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Fachbereich Mat hemat ikBernhard-von-Cot t a-Gymnasium Brand-Erbisdorf

Komponenten – und Koordinatendarstellung von Vektoren

2.) Rechnen mit der Komponenten – und Koordinatendarstellung von Vektoren

Hallo alle zusammen. Ich hoffe, Ihr konntet Euch ein wenig erholen und auch einiges aufarbeiten. Einige Zeit werden wir wohl noch auf diese Art und Weise unseren Mathestoff durcharbeiten müssen. Wenn Ihr davon später mal Euren Kindern und Enkeln erzählt, glauben die das bestimmt nicht. Das ist schon eine sehr außergewöhnliche Situation und keinesfalls einfach. Aber es ist etwas Neues, man muss sich damit auseinandersetzen und, das ist meine persönlich Meinung, man macht eine völlig neue und besondere Erfahrung. Das prägt einen, man geht da auch mit neuen Erkenntnissen über sich selbst daraus hervor. Also lasst Euch nicht entmutigen und seht das Ganze einfach als besondere Bewährungsprobe an.

Und bitte, fragt nach, wenn es Probleme mit dem Verstehen des Stoffes gibt → eMail: [email protected]

Zum Thema:

Will man mit Vektoren rechnen, kann man nicht nur Pfeile zeichnen und Ihre Längen messen. Es ist erforderlich, Vektoren mit ihren drei Eigenschaften sozusagen „in Zahlen“ zu fassen. Dann ist auch eine rein rechnerische Lösung von vektoriellen Problemen möglich.

Wir haben in Punkt 1.) geklärt, wie man Vektoren in der Welt „verankert“, nämlich indem wir sie durch Koordinaten in ein Bezugssystem eintragen. Das kann man mit Vektoren in der Ebene wie auch im Raum machen. Der Unterschied besteht nur darin, dass im Raum die dritte Dimension hinzukommt, sprich: es wird eine dritte Koordinate z hinzugefügt.

Wie man mit der Komponenten- und Koordinatendarstellung nun rechnet, zeigen die folgenden Beispiele, wieder für Ebene und Raum.

Die Koordinaten der Vektoren können anhand der Skizzen abgelesen werden. Z.B. hat in der Ebene der Vektor a⃗ die x-Koordinate 3 (3 Einheiten nach rechts) und die y-Koordinate 1 (eine Einheit nach oben).

Damit kann der Vektor a⃗ in Komponentenschreibweise geschrieben werden als a⃗=3⋅⃗i+1⋅⃗j oder kürzer

in der Koordinatenschreibweise als a⃗=(31) . Analog gilt das nun für alle Vektoren in Ebene und Raum.

Wobei die Anschauung im Raum perspektivisch verzerrt wird. Und das ist eigentlich nicht mehr unser Problem, da die grafische Anschauung nur noch eben ein Anschauungsmittel ist und nicht mehr als Rechenwerkzeug Verwendung findet.

Betrachtet nun die Beispiele Nr 1.) auf Seite 2, zählt die Kästchen bzw. rechnet die Beispiele nach und lest den Merksatz unterhalb der Abbildung.

Klasse 11 Seite 1 von 8 C by Frank Kaden 2020

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Ebene R2 Raum R3

Merke: Vektoren in R2 und R3 werden addiert, in dem man die gleichen Komponenten bzw. Koordinaten der Vektoren addiert. Die Durchführung der Addition in der Koordinatenschreibweise ist wesentlich effektiver, da man sozusagen zeilenweise addieren kann (siehe farbliche Hervorhebungen).

In der Abbildung erkennt Ihr neben der Addition der Vektoren a⃗ und b⃗ in der Ebene und der Addition der Vektoren a⃗ , b⃗ und c⃗ im Raumgitter des Würfels auch noch eine Addition der Vektoren d⃗ unde⃗ zum Summenvektor f⃗ . Lest dazu auf Seite 3 weiter.



Wie Ihr in folgender Abbildung erkennen werdet, kann man auch mit Vielfachen von Vektoren Additionen ausführen. Dabei kommt die Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor zur Anwendung. Lest dazu auch wieder den Merksatz unterhalb der Abbildung.

Ebene R2 Raum R3

Merke: Bei der Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor wird die Zahl mit jeder Koordinaten desVektors multipliziert. In der letzten Zeile links ist das gut zu erkennen. Von der drittletzten Zeile links zur vorletzten Zeile erkennt man gut die Anwendung des Distributivgesetzes.

Nachdem wir uns nun die grundlegenden Rechenoperationen angesehen haben, können wir auch einige einfache innermathematischen Anwendungen der Vektorrechnung betrachten.

3.) Innermathematische Anwendungen

3.1 Der Mittelpunkt einer Strecke in R2 und R3

Was wir schon an anderer Stelle in der Mathematik erfahren haben, ist der Umstand: Wenn man ein Problem allgemein lösen kann und eine allgemeine Lösung findet, muss man bei der Lösung einer speziellen Aufgabe die Ausgangsdaten nur noch in die fertige allgemeine Lösung einsetzen und muss nicht den gesamten Rechenweg abarbeiten. Das macht vor allem Sinn, wenn Aufgaben gleicher Art x-mal wiederholt werden müssen. Das kennen wir z. B. von der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oderauch von allen anderen Formeln z.B. in der Geometrie oder auch in den Naturwissenschaften.

Wir lösen nun folgendes Problem erst allgemein → siehe nächste Seite:

Aufgabe 1)Gegeben ist eine Strecke AB in der Ebene, wobei A die Koordinaten A(xA | yA) hat und B(xB | yB).Es ist der Mittelpunkt der Strecke MAB zu bestimmen (siehe Skizze auf Seite 4 oben).

Wichtiger Hinweis: (prüfungsrelevant!!):Der Trick bei Aufgaben, bei denen Punktkoordinaten zu finden sind, besteht immer darin, den Ortsvektor zudiesem Punkt zu berechnen.



Übung 1) Macht Euch jeden einzelnen Rechenschritt klar. Führt die gleichen Rechnung noch einmal aus fürden Fall, dass die Strecke AB im Raum liegt. Dabei hat A dann die Koordinaten A(xA | yA | zA)und B(xB | yB | zB). Wenn Ihr alles korrekt löst, erhaltet Ihr dann die Lösungsformel in der letzten Zeile der Abbildung oben.



Und nun noch zwei Zahlenbeispiele:

a) geg.: Strecke AB in der Ebene, A(2 | 4) und B(8 | 7)ges.: Mittelpunkt MAB

Lös.: M AB(x A+x B2

∣yA+ yB2

) daraus folgt: M AB(2+82

∣4+72

) df. M AB(5∣5 ,5)

b) geg.: Strecke AB im Raum, A(2 | 4 | 7) und B(8 | 7 | 0)ges.: Mittelpunkt MAB

Lös.: M AB(x A+x B2

∣yA+ yB2

∣z A+zB2

) daraus folgt: M AB(2+82

∣4+72

∣7+02

) df. M AB(5∣5 ,5∣3 ,5)

3.2 Finden eines Parallelogramm-Eckpunktes

Wir lösen folgendes Problem diesmal speziell, da eine allgemeine Lösung unpraktisch ist (zu viele Varianten!)

Aufgabe 2)Gegeben ist ein Dreieck ABC in der Ebene mit folgenden Eckpunkten A(2 | -1) , B(4 | 5), C(-2 | 6).Es ist ein Punkt D zu finden, so dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

Schaut Euch erst den Lösungsweg auf Seite 6 an – danach hier weiter lesen!!------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Die Aufgabe 2) ist aber auch wandelbar. Sie könnte auch lauten:

Es ist ein Punkt D zu finden, so dass das Viereck ABDC ein Parallelogramm ist.Oder:Es ist ein Punkt D zu finden, so dass das Viereck ADBC ein Parallelogramm ist.

Übung 2)Fertigt passende Skizzen an und ermittelt die Koordinaten dieser Punkte D.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Aufgabe 2 lässt sich übrigens ganz genau so auch beiDreiecken im Raum lösen. Allerdings ist die grafischeDarstellung im Koordinatensystem nicht mehr so einfach undeigentlich auch gar nicht notwendig. Man skizziert sich einfachein Dreieck völlig freischwebend im dreidimensionalenKoordinatensystem ohne Skalierung (siehe Abb. rechts, hier maldas Parallelogramm ABDC). Das Ergebnisbild desParallelogramms sieht ja genau so aus wie das in der Ebene.Lediglich beim Rechnen muss man die dritte Koordinate zsozusagen „mitschleppen“, d.h. bei unserer Spaltenschreibweisekommt einfach eine dritte Zeile hinzu.

Übung 3)Gegeben ist ein Dreieck ABC im Raum mit folgenden Eckpunkten A(8 | 4 | 2) , B(6 | 10 | 0), C(6 | 8 | 8).Es ist ein Punkt D zu finden, so dass das Viereck ABDC ein Parallelogramm ist.



Hier die Lösung von Aufgabe 2) zum Parallelogrammpunkt.

Und jetzt erst mal zurück auf Seite 5...



3.3 Finden eines Dreieck-Schwerpunktes

Wir lösen folgendes Problem wieder allgemein!

Aufgabe 3)Gegeben ist ein Dreieck ABC in der Ebene mit folgenden Eckpunkten A(2 | 5) , B(-3 | -3), C(5 | -1).Es ist der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC zu ermitteln. Hinweis: Der Schwerpunkt S ist der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden im Dreieck. Der Schwerpunkt S teilt dabei eine Seitenhalbierende im Verhältnis 1:2.

Damit erhalten wir wieder einmal eine allgemeine Lösung für den Schwerpunkt eines Dreiecks und müssen nur in diese „Endformel“ die Koordinaten der Eckpunkte einsetzen. Wir schauen uns das gleich amBeispiel auf Seite 8 an. Für Dreiecke im Raum gilt: „Schleppe“ die dritte Koordinate z einfach mit.



Und nun noch zwei Zahlenbeispiele, das erste Beispiel gehört zur Skizze auf Seite 7:

a) geg.: Dreieck ABC in der Ebene, A(2 | 5), B(-3 | -3), C(5 | -1)ges.: Schwerpunkt SABC

Lös.: S ABC (x A+xB+ xC

3∣y A+ yB+ yC

3)

daraus folgt: S ABC (2+(−3)+5

3∣5+(−3)+(−1)

3)

daraus folgt S ABC (43∣13)

(stimmt recht gut mit Zeichnung überein !)

b) geg.: Dreieck ABC im Raum, A(2 | 5 | 4), B(-3 | -3| 1), C(5 | -1| 2)ges.: Schwerpunkt SABC

Lös.: S ABC (x A+xB+ xC

3∣y A+ yB+ yC

3∣zA+zB+zC

3)

daraus folgt S ABC (2+(−3)+5

3∣5+(−3)+(−1)

3∣4+1+2

3)

daraus folgt S ABC (43∣13∣73)

(diese Lösung ließe sich nur mit größer Mühe aus einer Zeichnung ablesen)

Übung 4)Gegeben ist ein Tetraeder ABCD im Raum mit folgenden Eckpunkten A(8 | 4 | 2) , B(6 | 10 | 0),C(-2 | 10 | 0) und D(6 | 8 | 8).Es sind nachfolgende Punkte zu berechnen. Nutzt dabei die allgemeinen Formeln.

a) Kantenmittelpunkte MAD, MBD, MCD

b) Dreiecksschwerpunkte SABC, SABD, SBCD, SACD

c) Tetraederraumschwerpunkt TABCD (Formel in der Literatur / Internet suchen)

HA LB S. 118 Nr 6a, 7, 10, 12a


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