konstrukcije. unutrasnje sile

VRSTE KONSTRUKCIJA

Konstrukcija: geometrija + opterećenja - Proračunski modeli (sheme) konstrukcije

(1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova:

- Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji

- Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije

- Masivne konstrukcije

(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti:

- Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi:

• Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije

Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: 0x =∑ ; 0y =∑ ; 0M =∑

Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe

Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 1 44

(3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru:

• ravninske konstrukcije • prostorne konstrukcije

VRSTE OPTEREĆENJA

1) Po promjenljivosti u vremenu: • statička opterećenja

• dinamička opterećenja 2) Po načinu prijenosa na konstrukciju:

• koncentrirano opterećenje

• kontinuirano opterećenje

3) Statička opterećenja dijele se na: • Stalno opterećenje – mrtvi teret

• Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.

• Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.


STRUKTURA KONSTRUKCIJE

Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom

Unutrašnje veze

Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje

a) štapna veza – štap

- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela

- statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)

I II I II

b) zglobna veza – zglob

Jednostruki zglob

I II

- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela

- statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile

A

B C

A

B D

C

E

materijalni zglob nematerijalni zglob


Višestruki zglob

Kolikostruki zglob:

1ni −= ; n je broj zglobno spojenih elemenata Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: i2)1n(2Os =−=

c) kruta veza – uklještenje

I II

• kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka

• statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment

V

V

H

HM M

K d

V

ruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa.

) kruta pomična veza – pomično uklještenje

• kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja

• statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment

edrana Kozulić Tehnička mehanika 1 47

Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.


Vanjske veze

Najčešći tipovi ležajnih veza:

F Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnjaslobode, jedna sila veze

Fx

Fy

Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode,dvije sile veze

M

Fx

Fy

Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanjslobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode(translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)


KINEMATIČKA STABILNOST

Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke

M

U ravnini

M

U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: točka se mora vezati sa 2 štapa

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi ne smiju ležati na istom pravcu

A B

C

ispravno neispravnoA B

C

mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav

Vezivanje tijela

U ravnini U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):


Geometrijski promjenljivi sistemi – mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata

Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije

elemenata Slučaj geometrijske promjenljivosti:

Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini a) trima štapovima; b) kombinacijom štapa i zgloba; c) krutom vezom

I II

a)

I II

b)

c)

I II

Treba paziti na raspored veza!

nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)

- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:

I II

I

II


Postupno spajanje diskova

III IVI II

Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava

Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom.

jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav

A

B

C

dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav

A B

C

D E

I II

dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijskinepromjenljiv sustav → statički određen sustav

F

IA B

II

C D

E

dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem


Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule:

lnni2nn2n3s ziščd −∑−−+=

s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava dn - broj diskova; - broj čvorova; - broj štapova; - broj ležajnih veza; čn šn ln

zin - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)

K+++=∑=

3z2z1zn

1izi n6n4n2ni2

0s = : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav

0s < : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav

0s > : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena:

0s ≤ : ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza

s = −1

geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)


Primjer 1: A B C

D E

F G

Analiza 1. broj diskova 2nd = broj čvorova 2nč = (točke F i G) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 1n 1z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 031252223s =−⋅−−⋅+⋅=

Analiza 2. broj diskova 7nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 0nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke D i E) broj dvostrukih zglobova 2n 2z = (točke F i G) broj trostrukih zglobova 1n 3z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l

Broj stupnjeva slobode: 0316242273s =−⋅−⋅−⋅−⋅=


STATIKA REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA

Pretpostavke o konstrukciji:

(1) sustav je sklopljen iz pravocrtnih štapova

(2) štapovi sustava su prizmatični, konstantnog presjeka

(3) međusobno su vezani u čvorove idealnim zglobovima (bez trenja)

(4) opterećenja su zadana u smjeru osi štapa i u čvorovima sustava

Kinematička stabilnost i statička određenost

Nužan uvjet kinematičke stabilnosti osnovni geometrijski nepromjenljiv lik sastavljen od štapova - trokut

7

6

9

5

6

7

4

1

2

3

2

3

1

4

5

8

10

11

formiranje rešetkastog diska Broj štapova nš koji je dovoljan da rešetkasti disk s brojem čvorova nč bude geometrijski nepromjenljiv:

3n22)3n(3n ččš −=⋅−+= Da bi rešetkasti disk postao nosač:

čš n2n =

Ispitivanje dovoljnog uvjeta kinematičke stabilnosti: - kinematičkim metodama (preko načina vezivanja: na elementaran način ili temeljem baznog

nepromjenljivog lika)

- statičkim metodama


Ispitivanje geometrijske nepromjenljivosti:

Način vezivanja na elementaran način:

12

11

10 8

9

7

6

5

4

3

1

2

1

2

3

4

5

6

01226s =−×=

Temeljem baznog nepromjenljivog lika:

1

2 4 6

3 5 7

1

2 6 10

3 7

115 94 8

Sile u rešetkastim konstrukcijama 1. Vanjske sile: aktivne (sile opterećenja) i pasivne (reakcije) 2. Unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova Određivanje sila u ležajnim vezama (reakcija): - kao kod krutih tijela u ravnini ili

- kao kod ostalih štapova rešetke Sile na štap Čvor rešetkaste konstrukcije

(+) vlakSi Si

i

( ) tlak−Si Si

i

Si+1 Si+1

i+1

Si+2 Si+2

i+2

i

Si

Si

i+3

Si+3

Si+3

Pj

j


Vrste rešetki

Naziv rešetke: - prema načinu vezivanja: konzolna, gredna, gredna s prepustima, trozglobna, lučna, rešetkasti

stup, itd. - ovisno o geometriji unutrašnjih štapova (ispune): V, N, K rešetka

štapovi gornjeg ruba - gornji pojas štapovi donjeg ruba - donji pojas

pojasevi: poligonalni i ravni (spec.) paralelni ako je štap ispune uspravan - uspravnica ili vertikala; ako je štap pod kutem - kosnik ili dijagonala

Konzolne N rešetke

V rešetka

K rešetka

Gerberova rešetka


Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija

1. Metode čvorova:

− Analitičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor • Metoda svih čvorova odjednom

− Grafičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor (zasebno crtano) • Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) - Cremona

2. Metode presjeka:

− Analitička metoda (Ritter-ova metoda) − Grafička metoda (Culmann-ova metoda)

Izbor metode ovisi o cilju proračuna. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače:

1. 2.

S1 = S = 0 2

S2S1

S1= − PS2

S1

P

S = 02

3. 4.

S3S1

S = 03

S2

S3S1

S2P

.

5.

S3S4

S = S1 3

S2S1

S = S2 4


Metode čvorova

a) Metoda čvor po čvor - grafička primjena

V2

1

2

3 5

4

6

7

8

9

10

12

11

V3V1

H1

H2

1

2

3

4

5

6

čvor 1

V1

H1

S1

S2

čvor 2

H2

S1S3

S4

čvor 3

V2S5

S2

S3

S6

čvor 4

S7

S4

S5

S8

čvor 5

V3

S10

S9

S6

S7

čvor 6

S8

S9

S11

S12 -- Maxwell-Cremonin plan sila

V2

a

c

d

e

f

g

h

i

b j

l

k

V3V1

H1

H2

1

2

3

4

5

6

plan silaMaxwell / Cremona

a

c

f

g

b

j

d

e

h

i

k

l


b) Metoda čvor po čvor - analitička primjena Primjer: Konzolna N rešetka

V2 V3

1

2 6 10

3 7 115 9

4 8 12

V1

H1

H2

1

2 4 6

3 5

α α α

S1

S2

S1 S5 S9

S4 S8 S12

S3 S7 S11

S2 S6 S10

S3 S7 S11S5 S9

S6 S10

S4 S8 S12 Jednadžbe ravnoteže:

α−=→=

−α−=→=

α−=→=

−α−=→=

α−=→=

−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

sinSS0Y

VsinSS0Y

sinSS0Y

VsinSS0Y

sinSS0Y

VS0Y

9116č

i

3795č

i

574č

i

2353č

i

132č

i

111č

i

α−=→=

α+=→=

α−=→=

α+=→=

−α−=→=

−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

cosSSS0X

cosSSS0X

cosSSS0X

cosSSS0X

HcosSS0X

HS0X

118126č

i

76105č

i

7484č

i

3263č

i

2342č

i

121č

i


Primjer: Gredna V rešetka

V1 V2BAy

α α α1

2 4 6

3 5S4

S8S4

S8

7

1

2 6 10

3 7

115 94 8

S2

S1S5 S9

S3S7

S11

S6 S10

S1

S2

S3

S5

S6

S7

S9

S10

S11

Prethodno se moraju odrediti reakcije.

Jednadžbe ravnoteže:

aiskorišten već0Y

SS0Y

sinVSS0Y

SS0Y

sinVSS0Y

SS0Y

sinAS0Y

7či

9116č

i

2895č

i

584č

i

1453č

i

142č

i

y11č

i

→=

−=→=

α+−=→=

−=→=

α+−=→=

−=→=

α−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

aiskorišten već0X

aiskorišten već0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(S0X

cosSS0X

7či

6či

986105č

i

85374č

i

54263č

i

4132č

i

121č

i

→=

→=

α−+=→=

α−+=→=

α−+=→=

α−=→=

α−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=


Metode presjeka

a) Metoda presjeka - grafička primjena (Culmannova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka

AB

F2

Rd

R

RlF1G

t

t

K

D

c

F2

F1

RA

B

RlGcK

D

poligon sila

mjerilo sila1cm :: 1kN

0BAFF 21 =+++ ravnoteža čitave rešetke:

ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFAc

1 =++++ 321

Primjer: 'K' rešetka

AB

F2

Rd

R

Rl

F1

Gt

tD

c

F2

F1

RA

B

Rl

Gc

K

D

poligon sila


K1

K2

K1

K2

21 KKK += ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFA 1 =++++


b) Metoda presjeka - analitička primjena (Ritterova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka

AB

F2

Rd

R

RlF1

G

t

t

K

D

F2

F1

RA

B

Rl

poligon sila


RKrk RG

RD

rg

rd

dg

k

Uvjeti ravnoteže lijevog dijela rešetke:

0MGgRrGgM

0MKkRrKkM

0MDdRrDdM

0RgR

0RkR

0RdR

GG

KK

DD

=−⋅−=⋅−⋅−=

=+⋅=⋅+⋅=

=−⋅=⋅−⋅=

∑

∑

∑

l

l

l

Vrijednosti sila u presjeku t-t:

gM

Rgr

G

kM

RkrK

dM

RdrD

0Rg

0Rk

0Rd

G

K

D

−=⋅−=

−=⋅−=

=⋅=

l

l

l


Analitička metoda presjeka u slučaju paralelnih pojaseva

G

D

K

t

t

α

V V V V V V V 3.5 V3.5 V

RG

RD

g d

Sustav jednadžbi:

d

MD0M

0R

RD

D=→=∑

α=→=

−−∑ sin

TK0Ytt

tti -- uvjet ravnoteže projekcije sila u smjer

okomito na pojasne štapove

g

MG0M

0R

RG

G=→=∑


KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA

Statički određeni sustavi 0s =

Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti:

• punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi

Vrste statički određenih sustava

Konzola

Konzolna greda

Konzolnistup

Konzola proizvoljnog oblika

Prosta greda

Greda s prepustom

Greda s dva prepusta

Greda spojena s podlogom s tri štapa

Poluokviri


Okviri

Trozglobni štapni sistemi

trozglobni luk trozglobni okvir

Indirektno opterećena greda

Gerberov nosač

Ojačana greda

Ojačana greda s prepustima

Okvir sa zategom Luk sa zategom


Okviri sazategama

Poduprte grede


Statički neodređeni sustavi 0s <

Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.

Vrste statički neodređenih sustava

Obostrano upeta greda

Obostrano upeti okvir

Obostrano upeti poluokvir

Obostrano kruto spojen luk, iliobostrano upeti luk, naziva se isamo: upeti luk

Kontinuirana greda

Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima

Kontinuirani okvir s upetim stupovima


Ojačane grede

Okviri i lukovi sa zategama

Poduprte grede


OPĆE KARAKTERISTIKE STATIČKI ODREĐENIH NOSAČA

1. Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. 2. Kod statički određenih nosača reakcije i unutrašnje sile ne ovise o obliku i veličini

poprečnog presjeka elemenata niti o materijalu iz kojeg su napravljeni pojedini elementi nosača.

3. Kod statički određenih sustava ne pojavljuju se reakcije i unutrašnje sile zbog djelovanja

promjene temperature, popuštanja oslonaca ili uslijed netočno izvedenog pojedinog elementa u sustavu.

4. Ako se kod statički određenog sustava opterećenje na dijelu jednog diska zamijeni statički

ekvivalentnim opterećenjem, neće doći do promjene reakcija kao ni unutarnjih sila na ostalom dijelu sustava izvan tog područja.

A B

P p

M

+

5. Statički određeni nosači nemaju rezervu u pogledu stabilnosti ako dođe do raskida neke

vanjske ili unutrašnje veze. Ako dođe do popuštanja na mjestu jedne veze, dolazi do gubitka stabilnosti sustava ili dijela sustava.


SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA

Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile

q1

P1 q2 P2

P3

BH

A

B

C

BV

AV

AH

P4

Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza - unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku

A

B

C

P1

P2q

D

E

F

I

II

III

BH

BV

AV

AH

P2

D

F

A

C

q

D

B

C

P1

E

DH

DV

CH

CV

CVCH

S

S

DV

DH


Određivanje reaktivnih sila

F

L1

L2

L3

BCA

F

BCA

F

B

CA FB

A

Sustav Štapni model

Grafičkouravnoteženje

Prosta greda

Zglobni ležaj(dvije veze)

Klizni ležaj(jedna veza)

Trokut sila

Analitičko rješenje

B

Ax

Ay

Fx

Fy

a bL

yyA

yyyyB

xxi

FLaB0FaBL:0M.3

FLbA0FbAL:0M.2

FA0X.1

⋅=→=⋅+⋅−=

⋅=→=⋅−⋅=

=→=

∑

∑

∑

---------------------------------------------------------------- Kontrola: 0Yi =∑


Unutrašnje sile u presjecima Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustava djeluje na drugi.

F21

1Presjek

F1F3

F1

Trokut sila

F2

F3

F1

F2

F3

F1-1

M1-1

M1-1

F1-1

F1

F2

F3

T1-1

M1-1

M1-1

N1-1

T1-1

N1-1

Tri unutrašnje sile u presjeku: uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna sila moment savijanja (M) Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava.

Definicije unutrašnjih sila u presjeku Uzdužna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka. Pop rečna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka. Momen t s av i j an j a u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.


Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija) Klasična (na elementu):

Pozitivni smjerovi

M M

T T

N N

Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak. Poprečna sila T je pozitivna ako dio sustava na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanja kazaljke na satu. Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjim vlakancima elementa. Suvremena (u presjeku): (kompjutorske metode)

u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava

Presjek

Os elementa

MT

N

Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi


Dijagrami unutrašnjih sila

To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava. Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama.

F2

1

1

F1F3

F1x

F1y

F3x

F3y

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

F3xF1x

Nx

−

F3y

Tx

−

+F1y F2

Mx

+


SILE U GREDNIM NOSAČIMA

Greda - štapni element koji ima potrebna ležajna pričvršćenja a može nositi bilo koje opterećenje.

Poprečna sila i moment savijanja u gredi

BA

a b c d e

P q M

x

y

l

BA x

P q M

A x

P

B

q M

q

Tx

Mx

Tx

Mx

a) Zadana greda s opterećenjem

b) Sile opterećenja na gredu

c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku x

Tx

MxTx

Mx

a) Unutrašnje sile u presjeku (pozitivna poprečna sila i pozitivan moment savijanja)

b) Utjecaj poprečne sile

c) Utjecaj momenta savijanja


Sile u presjeku x dobivaju se analizom ravnoteže dijela grede lijevo ili desno od presjeka.

BA

P q MO

A x

P

B

Tx

Mx

Tx

Mx

a b c d e

l

A x

P q

Tx

Mx

A x Tx

Mx

x

MO

B

Tx

Mx

x

AP

Bq c.

T - dijagramx

−

+

MOMmax

+

M - dijagramx

ax0 << xAM;AT xx ⋅==

)ba(xa +<< PATx −=

)ax(PxAMx −⋅−⋅=

)cba(x)ba( ++<<+

)bax(qPATx −−⋅−−=

2)bax(q)ax(PxAM

2

x−−−−⋅−⋅=

)dcba(x)cba( +++<<++

BTx −=

Ox M)x(BM +−⋅= l

ll <<− x)e( BTx −=

)x(BMx −⋅= l


Diferencijalne veze između opterećenja i sila presjeka

i j

dx1 2 1 2

px

nx

Mx

Nx

Tx Tx+dTx

Nx+dNx

Mx+dMx

dx

px

nx

Mi

Ni

Ti Tj

Nj

Mj

x+dxx a) Element linijskog nosača b) Izdvojeni diferencijalni element Uvjeti ravnoteže diferencijalnog elementa grede:

1. :0Fy∑ = 0dxp)dTT(T xxxx =−+−

dxpdT xx −=

xx pdx

dT−= (1)

2. :0M2∑ = 0)dMM(2dxpdxTM xx

2xxx =+−−+

2dxpdxTdM

2xxx +−=−

xx Tdx

dM= (2)

Deriviranjem (2) po varijabli x i uvrštavanjem u (1) dobiva se:

dxdT

dxMd x

2x

2=

odnosno x2x

2p

dxMd

−= (3)

3. :0Fx∑ = 0)dNN(dxnN xxxx =+++−

dxndN xx −=

xx ndx

dN−= (4)

• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju poprečne sile u nekoj točki grede jednak je

negativnoj vrijednosti intenziteta kontinuiranog opterećenja u toj točki.

• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju momenta savijanja u nekoj točki grede jednak je poprečnoj sili u istoj točki.


Veza između poprečne sile i opterećenja kada je opterećenje koncentrirana sila

Mil

Nil

Til

Pi

Tid

Nid

Mid

Suma projekcija sila na pravac djelovanja sile Pi mora biti jednaka nuli:

ii

idiii

dii

PT

TTT0PTT

=∆⇒

∆=−=−− ll

Skok u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu djelovanja koncentrirane sile. Na tom mjestu u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se lom.

T

M

+−

P

P

+

T

M

+ P

P

+

T

M

P

P

+

−

+

Skok u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se samo na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment.

T

M

+

+

M

+

MO

MO

T

+

MO

MO


U području konstantnog vertikalnog kontinuiranog opterećenja ( ): .konstpx =

T

M

q

a

q a.

Mmax+

+

−

Lom u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu na kojemu se mijenja intenzitet kontinuiranog opterećenja.

T

M

pL pD

dxdT

dxdT

pp DLDL ≠⇒≠

dxdM

dxdM

TT DLDL =⇒=

DL MM =


Integralne veze između opterećenja i sila presjeka

1. ∫∫ −=−=−=→−= ==

=

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dxpTTTTdTpdxdT

43421

x

2

1

p dijagramaispod površina

x

xx12 dxpTT ∫−=

2. ∫∫ =−=−=→= ==

=

=

2

11212

2

1

x

xxxxxxxx

xx

xxxx

x dxTMMMMdMTdxdM

43421

x

2

1

T dijagramaispod površina

x

xx12 dxTMM ∫+=

Različiti slučajevi opterećenja:

0px = :

.konstTT 0x == − konstanta, funkcija 0. stupnja

xcMM 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

ppx = (konstanta, funkcija 0. stupnja):

xbTT 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

2210x xcxcMM ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

xapp 0x += (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):

2210x xbxbTT ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

33

2210x xcxcxcMM +++= − funkcija 3. stupnja (kubna parabola)

xsinpp 0x α= (trigonometrijska funkcija):

xcospTT 00x αα⋅+=

xsinpxTMM 2000x αα⋅++=


Primjer Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje.

a b c d

d/2

A BC

D E−

+

MC

MD ME

MB

−

M

T

TA TCl

TCd TD

l

TB− −

+

qPB

MB

PDPCPA

parabola 20

Prvo treba naći dijagram poprečnih sila.

-- na dijelu AC: a

MTT C

CA −== l

-- na dijelu CD: b

MMTT DC

DdC

+== l

-- na dijelu DE: 0TDE =

-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija:

dMM

22dMM

T , 0T BEBEBE

+−=

+−==

Opterećenje grede: -- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile:

AA TP = ; dCCC TTP += l ; l

DD TP = ; BB TP =

-- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q:

dT

q B=

-- u točki B djeluje koncentrirani moment BMM =


PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

Dijagrami unutrašnjih sila za različite vrste opterećenja

Opterećenje simetričnom koncentriranom silom

P

L/2 L/2

M =PL/4max

A B

P

A =P/20 B =P/20

+

−

A0

B0

P

Nx

Tx

Mx

+

∑ = 0Fx : 0Ax =

∑ = 0MB : 02LPLAy =⋅+⋅−

2PAA 0

y ==

∑ = 0MA : 02LPLB =⋅−⋅

2PBB 0 ==

xx pdx

dT−= ; x

x TdxdM

=

x2x

2p

dxMd

−=

Opterećenje nesimetričnom koncentriranom silom

P

a b

M =Pab/Lmax

A B

+

−

A0

B0

P

Nx

Tx

Mx

+

A0 B0

L

∑ = 0Fx : 0Ax = ∑ = 0MB : 0bPLAy =⋅+⋅−

LbPAA 0

y⋅==

∑ = 0MA : 0aPLB =⋅−⋅

LaPBB 0 ⋅==


Opterećenje dvjema koncentriranim silama

P

a c

A BP

a

LA =P0 B =P0

M=Pa

+

−

A0

B0

P Tx

Mx

+

P

Poprečno opterećenje - simetrično

∑ = 0Fx : 0Ax =

∑ = 0MB : 0)aL(PaPLAy =−+⋅+⋅−

PAA 0y ==

∑ = 0MA : 0)aL(PaPLB =−−⋅−⋅

PBB 0 == Tx - antisimetričan dijagram Mx - simetričan dijagram

Jednoliko raspodijeljeno opterećenje

q

L

+

−

A =qL/20 B =qL/20

A0

B0

+

M =max qL /82

Tx

Mx

qL /82

∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−

2LqA0 =

∑ = 0MA : 2LqB0 =

( )x2Lqxq2

LqxqAT 0x −=−=−=

Tx - antisimetričan

( )xL2xq

2xxqx2

Lq2xxqxAM 0

x −=−=−=

Mx – simetričan

Mjesto i veličina maksimalnog momenta:

0dxdMx = ; 0TTdx

dMxx

x =→=

2Lx0xq2

Lq =⇒=− → 8Lq

2)2L(q2

L2LqM

22

max =−=


Opterećenje koncentriranim momentom

M

a b

A B

−

Tx

Mx

+

L

MM/L

M/L

M/LM/L

MMa/L

Mb/L

−


Jednoliko raspodijeljeno opterećenje

q

L

+

−

A =qL/20 B =qL/20

A0

B0

+

M =max qL /82

Tx

Mx

qL /82

∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−

2LqA0 =

∑ = 0MA : 2LqB0 =

( )x2Lqxq2

LqxqAT 0x −=−=−=

Tx - antisimetričan

( )xL2xq

2xxqx2

Lq2xxqxAM 0

x −=−=−=

Mx - simetričan

Mjesto i veličina maksimalnog momenta:

0dxdMx = ; 0TTdx

dMxx

x =→=

2Lx0xq2

Lq =⇒=− → 8Lq

2)2L(q2

L2LqM

22

max =−=

Jednoliko antisimetrično raspodijeljeno opterećenje

q

+

A =qL/40

B =qL/40

A0 B0+

q(L/2) /82

Tx

Mx

A B

qL/2 L/2

q

q

−

+

−

q(L/2) /82

q(L/2) /82

q(L/2) /82

∑ = 0MB : 4LqA0 =

∑ = 0MA : 4LqB0 =

4LqT minmax/ ±=

Tx dijagram - simetričan

8)2L(qM2

minmax/ ±=

Mx dijagram - antisimetričan


Jednoliko nesimetrično opterećenje

p

A BL/2 L/2

p/2=

p/2

p/2+

L/43L/8

A0

B0

Tx

−

+

+

Mx

p(L/2) /82

p(L/2) /82

9pL

/128

2

pL /162

parabola 20

Superpozicija: Nesimetrično opterećenje =

simetrično + antisimetrično

∑ = 0MB : Lp83A0 =

∑ = 0MA : Lp81B0 =

xpLp83Tx −=

2xpxLp8

3M2

x −⋅=

maxM :

0dxdMx = 8

L3x0Tx =→=→

2

max 8L3

2p

8L3Lp8

3M ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅=

2max Lp128

9M =


Linearno raspodijeljeno opterećenje

3Lx =

q

A B

a=2L/3

L

b=L/3

px

A2x/3 x/3

Q

x

Tx

Mx

Qx

3Lx =

L/2 L/2

A

BQ

+

−

αB

αA

Tx

Mx

βBβA

Qab

/L =

pL

/92Mmax

Zadano opterećenje: Lxqpx ⋅=

Ravnoteža cijelog sustava

ekvivalentno opterećenje: Lq21Q ⋅=

∑ = 0MB : Lq61Q3

1A ==

∑ = 0MA : Lq31Q3

2B ==

Kontrola: ∑ =−+= 0QBAFy

U presjeku na udaljenosti x

ekvivalentno opterećenje:

Lxq2

1xp21Q

2xx ⋅=⋅=

xxy QAT0F −=→=∑

[ ]2x )Lx(316

LqT −=

T - dijagram - kvadratna parabola

ležaj A: AA tg0pdxdT α==−=

ležaj B: BB tgqpdxdT α=−=−=

x31QxAM0M xxx ⋅−⋅=→=∑

[ ]2x )Lx(1x6

LqM −=

M - dijagram - kubna parabola

qL61

LbQATdx

dMtg xA =====β

qL31

LaQBTdx

dMtg xB −=−=−===β

za : maxM 0dxdMx =

0)Lx(310T 2x =−→=→

L577.03

Lx ==

)L577.0x(MM xmax == 2

max Lq39

1M =


Indirektno opterećena greda

P

a b

M =Pab/L0

A B

M+

L

P

M0

A BM

+

−

M na gornjem štapux −

M na gredi ABx +

x

P

M0

A B

M na gornjem štapux −

M na gredi ABx +

x

A=P b / L

M =Pab/L0

B=P a/ L

P

M0

A BM

+


Konzola

L

P

A

M =P LA −

+

A

P

Tx

Mx

A=P

MA

L

M =MA −

A

T =0x

Mx

MAM

M

Desna konzola Lijeva konzola

q

L

M =qL /2A2

A=qL

MA

A

−

+

Tx

Mx

q

L

qL /22

A=qL

MA

A

Tx

Mx

qL /82

−

qL /82 −


Greda s prepustima

q

L

+

A B

M =max qL /82

Mx

qL /82

P

ba

Superpozicija:

q

q

A

P+

qa /22− P b.

=qa /22

−

P b.

+

−

−

+

−


konstrukcije. unutrasnje sile

Documents