Zadanie 1

a)Podaj 3 zdania, które są równoważne logicznie ze zdaniem ZZ: Jeśli pada deszcz, to na dworze jest mokro.

b) Podaj 2 zdania, które wynikają logicznie ze zdania Z, ale nie są równoważne logicznie ze zdaniem Z.Z: Norma prawna jest zakazująca wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest dozwalająca.

c) Podaj 3 zdania,z których wynika logicznie zdanie Z i nie jest z nimi równoważne logicznie. Z: Nieprawda, że pojęcie normy prawnej jest tym samym, co pojęcie przepisu prawnego.

d) Podaj 2 zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (które nie są zdaniem Z)Z: Jeżeli Kasia jest starsza od Ani, to jeśli Kasia jest znajomą Ani, to Ania nie jest starsza od wszystkich swoich znajomych.

e) Zaprzecz na trzy sposoby zdaniu Z, gdy:Z: Paweł dopuścił się czynu przestępczego, ale nie udowodnią mu winy.

f) Zaprzecz na trzy sposoby zdaniu Z, gdy:Z: Nieprawda, że pójdę do kina lub do teatru.

g) Zaprzecz na trzy sposoby zdaniu Z, gdy:Z: Jeśli dany podział nie jest podziałem logicznym, to zarówno spełnia warunek zupełności jak i warunek rozłączności.

Poprawność wyboru zdań w każdym z podpunktów a)-g) należy uzasadnić.

Zadanie 2Podaj cztery lub pięć przykładów nazw, które mają jednocześnie następujące własności:a) są ogólne, generalne, prosteb) są jednostkowe, generalne, złożonec) są abstrakcyjne, ogólned) są abstrakcyjne, jednostkowe, nieostree) są abstrakcyjne, jednostkowef) są puste, konkretne, niezbioroweg) są abstrakcyjne, generalne, ogólneh) są ogólne, zbiorowe, i) są indywidualne, puste, proste Uzasadnij.

Zadanie 3Proszę scharakteryzować ze względu na wszystkie poznane podziały podane niżej nazwy. Posiadanie podanych przez siebie własności danej nazwy należy uzasadnić.

(a)zbiór wszystkich liczb parzystych(b)czerwień (c)czerwona rzecz(d)Lasek Bielański(e)najgłębsze jezioro w Polsce(f)5

1

(g)maratończyk(h)najszybszy biegacz świata(i)bieg finałowy mężczyzn na 100 metrów podczas ostatniej olimpiady(j)stan zagrożenia

Zadanie 4Zaprzecz każdemu ze zdań z podpunktów a)-e) na trzy sposoby. Odpowiedzi należy uzasadnić.

a)Z: Nieprawda, że niektóre ptaki potrafią latać.b)Z: Każdy Amerykanin lubi jeść.c)Z: Niektóre nazwy wyraźne nie są ostre.d)Z: Niektóre ssaki są bezkręgowcami.e)Z: Tylko ssaki nie są bezkręgowcami.

f)Wykaż (opierając się na prawie De Morgana oraz prawach rachunku nazw), że zaprzeczeniem zdania Z jest zdanie Z', gdy:

Z: Każdy przestępca jest izolowany od społeczeństwa lub żaden przestępca nie jest izolowany od społeczeństwa.Z': Tylko niektórzy przestępcy są izolowani od społeczeństwa.

g)Z: Każdy prawnik jest sędzią.h)Z: Żadna osoba z wyższym wykształceniem nie ma kierowniczego stanowiska.i) Z: Tylko przestępcy są izolowani od społeczeństwa.j) Z: Nieprawda, że tylko niektórzy prawnicy są politykami.k) Z: Tylko czyny nakazane nie są czynami zakazanymi.l) Z: Niektóre normy prawne nie są zawarte w jednym przepisie prawnym.

Zadanie 5Proszę odpowiedzieć na pytanie (i uzasadnić), czy prawem logicznym jest wyrażenie:f)SiPPiS, b) SoPPoS, c) SaP(SeP), d) SaP nPanS, e) SeP SonP

f)SoP nPonS, g)SiPnPinS, h)TylkoSiPSoP, i)SoPTylkoSiPj)(SaPSeP), k)SoP(PiS)

Zadanie 6a) Podaj jedno zdanie równoważne logicznie ze zdaniem Z (i jednocześnie nie będące tym zdaniem). Z: Nieprawda, że każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym.

b) Podaj dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z, ale nie równoważne logicznie z tym zdaniem.Z: Tylko niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji.

c) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (nie będące tym zdaniem) i dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Z: Tylko owady są motylami.

d) Na podstawie kwadratu logicznego podaj zdanie przeciwne do zdania Z (nie będące sprzecznym ze zdaniem Z) oraz zdanie sprzeczne ze zdaniem Z.. Z: Żaden człowiek nie jest blondynem.

e) Podaj zdanie podprzeciwne do zdania Z.

2

Z: Nieprawda, że żaden człowiek nie jest uczciwy.

f) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z.Z: Tylko czyny dozwolone nie są czynami zakazanymi.

g) Podaj trzy zdania prawdziwe, z których wynika logicznie zdanie Z. Z: Niektórzy żołnierze są inżynierami

Rozwiązania

Zadanie 1a) p- pada deszcz, q- na dworze jest mokroSch Z: p qSch Z1: q pZ1: Jeśli na dworze nie jest mokro, to nie pada deszcz.Uzasadnienie:Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z1 Z.Należy zatem uzasadnić to, że prawem logicznym jest wyrażenie: (q p) (p q). Podane wyrażenie jest prawem logicznym, ze względu na prawo transpozycji:(p q) (q p) oraz fakt przemienności spójnika równoważności.

Sch Z2: q pZ2: Na dworze jest mokro lub nie pada deszcz.Uzasadnienie:Weźmy pod uwagę prawo wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (p q) (p q). Stosując do niego podstawienia: p/q, q/p otrzymujemy zatem jako prawo logiczne wyrażenie: (q p) (q p). Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, ale skoro Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z, zatem Z2 jest również równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Sch Z3: (p q)Z3: Nieprawda, że zarazem pada deszcz i na dworze nie jest mokro. Uzasadnienie:Wykażemy w tabelce, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia postaci: Z3 Z.

p q pq q pq pq) pq) pq)0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 11 1 1 0 0 1 1Zdanie Z3 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z.

b) p- norma prawna jest zakazująca, q- norma prawna jest dozwalająca.Sch Z: p qSch Z1: p q

3

Z1: Jeśli norma prawna jest zakazująca, to nie jest dozwalająca.

Uzasadnienie:Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z Z1, i jednocześnie nie jest prawem logicznym schemat wyrażenia postaci: Z1 Z.

Wykazanie metodą nie-wprost: (p q) (p q) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 Do sprawdzenia było wartościowanie: v(p)=1, v(q)=1. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem o fałszywości całości, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym. W związku z tym zdanie Z1 wynika logicznie ze zdania Z.

(p q) (p q) 0 0 0 0 0 1 0 1 lub 1 1 1 0 0Z założenia o fałszywości następnika głównej implikacji mamy do sprawdzenia wartościowania: 1) v(p)=0, v(q)=0, 2) v(p)=1, v(q)=1. Dla pierwszego z podanych wartościowań całość jest fałszywa, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa nie jest tautologią. Ze zdania Z1 nie wynika logicznie zdanie Z.

Sch Z: p qSch Z2: q p Z2: Jeśli norma prawna nie jest dozwalająca, to jest zakazująca.

Sprawdzenie w tabelce:

p q q pq qp (pq)(qp) (pq)(qp)0 0 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0Zgodnie z przedostatnią kolumną tabelki ze zdania Z wynika logicznie zdanie Z2, a zgodnie z ostatnią kolumną tabeli zdania te nie są wzajemnie równoważne logicznie.

.

g)p- pojęcie normy prawnej jest tym samym, co pojęcie przepisu prawnego.q- pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamianer- znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne

4

s- na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnychSch Z: pSch Z1: p qSch Z2: p rSch Z3: s (sp)

Zdanie Z1: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamiane.

Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat implikacji: Z1 Z, i że schemat implikacji: Z Z1 nie jest prawem logicznym.Na podstawie jednego z praw pochłaniania dla koniunkcji: (p q) p, wnioskujemy, że prawem logicznym jest wyrażenie implikacyjne: (p q) p (otrzymujemy je z podanego prawa pochłaniania po podstawieniu: p/p). Z kolei implikacja odwrotna, czyli wyrażenie: p (p q), nie jest prawem logicznym, ponieważ dla v(p)=0 i v(q) = 0 z podanej funkcji zdaniowej otrzymamy zdanie fałszywe ( 0 (0 0) = 1 (1 0) = 1 0 = 0 ).

Z2: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne.

Funkcję zdaniową: (p r) p, otrzymujemy jak poprzednio z prawa pochłaniania dla koniunkcji: (p q) p, tym razem po podstawieniach: p/ p, q/r. Jest ona zatem prawem logicznym. Implikacja w drugą stronę, czyli p (p r), nie jest prawem logicznym. Dla v(p)=0 , v(r)=0 otrzymujemy bowiem: 0 (0 0) = 1 (1 0) = 1 0 = 0.

Z3: Na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnych a jeśli na jedną normę prawną może się składać pare przepisów prawnych, to pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego.Sprawdzenie metodą nie-wprost:[s (sp)] p 1 1 1 1 1 1 0 0 1 10 0 10 0 0 1Sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym, a więc ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.p ssp) 0 0 0 01 0 0 11 0 11 0 0Powyższa funkcja zdaniowa nie jest prawem logicznym, zatem ze zdania Z nie wynika logicznie zdanie Z3, a to z kolei prowadzi do wniosku, że zdania Z i Z3 nie są parą zdań równoważnych logicznie.

d) p- Kasia jest starsza od Ani, q- Kasia jest znajomą Ani, r- Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomychSch Z: p (q r)

5

Sch Z1: (p q) rSch Z2: r (p q) Z1: Jeśli Kasia jest starsza od Ani i Kasia jest znajomą Ani, to Ania nie jest starsza od wszystkich swoich znajomych.Należy wykazać, że prawem logicznym jest wyrażenie: [(p q) r] p (q r)]. Wyrażenie to otrzymujemy z prawa eksportacji i importacji: [(p q)r] p (qr)] po zastosowaniu reguły podstawiania: r/ r, zatem rzeczywiście jest prawem logicznym. Z2: Jeśli Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych, to albo Kasia nie jest starsza od Ani albo Kasia nie jest znajomą Ani.

Na podstawie prawa transpozycji: (p q) (q p), prawem logicznym jest również funkcja zdaniowa:[(p q)r] r (p q)], ponieważ otrzymujemy ją z prawa transpozycji po dokonaniu podstawień: p/(p q), q/r. Na podstawie I prawa De Morgana: (p q) (p q) wyrażenie: p q, jest równoważne logicznie z wyrażeniem: (p q). Zatem prawem logicznym jest w konsekwencji wyrażenie: [(p q)r] r(p q)]. Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, a ze względu na równoważność logiczną Z1 z Z, wnioskujemy, że Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z.

e) p- Paweł dopuścił się czynu przestępczego, q- udowodnią Pawłowi winę.Sch Z: p qSch Z1: (p q)Sch Z2: pqSch Z3: p q

Z1:Nieprawda, że zarazem Paweł dopuścił się czynu przestępczego i nie udowodnią mu winyZ2: Jeśli Paweł dopuścił się czynu przestępczego, to udowodnią mu winę.Z3: Paweł nie dopuścił się czynu przestępczego lub udowodnią mu winę.

Uzasadnienia:Z1 otrzymaliśmy przez zanegowanie zdania Z, a negacja zdania jest zawsze jędną z form jego zaprzeczenia.

Jednym z praw wzajemnej definiowalności spójników logicznych jest wyrażenie: (pq) (p q). Skoro lewa strona tego wyrażenia jest schematem zdania Z2, a prawa- schematem negacji zdania Z, więc zgodnie z definicją zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z.

Stosując regułę podstawiania (z podstawieniem: q/q) do pierwszego prawa De Morgana: (p q) (p q), otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie:(p q) (p q), które świadczy o tym, że zdanie Z3 jest zaprzeczeniem zdania Z (ponieważ schemat wyrażenia postaci: Z3 Z, jest prawem logicznym).

f) p- pójdę do kina, q- pójdę do teatru. Sch Z: (p q)Sch Z1: p qSch Z2: (p q)

6

Sch Z3: p q Z1: Pójdę do kina lub pójdę do teatru.Z2: Nieprawda, że ani nie pójdę do kina ani nie pójdę do teatru.Z3: Jeśli nie pójdę do kina, to pójdę do teatru.

Uzasadnienie:Skoro negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia, to zdanie bez negacji jest jedną z form zaprzeczenia zdania zanegowanego. Stąd wiadomo, że Z1 jest właściwym zdaniem.

Na podstawie drugiego prawa De Morgana wiadomo, że zdanie o schemacie: (p q) jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie: p q. Wobec tego zdanie o schemacie: p q (czyli Z1) jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie: (p q) (czyli ze zdaniem Z2). Skoro Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z, to również Z2 jest zaprzeczeniem Z.

Jedno z paw wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (p q) (pq), świadczy o równoważności logicznej zdania Z3 ze zdaniem Z1. Skoro zatem Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z, to również Z2 jest zaprzeczeniem Z. g) p- dany podział jest podziałem logicznym, q- dany podział spełnia warunek zupełności, r- dany podział spełnia warunek rozłączności.Sch Z: p (q r)Sch Z1: [p (q r)]Sch Z2: p (q r)Sch Z3: (q r) p]

Z1: Nieprawda, że jeśli dany podział nie jest podziałem logicznym, to zarówno spełnia warunek zupełności jak i warunek rozłączności. Z2: Dany podział nie jest podziałem logicznym i nieprawda, że zarówno spełnia warunek zupełności jak i warunek rozłączności.Z3: Nieprawda, że jeśli nie jest tak, że zarazem dany podział spełnia warunek zupełności i spełnia warunek rozłączności, to jest podziałem logicznym.

Uzasadnienie:Z1 jest negacją zdania Z, a więc jest formą zaprzeczenia zdania Z.

Zgodnie z definicją wystarczy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia Z2czyli w przypadku tego zadania- wyrażenie: [p (q r)] p (q r)]. To wyrażenie można jednak otrzymać korzystając z prawa negacji implikacji: p q)p q ). Stosując do prawa negacji implikacji podstawienia:p/p, q/( q r) otrzymujemy jako tautologię wyrażenie: p (q r)] [p (q r)], a ze względu na przemienność spójnika równoważności wiadomo, że prawem jest docelowe wyrażenie.

Na podstawie prawa transpozycji: (p q) (q p) wyrażenie:(q r) p jest równoważne logicznie z wyrażeniem: p (q r). Stosując bowiem do prawa transpozycji podstawienia: p/ (q r), q/p otrzymujemy, że prawem logicznym jest:: [(q r) p]p (q r)]. Dalej po zastosowaniu zasady, że jeśli dwa wyrażenia są równoważne logicznie, to ich negacje między sobą wzajemnie też są równoważne logicznie, wnioskujemy, że zdanie Z3 jest równoważne logicznie z negacją zdania Z.

7

Zadanie 2a) krzesło, stół, kot, pies, prawnikKażda z tych nazw jest ogólna, ponieważ ma wiele desygnatów (jest wiele krzeseł, stołów, kotów, psów, prawników). Są to również nazwy generalne, ponieważ użyte są ze względu na cechy wspólne swoich desygnatów. W końcu nazwy te są proste, ponieważ są jednowyrazowe.

b) najwyższa góra świata, najmniejsza liczba naturalna, obecny Sejm RP, obecny prezydent RP, zwycięzca finału męskiego sprintu (biegu na 100 metrów) na ostatniej letniej olimpiadzie

Każda tych nazw jest złożona, ponieważ jest wielowyrazowa. Każda jest generalna, ponieważ nazwy te są nadane ze względu na cechy ich desygnatów. Każda z tych nazw jest też jednostkowa, ponieważ kolejno: istnieje jedna góra świata wyższa od innych (Mount Everest), istnieje najmniejsza liczba naturalna- jest nią liczba 0 (względnie 1, w zależności, czy 0 uznamy za liczbę naturalną, czy nie), obecny Sejm RP jest jeden, obecny prezydent RP jest jeden, i w końcu- była taka osoba i była jedna, która zwyciężyła finał męskiego biegu na ostatniej (jak do tej pory) letniej olimpiadzie.

c)płacz, zmęczenie, smutek, radość, biegNazwa te są ogólne, ponieważ mają wiele desygnatów (istniało i istnieje wiele płaczu, zmęczenia, smutku, radości i wiele biegów). Nazwy płacz i bieg są nazwami zdarzeń, zmęczenie, smutek i radość są nazwami odczuć. Zarówno zdarzenia jak i odczucia nie są obiektami materialnymi, zatem odpowiednie nazwy są abstrakcyjne.

d)nie ma takich nazw, ponieważ nie ma nazw zarazem jednostkowych i nieostrych.Jeśli wiemy, że nazwa jest jednostkowa, to o jej jedynym desygnacie jesteśmy w stanie jednoznacznie orzec (posiadając o nim wystarczającą wiedzę), że jest jej desygnatem. O pozostałych obiektach z kolei powiemy, że nie są desygnatami tej nazwy. Sprowadza się to do wniosku, że o każdym obiekcie jesteśmy w stanie jednoznacznie powiedzieć, czy jest, czy też nie jest desygnatem tej nazwy. Wobec powyższego nazwa jednostkowa jest nazwą ostrą.

e) zbiór wszystkich liczb naturalnych, radość reprezentacji Polski w piłce nożnej z wygranej z Belgami w 2006, smutek osoby ... po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki, zbiór wszystkich liczb parzystych, 1+2

Nazwy odczuć oraz nazwy liczb i zbiorów liczbowych są abstrakcyjne (ponieważ nie są nazwami obiektów materialnych). Nazwa zbiór wszystkich liczb naturalnych jest jednostkowa, ponieważ jest jeden zbiór złożony ze wszystkich liczb naturalnych (analogiczne jest wyjaśnienie dotyczące nazwy zbiór wszystkich liczb parzystych). Nazwą 1+2 oznaczamy jedną liczbę (liczbę 3), nazwa radość reprezentacji Polski w piłce nożnej z wygranej z Belgami w 2006 jest jednostkowa, bo w 2006 roku odbył się jeden zwycięski dla Polski mecz piłki nożnej z Belgami i zwycięstwo to dostarczyło reprezentacji Polski dużo radości. Nazwa smutek osoby ... po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki jest jednostkowa, o ile osoba wpisana w miejsce wielokropka faktycznie się zasmuciła po przeczytaniu treści zadań egzaminacyjnych z logiki (można by uznać, że wtedy smutek był jedyny w swoim rodzaju).

f) krasnoludek, elf, Zeus, nimfa, król Polski po Poniatowskim

8

Są to nazwy puste, ponieważ w rzeczywistym świecie nie mają desygnatów. Są nazwami konkretnymi, ponieważ obiekty przez te nazwy wyobrażamy sobie jako materialne. W końcu nazwy te są niezbiorowe, ponieważ ich desygnaty gdyby istniały byłyby obiektami niepodzielnymi (bez łatwo wyodrębnionych części)

g) płacz, zmęczenie, smutek, radość, bieg Desygnatami pierwszych czterech nazw są odczucia, desygnatami piątej- sytuacje. Desygnaty podanych nazw nie są zatem obiektami materialnymi, zatem nazwy są abstrakcyjne. Wszystkie pięć nazw to nazwy generalne, ponieważ są nadane ze względu na cechy desygnatów. Nazwy te są również ogólne, ponieważ jest wiele płaczu, zmęczenia, smutku, radości i biegów.h) Sejm (rozumiany jako zbiór posłów), las, kodeks karny(rozumiany jako zbiór przepisów), księgozbiór, reprezentacja piłki nożnej. Nazwy te są zbiorowe, ponieważ poszczególne ich desygnaty składają się z części (częściami Sejmu są posłowie, częściami lasu np. drzewa, częściami kodeksu karnego- przepisy, częściami księgozbioru- książki, częściami reprezentacji piłki nożnej- zawodnicy). Podane nazwy są też ogólne, ponieważ nie jest sprecyzowane np. o Sejm jakiego kraju, czy też z jakiego okresu, chodzi. Podobnie jest z nazwą reprezentacja piłki nożnej oraz nazwą kodeks karny (w różnych krajach jest trochę inny). Nazwy las i księgozbiór są ogólne, bo jest wiele lasów i księgozbiorów.

i)Zeus, Posejdon (jako postaci mityczne), Rumcajs, Pegaz itd.Są to nazwy puste, ponieważ w świecie rzeczywistym nie mają desygnatów. Są proste, ponieważ każda z nich składa się z jednego wyrazu. Nazwy te są indywidualne, ponieważ nie są nadane ze względu na cechy desygnatów.

Zadanie 4a) Z: Nieprawda, że niektóre ptaki potrafią latać.

P- ptak, L- zwierzę potrafiące lataćSch Z: PiL)Sch Z1: PiLSch Z2:PeL)Sch Z3:LeP) Z1: Niektóre ptaki potrafią latać.Z2: Nieprawda, że żaden ptak nie potrafi latać.Z3: Nieprawda, że żadne zwierzę potrafiące latać nie jest ptakiem.

Uzasadnienie:Szukamy zdań Z1, Z2, Z3, równoważnych logicznie ze zdaniem Z.

Ponieważ negacja zdania jest jego zaprzeczeniem, to również zdanie bez negacji jest zaprzeczeniem odpowiedniego zanegowanego zdania. Stąd Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z.

Zgodnie ze związkiem sprzeczności wynikającym z kwadratu logicznego prawem logicznym jest wyrażenie: PiLPeL), a skoro zdanie o schemacie: PiL jest zaprzeczeniem zdania Z, to również zdanie o schemacie: PeL) jest zaprzeczeniem zdania Z. Zatem Z2 spełnia warunki zadania.

9

Na podstawie prawa konwersji: PeL LeP wiadomo, że parę zdań równoważnych tworzą zdania o schematach: PeL, LeP. W związku z tym negacje tych zdań też są wzajemnie równoważne logicznie. Skoro zdanie o schemacie:PeL) spełnia warunki zadania, więc zdanie o schemacie LeP) również spełnia warunki zadania. Zdanie Z3 jest zatem zaprzeczeniem zdania Z.

b) Z: Każdy Amerykanin lubi jeść.A- AmerykaninJ- osoba lubiąca jeść.

Sch Z: AaJ

Sch Z1: AaJ)Z1: Nieprawda, że każdy Amerykanin lubi jeść.Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: AoJZ2: Niektórzy Amerykanie nie lubią jeść.Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: AaJ oraz AoJ.

Sch Z3: TylkoJaA)Z3: Nieprawda, że tylko osoby lubiące jeść są Amerykanami.Uzasadnienie: Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoJaA) JaA. Wobec tego TylkoJaA) jest równoważna z AaJ) , zatem jest schematem zaprzeczenia zdania o schemacie AaJ.

c) Z: Niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymiW-nazwa wyraźna, O- nazwa ostraSch Z: WoO

Sch Z1: (WoO)Z1: Nieprawda, że niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymi.Uzasadnienie: Zanegowanie zdania daje jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: WaOZ2: Każda nazwa wyraźna jest nazwą ostrą.Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: WoO oraz WaO.

Sch Z3: TylkoOaWZ3: Tylko nazwy ostre są nazwami wyraźnymi.Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: Tylko O jest W, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: Każde W jest O. Skoro zatem zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, to zdanie Z3 też jest zaprzeczeniem zdania Z.

a)Z: Niektóre ssaki są bezkręgowcami.

1

S-ssak, B- bezkręgowiecSch Z: SiB

Sch Z1: (SiB)Z1: Nieprawda, że niektóre ssaki są bezkręgowcami.Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

Sch Z2: SeBZ2: Żaden ssak nie jest bezkręgowcem.Uzasadnienie: Na podstawie zwiąku sprzeczności podanego w kwadracie logicznym wiadomo, że parę zdań sprzecznych stanowią zdania o schematach: SiB, SeB.

Sch Z3: BeSZ3: Żaden bezkręgowiec nie jest ssakiem.Uzasadnienie: Zdanie Z3 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 na mocy prawa konwersji: BeS SeB. Skoro Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, więc wobec powyższego Z3 jest też zaprzeczeniem zdania Z.

e) Z: Tylko ssaki nie są bezkręgowcami.S- ssak, B- bezkręgowiecSch Z: TylkoSeB

SchZ1: (TylkoSeB)Z1: Nieprawda, że tylko ssaki nie są bezkręgowcami.Uzasadnienie: negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.

SchZ2: (nie-S a B)nie-S – zwierzę nie będące ssakiem (czyli w skrócie: nie-ssak)Z2: Nieprawda, że każde zwierzę nie będące ssakiem jest bezkręgowcem (skrócona wersja: Nieprawda, że każdy nie-ssak jest bezkręgowcem)Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: tylko S nie jest B, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: każdy nie-S jest B. Zatem negacja zdania pierwszego typu jest równoważna logicznie negacji zdania drugiego typu.

Sch Z3: nie-S o BZ3: Niektóre zwierzęta nie będące ssakami nie są bezkręgowcami. (skrócona wersja: Niektóre nie-ssaki nie są bezkręgowcami).Uzasadnienie: Na podstawie kwadratu logicznego (związku sprzeczności) wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: (nie-S o B) (nie-S a B). Prawa strona tej równoważności jest schematem zaprzeczenia zdania Z, zatem lewa strona również.

f) Wykaż, że zaprzeczeniem zdania Z jest zdanie Z', gdy:Z: Każdy przestępca jest izolowany od społeczeństwa lub żaden przestępca nie jest izolowany od społeczeństwa.Z': Tylko niektórzy przestępcy są izolowani od społeczeństwa.

S- przestępca, P- osoba izolowana od społeczeństwa.Sch Z: SaP SeP

1

Sch Z': SiP SoP

Wystarczy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z' Z, czyli w tym wypadku funkcja zdaniowa: (SiP SoP) SaP SeP).Stosując do II prawa De Morgana: (p q) p q ), następujące podstawienia:p/SaP, q/SeP, otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie: (SaP SeP) SaP) (SeP)]. Na podstawie kwadratu logicznego- związku sprzeczności- prawami logicznymi są też wyrażenia: SiP SeP), SoP SaP). W każdej funkcji zdaniowej można zamiast jego dowolnej części wstawić wyrażenie równoważne logicznie z tą częścią i to co otrzymamy będzie równoważne logicznie z wyjściową funkcją zdaniową. Zatem w szczególności zastępując SaP) przez SoP, a SeP) przez SiP otrzymujemy z wyrażenia: SaP) (SeP) funkcję zdaniową: SoP SiP.

Wnioskujemy zatem, że prawem logicznym jest wyrażenie: SaP SeP) (SoP SiP). Z kolei prawa strona tego wyrażenia jest równoważna logicznie (na mocy przemienności koniunkcji) z koniunkcją: (SiP SoP). Zatem prawem logicznym jest funkcja zdaniowa: (SiP SoP) SaP SeP).

Ad g) Z1: Nieprawda, że każdy prawnik jest sędzią. Z2: Nieprawda, że tylko sędziowie są prawnikami. Z3: Niektórzy prawnicy nie są sędziami.Ad h) Z1: Nieprawda, że żadna osoba z wyższym wykształceniem nie ma kierowniczego stanowiska. Z2: Nieprawda, że żadna osoba będąca na kierowniczym stanowisku nie ma wyższego wykształcenia. Z3: Niektóre osoby z wyższym wykształceniem mają kierownicze stanowiska. Z4: Niektóre osoby będące na kierowniczym stanowisku mają wyższe wykształcenie.Ad i) Z1: Nieprawda, że tylko przestępcy są izolowani od społeczeństwa. Z2: Nieprawda, że każdy izolowany od społeczeństwa jest przestępcą. Z3: Niektórzy izolowani od społeczeństwa nie są przestępcami. Ad j) Z1: Tylko niektórzy prawnicy są politykami. Z2: Tylko niektórzy prawnicy nie są politykami. Z3: Niektórzy prawnicy są politykami i niektórzy prawnicy nie są politykami. Z4: Niektórzy prawnicy nie są politykami i niektórzy prawnicy są politykami. Z5: Nieprawda, że jeśli niektórzy prawnicy są politykami, to nie jest tak, że niektórzy prawnicy nie są politykami. Ad k) Z1: Nieprawda, że tylko czyny nakazane nie są czynami zakazanymi. Z2: Nieprawda, że każdy czyn nie-nakazany jest czynem zakazanym. Z3: Niektóre czyny nie-nakazane nie są czynami zakazanymi. Ad l) Z1: Nieprawda, że niektóre normy prawne nie są zawarte w jednym przepisie prawnym. Z2: Każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym. Z3: Tylko to co jest zawarte w jednym przepisie prawnym jest normą prawną.

Zadanie 5Proszę odpowiedzieć na pytanie (i uzasadnić), czy prawem logicznym jest wyrażenie:a)SiPPiS, b) SoPPoS, c) SaP(SeP), d) SaP nPanS, e) SeP SonP

f)SoP nPonS, g)SiPnPinS, h)TylkoSiPSoP, i)SoPTylkoSiP

1

j)(SaPSeP), k)SoP(PiS)

Odpowiedzi:a)jest prawem logicznym (jest to jedno z praw konwersji)b)to nie jest prawo logiczne. Niech bowiem S-adwokat, P- prawnik. Wówczas zdanie o schemacie: SoP (niektórzy adwokaci nie są prawnikami) jest fałszywe, a zdanie o schemacie: PoS (niektórzy prawnicy nie są adwokatami) prawdziwe. Zatem sprawdzana równoważność ma wartość: 01=0.c)Jest to jedno z praw mówiące o związku przeciwności między zdaniami postaci: SaP, SePd)Podana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym. Jednym z praw kontrapozycji jest wyrażenie: SaP nPanS, a skoro wyrażenie o postaci równoważności jest prawem logicznym, to implikacje w każdą ze stron również są prawami logicznymi (wynika to z reguł opuszczania równoważności). W szczególności, prawem logicznym jest implikacja: SaPnPanS.e) Na podstawie jednego z praw obwersji wiadomo, że zdanie o schemacie SonP jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie SiP. Zatem sprawdzenie, czy prawem logicznym jest funkcja zdaniowa: SePSonP, można sprowadzić do sprawdzenia czy prawem logicznym jest wyrażenie: SePSiP. Biorąc jednak pod uwagę przypadek nazw wykluczających się wzajemnie otrzymujemy, że jeśli v(SeP)=1, to v(SiP)=0. Zatem w tym przypadku: v(SePSonP) = v(SePSiP) = 10 = 0. Wniosek: wyjściowe wyrażenie nie jest prawem logicznym.f)Analogicznie do podpunktu d)g)Niech S- osoba pełnoletnia (w rozumieniu na gruncie prawa), P- osoba która nie ukończyła 18 lat. Jeśli U-zbiór wszystkich ludzi, to nie-S- osoba niepełnoletnia, a nie-P- osoba, która ukończyła 18 lat. Wówczas:

SiP- pewne osoby pełnoletnie są osobami, które nie ukończyły 18 lat.Zdanie to jest prawdziwe.nie-P i nie-S Pewne osoby, które ukończyły 18 lat są osobami niepełnoletnimi.Zdanie to jest fałszywe. Implikacja: SiP nie-P i nie-S również jest w tym przypadku fałszywa, zatem: SiP nie-P i nie-S , nie jest prawem logicznym.

a) Podaj jedno zdanie równoważne logicznie ze zdaniem Z (i jednocześnie nie będące tym zdaniem). Z: Nieprawda, że każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym.

Zadanie 6S- norma prawna, P-to co jest zawarte w jednym przepisie prawnymSch Z: (SaP)Sch Z1: SoPZ1: Niektóre normy prawne nie są zawarte w jednym przepisie prawnym.Uzasadnienie: wynika to ze związku sprzeczności podanym w kwadracie logicznym. Zgodnie z tym związkiem zdanie o schemacie: SoP, jest zaprzeczeniem zdania o schemacie: SaP. Zgodnie z definicją zaprzeczenia SoP jest zatem równoważne logicznie z (SaP).

b) Podaj dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z, ale nie równoważne logicznie z tym zdaniem.Z: Tylko niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji.

Rozwiązanie:C- człowiek, Z- osoba znająca warunki poprawności dedukcji.Sch Z: TylkoCoZ

1

Sch Z1: CoZ Z1: Niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji

Sch Z2: CiZZ2: Niektórzy ludzie znają warunki poprawności dedukcji

Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu TylkoCoZ jest równoważne logicznie z koniunkcją: CoZ CiZ. Stosując podstawienia: p/CoZ, q/CiZ do praw pochłaniania dla koniunkcji ((p q) p oraz (p q) q ). Wnioskujemy, że prawami logicznymi są implikacje: (CoZ CiZ) CoZ oraz (CoZ CiZ) CiZ. Zdania Z2 i Z3 wynikają więc logicznie ze zdania Z.

c) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (nie będące tym zdaniem) i dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Z: Tylko owady są motylami Rozwiązanie:O-owad, M-motylSch Z: TylkoOaM

Zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z:Z1:Każdy motyl jest owadem.Z2:Nieprawda, że niektóre motyle nie są owadami.

Uzasadnienie:Sch Z1: MaOSch Z2: (MoO)Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoOaM) MaO. Zatem zgodnie z definicją równoważności logicznej zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z. Z kolei zgodnie ze związkiem sprzeczności na podstawie kwadratu logicznego wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: MaO (MoO). Zatem zdanie Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z1, czyli również ze zdaniem Z.

Zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z:Z3: Istnieją motyle będące owadamiZ4: Istnieją owady będące motylami.Uzasadnienie:Sch Z3: MiOSch Z4: OiM

Uzasadnienie:Jedno z praw kwadratu logicznego mówiące o związku podporządkowania: MaO MiO. Zatem zdanie Z3 wynika logicznie ze zdania Z1 i nie jest z nim równoważne logicznie. Z kolei na podstawie prawa konwersji ograniczonej: MaO OiM, wiadomo, że zdanie Z4 wynika logicznie ze zdania Z1 nie będąc z nim równoważnym logicznie. Z kolei ze względu na to, że Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z wnioskujemy, że zdania Z3 i Z4 spełniają warunki zadania.

1

d) Na podstawie kwadratu logicznego podaj zdanie przeciwne do zdania Z (nie będące sprzecznym ze zdaniem Z) oraz zdanie sprzeczne ze zdaniem Z.. Z: Żaden człowiek nie jest blondynem Rozwiązanie: Na podstawie kwadratu logicznego parę dań przeciwnych tworzą zdania o schematach: SaP, SeP. Jeśli zatem S-człowiek, P- blondyn, to zdanie Z ma schemat: SeP. Zdaniem przeciwnym z wyjściowym jest więcZ1: Każdy człowiek jest blondynemSch Z1: SaP

Na podstawie kwadratu logicznego w związku sprzeczności są zdania o schematach: SeP, SiP. Zatem zdaniem sprzecznym z wyjściowym jest Z2:Niektórzy ludzie są blondynami (SchZ2: SiP).

e) Podaj zdanie podprzeciwne do zdania Z.Z: Nieprawda, że żaden człowiek nie jest uczciwy.

Rozwiązanie:C-człowiek, U-uczciwySch Z: (CeU)Zgodnie z jednym praw kwadratu logicznego mówiących o związku sprzeczności ( CiU (CeU)) zdaniem równoważnym logicznie ze zdaniem Z jest zdanie o schemacie: CiU. Z kwadratu logicznego wiadomo też, że parę zdań podprzeciwnych tworzą zdania o schematach: CiU oraz CoU. Zdaniem podprzeciwnym względem Z jest zatem zdanie o schemacie: CoU.Z1: Niektórzy ludzie nie są uczciwi. f) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z.Z: Tylko czyny dozwolone nie są czynami zakazanymi.

Rozwiązanie: Z1: Każdy czyn niedozwolony jest czynem zakazanym. Z2: Nieprawda, że niektóre czyny niedozwolone nie są czynami zakazanymi.

Uzasadnienie:D-czyn dozwolony, Z-czyn zakazany.Sch Z: TylkoDeZSch Z1: nie-D a ZSch Z2: (nie-D o Z)

Zgodnie z prawami kwadratu logicznego parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: nie-D o Z, nie-D a Z. Związek ten wyraża się między innymi następującym prawem logicznym: (nie-D a Z) (nie-D o Z). Zatem zdania Z1 i Z2 są wzajemnie równoważne logicznie. Wystarczy zatem wykazać, że jedno z nich jest też równoważne logicznie ze zdaniem Z (automatycznie wtedy wychodzi, że to drugie zdanie jest równoważne logicznie ze zdaniem Z). Weźmy pod uwagę zdanie Z1. Jest ono równoważne logicznie ze zdaniem Z na mocy definicji: TylkoDeZ (nie-D a Z)

g) Podaj trzy zdania prawdziwe, z których wynika logicznie zdanie Z.

1

Z: Niektórzy żołnierze są inżynierami

Rozwiązanie: Z1: Tylko niektórzy żołnierze są inżynierami Z2: Tylko niektórzy żołnierze nie są inżynierami. Z3: Niektórzy inżynierowie są żołnierzamiUzasadnienie:Zdania te są prawdziwe, ponieważ to co one głoszą jest zgodne z opisywanym przez nie kawałkiem rzeczywistości. Wystarczy wykazać, że z każdego z tych zdań wynika logicznie zdanie Z.Niech Ż- żołnierz, I- inżynier.Sch Z: ŻiISch Z1: TylkoŻiISch Z2: Tylko ŻoISch Z3: IiŻ

Należy wykazać, że prawami logicznymi są schematy następujących implikacji: Z1 Z, Z2 Z, Z3 Z, czyli kolejno:

c)(TylkoŻiI) ŻiIci)(TylkoŻoI) ŻiI cii)IiŻ ŻiI.

Implikacje 1) i 2) można uzasadnić podobnie jak w podpunkcie b) tego zadania. Jeśli chodzi o implikację 3) zauważmy, że na mocy jednego z praw konwersji nieograniczonej: IiŻ ŻiI, zdanie o schemacie IiŻ jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie ŻiI. Ponieważ jednak równoważność logiczne to nic innego jak wynikanie logiczne w obydwie strony, wnioskujemy, że ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.

1