wyklad z logiki 9 (1)

7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)

1/37

Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa

1

WYKAD 9

klasyczny rachunek nazw

relacje


2/37


2

[email protected]

Katedra Logiki i Metodologii NaukInstytut Filozofii

Uniwersytet dzki

ul. Kopciskiego 16/18, I pitro, pok.13tel. 635-61-34dyur: poniedziaki, godz. 1200-1300

[w razie potrzeby dyur bdzie duszy]


3/37


3

Ludwik Borkowski,Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154

(cienka ksika)


4/37


4

Rachunek nazw(Arystoteles)

Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w ktrym wystpujdwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) poczone funktorem zdaniotwrczym jest.

Wyrniamy cztery typy zdakategorycznych:

1. zdanie oglno-twierdzce

Kade SjestP

(SaP

)2. zdanie oglno-przeczce adne S nie jestP (SeP)3. zdanie szczegowo-twierdzce Niektre SsP (SiP)4. zdanie szczegowo-przeczce Niektre Snie sP (SoP)

S-subiectum(podmiot) SaP, SiP-affirmo(twierdz)P-praedicatum(orzecznik) SeP, SoP- nego(przecz)

Przykad

Kady adwokat jest prawnikiem. (SaP)aden sdzia nie jest prokuratorem. (SeP)Niektrzy prawnicy sprokuratorami. (SiP)Niektrzy prawnicy nie sprokuratorami. (SoP)

Ex(S) SiS (zdanieEx(S) stwierdza istnienie obiektu bdcego S, czyli stwierdza niepustoS)


5/37


5

Zdania SaPi SiPmajtsamJAKO(w tym przypadku twierdzc), za

zdania SaPi SePmajtsamILO(w tym przypadku ogln).Podobnie,zdania SePi SoPmajte samJAKO(w tym przypadku przeczc), zazdania SiPi SoPmajtsamILO(w tym przypadku szczegow).

Zmiana jakoci zdania bez zmiany jego iloci oznacza zamian,albo SaPna SeP, albo SePna SaP, albo SiPna SoP, albo zamianSoPna SiP.

Zmiana iloci zdania bez zmiany jego jakoci oznacza zamian,

albo SaPna SiP, albo SiPna SaP, albo SePna SoP, albo zamianSoPna SeP.

Jednoczesna zmiana iloci i jakoci zdania oznacza zamian,albo SaPna SoP, albo SoPna SaP, albo SePna SiP, albo zamianSiPna SeP.


6/37


6

diagramy Venna zdanie prawdziwe zdanie faszywe

SaP

SeP

SiP

SoP


7/37


7

Prawa z kwadratu logicznego

SaP x(xSxP) x(xSxP) SoP

SeP x(xSxP) x(xSxP) SiP

SiP x(xSxP) x(xSxP) SeP

SoP x(xSxP) x(xSxP) SaP

(SaP Ex(S)) SeP (SiP Ex(S))SoP (SaP Ex(S)) SiP

(SeP Ex(S))SaP (SoP Ex(S))SiP (SeP Ex(S)) SoP

sprzecznesprzeczne

SaP

SoPSiP

SePprzeciwne

podprzeciwne

podporzdkowane podporzdkowane


8/37


8

S- zakres nazwy SP- zakres nazwy P

I - obiekty S, ktre sPII - obiekty S, ktre nie sPIII - obiekty P, ktre nie sS

S

PIII III


9/37


9

ZadanieWyka, e:

(SaP Ex(S))SeP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli kady krasnal ma czapki jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to nieprawdjest,eaden krasnal nie ma czapki.

[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]

(SeP Ex(S)) SaP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeliaden krasnal nie ma pistoletu ijakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to nieprawdjest,e kady krasnal ma pistolet.



10/37


10

(SiP Ex(S))SoP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):je

li nieprawd

jest,

e pewien krasnalma chorobweneryczni jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal nie ma chorobywenerycznej.


(SoP Ex(S))SiP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli nieprawdjest,e pewien krasnalnie ma narzeczonej i jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal ma narzeczon.



11/37


11

(SaP Ex(S))SiP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli kady krasnal ma czapki jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal ma czapk.


(SeP Ex(S)) SoP

Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeliaden krasnal nie ma narzeczoneji jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal nie ma narzeczonej.



12/37


12

Prawa konwersji (konwersjato przestawienie podmiotu i orzecznika)

prostej

SeP PeS1

SiP PiS

z ograniczeniem

(SaPEx(S)) PiS2

(SePEx(P)) PoS

1

2


13/37


13

Prawa obwersji (obwersjato zanegowanie orzecznika i zmiana jakoci zdania)

(1) SaPSe-P (2) SePSa-P (3) SiPSo-P (4) SoPSi-P

(1) (2)

(3) (4)


14/37


14

Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji)

prostejSeP Pa-S

1SiP Po-S

z ograniczeniem

(SaPEx(S)) Po-S2(SePEx(P)) Pi-S

1

2


15/37


15

Prawa kontrapozycji

czciowej (kontrapozycja czciowa= konwersja + zmiana jakoci + negacja orzecznika)

1 SaP -PeS

2 SoP -PiS

3 (SeP Ex(S)) -PiS4 (SaP Ex(-P)) -SoP

1 2

3 4


16/37


16

zupenej (kontrapozycja zupena= konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu)

1 SaP -Pa-S

2 SoP -Po-S

3 (SePEx(S)) -Po-S

4 (SaPEx(-P)) -Si-P

1 2

3 4


17/37


17

Prawa inwersji

czciowej (inwersja czciowa= negacja podmiotu + zmiana jakoci + zmiana iloci)zupenej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana iloci)

1 (SeP Ex(P)) -SiP

2 (SeP Ex(P)) -So-P

1

2


18/37


18

Tryby sylogistyczne

Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze staych a, e, i,

o i ze zmiennych nazwowych.

Trybem sylogistycznymnazywamy schemat wnioskowania speniajcy dwa warunki:

1. Wstpujw nim dwie przesanki bdce formami zdania kategorycznego i ewentualnieprzesanka o niepustoci jakiegoterminu. Wiosek jest teformzdania kategorycznego.2. Wstpujw nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku wystpuje w jednej

przesance, a orzecznik wniosku wystpuje w drugiej przesance. Termin wystpujcy w obuprzesankach nie wystpuje we wniosku - jest on nazywany terminem rednim.

Mamy wic cztery moliwe figury trybw sylogistycznych:

I II III IV

M P P M M P P M

S M S M M S M SS P S P S P S P


19/37


19

Poprawne tryby sylogistyczne

MaP MeP

MaP SaM MeP SaM MaP MeP

SaM Ex(S) SaM Ex(S) SiM SiMfigura

ISaP SiP SeP SoP SiP SoP

PeM PaM

PeM SaM PaM SeM PeM PaM

SaM Ex(S) SeM Ex(S) SiM SoMfigura

IISeP SoP SeP SoP SoP SoP

MaP MePMaS MiP MaP MaS MoP MeP

Ex(M) MaS MiS Ex(M) MaS MiSfigura

IIISiP SiP SiP SoP SoP SoP

PaM PaM PeMMaS PaM MeS PiM MaS PeM

Ex(P) MeS Ex(S) MaS Ex(M) MiSfigura

IVSiP SeP SoP SiP SoP SoP


20/37


20

Zadanie. Sprawdniezawodnonastpujcych trybw sylogistycznych:

MeP

SaM

SeP

PeM

SiM

SoP

niezawodny niezawodny


21/37


21

PeMSaM

Ex(S)

SoP

PeMMeS

SeP

niezawodny zawodny


22/37


22

Dotyczy wszelkich rozumowa, nie tylko trybw sylogistycznych:

Rozumowanie jest poprawne, gdy nie jest w nim popeniony, ani bd formalny (jestpoprawne logicznie), ani materialny (jest poprawne treciowo).

Bdem materialnymjest wykorzystanie w rozumowaniu przesanki faszywej, czyliwzicie jakiejprzesanki faszywej za prawdziw.

Bdem formalnymjest zastosowanie zawodnego (niededukcyjnego) schematuwnioskowania. Wwczas, wniosek nie wynika logicznie z przesanek, ani na mocyklasycznego rachunku zda, ani na mocy klasycznego rachunku kwantyfikatorw, anina mocy klasycznego rachunku nazw.


23/37


23

PaM

MaSSiP

PaM

MaSEx(P)

SiP

zawodnyBrak zaoenia niepustoci P - np. jeli kady pegaz(P) ma skrzyda umoliwiajce latanie (M), i kadaistota majca skrzyda umoliwiajce latanie (M) moe

lata (S), to i tak nie wynika z tego, e pewna istotalatajca jest pegazem.

Rozumowanie niepoprawne cho zastosowane doprawdziwych przesanek, bo niededukcyjne (z powodupopenienia bdu formalnego).

niezawodnyIstnienie zaoenia niepustoci P gwarantujeniezawodno trybu - nawet rozumowanie dotyczcepegazw jest wnioskowaniem logicznym: jeli kadypegaz (P) ma skrzyda umoliwiajce latanie (M), i kadaistota majca skrzyda umoliwiajce latanie (M) moe

lata (S) i pegaz istnieje, to pewna istota latajca jestpegazem.

Rozumowanie dedukcyjne choniepoprawne, z powodupopenienia bdu materialnego, czyli wykorzystaniaprzesanki faszywej.


24/37


24

RelacjeDefinicja pary uporzdkowanej

= {{a},{a,b}}.

Wprost z definicji pary uporzdkowanej wynika, e

(bo przecie{{a},{a,b}} {{b},{a,b}}). = wtw a= ci b= d.

Definicja trjki uporzdkowanej = .

Definicja n-tki uporzdkowanej = .

Z definicji n-tki uporzdkowanej wynika, e = = = {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.

= wtw a1= b1, ..., an= bn.


25/37


25

Zdanie stwierdzajce zachodzenie relacjiRmidzy obiektami ai bma posta(rne notacje):

aRb (apozostaje z bw relacjiR) (ajest w relacjiRz b)

R(a,b)

R (para uporzdkowana naley do (jest w) relacjiR)

Notacja druga i trzecia umoliwiajwyraenie relacji wicej nidwuczonowej:

R(a,b,c), R(a1,...,an)

R, R


26/37


26

Definicja nieformalna relacji

Relacjnazywamy zwizek zachodzcy pomidzy przedmiotami okrelonego typu.[dokiepska definicja, bo jak na jej podstawie mwinp. o sumie relacji?]

Definicja relacji

Relacjnazywamy podzbir iloczynu kartezjaskiego zbiorw. Relacja jest n-argumentowa jelijest podzbiorem iloczynu kartezjaskiego nzbiorw.

[dobra definicja]

ZatemRelacja dwuczonowa, to zbir par uporzdkowanych,relacja trjczonowa, to zbir trjek uporzdkowanych,relacja czteroczonowa, to zbir czwrek uporzdkowanych,itd.

relacja n-czonowa, to zbir n-tek uporzdkowanych.


27/37


27

Przykad1:

JeliLjest zbiorem [wszystkich] ludzi, to iloczyn kartezja

skiLxLjest zbiorem [wszystkichmoliwych] par uporzdkowanych ludzi.

Wrd tych par snp. takie, e na pierwszym miejscu znajduje siczowiek posiadajcydziecko, a na drugim to wanie dziecko. Wszystkie te i tylko te pary tworzrelacjbyciarodzicem:

aR1b wtw ajest rodzicem b.

relacja bycia rodzicem = { LxL: R1}gdzie

R1LxL.

Dlatego poprawna definicja relacji mwi tylko o tym, e relacja jest [jakim] podzbioremiloczynu kartezjaskiego pewnych zbiorw. To za jak jest relacj zaley od tego jakim jestpodzbiorem. Ma tu miejsce definicyjne utosamienie bycia konkretnym podzbiorem iloczynukartezjaskiego z treciowo rozumianym byciem jakkonkretnrelacj.

Pi t k ki W k d dl t d t


28/37


28

Przykad2:

RelacjdwuczonowR1jest xjest rodzicemy-ka. Zatem, jeli ajest rodzicem b, to aR1b.

RelacjtrjczonowR2jest xjest rodzicemy-ka w chwiliz. Zatem, jeli ajest rodzicem bwprzedziale czasu do ktrego naley chwila t, toR2(a,b,t).

PrzykadowrelacjpicioczonowR3tworzwszystkie takie pitki uporzdkowane, w ktrych

ajest dla ci dw przedziale czasu, do ktrego naley chwila erodzicem pci eskiej,bjest dla ci dw przedziale czasu, do ktrego naley chwila erodzicem pci mskiej

(czyli, ci dsdziemi ai bw przedziale czasu, do ktrego naley chwila e).

Piotr ko ski W kad dla st dent pra a


29/37


29

Dla relacji dwuczonowych jest sens mwio dziedzinie i przeciwdziedzinie relacji.

Dziedzina relacji R:

DR= {x: R}

czyli

xDR wtw yxRy.

Przeciwdziedzina relacji R:

DR= {y: R}.

czyliyDR wtw xxRy.

Pole relacji R:

PR=DRDR.

Piotr ukowski Wykad dla studentw prawa


30/37


30

Przykad 3:

DziedzinrelacjiR1jest zbir wszystkich ludzi, ktrzy srodzicem dla przynajmniej jednegodziecka.

PrzeciwdziedzinrelacjiR1jest zbir wszystkich ludzi, dla ktrych ktojest rodzicem.

Pytania do przykadu 3:W jakiej chwili ktojest, a w jakiej ktonie jest rodzicem?W jakiej chwili ktoma rodzica?Czy przeciwdziedzina relacjiR1jest rwna zbiorowi wszystkich ludzi? Ktrych ludzi?

Czy tylko tych, yjcych?

Czy pole relacjiR1jest rwne przeciwdziedzinie tej relacji?W jakim sensie ktojest rodzicem? W sensie biologicznym, czy w wietle prawa?

Odpowiedzi na te pytania zale, od tego jak zdefiniowana jest relacjaR1, czyli od tego, ktrekonkretnie pary uporzdkowane jtworz, a wic i od tego jak okrelony jestL- zbir

wszystkich ludzi.

Niestety, zazwyczaj poprzestajemy na niedookreleniach.

Piotr ukowski Wykad dla studentw prawa


31/37


31

Rodzaje relacji:

NiechRZxZ.

Relacjpustjest: R= (adna para uporzdkowana nie jest w relacjiR)

RelacjpenwZjest: R =ZxZ(kada para uporzdkowana jest w relacjiR)

Konwersem relacjiR(relacjodwrotndoR) jest: R-1= {: R}

OgraniczeniemrelacjiRw dziedzinie do zbioru Ajest: RD|A= {:xA R}

OgraniczeniemrelacjiRw przeciwdziedzinie do zbioru Ajest: RD-|A= {:yA R}

OgraniczeniemrelacjiRw polu do zbioru Ajest: RP|A= {:xAyA R}

IloczynemrelacjiRi Sjest: RS= {: R S}

SumrelacjiRi Sjest: RS= {: R S}

Iloczynem wzgldnymrelacjiRi Sjest: RS= {: y( R S)}

Rjest relacjlewostronnie jednoznaczn(RL!)jeli: x,y,z(( R R) x=y)

Rjest relacjprawostronnie jednoznaczn(RP!) jeli: x,y,z(( R R) y=z)

Rjest relacjjednoznaczn(R!) jeliRjest lewostronnie jednoznaczniRjest prawostronnie jednoznaczn.



32/37


32

Przykad4:

Pustrelacjjest xjest ojcemx.Penrelacjjest xjest przodkiemylubxnie jest przodkiemy.Konwersem relacji xjest memy jest relacja yjest onx (take xjest ony).Ograniczeniem relacji xjest rodzicemy w dziedzinie do zbioru kobiet jest xjest matky.Ograniczeniem relacji xjest rodzicemy w przeciwdziedzinie do zbioru osb pci eskiejjest relacja xjest rodzicemy, gdzieyjest crkx-a (nie xjest crky, bo to byby konwerstej relacji).

Relacjxjest rodzicemy mona ograniczyw polu do zbioru osb zameldowanych wmiecie odzi.Iloczynem relacji xjest ojcemy i xjest modszy ody jest relacja pusta.

Sumrelacji xjest ojcemy i xjest matky jest relacja xjest rodzicemy.Iloczynem wzgldnym relacji xjest matky i yjest onz jest relacja ... xjest kochanmamusiz.Relacja xjest matky jest lewostronnie jednoznaczna.Relacja xjest wicewojewody jest prawostronnie jednoznaczna.Relacja xjest wojewody jest jednoznaczna.



33/37

, y p

33

Rodzaje relacji (c.d.):

NiechRZxZ.

RjestzwrotnawZ wtw xZ xRx

RjestprzeciwzwrotnawZ wtw xZ (xRx)

Rjest symetrycznawZ wtw x,yZ (xRyyRx)

RjestprzeciwsymetrycznawZ wtw x,yZ (xRy(yRx))

Rjest na wp (sabo)przeciwsymetrycznawZ wtw x,yZ ((xRyyRx) x =y)*

Rjestprzechodnia (tranzytywna) wZ wtw x,y,zZ ((xRyyRz) xRz)

Rjestprzeciwprzechodnia (przeciwtranzytywna) wZ wtw x,y,zZ ((xRyyRz) (xRz))

Rjest spjnawZ wtw x,yZ (xRyyRxx =y)

* tradycyjnnazwtej relacji jest sabo antysymetryczna

Rjest relacjrwnowanocinaZ wtw Rjest zwrotna, symetryczna i przechodnia

Rjest relacjporzdkujczbir Z wtw Rjest przeciwsymetryczna, przechodnia i spjna wZ.

Rjest relacjczciowo porzdkujczbir Z wtw Rjest zwrotna, sabo przeciwsymetryczna i przechodnia wZ.

Rjest relacjliniowo porzdkujczbir Z wtw Rjest czciowo porzdkujca zbirZoraz jest spjna wZ.



34/37

y p

34

Przykad5:

Relacjzwrotnna zbiorze ludzi jest xjest tego samego wzrostu coy.Relacjsymetrycznna zbiorze ludzi jest xjest maonkiemy.Relacjprzeciwsymetrycznna zbiorze ludzi jest xjest ony.Relacjsabo przeciwsymetrycznna zbiorze mizantropw-egoistw jest xkochay.Relacjsabo przeciwsymetrycznna zbiorze liczb jest xy.

Relacjprzechodnina zbiorze ludzi jest xjest przodkiemy.Relacjprzeciwprzechodnina zbiorze ludzi jest xjest synemy.Relacjspjnna zbiorze liczb naturalnych jest rok urodzeniaxjest wczeniejszy nirokurodzeniay.



35/37

35

Uwaga oczywista1:

Relacja, ktra nie jest symetryczna nie musi byprzeciwsymetryczna, np. xszanujey.Relacja, ktra nie jest, ani symetryczna, ani przeciwsymetryczna nie musi bysabo przeciwsymetryczna.

Bywajrelacje, ktre nie sani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani sabo przeciwsymetryczne.Przykadem takiej relacji jest xkochay okrelona na zbiorze ludzi.

Uwaga oczywista2:Relacja, ktra nie jest przechodnia nie musi byprzeciwprzechodnia.

Bywajrelacje, ktre nie sani przechodnie, ani przeciwprzechodnie. Przykadem takiej relacji jest xjestkrewnymy okrelona na zbiorze ludzi.

Gorca proba:Nie twrzmy relacji nonsymetrycznych, jako takich, ktre miayby nie by, ani symetrycznymi, aniprzeciwsymetrycznymi, czy terelacji nontranzytywnych, ktre miayby nie by, ani tranzytywnymi, aniprzeciwtranzytywnymi.Tak jak nie tworzymy rwnolegobokw samych (chotakie pomysy istniejtu iwdzie), ktre miayby bytymi, ktre nie s, ani rombami, ani prostoktami.Skoro o czowieku nie

powie si, ani e jest parzysty, ani e jest nieparzysty, to nie znaczy, e trzeba mwi, e jest nonparzysty -po prostu tych okrelenie uywa simwic o ludziach.



36/37

36

Przykad6: Relacjrwnowanoci na zbiorze uczniw szk podstawowych jest xjestuczniem tej samej klasy szkoy podstawowej coy.

Relacja rwnowanoci na zbiorzeZjest podstawpodziau logicznego zbioruZ, na ktrym jestokrelona. Czony tego podziau nazywajsiklasami abstrakcji.

Klasabstrakcjidanej relacji rwnowanociRtworzwszystkie te obiekty, ktre sze sobwrelacjiR:

[a]R= {bZ: aRb}.

ajest reprezentantem swojej klasy abstrakcji. Dowolny element z danej klasy abstrakcji moebyjej reprezentantem.

Wracajc do przykadu: relacja rwnowanoci przynalenoci do tej samej klasy szkoy podstawowejokrelona na zbiorze uczniw wszystkich szk podstawowych jest relacj, ktra dzieli zbir uczniwwszystkich szk podstawowych na klasy abstrakcji bdce klasami tych szk. Kady uczedanej klasy jestreprezentantem klasy abstrakcji tosamej z tklas. Naturalnie, wspomniana relacja moe byokrelona nazbiorze wszystkich uczniw jednej konkretnej szkoy podstawowej. Wwczas, dzieli ona na klasy abstrakcji

uczniw jedynie tej szkoy.

Innrelacjrwnowanoci jest:- relacja xpozostaje na tym samym gospodarstwie domowym coy okrelona na zbiorze obywateli RP.- relacja xjest rwienikiemy okrelona na zbiorze ludzi.- relacja xjest sztucem z tego samego kompletu coy okrelona na zbiorze sztucw.



37/37

37

Relacj porzdkujc (porzdkujc liniowo) zbir jest x jest dugiem hipotecznymwpisanym do ksigi wieczystej [nie] wczeniej ni dug y. Istotnie, jest to relacjaprzeciwsymetryczna, przechodnia i spjna w zbiorze dugw hipotecznych danej ksigiwieczystej.

Drzewo genealogiczne reprezentuje relacjporzdkujcnieliniowo:

porzdek liniowy

Relacja x y jest zwrotna, sabo

przeciwsymetryczna i przechodnia wzbiorze punktw diagramu. Porzdkujewic ten zbir zgodnie z symbolikkresek:punktxpoczony kreskz punktemy, jestw relacji x y, jelixley niej niy.

porzdek czciowy (nie jest porzdkiem liniowym)

wyklad z logiki 9 (1)

Documents