenbart) i uniform
konvergens!
(fordi da )
∎
2.3 Man kan ikke slutte om differentiation ud fra uniform konvergens
Eksempel: , med og lad os antage, at konvergerer uniformt mod 0.
Eksempel
∷ i nævneren sikrer os, at funktionen bliver mindre og mindre ( -intervallet bliver
mindre og mindre), men inde i gør, at den svinger hurtigere og hurtigere
(fordi .
Med andre ord er
Men lad os så differentiere den og se, at den faktisk kan være stor.
Se fx på
Som ikke har nogen grænse
Derfor konvergerer ikke.
(kuriositet, hvad hvis vi havde set på . Den har så
.)
2.4 Sætning 11.4.3
Hvis vi ved at differentialkvotienterne konvergerer uniformt, kan vi sige noget.
Dvs. vi skal se på en sætning helt tilsvarende til den forrige, men vi siger nu noget om de differentierede i
stedet for om funktionen selv.
JSP: bogens formulering er for upræcis, så her kommer en mere præcis griner, hvor vi håndterer funktionernes
opførsel i endepunkterne lidt bedre.
Vi vil gøre antagelserne på et åbent interval og så ikke sige noget om endepunkterne (i modsætning til bogen)
Betragt defineret som og lad os antage, at er kontinuerte,
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
24
Vi siger , dvs. er differentiabel og er kontinuert
Antag at konvergerer uniformt mod
Antag at der findes et punkt så konvergerer
(dvs. at den punktfølge der kommer når man evaluerer alle erne i )
Da findes et således, at konvergerer uniformt mod på og
(altså: konvergerer mod )
(wow, vi laver antagelser om den afledte og kan så vise noget om den opridnelige)
2.4.1 Bevis for sætning 11.4.3
Bevis
Lad (som vi antog var konvergent)
Men mellem og er alt dette ok, da vi antog, at kontinuert for alle
Og det er altså følgen, vi ved noget om.
Og vi vil godt vise noget om følgen – dvs. vi skal finde en kandidat til en grænsefunktion
Den naturlige kandidat til grænsefunktion:
Påstand: konvergerer uniformt mod .
Bemærk, jf. almindelig
.
Nu kører bussen
Givet et skal vi finde et
pga. trekantsuligheden.
Vælg nu så ⇒ (vi fordeler bare ligeligt mellem de to)
Vælg så for alle og alle
Lille problem: spørgsmålet er om vi ser på et åbent eller lukket interval.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
25
3 FL 2 – rækker af funktioner
Vi får brug for et trick…
Trick: en voksende, begrænset følge er konvergent.
OBS! Meget af nedenstående er kun flygtigt berørt i pensum → læs ugesedlen…
3.1 Funktionsrækker
, , hvor er en generel mængde.
Til en følge af funktioner hører en række, , hvilket er en funktionsfølge af afsnitssummer,
hvor , og er en funktion deffineret ved
- Hurra! Nu har vi fået skrevet funktionsrækken op vha. afsnitssummer og derfor kan vi bruge vores
begreber om talrækker (uniform konvergens, punktvis konvergens, …)
- Vi skal altså se på, om funktionsfølgen nærmer sig en funktion… idéen er fuldkommen den samme
som for ralrækker, hvor vi ud fra talrækken definerede talfølgen
. Nu skal vi bare
ud fra funktionsrækken danne funktionsfølgen, og så er det bare et spørgsmål om, hvorvidt den ”nærmer
sig en eller anden funktion”.
Definition
Hvis konvergerer punktvis (uniformt) mod ,
da siges at konvergere punkvis (uniformt) på mod . Vi skriver
PAS PÅ! Når vi skriver er det ikke klart, om funktionsfølgen konvergerer punktvist eller
uniformt. Det må vi anføre i teksten.
MAN SKAL ANFØRE HVILKEN AF DELENE DEN ER!
Eksempel
Hvad er så funktionsrækken?
Men er jo en geometrisk række, så
for , men
er divergent for
.
MEN! Så kunne vi jo definere funktionen som
for .
STRINGENT NOTATION: på hvor .
Sætningerne i dag
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
26
- Når nu vi ser på funktioner i vores rækker ku det jo være griner at se hvad differentiation og integration
ku være for noget skidt…
3.2 Regneregler
Hvis og
er punktvis (uniformt) konvergente,
da vil
konvergere punktvis (uniformt)
(bemærk, at vi specificerer hvilken type konvergens, der er tale om)
Desuden er
Regnereglerne kommer fra regnereglerne for talrækker.
3.2.1 Sætning A
, , kontinuerte
Antag, at uniformt konvergent
Da er kontinuert.
Bevis
Vi ved, at konvergerer uniformt mod , hvor .
Regnereler for kontinuitet giver, at er kontinuert på
- Fordi summen af kontinuerte funktioner også er kontinuert.
Derfor må være kontinuert, fordi vi har bevist, at kontinuitet bliver bevaret ved uniform konvergens.
3.2.2 Sætning B
, kontinuerte
Antag, at konvergerer uniformt på
Eller
HVIS vel at mærke vi har uniform konvergens.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
27
Bevis
Men det betyder, at
Men det betyder, at
3.2.3 Sætning C
,
Antag
-
konvergerer uniformt på
- er konvergent for et
Da vil være uniformt konvergent og
som jo altså er en uniformt konvergent række.
Beviset kører ved at oversætte til følger og så bruge vores resultater for dem. Man definerer og
.
3.3 Sætn. 12.5.1 Weierstrass’ M-test
Vigtig sætning. Åndssvagt navn, man har bare næsten altid brugt som symbol i testet
Betragt fkt.følgen , , funktionsfølge
Givet en talrække som er konvergent sådan at
Da er uniformt, absolut konvergent på
HUSK at angive på hvilken mængde den er konvergent!
Bevis
Trin 1: er punktvis absolut konvergent.
Det følger af sammenligningskriteriet.
Hvis får vi talrækken som vi skal vise er absolut konvergent.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
28
Det følger af sammenligningskriteriet, da
Definér nu funktionen ved, at .
Men er så den punktvise og absolutte grænse for .
Trin 2: er uniformt konvergens.
Lad
Vil vise konvergerer uniformt modd .
Lad os gøre som vi plejer og tage forskellen mellem og vise, at vi kan vælge stor nok til at
denne afstand er mindre end et givent for alle .
Hvor er en grænseværdi og
bare er et tal
Nu trækker vi uden for , da absolut værdi er en kontinuert funktion
Nu vil vi bruge trekantsuligheden
Men nu kan vi bruge vores antagelse, at
Men vi har jo antaget at var konvergent
Nå, givet , vælg da så
⇒
og derfra
∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
29
3.3.1 Eksempel
Eksempel: hvad er summen af ?
TRIK: vi kigger i stedet på
Vi ved, at den er konvergent og
når
Vi vil nu konkludere 2 ting:
1) er uniformt konvergent på
(vi holder os bevidst fra hvor det går galt)
2)
er uniformt konvergent på
Bevis for 1)
Vi har altså og vi vil bruge Weierstrass’ M-test
⇒ så vi tager absolut værdi,
(spiller rollen af den)
Men
(da det er en geometrisk række).
Men da har vi vha. W M-test vist 1) ∎
Bevis for 2)
, ok ved brug af Weierstrass, hvis
.
Men det kan vi jo nemt tjekke vha. forholdstesten,
Derfor giver forholdstesten os, at rækken
er konvergent, og dermed er (@M-test)
konvergent
MEN! Når nu den differentierede række konvergerer uniformt, og rækken selv konvergerer uniformt i bare et
enkelt punkt, så har vi, at
Lad os skrive dette ud
Hurra! Nu er vi klar!
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
30
OBSOBS! Det er et tilfælde, at han er kommet til at lave rækkerne så de havde den samme sum…
4 Potensrækker – en konkret funktionsrække
4.1 Intro
Sidst så vi på:
- Punktvis konvergens ∷ konvergens for enkelte punkter
- Uniform konvergens ∷ ”konv går lige hurtigt for alle punkter”
I dag: Potensrækker, dvs. funktionsrækker (af ) på formen
Ofte kan vi nøjes med at se på i teorien (i praksis er det mere relevant, hvad er)
INTUITION ∷ tænk på rækken som et polynomium af grad .
SPØRGSMÅL ∷ for hvilke er potensrækken konvergent?
KORT SVAR ∷ vi kan opskrive en konvergenscirkel, så rækken konv’er for alle i den.
LANGT SVAR ∷ der findes et tal (løst sagt… er jo egentlig ikke et tal), som afhænger af
potensrækken (af ), så er konvergent inden for cirklen i den komplekse tal med centrum
i ( ) og radius ( ), men ikke nødvendigvis på randen.
(reelt tilfælde ( ) ∷ her har man et konvergensinterval. Det forenkler sagen beltydeligt, da vi så kun har 2
endepunkter (disse skal nemlig tjekkes separat))
En kort bemærkning om komplekse tal
Det er tilladt, at ’erne er komplekse tal.
Meget af det, vi siger, holder også for
MEN ∷ i alle opgaver vi skal se på, vil
4.1.1 Eksempel
Dvs. ,
Vi vil bruge forholdstesten, MEN så skal vi kunne undtage . Men når er rækken en sum af 0’er på
nær det første led. Men så er summen . (gælder generelt når i alle led – så er
det kun det første led, hvor )
→ den er altså konvergent for
Se nu på .
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
31
Dvs. divergent
Ergo har rækken konvergensmængden med konvergensradius .
4.1.2 Eksempel
Rækken er
For er , dvs. konvergent.
Vi bruger igen forholdstesten med
Da giver forholdstesten os, at rækken konvergerer. Men det gør den for alle , ergo er
konvergensradius (konvention at skrive sådan).
4.1.3 Eksempel
Her er og
Betragt først ; her har vi oplagt konvergens. Det betyder, at cirklen har centrum i .
For bruger vi forholdstesten
Nu siger forholdstesten, at
⇒
⇒
Dvs.
⇒
MEN! Vi mangler at undersøge randen‼
- PROBLEM! For er der ∞ mange tal (det er en kompleks cirkelperiferi)
For tilfældet:
Men denne række er absolut konvergent (alm. potensrække med med ) og dermed også
konvergent
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
32
Denne er absolut konvergent og dermed også konvergent.
Samlet set er konvergensintervallet .
4.2 Teorem 12.6.1
Sætningen siger, at vi altid vil få et resultat frem, der kan skrives på formen med en konvergensradius og med et
interval. ⇒ det betyder fx, at konvergensmængden aldrig vil være delt i 2.
Postensrækken har 3 muligheder for konvergens
1) Potensrækken er konvergent for alle
2) Potensrækken er kun konvergent for
3) Der findes et så potensrækken er konvergent for og divergent for .
For har vi ingen konklusion.
Før vi kan bevise det skal vi bruge Lemma 12.6.7. For at lette skriveriet vil vi se på .
4.2.1 Lemma 12.6.7
Hvis er konvergent for , da er den konvergent for alle med , og rækken er
uniformt konvergent på alle mængderne af formen hvor .
(komplekst tilfælde: uniform konvergens på , dvs. kun på den reelle akse)
Bevis
Vi vil bruge Weierstrass’ M-test og finde et tal , som alle led er mindre end.
Da er konvergent giver divergenstesten, at
(en række kan ikke være konvergent, hvis leddene ikke går mod 0)
Men når de alle går mod 0, kan vi gå langt nok ud til, at for alle kommende led… men blandt de
tilbageværende forrige led før må der så findes et største. Det betyder, at der må findes et så
(egentlig udnytter vi, at en konvergent følge er en begrænset følge)
Men lad os så se på
Hvis nu vi har et , for alle vil der så gælde, at
Men vi havde jo valgt , da har vi, at . Men da har vi
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
33
Nu kan vi bruge Weierstrass’ M-test med
har vi altså uniform konvergens for alle i ,
men vi ved ikke, hvad der sker når går ud imod ↷ vi ved ikke, om konvergensen ”går i takt” derude.
4.2.2 Bevis for 12.6.1
Antag 1) eller 2) ikke gælder.
Det betyder, at rækken konvergerer for nogle ’er, men ikke alle ’er.
Altså findes et hvor rækken er konvergent, og hvor den er divergent
(husk, at så er rækken)
Vi vil nu beskrive mængden
Vi ved, at .
Men vi ved også, at
Men det betyder, at er opad til begrænset.
Lad , dvs. det mindste overtal for
Påstand:
Konvergens for ⇒
og divergens for ⇒ . Nu siger lemmaet jo, at konvergens i ⇒ konvergens i
(da ), men det er jo en modstrid med, at . Dermed må den være divergent for .
5 Potensrækker og summer
5.1 Recap af det sidste fra sidste gang
Vi betragter potensrækken (idet vi har centreret i 0)
Antag at rækken er konvergent i et tal ,
⇒ for alle vil være uniformt konvergent på
⇒ så er punktivs konvergent på (åbent interval… abs.værdier @ kender ikke fortegnet
på )
Fortolkning af sætningerne:
Jo større er, des flere punkter har vi, som skal marchere med i takt mod grænsen…
⇒ men hver gang vi tager et nyt punkt med vil det også gå mod grænsen, så rækken må være punktvis
konvergent i dette nye punkt…
Problemet er altså, at vi ikke kan være sikre på, at uniform beholdes i grænsen – kun punktvis
5.2 Skitse af beviset for eksistens af konvergensradius
Antag, at er divergent for
Betragt
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
34
Om ved vi, at (fordi potensrækker centreret i 0 altid har sum 0 og dermed er konvergente), men at
pr. antagelse
Vi ved således, at
- Hvorfor? Fordi antag, at et med . Men da siger vores sætning fra før, at alle intervaller
i det indre af ligger i . Men så ligger også i og det er en modstrid.
Lad nu . Da er (dvs. kun endepunkterne kan vi ikke sige noget om.
(bemærk, at hvis så ved vi, som nævnt ovenfor, at altid, dvs. (og ikke )
5.3 Sætning 12.6.8 (kontinuitet af sumfunktion for en potensrække)
Hvis har konvergensradius (evt. eller ), da vil
være en kontinuert funktion på det åbne interval .
Bevis:
Antag , beviset for er trivielt.
Lol, bemærk at er kontinuert (det er et polynomium).
Vi ved, at punktvis på … men det giver ikke umiddelbart kontinuitet.
MEN ∷ den er til gengæld uniformt konvergent på for alle .
- Argument ∷ når rækken er punktvis konvergent på må der være et lille så den specielt er
konvergent i . Men så siger sætningen fra før, at på intervallet , for alle
, er rækken uniformt konvergent. Men så er den kontinuert i .
5.3.1 Sætning 12.6.9 (Abels sætning)
Sumfunktionen for en potensrække er kontinuert på hele konvergensmængden.
5.4 Differentiation / integration
5.4.1 Sætning 12.7.1: Integration af potensrækker
Antag at har konverngensradius :
Bevis:
Betragt . Hvis er (talrækken) konvergent.
Faktisk er uniformt konvergent på .
Men når vi har uniform konvergens, så må vi lave ledvis integration, dvs.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
35
AHA! Men vi har vist, at den række, der kommer frem ved ledvis integration er konvergent. Det beviser .
5.4.2 Lemma 12.1.2: Den differentierede række er konvergent
Den generelle sætning siger, at selvom en række kan integreres let hvis bare den er konvergent, så er verden
ikke så simpel for differentiation… her følger konvergensen af summen af differentierede led ikke umiddelbart af
konvergensen af den oprindelige række.
Sætning:
Hvis rækken har konvergensradius ,
så konvergerer rækken på
Bevis:
Ser på . Vi vil vise konvergens for for .
Vælg så . Vi ved, at er konvergent.
⇒ faktisk er absolut konvergent, dvs.
er konvergent (vi viste sidst, at potensrækker er
absolut konvergente på deres konvergensmængder)
Betragt nu og lad os forsøge at vurdere det ved
PÅSTAND ∷
, hvor er en konstant (må godt afhænge af , men skal være konstant mht. .
Bemærk, at
for , men hvorfor?
- fordi var valgt så , dvs. .
- Nu er der konkurrence mellem og . Men da ved vi, at en potens altid vil vinde over en
multiplikativ konstant (”i det lange løb”).
Men så har vi vist det ønskede, fordi
og er konvergent.
Dermed er den differentierede række absolut konvergent og den er så også konvergent.
5.4.3 Sætning 12.7.3: Differentiation af potensrækker
Antag, at har konvergensradius : Da vil
Bevis:
Vi skal bruge sætningen fra i torsdags ∷ vi kan differentiere rækken, hvis (i) den oprindelige række
konvergerer i mindst et punkt og (ii) den differentierede er uniformt konvergent.
Vi vil vise, at for alle gælder
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
36
Hvis vi har vist og for alle ’er i , så svarer det til, at funktionen er differentiabel i hele det
åbne interval .
Bevis:
∷ Da er konvergensradius for er den konvergent for alle punkter i .
∷ Vi ved fra lemmaet, at har konvergensradius mindst lig med .
- Men det betyder jo, at konvergerer uniformt… den er jo en potensrække. Dermed
er et afsluttet delinterval af konvergensmængden.
5.4.4 Konvergensradius ændrer sig ikke ved diff/int
Både ved integration og differentiation kan konvergensradius kun gå op. Men så kan vi regne ud, at den må
være den samme altid (ellers kunne man bare skiftevis diffe frem og integrere tilbage og øge intervallet!
MEN ∷ i endepunkterne kan der ændre sig noget.
- Integration ⇒ kan give konvergens i endepunkterne
- Differentiation ⇒ kan give dårligere konvergens i endepunkterne.
5.5 Löl
Lol, betragt den geometriske række
SEJT ∷ vi kan få forskellige rækker frem ved at differentiere/integrere disse
Vi skal bruge Abels sætning til at sige, at når noget konvergerer i endepunkterne, så konv’er det også
uniformt.
5.5.1 Eksempel
⇒
Hvad med endepunkterne?
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
37
Konklusion:
Lad os nu bruge Abels sætning.
→ den siger, at
er kontinuert på .
MEN! Logaritmen er jo kontinuert på det samme interval! (selvom ikke er defineret for ,
men den er jo heller ikke med)
Men når to funktioner er ens i det indre af et interval og kontinuerte, så må de også være ens i endepunktet,
dvs.
, dvs. logaritmen til 2 er summen af den alternerende harmoniske række.
5.5.2 Eksempel
Led vis diff. giver
på .
5.5.3 ** Grinern eksempel ** afleveringsrelevant **
Find sumfunktionen til potensrækken
Hmm, se på ’erne foran… for at få dem derned ligner det, at der har været differentieret.
→ vi ser på den almindelige geometriske række
⇒
Men vi skal bruge et mere…
⇒
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
38
⇒
På intervallet .
Men det kan vi sagtens udregne
5.6 Taylorrækker – recap
Husk ∷ Taylorpolynomium af grad højst for en funktion i et punkt
Den er valgt så , , ,
(men højere ordens diff’er giver ikke længere samme diff-kvotient)
Hvis er mange gange differentiabel i da er Taylorrækken for i potensrækken
(pas på, kan både repræsentere rækken og sumfunktionen (når denne eksisterer))
MÅL ∷ hvad er sumfunktionen for en Taylorrække?
→ er lig med ?
ADVARSEL ∷ er muligt selvom konvergerer
Eksempel – Tf konv gør ikke nødvendigvis, at Tf = f
(grafen er smooth – også i 0)
Den er bøvlet at differentiere → vi er nødt til at gå tilbage til definitionen af diff.kvot.
Men man kan vise, at , …,
⇒ men så er bare 0-rækken, dvs.
5.7 Sætning 12.8.2: Taylor formelsamling
Taylorformelsamlingen giver os
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
39
Og det viser sig, at rækkerne faktisk er Taylor-grinere
Bevis for (ii): formlen for sin(x)
Beviset bruger Taylorrækkens restled
Ladd os udregne grinerne omkring
Dvs. Taylor-koefficienterne hedder (lige # diff ⇒ 0, ulige # diff ⇒ ±1)
→ dvs.
Dermed er
Vi kan nemt (fx forholdstesten) vise, at den er konvergent, men at er mere subtilt
Vi bruger
Ud fra definitionen på restleddet… men vi har en vurdering på restleddet
(fordi diff-kvotienterne altid vil havne som enten eller , som er ≤ 1.)
Men da har vi
(hvor dette gælder fordi vokser langsommere end , idet man med fakultet hele tiden ganger et nyt tal
på, som er større end det forrige)
5.7.1 Sætning 12.8.3
Antag, at har en positiv konvergensradius .
Hvis er sumfunktionen for
⇒ så er en Taylorrække for , dvs.
Men hvad betød advarslen?? AT PILEN KUN GÅR ÉN VEJ‼
- Dvs. vi kan ikke slutte fra en Taylorrække til, hvad er, men hvis vi først har en potensrække, så har vi
fundet Taylorrækken.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
40
- POINTE ∷ det eksempel vi så på var en funktion der var , men for alle , så
Taylorrækken kunne ikke indfange den… man kalder det ”eksponentielle små fejl”, som Taylorrækken
ikke kan opfange.
Bevis
Men så har vi jo vist, at vi kan differentiere ledvist.
Nu kan vi bare sætte ind for
5.7.2 Implikation
Vi fandt i morges, at
. Men da finder sætningen netop anvendelse
→ er altså Taylor-rækken for funktionen
Lad os se på de funktioner, vi fandt tidligere
For :
5.8 Substitutionsmetoden
Find Taylorrækken for
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
41
… MEGET BESVÆRLIG!
I stedet vil vi bruge formlen for men så sætte i formlen
Hvad så med
?
Lol, lad os prøve at finde dens stamfunktion
Lol,
Lol, men så kan vi finde Taylorrækken til arcus tangens!
⇒
Man kan vise, at denne række er konvergent på hele
MEN ∷ da er jf. Abels sætning kontinuert på hele .
- og er veldefinerede og velkendt lig med
5.9 Nu skal vi fæsde
Hvad er
?
Det er en talrække – men kan vi alligevel bestemme dens sumfunktion?
Hmm, vi ka prøve at lave den om til en potensrække…
Vi ved, at rækken er konvergent for , så lad os bruge vores teknik til at finde sumfunktionen for den
→ METODE ∷ omskrive rækken til den geometriske række
- dvs. kan vi omskrive så vi får den??
- TRICK ∷ når der står noget med et polynomium i er det en god ide at prøve med den geometriske…
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
42
- TRICK ∷ hvis står i nævneren skal vi ud i noget integration normalt.
- VORES TRICK ∷ vi vil prøve at komme fra den oprindelige række ned til den geometriske… så skal vi
nemlig ud i noget differentiation, og det kan være væsentligt nemmere.
Let’s go
Vi kan se, at konvergensradius er … det kan ikke være større… men den er konvergent i endepunkterne
fordi er konvergent.
(TRICK ∷ dette illustrerer, at det ofte kan være nemmere at starte med den givne funktion… så kan vi
hurtigere se, hvordan vi slipper af med de dumme ting…)
⇒
⇒
Men den er bare et led væk
Vi har altså
⇒
Hvordan kan vi bestemme den arbitrære konstant, ?
→ tja, vi ved, at
⇒
Altså
⇒
ÅH NEJ! Hvad hvis ?? Ah, men det er ok, fordi … man kan vise @ L’Hopital’s regel, at
det faktisk er en fin funktion for …
⇒
Men her må da …
Eller, hvis vi vælger netop den stamfunktion, der er for ,
⇒
KONKLUSION
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
43
Men her siger Abels sætning, at dette må gælde for alle , dvs. på det lukkede interval.
SVARET
Så nu har vi erstattet en sum, vi ikke kunne udregne, med et integral, vi ikke kan udregne.
Metoden
1. Se på funktionen som en potensrække
2. Ligner den noget vi kender? → i så fald: massér den (eller det, den ligner) indtil det passer
3. Så får vi noget, der gælder på det åbne interval
4. ⇒ så siger Abel, at det også gælder i det lukkede interval (når der er konvergens)
6 Fourierrækker
6.1 Recap potensrækker
Sidst så vi på
Hvis holder i et interval om , da er potensrækken Taylorrækken for .
INTUITION ∷ vi ved alt om i punktet ⇒ ønsker at vide noget om i en omegn af
NU ∷ Fourier er en anden måde at tilnærme en sådan funktion.
6.2 Fourierrækker
Vi prøver at udtrykke en funktion over det hele på samme tid.
Lad os sige er defineret på et interval . Den må godt være diskontinuert
BYGGESTEN: De rene svingninger
- Tænk på lydbølger ∷ ræssonans er når et rum (fx flaske) ”plukker” den (rene) svingning ud, som den
”kan lide” fra den mystiske funktion det luft, man puster ind over den, udgør.
Rene svingninger
Vi vil bruge kompleks notation
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
44
⇒
PAS PÅ! Brugen af disse overgange går ofte galt.
6.3 Vores fremgang
Vi vil skrive en vilkårlig funktion som en uendelig række af og ’er…
Hvis man ønsker at gøre det for en funktion, der lever på hele , så får man brug for alle frekvenser – så skal
λ gennemløbe alle tal… men det er ret svært…
Vi vil i stedet se på periodiske funktioner – så kan vi nøjes med at se på
DEFINITION 2.3: (periodisk funktion) ∷ siges at være periodisk med perioden ,
hvis .
OBS! Den behøver ikke være kontinuert osv… simpleste eksempler:
og
, hvor
Tjekker lige, at cos og sin er periodiske
fordi for alle
Kompleks notation:
for
Normalt skriver vi bare
Vi kalder disse funktioner de -periodiske rene svingninger
- Bemærk! Hvis en funktion er -periodisk, så er den også -periodisk (derfor taler man også om den
korteste periode…
NAVNGIVNING ∷ Vi kalder både cos/sin og exp for rene svingninger
DEFINITION 2.6: (trigonometrisk polynomium og række) ∷
Et trigon. polyn. hørende til perioden er en funktion, der kan skrives som en endelig sum på formen
OBS! Det er ikke et polynomium (potensfunktioner)
- Det er funktioner, hvor den variable, , står inde i cos og sin leddene.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
45
Trigonometrisk række: Funktionsrække på formen
Her går altså summen til ∞.
Kompleks notation:
Med
menes rækken med afsnitssummerne
.
- VIGTIGT ∷ vi summer symmetrisk… vigtigt fordi mange af rækkerne kun er betinget konvergente
og ikke absolut konvergente…
6.3.1 Overgangsformlerne
Resultatet kommer af Euler’s formler
Betragt
og husk, at
og
Passer det?
Se på summen
- Summen går fra – til , så alle led kommer 2 gange – en gang med + og en gang med – dvs. vi får
og .
- Ved at lægge sammen får vi
Dvs. koefficienten til bliver (CHECK) og til er den (CHECK)
6.3.2 Videre, videre
Sumfunktion for en trigonometrisk række
(hørende til perioden ) må have perioden
Mao ∷ hvis en funktion kan skrives
⇒ da har perioden .
- SMART ∷ ved at se på funktioner med perioden kan vi nummerere funktionerne ⇒ så bliver det muligt
at se på summer… ellers er man nødt til at se på integraler.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
46
6.3.3 Smart notation
Lave om til periodisk funktion
Hvis vi har en funktion kan udvides til en periodisk funktion med perioden .
(man gentager bare funktionen)¨
→ dvs. trigonometriske funktioner er især relevante for funktioner defineret på et interval, som er periodisk.
Antagelse: fremover ses kun på 2π-periodiske funktioner
Dvs. fra nu af er
Byggestenene skriver vi som
SPG ∷ Hvilke -periodiske funktioner kan skrives som sumfunktion for en række
?
6.4 Ortonomalitetsrelationer, lemma 2.7
(hvor er den kompleks-konjungerede, hvor )
Bevis
7 Fourierrækker videre
Husk: vi ser på -periodiske renesvingninger skrevet på kompleks form:
Fordel ∷ regneregler er simplere for end for cos/sin.
Mirakel: Ortonormalitetsrelatione
→ dette tillader os at skrive generelle funktioner på en snedig vis.
GOD IDÉ ∷ introducer lineær algebra-notation.
- Vi vil tænke på funktioner som vektorer i et bestemt vektorrum ↷ giver os geometrisk tolkning af visse
problemer.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
47
- Vi vil bruge som vores enhedsvektorer, der er ortonormale på hinanden.
DEFINITION 2.1: Stykvis kontinuitet
- Det betyder, at den er kontinuert på alle delintervaller… vi er lige glade med, hvad der sker i
delepunkterne.
- ’erne skal godt nok have værdier i endepunkterne, men de behøves (selvfølgelig) ikke være det samme
som selv.
Bemærk ∷ findes for alle .
- Hvis er et kontinuitetspunkt for .
Hvis er stykvis kontinuert, hvis den er stykvis kontinuert på alle afsluttede og begrænsede
delintervaller.
Normaliseret funktion ∷
- Bemærk – ofte er det svært / umuligt at bedømme springpunkter…
- → Lebesgue-agtig idé ∷ to funktioner er ens hvis de er ens i endeligt mange punkter.
Hvorfor arbejde med stykvis kont?
- De er integrable (en fkt. er integrabel, hvis den er det på delintervaller)
- → men stadig nemmere at arbejde med end bare at se på integrabilitet
7.1 PC2π (piecewisely continuous 2π-per.)
Vi ser på mængden af stykvis konktinuerte -periodiske funktioner .
⇒ specielt er på intervallet stykvis kont. (⇒ kun endeligt mange diskont.pkt.)
MEN ∷ fordi er periodisk er har den uendeligt mange springpunkter på …
- dvs. hvis den springer i eller – , så må den springe til den samme værdi som i det andet endepunkt.
PÅSTAND ∷ er et vektorrum med regnereglerne
(skal vises torsdag → dvs. tjekke at , dvs. tjekke at funktionerne stadig er stykvis
kontinuerte og stadig har periode)
Del 2: Definér
som det indre produkt på .
Lölen
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
48
Desuden er er en ortonormla familie fordi jo netop opfyldet, at den er 0 for og 1 for
.
⇒ husk ∷ ortonormal familie er specielt lineært uafhængig…
- så da dimmensionen af et vektorrum er det største antal lineært uafhængige vektorer i det, er
7.2 Smarte resultater
Lemma ∷ hvis er en -periodisk og stykvis kontinuert funktion, er middelværdien
er uafhængig af .
Bevis
Betragt et skift af periode, og lad os bruge indskudsreglen
Nu vil vi bruge subst. med ⇒
∎
Mængden af de trigonometriske polynomier hørende til perioden
.
→ men fail… vi har jo diskontinuerte funktioner i , men de kan jo ikke skrives som (endelige summer
af) kontinuerte funktioner.
⇒ dermed er ikke en basis for
BEMÆRK, at hvis
Da vil (idet vi vælger )
For at komme videre her skal vi udnytte, at er kompleks-konj. lineært på anden plads…
fordi ⇒ den ”går bare ind i det indre produkt”.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
49
Udnyt nu,a t blev defineret i starten, så
7.2.1 Sætning 2.8
Antag, at
(sumfunktion for trigon.række)
som er uniformt konvergent, da er kontinuert (uniform grænse) og -periodisk (trigon.fkt’er er 2π-
periodiske), og der gælder 2 ting:
- (når er sumfunktion for en trigonometrisk række kan koefficienterne kun være dem givet oven for)
- resultatet er ligesom for Taylor-rækker ∷ hvis en potensrække konvergerede mod en funktion, så vidste
vi, at koefficienterne var de ’te afledte (fordi rækken måtte være Taylorrække for funktionen)
- PROBLEM ∷ for potensrækker vidste vi, at konvergensen var uniform
8 Fourierrækker
8.1 Sætning 2.8
Hvis er uniformt konvergent, da er
kontinuert og -periodisk og
og Parsevals identitet,
gælder. (tænk på den som en udvidelse af Pythagoras’ sætning. Intuitionen er, at siden , så giver
den første lighed, at
Bevis:
Afsnitssummen er et trigonometrisk polynomium.
Antagelse om uniform konvergens? → uniformt på
Men vi ved, at for alle er kontinuert.
→ da uniform bevarer kontinuitet, er da også kontinuert.
Ad periodicitet:
da er -periodisk.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
50
Ad griner:
Påstand: uniformt for
Tja uniformt, så skal vi kunne gøre flg. småt:
fordi er et punkt på den komplekse enhedscirkel.
Men siden uniformt, kan vi for alle finde et så
Da integralet bevares ved uniforme grænser
fordi følgen kan skrives som
fordi hvis , 0 ellers.
Ad Parsevals identitet:
Vi skal nu vise
Følger hvis
Rigtig fordi
∎
8.2 Definition 2.7
Hvis er -periodisk stykvis kontinuert, kaldes rækken
hvor
, for Fourierrækken for .
Vi er ret interesserede i, hvornår vi ud fra kendskab til kan sige noget om konvergensegenskaberne for
Fourierrækken.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
51
8.3 Bessel’s ulighed (sætning 2.11)
Hvis er -periodisk og stykvis kontinuert, da vil
Vi ved jo, at der gælder ”=” ved uniform konvergens. Faktisk gælder der altid ”=”, men det er svært at vise.
Bevis:
husk, at , hvor altså
⇒
(da reelle tal er sig selv konjugerede)
Se nu, at
Men så kan vi vise det, vi vil; nemlig
fordi (tjek selv eller se noterne)
Dermed er opadtil begrænset af
, og så er den konvergent.
→ men så må være konvergent.
→ da giver divergenstestet, at leddene må gå til 0
→ dvs. , dvs.
8.4 Riemann’s lemma (lemma 2.12)
stykvis kontinuert, da vil
Bemærk dog, at kun er defineret på et lille interval
→ men vi kan jo ”bare” udvide den til at være -periodisk…
- aaarh, dvs. kan have forskellige værdier i enderne så . Men integralet ændres jo ikke af
et enkelt punkt, så det kan vi bare gør.
Bevis:
Bessel giver, at
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
52
så integralerne er konvergente.
Så giver divergenskriteriet os, at koefficienterne går til nul, og koefficienterne kan netop skrives som
integralet, der går til 0 fra sætningen.
8.5 Tilstrækkelige betingelser for (punktivs) konvergens af Fourierrækker
Hvis ⇒ så er
uniformt konvergent.
Fra W’s M-test har vi nemlig, at
OBS! Vi ved, at er begrænset og dermed konvergent (?)…
- Så vi ved at summen af de kvadrerede koefficienter er endelig → men vi skal bruge, at summen af
koefficienterne er endelig (så har vi uniform konvergens)
Vi skal altså se på, hvornår
Vi vil bare regne løs på og finde en formel, som vi senere i dag vil kunne bruge til at vise punktvis
konvergens (bemærk, Fourierrækken har et plus i eksponenten til , mens Fourierkoefficienterne har et minus)
Formel 1:
Afsnitssummen i Fourierrækken for er
Bemærk, at er en kontinuert funktion (sum af kontinuerte) med .
Hvis får vi
Men her kan vi se på some n endelig geometrisk række, der som bekendt har sum
Men husk nu, at
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
53
Dvs.
Nå, nu er vi tilbage til integralet
Lad os få den besværlige ind i i stedet for i . Vi bruger substitution med ⇒ . Men så
skal vi bare skifte grænserne, når vil
Men nu kan vi bruge vores regneregel om, at siden er -periodisk, så er det ligegyldigt, ”hvor vi måler
integralet”, dvs. vi kan trække fra (bare et tal) i begge integrationsgrænserne
Hvilket er nemmere at se på, idet er en eksplicit funktion som vi fandt tidligere…
9 Anden forelæsningstime
Vi ser altså på Fourierrækken
Vi ser på afsnitssummerne
Og udnytter at koefficienterne kan skrives som
så vi i stedet kan omskrive som
som vi splitter op over to intervaller
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
54
og ved at substituere ↷ så ↷ og ↷ og ↷
og her tager vi ud foran og udnytter
Nu mangler vi bare at omskrive . Dette gælder fordi en af egenskaberne ved Dirichlet’s
kerne er, at det er en lige funktion
og ved at samle ud fra
9.1 Højdepunkt: Sætn. 3.2: Kriterium for punktvis konvergens af en Fourierrække
Hvis er en -periodisk og stykvis kontinuert funktion og hvis flg. grænseværdi eksisterer for et :
så konvergerer Fourierrækken punktvis mod (i punktet ).
9.1.1 Indskud: egenskab ved Dirichlet’s kerne
Vi får brug for endnu en egenskab ved Dirichlet’s kerne:
Bevis: Vi tænker på
∎
9.1.2 Bevis for sætning 3.2
Bevis:
Nu vil vi bruge vores smarte trick og udregne
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
55
lad os skrive som og så udnytte at Dirichlets kerne kan give 1 på en festlig måde
Nu kan vi skrive
som vi fandt før (idet vi ser på ??)
Vi skal vise, at dette går mod 0 når går mod . Når dette sker vil oscillationerne bare ske hurtigere og
hurtigere… så vil det gå mod nul! det er essencen af Riemanns lemma. Vi vil omskrive så vi kan bruge dette.
så er
Betragt det første led:
Riemann’s lemme afortæller os, at det går mod 0 for hvis funktionen er stykvis kontinuert.
Indfør
Hvis er stykvis kontinuert, så er vores grinern funktion det.
- hvor kan tingene kikse med ?
- På når er det ok. Fordi og er kontinuerte på og dermed stykvis kontinuerte og er
antaget stykvis kontinuert. Og for er alt godt fordi funktionen er konstant og dermed
kontinuert.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
56
- Hvad med , og
- Her er
- Ja vi antog jo, at
eksisterede. Siden
og
også har
grænseværdier
- HURRA!
∎
9.2 Stykvis differentiable funktioner
Fourierrækken kan defineres for alle stykvis kontinuerte funktioner, men den er ikke nødvendigvis kontinuert.
9.2.1 Definition: stykvis differentiabel funktion
kaldes stykvis differentiabel, hvis der findes en deling
og funktioner , som er differentiable for sådan at
Det er svært at komme med eksempler på funktioner, der ikke er stykvis differentiable. Numerisk værdi er fx
stykvis differentiable.
Alternativ formulering af stykvis diff
Hvis en funktion er stykvis diff, skal flg. grænseværdier eksistere:
idet vi er er nødt til at tage højde for, at funktionen kan springe i selve punktet
FAIL! Word har knaldet filen
9.3 Videre
9.4 Eksempel fra tavlen
Når han approksimerer med Fourierrækker (afsnitssummer), så forbliver der nogle ”djævleører” (Gibbs-
fænomenet), som ikke rammer ned på funktionen…
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
57
10 Fourierrækker – uniform konvergens
10.1 Lölen
Lad være stykvis differentiabel, normaliseret og -periodisk. Da konvergerer Fourierrækken punktvis mod .
- MEN ∷ hvis virkelig har springpunkter, så er den jo diskontinuert, og så kan Fourierrækken ikke
konvergere uniformt mod .
→ men hvis er kontinuert, så er Fourierrækken næsten altid uniformt konvergent.
- Eksempel: Betragt
. er diff i alle punkter, men dens diff.kvotient er ikke
kontinuert (den er differentiabel, men ikke stykvis )
- SÅ ∷ der findes altså stykvis kontinuerte, men ikke diff funktioner, men de er svære at hitte på…
10.2 Kombo
DEFINITION 4.2: Hvis med , kontinuert, stykvis differentiabel
Den normaliserede afledte definerer vi ved
(hvis den er stykvis diff., eksisterer og
i alle punkter)
Hvis er stykvis kontinuert, så kaldes for stykvis .
10.2.1 Eksempel
Funktionen er kontinuert (også i 0), ikke differentiabel på (hele) , men den er stykvis differentiabel!
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
58
Bemærk, at er en stykvis kontinuert funktion.
10.3 Lemma 4.2: Fourierkoefficienter for f’
Hvis er stykvis kontinuert kan vi jo udregne dens Fourierkoefficienter!
Lemma 4.2:
er -periodisk, kontinuert, stykvis .
Da er den normaliseret afledte en -periodisk, stykvis kontinuert funktion og
FORTOLKNING ∷ differentiation ↷ multiplikation
- lidt ligesom laver produkter om til summer.
- det kan også bruges til at give en mere moderne definition af en differentialkoefficient
Bevis:
er stykvis okntinuert er def på at er
Bemærk: ( da er kontinuert
Derfor er en 2π periodisk og derfor er periodisk.
Da er stykvis findes deling –
så på intervallet er en funktion
Men på hvert af disse intervaller er ok, så vi kan bruge partiel integration
- Vi ønsker at finde stamfunktionen til
- Men
(duer ikke på det store interval, men ok på delintervallerne)
Men her får vi en teleskopisk sum, hvor leddene
kommer til at gå ud med
hinanden parvist.
MEN ∷ og , så
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
59
10.4 Sætning 4.3:
er -periodisk, kontinuert, stykvis ,
da er Fourierrækken for uniformt konvergent mod
→ Så kan vi bl.a. bruge Parsevals identitet (gælder for uni.konv)
Bevis:
Vi ved, punktvis konvergens, og da den uniforme grænse må være den samme som den punktvise, skal vi blot
vise, at grænsen også er uniform.
Vi vil bruge Weierstrass’ M-test
- ⇒ vi skal altså finde en konvergent majorantrække (af tal)
Betragt de numeriske led, som vi ønsker at vurdere mindre end et tal
Dvs. leddene i Fourierrækken er i absolut værdi uafhængige af .
→ så hvis vi kan vise, at disse tal udgør en konvenrngent række, er vi glade.
Dvs. flg. række skal være konvergent:
(⇒ så er Fourierrækken uniformt konvergent @ W’s M-test)
Krølle ∷ Vi ved fra Bessel’s ulighed, at er konvergent, og summen
. → men det kan vi ikke bruge…
- Så vi ved, at kvadraterne er konvergente… men det er jo nemmere end for tallene selv (i første) fordi for
er .
MEN ∷ for vil
(funktionen er jo stykvis )
TRICK ∷ Brug Bessel’s ulighed på de afledte i stedet for funktionen selv.
- Ok fordi jo også er en stykvis kontinuert funktion (? konv?)
Brug nu flg. fjollede regneregel
Derfor er (idet vi stadig ser på )
Men da
konv og konv (jf. Bessel), er opadtil begrænset af et tal.
Dermed er konvergent og ligeså
er konvergent.
∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
60
Faktisk kan man lidt ca. bum-bum sige, at jo flere gange diff kont, des hurtigere går Fourierkoefficienterne til
nul! (fordi vi så kan lave Bessel’s med en højere potens af i nævneren og noget i tælleren, der går mod nul)
11 Fourierrækker & varmeledningsligningen
11.1 Funktioner def’et på intervaller
stykvis kontinuert
Definér Fourierrækken for (selvom ikke er -periodisk funktion!)
Denne række er også Fourierrække for den -periodiske funktion , som opfylder, at
Og vi ved ∷
- Hvis er stykvis differentiabel, så konvergerer rækken mod den funktion , der opnås ved at normalisere
. Konvergensen er uniform, hvis er kontinuert.
EKSEMPEL
- Funktionen for .
- Start med at udvide den til hele ↷ vi gentager bare stregerne
- → MEN ∷ Den springer måske i punktet . Men hvilken værdi skal ’s udvidelse have i
endepunkterne?
- → SVAR ∷ i springpunktet må den tage værdien mellem de to , dvs. .
- f:
- udvidet
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
61
-
11.2 Skørt
Der er masser af måder, at skrive en funktion som en sum af en trigonometrisk række.
Skørt ∷ vi kunne udvide vores funktion til et større interval → hvis vi kan finde en Fourierrække, der
konvergerer mod vores funktion på det brede interval, så vil den specielt konvergere på et lidt mindre interval.
→ frådern, så har vi ramt vores oprindelige (spørgsmålet er bare om det har været lettere!
Fourierrækken på reel form
Husk, koefficienterne er
Here’s why
Dermed er for , men også for
Og på tilsvarende vis kan man indse
BEMÆRKNINGER:
- Det er nemt at huske formlerne ∷ indgår i formlen for koefficienten til leddet med cosinus
- Pas på, det er og ikke der står foran her…
11.3 Lige / ulige funktioner
Antag, at er -periodisk, stykvis kontinuert og lige (dvs. ), da vil alle , hvorimod alle
overlever og bliver
, og rækken bliver
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
62
(fordi
, hvor )
Omvendt, hvis er periodisk, stykvis kontinuert og ulige ( ) så er , mens alle
overlever med
(fordi )
Löl
Betragt , stykvis kontinuert.
Vi udvider den i to trin ↷ først til en lige funktion , så til en -periodisk.
Se nu på , som er den -periodiske udvidelse af
Men siden er en lige funktion, er Fourierrækken en ren cosinusrække
→ hvordan bestemmes koefficienterne? jo det skrev vi før:
- AHA! Vi integrerer jo kun over , og her er
- Hvis nu er stykvis differentiabel, så konvergerer Fourierrækken punktvis imod normaliseret
RESULTATET VAR
Hvis er stykvis diff, normaliseret og kontinuert i endepunkterne, da er stykvis differentiabel
og normaliseret. Altså vil rækken konvergere punktvis mod på intervallet (og punktvis mod over det
hele). Hvis er stykvis og kontinuert, da er konvergensen uniform.
(se tegning i ”pensum” (har tegnet på en tom side))
Hvis er kontinuert i endepunkterne, så får automatisk normaliserede ”samlinger”, så Fourierrækken får
den konvergens, der direkte kan aflæses af .
Sinusrækker
Hvis er stykvis diff., og ,
Da vil rækken
konvergere punktvis mod . Hvis er kontinuert og stykvis er konvergensen uniform.
Bevis for påstand:
Lad
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
63
- åh-åh, 0 er med begge steder‼ nå ja, vi antog jo , dvs. samme værdi i ndepunkter
- Bemærk, at
f:
Men så er den ulige funktion: , som automatisk er normaliseret‼ Wow!
bliver en ulige -periodisk griner, og den oprindelige række giver
WOW!
om det bliver en sinus eller cosinus række afhænger af, om funktionen er kontinuert … (?)
11.3.1 Opsummering
Vi har en funktion defineret på intervallet → vi kan gøre 3 ting:
1. Vi kan skrive den som en række med begge typer led
2. Skrive som ren cosinusrække
3. Skrive som ren sinusrække
OBS! 1) giver os en π-periodisk række, mens 2) og 3) giver os en 2π-periodisk funktion.
12 Varmeledningsligningen
12.1 Introduktion: fysik
Varmeledning i 1 dimmension (Fourier kan sagtens håndtere højere dimmensioner)
Lang stand ( lang), fortæller hvor på stangen, vi er ( ).
Vi interesserer os for temperaturen, , til tiden i punktet ↷
- Fx er stangen varm på et par bestemte steder på stangen (fx dem, der har ligget i solen).
Tidsudviklingen af temperaturen er givet ved varmeledningsligningen,
som er en 2.-ordens lineær partiel diff.ligning. VLL kaldes også den parabolske ligning.
- Koefficienten kaldes en materialekonstant, men irrellevant for matematikeren.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
64
Andre modeller beskrevet af samme ligning:
(1) Brownsk bevægelse ∷ std. eksempel på stokastisk proces. Inspireret af et blomsterkorn i noget væske,
som ikke ville ligge stille. Her repræsenterer sandsynlighedsfordelingen til tiden af, hvor
”blomsterkornet har bevæget sig hen”? Der er en sandsynlighedsfordeling for, hvor man kan finde kornet.
I starten er sandsynlighedsmassen koncentreret om, hvor kornet er, og jo længere tid, der går, jo længere
kan kornet have bevæget sig væk.
(2) Diffusionsprøven ∷ smider blæk ned i noget vækse og ser, hvordan det spreder sig ud i vandet.
(3) Black-Scholes ∷ prisfastsættelse af optioner. pris(option; tid , pris på den underlæggende
aktie).
Hvad betyder i de forskellige situationer?
(1) …
(2) Materialet… noget med, hvor hurtigt væskerne går i forbindelse med hinanden.
(3) handler om aktien → noget med aktiens volatilitet.
Karakterisering af problemet:
Matematisk ∷ begyndelses- og randværdiproblem.
Tænk på stang med længde . Lad os fastholde temperaturen i endepunkterne til 0 grader.
Vi søger altså , som opfylder
… vi kræver intet i endepunkterne.
hvor er en givet fordeling af temperaturen
endepunkterne fastholdes til temperatur 0.
Hvorfor navn?
Fordi angiver en begyndelsesværdi og angiver en randbetingelse.
- For blomsterkornet svarer faktisk til, at blomsterkornet ville klistre fast i endepunkterne (dvs. i
kanten)
- Interessant ∷ den, hvor kornet hænger fast skal løses ved sinusrække, den hvor den reflekteres ved en
cosinusrække!
13 Varmeledningsligningen
13.1 Recap – begynd / randværdiproblemet
Vi formulerede begyndelses-o g randværdiproblemet:
Givet , med
Søger så
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
65
Her er begyndelsesværdien og er randværdi.
⇒
IDE – separation af de variable
(hvis hedder det altså )
Dvs. -periodisk trigonometrisk række.
GÆT ∷ har samme form, men hvor
BEMÆRK ∷ RAND: opfyldt (rækken er konvergent med sum nul.
PROBLEM ∷ find
Begyndelsesbetingelsen ∷ ⇒ for alle
FØRST ∷ lad os regne uden at tænke os om og lave ledvis differentiation uden at tænke os om
Ledvis diff (tilladt?) giver:
Men dette er jo et grinern udtyrk for en Fourierrække. skal altså løse
Men dette er en ”almidnelig diff.ligning”, og den løses kun af flg. eksponentialfunktion
og dermed er
løsningen (hvis den uendelige sum da eksisterer!)
13.2 Sætning 6.1: Eksistens af løsning til begyndelses- og randværdiproblm
Hvis er kontinuert, stykvis , , da vil med
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
66
være uniformt konvergent på hele intervallet , og sumfunktionen løser .
(i øvrigt er løsningen entydig‼)
13.3 Bevis
13.3.1 Trin 1: er uniformt konvergent.
For at vise dette, giver det god mening at bruge W’s M-test.
- Men vi skal her bruge testet på en ”underlig” mængde, nemlig af formen og funktionen
skal være af 2 variable…
- Men læs beviset ∷ det bruger ingen struktur på mængden .
Numeriske led ∷ husk, at
og er bare et tal.
HUSK nu beviset for uniform konvergens af Fourierrækker.
og husk, at .
Og vi har netop vist da kontinuert og strykvis er konvergent.
Dvs. rækken er konvergent.
MEN
Vi har altså vurderet leddene ved noget, som giver en konvergent række, og derfor er uniformt
konvergent.
13.3.2 Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente
Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente på for alle
OBS! Dvs. ikke på … dvs. uniformiteten gælder ikke helt ned til nul.
- Men så snart vi går bare et lille stykke op fra nul får vi uniform konvergens af de ledvist diff’ede rækker.
- Men konvergensen bliver dårligere og dårligere som
- MEN der er stadig punktvis konvergens
Beviset – sketch
Vi har en sætning (12.7.3), der siger, at hvis den ledvist differentierede række er uniformt konvergent og
rækken selv er punktvis konvergent i bare et enkelt punkt, da er den oprindelige række konvergent mod en
funktion, hvis’ afledte er lig summen af de afledte.
Tænk på som en fkt. af (dvs. for et fast )
- ⇒ den konvergerer i hvert fald i et punkt.
- Lad os nu differentiere mht. den og tjekke om den afledte konvergerer uniformt.
Tænk nu […]
- diff mht. og tjek om rækken er uniformt konv.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
67
- diff nu igen og vis, at den også konv’er.
Trin 2 giver, at
på for alle , og dermed på hele mængden
På samme måde:
Og
gælder på
Nå, vi skal altså vise, at 3 rækker er uniformt konvergente. Vi starter med den tidsafledte.
Bevis for trin 2
Lol,
Vi vil vise, at rækken er uniformt konvergent, lad os bruge W’s M-test. Vi ser på
Fordi er
(klart at
)
Men dette er
Hvorfor var det altså nødv. med ε? tja fordi for (se selv i noterne).
Derfor er vi nødt til at bruge et ε og kan ikke se på mængden fra 0.
Men griner, nu er jo
som er konvergent. Dermed giver W’s M-test det, vi skulle bruge.
x-delen
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
68
Men nu er jo
, dvs.
Og så kører W’s M-test, at vi er hjemme.
xx-delen
Han gider ikke diff’e igen… det giver jo det samme som at diff’e én gang mht. (på nær en konstant )
⇒ W’s M-test kører bussen for os igen.
13.3.3 Trin 3: afrunding
Vi tjekker at randværdi- og begyndelsesværdierne er opfyldt.
13.4 Betydning af randværdi / intitialværdi betingelserne
Vi har holdt temperaturen i enderne af stangen fast = 0.
Man kunne også antage, at ”varmen ikke kom ud af lokalet”
I stedet for en betingelse på u bliver det en betingelse på og
→ her bliver i stedet cosinus-rækken en løsning.
Den rene række med både sinus og cosinus led svarer til, at man laver en ring ud af stangen
→ så er betingelsen, at og .
14 Metriske rum
14.1 Indledning
Vi prøver at sætte konvergens ind i en bredere ramme og bevise nogle ting mere generelt
AFGØRENDE ∷ afstandsmål
Hvad skal der gælde ved en afstand?
- Det er et tal
- Afstanden til sig selv må være nul
Vi starter med en helt generel mængde
→ vi vil så lægge noget struktur på den ↷ metrisk rum
- Men fx behøver vi ikke kunne addere elementer i mængden
Typiske opgaver ∷ lette – vi har nemlig så lidt struktur, at der er grænser for, hvor svære opgaver, der kan
stilles.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
69
14.2 Abstrakt griner
Definition 1.1 ∷ . En metric på er en afbildning af et par af punkter ind i , dvs. , så for
alle
hvor er trekantsuligheden – den vigtigste egenskab.
Parret kaldes et metrisk rum hvis opfylder og
14.2.1 Eksempel: Talrum
Talrummene ∷ her def’er vi afstanden
Et patologisk eksempel ∷ Diskret metrisk rum,
Påstand ∷ dette er en afstand
- Kommentar ∷ hvis den er det, så kan vi definere en metrik på en helt vilkårlig mængde!
Bevis ∷
oplagt opfyldt, den er netop defineret så det er opfyldt
klart, rækkefølgen er vilkårlig i gaffeldefinitionen
givet .
- Antag ∷ så er og da altid, er trekantsuligheden altid opfyldt.
- Antag ∷ da må enten eller (transitiviteten af lighedstegnet)
- Derfor og enten eller evt. begge
- Men så er oplagt
∎
OBS! Det diskrete rum er et godt eksempel til at tjekke om noget holder.
- Det er det mest banale / underlige metriske rum – og det kan ofte aflive en generalisering af noget, som så
åbenbart kun holder pga. egenskaber ved talrummene
14.3 Danne nye metriske rum
HUSK ∷ vektorrum og underrum
- Her var et underrum robust for operationerne.
Hvis er et metrisk rum ( opfylder de 3 betingelser og ) og hvis og , kan vi
definere ved for alle
→ Da vil være et metrisk rum
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
70
- det betyder, at ”underrum” af metriske rum også selv er metriske rum.
14.3.1 Eksempel: enhedskuglen (/sfæren)
Enhedssfæren i
- Nogle gange skriver man (fordi den er dimmensionel… tænk fx på kugleflade i 3d: den er
2d!)
Betragt 2 punkter på kuglefladen
- Fordi kan vi definere som afstanden mellem de to punkter i det dimmensionale
rum…
- MEN! Man kunne også måle afstanden som vinklen mellem de to punkter målt i radianer.
→ overflademetrikken
- Hvor den almindelige afstand er den korteste kurve mellem to punkter i talrummet, så er
overflademetrikken den korteste kurve, der stadig bliver i mængden
14.3.2 Definition 1.2: E, vektorrum over L
Talmængder er enten eller ↷ fællesbetegnelse: (kommer fra Legeme)
Lad En norm på er en afbildning
så for alle og
14.4 En norm på et vektorrum inducerer en metrik
Hvis er en norm på et vektorrum . Da er en metrik:
Bevis:
- er oplagt fra , følger af :
- følger af
HUSK ∷ definerer et indre produkt på et vektorrum, da er en norm.
- Følger af Cauchy-Schwartz ulighed:
SPG ∷ hvorfor giver denne ulighed alene at normen definerer en metrik??
Bevis for, at trekantsuligheden (N3) følger af Cauchy
∎
KONKLUSION ∷ Indre produkt → norm → metrik
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
71
- retningen ”→” er en retning af faldende struktur
- HUSK ∷ indre produkt vi kan tale om afstande og vinkler
- Norm ∷ afstande som er de translationsinvariante, dvs. afstanden mellem to punkter er uafh. af hvor i
rummet vi er ( )
- Metrik ∷ næsten ingen struktur
14.4.1 Normer i de reelle tal
Betragt vektorrummet .
Her har vi tre normer, som vi kan finde på at interessere os for (og som er nummererede)
Lad
Vi siger
- kommer fra prikproduktet
14.4.2 P-normen
For alle defineres
(man kan vise, at for )
14.4.3 Bevis for at 1-normen er en norm
(N1) er ”oplagt”
- Men hvorfor = 0 kun når alle koordinater er 0 (nulvektoren)
- Tja en sum af ikke-negative tal er ikke negativ og kun nul når alle tal er nul
(N2) er oplagt
(N3) er her nem (er den ellers sjældent)
- , men opfylder jo trekantsuligheden…
∎
Komplekse tal?
Det vi har snakket om går direkte over
MEN ∷ vi kompleks konjungerer det andet tal så (kompleks-konjungeret)
14.5 Vildere abstraktionsniveau
mængde
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
72
Se nu på dvs. mængden af funktioner fra ind i talrummet (hvor altså eller
)
er et vektorrum fordi og
- Det er et meget stort vektorrum!
BEMÆRK ∷ hvis , så er
(dvs. ”=” opfattet ”på den rigtige måde”)
- se nemlig
- da er med (”funktionen” der tilordner koordinater)
Bemærk ∷
14.6 Videre
Definér (wow, ∞ er med! ok fordi vi ikke definerer en egentlig norm) for generel
BEMÆRK ∷ hvis er endelig, så er det et maksimum og så er altså
- MEN hvis er uendelig, så kan supremum være ∞, det er derfor vi tillader det i output for
BEMÆRK ∷ hvis
Vi vil senere vise, at er et underrum og at er en norm på
- Pointe ∷ vi er nødt til at gå til lidt mindre rum for at kunne definere normer og få dem til at virke.
15 FL2
Vi så på vektorrummet
Vi definerede
- Her er ikke en norm fordi det kan have værdien …
Men i er det en norm!
Påstand ∷ er et underrum af
BEVIS ∷
- Lad ,
- Vi skal vise at gange og plus bliver inden for
(N3)
- Vi vil gøre det ved at se på
- Og her udnytte trekantsuligheden på . Og hvis indmaden i sup bliver større, så bliver sup mindst større
Men det der gør summen størst er ik nødvendigvis det , der gør dem hver for sig størst… det er
det måske men det er nok usandsynligt.
Som netop er trekantsuligheden! ∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
73
(N2)
- Lad os også vise det med skalar
Nu vil vi bruge, at dette også skal holde for , og hvis så så er meninsgløs så
vi kan ikke trække ud for. Men det ka vi i hvor f er < ∞
∎
(N1)
- er oplagt. for alle .
- ∎
∎
Specielt ahr vi vist, at er en norm på fordi når er en endelig mængde, så er
og (altså hvis )
15.1.1 Eksempel hvor M er en uendelig mængde
15.1.2 Eksempel ∷
BEMÆRK ∷ mængden af talfølger med elementer fra .
- For sådanne funktioner er en ægte delmængde fordi det er mængden af begrænsede
følger (og den er ægte fordi der findes ubegrænsede følger)
- Man skriver ind imellem
Andet eksempel på underrum
- Altså mængden af absolut konvergente følger
- Husk at vi ifm. Fourierrækker vist, at det var et skrappere kriterium at end at
- Dvs.
- Man kalder fx de kvadratisk summable følger
Og vi har, at
- definerer en norm på
- definerer en norm på
- …
- definerer en norm på (wtf? norm-k?)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
74
BEMÆRK
- På havde vi 3 normer: , , .
15.1.3 Eksempel: M = [0;1]
Dette er en overtællelig mængde
Men alligevel kan vi stadig definere samt , og på får vi normen (altså et
underrum med en norm)
Hvad så med fordi kontinuerte funktioner antager maksimum og minimum på et
lukket begrænset interval. angiver et underrum.
→ kan vi angive en norm på ? Ja i hvert fald u-normen
Men derudover kan vi på definere yderligere to normer
- Snedig definition, vi vil senere bevise at det er en norm… det er en dårlig ide med en uendelig sum fordi
det bare auto bliver divergent…
Bevis for at 2-normen er en norm på C
Nemt at vise fordi
er et indre produkt og så er den en norm. ∎
Bevis for at 1-normen er en norm på C
(N1)
- Vi skal vise, at
, jamen det er jo et integral ef en ikke-negativ…
- Hvad med kun nul hvis funktionen? ja, det er en velkendt egenskab ved integralet
(N2)
-
(N3)
-
fordi integralet er voksende i
integranden når denne er positiv og trekantsuligheden gælder for numerisk værdi.
15.2 Nedarvede metrikker
Hvad med nedarvning når det ikke er underrum?
- Vi så fx på kuglefladen, som er en delmængden af , men det er ikke et underrum.
- I stedet så vi på den nedarvede metrik fra afstanden i , men den kommer jo så ikke fra noget indre
produkt
15.3 Generelle ting: Kugle i metrisk rum
Definer etrisk rum , . Kurglen med centrum og radius er mængden
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
75
15.3.1 Eksempel K(0,1)
Hvis vi er i
- Så er det den almindelige cirkelflade med centrum nul og radius 1.
Hvis
- Da skal både første og anden koordinaten ligge under 1 numerisk.
- Dvs. vi ser på kvadratet med sidelængde 2 og centrum i nul.
- Det er altså en ”kugle” i vores nye forstand.
Hvis
- Da skal summen af (numerisk) koordinaterne være mindre end eller lig 1.
- Det er jo så rette linjer.
- Dermed er det en rombe (rette linjer der forbinder punkterne (0,1), (1,0), (-1,0), (0,-1).
15.4 Kuglelemmaet
Vi ser på et punkt b i K(a,r) og vil se hvor lille en kugle vi kan lave om b som stadig vil holde hele kuglen inden i
K(a,r)
Vi vil vise nogle egenskaber ved kugler udelukkende ved at bruge egenskaberne for metrikker.
(i) . Hvis da vil
(ii) ⇒
(bemærk: i talrum er (ii) hvis og kun hvis)
BEVIS (som øvelse i metriske rum)
Bevis for (i)
Vi skal vise, at en mængde er inde i en anden. Det gør vi ved at vise, at alle elementer i den ene er
inde i den anden.
dvs. ∷ givet vil vise at
⇒
Hvis skal ligge i skal vi se på afstanden til .
Og det betyder netop, at ∎
Bevis for (ii)
Vælg
Vi skal vurdere og bruger trekantsuligheden
pr. definition på, at ligger i begge kugler
men det var jo det vi skulle vise. ∎
ADVARSEL
- I (ii) gælder der hvis og kun hvis når vi er i talrummene.
- Huskeregel: I generelle mængder må jeg jo se på . Da er afstanden mellem punkterne -1
og 2 på 3, og kuglerne med dem som centrum og radius
, dvs.
og
, de har
ingen fælles punkter fordi ikke er med i .
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
76
15.5 Def 18: Konvergens i metrisk rum
Følge elementer fra et metrisk rum . Vi siger at konvergerer mod (eller at følgen har
grænseværdien ), og vi skriver (eller går mod for gående mod ) hvis:
Eksempel: diskret metrisk rum
Her betyder konvergens at alle elementer i følgen fra et vist trin skal være lig med grænsen. Dvs. det er utrolig
simpelt at være konvergent i det diskrete metriske rum.
15.5.1 Reality check: kan en følge have mere en én grænse med denne definition?
Påstand: En følge i et metrisk rum har højest en grænseværdi:
Bevis: Antag, at og for . Vil vise at ved at bruge trekantsuligheden.
Men og og .
Men så må siden ikke ændrer sig må . Men så giver (M1) at . ∎
15.5.2 Sætning 1.11: Uniform konvergens
BEMÆRK ∷ du kan ikke definere en metrik så konvergens i denne metrik svarer til punktvis konvergens.
MEN ∷ uniform konvergens kan godt reproduceres ved en metrik.
Betragt det metriske rum .
Påstand: konvergerer mod i dette metriske rum hvis og kun hvis konvergerer uniformt mod på
mængden
Bevis: (skriv definitionerne op)
uniformt på betyder, at for .
Men konvergens i metrisk forstand betyder, at
for
- Det er altså den samme definition! ∎
BEMÆRK ∷ der findes ikke en metrik på så konvergens svarer til punktvis konvergens (svær
opgave)
MEN ∷ der findes en metrik på så konvergens svarer til punktvis konvergens! (lidt nemmere opgave)
POINTE ∷ illustrerer forskellen på en tællelig og en overtællelig mængde.
16 Topologi i metriske rum
ETYMOLOGI ∷ topologi: fx ballon, når den pustes op ændrer man ikke på hvad det vil sige at ligge tæt på
hinanden på ballonen… vi siger man ændrer ikke på topologien af ballonen.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
77
16.1 Elementær mængdelære
Se på ( modermængden, definerer vores univers ⇒ vi kan tale om
Sammenhæng med fællesmængden og foreningsmængden
hvor er en abstrakt indeksmængde – kan have vilkårligt mange (/ få) elementer… det er smartere end
fordi det giver plads til overtælleligt mange elementer)
REGNEREGEL
BEVIS
Når man skal vise at to mængder er ens: vis at venstreside indeholdt i højre og højreside indeholdt i venstre
→ tag et , dvs. dvs. for alle .
- MEN så vil for alle , ⇒ og så vil
Den anden vej:
⇒ ⇒ ⇒
∎
REGNEREGEL
16.2 Löl
metrisk rum. Givet vil vi beskrive om punkter ”ligger tæt på ” uden at snakke afstand.
HUSK ∷ kugle i metrisk rum
16.2.1 Indre, ydre, …
ADVARSEL ∷ pas på graferne – i visse eksempler giver de denne helt forkerte intuition!
kaldes et indre punkt i , hvis
kaldes et ydre punkt for hvis er indre i :
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
78
kaldes et randpunkt for hvis er hverken indre eller ydre:
kaldes et kontaktpunkt for , hvis enten er et indre eller et randpunkt
kaldes isoleret hvis
(dvs. et enkelt punkt, der ligger alene, afskåret fra resten af mængden)
16.2.2 Notation og sammenhænge mellem begreberne
Det gælder at
og
- (dvs. hvert punkt ligger i et og kun et)
Og vi kan skrive
Bemærk slutlig (følger af den disjunkte forening)
og til alle raller sidst (følger af den disjunkte forening.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
79
16.3 Eksempler
16.3.1 Finder mængderne
, den almindelige ( )
Lad og bestemme alle mængderne
kan ikke indeholde fordi der så kommer punkter i omegnen af 2 med. Ligeledes er 0 heller ikke med.
Dvs. .
- Lad . Vælg så , så er
- BEMÆRK‼ METODE ∷ vi finder det , der får det til at virke
2 er det eneste isolede punkt i fordi fx
(kan fås ud fra sammenhængene fra før)
16.3.2 Eks: betydning af M
Nu lader vi og og standard
OBS! Nu er 0 i det indre af fordi de negative tal ikke er med i universet
16.3.3 Eks med löl
og standard,
→ wow! fordi der altid vil ligge et irrationalt tal lige ved siden af.
har ingen isolerede punkter! der vil også være rationale tal uanset hvor tæt vi går på centrum
og
16.4 Def.: åben og afsluttet mængde
er et metrisk rum
kaldes åben, hvis
kaldes afsluttet eller lukket, hvis
16.5 Abstrakte (men grinern) sætninger
16.5.1 Sætning 2.5 A afsluttet hvis CA åben
Dvs. åben og afsluttet er duale begreber
BEVIS
afsluttet (pr. def) (def) er åben
∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
80
16.5.2 Sætn. 2.6: Egenskaber ved systemet af åbne mængder
Lol, i et metrisk rum er dette en sætning, men i et topologisk rum, er det en definition!
⇒
⇒
OBS! Man kan ikke tage fællesmængder af uendeligt mange mængder og så stadig få en åben mængde.
→ men man kan det med foreningsmængden!
BEVIS
er oplagt. Ø er ok, fordi åbenhed går på ”for alle punkter i mængden – ” stop! der er ingen… den er ok
For hele mængden: ingen kugler kan jo have flere elementer end hele mængden… win!
Givet . Da vil for alle . Derfor findes så . Men vælg så
. Da er
Givet da vil for et . Men så findes så (fordi var åben). Men
så må være åben
∎
Griner: hvorfor bryder sætningen sammen i for uendeligt mange? → modstrid @ grænsemængden kan være
og så kan ingen kugle dannes.
17 Topologi
17.1 Indledning
Lad være et metrisk rum.
kaldes åben hvis (dvs. findes et så
Struktursætninger ∷ vil blive vist i dag
Lukket eller afsluttet mængde:
17.2 Sætning 2.7
Systemet af afsluttede mængder i opfylder
⇒
⇒
(hvor notationen er en vilkårlig familie… dvs. specielt kan der være uendeligt mange)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
81
Tilsvarende for åbne mængder, men da skal vi ombytte ↷ , dvs. man kan kun tage fællesmængder for endeligt
mange men foreningsmængder for vilkårlige familier.
BEVIS:
Bruger resultatet for åbne mængder (det som vi beviste sidste gang… dvs. vi prøver at omskrive til et
komplement til en åben mængde)
Vi ved og så komplementærmængden til en åben må være lukket og omvendt og er
lukket
Men vi viste sidst, at når F’erne er åbne bliver deres foreningsmængde det også
⇒ så er LHS det også
⇒ dvs. kmplementet til LHS er lukket SOM SKULLE VISES!
og er åben.
17.2.1 Eksempel på forskellen mellem (ii) og (iii)
Vi vil altså se, at vi i ikke kunne have set på vilkårlige famlier
Vi skal altså se på en familie af afsluttede mængder hvor foreningen ikke er det
er klart afsluttet, men hvad er foreningsmængden?
Bemærk først, at og bemærk at , men for noget
⇒ men det betyder, at og dermed er foreningen altså en åben mængde
(kuriositet: hvad er , som er afsluttet)
BEMÆRK! Det var omvendt for åbne mængder… her kunne man tage vilkårlige forenings men kun endelige
fællesmængder.
Eksempel for åbne mængder
Bemærk at åben og
Men bemærk at
så 0 er med… dvs. , som er lukket!
MEN! for endeligt mange går det ok.
17.3 Kuglerne er åbne
PÅSTAND: Kuglerne er åbne
BEVIS:
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
82
er åben. Det viser vi ved:
givet find så .
Det gælder, hvis vi vælger lille nok ↷ vælg
Det fungerer fordi fordi .
- Bemærk: man kunne have sat , så er kuglen inden i… vi gør os bare endnu mere sikre
ved at vælge ”<”
17.4 Sætn. 2.8: Karakterisation af det indre
Pointe: vi ønsker at udtrykke ”egenskaber” ud fra om mængder er åbne eller lukkede og ikke være nødt til at se på
metrikker.
Mål ∷ karakterisere det indre som den største åbne mængde, der er delmængde af den oprindelige mængde
(a) Hvis og er åben, da er (G er i det indre af A, hvis G er en åben delmængde af A)
(HUSK: den disjunkte forening og samt
er åben og den må jo så være den største åbne delmængde
(b) Hvis og er afsluttet, da er
er afsluttet ( er den mindste afsluttede mængde, der har delmængde)
BEVIS:
(a)
Mål ∷ vise at en mængde er indeholdt i det indre. Dvs. tag et punkt i G og vis at det også er i A
→ givet vil vise, at
Da er åben findes der et så .
MEN , så dvs. , men det betyder jo netop, at
Dermed er
Vi viser nu, at er åben
Givet , skal finde så
Vi ved, at der findes et så … på en eller anden måde skal vi have klemt kuglen ind i det
indre.
MEN ∷ er åben og vi ved, at enhver mængde i som er åben ligger i det indre.
Men så må
∎
(b)
(b) vises ved dualitet:
⇒
Udnyt nu, at afsluttet ⇒ åben ⇒ ⇒
17.4.1 Korollar 2.9
er åben, er afsluttet ( , og en fællesmængde af afsluttede er selv afsluttet)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
83
17.5 Sætning 2.9 (karakteristik af lukket mængde ved følger)
BEVIS:
Vi skal vise at to mægnder er lig hinden ⇒ dvs. vi skal vise inklusionen hver vej
Pointen: vælge kugler med radius
” ”
Givet skal vi finde en følge fra så .
For alle vil
Men så kan vi altså vælge
→ det gør vi for alle
⇒ MEN SÅ HAR VI OS EN FØLGE!
Og hvad ved vi? → fordi .
Med andre ord vil for , som pr. definition betyder, at
”⊇”
Givet fra så . Vil vise, at .
Dvs. for alle skal vi vise, at
→ vi bruger som vores ε i definitionen af konvergens (lim)
⇒ dvs. vi kan vælge så .
Men da vil jo og dvs. som altså ikke er tom.
Löl
kaldes tæt hvis
(f.eks. , dvs. de rationelle tal ligger tæt i )
- hele vejen fra til og går vi med regneoperationer…
- men til er blot afslutningen af
- TÆNK ∷ man ved stort set alt om et metrisk rum, når man har en tæt delmængde
17.6 Kontinuitet (karakteristik via åbne mængder)
Vi har defineret konvergens af følger i metriske rum – nu vil vi have kontinuitet
ANTAG at vi har to metriske rum,
kaldes kontinuert i punktet , hvis
⇒
⇒ Vi vil nu karakterisere kontinuitet ved afsluttede mængder
17.6.1 Sætning 3.1 (følgekarakterisation af kontinuitet)
er kontinuert i hvis og kun hvis det for alle følger i , at
⇒
BEVIS:
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
84
Metode: skriv op hvad tingene betyder, så står det der…
”⇒”
Dvs. antag kontinuert i og at .
Vi vil nu vise, at .
Dvs. vi skal vise, at
dvs. givet vil vi finde et så ⇒
Brug nu kontinuiteten ∷ givet dette ε kan vi vælge et δ så ⇒
Men fordi kan vi vælge så vil med det vi fandt før.
Men dermed vil ⇒ ⇒
∎
”⇐”
Antag ⇒
MODSTRIDSBEVIS
→ antag ikke er kontinuert i ⇒ )
Vælg så
For vælger vi så og
- (for alle disse n’er tilordner vi et δ, nemlig 1/n)
Dvs. men , altså
MODSTRID!
∎
17.6.2 Sætn. 3.2: (topologisk karakterisation af kontinuitet – ved åbne mængder)
Betragt .
Vi ønsker at tale om urbilledet af ved funktionen er mængden
For kalder vi billedet ved for
siges at være kontinuert, hvis er kontinuert i alle punkter.
Sætning 3.2: er kontinuert i alle punkter er åben, hvis er åben
ADVARSEL ∷ kont betyder ikke at åbenhed bevares, men
BEVIS:
B MÆ K ∷ kontinuitet i udtrykt ved kugler :
”⇒”
Antag kontinuert og åben
Vil vise, at er åben.
Givet skal vi altså finde så
dvs. betyder, at (vil vise, at )
Der findes et så fordi er antaget åben.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
85
Brug nu kontinuitet → så ⇒
Men det må betyde, at hvis vi vælger
”⇐”
Antag urbilledet er åbent ⇒ vis kontinuitet
Givet og , find så
Bemærk: er åben i (fordi alle kugler er åbne).
Men så er urbilledet åbent pr. antagelse: .
Vi har også, at , idet så
Men siden er åben, findes der et så
∎
BEMÆRK
Mængden består af alle ’er, som bliver afbilledet uden for , og er mængden af ’er, der
afbildes ind i . Men da må de jo være hinandens komplementer, da kriteriet ”afbilder ind i ” giver en
klassedeling af .
DERFOR:
Eksempel: hvorfor skal urbilledet og ikke billedet være åbent?
Betragt med standardmetrik på .
Her er åben, men ikke åben
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
86
Hvad så med
(sidstnævnte fordi komplementet er som er en lukket mængde)
(obs! denne funktion’s inverse funktion findes ikke)
Andet eks.
diskret metrisk rum (afstand til selv er nul, afstand 1 til alle andre punkter)
vilkårligt
Hvad er de åbne mængder i ?
Hvad er de lukkede mængder i ?
Hvad er de kontinuerte funktioner ?
Aha, husk at
- Dvs. alle mængde er åbne. Fordi
- Alle mængder er også lukkede (de kan hver især skrives som komplementer til åbne)
- Alle funktioner fra det diskrete metriske rum er kontinuerte, for alle urbilleder er åbne!
Modeks.: den inverse (når den findes)
Lad og
- Afgørende: vi tænker på som det metriske rum… ikke som et delrum (gør man nogle gange)
og
HUSK ∷
- husk nemlig, at slutter ved … dvs. kuglen har kun positive værdier i sig.
HUSK ∷
- Fordi ⇒
HUSK ∷
- Bevis: fordi og er afsluttet
HUSK ∷ vi har altid, at er både åbne og afsluttede… men nogle gange er det de eneste mængder, som er
åbne og afsluttede… vi kalder dem de sammenhængdende metriske rum, hvor det er afsluttet.
Her er mængderne
Se nu funktionen
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
87
Den inverse er givet ved
Men den er ikke kontinuert idet mens (som er )
17.6.3 Kontinuitet af sammensat funktion
og . kont i og kont i .
Da er kontinuert i
BEVIS
Brug følgekarakterisation. Antag .
er kont for
er ’s kont
Men det betyder netop, at
og så er
17.6.4 Kontinuerte funktioner, der er ens på tætte delmængder
Lad kontinuert, så (dvs. er tæt)
og hvis for alle ,
da er på hele .
Eksmpel på brug ∷ hvis to kontinuerte funktioner er ens på alle rationelle tal er de også ens på alle reelle tal ( er
tæt i ).
Teknikken kaldes at udvide ved kontinuitet
VIRKELIG anvendt…
BEVIS
Givet vælge følge i så (så ka følgerne jo ramme afslutningen)
Ved kontinuiteten ved vi, at og .
MEN for alle ⇒
entydighed af grænsepunkt giver nu, at
∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
88
Vigtig pointe!
Det kan være svært at vise, at en mængde er åben… prøv i stedet at vise, at mængden er urbillede til en åben
mængde ved en kontinuert funktion, for sådan en er altid åben.
Eksempel
og en afbildning kontinuert.
Så ved man at er åben, fordi urbilledet af er åbent
og at er åben, fordi mængden er urbillede til
Skarpe ulighedstegn: så bliver det afsluttet i stedet.
Vi ved altid at er lukket fordi er lukket.
17.7 Regneoperationerne
lol, man kan vise, at de almindelige regneoperationer er kontinuerte
BEVIS
(kan ikke nå det her)
∎
⇒
Vi kan bruge
resultatet fra før ved at dele på i to:
17.7.1 Eksempel
er vores metriske rum og lad
Definer nu
Dvs.
PÅSTAND ∷ er kontinuert (dvs. metrikken er kontinuert)
BEVIS ∷
Vi har flg. uligheder
Omskriv nu
og
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
89
Dvs.
Dvs.
dvs. afstanden mellem og i er mindre end eller lig (numerisk) end afstanden målt ved
Lad os bevise det formelt.
er kontinuert i .
Givet vælg .
⇒
∎
Bogen vser det i det specialtilfælde, hvor normeret vektorrum, her er afbildningen af over i
er kontinuert.
BEVIS
fordi
og det giver, at normen også er afstandsformindskende
er kontinuerte
BEVIS
Vi udnytter alt det seje skidt, vi har vist
Dette har vi altså udtrykt som sammensatte funktioner (og plus, ×½ samt er kontinuerte funktioner)
Betragt nemlig den sammensatte afbildning
17.8 Sætning 3.16
metrisk, følge , (hvor eller )
Hvis uniformt, dvs.
da er kontinuert (sætning 11.3.et-eller-andet)
- BEMÆRK! Hvis skal vælges før vi vælger , så er det sværest, og det giver uniform… det bliver
punktvis hvis man bytter om på de to.
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
90
BEVIS:
Givet
Givet . Vi ønsker at vælge sådan at ⇒
Start med at bruge den uniforme grænse til at vælge så for alle
Vælg så ⇒
Nu viser vi kontinuiteten.
Hvis da vil
Her er og blot eksempler på, hvad kunne være, og den midterste er under ε på grund af kovnergensen
18 Fuldstændighed
18.1 Intro: motivation
Hvorfor giver alt dette mening? → i praksis bruger man ofte iterative, approksimerende algoritmer ⇒ så har vi
brug for et konvergensbegreb.
→ desværre har vi brug for at kende grænsepunktet for at kunne undersøge om elementernes afstand til dette går
modm nul
⇒ vi ønsker betingelser, der sikrer konvergens alligevel.
18.1.1 Illustrativt eksempel
Problem:
Løsningen er , men hvad er dette?
Algoritme:
- lad os starte med
- så kan vi vælge
→ denne følge vil faktisk konvergere mod
MEN ∷ hvordan argumenterer man for konvergensen?
FORDI:
- Bemærk: fordi
- Bemærk desuden, at følgen er overalt aftagende
- Men en aftagende, nedadtil begrænset følge vil jf. supremumsegenskaben for , at
findes)
- (supremumsegenskaben: enhver nedadtil begrænset følge vil være konvergent)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
91
METODEN
- Angiv løsningsstrategi
- Bevis, at der findes en løsning
- Brug dette til at finde resultatet fra løsningsstrategien.
Sværere
Varmeledningsligningen,
Vi kunne ikke eksplicit skrive løsningen, men skrev den som en sinusrække, , som vi kunne vise
var konvergent.
Løsningen var her grænsen af en følge i et funktionsrum med uniform norm (uniform knovergens)
Addendum ∷ supremumsegenskaben hører til konstruktionen af … man konstruerer nemlig ved at udvide
med dens rand.
I modsætning til er et fuldstændigt metrisk rum (sammen med en (hvilken?) norm)
I brugte vi ordningen ”<” da vi fandt løsningen til .
Vi kan ikke bruge ”<” som ordning af funktioner (vi har typisk ikke, at eller altid)
NORMALT ∷ ikke nogen ordning.
18.2 Definition 5.1: Cauchy-følge / fundamentalfølger
En måde at genkende, at en følge bør være konvergent (eksistens)
→ bemærk: formuleres i et vilkårligt metrisk rum.
En følge i et metrisk rum kaldes en Cauchy-føle, hvis
18.2.1 Påstand: enhver konvergent følge er en Cauchy-følge
Påstand: konvergent ⇒ Cauchy
Dvs. en nødvendig betingelse
(senere: spg = hvornår går pilen ”⇐”?
Intuition ∷ når følgeelementerne nærmer sig det samme punkt, må de også nærme sig hinanden
Bevis:
Antager
Givet skal vi finde et så sætningen gælder.
Men pr. antagelse findes så
Da gælder, at
⇒
∎
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
92
OBS! ”⇐” gælder ikke altid, dvs. der gælder ikke nødvendigvis Cauchy ⇒ konvergens… men det gælder nogle
gange
Smart brug
Hvis med standard metrik ,
da vil følgen fra før ( ) være en Cauchy følge.
- (bemærk: dens konvergenspunkt ligger uden for )
MEN ∷ og følgen med grænse er en konvergent følge og er dermed en Cauchy-
følge.
⇒ så må også være Cauchy betragtet i (‼)
- METODE ∷ udnytter, at er delmængde af et større rum
- → er en følge i men ikke konvergent i dette… men i det større rum er den konvergent og dermed
også Cauchy. Men Cauchy er en egenskab ved en vilkårlig følge.
- Husk nemlig, at der gives divergente Cauchy-følger
18.3 Def. 5.2: Fuldstændigt metrisk rum
Det metriske rum kaldes fuldstændigt, hvis enhver Cauchy-følge er konvergent.
Vi viste altså før, at ikke er fuldstændigt.
18.3.1 Påstand: Enhver Cuachy følge er begrænset (dvs. indeholdt i en kugle)
Påstanden siger løst sagt (for ), at supremumsegenskaben giver, at de reelle tal er fuldstændige.
Bevis:
Lad være Cauchy.
Vælg så ⇒ (bemærk, vælges vilkårligt (>0))
Først skal vi lige bekymre os om for , men det er nemt da der kun er endeligt mange
→ vælg
Da gælder for alle , at
- de første opfylder det (mindst 2 mindre end), og alle efterfølgende har afstand mindre end 1)
så ligger i .
∎
18.3.2 Sætn. 6.4 (b): Hvis en Cauchy følge har en konvergent delfølge, da er den selv konvergent
Bevis: torsdag
18.4 Cauchy er konvergent i de reelle tal: Egenskaber for (alle) følger i de reelle tal
På gælder
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
93
(a) Alle begrænsede, monotone følger er konvergente (følger af supremumsegenskaben)
(b) Alle følger har en monoton delfølge
Enhver Cauchy-følge er konvergent i .
- Enhver Cauchy-følge er begrænset.
- Enhver følge har en monoton delfølge på .
- Enhver begrænset monoton følge er konvergent.
- Så har enhver Cauchy-følge en monoton delfølge (i ).
- Så er enhver Cauchy-følge konvergent (i ).
Interessant opgave fra pensum: opg. 5.2
Først: beæmrk, at er fuldstændig med alm.
Heraf følger, at , , er også fuldstændige (følge af argument ala konvergens i iff koordinatvis
konvergens)
18.4.1 Opg. 5.2:
Givet metrisk rum findes et rum ⊇ med en metrik så (læs: set på er identisk
med ). Så er fuldstændig.
Anvendelse ∷ antag vi er i og ser på . Så danner vi som (og , evt.
udvidet på passende vis).
→ det er faktisk sådan man konstruerer !
18.5 Fuldstændighed og afsluttethed
18.5.1 Sætn. 5.3:
Lad være et fuldstændigt metrisks rum og en delmængde .
er fuldstændigt hvis og kun hvis er afsluttet. Dvs.
Bevis
”⇒”
Vi skal vise, at .
Vil bruge karakterisationen, at
Givet så vil vi vise, at .
⇒ er Cauchy i .
→ Dermed er Cauchy i , da dette er en egenskab ved følgen og ikke grænsen
Men pr. antagelse er fuldstændigt, og så er pr. definition af fuldstændighed konvergent i , dvs.
, som skulle vises.
”⇐”
Antager afsluttethed, skal vise fuldstændighed.
Givet Cauchy følge i da er den Cauchy i (egenskab ved følgen),
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
94
Derfor , da (modermængden) er fuldstændig pr. antagelse.
Men derfor , da er antaget at være afsluttet.
∎
Hvorfor duer det ikke med ? → fordi den ikke er afsluttet.
19 Opsamling fra sidst
19.1 Advarende eksempel
Hvis når har vi ikke nødvendigvis en Cauchy-følge;
Cauchy kræver:
→ dvs. specielt skal det gælde for
EKSEMPEL ∷ Harmoniske række
- , giver den harmoniske række
- Her er
- Så selvom er fuldstændigt er den harmoniske række ikke konvergent.
19.2 Sætn. 5.7: Funktionsrum med sup-normen er fuldstændige
(bemærk: vi kan se som et vektorrum)
(a)
generel mængde,
med er et fuldsændigt metrisk rum
(bogen: et Banach-rum = normerede vektorrum, der er fuldstændige)
HUSK ∷ fuldsændighed: følger, der ser ud til at være konvergente, er det også.
→ specielt: Cauchy er konvergente i Banach
(b)
metrisk, da er , dvs. de kontinuerte, begrænsede funktioner, et
fuldstændigt metrisk rum.
- dvs. har vi et metrisk rum → kan tage de kontinuerte begrænsede funktioner på det ⇒ fuldstændigt.
BEVIS:
(a)
Givet i og antag Cauchy. Vil vise, at der findes et så i .
Betragt ↷ vi skal finde
→ men hvis uniformt, så også punktvis
For at vise, at følgen er Cauchy vil vi udnytte, at er det. Siden nemlig
vil , og sidstnævnte er Cauchy
Givet det derfor ⇒ giver ⇒
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
95
Da er fuldstændig findes . Definér . Def giver . For alle
har vi et så vil .
Lad nu i denne ulighed, da vil og for alle og for alle .
Vi ved nu 2 ting:
Derfor vil altså vil
Desuden er . Da dte gælder at vi kan finde for alle må i
∎
(b)
er et underrum.
er fuldstændig, hvis
METODE ∷ vi finder altid afslutningerne ved at bruge følgebeskrivelsen.
Vi vil vise, at hvis er en følge i , så i ,
da er
- (det er fordi kontinuitet bevares ved grænseovergangen) ∎
19.3 Definitioner
19.3.1 Definition 6.1: Fortætningspunkt
Lad være et metrisk rum og en følge i .
Et punkt kaldes et fortætningspunkt for , hvis mængden
er uendelig for alle .
- dvs. der kommer ∞ mange elementerrundt om , dvs. de fortætter sig om .
Eksempler:
følgen 1,1,1,… har som fortætningspunkt
- POINTE ∷ denne følge har kun et følgeelement nær fortætningspunktet
- Det er altså ikke antal elementer, men antal indices!
Følgen 1,-1,1,-1,1,-1,… da er både 1 og -1 fortætningspunkter.
19.3.2 Definition 6.2: delfølge
følge kaldes en delfølge hvis
hvor følgen er en strengt voksende følge og .
19.4 Lemma 6.4: Fortætningspunkt iff konvergent delfølge
er fortætningspunkt for en følge har en delfølge, der konvergerer mod .
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
96
BEVIS:
”⇐”
Antag delfølge . Givet vil vise er uendelig.
Der findes så ⇒ .
⊇ som er uendelig.
”⇒”
Antager er fortætningspunkt. Vil finde så
når .
Vælg (siden er fortætningspunkt er der ∞ mange at vælge imellem.
Vælg . Hvorfor kan vi det? Fordi der er uendelig mange elementer i ,
så specielt er der uendelig mange, hvor indekset er større end det forrige (OBS! det er ikke der skal være
større end , men )
∎
19.5 Lemma 6.4:
(a) konvergent mod ⇒ alle delfølger er konvergente mod .
(b) En Cauchy-følge, der har en konvergent delfølge, er selv konvergent med samme grænse.
BEVIS:
(a)
Givet en delfølge . Vil vise, at givet findes så ⇒
.
Vi har allerede så ⇒ fordi følgen selv er konvergent.
Men sæt så , thi for er .
- her kræves jf. bogen induktion.
- er klart.
- Hvis da vil derfor .
(b)
Lad være en konvergent delfølge af Cauchy-følgen , og antag
. Vi vil nu vise, at .
Givet skal vi altså finde så ⇒ .
Vi ved 2 ting: delfølge konv. og er Cauchy.
For dette kan vi vælge så ⇒
(@ konvergens).
Vælg så ⇒
(@ Cauchy).
Lad , hvad sker der, hvis ?
⇒
⇒
⇒
19.6 Sætn. 6.5: Begrænsede følger har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass)
Alle begrænsede, monotone følger er konvergente
Alle begrænsede følger har monotone delfølger
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
97
⇒ alle begrænsede følger har konvergente delfølger.
Beviset bruger en lolkat og er meget smukt.
- Beviset i Kalkulus er bøvlet og uelegant.
Sætning: En begrænset, reel talfølge har et fortætningspunkt.
BEVIS:
er en begrænset følge, dvs. for alle .
Bemærk, at så har åbenbart (mindst) et fortætningspunkt.
Betragt mængden .
Lol, han tegner mængden.
Observationer:
Hvis er ”stor”, er (vælg fx den øvre begrænsning for ⊇ )
- Hvis den øvre grænse for er fortætningspunkt, så får vi pludselig uendelig mange elementer med
Hvis er ”lille”, er (vælg fx den nedre begrænsning for ⊇ , så indeholdes alle
følgeelementer i )
Dvs.
Antag, at har supremums (infinimums) egenskaben ⇒ Dermed må der findes et
Vi har også, at
- fordi hvis er for stor giver det ikke problemer… så bliver nemlig meget lille, men det er jo
ok, for den skal bare være endelig for at være med i .
Konklusion
er fortætningspunkt.
Fordi for alle vil indeholdeelementer for uendelig mange .
Sagt med andre ord er uendelig.
19.7 De reelle tal er en fuldstændig mængde
- Cauchy følge er begrenset
- En begrænset talfølge har mindst et fortætningspunkt (Bolzano-Weierstrass)
- (OBS! bygger, at har supremumsegenskaben (faktisk infinimumsegenskaben))
- En Cauchy følge, der har en konvergent delfølge, er selv konvergent
19.8 Sætning 6.6: i talrum er kompakt iff afsluttet og begrænset
Lad . Følgende 2 sætninger er ækvivalente (iff)
(a) Enhver punktfølge i har et fortætningspunkt i (kompakthed)
(b) er afsluttet og begrænset
(obs: (a) ⇒ (b) kræver ikke tal-rum, den gælder i generelle metriske rum)
BEVIS:
(a)⇒(b)
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
98
Antag, at er afsluttet og begrænset.
Givet en følge,
i . Vil vise, at den har en konvergent delfølge.
Første koordinatfølge: , som er en følge i
Da er begrænset er begrænset.
Så giver Bolzano-Weierstrass, at der findes en konvergent delfølge,
.
Dvs.
når
→ bemærk: dette foregår i
Vi kan nu vælge styk delfølger af typen
MEN ∷ det kan være, at vores delfølger ”ikke passer sammen”
→ hvis fx vi til 1.koordinatfølgen vælger de ulige elementer og til 2.koordinaten vælger de lige.
og vi skal jo vælge en delfølge, som har det samme indeks før den duer på .
METODE: successiv udvælgelse
Betragt delfølgen
af
. Denne følge ved vi ikke om er begrænset.
MEN ∷
må være begrænset (af samme argument som at er det)
⇒ derfor har
en konvergent delfølge, kald den
, så
Bemærk, at for førstekoordinaten er
er en delfølge af
, som pr. konstruktion var konvergent
⇒ derfor er
konvergent (hvis en følge konv’er så konv’er alle delfølger af den)
Så
Nu har vi en følge med to koordinater,
som er konvergent mod .
Vi kan fortsætte og vælge
som er konvergent, og siden
og
stadig er konvergente, vil
Sådan fortsætter man.
MANGLER ∷ vil ?
Ja, thi grænsepunktet for ligger i og siden vi antog, at er afsluttet, er så grænsepunktet må ligge i
.
(a)⇒(b) (gælder i generelle metriske rum)
Antag, at enhver punktfølge i har et fortætningspunkt i
Modstridsbevis ∷ antag modstriden til (b), dvs.
→ antag: ikke er afsluttet eller ikke er begrænset
Antag ikke er afsluttet
⇒ så findes .
Men for alle findes en følge i så
Men konvergente følger har kun et fortætningspunkt
⇒ dvs. er det eneste fortætninsgpunkt for
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
99
⇒ men så må fordi vi antog, at enhver følge havde et fortætningspunkt i .
MODSTRID
Antag ikke er begrænset
Da er begrænset er specielt
Vælg
Da ej begrænset kan vi vælge ,
(idet sammensætningen af to endelige mængder (kugler) er endelig)
… vælg .
Denne følge fra opfylder, at for alle
MEN en sådan følge kan ikke være en Cauchy-følge.
Altså kan ikke have en delfølge, der er Cauchy og specielt ikke have en delfølge, der er konvergent.
Dermed kan den ikke have noget fortætningspunkt.
HVORFOR IKKE?
19.9 Def. 6.7: Kompakt mængde
Lad være et metrisk rum.
kaldes kompakt, hvis alle følger i har et fortætningspunkt i .
Faktisk er kompakthed en topologisk egenskab, men det er svært at vise.
Sætning 6.6 siger, at de kompakte mængder i er de afsluttede og begrænsede mængder.
(gælder ikke i ethvert metrisk rum)
19.9.1 Advarsel: I det diskrete rum er afsluttede og begrænsede mængder ikke nødvendigvis kompakte
Kompakte mængder er afsluttede og begrænsede
Eksempel: Lad være en mængde med uendelig mange elementer og diskret metrik.
- Alle delmængder af er begrænsede (største afstand er så specielt er alle afstande ≤ 1).
- Alle delmængder er afsluttede (fordi alle kugler med radius ½ indeholder kun centrum (så randen må
være i delmængden))
- Konvergente følger: skal blive det samme element fra et vist trin
- De kompakte mængder:
- er endelige: ellers kunne vi vælge alle følgeelementer forskellige og så ville de aldrig blive den
samme fra et trin
- ⇒ dvs. den følge ville aldrig have noget fortætningspunkt. ∎
19.10 Sætn. 6.9 (ej eksamensrelevant)
og metriske rum. , er kontinuert. Da er kompakt.
Lol, husk: kont er åben for åben
Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen
100
MEN ∷ nu ser vi på en mængde i billederne…
BEVIS:
følge i og kompakt. Vi skal vise, at den har en konvergent delfølge, som har grænsepunkt i
⇒
→ dvs. vi kan danne som rammer
Vi har antaget, at er kompakt.
B ⇒ så har en konvergent delfølge og pga. afsluttet.Men
er en
delfølge af , nemlig
Men da er kontinuert er .
Ergo har vi vist, at . Da er desuden .
∎
19.11 Sætn. 6.10 (Weierstrass)
metrisk rum, kompakt, kontinuert.
Da er begrænset og antager max og min (sætnin fra mat A)
BEVIS:
følger direkte af 6.9
19.12 Sætning 6.11 (ej eksamensrelevant)
Sætning er et kompakt metrisk rum (dvs. metrisk rum, der i sig selv er kompakt, dvs. alle følger har
konvergente delfølger)
Da er et fuldstændigt metrisk rum med metrikken fra
BEVIS:
er et fuldstændigt metrisk rum.
Men når er kompakt (jf. sætning 6.10 (generaliseret så også er mulig))
∎