udtryk_og_ligninger (carsten juuls noter)

Simple udtryk og

ligninger

2009 Karsten Juul

Til eleven

Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med de andre emner.

Indhold Rækkefølge af + og ⋅ ..................................................................................... 1

Samle led af samme type ............................................................................... 2

Gange ind i parentes 1. del ............................................................................ 4

Rækkefølge af – og ⋅ samt af + og – ............................................................. 5

Gange ind i parentes 2. del ............................................................................ 8

Hæve parentes ............................................................................................... 9

Brøk (division) ............................................................................................ 12

Ligninger ..................................................................................................... 15

Isolere........................................................................................................... 20

................................................................................................................. 23 Simple udtryk og ligninger

1. udgave 2009

© 2009 Karsten Juul

Dette hæfte kan downloades fra www.mat1.dk

Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en e-mail til [email protected] som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

2x

Simple udtryk og ligninger Side 1 2009 Karsten Juul

Rækkefølge af + og ⋅

Teori 1

Udtryk i parentes skal vi regne ud først.

Når et tal står mellem + og ⋅ så skal vi udregne gange før plus.

Når et tal står mellem to +'er, så kan vi selv vælge hvilket af de to tegn vi vil udregne først.

Dette betyder:

Vi kan omskrive 423 ⋅+ til 83+

Vi kan ikke omskrive 423 ⋅+ til 45 ⋅

Vi kan ikke omskrive x⋅+ 23 til x⋅5

Vi kan ikke omskrive x23+ til x5

Vi kan omskrive x⋅++ 234 til x⋅+ 27

Hvis + skal udregnes før ⋅ , så skal vi skrive en parentes:

Vi kan omskrive 4)23( ⋅+ til 45 ⋅

Øvelse 2

(a) Kan vi omskrive 435 +⋅ til 415 + ? Svar: _______ .

(b) Kan vi omskrive 435 +⋅ til 75 ⋅ ? Svar: _______ .

(c) Kan vi omskrive 14 +⋅x til 5⋅x ? Svar: _______ .

(d) Kan vi omskrive 34 ⋅+x til 12+x ? Svar: _______ .

(e) Kan vi omskrive )35( +⋅x til 8⋅x ? Svar: _______ .

(f) Kan vi omskrive x326 +⋅ til x56 ⋅ ? Svar: _______ .

(g) Kan vi omskrive x326 +⋅ til x312 + ? Svar: _______ .

(h) Kan vi omskrive 5234 ++⋅ til 554 +⋅ ? Svar: _______ .

(i) Kan vi omskrive 5234 ++⋅ til 734 +⋅ ? Svar: _______ .

(j) Kan vi omskrive )4(3 x+⋅ til x+12 ? Svar: _______ .

(k) Kan vi omskrive 3)65( ⋅+ til 185 + ? Svar: _______ .

.parenteser mange såskrive ikke man skal Så

bestemt. man har Dette

gangetegn. stårderat sig forestille

læseren skal Her

Her skal ⋅ udregnes først, så vi kan ikke udregne noget før vi kender tallet x.


Øvelse 3 I nogle spil kan vi udregne antal point når vi kender antal krydser. Vi lader x stå for antal krydser.

(a) I et spil kan vi udregne antal point sådan: Læg antal krydser til 10. Gang resultatet med 4.

Hvilke(t) af regneudtrykkene (1) og (2) angiver disse udregninger? (1) 410 ⋅+ x (2) 4)10( ⋅+ x Svar: _______ .

(b) I et spil kan vi udregne antal point sådan: A: Gang 3 med antal krydser. B: Læg A-resultatet til 5. Angiv disse udregninger ved at skrive et regneudtryk med x:

Antal point = ____________________ .

Hvis 6=x er dette regneudtryk = _______ .

(c) I et spil kan vi udregne antal point sådan: A: Læg 4 til antal krydser. B: Gang 2 med A-resultatet. Angiv disse udregninger ved at skrive et regneudtryk med x:

Antal point = ____________________ .

Hvis 5=x er dette regneudtryk = _______ .

Samle led af samme type Øvelse 4 x står for et tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder:

3 x x

(a) Hvilke(t) af regneudtrykkene (1)-(3) angiver antal mønter i disse pakker?

(1) xx ++3 (2) x⋅+ 23 (3) x⋅5

Svar: ____________________ .

(b) Hvis 4=x er =++ xx3 _______ .

(c) Hvis 4=x er =⋅+ x23 _______ .

(d) Hvis 4=x er =⋅ x5 _______ .


Øvelse 5 x står for et tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder:

x x 8 x x x 6

(a) Hvilke(t) af regneudtrykkene (1)-(7) angiver antal mønter i disse pakker?

(1) 68 ++++++ xxxxx (2) 6382 +⋅++⋅ xx (3) 6382 +++ xx

(4) x⋅+ 514

(5) x⋅19

(6) x+19

(7) 145 +x

Svar: ____________________ .

(b) Hvis 2=x er =++++++ 68 xxxxx _______ .

(c) Hvis 2=x er =+++ 6382 xx _______ .

Teori 6 I udtrykket xx 35 ++

har vi først x en gang og derefter tre gange, dvs. vi har x fire gange, så

5435 +=++ xxx . Ved at bruge samme tankegang får vi

abbaab 107111564372 ++=++++++ .

Øvelse 7 I hvert af regneudtrykkene (1)-(4) skal du samle led der er af samme type. Se Teori 6.

(1) =++ xxx 42 ____________________ .

(2) =++++ xxx 3452 ____________________ .

(3) =+++ baba 324 ____________________ .

(4) =+++ kk 11555 ____________________ .


Gange ind i parentes 1. del Øvelse 8 m og n står for to tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder. Nedenfor er vist hvor mange mønter hver af personerne A, B, C og D har. A: m n B: m n C: m n D: m n

m n m n

m n m n (a) nm + er antal mønter som _______ har. (b) nm +⋅3 er antal mønter som _______ har. (c) )(3 nm +⋅ er antal mønter som _______ har. (d) nm ⋅+⋅ 33 er antal mønter som _______ har. (e) nm ⋅+ 3 er antal mønter som _______ har.

(f) Hvis 2=m og 4=n , så er =+⋅ )(3 nm _______ og =⋅+⋅ nm 33 _______ .

(g) Hvilke tal kan m og n være hvis udtrykkene )(3 nm +⋅ og nm ⋅+⋅ 33 skal være samme tal? Svar: ____________________ .

Teori 9

Et udtryk cba ++ med flere led kan vi gange med et tal k ved at gange hvert led i udtrykket med k , dvs.

ckbkakcbak ⋅+⋅+⋅=++⋅ )(

Det er + og – der skiller led, så cba ⋅⋅ indeholder kun ét led: cbakcbak ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ )(

Dette betyder:

Vi kan omskrive )2(4 x+⋅ til x48 + Vi kan ikke omskrive )2(4 x+⋅ til x+8 Vi kan ikke omskrive )2(4 x⋅⋅ til x48 ⋅ Vi kan omskrive )2(4 x⋅⋅ til x8

Vi kan ofte reducere et udtryk sådan:

abab 4)3(2 +++ = abab 462 +++ Først ganger vi ind i parentesen. = ba 76 + Så samler vi led af samme type.


Øvelse 10 Reducer: (a) 1)2(53 ++++ xx

=

= (b) )2(23)21( +++ aa

=

=

(c) yxyx 3)2(3)2(2 +++

=

= (d) )5(24)34(2 bba ⋅⋅++⋅+⋅⋅

=

=

Øvelse 11 Først køber vi 4 bøger, og derefter køber vi 7 bøger til. For hver bog betaler vi n mønter. For de første 4 bøger betaler vi ____ ⋅ ____ mønter, og for de næste 7 bøger betaler vi ____ ⋅ ____ mønter, så vi betaler i alt ____ ⋅ ____ + ____ ⋅ ____ mønter for bøgerne. Vi har i alt købt ____ + ____ bøger, og for hver af dem betaler vi ____ mønter, så vi betaler i alt ____ ⋅ ( ____ + ____ ) mønter for bøgerne.

Rækkefølge af – og ⋅ samt af + og – Øvelse 12

(a) På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk:

24 + 24 − 2410 +− 2410 −− 2410 −+ 2410 ++

Hvis vi ser at vi har 10 mønter, derefter bruger 4 mønter og derefter får 2 mønter, så har vi _______________ mønter .

Hvis vi ser at vi har 10 mønter, derefter bruger 4 mønter og derefter bruger 2 mønter, så har vi brugt _______________ mønter og har _______________ mønter tilbage.

(b) På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk:

cb + cb − cba +− cba −− cba −+ cba ++

Hvis vi ser at vi har a mønter, derefter bruger b mønter og derefter får c mønter, så har vi _______________ mønter .

Hvis vi ser at vi har a mønter, derefter bruger b mønter og derefter bruger c mønter, så har vi brugt _______________ mønter og har _______________ mønter tilbage.


Teori 13 Når der før et tal står + og efter står + eller – , så kan vi selv vælge hvilket af

de to tegn vi vil udregne først.

Når der før et tal står – og efter står + eller – , så er det minusset før vi skal udregne først.

Når et tal står mellem – og ⋅ , så skal vi udregne gange før minus.

Dette betyder:

Vi kan omskrive 357 −+ til 312 −

Vi kan omskrive 357 −+ til 27 +

Vi kan omskrive 357 +− til 32 +

Vi kan ikke omskrive 357 +− til 87 −

Vi kan ikke omskrive aa −⋅2 til 02 ⋅

Vi kan ikke omskrive x⋅− 25 til x⋅3

Hvis – skal udregnes før ⋅ , så skal vi skrive en parentes:

Vi kan omskrive x⋅− )25( til x⋅3

Øvelse 14 (a) Kan vi omskrive xxx +−3 til x+⋅03 ? Svar: _______ .

(b) Kan vi omskrive 2223 +−⋅ til 226 +− ? Svar: _______ .

(c) Kan vi omskrive xxx +−3 til xx 23 − ? Svar: _______ .

(d) Kan vi omskrive 2223 +−⋅ til 423 −⋅ ? Svar: _______ .

(e) Kan vi omskrive 2223 −+⋅ til 023 +⋅ ? Svar: _______ .

(f) Kan vi omskrive 246 −+ til 210 − ? Svar: _______ .

(g) Kan vi omskrive 246 −+ til 26 + ? Svar: _______ .

(h) Kan vi omskrive x⋅−− 235 til x⋅− 22 ? Svar: _______ . Øvelse 15 På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk: 6214 ⋅− 6)214( ⋅− 6214 +− 6214 −− For en vare er prisen pr. stk. 14 mønter, men vi får en rabat på 2 mønter. For 6 stk. skal vi betale _______________ .

For en vare er prisen pr. stk. 2 mønter. Hvis vi ser at vi har 14 mønter, og derefter køber 6 stk. af varen, så har vi _______________ mønter tilbage.

Hvis vi ser at vi har 14 mønter, og derefter køber en vare til 2 mønter og en vare til 6 mønter, så har vi _______________ mønter tilbage.


Teori 16 I udtrykket xx 758 −+

har vi først x otte gange, og derefter fjerner vi x syv gange, dvs. vi har x én gang tilbage, så

5758 +=−+ xxx . Ved at bruge samme tankegang får vi

bababba 2714284356 +−=+−++−− .

Øvelse 17 I hvert af regneudtrykkene (1)-(5) skal du samle led der er af samme type. Se Teori 16 og Teori 6.

(1) =+− xxx 45 ____________________ .

(2) =+−+− xxx 6252 ____________________ .

(3) =++−− baba 9343 ____________________ .

(4) =+−− kk 11246 ____________________ .

(5) =−+− xyyx 4325 ____________________ . Øvelse 18 Reducér:

(a) 105)24(3 −−+ xx

=

=

(b) )4(312)6(2 ++− xx = =

(c) 15)5(35 −⋅⋅+− xx =

=

(d) baba 724)22( −+−⋅++

=

=


Gange ind i parentes 2. del

Øvelse 19 x står for et bestemt tal. I alle klasser er der 20 elever, og x af dem er piger. På hver af de tomme pladser i (a)-(e) skal du skrive en af følgende sætninger:

piger i én klasse drenge i én klasse elever i én klasse piger i fire klasser drenge i fire klasser elever i fire klasser

(a) x−20 er antal ________________________________________ . (b) )20(4 x−⋅ er antal ________________________________________ . (c) 204 ⋅ er antal ________________________________________ . (d) x⋅4 er antal ________________________________________ . (e) x⋅−⋅ 4204 er antal ________________________________________ . (f) Når 8=x er =−⋅ )20(4 x _______ og =⋅−⋅ x4204 _______ . (g) Hvilke tal kan x være hvis udtrykkene )20(4 x−⋅ og x⋅−⋅ 4204 skal være

samme tal? Svar: ________________________________________ .

Teori 20

Et udtryk cba +− med flere led kan vi gange med et tal k ved at gange hvert led i udtrykket med k , dvs.

ckbkakcbak ⋅+⋅−⋅=+−⋅ )(

Det er + og – der skiller led, så cba ⋅⋅ indeholder kun ét led:

cbakcbak ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ )(

Dette betyder:

Vi kan omskrive )2(4 x−⋅ til x48 − Vi kan ikke omskrive )2(4 x−⋅ til x−8 Vi kan ikke omskrive )2(4 x⋅⋅ til x48 ⋅ Vi kan omskrive )2(4 x⋅⋅ til x8


bbab 5)3(22 +−+ = bbab 5622 +−+ Først ganger vi ind i parentesen. = ba +2 Så samler vi led af samme type.


Øvelse 21 Reducér: (a) 10)2(34 ++−+− xx

=

= (b) )1(83)23( ++− aa

=

=

(c) yxyx 35)2(3 −−+

=

= (d) baba ⋅++−⋅−⋅⋅ 104)42(2

=

=

Øvelse 22 Først køber vi x bøger som hver koster 19 mønter. Derefter leverer vi 7 bøger tilbage og får pengene igen.

(a) For de x bøger betalte vi ___________ mønter, og for de 7 bøger får vi ____ ⋅ ____ mønter tilbage, så for de bøger vi beholder, har vi betalt ___________ – ____ ⋅ ____ mønter.

(b) Antallet af bøger vi beholder er ___________ , og vi betalte ____ mønter for hver bog, så for de bøger vi beholder, har vi betalt ____ ⋅ ( ___________ ) mønter.

Hæve parentes Øvelse 23

(a) Vi ser at vi har 15 mønter. Derefter køber vi en vare til 8 mønter, og derefter en vare til 3 mønter.

På hver af de tomme pladser skal du skrive en af følgende:

betalt for de to varer tilbage når vi har købt den første vare tilbage når vi har købt begge varer

815 − er antal mønter vi har _____________________________________ . 3815 −− er antal mønter vi har _____________________________________ . 38 + er antal mønter vi har _____________________________________ . )38(15 +− er antal mønter vi har _____________________________________ .

Øvelsen fortsætter på næste side!


(b) Vi ser at vi har a mønter. Derefter køber vi en vare til b mønter, og derefter en vare til c mønter.

På hver af de tomme pladser skal du skrive en af følgende:

betalt for de to varer tilbage når vi har købt den første vare tilbage når vi har købt begge varer

ba − er antal mønter vi har _____________________________________ . cba −− er antal mønter vi har _____________________________________ . cb + er antal mønter vi har _____________________________________ . )( cba +− er antal mønter vi har _____________________________________ .

(c) Hvis 50=a , 20=b og 10=c er =−− cba _______ og =+− )( cba _______ .

(d) Hvilke tal kan a, b og c være hvis de to udtryk )( cba +− og cba −− skal være samme tal? Svar: _____________________________________ .

Teori 24

Når der foran parentesen er – , og efter parentesen er + , – eller ingenting så kan vi fjerne parentesen og minusset foran hvis vi samtidig ændrer fortegnet for hvert led i parentesen. Når vi gør dette, siger vi at vi hæver minusparentesen. Når der foran parentesen er + , og efter parentesen er + , – eller ingenting så kan vi fjerne parentesen og plusset foran. Når vi gør dette, siger vi at vi hæver plusparentesen. Dette betyder:

yy ⋅+−=⋅−+− 3514)35(14

xxxx

xx

⋅−++−=⋅−++−+−=

⋅−+−−

2538)25()3(8

)25()3(8

edcbaedcba

edcba

+−++−=−+−−+−+=

−+−−+−)()(

)()(

xx ⋅=⋅−− 4)4( og 25)2(5 −=−+

ikke.normalt vi skriver linje Denne

ikke.normalt vi skriver linje Denne

Disse tegn skal fjernes.

Disse tegn skal ændres.


Øvelse 25 Reducér: (a) )3()4( ++−− xx

=

= (b) )2()25( xx +−−−

=

= (c) bbaa ++−− )27(3

=

=

(d) )5()5( +−−+−− bba

=

= (e) )2()2(1 yy +−−−−

=

= (f) )31()5( xx +−−−+

=

= Øvelse 26 Vi har 65 mønter. Først betaler vi x mønter for en vare, men vi får 10 mønter tilbage fordi der en mangel ved varen.

(a) Lige da vi havde betalt de x mønter havde vi ___________ mønter. Da vi havde fået mønter tilbage, havde vi ____ – ____ + ____ mønter.

(b) Da vi havde fået mønter tilbage, havde vi betalt ___________ mønter for varen, så vi havde ____ – ( ___________ ) mønter.

Teori 27


)24(32 xx −− = )612(2 xx −− Først ganger vi ind i parentesen. = xx 6122 +− Så hæver vi minusparentesen. = 128 −x Så samler vi led af samme type.


Øvelse 28 Reducér: (a) )22()4(3 −−− xx

=

= (b) )2(443 xx −−−

=

=

= (c) )()43(53 xx −−++

=

=

(d) 2)43()12(3 ⋅−−+− xx

=

=

= (e) )3(2)4( aabba −+−+

=

= (f ) bab )32()21(4 −−+

=

=

Brøk (division)

Teori 29

Vi vil skrive division som en brøk. At 12 divideret med 4 er 3 skriver vi sådan

34

12= .

Teori 30

Halvdelen af x⋅6 x x x x x x er x⋅3 x x x dvs.

xx⋅=

⋅ 32

6

Da der står ⋅ mellem 6 og x, må vi dividere 2 op i 6.


Teori 31

Halvdelen af x+6 1 1 1 1 1 1 x

er ikke

x+3 1 1 1 x dvs.

2

6 x+ kan vi ikke omskrive til x+3 .

Da der står + mellem 6 og x, må vi ikke dividere 2 op i 6.

Hvis der står minus må vi heller ikke dividere 2 op i 6:

2

6 x− kan vi ikke omskrive til x−3 .

Der gælder altså:

5

815 −⋅x kan vi ikke omskrive til 83 −⋅x

5

107 +⋅x kan vi ikke omskrive til 27 +⋅x .

Øvelse 32

(a) Kan vi omskrive 42012 ⋅ til 53 ⋅ ? Svar: _______ .

(b) Kan vi omskrive 42012 ⋅ til 203 ⋅ ? Svar: _______ .

(c) Kan vi omskrive 42012 ⋅ til 512 ⋅ ? Svar: _______ .

(d) Kan vi omskrive 4

112 + til 13+ ? Svar: _______ .

Øvelse 33 Reducér:

(a) =−+

3798 a

(b) =⋅

−⋅

612

412 xx

(c) =+7113 xx

(d) =−+

3)4(526 x


Teori 34

Der gælder:

xxaxa =⋅=⋅ 1

xaxa =⋅ og xa

ax =⋅

xaxa =⋅ og xaa

x =⋅

xx=

−−

44 og xx

=−−⋅4

)4(

xx=

−⋅−

44 og xx

=−⋅−

)4(4

aax + kan vi ikke omskrive til x

axa + kan vi ikke omskrive til x

aax − kan vi ikke omskrive til x

Øvelse 35

Reducér:

(a) =++−

53421 xx

(b) =++

623 aaa

(c) =⋅

+⋅

kxkx

88

(d) =−−−

42)43( x

(e) =⋅−⋅ 773

3 xx

(f ) =+⋅−kxk

kxkk

(g) =−−− 2

22x

(h) =−⋅−

+ )6(6

2 aa


Ligninger

Teori 36

Tænk på en vægt når du løser ligninger.

x står for et tal. På hver pakke står hvor mange lodder den indeholder.

Vi har anbragt nogle pakker på hver af vægtens skåle: x x x x x 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vi ser at der er ligevægt. Dette kan vi skrive som en ligning: 9235 ++= xx

Vi omskriver den ene side i ligningen, dvs. flytter rundt på pakkerne på den ene vægtskål. Der må stadig være ligevægt: x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1225 += xx

Vi trækker x2 fra begge ligningens sider, dvs. fjerner x2 fra begge vægtskåle. Der må stadig være ligevægt: x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xx xx 22 1225 −− +=

123 =x

Vi dividerer begge ligningens sider med 3 . På hver af vægtskålene er der nu en tredjedel af det der var før. Der må stadig være ligevægt: : x 1 1 1 1

33

123=

x

4=x Pakken med x lodder vejer det samme som fire lodder, dvs. 4=x .


Teori 37 Regler vi kan bruge til at løse ligninger:

Vi må lægge det samme tal til begge sider af lighedstegnet.

Vi må trække det samme tal fra begge sider af lighedstegnet.

Vi må gange begge sider af lighedstegnet med det samme tal hvis det tal vi ganger med, ikke er nul.

Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med det samme tal hvis det tal vi dividerer med, ikke er nul.

Vi kan også omskrive en af ligningens sider ved hjælp af de regler der står i de foregående afsnit.

Øvelse 38

Hvad gør vi ved begge sider i 2514 =+x for at få ligningen 11=x ? Svar: ______________________________ .

Hvad gør vi ved begge sider i 138 =−x for at få ligningen 21=x ? Svar: ______________________________ .

Hvad gør vi ved begge sider i 408 =x for at få ligningen 5=x ? Svar: ______________________________ .

Hvad gør vi ved begge sider i 95 =x for at få ligningen 45=x ?

Svar: ______________________________ . Øvelse 39

Skriv mellemregning der viser hvad vi har gjort ved begge sider i ligningen:

(a) Af x+= 419

får vi

så x=15

(b) Af 125=

−x

får vi

så 60−=x

(c) Af 011 =− x

får vi

så x=11 (d) Af 217 −=− x

får vi

så 3=x


Øvelse 40

Løs ligningerne.

(1) 814 +=− x (2) x832 =− (3) 123 −=x

(4) 219 ⋅= x (5) 31 =+− x (6) x−=7

Øvelse 41

Løs ligningerne.

(1) 6188 =−x (2) xx 6188 =− (3) 678 −=− x (4) 5314 +−= x (5) x5312 +−= (6) xx 58 −=− Øvelse 42

Løs ligningerne.

(1) xx 31643 −=+ (2) xx 3443 −=+− (3) 113 +=− xx


Øvelse 43

Løs ligningerne.

(1) 11252 +=+ xx (2) 6243 +−=− xx (3) 4346 +=+− xx Øvelse 44

Løs ligningerne.

(1) 92)63(5 +=+− xx (2) 12)2(36 +=+− xx (3) )52(3441 +−=− xx Øvelse 45

Løs ligningerne.

(1) 2)31(2)42( −=−+−− xx (2) )34(3)2(5 xx −=+−


Øvelse 46 (a) Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til antal drenge, så får vi det samme som hvis vi ganger antal

drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem

antal drenge.

Ligning: (b) Følgende er oplyst: Når vi ganger antal piger med 3 og lægger 8 til, så får vi det samme som når

vi ganger antal piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal

piger.

Ligning: Øvelse 47 (a) Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til antal drenge og ganger resultatet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem

antal drenge.

Ligning: (b) Følgende er oplyst: Når vi trækker antal piger fra 32 og trækker resultatet fra 24, så får vi 13. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal

piger.

Ligning:


Isolere

Teori 48

I en opgave står at vi skal isolere m i ligningen 12 −= mn . Dette betyder: Vi skal omforme ligningen så m står alene på den ene side. For at isolere m starter vi med at lægge 1 til begge ligningens sider. Så får vi mn 21 =+ . Nu dividerer vi begge ligningens sider med 2:

2

22

1 mn=

+ .

Ved at reducere ligningens venstre side får vi ligningen

mn=

+2

1

hvor m er isoleret. Resultatet på opgaven er

2

1+=

nm

Øvelse 49 (a) Isolér x i ligningen (b) Isolér x i ligningen

103 +⋅= xt nxm +⋅= 2

Øvelse 50 (a) Isolér k i ligningen (b) Isolér r i ligningen

1)3(2 −+⋅= kt 2)2( −=−− srr


Øvelse 51(a) Tallet a i ligningen er ikke 0. Isolér x .

bxay +=

(b) Isolér x i ligningen. Start med at gange begge sider med 5 .

yx=

+5

4

Øvelse 52 I ligningerne er m og t ikke 0 . Isolér t i hver af ligningerne.

(1) tmN ⋅= (2) mtN = (3)

tmN =

Øvelse 53(a) I ligningen er m

ikke 0. Isolér b .

)(4 abmy −=

(b) I ligningen er m ikke 0. Isolér a .

)(4 abmy −=

(c) I ligningen er ab− ikke 0. Isolér m .

)(4 abmy −= Øvelse 54(a) I ligningen er a og e ikke 0. Isolér e .

e

dcba +⋅=

(b) I ligningen er e ikke 0. Isolér d .

e

dcba +⋅=


Øvelse 55 Vi kan finde arealet A af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift:

A. Læg 2 til grundlinjen g . B. Gang A-resultatet med højden.

(a) Skriv denne opskrift som en ligning

=A

(b) Isolér g i denne ligning: (c) Skriv resultatet fra (b) som en opskrift af samme type som den ovenfor:

A.

B. Øvelse 56 Vi kan finde omkredsen O af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift:

A. Gang bredden b med 4. B. Gang højden h med 2. C. Læg B-resultatet til A-resultatet.


=O

(b) Isolér h i denne ligning: (c) Skriv resultatet fra (b) som en opskrift af samme type som den ovenfor:

A.

B.

C.


x2

Teori 57

Udtrykket 24 læses 4 i anden og betyder 4 ganget med sig selv dvs. 164442 =⋅= . For alle tal x er xxx ⋅=2 . På lommeregneren kan vi udregne at 96,14,1 2 = I udtryk som 2x− , 231+ , 234 ⋅ skal vi opløfte til anden før vi bruger –, + og ⋅ , så der gælder

93332 −=⋅−=−

9)3()3()3( 2 =−⋅−=−

xxx ⋅⋅= 22 2

22 422)2()2()2( xxxxxx =⋅⋅⋅=⋅=

Øvelse 58

(a) Når 3=t er =25t

(b) Når 2=h er =212h

Øvelse 59 (a) Tallene u og a er ikke 0. Isolér a i ligningen

amyu

2=

(b) Tallene y og a er ikke 0. Isolér m i ligningen

amyu

2=


Teori 60

Vi lader k stå for et positivt tal.

Udtrykket

k læses kvadratroden af k og er den positive løsning til ligningen

kx =2 . Når vi kun ser på positive tal x , så gælder at ligningen 622 =x har løsningen

62=x . Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får 874,7=x

Øvelse 61 (a) Om et positivt tal t gælder

732 =t Vi kan skrive dette tal ved hjælp af rodtegn: =t Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får =t

(b) I ligningen står x og m for positive tal. Isolér x .

mx =2 (c) I ligningen står y , k og m for positive tal. Isolér y .

mky +=2


Teori 62

Vi vil finde det positive tal x som er løsning til ligningen 20313 2 =⋅+ x .

Først isolerer vi 2x :

13132 20313 −− =⋅+ x

73 2 =⋅x

33

2 73=

⋅x

372 =x

Af reglen fra teori 60 får vi

37=x

Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får 528,1=x

dvs. 528,1 er det positive tal som er løsning til 20313 2 =⋅+ x .

Øvelse 63 (a) Find det positive tal

x som er løsning til ligningen

56 2 =x

(b) Find det positive tal a som er løsning til ligningen

942=a

(c) Find det positive tal N som er løsning til ligningen

7652 =−N

Øvelse 64 (a) Find det positive tal

t som er løsning til ligningen

12322 =+t

(b) Find det positive tal p som er løsning til

ligningen 1742 2 =− p

(c) Find det positive tal y som er løsning til ligningen

22612 y+=


Øvelse 65 I denne øvelse står c , h og x for positive tal.

(a) Isolér c i ligningen

xch −= 2

(b) Isolér x i ligningen

xch ⋅= 2

(c) Isolér h i ligningen

xch =2

Øvelse 66 I denne øvelse står B , k , m og r for postive tal.

(a) Isolér m i ligningen

mkrB ⋅=

2

(b) Isolér k i ligningen

mkrB ⋅=

2

(c) Isolér r i ligningen

mkrB ⋅=

2

Øvelse 67 Vi kan finde rumfanget V af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift:

A. Opløft tykkelsen d til anden. B. Gang A-resultatet med højden h . C. Gang B-resultatet med 5.


=V

(b) Udregn rumfanget når tykkelsen er 2 og højden er 6.

=V

(c) Udregn tykkelsen når rumfanget er 72 og højden er 10 .

udtryk_og_ligninger (carsten juuls noter)

Documents