KOMBINATORIKA

PERMUTACIJE, VARIJACIJE, KOMBINACIJE;

Broj permutacija n-clanog skupa

Pn = n!

Broj permutacija iz skupa koji ima k klasa elemenata i ton1 elemenata 1. klase,n2 elemenata 2. klase,....nk elemenata k-te klasei vrijedi (n1 + n2 + ... + nk = n) je

Pn(n1, n2, ..., nk) =n!

n1!n2! · · ·nk!

1

Broj varijacija k-tog razreda od n elemenata

V kn = n ∗ (n− 1) · ...(n− k + 1) =

n!(n− k)!

Broj varijacija s ponavljanjem k-tog razreda od nelemenata

Vk

n = nk

2

Broj kombinacija k-tog razreda od n elemenata

Ckn =

V kn

k!=

n!(n− k)! · k!

=(

n

k

)

Broj kombinacija s ponavljanjem k-tog razreda odn elemenata

Ck

n =(

n + k − 1k

)

3

1. Zadan je skup S = {a, e, i, o, u}, broj elemenatau skupu S je |S| = n = 5

Napisite sve

(a) permutacije

(b) varijacije bez ponavljanja k=2 reda

(c) varijacije s ponavljanjem k=2 reda

(d) kombinacije bez ponavljanja k=2 reda

(e) kombinacije s ponavljanjem 2 reda.

4

Rjesenje:

(a) P5 = 5!

(b) V 25 = 5 ∗ 4 = 5!

(5−2)! = 20

(c) V2

5 = 52 = 25

(d) C25 =

(52

)= 5!

(5−2)!·2! = 10

(e) C2

5 =(5+2−1

2

)=

(62

)= 15

5

2. Koliko plesnih parova mozemo formirati od 8djevojaka s 8 djecaka?

3. Na koliko nacina mozete 8 poslova raspodijelitina 8 radnika tako da svaki radnik radi po 1 posao?

Rjesenje:

P8 = 8! = 40320

6

4. U kutiji su 2 bijele, 3 zelene i 4 crvene kuglice.Izvlacimo jednu po jednu kuglicu i stavljamo je uniz.

Koliko ima razlicitih uzoraka od 2 bijele, 3 zelenei 4 crvene kuglice poredane u niz.

Rjesenje:

Bbroj nizova je Pn(n1, n2, n3) = 1260

7

IZBOR BEZ VRACANJA

IZBOR:

r-cl. uzoraka iz n-cl. skupa razlicitih elemenata

nije vazan poredak C(r)n

vazan poredak V(r)n

8

IZBOR BEZ VRACANJA

1.( poredak nije bitan)

U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice bez vracanja ako poredakizabranih kuglica nije bitan?

Rjesenje:

n = 5, r = 3

C(r)n = C

(3)5 =

(53

)== 10.

9

IZBOR BEZ VRACANJA

2. (poredak bitan)

U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice bez vracanja ako je poredakizabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?

Rjesenje:

n=5, r=3

V(r)n = V

(3)5 = 5!

(5−3)! = 5·4·3·2·11·2 = 60.

10

IZBOR S VRACANJEM

IZBOR:

r-cl. uzorka iz n-cl. skupa razlicitih elemenata

nije vazan poredak C(r)

n

vazan poredak V(r)

n

11

IZBOR S VRACANJEM 1. (poredak nijebitan)

U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice s vracanjem ako poredakizabranih kuglica nije bitan?

Rjesenje:

n=5, r=3

C(r)

n = C(3)

5 =(5+3−1

3

)=

(73

)= 7·6·5

1·2·3 = 35.

12

IZBOR S VRACANJEM

2.(poredak bitan)

U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko imaizbora 3 kuglice s vracanjem ako je poredakizabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?

Rjesenje:

n=5, r=3

V(r)

n = V(3)

5 = 53 = 125.

13

RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet)

RAZDIOBE:

r predmeta u n razlicitih kutija

jednakih predmeta C(r)n

razlicitih predmeta V(r)n

14

RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet) 1. (jednaki predmeti)

U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko nacinamozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitih kutija akoje dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo najvise 1predmet?

Rjesenje:

n = 5, r = 3,

C(r)n = C

(3)5 =

(53

)== 10.

15

2. Na koliko se nacina, izmedu 10 djece, mozepodijeliti sest jednakih poklona ako svako dijetetreba dobiti najvise jedan poklon.

Rjesenje:

Ako imena djece napisemo na ceduljice i svakompoklonu pridruzimo jednu ceduljicu svakaraspodjela poklona je kombinacija r=6 tog razredaod n=10 elemenata (jer su pokloni jednaki).

n = 10, r = 6

C(r)n = C

(6)10 = 210.

16

RAZDIOBE (u svaku kutiju najvise 1predmet)

1. (razliciti predmeti)

U kutiji su 3 loptica ralicite boje. Na kolikonacina mozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitihkutija ako je dozvoljeno da u svaku kutijustavimo najvise 1 predmet?

Rjesenje:

n = 5, r = 3,

V(r)n = V

(3)5 = 5!

(5−3)! = 5·4·3·2·11·2 = 60.

17

2. Na koliko se nacina, izmedu 10 djece, mozepodijeliti sest razlicitih poklona ako svako dijetetreba dobiti najvise jedan poklon.

Rjesenje:

Ako imena djece napisemo na ceduljice i svakompoklonu pridruzimo jednu ceduljicu svakaraspodjela poklona je varijacija r=6 tog razredaod n=10 elemenata (jer su pokloni razliciti).

n = 10, r = 6

V(r)n = V

(6)10 = 151200.

18

RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta)

RAZDIOBE:

r predmeta u n razlicitih kutija

jednakih predmeta C(r)

n

razlicitih predmeta V(r)

n

19

RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta) 1. (jednaki predmeti)

U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko nacinamozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitih kutija akoje dozvoljeno da u svaku kutiju stavimoproizvoljan broj predmeta?

Rjesenje:

n = 5, r = 3,

C(r)

n = C(3)

5 =(5+3−1

3

)=

(73

)= 7·6·5

1·2·3 = 35.

20

2. Na skladistu su vrece s dvije razlicite vrstecementa. Na koliko se nacina moze naruciti 5vreca cementa?

Rjesenje:

Narudzba 5 vreca cementa od dvije vrste jerazdioba jednakih predmeta s r=5 i n=2. Brojnarudbi je

C(r)

n = C(5)

2 =(5+2−1

5

)=

(65

)= 6.

21

RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljnopredmeta) 1. (razliciti predmeti)

U kutiji su 3 loptica ralicite boje. Na kolikonacina mozemo razdijeliti loptice u 5 razlicitihkutija ako je dozvoljeno da u svaku kutijustavimo proizvoljan broj predmeta?

Rjesenje: n = 5, r = 3,

V(r)

n = V(3)

5 = 53 = 125.

22

2. Na skladistu su vrece s dvije razlicite vrstecementa. Dolazi 5 kupaca i narucuje vrececementa.Na koliko nacina 5 osoba moze naruiti po jednuvrecu cementa ?

Rjesenje:

Narudzba za 5 osoba po jednu vrecu cementa jerazdioba razlicitih predmeta r=5 i u n=2 kutije.

V(r)

n = V(5)

2 = 25 = 32.

23

UZORAK

UZORCI:

velicine r = r1 + r2 + .. + rk iz n = n1 + n2 + .. + nk-cl. skupa

bez vracanja C(r1)n1 · C(r2)

n2 · ·C(rk)nk

s vracanjem P r(r1, r2, ..., rk) · (n1)r1(n2)r2 · ... · (nk)rk

s vracanjem n À r P r(r1, r2, ..., rk)

24

UZORAK S VRACANJEM

1. Bacamo novcic 6 puta. Na koliko razlicitihnacina moze pasti na 4 puta pismo i 2 puta glava?

Rjesenje:

To je eksperiment koji ponavljamo 6 puta n = 6.

Rezultat eksperimenta moze biti pismo ili glava.U uzorku n1 = 4 i n2 = 2. Broj razlicitih nizovaeksperimenata je broj uzoraka s vracanjemP 6(4, 2) = 6!/(4! · 2!) = 15.

25

UZORAK BEZ VRACANJA

1. Ako zelimo ispitati kvalitetu 10 proizvoda odkojih je 4 prve klase i 3 druge klase i 3 trece klase.Uzimamo uzorak od tri proizvoda. Koliko uzorakaima u kojima a) su 3 proizvoda 1. klase

b) su 2 proizvoda 1. klase

c) ima barem dva proizvoda 1. klase?

26

Rjesenje:

a) Osnovni skup ima n=10, n1 = 4, n2 = 3 n3 = 3Uzorak ima r = 3 proizvoda, od kojihr1 = 3, r2 = 0 r3 = 0 Broj uzoraka koji imaju 3proizvoda 1. klase

C34 · C0

3 · C03 = 4

b) r1 = 2, r2 = 1 r3 = 0 ilir1 = 2, r2 = 0 r3 = 1 Broj uzoraka koji imaju j2proizvoda 1. klase

C24 · C1

3 · C03 + C2

4 · C03 · C1

3 .

18 + 18 = 36

c) Broj uzoraka koji imaju barem dva proizvoda1. klase :

a)+b)=4+36=40.

27