elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości

Kazimierz Trzęsicki

2006

4

Wyd. II poprawione i zmienione. Wersja elektroniczna.

Spis treści

1 Logika zdań 111.1 Pojęcie logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Język logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Pojęcie języka logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Definicja zdania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Język formalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4 Język a metajęzyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Rekurencyjny charakter definicji zdania . . . . . . . . . 251.2.6 Model i prawdziwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2 Wybrane tautologie klasycznej logiki zdań . . . . . . . 371.3.3 Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.4 Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe . . . . . . . . 511.3.5 Spójniki prawdziwościowe . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.6 Funkcjonalna pełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.3.7 Postacie normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.3.8 Elektroniczna interpretacja spójników . . . . . . . . . . 611.3.9 Dowód w rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.3.10 Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.3.11 Sprzeczne i niesprzeczne zbiory zdań . . . . . . . . . . 701.3.12 Wynikanie syntaktyczne a wynikanie semantyczne . . . 701.3.13 Reguły, schematy i prawa logiki . . . . . . . . . . . . . 721.3.14 Systemy logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2 Logika predykatów 952.1 Język rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.1.1 Dziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5

6 SPIS TREŚCI

2.1.2 Stałe i zmienne indywiduowe . . . . . . . . . . . . . . . 962.1.3 Litery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.1.4 Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1.5 Litery predykatowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.1.6 Formuła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.1.7 Podstawialność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2 Rachunek predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.2.1 Dowód w rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . 1062.2.2 Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.2.3 Postacie normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.2.4 Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.2.5 Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.2.6 Model i prawdziwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.2.7 Pełność rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . 1532.2.8 Problem rozstrzygalności . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3 Algebra zbiorów 1613.1 Zbiór i element zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.2 Równość zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3 Zawieranie się zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.4 Operacje na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.4.1 Dopełnienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.4.2 Suma zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.4.3 Przecięcie zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.4.4 Różnica i różnica symetryczna zbiorów . . . . . . . . . 1793.4.5 Związki między działaniami teoriomnogościowymi . . . 1803.4.6 Uogólnione suma i przecięcie zbiorów . . . . . . . . . . 183

3.5 Aksjomaty algebry zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4 Relacje i funkcje 1914.1 Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.2.1 Pojęcie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.2.2 Relacje zwrotna i przeciwzwrotna . . . . . . . . . . . . 2004.2.3 Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i antysyme-

tryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.2.4 Relacja przechodnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.2.5 Relacja równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

SPIS TREŚCI 7

4.3 Rachunek relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.4 Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.4.1 Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.4.2 Funkcja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.4.3 Superpozycja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.4.4 Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.5 Uogólniony iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.6 Uporządkowanie zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.6.1 Zbiory uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.6.2 Zbiory liniowo uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . 2444.6.3 Zbiory dobrze uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . 247

5 Moce zbiorów 2495.1 Równoliczność zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.2 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . 2535.3 Arytmetyka liczb kardynalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 2635.4 Zbiory mocy continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765.5 Zbiór potęgowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8 SPIS TREŚCI

Przedmowa

Niniejsze Elementy logiki i teorii mnogości są przygotowane z myślą o stu-diujących informatykę oraz ekonometrię i informatykę na poziomie inżynier-skim lub licencjackim. Objętościowo książka przekracza standardowy wy-kład. Tym samym wykładowcom stwarza różne możliwości doboru tematów,a studentom daje szansę poszerzenia wiedzy.

Elementy logiki i teorii mnogości obejmują klasyczną logikę zdań, kla-syczną logikę predykatów oraz teorię mnogości. Dobór zagadnień oraz sposóbich ujęcia ma być „przyjazny” dla informatyków, czyli odpowiedni do potrzebi zgodny co do stylu myślenia. Książka ma umożliwić studentowi opanowa-nie aparatu pojęciowego oraz symboliki, niezbędnych do rozumienia wykładupodstawowych przedmiotów teoretycznych oraz kierunkowych zawodowych.Miejscami książka wykracza poza te ramy. Ma to jednak miejsce tam, gdzietrudno było pominąć problematykę chociażby z powodu jej niezbędności dowyłożenia innych kwestii lub aby nie tworzyć jakieś niezrozumiałej luki.

Książka ta od mojej Logiki i teorii mnogości różni się nie tylko zakre-sem. Niewątpliwie najbardziej widoczne jest pominięcie wielu kwestii i mniejszczegółowe ujęcie niektórych, co doprowadziło do zasadniczego zmniejszeniaobjętości książki. Zachowany został układ, a mianowicie wpierw rozważanesą zagadnienia logiczne a następnie teoriomnogościowe. Praktyczne podej-ście do logiki wymaga pokazania zastosowania jej w praktyce matematycz-nej. Taki układ mają zwykle różne zbiory zadań, jak na przykład popularnyw Polsce zbiór zadań W. Marka i J. Onyszkiewicza Logika i teoria mnogościw zadaniach. Mając do dyspozycji aparat logiczny możemy zastosować gow teorii mnogości do zapisu twierdzeń i wykorzystać w dowodach. Wykładteorii mnogości zyskuje zaś na ścisłości.

9

Rozdział 1

Logika zdań

1.1 Pojęcie logiki

Logika to przede wszystkim teoria rozumowań. Rozumowanie — najogólniejrzecz biorąc — to proces poznawczy pozyskiwania nowej wiedzy na podsta-wie tylko dotychczas posiadanej wiedzy. Można powiedzieć więc, że logikajest działem teorii przetwarzania informacji: formułuje zasady przetwarzania,zachowującego własności logiczne informacji takie jak np. prawdziwość.

Rachunki logiczne wyrosły z zamiaru oceny poprawności rozumowań po-przez kontrolę przestrzegania zasad przekształceń wyrażeń, za których po-mocą informacja została zapisana.

Logikę interesuje język głównie, choć nie jedynie, jako narzędzie prze-kazu informacji. Z tego względu mówiąc o zdaniu ma się na uwadze zdanieoznajmujące w sensie gramatycznym.

Przez zdania rozumiemy wszystkie i tylko te wyrażenia, które nadają siędo formułowania twierdzeń (wiedza w sensie obiektywnym) lub przekonań(wiedza w sensie subiektywnym). Poprawna metodologicznie definicja zda-nia możliwa jest, gdy określony jest język, czyli gdy zdefiniowany jest zbiórsymboli (słownik języka) i zasady budowy (reguły syntaktyczne1) jego wy-

1Przez semiotykę rozumie się logiczną teorię języka. Za Ch. Morrisem (1938) wyróżniasię:

• syntaktykę,która opisuje stosunki między znakami;

• semantykę,rozważa ona związki między znakami a rzeczywistością, do której te znaki odnoszą;

11

12 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ

rażeń (poprawnie zbudowanych). Zdanie to każdy i tylko taki ciąg symboli,który jest elementem wyróżnionej klasy wyrażeń (poprawnie zbudowanych),klasy zdań.

Zdanie jest prawdziwe, wtedy i tylko gdy w rzeczywistości jest tak jak tozdanie głosi. Zdanie jest zaś fałszywe, wtedy i tylko gdy w rzeczywistości niejest tak jak zdanie to głosi.

Przykład 1.1.2 Zdanie:2 + 2 = 4

jest prawdziwe.

Zdanie:2 + 2 = 5

jest fałszywe. ©Powyższe określenia prawdziwości i fałszywości zdań są potocznym sfor-

mułowaniem klasycznej koncepcji prawdy.Klasyczne pojęcie prawdy jest pojęciem relacyjnym. Zwykle, gdy mó-

wimy, że zdanie jest prawdziwe, nie dodajemy ze względu na jaki «świat»jest ono prawdziwe. Domyślnie przyjmujemy, że jest to świat realny, otacza-jąca nas rzeczywistość. Gdy jednak mówimy o prawdziwości lub fałszywościzdań niekoniecznie mając na uwadze świat realny, trzeba stworzyć jego sub-stytut, chociażby w postaci jakiegoś czysto abstrakcyjnego konstruktu. Takikonstrukt będziemy nazywać modelem3.

• pragmatykę,jej przedmiotem są relacje między znakami a ich użytkownikami.

2Użycie wyrażenia jako nazwy samego siebie zaznacza się biorąc to wyrażenie w cudzy-słów. W niniejszej książce będzie szereg odstępstw od tej zasady. Kierujemy się bowiemrównież zasadą ekonomii, która nakazuje zastosowanie tylko tyle środków wyrazu, ile jestkonieczne, aby tekst był zrozumiały i jednoznaczny dla tego, do kogo jest adresowany.Zgodnie z tą zasadą cudzysłowy opuszczane będą wszędzie tam, gdzie ich brak nie bę-dzie źródłem jakichś wątpliwości, co do sposobu rozumienia. W szczególności nie mapotrzeby brania w cudzysłów, jeśli używamy nazwy rodzaju wyrażenia, czyli na przykładgdy piszemy, że podajemy przykłady zdań. Podobnie, gdy używamy zwrotów w rodzaju:nazywamy, określamy.

3Należy tu dodać, że kiedy mówi się o modelu języka, to ma się na uwadze pewnegorodzaju «rzeczywistość», do mówienia o której dany język może być używany. Kiedy mówisię o modelu jakiegoś zbioru zdań, to mówi sie o tego rodzaju «rzeczywistości», w którejwszystkie zdania z tego zbioru są prawdziwe.

1.1. POJĘCIE LOGIKI 13

Prawdziwość i fałszywość to wartości logiczne zdań. Przyjmujemy zasadędwuwartościowości ; tzn. przyjmujemy, że zdania są bądź prawdziwe, bądźfałszywe. Nie dopuszczamy istnienia zdań, które nie są ani prawdziwe, anifałszywe. Nie dopuszczamy również wartości logicznych innych niż prawdai fałsz.

Wnioskowanie to pośrednie uzasadnianie, czyli uzasadnianie poprzez od-wołanie się do uprzednio uznanych zdań.

Wnioskowanie służy więc do:

1. poszerzania naszej wiedzy obiektywnej, czyli systemów wiedzy, poprzezodwołanie się do zdań już należących do tych systemóworaz

2. wzbogacania naszej wiedzy subiektywnej, czyli zasobu naszych przeko-nań, na podstawie już żywionych przekonań.

Przesłanki we wnioskowaniu to zdania skądinąd uznane bądź jako ta-kie założone. Stanowią one punkt wyjścia wnioskowania. Wniosek zaś jestzdaniem, które we wnioskowaniu zostaje uznane.

Na to, aby wnioskowanie było poprawne, konieczne jest, żeby między jegoprzesłankami a wnioskiem zachodził stosunek uzasadniania. Szczególnymrodzajem stosunku uzasadniania jest stosunek wynikania.

Wnioskowania, w których prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdzi-wość wniosku — czyli gdy nie jest możliwy taki stan rzeczy, aby przesłankibyły prawdziwe a wniosek fałszywy — to wnioskowania, w których wnio-sek wynika (logicznie) z przesłanek. Są to wnioskowania dedukcyjne. Teoriawynikania logicznego jest zasadniczym zagadnieniem logiki. Podstawowymdziałem logiki jest więc teoria wnioskowań dedukcyjnych.

Zdania, z których jakieś zdanie wynika nazywamy jego racjami, a zdanie,które wynika z jakichś zdań nazywamy ich następstwem.

Rachunki logiczne tworzone są m.in. po to, aby metodami rachunkowymistwierdzić poprawność rozumowania.

Rozważymy problem rachunku dla logiki zdań.Logika zdań jest logiką języka, którego najprostsze, wewnętrznie nieanali-

zowalne elementy to zdania proste (atomowe). Znaczenie zdania, czyli spo-sób jego rozumienia wyczerpuje się w jego wartości logicznej, czyli prawdzi-wości lub fałszywości. W języku zdaniowym wszystkie elementy znaczeniowewiążące te zdania ze sobą są wyrażalne przez spójniki zdaniowe. Spójniki te


są prawdziwościowe wtedy i tylko wtedy, gdy wartość logiczna zdań złożo-nych zbudowanych za pomocą tych spójników jest wyznaczana przez wartościlogiczne zdań składowych (a więc z pominięciem treści tych zdań). Zasadylogiki zdań stosują się do wszystkich języków o tyle, o ile abstrahujemy odwewnętrznej złożoności ich zdań prostych.

Rachunek dla logiki zdań jest fragmentem bogatszego rachunku dla logikijęzyka, w którym wyróżnia się elementy składowe zdań — będzie to rachunekpredykatów.

Klasyczna logika zdań to logika zdań języka, którego wszystkie spójnikisą prawdziwościowe i w której przyjmuje się zasadę dwuwartościowości.

1.2 Język logiki zdań

1.2.1 Pojęcie języka logiki zdań

Na język logiki zdań, jak na każdy język, składają się słownik (alfabet),reguły syntaktyczne (gramatyczne) oraz reguły semantyczne (znaczeniowe).

Słownik języka, to zbiór symboli, z których budowane są wyrażenia (po-prawnie zbudowane). Wyrażenia są skończonymi ciągami elementów słow-nika zbudowanymi zgodnie z regułami syntaktycznymi. W wypadku językalogiki zdań jedynymi poprawnie zbudowanymi wyrażeniami będą zdania. Za-tem określenie reguł syntaktycznych tego języka sprowadza się do definicjizdania.

Zdania budujemy, aby mówić o pewnej rzeczywistości, o jakimś świe-cie. W logice matematycznej takim «światem» jest abstrakcyjny konstrukt:model. Będzie on tak zbudowany, aby ujmował interesujące nas aspekty od-noszenia zdań do świata. Ściśle określony «świat», model, umożliwi definicjęprawdziwości zdania (w modelu). Pojęcie prawdziwości zdania jest pojęciemsemantycznym. Reguły semantyczne języka logiki zdań sprowadzają się za-tem do definicji prawdziwości zdania w modelu.

Zdania są jedynymi wyrażeniami poprawnie zbudowanymi języka logikizdań. Mogą być one proste lub złożone. Proste to takie, których żadna częśćwłaściwa, czyli różna od całości nie jest zdaniem. Zdanie złożone to takie,którego jakaś część właściwa jest zdaniem. W każdym języku istnieją różnesposoby tworzenia zdań ze zdań. Zdania można tworzyć ze zdań za pomocąróżnych wyrażeń (w gramatyce nazywanych spójnikami i partykułami) lub

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 15

zestawienia zdań (połączenia zdań składowych wraz z użyciem: w językumówionym — stosownej intonacji, a w języku pisanym — odpowiedniej in-terpunkcji).

Spójnik to każde i tylko takie wyrażenie, które łącznie ze zdaniem bądźzdaniami tworzy zdanie.

Przykład 1.2. Spójnikami są.: „nieprawda, że. . . ”, „konieczne jest, że . . . ”oraz „. . . lub . . . ” i „. . . oraz . . . ”. Spójnikiem nie jest: „. . . jest”. ©

Zdania, z których dany spójnik tworzy zdanie to argumenty tego spójnika.Spójniki dzieli się ze względu na ilość ich argumentów. Wyróżniamy więcspójniki jednoargumentowe, dwuargumentowe itd.

Zdania, które otrzymujemy w wyniku dopisania zdania lub zdań do spój-nika to zdania złożone. Zdania proste to zdania, które nie są złożone, czyliw których nie występują spójniki.

Przykład 1.3. Zdaniami prostymi są:

2 + 2 = 4Trójkąt ma trzy boki

Zdaniami złożonymi są:

Nieprawda, że 2 + 2 = 4.Jeżeli czworokąt ma cztery boki równe, to ma dwa kąty równe. ©

1.2.2 Definicja zdania

Podane będą dwie definicje zdania. Jedna ze względu na to, że jest standar-dowa, powszechna. Druga, łukasiewiczowska, ze względu na wykorzystaniei samej definicji i pomysłu na zapis — w szczególności w informatyce.

Zdanie w notacji standardowej

Alfabet języka logiki zdań Alfabet A języka logiki zdań jest zbioremnastępujących obiektów (symboli):

1. p0, p1, . . . ,

2. ¬,3. ⇒, ∨, ∧, ⇔,


4. ), (.

p0, p1, . . . to litery zdaniowe. Intuicyjnie reprezentują one zdania proste,czyli zdania, w których nie występują spójniki. Stąd też nazywane są ato-mami. Dopuszczamy, aby zdań tych było tyle, ile jest liczb naturalnych,czyli przeliczalnie nieskończenie wiele. Zwykle jako liter zdaniowych używaćbędziemy liter: p, q, r, . . . .

¬ jest spójnikiem jednoargumentowym. Nazywamy go negacją.Spójniki: ⇒, ∨, ∧, ⇔ są dwuargumentowe. Nazywamy je, odpowiednio:

implikacją, alternatywą, koniunkcją i równoważnością. W wypadku impli-kacji jej pierwszy argument nazywamy poprzednikiem a drugi następnikiem.

Nawiasy: ) — nawias prawy, ( — nawias lewy, pełnią funkcję znakówinterpunkcyjnych. Znaki te w naszym języku logiki zdań są niezbędne dlajednoznacznego zapisu wyrażeń tego języka. Zwykle w tym celu, aby napisbył bardziej czytelny stosuje się też nawiasy innych kształtów: ], [; , .

Znaczenie, czyli sposób rozumienia poszczególnych spójników będzie okre-ślone przez reguły semantyczne. Reguły te podamy w związku z definicjąprawdziwości zdania w modelu. Dla zdefiniowania wyrażeń (poprawnie zbu-dowanych) znajomość znaczenia nie jest konieczna.

Z elementów powyżej opisanego słownika (alfabetu) budujemy zdania.Zdania są jedynymi poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka logiki zdań.

Przypomnijmy, że ciąg to funkcja ze zbioru liczb naturalnych. Zamiastf(n) pisze się fn, a zwykle an. Wartości tej funkcji, an, to wyrazy ciągu.Ciąg jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jego wyrazów jest równapewnej liczbie naturalnej n, czyli gdy jest to funkcja ze zbioru 1, 2, . . . , n.

Niech A∗ będzie zbiorem wszystkich i tylko skończonych ciągów elemen-tów A.

Definicja 1.1 (zdania). Niech α i β będą dowolnymi skończonymi ciągamisymboli alfabetu języka logiki zdań, czyli α i β są elementami A∗ (α, β ∈ A∗).

1. litery zdaniowe są zdaniami;

2. jeżeli α jest zdaniem, to ¬ α jest zdaniem;

3. jeżeli α, β są zdaniami, to (α ⇒ β), (α ∨ β), (α ∧ β), (α ⇔ β) sązdaniami;


4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, któresą skończonymi ciągami symboli spełniającymi warunki 2 i 3.

Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym:

5. zbiór zdań jest najmniejszym zbiorem skończonych ciągów symbolispełniających warunki 1–34.

Znaczenie warunku 4 (5) można zilustrować przykładem. Ciąg p1¬ p2 niejest zdaniem właśnie na mocy tego warunku. Nie można bowiem tego ciąguskonstruować według warunków 1–3. Same warunki 1–3 nie pozwalałyby natakie stwierdzenie.

Przykład 1.4. Zdaniami są: p0, p4, p5, ¬p0, (p5 ∨ p0), (¬(p0 ∧ p5) ∨ p0),(((p0 ⇒ p1) ∧ p2) ⇔ (p3 ∨ (p1 ⇒ ¬ p2))).

Zdaniami nie są: (p0), ¬(p0)¬(p5) ∨ (p0), ¬(p0p5) ∨ (p0), (p0 ∨ p1) ∧ (p0 ∨p1) ∧ (p0 ∨ p1) ∧ . . . ©

Znaczenie zdań określone będzie przez znaczenie liter zdaniowych orazprzez znaczenie spójników. Podane zostanie w definicji prawdziwości zdaniaw modelu.

Definicja 1.2 (spójnika głównego). Spójnikami głównymi w zdaniach:

¬α, (α ⇒ β), (α ∨ β), (α ∧ β), (α ⇔ β)

są spójniki, odpowiednio: implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważno-ści. Zdania te skrótowo określamy jako, odpowiednio: negację, implikację,alternatywę, koniunkcję i równoważność.

Notacja łukasiewiczowska

W wypadku, gdy wszystkie spójniki są prefiksami (czyli gdy pisane są przedswoimi argumentami) lub gdy wszystkie spójniki są sufiksami (czyli gdypisane są po swoich argumentach) możliwe jest wyeliminowanie nawiasów.

4Najmniejszy zbiór spełniający jakieś warunki to taki i tylko taki zbiór, którego każdypodzbiór właściwy nie spełnia tych warunków lub — inaczej — taki i tylko taki zbiór, któryjest podzbiorem każdego zbioru spełniającego te warunki. A ⊆ B (A jest podzbiorem B)wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element A jest elementem B. W szczególności każdy zbiórjest swoim podzbiorem. Zbiór A jest podzbiorem właściwym B wtedy i tylko wtedy, gdyA jest podzbiorem B i jest różny od B.


Notację prefiksową języka rachunku zdań wynalazł Jan Łukasiewicz5. Takąnotację wykorzystuje się w informatyce.

Słownik

1. p0, p1, . . . ,

2. N

3. C, A, K, E;

p0, p1, . . . , to litery zdaniowe. N to jednoargumentowy spójnik negacjizaś C, A, K, E są dwuargumentowymi spójnikami, odpowiednio: implikacji,alternatywy, koniunkcji i równoważności. Wszystkie one są prefiksami.

Definicja 1.3 (zdania). Niech α i β będą dowolnymi ciągami symboli.

1. litery zdaniowe są zdaniami;

2. jeżeli α jest zdaniem, to Nα jest zdaniem;

3. jeżeli α, β są zdaniami, to Cαβ, Aαβ, Kαβ, Eαβ są zdaniami.

4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, któremożna w skończonej ilości kroków skonstruować wedle punktów 1–3.

Zdaniu: (p0∨p1)∧p0 odpowiada zdanie w notacji Łukasiewicza: KAp0p1p0

a zdaniu: p0 ∨ (p1 ∧ p0) — Ap0Kp1p0.

1.2.3 Język formalny

Język rachunku zdań jest przykładem języka formalnego. Zbiór wszystkichwyrażeń poprawnie zbudowanych języka formalnego zostaje ustalony decyzjątwórcy tego języka. Zazwyczaj podaje się:

• zbiór symboli (alfabet, słownik),

• reguły konstrukcji wyrażeń (reguły syntaktyczne).5Notacja łukasiewiczowska w literaturze anglojęzycznej określana jest jako polska (Po-

lish notation). Podobna idea wykorzystana jest w notacji sufiksowej (reverse Polish nota-tion).


Przykład 1.5. Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy skoń-czony ciąg symboli: ∇, ♦ rozpoczynający się od symbolu: ∇. Taki językjest językiem formalnym. ©Przykład 1.6. Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy sen-sowny ciąg elementów słownika języka polskiego. W tym wypadku o popraw-ności budowy przesądzają reguły semantyczne. Tak określony język nie jestwięc językiem formalnym. ©Definicja 1.4 (słowa nad alfabetem). Niech A będzie zbiorem. Nazywaćbędziemy go alfabetem. Elementy A∗, czyli skończone ciągi elementów A tosłowa nad alfabetem A.

Niech teraz α, β, . . . będą dowolnymi skończonymi ciągami elementówalfabetu (słowami).

Definicja 1.5 (długości słowa, | |). Długość słowa α, |α|, to liczba wystąpieńelementów alfabetu w ciągu α.

Definicja 1.6 (konkatenacji, ˆ). Konkatenacja, ˆ , słów α[= (a1, a2, . . . , an)]i β[= (b1, b2, . . . , bm)], ai ∈ A, bi ∈ B, to słowo αˆβ powstałe przeznapisanie ciągu β bezpośrednio po ostatnim wyrazie ciągu α, czyli słowo:

(a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm).

Operacja konkatenacji jest łączna, czyli:

(αˆβ)ˆγ = αˆ(βˆγ).

Łączność operacji konkatenacji zwalnia nas z użycia nawiasów do wskazywa-nia argumentów tej operacji: w jakiejkolwiek kolejności wykonamy operacjękonkatenacji (zachowując porządek argumentów) uzyskamy ten sam rezultat.

Definicja 1.7 (słowa pustego, ε). Słowo puste ε to ciąg, którego liczbawyrazów równa jest 0, czyli |ε| = 0.

Słowo puste jest elementem neutralnym operacji konkatenacji, czyli

εˆα = α,αˆε = α.

A+ to zbiór wszystkich i tylko niepustych ciągów elementów A, czyliA+ = A∗ \ ε.


Definicja 1.8 (podsłowa). Słowo α jest podsłowem słowa β wtedy i tylkowtedy, gdy istnieją słowa γ i δ takie, że β = γˆαˆδ.

Definicja 1.9 (podsłowa właściwego). α jest podsłowem właściwym słowaβ(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy γ 6= ε lub δ 6= ε, bądź — co na jednowychodzi — gdy γˆδ 6= ε.

Definicja 1.10 (słowa początkowego). α jest słowem początkowym, inaczejprefiksem słowa β(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy γ = ε.

Definicja 1.11 (słowa końcowego). α jest słowem końcowym, inaczej sufik-sem słowa β(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy δ = ε.

Zwykle konkatenację słów, gdy nie prowadzi to do niejasności, zapisuje siębez użycia symbolu konkatenacji, czyli zamiast np. αˆβ pisze się po prostu:αβ.

Definicja 1.12 (produkcji, ::=). Produkcją lub regułą przepisywania słów αi β jest:

α ::= β

co czytamy: α jest zastępowane przez β.α to poprzednik produkcji a β to następnik produkcji.

Definicja 1.13 (wyprowadzenia ze słowa). αγ::=δ−→ β, czyli słowo β jest wy-

prowadzeniem ze słowa α na podstawie produkcji γ ::= δ wtedy i tylko wtedy,gdy istnieją takie α1 i α2, że

• α = α1γα2,

• β = α1δα2.

Poprzednik produkcji może być w kilku miejscach podsłowem danegosłowa. Wynik operacji wyprowadzania ze słowa zależy więc od tego, za którewystąpienie poprzednika (jako podsłowa danego słowa) wpisujemy następnikprodukcji. Wynik operacji zastępowania nie jest więc określony jednoznacz-nie.

Definicja 1.14 (podstawienia). Produkcja, której poprzednik jest symbolem(słowem o długości 1) to podstawienie.

Słowo α powstałe ze słowa β przez podstawienie a ::= γ, gdzie a ∈ A,w miejsce każdego wystąpienia symbolu a to słowo β[a ::= γ].


Definicja 1.15 (języka). Językiem L nad alfabetem A jest dowolny podzbiórzbioru A∗.

Zdania są słowami nad alfabetem A języka rachunku zdań. Na słowachdefiniowana jest operacja konkatenacji. Zbiór wyrażeń poprawnie zbudowa-nych, w tym wypadku zdań, jest podzbiorem A∗, czyli jest językiem formal-nym.

Warto zauważyć, że z punktu widzenia możliwości konstrukcji wyrażeńnie ma znaczenia, czy alfabet ma przeliczalnie nieskończenie wiele elementów(tyle, ile jest liczb naturalnych), czy też ma dwa elementy.

Niech A ma przeliczalnie nieskończenie wiele elementów. Niech B madwa elementy, czyli niech to będzie np. zbiór 0, 1. Istnieje wzajemnie jed-noznaczne przyporządkowanie elementów zbioru A∗ i podzbioru zbioru B∗,którego elementami są skończone ciągi zer i jedynek takie, że ani pierwszy, aniostatni wyraz ciągu nie jest zerem oraz jeżeli zero jest k-tym wyrazem ciągu,to nie jest nim wyraz (k+1)-szy, czyli inaczej mówiąc zero nigdy nie następujepo zerze. Takimi ciągami są np. (110111), (1011011101) a nie są nimi np.(011), (100111). Elementy A mogą być ustawione w ciąg a1, a2, . . . . Każ-demu symbolowi an przyporządkowujemy n-wyrazowy ciąg jedynek. Przypo-rządkowanie to jest wzajemnie jednoznaczne. Mając ciąg elementów zbioruAprzyporządkowujemy mu ciąg elementów zbioru B w taki sposób, że po każ-dym ciągu jedynek przyporządkowanemu symbolowi, jeżeli nie jest to ostatnisymbol rozważanego słowa, piszemy zero. Przyporządkowanie to jest wza-jemnie jednoznaczne. Na przykład, wyrazowi (a3a1a4) przyporządkowny jestciąg (1110101111). Te ciągi binarne wypełniają rolę, którą mogą pełnić ele-menty A∗. Po prostu słowa nad A są kodowane binarnie.

Języki zwykle definiuje się rekurencyjnie. W tym celu korzysta się z gra-matyki formalnej6.

6Idea opisu języka za pomocą gramatyki sięga starożytności. Współczesne studia nadgramatyką, przede wszystkim porównawcze, podjęto na początku XIX wieku. Pojęciegramatyki jako czegoś na wzór programu, wytwarzającego wyrażenia poprawnie zbudo-wane ujawnia się z pełną jasnością dopiero w pracach Noama Chomskiego w połowie latpięćdziesiątych XX wieku.


Przykładem takiej gramatyki jest gramatyka bezkontekstowa7. Grama-tyka bezkontekstowa G to czwórka: 〈Σ, V, XI , R〉, gdzie zbiory Σ i V są roz-łączne, czyli Σ ∩ V = ∅, XI jest elementem V , czyli XI ∈ V . Zbiór Σ toalfabet gramatyki G, a jego elementy to symbole końcowe (terminalne) gra-matyki G. Elementy V to symbole niekońcowe (nieterminalne) lub inaczejzmienne gramatyki G. Wyróżniony symbol XI to symbol początkowy (star-towy) gramatyki G. R to zbiór reguł przepisywania, czyli produkcji.

O regule przepisywania przyjmuje się, że jest postaci: v ::= α, gdziev ∈ V , czyli v jest symbolem nieterminalnym a α jest niepustym słowem nadalfabetem złożonym z elementów symboli terminalnych i nieterminalnych,czyli α ∈ (Σ ∪ V )+.

Wszystkie produkcje o poprzedniku v i następnikach α1, . . . , αn zapisu-jemy następująco8:

v ::= α1| . . . |αn.

Tu symbol „|” rozumiemy jak alternatywę (nierozłączną) i czytamy tak jakalternatywę, czyli: lub.

Język klasycznego rachunku zdań określamy następująco:

Σ = p, ′ ∪ ¬,∧,∨,⇒,⇔ ∪ ), ( V = zdanie, litera-zdaniowaXI = zdanie

R = zdanie ::= litera-zdaniowa | ¬ zdanie | (zdanie ∧ zdanie) | (zdanie ∨zdanie) | (zdanie⇒ zdanie) | (zdanie⇔ zdanie)litera-zdaniowa ::= p | litera-zdaniowa′9.

7Wszystkie współcześnie powszechnie używane języki programowania oparte są na gra-matyce bezkontekstowej. O ich powszechności przesądzają możliwości specyfikacji i imple-mentacji jak i łatwość uczenia się ich. Języki programowania pojawiły się w początkachlat pięćdziesiątych XX wieku, zastępując jako języki wyższego poziomu uciążliwe progra-mowanie w kodzie maszynowym. Rozwijany od 1954 r. FORTRAN bazował na notacjimatematycznej. W 1958 r. John Backus w ramach projektu ALGOL wykorzystał znaną zlogiki matematycznej ideę systemów produkcji. Było to rozwiązanie równoważne grama-tyce bezkontekstowej. Około 1970 r. bezkontekstowy opis gramatyki stał się standardemdla języków programowania.

8Jest to notacja zaproponowana przez Backusa, a na szerszą skalę zastosowana przezduńskiego informatyka Naura, redaktora opisu języka ALGOL 60. Stąd jej nazwa: notacjaBackusa-Naura.

9Poszczególne produkcje pisze się w odrębnych wierszach, bez rozdzielania przecinkiem.


Dla określenia zbioru wyrażeń poprawnie zbudowanych zbyteczna jestznajomość interpretacji, czyli znaczeń wyrażeń. Język formalny, taki jakjęzyk rachunku zdań, mogłaby w pełni przyswoić sobie maszyna, np. kom-puter.

Język formalny jest zwykle tak opisany, że dane wyrażenie poprawniezbudowane tego języka może być zbudowane, w sensie procesu konstrukcji,w jeden i tylko jeden sposób.

Przyporządkowanie językowi interpretacji, czyli sposobu rozumienia jegowyrażeń jest — najogólniej rzecz biorąc — przedmiotem semantyki. Teoriamodeli bada związki semantyczne, inaczej mówiąc jest teorią interpretacji.

Podanie aparatu logicznego, a więc określenie zależności logicznych zewzględu na zasady budowy wyrażeń, czyli ze względu na syntaktykę pro-wadzi to zagadnień teorii dowodu. Jest to teoria wynikania syntaktycznego.

Wyrażenia poprawnie zbudowane — w wypadku języka rachunku zdań— zdania, są przedmiotami abstrakcyjnymi. Reprezentantem wyrażeniapoprawnie zbudowanego jest konkretny napis (lub dźwięk). Dwa napisy(dźwięki) mogą być reprezentantami tego samego wyrażenia. Istnienie wy-rażenia nie jest uwarunkowane aktualnym istnieniem konkretnych napisów(dźwięków), ani naszymi możliwościami zapisu. Pozwala to mówić zarównoo wyrażeniach, których zapis przekracza fizyczne możliwości człowieka jaki o językach mających nieskończenie wiele wyrażeń. Mówimy tu o możliwościw takim samym sensie, jak w arytmetyce liczb naturalnych — gdzie dyspo-nujemy dziesięcioma cyframi — mówimy, że możemy zapisać nazwę dowolnejliczby naturalnej.

1.2.4 Język a metajęzyk

Język rachunku zdań jest dla nas — gdy uprawiamy logikę — językiem przed-miotowym. Jest to język, o którym mówimy. Język, którym mówimy, a więcjęzyk tej książki, to metajęzyk. Oczywiście, metajęzyk sam może być przed-miotem rozważań i wówczas staje się językiem przedmiotowym. Język, któ-rym mówi się o metajęzyku z punktu widzenia pierwotnego języka przedmio-towego jest metametajęzykiem. W ten sposób tworzona może być hierarchiajęzyków. Pojęcia języka przedmiotowego, metajęzyka, metametajęzyka itd.są więc pojęciami relacyjnymi.

W metajęzyku tworzy się nazwy wyrażeń językowych biorąc je w cudzy-słów. Są to tak zwane nazwy cudzysłowowe. Fałszem jest, że czasownik jestrzeczownikiem. Prawdą zaś jest, że „czasownik” jest rzeczownikiem. Na-


zwa „„czasownik”” jest bowiem nazwą wyrażenia, które w języku, w którymwystępuje, jest rzeczownikiem. Jednak nie jest prawdą, że czasownik jestrzeczownikiem. Na przykład „stoi” jest czasownikiem a nie jest rzeczowni-kiem.

Metajęzykiem musimy posługiwać się wszędzie tam, gdzie mówimy o ję-zyku. Informatycy mówią o języku programowania. Język, którym to mówiąjest metajęzykiem dla tego języka programowania.

Nie można mylić języka z metajęzykiem. Ktoś, kto nie rozróżnia językaod metajęzyka postępuje podobnie do kogoś, kto nie rozróżnia między np.krzesłem a słowem „krzesło”.

Zgodnie z zasadą ekonomii — o czym była już mowa — użycie cudzy-słowów może być pominięte, jeżeli dla osoby/osób, do której/których skie-rowany jest tekst z kontekstu jest jasne, w jakiej roli występuje wyrażenie,czy w językowej, czy w metajęzykowej. Z powodzeniem moglibyśmy więcnapisać:

słowo krzesło

zamiast:

słowo „krzesło”.

W języku mówionym wyrażenia te nie różnią się, a jednak można je właściwierozumieć. Zasady ekonomii nie traktujemy jednak jako nakazu nieliczącegosię z pewnymi zwyczajami i przyzwyczajeniami. Z tego powodu preferowanesą zapisy drugiego rodzaju. Jednak piszemy: słowo

krzesłoa nie: słowo

„krzesło”.Pisać będziemy mniej nawiasów niż wynikałoby to z definicji zdania. Za

zbędne uważamy nawiasy zewnętrzne, czyli zamiast: (α) piszemy: α. Jeżelispójnik dwuargumentowy s1 wiąże mocniej niż spójnik dwuargumentowy s2,to zamiast: (αs1β)s2γ piszemy: αs1βs2γ; podobnie, zamiast: αs2(βs1γ) pi-szemy: αs2βs1γ. Przyjmujemy, że spośród spójników dwuargumentowychnajmocniej wiąże koniunkcja, następnie alternatywa a po niej implikacjai równoważność.

Jeżeli spójniki s1 i s2 wiążą z jednakową mocą, to zamiast αs1(βs2γ) mo-żemy pisać αs1βs2γ. Jest to tak zwana zasada wiązania na lewo. Zwykle dla


większej czytelności pozostawiamy więcej nawiasów niż to wynikałoby z zasadopuszczania nawiasów. Ponadto, można używać nawiasy innych kształtów:, ; [, ]. Gdy wyrażenie α chcemy ująć w nawias, to piszemy: [α], jeśli w αwystępują: (, ). Piszemy zaś α, gdy w α występują: [, ]. Nasze zasadyużywania i opuszczania nawiasów nie różnią się w jakiś istotny sposób odzasad znanych z arytmetyki szkolnej.

Na użytek definicji zdania przyjęliśmy umowę, że litery greckie „α”, „β”,. . . , ewentualnie z indeksami, oznaczają dowolny ciąg symboli. Teraz odstę-pujemy od tej umowy. Liter greckich „α”, „β”, . . . będziemy używali — jeżelinie powiemy inaczej — tylko na oznaczenie zdań.

Wyrażenia „α” i np. „¬α” należą do języka, którym mówimy, a nie dojęzyka, o którym mówimy, czyli należą do metajęzyka. Wyrażenia te nie sązdaniami metajęzyka. Są w nim nazwami zdań języka, o którym mówimy(w metajęzyku).

Wyrażenia zbudowane wyłącznie z liter „α”, „β”, . . . oraz spójników i na-wiasów mogą — jeżeli wcześniej nie jest ustalone do jakiego zdania odnoszą— oznaczać każde zdanie, które można otrzymać przez wpisanie w miejsceposzczególnych liter „α”, „β”, . . . jakichś zdań. O wyrażeniach takich mó-wimy, że są to schematy zdaniowe.

Język, którym mówi się o logice nie różni się istotnie od języka natural-nego, w naszym wypadku polskiego. W zasadzie różnica ta sprowadza się dotego, że jest tu wiele słów — są to terminy specyficzne logiki — których naco dzień nie używamy. Język logiki jest językiem uniwersalnym w tym sensie,że nie zależy od języka narodowego, którym się mówi o logice. Podobnie jakjęzyk arytmetyki jest wspólny wszystkim, którzy mówią o arytmetyce, choćkażdy mówi o niej jakimś językiem narodowym.

1.2.5 Rekurencyjny charakter definicji zdania

Definicja zdania jest definicją rekurencyjną (indukcyjną). Najogólniej rzeczbiorąc ten sposób definiowania polega na wskazaniu pewnej klasy (zbioru)przedmiotów (prostych, atomowych). Może to być klasa skończona, np. jed-noelementowa, której jedynym elementem jest „ |”; a może to być równieżjakaś klasa nieskończona, np. jak ma to miejsce w wypadku definicji zdania.Ponadto podane są reguły budowy obiektów złożonych oraz może być wy-różniona pewna klasa przedmiotów, które jedynie służą do «budowy» obiek-tów złożonych. Przedmioty te nie należą do definiowanej klasy obiektów.W wypadku języka rachunku zdań są nimi spójniki i nawiasy. Reguły bu-


dowy obiektów złożonych są pewnego rodzaju przepisami określającymi, jakidokładnie jeden obiekt powstanie, gdy do budowy zostaną użyte określoneobiekty. Np. mając obiekt „ |” oraz operację konkatenacji, czyli operacjędopisywania symbolu „ |” po prawej stronie danego obiektu, możemy skon-struować obiekty: |, ||, |||, . . . . Klasa indukcyjna to najmniejszy zbiór zawie-rający wszystkie elementy proste oraz wszystkie te przedmioty, które dadząsię zbudować z elementów prostych.

Zbiór taki, że zastosowanie reguł konstrukcji do jego elementów dajew wyniku przedmiot będący elementem tego zbioru to zbiór domknięty zewzględu na te reguły konstrukcji.

Definicja 1.16 (definicji rekurencyjnej, indukcyjnej). W definicji rekuren-cyjnej (indukcyjnej) wyróżniamy trzy warunki:

1. bazowy (po prostu: baza) lub początkowy — przez podanie nazw wska-zane są pewne obiekty, które są elementami definiowanego zbioru;

2. indukcyjny (po prostu: indukcja) — warunek ten określa, jaki dokład-nie jeden obiekt powstanie z elementów definiowanego zbioru, jeżelizastosowana zostanie do nich jedna z reguł konstrukcji;

3. końcowy — warunek ten mówi, że przedmiot jest elementem definiowa-nego zbioru tylko wówczas, gdy może być skonstruowany z elementówbazowych przez stosowanie reguł konstrukcji.

Warunek 3 może być wyrażony równoważnie przez jeden z następującychwarunków:

3′ Definiowany zbiór jest najmniejszym takim zbiorem, którego elemen-tami są wszystkie elementy bazowe oraz który jest domknięty ze względuna reguły konstrukcji.

3′′ Definiowany zbiór jest przekrojem wszystkich i tylko takich zbiorów,których elementami są elementy bazowe i które są domknięte ze względuna reguły konstrukcji.

3′′′ Definiowany zbiór to taki zbiór, którego żaden właściwy podzbiór niema jako swych elementów wszystkich elementów bazowych lub nie jestdomknięty za względu na reguły konstrukcji.


Definicje rekurencyjne (indukcyjne) pozwalają na drodze wnioskowania,określanego jako wnioskowanie przez indukcję (matematyczną) dowodzić wła-sności obiektów spełniających warunki definicji. Liczby naturalne możemypojąć jako obiekty: |, ||, |||, . . . . Na to, aby dowieść, że każda liczba na-turalna ma jakąś własność W wystarczy pokazać — jest to znany ze szkołyśredniej schemat wnioskowania — że

1. własność W przysługuje obiektowi: |;oraz

2. jeżeli własność W przysługuje obiektowi α, to przysługuje obiektowi:α|.

Podobnie, aby dowieść, że każde zdanie ma jakąś własność W (W jestformułą z jedną zmienną wolną, której zakresem zmienności jest zbiór zdań)wystarczy pokazać, że

1. każdej literze zdaniowej przysługuje własność W ,

2. jeżeli α i β mają własność W , to ¬α, α ⇒ β, α∨β, α∧β, α ⇔ β mająwłasność W .

Warunki 1 i 2 można wyrazić równoważnie, odpowiednio:

3. zachodzi W (α), jeżeli α jest literą zdaniową,

4. jeżeli zachodzi W (α) i W (β), to

• W (¬α),• W (αsβ), gdzie s jest jednym z dwuargumentowych spójników.

Własności zdań będziemy dowodzić na drodze wnioskowania indukcyj-nego. Twierdzenie o poprawności takiego postępowania nosi nazwę zasadyindukcji strukturalnej dla rachunku zdań.

Warunek 1 (3) to warunek początkowy (bazowy). Warunek 2 (4) to tezaindukcyjna.

Rzeczywiście, zgodnie z warunkiem początkowym własność W ma każdalitera zdaniowa. Z tezy indukcyjnej, czyli warunku 2 (4), dostajemy, że jeżeliwłasność W mają zdania α i β, to mają ją również zdania złożone z α i β.Stwierdzenie, że własność W mają wszystkie zdania wymaga odwołania siędo faktu, że zdaniami są tylko te wyrażenia, które są literami zdaniowymilub dadzą się z nich skonstruować za pomocą reguł budowy zdań.


O poprawności takiego postępowania mówi zasada rekurencji strukturalnej.

Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze zdań L.

1. warunek początkowy: dla dowolnej litery zdaniowej p dana jest wartośćf(p),

2. warunek indukcyjny:

• wartość f(¬ α) jest określona jednoznacznie przez f(α),

• wartość f(αsβ), gdzie s jest jednym ze spójników dwuargumen-towych, jest jednoznacznie określona przez f(α) i f(β).

Funkcja zdefiniowana zgodnie z podanymi zasadami jest dokładnie jedna.

Dla wykazania, że funkcja f określona jest dla wszystkich zdań korzystasię z tego, że f określona jest dla liter zdaniowych, a na podstawie warunkuindukcyjnego, jeżeli jest określona dla α i β, to określona jest dla zdań z nichzbudowanych. Ponieważ zdaniami są tylko litery zdaniowe i wyrażenia otrzy-mane z liter zdaniowych za pomocą reguł konstrukcji, więc f jest określonadla dowolnego zdania.

Dla wykazania, że jest tylko jedna funkcja spełniająca podane warunki,wystarczy zauważyć, że dane zdanie złożone może być tylko w jeden spo-sób rozczłonowane na części składowe10. Inaczej mówiąc, wartość f zależyod rozczłonowania zdania. Gdyby dane zdanie mogło być analizowane naróżne sposoby, to temu zdaniu mogłyby być przyporządkowane różne warto-ści. Tym samym funkcja f nie byłaby jedyną, która spełnia warunki zasadyrekurencji strukturalnej.

1.2.6 Model i prawdziwość

W modelu każde zdanie proste powinno być bądź prawdziwe, bądź fałszywe.Interpretacja (określenie znaczeń zdań w modelu) polega na przyporząd-kowaniu poszczególnym zdaniom prostym znaczenia jednego z terminów:„prawda”, „fałsz”. Pomijając nieistotne detale możemy model po prostu utoż-samić z jakimś podzbiorem M zbioru S liter zdaniowych. Jeżeli litera zda-niowa pn należy do podzbioru M zbioru S, to będziemy przez to rozumieć,że pn jest prawdziwe w modelu M. Gdy pn nie należy do M, to będziemy

10Twierdzenie o takim fakcie określane jest jako twierdzenie o rozbiorze.


przez to rozumieć, że pn jest fałszywe w modelu M. Prawdziwość i fałszywośćzdań złożonych określa się zaś ze względu na prawdziwość i fałszywość zdańskładowych.

Zamiast mówić, że zdanie jest prawdziwe w modelu będziemy też mó-wić, że jest spełnione w modelu. Do zapisania, że zdanie α jest prawdziwew modelu M używać będziemy specjalnego oznaczenia:

M |= α.

Definicja 1.17 (M |= α). Niech M będzie podzbiorem zbioru S liter zdanio-wych (M ⊆ S). α jest prawdziwe (spełnione) w modelu M, M |= α, wtedyi tylko wtedy, gdy:

1. jeżeli α jest literą zdaniową, to

M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdyα ∈ M;

2. jeżeli α jest zdaniem ¬β, to

M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy

nie jest tak, że M |= β;

3. jeżeli α jest zdaniem β ⇒ γ, to

M |= α


nie jest tak, że M |= β lub jest tak, że M |= γ;

4. jeżeli α jest zdaniem β ∨ γ, to

M |= α



M |= β lub M |= γ;

5. jeżeli α jest zdaniem β ∧ γ, to

M |= α


M |= β i M |= γ;

6. jeżeli α jest zdaniem β ⇔ γ, to

M |= α


(M |= β wtedy i tylko wtedy M |= γ).

Spójniki: ¬,⇒, ∨, ∧,⇔ w języku polskim będą odczytywane za pomocąwyrażeń, odpowiednio: „nieprawda, że . . . ”, „ jeżeli . . . , to . . . ”, „ . . . lub. . . ”, „ . . . i . . . ”, „ . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ”.

Symbole: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔ są symbolami języka logiki zdań, a więc należądo języka, o którym mówimy. Z punktu widzenia języka, którym mówimysą one pewnego rodzaju przedmiotami, o których się mówi. Symbole te nienależą do języka, którym pisany jest ten tekst. Symboli tych i wyrażeńz nich zbudowanych używamy wyłącznie jako «cytatów», jako «przytoczeń»symboli i wyrażeń języka, o którym mówimy. Nie możemy użyć ich jako wy-godnych skrótów dla spójników języka, którym mówimy. Nie możemy więczastąpić, np. „ jeżeli. . . , to. . . ” i „wtedy i tylko wtedy, gdy” przez, odpowied-nio: ⇒, ⇔. W naszym tekście o języku rachunku zdań, symbole i wyrażeniatego języka występują w supozycji materialnej, czyli na oznaczenie samychsiebie.

Definicja 1.18 (prawdziwości zdania). Zdanie α jest (logicznie) prawdziwe,co oznaczamy: |= α, wtedy i tylko wtedy, gdy α jest prawdziwe we wszystkichmodelach; czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego M ⊆ S : M |= α.

1.3. RACHUNEK ZDAŃ 31

Tam, gdzie będzie istniała obawa nieporozumień, że „prawdziwe” (bez od-noszenia do jakiegoś modelu) będzie brane w znaczeniu „prawdziwe w świecierealnym”, zamiast o prawdziwości zdania będziemy mogli mówić o jego lo-gicznej prawdziwości.

Naszym celem jest wskazanie czysto syntaktycznych własności zdań praw-dziwych, a więc tych własności ich kształtu, budowy, które są charaktery-styczne dla zdań prawdziwych we wszystkich modelach. Wyróżnimy pewnąklasę zdań, które będziemy określali jako tautologie. Pojęcie tautologii będziewięc pojęciem syntaktycznym.

1.3 Rachunek zdań

Pojęcie zdania logicznie prawdziwego jest pojęciem semantycznym. Przed-miotem semantyki są relacje między znakiem a rzeczywistością (do którejodnosi się ten znak). Zależy nam na syntaktycznym scharakteryzowaniupojęcia zdania logicznie prawdziwego. Przedmiotem syntaktyki są relacjemiędzy znakami. Chcemy więc znaleźć takie własności zdań jako wyrażeń,które dałyby się opisać w kategoriach relacji między znakami bez odwoły-wania się do relacji między znakami a rzeczywistością i które wyróżniałybyzdania logicznie prawdziwe.

Interesuje nas wynikanie jako relacja między przesłankami a wnioskiem.Podamy definicję dowodu jako pewnej procedury o charakterze rachunko-wym. Reguły dowodu zostaną dobrane tak, aby zdanie miało dowód zezbioru zdań wtedy i tylko wtedy, gdy z tego zbioru zdanie to rzeczywiściewynika. Podana będzie definicja rzeczywistego, czyli semantycznego wynika-nia.

1.3.1 Tautologia

Zdanie jest skończonym ciągiem symboli, a więc w jego skład wchodzi skoń-czona ilość liter zdaniowych. Dla każdego zdania można zatem wskazać takipoczątkowy skończony odcinek ciągu S liter zdaniowych, w którym znajdująsię wszystkie litery występujące w tym zdaniu.

Niech p0, p1, . . . , pn będzie ciągiem liter zdaniowych, wśród których znaj-dują się wszystkie litery zdaniowe występujące w α. Każdej literze zdaniowejprzyporządkowujemy jeden z symboli: F , T . To, czym są te symbole nie jest


ważne. Mogą to być np. impulsy elektryczne. O symbolach tych jedyniezakładamy, że są różne.

Definicja 1.19 (wartości logicznej). F i T to wartości logiczne11.

Definicja 1.20 (interpretacji). Niech p0, p1, . . . , pn będzie ciągiem liter zda-niowych, wśród których znajdują się wszystkie litery występujące w α. Ciąg:

v0, v1, . . . , vn,

gdzie vi, 0 ≤ i ≤ n jest jednym z symboli F lub T

to interpretacja (zdania α).

W ramach logiki zdań interpretacja liter zdaniowych wyczerpuje się więcw określeniu ich wartości logicznej.

Definicja 1.21 (wartości logicznej zdania). Wartość logiczną zdania α dlainterpretacji v0, v1, . . . , vn określamy (rekurencyjnie) następująco:

• jeżeli α jest literą zdaniową pm, to wartością logiczną zdania α jest vm;

• wartości logiczne zdań złożonych obliczamy zaś zgodnie z poniżej po-danymi tabelkami wartości logicznych:

β ¬β

T FF T

β γ β ∨ γ β ∧ γ β ⇒ γ β ⇔ γ

T T T T T TT F T F F FF T T F T FF F F F T T

Przykład 1.7. Zdanie:

p1 ∨ (p3 ∧ ¬p2)

dla interpretacji:

F, T, T, T

przyjmuje wartość: T. ©11„F ” jest literą z angielskiego słowa „false” (fałsz), a „T ” — „true” (prawda).


Zauważmy, że jedyna istotna różnica formalna pomiędzy określeniem praw-dziwości zdań w modelu a definicją wartości zdania polega na tym, że modelijest nieskończenie wiele. Dokładnie tyle, ile jest podzbiorów zbioru liter zda-niowych, czyli podzbiorów zbioru 2N. Takich podzbiorów jest zaś tyle, ilejest liczb rzeczywistych, czyli c12. Ilość interpretacji jest zaś skończona. In-terpretacji o długości n jest tyle, ile jest n wyrazowych ciągów liter T i F ,czyli 2n.

Definicja 1.22 (tautologii). Zdanie α jest tautologią, co oznaczamy: ` α,wtedy i tylko wtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji v0, v1, . . . , vn przyjmujewartość T .

Definicja 1.23 (kontrtautologii). Zdanie α jest kontrtautologią wtedy i tylkowtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość F .

Pytanie, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalne. Aby tego dowieśćnależy wskazać «rachunkową» procedurę, która stosuje się do każdego zda-nia i która w wypadku każdego zdania po wykonaniu skończonej ilości kro-ków/operacji pozwoli dać odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest, czy teżnie jest tautologią.

Twierdzenie 1.1. Problem, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalny,czyli istnieje metoda, która w skończonej liczbie operacji/kroków umożliwiaznalezienie odpowiedzi TAK lub NIE na pytanie, czy dane zdanie klasycznejlogiki zdań jest tautologią.

Dowód. Niech α będzie zbudowane z n różnych liter zdaniowych (litery temogą występować wielokrotnie). Zgodnie z definicją tautologii należy wziąćtaki początkowy fragment ciągu liter zdaniowych, w którym mieszczą sięwszystkie litery zdaniowe występujące w α. Zauważmy jednak, że dla inter-pretacji nieróżniących się na miejscach, odpowiadających literom zdaniowymwystępującym w α, wartości logiczne α też się nie różnią. Pod uwagę wy-starczy zatem wziąć wszystkie tylko takie interpretacje, które różnią się namiejscach odpowiadających literom zdaniowym występującym w α. Ponie-waż w α występuje dokładnie n różnych liter zdaniowych i mamy dokładniedwie wartości logiczne, zatem takich interpretacji jest 2n.

Problem, jaka wartość logiczna przysługuje zdaniu α dla danej interpre-tacji jest rozstrzygalny. Wartość logiczną zdania α dla zadanej interpretacji

12Użyte tu pojęcia i oznaczenia są objaśnione w części poświęconej teorii mnogości.


ustalamy w m krokach, gdzie m jest liczbą spójników występujących w zda-niu α. Ilość spójników określamy tak, że każde wystąpienie spójnika (każdysymbol) liczymy osobno. W celu określenia wartości logicznej zdania dla da-nej interpretacji korzystamy z tabelek wartości logicznych. Szczegóły takiegopostępowania opiszemy niżej jako metodę wprost.

Definicja 1.24 (metody wprost). W celu znalezienia metodą sprawdzaniawprost odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią:

1. określamy wszystkie możliwe układy wartości logicznych zdań prostych,z których zbudowane jest dane zdanie; porządkujemy je np. alfabetycz-nie według zasady pi wyprzedza pi+1 a T wyprzedza F ;

2. dla każdego układu wartości pod każdą literą zdaniową podpisujemywartość logiczną, jaka przysługuje jej dla rozpatrywanego układu;

3. tam, gdzie pod argumentami jakiegoś spójnika znajdują się podpisanewartości logiczne, określamy zgodnie z tabelkami wartość logiczną zda-nia zbudowanego za pomocą tego spójnika i wartość tę podpisujemypod tym spójnikiem; postępowanie to kontynuujemy tak długo, aż zo-stanie podpisana wartość logiczna pod spójnikiem głównym rozpatry-wanego zdania;

4. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układuwartości — określonego zgodnie z pkt. 1 — pod spójnikiem głównymtego zdania znajduje się litera T .

Przykład 1.8. Zdanie:[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

jest tautologią.

Musimy rozważyć cztery wypadki: T, T, T, F, F, T, F, F.I.

[ p ∧ ( p ⇒ q ) ] ⇒ qT T T T

TT

T


II.[ p ∧ ( p ⇒ q ) ] ⇒ qT T F F

FF

T

III.[ p ∧ ( p ⇒ q ) ] ⇒ qF F T T

TF

T

IV.[ p ∧ ( p ⇒ q ) ] ⇒ qF F F F

TF

T ©Zauważmy, że nie jest konieczne za każdym krokiem wypisywanie liter T

i F w różnych wierszach. Metodę można stosować pisząc je na jednej linii.Na przykład dla wypadku I mamy:

[ p ∧ ( p ⇒ q ) ] ⇒ qT T T T T T T

Znajdowanie odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią za pomocąmetody sprawdzania wprost jest uciążliwe. W praktyce zwykle korzystniejjest stosować metodę sprawdzania niewprost13. Metoda niewprost, podobniejak metoda wprost, ma charakter czysto «mechaniczny», tzn. stosując ją dodowolnego zdania postępujemy krok po kroku zgodnie z podanymi regułami.Nie są to jedyne metody tego rodzaju. Taki sam charakter również metodatablic semantycznych, którą tu opiszemy. Ponadto zauważmy, że zawszemożemy zastosować szczególną procedurę, na jaką zezwala budowa zdania,o które pytamy się czy jest tautologią.

13Metodę sprawdzania wprost oraz metodę niewprost określa się jako metodę zero-jedynkową, a to dlatego, że zwykle stosowano cyfry „1” i „0”, a nie litery „T ” i „F ”.


Definicja 1.25 (metody niewprost). W celu sprawdzenia metodą niewprost,czy zdanie jest tautologią postępujemy następująco:

1. pod spójnikiem głównym danego zdania piszemy literę F ;

2. jeżeli pod spójnikiem napisana jest jakaś litera, to rozważamy tyle wy-padków (przez powtórzenie danego „rysunku”), ile zgodnie z tabelkamiwartości logicznych jest możliwych sposobów podpisania liter T i Fpod argumenty tego spójnika; każdy taki wypadek rozważamy oddziel-nie; gdy podpisujemy wartość logiczną pod jakąś literą zdaniową, towartość tę podpisujemy pod każde wystąpienie tej litery zdaniowej;

Opisaną procedurę przeprowadzamy dla każdego wypadku z osobna ażdo momentu, gdy:

(a) pod jakimś spójnikiem lub literą zdaniową pojawią się litery T i Flub

(b) wyczerpane zostaną wszystkie możliwości i pod każdą literą znaj-duje się dokładnie jedna z liter T lub F ;

3. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym wypadkuotrzymanym zgodnie z pkt. 2 stwierdzamy, że pod jakimś spójnikiemlub jakąś literą zdaniową podpisane zostały obie litery T i F .

Przykład 1.9. Zdanie:(p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q)

nie jest tautologią.

( p ⇒ q ) ⇒ ( ¬ p ⇒ ¬ q )F

T FT F

F TF T

T ©Inne przykłady zastosowania metody niewprost znajdujemy poniżej.


Przykład 1.10. Niech αn będzie zdaniem:

(. . . (p ⇒ p) ⇒ p) . . . ) ⇒ p,

w którym litera zdaniowa p występuje dokładnie n razy. Zdanie to jesttautologią wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą parzystą.

Dowód. Niech αn to zdanie o budowie: (. . . (p ⇒ p) ⇒ p) . . . ) ⇒ p, w którymlitera p występuje dokładnie n razy.

Dowodzimy przez indukcję ze względu na budowę zdania αn.W wypadku n = 1 mamy, że liczba wystąpień nie jest parzysta a zdanie

α1(= p) nie jest tautologią, zatem zdanie α1 jest tautologią wtedy i tylkowtedy, gdy liczba wystąpień litery p jest liczbą parzystą.Założenie indukcyjne.

Niech dla i(≤ k) zdanie αi będzie tautologią wtedy i tylko wtedy, gdyi będzie liczbą parzystą.TEZA INDUKCYJNA

Zdanie αk+1 jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy k + 1 jest liczbąparzystą.

Udowodnimy dwa zdania:

1. Jeżeli αk+1 jest tautologią, to k + 1 jest liczbą parzystą.

2. Jeżeli k + 1 jest liczbą parzystą, to αk+1 jest tautologią.

Dowód tezy 1.Niech αk+1 będzie tautologią. Ponieważ jest to zdanie αk ⇒ p, zatem αk

nie jest tautologią. Na podstawie założenia indukcyjnego k nie jest liczbąparzystą. Z tego mamy, że k + 1 jest liczba parzystą.Dowód tezy 2.

Niech teraz k+1 będzie liczba parzystą. Z tego mamy, że k−1 jest liczbąparzystą. Na podstawie założenia indukcyjnego αk−1 jest tautologią. Zdanieαk+1 to zdanie (αk−1 ⇒ p) ⇒ p. Korzystając z tego, że αk−1 jest tautologiąstwierdzamy, że αk+1 jest tautologią.

1.3.2 Wybrane tautologie klasycznej logiki zdań

Rozważymy teraz przykłady tautologii. Będą to tautologie najbardziej pod-stawowe i najprostsze, więc odnoszące do podstawowych zasad rozumowania.


1. [(¬p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] ⇒ p

Sprawdzenie metodą niewprost:

[ ( ¬ p ⇒ q ) ∧ ( ¬ p ⇒ ¬ q ) ] ⇒ pF

T FT T F

F T F TT T T T T

T T T TT T F

F

Zdanie:[(¬p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] ⇒ p

jest tautologią.

2. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

Sprawdzenie metodą wprost:

( p ⇔ q ) ⇔ [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ]T T T T T T

T T TT T

T

( p ⇔ q ) ⇔ [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ]T F T F F T

F F TF F

T

( p ⇔ q ) ⇔ [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ]F T F T T F

F T FF F

T


( p ⇔ q ) ⇔ [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ]F F F F F F

T T TT T

T

Zdanie:(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

jest tautologią.

3. (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p)


( p ⇒ q ) ⇒ ( ¬ q ⇒ ¬ p )F

T FT T FT F T

T T FF

Zdanie:(p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p)

jest tautologią.

4. (¬q ⇒ ¬p) ⇒ (p ⇒ q)


( ¬ q ⇒ ¬ p ) ⇒ ( p ⇒ q )F

T FT T F

F T TT T F

F

Zdanie:(¬q ⇒ ¬p) ⇒ (p ⇒ q)


jest tautologią.

5. ¬(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q)


¬ ( p ⇒ q ) ⇒ ( p ∧ ¬ q )F

T FF F

T F FT F FT F T

T

Zdanie: ¬(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q)

jest tautologią.

6. (p ∧ ¬q) ⇒ ¬(p ⇒ q)


( p ∧ ¬ q ) ⇒ ¬ ( p ⇒ q )F

T FT T TT F T

T T FF

Zdanie:(p ∧ ¬q) ⇒ ¬(p ⇒ q)

jest tautologią.Na podstawie powyższych tautologii można zauważyć, że tautologiamisą również:

7. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)]

8. (p ⇔ q) ⇔ [(¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p ⇒ ¬q)]


9. ¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q)

Tautologią jest także

10. (p ⇔ q) ⇔ [¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬p ∧ q)]

Tautologią zaś nie jest:

11. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬q ⇒ ¬p)].

1.3.3 Tablice semantyczne

Metoda zero-jedynkowa pozwala w wypadku dowolnego zdania rozstrzygnąć,czy jest ono tautologią, czy też nie jest. Jest to jednak metoda, która wymagawykonania bardzo wielu operacji. Zrozumiałe jest więc poszukiwanie bardziejefektywnych sposobów znajdowania odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jesttautologią. Jednym z nich jest metoda tablic semantycznych. Metoda ta,w odróżnieniu od metody zero-jedynkowej, ma zastosowanie — oczywiście,po stosownym uzupełnieniu — w rachunku predykatów. Oprócz logiki kla-sycznej wykorzystywana jest także w innych logikach, jak np. logiki modalnei logika intuicjonistyczna. Metoda tablic semantycznych ma jednak przewagędydaktyczna nad metodą nie tylko z powodu uniwersalności, odwołując siędo intuicji przestrzennej jest również łatwiejsza w zrozumieniu.

Podane zostaną reguły budowy pewnych konstrukcji, które są rysunkiemschematycznym drzewa postawionego pniem do góry. Konstrukcje te bę-dziemy nazywali tablicami semantycznymi. Górę drzewa tworzy jego korzeń.Na dole są liście. Odcinki łączące korzeń z liśćmi to gałęzie. Drzewo, którema więcej niż jedną gałąź, rozdziela się, rozgałęzia. Drzewo ma tyle gałęzi,ile ma liści. Odcinek powyżej rozgałęzień to pień.

Definicja 1.26 (tablicy semantycznej). Tablica semantyczna to drzewo zezdaniami. Zdanie może znajdować się po lewej bądź po prawej stronie gałęzi.Zdania znajdujące się na pniu znajdują się na każdej gałęzi.

Definicja 1.27 (relacji leżenia poniżej). Niech α i β będą różnymi napisami(napis α różni się od napisu β miejscem, lecz niekoniecznie kształtem). Zda-nie α leży poniżej zdania β wtedy i tylko wtedy, gdy od zdania β można„przejść” do zdania α poruszając się odcinkami wyłącznie w dół drzewa.

Stosunek leżenia poniżej jest więc tego rodzaju, że jeżeli α leży poniżej β,a β leży poniżej γ, to α leży poniżej γ (czyli, stosunek ten jest przechodni).


Definicja 1.28 (gałęzi sprzecznej). Gałąź jest sprzeczna (zamknięta) wtedyi tylko wtedy, gdy po obu stronach, prawej i lewej, odcinków wskazującychstosunek leżenia poniżej znajduje się jakieś zdanie α, czyli na tej gałęzi pokażdej ze jej stron znajdują się, przynajmniej po jednym, równokształtnenapisy.

Fakt, że gałąź jest sprzeczna zaznacza się pisząc kreskę poziomą na końcutej gałęzi (na poziomie najniżej leżącego zdania).

Definicja 1.29 (gałęzi otwartej). Gałąź, która nie jest zamknięta, jest otwar-ta.

Definicja 1.30 (tablicy zamkniętej). Tablica jest zamknięta wtedy i tylkowtedy, gdy zamknięte są wszystkie gałęzie składające się na tę tablicę.

Definicja 1.31 (tablicy otwartej). Tablica, które nie jest zamknięta, jestotwarta.

Będziemy mieli dwa rodzaje reguł. Takie, które wymagają tylko dopisaniajednego odcinka pod każdą gałęzią, na której znajduje się badane zdanie;oraz takie, które wymagają dopisania dwóch odcinków pod każdą gałęzią, naktórej znajduje się badane zdanie. Te ostatnie reguły powodują rozgałęzienie.

W wypadku metody zero-jedynkowej wprost postępujemy „z dołu dogóry” — przypisujemy wartości literom zdaniowym, a następnie obliczamywartość logiczną zdania. Metoda tablic semantycznych oparta jest na stra-tegii „z góry do dołu” — rozpoczynamy od wartości logicznej zdania, do-chodząc do wartości logicznych liter zdaniowych, czyli postępujemy tak jakw wypadku metody zero-jedynkowej niewprost. Reguły tworzenia tablic se-mantycznych są regułami analitycznymi — zdaniu złożonemu przyporządko-wują jego części składowe. Zaczynamy zawsze od spójnika głównego. Zdanieskładowe może mieć wartość T lub F . W zależności od tego, piszemy je po,odpowiednio, lewej lub prawej stronie odcinka. Dla każdego spójnika potrze-bujemy dwóch reguł: jedna mówi jak postępować ze zdaniem znajdującymsię po lewej, a druga jak postępować ze zdaniem znajdującym się po prawejstronie gałęzi. Będziemy więc odróżniali reguły lewostronne (L) i prawo-stronne (P ). Będziemy mieli zatem reguły: ¬L, ¬P , ∧L, ∧P , ∨L, ∨P ,⇒ L,⇒ P , ⇔ L, ⇔ P . Fakt zastosowania reguły do danego zdania zaznaczaćbędziemy pisząc przy tym zdaniu X. Zdań oznaczonych X nie bierze siępod uwagę w dalszej konstrukcji drzewa; informacja w nich zawarta zostaławykorzystana do rozbudowy drzewa. Zdania oznaczone X to zdania martwe,zdania nieoznakowane tak to zdania żywe.


Definicja 1.32 (tablicy zakończonej). Tablica jest zakończona wtedy i tylkowtedy, gdy jest (a) zamknięta lub (b) jedynymi żywymi zdaniami na niej sąlitery zdaniowe.

Konstrukcję tablicy prowadzimy tak długo, aż otrzymamy tablicę za-mkniętą lub gdy jedynymi żywymi zdaniami będą litery zdaniowe.

W wypadku logiki zdań, liczba elementów tablicy zawsze będzie skoń-czona. Ponadto, tablica będzie binarna, tzn. rozgałęzienie dokonuje się nadokładnie dwie gałęzie.

REGUŁY

¬ L ¬ αX

...

α

Reguła stosuje się do zdania ¬ α, znajdującego się po lewej stronie gałęzi.Ta strona reprezentuje wartość T . Jeśli zdanie ¬ α ma wartość T , to jakąwartość ma α? Oczywiście, α ma wartość F . Zatem piszemy α po prawejstronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ¬ α(jako napisu).

¬ P ¬ αX

...

α

Reguła ta stosuje się do zdania ¬ α, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Strona ta reprezentuje wartość F . Jeśli zdanie ¬ α ma wartość F ,to jakie jest zdanie α? Oczywiście, zdanie α ma wartość T . Zatem piszemyα po lewej stronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej sięponiżej ¬ α (jako napisu).

∧L α ∧ βX

...

αβ


Reguła ta stosuje się do zdania α ∧ β, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie α ∧ β ma wartość T , a więc zarówno α jak i β mają wartośćT . Oba te zdania, α i β, piszemy więc jedno pod drugim na przedłużeniudrzewa po lewej stronie każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ∧ β(jako napisu).

∧P α ∧ βX

...

α β

Reguła ta stosuje się do zdania α∧ β, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Strona ta reprezentuje wartość F . Zdanie α ∧ β ma wartość F , gdyα ma wartość F lub gdy β ma wartość F . W celu zapisania tego faktu dokażdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej zdania α ∧ β(jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po prawej stronie na jednej piszemyα, a na drugiej β.

∨L α ∨ βX

...

α β

Reguła ta stosuje się do zdania α ∨ β, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość T , zatem wartość T ma zdanie α lub wartośćT przysługuje zdaniu β. W celu zapisania tego faktu do każdej już istniejącejotwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α∨β (jako napisu), dopisujemy dwiegałęzie. Po lewej stronie na jednej piszemy α, a na drugiej β.

∨P α ∨ βX

...

αβ

Reguła ta stosuje się do zdania α∨ β, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość F , zatem wartość F przysługuje zdaniu α


i wartość F przysługuje zdaniu β. Zatem po prawej stronie na każdej jużistniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α∨β (jako napisu), piszemyjedno pod drugim α i β.

⇒ L α ⇒ βX

...

α β

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇒ β, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość T , zatem α ma wartość F lub β ma war-tość T . Nasze drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącejotwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇒ β (jako napisu), dopisujemydwie gałęzie. Po prawej stronie jednej z nich piszemy α, a po lewej stroniedrugiej piszemy β.

⇒ P α ⇒ βX

...

αβ

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇒ β, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość F , zatem α ma wartość T , a β ma wartośćF . Na każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇒ β (jako napisu),piszemy po lewej stronie α, a po prawej β.

⇔ L α ⇔ βX

...

α αβ β

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇔ β, znajdującego się po lewej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość T , zatem wartość T przysługuje zarównozdaniu α jak i zdaniu β lub wartość F mają zdania α i β. Drzewo będziesię więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej


się poniżej α ⇔ β (jako napisu), dopisujemy dwie gałęzie. Po lewej stroniejednej z nich piszemy jedno pod drugim α i β i tak samo po prawej stroniedrugiej z nich.

⇔ P α ⇔ βX

...

α αβ β

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇔ β, znajdującego się po prawej stroniegałęzi. Zdanie takie ma wartość F , zatem zdaniu α przysługuje wartość T ,a zdaniu β przysługuje wartość F lub odwrotnie, zdanie α ma wartość F ,a zdanie β ma wartość T . Drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdejjuż istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇔ β (jako napisu),dopisujemy dwie gałęzie. W wypadku jednej z nich, po lewej stronie piszemyα a po prawej β, a w wypadku drugiej z nich odwrotnie, po prawej piszemyα a po lewej β.

Podane reguły są tego rodzaju, że stosują się do dwóch dowolnych skoń-czonych zbiorów zdań: jednego zapisanego po lewej, a drugiego zapisanegopo prawej stronie pnia. Konstrukcję uzyskaną dla danych zbiorów zdań na-zywamy tablicą semantyczną lub drzewem analitycznym tych zbiorów.

Reguły odnoszące się do poszczególnych spójników mogą być stosowanew dowolnej kolejności. Z formalnego punktu widzenia kolejność stosowaniareguł nie ma znaczenia, czyli — inaczej mówiąc — odpowiedź na pytanie,czy dla danych zbiorów zdań — jednego zapisanego po lewej a drugiegozapisanego po prawej stronie pnia — drzewo jest zamknięte, nie zależy odtego, w jakiej kolejności stosujemy poszczególne reguły. Od ich kolejnościzależy jednak kształt drzewa, w szczególności jedne drzewa mogą być większe(w sensie ilości gałęzi) od innych. Zależy nam na możliwie najmniejszymdrzewie. Uzyskaniu takiego drzewa sprzyja stosowanie reguły o charakterzepragmatycznym, a mianowicie:

reguły nierozgałęźne stosujemy przed regułami rozgałęźnymi.

Mając dwa zbiory zdań, Γ i Σ możemy pytać, czy istnieje interpretacjataka, że wszystkie zdania z Γ mają wartość T , a wszystkie zdania z Σ mają


wartość F . Odpowiedź na to pytanie uzyskamy konstruując tablicę seman-tyczną. Na początku konstrukcji po lewej stronie piszemy wszystkie zdaniaz Γ, a po prawej stronie wszystkie zdania z Σ. Jeżeli uzyskamy tablicę za-mkniętą, to taka możliwość jest wykluczona. Jeżeli zaś zakończona tablicabędzie otwarta, to taka możliwość istnieje. Interpretację, dla której to zacho-dzi określamy biorąc pod uwagę jedną z otwartych gałęzi. Wszystkim literomzdaniowym znajdującym się na tej gałęzi, jeśli znajdują się po stronie lewejprzypisujemy wartość T , a gdy znajdują się po prawej przypisujemy wartośćF . Literom zdaniowym, które nie występują na branej pod uwagę gałęziprzypisujemy dowolną z wartości T i F . Dla tak określonej interpretacjiwszystkie zdania ze zbioru Γ mają wartość T , a wszystkie zdania ze zbioruΣ mają wartość F .

W szczególnym wypadku może być tak, że zbiór Γ jest pusty, a zbiór Σma dokładnie jeden element. Pytanie o to, czy może być tak, że wszystkiezdania z Γ mają wartość T , a wszystkie zdania z Σ mają wartość F jestwówczas pytaniem o to, czy możliwa jest interpretacja taka, że zdanie z Σma wartość F . Pytanie to jest więc pytaniem o to, czy ten jedyny elementΣ jest tautologią.

Definicja 1.33 (tautologii). Zdanie α jest tautologią wtedy i tylko wtedy,gdy zamknięta jest tablica semantyczna ze zdaniem α jako zdaniem począt-kowym znajdującym się po prawej stronie pnia.

W wypadku, gdy zbiór Γ jest jednoelementowy, a zbiór Σ jest pustypytanie o możliwość interpretacji takiej, że wszystkie zdania z Γ mają wartośćT , a zdania z Σ mają wartość F jest pytaniem o to, czy zdanie będącejedynym elementem Γ jest kontrtautologią.

Definicja 1.34 (kontrtautologii). Zdanie α jest kontrtautologią wtedy i tylkowtedy, gdy zamknięta jest tablica semantyczna ze zdaniem α jako zdaniempoczątkowym znajdującym się po lewej stronie pnia.

Zauważmy, że podane reguły analizy zdań są tego rodzaju, że w wy-niku ich zastosowania uzyskujemy zdanie lub zdania prostsze niż zdanie,do którego reguły są stosowane, a ponadto zdanie, do którego zastosowanoodpowiednią regułę staje się martwe, czyli nie może być przedmiotem po-nownego zastosowania któreś z reguł. Proces budowy tablicy semantycznejzawsze więc będzie mógł być zakończony. W szczególności, w wyniku sto-sowania reguł otrzymamy litery zdaniowe. Oznacza to nic innego, jak tylko


to, że rozstrzygalny jest problem, czy mając skończony zbiór zdań językarachunku zdań możliwa jest taka interpretacja, żeby każde z tych zdań miałowskazaną dla niego wartość logiczną. Jeżeli zostaną wyczerpane wszystkiemożliwości stosowania podanych reguł i tablica jest zamknięta, to taka możli-wość jest wykluczona. Jeżeli zaś tablica pozostaje niezamknięta (gdy chociażjedna gałąź nie jest zamknięta), to wówczas możliwe jest jednoczesne przy-sługiwanie wskazanych wartości wszystkim zdaniom ze zbioru zdań będącegoprzedmiotem analizy. Ażeby wskazać interpretację, dla której to ma miejsce,wystarczy wziąć pod uwagę jedną z niezamkniętych gałęzi i literze zdaniowejprzypisać wartość T , gdy litera ta znajduje się po lewej stronie, a wartośćF gdy litera ta znajduje się po prawej stronie gałęzi. W wypadku liter zda-niowych występujących w zdaniu, a niewystępujących na rozważanej gałęzi,wystarczy wziąć dowolną literę T lub F .

Przykład 1.11. PYTANIE

Czy tautologią jest zdanie:

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))?

TABLICA SEMANTYCZNA

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))X

(p ∧ (q ∨ r))X ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))X

p (p ∧ q)X

(q ∨ r)X(p ∧ r)X

q r

p q p q

p r

ODPOWIEDŹ:Zdanie:

((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))

jest tautologią. ©


Przykład 1.12. PYTANIECzy możliwa jest taka interpretacja, aby zdaniu ¬ (p ⇔ q) przysługiwaławartość F w wypadku, gdy zdaniom (p ⇔ ¬ (q ⇔ r)) i r przysługuje wartośćT?

Problem ten można w sposób równoważny można sformułować następu-jąco:Czy tautologią jest zdanie:

(((p ⇔ ¬ (q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))?

Z tego zdania — jako zdania początkowego konstrukcji — po zastosowaniuwłaściwych reguł dojdziemy do zdań, które są w treści naszego pytania.TABLICA SEMANTYCZNA

((p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))X

(p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r)X (¬(p ⇔ q))X

(p ⇔ ¬(q ⇔ r))X

r

(p ⇔ q)X

p p

q q

p p p p

¬(q ⇔ r) ¬(q ⇔ r)

¬(q ⇔ r)X ¬(q ⇔ r)X(q ⇔ r)X (q ⇔ r)X

q q q q

r r r r

ODPOWIEDŹ:Wykluczona jest interpretacja taka, żeby zdaniom (p ⇔ ¬ (q ⇔ r)) oraz r

przysługiwała wartość T a zdaniu ¬ (p ⇔ q) przysługiwała wartość F (lub,


co jest temu równoważne, zdanie:

(((p ⇔ ¬ (q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬ (p ⇔ q))

jest tautologią). ©Przykład 1.13. PYTANIECzy tautologią jest zdanie:

((p ⇒ q) ⇒ (¬ p ⇒ ¬ q))?

TABLICA SEMANTYCZNA

((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))X(p ⇒ q)X

(¬p ⇒ ¬q)X(¬p)X

(¬q)Xq

p

p q

ODPOWIEDŹ:Zdanie:

((p ⇒ q) ⇒ (¬ p ⇒ ¬ q))

nie jest tautologią. Przyjmuje ono wartość F dla takiej interpretacji, gdy pprzyjmuje wartość F a q wartość T . ©

Metoda tablic semantycznych zwykle jest sprawniejsza niż metoda zero-jedynkowa wprost. Tak czy owak, liczba operacji rośnie wykładniczo w za-leżności od długości zdania. Chociaż problem, czy zdanie jest tautologią jestrozstrzygalny, to jednak nie jest on praktycznie rozstrzygalny w tym sensie,że w wypadku odpowiednio długich zdań oczekiwanie na wynik traci sensw perspektywie nie tylko życia człowieka. Metoda zero-jedynkowa jest al-gorytmem, działającym w czasie wykładniczym. Oznacza to np., że gdybywykonanie jednej operacji trwało jeden chronom (10−43 s.), to wykonanie 2n

operacji dla n = 200 przekracza czas życia człowieka, a dla n = 500 przekra-cza wiek wszechświata. Podzielenie zadania i wykonywanie go przez wielekomputerów też sprawy nie rozwiązuje. Zawsze można wskazać takie n, żebymimo wykorzystania wszystkich istniejących maszyn czas wykonania zada-nia przekraczał z góry zadaną granicę. Tradycyjnie problem obliczeniowy


uważa się za praktycznie rozwiązywalny, gdy istnieje stała k taka, że dla ndanych algorytm wymaga wykonania co najwyżej nk operacji. O takich al-gorytmach mówi się, że działają w czasie wielomianowym. Jak na razie nieudało się znaleźć tego rodzaju algorytmu dla rozstrzygania, czy dane zdaniejest tautologią.

1.3.4 Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe

Nim przystąpimy do dowodu twierdzenia o pełności udowodnijmy przydatnylemat.

Lemat 1.2. Niech vM0, vM1, . . . , vMn będzie interpretacją taką, że vMm = Twtedy i tylko wtedy, gdy pm jest elementem M (pm ∈ M), czyli vMm = Fwtedy i tylko wtedy, gdy pm nie jest elementem M (pm 6∈ M).

M |= αwtedy i tylko wtedy, gdy

α dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn przyjmuje wartość T.

Dowód. Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na długość zdania.Niech α będzie zdaniem, którego wszystkie litery zdaniowe znajdują się

wśród (n + 1) liter: p0, p1, . . . , pn.Weźmy dowolny model M. Niech vM0, vM1, . . . , vMn będzie interpretacją

spełniającą założenia lematu.W wypadku, gdy α jest literą zdaniową, to zgodnie z określeniem inter-

pretacji vM0, vM1, . . . , vMn stwierdzamy, że M |= α wtedy i tylko wtedy, gdyα przyjmuje wartość T .

Założenie indukcyjne. Niech

1. M |= β wtedy i tylko wtedy, gdy β dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn

przyjmuje wartość T ,oraz

2. M |= γ wtedy i tylko wtedy, gdy γ dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn

przyjmuje wartość T .

(¬) Niech α będzie zdaniem: ¬ β.Niech M |= α. Z definicji |= dostajemy, że nie zachodzi M |= β.

Z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn


zdanie β przyjmuje wartość F , a zatem zdanie α (¬ β) dla tej interpretacjiprzyjmuje wartość T .

Niech α dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn przyjmuje wartość T . A więcβ przyjmuje wartość F . Z założenia indukcyjnego wynika więc, iż nie zacho-dzi M |= β, a zatem zachodzi M |= α (¬ β).

(⇒) Niech α będzie zdaniem: β ⇒ γ.Niech nie zachodzi M |= α. Z definicji |= wynika, że zachodzi M |= β oraz

że nie zachodzi M |= γ. Korzystając z założenia indukcyjnego dostajemy,że β dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn przyjmuje wartość T zaś γ dla tejinterpretacji przyjmuje wartość F . Z tego więc dostajemy, że dla interpretacjivM0, vM1, . . . , vMn zdanie α (β ⇒ γ) przyjmuje wartość F .

Niech α dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn przyjmuje wartość F . Poka-żemy, że nie zachodzi M |= α. Mamy bowiem, że β dla tej interpretacjiprzyjmuje wartość T zaś γ przyjmuje wartość F . Korzystając z założeniaindukcyjnego dostajemy, że zachodzi M |= β a nie zachodzi M |= γ, a więcnie zachodzi również M |= α (β ⇒ γ).

W wypadku koniunkcji postępujemy podobnie jak w wypadku negacji,zaś w wypadku alternatywny podobnie jak w wypadku implikacji. Z równo-ważnością możemy postępować jak z negacją, czyli zakładać, że M |= β ⇔ γa następnie zakładać, że dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn zdanie β ⇔ γprzyjmuje wartość T . Możemy również postępować jak w wypadku impli-kacji, czyli zakładając wpierw, że nie zachodzi M |= β ⇔ γ a następniezakładając, że dla interpretacji vM0, vM1, . . . , vMn zdanie β ⇔ γ przyjmujewartość F .

Zależy nam na tym, aby pojęcia tautologii i prawdziwości były sobierównoważne, czyli aby α było tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy α jest(logicznie) prawdziwe. Mówi o tym twierdzenie o pełności.

Twierdzenie 1.3 (o pełności). ` α wtedy i tylko wtedy, gdy |= α.

Dowód. Dowiedziemy dwóch tez, które łącznie składają sie na dowodzonetwierdzenie.

Wpierw dowodzimy, że

jeżeli ` α, to |= α.


Załóżmy, że ` α. Gdyby nie zachodziło |= α, to istniałby model M taki,że α nie byłoby w nim prawdziwe. Na podstawie lematu 1.2 dla interpreta-cji vM0, vM1, . . . , vMn zdanie α przyjmowałoby wartość F , a to przeczyłobyzałożeniu. Zatem α jest prawdziwe we wszystkich modelach, czyli |= α.

Teraz dowiedziemy, że

jeżeli |= α, to ` α.

Niech |= α oraz niech 6` α. Z tego mamy więc, że α dla jakiejś interpretacjiprzyjmuje wartość F . Weźmy dowolny model M taki, że jego elementem niejest żadna z liter, która w rozważanej interpretacji przyjmuje wartość F . Napodstawie lematu 1.2 mamy, że M 6|= α. A to przeczy założeniu, że |= α.

Dowiedzione twierdzenie pozwala zastąpić semantyczne pojęcie logicz-nej prawdziwości syntaktycznym pojęciem tautologiczności. Twierdzenie toumożliwia nam opuszczenie dowodu, że zdanie jest logicznie prawdziwe jeżeliwiadomo, że jest ono tautologią.

Ponieważ rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest tautologią, więc napodstawie twierdzenia o pełności jest jasne, że również rozstrzygalny jestproblem, czy zdanie jest logicznie prawdziwe.

1.3.5 Spójniki prawdziwościowe

Definicja 1.35 (spójnika prawdziwościowego). Spójnik prawdziwościowy tospójnik taki, że wartość logiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocątego spójnika jest wyznaczona przez wartości logiczne zdań-argumentów tegospójnika, czyli wartość logiczna zdania złożonego jest funkcją wartości logicz-nych zdań-argumentów.

Na to, aby określić wartość logiczną zdania „nieprawda, że α” wystarczyznać wartość logiczną zdania α. Fraza „nieprawda, że . . . ” jest spójnikiemprawdziwościowym.

Przykładem dwuargumentowego spójnika, który nie jest prawdziwościowymoże być spójnik „z tego, że . . . wynika, że . . . ”. Wartość logiczna zdania „ztego, że α wynika, że β” jest określona w wypadku, gdy α jest prawdziwe a βjest fałszywe; zdanie to wówczas jest fałszywe. W pozostałych możliwychwypadkach układów wartości zdań α i β, wartość logiczna zdania złożonegonie jest określona przez wartości logiczne zdań-argumentów. Na przykład,niech prawdziwe będą zdania:


1. A jest trójkątem równobocznym;

2. A jest trójkątem równoramiennym;

3. B jest kwadratem.

Otóż ze zdania 1 wynika zdanie 2. Ze zdania 1 nie wynika zdanie 3, zaśimplikacja, której poprzednikiem jest 1 a następnikiem 3 jest zdaniem praw-dziwym. Spójnik implikacji jest prawdziwościowy, nie należy go więc mylićz wynikaniem.

Spójniki: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔ są spójnikami prawdziwościowymi.

Definicja 1.36 (równoważności spójników). Dwa spójniki są równoważne(ekstensjonalnie równe), wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze dla tych samychzdań-argumentów wartość logiczna zdań złożonych zbudowanych za pomocątych spójników jest taka sama.

Można obliczyć, że są dokładnie cztery (teoretycznie możliwe) eksten-sjonalnie różne jednoargumentowe spójniki prawdziwościowe. Takich spój-ników dwuargumentowych jest szesnaście. Ogólnie, jest 22n ekstensjonalnieróżnych n-argumentowych spójników prawdziwościowych (n = 1, 2, 3, . . . ).Inaczej mówiąc, są dokładnie cztery funkcje jednoargumentowe ze zbiorudwuelementowego do zbioru dwuelementowego oraz szesnaście takich funk-cji dwuargumentowych. Ogólnie biorąc, funkcji n-argumentowych ze zbiorudwuelementowego do zbioru dwuelementowego jest 22n .

W słowniku języka rachunku zdań opisanym na str. 15 pod uwagę wzię-liśmy pięć spójników. Teraz rozważymy inne spójniki prawdziwościowe.

Definicja 1.37 (alternatywy rozłącznej, ⊕). Alternatywa rozłączna zdań αi β, α⊕ β, charakteryzowana jest następującą tabelką wartości logicznych:

α β α⊕ β

T T FT F TF T TF F F

W języku polskim na odczytanie alternatywy rozłącznej znajdujemy wy-rażenie „. . . albo . . . ” lub „albo . . . albo . . . ”. Jak się zdaje intuicja możepodpowiadać, że zamiast powiedzieć „Albo Jan jest w domu albo w kinie”


moglibyśmy w sposób równoważny wypowiedzieć: „Jan jest w domu wtedyi tylko wtedy, gdy nie ma go w kinie” lub — symetrycznie — „Jana nie maw domu wtedy i tylko wtedy, gdy jest w kinie”. Uogólniając przykład stwier-dzamy, że zdanie „albo α albo β” jest równoważne zdaniu „α wtedy i tylkowtedy, gdy nieprawda, że β” lub zdaniu „(nieprawda, że α) wtedy i tylkowtedy, gdy β”. Można obliczyć, że w żadnym wypadku wartość logiczna zda-nia α ⊕ β nie różni się od wartości logicznej zdania ¬ α ⇔ β oraz zdaniaα ⇔ ¬ β i zdania ¬ (α ⇔ β). Inaczej mówiąc, zdania te są jedno drugiemurównoważne.

Definicja 1.38 (binegacji, ↓). Binegacja zdań α i β, α ↓ β, charakteryzo-wana jest następującą tabelką wartości logicznych:

α β α ↓ β

T T FT F FF T FF F T

W języku polskim na odczytanie binegacji znajdujemy wyrażenie „ani . . . ,ani . . . ”. Takie bowiem znaczenie musimy przypisać temu wyrażeniu choćbyw takich zwrotach języka polskiego jak: „ani słychu, ani widu o nim”, „animnie to grzeje, ani ziębi”. Kierując się wyłącznie intuicją znaczeń wyrażeńjęzyka polskiego zauważmy, iż zamiast powiedzieć, np. „ani Jan zdolny, anipracowity”14 możemy z zachowaniem myśli zawartej w tym zdaniu powiedzieć„Jan nie jest zdolny i nie jest pracowity”. Różnica pomiędzy obu zdaniamijest tylko różnicą stylu. Uogólniając przykład stwierdzamy, że zdanie „ani α,ani β” jest równoważne zdaniu „nieprawda, że α i nieprawda, że β”. Możnaobliczyć, że wartość logiczna zdania α ↓ β nie różni się od wartości logicznejzdania zdania ¬ α ∧ ¬ β, czyli zdania te są jedno drugiemu równoważne.

Problem wyrażenia jakiegoś n-argumentowego spójnika prawdziwościo-wego s przez inne spójniki polega więc na tym, żeby znaleźć zdanie zbu-dowane za pomocą tych innych spójników i (niekoniecznie wszystkich i nie-koniecznie tylko) zdań-argumentów spójnika s, aby dla każdej interpretacji

14Zgodnie z frazeologią języka polskiego powiemy: „Ani Jan nie jest zdolny, ani niejest pracowity”. Podobnie jest w wypadku innych spójników języka rachunku zdań —w zależności od kontekstu mogą być wyrażane inaczej niż to ustaliliśmy jako sposób ichodczytywania.


wartość logiczna tego zdania była taka sama jak zdania zbudowanego zapomocą spójnika s.

1.3.6 Funkcjonalna pełność

Nim pokażemy, że wszystkie teoretycznie możliwe spójniki prawdziwościowedadzą się wyrazić za pomocą tylko trzech spójników: negacji, alternatywyi koniunkcji, podajmy twierdzenie, z którego będziemy korzystać w dowodzietego faktu.

Twierdzenie 1.4 (o zastępowaniu). Niech αβ::=γ−→ δ, czyli niech zdanie δ

będzie wynikiem zastąpienia w zdaniu α zdania β przez zdanie γ.

Jeżeli ` β ⇔ γ, to ` α ⇔ δ.

Twierdzenie to głosi, że jeżeli w zdaniu α zastąpimy, będący zdaniem,występujący w nim ciąg symboli β ciągiem symboli γ takim, że zdania β orazγ są równoważne (` β ⇔ γ), to otrzymamy zdanie δ równoważne zdaniu α(` α ⇔ δ).

Dowód. Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na budowę zdania α.Niech α będzie zdaniem β. Po zastąpieniu β przez γ otrzymamy zdanie γ.

Ponieważ z założenia ` β ⇔ γ, więc ` α ⇔ δ.

Założenie indukcyjne. Niech α1β::=γ−→ δ1 oraz α2

β::=γ−→ δ2

(¬) Jeżeli α jest zdaniem ¬ α1 a ` β ⇔ γ, to na podstawie założenia in-dukcyjnego mamy, że dla dowolnej interpretacji wartość logiczna δ1 jest takasama jak wartość logiczna α1. Zatem dla dowolnej interpretacji wartość lo-giczna ¬ α1 jest taka sama jak ¬ δ1, czyli ` α ⇔ δ.

Dla wszystkich spójników dwuargumentowych postępujemy podobnie.Rozważmy więc tylko wypadek alternatywy.(∨) Jeżeli α jest zdaniem α1 ∨ α2 a zastępowania dokonujemy w α1, to napodstawie założenia indukcyjnego dla dowolnej interpretacji wartość logicznaα1 jest taka sama jak wartość logiczna δ1. Zatem dla dowolnej interpretacjiwartość logiczna α1 ∨ α2 jest taka sama jak wartość logiczna δ1 ∨ α2, czyli` α ⇔ δ.

Podobnie postępujemy, gdy zastępowania dokonujemy w α2.

Dla dowolnego zdania α, w którym występują tylko spójniki prawdzi-wościowe istnieje logicznie równoważne mu zdanie β (` α ⇔ β), w którymwystępują tylko spójniki: ¬,∨,∧, czyli


Twierdzenie 1.5 (o funkcjonalnej pełności). Zbiór spójników ¬,∨,∧ jestfunkcjonalnie pełny.

Dowód. Niech dany będzie n-argumentowy spójnik prawdziwościowy s. Niechspójnik ten będzie charakteryzowany przez następującą tabelkę wartości lo-gicznych:

α1 α2 . . . αn s(α1, α2, . . . , αn)

v11 v1

2 . . . v1n v1

. . . . . . . . . . . . . . .

vj1 vj

2 . . . vjn vj

. . . . . . . . . . . . . . .v2n

1 v2n

2 . . . v2n

n v2n

Dowodzić będziemy przez indukcję. Budować będziemy takie zdanie α′

równoważne zdaniu α, w którym występują tylko spójniki: ¬,∨ i ∧.Rozważmy wpierw wypadek, gdy α jest zdaniem, w którym występuje

tylko spójnik s (wszystkie argumenty spójnika s są literami zdaniowymi).W wypadku, gdy wszystkie wartości v1, . . . , vj, . . . , v2n , jakie przyjmuje α

są równe F , to jako α′ bierzemy koniunkcję wszystkich występujących w αliter zdaniowych i ich negacji. Zdanie to dla dowolnej interpretacji przyjmujewartość F . Jest zatem równoważne zdaniu α.

Niech teraz dla jakiegoś układu wartości vj1, v

j2, . . . , v

jn zdanie α przyjmuje

wartość T . Dla każdego układu wartości vj1, v

j2, . . . , v

jn(j = 1, . . . , 2n), dla

którego α przyjmuje wartość T bierzemy koniunkcję liter zdaniowych pi, gdyvj

i przyjmuje wartość T i ¬ pi, gdy vji przyjmuje wartość F . Koniunkcja ta

przyjmuje wartość T wtedy i tylko wtedy, gdy litera zdaniowa pi przyjmujewartość vj

i , (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , 2n). Alternatywa wszystkich takichkoniunkcji jest równoważna zdaniu α.

Założenie indukcyjne. Niech β1, . . . βn będą zdaniami takimi, że istnieją rów-noważne im zdania, odpowiednio, β′1, . . . , β

′n zbudowane tylko za pomocą

spójników: ¬,∨,∧. Niech α będzie zdaniem s(β1, . . . , βn). Postępujemypodobnie jak w wypadku, gdy argumentami s były litery zdaniowe. Tymrazem jednak zamiast liter zdaniowych bierzemy zdania β′1, . . . , β

′n i ich ne-

gacje. Korzystając z założenia indukcyjnego i twierdzenia o zastępowaniustwierdzamy, że uzyskane konstrukcje są równoważne zdaniu α.

Można pokazać, że


Wniosek 1.6. Każdy ze zbiorów spójników ¬,∨, ¬,∧, ¬,⇒ jest funk-cjonalnie pełny.

W dowodzie wystarczy skorzystać z równoważności:

(α ∧ β) ⇔ ¬ (¬ α ∨ ¬ β)(α ∨ β) ⇔ ¬ (¬ α ∧ ¬ β)

(α ⇒ β) ⇔ (¬ α ∨ β)(α ∨ β) ⇔ (¬ α ⇒ β)

(α ⇒ β) ⇔ ¬ (α ∧ ¬ β)(α ∧ β) ⇔ ¬ (α ⇒ ¬ β).

Okazuje się, że sam spójnik ↓ (ani . . . , ani . . . ) wystarcza dla konstruk-cji zdań logicznie równoważnych zdaniom zbudowanym za pomocą jakich-kolwiek (nawet tylko dających się pomyśleć) spójników prawdziwościowych.Pokazano również, że taką samą własność ma także spójnik zwany kreskąSheffera, oznaczany |, a odczytywany „albo nie . . . albo nie . . . ”. Spójnik tenjest charakteryzowany następującą tabelką:

β γ β | γT T FT F TF T TF F T

Dla ciekawości dodajmy, że oprócz „ani . . . , ani . . . ” i „albo nie . . . albonie . . . ” żaden inny co najwyżej dwuargumentowy spójnik sam jeden niewystarcza dla wypowiedzenia wszystkich pozostałych spójników prawdziwo-ściowych.

1.3.7 Postacie normalne

Zdania o postaci opisanej w dowodzie twierdzenia o funkcjonalnej pełnościmają szczególną budowę. Taką budowę mają zdania o postaci normalnejdysjunkcyjnej (alternatywnej). Dla różnych celów, zarówno teoretycznychjak i praktycznych, wygodne jest korzystanie z jakiejś standardowej (kano-nicznej) postaci zdań.

Definicja 1.39 (literału). Literał to litera zdaniowa lub litera zdaniowapoprzedzona spójnikiem negacji.


Litery zdaniowe to literały pozytywne, a negacje liter zdaniowych to lite-rały negatywne.

Przykład 1.14. Literałami są: p1,¬ p1, p2,¬ p2, . . .p1, p2, . . . to literały pozytywne, a ¬ p1,¬ p2, . . . to literały negatywne.©

Definicja 1.40 (koniunkcji elementarnej). Zdanie:

λ1 ∧ λ2 ∧ · · · ∧ λn,

gdzie λi jest literałem, 1 ≤ i ≤ n,to koniunkcja elementarna.

Definicja 1.41 (dysjunkcyjnej postaci normalnej, DNF15 ). Zdanie:

δ1 ∨ δ2 ∨ · · · ∨ δn,

gdzie δi jest koniunkcją elementarną, 1 ≤ i ≤ n,to dysjunkcyjna (alternatywna) postać normalna zdania.

Zdanie α ma postać normalną dysjunkcyjną (alternatywną) wtedy i tylkowtedy, gdy α jest koniunkcją zdań, z których każde jest literą zdaniową lubliterą zdaniową poprzedzoną spójnikiem negacji, albo α jest alternatywą ta-kich koniunkcji.Przykład 1.15. Zdaniem o postaci normalnej dysjunkcyjnej jest:

(p ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬ r). ©Definicja 1.42 (dysjunkcji elementarnej, klauzuli). Zdanie:

λ1 ∨ λ2 ∨ · · · ∨ λn,

gdzie λi jest literałem, 1 ≤ i ≤ n,to dysjunkcja elementarna lub klauzula.

Klauzula to alternatywa literałów.

Definicja 1.43 (koniunkcyjnej postaci normalnej, CNF16 ). Zdanie:

κ1 ∧ κ2 ∧ · · · ∧ κn,

gdzie κi jest dysjunkcją elementarną, 1 ≤ i ≤ n,to koniunkcyjna postać normalna zdania.

15Z angielskiego: Disjunctive Normal Form.16Z angielskiego: Conjunctive Normal Form.


Zdanie α ma koniunkcyjną postać normalną wtedy i tylko wtedy, gdy αjest alternatywą zdań, z których każde jest literą zdaniową lub literą zdaniowąpoprzedzoną znakiem negacji, albo α jest koniunkcją takich alternatyw.

Przykład 1.16. Zdaniem o postaci normalnej koniunkcyjnej jest:

(p ∨ ¬ p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬ q). ©

Dla każdego zdania sformułowanego w języku klasycznej logiki zdań możnaskonstruować logicznie równoważne zdanie o postaci alternatywnej normalnejoraz logicznie równoważne zdanie o postaci koniunkcyjnej normalnej.

Pierwszym krokiem zarówno w wypadku procedury uzyskania postaci al-ternatywnej jak i koniunkcyjnej jest wyeliminowanie spójników implikacjii równoważności. Dokonujemy tego przez zastąpienie każdej podformuły,w której taki spójnik występuje przez formułę równoważną bez tych spójni-ków. Korzystamy z następujących równoważności:

1. (α ⇔ β) ⇔ [(α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)],

2. (α ⇒ β) ⇔ (¬ α ∨ β).

Kolejnym krokiem uzyskania zarówno jednej jak i drugiej postaci jestdoprowadzenie do sytuacji, gdy spójniki negacji jako argumenty majątylko litery zdaniowe. W tym celu korzysta się z następujących równo-ważności:

3. ¬ ¬ α ⇔ α,

4. ¬ (α ∨ β) ⇔ (¬ α ∧ ¬ β),

5. ¬ (α ∧ β) ⇔ (¬ α ∨ ¬ β).

Zastępowanie z wykorzystaniem równoważności 1–5 prowadzi się takdługo, jak to jest możliwe. W rezultacie otrzymuje się zdanie, które jestzbudowane tylko z literałów oraz spójników alternatywy i koniunkcji.Teraz w zależności od tego, jaka interesuje nas postać, stosujemy jednąz dwóch równoważności.

Dla uzyskania zdania o dysjunkcyjnej postaci normalnej korzystamy z:

6. [α ∧ (β ∨ γ)] ⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)].

Dla uzyskania zdania o koniunkcyjnej postaci normalnej korzystamy z:


7. [α ∨ (β ∧ γ)] ⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)].

Do konstrukcji postaci normalnych można wykorzystać drzewa analityczne.Pod uwagę bierzemy tablice zakończone, czyli takie, w których jedynymi ży-wymi zdaniami są litery zdaniowe.

W wypadku postaci normalnej dysjunkcyjnej konstruujemy drzewo zapi-sując po lewej stronie zdanie, którego normalną postać dysjunkcyjną chcemyznaleźć. Dla każdej gałęzi bierzemy koniunkcję, której wszystkimi i tylkoczłonami są litery zdaniowe znajdujące się po lewej stronie i negacje literzdaniowych znajdujących się po prawej stronie tej gałęzi. Alternatywa ta-kich koniunkcji, dających się skonstruować dla wszystkich i tylko gałęzi ta-kiego drzewa analitycznego, jest zdaniem o normalnej postaci dysjunkcyjnejrównoważnym zdaniu α.

W wypadku postaci normalnej koniunkcyjnej konstruujemy drzewo za-pisując po prawej stronie zdanie, którego normalną postać koniunkcyjnąchcemy znaleźć. Dla każdej gałęzi bierzemy alternatywę, której wszystkimii tylko członami są litery zdaniowe znajdujące się po prawej stronie i nega-cje liter zdaniowych znajdujących się po lewej stronie tej gałęzi. Koniunkcjatakich alternatyw, dających się skonstruować dla wszystkich i tylko gałęzi ta-kiego drzewa analitycznego, jest zdaniem o normalnej postaci koniunkcyjnejrównoważnym zdaniu α.

Zdanie o postaci normalnej koniunkcyjnej jest tautologią wtedy i tylkowtedy, gdy na każdą alternatywę zdań będącą członem koniunkcji składa sięjakaś litera zdaniowa pi oraz ¬ pi, a więc gdy wszystkie człony koniunkcji sątautologiami.

Zauważmy, że zdanie o postaci normalnej dysjunkcyjnej jest kontrtau-tologią wtedy i tylko wtedy, gdy alternatywę tworzą koniunkcje takie, żew każdej z nich występuje jakaś litera zdaniowa pi oraz ¬ pi, a więc gdywszystkie człony alternatywy są kontrtautologiami.

1.3.8 Elektroniczna interpretacja spójników

Rachunek zdań znalazł interesujące zastosowanie techniczne w maszynachmatematycznych. Wartości logiczne zdań złożonych w zależności od spój-nika i wartości logicznych zdań-argumentów można interpretować jako opisdziałania pewnych układów elektronicznych. Przyjmuje się, że każde z wejśćmoże znajdować się w jednym z dwóch stanów. Są to dwa rozróżnialne stanyfizyczne. Mogą nimi być np. pary: impuls, brak impulsu; napięcie v1, na-


pięcie v2 (v1 6= v2). Stany te można oznaczać: 0, 1. Ponadto zakłada się,że układy te działają bezczasowo, tzn. że stan wyjścia nie zależy od czasuprzetwarzania danych na wejściu, a jedynie od stanów wejść. Takie układyto sieci logiczne.

Poszczególnym spójnikom przyporządkowuje się tzw. bramki logiczne lubpo prostu bramki. Nazwy bramek pochodzą z języka angielskiego. NOTto negacja, AND — koniunkcja, OR — alternatywa, XOR — alternatywawyłączająca (eXclusive). NAND (dysjunkcja Sheffera), NOR (binegacja),XNOR (równoważność) to skróty dla, odpowiednio, NOT AND, NOT OR,NOT XOR.

α ¬α

Bramka NOT

α

βα ∧ β

Bramka AND

Zamiast:

α

β¬(α ∧ β)

korzystamy z:

α

β¬(α ∧ β)


Bramka NAND

α

β

α ∨ β

Bramka OR

Zamiast:

α

β

α ∨ β ¬(α ∨ β)

korzystamy z:

α

β

¬(α ∨ β)

Bramka NOR

α

βα⊕ β

Bramka XOR

Zamiast:

α

β

α⊕ β ¬(α⊕ β)


korzystamy z:

α

β

¬(α⊕ β)

Bramka XNOR

Związki między wartościami logicznymi zdań-argumentów a wartościąlogiczną zdania złożonego opisywane są przez tablicę. Sieć logiczna reali-zuje tablicę, jeśli mając na wejściu wartości przyporządkowane zdaniom-argumentom, na wyjściu ma stan odpowiadający wartości logicznej zdaniazłożonego.

Układami (sieciami) podstawowymi są sieci realizujące tablice negacji,alternatywy i koniunkcji.

Okazuje się, że możliwe jest zbudowanie dowolnej bramki, używając tylkobramki NAND. Zauważmy, że jako bramkę NOT bierzemy bramkę NANDtylko z jednym wejściem. Bramka AND może być zbudowana za pomocąbramek NAND, jako pierwszej i na jej wejściu bramki NOT, która — jakwyżej zauważyliśmy — daje się zbudować za pomocą NAND. Bramkę ORbudujemy poprzedzając bramkę NAND bramki NOT (którą potrafimy zbu-dować z bramki NAND) na każdym wejściu. Jeżeli więc w danej technologiiłatwiej zbudować bramkę NAND, to możemy wykorzystać omówiony fakt ikonstruować dowolne bramki tylko z bramki NAND.

Podobnie można pokazać, że każdą bramkę można zbudować korzystająctylko z bramki NOR.

Zasadniczym problemem teorii sieci logicznych jest określenie takich za-sad, aby dla dowolnej zadanej tablicy można było zbudować realizującą jąsieć złożoną z układów podstawowych. Jest to tzw. problem syntezy siecilogicznych. Sprowadza się on do podania odpowiadającego danej tablicywyrażenia rachunku zdań zbudowanego za pomocą spójników negacji, alter-natywy i koniunkcji. Dla takiego wyrażenia konstruuje się sieci z układówpodstawowych.

1.3.9 Dowód w rachunku zdań

Podstawową regułą syntaktyczną (operacją na napisach) będzie reguła odry-wania (MP, modus ponens).


Definicja 1.44 (reguły odrywania, MP). Ze zdań α i α ⇒ β wyprowadzalnejest zdanie β.

Zdanie α daje się wyprowadzić ze zdań β i γ za pomocą reguły odrywania,gdy γ jest zdaniem β ⇒ α.

Definicja 1.45 (dowodu). Niech Σ będzie dowolnym (skończonym lub nie-skończonym) zbiorem zdań. α wynika syntaktycznie (daje się wyprowadzić z,ma dowód z, jest konsekwencją, jest wnioskiem z) Σ, co oznaczamy: Σ ` α,wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki skończony ciąg zdań α0, α1, . . . , αn , żeα = αn oraz dla każdego i, 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest przynajmniej jedenz warunków:

1. αi jest tautologią,

2. αi należy do Σ,

3. istnieją j, k < i takie, że αi daje się za pomocą reguły odrywaniawyprowadzić ze zdań αj i αk.

Ciąg α0, α1, . . . , αn to dowód z Σ zdania α.

Ilość zdań-wyrazów ciągu dowodowego to długość dowodu. Zdania zezbioru Σ to założenia (dowodu z Σ).

Dowody zapisujemy w postaci kolumny wierszy dowodowych, na któreskładać się będą:

• kolejny numer zdania,

• zdanie,oraz

• wskazanie racji, dla których to zdanie można dołączyć do dowodu.

— Będziemy pisali „tautologia”, jeżeli dołączone zdanie jest tautologią.

— „Założenie” piszemy w wypadku, gdy zdanie to należy do zbioru Σ.

— Jeżeli zdanie będzie uzyskane w wyniku użycia reguły odrywania,będziemy pisali „MP” oraz, po średniku, podajemy numery wierszydowodowych, w których znajdują się zdania, do których reguła tazostała zastosowana.


Przykład 1.17. Pokażemy że zdanie a < c ma dowód ze zbioru:

a < b ∧ b < c ⇒ a < c, a < b, b < c;

czyli żea < b ∧ b < c ⇒ a < c, a < b, b < c ` a < c17.

1. a < b ⇒ (b < c ⇒ ((a < b ∧ b < c ⇒ a < c) ⇒ a < c)) tautologia

2. a < b założenie

3. b < c ⇒ ((a < b ∧ b < c ⇒ a < c) ⇒ a < c) (MP 2, 1)

4. b < c założenie

5. (a < b ∧ b < c ⇒ a < c) ⇒ (a < c) (MP 4, 3)

6. a < b ∧ b < c ⇒ a < c założenie

7. a < c (MP 6, 5) ©Lemat 1.7. Jeżeli α i α ⇒ β są tautologiami, to β jest tautologią.

Dowód. Niech w ciągu p0, p1, . . . , pn znajdują się wszystkie litery zdaniowe,z których jest zbudowane zdanie α ⇒ β i niech β nie będzie tautologią. Ist-nieje zatem taka interpretacja v0, v1, . . . , vn, że zdanie β dla tej interpretacjiprzyjmuje wartość F . Ponieważ z założenia α ⇒ β jest tautologią, więc αdla tej interpretacji musi przyjmować wartość F , a to przeczy założeniu, żeα jest tautologią.

α ma dowód z pustego zbioru zdań wtedy i tylko wtedy, gdy α jest tau-tologią, czyli

Lemat 1.8.∅ ` α wtedy i tylko wtedy, gdy ` α

Dowód. Jeżeli α jest tautologią, to ciąg, którego jedynym wyrazem jest αjest dowodem α z pustego zbioru zdań, czyli mamy:

jeżeli ` α to ∅ ` α.

17Poszczególne wyrażenia języka teorii mniejszości: a < b, b < c, a < c odpowiadająliterom zdaniowym, czyli są przez nas traktowane jako wewnętrznie niezłożone.


Niech α ma dowód z pustego zbioru zdań. Niech α0, α1, . . . , αn będziejakimś dowodem α. Przez indukcję, ze względu na długość tego dowodu,pokażemy, że α jest tautologią.

Ponieważ Σ jest puste, więc zgodnie z definicją dowodu α0 może być tylkotautologią.

Założenie indukcyjne. Niech dla i ≤ k, αi będzie tautologią.Pokażemy, że αk+1 jest tautologią. Zgodnie z definicją dowodu αk+1 może

być tautologią lub może być otrzymane przez zastosowanie reguły odrywaniado wyrazów poprzedzających αk+1 w ciągu α0, α1, . . . , αn. Jeżeli jednak sto-sujemy regułę odrywania do zdań, które są tautologiami, to w wyniku otrzy-mujemy tautologię. W każdym wypadku αk+1 jest więc tautologią. Mamyzatem, że

jeżeli ∅ ` α to ` α.

Wniosek 1.9. α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy α ma dowód z do-wolnego zbioru zdań.

UWAGA: W wypadku gdy Σ jest pustym zbiorem zdań (Σ = ∅) zamiast:

∅ ` α

będziemy pisali:` α.

Lemat 1.10. Jeżeli α jest tautologią, to β ⇒ α jest tautologią.

Dowód. Niech w ciągu p0, p1, . . . , pn znajdują się wszystkie litery zdaniowe,z których jest zbudowane zdanie β ⇒ α. Gdyby β ⇒ α nie było tautologią,to istniałaby interpretacja v0, v1, . . . , vn taka, że dla tej interpretacji zdanieβ ⇒ α przyjmowałoby wartość F . Byłoby to jednak możliwe tylko wówczas,gdyby α dla tej interpretacji przyjmowało wartość F , a to jest wykluczone,z założenia bowiem α jest tautologią.

1.3.10 Twierdzenie o dedukcji

Intuicyjnie utożsamiane są stwierdzenia:


zdanie β jest wnioskiem ze zdania αi

twierdzeniem jest, że jeżeli α, to β.

Mając do udowodnienia zdanie „ jeżeli α, to β” bierzemy zdanie α jako prze-słankę, a następnie wyprowadzamy β jako wniosek z α. Mając zaś udo-wodnione, że β jest wnioskiem z α, przyjmujemy jako udowodnione zdanie:„ jeżeli α, to β”.

Twierdzenie 1.11 (o dedukcji).

Σ ∪ α ` βwtedy i tylko wtedy, gdy

Σ ` α ⇒ β.

Dowód. Udowodnimy dwie tezy, które łącznie składają się na twierdzenieo dedukcji, a mianowicie:Teza 1. jeżeli Σ ` α ⇒ β, to Σ ∪ α ` β

Teza 2. jeżeli Σ ∪ α ` β, to Σ ` α ⇒ β.

Dowód tezy 1 jest krótki. Niech α0, α1, . . . , αn będzie dowodem ze zbioruΣ zdania α ⇒ β. W wypadku, gdy zbiorem założeń jest zbiór zdań Σ∪ α,zdanie α jest założeniem, więc może być dołączone do dowodu. Mamy zatem:α0, α1, . . . , αn, α. Ponieważ β daje się za pomocą MP wyprowadzić z αn(=α ⇒ β) i α, zatem do ciągu dowodowego α0, α1, . . . , αn, α możemy równieżdołączyć β. Ciąg α0, α1, . . . , αn, α, β jest dowodem ze zbioru Σ∪ α zdaniaβ.

Dowód tezy 2 jest bardziej złożony. Niech Σ ∪ α ` β, czyli niech istniejedowód β ze zbioru Σ ∪ α. Niech α0, α1, . . . , αn będzie tym dowodem.Przez indukcję ze względu na długość tego dowodu, pokażemy, że dla każdegoi, 0 ≤ i ≤ n, Σ ` α ⇒ αi. W szczególności dla i = n będzie:

Σ ` α ⇒ β.

Pokażmy to wpierw dla i = 0.α0 może być tautologią, bądź może być założeniem.Gdy α0 jest tautologią, to — na podstawie wyżej udowodnionego lematu

1.10 — α ⇒ α0 jest tautologią, a więc ma dowód z dowolnego zbioru zdań,w szczególności z Σ.


Jeżeli α0 jest założeniem, to jest to bądź zdanie α, bądź jakiś elementzbioru Σ.

Jeżeli α0 jest zdaniem α, to zdanie α ⇒ α ma dowód z Σ, jest bowiemtautologią.

Niech α0 ∈ Σ. Ciąg:1. α0 ⇒ (α ⇒ α0) tautologia

2. α0 założenie

3. α ⇒ α0 (MP; 1,2)będzie dowodem zdania α ⇒ α0 ze zbioru Σ.Założenie indukcyjne.

Niech dla i ≤ k < n zachodzi: Σ ` α ⇒ αi.Pokażemy, że dla i = k + 1 zachodzi:

Σ ` α ⇒ αk+1.

Zgodnie z definicją dowodu, αk+1 może być bądź tautologią, bądź założe-niem, bądź może być uzyskane przez zastosowanie reguły odrywania.

Jeżeli αk+1 jest tautologią lub założeniem, to postępujemy tak samo jakw wypadku α0.

Rozważmy więc tylko wypadek, gdy αk+1 uzyskane jest przez zastosowaniereguły odrywania. Niech więc w ciągu dowodowym αk+1 będzie poprzedzaneprzez zdania αm oraz αm ⇒ αk+1. Zgodnie z założeniem indukcyjnym zdaniaα ⇒ αm i α ⇒ (αm ⇒ αk+1) mają dowód ze zbioru Σ. Niech ciąg:

β0, β1, . . . , βl(= α ⇒ αm)

będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αm a ciąg:

γ0, γ1, . . . , γu[= α ⇒ (αm ⇒ αk+1)]

będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ (αm ⇒ αk+1). Ciąg:

β0, β1, . . . , βl, γ0, γ1, . . . , γu,

przedłużony o następujące trzy zdania:(l+u+3). [α ⇒ (αm ⇒ αk+1)] ⇒ [(α ⇒ αm) ⇒ (α ⇒ αk+1)] tautologia

(l+u+4). (α ⇒ αm) ⇒ (α ⇒ αk+1) (MP; l+u+2, l+u+3)

(l+u+5). α ⇒ αk+1 (MP; l+u+4, l + 1).jest dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αk+1.


1.3.11 Sprzeczne i niesprzeczne zbiory zdań

Definicja 1.46 (syntaktycznie sprzecznego zbioru zdań). Σ jest (syntaktycz-nie) sprzecznym zbiorem zdań wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla dowolnego α : Σ ` α.

Zbiór zdań, który nie jest sprzeczny jest niesprzeczny.

Definicja 1.47 (syntaktycznie niesprzecznego zbioru zdań). Σ jest (syntak-tycznie) niesprzecznym zbiorem zdań wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla pewnego α nie jest tak, że Σ ` α.

Zbiór zdań, który nie jest niesprzeczny jest sprzeczny.

Definicja zbioru sprzecznego jest równoważna określeniu zbioru sprzecz-nego jako takiego zbioru, którego zbiór konsekwencji, a więc zdań z niegowyprowadzalnych jest równy zbiorowi L wszystkich zdań, czyli Σ jest sprzecz-nym zbiorem zdań wtedy i tylko wtedy, gdy α : Σ ` α = L.

Intuicyjne pojęcie semantycznie niesprzecznego zbioru zdań jest takie, żeza niesprzeczny (semantycznie) uważamy każdy zbiór zdań prawdziwych w ja-kiejś dziedzinie przedmiotowej (byłby to warunek wystarczający niesprzecz-ności semantycznej) a istnienie jakiejś „rzeczywistości”, w której prawdziwesą wszystkie zdania z jakiegoś zbioru zdań uznajemy za warunek koniecznyniesprzeczności (semantycznej) tego zbioru. A zatem w terminologii logicznejznaczyłoby to, że

Definicja 1.48 (semantycznie niesprzecznego zbioru zdań). Zbiór zdań jestsemantycznie niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma model.

W wypadku, gdy istnieje równoważność wynikania syntaktycznego i se-mantycznego, pojęcia niesprzeczności syntaktycznej i semantycznej są teżrównoważne. W zastosowaniach logiki nie będzie więc potrzeby ich odróż-niania.

1.3.12 Wynikanie syntaktyczne a wynikanie semantyczne

Reguły rachunku logicznego winny być tak dobrane, aby stosunek wynikaniawedług tych reguł pokrywał się z rzeczywistym stosunkiem wynikania. Dlastwierdzenia zachodzenia takiej równości konieczne jest zdefiniowanie tego,co określamy jako rzeczywiste wynikanie. Zdefiniowane pojęcie wynikaniarzeczywistego określimy jako wynikanie semantyczne.


Definicja 1.49 (modelu zbioru zdań). M jest modelem zbioru zdań Σ, cozapisujemy:

M |= Σ

wtedy i tylko wtedy, gdy każde zdanie ze zbioru Σ jest prawdziwe w M; czyligdy dla każdego α:

jeżeli α ∈ Σ, to M |= α.

O zbiorze Σ mówimy, że jest spełniony w M.

Definicja 1.50 (wynikania semantycznego, |=). Zdanie α wynika seman-tycznie z Σ (jest następstwem zdań z Σ, zdania z Σ są racjami α), co zapi-sujemy: Σ |= α, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego modelu M:

jeżeli M |= Σ, to M |= α,

czyli w każdym modelu, w którym prawdziwe są wszystkie zdania z Σ, praw-dziwe jest również zdanie α.

Twierdzenie głoszące, że wynikanie syntaktyczne pokrywa się z wynika-niem semantycznym, czyli uogólnione twierdzenie o pełności jest konsekwen-cją twierdzenia głoszącego, że zbiór zdań jest (syntaktycznie) niesprzecznywtedy i tylko wtedy, gdy ma model, czyli jest wnioskiem z uogólnionegotwierdzenia o niesprzeczności.

Twierdzenie 1.12 (uogólnione twierdzenie o niesprzeczności). Zbiór zdańΣ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma model.

Twierdzenie to pozostawiamy bez dowodu.

Wnioskiem z uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności jest twierdzenie,które głosi, że α wynika semantycznie ze zbioru Σ wtedy i tylko wtedy, gdywynika z tego zbioru syntaktycznie.

Twierdzenie 1.13 (uogólnione twierdzenie o pełności).

Σ |= α wtedy i tylko wtedy, gdy Σ ` α.

Dowód. Dowieść należy dwóch tez.Teza 1. Jeżeli Σ |= α, to Σ ` α,

oraz


Teza 2. Jeżeli Σ ` α, to Σ |= α.

Rozpoczniemy od tezy 1. Dowodzić będziemy niewprost. Niech więcΣ |= α i nieprawda, że Σ ` α.

Z tego, że nieprawda, iż Σ ` α mamy, że zbiór Σ∪¬ α jest niesprzeczny.Zatem na podstawie uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności Σ ∪ ¬ αma model. Ten model jest modelem zbioru Σ a nie jest modelem zdania α,zatem α nie wynika semantycznie z Σ. A to przeczy założeniu.

Dla dowodu niewprost tezy 2 załóżmy, że Σ ` α i nieprawda, że Σ |= α.Z tego, że nieprawda Σ |= α mamy, że istnieje taki model zbioru Σ, którynie jest modelem α. Model ten jest więc modelem zbioru Σ ∪ ¬ α. Napodstawie uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności zbiór Σ ∪ ¬ α jestniesprzeczny. W takim razie nie jest prawdą, że Σ ` α. To zaś przeczyzałożeniu.

Uogólnione twierdzenie o pełności pozwala dla języka klasycznej logikizdań na opuszczenie dowodu, że jakieś zdanie wynika semantycznie, jeżeli tylkopokazane jest, że zdanie to wynika syntaktycznie. W praktycznym stosowa-niu logiki nie istnieje więc potrzeba odróżniania pomiędzy wynikaniem syn-taktycznym a semantycznym. Jest to sytuacja analogiczna do znanej z aryt-metyki szkolnej, gdzie nie odróżniamy np. pomiędzy rzeczywistym iloczynemliczb a liczbą wyrachowaną zgodnie z regułami pisemnego mnożenia. W dal-szych rozważaniach w zakresie logiki zdań wszędzie tam, gdzie odróżnienieto nie jest ważne, będziemy mówili po prostu o wynikaniu (logicznym).

1.3.13 Reguły, schematy i prawa logiki

Jesteśmy zainteresowani praktycznym wykorzystaniem rachunku logicznego.Jednak przeprowadzanie dowodów tak, jak ono zostało opisane, byłoby uciąż-liwe i nienaturalne. Zainteresowani jesteśmy raczej regułami (syntaktycz-nymi), które pozwalałyby na pokazywanie zachodzenia stosunku wynikanialogicznego w sposób bardziej sprawny i faktycznie przeprowadzanym wnio-skowaniom bliższy niż jest to w wypadku, gdy jedyną regułą dowodzenia jestreguła odrywania.

Reguła odrywania stosowana była do dwóch zdań, przesłanek. W wynikujej zastosowania otrzymywaliśmy jedno zdanie, wniosek. To, do jakich zdańmogła być zastosowana i jakie zdanie w wyniku jej zastosowania otrzymywa-liśmy, wyznaczone było przez kształt, formę zdań (treść zdań była obojętna).


Reguła odrywania może więc być opisana jako klasa par uporządkowanychzbiorów zdań: (α, α ⇒ β, β), gdzie α i β są dowolnymi zdaniami.Ogólnie, przez regułę wnioskowania możemy rozumieć sposób przyporządko-wania określonemu zbiorowi zdań jakiegoś określonego zbioru zdań, czyli

Definicja 1.51 (reguły). Reguła to klasa par zbiorów zdań.

Reguła może być klasą par skończonych zbiorów zdań takich, że wszystkiepary zbiorów mają jeden i ten sam schemat18, czyli daje się opisać jako:

(Φ1, Φ2, . . . , Φm, Ψ1, Ψ2, . . . , Ψn).Definicja 1.52 (schematu wnioskowania). Reguła:

(Φ1, Φ2, . . . , Φn, Ψ),gdzie Φ1, Φ2, . . . , Φn, Ψ są schematami zdaniowymi,

to schemat wnioskowania.

Schematy wnioskowania — w zależności od tego, jak będzie wygodniej —zapisujemy zaś w postaci jednej z trzech figur:

Φ1, Φ2, . . . , Φn Φ1

Ψ Φ2

.Φ1, Φ2, . . . , Φn/Ψ .

.Φn

Ψ

Reguła odrywania jako schemat wnioskowania mogłaby więc być opisanana trzy następujące sposoby:

αα, α ⇒ β α, α ⇒ β/β α ⇒ β

β β

Schemat wnioskowania mówi zatem, że zdaniom otrzymanym przez pod-stawienie określonych zdań w miejsce wszystkich zmiennych metaprzedmio-towych α, β, γ, . . . (czyli zmiennych, których zakresem zmienności jest zbiór

18Takie reguły określa się jako strukturalne.


zdań) występujących w schematach zdań Φ1, Φ2, . . . , Φn dana reguła przy-porządkowuje zdanie otrzymane przez podstawienie w schemacie zdania Ψtych samych zdań za te same zmienne. Zdania otrzymane z Φ1, Φ2, . . . , Φn

to przesłanki, zaś zdanie otrzymane z Ψ to wniosek.Interesują nas logiczne schematy wnioskowania, tzn. takie schematy,

które przesłankom przyporządkowują jako wniosek zdanie, które z tych prze-słanek wynika logicznie.

Definicja 1.53 (logicznego schematu wnioskowania). Schemat wnioskowa-nia:

Φ1, Φ2, . . . , Φn/Ψ

jest logiczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zdań α1, α2, . . . , αn,α — jeżeli wszystkie one dadzą się otrzymać przez jednoczesne podstawieniejakichś zdań za wszystkie zmienne metaprzedmiotowe występujące w sche-matach zdań, odpowiednio, Φ1, Φ2, . . . , Φn, Ψ — zachodzi

α1, α2, . . . , αn ` α

lub — co na jedno wychodzi:

α1, α2, . . . , αn |= α.

Twierdzenie 1.14. Schemat:

Φ1, Φ2, . . . , Φn/Ψ

jest logiczny wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym wypadku, jeżeli zdania:

α1, α2, . . . , αn, α

zostały otrzymane ze schematów, odpowiednio, Φ1, Φ2, . . . , Φn, Ψ przez jed-noczesne podstawienie jakichś zdań za wszystkie zmienne metaprzedmiotowe(występujące w tych schematach), to zachodzi:

` (α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) ⇒ α.

Dowód. Z definicji schemat wnioskowania jest logiczny wtedy i tylko wtedy,gdy

α1, α2, . . . , αn ` α.


Na podstawie twierdzenia o dedukcji wystarczy pokazać, że

α1, α2, . . . , αn ` α

wtedy i tylko wtedy, gdy:

α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ` α.

Niech α1, α2, . . . , αn ` α. Niech β1, β2, . . . , βm(= α) będzie dowodem α zezbioru α1, α2, . . . , αn. Dowód α ze zbioru α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn uzyskujemyuzupełniając ciąg β1, β2, . . . , βm w taki sposób, że w każdym wypadku, gdyβi, 1 ≤ i ≤ m, jest zdaniem αj, 1 ≤ j ≤ n, przed βi dopisujemy dwa zdania:

α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ⇒ αj

orazα1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn.

Pierwsze z nich jest tautologią, a drugie możemy dopisać do dowodu ze zbioruα1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn z tej racji, że jest założeniem. Otrzymany ciąg jestdowodem zdania α ze zbioru α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn.

Niech teraz β1, β2, . . . , βm (= α) będzie dowodem zdania α ze zbioru α1∧α2 ∧ · · · ∧ αn. Dowód α ze zbioru α1, α2, . . . , αn uzyskamy biorąc jakopoczątkowe wyrazy ciągu dowodowego tautologię:

• α1 ⇒ (α2 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) . . . )),

• wszystkie zdania α1, α2, . . . , αn

– wolno je dołączyć do dowodu, gdyż są założeniami tego dowodu, oraz

• wszystkie zdania, które otrzymamy stosując regułę odrywania kolejnodo zdań αi i αi ⇒ (αi+1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) . . . )),(1 ≤ i ≤ n).

Zauważmy, że wynikiem odrywania będzie kolejno zdanie, (2 ≤ i ≤ n):

αi+1 ⇒ (αi+2 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) . . . )),

czyli zdanie, do którego stosujemy regułę odrywania w kolejnym kroku.Ostatnim z tych zdań będzie α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn, a więc założenie dowoduα ze zbioru jednoelementowego:

α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn.Po tym zdaniu dopisujemy ciąg:


• β1, β2, . . . , βm.

Otrzymany ciąg jest dowodem ze zbioru:

α1, α2, . . . , αn

zdania α.

Definicja 1.54 (odpowiedniości schematów wnioskowania i zdania). Sche-matowi wnioskowania Φ1, . . . , Φ2 . . . , Φn/Ψ będziemy przyporządkowywalischemat zdaniowy: Φ1 ∧ Φ2 ∧ · · · ∧ Φn ⇒ Ψ, n ∈ N. O schemacie zda-niowym, który jest w ten sposób przyporządkowany schematowi wnioskowa-nia będziemy mówili, że odpowiada temu schematowi. Podobnie o schemaciewnioskowania będziemy mówili, że odpowiada schematowi zdania, gdy zdanieto daje się we wskazany sposób przyporządkować temu schematowi.

W szczególnym wypadku, gdy n = 1 schematowi wnioskowania: Φ1/Ψprzyporządkowany zostaje schemat zdaniowy: Φ1 ⇒ Ψ.

Zauważmy, że opisane tu przyporządkowanie schematów wnioskowaniaschematom zdaniowym jest wzajemnie jednoznaczne.

Na podstawie twierdzenia 1.14 pytanie o to, czy schemat jest logiczny, jestrównoważne pytaniu o to, czy tautologiami są wszystkie zdania, które dadząsię otrzymać ze schematu zdaniowego odpowiadającego temu schematowiwnioskowania.

Definicja 1.55 (prawa logiki). Schemat zdania taki, że wszystkie zdaniao tym schemacie są tautologiami to prawo logiki.

Podamy teraz przykłady schematów wnioskowania i odpowiadających impraw logiki. Obok praw logiki umieszczone będą ich tradycyjne nazwy.


Schemat Prawo logiki Nazwawnioskowania

α ⇒ β modusα [(α ⇒ β) ∧ α] ⇒ β ponendo ponens

β

α ⇒ β modus¬ β tollendo tollens

[(α ⇒ β) ∧ ¬ β] ⇒ ¬ α¬ α

α ⇒ ββ ⇒ γ sylogizm

[(α ⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)] ⇒ (α ⇒ γ)α ⇒ γ hipotetyczny

α ⇒ (β ⇒ γ)[α ⇒ (β ⇒ γ)] ⇒ [(α ∧ β) ⇒ γ] importacja

(α ∧ β) ⇒ γ

(α ∧ β) ⇒ γ[(α ∧ β) ⇒ γ] ⇒ [α ⇒ (β ⇒ γ)] eksportacja

α ⇒ (β ⇒ γ)

α ⇒ (β ⇒ γ)[α ⇒ (β ⇒ γ)] ⇒ [β ⇒ (α ⇒ γ)] komutacja

β ⇒ (α ⇒ γ)

α ⇒ β(α ⇒ β) ⇒ (¬ β ⇒ ¬ α) transpozycja19

¬ β ⇒ ¬ α

Wymieńmy jeszcze niektóre ważniejsze i bardziej znane prawa:

α ⇒ α zasada tożsamości

¬ (α ∧ ¬ α) zasada niesprzeczności

19Prawo transpozycji określa się również mianem prawa kontrapozycji.


α ∨ ¬ α zasada wyłączonego środka

α ⇒ (¬ α ⇒ β) prawo Dunsa Szkota20

(α ⇒ ¬ α) ⇒ ¬ α prawo redukcji do absurdu

(¬ α ⇒ α) ⇒ α odwrotne prawo redukcji do absurdu

(α ⇒ β) ⇒ [(α ⇒ ¬ β) ⇒ ¬ α] drugie prawo redukcji do absurdu.

¬ ¬ α ⇒ α prawo podwójnego przeczenia(podwójnej negacji)

¬ (α ∨ β) ⇔ (¬ α ∧ ¬ β) pierwsze prawo De Morgana

¬ (α ∧ β) ⇔ (¬ α ∨ ¬ β) drugie prawo De Morgana

[(α ⇒ β) ∧ (¬ α ⇒ β)] ⇒ β prawo dylematu

1.3.14 Systemy logiki zdań

Na pytanie, czy zdanie jest tautologią, możemy znajdować odpowiedź naróżne sposoby, wykorzystując różne rachunki. Wybór sposobu ma wpływna definicję dowodu. Związki między prawami logiki a schematami/regułamiwyznaczają dwa zasadnicze sposoby. W jednym wypadku ograniczymy się donp. reguły odrywania i przyjmujemy bez dowodu pewne zdania, aksjomaty.Współcześnie system dowodzenia takiego typu określany jest jako hilbertow-ski. W drugim wypadku — w stosunku do pierwszego jakby odwrotnym —korzystamy tylko z reguł.

Aksjomatyczny system rachunku zdań

Istnieje wiele aksjomatycznych ujęć rachunku zdań. Tu podamy pewne,w których jedyną regułą jest reguła odrywania. W takim wypadku mamy

20Jan Duns Szkot (ok. 1270–1308), franciszkanin, filozof i teolog. Prawo to tak nazywaŁukasiewicz, obierając je jako jeden z trzech aksjomatów swojej implikacyjno-negacyjnejaksjomatyki klasycznej logiki zdań.


nieskończenie wiele aksjomatów podpadających pod skończoną liczbę sche-matów tautologii. Jest to inwariantny system rachunku zdań. W wypadkuujęć, w których występuje reguła podstawiania liczba aksjomatów jest skoń-czona.

Aksjomatyka Aksjomatami rachunku zdań są wszystkie zdania o poniż-szych schematach:

I. Aksjomaty implikacji

1. α ⇒ (β ⇒ α) prawo poprzednika2. [α ⇒ (β ⇒ γ)] ⇒ [(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ)] prawo Fregego

II. Aksjomaty negacji

3. (α ⇒ β) ⇒ (¬ β ⇒ ¬ α) prawo transpozycji4. ¬¬ α ⇒ α prawo podwójnego

przeczenia5. α ⇒ ¬¬ α odwrotne prawo

podwójnego przeczeniaIII. Aksjomaty koniunkcji

6. α ∧ β ⇒ α prawo symplifikacji7. α ∧ β ⇒ β drugie prawo

symplifikacji8. (α ⇒ β) ⇒ [(α ⇒ γ) ⇒ (α ⇒ β ∧ γ)] prawo mnożenia

następnikaIV. Aksjomaty alternatywy

9. α ⇒ α ∨ β prawo addycji10. β ⇒ α ∨ β drugie prawo addycji11. (α ⇒ γ) ⇒ [(β ⇒ γ) ⇒ (α ∨ β ⇒ γ)] prawo dodawania

poprzednikówV. Aksjomaty równoważności

12. (α ⇔ β) ⇒ (α ⇒ β)13. (α ⇔ β) ⇒ (β ⇒ α)14. (α ⇒ β) ⇒ [(β ⇒ α) ⇒ (α ⇔ β)]

(MP) Reguła odrywania: jeżeli α ⇒ β i α, to β.

Definicja 1.56 (dowodu ze zbioru Σ zdania α). Niech Σ będzie dowolnymzbiorem zdań języka rachunku zdań. Zdanie α ma dowód z Σ wtedy i tylko


wtedy, gdy istnieje skończony ciąg zdań α0, α1, . . . , αn taki, że αn = α orazdla każdego i, 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest przynajmniej jeden z warunków:

1. αi jest aksjomatem,

2. αi jest elementem Σ,

3. istnieją j, k < i takie, że αi za pomocą reguły odrywania daje się wy-prowadzić z αj i αk.

Ciąg α0, α1, . . . , αn (= α) to dowód ze zbioru Σ zdania α.

Zauważmy, że jedyną różnicę w stosunku do wcześniej zdefiniowanegopojęcia dowodu znajdujemy w punkcie 1. Poprzednio do dowodu możnabyło dołączać wszystkie tautologie, teraz tylko zdania będące aksjomatami.

Definicja 1.57 (tezy rachunku zdań). Zdanie, które ma dowód z pustegozbioru, to teza rachunku zdań.

Dowieść można, że zbiór tez opisanego wyżej systemu aksjomatycznegorachunku zdań pokrywa się ze zbiorem tautologii języka logiki zdań.

Aksjomatyka Łukasiewicza, system implikacyjno-negacyjny, składa sięz tylko trzech aksjomatów i trzech reguł: odrywania, podstawiania i za-stępowania oraz trzech definicji: spójnika alternatywy, spójnika koniunkcjii spójnika równoważności. Te trzy spójniki, alternatywy, koniunkcji i rów-noważności, traktowane są jako wygodne skróty. O tym, jak można z nichkorzystać mówi reguła zastępowania. Gdy zrezygnuje się z reguły podsta-wiania, to należy korzystać ze schematów aksjomatów:

Ł1. (α ⇒ β) ⇒ [(β ⇒ γ) ⇒ (α ⇒ γ)] Prawo sylogizmuhipotetycznego

Ł2. (¬ α ⇒ α) ⇒ α Prawo ClaviusaŁ3. α ⇒ (¬ α ⇒ β) Prawo Dunsa Szkota

Korzysta się też z definicji:α ∨ β ⇔ df ¬ α ⇒ βα ∧ β ⇔df ¬ (α ⇒ ¬ β)α ⇔ β ⇔df (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)


Aksjomatyka Łukasiewicza W oryginalnym sformułowaniu Łukasiewi-cza, a więc z zastosowaniem symboliki łukasiewiczowskiej i z regułą podsta-wiania, są to następujące aksjomaty:

Ł1’. CCpqCCqrCprŁ2’. CCNpppŁ3’. CpCNpq

Dla implikacyjno-negacyjnej logiki istnieje system aksjomatyczny tylkoz jednym aksjomatem.

Dedukcja naturalna

Systemy rachunku omawiane w tej części określane są jako dedukcja natu-ralna. Zauważono, że rachunki logiczne w postaci systemów aksjomatycznychz nielicznymi regułami bezpośrednio nie opisują sposobów wnioskowania sto-sowanych w praktyce. Stąd powstał problem naturalności dedukcji. Jednymz systemów dedukcji naturalnej jest metoda dowodów założeniowych.

Definicja dowodu założeniowego Dowód założeniowy jest ciągiem zdań.Te zdania to wiersze dowodowe. Zdanie, dla którego istnieje dowód to twier-dzenie. O tym, w jaki sposób buduje się dowód21, mówią reguły tworzeniadowodu. Od tych reguł należy odróżnić reguły dołączania nowych wierszydowodowych.

Wpierw omówione zostaną reguły tworzenia dowodu a następnie regułydołączania nowych wierszy dowodowych.

Reguły tworzenia dowodu Opiszemy dwa rodzaje dowodu założenio-wego: dowód założeniowy wprost i dowód założeniowy niewprost.

Przedmiot dowodu

Przedmiotem dowodu mogą być zdania. Zdanie, dla którego istnieje do-wód założeniowy to twierdzenie. Dowodzić możemy również tego, że z jakichśdanych zdań-przesłanek, α1, α2, . . . , αn, wynika logicznie zdanie-wniosek, α,czyli że α1, α2, . . . , αn ` α, co będziemy zwykle zapisywali:

21W tym fragmencie tekstu na temat dedukcji naturalnej, kiedy mówimy po prostuo dowodzie, mamy zawsze na uwadze dowód założeniowy.


α1

α2

.

.

.αn

α

Druga możliwość jest sprowadzalna do pierwszej, a mianowicie dowódzałożeniowy dla α1, α2, . . . , αn ` α istnieje tylko wtedy, gdy istnieje do-wód założeniowy dla zdania α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ⇒ α22. Pierwsza możliwośćjest szczególnym wypadkiem drugiej, a mianowicie jest to sytuacja, gdy py-tamy o dowód z pustego zbioru przesłanek. Opis zasad konstrukcji dowodumożna więc ograniczyć do sytuacji, gdy przedmiotem dowodu jest to, czyα1, α2, . . . , αn ` α, czyli czy z α1, α2, . . . , αn wynika α.

Zasady dopisywania wierszy dowodowych

Dowód założeniowy jest ciągiem zdań. Poszczególne wyrazy tego ciągu,wiersze dowodowe, są dopisywane do dowodu zgodnie z określonymi zasa-dami. Zasady te dla dowodu wprost różnią się od zasad dla dowodu nie-wprost. Wpierw podane zostaną te zasady dopisywania wierszy dowodowych,które są dla tych sposobów wspólne.

Niech przedmiotem dowodu będzie:

α1

α2

.

.

.αn

α

1. Jako wiersze dowodowe bierzemy wszystkie zdania α1, α2, . . . , αn, czyli— jak będziemy mówili — zdania znajdujące się nad kreską. Są tozałożenia dowodu założeniowego.

22Faktu tego można dowieść dopiero po opisaniu systemu dowodów założeniowych.


2. Jeżeli zdanie α, wyrażenie pod kreską, ma postać:

β1 ⇒ (β2 ⇒ (· · · ⇒ (βm ⇒ β) . . . )),

to jako wiersze dowodowe możemy wziąć zdania β1, β2, . . . , βm. Są tozałożenia dowodu założeniowego.

3. Jeżeli β jest twierdzeniem, to β może być dopisane do dowodu.

4. NiechΦ1

Φ2

.

.

.Φn

Ψ

będzie regułą (pierwotną lub wtórną) dołączania nowych wierszy do-wodowych. Niech wpisując jednocześnie te same zdania za te samezmienne metaprzedmiotowe, występujące w Φ1, Φ2, . . . , Φm, Ψ ze sche-matu Φi otrzymamy zdanie βi, 1 ≤ i ≤ m, a ze schematu Ψ otrzymamyzdanie β. Jeżeli w dowodzie występują jako wiersze dowodowe zdaniaβ1, β2, . . . , βm, to jako kolejny wiersz dowodowy wolno dopisać zdanieβ.

1. REGUŁY TWORZENIA DOWODU NIEWPROSTJako założenie dowodu niewprost bierze się:

(a) ¬ α

lub(b) jeśli α jest zdaniem β1 ⇒ (β2 ⇒ (· · · ⇒ (βm ⇒ β) . . . )), to jako

założenia dowodu niewprost można wziąć ¬ β.(c) Dowód kończy się, gdy dla pewnego γ otrzymuje się dwa wiersze

dowodowe, z których jeden to zdanie γ, a drugi to zdanie ¬ γ.

2. REGUŁY TWORZENIA DOWODU WPROST

(a) Dowód kończy się, gdy jako wiersz dowodowy otrzymuje się wy-rażenie znajdujące się pod kreską, czyli α

lub


(b) jeśli α jest zdaniem β1 ⇒ (β2 ⇒ (· · · ⇒ (βm ⇒ β) . . . )), to dowódkończy się, gdy jako wiersz dowodowy otrzymujemy zdanie β.

Zauważmy, że w każdym wypadku, gdy istnieje dowód wprost, to istniejedowód niewprost. Aby z dowodu wprost otrzymać dowód niewprost do do-wodu wprost wystarczy dopisać jako założenie zdanie ¬ α lub ¬ β, co wolnouczynić zgodnie z zasadami tworzenia dowodu niewprost.

Obok wierszy dowodowych zaznacza się, czy zostały one przyjęte jakozałożenia, czy na podstawie reguł. W tym ostatnim wypadku zaznacza sięużytą regułę i wiersze dowodowe, do których została zastosowana. Korzystaćbędziemy z następujących skrótów:

zał. — założeniez.d.n. — założenie dowodu niewprostsprzecz. — sprzeczność

Dowieść można, że wnioskowanie jest dedukcyjne wtedy i tylko wtedy,gdy ma dowód założeniowy niewprost.

Trudność praktyczną stwarzać mogą dowody w wypadku, gdy brak wier-szy «nad kreską», a więc gdy mamy dowieść:

` β

a β nie jest implikacją, np. α ∨ ¬ α. Ograniczając się do opisanych regułtworzenia dowodu musimy przeprowadzać dowód niewprost.

REGUŁY DOŁĄCZANIA NOWYCH WIERSZY DOWODOWYCH

Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych dzieli się na pierwotnei wtórne. Reguły pierwotne to reguły przyjęte bez dowodu. Na reguły pier-wotne nadają się reguły, które są intuicyjnie logiczne. Intuicyjność logiczno-ści to kryterium o charakterze subiektywnym. Z formalnego punktu widzeniachodzi zaś o takie i o tyle reguł, aby powstały system rachunku logicznegobył niesprzeczny i pełny, czyli obejmował wszystkie i tylko te reguły, któresą logiczne (formalne i niezawodne): jeśli w modelu prawdziwe są przesłanki,to otrzymany zgodnie z nimi wniosek też jest w tym modelu prawdziwy.Regułami wtórnymi są wszystkie reguły udowodnione.


REGUŁY PIERWOTNE

(RO) Reguła odrywania

α ⇒ βα

β

(DK) Reguła dołączania koniunkcji

α αβ β

α ∧ β β ∧ α

(OK) Reguła opuszczania koniunkcji

α ∧ β α ∧ β

α β

(DA) Reguła dołączania alternatywy

α β

α ∨ β α ∨ β

(OA) Reguła opuszczania alternatywy

α ∨ β α ∨ β¬α ¬β

β α

(DE) Reguła dołączania równoważności

α ⇒ β α ⇒ ββ ⇒ α β ⇒ α

α ⇔ β β ⇔ α

(OE) Reguła opuszczania równoważności

α ⇔ β α ⇔ β

α ⇒ β β ⇒ α


ZASADY DOWODZENIA REGUŁ WTÓRNYCH

W dowolnej tautologii wpisując jednocześnie w miejsce wszystkich wy-stępujących w niej liter zdaniowych tę samą zmienną metaprzedmiotową zatę samą literę zdaniową otrzymamy schemat zdaniowy taki, że każde zdaniepodpadające pod ten schemat będzie tautologią. Podobnie jest w wypadkudowodów założeniowych. Mając udowodnione, że

α1

α2

.

.

.αnα

możemy jednocześnie we wszystkich zdaniach α1, α2, . . . , αn, α w miejsce każ-dej litery zdaniowej wpisać tę samą zmienną metaprzedmiotową za tę samąliterę zdaniową. Otrzymujemy schemat wnioskowania. Niech będzie to:

Φ1

Φ2

.

.

.ΦnΨ.

Z takiego schematu po wpisaniu zdań w miejsce zmiennych metaprzemio-towych otrzymamy wnioskowanie, którego dowód założeniowy nie będzie codo sposobu dowodzenia różnił się od dowodu wnioskowania, które było przed-miotem operacji wpisywania zmiennych metaprzedmiotowych. Występowaćbędą tylko inne zdania. Ten schemat wnioskowania to reguła wtórna.

Na przykład, dowodzimy, że

p ∨ q¬ p ⇒ q

1. p ∨ q zał.2. ¬ p zał.3. q (OA; 1,2)Możemy zatem przyjąć regułę wtórną:


α ∨ β¬ α ⇒ β

Zauważmy, że to, iż schemat:

Φ1

Φ2

.

.

.ΦnΨ

nie ma dowodu nie znaczy, że każde wnioskowanie podpadające pod ten sche-mat nie ma dowodu. Na przykład, dowodu nie ma schemat:

αβ

Pod ten schemat podpada jednak:

pp

Prosto zaś można pokazać, że prawdą jest, iż

pp

Przykład 1.18 (dowodu założeniowego).

S1. Sylogizm warunkowy

p ⇒ qq ⇒ r

p ⇒ r

Dowód wprost:1. p ⇒ q zał.2. q ⇒ r zał.3. p zał.4. q (RO; 1,3)5. r (RO;2,4)


S2. Zasada podwójnej negacji (z.p.n.)

¬¬ p

p

Dowód niewprost:1. ¬¬ p zał.2. ¬ p z.d.n.

sprzecz. (1,2)S3. Modus tollens

p ⇒ q¬ q

¬ p

Dowód niewprost:1. p ⇒ q zał.2. ¬ q zał.3. ¬¬ p z.d.n.4. p (z.p.n.;3)5. q (RO;1,4,)

sprzecz. (2,5)S4.

¬ (p ∨ q)

¬ p

Dowód niewprost:1. ¬ (p ∨ q) zał.2. ¬ ¬ p z.d.n.3. p (z.p.n.;2)4. p ∨ q (DA,3)

sprzecz. (1,4)S5.

¬ (p ∨ q)

¬ q


Dowód niewprost:1. ¬ (p ∨ q) zał.2. ¬ ¬ q z.d.n.3. q (z.p.n.;2)4. p ∨ q (DA,3)

sprzecz. (1,4)S6. I prawo De Morgana dla rachunku zdań

¬ (p ∨ q)

¬ p ∧ ¬ q

Dowód wprost:1. ¬ (p ∨ q) zał.2. ¬ p (S4,1)3. ¬ q (S5,1)4. ¬ p ∧ ¬ q (DK;2,3)

©

Rachunek rezolucyjny

W związku z tworzeniem algorytmów automatycznego dowodzenia poszu-kuje się rozwiązań, które dowodzenie to uczyniłyby bardziej efektywnym.J. A. Robinson (1965) sformułował system dowodzenia z regułą rezolucji23.Metoda Robinsona stosuje się do formuł o normalnej postaci koniunkcyjnej.

Niech λi, 1 ≤ i ≤ n, będzie literałem, czyli literą zdaniową lub literązdaniową poprzedzoną spójnikiem negacji.

Klauzula ma więc postać:

λ1 ∨ λ2 ∨ · · · ∨ λn, n ∈ N.

Szczególną klauzulą jest klauzula pusta ¥ .

Niech κi, 1 ≤ i ≤ n będzie klauzulą.Zdanie o normalnej postaci koniunkcyjnej jest zdaniem typu:

κ1 ∧ κ2 ∧ · · · ∧ κn, n ∈ N.

23Reguła ta oparta jest o wyniki J. Herbranda (1929) oraz pracę M. Davisa i H. Putnama(1960).


Klauzula może być zapisana jako zbiór literałów. Logicznie taki zbiórodpowiada zdaniu będącemu alternatywą wszystkich i tylko elementów (li-terałów) tego zbioru. To, że literał λ jest członem klauzuli κ można więczapisać: λ ∈ κ.

Klasa klauzul logicznie odpowiada formule będącej koniunkcją wszystkichi tylko klauzul będących elementami tej klasy. Zdanie w koniunkcyjnej po-staci normalnej można więc zapisać jako: κ1, κ2, . . . , κn lub — jeżeli jestto jasne z kontekstu — mogą zostać opuszczone symbole zbioru, czyli zdanietakie zapisuje się: κ1, κ2, . . . , κn

Do opisu klauzul i ich koniunkcji mogą być wykorzystane też inne symboleteoriomnogościowe.

Definicja 1.58 (literałów komplementarnych). Literał pozytywny i literałnegatywny zbudowane z tej samej litery zdaniowej tworzą parę literałów kom-plementarnych.

Definicja 1.59 (rezolwenty klauzul). Klauzula κ1\λ1∪κ2\λ2 jest rezolwentąklauzul κ1 i κ2 wtedy i tylko wtedy, gdy

1. literały λ1 i λ2 tworzą parę komplementarną,

2. λ1 ∈ κ1, λ2 ∈ κ2.

Definicja 1.60 (literału czynnego). W rezolwencie κ1 \ λ1 ∪ κ2 \ λ2 klauzulκ1 i κ2 literały λ1 oraz λ2 to literały czynne.

Definicja 1.61 (klauzuli uzgodnionej). Klauzule, dla których istnieje ichrezolwenta to klauzule uzgodnione.

Można pokazać, że rezolwenta klauzul jest konsekwencją tych klauzul.Klauzule są zdaniami. Możemy więc pytać o stosunek wynikania.

Twierdzenie 1.15. Niech κ1 i κ2 będą klauzulami oraz niech λ1 i λ2 będą li-terałami komplementarnymi, takimi że λ1 ∈ κ1, λ2 ∈ κ2. Niech rez(κ1, κ2) =κ1 \ λ1 ∪ κ2 \ λ2. Zachodzi wówczas:

κ1, κ2 ` rez(κ1, κ2).

Dowód. Mamy pokazać, że

(κ1 \ λ1) ∪ λ1, (κ2 \ λ2) ∪ λ2 ` (κ1 \ λ1) ∪ (κ2 \ λ2).


Niech κ1 \ λ1 = κ′1, κ2 \ λ2 = κ′2. Ponieważ (κ1 \ λ1) ∪ λ1 jest równoważneκ1 a (κ2 \λ2)∪λ2 jest równoważne κ2 (różnić mogą się tylko wielokrotnościąwystąpienia jako członów alternatywy literałów, odpowiednio, λ1 i λ2), więcw takim razie mamy pokazać, że

(κ′1 ∪ λ1), (κ′2 ∪ λ2) ` κ′1 ∪ κ′2.

Zgodnie z przyjętą konwencją znaczy to, że mamy udowodnić:

(κ′1 ∨ λ1) ∧ (κ′2 ∨ λ2) ` κ′1 ∨ κ′2.

Na podstawie prawa logiki zdań:

` [(α ∨ β) ∧ (γ ∨ ¬ β)] ⇒ (α ∨ γ),

z uwagi na to, że literały λ1 i λ2 są komplementarne mamy, że

` [(κ′1 ∨ λ1) ∧ (κ′2 ∨ λ2)] ⇒ (κ′1 ∨ κ′2).

Stąd na podstawie twierdzenia o dedukcji:

(κ′1 ∨ λ1) ∧ (κ′2 ∨ λ2) ` κ′1 ∨ κ′2.

Zgodnie z przyjętą konwencją więc:

κ′1 ∪ λ1, κ′2 ∪ λ2 ` κ′1 ∪ κ′2,

czyli:κ1, κ2 ` rez(κ1, κ2).

Niezawodna jest zatem każda reguła postaci:κ1, κ2

(κ1 \ λ1) ∪ (κ2 \ λ2)

gdzie λ1 ∈ κ1, λ2 ∈ κ2 oraz literały λ1, λ2 tworzą parę literałów komplemen-tarnych.

Definicja 1.62 (reguły rezolucji). Reguła:κ1, κ2

(κ1 \ λ1) ∪ (κ2 \ λ2)

gdzie λ1 ∈ κ1, λ2 ∈ κ2 a literały λ1, λ2 tworzą parę literałów komplementar-nych to reguła rezolucji.


Definicja 1.63. Faktoryzacja klauzuli to wyeliminowanie z niej powtarzają-cych się literałów.

Klauzula i klauzula otrzymana w wyniku faktoryzacji są sobie równo-ważne. Ten fakt oparty jest na prawie logiki zdań:

(α ∨ α) ⇔ α.

Zgodne jest to z teoriomnogościową konwencją notacyjną. Mamy bowiem:

α, α \ α = ∅.

Faktoryzacji dokonuje się w miarę potrzeby, gdy w którejś z klauzul tensam literał pojawia się przynajmniej dwukrotnie.

W rachunku rezolucyjnym dowodzi się generując z wyjściowych i już wy-generowanych klauzul kolejne klauzule. Jedyną regułą generowania jest re-guła rezolucji.

Definicja 1.64 (dowodu w rachunku rezolucyjnym). Klauzula κ ma dowódz klauzul κ1, . . . , κn, n ∈ N, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciągklauzul κ∗1, . . . , κ

∗m, m ∈ N taki, że

1. κ = κm∗,2. dla każdego i, 1 ≤ i ≤ m, istnieją komplementarne literały λ1 i λ2

oraz j, k takie, że κ∗j i κ∗j dają się uzgodnić dla tych literałów a κ∗i =κ∗j \ λ1 ∪ κ∗k \ λ2.

Okazuje się, że ciąg klauzul dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartośćF wtedy i tylko wtedy, gdy dowód z niego ma klauzula pusta. Zatem zezbioru zdań Σ wynika zdanie α wtedy i tylko wtedy, gdy z ciągu klauzulprzyporządkowanych — zgodnie z zasadami tworzenia CNF oraz klauzul —zbiorowi Σ i zdaniu ¬ α daje się wygenerować pustą klauzulę.

Przykład 1.19. Czy p ⇒ q, q ⇒ r ` p ⇒ r ?Tworzymy ciąg klauzul, odpowiadający temu pytaniu: ¬ p ∨ q,¬ q ∨

r, p,¬ r.1. ¬ q ∨ r2. ¬ r3. ¬ q (z 1 i 2)4. ¬ p ∨ q


5. p6. q (z 4 i 5)7. ¥ (z 3 i 6).

Ponieważ uzyskaliśmy klauzulę pustą, na postawione pytanie odpowia-damy: TAK. ©Przykład 1.20. Czy p ⇒ q ` ¬ p ⇒ ¬ q ?

Tworzymy ciąg klauzul odpowiadający temu pytaniu: ¬ p ∨ q,¬ p,¬ q.1. ¬ p ∨ q2. ¬ p3. ¬ q4. ¬ p (z 1 i 3)

Jedynymi klauzulami, które dają się uzgodnić są pierwsza i ostatnia.Przez zastosowanie reguły rezolucji uzyskujemy klauzulę: ¬ p. Klauzulata nie daje się uzgodnić z żadną inną. Wyczerpane zostały więc możliwościstosowania reguły rezolucji. To, że nie ma dowodu pustej klauzuli pokazuje,że odpowiedzią na postawione pytanie jest: NIE. ©

Rozdział 2

Logika predykatów

Rachunek zdań wiernie opisuje wynikanie semantyczne dla języka, któregozdania są za pomocą spójników zbudowane ze zdań prostych o wewnętrz-nie nieanalizowalnej strukturze. Zdania proste języka potocznego, językównauk przyrodniczych, humanistycznych oraz matematyki są wewnętrznie zło-żone. Na to, aby rachunek logiczny nadawał się do wszystkich rozumowańpoprawnych przeprowadzanych w takich językach, konieczne jest, aby był ra-chunkiem, którego język uwzględnia tę wewnętrzną złożoność zdań prostych.

Tworząc formalny język rachunku predykatów kierujemy się postulatemanalizy wewnętrznej struktury zdań.

2.1 Język rachunku predykatów

W języku rachunku predykatów elementarnymi, wewnętrznie nieanalizowal-nymi wyrażeniami będą litery predykatowe, litery funkcyjne oraz stałe indy-widuowe i zmienne indywiduowe. Słowa „litera” — podobnie jak w wypadkurachunku zdań — używamy dla zaznaczenia wewnętrznej nieanalizowalnościomawianych wyrażeń. Wśród stałych logicznych oprócz spójników zdanio-wych będą kwantyfikatory.

2.1.1 Dziedzina

Opis kategorii wyrażeń, z których zbudowane jest zdanie, poprzedzimy opi-sem dziedziny, która ma być przedmiotem wnioskowań przeprowadzanychw języku klasycznego rachunku predykatów.

95

96 ROZDZIAŁ 2. LOGIKA PREDYKATÓW

Przede wszystkim dziedzina ta składa się z pewnego zbioru przedmiotówindywidualnych, czyli indywiduów. Na przykład, w arytmetyce indywiduamisą liczby naturalne. Jako logicy nie musimy się jednak martwić tym, czymjest indywiduum. W poprawnie metodologicznie określonej dziedzinie rozwa-żań wyróżniona jest pewna kategoria przedmiotów jako indywiduów. Zbiórindywiduów danej dziedziny rozważań to przestrzeń, zbiór uniwersalny albo,po prostu, uniwersum.

Indywidua mogą pozostawać w pewnych zależnościach, związkach czy —jak będziemy ogólnie mówić — relacjach. W zbiorze liczb może to być np.relacja mniejszości: <.

2.1.2 Stałe i zmienne indywiduowe

System dziesiętny zapisu liczb pozwala na nazwanie wszystkich liczb wymier-nych (a więc również naturalnych i całkowitych). W systemie dziesiętnymnie możemy jednak zapisać nazw liczb niewymiernych (jako skończonych cią-gów cyfr). Dlatego też w matematyce niektóre ważne liczby niewymiernemają specjalne oznaczenia, np. liczba niewymierna równa stosunkowi ob-wodu okręgu do jego średnicy oznaczana jest literą z alfabetu greckiego: π.

Wszystkie nazwy występujące w języku pierwszego rzędu — a taki jestjęzyk omawianego tu klasycznego rachunku predykatów — to stałe indywi-duowe. Stałe indywiduowe służą do wskazywania indywiduów, elementówdziedziny, do mówienia o której używamy języka. Stałe indywiduowe mogąbyć elementami słownika. Mogą być też definiowane. Język jest wzbogacanyo zdefiniowane stałe indywiduowe. Stała indywiduowa wskazuje dokładniejeden element dziedziny. Różne stałe indywiduowe mogą jednak wskazywaćten sam obiekt. Inaczej mówiąc jakiś element dziedziny może mieć więcej niżjedną nazwę indywiduową.

Zmienne indywiduowe jako swój zakres (zmienności) będą miały zbiórwszystkich indywiduów, czyli uniwersum. Używając więc zmiennych indy-widuowych musimy zawsze pamiętać o konieczności wskazania ich zakresuzmienności. Dysponować będziemy dowolną liczbą zmiennych. O przed-miotach z jakiegoś określonego zbioru przedmiotów można mówić używającw tym celu zmiennej i wskazując własność, jaką przedmioty mają posiadać.Podobnie, będzie można wyróżniać przedmioty przez ich związki i zależnościz innymi przedmiotami. Będą to konstrukcje z liter funkcyjnych i zmiennychindywiduowych.

W języku mogą, ale nie muszą, występować stałe. Język rachunku pre-

2.1. JĘZYK RACHUNKU PREDYKATÓW 97

dykatów wymaga jednak zmiennych indywiduowych (tyle, ile jest liczb natu-ralnych).

2.1.3 Litery funkcyjne

O indywiduach możemy mówić także za pomocą wyrażeń skonstruowanych— nazw złożonych. Jednym ze składników tych wyrażeń są litery funkcyjne.Litery funkcyjne są symbolami, które kiedy łączą ze sobą stałe indywidu-owe, w wyniku dają nazwy indywiduów. Dana litera funkcyjna może łączyćjedną, dwie i więcej stałych indywiduowych. Liczbę stałych, które łączy, na-zywamy jej argumentowością. Wyrażenie skonstruowane z litery funkcyjnejoraz z tylu stałych indywiduowych, ile argumentowa jest dana litera funk-cyjna, jest nazwą, która nie oznacza więcej niż jednego przedmiotu, tj. jestznakiem dla co najwyżej jednego przedmiotu.

Przykład 2.1. Przykładami liter funkcyjnych są znane z matematyki symbole:√(jednoargumentowy), „ : ” (dwuargumentowy). Wyrażenie

√4 jest nazwą

liczby 2, tak samo wyrażenie „4: 2”. ©Przykład 2.2. Na literę funkcyjną nie nadaje się symbol: | (n|m rozumiemy:n jest dzielnikiem m; n, m ∈ N). W wypadku m = 10 mamy: n = 1, n =2, n = 5, n = 10. ©

Litery funkcyjne odnoszą się do funkcji. Literom funkcyjnym przyporząd-kowane są liczby naturalne wskazujące liczbę nazw, które one łączą tworzącnazwę. Jeżeli literze funkcyjnej przyporządkowana jest liczba n, to literata odnosi do jakiejś n-argumentowej funkcji. Rozróżniamy między literamifunkcyjnymi, konstrukcjami z liter funkcyjnych i stałych oraz zmiennych in-dywiduowych jako wyrażeniami, czyli składnikami języka a przedmiotamipozajęzykowymi, jakimi są funkcje, indywidua i konstrukcje z funkcji i in-dywiduów. W matematyce symbol „

√ ” interpretujemy przede wszystkimjako funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych (R+∪0)o wartościach w tym zbiorze, czyli jest to zbiór wszystkich i tylko par upo-rządkowanych (a, b) takich, że a, b ∈ R+ ∪ 0 oraz

√a = b. Symbol „ : ”

interpretowany jest jako funkcja określona na zbiorze par (a, b) takich, żea ∈ R, b ∈ R \ 0 oraz o wartościach w zbiorze R. Jest to więc zbiórwszystkich i tylko trójek (a, b, c) takich, że c = a : b.

Do oznaczania indywiduów służą stałe indywiduowe, zmienne indywidu-owe oraz konstrukcje z liter funkcyjnych. Wspólnym określeniem dla tychwszystkich typów wyrażeń będzie słowo „term”.


2.1.4 Term

Wyrażenia języka rachunku predykatów będą budowane z następujących sym-boli:

1. a0, a1, a2, . . . , an, . . . — stałe indywiduowe,2. x0, x1, x2, . . . , xn, . . . — zmienne indywiduowe,3. F0, F1, . . . , Fn, . . . — litery funkcyjne

Zamiast:a0, a1, a2, . . .

będziemy czasem używać:a, b, c, . . .

a zamiast:x0, x1, x2, . . .

będziemy używać, ewentualnie z indeksami liczbowymi:

x, y, z.

W języku, którym mówimy, potrzebujemy słów, za pomocą których bę-dziemy mogli mówić o wyrażeniach języka rachunku predykatów. Język,którym mówimy jest więc metajęzykiem dla języka rachunku predykatów.Gdy zajmowaliśmy się rachunkiem zdań, to o wyrażeniach rachunku zdańmówiliśmy posługując się małymi literami greckimi: oznaczały one zdania.Teraz w języku, którym mówimy, będziemy mówili nie tylko o zdaniach, alerównież o stałych i zmiennych indywiduowych oraz o literach funkcyjnychi termach. Dla interesujących nas rodzajów wyrażeń stosować będziemy na-stępujące oznaczenia:

– stałe indywiduowe: c, c0, c1, . . .– zmienne indywiduowe: v, v0, v1, . . .– litery funkcyjne: F,G, . . .– termy: t, t0, t1, . . .

Powtórzmy, symbole:

c, c0, c1 . . . ; v, v0, v1, . . . ; F, G . . . ; t, t0, t1, . . .

nie należą do języka, o którym mówimy, lecz należą do języka, którym mó-wimy.


Definicja termu jest definicją indukcyjną.

Definicja 2.1 (termu).

1. zmienna indywiduowa jest termem,

2. stała indywiduowa jest termem,

3. jeżeli F jest n-argumentową literą funkcyjną, a t1, t2, . . . , tn są termami,to Ft1t2. . .tn jest termem.

4. ciąg symboli jest termem tylko wtedy, gdy daje się zbudować przezstosowanie skończoną liczbę razy reguł 1–3.

Przykład 2.3. Termami są: −x1, +2x2 (mamy tu na uwadze to, co w zwyklestosowanej notacji zapisujemy jako: 2+x2); gdzie „−” jest jednoargumentowąliterą funkcyjną a „+” jest dwuargumentową literą funkcyjną.

Termem nie jest: x1 < x2. ©

2.1.5 Litery predykatowe

Predykaty są wyrażeniami, które łącznie ze stałymi indywiduowymi (jedną,dwiema lub więcej) tworzą zdania. Predykaty są więc jednoargumentowe,dwuargumentowe itd. N-argumentowy predykat jest interpretowany jako n-członowa relacja. Predykatami są wyrażenia języka naturalnego takie, jak:„. . . jest nauczycielem” „. . . jest wyższy od . . . ”. W języku matematyki pre-dykatami (dwuargumentowymi) są: „=”, „<”.

Zbiór wszystkich i tylko jednoelementowych zbiorów tych przedmiotów,o których prawdą jest, że są nauczycielami, to zakres predykatu „. . . jestnauczycielem”.

Zbiór wszystkich i tylko uporządkowanych par liczb (x, y) takich, że pierw-szy element pary x jest większy niż drugi element pary y, to zakres predy-katu: >.

Ogólnie, zakresem predykatu n-argumentowego jest zbiór wszystkich i tylkotakich n-tek uporządkowanych, które spełniają ten predykat, czyli tworzą re-lację będącą interpretacją tego predykatu.

Predykaty wewnętrznie nieanalizowalne, niezłożone, to litery predyka-towe. Literą predykatową byłoby: „<”, „=” a nie byłoby: „≤”, „≥”1. Jako

1Symbole te zwykle są rozumiane tak, że postrzegamy je jako wewnętrznie analizowalne.Formułę x ≤ y rozumiemy jako: x < y ∨ x = y, a formułę: x ≥ y — jako: x > y ∨ x = y.


litery predykatowe — w języku, o którym mówimy — bierzemy:

≡, P0, P1, . . .

Przyjmujemy, że zbiór liter predykatowych jest rozłączny ze zbiorem literfunkcyjnych.

Na oznaczenie liter predykatowych — w języku, w którym mówimy —będziemy używali wielkich liter: P, Q, R, . . . .

Każdej literze predykatowej przyporządkowana jest liczba naturalna wska-zująca liczbę jej argumentów. Mówiąc bardziej obrazowo, jest to liczba pu-stych miejsc, po wypełnieniu których przez nazwy otrzymamy zdanie lub —ogólnie — po uzupełnieniu których o termy otrzymamy wyrażenie o postacizdania, czyli formułę.

Predykat „≡” jest szczególnym, wyróżnionym predykatem. Jest to dwu-argumentowy predykat równości. Znaku „=” używamy w języku, w którymmówimy. Do języka, o którym mówimy, jako predykat równości wprowa-dzamy inny symbol, a mianowicie: ≡.

2.1.6 Formuła

Definicja 2.2 (formuły atomowej). Formuła atomowa to formuła zbudo-wana z dokładnie jednej litery predykatowej oraz z termów. Formułami ato-mowymi są więc wszystkie i tylko wyrażenia postaci:

Pt1. . .tn, t1≡t2

gdzie P jest n-argumentową literą predykatową, a t1, . . . , tn są termami.

Z formuł, które nie są zdaniami można utworzyć zdania określając dlakażdej występującej w niej zmiennej indywiduowej, czy zmienna ta wska-zuje wszystkie, czy tylko niektóre przedmioty ze swego zakresu zmienności.Np. w wypadku:

x jest liczbą parzystą

możemy mieć na uwadze zdanie:

Wszystkie liczby są parzyste.

lub


Jakaś liczba jest parzysta.

Tym zdaniom możemy podporządkować zaś, odpowiednio:

Każde x jest liczbą parzystą.Niektóre x są liczbami parzystymi.

Alfabet uzupełnijmy jeszcze o symbole:

∀ — kwantyfikator ogólny (duży),

∃ — kwantyfikator szczegółowy (mały).

Pisząc „∀v : ” przed formułą ϕ tym samym używamy zmiennej v do wska-zania każdego przedmiotu z zakresu zmienności v. Pisząc zaś „∃v : ” przedformułą ϕ, zmiennej v używamy dla wskazania jakiegoś przedmiotu z zakresuzmienności v. „∀v : ” będziemy odczytywali: dla każdego v; zaś „∃v : ” — dlapewnego v. Język, w którym kwantyfikacja ogranicza się do indywiduów tojęzyk pierwszego rzędu.

W języku rachunku predykatów mamy również spójniki: ¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔.Zauważmy, że dla języka każdej teorii charakterystyczne będą: zbiór jego

stałych indywiduowych, zbiór liter funkcyjnych oraz zbiór liter predykato-wych. Te trzy zbiory to sygnatura języka.

Formułę definiujemy indukcyjnie.

Definicja 2.3 (formuły).

1. formuła atomowa jest formułą,

2. jeżeli ϕ i φ są formułami, to ¬ ϕ, (ϕ ∧ φ), (ϕ ∨ φ), (ϕ ⇒ φ), (ϕ ⇔ φ)są formułami,

3. jeżeli v jest zmienną a ϕ — formułą, to ∀v : ϕ, ∃v : ϕ są formułami,

4. ciąg symboli jest formułą tylko wtedy, gdy daje się zbudować przezstosowanie skończoną liczbę razy reguł 1–3.

Przykład 2.4. Formułą jest:

∀x : (Px ⇒ Px).

Formułą nie jest:∀x : ⇒ P (x). ©


Małe greckie litery ϕ, φ, ψ , . . . (w razie potrzeby z indeksami liczbo-wymi) będą oznaczać formuły. Użycie tych symboli w innej funkcji, np. jakodowolnego ciągu elementów słownika wymaga specjalnego zaznaczenia.

W praktyce nie piszemy wszystkich nawiasów, których wymagałaby defi-nicja formuły. Stosujemy wszystkie zasady opuszczania zbędnych nawiasów,które przyjęliśmy dla języka rachunku zdań. W opisie tych zasad tylko za-miast słowa „zdanie” bierzemy słowo „formuła”. Także w wypadku językarachunku predykatów, dla większej przejrzystości będziemy czasem stosowaliwięcej nawiasów niż wynikałoby to z tych zasad. Używane będą równieżnawiasy innych kształtów.

Umawiamy się, że zamiast:

∀v1 : ∀v2 : . . . ∀vn :

będziemy pisali:∀v1, v2, . . . , vn :

Podobnie, zamiast:∃v1 : ∃v2 : . . . ∃vn :

piszemy:∃v1, v2, . . . , vn :

Zamiast:∀v : (P (v) ⇒ φ)

piszemy:∀ φ

P (v)

Podobnie, zamiast:∃v : (P (v) ∧ φ)

piszemy:∃φP (v)

Definicja 2.4 (kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie). Kwantyfikatory:

∀P (v)

φ, ∀P (v)

φ

to kwantyfikatory o ograniczonym zakresie. Zmienna v przebiega zbiór tychi tylko przedmiotów, o których prawdą jest, że są P , czyli — mówiąc swo-bodnie — dla których prawdą jest, że mają cechę P .


Zakres zmienności zmiennej v może być też określony przez wskazaniezbioru. Jeżeli tym zbiorem będzie X, to będziemy mieli napisy:

∀v∈X

φ, ∃v∈X

φ.

Zamiast pisać:∀

v∈X

φ, ∃v∈X

φ

będziemy pisali, odpowiednio:

∀v ∈ X : φ, ∃v ∈ X : φ.

Definicja 2.5 (zasięgu kwantyfikatora). Formułę ϕ w formule ∀v : ϕ orazw formule ∃v : ϕ nazywamy zasięgiem (lub zasięgiem działania) kwantyfika-tora, odpowiednio: dużego i małego. O kwantyfikatorze (małym lub dużym)mówimy, że wiąże zmienną v w zasięgu swego działania.

Przykład 2.5. Zasięgiem dużego kwantyfikatora w formule:

∀x : (Px ⇒ ∃x : Qx) ⇒ Rx

jest formuła:Px ⇒ ∃x : Qx

a nie jest nią formuła:

(Px ⇒ ∃x : Qx) ⇒ Rx. ©Formuła jest ciągiem elementów słownika. Ten sam element słownika,

symbol, może być użyty wielokrotnie w formule, czyli może wystąpić w tejformule w różnych miejscach. Mówiąc o jakimś symbolu musimy uwzględ-nić jego miejsce w ciągu, jakim jest formuła. W szczególności w wypadkuzmiennej indywiduowej, w jednym miejscu jej wystąpienia może ona znaj-dować się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora, a w innym może byćtak, że podformuła, w której występuje, nie znajduje się w zasięgu działaniażadnego kwantyfikatora wiążącego tę zmienną.

Definicja 2.6 (zmiennej związanej w danym miejscu). Zmienna v jest zwią-zana w określonym miejscu w formule ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy jej egzem-plarz znajduje się w tym miejscu w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatorawiążącego zmienną v.


Definicja 2.7 (zmiennej wolnej w danym miejscu). Zmienna wolna w danymmiejscu to zmienna, która w tym miejscu nie jest związana.

Przykład 2.6. W formule:

∀x : (Px ⇒ ∃x : Qx) ⇒ Rx

zmienna „x” jest związana w „Px” — jest bowiem w zasięgu działania du-żego kwantyfikatora oraz jest związana w „Qx” — tu znajduje się w zakresiedziałania małego kwantyfikatora. Zmienna „x” nie jest związana w „Rx”. ©Definicja 2.8 (zmiennej wolnej w formule). Zmienna v jest zmienną wolnąw formule ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy w formule tej jest ona wolna przynaj-mniej w jednym miejscu.

Definicja 2.9 (formuły otwartej). Formuła, w której występuje jakaś zmiennawolna to formuła otwarta.

Przykład 2.7. Zmienna x jest wolna w formule:

∀x : (Px ⇒ ∃x : Qx) ⇒ Rx.

Formuła ta jest otwarta. ©t(v0, . . . , vn) to term taki, że wszystkie zmienne występujące w tym termie

znajdują się wśród zmiennych v0, . . . , vn; czyli zbiór wszystkich zmiennychwystępujących w termie t jest podzbiorem zbioru v0, . . . , vn.

ϕ(v0, . . . , vn) to formuła, której wszystkie zmienne wolne znajdują sięwśród zmiennych v0, . . . , vn; czyli zbiór wszystkich zmiennych wolnych wy-stępujących w formule ϕ jest podzbiorem zbioru v0, . . . , vn.Definicja 2.10 (zdania języka rachunku predykatów). Zdanie języka ra-chunku predykatów to formuła, która nie zawiera zmiennych wolnych.

Przykład 2.8. Zdaniem jest:

∀x : (Px ⇒ ∃x : Qx) ⇒ ∃x : Rx. ©Definicja 2.11. Niech v0, . . . , vn będą wszystkimi zmiennymi wolnymi wy-stępującymi w formule ϕ. Formuła:

∀v0, . . . , vn : ϕ

to zamknięcie formuły ϕ.

Zamknięcie formuły jest zdaniem.Zamknięcie formuły otrzymuje się przez poprzedzenie tej formuły kwanty-

fikatorami ogólnymi wiążącymi wszystkie występujące w niej zmienne wolne.


2.1.7 Podstawialność

Podstawowa intuicja wiązana z operacją podstawiania za zmienne wolneoparta jest o następujące ustalenie:

Jeżeli formuła, do której podstawiamy, po związaniu przez kwan-tyfikatory wszystkich występujących w niej zmiennych wolnychprzechodzi w zdanie prawdziwe, to również w taki sam sposóbw zdanie prawdziwe powinna przechodzić formuła otrzymana w wy-niku wykonania operacji podstawiania.

Definicja 2.12 (podstawialności termu w danym miejscu). Term t jest pod-stawialny za zmienną v w danym miejscu w formule ϕ wtedy i tylko wtedy,gdy:

1. zmienna v jest w tym miejscu wolna w formule ϕ

oraz

2. miejsce to nie znajduje się w zasięgu działania żadnego kwantyfikatorawiążącego którąś ze zmiennych (wolnych) występujących w termie t.

Definicja 2.13 (podstawialność termu). Term t jest podstawialny za zmien-ną v do formuły ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podstawialny za zmienną vw każdym miejscu, w którym zmienna v jest wolna w ϕ.

Przykład 2.9. W formule:∃x : (x < y)

za zmienną wolną y podstawialny jest term (y− z), zaś term (x− z) nie jestpodstawialny.

W formule:∃x : (x < y − z)

żadna zmienna z podstawianego termu nie stała się związana. Inaczej jestw wypadku formuły:

∃x : (x < x− z). ©Operacja podstawiania termu za zmienną wolną, za którą ten term jest

podstawialny, musi być wykonana jednocześnie; tzn. w każdym miejscu,w którym ta zmienna wolna występuje w danej formule. Podstawienie termut za zmienną w danym miejscu polega na wpisaniu termu t na miejsce tejzmiennej. Formułę otrzymaną z formuły ϕ przez podstawienie termu t zazmienną v oznacza się: ϕ(v/t) lub ϕ[v ::= t].


Przykład 2.10. W termie:x + y : x

za zmienną x podstawmy term:

(x− z).

(x− z) + y : (x− z) podstawienie wykonane poprawnie(x− z) + y : x podstawienie wykonane niepoprawnie.

©Niech w ϕ nie występuje (ani jako wolna, ani jako związana) zmienna y.

Jako wygodnego skrótu dla formuły:

∃x : [ϕ ∧ ∀y : (ϕ[x ::= y] ⇒ y = x)]

można używać:∃!x : ϕ.

„∃!x” odczytujemy: istnieje dokładnie jedno x.

2.2 Rachunek predykatówDowód w rachunku predykatów formalnie różni się od dowodu w rachunkuzdań tylko dodatkowymi możliwościami. Ujmują one większe bogactwo ję-zyka rachunku predykatów w stosunku do języka rachunku zdań.

2.2.1 Dowód w rachunku predykatów

Definicja 2.14 (tautologii języka rachunku predykatów). Tautologią językarachunku predykatów jest każda formuła tego języka otrzymana z jakiejś tau-tologii α języka rachunku zdań przez podstawienie za każdą literę zdaniowąwystępującą w α, jakiejś formuły języka rachunku predykatów (jednocześniew każdym miejscu dla wszystkich wystąpień danej litery zdaniowej).

Aksjomatem (teorii) identyczności (≡) jest każda formuła, która podpadapod jeden ze schematów:

Aksjomat 1. v ≡ v,

Aksjomat 2. vi ≡ v ⇒ Fv1. . .vi−1vivi+1. . .vn ≡ Fv1. . .vi−1vvi+1. . .vn,gdzie F jest n-argumentową literą funkcyjną, a n > 0,

2.2. RACHUNEK PREDYKATÓW 107

Aksjomat 3. (vi ≡ v ∧ Pv1. . .vi−1vivi+1. . .vn) ⇒ Pv1. . .vi−1vvi+1. . .vn,gdzie P jest n-argumentową literą predykatową, a n > 0.

Predykat identyczności jest predykatem używanym w zasadzie we wszyst-kich językach (teoriach) mających praktyczne znaczenie.

Dążymy do stworzenia rachunku dla logiki predykatów, czyli do syntak-tycznego scharakteryzowania pojęcia wynikania rzeczywistego. Musimy więcsprecyzować pojęcie dowodu. Zbiór reguł dowodowych w rachunku zdańwzbogacamy o nowe reguły dowodzenia. W rachunku predykatów mamynastępujące reguły:

Reguła odrywania

MP. z ϕ i ϕ ⇒ φ wynika φ,

mamy jeszcze:

Reguła podstawiania

Sb. z ϕ wynika ϕ[v ::= t],

jeżeli term t jest podstawialny w miejsce zmiennej v.

Reguła opuszczania dużego kwantyfikatora

O∀. z ϕ ⇒ ∀v : φ wynika ϕ ⇒ φ.

Reguła dołączania dużego kwantyfikatora

D∀. z ϕ ⇒ φ wynika ϕ ⇒ ∀v : φ,

jeżeli v nie jest zmienną wolną w ϕ.

Reguła opuszczania małego kwantyfikatora

O∃. z ∃v : ϕ ⇒ φ wynika ϕ ⇒ φ.

Reguła dołączania małego kwantyfikatora

D∃. z ϕ ⇒ φ wynika ∃v : ϕ ⇒ φ,

jeżeli v nie jest zmienną wolną w φ.


Reguły są tak dobrane, żeby zachowywały rzeczywisty stosunek wynika-nia. Stosujemy je do formuł, które nie muszą być zdaniami. Mówienie więco prawdziwości wyrażeń, do których reguły są stosowane nie jest zasadne. Za-miast terminu „prawda” możemy tu użyć ogólniejszego terminu „spełnianie”.Najprościej mówiąc formuła jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy w każ-dym wypadku przyporządkowania znaczeń występującym w niej zmiennymotrzymamy zdanie prawdziwe.

Reguła podstawiania odpowiada sposobowi takiego rozumowania, gdy naprzykład mając formułę2:

x2 ≥ 0

przyjmujemy:(y + 1)2 ≥ 0

22 ≥ 0.

Obie otrzymane formuły są spełnione w zbiorze liczb rzeczywistych. Pierw-sza dla wszystkich możliwych znaczeń, jakie może przyjmować zmienna yw zbiorze liczb rzeczywistych, zaś druga nie zawierając zmiennych jest poprostu prawdziwa.

Sposób rozumowania odpowiadający regule opuszczania dużego kwanty-fikatora stosujemy na przykład wówczas, gdy na podstawie:

a > 0 ⇒ ∀x : (x > 0 ⇒ x + a > 0)

uznajemy:a > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + a > 0).

Regułę dołączania dużego kwantyfikatora stosujemy na przykład wów-czas, gdy na podstawie:

y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0)

uznajemy:y > 0 ⇒ ∀x : (x > 0 ⇒ x + y > 0).

Warunek nałożony na poprzednik (ϕ) implikacji, do której następnika (φ)dołączamy duży kwantyfikator jest istotny. Na przykład, na podstawie:

2Formuła ta wyraża prawdziwą zależność w zbiorze liczb rzeczywistych. Staje się zda-niem prawdziwym po związaniu przez duży kwantyfikator wszystkich zmiennych wolnych,czyli formuła ta jest spełniona dla dowolnego znaczenia, jakie możemy przyporządkowaćzmiennej x w zbiorze liczb rzeczywistych.


y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0)

nie możemy uznać:

y > 0 ⇒ ∀y : (x > 0 ⇒ x + y > 0)3.

Regule opuszczania małego kwantyfikatora odpowiada rozumowanie, gdyna przykład na podstawie:

∃x : (0 < x ∧ x ≤ y) ⇒ 0 < y

uznajemy:0 < x ∧ x ≤ y ⇒ 0 < y.

Sposób rozumowania odpowiadający regule dołączania małego kwantyfi-katora możemy zastosować na przykład do:

0 < x ∧ x ≤ y ⇒ 0 < y.

Warunek nałożony na następnik (φ) implikacji, do której poprzednika (ϕ)dołączamy mały kwantyfikator jest istotny. Na przykład na podstawie:

x ≥ 0 ⇒ (y > x ⇒ y > 0)

nie możemy uznać:

∃x : (x ≥ 0) ⇒ (y > x ⇒ y > 0).

Definicja 2.15 (dowodu w rachunku predykatów). Formuła ϕ ma dowód zezbioru Σ formuł języka rachunku predykatów — co zapisujemy: Σ ` ϕ —wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg formuł ϕ0, ϕ1, . . ., ϕn taki,że

ϕn = ϕ,

gdzie „=” jest skrótem dla „ jest równokształtne z”oraz dla każdego i (0 ≤ i ≤ n) spełniony jest przynajmniej jeden z warunków:

3W tym wypadku kolidowałoby to z regułą podstawiania. Mianowicie, zgodnie z tąregułą za zmienną wolną y moglibyśmy podstawić dowolną liczbę dodatnią i stosującregułę odrywania otrzymalibyśmy: ∀y : (x > 0 ⇒ x + y > 0). Podstawiając zaś dowolnąliczbę za zmienną x, lub po prostu wiążąc ją dużym kwantyfikatorem, otrzymujemy zdaniefałszywe. Tymczasem formuła: y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0) jest spełniona.


1. ϕi jest elementem Σ,

2. ϕi jest tautologią (języka rachunku predykatów),

3. ϕi jest aksjomatem (teorii) identyczności,

4. istnieją ϕj, ϕk takie, że ϕk = ϕj ⇒ ϕi; j, k < i,

5. istnieją ϕk, k < i, oraz term t i zmienna v takie, że t jest podstawialneza v w formule ϕk i ϕk[v ::= t] = ϕi,

6. istnieje ϕk, k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ∀v : ψ oraz ϕi = φ ⇒ ψ,

7. istnieje ϕk, k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ψ i zmienna v nie występuje jakozmienna wolna w φ oraz ϕi = φ ⇒ ∀v : ψ,

8. istnieje ϕk, k < i, takie, że ϕk = ∃v : φ ⇒ ψ oraz ϕi = φ ⇒ ψ,

9. istnieje ϕk, k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ψ i zmienna v nie występuje jakozmienna wolna w ψ oraz ϕi = ∃v : φ ⇒ ψ.

Definicja 2.16 (tezy rachunku predykatów). Formuły mające dowód z pu-stego zbioru formuł to tezy rachunku predykatów.

Definicja 2.17 (sprzecznego zbioru formuł). Zbiór formuł jest sprzecznywtedy i tylko wtedy, gdy z tego zbioru ma dowód dowolna formuła.

Definicja 2.18 (niesprzecznego zbioru formuł). Zbiór formuł jest niesprzecznywtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sprzeczny.

Teoria rozumiana jako zbiór formuł taki, że każda formuła mająca dowódz tego zbioru jest jego elementem, czyli tezą (zbiór zamknięty na operacjękonsekwencji) powinna być niesprzeczna. Rachunek logiczny, jako zbiór for-muł mających dowód z pustego zbioru formuł, aby wart był rozważania, musibyć niesprzeczny. Chodzi więc o to, aby zbiór jego tez — formuł mającychdowód z pustego zbioru (formuł) — nie był równy zbiorowi wszystkich for-muł języka tego rachunku, czyli żeby dla dowolnego ϕ nie było prawdą, że:` ϕ.Przykład 2.11. Formuła:

∀x : Px ⇒ Px

ma dowód z pustego zbioru formuł, czyli

` ∀x : Px ⇒ Px.


Dowód.

1. ∀x : Px ⇒ ∀x : Px tautologia2. ∀x : Px ⇒ Px (O∀; 1)

Zauważmy, że dla dowolnej zmiennej v i dowolnej formuły ϕ analogiczniemożna dowieść, że

T 1. ` ∀v : ϕ ⇒ ϕ.

Zamiast dowodzić poszczególnych formuł będziemy więc podawali sche-maty dowodów. Z takiego schematu będzie można otrzymać dowód każdejformuły o schemacie formuły podanej jako teza.

Dowód z pustego zbioru formuł ma formuła:

ϕ ⇒ ∃v : ϕ

czyli jest ona tezą rachunku predykatów, a więc zachodzi:

T 2. ` ϕ ⇒ ∃v : ϕ.

Dowód.

1. ∃v : ϕ ⇒ ∃v : ϕ tautologia2. ϕ ⇒ ∃v : ϕ (O∃; 1)

Zastosowanie reguły podstawiania będziemy wskazywali podając numerwiersza dowodowego, w którym dokonuje się podstawienia oraz zmiennąi podstawiany za nią term.

T 3. ` ∀v : ϕ ⇒ ϕ[v ::= t], jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.

Dowód.

1. ∀v : ϕ ⇒ ∀v : ϕ tautologia2. ∀v : ϕ ⇒ ϕ (O∀; 1)3. ∀v : ϕ ⇒ ϕ[v ::= t] (2; v ::= t)

jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.


T 4. ` ϕ[v ::= t] ⇒ ∃v : ϕ, jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.

Dowód.

1. ∃v : ϕ ⇒ ∃v : ϕ tautologia2. ϕ ⇒ ∃v : ϕ (O∃; 1)3. ϕ[v ::= t] ⇒ ∃v : ϕ (2; v ::= t)

jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.

Zrezygnujemy z przeprowadzania dowodów ściśle według definicji. Zwy-kle takie dowody są długie i nieprzejrzyste. Krótsze, a dla znających podsta-wowe prawa i reguły logiki prostsze są dowody, w których korzysta się z tychpodstawowych praw i reguł. Pisząc w wierszu dowodowym nazwę tezy wska-zujemy, że dowód formuły znajdującej się w tym wierszu przebiega wedługschematu dowodu tezy, na którą się powołujemy. Korzystać będziemy rów-nież z praw logiki zdań — jest oczywiste, że stosują się one do dowodóww rachunku predykatów — może to być wskazywane przez podanie nazwyzastosowanego prawa lub jego treści.

T 5. ` ∃v1 : ∀v2 : ϕ ⇒ ∀v2 : ∃v1 : ϕ

Dowód.

1. ∀v2 : ϕ ⇒ ϕ T12. ϕ ⇒ ∃v1 : ϕ T23. ∀v2 : ϕ ⇒ ∃v1 : ϕ (SYLL; 1,2)4. ∃v1 : ∀v2 : ϕ ⇒ ∃v1 : ϕ (D∃; 3)5. ∃v1 : ∀v2 : ϕ ⇒ ∀v2 : ∃v1 : ϕ (D∀; 4)

T 6. ` ∃v : (ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v : ϕ ∧ ∃v : ψ)

Dowód.

1. ∃v : ϕ ⇒ ∃v : ϕ tautologia2. ϕ ⇒ ∃v : ϕ (O∃; 1)3. ∃v : ψ ⇒ ∃v : ψ tautologia4. ψ ⇒ ∃v : ψ (O∃; 3)


5. (ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v : ϕ ∧ ∃v : ψ) α ⇒ γβ ⇒ δ; 2,4

α ∧ β ⇒ γ ∧ δ6. ∃v : (ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v : ϕ ∧ ∃v : ψ) (D∃; 5)

T 7. ` t ≡ t

Dowód.

1. x ≡ x aksjomat 12. t ≡ t (1; x ::= t).

Teza T7 głosi, że identyczność jest zwrotna.

T 8. ` (t ≡ t1) ⇒ (t1 ≡ t)

Dowód.

1. [(x ≡ x1) ∧ (x ≡ x)] ⇒ (x1 ≡ x) aksjomat 32. [(x ≡ x1) ∧ (x ≡ x)] ⇒ (x1 ≡ x)

⇒ (x ≡ x) ⇒ [(x ≡ x1) ⇒ (x1 ≡ x)] tautologia3. (x ≡ x) ⇒ [(x ≡ x1) ⇒ (x1 ≡ x)] (MP; 1,2)4. (x ≡ x) aksjomat 15. (x ≡ x1) ⇒ (x1 ≡ x) (MP; 4,3)6. (t ≡ t1) ⇒ (t1 ≡ t) (5; x ::= t, x1 ::= t1)

Teza 8 głosi, że identyczność jest symetryczna.

T 9. ` (t ≡ t1) ⇒ [(t1 ≡ t2) ⇒ (t ≡ t2)]

Dowód.

1. [(x1 ≡ x) ∧ (x1 ≡ x2)] ⇒ (x ≡ x2) aksjomat 32. [(x1 ≡ x) ∧ (x1 ≡ x2)] ⇒ (x ≡ x2)

⇒ (x1 ≡ x) ⇒ [(x1 ≡ x2) ⇒ (x ≡ x2)] tautologia3. (x1 ≡ x) ⇒ [(x1 ≡ x2) ⇒ (x ≡ x2)] (MP; 1,2)


4. (x ≡ x1) ⇒ (x1 ≡ x) T85. (x ≡ x1) ⇒ [(x1 ≡ x2) ⇒ (x ≡ x2)] (SYLL; 3,4)6. (t ≡ t1) ⇒ [(t1 ≡ t2) ⇒ (t ≡ t2)]

(5; x ::= t, x1 ::= t1, x2 ::= t2)

Teza 9 głosi, że identyczność jest przechodnia.

A oto niektóre ważniejsze prawa, schematy i reguły klasycznej logiki pre-dykatów. Rozumiemy je analogicznie do praw, schematów i reguł rachunkuzdań.

ϕ/∀v : ϕ — reguła generalizacji

∀v : ϕ ⇒ ϕ[v ::= t], jeśli term t jest podstawialny za v

ϕ[v ::= t] ⇒ ∃v : ϕ, jeśli term t jest podstawialny za v

∀v : ϕ ⇒ ∃v : ϕ4

∀v1 : ∀v2 : ϕ ⇔ ∀v2 : ∀v1 : ϕ

∃v1 : ∃v2 : ϕ ⇔ ∃v2 : ∃v1 : ϕ

∃v1 : ∀v2 : ϕ ⇒ ∀v2 : ∃v1 : ϕ5

Kwantyfikatory a spójnik negacji — prawa De Morgana

¬ ∀v : ϕ ⇔ ∃v : ¬ ϕ

¬ ∃v : ϕ ⇔ ∀v : ¬ ϕ

Kwantyfikatory a spójnik implikacji

∀v : (ϕ ⇒ φ) ⇒ (∀v : ϕ ⇒ ∀v : φ)

∀v : (ϕ ⇒ φ) ⇒ (∃v : ϕ ⇒ ∃v : φ)

4Prawo to jest ograniczone do dziedziny niepustej.5Warto tu zauważyć, że prawem nie jest

∀v2 : ∃v1 : φ ⇒ ∃v1 : ∀v2 : φ.

Prawdziwe nie jest zdanie

∀x : ∃y : (x < y) ⇒ ∃y : ∀x : (x < y),

czyli prawdziwe nie jest zdanie: jeżeli dla każdej liczby istnieje liczba od niej większa, toistnieje liczba taka, która jest większa od każdej liczby.


Kwantyfikatory a spójnik koniunkcji

∀v : (ϕ ∧ φ) ⇔ (∀v : ϕ ∧ ∀v : φ)

∃v : (ϕ ∧ φ) ⇒ (∃v : ϕ ∧ ∃v : φ)

Kwantyfikatory a spójnik alternatywy

(∀v : ϕ ∨ ∀v : φ) ⇒ ∀v : (ϕ ∨ φ)

∃v : (ϕ ∨ φ) ⇔ (∃v : ϕ ∨ ∃v : φ)

Kwantyfikatory a spójnik równoważności — prawa ekstensjonalności

∀v : (ϕ ⇔ φ) ⇒ [∀v : (ϕ ⇒ φ) ∧ ∀v : (φ ⇒ ϕ)]

∀v : (ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀v : ϕ ⇔ ∀v : φ)

∀v : (ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃v : ϕ ⇔ ∃v : φ).

2.2.2 Twierdzenie o dedukcji

Twierdzenie o dedukcji dla rachunku predykatów w swoim sformułowaniuróżni się od twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań tylko pewnym za-strzeżeniem spowodowanym tym, że w rachunku predykatów — inaczej niżw rachunku zdań — oprócz zdań wyrażeniami poprawnie zbudowanymi sąrównież formuły nie będące zdaniami.

Twierdzenie 2.1 (o dedukcji). Niech ϕ będzie zdaniem (φ nie musi byćzdaniem).

Σ ∪ ϕ ` φ


Σ ` ϕ ⇒ φ.

Dowód. Dowód tego twierdzenia przebiega w analogiczny sposób jak w wy-padku rachunku zdań. Jest jednak bardziej złożony. We fragmencie, w któ-rym dowodzimy, że

jeżeli Σ ∪ ϕ ` φ, to Σ ` ϕ ⇒ φ


trzeba rozważyć zastosowanie reguł rachunku predykatów.Niech:

γ1, γ2, . . ., γn

będzie dowodem formuły φ ze zbioru Σ ∪ ϕ.Przez indukcję ze względu na długość dowodu: γ1, γ2, . . ., γn dowodzimy,

że ze zbioru Σ istnieje dowód formuły ϕ ⇒ γi, 1 ≤ n. Rozpoczynamyod wypadku, gdy i = 1.

γ1 może być elementem zbioru Σ ∪ ϕ, tautologią języka rachunku pre-dykatów lub aksjomatem teorii identyczności. Dowód, że formuła ϕ ⇒ γ1 madowód ze zbioru Σ niczym w istocie nie różni się od analogicznego wypadkuw dowodzie twierdzenia o dedukcji dla logiki zdań.

Założenie indukcyjne. Jako założenie indukcyjne przyjmujemy, że ze zbioruΣ istnieje dowód formuły ϕ ⇒ γi, i ≤ k.

W dowodzie tezy indukcyjnej, że ze zbioru Σ istnieje dowód formułyϕ ⇒ γk+1 ograniczymy się do pokazania jak postępujemy w wypadku re-guły podstawiania oraz reguł dołączania (D∀) i opuszczania (O∀) dużegokwantyfikatora.(Reguła podstawiania) Niech γk+1 będzie otrzymane przez podstawienie termut w miejsce zmiennej v w γi, czyli γk+1 = γi[v ::= t]. Niech ψ1, ψ2, . . ., ψm(=ϕ ⇒ γi) będzie dowodem ze zbioru Σ formuły ϕ ⇒ γi. Z założenia twierdze-nia o dedukcji ϕ jest zdaniem, czyli nie zawiera zmiennych wolnych, zatem(ϕ ⇒ γi)[v ::= t] = ϕ ⇒ γi[v ::= t]. Dowód ϕ ⇒ γk+1 ze zbioru Σ uzyskamydopisując ϕ ⇒ γi[v ::= t] jako kolejny wyraz do ciągu ψ1, ψ2, . . ., ψm, czylidopisując formułę otrzymaną przez zastosowanie do ψm reguły podstawiania.(D∀) Pokażemy, że jeżeli γk+1 zostało otrzymane przez zastosowanie regułyD∀ do γi, to ze zbioru Σ istnieje dowód dla ϕ ⇒ γk+1. Niech γi = ξ ⇒ λi niech γk+1 = ξ ⇒ ∀v : λ. Z tego wynika, że ξ nie zawiera zmiennej v jakowolnej. Z założenia indukcyjnego dostajemy, że ze zbioru Σ istnieje dowóddla ϕ ⇒ γi, czyli dla ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ). Niech ψ1, ψ2, . . ., ψm[= ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ)]będzie tym dowodem. Aby uzyskać dowód formuły ϕ ⇒ γk+1, czyli formułyϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v : λ), do ciągu ψ1, ψ2, . . ., ψm dopisujemy jako kolejne wyrazynastępujące formuły:

(m+1). [ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ)] ⇒ (ϕ ∧ ξ ⇒ λ) tautologia(m+2). ϕ ∧ ξ ⇒ λ (MP; m, m+1)(m+3). ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v : λ (D∀; m+2)


(m+4). (ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v : λ) ⇒ [ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v : λ)] tautologia(m+5). ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v : λ) (MP; m+3, m+4).

Zauważmy, że do wiersza (m+2) można było zastosować regułę dołączaniadużego kwantyfikatora ponieważ:

1. z założenia twierdzenia o dedukcji ϕ jest zdaniem,

a

2. ξ nie zawiera v jako zmiennej wolnej. γk+1 (= ξ ⇒ ∀v : λ) zostałouzyskane z γi (= ξ ⇒ λ) przez zastosowanie reguły D∀, co jest możliwetylko w wypadku, gdy ξ nie zawiera v jako zmiennej wolnej.

(O∀) Niech γk+1 będzie otrzymane przez zastosowanie reguły opuszczaniadużego kwantyfikatora do γi(= ξ ⇒ ∀v : λ), czyli γk+1(= ξ ⇒ λ). Niechψ1, ψ2, . . ., ψm[= ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v : λ)] będzie dowodem ze zbioru Σ formułyϕ ⇒ γi. Dowód ze zbioru Σ formuły ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ) uzyskujemy dopisując dociągu ψ1, ψ2, . . ., ψm jako kolejne wyrazy następujące formuły:

(m+1). [ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v : λ)] ⇒ (ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v : λ) tautologia(m+2). ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v : λ (MP; m, m+1)(m+3). ϕ ∧ ξ ⇒ λ (O∀, m+2)(m+4). (ϕ ∧ ξ ⇒ λ) ⇒ [ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ) tautologia(m+5). ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ) (MP;m+3, m+4)

Dowód tezy:

jeżeli Σ ` ϕ ⇒ φ, to Σ ∪ ϕ ` φ

przebiega w sposób nieistotnie różniący się od analogicznego fragmentu do-wodu twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań: do dowodu ze zbioru Σformuły ϕ ⇒ φ dopisujemy jako kolejne wyrazy ciągu ϕ – jest to elementzbioru Σ ∪ ϕ — oraz φ — co uzyskujemy stosując regułę odrywania.

Kiedy mamy dowód φ ze zbioru Σ, a dowodzimy ϕ ze zbioru Σ i w ciągudowodowym pojawia się φ, to dowód ϕ możemy „skrócić” zastępując frag-ment ciągu będący dowodem φ powołaniem się na to, że φ ma dowód z Σ.W szczególnym wypadku może to być powołanie się na już udowodnionetezy (formuły mające dowód z pustego zbioru formuł). Twierdzenie o deduk-cji daje dodatkową możliwość „skracania” — pozwala na wykorzystywanie


dowodu λ ⇒ ξ ze zbioru Σ dowodem ξ ze zbioru Σ ∪ λ, i na odwrót. Ko-rzystając ze wskazanych „skrótów” w opisie dowodu, w niczym nie naruszamyjego istoty, czyli nie zmieniamy jego definicji.

T 10. ` ∀x : (Px ⇒ Qx) ⇒ (∃x : Px ⇒ ∃x : Qx).

Dowód.1. ` ∀x : (Px ⇒ Qx) ⇒ (Px ⇒ Qx) T32. ∀x : (Px ⇒ Qx) ` Px ⇒ Qx6 (Tw. o dedukcji; 1)3. ` Qx ⇒ ∃x : Qx T44. ∀x : (Px ⇒ Qx) ` Px ⇒ ∃x : Qx (SYLL; 2, 3)5. ∀x : (Px ⇒ Qx) ` ∃x : Px ⇒ ∃x : Qx (D∃; 4)6. ` ∀x : (Px ⇒ Qx) ⇒ (∃x : Px ⇒ ∃x : Qx) (tw. o dedukcji; 5)

Założenie, że poprzednik implikacji — do której stosujemy twierdzenieo dedukcji — jest zdaniem jest istotne. W wyżej przeprowadzonym dowo-dzie twierdzenia o dedukcji było ono wykorzystane, gdy rozważaliśmy zasto-sowanie reguły podstawiania oraz reguły dołączania dużego kwantyfikatora.Pokażemy — będzie to przykład odnoszący się do reguły podstawiania — żejego zignorowanie prowadzi do niepożądanych konsekwencji, do możliwościotrzymywania fałszywych wniosków z prawdziwych przesłanek.Przykład 2.12. Niech Σ będzie teorią nierówności > (⊆ R× R).

Zatem prawdą jest, że

1. Σ ` x > 2 ⇒ x > 1.

Przejście od 1 do 2:

2. Σ ∪ x > 2 ` x > 1

nie jest uprawnione. Stosując regułę generalizacji otrzymamy bowiem:

3. Σ ∪ x > 2 ` ∀x : (x > 1).

Ponowne zastosowanie twierdzenia o dedukcji daje:

4. Σ ` x > 2 ⇒ ∀x : (x > 1).

Teraz podstawiamy za zmienną wolną x stałą, powiedzmy 3. Dosta-jemy:

6Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumienia zamiast: ϕ1, . . . , ϕn ` φ piszemy:ϕ1, . . . , ϕn ` φ


5. Σ ` 3 > 2 ⇒ ∀x : (x > 1).

Ponieważ:

6. Σ ` 3 > 2,

więc stosując MP dostajemy:

7. Σ ` ∀x : (x > 1).

7 nie jest prawdziwe. ©

T 11. ` ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (∃v : ϕ ⇒ ∃v : ψ)

Dowód.

1. ` ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ⇒ [ϕ[v ::= v1] ⇒ ψ[v ::= v1]] T3, gdzie v1 nie wys-tępuje w ϕ ⇒ ψ

2. ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ` ϕ[v ::= v1] ⇒ ψ[v : colon = v1] (Tw. o dedukcji; 1)3. ` ψ[v ::= v1] ⇒ ∃v : ψ T44. ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ` ϕ[v ::= v1] ⇒ ∃v : ψ (SYLL; 2, 3)5. ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ` [ϕ[v ::= v1]][v1 ::= v] ⇒ ∃v : ψ (4)

∀v : (ϕ ⇒ ψ) ` ϕ ⇒ ∃v : ψ6. ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ` ∃v : ϕ ⇒ ∃v : ψ (D∃; 5)7. ` ∀v : (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (∃v : ϕ ⇒ ∃v : ψ) (tw. o dedukcji; 6)

Udowodnimy teraz twierdzenie, które mówi, że dokonując w jakiejś for-mule ϕ zastąpienia podformuły przez formułę jej równoważną otrzymamyformułę równoważną formule ϕ.

Twierdzenie 2.2 (o zastępowaniu). Niech ϕψ::=χ−→ φ, czyli niech formuła φ

będzie wynikiem zastąpienia w formule ϕ formuły ψ przez formułę χ.

Jeżeli ψ ⇔ χ, to ϕ ⇔ φ.

Dowód. Dowodzimy podobnie jak twierdzenia o zastępowaniu dla rachunkuzdań, czyli przez indukcję ze względu na konstrukcję formuły.

Niech ψ będzie formuła ϕ. Z założenia ψ ⇔ χ, zatem ϕ ⇔ χ. Ponieważχ jest równokształtne z φ, więc χ ⇔ φ, a zatem ϕ ⇔ φ.


Założenie indukcyjne. Niech ϕ1ψ::=χ−→ φ1, ψ ⇔ χ i niech ϕ1 ⇔ φ1.

(¬) Niech ϕ będzie formułą ¬ ϕ1. Zauważmy, że ¬ ϕ1ψ::=χ−→ ¬ φ1. Ponieważ

ϕ1 ⇔ φ1, więc ¬ ϕ1 ⇔ ¬ φ1, czyli ϕ ⇔ φ.(∨) Niech teraz ϕ będzie formułą ϕ1∨ϕ2. Z założenia indukcyjnego ϕ1 ⇔ φ1,zatem (ϕ1 ∨ ϕ2) ⇔ (φ1 ∨ ϕ2). Ponieważ ϕ1 ∨ ϕ2

ψ::=χ−→ φ1 ∨ ϕ2, zatem ϕ ⇔ φ.Podobnie postępuje się, gdy zastępowana podformuła występuje w dru-

gim argumencie alternatywy. Pozostałe wypadki spójników zdaniowych sąanalogiczne.

Rozważmy jeszcze wypadek, gdy formuła ϕ to formuła ∀v : ϕ1. Z zało-żenia indukcyjnego ϕ1 ⇔ φ1. W takim razie ∀v : ϕ1 ⇔ ∀v : φ1. Ponieważ∀v : ϕ1

ψ::=χ−→ ∀v : phi1, więc ϕ ⇔ φ.

2.2.3 Postacie normalne

Podobnie jak w wypadku rachunku zdań możemy ustalić pewne szczególnestandardowe postacie formuł, postacie normalne.

Definicja 2.19 (przedrostkowej postaci normalnej, PNF7 ). Formuła ψ maprzedrostkową (prefiksową) postać normalną wtedy i tylko wtedy, gdy jestpostaci:

Q1v1 : Q2v2 : . . .Qnvn : ϕ,

gdzie

1. Qi ∈ ∀, ∃, 1 ≤ i ≤ n,

2. vi 6= vj, jeżeli i 6= j,

3. w formule ϕ nie występuje żaden kwantyfikator,

4. vi ∈ V (ϕ), 1 ≤ i ≤ n, czyli każda zmienna wiązana przez którykolwiekz kwantyfikatorów Qi występuje w formule ϕ lub — inaczej mówiąc –każda zmienna występująca w przedrostku występuje też w matrycy.

Q1v1 : Q2v2 : . . .Qnvn : to przedrostek (prefiks) formuły ψ, a ϕ tomatryca formuły ψ.

7Po angielsku: Prenex Normal Form.


Zauważmy, że nie wykluczyliśmy możliwości występowania w matrycyzmiennej, która nie jest wiązana przez kwantyfikator (występujący w przed-rostku). Inaczej mówiąc, w postaci normalnej mogą znajdować się formułyotwarte (niebędące zdaniami).

Przykład 2.13. Następujące formuły mają przedrostkową postać normalną:

∀x : ∃y : [P (x, y) ∨R(y)],

∀x : ∀y : [¬ P (x) ∧R(x, y)]. ©Przykład 2.14. Formuła:

∀x : [¬ P (x, y) ∨ ∃y : R(y)]

nie jest formułą o postaci normalnej. ©Pokażemy, że dla każdej formuły istnieje jej równoważna formuła o przed-

rostkowej postaci normalnej.

Twierdzenie 2.3. Dla każdej formuły ϕ istnieje jej równoważna formuła ψo przedrostkowej postaci normalnej.

Dowód. Dla dowodu podamy sposób przekształcania formuły w jej równo-ważną formułę o postaci normalnej.

Rozpoczynamy od opuszczenia zbędnych kwantyfikatorów. Opieramy sięna tym, że

Qv : φ ⇔ φ, jeśli v nie występuje jako zmienna wolna w φ.

Każdą podformułę formuły ϕ, w której kwantyfikator wiąże zmienną niewy-stępującą w tej podformule zastępujemy jej równoważną formułą bez tegokwantyfikatora. Na podstawie twierdzenia o zastępowaniu otrzymana w wy-niku formuła jest równoważna formule ϕ.

Przy przekształcaniu formuły ϕ w jej równoważną formułę o przedrost-kowej postaci normalnej korzysta się z następujących równoważności:

1. (ϕ ⇔ ψ) ⇔ [(ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ)],

2. ¬ ∀v : ϕ ⇔ ∃v : ¬ ϕ,

3. ¬ ∃v : ϕ ⇔ ∀v : ¬ ϕ,

O formułach 4–15 zakładamy, że v1 nie występuje ani w ϕ, ani w ψ.


4. [∀v : ϕ ∨ ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ[v ::= v1] ∨ ψ],

5. [ϕ ∨ ∀v : ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ ∨ ψ[v ::= v1]],

6. [∃v : ϕ ∨ ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ[v ::= v1] ∨ ψ],

7. [ϕ ∨ ∃v : ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ ∨ ψ[v ::= v1]],

8. [∀v : ϕ ∧ ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ[v ::= v1] ∧ ψ],

9. [ϕ ∧ ∀v : ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ ∧ ψ[v ::= v1]],

10. [∃v : ϕ ∧ ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ[v ::= v1] ∧ ψ],

11. [ϕ ∧ ∃v : ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ ∧ ψ[v ::= v1]],

12. [∀v : ϕ ⇒ ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ[v ::= v1] ⇒ ψ],

13. [ϕ ⇒ ∀v : ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ ⇒ ψ[v ::= v1]],

14. [∃v : ϕ ⇒ ψ] ⇔ ∀v1 : [ϕ[v ::= v1] ⇒ ψ],

15. [ϕ ⇒ ∃v : ψ] ⇔ ∃v1 : [ϕ ⇒ ψ[v ::= v1]].

Każdą podformułę o postaci równoważności zastępujemy w formule ϕzgodnie z pierwszym prawem. Postępujemy tak długo, aż otrzymamy for-mułę, w której nie występuje spójnik równoważności. Oczywiście, zgodniez twierdzeniem o zastępowaniu otrzymana formuła będzie równoważna for-mule ϕ.

Do podformuł formuły ϕ w zależności od ich budowy stosujemy odpo-wiednie równoważności i dokonujemy ich zastąpienia przez drugi argumentrównoważności. Procedurę tę kontynuujemy aż do wyczerpania wszystkichmożliwości. Otrzymana w ten sposób formuła będzie równoważna formule ϕ,kwantyfikatory będą występować tylko na początku tej formuły a ponadtow związku z tym, że wyeliminowane zostały wszystkie zbędne kwantyfikatoryoraz, że przy zastępowaniu wprowadzamy zmienne, niewystępujące w for-mule, w której dokonywana jest operacja zastępowania, wszystkie zmiennetej formuły będą się różniły jedna od drugiej a nadto będą różne od wy-stępujących w niej zmiennych wolnych. Otrzymana formuła spełnia zatemwszystkie warunki nałożone na przedrostkową postać normalną.


Przedrostkową postać normalną formuły ϕ oznaczmy PNF (ϕ). Z opisuprocedury znajdowania takiej formuły widać — choćby dlatego, że nie jestzdeterminowana kolejność zastępowania — że dla danej formuły może istniećwięcej niż jedna jej równoważna formuła o przedrostkowej postaci normalnej,inaczej mówiąc dla danej formuły ϕ nie jest jednoznacznie określona formułaPNF (ϕ).

Przykład 2.15. Przekształcimy do przedrostkowej postaci normalnej formułę:

∀x : [P (x) ⇒ ∃y : Q(y, x)] ⇒ ¬ ∃x : R(x, x).

Dokonujemy podstawień otrzymując kolejno formuły równoważne rozważanejformule.

1. ∀x : [P (x) ⇒ ∃y : Q(y, x)] ⇒ ∀x : ¬ R(x, x).

Na podstawie 15 mamy:

2. ∀x : ∃z : [P (x) ⇒ Q(z, x)] ⇒ ∀x : ¬ R(x, x).

Z tego korzystając z 13 dostajemy:

3. ∀y : ∀x : ∃z : [P (x) ⇒ Q(z, x)] ⇒ ¬ R(y, y).Na podstawie 12:

4. ∀y : ∃t : ∃z : [P (t) ⇒ Q(z, t)] ⇒ ¬ R(y, y).Ostatecznie z 14 mamy:

5. ∀y : ∃t : ∀x : [P (t) ⇒ Q(x, t)] ⇒ ¬ R(y, y).Zauważmy, że formule z naszego przykładu możemy zgodnie z opisanąprocedurą przyporządkować inną formułę nie tylko różniącą się kształ-tem zmiennych, lecz również formułę o innej kolejności kwantyfikatoróww przedrostku.

6. ∀x : [P (x) ⇒ ∃y : Q(y, x)] ⇒ ∀x : ¬ R(x, x).

Na podstawie 15 mamy:

7. ∀x : ∃z : [P (x) ⇒ Q(z, x)] ⇒ ∀x : ¬ R(x, x).

Z tego korzystając z 12 dostajemy:


8. ∃t : ∃z : [P (t) ⇒ Q(z, t)] ⇒ ∀x : ¬ R(x, x).Na podstawie 13:

9. ∃t : ∀y : ∃z : [P (t) ⇒ Q(z, t)] ⇒ ¬ R(y, y).Ostatecznie z 14 mamy:

10. ∃t : ∀y : ∀x : [P (t) ⇒ Q(x, t)] ⇒ ¬ R(y, y). ©Szczególnym kształtem formuły jest standardowa postać skolemowska8.Zauważmy, że spełnienie formuły ∃x : ϕ znaczy tyle, że jest taki przedmiot

c, że prawdziwe jest ϕ[x ::= c]. Inaczej mówiąc, formuła ∃x : ϕ jest spełnionawtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest formuła ϕ[x ::= c].

Definicja 2.20 (standardowej postaci skolemowskiej). Formuła o standardo-wej postaci przedrostkowej ma standardową postać skolemowską wtedy i tylkowtedy, gdy w jej prefiksie nie występują kwantyfikatory szczegółowe.

Niech Skol(ϕ) będzie standardową skolemowską postacią formuły ϕ.

Procedura przekształcania formuły do standardowej postaci skolemow-skiej to skolemizacja. Skolemizacja jest metodą eliminacji kwantyfikatorówszczegółowych przez zastępowanie stałymi lub funkcjami wiązanych przeznie zmiennych. Skolemizacja formuły poprzedzona jest jej sprowadzeniem doprzedrostkowej postaci normalnej.

Niech formuła ϕ znajduje się w przedrostkowej postaci normalnej.

Skolemizacji formuły ϕ dokonujemy następująco:

1. Kwantyfikatorami ogólnymi wiążemy wszystkie (i tylko) zmienne wolnewystępujące w ϕ.

2. Jeżeli formuła ma postać ∃v : ψ, to zastępujemy ją formułą ψ[v ::= c],gdzie stała c nie występuje w formule ψ.Każdy występujący w prefiksie kwantyfikator szczegółowy, który niejest poprzedzany przez kwantyfikator ogólny eliminujemy wpisując jednąi tę samą stałą w miejsce każdego wystąpienia zmiennej wiązanej przezten kwantyfikator. Przy tym za różne co do kształtu zmienne związanewpisujemy różne stałe. Stałe te to stałe Skolema.

8Thoralf Skolem, matematyk norweski, wykazał, że z prefiksowej postaci normalnejformuły ϕ można wyeliminować wszystkie kwantyfikatory szczegółowe tak, że otrzymanaformuła jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniona formuła ϕ.


3. Jeżeli formuła ma postać ∀v1 : . . . ∀vn : ∃v : ψ, to zastępujemy ją for-mułą ∀v1 : . . . ∀vn : ψ[v ::= F (v1, . . . , vn], gdzie litera funkcyjna F niewystępuje w formule ψ.

Jeżeli kwantyfikator szczegółowy w prefiksie formuły ϕ′ uzyskanej przezwykonanie którejś z operacji 1–3 poprzedzany jest przez kwantyfikatoryogólne wiążące zmienne v1, . . . , vn, to w miejsce każdego wystąpieniazmiennej wiązanej przez ten kwantyfikator szczegółowy wpisujemy termF (v1, . . . , vn), gdzie litera funkcyjna F nie występuje w rozważanej for-mule ϕ′. Funkcja F (v1, . . . , vn) to funkcja Skolema (Herbranda9).

Operacje opisane w powyższych punktach wykonujemy tak długo aż otrzy-mamy formułę o przedrostkowej postaci normalnej, w której prefiksie niewystępują kwantyfikatory szczegółowe.

Opisany sposób skolemizacji formuły w przedrostkowej postaci normalnejprowadzi do formuł różniących się jedynie wyborem symboli stałych indywi-duowych i liter funkcyjnych.Przykład 2.16. Skolemowską postacią normalną formuły:

∃t : ∀y : ∀x : [P (t) ⇒ Q(x, t)] ⇒ ¬ R(y, y)jest formuła:

∀y : ∀x : [P (a) ⇒ Q(x, a)] ⇒ ¬ R(y, y). ©Przykład 2.17. Skolemowską postacią normalną formuły:

∀x : ∃y : P (x, y)

jest formuła:∀x : P (x, f(x)). ©

W wypadku PNF (ϕ) ma miejsce równoważność: ϕ ⇔ PNF (ϕ), czyli:` ϕ ⇔ PNF (ϕ). Tak nie musi być w wypadku Skol(ϕ), czyli nie musi za-chodzić równoważność: ϕ ⇔ Skol(ϕ) (` ϕ ⇔ Skol(ϕ).) W tym wypadkuzwiązek jest słabszy, a mianowicie: ϕ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdySkol(ϕ) jest spełnione (czyli zachodzi |= ϕ ⇔ Skol(ϕ)).

Skolemizacja prowadzi do szczególnej postaci prefiksu: występują w nimtylko kwantyfikatory ogólne. Standaryzacji można poddać również matrycęformuły w przedrostkowej postaci normalnej.

9J. Herbrand, 1908–31, swoimi pracami dał podstawy takiego ujęcia rachunku kwanty-fikatorów.


Definicja 2.21 (literału). Literał to formuła atomowa lub formuła atomowapoprzedzona spójnikiem negacji. Formuły atomowe to literały pozytywne,a negacje formuł atomowych to literały negatywne.

Przykład 2.18. Literałami są: P (x),¬ P (x), Q(x, y), R(f(x), x).P (x), Q(x, y), R(f(x), x) to literały pozytywne, a ¬ P (x) to literał nega-

tywny. ©Definicja 2.22 (klauzuli). Klauzula to skończona alternatywa literałów,czyli

λ1 ∨ λ2 ∨ · · · ∨ λn,

gdzie λi; 1 ≤ i ≤ n to literał.

Przykład 2.19. Klauzulami są: Q(x, y), P (x) ∨ ¬ P (x), P (x) ∨Q(f(x), y).Klauzulą nie jest: ¬ [P (x) ∨ ¬ P (x)]. ©Klauzula może być zapisana jako zbiór literałów. Logicznie taki zbiór

odpowiada formule będącej alternatywą wszystkich i tylko jego elementów(literałów).

Klasa klauzul logicznie odpowiada formule będącej koniunkcją wszystkichi tylko klauzul będących jej elementami.

Matryca formuły o przedrostkowej postaci normalnej nie zawiera kwan-tyfikatorów. Podobnie jak zdanie z rachunku zdań może więc zostać przed-stawiona w postaci normalnej, w szczególności jako koniunkcja klauzul.

W wypadku formuł o standardowej postaci skolemowskiej można pominąćprefiks. Domyślnie przyjmuje się, że wszystkie zmienne indywiduowe zwią-zane są kwantyfikatorami ogólnymi. Domyślność ta ma ugruntowanie w pra-wie rachunku kwantyfikatorów, w zasadzie generalizacji. Formuła o standar-dowej postaci skolemowskiej może więc być zapisana jako klasa klauzul, czyliklasa zbiorów literałów.

W informatyce szczególnie ważne są klauzule hornowskie10.

Definicja 2.23 (klauzuli hornowskiej). Klauzula Horna to klauzula z conajwyżej jednym pozytywnym literałem.

Pozytywna klauzula Horna to klauzula, która ma jeden literał pozytywny.

Negatywna klauzula Horna to klauzula, która nie ma literału pozytyw-nego.

10Alfred Horn (1951) pierwszy wskazał na znaczenie takich klauzul w 1951 r.


Niech λ, ewentualnie z indeksami, będzie literałem pozytywnym, formułąatomową.

Klauzulami Horna są zatem wyrażenia następujących postaci:

1. ¬ λ1 ∨ · · · ∨ ¬ λn ∨ λ, n ∈ N, gdy klauzula Horna zawiera literałpozytywny,

2. ¬ λ1 ∨ · · · ∨ ¬ λn, n ∈ N, gdy klauzula Horna nie zawiera żadnegoliterału pozytywnego,

3. λ, gdy klauzula Horna nie zawiera żadnego literału negatywnego,

4. klauzula pusta, gdy klauzula Horna nie zawiera ani literału negatyw-nego ani pozytywnego.

Klauzula z pozytywnym literałem może być w sposób równoważny przed-stawiona jako:

λ1 ∧ · · · ∧ λn ⇒ λ.

Z rachunku kwantyfikatorów mamy, że

` λ1 ∧ · · · ∧ λn ⇒ λ

wtedy i tylko wtedy, gdy:

λ1 ∧ · · · ∧ λn ` λ,

czyli:

formuła λ1 ∧ · · · ∧ λn ⇒ λ jest tezą rachunku kwantyfikatorówwtedy i tylko wtedy, gdy λ wynika (logicznie) z λ1 ∧ · · · ∧ λn.

Informatycy używają specyficznej notacji. Klauzule11 Horna zapisywanesą za pomocą odwróconej implikacji, ⇐12. W miejsce spójnika koniunkcjistosowany jest zaś przecinek. Poszczególne klauzule mają swoje specyficznenazwy.

Poszczególnym klauzulom 1–4 odpowiadają więc następujące wyrażenia:11W PROLOG–u klazulami nazywa się reguły, fakty i zapytania.12Implikacja odwrócona, ⇐, to spójnik prawdziwościowy taki, że zdanie złożone jest

fałszywe tylko w jednym wypadku, gdy pierwszy argument jest fałszywy, a drugi argumentjest prawdziwy.


1′. λ ⇐ λ1, . . . , λn, n 6= 0 — reguła;2′. λ ⇐ — fakt,3′. ⇐ λ1, . . . , λn, n 6= 0 — zanegowane pytanie;4′. — klauzula pusta (sprzeczność)

Kolejnym krokiem standaryzacji postaci formuł jest standaryzacja litera-łów. Tu można ustalić postać termów. Procedura standaryzacji termów tounifikacja. Zastosowanie rachunku rezolucyjnego dla logiki kwantyfikatorówoprócz przedstawienia formuł w standardowej postaci skolemowskiej wymagateż unifikacji termów.

2.2.4 Tablice semantyczne

W wypadku rachunku zdań — korzystając z definicji tautologii — podaliśmymetody sprawdzania tautologiczności zdań, w szczególności metodę tablicsemantycznych. Powstaje pytanie o możliwość takiej metody dla rachunkupredykatów. Chodzi więc o uogólnienie metody tablic semantycznych narachunek predykatów. Uczynimy to dla języka, który nie zawiera liter funk-cyjnych.

Wszystkie zasady konstrukcji drzewa oraz reguły przyjęte dla metodytablic semantycznych dla rachunku zdań uzupełniamy o następujące regułyspecyficzne dla rachunku predykatów.∃L ∃v : ψX

...

ψ[v ::= c]

Reguła ∃L stosuje się do zdania ∃v : ψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.Zdanie ∃v : ψ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej stałej cprawdą jest, że ψ[v ::= c]. Zdanie to zapisujemy po lewej stronie na każdejgałęzi, na której znajduje się analizowane zdanie ∃v : ψ. Stała indywiduowac musi być stałą, która nie występuje na gałęziach, na których dopisujemyzdanie ψ[v ::= c]. Do danego zdania regułę ∃L stosujemy tylko raz. Jest toreguła jednokrotna. Fakt zastosowania ∃L zaznaczamy za pomocą X.

∃P ∃v : ψ?

...

ψ[v ::= c]


Reguła ∃P stosuje się do zdania ∃v : ψ zapisanego po prawej stronie ga-łęzi. Zdanie ∃v : ψ nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdejstałej c nie jest prawdziwe ψ[v ::= c]. Zdanie ψ[v ::= c] piszemy po prawejstronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∃v : ψ. Stała c jest dowolna. Po-nieważ bez względu na to, jaką weźmiemy stałą c nie jest spełnione ψ[v ::= c],więc reguła ∃P może być do tego zdania stosowana wielokrotnie. Jest to re-guła wielokrotna. Fakt zastosowania ∃P zaznaczamy za pomocą ?.

∀L ∀v : ψ?

...

ψ[v ::= c]

Reguła ∀L stosuje się do zdania ∀v : ψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.Takie zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej stałej cprawdą jest, że ψ[v ::= c]. Zdanie ψ[v ::= c] zapisujemy po lewej stroniekażdej gałęzi, na której znajduje się ∀v : ψ. Stała c jest dowolna. Ponieważbez względu na to, jaką weźmiemy stałą c prawdą jest ψ[v ::= c], więc regułę∀L możemy stosować do tego zdania wielokrotnie. Jest to reguła wielokrotna.Fakt zastosowania ∀L zaznaczamy pisząc ?.

∀P ∀v : ψX

...

ψ[v ::= c]

Reguła ∀P stosuje się do zdania ∀v : ψ zapisanego po prawej stronie ga-łęzi. Zdanie takie nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla przynaj-mniej jednej stałej c nie jest prawdą ψ[v ::= c]. Zdanie ψ[v ::= c] piszemy poprawej stronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∀v : ψ. Stała c nie możewystąpić wcześniej na żadnej gałęzi, na której dopisujemy ψ[v ::= c]. Regułę∀P stosujemy tylko raz. Fakt zastosowania ∀P zaznaczamy za pomocą X.

Reguły ∀P i ∃L to reguły niepowtarzalne, jednokrotne.Reguły ∀L i ∃P to reguły powtarzalne, wielokrotne.To, że reguły ∀L i ∃P mogą być wielokrotnie stosowane do tej samego

zdania powoduje, że tam, gdzie z tych reguł korzystamy proces konstrukcjidrzewa nie jest ograniczony. Jest więc inaczej niż w wypadku rachunku zdań,gdzie dane zdanie tylko raz mogło być przedmiotem analizy.


Struktura zdania w języku rachunku zdań i formuły (w języku rachunkupredykatów) jednoznacznie wskazuje na to, jaka reguła może być użyta do ichanalizy. W wypadku reguł zdaniowych jednoznacznie określony jest wynikanalizy. Nie jest tak w wypadku reguł ∃L i ∀P oraz ∀L i ∃P . Dla ∃L i ∀Pformalnie wykluczone jest użycie niektórych stałych. Zaś dla ∀L i ∃P to,której stałej użyjemy, nie jest w ogóle wyznaczone przez formalne regułykonstrukcji drzewa. Ta swoboda wyboru stałych wymusza namysł nad tym,jakiej stałej użyje się. Można bowiem postępować tak, że mimo iż badanazdanie jest tezą, nie będzie dochodzić do zamknięcia tablicy, choćby po prostuza każdym krokiem stosując stałą, która jeszcze nie była użyta.

Jeżeli tablica semantyczna jest zamknięta, to analizowane zdanie jest teząlub ma miejsce wynikanie, czyli z koniunkcji zdań znajdujących się po lewejstronie wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronie prawej.

Jeżeli zdanie jest tezą lub ma miejsce wynikanie: z koniunkcji zdań znaj-dujących się po lewej stronie wynika alternatywa zdań znajdujących się postronie prawej, to dla analizowanego wypadku istnieje skończona zamkniętatablica. Dla każdej tezy lub wypadku, gdy z koniunkcji zdań znajdującychsię po stronie lewej wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronieprawej, istnieje więc taki skończony zbiór stałych, dla których tablica jestzamknięta. Jednak z góry nie potrafimy określić wielkości tego zbioru. Faktten jest równoważny półrozstrzygalności rachunku predykatów.

Jeżeli zdanie nie jest tezą lub z koniunkcji zdań znajdujących sie po lewejstronie nie wynika alternatywa zdań znajdujących sie po prawej stronie, totablica nie musi być skończona.

Fakt, że na danym etapie konstrukcji tablica semantyczna tezy (wynika-nia) nie jest zamknięta nie przesądza, że w kolejnym kroku to nie nastąpi.Nie wiemy bowiem z góry jak wielka ma być konstrukcja. Ponadto, formalnereguły konstrukcji umożliwiają tworzenie również dla niektórych tez (wynika-nia) niekończących się niezamkniętych tablic. Na przykład, mając po stronielewej zdanie postaci ∀φ wystarczy ograniczyć się do stosowania tylko reguły∀L — jest to reguła wielokrotna, a stałych mamy nieskończenie wiele.

Powyższe uwagi o regułach dają podstawę następującym zaleceniom w spra-wie konstruowania tablicy semantycznej.

• Mając do wyboru analizę zdania, do którego stosuje się jedna z reguł ∀Llub ∃P , czyli reguł wielokrotnych i analizę zdania, do którego stosujesię jedna z reguł ∀P lub ∃L, czyli reguł jednokrotnych, jako pierwszeanalizujemy zdanie, do którego stosuje się jedna z reguł jednokrotnych:


∀P lub ∃L.

• Stałe powinno dobierać się tak, aby poszczególne gałęzie zamykały się.Nie ma tu jednak jakieś jednej uniwersalnej reguły, jak należy te stałedobierać. Można jednak przyjąć, że należy dążyć do użycia możliwienajmniej różnych stałych.

Wyniki konstrukcji tablicy semantycznej mogą być następujące:

1. Tablica jest zamknięta; na każdej gałęzi po lewej i prawej stronie wy-stępuje jakieś jedno i to samo zdanie, czyli — jak to mówimy — nakażdej gałęzi ma miejsce sprzeczność.

Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunkupredykatów jest: ∀x : P (x) ⇒ ∃x : P (x), oraz w wypadku pytania, czytezą rachunku predykatów jest: ∃x : ∀y : R(x, y) ⇒ ∀y : ∃x : R(x, y).

2. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność,a ewentualne stosowanie reguł ∀L i ∃P (powtarzalnych) do takiej sprzecz-ności nie doprowadzi, jak na przykład wówczas, gdy na gałęzi pozostałotylko stosowanie do jakiegoś zdania reguły ∀L albo ∃P i miały miejscewszystkie wypadki stosowania tej reguły z użyciem stałych już wyko-rzystanych na tej gałęzi.

Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunkupredykatów jest: ∃x : P (x) ⇒ ∀x : P (x), oraz czy tezą rachunku pre-dykatów jest: ∀x : ∃y : R(x, y) ⇒ ∀x : ∀y : R(x, y).

3. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzecznośći brak podstaw, aby twierdzić, że stosowanie reguł ∀L i ∃P w jakimśmomencie nie doprowadzi do sprzeczności.

Podanie w tym wypadku jakiegoś przykładu sprawia kłopot spowodo-wany tym, że mówimy tu o braku podstaw dla uznania, że stosowaniereguł nie doprowadzi do sprzeczności. Dlatego też w tym wypadku niemożemy dać żadnej odpowiedzi. Nie możemy bowiem wykluczyć, żekolejne zastosowania reguł może takie podstawy stworzyć.

Jako przykład wskażmy pytanie, czy tezą rachunku predykatów jest:¬∀x : ∃y : R(x, y)∧∀x : ¬R(x, x)∧∀x, y, z : [R(x, y)∧R(y, z) ⇒ R(x, z)].


W wypadku 1 twierdzimy, że pytanie o istnienie dowodu danego zdaniaz danego zbioru zdań ma odpowiedź pozytywną. W wypadku 2 zaś, że maodpowiedź negatywną. Wypadek 3 pozostawia to pytanie nierozstrzygnię-tym.

Wszystkie pozostałe kwestie budowy tablicy rozwiązujemy, stosując się dozasad konstrukcji tablic semantycznych wskazanych dla zdań języka rachunkuzdań.

Przykład 2.20. PYTANIECzy prawdą jest, że

∀x : (Px ⇒ Qx), ∀x : Px ` ∀xQx?

TABLICA SEMANTYCZNA

∀x : (Px ⇒ Qx)? ∀x : QxX

∀x : Px?

(Pa ⇒ Qa)X Qa

Pa

Pa Qa

ODPOWIEDŹ:Prawdą jest, że: ∀x : (Px ⇒ Qx),∀x : Px ` ∀x : Qx. ©

Przykład 2.21. PYTANIECzy prawdą jest, że

∀x : (Px ⇒ Qx), ∀x : Qx ` ∀x : Px?


TABLICA SEMANTYCZNA

∀x : (Px ⇒ Qx)? ∀x : PxX

∀x : Qx?

(Pa ⇒ Qa)X Pa

Qa

ODPOWIEDŹ:Nie jest prawdą jest, że: ∀x : (Px ⇒ Qx),∀x : Qx ` ∀x : Px. Tablica niemoże zostać zamknięta. Zauważmy bowiem, że pozostaje tylko stosowaniereguły ∀L do zdania ∀x : (Px ⇒ Qx) lub do zdania ∀x : Qx. Kontynuująckonstrukcję na kolejnych gałęziach dopisywać będziemy po lewej stronie tylkoPc ⇒ Qc i Qc, a po prawej stronie tylko Pc, gdzie c jest dowolną stałą. ©Przykład 2.22. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkichi tylko tych, którzy nie golili się sami. Kto golił golibrodę?

Niech dwuargumentowa litera predykatowa: G(. . . , . . . ) znaczy:

. . . goli . . .

Nasze zdanie możemy zapisać:

∃x : ∀y : [G(x, y) ⇔ ¬ G(y, y)].

PYTANIECzy wewnętrznie sprzeczne jest zdanie:

∃x : ∀y : [G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]?

TABLICA SEMANTYCZNA

∃x : ∀y : [G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]X

∀y : [G(a, y) ⇔ ¬G(y, y)]?

G(a, a) ⇔ ¬G(a, a)X

G(a, a) G(a, a)

¬G(a, a)X ¬G(a, a)X

G(a, a) G(a, a)


ODPOWIEDŹ:Zdanie:

∃x : ∀y : [G(x, y) ⇔ ¬ G(y, y)]

jest wewnętrznie sprzeczne. ©Przykład 2.23. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne?

Wszyscy kochają kochającego.Jerzy nie kocha siebie.Wobec tego Jerzy nie kocha Marty (?, s. 95).Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem

dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Jerzy; a b niech będzieskrótem dla: Marta.

Rozważane rozumowanie możemy zatem zapisać:∀x.[∃y.K(x, y) ⇒ ∀z.K(z, x)],¬K(a, a) ` ¬K(a, b)

TABLICA SEMANTYCZNA

∀x.[∃y.K(x, y) ⇒ ∀z.K(z, x)]?

¬K(a, a)X

K(a, b)

∃y.K(a, y) ⇒ ∀z.K(z, a)X

¬K(a, b)X

K(a, a)

∃y.K(a, y)? ∀z.K(z, a)?

K(a, b) K(a, a)

ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianymrozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. ©Przykład 2.24. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne?

Albo wszyscy kochają, albo niektórzy ludzie nie kochają.Jeśli wszyscy kochają, to z pewnością Piotr kocha.Jeśli nie wszyscy kochają, to istnieje co najmniej jedna osoba, która nie

kocha; nazwiemy ją Anią.Wobec tego, jeśli Ania kocha, to wszyscy kochają (?, s. 95).Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem

dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Piotr; a b niech będzieskrótem dla: Ania.

Rozważane rozumowanie możemy zapisać:


∀x.∃y.K(x, y) ∨ ∃x.∀y¬K(x, y), ∀x.∃y.K(x, y) ⇒ ∃y.K(a, y),

¬∀x.∃y.K(x, y) ⇒ ∃x.∀y.[¬K(x, y)∧(x = b)] ` ∃y.K(b, y) ⇒ ∀x.∃y.K(x, y).

Zauważmy, że pierwsze dwie przesłanki są tezami rachunku predykatów.Możemy je zatem pominąć w konstrukcji tablicy semantycznej. Wystarczyrozważyć tylko poprawność następującego rozumowania:

¬∀x.∃y.K(x, y) ⇒ ∃x.∀y.[¬K(x, y)∧(x = b)] ` ∃y.K(b, y) ⇒ ∀x.∃y.K(x, y).

TABLICA SEMANTYCZNA

¬∀x.∃y.K(x, y) ⇒ ∃x.∀y.[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X∃y.K(b, y) ⇒ ∀x.∃y.K(x, y)X

∃y.K(b, y)X∀x.∃y.K(x, y)X

K(b, c) ∃y.K(d, y)?

¬∀x.∃y.K(x, y)X ∃x.∀y.[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X

∀x.∃y.K(x, y)? ∀y.[¬K(b, y) ∧ (b = b)]?

∃y.K(d, y)X

K(d, e)

K(d, e) K(d, e)

[¬K(b, y) ∧ (b = b)]X

¬K(bc)X

(b = b)K(b, c)

ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianymrozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. ©

2.2.5 Dedukcja naturalna

Podobnie jak w wypadku rachunku zdań, mamy różne ujęcia rachunku predy-katów, które są bliskie intuicjom, jakimi kierujemy się stosując logikę w rozu-mowaniach. Tu przedstawimy system nadbudowany nad systemem dowodówzałożeniowych logiki zdań.

W mocy pozostają wszystkie reguły dowodzenia oraz wszystkie regułypierwotne, jakie przyjęliśmy dla rachunku zdań z tym, że słowo „zdanie”zastępujemy słowem „formuła”. Dochodzą tylko reguły specyficzne dla ra-


chunku predykatów. Są nimi reguły dołączania i opuszczania kwantyfikato-rów, małego i dużego. Pomijamy predykat identyczności.

Reguły pierwotne rachunku predykatów

D∀. Reguła dołączania dużego kwantyfikatora

Z. . . . .ψ

∀v : ψ

jeżeli v nie jest zmienną wolną w żadnej formule z Z, a Z jest zbiorem założeń,z których dowodzone jest ψ.O∀. Reguła opuszczania dużego kwantyfikatora

∀v : ψ ∀v : ψ ∀v : ψ

ψ ψ[v ::= v1] ψ[v ::= c]

D∃. Reguła dołączania małego kwantyfikatora

ψ ψ ψ(c)

∃v : ψ ∃v : ψ[v1 ::= v] ∃v : ψ[c ::= v]

O∃. Reguła opuszczania małego kwantyfikatora

∃v : ψ

ψ[v ::= cv1,...,vn ]

gdzie cv1,...,vn to stała zależna od v1, . . . vn.v1, . . . vn są wszystkimi i tylko zmiennymi wolnymi występującymi w ∃v : ψ.

Aby uczynić jasną ideę stałej, o której mowa w regule (O∃), rozważmywpierw przykłady. Zdanie:

∃x : x + 3 = 5

jest prawdziwe. Na jego podstawie, zgodnie z regułą (O∃), dochodzimy downiosku:

2 + 3 = 5.


Formuła:∃x : x + y = 5

jest dla dowolnego y spełniona w zbiorze liczb całkowitych, a więc prawdąjest, że

∀y : ∃x : x + y = 5.

Tym razem w miejsce x nie możemy wpisać jakiejkolwiek nazwy liczby cał-kowitej. Powiedzmy bowiem, że wpisaliśmy 2. Mamy więc:

2 + y = 5.

Ta formuła nie jest jednak spełniona dla dowolnego y, a więc nie jest prawdą,że

∀y : 2 + y = 5.

Stała c, którą wpisujemy w miejsce x zależy teraz od wartości y. Możemywięc przyjąć:

c(y) + y = 5.

Ta formuła jest spełniona dla dowolnego y. Prawdą bowiem jest, że

∀y : (5− y) + y = 5.

Mówiąc o stałej zależnej od zmiennych wolnych występujących w formulemamy na uwadze stałą, której wartość zależy od wartości, jakie przyjmą tezmienne.

Przykład 2.25.∀v : (φ ⇒ ϕ)

∀v : φ ⇒ ∀v : ϕDowód wprost1. ∀v : (φ ⇒ ϕ) zał.2. ∀v : φ zał.3. φ ⇒ ϕ O∀; 14. φ O∀; 25. ϕ (MP; 3,4)6. ∀v : ϕ (D∀; 5)

©


Przykład 2.26.¬ ∃v : φ

¬φDowód niewprost1. ¬ ∃v : φ zał.2. ¬ ¬ φ zał. dow. niewprost3. φ (zasada podwój. negacji.; 2)4. ∃v : φ (D∃; 3)

(1, 4)–sprzeczność©

Przykład 2.27.¬ ∃v : φ

∀v : ¬φDowód wprost1. ¬ ∃v : φ zał.2. ¬ φ (reg. z przykł. 2.26; 1)3. ∀v : ¬ φ (D∀; 2)

©

2.2.6 Model i prawdziwość

Zdefiniowane zostało wynikanie syntaktyczne. Porównanie wynikania syntak-tycznego z semantycznym wymaga zdefiniowania wynikania semantycznego.

Logika predykatów od logiki zdań różni się znacznie pojęciami modelui prawdziwości w modelu. Istota i sama idea tego, czym są model i praw-dziwość w modelu pozostają jednak te same. W wypadku języka logiki zdańwyrażenia były zbudowane z symboli zdaniowych (zdań prostych), którychznaczenia były całkowicie charakteryzowane przez wartości logiczne. Dla-tego też pojęcie modelu było stosunkowo proste. Teraz na język składająsię między innymi stałe indywiduowe, litery funkcyjne oraz litery predyka-towe. Dla określenia ich znaczeń musimy dysponować dziedziną, w którejbędą przedmioty indywiduowe — indywidua — oraz n-argumentowe funkcje(n = 1, 2, . . .) określone w zbiorze indywiduów, czyli w zbiorze uniwersal-nym i n-członowe relacje (n = 1, 2, . . .) zachodzące pomiędzy elementamizbioru uniwersalnego. Przyporządkowanie stałym indywiduowym, literom


funkcyjnym i literom predykatowym, odpowiednio, indywiduów, funkcji i re-lacji nazywamy interpretacją.

Interpretacja to — mówiąc po prostu — przyporządkowanie dokładniejednego znaczenia przedmiotom pewnego rodzaju, jakimi są wyrażenia języ-kowe.

Definicja 2.24 (modelu). Modelem jest para (U , I), gdzie U jest zbioremuniwersalnym a I funkcją, która n-argumentowym literom predykatowymprzyporządkowuje n-członowe relacje, n-argumentowym literom funkcyjnymprzyporządkowuje n-argumentowe funkcje określone w U , stałym indywidu-owym przyporządkowuje zaś elementy zbioru U .Definicja 2.25 (modelu języka). Jeżeli L jest językiem o sygnaturze:

P0, P1, . . ., Pn, F0, F1, . . ., Fm, a0, a1, . . ., aq,to modelem M tego języka będzie:

(U , R0, R1, . . ., Rn, G0, G1, . . ., Gm, x0, x1, . . ., xq),

gdzie I(Pi) = Ri, 0 ≤ i ≤ n; I(Fi) = Gi, 0 ≤ i ≤ m; I(ai) = xi13, 0 ≤ i ≤ q.

W wypadku języka rachunku zdań nie było mowy o indywiduach. Terazwartość logiczna zdania zależy — mówiąc swobodnie — od tego, o jakimprzedmiocie jest to zdanie.

Chcemy podać ścisłą definicję prawdziwości zdania w modelu. Chcemywięc wiedzieć, co to znaczy, że

zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M.

Jeżeli zdanie ϕ jest zdaniem postaci: ¬ φ, to ϕ jest prawdziwe, gdy φ jestfałszywe. Tak samo prawdziwość zdania ϕ jest wyznaczona przez wartości lo-giczne zdań φ i ψ, jak to było w wypadku rachunku zdań, gdy ϕ jest zdaniempostaci: φ∨ψ, φ∧ψ, φ ⇒ ψ lub φ ⇔ ψ. Zdanie ϕ może być jednak zdaniempostaci: ∀v : φ lub ∃v : φ, a φ nie musi być zdaniem. W takiej sytuacji niemożemy po prostu mówić o wartości logicznej φ. Pytanie o wartość logicznąφ jest bezpodstawne. Pytanie takie bowiem zakładałoby, że φ jest zdaniem.

Dla formuły φ, w której jedyną zmienną wolną jest zmienna v, ma jednaksens pytanie:

13Zmienne indywiduowe mogą oznaczać dowolny obiekt z dziedziny. Interpretacja przy-porządkowuje więc każdej stałej indywiduowej dokładnie jeden, ale dowolny obiekt z dzie-dziny. Nie jest wykluczone, że różne zmienne oznaczają ten sam obiekt. Interpretacjamoże więc różnym stałym przyporządkować ten sam element dziedziny.


Czy formuła φ jest prawdziwa w modelu M, gdy mówi ona o a?

Jeżeli dla każdego przedmiotu należącego do U odpowiedź ta będzie pozy-tywna, to możemy powiedzieć, że zdanie ∀v : φ jest zdaniem prawdziwymw modelu M. Jeżeli będzie pozytywna chociaż o jednym przedmiocie, to bę-dziemy mogli powiedzieć, że zdanie ∃v : φ jest prawdziwe w modelu M. Jeżelizaś znajdziemy taki przedmiot, dla którego odpowiedź będzie negatywna, topowiemy, że zdanie ∀v : φ jest fałszywe. A gdy okaże się negatywna dlawszystkich przedmiotów, to powiemy, że zdanie ∃v : φ jest fałszywe.

Na pytanie:

Czy φ jest prawdziwe, gdy mówi o przedmiocie a?

będziemy znajdować odpowiedź biorąc pod uwagę budowę formuły φ. I taknp., gdy φ będzie postaci ¬ ψ, to φ będzie prawdziwe o przedmiocie x, gdy ψbędzie o tym przedmiocie fałszywe. Podobne będzie w wypadku pozostałychspójników zdaniowych. Może jednak być tak, że φ jest formułą postaci ∀v1 : ψlub ∃v1 : ψ a w ψ będą występowały dwie zmienne wolne v i v1. W takimwypadku problem, czy φ o x jest prawdziwe w modelu M komplikuje się.Pytanie o prawdziwość ϕ zaczyna zależeć od odpowiedzi na pytanie:

Czy formuła ψ jest prawdziwa w modelu M,jeżeli ψ mówi o parze elementów a i b z U?

Proces ten można kontynuować. Okazuje się więc, że w wypadku językarachunku predykatów pojęcie prawdziwości zdania w modelu zakłada innepojęcie, a mianowicie pojęcie prawdziwości w modelu formuły ze zmien-nymi wolnymi v0, v1, . . ., vn, gdy znaczeniami tych zmiennych są, odpowied-nio: x0, x1, . . ., xn.

Chcemy znajdować odpowiedź na pytanie, czy formuła jest prawdziwa,gdy mówi o przedmiotach x0, x1, . . ., xn ze względu na formuły składającesię na daną formułę, czyli ze względu na jej podformuły. Zauważmy, żew podformule zmiennymi wolnymi mogą być zmienne, które nie są zmiennymiwolnymi w formule. Np. jedyną zmienną wolną w formule:

x > 0 ⇒ ∃y : (0 < y < x)

jest zmienna x. Podformułą tej formuły jest:

0 < y < x.


Teraz mamy dwie zmienne wolne: x, y. Ogólnie chodzi o to, że w wypadku,gdy podformuła znajduje się w zasięgu jakiegoś kwantyfikatora wiążącegozmienną v, to gdy zmienna v jest wolna w tej podformule, to może ona nie byćwolna w formule. Powstały problem ma charakter techniczny i rozwiązujemygo w ten sposób, że zamiast mówić o formule, której jedynymi zmiennymi wol-nymi są v0, v1, . . ., vn, będziemy mówili o formule, której wszystkie zmienne,zarówno wolne jak związane, znajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vn. Oczywiście,teraz wszystkie zmienne wolne każdej podformuły znajdują się w tym ciąguzmiennych. Gdy formuła, która mówi o przedmiotach x0, x1, . . ., xn a wszyst-kie jej zmienne znajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vn, jest prawdziwa w modeluM, to w logice mówimy, że formuła ta jest spełniona przez ciąg x0, x1, . . ., xn.

Podamy indukcyjną definicję spełniania formuły przez ciąg indywiduów.Postąpimy więc tak, że najpierw odpowiemy na pytanie, co to znaczy, że for-muła atomowa ψ(v0, v1, . . ., vn) jest spełniona przez ciąg x0, x1, . . ., xn. Na-stępnie, stosując procedurę indukcyjną odpowiemy na pytanie, co to znaczy,że formuła ϕ, której wszystkie zmienne wolne i związane znajdują się w ciąguv0, v1, . . ., vn jest spełniona przez x0, x1, . . ., xn. W końcu będzie można poka-zać, że odpowiedź na pytanie o spełnianie formuły przez x0, x1, . . ., xn zależywyłącznie od tych przedmiotów z ciągu, które odpowiadają zmiennym wol-nym w formule. A więc, w szczególności, gdy formuła nie zawiera żadnychzmiennych wolnych — czyli gdy jest zdaniem— to pytanie, czy jest spełnionaw modelu w ogóle nie zależy od tego, jaki weźmiemy ciąg przedmiotów.

Niech ϕ będzie dowolną formułą, której wszystkie zmienne wolne i zwią-zane znajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vn i niech: x0, x1, . . ., xn będzie dowolnymciągiem przedmiotów ze zbioru U (zbiór uniwersalny).

Fakt, że formuła ϕ jest spełniona w modelu M przez x0, x1, . . ., xn zapi-sujemy:

M |= ϕ[x0x1. . .xn].

Definicja 2.26 (spełniania). Definicję spełniania w modelu M formuły ϕprzez ciąg : x0, x1, . . ., xn

podamy w trzech krokach.

1. Wartość termu t(v0, v1, . . ., vn) dla ciągu: x0, x1, . . ., xn — wartość tębędziemy oznaczać: t[x0x1. . .xn] — określa się następująco:

• jeżeli t = vi, to t[x0x1. . .xn] = xi;• jeżeli t jest stałą indywiduową c, to jako t[x0x1. . .xn] bierzemy

interpretację stałej c w modelu M; czyli t[x0x1. . .xn] = I(c);


• jeżeli t = Ft1t2. . .tm i F jest m-argumentową literą funkcyjną, to

t[x0x1. . .xn] = G(t1[x0x1. . .xn]. . .tm[x0x1. . .xn]),

gdzie G jest interpretacją w modelu M litery funkcyjnej F .

2. Niech φ(v0, v1, . . ., vn) będzie formułą atomową postaci:

Pt1. . .tm,

gdzie P jest m-argumentową literą predykatową

a

t1(v0v1. . .vn), . . ., tm(v0v1. . .vn)

są termami.

Formuła φ jest spełniona przez x0, x1, . . ., xn wtedy i tylko wtedy, gdy

Rt1[x0x1. . .xn]. . .tm[x0x1. . .xn],

gdzie R jest interpretacją w modelu M predykatu P , czyli R = I(P ).

Piszemy więc:

M |= Pt1. . .tm[x0x1. . .xn],

jeżeli i tylko, gdy

Rt1[x0x1. . .xn]. . .tm[x0x1. . .xn].

3. Niech ϕ będzie formułą, której wszystkie zmienne wolne i związaneznajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vn.

• Jeżeli ϕ jest postaci: ¬ φ, φ ∨ ψ, φ ∧ ψ, φ ⇒ ψ, φ ⇔ ψ, to speł-nianie ϕ w modelu M przez ciąg x0, x1, . . ., xn określamy zgodnieze znaczeniem, jakie nadaliśmy spójnikom zdaniowym: ∨, ∧, ⇒,⇔. Np. gdy ϕ jest postaci ¬ φ mamy:

M |= ϕ[x0x1. . .xn]


wtedy i tylko wtedy gdy nieprawda, że

M |= φ[x0x1. . .xn].

• Jeżeli ϕ ma postać ∀vi : φ, gdzie i ≤ n, to

M |= ϕ[x0x1. . .xn]


M |= φ[x0x1. . .xi−1xxi+1. . .xn]

dla dowolnego x(∈ U , dla dowolnego indywiduum).• jeżeli ϕ ma postać ∃vi : φ, gdzie i ≤ n, to

M |= ϕ[x0x1. . .xn]


M |= φ[x0x1. . .xi−1xxi+1. . .xn]

dla pewnego x(∈ U , dla jakiegoś indywiduum).

Twierdzenie 2.4. Niech term t będzie taki, że wszystkie występujące w nimzmienne znajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vl. Jeżeli dla każdego i takiego, że vi

występuje w termie t ciągi x0, x1, . . ., xn(l ≤ n) oraz y0, y1, . . ., ym(l ≤ m) sątakie, że xi = yi, to t[x0x1. . .xn] = t[y0y1. . .ym].

Dowód. Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na strukturę termu.

(I) Termy proste (niezłożone) to zmienna i stała.

Jeżeli term jest zmienną, czyli t = vi, to na podstawie definicji dostajemy,że t[x0x1. . .xn] = xi, a t[y0y1. . .ym] = yi. Zatem na podstawie założenia, żexi = yi mamy:

t[x0x1. . .xn] = t[y0y1. . .ym].

Jeżeli term jest stałą, czyli t = c, to zgodnie z definicją wartości termujest, że

t[x0x1. . .xn] = t[y0y1. . .ym].

Założenie indukcyjne. Niech termy t1, t2, . . ., tk będą takie, że zachodzi dlanich dowodzone twierdzenie, czyli dla 1 ≤ i ≤ k:

ti[x0x1. . .xn] = ti[y0y1. . .ym].


(II) Teraz rozważymy wypadek termu złożonego. Niech t = Ft1t2. . .tk.Niech G będzie interpretacją w modelu M litery funkcyjnej F (G =IF ). Zatem zgodnie z definicją wartości termu:

t[x0x1. . .xn] = G(t1[x0x1. . .xn]. . .tk[x0x1. . .xn])

t[y0y1. . .ym] = G(t1[y0y1. . .ym]. . .tk[y0y1. . .ym])

Na podstawie założenia indukcyjnego mamy, że

G(t1[x0x1. . .xn]. . .tk[x0x1. . .xn]) = G(t1[y0y1. . .ym]. . .tk[y0y1. . .ym]).

A zatem:t[x0x1. . .xn] = t[y0y1. . .ym].

Twierdzenie 2.5. Niech formuła ϕ będzie taka, że wszystkie występującew niej zmienne znajdują się w ciągu v0, v1, . . ., vl. Jeżeli dla każdego i ta-kiego, że vi jest zmienną wolną w formule ϕ ciągi x0, x1, . . ., xn(l ≤ n) orazy0, y1, . . ., ym(l ≤ m) są takie, że xi = yi, to

M |= ϕ[x0x1. . .xn]wtedy i tylko wtedy, gdy

M |= ϕ[y0y1. . .ym].

Dowód. Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na budowę formuły.Rozpoczynamy od formuł prostych.

(I) Niech ϕ będzie formułą postaci t1 ≡ t2.

Korzystając z poprzedniego twierdzenia 2.4 mamy, że

1. t1[x0x1. . .xn] = t1[y0y1. . .ym]

2. t2[x0x1. . .xn] = t2[y0y1. . .ym].

Na podstawie równości 1 i 2 oraz definicji spełniania następujące kolejnestwierdzenia są sobie równoważne:

3. M |= (t1 ≡ t2)[x0x1. . .xn],


4. t1[x0x1. . .xn] = t2[x0x1. . .xn],

5. t1[y0y1. . .ym] = t2[y0y1. . .ym],

6. M |= (t1 ≡ t2)[y0y1. . .ym],

czyli ostatecznie:

M |= (t1 ≡ t2)[x0x1. . .xn]wtedy i tylko wtedy, gdyM |= (t1 ≡ t2)[y0y1. . .ym].

(I′) Niech ϕ będzie formułą atomową postaci Pt1t2. . .tk. Niech R będzieinterpretacją w modelu M litery predykatowej P (R = I(P )).

Korzystając z poprzedniego twierdzenia mamy, że dla 1 ≤ i ≤ k

ti[x0x1. . .xn] = ti[y0y1. . .ym].

Zatem:Rt1[x0x1. . .xn]. . .tk[x0x1. . .xn]


Rt1[y0y1. . .ym]. . .tk[y0y1. . .ym].

Ponieważ:M |= ϕ[x0x1. . .xn]


Rt1[x0x1. . .xn]. . .tk[x0x1. . .xn]

aM |= ϕ[y0y1. . .ym]


Rt1[y0y1. . .ym]. . .tk[y0y1. . .ym],

więc:M |= ϕ[x0x1. . .xn]


Dla spójników dwuargumentowych ⇒, ∨, ∧, ⇔ rozważamy formuły zbu-dowane z φ i ψ. Dowody pomijamy ponieważ przebiegają, jak w wypadkunegacji (¬), zgodnie z definicją prawdziwości zdania w modelu.(∀) Niech ϕ będzie postaci ∀vi : φ. Na podstawie definicji spełniania:

M |= ∀vi : φ[x0x1. . .xn]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x(∈ U , dla dowolnego indywiduumze zbioru uniwersalnego):

M |= φ[x0x1. . .xi−1xxi+1. . .xn].

Korzystając z założenia indukcyjnego mamy, że dla dowolnego x(∈ U):

M |= φ[x0x1. . .xi−1xxi+1. . .xn]


M |= φ[y0y1. . .yi−1xyi+1. . .ym].

Z tego wynika, że

dla dowolnego x(∈ U) : M |= φ[x0x1. . .xi−1xxi+1. . .xn]


dla dowolnego y(∈ U) : M |= φ[y0y1. . .yi−1yyi+1. . .ym] 14.

Zatem:

M |= ∀vi : φ[x0x1. . .xn] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ∀vi : φ[y0y1. . .ym]15.

Analogicznie przebiega dowód w wypadku kwantyfikatora szczegółowego(∃)16.

14Zauważmy, że skorzystaliśmy z prawa:

∀v : (ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀v : ϕ ⇔ ∀v1 : φ[v ::= v1]),

jeżeli v1 nie występuje w formule φ.15Korzystamy z tego, że

∀v1 : ϕ[v ::= v1] ⇔ ∀v : ϕ[v ::= v1][v1 ::= v].

16W dowodzie korzystać będziemy z:

∀v : (ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃v : ϕ ⇔ ∃v1 : φ[v ::= v1]),


Z powyższego twierdzenia wyprowadzamy następujący wniosek.

Wniosek 2.6. Niech ϕ będzie formułą, której wszystkie zmienne wolne znaj-dują się w ciągu v0, v1, . . ., vm zaś wszystkie zmienne wolne i związane znaj-dują się w ciągu v0, v1, . . ., vn. Ciąg przedmiotów: x0, x1, . . ., xm spełnia ϕw modelu M, czyli:

M |= ϕ[x0x1. . .xm]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla jakiegoś ciągu xm+1, . . ., xn lub — co na jedno wy-chodzi — dla dowolnego ciągu: xm+1, . . ., xn : M |= ϕ[x0x1. . .xmxm+1. . .xn].

Definicja 2.27 (prawdziwości zdania w modelu). Zdanie ϕ jest prawdziwew modelu M, wtedy i tylko wtedy, gdy

M |= ϕ[x0x1. . .xn]

dla pewnego ciągu x0, x1. . ., xn lub — co w świetle twierdzenia 5 na jednowychodzi — dla dowolnego ciągu x0, x1, . . ., xn przedmiotów z U (dowolnegociągu indywiduów ze zbioru uniwersalnego).

Definicja 2.28 (modelu zdania). M jest modelem zdania ϕ wtedy i tylkowtedy, gdy zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M.

Zgodnie z powyższymi ustaleniami terminologicznymi następujące stwier-dzenia są równoważne:

zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M,

zdanie ϕ jest spełnione w modelu M,

M jest modelem zdania ϕ.

Przytoczona definicja prawdy pochodzi od A. Tarskiego17.

jeżeli v1 nie występuje w formule φ,oraz z

∃v1 : ϕ[v ::= v1] ⇔ ∃v : ϕ[v : colon = v1][v1 ::= v].

17Po raz pierwszy była opublikowana w (Tarski 1933) r. Nieformalne przedstawienie wy-ników tej pracy oraz uzupełnienie nowymi wynikami zwłaszcza o charakterze filozoficznymi metodologicznym zawiera rozprawa (Tarski 1944).


Definicja 2.29 (fałszywości zdania w modelu). Zdanie jest fałszywe w mo-delu M (lub: M jest modelem zdania ¬ ϕ) wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ niejest prawdziwe w modelu M.

Definicja 2.30 (prawdziwości). Zdanie jest (logicznie) prawdziwe wtedyi tylko wtedy, gdy jest ono spełnione (prawdziwe) w dowolnym modelu. To,że zdanie ϕ jest (logicznie) prawdziwe oznaczamy: |= ϕ.

Definicja 2.31 (modelu zbioru zdań). M jest modelem zbioru zdań Σ wtedyi tylko wtedy, gdy M jest modelem każdego zdania ze zbioru Σ.

Zauważmy, że termin „model języka L” znaczy coś innego niż „modelzbioru Σ zdań języka L”. By M było modelem zbioru Σ zdań języka Lkonieczne jest, aby M dało się opisać jako model języka L. M nie musi zaśbyć modelem jakiegoś zbioru Σ zdań języka L. Aby M nie było modelem Σwystarczy, że przynajmniej jedno ze zdań z Σ nie jest prawdziwe w M (jestfałszywe w M).

Zdanie ϕ wynika semantycznie ze zdania φ (symb.: φ |= ϕ) wtedy i tylkowtedy, gdy każdy model zdania φ jest modelem zdania ϕ; czyli:

Definicja 2.32 (wynikania semantycznego ze zdania).

φ |= ϕ


dla każdego M: jeżeli M |= φ, to M |= ϕ.

Zdanie ϕ wynika semantycznie ze zbioru zdań Σ (symb.: Σ |= ϕ) wtedyi tylko wtedy, gdy każdy model zbioru Σ zdań jest modelem zdania ϕ; czyli:

Definicja 2.33 (wynikania semantycznego ze zbioru zdań).

Σ |= ϕ


dla każdego modelu M: jeżeli M |= Σ, to M |= ϕ.

Można zauważyć, że

Twierdzenie 2.7. Dla dowolnego zbioru Σ zdań oraz dowolnych zdań ϕ i φ:


Σ ∪ ϕ |= φ wtedy i tylko wtedy, gdy Σ |= ϕ ⇒ φ.

Dowód. Niech Σ ∪ ϕ |= φ oraz niech nie zachodzi Σ |= ϕ ⇒ φ. Zatemistnieje taki model M, że M |= Σ i nieprawda, że M |= ϕ ⇒ φ. Na to, abynie zachodziło M |= ϕ ⇒ φ konieczne jest, żeby M |= ϕ oraz nieprawda, żeM |= φ. Z tego wynika, że M |= Σ ∪ ϕ oraz nieprawda, że M |= φ. A toprzeczy założeniu.

Niech teraz Σ |= ϕ ⇒ φ oraz nieprawda, że Σ ∪ ϕ |= φ. Istnieje zatemtaki model M, że M |= Σ ∪ ϕ oraz nieprawda, że M |= φ. Jest to więcmodel Σ oraz spełnione jest w nim ϕ, zatem nie jest spełnione w nim ϕ ⇒ φ,a to przeczy założeniu, które jest równoważne temu, że każdy model zbioruΣ zdań jest modelem zdania ϕ ⇒ φ.

Na zbiór uniwersalny U oprócz założenia niepustości nie nałożyliśmy żad-nego innego warunku. Zbiór ten może być skończony albo może być nieskoń-czony. Celem lepszego zrozumienia definicji spełniania i większej intuicyj-ności znaczeń kwantyfikatorów załóżmy, że zbiór U jest skończony, że madokładnie n elementów. Niech a0, a1, . . ., an będą wszystkimi tymi elemen-tami18. Na podstawie definicji spełniania stwierdzamy, że

1. (U , I) |= ∀v : φwtedy i tylko wtedy, gdy

(U , I) |= φ[v ::= a1] ∧ φ[v ::= a2] ∧ . . . ∧ φ[v ::= an].

2. (U , I) |= ∃v : φwtedy i tylko wtedy, gdy

(U , I) |= φ[v ::= a1] ∨ φ[v ::= a2] ∨ . . . ∨ φ[v ::= an].

Korzystając z tych dwóch faktów, dla dowolnego zdania φ (formuły nie-zawierającej zmiennych wolnych) możemy skonstruować zdanie Φ nie zawie-rające kwantyfikatorów takie, że dla dowolnej interpretacji I:

(U , I) |= φ

wtedy i tylko wtedy, gdy(U , I) |= Φ.

18Jeśli istnieje taka potrzeba wzbogacamy język o stosowne stałe indywiduowe.


Φ nie zawiera żadnych zmiennych, ani wolnych ani związanych, i — oczy-wiście — kwantyfikatorów. Φ zbudowane jest ze zdań otrzymanych z formułatomowych przez wpisanie stałych w miejsce zmiennych. Zdania te, zdaniaatomowe, uznajemy za różne jeżeli zbudowane są z różnych liter predykato-wych lub różnych liter funkcyjnych, bądź w jednym zdaniu na i-tym miejscuwystępuje inna stała niż w drugim. Możemy przyjąć, że zdaniom atomowyminterpretacja I przyporządkowuje bądź wartość T , bądź wartość F . Takichinterpretacji różniących się tylko przyporządkowaniem tych wartości zdaniomatomowym jest nie więcej niż 2m, gdzie m jest liczbą różnych wyżej opisanychzdań. Możemy teraz stosować metody opracowane dla rachunku zdań. W za-leżności od tego, czy dla wszystkich 2m „interpretacji” nasze zdanie przyjmiewartość T , czy też choć raz przyjmie wartość F , będziemy mogli twierdzić,że zdanie to jest, odpowiednio, prawdziwe w dowolnej n-elementowej dzie-dzinie lub, że nie jest prawdziwe (jeżeli nie jest prawdziwe w n-elementowejdziedzinie, to tym samym nie jest prawdziwe).Przykład 2.28. Zdanie:

(∀x : Px ⇒ ∀x : Qx) ⇒ ∀x : (Px ⇒ Qx)

nie jest prawdziwe, bo nie jest ono prawdziwe w dziedzinie dwuelementowej.W tym celu wystarczy pokazać, że tautologią nie jest:

[(Pa ∧ Pb) ⇒ (Qa ∧Qb)] ⇒ [(Pa ⇒ Qa) ∧ (Pb ⇒ Qb)]. ©Przykład 2.29. Prawdziwe nie jest również zdanie:

(∃x : Px ∧ ∃x : Qx) ⇒ ∃x : (Px ∧Qx).

Nie jest ono prawdziwe w dziedzinie, w której są przynajmniej dwa ele-menty. Pokazać bowiem można, że tautologią nie jest:

[(Pa ∨ Pb) ∧ (Qa ∨Qb)] ⇒ [(Pa ∧Qa) ∨ (Pb ∧Qb)]. ©Przykład 2.30. Prawdziwe nie jest zdanie:

∀x : ∃y : Pxy ⇒ ∃y : ∀x : Pxy.

Nie jest ono prawdziwe w dziedzinie dwuelementowej. Tautologią nie jestbowiem:

[(Paa ∨ Pab) ∧ (Pba ∨ Pbb] ⇒ [(Paa ∧ Pba) ∨ (Pab ∧ Pbb)]. ©


Zauważmy, że istnieją zdania, które nie są spełnione tylko w dziedzinienieskończonej, czyli zdania warunkiem koniecznym fałszywości których jestnieskończoność dziedziny.

Przykład 2.31. Zdanie:

∀x : xRf(x) ∧ ∀x : ¬ xRx ∧ ∀xyz : (xRy ∧ yRz ⇒ xRz)

nie jest prawdziwe w żadnej dziedzinie skończonej.

Niech a będzie jakimś elementem dziedziny. W tej dziedzinie określonajest funkcja f : elementy tej dziedziny są zarówno jej argumentami jak iwartościami.

Niech f 0(a) = a, fn(a) = ffn−1(a), n ∈ N.Pokażemy, że wszystkie wyrazy ciągu:

a, f(a), ff(a), . . .

są parami różne.

Przede wszystkim zauważmy, że jeżeli m < n, to

fm(a)Rfn(a).

Ponieważ ∀x : ¬ xRx, więc dla dowolnych m,n : (m 6= n) ⇒ fm(a) 6=fn(a).

Oczywiście fakt, że zdanie może być prawdziwe tylko w wypadku, gdydziedzina jest nieskończona nie pociąga za sobą prawdziwości tego zdaniaw dowolnym modelu z nieskończoną dziedziną. W wypadku rozważanegozdania wystarczy dobrać takie rozumienie litery predykatowej R, aby niebył spełniony przynajmniej jeden z członów koniunkcji. Może tak być, gdyR zinterpretujemy jako równość. Nieskończoność dziedziny jest warunkiemkoniecznym prawdziwości naszego zdania. Skończoność dziedziny jest warun-kiem wystarczającym jego fałszywości. W takim razie skończoność dziedzinyjest warunkiem wystarczającym prawdziwości jego negacji, czyli wystarczana to, aby prawdziwe było zdanie:

∃x : ¬ xRf(x) ∨ ∃x : xRx ∨ ∃xyz : (xRy ∧ yRz ∧ ¬ xRz).

Warunkiem koniecznym fałszywości tego zdania jest nieskończoność dzie-dziny. ©


2.2.7 Pełność rachunku predykatów

Porównanie wynikania syntaktycznego z wynikaniem semantycznym poka-zuje, że reguły rachunku logicznego zostały właściwie dobrane. Mówi o tymtwierdzenie o pełności rachunku predykatów. Dowodzone jest ono z wyko-rzystaniem uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności.

Twierdzenie 2.8 (uogólnione twierdzenie o niesprzeczności). Niech Σ będziedowolnym zbiorem zdań języka L. Σ jest niesprzeczne wtedy i tylko wtedy,gdy ma model.

Twierdzenie to zwykle dowodzone jest metodą Henkina. Tu dowód opusz-czamy.

ϕ wynika semantycznie ze zbioru Σ wtedy i tylko wtedy, gdy wynika z tegozbioru syntaktycznie, czyli

Twierdzenie 2.9 (Gödla o pełności19).

Σ |= ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy Σ ` ϕ.

Dowód twierdzenia Gödla nie różni się od dowodu analogicznego twier-dzenia dla rachunku zdań, czyli uogólnionego twierdzenia o pełności.

Na podstawie twierdzenia Gödla, tak jak w wypadku rachunku zdań, niema potrzeby odróżniania pomiędzy wynikaniem syntaktyczym a semantycz-nym. Podobnie jak i tam, będziemy więc mówili po prostu o wynikaniulogicznym.

Twierdzenie 2.10 (o zwartości). Zbiór zdań Σ ma model wtedy i tylko wtedy,gdy każdy jego skończony podzbiór ma model.

Dowód. Twierdzenia dowodzi się podobnie jak w wypadku rachunku zdań.Zauważamy, że model zbioru formuł jest modelem każdego, w szczegól-

ności skończonego jego podzbioru.Aby dowieść, że model ma zbiór, którego każdy skończony podzbiór ma

model skorzystamy z uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności. Zakła-damy, że każdy skończony podzbiór ma model, a sam zbiór nie ma modelu.W takim razie zbiór ten jest sprzeczny. Ze sprzecznego zbioru można dowieśćdowolnego zdania, w szczególności wewnętrznie sprzecznego. Taki dowód majednak skończoną ilość założeń. Zbiór tych założeń jest zatem sprzeczny, a tostoi w sprzeczności z założeniem, że każdy skończony podzbiór ma model.

19Twierdzenie o pełności udowodnił Gödel (1930).


Na podstawie uogólnionego twierdzenia o pełności oraz twierdzenia o zwar-tości można udowodnić bardzo interesujące twierdzenia. Przytoczmy je tubez dowodów.

Wniosek 2.11. Teoria mająca dowolnie duży model skończony ma też modelnieskończony.

Wniosek 2.12 (Twierdzenie Löwenheima-Skolema-Tarskiego20). Jeżeli teo-ria T sformułowana w języku L ma nieskończone modele, to ma równieżmodele dowolnej mocy większej bądź równej mocy zbioru formuł języka L.

Każda teoria wyrażona w języku pierwszego rzędu, mającego przeliczalniewiele formuł, jeśli ma model nieskończony, to ma model przeliczalny.

2.2.8 Problem rozstrzygalności

Ważnym problemem metamatematyki jest pytanie o rozstrzygalność sys-temu21, czyli o istnienie efektywnej metody pozwalającej dać odpowiedź nakażde pytanie, czy zdanie języka tego systemu jest, czy też nie jest twier-dzeniem22. Hilbert uznał kwestię rozstrzygalności za główny problem logikimatematycznej.

Zagadnienie rozstrzygalności teorii to klasa pytań, z których każde jestpytaniem o to, czy dane zdanie jest czy też nie jest twierdzeniem tej teo-rii. Pojęcie rozstrzygalności stosuje się więc do klasy pytań. Kiedy mówisię o rozstrzygalności problemu, to ma się na uwadze klasę pytań. Te pyta-nia to wystąpienia lub instancje tego problemu. Problem charakteryzowanyjest przez swoje parametry. Instancja problemu to konkretna wartość tegoproblemu dla wszystkich parametrów.

Problem (klasa pytań) jest rozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, gdy ist-nieje metoda, która pozwala znaleźć pozytywną lub negatywną odpowiedźna każde pytanie z tej klasy. Metoda ta musi być efektywna.

20Twierdzenie to było dowiedzione wcześniej niż twierdzenie o pełności. Dowiódł goLöwenheim (1915) i Skolem (1920), a w postaci ogólnej — Tarski.

21W związku z tym, że historycznie problem ten zrodził się z programu Hilberta, w lite-raturze bywa określany oryginalnym terminem niemieckim: Entscheidungsproblem. Wię-cej na temat historii problemu, jego przesłanek filozoficznych oraz znaczenia dla rozwojuinformatyki zob. (Trzęsicki 2006).

22Elementarny wykład problematyki rozstrzygalności znajduje się w: Grzegorczyk(1957), zob. również R. Murawski (1990, 1999).


Metoda efektywna powinna spełniać następujące warunki:

1. musi dać się jednoznacznie opisać za pomocą skończonego ciągu słówi/lub symboli,

Metoda, której nie można w taki skończony sposób opisać, nie dałabysię przedstawić jako program dla jakiegokolwiek istniejącego lub tylkoteoretycznie możliwego komputera (pewnego urządzenia technicznego).

2. jest metodą obliczania,

Mówimy o metodzie efektywnej w wypadku poszukiwania odpowiedzina drodze obliczania, a nie np. eksperymentowania. Sprawdzanie zapomocą papierka lakmusowego czy substancja jest kwasem, nie jesttypem metody, który mamy tu na uwadze. Stwierdzenie, że jest efek-tywna metoda uzyskania wyniku zwykle wypowiadane jest jako zdanieo istnieniu efektywnej metody uzyskania wartości takiej to a takiejfunkcji matematycznej.

3. prowadzi do odpowiedzi,

Metoda efektywna to metoda, postępowanie zgodnie z którą prowadzido uzyskania odpowiedzi. Brak jakiejkolwiek odpowiedzi choćby tylkow wypadku jednej instancji dyskwalifikuje daną metodę jako metodęefektywną dla rozstrzygania danego problemu.

4. jej zastosowanie wymaga wykonania co najwyżej skończonej liczby ope-racji, kroków;

Metoda efektywna to metoda, która w wypadku każdego pytania z klasy— dla której jest ona efektywna — składa się ze skończonej ilości ope-racji, kroków. Przy czym, przez krok należy rozumieć jakieś proste,niezłożone postępowanie. Skończoność liczby kroków nie oznacza ist-nienia jakiejkolwiek bariery ich realizacji, np. fizycznej. Skończonaliczba kroków to również taka liczba kroków, że ich wykonanie przekra-cza wszelkie możliwości fizyczne. Jest to skończoność liczbowa. Liczbamoże być skończona, choć dla jej zapisu nie starczyłoby materii wszech-świata.

5. odpowiedź jest poprawna,

Odpowiedź otrzymana w wyniku zastosowania metody efektywnej musibyć odpowiedzią poprawną: jeżeli prawdą jest, że α, to odpowiedź na


pytanie, czy α powinna być TAK; zaś gdy fałszem jest, że α odpowiedźwinna być NIE.

6. stosuje się do wszystkich bez wyjątku instancji danego problemu,

Możliwość stosowania metody efektywnej do wszystkich instancji pro-blemu oznacza, że nie stosuje się ona selektywnie.

7. daje się stosować precyzyjnie,

To, czy w danej sytuacji należy wykonać taki, czy też inny krok orazwynik wykonania każdego kroku muszą być jednoznacznie określoneprzez metodę.

8. jeżeli istnieje potrzeba wykonania jakiegoś kroku, to krok ten daje sięwykonać;

Wykonanie poszczególnego kroku nie podlega żadnym ograniczeniom.Jeżeli zastosowanie metody wymaga wykonania jakiegoś kroku, to niemoże istnieć ograniczenie jakiejkolwiek natury uniemożliwiające jegowykonanie.

9. każdy krok jest „mechaniczny”,

„Mechaniczność” kroku oznacza, że jego wykonanie nie wymaga wiąza-nia jakichkolwiek treści z obiektami, na których jest wykonywana. „Me-chaniczność” oznacza branie pod uwagę tylko „fizycznych” atrybutówobiektów, będących przedmiotem operacji. Jeżeli obiekty są napisami,to pod uwagę brane są ich budowa oraz kształty (wzorce). „Mechanicz-ność” metody oznacza, że jej stosowanie nie jest zależne od sposobumyślenia matematycznego tego, kto tę metodę stosuje. Tryb postę-powania i wykonywania poszczególnych czynności jest niezależny odumiejętności matematycznych wykonawcy.

Metoda jest efektywna bez względu na to, czy jest ona komukolwiek znanai czy jest przez kogokolwiek stosowana.

Przed logikami stanęło trudne zadanie. Powiedzmy, że chcemy dowieść, żejakiś problem nie jest rozstrzygalny. Aby dowieść nierozstrzygalności, trzebadowieść, że nie istnieje stosowna efektywna procedura „mechaniczna”. Z ko-lei jest to możliwe tylko wówczas, gdy pojęcie efektywnej procedury „mecha-nicznej” ma matematyczny sens. Problem nadania matematycznego sensuintuicji efektywnej procedury „mechanicznej” skutecznie podjął się Turing


(1936–37), który tworząc maszynę (Turinga) potraktował dosłownie określe-nie „mechaniczna”. Przyjął, że procedura jest mechaniczna wtedy i tylkowtedy, gdy może zrealizować ją opisana przez niego jako teoretyczny twórmaszyna (później nazwana maszyną Turinga).

Niezależnie od Turinga „mechaniczność” definiuje Church. W jego wy-padku „mechaniczne” to tyle — jest to teza Church — co dające się opisaćza pomocą (ogólnej) funkcji rekurencyjnej.

Szybko okazało się, że — choć na pierwszy rzut oka różne — koncepcje„mechaniczności” Turinga i Churcha — jeśli ograniczyć się do funkcji okre-ślonych na liczbach całkowitych dodatnich — są sobie równoważne.

Church formułuje swoją tezę w związku z uwagą Posta, że identyfika-cja efektywnej obliczalności z rekurencją jest „hipotezą roboczą”. Churchproponuje tezę: funkcja określona na liczbach całkowitych dodatnich jestobliczalna, jeśli jest rekurencyjna. Implikacja do niej odwrotna, że każdafunkcja rekurencyjna określona na liczbach całkowitych dodatnich jest efek-tywnie obliczalna, powszechnie określana jest jako odwrotna teza Churcha(sam Church nie dokonywał takiego odróżnienia).

Teza Churcha-Turinga głosi, że intuicyjne pojęcie efektywnej procedury„mechanicznej” wyczerpuje się w pojęciu maszyny Turinga lub/i funkcji reku-rencyjnej. Inaczej mówiąc, teza Churcha-Turinga stwierdza, że pojęcie funk-cji obliczalnej wyczerpuje intuicyjną treść pojęcia metody efektywnej. Tezata nie może zostać dowiedziona. Obalenie jej jest jednak możliwe, gdybyokazało się, że istnieje efektywna procedura „mechaniczna”, która nie dajesię opisać za pomocą aparatury pojęciowej maszyny Turinga lub funkcji re-kurencyjnych. Zaproponowano wiele definicji efektywnej procedury „mecha-nicznej”.

Można wyróżnić zasadnicze trzy idee.Jedni dążyli do uściślenia pojęcia przepisu przez podanie reguł postępo-

wania, z jakich przepisy mogą się składać. W ten sposób powstało pojęciealgorytmu23.

Drudzy za punkt wyjścia brali pojęcie maszyny. Metoda rozstrzyganiaistnieje, gdy można skonstruować (teoretycznie) maszynę. Ideę takiej lo-

23Słowo „algorytm”, po łacinie „algorithmus” wywodzi się z połączenia greckiego „ari-thmós” — liczba oraz „algorism” oznaczającego w średniowieczu sztukę rachowania przyzastosowaniu zapisu arabskiego. Słowo „algorism” miałoby zaś pochodzić od nazwiskaperskiego matematyka Muhameda ibu-Musy al-Chorezmi, który opisał zasady takiego ra-chunku. Od słów al jabr zawartych w tytule jednego z jego dzieł miałby zaś pochodzićtermin „algebra”.


gicznej maszyny oprócz maszyny Turinga realizują maszyna Posta, maszynyRabina i Scota oraz inne, głównie nawiązujące do idei Turinga.

Trzecie wreszcie pojęcie metody rozstrzygania chciano wyrazić za pomocąelementarnych operacji arytmetycznych na liczbach naturalnych. Działaniaarytmetyczne, np. dodawanie, są ściśle określone, pojęcie metody zostaniewięc sprecyzowane. Z tych dążeń wyłoniły się dział arytmetyki liczb natu-ralnych zwany teorią funkcji rekurencyjnych oraz pojęcie funkcji obliczalnej.

W związku z zagadnieniem rozstrzygalności (Entscheidungsproblem) po-stawionym przez Hilberta, Turing i Church podjęli problem nadania mate-matycznego sensu intuicyjnemu rozumieniu „mechanicznej” metody efektyw-nej. Dowiedli, że rachunek predykatów nie jest rozstrzygalny, jeśli założysię przyjętą przez nich definicję „mechanicznej” metody efektywnej. Churchpokazał — przy założeniu jego tezy — że nie ma efektywnej metody roz-wiązywania pewnej klasy problemów elementarnej teorii liczb. Był to pierw-szy wynik tego rodzaju. Church formalnie dowiódł — jest to twierdzenieChurcha — korzystając z funkcji określonych na liczbach całkowitych dodat-nich, których wartość daje się obliczyć w skończonym procesie podstawiania(λ-definiowalność), że problem rozstrzygania dla systemu logiki pierwszegorzędu Hilberta i Ackermanna jest rekurencyjnie nierozwiązywalny. Kilka mie-sięcy później, niezależnie od Churcha, Turing formalnie dowiódł, że nie ist-nieje maszyna (Turinga), która dla każdej formuły języka rachunku predy-katów w skończonej liczbie kroków da poprawną odpowiedź na pytanie, czyformuła ta jest tezą rachunku predykatów. Kurt Gödel pokazał, że każda teo-ria zawierająca arytmetykę liczb naturalnych jest nierozstrzygalna. W szcze-gólności nierozstrzygalna jest sama arytmetyka liczb naturalnych. Okazujesię, że nie można wskazać żadnego takiego sposobu, dzięki któremu w skoń-czonej ilości kroków znajdowalibyśmy pozytywną lub negatywną poprawnąodpowiedź na każde pytanie dotyczące liczb naturalnych.

Rachunek predykatów okazuje się być półrozstrzygalny. Problem jestpółrozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje efektywna procedura po-zwalająca w skończonej liczbie kroków dać odpowiedź na każde pytanie, jeśliodpowiedź na to pytanie jest pozytywna (lub, symetrycznie, jeśli odpowiedźjest negatywna). Rachunek predykatów jest pełny, a więc każde zdanie praw-dziwe ma dowód. Ponieważ każdy dowód jest skończony, zatem w skończonejilości kroków można uzyskać pozytywną odpowiedź na pytanie, czy zdaniejest prawdziwe (pod warunkiem, że zdanie to jest prawdziwe). Gdyby zda-nie nie było prawdziwe — ponieważ rachunek predykatów jest niesprzeczny


— dowodu nie uzyskamy. Jednak fakt nieuzyskania dowodu po wykonaniun-kroków nie przesądza tego, że w kolejnym (n + 1)-kroku dowodu nie uzy-skamy, zatem tylko na podstawie tego, że po pewnej ilości kroków dowodunie uzyskaliśmy, nie możemy dawać odpowiedzi negatywnej.

Rozdział 3

Algebra zbiorów

Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów zawdzięcza swe powstanie matematy-kom XIX w., którzy dążyli do ugruntowania analizy matematycznej i zbada-nia jej podstawowych pojęć. Twórcą teorii mnogości jako odrębnej dyscyplinymatematycznej był Georg Cantor (1845–1918).

Należy podkreślić znaczenie teorii zbiorów w badaniach nad sztuczną in-teligencją (AI — Artificial Intelligence), w szczególności nad rozumowaniamizdroworozsądkowymi. John McCarthy — pionier badań nad sztuczną inte-ligencją — podkreślał potrzebę badań podstawowych, dostrzegając, że AIpotrzebuje teorii matematycznych i logicznych, prowadzących do innowacjipojęciowych. Kluczowym problemem jest formalizacja zdroworozsądkowejwiedzy i intuicyjnie poprawnych rozumowań. McCarthy podkreślał możliwo-ści, jakie daje wykorzystanie teorii zbiorów w AI i zachęcał do skoncentrowa-nia badań nad tym zagadnieniem. Jednym z powodów takiego postrzeganiateorii mnogości jest i to, że pojęcia teorii mnogości są zgodne z intuicją.

Tu głównie zajmiemy się fragmentem teorii mnogości, dającym się przed-stawić w oparciu o intuicyjne pojęcia zbioru i elementu zbioru (czyli na grun-cie «naiwnej» teorii mnogości), tak zwaną algebrą zbiorów (rachunkiem zbio-rów). Badać będziemy operacje na zbiorach.

3.1 Zbiór i element zbioru

W języku potocznym słowo „zbiór” używane jest w znaczeniu dystrybutyw-nym, czyli abstrakcyjnym, zatem w tym znaczeniu, jakie ma ono w teoriimnogości, lub w znaczeniu kolektywnym, zwanym też mereologicznym.

161

162 ROZDZIAŁ 3. ALGEBRA ZBIORÓW

W wypadku dystrybutywnego znaczenia słowa „zbiór”, przedmioty, któretworzą zbiór są jego elementami. W wypadku kolektywnego znaczenia słowa„zbiór”, przedmioty, które go tworzą są jego częściami. Zbiór w sensie kolek-tywnym to agregat lub konglomerat.

Liczność zbioru (w sensie dystrybutywnym) jest określona przez to, ileelementów ma ten zbiór. Zbiór, którego elementami są wszystkie i tylkokamienie z pewnego stosu kamieni ma tyle elementów, ile kamieni składa sięna ten stos kamieni. O liczności agregatu, jakim jest stos kamieni nawettrudno mówić: liczba jego części zależy od «głębokości» podziału. Mogą tobyć najprościej dające się wydzielić kamienie, ale mogą to też być części tychkamieni.

Elementami jakiegoś zbioru (w sensie dystrybutywnym) A mogą byćzbiory. Elementy tych zbiorów nie muszą być elementami zbioru A.

Zbiór (w sensie dystrybutywnym) jest określony nie tylko przez swojeelementy, ale i przez sposób ich przynależności do zbioru. Istotne jest samorozumienie bycia elementem. Zgodnie z najprostszą a zarazem dominującąkoncepcją, przedmiot jest albo nie jest elementem danego zbioru.

W związku z językiem naturalnym i pojawiającymi się możliwościami sto-sowania m.in. narzędzi informatycznych wynikła potrzeba opisu zakresównazw nieostrych. Są to takie nazwy, co do których reguły języka nie przesą-dzają, czy pewne przedmioty są, czy też nie są ich desygnatami. Przykłademnazwy nieostrej jest „dziecko”1. Ktoś, kto kwestionowałby użycie tej nazwydo wskazania siedmiolatka naruszałby reguły języka polskiego. Podobnie na-rusza te reguły ktoś, kto tę nazwę zastosowałby do dwudziestolatka. Jednakreguły języka polskiego nie przesądzają, czy czternastolatek to dziecko, czynie. W wypadku nazw nieostrych nie jest więc tak, że dowolny przedmiotjest albo nie jest ich desygnatem. Formalny opis ich zakresów jako zbiorówwymaga zatem nowego rozumienia samej przynależności elementu do zbioru.W wypadku zbioru rozmytego przynależność elementu do zbioru podlega gra-dacji, przyjmując wartości z przedziału [0, 1].

Szuka się też innych sposobów przełamania ograniczeń wynikłych z okre-ślenia zbioru. Możliwe jest to przez określenie zbioru przez jego przybliżeniedolne i górne. Bierze się podział logiczny zbioru uniwersalnego. Wszystkieczłony tego podziału — mówiąc po prostu — mieszczące się w charaktery-zowanym zbiorze tworzą jego przybliżenie dolne, a wszystkie te, które mają

1Jako nazwa nierelatywna, a więc nazwa, która służy do wskazania elementu pewnejgrupy wiekowej.

3.1. ZBIÓR I ELEMENT ZBIORU 163

jakąkolwiek część wspólną z charakteryzowanym zbiorem, tworzą jego przy-bliżenie górne. Zbiór przybliżony to zbiór, którego przybliżenie dolne różnisię od przybliżenia górnego. Zbiór dokładny to zbiór, którego przybliżenianie różnią się między sobą. Na tym opiera się koncepcja zbioru przybli-żonego, opracowana przez Zdzisława Pawlaka i ogłoszona na początku latosiemdziesiątych XX w. Teoria ta jest jedną z najszybciej rozwijających sięmetod sztucznej inteligencji. Znalazła zastosowanie m.in. w analizie danych,przybliżonej klasyfikacji i przetwarzaniu obrazów.

W klasycznej teorii zbiorów, kantorowskiej — takiej, jaka tu jest rozwi-jana — przyjmuje się, że dowolny przedmiot jest albo nie jest elementemdanego zbioru.

Na rodzaj elementów zbiorów nie nakłada się żadnych ograniczeń. Ina-czej mówiąc, można tworzyć zbiory z obiektów — w intuicyjnym sensie —niemających nic ze sobą wspólnego. Może też być i tak, że elementy zbiorunależą do jakichś gatunków. W takiej sytuacji w praktyce może interesowaćnas to, ile jest „kopii” tych obiektów. Na przykład, mając jakiś zbiór warzywmoże zwracać się uwagę na to, ile w tym zbiorze jest sztuk kalafiorów lub ilejest główek kapusty. Do charakterystyki tak rozumianych zbiorów nie tylkonależy określenie ich elementów, lecz również liczności poszczególnych gatun-ków elementów. Te intuicje dają podstawę do utworzenia pojęcia wielozbioru(multizbioru). Na wielozbiór (A, f) składa się więc zbiór jego elementów Aoraz funkcja f , która dowolnemu przedmiotowi przypisuje liczbę naturalną,wskazującą, ile jest w zbiorze A elementów, które są tego samego gatunku,co ten przedmiot.

Natura elementów zbioru może być dowolna. W szczególności same mogąbyć zbiorami. O takich elementach zbiorów, które same nie są zbiorami,można mówić jako o praelementach lub atomach.

Stosowanie intuicyjnych pojęć zbioru oraz bycia elementem zbioru jestograniczone i w wypadku bardziej zaawansowanych rozważań musi zostaćzastąpione przez pojęcia ściśle określone. Tym samym dochodzi do zerwa-nia ze zdroworozsądkowym ich pojmowaniem. Dokonuje się tego na gruncieaksjomatycznej teorii mnogości.

Wielkich liter z początku alfabetu: A,B, C, . . ., w razie potrzeby z indek-sami, używać będziemy jako zmiennych, których wartościami są zbiory.

Wielkich liter z końca alfabetu: X, Y, Z, w razie potrzeby z indeksami,używać będziemy jak nazw pewnych wyróżnionych zbiorów (przestrzeni).

Małych liter z początku alfabetu: a, b, c, . . ., w razie potrzeby z indeksami,używać będziemy jako nazw elementów zbiorów.


Małe litery z końca alfabetu: x, y, z, w razie potrzeby z indeksami, będąużywane jako zmienne, których wartościami są elementy zbiorów.

Przedmioty (indywidua), które tworzą zbiór to jego elementy. Fakt, żeprzedmiot a jest elementem (należy do) zbioru A zapisujemy:

a ∈ A

Użycie małej litery nie wyklucza tego, że obiekt, do którego odnosi sięnie jest zbiorem. Elementami zbiorów mogą bowiem być również zbiory.Wskazuje jedynie na to, że jest to obiekt będący elementem aktualnie roz-ważanego zbioru (wskazywanego przez drugi argument ∈). Podobnie, użyciewielkiej litery nie wyklucza tego, że obiekt wskazywany przez tę literę niejest elementem jakiegoś zbioru.

„∈” jest dwuargumentową literą predykatową. Ze względu na to, że ele-menty jakiegoś zbioru mogą być zbiorami, a zbiory mogą być elementamizbiorów, mała lub wielka litera może wystąpić po każdej ze stron, prawej lublewej, znaku ∈.

To, że a nie jest elementem (nie należy do) zbioru A, ¬ (a ∈ A), możemyzapisać:

a 6∈ A.

Oczywiście, używać będziemy również nawiasów. Zasady korzystaniaz nich nie różnią się istotnie od zasad stosowanych w rachunku predykatów.

Definicja 3.1 (ekstensjonalnej charakterystyki zbioru). Zbiór charakteryzo-wany jest ekstensjonalnie przez wymienienie (nazwanie) wszystkich i tylkojego elementów.

Możliwości charakterystyki ekstensjonalnej zbioru zależą od zbioru ter-mów stałych (nie zawierających zmiennych), w szczególności od jego liczno-ści. Charakteryzowany ekstensjonalnie zbiór ma co najwyżej tyle elementów,ile elementów ma zbiór termów stałych. Na przykład, jeżeli dysponujemytylko skończoną liczbą termów stałych, to ekstensjonalnie możemy charakte-ryzować tylko zbiory skończone.

Nazwanie każdego i tylko elementu charakteryzowanego zbioru może do-konać się przez:

1. podanie nazw tych elementów

lub

3.1. ZBIÓR I ELEMENT ZBIORU 165

2. podanie wzoru/wzorów nazw tych elementów.

Zbiór, który daje się scharakteryzować przez podanie nazwy każdego swo-jego elementu musi być zbiorem skończonym. Zbiór, który daje się scharak-teryzować przez podanie wzoru/wzorów nazwy każdego swojego elementumoże być zbiorem nieskończonym.

Niech Ai1 , . . . , Ain , 0 ≤ i ≤ m, będą podzbiorami zbioru stałych indy-widuowych. Niech ti(vi1 , . . . , vin), 0 ≤ i ≤ m, będą termami takimi, żewszystkimi zmiennymi występującymi w termie ti(vi1 , . . . , vin) są vi1 , . . . , vin .

Zbiór:

ti(vi1 , . . . , vin) : vij ∈ Aij , 0 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nto zbiór wszystkich i tylko przedmiotów, które są nazywane przez termy stałeotrzymane z ti(vi1 , . . . , vin) przez wpisanie w miejsce wszystkich zmiennychvij , stałych indywiduowych lub termów stałych, będących nazwami elemen-tów odpowiednich zbiorów Aij , 0 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

W szczególnym wypadku ti(vi1 , . . . , vin) mogą być termami stałymi:

a0, a1, . . . , am.

Wówczas charakteryzowany zbiór to:

a0, a1, . . . , am.Warto tu zauważyć, że ilość termów stałych jest nie mniejsza niż ilość

elementów zbioru, który te termy wyznaczają. O termach przyjmuje się, żemają dokładnie jeden desygnat. Nie zakłada się jednak, że różne termy mająróżne desygnaty.

Zauważmy również, że przedmiot (indywiduum) różni się od zbioru, któ-rego jest on jedynym elementem: a jest jedynym elementem zbioru a.Zbiór, który ma dokładnie jeden element to singleton. Singleton jest naj-prostszym przykładem zbioru niepustego.Przykład 3.1. Zbiorami scharakteryzowanymi ekstensjonalnie są:

1, 2, 3, 1, 3, . . . , 2i + 1, . . . : i ∈ N. ©Definicja 3.2 (charakterystyki intensjonalnej zbioru). Zbiór charakteryzo-wany jest intensjonalnie przez podanie formuły z jedną zmienną wolną (wa-runek), którą to formułę (warunek) spełniają wszystkie i tylko elementy tegozbioru.

x : φ(x)


to zbiór wszystkich tych i tylko tych przedmiotów, dla których — jak tomówimy — prawdą jest, że są φ lub które mają własność φ).

Znaków „” oraz „” używaliśmy jako znaków interpunkcyjnych. Teraznawiasy te występują w roli operatora tworzącego nazwę zbioru. Operatorten nazywa się operatorem abstrakcji lub znakiem abstrakcji. Istnieje wieleodmian jego użycia. Pisze się też np.:

x | φ(x),

Aby zapisać, że mamy na uwadze tylko przedmioty ze zbioru A, którespełniają φ piszemy:

x ∈ A : φ(x).Zapis:

x · y | x ∈ X ∧ y ∈ Y oznacza zbiór, którego wszystkimi i tylko elementami są iloczyny z pierwszymczynnikiem, będącym elementem zbioru X i z drugim czynnikiem, będącymelementem zbioru Y .

(x)φ(x) to zbiór taki, że

y ∈ (x)φ(x) ⇔ φ(y),

czyli(x)φ(x) = x : φ(x).

Zbiór scharakteryzowany ekstensjonalnie można scharakteryzować inten-sjonalnie. Taką wspólną „własnością” wszystkich i tylko tych przedmiotów,które są elementami zbioru A może być np. to, że są one elementami zbioruA. Zachodzi następująca równość:

A = x : x ∈ A.

Czasem zależy nam na charakterystyce ekstensjonalnej zbioru scharakte-ryzowanego intensjonalnie, np. równanie jest charakterystyką intensjonalnązbioru pierwiastków tego równania. Rozwiązać równanie to tyle, co scharak-teryzować ekstensjonalnie ten zbiór pierwiastków.

Definicja 3.3 (enumeracji zbioru). Enumeracją zbioru A jest ciąg wszyst-kich i tylko tych przedmiotów, które są elementami zbioru A.

3.2. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW 167

Przykład 3.2. Enumeracją zbioru 1, 2, 3 jest ciąg (1, 2, 3). ©Definicja 3.4 (efektywnej enumeracji zbioru). Efektywną enumeracją zbioruA jest enumeracja, dla której istnieje efektywna metoda rozstrzygania, co jestn-tym wyrazem ciągu, stanowiącego enumerację A.

Zbiory skończone mają efektywną enumerację. Zbiór wszystkich i tylkoliczb naturalnych N ma efektywną enumerację.

3.2 Równość zbiorówZbiory A i B są ekstensjonalnie równe wtedy i tylko wtedy, gdy nie różniąsię swoimi elementami. Zbiory, które są równe, są ekstensjonalnie równe.

Jeżeli zbiory A i B są równe (=), to nie różnią się swoimi elementami,czyli:

Twierdzenie 3.1.

(A = B) ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Dowód. 2

Z aksjomatu identyczności 3 na str. 107 mamy:

1. A = B ⇒ x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Podobnie:

2. B = A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ A.

Po dołączeniu dużego kwantyfikatora do 1 i 2, odpowiednio, otrzymu-jemy:

3. A = B ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B),

2Dowody twierdzeń rachunku zbiorów przeprowadzamy metodą dowodów założenio-wych. Jako założenia dowodu mogą być brane tezy rachunku predykatów oraz definicjei wcześniej udowodnione twierdzenia rachunku zbiorów. Korzystamy nie tylko z regułpierwotnych, lecz również z tych reguł, które są intuicyjnie oczywiste. Nie będziemy tychreguł nazywać. Zwykle wskazywane będą tylko wiersze dowodowe, do których reguły sąstosowane. Odpowiedni komentarz będzie zamieszczany między wierszami dowodowymi(ze względów typograficznych).


4. B = A ⇒ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A).

Z 3 i 4 i z tego, że identyczność jest symetryczna mamy:

5. A = B ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Powstaje pytanie, czy jeżeli zbiory są ekstensjonalnie równe, to są równe.Pozytywna odpowiedź na to pytanie nie wydaje się być intuicyjnie oczywista.Zbiór mieszkańców Warszawy jest ekstensjonalnie równy zbiorowi mieszkań-ców stolicy Polski. Czy jednak zbiory te są równe? Gdyby rozumieć zbioryw sposób intensjonalny, to ich równość zależałaby nie tylko od ich elementów(ekstensji), lecz również od sposobu określenia (intensji). Na gruncie ra-chunku predykatów z identycznością, z ekstensjonalnej równości zbiorów niewynika ich równość. Teorię mnogości uprawia się przyjmując aksjomatycznie,że ekstensjonalna równość zbiorów pociąga za sobą równość zbiorów.

Zasada ekstensjonalności3 głosi, że jeżeli dwa zbiory są ekstensjonalnierówne, to są równe, czyli mają te same własności:

∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇒ (A = B).

Zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy nie różnią się swoimi elemen-tami, czyli:

Definicja 3.5 (równości zbiorów, =).

(A = B) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Symbol „=” to dwuargumentowa litera predykatowa.Wprowadzamy skrót „ 6=”:

A 6= B ⇔ ¬ (A = B).

Przyjmujemy, że symbole „=” i „ 6=” wiążą słabiej niż symbole operacji nazbiorach4 .

Dla dowolnych zbiorów A,B,C5:3Zob. aksjomat równości zbiorów na str. 187.4O symbolach tych będzie mowa później.5Ściśle rzecz biorąc należałoby wskazać zbiór uniwersalny, którego podzbiorami są A,B

i C. Ponieważ jednak omawiane tezy zachodzą w wypadku dowolnego zbioru uniwersal-nego, pominięcie wskazania takiego zbioru jest zatem w pełni uprawnione i uzasadnionezasadą ekonomii, aby pisać tylko to, co jest konieczne do jednoznacznego zrozumienia.W ten sposób będziemy też postępować w innych wypadkach.

3.2. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW 169

T 12 (zwrotność =). A = A.

T 13 (symetryczność =). (A = B) ⇒ (B = A).

T 14 (przechodniość =). [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ (A = C).

czyli relacja równości zbiorów jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Udowodnimy tylko T14.

Dowód. Z definicji równości zbiorów mamy:

1. (A = B) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B),

2. (B = C) ⇔ ∀x : (x ∈ B ⇔ x ∈ C).

Z 1 i 2 dostajemy:

3. [(A = B)∧(B = C)] ⇔ [∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)∧∀x : (x ∈ B ⇔ x ∈ C)].

Tezą rachunku predykatów jest:

4. [∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ ∀x : (x ∈ B ⇔ x ∈ C)] ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈C),

więc z 3 i 4:

5. [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ C).

Ponieważ z definicji równości zbiorów:

6. (A = C) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ C),

więc ostatecznie:

7. [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ (A = C).

Zbiór pusty, ∅, to zbiór, który nie ma żadnego elementu. Zbiór pusty mo-żemy scharakteryzować intensjonalnie, korzystając z tego, że nie ma takiegoprzedmiotu, który różniłby się od samego siebie.

Definicja 3.6 (zbioru pustego, ∅).

∅ = x : ¬ x = x.


Mając na uwadze to, że żaden przedmiot zarazem spełnia i nie spełniajakiś warunek, zbiór pusty możemy scharakteryzować następująco:

∅ = x : φ(x) ∧ ¬ φ(x).Symbol „∅” to stała indywiduowa. Zbiór pusty pełni w teorii mnogości

rolę podobną do tej, którą 0 pełni w algebrze.W algebrze zbiorów przyjmuje się, że zbiory rozważane w ramach określo-

nej dyscypliny — w której algebra zbiorów jest stosowana — są tego rodzaju,że wszystkie ich elementy są elementami pewnych zbiorów6. Dla określonejklasy zbiorów taki zbiór jest tylko jeden. Zbiór ten, X, to przestrzeń (zbiórpełny lub zbiór uniwersalny). X możemy zdefiniować przez własność, którąposiadają wszystkie i tylko jego elementy.

Definicja 3.7 (zbioru uniwersalnego, X).

X = x : φ(x) ∨ ¬ φ(x).

Mając na uwadze to, że każdy przedmiot jest równy samemu sobie, zbióruniwersalny to zbiór:

x : x = x.Symbol „X” to stała indywiduowa. Czasem, w szczególności w rozwa-

żaniach nad relacjami i funkcjami, przyjmuje się istnienie więcej niż jed-nego zbioru uniwersalnego (każdy z nich jest jedynym zbiorem uniwersal-nym, który oznacza dana stała indywiduowa). Na oznaczenie tych zbiorów,jak już była mowa, używa się wielkich liter z końca alfabetu: X, Y, Z (w raziepotrzeby z indeksami).

3.3 Zawieranie się zbiorówZbiór A jest podzbiorem B, A ⊆ B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy elementzbioru A jest elementem zbioru B

Definicja 3.8 (podzbioru, ⊆).

(A ⊆ B) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

6Nie twierdzimy tym samym, że istnieje jakiś taki zbiór, że wszystkie elementy jakie-gokolwiek zbioru byłyby elementami tego zbioru.

3.3. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW 171

Symbol „⊆” to dwuargumentowa litera predykatowa.Gdy A nie jest podzbiorem B, to piszemy:

A 6⊆ B.

Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jestpodzbiorem zbioru B. Relacja ⊆ to relacja zawierania się zbiorów lub inaczejrelacja inkluzji.

Zbiór A jest właściwym podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdykażdy element A jest elementem B i są elementy B, które nie są elemen-tami A.

Definicja 3.9 (podzbioru właściwego, ⊂).(A ⊂ B) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∃x : (x ∈ B ∧ x 6∈ A).

Zauważmy, żeA ⊂ B ⇔ [(A ⊆ B) ∧ (A 6= B)],

czyli A jest właściwym podzbiorem B wtedy i tylko, gdy A jest podzbioremB i A jest różne od B.

Zbiór A jest nadzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy elementzbioru B jest elementem zbioru A.

Definicja 3.10 (nadzbioru, ⊇).(A ⊇ B) ⇔ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A).

Zauważmy, żeA ⊇ B ⇔ B ⊆ A.

Symbol „⊇” to dwuargumentowa litera predykatowa.Gdy A nie jest nadzbiorem B, to piszemy:

A 6⊇ B.

Zbiór A jest właściwym nadzbiorem zbioru B, A ⊃ B, wtedy i tylkowtedy, gdy każdy element B jest elementem A i są elementy A, które nie sąelementami B.

Definicja 3.11 (nadzbioru właściwego, ⊃).(A ⊃ B) ⇔ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A) ∧ ∃x : (x ∈ A ∧ x 6∈ B).


Zauważmy, żeA ⊃ B ⇔ [(A ⊇ B) ∧ (A 6= B)],

czyli A jest nadzbiorem B wtedy i tylko wtedy, gdy B jest podzbiorem A i Ajest różne od B.

Przyjmujemy, że symbole „⊆”, „ 6⊆”, „⊂”, „⊇”, „ 6⊇”, „⊃” wiążą słabiej niżwszystkie symbole operacji na zbiorach.

Dla dowolnych zbiorów A,B,C:

T 15 (zwrotność ⊆). A ⊆ A

T 16 (antysymetryczność ⊆). [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ (A = B)

T 17 (przechodniość ⊆). [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)] ⇒ (A ⊆ C)

T 18. (A 6= B) ⇒ [A 6⊆ B) ∨ (B 6⊆ A)].

Dowód. Dowiedziemy tylko antysymetryczności ⊆.Na podstawie definicji ⊆:

1. A ⊆ B ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Podobnie:

2. B ⊆ A ⇔ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A).

Z 1 i 2 otrzymujemy:

3. [(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] ⇔ [∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)∧∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A)].


4. [∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A)] ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈B).

Z 3 i 4 dostajemy:

5. [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Ponieważ z definicji równości zbiorów:

6. (A = B) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B),

więc z 5 i 6 ostatecznie otrzymujemy:

3.4. OPERACJE NA ZBIORACH 173

7. [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ (A = B).Na podstawie definicji zbioru pustego i zawierania się zbiorów mamy:

T 19. ∅ ⊆ A,

czyli zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.Ponadto:

T 20. A 6= ∅ ⇒ A 6⊆ ∅,czyli żaden zbiór w sposób właściwy nie zawiera się w zbiorze pustym.Zauważmy, że

T 21. A ⊆ X,

czyli każdy zbiór zawiera się w przestrzeni; oraz

T 22. A 6= X ⇒ X 6⊆ A,

czyli przestrzeń w sposób właściwy nie zawiera się w żadnym zbiorze.

3.4 Operacje na zbiorach

3.4.1 Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem (uzupełnieniem) zbioru A jest zbiór −A, którego elementamisą wszystkie i tylko te elementy przestrzeni, które nie są elementami A.

Definicja 3.12 (dopełnienia zbioru, −).−A = x ∈ X : ¬ x ∈ A.

Możemy to też zapisać jako:

−A = x ∈ X : x 6∈ A,lub

∀x : [x ∈ −A ⇔ ¬ x ∈ A].

Symbol „−” to jednoargumentowa litera funkcyjna. Przyjmujemy, żewiąże najmocniej ze wszystkich symboli operacji na zbiorach. Zamiast pisać:−(−A) piszemy też: −− A.

Charakteryzując zbiór intensjonalnie mówimy o własności, którą posia-dają wszystkie i tylko elementy tego zbioru. Następuje utożsamienie zbioruz własnością. Dopełnienie zbioru można więc utożsamiać z brakiem własno-ści, która ten zbiór wyznacza.


Dla dowolnego zbioru A:

T 23. −(−A) = A

T 24. −∅ = X

T 25. −X = ∅

T 26. A ⊆ B ⇔ −B ⊆ −A.

Dowiedźmy tylko T23. Nosi ono nazwę prawa podwójnego uzupełnienia.

Dowód. Z definicji dopełnienia zbioru mamy:

1. ∀x : [(x ∈ −A) ⇔ ¬(x ∈ A)].

Podobnie:

2. ∀x : [(x ∈ −(−A)) ⇔ ¬(x ∈ −A)].

Teraz opuszczamy kwantyfikatory w 1 i 2. Dostajemy więc:

3. (x ∈ −A) ⇔ ¬(x ∈ A),

4. (x ∈ −(−A)) ⇔ ¬(x ∈ −A).

Z 3 otrzymujemy:

5. (x ∈ A) ⇔ ¬ (x ∈ −A).

Z 4 i 5 mamy:

6. (x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A)).

Dołączając w 6 duży kwantyfikator mamy:

7. ∀x : [(x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A))].

Z definicji równości zbiorów:

8. A = −(−A) ⇔ ∀x : [(x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A))].

Z 7 i 8 dostajemy więc

9. −(−A) = A.


3.4.2 Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B jest zbiór A∪B, którego elementami są wszystkie i tylkote przedmioty, które są elementami zbioru A lub są elementami zbioru B.

Definicja 3.13 (sumy zbiorów, ∪).

(A ∪B) = x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B.

W sposób równoważny możemy to wyrazić:

∀x : [x ∈ (A ∪B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)].

Zauważmy, że

x 6∈ (A ∪B) ⇔ (x 6∈ A) ∧ (x 6∈ B).

Operacją sumowania teoriomnogościowego rządzą następujące prawa.Dla dowolnych zbiorów A, B, C:

T 27 (przemienność ∪). A ∪B = B ∪ A

T 28 (łączność ∪). A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

T 29 (element neutralny ∪). ∅ ∪ A = A

T 30 (idempotencja ∪). A ∪ A = A

T 31 (element jednostkowy ∪). A ∪X = X.


Dowód. Z definicji sumy teoriomnogościowej zachodzą kolejne równoważno-ści:

1. x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] ⇔ [x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)],

2. [x ∈ (B ∪ C)] ⇔ (x ∈ B ∨ x ∈ C).

Z 1 i 2 mamy:

3. x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] ⇔ [x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)].

Tezą rachunku logicznego jest:


4. [x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)] ⇔ [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C].

Ponownie korzystając z definicji sumy teoriomnogościowej mamy:

5. (x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇔ [x ∈ (A ∪B)].

Z 5 dostajemy:

6. [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C] ⇔ [x ∈ (A ∪B) ∨ x ∈ C].

Z definicji sumy:

7. [x ∈ (A ∪B) ∨ x ∈ C] ⇔ x ∈ [(A ∪B) ∪ C].

Korzystając z przechodniości ⇔ ostatecznie dostajemy:

8. x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] ⇔ x ∈ [(A ∪B) ∪ C].

W związku z łącznością ∪, zapisując sumę skończonej liczby zbiorów,możemy opuścić nawiasy. W jakiejkolwiek kolejności byśmy sumowali, tozawsze otrzymamy ten sam wynik.

Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:

T 32. B ⊆ A ∪B

T 33. A ⊆ C ∧B ⊆ C ⇒ A ∪B ⊆ C

T 34. A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪D

T 35. A ⊆ B ⇔ A ∪B = B.

Dowiedźmy tylko T35.

Dowód. Ograniczmy się do dowodu tego, że

A ∪B = B ⇒ A ⊆ B.


1. (x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Korzystając z definicji sumy teoriomnogościowej dostajemy:


2. (x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Stąd:

3. ∀x : (x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ B) ⇒ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Z definicji równości zbiorów i definicji zawierania się zbiorów:

4. (A ∪B = B) ⇒ (A ⊆ B).

3.4.3 Przecięcie zbiorów

Przecięciem (przekrojem, iloczynem) zbiorów A i B jest zbiór A ∩ B taki,którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementamizbioru A i które są elementami zbioru B.

Definicja 3.14 (przecięcia zbiorów, ∩).

(A ∩B) = x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B.

W sposób równoważny możemy to wyrazić:

∀x : [x ∈ (A ∩B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)].

Symbol „∩” to dwuargumentowa litera funkcyjna.Zauważmy, że

x 6∈ (A ∩B) ⇔ (x 6∈ A) ∨ (x 6∈ B).

Operacją iloczynu zbiorów rządzą następujące prawa.

Dla dowolnych zbiorów A, B, C:

T 36 (przemienność ∩). A ∩B = B ∩ A

T 37 (łączność ∩). A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

T 38 (element jednostkowy ∩). ∅ ∩ A = ∅T 39 (idempotencja ∩). A ∩ A = A

T 40 (element neutralny ∩). A ∩X = A.



Dowód. Na podstawie definicji przecięcia zbiorów zachodzą kolejne równo-ważności:

1. x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)],

2. [x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)].

Tezą rachunku logicznego jest:

3. [x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)] ⇔ [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C].

Ponownie korzystając z definicji przecięcia dostajemy:

4. [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C] ⇔ [x ∈ (A ∩B) ∧ x ∈ C],

5. [x ∈ (A ∩B) ∧ x ∈ C] ⇔ x ∈ [(A ∩B) ∩ C].

Korzystając z przechodniości ⇔ ostatecznie mamy:

6. x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] ⇔ x ∈ [(A ∩B) ∩ C].

W związku z łącznością ∩, zapisując przecięcie skończonej liczby zbiorówmożemy opuścić nawiasy. W jakiejkolwiek kolejności byśmy brali przecięcie,to zawsze otrzymamy ten sam wynik.

Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:

T 41. A ∩B ⊆ B

T 42. A ⊆ B ∧ A ⊆ C ⇒ A ⊆ B ∩ C

T 43. A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩D

T 44. A ⊆ B ⇔ A ∩B = A.

Dowiedźmy tylko T44.

Dowód. Ograniczmy się do dowodu tego, że

A ∩B = A ⇒ A ⊆ B.


Niech:1. A ∩B = A.

Z 1 na podstawie definicji równości zbiorów:

2. x ∈ (A ∩B) ⇔ x ∈ A.Z definicji przecięcia zbiorów:

3. x ∈ (A ∩B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).Z 2 i 3 mamy:

4. (x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔ x ∈ A.Tezą rachunku logicznego jest:

5. [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔ x ∈ A] ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).Z 4 i 5 dostajemy

6. x ∈ A ⇒ x ∈ B.Z definicji zawierania się zbiorów i 6

7. A ⊆ B.Zbiory A i B są rozłączne, A ⊇⊆ B, wtedy i tylko wtedy, gdy żaden

element jednego ze zbiorów nie jest elementem drugiego, czyliDefinicja 3.15 (rozłączności zbiorów, ⊇⊆).

(A ⊇⊆ B) ⇔ ¬ ∃x : (x ∈ A ∧ x ∈ B).

Zauważmy, że(A ⊇⊆ B) ⇔ (A ∩B = ∅).

3.4.4 Różnica i różnica symetryczna zbiorów

Różnicą zbiorów A i B jest zbiór A \ B, którego elementami są wszystkiei tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.Definicja 3.16 (różnicy zbiorów, \).

(A \B) = x ∈ X : x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B.W sposób równoważny możemy to wyrazić:

∀x : [x ∈ (A \B) ⇔ (x ∈ A) ∧ ¬ (x ∈ B)].

Symbol „\” to dwuargumentowa litera funkcyjna.


Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:

T 45. A \B ⊆ A

T 46. A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A \D ⊆ B \ C

T 47. C ⊆ D ⇒ A \D ⊆ A \ C

T 48. A ⊆ B ⇔ A \B = ∅.Różnicą symetryczną zbiorów A i B jest zbiór A . B, którego elementami

są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru Boraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B, które nie są elementami zbioru A.

Definicja 3.17 (różnicy symetrycznej zbiorów, . ).

(A.

B) = [x ∈ X : (x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) ∨ (¬ x ∈ A ∧ x ∈ B)].

Równoważnie możemy to zapisać:

∀x : [x ∈ (A.

B) ⇔ (x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B) ∨ (¬ x ∈ A ∧ x ∈ B)].

Symbol „ . ” to dwuargumentowa litera funkcyjna.

Zauważmy, że(A

.B) = (B

.A).

3.4.5 Związki między działaniami teoriomnogościowymi

Operacja dopełnienia pozostaje w następujących związkach z innymi działa-niami teoriomnogościowymi.

Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X7:

T 49. −A = X \ A

T 50. A ∪ −A = X

T 51. A ∩ −A = ∅.7Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogościowym prawem

wyłączonego środka i teoriomnogościowym prawem (nie)sprzeczności. Istnieje ścisły zwią-zek między tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpowiednimi prawami rachunkuzdań: odrzucenie tych drugich wiąże się z zakwestionowaniem tych pierwszych.


Dla dowolnych zbiorów A i B:

T 52 (prawo De Morgana). −(A ∪B) = −A ∩ −B

T 53 (prawo De Morgana). −(A ∩B) = −A ∪ −B

T 54. A \B = A ∩ −B

T 55. A \B = −(−A ∪B).

Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X:

T 56. A ⊆ B ⇔ A ∩ −B = ∅T 57. A ⊆ B ⇔ −A ∪B = X.

Następujące prawa ustalają związki między dodawaniem a mnożeniemzbiorów.

Dla dowolnych zbiorów A, B i C:

T 58 (prawo absorpcji (pochłaniania)). A ∩ (A ∪B) = A

T 59 (prawo absorpcji (pochłaniania)). (A ∩B) ∪B = B

T 60 (prawo rozdzielności sumy względem iloczynu).A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

T 61 (prawo rozdzielności iloczynu względem sumy).A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Związki między różnicą a sumą określają następujące prawa.

Dla dowolnych zbiorów A i B:

T 62. A ∪ (B \ A) = A ∪B

T 63. A ⊆ B ⇒ A ∪ (B \ A) = B.

Kolejne prawo pozwala określić przecięcie za pomocą różnicy.Dla dowolnych zbiorów A i B:

T 64. A \ (A \B) = A ∩B.


Między różnicą a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodzą następującezwiązki.

Dla dowolnych zbiorów A, B, C:

T 65 (prawo De Morgana (dla różnicy)). A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C)

T 66 (prawo De Morgana (dla różnicy)). A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C).

Można postawić pytanie, ile daje się uzyskać wzajemnie różnych zbiorówz danych n zbiorów stosując do nich operacje dodawania, mnożenia i odej-mowania. Dowodzi się, że jest to liczba skończona i wynosi 22n .

Algebra zbiorów ma wielorakie zastosowania, w szczególności z opera-cjami teoriomnogościowymi mamy do czynienia przy wyszukiwaniu informa-cji.

Niech T (A) będzie zbiorem wszystkich i tylko tekstów (dokumentów),w których występuje słowo A. Dla znanych z wyszukiwarek internetowychspójników: OR, AND oraz AND NOT zachodzą następujące zależności:

1. T (A OR B) = T (A) ∪ T (B),

2. T (A AND B) = T (A) ∩ T (B),

3. T (A AND NOT B) = T (A) ∩ −T (B),

lub, co na jedno wychodzi:

4. T (A AND NOT B) = T (A) \ T (B).

Jeżeli chcemy znaleźć dokumenty, w których występuje słowo A i niewystępuje ani słowo B ani słowo C, to piszemy:

A AND NOT (B OR C)

lub

(A AND NOT B) AND (A AND NOT C).

Równoważności tych sformułowań można dowieść korzystając z algebry zbio-rów.


3.4.6 Uogólnione suma i przecięcie zbiorów

Dotychczas omawialiśmy działania teoriomnogościowe na skończonej liczbiezbiorów. Sumę i przecięcie można uogólnić na dowolną rodzinę zbiorów.

Niech X będzie niepustą przestrzenią (X 6= ∅). Niech (At)t∈T będzierodziną podzbiorów przestrzeni X, gdzie T jest zbiorem (indeksów).Przykład 3.3. Niech przestrzenią będzie zbiór liczb naturalnych N. Niech Tbędzie zbiorem 1, 2, 3, 4, 5. Niech

(At)t∈T = n ∈ N : t < n.Rodzinę zbiorów (At)t∈T tworzą następujące zbiory:A1 = 2, 3, . . .; A2 = 3, 4, . . .; A3 = 4, 5, . . .; A4 = 5, 6, . . .; A5 =6, 7, . . ..

Gdybyśmy jako T wzięli zbiór liczb naturalnych, to rodzina (At)t∈T mia-łaby nieskończenie wiele elementów. Jej elementami byłyby wszystkie zbiory(dla każdego n ∈ N):

An = (n + 1), (n + 2), . . .. ©Sumą uogólnioną zbiorów rodziny (At)t∈T jest zbiór

St∈T

At (lub:⋃At : t ∈

T), którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elemen-tem przynajmniej jednego ze zbiorów (At)t∈T .

Definicja 3.18 (uogólnionej sumy zbiorów,⋃).

∀x : (x ∈⋃t∈T

At) ⇔ ∃t∈T (x ∈ At).

Przecięciem uogólnionym zbiorów niepustej rodziny (At)t∈T jest zbiórTt∈T

At (lub:⋂At : t ∈ T), którego elementami są wszystkie i tylko te przed-

mioty, które są elementami każdego ze zbiorów rodziny (At)t∈T .

Definicja 3.19 (uogólnionego przecięcia zbiorów,⋂).

∀x : (x ∈⋂t∈T

At) ⇔ ∀t∈T (x ∈ At).

W wypadku, gdy zbiór T jest skończony, T = 1, 2, . . . , n, to⋃t∈T

At = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An,


⋂t∈T

At = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An.

W wypadku, gdy T = N, czyli gdy T jest zbiorem liczb naturalnychpiszemy:

∞⋃n=1

An zamiast⋃

n∈NAn,

∞⋂n=1

An zamiast⋂

n∈NAn.

Omówimy teraz niektóre własności uogólnionych sumy i przecięcia.

Dla dowolnej rodziny zbiorów (At)t∈T , dla każdego t ∈ T :

T 67. At ⊆⋃

t∈T At

T 68.⋂

t∈T At ⊆ At

T 69. At ⊆ A ⇒ ⋃t∈T At ⊆ A

T 70. A ⊆ At ⇒ A ⊆ ⋂t∈T At

T 71.⋃

t∈T At ∪⋃

t∈T Bt =⋃

t∈T (At ∪Bt)

T 72.⋂

t∈T At ∩⋂

t∈T Bt =⋂

t∈T (At ∩Bt).

Udowodnijmy tylko własność T70.

Dowód. Przeprowadzimy dowód niewprost. Niech więc:

1. ∀t ∈ T : (A ⊆ At),

2. A 6⊆T

t∈TAt.

Z definicji zawierania się zbiorów i z 2 mamy, że dla pewnego a:

3. a ∈ A ∧ ¬ a ∈T

t∈TAt.

Z tego:

4. a ∈ A,

oraz


5. ¬ a ∈T

t∈TAt.

Z 5 i definicji uogólnionego przecięcia dostajemy:

6. ∃t ∈ T : ¬ a ∈ At.

Z 1 mamy:

7. ∀t ∈ T : (a ∈ A ⇒ a ∈ At).

Z 4 i 7 zaś dostajemy

8. ∀t ∈ T : (a ∈ At).

Korzystając z prawa De Morgana stwierdzamy sprzeczność między wier-szami 6 i 8.

Związki między uogólnionymi sumą i przecięciem a relacją inkluzji usta-lają następujące twierdzenia.

Dla dowolnych rodzin zbiorów (At)t∈T i (Bt)t∈T oraz każdego t(∈ T ):

T 73. (At ⊆ Bt) ⇒⋃

t∈T At ⊆⋃

t∈T Bt

T 74. (At ⊆ Bt) ⇒⋂

t∈T At ⊆⋂

t∈T Bt

T 75.⋃

t∈T (At ∩Bt) ⊆⋃

t∈T At ∩⋃

t∈T Bt

T 76.⋂

t∈T At ∪⋂

t∈T Bt ⊆⋂

t∈T (At ∪Bt).

Kolejne twierdzenia określają związki między dodawaniem i przecięciema uogólnionymi sumą oraz przecięciem.

Dla dowolnej rodziny zbiorów (At)t∈T i dowolnego zbioru A:

T 77. A ∪⋃t∈T At =

⋃t∈T (A ∪ At)

T 78. A ∩⋃t∈T At =

⋃t∈T (A ∩ At)

T 79. A ∪⋂t∈T At =

⋂t∈T (A ∪ At)

T 80. A ∩⋂t∈T At =

⋂t∈T (A ∩ At).

Udowodnijmy tylko własność T80, ograniczając się do:

A ∩⋂t∈T

At ⊆⋂t∈T

(A ∩ At).


Dowód. Niech

1. x ∈ (A ∩T

t∈TAt).

Z 1 oraz definicji przecięcia i uogólnionego przecięcia:

2. x ∈ A ∧ ∀t ∈ T : x ∈ At.

Z tego:

3. ∀t ∈ T : (x ∈ A ∧ x ∈ At).

Z definicji przecięcia więc:

4. ∀t ∈ T : x ∈ (A ∩ At).

Zatem z definicji uogólnionego przecięcia:

5. x ∈T

t∈T(A ∩ At),

co kończy dowód.

Związki między różnicą a uogólnionymi sumą i przecięciem ustalają dwapierwsze uogólnione prawa De Morgana (dla różnicy), zaś dla dopełnienia —dwa kolejne uogólnione prawa De Morgana (dla dopełnienia).

Dla dowolnej rodziny (At)t∈T i dowolnego zbioru A:

T 81. A \⋃t∈T At =

⋂t∈T (A \ At)

T 82. A \⋂t∈T At =

⋃t∈T (A \ At)

T 83. −⋃t∈T At =

⋂t∈T (−At)

T 84. −⋂t∈T At =

⋃t∈T (−At).

Twierdzenia T83 i T84 są konsekwencjami, odpowiednio, T81 i T82.

3.5 Aksjomaty algebry zbiorówW powyższych rozważaniach dotyczących algebry zbiorów przyjmowano jakopewniki niektóre własności zbiorów i pewne rozumienie bycia elementemzbioru. Te założenia znajdują jawne sformułowanie w następujących czte-rech aksjomatach algebry zbiorów. Stanowią one system aksjomatów algebryzbiorów.

3.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW 187

Aksjomat 1 (równości zbiorów (ekstensjonalności)8). Jeśli zbiory A i B nieróżnią się swoimi elementami, to zbiory A i B są równe.

Aksjomat 2 (sumy). Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, któregoelementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementami zbioru Alub są elementami zbioru B.

Aksjomat 3 (różnicy). Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, któregoelementami są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są elemen-tami B.

Aksjomat 4 (istnienia). Istnieje co najmniej jeden zbiór.

Aksjomaty te nie obejmują wszystkiego tego, co dla potrzeb matematykiwystarczająco charakteryzowałoby pojęcie zbioru. Zwykle oprócz podanychwyżej czterech aksjomatów, przyjmuje się jeszcze kolejne trzy. Wszystkie teaksjomaty pochodzą od Ernesta Zermelo.

Aksjomat 5 (podzbiorów, inaczej: wyróżniania). Dla każdego zbioru Ai każdej formuły φ z jedną zmienną wolną, której zakresem jest zbiór A ist-nieje zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko elementy zbioru A, którespełniają φ.

Naiwna intuicja zbioru mogłaby nas skłaniać do przyjęcia aksjomatu moc-niejszego, a mianowicie pewnika abstrakcji głoszącego, że dla dowolnej wła-sności (formuły) φ istnieje zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, któretę własność posiadają (lub, odpowiednio, zbiór przedmiotów spełniającychtę formułę). Pewnik ten dopuszcza istnienie zbiorów przedmiotów o dowol-nej cesze. Okazuje się jednak, że taki aksjomat prowadzi do sprzeczności(antynomii). Jest tak np. w wypadku antynomii Russella.

φ(x) ⇔ (x jest zbiorem) ∧ (x 6∈ x).

Niech:R = x : φ(x),

czyliR = x : x jest zbiorem ∧ x 6∈ x.

8Por. z zasadą ekstensjonalności na str. 168.


Jeśli przyjmiemy, że każda własność wyznacza zbiór, to R jest zbiorem.Zasadne staje się więc pytanie, czy R jest elementem R. Z definicji R mamy,że

R ∈ R ⇔ R 6∈ R,

co jest ewidentną sprzecznością.

Zermelo wyeliminował antynomie, w miejsce pewnika abstrakcji przyjmu-jąc aksjomat wyróżniania. Zakłada się w nim istnienie zbiorów przedmiotówo dowolnej cesze φ, ale tylko tych przedmiotów, które są elementami jakiegośzbioru.

Aksjomat wyróżniania pozwala z każdego zbioru wyróżnić podzbiór jegoelementów posiadających określoną własność. W szczególności przy zało-żeniu istnienia jakiegoś zbioru zapewnia istnienie zbioru pustego. Zbiór tenzawiera się w każdym zbiorze, ponieważ można go wyróżnić z każdego zbioru,a mianowicie jako x ∈ A : ¬ x = x.

Aksjomat 6 (zbioru potęgowego). Dla każdego zbioru A istnieje zbiór 2A,zwany zbiorem potęgowym zbioru A, którego elementami są wszystkie i tylkopodzbiory zbioru A.

Zbiór potęgowy bywa oznaczany „P (A)” — od angielskiego Power lubteż „C(A)” — od Cantora. Aksjomat ten pozwala tworzyć dowolnie dużezbiory. Zbiór P (A) ma więcej9 elementów niż zbiór X. Ponieważ, majączbiór P (A) możemy utworzyć jego zbiór potęgowy P (P (A)), to otrzymujemyjeszcze większy zbiór itd.

Aksjomat 7 (wyboru, pewnik wyboru). Dla każdej rodziny zbiorów niepu-stych i rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów z tej rodziny majeden i tylko jeden wspólny element.

Fakt przyjmowania pewnika wyboru jako aksjomatu jest zaznaczany w na-zwie danego systemu aksjomatycznego. Na przykład, ZFC to system aksjo-matyczny Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (Choice — ang.: wybór).

Aksjomat 8 (regularności, ufundowania). W każdym niepustym zbiorze Ajest taki element, którego żaden element nie jest elementem zbioru A.

9Odpowiedź na pytanie, co to znaczy, że jeden zbiór ma więcej elementów niż inny,damy rozważając problemy mocy zbiorów.

3.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW 189

Konsekwencją tego aksjomatu jest wykluczenie istnienia zbioru A ta-kiego, że A ∈ A a także wykluczona jest każda z możliwości: A ∈ A1, A1 ∈A2, . . . An ∈ A.

W teorii mnogości można zdefiniować zbiór liczb naturalnych N. Defi-niujemy indukcyjnie według wzoru: Succ(A) = A ∪ A. Korzystając z ak-sjomatu istnienia stwierdzamy istnienie jakiegoś zbioru A. Na podstawieaksjomatu wyróżniania stwierdzamy istnienie zbioru x ∈ A : x 6= x. Takizbiór jest dokładnie jeden. Jest to zbiór pusty: ∅. Na podstawie aksjomatuzbioru potęgowego stwierdzamy istnienie zbioru P (∅). Na mocy aksjomatuwyróżniania mamy zbiór: x ∈ P (∅) : x = ∅. Stwierdzamy więc istnieniezbioru ∅. Korzystając z aksjomatu sumy mamy zbiór ∅ ∪ ∅(= ∅).

W kolejnym kroku definicji indukcyjnej zakładamy istnienie zbioru A. Napodstawie aksjomatu zbioru potęgowego stwierdzamy istnienie zbioru po-tęgowego P (A). Na mocy aksjomatu wyróżniania mamy, że istnieje zbiórx ∈ P (A) : x = A(= A). Z kolei z aksjomatu sumy mamy, że istniejezbiór: A ∪ A.

Zgodnie z tym mamy:

Succ(∅) = ∅ ∪ ∅ = ∅,Succ(∅) = ∅ ∪ ∅ = ∅, ∅,Succ(∅, ∅) = ∅, ∅ ∪ ∅, ∅, itd.Możemy teraz określić zbiór N jako najmniejszy zbiór, który spełnia na-

stępujące warunki:

1. ∅ ∈ N,2. A ∈ N⇒ Succ(A) ∈ N.

Zauważmy, że zarówno A ⊂ Succ(A) jak i A ∈ Succ(A).

Poszczególne elementy zbioru N są oznaczane jak następuje:0 = ∅,1 = ∅ = 0,2 = ∅, ∅ = 0, 1,...n = 0, 1, . . . , n− 1,....Zgodnie z tym mamy:


Succ(0) = 1,Succ(1) = 2, i ogólnie: Succ(n) = n + 1.

Rozdział 4

Relacje i funkcje

4.1 Iloczyn kartezjański zbiorówPodstawowym pojęciem dalszych rozważań jest operacja tworzenia pary upo-rządkowanej przedmiotów.

Twierdzenie 4.1.

1. ∀x, y : ∃z : (z = x, x, y),2. ∀x, y, x1, y1 : (x = x1 ∧ y = y1 ⇔ x, x, y = x1, x1, y1),

czyli dla dowolnych przedmiotów x i y (niekoniecznie różnych): 1. ist-nieje dokładnie jeden zbiór x, x, y oraz 2. zbiór ten jest przypo-rządkowany tylko tej parze przedmiotów.

Dowód. Mając przedmiot x możemy utworzyć — korzystając chociażby z ak-sjomatu pary — zbiór x, którego jedynym elementem jest x. Mając przed-mioty x i y (niekoniecznie różne) na podstawie aksjomatu pary możemyutworzyć zbiór x, y, którego elementami będą tylko x i y. Korzystającponownie z aksjomatu pary ze zbiorów x i x, y możemy utworzyć zbiórx, x, y, którego elementami będą tylko x i x, y.

Stwierdzamy więc istnienie zbioru x, x, y. Taki zbiór utworzonyz przedmiotów x i y i jako swoich elementów zbiorów x i x, y jest do-kładnie jeden, bowiem

Z definicji równości zbiorów mamy:

1. x, x, y = x1, x1, y1 ⇔ [(x = x1)∧(x, y = x1, y1)]∨[(x = x1, y1) ∧ (x, y = y1)],

191

192 ROZDZIAŁ 4. RELACJE I FUNKCJE

2. x = x1 ⇔ x = x1,

3. x, y = x1, y1 ⇔ (x = x1 ∧ y = y1) ∨ (x = y1 ∧ y = x1),

Z 2 i 3 mamy:

4. (x = x1)∧(x, y = x1, y1) ⇔ (x = x1)∧[(x = x1∧y = y1)∨(y =y1 ∧ y = x1)].

Z własności identyczności dostajemy:

5. (x = x1)∧[(x = x1∧y = y1)∨(x = y1∧y = x1)] ⇒ [(x = x1)∧(y = y1)].

Z 4 i 5 dostajemy:

6. (x = x1) ∧ (x, y = x1, y1) ⇒ [(x = x1) ∧ (y = y1)].


7. [(x = x1, y1) ∧ (x, y = x1)] ⇔ (x = x1 = y1) ∧ (x = y = x1).

Z własności identyczności:

8. (x = x1 = y1) ∧ (x = y = x1) ⇒ (x = x1) ∧ (y = y1).

Z 7 i 8 mamy:

9. [(x = x1, y1) ∧ (x, y = x1)] ⇒ (x = x1) ∧ (y = y1).

Z 1, 6 i 9 dostajemy:

10. x, x, y = x1, x1, y1 ⇒ (x = x1) ∧ (y = y1).


11. (x = x1) ∧ (y = y1) ⇒ x, x, y = x1, x1, y1.Z 10 i 11 dostajemy:

12. x, x, y = x1, x1, y1 ⇔ (x = x1) ∧ (y = y1).

Definicja 4.1 (pary uporządkowanej).

(x, y) = x, x, y.(x, y) to para uporządkowana, której poprzednikiem jest x a której następ-

nikiem jest y.Pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich

poprzedniki i równe są ich następniki.

4.1. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW 193

Niech (x1, x2, . . . , xn1 , xn) znaczy tyle, co ((x1, x2, . . . , xn−1), xn).Definicja 4.2 (krotki (n-tki) uporządkowanej). N -tka uporządkowana (krotka)przedmiotów x1, x2, . . . , xn−1, xn, (n ≥ 2) to:

(x1, x2, . . . , xn−1, xn).

x1, x2, . . . , xn−1, xn. to współrzędne n-tki (x1, x2, . . . , xn−1, xn).

Iloczynem kartezjańskim, inaczej produktem kartezjańskim zbiorów X i Yjest zbiór X×Y wszystkich i tylko par uporządkowanych (x, y) takich, żex ∈ X i y ∈ Y , czyli X×Y = (x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y .

Dla dowolnych zbiorów X i Y istnieje zbiór wszystkich par uporządko-wanych, dających się utworzyć z elementów zbioru X jako poprzednikówi elementów zbioru Y jako następników tych par: (x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y .Zbiór ten jest jednoznacznie określony.

Iloczynem kartezjańskim, inaczej produktem kartezjańskim zbiorów:

X1, X2, . . . , Xn

jest zbiór:X1×X2× · · ·×Xn

wszystkich i tylko n-tek uporządkowanych: (x1, x2, . . . , xn) takich, że xi ∈ Xi,czyliDefinicja 4.3 (iloczynu kartezjańskiego, ×).

X1×X2× · ×Xi× · ×Xn = (x1, x2, . . . , xi . . . , xn) : xi ∈ Xi, i ≤ n.Dla dowolnych zbiorów X1, X2, . . . , Xn istnieje zbiór wszystkich i tylko

n-tek uporządkowanych, dających się utworzyć z elementów zbiorów X1, X2,. . . , Xn, takich, że i-tym członem n-tki jest element zbioru Xi, i ≤ n. Zbiórten jest też jednoznacznie określony.

W matematyce, iloczyny kartezjańskie pełnią doniosłą rolę. Jest to jednoz podstawowych działań na zbiorach. Zbiór punktów płaszczyzny (zbiórliczb zespolonych) jest produktem kartezjańskim zbioru R liczb rzeczywi-stych przez siebie: R×R.

Elementy zbioru X1×X2×· · ·×Xn nazywamy punktami, zbiory X1, X2,. . .Xn osiami współrzędnych. W wypadku punktu (x, y), x to odcięta a y torzędna. W wypadku, gdy Xi = R, 1 ≤ i ≤ n, to dla n = 1 mamy punktyna prostej, dla n = 2 — na płaszczyźnie, a w wypadku gdy n = 3, mamy doczynienia z punktami w przestrzeni 3-wymiarowej. Ogólnie możemy mówićo punktach w przestrzeni n-wymiarowej.


Niektóre własności iloczynu kartezjańskiego są analogiczne do własnościiloczynu arytmetycznego. Zachodzą np. prawa rozdzielności.

Dla dowolnych zbiorów X1, X2, Y :

T 85. (X1 ∪X2)× Y = X1 × Y ∪X2 × Y

T 86. Y × (X1 ∪X2) = Y ×X1 ∪ Y ×X2

T 87. (X1 \X2)× Y = X1 × Y \X2 × Y

T 88. Y × (X1 \X2) = Y ×X1 \ Y ×X2.

Spełnione są też prawa rozdzielności iloczynu kartezjańskiego względemprzecięcia teoriomnogościowego.

Dla dowolnych zbiorów X1, X2, Y :

T 89. (X1 ∩X2)× Y = (X1 × Y ) ∩ (X2 × Y )

T 90. Y × (X1 ∩X2) = (Y ×X1) ∩ (Y ×X2).

Iloczyn kartezjański jest operacją monotoniczną względem stosunku za-wierania.

Dla dowolnych zbiorów X1, X2, Y , jeśli Y 6= ∅, to:

T 91. (X1 ⊆ X2) ⇔ (X1 × Y ⊆ X2 × Y ) ⇔ (Y ×X1 ⊆ Y ×X2).

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny.

Przykład 4.1. A×B = B × A ⇔ A = B ∨ A = ∅ ∨B = ∅.Udowodnimy tylko:

A×B = B × A ⇒ A = B ∨ A = ∅ ∨B = ∅.

Dowód. Z definicji iloczynu kartezjańskiego mamy:

1. ∀x, y : [(x, y) ∈ A×B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B],

2. ∀x, y : [(x, y) ∈ B × A ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A].


4.1. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW 195

3. A×B = B × A ⇔ ∀x, y : [(x, y) ∈ A×B ⇔ (x, y) ∈ B × A].

Korzystając z twierdzenia o dedukcji, do założeń możemy dołączyć po-przednik implikacji, której dowodzimy (dowód zakończy się, gdy jakowiersz dowodowy uzyskamy następnik tej implikacji). Zatem jako za-łożenie możemy przyjąć:

4. A×B = B × A.

Z 3 i 4 dostajemy:

5. ∀x, y : [(x, y) ∈ A×B ⇔ (x, y) ∈ B × A].

Opuszczając kwantyfikator w 1, a następnie w 2 i 5 mamy:

6. (x, y) ∈ A×B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B,

7. (x, y) ∈ B × A ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A,

8. (x, y) ∈ A×B ⇔ (x, y) ∈ B × A.

Z 6, 7, 8 dostajemy:

9. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A.

Opuszczając w 9 równoważność mamy:

10. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ x ∈ B ∧ y ∈ A.

A z tego:

11. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ x ∈ B,

12. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ y ∈ A.

Z 11 mamy, że

13. y ∈ B ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

a z 12, że

14. x ∈ A ⇒ (y ∈ B ⇒ y ∈ A).

W 13 podstawiając z w miejsce x dostajemy

15. y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B).

W 14 podstawiając z w miejsce y dostajemy:


16. x ∈ A ⇒ (z ∈ B ⇒ z ∈ A).

Do 15 i 16 możemy dołączyć mały kwantyfikator. W wyniku dostajemy:

17. ∃y : y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B),

18. ∃x : x ∈ A ⇒ (z ∈ B ⇒ z ∈ A).

Z 17 i 18 mamy:

19. ∃x : x ∈ A ∧ ∃y : y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B) ∧ (z ∈ B ⇒ z ∈ A).

Z tego zaś:

20. ∃x : x ∈ A ∧ ∃y : y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇔ z ∈ B).

Teraz do 20 dołączamy duży kwantyfikator i mamy:

21. ∃x : x ∈ A ∧ ∃y : y ∈ B ⇒ ∀z : (z ∈ A ⇔ z ∈ B).

Ponieważ:

22. ¬ A = ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A,

23. ¬ B = ∅ ⇔ ∃y : y ∈ A,

a

24. A = B ⇔ ∀z : (z ∈ A ⇔ z ∈ B),

więc:

25. ¬ A = ∅ ∧ ¬ B = ∅ ⇒ A = B.

25 jest równoważne:

26. A = B ∨ A = ∅ ∨B = ∅.

4.2 Relacje

4.2.1 Pojęcie relacji

Słów „stosunek” i „zależność”, „związek” i „relacja” używamy w podobnymznaczeniu. Mówimy np. o stosunku większości między liczbami, o zależnościmiędzy objętością a ciśnieniem, o związku pracy z płacą. Tu pozycja terminu„relacja” będzie formalnie wyróżniona — definicje i twierdzenia będą mówićo relacji.

4.2. RELACJE 197

Definicja 4.4 (relacji dwuczłonowej). Relacją dwuczłonową w iloczynie X×Y ,gdzie X i Y są zbiorami, jest każdy podzbiór zbioru X×Y .

W wypadku, gdy relacja jest podzbiorem X×X, czyli gdy jest podzbioremX2 będziemy mówili, że jest to relacja binarna w zbiorze X.

Niech R będzie relacją dwuczłonową. Zamiast (x, y) ∈ R będziemy pisaćxRy a czytać: x jest w relacji R z y.

Przykład 4.2. Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych. Podzbiór W (⊆N × N) jest relacją niewiększości w zbiorze liczb naturalnych wtedy i tylkowtedy, gdy:

(n,m) ∈ W ⇔ (n ≤ m).

Jest to relacja w zbiorze N. ©Przykład 4.3. Niech X będzie przestrzenią. Zbiór In (⊆ X ×X) taki, że dladowolnych A,B(⊆ X):

(A,B) ∈ In ⇔ A ⊆ B

jest relacją inkluzji. Jest to relacja w zbiorze X. ©Definicja 4.5 (relacji n-członowej). Relacją n-członową w iloczynie:

X1×X2× · · ·×Xn,

gdzie Xi są zbiorami, i ≤ n,jest każdy podzbiór zbioru X1×X2× · · ·×Xn.

Napis:R ⊆ X1×X2× · · ·×Xn

to sygnatura relacji1. „R” to nazwa relacji, a X1×X2× · · ·×Xn to typ relacji.

Zbiór wszystkich i tylko i-tych członów n-członowej relacji R to i-ta dzie-dzina relacji R, czyli

Definicja 4.6 (i-tej dziedziny relacji, Di(R)).

Di(R) = xi : (x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) ∈ R.1Wcześniej termin „sygnatura” użyty był w innym znaczeniu. Mówiliśmy o sygnaturze

języka.


W wypadku relacji dwuczłonowej o 1-szej dziedzinie mówimy, że jest todziedzina lub lewa dziedzina. Jest to zbiór D(R) poprzedników par uporząd-kowanych (x, y) należących do relacji R, czyli

Definicja 4.7 (lewej dziedziny relacji, D(R)).

D(R) = x : (x, y) ∈ R.

W wypadku relacji dwuczłonowej o 2-giej dziedzinie mówimy, że jest toprzeciwdziedzina lub prawa dziedzina. Jest to zbiór D∗(R) następników paruporządkowanych (x, y) należących do relacji R, czyli

Definicja 4.8 (prawej dziedziny relacji, D∗(R)).

D∗(R) = y : (x, y) ∈ R.

Polem relacji R, C(R), jest teoriomnogościowa suma wszystkich dziedzinrelacji R, czyli zbiór:

Definicja 4.9 (pola relacji, C(R)).

C(R) = D1(R) ∪D2(R) ∪ · · · ∪Dn(R),

gdzie n to liczba członów relacji R.

Przykład 4.4. Niech l będzie prostą. M (⊆ l × l × l) jest relacją leżeniamiędzy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów A,B,C(∈ l):

(A,B,C) ∈ M ⇔ A/B/C,

czyli punkt B leży między punktami A i C.Relacja leżenia między jest relacją trójczłonową. Jest to relacja w zbiorze

l. Zbiór ten jest jej pierwszą, drugą i trzecią dziedziną oraz polem. ©Przykład 4.5. Niech P (⊆ R×R×R×R) będzie relacją taką, że dla dowolnychx, y, z, t (∈ R):

(x, y, z, t) ∈ P ⇔ x

y=

z

t.

Relacja P jest relacją czteroczłonową. Jej pierwszą i trzecią dziedzinąjest zbiór R, a drugą i czwartą — R \ 0. ©

4.2. RELACJE 199

W opisie relacji nie należy pomijać wskazania iloczynu kartezjańskiego,którego jest ona podzbiorem.

Na mocy zasady ekstensjonalności relacje, które nie różnią się swoimi ele-mentami uznajemy za równe. W wypadku dziedziny poza matematycznejoznacza to, że np. związek małżeński, bez względu jak byśmy go określili,utożsamiamy ze zbiorem takich par ludzi, że poprzednik pary jest małżon-kiem następnika tej pary. W dziedzinie matematycznej np. podzielnośćutożsamiamy ze zbiorem takich par liczb naturalnych, że następnik pary jestpodzielny przez poprzednik pary:

(2, 4), (3, 6), (4, 16), . . . .

Podzielność jest relacją w zbiorze liczb naturalnych, czyli jest podzbioremzbioru N×N.

Bycie elementem zbioru, ∈, jest relacją. Jest to zbiór:

(x, A) : x ∈ A ∧ A ⊆ X.Inaczej mówiąc, para (x,A) jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy,gdy x ∈ A.

Relacją jest też inkluzja, ⊆. Jest to zbiór:

(A,B) : A ⊆ B ∧ A ⊆ X ∧B ⊆ X.Inaczej mówiąc, para (A,B) jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy,gdy A ⊆ B.

Skończone dwuczłonowe relacje można przedstawiać w postaci grafu. Narysunku podaje się nazwy przedmiotów pozostających w relacji. Fakt za-chodzenia relacji między określonymi przedmiotami zaznaczany jest przezpołączenie nazw tych przedmiotów strzałkami w taki sposób, że przedmiotyx i y pozostają w relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy poruszając się od x zgod-nie z kierunkiem wskazywanym przez strzałkę dojdziemy do y. Na przykład,relacja (1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) ma następujący graf:

Relacje binarne można przedstawić też za pomocą tablicy (macierzy).Relacja z powyższego przykładu miałaby następującą tablicę:


1 2 3 4

1 + +

2 + +

3 + +

4 +

Najogólniej rzecz biorąc opis skończonej relacji za pomocą tabeli, którejwiersze i kolumny przyporządkowane są wzajemnie jednoznacznie elementomdziedziny i przeciwdziedziny tej relacji przeprowadza się w ten sposób, żew wypadku, gdy między xi a xj zachodzi relacja, oznaczeniu podlega poletabeli wyznaczone przez wiersz xi i kolumnę xj.

4.2.2 Relacje zwrotna i przeciwzwrotna

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest zwrotna, REF, wtedyi tylko wtedy, gdy każdy element zbioru X jest w tej relacji ze sobą, czyli

Definicja 4.10 (relacji zwrotnej, REF).

REF. ∀x ∈ X : (xRx).

Fakt, że R jest zwrotna zapisujemy:

R ∈ REF.

Dla każdego zbioru X istnieje i jest dokładnie jedna relacja:

∆X = (x, x) : x ∈ X,

czyli(x, y) ∈ ∆X ⇔ x ∈ X ∧ y ∈ X.

∆X to przekątna w zbiorze X ×X.

Można zauważyć, że relacja R jest zwrotna w X[= C(R)] wtedy i tylkowtedy, gdy

∆X ⊆ R.

4.2. RELACJE 201

W wypadku relacji zwrotnej każdy element x(∈ X) jest połączony ze sobąstrzałką:

W tabelce relacji zwrotnej oznakowane są wszystkie miejsca na przekąt-nej. Na przykład, będzie to następująca tabelka:

1 2 3 4

1 + +

2 + +

3 + + +

4 +

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest przeciwzwrotna, IR-REF, wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicja 4.11 (relacji przeciwzwrotnej, IRREF).

IRREF. ∀x ∈ X : ¬ (xRx).

To, że R jest przeciwzwrotna zapisujemy:

R ∈ IRREF.

Na grafie relacji przeciwzwrotnej żadna strzałka nie będzie łączyła jakie-goś elementu z nim samym.

W wypadku relacji przeciwzwrotnej w tabelce żadne miejsce na przekątnejnie będzie zaznaczone. Na przykład, będzie to następująca tabelka:

1 2 3 4

1 +

2 +

3 + +

4


Zauważmy, że

R ∈ REF ⇒ ¬ R ∈ IRREF,

lub, co jest równoważne:

R ∈ IRREF ⇒ ¬ R ∈ REF.

Relacje mogą być zwrotne, przeciwzwrotne lub ani zwrotne i ani przeciw-zwrotne.

Przykład 4.6. Relacja ≤ w zbiorze liczb rzeczywistych R jest zwrotna:

∀x ∈ R : (x ≤ x). ©

Przykład 4.7. Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych R jest przeciwzwrotna:

∀x ∈ R : ¬(x < x). ©

Przykład 4.8. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych N taką, żexRy wtedy i tylko wtedy, gdy w systemie dziesiętnym nazwa liczby x madokładnie dwie takie same cyfry co nazwa liczby y.

Relacja R nie jest zwrotna. Nie zawsze zachodzi między liczbą a nią samą— choćby liczby mające trzy lub więcej cyfr mają więcej cyfr wspólnych. Niejest też przeciwzwrotna — w wypadku liczb dwucyfrowych zachodzi międzyliczbą a nią samą. ©

4.2.3 Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i anty-symetryczna

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest symetryczna, SYM, wtedyi tylko wtedy, gdy

Definicja 4.12 (relacji symetrycznej, SYM).

SYM. ∀x, y ∈ X : (xRy ⇒ yRx).

Fakt, że R jest symetryczna zapisujemy:

R ∈ SYM.

4.2. RELACJE 203

W wypadku relacji symetrycznej jeżeli na grafie jest strzałka łącząca xz y, to jest również strzałka łącząca y z x.

W tabelce relacji symetrycznej przekątna jest osią symetrii. Jest tak np.w następującej tabelce:

1 2 3 4

1 + + +

2 + + +

3 + +

4 +

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest przeciwsymetryczna,ASYM, wtedy i tylko wtedy, gdy

Definicja 4.13 (relacji przeciwsymetrycznej, ASYM).

ASYM. ∀x, y ∈ X : (xRy ⇒ ¬ yRx).

Fakt, że R jest przeciwsymetryczna zapisujemy:

R ∈ ASYM.

Przykładem tabelki relacji przeciwsymetrycznej może być:

1 2 3 4

1 +

2 +

3 +

4

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest antysymetryczna, AN-TYSYM, wtedy i tylko wtedy, gdy

Definicja 4.14 (relacji antysymetrycznej, ANTYSYM).

ANTYSYM. ∀x, y ∈ X : (xRy ∧ yRx ⇒ x = y).

Fakt, że R jest antysymetryczna zapisujemy:


R ∈ ANTYSYM.

Przykładem tabelki relacji antysymetrycznej może być:

1 2 3 4

1 + +

2 +

3 +

4 +

Zauważmy, że jeżeli R 6= ∅, to

1. R ∈ SYM ⇒ ¬ R ∈ ASYM,

lub równoważnie

2. R ∈ ASYM ⇒ ¬ R ∈ SYM,

inaczej mówiąc:

3. SYM ∩ ASYM = ∅.4. R ∈ ASYM ⇒ R ∈ ANTYSYM2

lub równoważnie:

5. ASYM ∩ ANTYSYM = ASYM.

Zbiór relacji symetrycznych i antysymetrycznych zarazem jest niepu-sty: SY M ∩ ANTY SY M 6= ∅. Do zbioru tego należy np. relacjaidentyczności Id:

6. Id ∈ SY M ∩ ANTY SY M.

Są relacje antysymetryczne, które nie są przeciwsymetryczne, jak np. re-lacja niewiększości w zbiorze liczb rzeczywistych ≤.

Relacje mogą być symetryczne, przeciwsymteryczne, antysymetrycznei mogą nie być ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysyme-tryczne.

2W wypadku relacji przeciwsymetrycznych warunek xRy ∧ yRx nie jest spełniony dlażadnego x i y, zatem prawdą jest, że dla każdego x i y zachodzi xRy ∧ yRx ⇒ x = y.

4.2. RELACJE 205

Przykład 4.9. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych taką, że

xRy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje różna od 1 liczba naturalnabędąca podzielnikiem liczby x i liczby y.

Relacja R jest symetryczna.Relacja ta nie jest przeciwsymetryczna i nie jest antysymetryczna. ©

Przykład 4.10. Relacja < w zbiorze liczb naturalnych jest przeciwsymetryczna:

∀x, y : (x < y ⇒ ¬ y < x).

Relacja ta nie jest symetryczna i nie jest antysymetryczna. ©Przykład 4.11. Relacja ≤ w zbiorze liczb naturalnych nie jest ani syme-tryczna, ani nie jest przeciwsymetryczna.Nie jest symetryczna, bo gdy x 6= y i x ≤ y, to nieprawda, że y ≤ x. Nie jestteż przeciwsymetryczna, bo xRx i ¬ x ≤ x.Relacja ta jest antysymetryczna. ©Przykład 4.12. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych taką, że

nRm wtedy i tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym w n wystę-puje cyfra „1” a w m cyfra „2”.

Relacja ta nie jest symetryczna, np. 31R23 i nieprawda, że 23R31. Rnie jest też przeciwsymetryczna i nie jest antysymetryczna: 21R12 i 12R21,a nieprawda, że 21 = 12. ©

4.2.4 Relacja przechodnia

Dwuczłonowa relacja R w zbiorze X[= C(R)] jest przechodnia (TRANS)wtedy i tylko wtedy, gdy

Definicja 4.15 (relacji przechodniej, TRANS).

TRANS. ∀x, y, z ∈ X : (xRy ∧ yRz ⇒ xRz).

Fakt, że relacja R jest przechodnia zapisujemy:

R ∈ TRANS.

Przykładem tabelki relacji przechodniej może być:


1 2 3 4

1 + + +

2 + + +

3 + + +

4 +

Przykład 4.13. Relacja inkluzji ⊆ jest przechodnia. ©Zauważmy, że jeśli R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciw-

symetryczna, czyli

Twierdzenie 4.2.

IRREF ∩ TRANS ⊆ ASYM.

Dowód. Dowodzimy niewprost. Niech R będzie relacją przeciwzwrotną, prze-chodnią i niech nie będzie asymetryczna, czyli

1. ¬ xRx,

2. xRy ∧ yRz ⇒ xRz,

3. ¬ ∀x, y : (xRy ⇒ ¬ yRx).

Z 3 na podstawie praw De Morgana mamy:

4. ∃x, y : (xRy ∧ yRx).

Z tego dla pewnych a i b:

5. aRb ∧ bRa.

Z 2 dostajemy:

6. aRb ∧ bRa ⇒ aRa

Z 5 i 6 mamy:

7. aRa.

Na podstawie 1 zaś:

8. ¬ aRa,

co kończy dowód, ponieważ 7 i 8 są sprzeczne.

4.2. RELACJE 207

4.2.5 Relacja równoważności

Trudno przecenić znaczenie relacji równoważności w matematyce i nie tylkow matematyce. Na jej olbrzymią rolę w różnych dziedzinach matematycznychpierwszy zwrócił uwagę Frege. Relacja równoważności daje podstawę dotworzenia pojęć abstrakcyjnych3.

Relacja dwuczłonowa R jest relacją równoważności, EQ, w zbiorze X[=C(R)] wtedy i tylko wtedy, gdy jest to relacja taka, że:

1. ∀x ∈ X : (xRx) zwrotna,2. ∀x, y ∈ X : [xRy ⇒ yRx] symetryczna,3. ∀x, y, z ∈ X : [(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz] przechodnia;

czyli

Definicja 4.16 (relacji równoważności, EQ).

EQ. EQ = REF ∩ SYM ∩ TRANS.

Fakt, że przedmioty x i y pozostają w relacji równoważności będziemyzapisywali: x≈y. Inaczej mówiąc, symbolu „≈” używać będziemy na ozna-czenie jakiejkolwiek relacji równoważności.

Zauważmy, że Id jest relacją równoważności. Id ∈ REF ∩ SYM ∩TRANS, czyli Id ∈ EQ.

Równość jest najmniejszą relacją równoważności, czyli jeżeli R ∈ EQ, toId ⊆ R. Zauważmy, że Id = (x, x) : x ∈ X. Zatem Id jest najmniejsząrelacją zwrotną. Ponieważ Id jest relacją równoważności, więc jest równieżnajmniejszą taką relacją.

Nie każda relacja równoważności jest relacją identyczności.

Przykład 4.14. Relacją równoważności jest relacja w zbiorze liczb naturalnychtaka, że liczby x i y pozostają w tej relacji wtedy i tylko wtedy, kiedy różnicax− y jest liczbą całkowitą. ©Przykład 4.15. Relacja równoległości prostych na płaszczyźnie euklidesowejjest relacją równoważności. ©

3Terminu „równoważność” użyliśmy już zajmując się logiką zdań. Teraz występuje onw znaczeniu różnym od poprzedniego. Nie są to jednak wszystkie znaczenia tego słowa,w jakich występuje ono w tekstach logicznych i matematycznych.


Niech ≈ będzie relacją równoważności w zbiorze X. Zbiór ‖x‖≈, któregowszystkimi i tylko elementami są te przedmioty ze zbioru X, które są w relacji≈ z x to klasa równoważności (abstrakcji, ekwiwalencji) relacji ≈ wyznaczonaprzez x lub o reprezentancie x; czyli

Definicja 4.17 (klasy abstrakcji, ‖x‖≈).

‖x‖≈ = y ∈ X : x≈y.

Przestrzeń ilorazowa X/ ≈ to zbiór wszystkich i tylko klas abstrakcjirelacji równoważności ≈, czyliDefinicja 4.18 (przestrzeni ilorazowej, X/≈).

X/≈ = ‖x‖≈ : x ∈ X.

Definicja 4.19 (zbioru reprezentantów równoważności). Zbiór reprezentan-tów relacji równoważności ≈ o polu C to każdy podzbiór C, który ma dokład-nie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji tej relacji równoważności.

Istnienie zbioru reprezentantów wynika z aksjomatu wyboru. W wieluwypadkach bez odwołania się do niego nie umiemy tego dowieść.

Przykład 4.16. Klasą abstrakcji relacji równoległości w zbiorze wszystkichprostych na płaszczyźnie euklidesowej wyznaczoną przez pewną prostą jestzbiór wszystkich i tylko prostych do niej równoległych. Fakt ten daje pod-stawę do utworzenia pojęcia równoległości. ©Przykład 4.17. Relacja posiadania tylu samo cyfr w nazwie w systemie dzie-siętnym jest relacją równoważności w zbiorze liczb naturalnych. Klasą abs-trakcji tej relacji wyznaczoną przez daną liczbę naturalną jest zbiór wszyst-kich i tylko tych liczb, których nazwy w systemie dziesiętnym mają tyle samocyfr. Dzięki temu mamy pojęcie liczby n-cyfrowej. Np. klasą abstrakcji wy-znaczoną przez liczbę 11 jest zbiór 10, 11, 12, . . . , 99. Jest to klasa liczbdwucyfrowych. ©

Można zauważyć, że

Twierdzenie 4.3. Niech ≈ będzie relacją równoważności w niepustym zbio-rze X. Klasa ‖x‖≈ jest niepusta, czyli

∀x : ∃y : (y ∈ ‖x‖≈).

4.2. RELACJE 209

Dowód. Z definicji ‖x‖≈:1. y ∈ ‖x‖≈ ⇔ x≈y.

Z tego mamy:

2. x ∈ ‖x‖≈ ⇔ x ≈ x.

Z 2 dostajemy:

3. x ≈ x ⇒ x ∈ ‖x‖≈.Dołączając duży kwantyfikator mamy:

4. ∀x : [x ≈ x ⇒ x ∈ ‖x‖≈].

Z tego dostajemy:

5. [∀x : (x ≈ x)] ⇒ [∀x : (x ∈ ‖x‖≈)].

Z założenia relacja ≈ jest zwrotna, czyli

6. ∀x : (x ≈ x)

Z 5 i 6 mamy:

7. ∀x : [x ∈ ‖x‖≈].

Z tego dostajemy:

8. ∃x : [x ∈ ‖x‖≈].

Twierdzenie 4.4. Dwie klasy abstrakcji relacji równoważności ≈ są bądźrówne, bądź rozłączne; czyli

∀x, y : (‖x‖≈ = ‖y‖≈ ∨ ‖x‖≈ ∩ ‖y‖≈ = ∅).

Dowód. Dowód przeprowadzimy metodą niewprost, czyli jako założenie przyj-miemy zaprzeczenie dowodzonej tezy.

1. ¬ ∀x, y : (‖x‖≈ = ‖y‖≈ ∨ ‖x‖≈ ∩ ‖y‖≈ = ∅).Na podstawie prawa De Morgana mamy:

2. ∃x, y : ¬(‖x‖≈ = ‖y‖≈ ∨ ‖x‖≈ ∩ ‖y‖≈ = ∅).Wykorzystując prawo De Morgana o zaprzeczaniu alternatywy dosta-jemy:


3. ∃x, y : (¬ ‖x‖≈ = ‖y‖≈ ∧ ¬ ‖x‖≈ ∩ ‖y‖≈ = ∅).Opuszczając dwukrotnie mały kwantyfikator mamy:

4. ¬ ‖a‖≈ = ‖b‖≈ ∧ ¬ ‖a‖≈ ∩ ‖b‖≈ = ∅.Opuszczając koniunkcję dostajemy:

5. ¬ ‖a‖≈ = ‖b‖≈,

oraz

6. ¬ ‖a‖≈ ∩ ‖b‖≈ = ∅.Z definicji równości zbiorów:

7. (¬ ‖a‖≈ = ‖b‖≈) ⇔ ∃x : [(x ∈ ‖a‖≈ ∧¬ x ∈ ‖b‖≈)∨ (¬ x ∈ ‖a‖≈ ∧ x ∈‖b‖≈)].

Z 5 i 7 mamy:

8. ∃x : [(x ∈ ‖a‖≈ ∧ ¬ x ∈ ‖b‖≈) ∨ (¬ x ∈ ‖a‖≈ ∧ x ∈ ‖b‖≈)].

Opuszczając mały kwantyfikator stwierdzamy, że dla pewnego c:

9. (c ∈ ‖a‖≈ ∧ ¬ c ∈ ‖b‖≈) ∨ (¬ c ∈ ‖a‖≈ ∧ c ∈ ‖b‖≈).

Z definicji zbioru pustego:

10. (¬ ‖a‖≈ ∩ ‖b‖≈ = ∅) ⇔ ∃x : (x ∈ ‖a‖≈ ∧ x ∈ ‖b‖≈).

Z 10 i 6 mamy:

11. ∃x : (x ∈ ‖a‖≈ ∧ x ∈ ‖b‖≈).

Opuszczając w 11 mały kwantyfikator otrzymujemy:

12. d ∈ ‖a‖≈ ∧ d ∈ ‖b‖≈.

Opuszczając w 12 koniunkcję mamy:

13. d ∈ ‖a‖≈,

oraz

14. d ∈ ‖b‖≈.

Na podstawie definicji klas równoważności z 13 oraz 14 dostajemy, od-powiednio:

4.2. RELACJE 211

15. d ≈ a,

oraz

16. d ≈ b.

Z symetryczności relacji ≈ i 15 mamy:

17. a ≈ d.

Z przechodniości relacji ≈ oraz 16 i 17:

18. a ≈ b.

Z przechodniości ≈:19. c ≈ a ∧ a ≈ b ⇒ c ≈ b.

Tautologią jest:

20. a ≈ b ⇒ [(c ≈ a ∧ a ≈ b ⇒ c ≈ b) ⇒ ¬ (c ≈ a ∧ ¬ c ≈ b)].

Z 18, 19 i 20 mamy:

21. ¬ (c ≈ a ∧ ¬ c ≈ b).

Z symetryczności ≈:22. a ≈ b ⇒ b ≈ a.

Z 18 i 22

23. b ≈ a

Z przechodniości ≈:24. c ≈ b ∧ b ≈ a ⇒ c ≈ a.

Tautologią jest:

25. b ≈ a ⇒ [(c ≈ b ∧ b ≈ a ⇒ c ≈ a) ⇒ ¬ (¬ c ≈ a ∧ c ≈ b)].

Z 23, 24 i 25 mamy:

26. ¬ (¬ c ≈ a ∧ c ≈ b).

Z 21 i 26 przez dołączanie koniunkcji:

27. ¬ (c ≈ a ∧ ¬ c ≈ b) ∧ ¬ (¬ c ≈ a ∧ c ≈ b).

Z 27 na podstawie praw De Morgana:


28. ¬ [(c ≈ a ∧ ¬ c ≈ b) ∨ (¬ c ≈ a ∧ c ≈ b)].

Z 9, korzystając z definicji klas równoważności mamy:

29. (c ≈ a ∧ ¬ c ≈ b) ∨ (¬ c ≈ a ∧ c ≈ b).

Wiersze 28 i 29 są sprzeczne.

Za pomocą relacji równoważności definiuje się pojęcia. Są to pojęcia abs-trakcyjne. Takim pojęciem jest pojęcie liczby. Na drodze abstrakcji tworzonesą też pojęcia w dziedzinach pozamatematycznych. Barwa to klasa abstrakcjirelacji równobarwności, np. czerwień to klasa równobarwności wyznaczonaprzez przedmiot czerwony. Chwila to klasa zdarzeń równoczesnych.

Twierdzenie 4.5. Niech ≈ będzie relacją równoważności w zbiorze X. Każdyelement X należy do jakiejś klasy abstrakcji relacji ≈, czyli

∀x ∈ X : ∃y ∈ X : (x ∈ ‖y‖≈).

Dowód. Pokażemy, że każdy element zbioru X należy do klasy wyznaczonejprzez ten element. Tym samym pokażemy, że dla każdego elementu zbioruX istnieje klasa abstrakcji, do której ten element należy.

Z definicji klasy abstrakcji relacji ≈1. ∀x, y : (y ≈ x ⇔ y ∈ ‖x‖).

Z tego:

2. ∀x : (x ≈ x ⇔ x ∈ ‖x‖).Z tego:

3. ∀x : (x ≈ x) ⇒ ∀x : (x ∈ ‖x‖).Relacja ≈ jest zwrotna więc z założenia:

4. ∀x : (x ≈ x).

Z 3 i 4 mamy:

5. ∀x : (x ∈ ‖x‖).Podziałem logicznym zbioru X (zbiór dzielony) jest klasa zbiorów P taka,

że każdy element P (człon podziału) jest niepusty (warunek niepustości),elementy te są parami rozłączne (warunek rozłączności) oraz każdy elementzbioru X jest elementem przynajmniej jednego elementu P (warunek zupeł-ności); czyli

4.2. RELACJE 213

Definicja 4.20 (podziału logicznego). Podział logiczny zbioru X to klasazbiorów P taka, że spełnione są łącznie następujące warunki:

1. A ∈ P ⇒ A 6= ∅, niepustość2. A,B ∈ P ⇒ [(A = B) ∨ (A ∩B = ∅)], rozłączność3. ∀x ∈ X : ∃A ∈ P : (x ∈ A). zupełność

Twierdzenie 4.6 (zasada abstrakcji). Zbiór klas abstrakcji relacji równo-ważności w zbiorze X jest podziałem logicznym zbioru X.

Twierdzenie to jest bezpośrednią konsekwencją powyższych twierdzeńi definicji podziału logicznego.

Przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru klasy abstrakcji wyzna-czonej przez ten element to przekształcenie kanoniczne. Z punktu widzeniateorii obiekty równoważne na gruncie tej teorii nie są w niej odróżnialne.Można więc zastąpić je klasami obiektów równoważnych. Przy przejściu odelementów zbioru do klas abstrakcji relacja równoważności zostaje zamie-niona na relację równości. Ten sposób postępowania jest metodą stosowanąw matematyce szczególnie wtedy, gdy wprowadza się nowe obiekty mate-matyczne. Jest to metoda identyfikacji elementów równoważnych. Podamyprzykłady takiego postępowania.

Przykład 4.18. Niech R będzie relacją w zbiorze par liczb naturalnych, czyliR ⊆ [(N× N)× (N× N)] taką, że

(m1, n1)R(m2, n2) ⇔ [(m1 + n2) = (m2 + n1)].

R jest relacją równoważności.

R jest zwrotna.

Prawem arytmetyki liczb naturalnych jest

1. (m1 + n1) = (m1 + n1).

Zgodnie z definicją relacji R mamy więc:

2. (m1, n1)R(m1, n1),

co dowodzi zwrotności.

R jest symetryczna.


Niech:

1. (m1, n1)R(m2, n2).

Z tego mamy, że

2. (m1 + n2) = (m2 + n1).

Ponieważ = jest symetryczna, czyli zachodzi:

3. (m1 + n2) = (m2 + n1) ⇒ (m2 + n1) = (m1 + n2),

więc mamy:

4. (m2 + n1) = (m1 + n2).

To zaś oznacza, że zachodzi:

5. (m2, n2)R(m1, n1).

R jest przechodnia.

Niech

1. (m1, n1)R(m2, n2)

i

2. (m2, n2)R(m3, n3).

Mamy zatem, że

3. (m1 + n2) = (m2 + n1)

oraz

4. (m2 + n3) = (m3 + n2).

Z własności sumowania mamy, że

5. [(m1+n2) = (m2+n1)∧(m2+n3) = (m3+n2)] ⇒ (m1+n3) = (m3+n1).

Otrzymujemy więc:

6. (m1 + n3) = (m3 + n1),

czyli

4.2. RELACJE 215

7. (m1, n1)R(m3, n3),

co dowodzi przechodniości R.

Opisana relacja dzieli zbiór par liczb naturalnych na klasy abstrakcji. Teklasy abstrakcji nazywa się liczbami całkowitymi. Inaczej mówiąc, liczba cał-kowita to klasa abstrakcji powyżej opisanej relacji równoważności w zbiorzepar liczb naturalnych.

Elementami ‖(1, 1)‖, klasy abstrakcji wyznaczonej przez parę (1, 1), sąwszystkie pary (n,m) takie, że n = m, czyli

(m,n) ∈ ‖(1, 1)‖ ⇔ m = n.

Ta klasa abstrakcji wyznacza liczbę całkowitą 0.Klasy ‖(m,n)‖ takie, że m > n i m = n + k, k = 1, 2, . . . wyznaczają

liczby całkowite dodatnie, odpowiednio, 1, 2, . . .. Gdy m < n i n = m + k,k = 1, 2, . . ., to klasy te wyznaczają liczby ujemne, odpowiednio: −1,−2, . . ..

W zbiorze liczb całkowitych, czyli w zbiorze klas abstrakcji relacji R [⊆((N× N)× (N× N))] definiuje się różne działania. Dodawanie (+) definiujesię następująco:

‖(m1, n1)‖+ ‖(m2, n2)‖ = ‖(m1 + m2, n1 + n2)‖.Zauważmy, że gdyby znak „+” po obu stronach równości (=) był użyty

w tym samym znaczeniu, to mielibyśmy do czynienia z błędnym kołem bezpo-średnim w definiowaniu. Tak nie jest. Znaczenie „+” użytego po lewej stronierówności różni się od znaczenia tego znaku użytego po stronie prawej. Polewej stronie jest to znak definiowanej operacji dodawania liczb całkowitych.Po prawej stronie równości jest to znak dodawania liczb naturalnych, tak jakta operacja określona jest w aksjomatyce Peano. Fakt użycia tego samegosymbolu w różnych znaczeniach nie przeszkadza w rozumieniu definicji dla-tego, że kontekst jego użycia jednoznacznie wskazuje znaczenie. Podobnauwaga odnosi się do definicji mnożenia.

Mnożenie liczb całkowitych definiowane jest przez następującą równość:

‖(m1, n1)‖·‖(m2, n2)‖ = ‖(m1·m2 + n1·n2, m1·n2 + n1·m2)‖.Dla wykazania poprawności definicji liter funkcyjnych „+” oraz „·” jako

symboli, odpowiednio, dodawania i mnożenia liczb całkowitych, trzeba do-wieść, że wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji:


bez względu na wybór reprezentantów każdy wynik wykonania operacji bę-dzie reprezentantem tej samej klasy abstrakcji.

Fakt ten pokażemy tylko dla „ ·”.Niech (m1, n1) i (m′

1, n′1) będą reprezentantami tej samej klasy i niech

(m2, n2) i (m′2, n

′2) będą reprezentantami tej samej klasy. Musimy pokazać, że

(m1·m2+n1·n2,m1·n2+m2·n1) i (m′1·m′

2+n′1·n′2,m′1·n′2+m′

2·n′1) reprezentujątę samą klasę.

Na podstawie założenia, zgodnie z definicją mamy, że

m1 + n′1 = m′1 + n1,

im2 + n′2 = m′

2 + n2.

Z tego otrzymujemy, odpowiednio:

m1 − n1 = m′1 − n′1,

m2 − n2 = m′2 − n′2.

Mnożąc stronami powyższe dwie równości dostajemy:

m1 ·m2 −m1 · n2 −m2 · n1 + n1 · n2 = m′1 ·m′

2 −m′1 · n′2 −m′

2 · n′1 + n′1 · n′2.Po przekształceniu otrzymujemy:

m1 ·m2 + m′1 · n′2 + m′

2 · n′1 + n1 · n2 = m′1 ·m′

2 + m1 · n2 + m2 · n1 + n′1 · n′2.A to zgodnie z definicją znaczy, że (m1·m2+n1·n2,m1·n2+m2·n1) i (m′

1·m′2+

n′1·n′2, m′1·n′2 + m′

2·n′1) reprezentują tę samą klasę.Działania + i · w zbiorze liczb całkowitych mają te same własności jak

odpowiednie działania w zbiorze liczb naturalnych. ©Przykład 4.19. Tą samą metodą, jaką zdefiniowane zostały liczby całkowite,definiuje się liczby wymierne. Są to również klasy abstrakcji relacji równo-ważności.

Niech Z będzie zbiorem liczb całkowitych, a Z∗ niech będzie zbiorem liczbcałkowitych bez 0, czyli Z∗ = Z \ 0. Niech R będzie podzbiorem iloczynukartezjańskiego (Z× Z∗)× (Z× Z∗) takim, że

(c1, d1)R(c2, d2) ⇔ c1d2 = c2d1.

Relacja R, jak wyżej zdefiniowana, jest relacją równoważności. Pokażemytylko, że jest przechodnia.

4.2. RELACJE 217

R jest przechodnia.Niech

1. (c1, d1)R(c2, d2)

oraz

2. (c2, d2)R(c3, d3).

Z tego — odpowiednio — mamy, że

3. c1d2 = c2d1

oraz

4. c2d3 = c3d2.

Z praw mnożenia liczb całkowitych oraz z 3 i 4 mamy, odpowiednio:

5. c1d2d3 = c2d1d3

oraz

6. c2d3d1 = c3d2d1.

Z 5 i 6 otrzymujemy:

7. c1d2d3 = c3d2d1.

Ponieważ z założenia:

8. d2 6= 0,

więc z 7 na podstawie praw mnożenia liczb całkowitych mamy:

9. c1d3 = c3d1.

Zgodnie z definicją R mamy zatem:

10. (c1, d1)R(c3, d3),

czyli R jest przechodnia.

Opisana wyżej relacja dzieli zbiór par liczb całkowitych na klasy abs-trakcji. Te klasy nazywa się liczbami wymiernymi. Inaczej mówiąc, liczbawymierna to klasa abstrakcji relacji równoważności R w zbiorze Z×Z∗. Klasy‖c1, d1‖ i ‖c2, d2‖ wyznaczają tę samą klasę abstrakcji wtedy i tylko wtedy,gdy c1d2 = c2d1. Klasę abstrakcji wyznaczoną przez parę (c, d) oznacza sięc/d.


W zbiorze liczb wymiernych, czyli w zbiorze klas abstrakcji relacji R[⊆ ((Z× Z∗)× (Z× Z∗))] określa się różne działania.

Dodawanie (+) definiuje się następująco:

‖(c1, d1)‖+ ‖(c2, d2)‖ = ‖(c1d2 + c2d1, d1d2)‖.

Mnożenie liczb wymiernych definiowane jest przez następującą równość:

‖(c1, d1)‖·‖(c2, d2)‖ = ‖(c1c2, d1d2)‖.

Dowodzi się — dowody w istocie nie różnią się od odpowiednich dowodówdla liczb całkowitych — że wyniki dodawania i mnożenia liczb wymiernychnie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrakcji: dla reprezentantówtych samych klas abstrakcji wynik jest reprezentantem tej samej klasy.

Spełnione są więc warunki poprawności definicji liter funkcyjnych „+”i „·”. Działania te mają takie same własności jak odpowiednie działaniaw zbiorze liczb naturalnych (i całkowitych).

Liczby rzeczywiste, tak jak całkowite i wymierne, też konstruowane są nadrodze abstrakcji. ©

4.3 Rachunek relacji

Relacje są zbiorami. Można więc wykonywać na nich operacje teoriomno-gościowe. Relacje są zbiorami n-tek uporządkowanych. Możliwe jest więcrównież zdefiniowanie specyficznych operacji uwzględniających ten fakt4.

Relacja pusta w zbiorze X to relacja, która nie zachodzi między żadnymielementami tego zbioru.

Definicja 4.21 (relacji pustej w X).

∀x, y ∈ X : (¬ xRy).

R jest pusta w X wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩X ×X = ∅.

Relacja pełna w zbiorze X to relacja, która zachodzi między wszystkimielementami tego zbioru.

4Mówić będziemy o rachunku dla relacji dwuczłonowych.

4.3. RACHUNEK RELACJI 219

Definicja 4.22 (relacji pełnej w X).

∀x, y ∈ X : (xRy).

R jest pełna w X5 wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩X ×X = X ×X.

Relacje są zbiorami, zatem dla relacji określone są wszystkie operacje teo-riomnogościowe.

Sumą relacji R i R1 w zbiorze X jest relacja R2 taka, że x jest w relacjiR2 z y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y lub gdy jest w relacjiR1 z y, czyli R2 = R ∪R1.

Definicja 4.23 (sumy relacji).

∀x, y ∈ X : [x(R ∪R1)y ⇔ (xRy ∨ xR1y)].

Iloczynem relacji R i R1 w zbiorze X jest relacja R2 taka, że x jest w relacjiR2 z y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y i gdy jest w relacji R1

z y, czyli R2 = R ∩R1.

Definicja 4.24 (iloczynu relacji).

∀x, y ∈ X : [x(R ∩R1)y ⇔ (xRy ∧ xR1y)].

Negacją relacji R w zbiorze X jest relacja R′ taka, że x jest w relacji R′

z y wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest w relacji R z y, czyli negacją relacjijest jej dopełnienie do relacji pełnej: R′ = (X ×X) \R.

Definicja 4.25 (negacji relacji, ′).

∀x, y ∈ X : [xR′y ⇔ ¬ xRy].

Dla relacji określone są nie tylko operacje teoriomnogościowe. Taką spe-cyficzną operacją jest konwers relacji.

Konwersem relacji (relacją odwrotną do) R w zbiorze X jest relacja R−1

taka, że x jest w relacji R−1 z y wtedy i tylko wtedy, gdy y jest w relacji Rz x, czyli (x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R.

Z definicji konwersu wynika, że dowolna relacja ma konwers i jest ondokładnie jeden. Możemy więc wprowadzić literę funkcyjną „−1”.

5Nie wprowadzamy specjalnego oznaczenia na relację pełną.


Definicja 4.26 (konwersu relacji, −1).

∀x, y ∈ X : [xR−1y ⇔ yRx].

Przykład 4.20. Konwersem relacji < jest > i na odwrót: konwersem > jest<. Inaczej mówiąc, relacją odwrotną do < jest >, a relacją odwrotną do >jest <. ©

Zauważmy, że(R−1)−1 = R.

Można pokazać, że relacja R(⊆ X ×X):

1. jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa swojemu konwer-sowi, czyli gdy R = R−1;

2. jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩R−1 ⊆ ∆X ,

3. jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∪R−1 = X ×X.

Iloczynem względnym relacji (złożeniem relacji) R i R1 w zbiorze X jestrelacja R R1 taka, że x jest w relacji R R1 z y wtedy i tylko wtedy, gdyistnieje z (∈ X) takie, że x jest w relacji R z z a z jest w relacji R1 z y, czyli(x, y) ∈ RR1 ⇔ ∃z : [(x, z) ∈ R∧ (z, y) ∈ R1]. Dla dowolnych dwóch relacjiistnieje ich iloczyn względny i jest dokładnie jeden.

Definicja 4.27 (złożenia relacji, ).∀x, y ∈ X : [x(R R1)y ⇔ ∃z ∈ X : (xRz ∧ z R1y)].

Zauważmy, że

T 92. R (R1 R2) = (R R1) R2

T 93. (R R1)−1 = R1

−1 R−1

T 94. R ∆X = ∆X R = R.

Mając zbiór Z(⊆ X), możemy być zainteresowani fragmentem relacji R(⊆X × X) ograniczonym do tych członów tej relacji, które są elementami Z.Ten fragment relacji R to relacja R|Z zredukowana do zbioru Z. RelacjaR|Z jest relacją R zredukowaną do zbioru Z wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀x, y ∈ Z : [(x, y) ∈ R|Z ⇔ (x, y) ∈ R].

4.3. RACHUNEK RELACJI 221

Definicja 4.28 (relacji zredukowanej, |).∀x, y ∈ X : [xR|Zy ⇔ (x, y ∈ Z) ∧ xRy].

Na ogół — gdy nie prowadzi to do nieporozumień — zamiast (X, R|Z)pisze się (Z, R), mając na uwadze, że chodzi o relację R zredukowaną do Z.

Relację ≤ w zbiorze liczb naturalnych można rozumieć jako relację ≤w zbiorze liczb rzeczywistych zredukowaną do zbioru liczb naturalnych.

Na pewnych relacjach daje się określić operację uzupełniania relacji tak,aby w wyniku otrzymać relację o określonej własności (aby należała ona dookreślonej klasy relacji).

Definicja 4.29 (domknięcia relacji do własności W ). Niech W będzie klasąrelacji. Domknięciem relacji R do własności W jest relacja RW wtedy i tylkowtedy, gdy

1. RW ∈ W ,

2. R ⊆ RW ,

3. R ⊆ R1 ∧R1 ∈ W ⇒ RW ⊆ W1.

Punkt pierwszy definicji mówi o tym, że relacja RW ma własność W ,drugi i trzeci zaś, że RW jest najmniejszym takim nadzbiorem R.

Oczywiście, aby można było dla określonej własności zdefiniować dom-knięcie do niej, spełnione muszą być warunki poprawnego definiowania. W tymwypadku oznacza to, że dla każdej relacji (z zakresu operacji domknięcia)musi istnieć i być jednoznacznie określony nadzbiór, który ma daną wła-sność.

Mając na uwadze, że przekątna jest jednoznacznie określona i fakt, że re-lacja jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swoją przekątną, możemywprowadzić operację uzupełniania relacji do relacji zwrotnej.

Definicja 4.30 (zwrotnego domknięcia). Zwrotnym domknięciem relacjiR(⊆ X ×X) jest relacja:

R ∪∆X .

Mając na uwadze, że konwers relacji jest jednoznacznie określony i fakt,że relacja jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa swojemukonwersowi oraz to, że

R ∪R−1 = (R ∪R−1)−1,

możemy wprowadzić operację uzupełnienia relacji do relacji symetrycznej.


Definicja 4.31 (symetrycznego domknięcia). Symetrycznym domknięciemrelacji R(⊆ X ×X) jest relacja:

R ∪R−1.

4.4 FunkcjaUżywa się terminów funkcja, przekształcenie, odwzorowanie. W szczególnychwypadkach mówi się też o operacji, operatorze, transformacji. Wszystkiete terminy czysto formalnie oznaczają jeden rodzaj obiektów. Różnice w ichstosowaniu wyznaczone są przez konteksty, w których terminy te pojawiająsię. Bywa, że są używane zamiennie. Tu podamy definicję, stosując jedenz tych terminów, a mianowicie „funkcja”.

4.4.1 Pojęcie funkcji

Definicja 4.32 (funkcji). Niech X1, X2, . . . , Xn, Xn+1 będą zbiorami, a R(⊆X1 × X2 × · · · × Xn × Xn+1) niech będzie (n + 1)-członową relacją. R jestn-argumentową funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy R jest jednoznaczna w ostat-niej dziedzinie, czyli ∀x1, x2, . . . , xn, xn+1, x

′n+1 :

jeżeli(x1, x2, . . . , xn, xn+1) ∈ X1 ×X2 × · · · ×Xn ×Xn+1

i(x1, x2, . . . , xn, x

′n+1) ∈ X1 ×X2 × · · · ×Xn ×Xn+1,

toxn+1 = x′n+1.

Definicja funkcji jednoargumentowej (n = 1) będzie więc następująca:Niech X i Y będą zbiorami. Dwuczłonowa relacja R (⊆ X × Y ) jest

funkcją (jednoargumentową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x (∈ X)istnieje co najwyżej jedno y (∈ Y ) takie, że xRy, czyli

1. ∀x ∈ X : ∀y1, y2 ∈ Y : [(xRy1 ∧ xRy2) ⇒ y1 = y2].

O funkcji spełniającej tylko warunek 1 mówi się, że jest to funkcjaczęściowa lub funkcja częściowo określona.

W wypadku, gdy dla każdego elementu dziedziny istnieje element prze-ciwdziedziny, z którym jest on w relacji R, czyli gdy:

4.4. FUNKCJA 223

2. ∀x ∈ X : ∃y ∈ Y : xRy,

to mówi się o funkcji całkowicie określonej lub funkcji całkowitej.

W tej terminologii każda funkcja (całkowita) jest funkcją częściową, lecznie na odwrót.

O funkcji należy mówić w kontekście jej dziedzin. Dla uwypuklenia tego,np. funkcję jednoargumentową z X do Y definiuje się jako uporządkowanątrójkę (f, X, Y ), gdzie f(⊆ X×Y ) jest relacją spełniającą w wypadku funkcjiczęściowej warunek:

1. ∀x ∈ X : ∀y1y2 ∈ Y : [(x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2],

a w wypadku funkcji całkowitej dodatkowo warunek:

2. ∀x ∈ X : ∃y ∈ Y : [(x, y) ∈ f ].

Każdy i-ty argument funkcji jest elementem Xi, i-tej dziedziny relacji R,(i ≤ n), a te elementy zbioru Xn+1, które pozostają w relacji R z elementamizbiorów X1, X2, . . . , Xn to wartości funkcji R. Zbiór wartości funkcji to jejprzeciwdziedzina.

Na oznaczanie relacji, będących funkcjami używa się liter: f , g, h; ewentu-alnie z indeksami. f(x1, x2, . . . , xn), g(x1, x2, . . . , xn), . . . oznaczają wartościodpowiednich funkcji dla argumentów: x1, x2, . . . , xn. Niech R będzie funk-cją. Zamiast (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ R pisze się więc np.: y = f(x1, x2, . . . , xn).

Zapis wartości funkcji f dla x1, x2, . . . , xn jako f(x1, x2, . . . , xn) to zapisw konwencji prefiksowej (przedrostkowej ). Przy algorytmicznym obliczaniuwartości stanowiących złożenie wielu funkcji stosuje się notację sufiksową(przyrostkową), czyli pisze się:

(x1, x2, . . . , xn)f.

W wypadku funkcji dwuargumentowych zwykle stosowana jest notacjainfiksowa (wrostkowa), czyli pisze się: x1fx2, jak np. 2 + 3.

Napis:f : X1 ×X2 × . . . , Xn → Xn+1

to sygnatura funkcji, „f ” — nazwa funkcji, zaś X1 × X2 × . . . , Xn → Xn+1

to typ funkcji f .Zwykle n-argumentowa funkcja jest określana przez podanie jej dziedzin

X1, X2, . . . , Xn i jakiegoś wzoru f(x1, x2, . . . , xn) przedstawiającego elementprzeciwdziedziny Xn+1 przyporządkowany elementom x1, x2, . . . , xn.


Przykład 4.21. Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych R taka, że pierwszemuelementowi x pary uporządkowanej jako drugi element przyporządkowanejest sinx jest funkcją: f(x) = sinx. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczbrzeczywistych R, a przeciwdziedziną jest zbiór y : − 1 ≤ y ≤ 1. Zbiór tenjest podzbiorem właściwym zbioru liczb rzeczywistych:

y : − 1 ≤ y ≤ 1 ⊆ R ©

Przykład 4.22. Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych R taka, że pierwszemuelementowi x pary uporządkowanej jako drugi element przyporządkowane jestx2 jest funkcją: f(x) = x2. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistychR, a przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R+. ©

Podobnie jak to było w wypadku relacji, na mocy zasady ekstensjonalno-ści wszelkie rodzaje jednoznacznego przyporządkowania utożsamiamy z funk-cjami jako tworami teoriomnogościowymi. Dla n ≥ 1, (n + 1)-argumentowąfunkcję f identyfikujemy ze zbiorem (n + 1)-elementowych zbiorów uporząd-kowanych. Funkcje, które nie różnią się tym zbiorem oraz dziedzinami sąrówne bez względu na to, jak zostały opisane. Czasem dla podkreślenia, żewłaśnie o ten zbiór nam chodzi, zwłaszcza gdy rozpatrujemy go jako pod-zbiór iloczynu kartezjańskiego, mówimy o nim, że jest to wykres funkcji f .

Definicja 4.33 (równości funkcji). Funkcje n-argumentowe:

f(⊆ X1 ×X2 × · · · ×Xn ×Xn+1)

ig(⊆ Y1 × Y2 × · · · × Yn × Yn+1)

są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich wykresy, czyli gdy f = goraz gdy Di(f) = Di(g), 1 ≤ i ≤ (n + 1).

Przykład 4.23. Funkcja f(⊆ R2) dana wzorem f(x) = x2−1 równa się funkcjig(⊆ R2) danej wzorem g(x) = (x + 1)(x − 1). Obie funkcje nie różnią sięswoimi wykresami. ©

Jeżeli funkcje są równe, to:

1. dla każdego i, równe są ich i-te dziedziny (i ≤ n)

oraz

4.4. FUNKCJA 225

2. równe są ich zbiory wartości.

Jeżeli jeden z tych warunków nie jest spełniony, to funkcje nie są równe.

Przykład 4.24. Funkcja f(⊆ R2) dana wzorem f(x) = x2

xnie jest równa

funkcji g(⊆ R2) danej wzorem g(x) = x. Funkcje te różnią się dziedziną(i zbiorem wartości). Mianowicie, inaczej niż w wypadku g liczba 0 nienależy ani do dziedziny, ani do wartości funkcji f . ©

Jeżeli dla funkcji f i g:

1. dla każdego i, równe są ich i-te dziedziny (i ≤ n)

oraz

2. równe są ich zbiory wartości,to funkcje te nie muszą być równe.

Przykład 4.25. Funkcje f(x) = x2 i f(x) = x4 nie są równe, jednak ichdziedziny i przeciwdziedziny są równe. Dziedziną jednej i drugiej funkcjijest zbiór liczb rzeczywistych R. Tak samo nie różnią się zbiorem wartości.W jednym i drugim wypadku jest to zbiór dodatnich liczb rzeczywistych R+.©

Każda funkcja jest relacją. Nie każda relacja jest funkcją. Niech R(⊆X1 × · · · ×Xn ×Xn+1). Niech Di, 1 ≤ i ≤ (n + 1) będzie i-tą dziedziną tejrelacji. Każda funkcja f(: D1 × · · · ×Dn → Dn+1), która jest całkowita tzn.określona dla dowolnych (x1, . . . , xn), gdzie xi ∈ Di, 1 ≤ i ≤ n, to funkcjazgodna z relacją R.

Przykład 4.26. Niech R(⊆ R×R) będzie relacją, której wykresem jest okrągna płaszczyźnie a jego środkiem niech będzie początek układu współrzędnych,czyli (0, 0). Półokrąg, którego punkty mają nieujemną rzędną to wykresfunkcji zgodnej z relacją R. Podobnie, funkcją zgodną z tą relacją będziefunkcja, której wykresem jest półokrąg, którego punkty mają niedodatniąrzędną. ©

Jak w wypadku relacji szczególną uwagę zwróciliśmy na relacje dwuczło-nowe, tak w wypadku funkcji specjalnie traktujemy funkcje jednoargumen-towe.

Funkcja f : X → Y przekształca zbiór X na zbiór Y (jest surjekcją) wtedyi tylko wtedy, gdy jej dziedziną jest zbiór X, a przeciwdziedziną jest zbiórY , czyli gdy f(X) = Y .


Y X to zbiór wszystkich i tylko funkcji f : X → Y .Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem X w Y . Niech A ⊆ X. Możemy

określić nową funkcję f |A : A → Y w następujący sposób:

∀x ∈ A : (f |A(x) = f(x)).

Funkcja f |A to funkcja f zredukowana do zbioru A, lub — inaczej — obcięciefunkcji f do zbioru A.

Dziedziną funkcji f |A jest zbiór A.

Przykład 4.27. Funkcja f(x) = x2 jest funkcją, której dziedziną jest R. Na-kładając warunek: −1 ≤ x ≤ 1 otrzymujemy funkcję zredukowaną do zbiorux : − 1 ≤ x ≤ 1. Jest to funkcja f |x : − 1 ≤ x ≤ 1. ©

Niech g : X → Y będzie funkcją. Niech X ⊆ Z. Funkcja:

f : Z → Y

taka, żef |X = g

to rozszerzenie (lub przedłużenie) funkcji g na zbiór Z.

Przykład 4.28. Niech g : Q → 0, 1, gdzie Q jest zbiorem wszystkich liczbwymiernych, będzie funkcją taką, że

g(x) = 1, dla x ∈ Q.

Funkcja ta jest określona tylko dla liczb wymiernych, a dla każdego ar-gumentu przyjmuje wartość 1.

Niech f będzie funkcją określoną jak następuje:

f(x) =

0 dla x ∈ R \Q,

1 dla x ∈ Q.

Funkcja f (tzw. funkcja Lejeune-Dirichleta) jest przedłużeniem funkcji g.©Funkcja, której wartościami są liczby rzeczywiste to funkcja rzeczywista.

Ciąg nieskończony lub ciąg to funkcja f(: N→ Y ), której dziedziną jestzbiór liczb naturalnych N a przeciwdziedziną pewien zbiór Y , czyli f(N) = Y .Wartość funkcji f dla argumentu n, f(n), to n-ty wyraz ciągu. Zwykle n-tywyraz ciągu oznaczany jest: an.

4.4. FUNKCJA 227

Ciąg skończony o k-wyrazach to funkcja f , której dziedziną jest zbiór1, . . . , k a przeciwdziedziną pewien zbiór Y , czyli

f : 1, . . . , k → Y.

Ciąg skończony zwykle oznaczany jest: (a1, a2, . . . , ak).

Twierdzenie 4.7. Niech X będzie zbiorem n-elementowym, a Y niech bę-dzie zbiorem m-elementowym. Zbiór Y X wszystkich funkcji odwzorowującychzbiór X w zbiór Y ma dokładnie mn elementów.

Dowód. Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na liczbę elementówzbioru X, czyli ze względu na n.

Niech X = x1, x2, . . . , xn, Y = y1, y2, . . . , ym.W wypadku gdy n = 1 mamy następujące funkcje: f1(x) = b1, f2(x) =

b2, . . . , fm(x) = bm. Istnieje więc dokładnie m funkcji ze zbioru 1-elementowegoX do zbioru m-elementowego Y . Ponieważ m = m1, więc dla n = 1 zachodzidowodzone twierdzenie.

Założenie indukcyjne. Niech n = k i niech z k-elementowego zbioru X dom-elementowego zbioru Y istnieje dokładnie mk funkcji.

W wypadku, gdy n = (k + 1) utwórzmy klasy funkcji ze zbioru X dozbioru Y . Do pierwszej klasy niech należą wszystkie i tylko te funkcje f , dlaktórych f(ak+1) = b1, do drugiej te i tylko te, dla których f(ak+1) = b2, do m-tej klasy zaliczamy wszystkie te i tylko te funkcje f , dla których f(ak+1) = bm.W każdej klasie jest tyle funkcji, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego dozbioru m-elementowego. Zgodnie z założeniem indukcyjnym takich funkcjijest dokładnie mk. Zatem funkcji ze zbioru (k + 1)-elementowego do zbiorum-elementowego jest m·mk. Ponieważ m·mk = mk+1, więc na podstawiezasady indukcji otrzymujemy dowodzoną tezę.

N -wyrazowy ciąg elementów zbioru X to funkcja ze zbioru 1, . . . , n dozbioru X. Zatem na podstawie powyższego twierdzenia mamy, że

Wniosek 4.8. Jeżeli X jest zbiorem m-elementowym, to istnieje dokładniemn ciągów n-wyrazowych, których wyrazy należą do zbioru X.

Funkcja różnowartościowa (jednojednoznaczna, wzajemnie jednoznaczna,injekcja) to funkcja f : X → Y , która dla różnych argumentów przyjmujeróżne wartości, czyli która spełnia warunek:

∀x1, x2 ∈ X : [x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)],


lub, równoważnie:

∀x1, x2 ∈ X : [f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2].

Relacja f(⊆ X ×Y ) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f f−1 = ∆X .

Przykład 4.29. Funkcja f(x) = x− 1 jest różnowartościowa. Funkcja f(x) =x2 nie jest różnowartościowa. ©

Funkcja f : X → Y , która jest injekcją oraz surjekcją to bijekcja zbiorówX i Y .

Relacja f(⊆ X × Y ) jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f f−1 = ∆X

oraz f−1 f = ∆Y .Przekształcenia różnowartościowe zbioru X na siebie, czyli bijekcja X na

siebie to permutacje zbioru X.Przykład 4.30. Permutacją jest funkcja identycznościowa

IX : X → X

na zbiorze X określona wzorem:

∀x ∈ X : (IX(x) = x). ©

4.4.2 Funkcja odwrotna

Definicja 4.34 (funkcji odwrotnej, −1). Funkcja g : Y → X jest funkcjąodwrotną do funkcji f : X → Y wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. Y = f(X) — zbiór argumentów funkcji g jest zbiorem wartości funkcjif , czyli f przekształca X na Y ;

2. X = g(Y ) — zbiór argumentów funkcji f jest zbiorem wartości funkcjig, czyli g przekształca Y na X;

3. ∀x ∈ X : [g(f(x)) = x] — wartością funkcji g dla argumentu, który jestwartością funkcji f dla argumentu x jest też x.

Funkcję odwrotną do funkcji f , jeżeli istnieje, oznaczać będziemy taksamo jak konwers relacji f , czyli f−1.

Funkcja odwrotna do f jest konwersem relacji f . Choć niekonieczniena odwrót — konwers nie każdej funkcji jest funkcją. Na przykład konwersfunkcji danej wzorem y = x2 nie jest funkcją.

Konwers każdej relacji jest dokładnie jeden. Zatem jeżeli dla danej funkcjiistnieje funkcja do niej odwrotna, to jest ona dokładnie jedna.

4.4. FUNKCJA 229

Zauważmy, że w definicji funkcji odwrotnej warunki 1 i 2 są symetryczne:zamieniając literę „f ” na „g” i na odwrót oraz zamieniając literę , , X” na „Y ”z 1 otrzymamy 2 a z 2 otrzymamy 1. W podobnym sensie zachodzi też tezasymetryczna do warunku 3 (tym razem zamieniamy jeszcze litery „x” i „y”).Mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.9. Jeżeli funkcja g : Y → X jest funkcją odwrotną do funkcjif : X → Y , to

∀y ∈ Y : [f(g(y)) = y].

Dowód. Niech y ∈ Y . Z tego, że g jest funkcją odwrotną do f na podstawiedefinicji mamy, że Y = f(X). Zatem y ∈ f(X), czyli istnieje x (∈ X)takie, że y = f(x). Ponieważ g(y) = g(y), więc mamy, że g(y) = g(f(x)).Ponieważ f(g(y)) = f(g(y)), więc f(g(y)) = f(g(f(x))). Na podstawie pkt.3 definicji funkcji odwrotnej g(f(x)) = x, więc f(g(y)) = f(x). Korzystającz wcześniejszego faktu, że y = f(x) otrzymujemy: f(g(y)) = y.

Interesujące są podstawowe związki między funkcją i funkcją do niej od-wrotną. Mówią o nich kolejne twierdzenia.

Twierdzenie 4.10. Niech g : Y → X będzie funkcją odwrotną do funkcjif : X → Y .

1. Funkcje f i g są różnowartościowe

oraz

2. ∀x ∈ X : ∀y ∈ Y : [(g(y) = x) ⇔ (f(x) = y)].

Dowód. Niech dla pewnych x1, x2 zachodzi f(x1) = f(x2). Z tego g(f(x1)) =g(f(x2)). Na podstawie pkt. 3 definicji funkcji odwrotnej g(f(x1)) = x1,a g(f(x2)) = x2. Korzystając z założenia mamy więc, że x1 = x2, czyli f jestróżnowartościowa.

Analogicznie dowodzimy różnowartościowości funkcji g tyle tylko, że tymrazem nie korzystamy z warunku 3, lecz z twierdzenia 4.9 ustalającego wła-sność funkcji g analogiczną do własności z pkt. 3 funkcji f . Niech więc dlapewnych y1 i y2 zachodzi g(y1) = g(y2). Wówczas f(g(y1)) = f(g(y2)). Napodstawie 4.9 mamy f(g(y1)) = y1 i f(g(y2)) = y2, więc y1 = y2, co dowodziróżnowartościowości funkcji g.

Pokazaliśmy, że zachodzi 1, czyli że funkcje f i g są różnowartościowe.Udowodnimy teraz 2, czyli że


1. g(y) = x ⇒ f(x) = y

i

2. f(x) = y ⇒ g(y) = x.

Dla dowodu 1 załóżmy, że g(y) = x. Zatem mamy f(x) = f(g(y)). Z tw. 4.9mamy, że f(g(y)) = y, więc f(x) = y.

Dla dowodu 2 załóżmy, że f(x) = y. Zatem mamy g(y) = g(f(x)). Napodstawie pkt. 3 definicji funkcji odwrotnej g(f(x)) = x, więc g(y) = x.

Twierdzenie to głosi, że warunkiem koniecznym istnienia funkcji odwrot-nej do danej funkcji jest jej różnowartościowość

Kolejne twierdzenie głosi, że różnowartościowość funkcji jest warunkiemwystarczającym istnienia funkcji do niej odwrotnej.

Twierdzenie 4.11. Dla każdej funkcji różnowartościowej f : X → Y prze-kształcającej X na Y istnieje funkcja do niej odwrotna.

Dowód. Niech f : X → Y będzie różnowartościową funkcją przekształcającązbiór X na zbiór Y .

Z tego, że f przekształca X na Y mamy, że dla każdego y (∈ Y ) istniejetakie x (∈ X), że y = f(x). Z różnowartościowości f otrzymujemy, że dladanego y takie x, że y = f(x) jest dokładnie jedno. Zatem f−1, relacjaodwrotna do f , jest funkcją.

Z założenia mamy, że f(X) = Y . Zatem dla każdego x(∈ X) istnieje y(∈ Y ) takie, że y = f(x). Na podstawie definicji funkcji f−1 mamy więc, żex = f−1(y), a zatem f−1(Y ) = X, czyli funkcja f−1 odwzorowuje zbiór Y naX.

Zauważmy, że jeżeli funkcja g jest odwrotna do funkcji f , to f jest od-wrotna do funkcji g.

Jeżeli f−1 jest funkcją odwrotną do f , to istnieje funkcja odwrotna dof−1 i jest nią f , czyli

(f−1)−1 = f.

Relacja bycia funkcją odwrotną jest więc symetryczna.

4.4. FUNKCJA 231

4.4.3 Superpozycja funkcji

Wartości jednej funkcji mogą być argumentami innej. Tego rodzaju składaniefunkcji to składanie sekwencyjne funkcji lub superpozycja funkcji.

Definicja 4.35 (superpozycji funkcji, ). Niech f : X → Y a g : Y → Z.Funkcja (fg) : X → Z taka, że (fg)(x) = g(f(x)) to superpozycja lubzłożenie (sekwencyjne) funkcji f i g.

Funkcje są relacjami. Złożenie funkcji jest więc złożeniem relacji. Zgodniez definicją złożenia relacji mamy, że jeżeli xfy i ygz, to xfgz, a to wyrażawzór g(f(x)).

Przykład 4.31. Niech f : R → R będzie funkcją określoną wzorem f(x) =(x− 1), a g : R→ R+ funkcją określoną wzorem g(x) = x2. Złożeniem f i gbędzie funkcja h : R→ R+ taka, że h(x) = (x− 1)2. ©Przykład 4.32. Niech f : R+ → R+ będzie określona wzorem f(x) =

√x,

a g : R → 2R niech będzie określona wzorem g(x) = y : − y ≤ x ≤ y.Złożeniem fg będzie funkcja h : R+ → 2R określona wzorem h(x) = y : −y ≤ √

x ≤ y. ©Zauważmy, że operacja składania funkcji jest łączna.

Twierdzenie 4.12. Dla dowolnych funkcji f : X → Y , g : Y → Z, h : Z →W :

f(gh) = (fg)h.

Dowód. Z definicji zachodzą kolejne równości:

1. (f(gh))(x) = (gh)(f(x)),

2. (gh)(f(x)) = h(g(f(x))),

3. h(g(f(x))) = h((f g)(x)),

4. h((fg)(x)) = ((fg)h)(x).

Mając na uwadze przechodniość relacji równości mamy zatem:

5. (f(gh))(x) = ((fg)h)(x).

A to kończy dowód.


Na podstawie definicji funkcji odwrotnej i superpozycji funkcji stwier-dzamy, że

Twierdzenie 4.13. Niech f : X → Y będzie funkcją różnowartościową prze-kształcającą zbiór X na Y .

ff−1 = IX ,

f−1f = IY ,

gdzie IX jest funkcją identycznościową na zbiorze X, a IY jest funkcjąidentycznościową na zbiorze Y .

Dowód. f jest funkcją różnowartościową. Istnieje zatem funkcja do niej od-wrotna f−1.

Zgodnie z definicją złożenia funkcji mamy, że

1. (ff−1)(x) = f−1(f(x)),

Na podstawie definicji funkcji odwrotnej:

2. f−1(f(x)) = x,

czyli

3. ∀x ∈ X : (ff−1)(x) = x.

Ponieważ:

4. IX(x) = x,

więc:

5. ff−1 = IX .

Całkiem podobnie pokazujemy, że f−1f = IY .

Twierdzenie 4.14. Niech f : X → Y , g : Y → Z.

1. jeżeli f przekształca X na Y , a g przekształca Y na Z, to fg prze-kształca X na Z,

2. jeżeli f i g są różnowartościowe, to fg jest funkcją różnowartościową,

3. jeżeli f i g są różnowartościowe i przekształcają zbiory X i Y , odpo-wiednio, na Y i Z, to istnieją funkcje (fg)−1 oraz g−1f−1 i zachodzidla nich równość: (fg)−1 = g−1f−1.

4.4. FUNKCJA 233

Dowód. 1. Niech f przekształca X na Y , a g — Y na Z. Niech z (∈ Z).Istnieje zatem y (∈ Y ) takie, że g(y) = z. Istnieje również takie x(∈ X), że f(x) = y. Stąd z = g(f(x)) = (fg)(x). Stwierdzamy więc,że fg przekształca X na Z.

2. Niech f i g będą funkcjami różnowartościowymi. Z tego wynika, żejeżeli x1 6= x2, to f(x1) 6= f(x2) i dalej, że g(f(x1)) 6= g(f(x2)), czyli(fg)(x1) 6= (fg)(x2). To dowodzi, że fg jest funkcją różnowarto-ściową.

3. Wpierw (3.1.) pokażemy, że istnieją funkcje f−1g−1 i (fg)−1, a na-stępnie (3.2.), że są równe.

3.1. Niech f i g będą funkcjami różnowartościowymi i niech f przekształcaX na Y a g — Y na Z. Dla każdej z tych funkcji istnieje funkcja do nichodwrotna, odpowiednio: f−1 — przekształca Y na X a g−1 — przekształcaZ na Y . Ponieważ f i g są różnowartościowe, więc różnowartościowe są teżfunkcje f−1 i g−1. Złożeniem funkcji g−1 i f−1 jest funkcja g−1f−1. Zgodniez warunkiem 1 funkcja ta przekształca Z na X, a zgodnie z warunkiem 2 jestona różnowartościowa. Złożenie (fg) funkcji f i g jest funkcją różnowarto-ściową, przekształcającą X na Z. Istnieje zatem funkcja (fg)−1 odwrotnado funkcji (fg), przekształcająca Z na X.

3.2. Pozostaje pokazać, że funkcje (fg)−1 i g−1f−1 są równe. W tymcelu pokażemy, że

jeżeli (fg)−1(z) = x, to (g−1f−1)(z) = x.

A następnie pokażemy, że

jeżeli (g−1f−1)(z) = x, to (fg)−1(z) = x.

Niech (fg)−1(z) = x. Zatem (fg)(x) = z, a więc g(f(x)) = z. Gdyf(x) = y, to g(y) = z. Z tego f−1(y) = x a g−1(z) = y. Na tej podstawie(g−1f−1)(z) = f−1(g−1(z)) = f−1(y) = x.

Jeśli (g−1f−1)(z) = x, to f−1(g−1(z)) = x. Niech g−1(z) = y, wówczasf−1(y) = x. Z tego f(x) = y a g(y) = z. Stąd (fg)(x) = g(f(x)) = g(y) =z. Ostatecznie otrzymujemy, że (fg)−1(z) = x, co kończy dowód.

4.4.4 Obrazy i przeciwobrazy

Niech f : X → Y będzie funkcją. Niech A będzie podzbiorem X, (A ⊆ X).Obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f jest zbiór f(A) wszystkich


i tylko wartości funkcji f dla argumentów należących do A, czyli

Definicja 4.36 (obrazu zbioru).

f(A) = y : y = f(x) ∧ x ∈ A,

gdzie f : X → Y, A ⊆ X.

Przykład 4.33. Niech f : R → R będzie funkcją taką, że f(x) = x2. NiechA = 1, 2. f(A) = 1, 4. Niech A = R−, gdzie R− jest zbiorem liczb rze-czywistych ujemnych. f(A) = R+, gdzie R+ jest zbiorem liczb rzeczywistychdodatnich. ©

Drugim, obok pojęcia obrazu, jest pojęcie przeciwobrazu.Niech f : X → Y będzie funkcją. Niech A będzie podzbiorem Y , (A ⊆ Y ).

Przeciwobrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f jest zbiór tych i tylkotych elementów zbioru X, których wartościami są elementy zbioru A, czyli

Definicja 4.37 (przeciwobrazu zbioru).

f−1(A) = x : (y, x) ∈ f−1 ∧ y ∈ A,

gdzie f : X → Y, A ⊆ Y .

Przykład 4.34. Niech f : R → R będzie funkcją Lejeune–Dirichleta, czylifunkcją określoną następującym wzorem (R – zbiór liczb rzeczywistych, Q—zbiór liczb wymiernych):

f(x) =

0 dla x ∈ R \Q,

1 dla x ∈ Q.

Przeciwobrazem zbioru 0 jest zbiór liczb niewymiernych, czyli R\Q. Prze-ciwobrazem zbioru 1 jest zbiór liczb wymiernych Q. ©

Związek między obrazem a przeciwobrazem funkcji określa następującetwierdzenie.

Twierdzenie 4.15. Niech f : X → Y będzie funkcją przekształcającą X w Y .Dla każdego podzbioru A zbioru f(X) (A ⊆ f(X)) zachodzi następująca rów-ność:

f(f−1(A)) = A.

4.4. FUNKCJA 235

Dowód. Pokażemy, że zachodzą dwie inkluzje:

1. f(f−1(A)) ⊆ A,

oraz

2. A ⊆ f(f−1(A)).

Dla dowodu 1 niech

1.1. y ∈ f(f−1(A)).

Zatem:

1.2. ∃x : (x ∈ f−1(A) ∧ y = f(x).

Z tego:

1.3. y ∈ A.

Dla dowodu 2 niech

2.1. y ∈ A ∧ A ⊆ f(X).

Zatem

2.2. ∃x ∈ X : (y = f(x) ∧ y ∈ A).

Z tego

2.3. f(x) ∈ A.

A zatem:

2.4. x ∈ f−1(A).

Z definicji obrazu mamy więc, że

2.5. y ∈ f(f−1(A)),

czyli ostatecznie

2.6. A ⊆ f(f−1(A)).


4.5 Uogólniony iloczyn kartezjańskiNiech (At)t∈T , gdzie T jest zbiorem (indeksów), będzie rodziną podzbio-rów przestrzeni X. Iloczynem lub produktem kartezjańskim zbiorów rodziny(At)t∈T jest zbiór Pt∈T At wszystkich i tylko funkcji f : T → ⋃

t∈T At spełnia-jących warunek: ∀t ∈ T : (f(t) ∈ At), czyli

Definicja 4.38 (Pt∈T At, iloczynu kartezjańskiego zbiorów (At)t∈T ).

Pt∈T At = f : T →⋃t∈T

At ∧ ∀t ∈ T : (f(t) ∈ At).

W wypadku, gdy dla każdego t (∈ T ) At = A, iloczyn kartezjański Pt∈T At

jest zbiorem wszystkich funkcji f : T → A. Zamiast Pt∈T At piszemy wówczas:AT .

Jeżeli T jest zbiorem liczb naturalnych (T = N), to zamiast Pt∈T At pi-szemy: P∞

n=1An.Zauważmy, że zgodnie z definicją P∞

n=1An jest zbiorem wszystkich funkcji:

f : N→∞⋃

n=1

An,

takich, że ∀n ∈ N : [f(n) ∈ An], czyli jest to zbiór wszystkich ciągów (an)n∈Ntakich, że ∀n ∈ N : [an ∈ N].

Jeżeli T = N i dla każdego n (∈ N) : An = A, to zamiast Pt∈T At będziemypisali:

AN

lubAℵ0 .

Jeżeli T = 1, . . . , m, to zamiast Pt∈T At piszemy:

Pmn=1An

lubA1 × · · · × Am.

A1 × · · · × Am to zbiór wszystkich i tylko funkcji f : 1, . . . , m → ⋃mn=1 An

takich, że ∀n : [(1 ≤ n ≤ m) ⇒ f(n) ∈ An], czyli jest to zbiór wszystkichciągów m-elementowych (a1, . . . , am) takich, że an ∈ An.

4.6. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW 237

W wypadku, gdy dla każdego n : An = A, zamiast:

A1 × · · · × Am

piszemy:Am.

Am jest zbiorem wszystkich i tylko ciągów m-elementowych (a1, . . . , am) ta-kich, że dla każdego n, 1 ≤ n ≤ m, an ∈ A.

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A1 i A2 jako zbiór par uporządko-wanych elementów tych zbiorów nie jest tym samym, co uogólniony iloczynkartezjański zbiorów A1 i A2. Elementami uogólnionego iloczynu są bowiemciągi dwuelementowe, których pierwsze wyrazy są elementami A1 a drugieelementami A2. Ponieważ jednak istnieje wzajemnie jednoznaczne przypo-rządkowanie jednych drugim, od strony czysto formalnej nie ma potrzeby roz-różniania między nimi. Znajduje to również wyraz w zastosowanych oznacze-niach — zarówno parę uporządkowaną jak i ciąg dwuelementowy oznaczamy:(a1, a2).

Zamiast mówić o uogólnionym iloczynie kartezjańskim zbiorów (At)t∈T

będziemy też mówili po prostu o iloczynie kartezjańskim zbiorów (At)t∈T .

4.6 Uporządkowanie zbiorów

Zbiory, z którymi mamy do czynienia w praktyce naukowej rozważając jakąśdziedzinę to nie tylko proste nagromadzenie obiektów. Zwykle między tymiobiektami zachodzą różnego rodzaju stosunki, w szczególności obiekty tesą jakoś uporządkowane, np. między liczbami zachodzi stosunek większości.Tak jest zresztą nie tylko w dziedzinach matematycznych, np. w zbiorze ludziokreślony jest stosunek bycia potomkiem. Rola i znaczenie uporządkowaniastały się źródłem teorii porządków.

4.6.1 Zbiory uporządkowane

Definicja 4.39 (relacji porządkujących). Relacja R(⊆ X × X) jest relacjąporządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, przechodniai antysymetryczna, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy


1. ∀x ∈ X : (xRx), zwrotność (REF),

2. ∀x, y, z ∈ X : [(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz], przechodniość (TRANS),

3. ∀x, y ∈ X : [(xRy) ∧ (yRx) ⇒ (x = y)], antysymetryczność,(ANTYSYM)

czyliR ∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM6.

Zamiast xRy, gdy R jest relacją porządkującą, piszemy: x ≤ y i czytamy:x jest zawarte w y lub też: y zawiera x.

Relacje porządkujące to pewna klasa relacji. Relacja, która należy do tejklasy, czyli jest relacją porządkującą, może mieć jeszcze inne własności niżwskazane w definicji relacji porządkującej.

Definicja 4.40 (zbioru uporządkowanego). Gdy R(⊆ X × X) jest relacjąporządkującą, to mówimy, że R porządkuje zbiór X, a para uporządkowana(X, R) to zbiór uporządkowany.

Uporządkowanie nie jest własnością samego tylko zbioru; jeden i ten samzbiór może być uporządkowany przez różne relacje.Przykład 4.35. Niech R będzie niepustą rodziną podzbiorów zbioru X. Re-lacja inkluzji ⊆ porządkuje zbiór R. ©Przykład 4.36. Relacja porządku prefiksowego porządkuje zbiór słów. ©Przykład 4.37. Relacja porządku leksykograficznego ¹ (⊆ A∗ × A∗) nad(A,≤) porządkuje A∗ (zbiór wszystkich i tylko skończonych ciągów elemen-tów A, czyli słów nad A). ©

x < y, x poprzedza y (x, y ∈ X) w zbiorze uporządkowanym (X,≤) wtedyi tylko wtedy, gdy x ≤ y ∧ x 6= y, czyli

Definicja 4.41 (relacja poprzedzania, <).

∀x, y ∈ X : [(x < y) ⇔ (x ≤ y) ∧ ¬ (x = y)].

Jeżeli relacja ≤ porządkuje zbiór X, to relacja < jest przeciwzwrotnai przechodnia w X, czyli

6Przez niektórych autorów relacje spełniające podane warunki określane są jako relacjeczęściowo porządkujące.


T 95. ≤∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM⇒<∈ IRREF ∩ TRANS.

Jeżeli relacja R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsyme-tryczna, czyli

T 96. R ∈ IRREF ∩ TRANS⇒ R ∈ ASYM.

Jeżeli relacja < jest przeciwzwrotna i przechodnia w zbiorze X, to relacja≤ zdefiniowana następująco:

∀x, y ∈ X : [(x ≤ y) ⇔ (x < y) ∨ (x = y)].

porządkuje zbiór X, czyli jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. A za-tem:

T 97. <∈ IRREF ∩ TRANS⇒≤∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM.

Definicja 4.42 (elementu maksymalnego). x0 (∈ X) jest elementem maksy-malnym w zbiorze uporządkowanym (X,≤) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbio-rze X nie poprzedza on żadnego elementu, a więc gdy nie istnieje x (∈ X)takie, że x0 < x (x0 ≤ x ∧ x0 6= x) czyli, gdy

¬ ∃x ∈ X : (x0 < x),

lub¬ ∃x ∈ X : (x0 ≤ x ∧ x0 6= x).

Zauważmy, że pojęcie elementu maksymalnego jest pojęciem relacyjnym,tzn. jakiś przedmiot jest elementem maksymalnym ze względu na jakiś zbióruporządkowany.

Przykład 4.38. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X, zawierającązbiór X (X ∈ R). Relacja ⊆ porządkuje R. W zbiorze R istnieje elementmaksymalny. Dla dowolnego podzbioru A zbioru X w wypadku, gdy X ⊆ A,to A = X. ©Przykład 4.39. W zbiorze uporządkowanym (N, |), gdzie n|m rozumiemy:n jest dzielnikiem m, nie ma elementów maksymalnych. Dla dowolnego n(∈ N) : n|2n i n 6= 2n, czyli dla dowolnego n : n < 2n. ©


Przykład 4.40. Niech ≤ (⊆ N×N) będzie relacją w zbiorze liczb naturalnychzdefiniowaną jak następuje:

∀m,n ∈ N : (n ≤ m ⇔ m|n),

gdzie n|m rozumiemy: n jest dzielnikiem m, lub — co najedno wychodzi — m jest wielokrotnością n. Inaczej mówiąc, n ≤ m znaczytyle, co n jest wielokrotnością m.

Tak określona relacja≤ porządkuje zbiór liczb naturalnych, a każda liczbapierwsza jest elementem maksymalnym. W zbiorze (N,≤) istnieje więc nie-skończenie wiele elementów maksymalnych. ©

Definicja 4.43 (elementu największego). x0 jest największym elementemzbioru uporządkowanego (X,≤) wtedy i tylko wtedy, gdy x0 jest poprzedzaneprzez każdy różny od niego element zbioru X, czyli gdy:

∀x ∈ X : (x 6= x0 ⇒ x < x0),

lub∀x ∈ X : (x ≤ x0).

Twierdzenie 4.16. W zbiorze uporządkowanym (X,≤) istnieje co najwyżejjeden element największy. Element największy jest maksymalny.

Dowód. Pokażmy wpierw, że istnieje co najwyżej jeden element największy.Niech dla x∗0 i x0 zachodzą:

1. ∀x ∈ X : (x ≤ x∗0),

2. ∀x ∈ X : (x ≤ x0).

Z 1 mamy:

3. x0 ≤ x∗0.

A z 2:

4. x∗0 ≤ x0.

Z 3 i 4 oraz antysymetryczności ≤ mamy

5. x0 = x∗0.


Pozostaje wykazać, że element największy jest elementem maksymalnym.Niech x0 będzie elementem największym, czyli niech:

1. ∀x ∈ X : (x ≤ x0).

Z 1 na podstawie prawa De Morgana oraz rozumienia ≤:2. ¬ ∃x ∈ X : (x0 ≤ x ∧ x 6= x0).

Zgodnie z definicją x0 jest elementem maksymalnym.

Pojęciami dualnymi do pojęć elementu maksymalnego i największego sąpojęcia, odpowiednio, elementu minimalnego i najmniejszego.

Definicja 4.44 (elementu minimalnego). x0 (∈ X) jest elementem minimal-nym w zbiorze uporządkowanym (X,≤) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorzeX nie poprzedza go żaden element, a więc gdy nie istnieje x (∈ X) takie, żex < x0 (x ≤ x0 ∧ x0 6= x), czyli

¬ ∃x ∈ X : (x < x0),

lub¬ ∃x ∈ X : (x ≤ x0 ∧ x0 6= x).

Przykład 4.41. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X zawierającązbiór ∅ (∅ ∈ R). Relacja ⊆ porządkuje R. W zbiorze R istnieje elementminimalny. Dla dowolnego podzbioru Y zbioru X w wypadku, gdy Y ⊆ ∅,to Y = ∅. ©Przykład 4.42. W zbiorze uporządkowanym (N,≤), gdzie n ≤ m ⇔ n|m(n|m — n jest dzielnikiem m), istnieje element minimalny, mianowicie 1.Dla żadnego n (∈ N : n|1 i n 6= 1, czyli nie ma n takiego, że n < 1. ©Przykład 4.43. W zbiorze uporządkowanym (N\1,≤), gdzie n ≤ m ⇔ m|n(m|n — m jest dzielnikiem n), czyli n jest wielokrotnością m, istnieje nie-skończenie wiele elementów minimalnych: są nimi wszystkie liczby pierwsze.

Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla żadnego n (∈ N \ 1 : n|p i n 6= p,czyli p nie jest wielokrotnością żadnej liczby ze zbioru N \ 1. ©Definicja 4.45 (elementu najmniejszego). x0 jest najmniejszym elemen-tem zbioru uporządkowanego (X,≤) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzedza onokażdy różny od siebie element zbioru X, czyli gdy:

∀x ∈ X : (x 6= x0 ⇒ x0 < x),


lub∀x ∈ X : (x0 ≤ x).

Twierdzenie 4.17. W zbiorze uporządkowanym (X,≤) istnieje co najwyżejjeden element najmniejszy. Element najmniejszy jest minimalny.

Dowód powyższego twierdzenia przebiega podobnie jak dowód analogicz-nego twierdzenia o elemencie największym.

Przykład 4.44. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X zawierającązbiór pusty ∅. ∅ jest elementem najmniejszym w zbiorze uporządkowanym(R,⊆). ©Przykład 4.45. W zbiorze uporządkowanym (N, |), gdzie n|m - n jest dziel-nikiem m, elementem najmniejszym jest 1. Dla każdego n (∈ N : 1|n. ©

Definicja 4.46 (zbioru dualnego). Niech (X,R) będzie zbiorem uporządko-wanym. Zbiór (X, R−1) jest zbiorem dualnym do (X,R).

Dowodzi się, że zbiór dualny (X, R−1) do zbioru uporządkowanego (X, R)jest zbiorem uporządkowanym. Konwers relacji zwrotnej jest relacją zwrotną,konwers relacji antysymetrycznej jest relacją antysymetryczną. Podobnie jestw wypadku relacji przechodniej. Zatem konwers relacji porządkującej jest re-lacją porządkującą. Porządek R−1 to porządek dualny do R. Element maksy-malny (największy) w (X, R) jest minimalny (najmniejszy) w (X, R−1) : ¬ ∃x ∈X : (x0Rx ∧ x0 6= x) ⇔ ¬ ∃x ∈ X : (xR−1x0 ∧ x0 6= x); ∀x ∈ X : (xRx0) ⇔∀x ∈ X : (x0R

−1x). Podobnie, element minimalny (najmniejszy) w (X, R)staje się maksymalnym (największym) w (X, R−1).

Definicja 4.47 (elementów porównywalnych). Dwa elementy x, y (∈ X)zbioru uporządkowanego (X,≤) są porównywalne wtedy i tylko wtedy, gdy:

x ≤ y ∨ y ≤ x.

Definicja 4.48 (elementów nieporównywalnych). ) Dwa różne elementy x, y(∈ X) są nieporównywalne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są porównywalne.

Łańcuch to każdy taki podzbiór uporządkowanego zbioru, którego do-wolne dwa elementy są porównywalne.


Definicja 4.49 (łańcucha). Niech A (⊆ X) będzie podzbiorem zbioru upo-rządkowanego (X,≤). A jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀x, y ∈ A : [x 6= y ⇒ (x < y ∨ y < x),

lub, co jest równoważne:

∀x, y ∈ A : (x ≤ y ∨ y ≤ x).

Antyłańcuch to każdy taki podzbiór uporządkowanego zbioru X, któregodowolne dwa różne elementy nie są porównywalne.

Definicja 4.50 (antyłańcucha). Niech A (⊆ X) będzie podzbiorem zbioruuporządkowanego (X,≤). A jest antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀x, y ∈ A : [x 6= y ⇒ (¬ x < y ∧ ¬ y < x)],

Przykład 4.46. Zbiór 2, 4, 8, . . . , 2n, . . . jest łańcuchem w zbiorze uporząd-kowanym (N, |). ©Przykład 4.47. Zbiór 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , jest antyłańcuchem w zbiorzeuporządkowanym (N, |). ©Definicja 4.51 (ograniczenia górnego). Niech A (⊆ X) będzie podzbioremzbioru uporządkowanego (X,≤). Element x0 (∈ X) jest ograniczeniem gór-nym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x (∈ A) prawdą jest, żex ≤ x0, czyli

∀x ∈ A : (x ≤ x0),

a więc gdy każdy element zbioru A jest zawarty w x0.

Definicja 4.52 (ograniczenia dolnego). Niech A (⊆ X) będzie podzbioremzbioru uporządkowanego (X,≤). Element x0 (∈ X) jest ograniczeniem dol-nym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀x ∈ A : (x0 ≤ x),

czyli gdy x0 jest zawarty w każdym elemencie zbioru A.

Przykład 4.48. Niech (N,≤) będzie zbiorem liczb naturalnych uporządkowa-nych przez relację ≤ (arytmetycznej niewiększości). Ograniczeniem górnymzbioru 2, 4, 5 jest każda liczba x taka, że 5 ≤ x. ©


Przykład 4.49. Niech (N,≤) będzie zbiorem liczb naturalnych uporządkowa-nych przez relację ≤ (arytmetyczną relację niewiększości). Ograniczeniemdolnym zbioru 2, 4, 5 jest każda liczba x taka, że x ≤ 2. ©Twierdzenie 4.18 (lemat Kuratowskiego-Zorna7). Niech (X,≤) będzie zbio-rem uporządkowanym. Jeżeli w zbiorze X dla każdego łańcucha A(⊆ X)istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny.

Dowód lematu przeprowadza się z wykorzystaniem twierdzenia Zermeloo dobrym uporządkowaniu zbioru.

Definicja 4.53 (supA, tA). Niech (X,≤) będzie zbiorem uporządkowanym.Niech A (⊆ X) będzie podzbiorem zbioru X. Kresem górnym zbioru A, tAlub supA, jest — jeśli istnieje — element najmniejszy w zbiorze wszystkichograniczeń górnych zbioru A.

Definicja 4.54 (infA, uA). Niech (X,≤) będzie zbiorem uporządkowanym.Niech A (⊆ X) będzie podzbiorem zbioru X. Kresem dolnym zbioru A, uAlub infA, jest — jeśli istnieje — element największy w zbiorze wszystkichograniczeń dolnych zbioru A.

Przykład 4.50. Niech R będzie niepustą rodziną wszystkich podzbiorów nie-pustego zbioru X. Rozważmy zbiór uporządkowany (R,⊆). Niech (At)t∈T

będzie klasą elementów R indeksowaną elementami zbioru T .

sup(At)t∈T =⋃t∈T

At

inf(At)t∈T =⋂t∈T

At ©

4.6.2 Zbiory liniowo uporządkowane

Definicja 4.55 (relacji liniowo porządkujących). Relacja ≤ porządkującazbiór X jest relacją liniowo porządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdyjest spójna, czyli

∀x, y ∈ X : (x ≤ y ∨ y ≤ x).

7Twierdzenie to pierwszy udowodnił Kuratowski (1922, s. 89). Zorn (1935) pierwszywykazał doniosłą rolę tego twierdzenia w zastosowaniach. Dowód lematu Kuratowskiego-Zorna wymaga zastosowania pewnika wyboru (a na gruncie aksjomatów ZFC lematKuratowskiego-Zorna i pewnik wyboru są sobie równoważne).


Relacje liniowo porządkujące zbiór X są zwrotne, przechodnie, antysy-metryczne i spójne.

Gdy R(⊆ X×X) jest relacją liniowo porządkującą zbiór X, to mówimy, żeR liniowo porządkuje zbiór X, a para uporządkowana (X, R) to zbiór liniowouporządkowany lub łańcuch.

Terminy wprowadzone w rozważaniach nad zbiorami uporządkowanymistosują się do zbiorów liniowo uporządkowanych. W szczególności możemymówić o relacji poprzedzania jednego elementu przez drugi: x < y ⇔ x ≤∧x 6= y, czyli x poprzedza y wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y oraz x 6= y.Sytuacja odwrotna nie musi zachodzić: nie każdy porządek jest porządkiemliniowym. Stąd nie każdy termin wprowadzony w związku z rozważaniaminad teorią zbiorów liniowo uporządkowanych może być bezpośrednio prze-niesiony do teorii zbiorów, które nie są liniowo uporządkowane.

Przykład 4.51. Łańcuchem, czyli zbiorem liniowo uporządkowanym jest:

(R,≤),

gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych, a ≤ jest relacją niewiększości. ©Przykład 4.52. Niech (X,≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Po-rządek leksykograficzny nad (X,≤) jest porządkiem liniowym. ©Definicja 4.56 (gęstego porządku liniowego). Zbiór liniowo uporządkowany(X,≤) jest zbiorem liniowo uporządkowanym gęsto wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀x, y ∈ X : [(x ≤ y ∧ x 6= y) ⇒ ∃z ∈ X : (z 6= x ∧ z 6= y ∧ x ≤ z ∧ z ≤ y)].

Korzystając z symbolu < (∀x, y ∈ X : [(x < y) ⇔ (x ≤ y) ∧ (x 6=y)]), definicja liniowego porządku gęstego może być sformułowana krócej,a mianowicie:

∀x, y ∈ X : [x < y ⇒ ∃z ∈ X : (x < z ∧ z < y)].

Definicja 4.57 (przekroju zbioru). Niech (X,≤) będzie zbiorem liniowo upo-rządkowanym. Przekrój zbioru X to każda para (X1, X2) zbiorów X1(⊆ X)i X2(⊆ X), spełniających następujące warunki:

1. X1 ∪X2 = X,

2. X1 ∩X2 = ∅,


3. ∀x1 ∈ X1 : ∀x2 ∈ X2 : (x1 < x2).

Zbiór X1 to dolna klasa przekroju, a zbiór X2 to górna klasa przekroju.

Przekrój (X1, X2) jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy oba zbiory X1

i X2 są niepuste (X1 6= ∅, X2 6= ∅).Przykład 4.53. Każda para zbiorów (1, 2, . . . , n, n+1, n+2, . . . ) jest prze-krojem zbioru N liczb naturalnych. 1, 2, . . . , n to klasa dolna przekroju,a n + 1, n + 2, . . . to klasa górna przekroju. ©Definicja 4.58 (skoku). Przekrój (X1, X2) daje skok wtedy i tylko wtedy,gdy klasa dolna X1 ma element ostatni a klasa górna X2 ma element pierwszy.

Przykład 4.54. Każdy przekrój (1, 2, . . . , n, n + 1, n + 2, . . . ) zbioru Nliczb naturalnych daje skok. ©

Zbiór liniowo uporządkowany (X,≤) ma typ gęsty wtedy i tylko wtedy,gdy żaden przekrój nie daje skoku.

Definicja 4.59 (luki). Przekrój daje lukę wtedy i tylko wtedy, gdy w prze-kroju (X1, X2) klasa dolna X1 nie ma elementu ostatniego, a klasa górna X2

nie ma elementu pierwszego.

Przekrój nie daje luki wtedy i tylko wtedy, gdy klasa dolna ma elementostatni lub klasa górna ma element pierwszy.Przykład 4.55. Rozważmy zbiór Q liczb wymiernych. Niech X1 = x ∈Q : x <

√2, a X2 = x ∈ Q :

√2 < x. Para (x : x <

√2, x :

√2 < x)

jest przekrojem, bowiem (x : x <√

2 ∪ x :√

2 < x) = Q a (x : x <√2 ∩ x :

√2 < x) = ∅. Przekrój ten nie daje skoku — ani klasa dolna nie

ma elementu ostatniego, ani klasa górna nie ma elementu pierwszego.√

2 6∈Q, więc X1 nie ma elementu ostatniego, a X2 nie ma elementu pierwszego.Zatem przekrój (X1, X2) daje lukę. ©Definicja 4.60 (zbioru liniowo uporządkowanego w sposób ciągły). Zbiórliniowo uporządkowany (X,≤) jest liniowo uporządkowany w sposób ciągływtedy i tylko wtedy, gdy jest uporządkowany w sposób gęsty i żaden przekrójwłaściwy nie daje luki.

Przykład 4.56. Zbiór R wszystkich i tylko liczb rzeczywistych liniowo upo-rządkowany przez relację niewiększości ≤, (R,≤), jest zbiorem liniowo upo-rządkowanym w sposób ciągły8.

8Fakt ten jest równoważny zasadzie ciągłości Dedekinda, będącej jednym z aksjomatówteorii liczb rzeczywistych.


Zbiór (R,≤) ma typ porządkowy gęsty. Ponadto, jakikolwiek przekrójwłaściwy zbioru R wzięlibyśmy, to bądź przekrój dolny będzie miał elementostatni, bądź przekrój górny będzie miał element pierwszy. ©

4.6.3 Zbiory dobrze uporządkowane

Definicja 4.61 (dobrego ufundowania). Zbiór uporządkowany (X,≤) jestdobrze ufundowany (regularny) wtedy i tylko wtedy, gdy w X nie ist-nieje zstępujący ciąg elementów, tzn. nie istnieje różnowartościowa funkcjaf : N→ X taka, że dla każdego n(∈ N) zachodzi f(n + 1) ≤ f(n).

Relacja ≤ to relacja dobrze ufundowana.Zstępujący ciąg elementów zbioru X to nieskończony ciąg a0, a1, . . . taki,

że ∀i ∈ N : (ai+1 ≤ ai ∧ ai+1 6= ai).Zbiór uporządkowany (X,≤) jest dobrze ufundowany wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdego niepustego zbioru A(⊆ X) istnieje element minimalny.

Przykład 4.57. Niech F będzie rodziną zbiorów skończonych. (F ,⊆) jestporządkiem dobrze ufundowanym. ©Przykład 4.58. Zbiór (0, 1∗,¹), gdzie 0, 1∗ jest zbiorem wszystkich i tylkoskończonych ciągów 0 i 1, z porządkiem leksykograficznym indukowanymprzez porządek (0 ≤ 1) nie jest dobrze ufundowany. Ciąg:

· · · ¹ 0k+11 ¹ 0k1 ¹ · · · ¹ 1,

gdzie 0k jest k-wyrazowym ciągiem, którego wyrazami są tylko zera (0),tworzy nieskończony ciąg zstępujący. ©Definicja 4.62 (relacji dobrze porządkującej). Relacja ≤ (⊆ X×X) liniowoporządkująca zbiór X jest relacją dobrze porządkującą zbiór X wtedy i tylkowtedy, gdy jest dobrze ufundowana.

Para uporządkowana (X,≤) taka, że relacja ≤ dobrze porządkuje X tozbiór dobrze uporządkowany.

Rozdział 5

Moce zbiorów

5.1 Równoliczność zbiorówPojęcie równoliczności zbiorów, czyli równości mocy zbiorów, jest jednymz najważniejszych pojęć teorii mnogości.

Najprościej rzecz ujmując, równoliczne są te dwa zbiory, których elementydadzą się pogrupować parami po jednym z każdego z tych zbiorów i to tak, żeżaden element nie powtarza się i każdy należy do jakiejś pary, jak to ma miej-sce w wypadku zestawienia palców dłoni prawej z palcami dłoni lewej. Pojęcierównoliczności jest więc uogólnieniem na dowolne zbiory elementarnego poję-cia równej liczebności zbiorów skończonych. Jest to jedno z najważniejszychcharakterystycznych pojęć teorii mnogości.

Definicja 5.1 (równoliczności zbiorów, ∼). Zbiory X i Y są równoliczne,X ∼ Y , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f : X →Y przekształcająca zbiór X (zbiór argumentów) na Y (zbiór wartości). Funk-cja f to funkcja ustalająca równoliczność.

Przykład 5.1. Zbiór 1, 2, 3 jest równoliczny ze zbiorem 2, 4, 6. Funkcja fokreślona wzorem f(x) = 2x ustala równoliczność tych zbiorów. ©Przykład 5.2. Funkcja f(x) = 2x ustala równoliczność zbioru liczb natural-nych ze zbiorem parzystych liczb naturalnych. ©Definicja 5.2 (zbioru skończonego). Zbiór skończony to zbiór równolicznyze zbiorem 1, 2, . . . , n, dla pewnego n ∈ N.

Zgodnie z naszą definicją zbiór skończony to zbiór, którego liczba elemen-tów jest równa liczbie naturalnej. Liczba elementów zbioru równa jest liczbie

249

250 ROZDZIAŁ 5. MOCE ZBIORÓW

naturalnej n wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ten jest równoliczny ze zbiorem1, 2, 3, . . . , n, gdzie n jest pewną liczbą naturalną n ∈ N.

Definicja 5.3 (zbioru nieskończonego). Zbiór nieskończony to zbiór, którynie jest skończony.

Zauważmy, że zbiór mający skończoną liczbę elementów jest równolicznyze zbiorem skończonym mającym tę samą liczbę elementów. Pojęcie rów-noliczności jest uogólnieniem na wszystkie zbiory pojęcia równej liczebnościzbiorów skończonych. W wypadku zbioru nieskończonego istnieją takie jegopodzbiory właściwe, które są z nim równoliczne. Inaczej mówiąc, zbiorynieskończone są refleksywne.

Twierdzenie 5.1. Jeśli zbiór A jest nieskończony i A ⊆ B, to zbiór B jestteż nieskończony, czyli nadzbiór zbioru nieskończonego jest nieskończony.

Dowód. Niech A będzie zbiorem nieskończonym i niech A ⊆ B. Dowodzićbędziemy niewprost. Niech więc B będzie zbiorem skończonym n elemen-towym. Istnieje więc wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru B nazbiór 1, 2, . . . , n, f : B → 1, 2, . . . , n. Niech g będzie odwzorowaniemtakim, że

g(x) = f(x), dla x ∈ A.

Z faktu, że f jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym i że A ⊆ Bwynika, że g jest też wzajemnie jednoznaczne. A z tego, że A jest podzbioremB wynika, że g jest odwzorowaniem zbioru A w zbiór 1, 2, . . . , n, czyliw zbiór o liczbie elementów mniejszej lub równej n. Zgodnie z definicją zbioruskończonego zbiór A byłby więc skończony, a to przeczy założeniu.

Korzystając z prawa logiki zdań:

(α ∧ β ⇒ γ) ⇒ (¬ γ ∧ β ⇒ ¬ α),

z tw. 5.1 otrzymujemy następujący wniosek:

Wniosek 5.2. Jeżeli A jest zbiorem skończonym i B ⊆ A, to B jest teżzbiorem skończonym.

Twierdzenie 5.3. Jeśli zbiór A jest nieskończony, a zbiór B jest skończony,to zbiór A \B jest zbiorem nieskończonym.

5.1. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW 251

Dowód. Niech A będzie zbiorem nieskończonym, a B skończonym.Gdyby zbiór A \ B był zbiorem skończonym, to istniałoby wzajemnie

jednoznaczne odwzorowanie f zbioru A \ B na 1, 2, . . . , n, dla pewnegon(∈ N). Ponieważ z założenia B jest zbiorem skończonym, więc — podobnie— istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie g tego zbioru na zbiór1, 2, . . . , m, dla pewnego m(∈ N). Niech h będzie odwzorowaniem takim,że

h(x) =

f(x), jeśli x ∈ (A \B),

n + g(x), jeśli x ∈ B.

Odwzorowanie h jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru(A \B) ∪B, czyli zbioru (A ∪B) na zbiór 1, 2, . . . , n + m. Zbiór (A ∪B)jest więc zbiorem skończonym. Zbiór A jest podzbiorem tego zbioru. Zgodniez wnioskiem z poprzedniego twierdzenia zbiór ten jest zbiorem skończonym,a to przeczy założeniu, że A jest zbiorem nieskończonym.

Twierdzenie 5.4. Zbiór N liczb naturalnych jest nieskończony.

Dowód. Niech N będzie zbiorem skończonym. Niech dla pewnego n(∈ N)zbiór ten będzie równoliczny ze zbiorem A(= 1, 2, . . . , n).

Zbiór B(= 1, 2, . . . , n, (n + 1)) nie jest równoliczny ze zbiorem A.Niech f : N→ A będzie wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru

N na A. Ponieważ B ⊂ N, więc odwzorowanie f |B : B → A jest wzajem-nie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru B w podzbiór właściwy zbioruA. Jest to odwzorowanie w podzbiór właściwy A dlatego, że gdyby było toodwzorowanie na zbiór A, to zbiory B i A byłyby równoliczne, a to byłobysprzeczne z wyżej podanym faktem.

Zważywszy na to, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, funkcja f |Bodwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór B w jego podzbiór właściwy,a to nie jest możliwe w wypadku zbioru skończonego, jakim jest zbiór B.

Twierdzenie 5.5. Dla dowolnych zbiorów X, Y i Z mają miejsce następu-jące zależności:

1. X ∼ X, zwrotność,2. (X ∼ Y ) ⇒ (Y ∼ X), symetryczność,3. [(X ∼ Y ) ∧ (Y ∼ Z)] ⇒ (X ∼ Z), przechodniość.

Dowód. Funkcją ustalającą równoliczność zbioru z samym sobą jest prze-kształcenie identycznościowe f(x) = x. Relacja ∼ jest więc zwrotna.


Niech X ∼ Y . Istnieje zatem przekształcenie różnowartościowe f zbioruX na Y . Przekształcenie f−1 jest przekształceniem różnowartościowym prze-kształcającym Y na X. Dowodzi to symetryczności ∼.

Niech X ∼ Y i Y ∼ Z. Istnieje więc przekształcenie różnowartościowe fprzekształcające X na Y i istnieje przekształcenie różnowartościowe g prze-kształcające Y na Z. Złożenie tych przekształceń fg jest przekształceniemróżnowartościowym zbioru X na Z. Relacja ∼ jest więc przechodnia.

∼ jest relacją równoważności. Dzieli ona zbiory na klasy zbiorów równo-licznych. Każda klasa zbiorów równolicznych z danym zbiorem jest niepusta(wynika to z faktu zwrotności relacji równoliczności), oraz istnieje tylko jednataka klasa (wynika to z symetryczności i przechodniości). Własność wspólnawszystkim i tylko zbiorom równolicznym to liczba ich elementów. Zdefinio-wana stała indywiduowa będzie więc nazwą tej liczby.

Definicja 5.4 (liczby kardynalnej, mocy zbioru). Klasa abstrakcji relacjirównoliczności to liczba kardynalna lub moc zbioru1.

Klasę abstrakcji relacji równoliczności wyznaczoną przez zbiór X ozna-czamy X2.

Z definicji mamy, że zbiory X i Y są jednakowej mocy wtedy i tylkowtedy, gdy są równoliczne, czyli

(X = Y ) ⇔ (X ∼ Y ).

W wypadku n-elementowego zbioru za jego moc przyjmujemy liczbę n.Zbiór ma 0 elementów wtedy i tylko wtedy, gdy jest pusty, czyli

A = 0 ⇔ A = ∅.

Dla wypowiedzenia tego samego możemy używać jednego z określeń:zbiory są równoliczne; zbiory są tej samej mocy; zbiory mają tę samą liczbękardynalną.

1Z intuicyjnego punktu widzenia lepszy byłby termin liczność zbioru. Jak w tym wy-padku widać, decyzje terminologiczne matematyków niekoniecznie kierowane są najprost-szymi intuicjami.

2Cantor określał moc zbioru jako jego własność, która pozostaje po abstrahowaniu odjakości elementów zbioru i od ich porządku. Dwie kreski nad nazwą zbioru mają wyrażaćideę tej podwójnej abstrakcji.

5.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE 253

Liczby kardynalne wprowadza się do teorii mnogości przyjmując aksjomatistnienia liczb kardynalnych.

Pojęcie równoliczności i klasy abstrakcji tej relacji pozwoliło skonstru-ować ogólne pojęcie liczby, obejmujące zarówno zero jak i liczby kardynalnezbiorów nieskończonych.

5.2 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalneDefinicja 5.5 (zbioru przeliczalnego). Zbiory przeliczalne to te i tylko tezbiory, które są skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych N.

Mówiąc obrazowo, zbiory przeliczalne to takie zbiory, których elementymożna „ustawić” w skończony lub nieskończony ciąg a1, a2, . . .. Ciąg bowiemdefiniujemy jako funkcję, której argumentami są kolejne liczby naturalne.

Z definicji przeliczalności wynika, że wszystkie zbiory przeliczalne nie-skończone są jednakowej mocy, a mianowicie są tej samej mocy, co zbiórliczb naturalnych. Moc nieskończonych zbiorów przeliczalnych oznacza sięℵ0

3.

Twierdzenie 5.6. Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy,gdy istnieje funkcja f : N → A przekształcająca zbiór liczb naturalnych nazbiór A.

Dowód. Wpierw pokażemy, że jeżeli A jest zbiorem przeliczalnym, to istniejefunkcja f : N→ A.

Niech A będzie zbiorem skończonym a1, . . . , an. Funkcja f określonawzorem:

f(x) =

ax dla x ≤ n,

an dla x > n.

przekształca zbiór N na zbiór A.Gdy A jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym, czyli zbiorem równo-

licznym z N, to z definicji równoliczności istnieje funkcja przekształcająca Nna A.

Teraz pokażemy, że jeżeli istnieje funkcja f : N → A, przekształcającazbiór liczb naturalnych na zbiór A, to A jest przeliczalne. W tym celu wy-starczy pokazać — korzystając z funkcji f — że istnieje funkcja różnowarto-ściowa przekształcająca N na A.

3Znak ℵ (czyt.: alef ) jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego.


Jeżeli A jest skończone, to z definicji jest przeliczalne. Do rozważeniapozostaje więc wypadek, gdy A jest nieskończone.

Niech f : N → A będzie funkcją przekształcającą zbiór N na zbiór A.Mamy więc nieskończony ciąg elementów A:

(f(1), f(2), . . . , f(n), . . .).

f może być różnowartościowa. Wówczas f jest interesującą nas funkcją.Jednak f nie musi być różnowartościowa, może się bowiem zdarzyć, że

f różnym liczbom naturalnym przyporządkowuje ten sam element zbioruA. W takim wypadku, aby wykazać, że A jest przeliczalne, musimy określićfunkcję różnowartościową g : N→ A, korzystając z faktu, że f przekształca Nna A. Otóż, gdy dla jakieś liczby m(> i) okaże się, że f(m) = f(i), to naszanowa funkcja g liczbie m będzie przyporządkowywać f(n), gdzie n > m orazn to najmniejsza z liczb taka, że f(n) nie jest wartością funkcji g dla żadnejz liczb naturalnych mniejszych od m, czyli f(n) 6= g(i), dla 1 ≤ i < m.

Opisaną wyżej funkcję g : N→ A definiujemy następująco:

g(x) =

f(1) dla x = 1,

f(n) gdzie n jest najmniejszą liczbą taką, że dlakażdego i, 1 ≤ i < m, f(n) 6= g(i), dla x = m.

Funkcja g jest różnowartościowa i przekształca N na A, zatem A jest zbioremrównolicznym ze zbiorem liczb naturalnych, czyli A jest przeliczalne.

Twierdzenie 5.7. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym i niech B ⊆ A.Jeżeli B jest zbiorem skończonym, to jest zbiorem przeliczalnym.Niech B będzie zbiorem nieskończonym. Z założenia istnieje funkcja róż-

nowartościowa f : N→ A przekształcająca zbiór N na A. Funkcję g : N→ Bprzekształcającą N na B definiujemy następująco:

g(x) =

f(x) gdy f(x) ∈ B,

f(k) gdzie k jest najmniejszą liczbą taką, że f(k) ∈ B,

gdy f(x) 6∈ B.

Funkcja g przekształca N na B. Korzystając więc z twierdzenia poprzed-niego otrzymujemy, że B jest zbiorem przeliczalnym.


Twierdzenie 5.8. Suma skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbio-rem przeliczalnym.

Dowód. Niech A1, . . . , An będą zbiorami przeliczalnymi. Dowodzimy przezindukcję. Niech n = 2. Niech f : N → A1 będzie funkcją przekształca-jącą zbiór N na A1, a g : N → A2 niech przekształca N na A2. Funkcjęh : N → A1 ∪ A2 określimy tak, że dla liczb parzystych przyjmować będziekolejne wartości funkcji f , a dla liczb nieparzystych przyjmować będzie ko-lejne wartości funkcji g.

Niech h : N→ A1 ∪ A2 będzie następującym przekształceniem:

h(x) =

f(m) dla x = 2m− 1,

g(m) dla x = 2m.

h jest funkcją przekształcającą N na A1∪A2. Zgodnie z tw. 5.6 zbiór A1∪A2

jest przeliczalny.Założenie indukcyjne. Niech dla n = k suma A1 ∪ · · · ∪ Ak będzie zbioremprzeliczalnym.

Z założenia indukcyjnego istnieje funkcja f : N → A1 ∪ · · · ∪ Ak prze-kształcająca zbiór N na zbiór A1 ∪ · · · ∪ Ak. Zbiór Ak+1 jest przeliczalny,więc istnieje funkcja g : N → Ak+1 przekształcająca N na Ak+1. Funkcjęh : N → A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ Ak+1 przekształcającą N na A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ Ak+1

otrzymujemy w podobny sposób jak w wypadku n = 2.

Wniosek 5.9. Zbiór Z liczb całkowitych jest przeliczalny.

Dowód. Zbiór liczb naturalnych N i zbiór liczb całkowitych ujemnych Z− sązbiorami przeliczalnymi. Z tego, że Z = Z− ∪ 0 ∪ N na podstawieudowodnionego twierdzenia mamy, że zbiór Z jest przeliczalny.

Twierdzenie 5.10. Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczal-nych jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Niech A1, . . . , An będą zbiorami przeliczalnymi.Jeżeli choć jeden ze zbiorów Ai, 1 ≤ i ≤ n, jest pusty, to pusty jest

iloczyn kartezjański A1 × A2 × · · · × An. Zatem jest przeliczalny.Niech więc wszystkie zbiory Ai, 1 ≤ i ≤ n, będą niepuste. Dowodzić

będziemy przez indukcję. Niech n = 2. Niech f : N→ A1 i g : N→ A2 będąfunkcjami przekształcającymi N na, odpowiednio, A1 i A2. Zdefiniujemyfunkcję h : N→ A1 × A2 przekształcającą N na A1 × A2.


Wśród par uporządkowanych (f(m), g(n)); m,n ∈ N, są wszystkie i tylkoelementy iloczynu A1 × A2. Ustawmy je w następującą tablicę:

(f(1), g(1)), (f(1), g(2)), (f(1), g(3)), . . . (f(1), g(n)), . . .

(f(2), g(1)), (f(2), g(2)), (f(2), g(3)), . . . (f(2), g(n)), . . .

(f(3), g(1)), (f(3), g(2)), (f(3), g(3)), . . . (f(3), g(n)), . . .

......

......

(f(m), g(1)), (f(m), g(2)), (f(m), g(3)), . . . (f(m), g(n)), . . .

......

......

Przekształcenie h : N→ A1×A2 zbioru N na A1×A2 definiujemy stosującmetodę przekątniową. Pary uporządkowane (f(m), g(n)) takie, że m + n = ktworzą (k − 1)-szą przekątną powyższej tablicy. Kolejnym liczbom natural-nym przyporządkowujemy kolejno pary składające się na pierwszą, drugą,. . . , k-tą przekątną. Kolejność w ramach każdej przekątnej jest wyznaczonawzrastaniem parametru m w parze (f(m), g(n)). W ten sposób mamy:


h(1) = (f(1), g(1)) pierwsza przekątna

h(2) = (f(1), g(2)) druga przekątna

h(3) = (f(2), g(1))

h(4) = (f(1), g(3)) trzecia przekątna

h(5) = (f(2), g(2))

h(6) = (f(3), g(1))

h(7) = (f(1), g(4)) czwarta przekątna

......

...

Każda para (f(m), g(n)) jest obrazem jednej liczby naturalnej. Zatemfunkcja h : N → A1 × A2 przekształca zbiór N na zbiór A1 × A2

4. Zgodniez tw. 5.6 zbiór A1 × A2 jest przeliczalny.

Założenie indukcyjne. Niech dla n = k, A1 × A2 × · · · × Ak będzie zbioremprzeliczalnym.

Pokażemy, że zbiór A1×A2×· · ·×Ak×Ak+1 jest zbiorem przeliczalnym.Zauważmy, że zbiór A1×A2×· · ·×Ak×Ak+1 jest równoliczny ze zbiorem

(A1 × A2 × · · · × Ak) × Ak+1. Weźmy bowiem funkcję f : (A1 × A2 × · · · ×Ak)× Ak+1 → A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1 zdefiniowaną następująco:

f(((a1, . . . , ak), ak+1)) = (a1, . . . , ak, ak+1).

Funkcja f jest różnowartościowa i przekształca zbiór (A1×A2× · · · ×Ak)×Ak+1 na zbiór A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1. Zbiór A1 × A2 × · · · × Ak z za-łożenia indukcyjnego jest przeliczalny. Mamy więc iloczyn dwóch zbiorówprzeliczalnych. Wcześniej wykazaliśmy, że taki zbiór jest przeliczalny.

Wniosek 5.11. Zbiór liczb wymiernych Q jest przeliczany.

4Zauważmy, że para (f(m), g(n)) jest przyporządkowana liczbie: (m−1)2 +3(m−1)+2(n− 1)(m− 1) + (n− 1)2 + n + 1.


Twierdzenie 5.12. Niech (An)n∈N będzie przeliczalną rodziną przeliczalnychzbiorów, tj. przeliczalne są wszystkie zbiory An (n ∈ N). Zbiór

⋃n∈NAn jest

przeliczalny.

Dowód. Dla każdego zbioru An istnieje funkcja fn : N→ An przekształcającazbiór N na An. Dla każdego elementu zbioru

⋃n∈NAn istnieją więc n (∈ N)

i m (∈ N) takie, że element ten jest obrazem fn(m). Funkcję f : N × N →⋃n∈NAn przekształcającą zbiór N×N na

⋃n∈NAn definiujemy następująco:

f((n,m)) = fn(m). Zbiór N × N jest przeliczalny. Istnieje więc funkcjag : N→ N×N przekształcająca zbiór N na N×N. Funkcja gf : N→ ⋃

n∈NAn

przekształca zbiór N na⋃

n∈NAn. Zbiór⋃

n∈NAn jest zatem przeliczalny.

Twierdzenie 5.13. Niech X będzie zbiorem przeliczalnym. Zbiór wszystkichskończonych ciągów elementów zbioru X jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Niech An będzie zbiorem wszystkich ciągów n-wyrazowych. Zbioremwszystkich skończonych ciągów elementów X jest zbiór:

∞⋃n=1

An.

Z definicji zbiór An jest równy zbiorowi An. Skończone iloczyny kartezjańskiezbiorów przeliczalnych są przeliczane, więc An jest zbiorem przeliczalnym.Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, zatem zbiór:

∞⋃n=1

An

jest przeliczalny. Ostatecznie mamy, że zbiór wszystkich skończonych ciągówelementów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.

Można pytać się, czy dla danego zbioru istnieje algorytm lub inna efek-tywna procedura5 przeliczenia wszystkich i tylko jego elementów. Kwestiata ważna jest nie tylko z teoretycznego punktu widzenia. Informatyk prak-tycznie może mieć do czynienia tylko ze zbiorami, których elementy dadząsię efektywnie przeliczyć. Dwa pojęcia są tu istotne: rekurencyjności i reku-rencyjnej przeliczalności.

Zbiór A jest rekurencyjnie przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istniejeefektywna metoda przeliczenia wszystkich i tylko jego elementów.

5Zob. uwagi na temat tezy Churcha-Turinga.


Definicja 5.6 (zbioru rekurencyjnie przeliczalnego). Zbiór rekurencyjnieprzeliczalny to taki i tylko taki zbiór A, którego wszystkie i tylko elementymożna efektywnie ustawić w ciąg, czyli istnieje taka funkcja f , której wartośćmożna efektywnie obliczyć, że w ciągu:

f(1), f(2), . . .

znajdują się wszystkie i tylko elementy zbioru A.

Narzuca się pytanie, czy nie jest tak, że zbiory przeliczalne są rekuren-cyjnie przeliczalne. Niewątpliwie pytanie to ma swoją podstawę w fakcie,że zwykle, choćby w przykładach, rozważane zbiory przeliczalne są zbio-rami rekurencyjnie przeliczalnymi. Gdyby wszystkie zbiory przeliczalne byłyzbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi, to zgodnie z zasadą zwaną brzytwąOckhama należałoby zrezygnować z jednego z tych pojęć6. W dowodzie, żeistnieją zbiory, które nie są rekurencyjne zostanie wykorzystany zbiór, któryjest przeliczalny i który nie jest rekurencyjnie przeliczalny.Przykład 5.3. Zbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi są:

1. zbiór liczb naturalnych N,

2. zbiór liczb całkowitych,

3. każdy zbiór skończony, w tym zbiór pusty ∅. ©Definicja 5.7 (zbiór rekurencyjny). Zbiór A jest rekurencyjny (obliczalny)wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka efektywna procedura, która w wypadkudowolnego przedmiotu rozstrzyga, czy przedmiot ten jest, czy też nie jestelementem zbioru A.

Na podstawie definicji bezpośrednio stwierdzamy, że zbiory rekurencyjnesą zbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi. Okazuje się, że istnieją zbiory re-kurencyjnie przeliczalne, które nie są rekurencyjne. Dla dowodu tego intere-sującego faktu potrzebne są dodatkowe twierdzenia.

Twierdzenie 5.14. Zbiór, którego elementami są tylko liczby naturalne jestrekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy ten zbiór i jego dopełnienie do zbioruN są zbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi.

6Brzytwa Ockhama to zasada sformułowana w XIV w. przez W. Ockhama: Pluralitasnon est ponenda sine neccesitate, co tłumaczy się: nie należy mnożyć bytów bez potrzeby.Jeszcze prościej mówi się: zachowaj prostotę. Brzytwa Ockhama jest postulatem metodo-logii nauk.


Dowód. Niech S(⊆ N) będzie zbiorem rekurencyjnym, którego elementamisą tylko liczby naturalne. Istnieje zatem algorytm rozstrzygający, czy danaliczba naturalna należy, czy też nie należy do S. Algorytm ten pozwalaprzeliczyć zarówno elementy S jak i jego dopełnienia, czyli elementy −S.

Niech teraz S i −S będą zbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi. Niechn1, n2, . . . będzie rekurencyjnym przeliczeniem zbioru S a m1,m2, . . . niechbędzie rekurencyjnym przeliczeniem elementów zbioru −S. Dla dowolnejliczby naturalnej n(∈ N) istnieje skończony początkowy odcinek ciągu:

n1,m1, n2,m2, . . .

taki, że n jest ostatnim wyrazem tego ciągu. Zbiór S jest zatem rekurencyjny(podobnie, zbiór −S jest też rekurencyjny).

Twierdzenie 5.15. Istnieje rekurencyjnie przeliczalny zbiór S(⊆ N), którynie jest rekurencyjny.

Dowód.7Na podstawie twierdzenia 5.14 dla dowodu wystarczy pokazać, że istniejezbiór S(⊆ N), który jest rekurencyjnie przeliczalny, a którego dopełnienie−S nie jest zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym.

Korzystamy teraz z tego, że klasa zbiorów rekurencyjnie przeliczalnychjest rekurencyjnie przeliczalna8. Niech S1, S2, . . . będzie ciągiem wszystkichzbiorów rekurencyjnie przeliczalnych. Ponieważ są to zbiory rekurencyjnieprzeliczalne, to każdy z nich daje się przedstawić w postaci ciągu. Tworzymyzbiór par liczb naturalnych:

(m,n) : anm jest m-tym wyrazem ciągu Sn.

Zbiór ten jest rekurencyjnie przeliczalny. Na przykład możemy ustawić gow ciąg metodą przekątniową. Wówczas para (m,n) będzie 1/2(m2 + 2mn +n2+3n+m+2)-wyrazem tego ciągu. Tworzymy zbiór S, którego elementamisą te i tylko te przedmioty an

m, dla których zachodzi równość anm = n. Wyraz

anm będzie obliczany w kolejności jako 1/2(m2+2mn+n2+3n+m+2). Zbiór

S jest zatem rekurencyjnie przeliczalny. Dopełnienie zbioru S, czyli zbiór7Sposób dowodzenia, jakim tu się posłużymy ma szersze zastosowanie, np. wedle tego

sposobu dowodzi się też, że zbiór potęgowy zbioru A nie jest równoliczny ze zbiorem A.8W tej pracy tego twierdzenia nie dowodzimy. Z dowodem można zapoznać się w książ-

kach poświęconych teorii automatów i teorii rekurencji, np. R. Murawski (1990, 1999).


−S nie jest zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym. Gdyby było inaczej, to —ponieważ w ciągu S1, S2, . . . są wszystkie zbiory rekurencyjnie przeliczalne— dla pewnego n byłoby −S = Sn. Tak jednak być nie może, bo z definicjizbioru S : n ∈ Sn ⇔ n ∈ S, a z definicji dopełnienia n ∈ S ⇔ n 6∈ −S, więcn ∈ Sn ⇔ n 6∈ −S, czyli ostatecznie: −S 6= Sn.

Zauważmy, że zbiór −S, o którym mowa w dowodzie, jest przykłademzbioru przeliczalnego, który nie jest rekurencyjnie przeliczalny. Przeliczal-ność tego zbioru wynika z faktu, że jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych.

Definicja 5.8 (zbiór nieprzeliczalny). Zbiór nieprzeliczalny to zbiór, którynie jest przeliczalny.

Twierdzenie 5.16. Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału 〈0, 1〉 jest nieprze-liczalny.

Dowód. Pokażemy, że nie istnieje ciąg, którego wyrazami są wszystkie liczbyrzeczywiste z przedziału 〈0, 1〉. Niech (cn)n∈N będzie ciągiem takim, że 0 ≤cn ≤ 1. Przedział 〈0, 1〉 oznaczmy 〈a0, b0〉. Spośród przedziałów 〈0, 1

3〉, 〈1

3, 2

3〉,

〈23, 1〉 wybierzmy taki, do którego nie należy c1. Powiedzmy, że będzie to

przedział 〈a1, b1〉. Mamy, że b1− a1 = 13. Z przedziałem 〈a1, b1〉 postępujemy

podobnie jak postępowaliśmy z przedziałem 〈a0, b0〉, dzieląc go na trzy równeprzedziały i wybieramy spośród nich jeden taki, do którego nie należy c2.Niech będzie to przedział 〈a2, b2〉. Zauważmy, że b2 − a2 = 1

32 , a nadto〈a2, b2〉 ⊆ 〈a1, b1〉.

Ogólnie biorąc, mając przedział 〈an−1, bn−1〉, n ≥ 2 taki, że

cn−1 6∈ 〈an−1, bn−1〉,

bn−1 − an−1 =1

3n−1,

〈an−1, bn−1〉 ⊆ 〈an−2, bn−2〉wyznaczamy przedział 〈an, bn〉 spełniający warunki:

cn 6∈ 〈an, bn〉,

bn − an =1

3n

i〈an, bn〉 ⊆ 〈an−1, bn−1〉.


Określony zostaje ciąg przedziałów (〈an, bn〉)n∈N taki, że dla każdego n (∈ N)zachodzą nierówności:

0 ≤ an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn ≤ 1.

Ciągi (an)n∈N i (bn)n∈N są więc monotoniczne, bo an ≤ an+1 oraz bn+1 ≤ bn

i ograniczone, bo an ≤ 1 oraz bn ≤ 1, zatem są zbieżne, czyli ciągi te majągranice.

Ponieważ bn − an ≤ 13n , więc

limn→∞

(bn − an) = 0.

W konsekwencji powyższych ustaleń:

limn→∞

an = limn→∞

bn = c,

gdzie c jest liczbą rzeczywistą z przedziału 〈0, 1〉. c należy do każdego z prze-działów 〈an, bn〉. Jest więc różne od każdego cn. Dla dowolnego ciągu (cn)n∈N,0 < cn < 1, n ∈ N, istnieje więc liczba rzeczywista c, która nie jest jegowyrazem, zatem zbiór liczb rzeczywistych z przedziału 〈0, 1〉 jest nieprzeli-czalny.

Z tego, że podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym,przez kontrapozycję mamy, że

Twierdzenie 5.17. Jeżeli A jest zbiorem nieprzeliczalnym i A ⊆ B, torównież B jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Na podstawie tw. 5.17 z tw. 5.16 otrzymujemy następujące wnioski.

Wniosek 5.18. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych jest zbiorem nieprze-liczalnym.

Wniosek 5.19. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest zbiorem nieprze-liczalnym.

Dowód. Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbioru liczb wymiernych i liczbniewymiernych. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Gdyby więc zbiórliczb niewymiernych był przeliczalny, to zbiór liczb rzeczywistych jako sumadwóch zbiorów przeliczalnych byłby przeliczalny. A zatem zbiór liczb niewy-miernych jest nieprzeliczalny.

5.3. ARYTMETYKA LICZB KARDYNALNYCH 263

5.3 Arytmetyka liczb kardynalnychDla liczb kardynalnych można zdefiniować działania dodawania, mnożeniai potęgowania w taki sposób, że są one uogólnieniem odpowiednich zwykłychdziałań arytmetycznych. Definicje są zaś równoważne odpowiednim defini-cjom z arytmetyki. Chodzi więc o to, że gdy brane pod uwagę są liczbynaturalne, to wyniki działań na tych liczbach zgodnie z tymi definicjami sątakie same, jak wyniki uzyskane zgodnie z odpowiednimi zwykłymi działa-niami arytmetycznymi.

Twierdzenie 5.20. Dla dowolnych dwóch liczb kardynalnych n1 i n2 istniejązbiory A1 i A2 takie, że

A1 ∩ A2 = ∅,oraz

A1 = n1

iA2 = n2.

Dowód. Niech A = n1 a B = n2. Niech a1 6= a2 (np. a1 = ∅, a2 = ∅).Niech A1 = a1 × A a A2 = a2 × B. Zbiory A1 i A2 są rozłączne, czyliA1 ∩ A2 = ∅ oraz równoliczne, odpowiednio, z A i B.

Twierdzenie 5.21. Niech zbiory A1 i A2 oraz B1 i B2 będą parami rozłączne.Jeżeli

A1 = B1

aA2 = B2,

toA1 ∪ A2 = B1 ∪B2.

Dowód. Z założenia twierdzenia istnieje funkcja f1 : A1 → B1, która wza-jemnie jednoznacznie przekształca zbiór A1 na zbiór B1 oraz istnieje funk-cja f2 : A2 → B2, która wzajemnie jednoznacznie przekształca zbiór A2

na B2. Ponieważ A1 ∩ A2 = ∅ oraz B1 ∩ B2 = ∅, więc przekształcenieg : A1 ∪ A2 → B1 ∪B2 zdefiniowane następująco:

g(x) =

f1(x) dla x ∈ A1,

f2(x) dla x ∈ A2


jest funkcją, która przekształca wzajemnie jednoznacznie A1∪A2 na B1 ∪B2.

Definicja 5.9 (sumy liczb kardynalnych, +). Liczba kardynalna m jest sumąliczb kardynalnych n1 i n2, tj.:

m = n1 + n2

wtedy i tylko wtedy, gdy dla zbiorów A1 i A2 takich, że

A1 = n1 i A2 = n2 oraz A1 ∩ A2 = ∅,zachodzi

m = A1 ∪ A2,

czyli zbiór mocy m rozkłada się na sumę dwóch rozłącznych zbiorów, z któ-rych jeden ma moc n1 a drugi n2.

Twierdzenie 5.22. Dodawanie liczb kardynalnych jest przemienne i łączne,czyli dla dowolnych liczb kardynalnych n1, n2, n3:

T 98. n1 + n2 = n2 + n1

T 99. n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3.

Dowód. Niech A = n1+n2. Zatem dla pewnych A1 i A2 takich, że A1∩A2 = ∅mamy:

A1 = n1, A2 = n2.

Ponieważ suma teoriomnogościowa jest przemienna, więc A = A2 ∪ A1.Z tego mamy:

A = n2 + n1.

W podobny sposób, tym razem korzystając z łączności sumy teoriomnogo-ściowej, dowodzi się łączności dodawania liczb kardynalnych.

Twierdzenie 5.23. JeżeliA1 = B1

aA2 = B2,

toA1 × A2 = B1 ×B2.


Dowód. Z założenia twierdzenia istnieje funkcja f1 : A1 → B1, która wza-jemnie jednoznacznie przekształca zbiór A1 na zbiór B1 oraz istnieje funkcjaf2 : A2 → B2, która wzajemnie jednoznacznie przekształca zbiór A2 na B2.

Przekształcenie g : A1 × A2 → B1 ×B2 zdefiniowane następująco:

g(x, y) = (f1(x), f2(y))

jest funkcją, która przekształca wzajemnie jednoznacznie A1×A2 na B1 ×B2.

Korzystając z powyższego twierdzenia i mając na uwadze, że dla dowol-nych zbiorów istnieje i jest jednoznacznie określony ich iloczyn kartezjański,możemy zdefiniować iloczyn liczb kardynalnych.

Definicja 5.10 (iloczynu liczb kardynalnych, ·). Liczba kardynalna m jestiloczynem liczb kardynalnych n1 i n2, tj.:

m = n1 · n2

wtedy i tylko wtedy, gdy dla zbiorów A1 i A2 takich, że

A1 = n1 i A2 = n2

zachodzi:

m = A1 × A2,

czyli m jest mocą iloczynu kartezjańskiego A1 × A2 zbiorów A1 i A2 takich,że A1 = n1 a A2 = n2.

Definicja iloczynu dla liczb kardynalnych jest zgodna z arytmetycznympojęciem iloczynu. Gdy na poziomie intuicyjnym chcemy wyjaśnić, czym jestnp. 3 · 2, to mówimy o trzech grupach po dwa elementy: ile trzeba kupićbułek dla trójki dzieci: Jasia, Stasia i Małgosi, jeśli każde potrzebuje dwiebułki? Bierzemy pierwszą bułkę dla Jasia, następnie drugą bułkę dla Jasiaitd. Mamy więc do czynienia z parami: (Jasio, 1), (Jasio, 2) itd. Myślimytu więc o liczbie elementów zbioru A×B, gdzie A ma trzy elementy, a B madwa.

Twierdzenie 5.24. Mnożenie liczb kardynalnych jest przemienne, łącznei rozdzielne względem dodawania liczb kardynalnych, czyli dla dowolnych liczbkardynalnych n1, n2, n3 zachodzą następujące równości:


T 100. n1 · n2 = n2 · n1

T 101. n1 · (n2 · n3) = (n1 · n2) · n3

T 102. n1 · (n2 + n3) = n1 · n2 + n1 · n3.

Dowód. W dowodzie przemienności i łączności wystarczy skorzystać z nastę-pujących wzorów:

A×B ∼ B × A,

A× (B × C) ∼ (A×B)× C.

W dowodzie rozdzielności mnożenia względem dodawania korzystamyz następujących dwóch faktów:

A1 × (A2 ∪ A3) = A1 × A2 ∪ A1 × A3,

(A2 ∩ A3 = ∅) ⇔ [(A1 × A2) ∩ (A1 × A3) = ∅].

N -krotny iloczyn m ·m ·m · · · oznaczamy mn, czyli

An

= An.

Przez uogólnienie dochodzimy do pojęcia potęgi liczby kardynalnej.

Przez AB rozumiemy zbiór wszystkich funkcji ze zbioru B do zbioru A.

Twierdzenie 5.25. JeżeliA1 = B1

aA2 = B2,

toA1

A2 = B1B2 .

Dowód. Z założenia, że A1 ∼ B1 a A2 ∼ B2 mamy, że istnieje funkcjaf : A1 → B1 wzajemnie jednoznacznie odwzorowująca zbiór A1 na B1 orazistnieje funkcja g : A2 → B2 wzajemnie jednoznacznie odwzorowująca A2 naB2.

Odwzorowanie:h : A1

A2 → B1B2

określone następująco:dla dowolnego f1 : A2 → A1 i dowolnego f2 : B2 → B1:


h(f1) = f2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegox ∈ A2 : f2(g(x)) = f(f1(x))

funkcjom ze zbioru A2 do zbioru A1 przyporządkowuje w sposób wzajemniejednoznaczny funkcje ze zbioru B2 do zbioru B1.

Musimy pokazać, że odwzorowanie h jest bijekcją, czyli, że jest to funkcjaróżnowartościowa ze zbioru A1

A2 na zbiór B1B2 .

Niech dana będzie funkcja f1(∈ A1A2). Złożenie funkcji f1 i f , czyli f1 f

jest elementem zbioru B1A2 .

Pokażemy teraz, że odwzorowanie h jest różnowartościowe. Niech f ′1 6= f ′′1 .Zatem dla pewnego x : f ′1(x) 6= f ′′1 (x). Ponieważ z założenia f jest funkcjąróżnowartościową, więc f(f ′1(x)) 6= f(f ′′1 (x)), czyli f ′1 f 6= f ′′1 f .

Pozostało pokazanie, że odwzorowanie h jest surjekcją, czyli, że dla każ-dego f2(∈ B1

B2) istnieje jakieś f1(∈ A1A2). Niech f2 ∈ B1

B2 . Ponieważz założenia g jest bijekcją, więc g(A2) = B2, a zatem f2(g(A2)) = f2(B2).Ponieważ f2(B2) ⊆ B1 a dla f jako bijekcji istnieje funkcja od niej odwrotna,to f−1(f2(g(A2))) ⊆ A1. W zbiorze wszystkich funkcji ze zbioru A2 do zbioruA1 istnieje taka funkcja f1, że f1(A2) = f−1(f2(g(A2))).

Zbiory A1A2 i B1

B2 są zatem równoliczne.

Udowodnione twierdzenie głosi, że moc zbioru AB zależy wyłącznie odmocy zbiorów A i B. Mając na uwadze, że dla każdej liczby kardynalnejistnieje zbiór, którego liczba ta jest mocą, a dla dowolnych dwóch zbiorówjednoznacznie określony jest zbiór wszystkich funkcji z jednego z nich dodrugiego, możemy wprowadzić pojęcie potęgi liczb kardynalnych.

Definicja 5.11 (potęgi liczby kardynalnej). Liczba kardynalna m jest potęgąo podstawie n i wykładniku p, tj.:

m = np,

wtedy i tylko wtedy, gdy dla zbiorów A i B takich, że A = n a B = p

zachodzi:m = AB.

np jest mocą zbioru funkcji ze zbioru B do zbioru A takich, że zbiór Ajest mocy n a zbiór B jest mocy p:

(AB) = (A)B.


Zauważmy, że dla liczb kardynalnych nie definiujemy działań odejmowa-nia, dzielenia i pierwiastkowania, które są odwrotne do, odpowiednio, doda-wania, mnożenia i potęgowania. Nie jest możliwe zdefiniowanie odpowied-nich liter funkcyjnych. Dla przykładu zauważmy, że gdyby chcieć zdefiniowaćodejmowanie w taki sposób, że n1−n2 = n3 ⇔ n3 +n2 = n1, to wynik ℵ0−ℵ0

nie byłby jednoznacznie określony. Z powodzeniem mogłoby to być 0 jaki ℵ0.

Twierdzenie 5.26. Dla dowolnych liczb kardynalnych n, p i q:

T 103. np+q = np · nq

T 104. (n · p)q = nq · pq

T 105. (np)q = npq

T 106. n1 = n

T 107. 1n = 1.

Dowód. Niech A będzie zbiorem mocy n, B1 — p a B2 — q.Rozpocznijmy od dowodu faktu 103. Niech zbiory B1 i B2 będą roz-

łączne9. Z rozłączności B1 i B2 mamy, że zbiór B1∪B2 ma moc p+q. Zatemzbiór AB1∪B2 ma moc np+q.

Zbiory B1 i B2 są rozłączne. Zatem każda funkcja ze zbioru B1 do zbioruA zestawiona z każdą funkcją ze zbioru B2 do zbioru A daje wszystkie funkcjeze zbioru B1 ∪B2 do zbioru A, czyli

(B1 ∩B2 = ∅) ⇒ (AB1∪B2 ∼ AB1 × AB2).

Moc zbioru AB1 × AB2 wynosi np · nq. Zatem mamy np+q = np · nq.

W dowodzie faktu 104 zauważmy, że bez znaczenia ze względu na równo-liczność jest to, czy jakiemuś przedmiotowi przyporządkowujemy parę jakichśprzedmiotów, czy też temu przedmiotowi przyporządkowujemy osobno każdyz członów tej pary przedmiotów. Korzystamy więc z tego, że

(A×B1)B2 ∼ (AB2 ×B1

B2).

Moc zbioru (A×B1)B2 wynosi (n · p)q. Zaś moc (AB2 ×B1

B2) wynosi nq · pq.9Jak to wcześniej zostało wykazane dla dowolnych zbiorów B1 i B2 istnieją rozłączne

zbiory B′1 i B′

2 takie, że B1 jest równoliczne z B′1 a B2 jest równoliczne z B′

2.


W dowodzie faktu 105 korzystamy z tego, że funkcji ze zbioru B2 dozbioru funkcji ze zbioru B1 do zbioru A jest tyle samo, co funkcji ze zbioruB1 ×B2 do zbioru A, czyli

(AB1)B2 ∼ AB1×B2 .

Moc zbioru (AB1)B2 wynosi (np)q. Zaś moc zbioru AB1×B2 wynosi npq.

W dowodzie faktu 106 odwołujemy się do tego, że zbiór funkcji ze zbiorujednoelementowego do zbioru A jest równoliczny zbiorowi A. Po prostu, tychfunkcji jest tyle, ile jest elementów zbioru A, czyli

Aa ∼ A.

Jest dokładnie jedna funkcja ze zbioru A do zbioru jednoelementowego,czyli

aA ∼ a.Dowodzi to faktu 107.

Niektóre własności operacji na liczbach kardynalnych nieskończonych róż-nią się od własności tychże operacji na liczbach skończonych. Na przykład,dla ℵ0 zachodzą następujące fakty:

T 108. ℵ0 = ℵ0 + 1 = ℵ0 + 2 = ℵ0 + 3 = . . . = ℵ0 + ℵ0

T 109. ℵ0 = 1 · ℵ0 = 2 · ℵ0 = 3 · ℵ0 = . . . = ℵ0 · ℵ0

T 110. ℵ0 = ℵ10 = ℵ2

0 = ℵ30 = . . . .

Fakt T108 wynika z tego, że suma zbiorów przeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym. Z tego samego korzystamy w dowodzie T109. Jedynie w wy-padku równości ℵ0 = ℵ0 · ℵ0 korzystamy z tego, że iloczyn kartezjański skoń-czonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Z tego sa-mego twierdzenia korzystamy w dowodzie T110.

Zdefiniujemy relacje nieostrej i ostrej nierówności. Relacje te oznaczymysymbolami znanymi z arytmetyki: ≤ i <. Relacje ≤ i < dla liczb kardynal-nych są uogólnieniem odpowiednich relacji arytmetycznych, czyli ogranicza-jąc liczby kardynalne do liczb naturalnych otrzymamy definicję równoważnądefinicji arytmetycznej tych relacji.


Definicja 5.12 (≤ w zbiorze liczb kardynalnych). Liczba kardynalna n jestniewiększa od liczby kardynalnej m, n ≤ m, wtedy i tylko wtedy, gdy każdyzbiór mocy n jest równoliczny z podzbiorem zbioru mocy m.

Jest to poprawna definicja litery predykatowej „≤”.Jeżeli n ≤ m i n 6= m, to mówimy, że liczba kardynalna n jest mniejsza od

liczby kardynalnej m, co zapisujemy:

n < m.

Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy c.Moc zbioru liczb naturalnych to ℵ0.Ponieważ N ⊆ R i zbiór N nie jest równoliczny z R mamy następująca

nierówność:ℵ0 < c,

czyliN < R.

Twierdzenie 5.27. Jeśli f : X → Y jest funkcją odwzorowująca zbiór X naY , to:

Y ≤ X.

Dowód. Niech dla y(∈ X) : Wy = x ∈ X : f(x) = f(y).Każdy zbiór Wy jest niepusty oraz różne zbiory są rozłączne. Na pod-

stawie pewnika wyboru z każdego takiego zbioru możemy wybrać po jednymelemencie. Niech A będzie zbiorem tych elementów. Funkcja f |A : A → Y(funkcja f zredukowana do zbioru A) jest różnowartościowa i odwzorowuje A

na Y . Zbiory A i Y są zatem równoliczne. Ponieważ A ⊆ X, więc Y ≤ X.

Twierdzenie 5.28. Dla dowolnych liczb kardynalnych n, m i p:

T 111. n ≤ n

T 112. jeśli n ≤ m i m ≤ p, to n ≤ p.

Dowód. Rozpocznijmy od dowodu nierówności 111. Niech A będzie dowol-nym zbiorem mocy n. Ponieważ A ∼ A i A ⊆ A, więc A ≤ A, czyli n ≤ n.

Dla dowodu nierówności 112 przyjmijmy, że A = n, B = m i C = p

oraz niech n ≤ m i m ≤ p. Z definicji ≤ mamy, że zbiór A jest równolicznyz pewnym podzbiorem B1 zbioru B a zbiór B jest równoliczny z pewnym


podzbiorem C1 zbioru C. Istnieje więc różnowartościowa funkcja f : A → B1

przekształcająca A na B1 oraz istnieje różnowartościowa funkcja g : B → C1

przekształcająca B na C1. Niech g|B1 będzie funkcją g zredukowaną dozbioru B1. Funkcja g|B1 jest różnowartościowa i przekształca B1 w C1. Su-perpozycja funkcji f i g|B1, czyli funkcja f (g|B1) jest funkcją różnowarto-ściową przekształcającą zbiór A w zbiór C1 (⊆ C). Niech C2 będzie obrazemzbioru A wyznaczonym przez tę funkcję. Funkcja ta przekształca A na C2.Stąd mamy, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem C2 (⊆ C), a to dowodzi,że n ≤ p.

Twierdzenie 5.29 (Cantora-Bernsteina). Dla dowolnych liczb kardynalnychn i m:

[(n ≤ m) ∧ (m ≤ n)] ⇒ (n = m).

Dowód. Dla dowodu pokażemy, że gdy zbiór A jest równoliczny z podzbioremjakiegoś swojego podzbioru B(B ⊆ A), to zbiory A i B są równoliczne.

Niech A = n. Ponieważ m ≤ n, więc pewien podzbiór B zbioru A jestmocy m. Ponieważ n ≤ m, więc zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbio-rem zbioru B.

Dla dowodu, że n = m wystarczy zdefiniować różnowartościową funkcjęg : A → B przekształcającą zbiór A na B.

Na podstawie założenia, że B jest podzbiorem A wnioskujemy, że istniejeróżnowartościowa funkcja f : A → B ze zbioru A do zbioru B. Mamy więc:

f(A) ⊆ B ⊆ A.

Niech C = B \ f(A). Oczywiście, C ⊆ A. Zatem f(C) ⊆ B. PonieważB ⊆ A, więc ponadto mamy, że f(C) ⊆ A.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciąg zbiorów. Niech C1 = f(C)(⊆ A). Załóżmy,że określony jest zbiór Cn. Zbiór Cn+1 to zbiór f(Cn). Zauważmy, że dlakażdego n : Cn ⊆ A. Korzystając z tego stwierdzamy, że

C ∪∞⋃

n=1

Cn ⊆ A.

Niech

D = C ∪∞⋃

n=1

Cn.


Z poprzedniego mamy, żeD ⊆ A.

Korzystając z powyższych faktów i wcześniej udowodnionych twierdzeńdostajemy, że

f(D) = f(C ∪∞⋃

n=1

Cn) = C1 ∪∞⋃

n=2

Cn =∞⋃

n=1

Cn.

Z tego wynika, żeD = C ∪ f(D).

Funkcję g definiujemy następująco:

g(x) =

x dla x ∈ D,

f(x) dla x ∈ A \D.

Pokażemy teraz, żeg(A) = B.

Z definicji g mamy, że

g(D) = D, g(A \D) = f(A \D).

Z tego, że A = D ∪ (A \D) dostajemy:

g(A) = g(D ∪ (A \D)) = g(D) ∪ g(A \D) = D ∪ f(A \D),

D ∪ f(A \D) = C ∪ f(D) ∪ f(A \D),

C ∪ f(D) ∪ f(A \D) = C ∪ f(A).

Ponieważ:C = B \ f(A),

więcC ∪ f(A) = (B \ f(A)) ∪ f(A).

Zatem:g(A) = (B \ f(A)) ∪ f(A).

Ponieważ:f(A) ⊆ B,


więcf(A) ∪ (B \ f(A)) = B.

Ostatecznie dostajemy, że

g(A) = B.

Udowodnimy teraz, że

g(D) ∩ g(A \D) = ∅.Korzystając z różnowartościowości f wnioskujemy, że

g(A \D) = f(A \D) = f(A) \ f(D).

Z określenia zbioru C dostajemy:

f(A) ∩ C = f(A) ∩ (B \ f(A)) = ∅.Stąd wynika, że

f(A) = f(A) \ C.

Na podstawie powyższego mamy:

g(A \D) = (f(A) \ C) \ f(D) = f(A) \ (C ∪ f(D)) = f(A) \D.

A z tego ostatecznie:

g(D) ∩ g(A \D) = D ∩ (f(A) \D) = ∅,co dowodzi naszej tezy, że

g(D) ∩ g(A \D) = ∅.Pokażemy teraz, że g jest funkcją różnowartościową. Niech x1, x2 ∈ A,

x1 6= x2. Musimy pokazać, że

g(x1) 6= g(x2).

W wypadku, gdy x1, x2 ∈ D, to na mocy definicji g mamy, że g(x1) = x1,a g(x2) = x2. Ponieważ x1 6= x2, więc również g(x1) 6= g(x2). Jeżeli x1, x2 ∈A \D, to na mocy definicji g : g(x1) = f(x1), a g(x2) = f(x2) i z tego, że fjest różnowartościowa mamy, że g(x1) 6= g(x2). Jeżeli zaś – jest to trzecia,ostatnia możliwość — x1 ∈ D, a x2 ∈ A \ D, to również g(x1) 6= g(x2),ponieważ g(D) ∩ g(A \D) = ∅.

Udowodniliśmy, że istnieje różnowartościowa funkcja odwzorowująca zbiórA na B, czyli że zbiory A i B są równoliczne, a więc: n = m.


Twierdzenie Cantora-Bernsteina spotykane jest również w następującymsformułowaniu.

Twierdzenie 5.30 (Cantora-Bernsteina). Dla dowolnych zbiorów A,B, C:

A ⊆ B ⊆ C ∧ A = C ⇒ A = B = C.

Dowód. Udowodnimy równoważność obu twierdzeń 5.29 i 5.30. Wpierw po-każemy, że (I) z 5.29 wynika 5.30, a następnie odwrotnie, że (II) z 5.30 wynika5.29.

(I) JeżeliA ⊆ B ⊆ C,

toA ≤ B ≤ C.

Jeżeli nadto:A = C,

to dostajemy:A ≤ B

iB ≤ A.

Z twierdzenia Cantora-Bernsteina 5.29 mamy:

A = B,

co kończy dowód tezy I.

(II) Dla dowodu tezy II załóżmy, że n ≤ m i m ≤ n. Niech C będzie zbioremmocy n. Ponieważ m ≤ n, więc istnieje podzbiór B zbioru C, którego mocwynosi m. Ponieważ jednocześnie n ≤ m, więc istnieje podzbiór A zbioru Bo mocy n. Mamy zatem:

A ⊆ B ⊆ C,

A = C = n.

Na podstawie tego, korzystając z twierdzenia 5.30, mamy B = A, czyli m =n.


Stosunek≤między liczbami kardynalnymi ma wiele znanych z arytmetykiwłasności stosunku niewiększości w zbiorze liczb. Dla przykładu wskażmyniektóre.

Twierdzenie 5.31. Dla dowolnych m, n, p:

T 113. [(m ≤ n) ∧ (n ≤ p)] ⇒ (m ≤ p)

T 114. (m ≤ n) ⇒ (m + p ≤ n + p)

T 115. (m ≤ n) ⇒ (mp ≤ np)

T 116. (m ≤ n) ⇒ (mp ≤ np)

T 117. (m ≤ n) ⇒ (pm ≤ pn).

Dowód. Pierwsze z praw 113 wyraża przechodniość stosunku ≤. Kolejnewyrażają, odpowiednio, monotoniczność dodawania, mnożenia i potęgowaniawzględem ≤.

Niech A będzie zbiorem mocy m, B — n, a C — p.W dowodzie prawa 113 korzystamy z tego, że

[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)] ⇒ (A ⊆ C).

W dowodzie prawa 114 korzystamy z tego, że

(A ⊆ B) ⇒ [(A ∪ C) ⊆ (B ∪ C)].

W wypadku faktu 115 korzystamy z tego, że

(A ⊆ B) ⇒ (A× C ⊆ B × C).

W dowodzie prawa 116 wykorzystujemy następującą zależność:

(A ⊆ B) ⇒ (AC ⊆ BC),

a w wypadku 117:(A ⊆ B) ⇒ (CA ⊆ CB).

Można pokazać, co wymaga zastosowania pewnika wyboru, że dla dowol-nych liczb kardynalnych m i n:

T 118. m ≤ n ∨ n ≤ m

lub, co na jedno wychodzi:

T 119. m < n ∨m = n ∨ n < m.


5.4 Zbiory mocy continuumMoc zbioru liczb rzeczywistych R to c (continuum). Podamy teraz przykładyzbiorów mocy continuum.Przykład 5.4. Przedział otwarty x ∈ R : − 1

2π < x < 1

2π jest zbiorem mocy

continuum, czyli

x ∈ R : − 1

2π < x <

1

2π = c.

Funkcja f : x ∈ R : − 12π < x < 1

2π → R określona wzorem f(x) = tgx

dla każdego x z przedziału x ∈ R : − 12π < x < 1

2π jest różnowartościowa

i przekształca ten przedział na R. Tym samym przedział x ∈ R : − 12π <

x < 12π jest równoliczny z R, czyli jest mocy continuum. ©

Przykład 5.5. Każdy przedział otwarty x ∈ R : a < x < b, gdzie a < b,jest mocy continuum, czyli

x ∈ R : a < x < b = c.

Funkcja f określona wzorem f(x) = b−aπ

(x + 12π) + a, dla x spełniających

warunek: −12π < x < 1

2π jest różnowartościowa i przekształca przedział

otwarty x ∈ R : − 12π < x < 1

2π na przedział otwarty x ∈ R : a < x < b.

Ponieważ przedział x ∈ R : − 12π < x < 1

2π jest mocy continuum, więc

przedział x ∈ R : a < x < b jest też mocy continuum. ©Przykład 5.6. Każdy przedział domknięty x ∈ R : a ≤ x ≤ b, gdzie a < b,jest mocy continuum, czyli

x ∈ R : a ≤ x ≤ b = c.

Ponieważ x ∈ R : a < x < b ⊆ x ∈ R : a ≤ x ≤ b ⊆ R, a x ∈R : a < x < b i R są mocy continuum, więc na podstawie twierdzeniaCantora–Bernsteina x ∈ R : a ≤ x ≤ b jest mocy continuum. ©

Można postawić pytanie o moc zbioru uzyskanego przez odjęcie zbioruprzeliczalnego od zbioru nieprzeliczalnego. Odpowiedź na to pytanie dajemyponiżej.

Jeżeli od nieprzeliczalnego zbioru A odejmiemy przeliczalny zbiór B, tootrzymany zbiór A \B nie jest przeliczalny, czyli:

Lemat 5.32.A > ℵ0 ∧B ≤ ℵ0 ⇒ A \B > ℵ0.

5.4. ZBIORY MOCY CONTINUUM 277

Dowód. Gdyby zbiór (A\B) był przeliczalny, to przeliczany jako suma zbio-rów przeliczalnych byłby zbiór (A \B)∪B. Ponieważ zaś A ⊆ [(A \B)∪B],więc A jako podzbiór zbioru przeliczalnego byłby przeliczalny. A to przeczyzałożeniu o nieprzeliczalności A.

Twierdzenie 5.33. Jeżeli A nie jest zbiorem przeliczalnym, a B jest zbioremprzeliczalnym, to A \B jest zbiorem tej samej mocy, co zbiór A, czyli

A > ℵ0 ∧B ≤ ℵ0 ⇒ A \B = A.

Dowód. Niech A nie będzie zbiorem przeliczalnym, a B niech będzie przeli-czalne. Nie tracąc na ogólności rozważań możemy przyjąć, że B ⊆ A. Zbiórprzeliczalny może być skończony albo mocy ℵ0.

Rozważmy wpierw wypadek, gdy B = ℵ0. Zbiór (A \ B) jest nieprzeli-czalny. Zbiór przeliczalny daje się różnowartościowo odwzorować w zbiór nie-przeliczalny, więc istnieje różnowartościowe przekształcenie f : B → (A \ B)zbioru B w zbiór A \B. Mamy zatem następujące zależności:

f(B) ⊆ A \B, f(B) = ℵ0, B ∩ f(B) = ∅.Zbiór B ∪ f(B) jako suma zbiorów mocy ℵ0 jest mocy ℵ0. Istnieje więc

różnowartościowe przekształcenie g : B ∪ f(B) → f(B) odwzorowujące B ∪f(B) na f(B). Ponieważ B ⊆ A, zbiór A jest sumą dwóch rozłącznychzbiorów: A \ (B ∪ f(B)) i (B ∪ f(B)), czyli

A = [A \ (B ∪ f(B))] ∪ (B ∪ f(B)).

Korzystając z tego określmy przekształcenie h : A → A w następujący spo-sób:

h(x) =

x dla x ∈ A \ (B ∪ f(B)),

g(x) dla x ∈ B ∪ f(B).

Przekształcenie h jest różnowartościowe. Niech x1 6= x2. Jeśli x1, x2 ∈A \ (B ∪ f(B)), to h(x1) = x1 a h(x2) = x2, więc h(x1) 6= h(x2). Jeślix1, x2 ∈ B∪f(B), to h(x1) = g(x1), h(x2) = g(x2) a g(x1) 6= g(x2), ponieważg jest przekształceniem różnowartościowym. Dlatego też h(x1) 6= h(x2). Jeślix1 ∈ A \ (B ∪ f(B)), a x2 ∈ B ∪ f(B), to h(x1) = x1(∈ A \ (B ∪ f(B))),a h(x2) = g(x2)(∈ f(B)). Zbiory A \ (B ∪ f(B)) i f(B) są rozłączne, zatemh(x1) 6= h(x2).


Przekształcenie h odwzorowuje zbiór A na zbiór A\B. Zachodzą bowiemnastępujące równości:

h(A) = h(A \ (B ∪ f(B))) ∪ h(B ∪ f(B)) =(A \ (B ∪ f(B))) ∪ g(B ∪ f(B)) = ((A \B) ∩ (A \ f(B))) ∪ f(B) == ((A \B) ∪ f(B)) ∩ ((A \ f(B)) ∪ f(B)) = = (A \B) ∩ A = A \B.

Przekształcenie h ustala więc równoliczność zbioru A ze zbiorem A \B. Wy-nika stąd, że A \B jest zbiorem tej samej mocy co A, czyli

(A \B) = A.

Niech teraz B będzie skończonym podzbiorem nieprzeliczalnego zbioru A.Istnieje zatem przeliczalny nieskończony zbiór B1 taki, że B ⊆ B1 ⊆ A.Wówczas A \ B1 ⊆ A \ B ⊆ A. Ponieważ A \B1 = A, więc na podstawietwierdzenia Cantora-Bernsteina mamy, że A \B = A.

Wniosek 5.34. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest mocy continuum,czyli

(R \Q) = c.

Dowód. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych to zbiór R\Q, gdzie R to zbiórliczb rzeczywistych, a Q to zbiór liczb wymiernych. Zbiór Q jest zbioremmocy ℵ0. Zbiór R jest mocy c. Zatem zbiór wszystkich liczb niewymiernychjest mocy continuum.

Wniosek 5.35. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych dowolnego niepustegoprzedziału (a, b) (a < b; a, b ∈ R) jest mocy continuum.

Dowód. Rozumujemy analogicznie jak w dowodzie wniosku 1. Zbiór wszyst-kich liczb rzeczywistych dowolnego niepustego przedziału jest mocy conti-nuum, a zbiór wszystkich liczb wymiernych tego przedziału jest mocy ℵ0,zatem zbiór wszystkich liczb niewymiernych tego przedziału jest mocy con-tinuum.

Twierdzenie 5.36. Zbiór wszystkich funkcji f : N → 0, 1, czyli zbiórwszystkich ciągów (an)n∈N takich, że dla każdego n ∈ N : an ∈ 0, 1 jestzbiorem mocy continuum.


Dowód. Niech A będzie zbiorem wszystkich ciągów (an)n∈N o wyrazach na-leżących do zbioru 0, 1. Na zbiorze A określmy funkcję g : A → R w na-stępujący sposób:

g((an)n∈N) =

∞Pn=1

an

2n , gdy an = 0 dla nieskończenie wielu n,

1 +∞P

n=1an

2n , gdy an = 0 dla skończenie wielu n lubgdy an 6= 0 dla każdego n ∈ N.

Funkcja g jest różnowartościowa. Tu zauważmy, że liczba będąca sumą na-turalnych potęg liczby 2 jednoznacznie rozkłada się na tę sumę, czyli liczbętę tylko w dokładnie jeden sposób można przedstawić jako sumę naturalnychpotęg liczby 2. Z różnowartościowości g wynika, że A = g(A). Ponadtomamy, że

x ∈ R : 0 < x < 1 ⊆ g(A).

Z tego wynika, że g(A) = c. A w konsekwencji A = c.

Ponieważ zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych do zbiorudwuelementowego ma moc 2ℵ0 , więc mamy następujący wniosek.

Wniosek 5.37.2ℵ0 = c.

Można zauważyć, że wzajemna jednoznaczność odwzorowania ciągów zeri jedynek oraz zbioru liczb rzeczywistych jest równoważna możliwości zapisubinarnego liczb rzeczywistych.

Można pokazać, że dla c zachodzą następujące fakty:

T 120. c = c + 1 = c + 2 = c + 3 = . . . c + ℵ0 = c + c

T 121. c = 1 · c = 2 · c = 3 · c = . . . = ℵ0 · c = c · cT 122. c = c1 = c2 = c3 = . . . = cℵ0

T 123. c = 2ℵ0 = 3ℵ0 = 4ℵ0 = . . .ℵ0ℵ0 = cℵ0 .

Dla stwierdzenia prawdziwości T120 zauważmy, że jeżeli m ≤ c, to:

c ≤ c + m ≤ c + c.


Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich jest mocy c, podobnie jestw wypadku wszystkich liczb rzeczywistych ujemnych. Ponieważ zbiór liczbrzeczywistych jest mocy c, więc jest jasne, że

c + c = c.

Korzystając z twierdzenia Cantora-Bernsteina mamy:

m ≤ c ⇒ (c + m) = c.

Dla stwierdzenia zachodzenia równości T121 zauważmy, że

c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0 ,

zaś:2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 .

Ponieważ:ℵ0 + ℵ0 = ℵ0,

więc:c · c = 2ℵ0 ,

czylic · c = c.

Dla stwierdzenia równości T122 korzystamy ponownie z faktu, że

2ℵ0 = c.

Mianowicie mamy, żecℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 .

Ponieważ:(2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 ,

aℵ0 · ℵ0 = ℵ0,

więc:cℵ0 = 2ℵ0 ,

czylicℵ0 = c.


Dla wykazania równości T123 korzystamy z twierdzenia Cantora–Bern-steina. Wykorzystujemy mianowicie fakt, że

ℵ0ℵ0 ≤ cℵ0 .

Zauważmy paradoksalny charakter równości:

c · c = c

i równości pochodnych (równości T122). Równość ta udowodniona już przezCantora stwierdza — ujmując rzecz geometrycznie — równoliczność zbiorupunktów płaszczyzny ze zbiorem punktów na prostej.

Poszukiwania liczb kardynalnych będących mocami podzbiorów R zbioruliczb rzeczywistych zrodziły pytanie, zagadnienie continuum: czy każdy pod-zbiór zbioru R jest albo przeliczalny, albo mocy continuum? Jest to równo-ważne pytaniu o nieprzeliczalny podzbiór zbioru R nierównoliczny z tymzbiorem, czyli jest to pytanie o liczbę m taką, że

ℵ0 < m < c.

Inaczej mówiąc, przyjmując, że

ℵ0 < ℵ1

oraz że dla dowolnej liczby m takiej, że

ℵ0 ≤ m ≤ c

zachodzi bądź:ℵ0 = m,

bądź:m = ℵ1,

pytamy się, czy:ℵ1 = c.


5.5 Zbiór potęgowyDefinicja 5.13 (funkcji charakterystycznej podzbioru zbioru X). Niech A ⊆X. Funkcja fA : X → 0, 1 określona wzorem:

fA(x) =

1 dla x ∈ A,

0 dla x 6∈ A

jest funkcją charakterystyczną podzbioru A zbioru X.

Funkcja charakterystyczna to funkcja f : X → 0, 1 ze zbioru X dozbioru 0, 1.

Zbiór wszystkich funkcji charakterystycznych to 0, 1X .

Twierdzenie 5.38. Dla dowolnego X, zbiór wszystkich i tylko podzbiorówzbioru X jest równoliczny ze zbiorem 0, 1X .

Dowód. Niech fA będzie funkcją charakterystyczną zbioru A a g niech będzieodwzorowaniem takim, że dla dowolnego A(⊆ X) :

g(A) = fA.

Pokażemy, że g jest przekształceniem różnowartościowym zbioru wszyst-kich podzbiorów zbioru X na zbiór 0, 1X , czyli na zbiór wszystkich funkcjicharakterystycznych podzbiorów zbioru X.

Niech f będzie dowolną funkcją należącą do 0, 1X . Przeciwobrazemzbioru 1 wyznaczonym przez tę funkcję, czyli zbiorem wszystkich elemen-tów zbioru X, dla których f przyjmuje wartość 1 jest zbiór A:

A = x ∈ X : f(x) = 1.

Można zauważyć, że f jest funkcją charakterystyczną zbioru A, czyli f = fA.Zatem g(A) = fA = f , co dowodzi, że g jest przekształceniem na zbiór0, 1X .

W celu pokazania, że g jest przekształceniem różnowartościowym za-łóżmy, że A ⊆ X, B ⊆ X i A 6= B. Istnieje więc element x (∈ X) taki, żex ∈ A i x 6∈ B albo x 6∈ A i x ∈ B. Weźmy pod uwagę pierwszą z tych moż-liwości. Wówczas fA(x) = 1 a fB(x) = 0. Stąd fA 6= fB, czyli g(A) 6= g(B).Ostatecznie stwierdzamy zatem, że funkcja g ustala równoliczność rodzinywszystkich podzbiorów zbioru X i zbioru 0, 1X .

5.5. ZBIÓR POTĘGOWY 283

Powyższe twierdzenie nasuwa ideę, aby zbiór wszystkich i tylko podzbio-rów zbioru X oznaczać 2X . Zbiór 2X to zbiór potęgowy zbioru X.

Udowodnione było, że zbiór 0, 1N jest mocy continuum. Na podstawiepowyższego twierdzenia mamy więc, że

Wniosek 5.39. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jestmocy continuum, czyli

2N = c.

Wniosek 5.40. Jeśli zbiór X jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym, torodzina jego wszystkich podzbiorów jest zbiorem mocy continuum, czyli

X = ℵ0 ⇒ 2X = c.

Dowód. Niech X = ℵ0. Istnieje więc funkcja różnowartościowa f : N → Xprzekształcająca N na X. Określmy funkcję g : 2N → XN przekształcającą2N na XN, czyli funkcję przyporządkowującą podzbiorom zbioru liczb natu-ralnych funkcje ze zbioru liczb naturalnych do zbioru X. Przyjmijmy więc,że dla każdego A (⊆ N), g(A) = f(A)

Funkcja f przekształca N na X, zatem każdy podzbiór zbioru X jestwyznaczonym przez funkcję f obrazem pewnego zbioru A (⊆ N).

Teraz pokażemy, że funkcja g jest różnowartościowa. Niech A ⊆ N, B ⊆N, i A 6= B. Istnieje więc takie n, które należy do tylko jednego z tychzbiorów. Niech n ∈ A, n 6∈ B. Wynika stąd, że f(n) ∈ f(A) i f(n) 6∈f(B). Gdyby bowiem f(n) ∈ f(B), wówczas istniałaby liczba naturalna m(∈ B) taka, że f(n) = f(m). Stąd, wobec różnowartościowości f , mielibyśmyn = m, co jest niemożliwe, bo n 6∈ B, a m ∈ B. Udowodniliśmy więc, żef(A) 6= f(B), skąd wynika, że g(A) 6= g(B).

Funkcja g jest bijekcją, ustala więc równoliczność zbiorów 2N i 2X .

W wypadku nieskończonego zbioru przeliczalnego klasa wszystkich pod-zbiorów ma moc zbioru liczb rzeczywistych, czyli jest mocy c. Powstajepytanie, jak to jest w wypadku innych zbiorów. Odpowiedzi na to pytanieudziela kolejne twierdzenie Cantora.

Twierdzenie 5.41 (Cantora). Dla każdego zbioru X:

X < 2X .


Dowód. 10

W celu uzyskania lepszej intuicji właściwego dowodu, dowiedziemy wpierwtwierdzenia słabszego, a mianowicie, że zbiór liczb naturalnych nie jest rów-noliczny z klasą wszystkich i tylko podzbiorów zbioru liczb naturalnych:N < 2N.

Załóżmy, że istnieje zbiór A(⊆ N) równoliczny z klasą wszystkich pod-zbiorów zbioru liczb naturalnych. Wzajemnie jednoznaczne przyporządko-wanie f( : A → 2N) elementom zbioru A(= n1, n2, . . . ) elementów zbioru2N można opisać tabelką. Jeżeli w wierszu ni w kolumnie m znajduje się„tak” to znaczy, że liczba m jest elementem zbioru f(ni), jeżeli zaś znajdujesię „nie”, to znaczy, że liczba ta nie jest elementem tego zbioru.

1 2 3 · · · m · · ·n1 tak tak tak · · · tak · · ·n2 nie tak tak · · · nie · · ·n3 nie tak nie · · · tak · · ·...

......

......

......

ni tak tak nie · · · nie · · ·...

......

......

......

Dokonane tu wpisy „tak” i „nie” są przykładowe.

Niech Z = ni ∈ A : ni 6∈ f(ni). Zbiór Z tworzymy zatem biorąc poduwagę przekątną tabelki i – mówiąc poglądowo — zastępując w każdym miej-scu tej przekątnej „tak” przez „nie”, a „nie” przez „tak”. W naszym przykładziemielibyśmy zatem Z = 3, . . .m, . . . . Liczby 1 oraz 2 zaś do tego zbioru nienależą. Zbiór Z nie jest wartością funkcji f dla żadnego elementu zbioru A.Dla dowolnego ni(∈ A), f(ni) 6= Z, bowiem:

ni ∈ f(ni) ⇔ ni 6∈ Z.

Ponieważ zaś Z ∈ 2N, więc A nie jest równoliczne z 2N.Mając na uwadze, że klasa zbiorów n : n ∈ N jest równoliczna z N

oraz że jest podzbiorem 2N, mamy:

N < 2N.10W dowodzie tego twierdzenia Cantor po raz pierwszy użył tzw. rozumowania prze-

kątniowego.

5.5. ZBIÓR POTĘGOWY 285

Przystępujemy teraz do dowodu twierdzenia, że żaden zbiór nie jest rów-noliczny z klasą wszystkich i tylko swoich podzbiorów. Dowód ten będzieróżnił się od powyższego tylko tym, że nie będziemy mogli korzystać z prze-liczalności, co dało możliwość przedstawienia w postaci tabeli.

W wypadku, gdy X = ∅ istnieje tylko jeden podzbiór zbioru X, a miano-wicie zbiór ∅. Ponieważ 2∅ = 1, więc zachodzi dowodzona teza. Niech terazX 6= ∅. Biorąc funkcję g : X → 2X określoną wzorem:

g(x) = x

mamy różnowartościowe odwzorowanie zbioru X na rodzinę jednoelemento-wych podzbiorów zbioru X. Zgodnie z definicją mocy zbiorów mamy więc,że

X ≤ 2X .

Niech dla pewnego zbioru X ( 6= ∅) istnieje niepusty podzbiór A (⊆ X)taki, że A ∼ 2X . Istnieje zatem różnowartościowa funkcja f : A → 2X prze-kształcająca A na 2X . Dla każdego x ∈ A, f(x) jest podzbiorem zbioru X,czyli elementem zbioru 2X , f(x) ∈ 2X . Niech Z = x ∈ A : x 6∈ f(x).Z definicji zbioru Z mamy, że dla każdego x (∈ A):

(x ∈ Z) ⇔ (x 6∈ f(x)).

Wiemy ponadto, że Z ⊆ X. Ponieważ f przekształca A na 2X , każdy pod-zbiór zbioru X jest wartością funkcji f dla pewnego x (∈ A), w szczególnościistnieje a (∈ A) takie, że Z = f(a). Pytamy teraz, czy a ∈ Z, czy też a 6∈ Z.Jeśli a ∈ Z, to a 6∈ f(a) (= Z). Jeżeli natomiast a 6∈ Z, to a ∈ f(a) (= Z).W każdym wypadku otrzymujemy sprzeczność. Zatem żaden niepusty pod-zbiór zbioru X nie jest równoliczny ze zbiorem 2X , w szczególności X nie jestrównoliczny z 2X . Ostatecznie więc mamy, że X < 2X .

Twierdzenie Cantora pozwala konstruować coraz większe liczby kardy-nalne. Biorąc zbiór potęgowy zbioru uzyskujemy zbiór większej mocy niżmoc zbioru, którego zbiór potęgowy wzięliśmy. Procedura ta może być kon-tynuowana bez ograniczeń. Weźmy np. zbiór N liczb naturalnych. Kolejnezbiory są większej mocy niż zbiory je poprzedzające: N, 2N, 22N , 222N

, . . ..Korzystając z twierdzenia Cantora mamy:

ℵ0 = N < 2N = c < 22N < . . . .


Otrzymujemy w ten sposób nieskończenie wiele liczb kardynalnych.Z twierdzenia Cantora wynika, że nie istnieje zbiór Z wszystkich zbiorów.

Gdyby istniał, to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Z byłaby jego pod-zbiorem, czyli 2Z ⊆ Z. Wynikałoby z tego, że zbiór 2Z byłby równolicznyz pewnym podzbiorem zbioru Z, a to w świetle twierdzenia Cantora nie jestmożliwe.

Fakt, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów nie oznacza, że nie mo-żemy mówić np. o prawach rachunku zbiorów, a więc czymś co odnosi się dowszystkich zbiorów. Po prostu możemy i musimy mówić o rodzinie wszyst-kich zbiorów, tyle tylko, że w świetle twierdzenia Cantora ta rodzina niejest zbiorem. Wprowadzamy pojęcie klasy jako szersze niż pojęcie zbioru.Mianowicie, każdy zbiór jest klasą, lecz nie odwrotnie, nie każda klasa jestzbiorem. Dzięki temu możemy mówić o klasie wszystkich zbiorów, klasiewszystkich liczb kardynalnych. Te klasy nie są zbiorami. Mają one jednakpewne własności zbiorów. Dzięki temu rozróżnieniu unikamy sprzeczności.

Indeks

łączność ∩, 177łączność ∪, 175łańcuch, 243

agregat, 162aksjomat ekstensjonalności, 187aksjomat istnienia, 187aksjomat podzbiorów, 187aksjomat różnicy, 187aksjomat równości zbiorów, 187aksjomat regularności, 188aksjomat sumy, 187aksjomat teorii identyczności, 106aksjomat ufundowania, 188aksjomat wyboru, 188aksjomat wyróżniania, 187, 188aksjomat zbioru potęgowego, 188aksjomaty alternatywy, 79aksjomaty implikacji, 79aksjomaty koniunkcji, 79aksjomaty negacji, 79aksjomaty równoważności, 79aksjomatyczny system rachunku zdań,

78aksjomatyka Łukasiewicza, 80alfabet, 14, 18, 19alfabet gramatyki, 22algebra zbiorów, 161algorytm, 50, 157algorytm działający w czasie wielo-

mianowym, 51

alternatywa, 16–18alternatywa rozłączna, 54antyłańcuch, 243antynomia Russella, 187aparat logiczny, 23argument predykatu, 100argument spójnika, 15atom, 16, 163

baza, 26bijekcja zbiorów, 228binegacja, 55bramka AND, 62bramka logiczna, 62bramka NAND, 63bramka NOR, 63bramka NOT, 62bramka OR, 63bramka XNOR, 64bramka XOR, 63brzytwa Ockhama, 259

charakterystyka ekstensjonalna zbioru,164

ciąg, 16, 19, 226ciąg nieskończony, 226continuum, 270cudzysłów, 12człon podziału, 212

długość dowodu, 65

287

288 INDEKS

długość słowa, 19dedukcja naturalna, 81definicja alternatywy, 80definicja indukcyjna, 25definicja koniunkcji, 80definicja równoważności, 80definicja rekurencyjna, 25definicja zdania, 16dolna klasa przekroju, 246domknięcie relacji, 221dopełnienie zbioru, 173dowód, 65, 79dowód założeniowy, 81dowód z klauzul, 92drugie prawo addycji, 79drugie prawo De Morgana, 78drugie prawo redukcji do absurdu, 78drugie prawo symplifikacji, 79drzewo analityczne, 46dwuargumentowy spójnik prawdziwo-

ściowy, 54dysjunkcja elementarna, 59dysjunkcyjna (alternatywna) postać nor-

malna, 59dziedzina, 96dziedzina relacji, 197, 198

efektywna enumeracja zbioru, 167eksportacja, 77ekstensjonalna równość zbiorów, 167element idempotentny ∩, 177element idempotentny ∪, 175element jednostkowy ∩, 177element jednostkowy ∪, 175element maksymalny, 239element minimalny, 241element najmniejszy, 241element największy, 240

element neutralny ∩, 177element neutralny ∪, 175element neutralny operacji konkate-

nacji, 19elementy nieporównywalne, 242elementy porównywalne, 242Entscheidungsproblem, 158enumeracja zbioru, 166

fakt, 128faktoryzacja klauzuli, 92formuła, 101formuła atomowa, 100formuła otwarta, 104funkcja, 222funkcja całkowicie określona, 223funkcja całkowita, 223funkcja charakterystyczna, 282funkcja częściowa, 222funkcja częściowo określona, 222funkcja Herbranda, 125funkcja identycznościowa, 228funkcja jednoargumentowa, 222funkcja jednojednoznaczna, 227funkcja obliczalna, 158funkcja odwrotna, 228funkcja różnowartościowa, 227funkcja rekurencyjna, 158funkcja rzeczywista, 226funkcja Skolema, 125funkcja wzajemnie jednoznaczna, 227funkcja zgodna z relacją, 225funkcja zredukowana, 226

górna klasa przekroju, 246gałąź, 41gałąź otwarta, 42gałąź sprzeczna, 42

INDEKS 289

gałąź zamknięta, 42gramatyka bezkontekstowa, 22gramatyka formalna, 21

hilbertowski sposób dowodzenia, 78

I prawo De Morgana, 89idempotencja ∪, 175iloczyn kartezjański, 193, 236iloczyn liczb kardynalnych, 265iloczyn zbiorów, 177implikacja, 16–18implikacja odwrócona, 127importacja, 77indukcja, 26indywiduum, 96injekcja, 227inkluzja, 171instancja problemu, 154interpretacja, 28, 32, 139inwariantny system rachunku zdań, 79

język, 21język formalny, 18język pierwszego rzędu, 101język przedmiotowy, 23jednoargumentowy spójnik prawdzi-

wościowy, 54

klasa abstrakcji, 208klasa ekwiwalencji, 208klasa równoważności, 208klasyczna koncepcja prawdy, 12klasyczna logika zdań, 14klauzula, 59, 126klauzula Horna, 126klauzula pusta, 127klauzule uzgodnione, 90komutacja, 77

konglomerat, 162koniunkcja, 16–18koniunkcja elementarna, 59koniunkcyjna postać normalna, 59konkatenacja, 19konsekwencja, 65kontrtautologia, 33, 47korzeń drzewa, 41kres dolny zbioru, 244kres górny zbioru, 244kreska Sheffera, 58krotka, 193kwantyfikator duży, 101kwantyfikator mały, 101kwantyfikator ogólny, 101kwantyfikator o ograniczonym zakre-

sie, 102kwantyfikator szczegółowy, 101kwantyfikatory a spójnik alternatywy,

115kwantyfikatory a spójnik implikacji,

114kwantyfikatory a spójnik koniunkcji,

115kwantyfikatory a spójnik negacji, 114kwantyfikatory a spójnik równoważ-

ności, 115

lemat Kuratowskiego-Zorna, 244lewa dziedzina, 198liść, 41liczba całkowita, 215liczba kardynalna, 252liczba wymierna, 217litera funkcyjna, 97litera predykatowa, 99literał, 58, 126literał czynny, 90

290 INDEKS

literał negatywny, 59, 126literał pozytywny, 59, 126literały komplementarne, 90logiczny schemat wnioskowania, 74logika zdań, 13luka, 246

maszyna Turinga, 157, 158matryca formuły, 120metajęzyk, 23metoda efektywna, 154metoda identyfikacji elementów rów-

noważnych, 213metoda niewprost, 36metoda sprawdzania wprost, 34metoda tablic semantycznych, 41, 50,

128metoda zero-jedynkowa, 35, 50metoda zero-jedynkowa niewprost, 42metoda zero-jedynkowa wprost, 42, 50moc zbioru, 252model, 12, 14, 28, 139model języka, 139model zbioru zdań, 71, 149model zdania, 148modus ponens, 64modus tollens, 88monotoniczność, 194multizbiór, 163

n-argumentowa litera funkcyjna, 97n-argumentowy predykat, 99n-tka uporządkowana, 193nadzbiór, 171następnik, 16następnik pary uporządkowanej, 192następnik produkcji, 20następstwo, 13

następstwo zdań, 71nawias, 16nawiasy, 102nazwa cydzysłowowa, 23nazwa funkcji, 223negacja, 16–18negatywna klauzula Horna, 126niesprzeczny zbiór formuł, 110notacja łukasiewiczowska, 17notacja Backusa-Naura, 22notacja polska, 18notacja prefiksowa, 18

oś współrzędnych, 193obcięcie funkcji, 226obraz zbioru, 233odwrotne prawo podwójnego przecze-

nia, 79odwrotne prawo redukcji do absurdu,

78odwzorowanie, 222ograniczenie dolne, 243ograniczenie górne, 243operacja, 222operator, 222operator abstrakcji, 166

półrozstrzygalność, 130, 158para uporządkowana, 192permutacja zbioru, 228pewnik abstrakcji, 187pewnik wyboru, 188pień drzewa, 41pierwotna, 84pierwsze prawo De Morgana, 78pośrednie uzasadnianie, 13podsłowo, 20podsłowo właściwe, 20

INDEKS 291

podstawa potęgi liczby kardynalnej,267

podstawialność termu, 105podstawienie, 20podzbiór, 170podzbiór właściwy, 171podział logiczny, 212pojęcie dualne, 241pojęcie logiki, 11pojęcie prawdziwości zdania, 14pojęcie zdania, 11pole relacji, 198Polish notation, 18ponendo ponens, 77poprzednik, 16poprzednik pary uporządkowanej, 192poprzednik produkcji, 20porządek prefiksowy, 238postać normalna dysjukcyjna (alter-

natywna), 58potęga liczby kardynalnej, 267pozytywna klauzula Horna, 126praelement, 163pragmatyka, 11prawa De Morgana, 114prawa De Morgana dla różnicy, 182prawa De Morgana dla rachunku zbio-

rów, 181prawa dziedzina, 198prawa ekstensjonalności, 115prawdziwość zdania w modelu, 148prawo absorpcji (pochłaniania), 181prawo addycji, 79prawo Claviusa, 80prawo dodawania poprzedników, 79prawo Dunsa Szkota, 78, 80prawo dylematu, 78prawo Fregego, 79

prawo kontrapozycji, 77prawo logiki, 76prawo mnożenia następnika, 79prawo podwójnego przeczenia, 78, 79prawo podwójnego uzupełnienia, 174prawo podwójnej negacji, 78prawo poprzednika, 79prawo redukcji do absurdu, 78prawo rozdzielności, 194prawo rozdzielności iloczynu względem

sumy, 181prawo rozdzielności sumy względem

iloczynu, 181prawo sylogizmu hipotetycznego, 80prawo symplifikacji, 79prawo transpozycji, 77, 79predykat, 99predykat identyczności, 107prefiks, 17, 20prefiks formuły, 120prefiksowa postać normalna, 120problem rozstrzygalności, 154problem syntezy sieci logicznych, 64produkcja, 20produkt kartezjański, 193, 236przecięcie zbiorów, 177przeciwdziedzina, 198, 223przeciwobraz zbioru, 234przedłużenie funkcji, 226przedrostek formuły, 120przedrostkowa postać normalna, 120przekątna, 200przekrój właściwy, 246przekrój zbiorów, 177przekroju zbioru, 245przekształcenie, 222przekształcenie kanoniczne, 213przemienność ∩, 177

292 INDEKS

przemienność ∪, 175przesłanka, 13przestrzeń, 96, 170przestrzeń ilorazowa, 208punkt, 193

różnica symetryczna zbiorów, 180różnica zbiorów, 179równość funkcji, 224równoliczność zbiorów, 249równoważność, 16–18rachunek logiczny, 11, 13rachunek predykatów, 14rachunek zbiorów, 161rachunek zdań, 14, 31, 61racja, 13racja zdania, 71reguła, 73, 128reguła ∃L, 128, 129reguła ∃P , 128, 129reguła ∀L, 129reguła ∀P , 129reguła ∧L, 43reguła ∧P , 44reguła ⇔ L, 45reguła ⇔ P , 46reguła ¬L, 43reguła ¬P , 43reguła ∨L, 44reguła ∨P , 44reguła ⇒ L, 45reguła ⇒ P , 45reguła dołączania alternatywy, 85reguła dołączania dużego kwantyfika-

tora, 107, 136reguła dołączania koniunkcji, 85reguła dołączania małego kwantyfika-

tora, 107, 136

reguła dołączania nowych wierszy do-wodowych, 81, 84

reguła dołączania równoważności, 85reguła jednokrotna, 128, 129reguła lewostronna, 42reguła odrywania, 65, 79, 85, 107reguła opuszczania alternatywy, 85reguła opuszczania dużego kwantyfi-

katora, 107, 136reguła opuszczania koniunkcji, 85reguła opuszczania małego kwantyfi-

katora, 107, 136reguła opuszczania równoważności, 85reguła pierwotna, 84reguła podstawiania, 80, 107reguła prawostronna, 42reguła przepisywania, 20reguła rezolucji, 89, 91reguła strukturalna, 73reguła tworzenia dowodu, 81reguła tworzenia dowodu niewprost,

83reguła tworzenia dowodu wprost, 83reguła wielokrotna, 129reguła wtórna, 84, 86reguła zastępowania, 80reguły gramatyczne, 14reguły konstrukcji wyrażeń, 18reguły semantyczne, 14reguły syntaktyczne, 14, 18reguły znaczeniowe, 14relacja, 96, 196relacja antysymetryczna, 203relacja asymetryczna, 203relacja binarna, 197relacja dobrze porządkująca, 247relacja dobrze ufundowana, 247relacja dwuczłonowa, 197

INDEKS 293

relacja leżenia poniżej, 41relacja liniowo porządkująca, 244relacja n–członowa, 197relacja niewiększości dla liczb kardy-

nalnych, 270relacja poprzedzania, 238relacja porządkująca, 237relacja przechodnia, 205relacja przeciwsymetryczna, 203relacja przeciwzwrotna, 201relacja równoważności, 207relacja spójna, 244relacja symetryczna, 202relacja zredukowana, 221relacja zwrotna, 200reverse Polish notation, 18rezolwenta, 90rozłączność zbiorów, 179rozgałęzienie, 41rozstrzygalność, 33, 154rozszerzenie funkcji, 226

słownik, 14, 18słowo końcowe, 20słowo nad alfabetem, 19słowo początkowe, 20słowo puste, 19schemat wnioskowania, 73schemat wnioskowania odpowiadający

schematowi zdania, 76schemat zdania, 25semantycznie niesprzeczny zbiór zdań,

70semantyka, 11, 31semiotyka, 11sieć logiczna, 62sieć podstawowa, 64singleton, 165

skok, 246skolemizacja, 124spójnik, 15spójnik dwuargumentowy, 15spójnik główny, 17spójnik jednoargumentowy, 15spójnik prawdziwościowy, 14, 53spójniki równoważne (ekstensjonalnie

równe), 54spełnianie, 141sprawdzanie metodą niewprost, 35sprzeczność, 128sprzeczny zbiór formuł, 110stała indywiduowa, 96stała Skolema, 124standardowa postać skolemowska, 124stosunek, 196sufiks, 17, 20suma liczb kardynalnych, 264suma zbiorów, 175superpozycja funkcji, 231supozycja materialna, 30surjekcja, 225sygnatura funkcji, 223sygnatura języka, 101sygnatura relacji, 197sylogizm hipotetyczny, 77sylogizm warunkowy, 87symbol końcowy (terminalny), 22symbol niekońcowy (nieterminalny),

22symbol początkowy (startowy) grama-

tyki, 22symetryczne domknięcie relacji, 222syntaktycznie niesprzeczny zbiór zdań,

70syntaktyka, 11, 31system implikacyjno-negacyjny, 80

294 INDEKS

tablica binarna, 43tablica otwarta, 42tablica semantyczna, 41, 46tablica semantyczna zamknięta, 130tablica zakończona, 43tablica zamknięta, 42tautologia, 31, 33, 47tautologia języka rachunku predyka-

tów, 106teoria dowodu, 23teoria interpretacji, 23teoria mnogości, 161teoria modeli, 23teoria wynikania syntaktycznego, 23teoriomnogościowe prawo (nie)sprze-

czności, 180teoriomnogościowe prawo wyłączonego

środka, 180term, 99teza Churcha, 157teza Churcha-Turinga, 157teza indukcyjna, 27teza rachunku predykatów, 110teza rachunku zdań, 80tollendo tollens, 77transformacja, 222twierdzenie, 81twierdzenie Cantora-Bernsteina, 271,

274twierdzenie Gödla o pełności, 153twierdzenie o dedukcji, 68, 115twierdzenie o funkcjonalnej pełności,

57twierdzenie o pełności, 52twierdzenie o rozbiorze, 28twierdzenie o zastępowaniu, 56twierdzenie o zwartości, 153typ funkcji, 223

układ podstawowa, 64unifikacja termów, 128uniwersum, 96uogólniona suma zbiorów, 183uogólnione prawa De Morgana, 186uogólnione przecięcie zbiorów, 183uogólnione twierdzenie o niesprzecz-

ności, 71, 153uogólnione twierdzenie o pełności, 71uogólniony iloczyn kartezjański, 236uogólniony produkt kartezjański, 236uzasadnianie, 13uzupełnienie zbioru, 173

właściwy nadzbiór, 171wartość funkcji, 223wartość logiczna, 13, 32wartość termu, 141warunek bazowy, 26warunek indukcyjny, 26warunek końcowy, 26warunek niepustości, 212warunek początkowy, 26warunek początkowy (bazowy), 27warunek rozłączności, 212warunek zupełności, 212wielozbiór, 163wiersz dowodowy, 82wniosek, 13, 65wnioskowanie, 13wnioskowanie dedukcyjne, 13wnioskowanie przez indukcję (mate-

matyczną), 27wtórna, 84wykładnik potęgi liczby kardynalnej,

267wykres funkcji, 224wynikanie, 13

INDEKS 295

wynikanie (logiczne), 13wynikanie semantyczne, 71, 149wynikanie syntaktyczne, 65wyprowadzalność, 65wyprowadzenie ze słowa, 20wyraz ciągu, 19wystąpienie problemu, 154

x jest zawarte w y, 238

złożenie sekwencyjne funkcji, 231założenia dowodu założeniowego, 82założenie, 65zakres predykatu, 99zakres zmienności, 96zależność, 196zamknięcie formuły, 104zanegowane pytanie, 128zasada abstrakcji, 213zasada ciągłości Dedekinda, 246zasada dopisywania nowych wierszy

dowodowych, 82zasada dowodzenia reguł wtórnych, 86zasada dwuwartościowości, 14zasada dwuwartościwości, 13zasada ekonomii, 12zasada ekstensjonalności, 168zasada niesprzeczności, 77zasada podwójnej negacji, 88zasada rekurencji strukturalnej, 28zasada tożsamości, 77zasada wiązania na lewo, 24zasada wyłączonego środka, 78zasady indukcji strukturalnej dla ra-

chunku zdań, 27zasady wiązania przez spójniki, 24zasięg działania kwantyfikatora, 103zasięg kwantyfikatora, 103

zastępowanie, 20zawieranie się zbiorów, 171zbiór dobrze ufundowany, 247zbiór dobrze uporządkowany, 247zbiór dokładny, 163zbiór domknięty ze względu na reguły

konstrukcji, 26zbiór dualny, 242zbiór dzielony, 212zbiór liniowo uporządkowany ciągły,

246zbiór liniowo uporządkowany gęsto, 245zbiór nieprzeliczalny, 261zbiór nieskończony, 250zbiór obliczalny, 259zbiór pełny, 170zbiór potęgowy, 188zbiór przeliczalny, 253zbiór przybliżony, 163zbiór pusty, 169zbiór refleksywny, 250zbiór regularny, 247zbiór rekurencyjnie przeliczalny, 259zbiór rekurencyjny, 259zbiór reprezentantów, 208zbiór rozmyty, 162zbiór scharakteryzowany intensjonal-

nie, 165zbiór skończony, 249zbiór uniwersalny, 96, 170zbiór uporządkowany, 238zbiór w znaczeniu abstrakcyjnym, 161zbiór w znaczeniu dystrybutywnym,

161, 162zbiór w znaczeniu kolektywnym, 161zbiór w znaczeniu mereologicznym, 161zbiór zdań spełniony w modelu, 71zdanie (logicznie) prawdziwe, 30, 149

296 INDEKS

zdanie żywe, 42zdanie atomowe, 13zdanie fałszywe, 12zdanie fałszywe w modelu, 29, 149zdanie języka rachunku predykatów,

104zdanie martwe, 42zdanie prawdziwe, 12zdanie prawdziwe w modelu, 28zdanie proste, 13, 15zdanie spełnione w modelu, 29zdanie złożone, 15zmienna gramatyki, 22zmienna indywiduowa, 96zmienna wolna, 104zmienna wolna w formule, 104zmienna związana, 103znak abstrakcji, 166znak interpunkcyjny, 16związek, 196zwrotne domknięcie relacji, 221

Bibliografia

(1965), w: M. Davis, red., ‘The Undecidable: Basic Papers on UndecidablePropositions, Unsolvable Problems, and Computable Functions’, RavenPress, Hewlett, N.Y.

Davis, M. & Putnam, H. (1960), ‘Computing procedure for quantificationtheory’, Journal of the ACM 7(3), 201–215.

Gödel, K. (1930), ‘Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktion-skalküls’, Monatshefte für Mathematik und Physik 37, 349–360. (Gödel’sDissertation, 1929) also with English transl. in Collected Works, S. Fe-ferman et al., eds., vol. 1, Oxford University Press, Oxford, 1986, pp.60–101.

Grzegorczyk, A. (1957), Zagadnienia rozstrzygalności, Warszawa.

Herbrand, J. (1929), Recherches sur la théorie de la démonstration, PhDthesis, Warszawa. Dysertacja doktorska dla Uniwersytetu Paryskiego,opublikowana w: Travaux de la Société des Sciences et des Lettres deVarsovie, Classe II, Sciences math. et phys., no. 33. Warszawa, s. 128;datowane: 14 IV 1929. Przedruk w: Herbrand, Écrits logiques, PressesUniversitaires de France, Paris 1968, s. 35–153. Dowód twierdzenia odedukcji w §2.4, rodz. 3 (s. 61 w oryginale, s. 90–91 w przedruku z r.1968).

Horn, A. (1951), ‘On sentences which are true of direct unions of algebra’,Journal of Symbolic Logic 16, 14–21.

Kuratowski, K. (1922), ‘Une méthode d’élimination des nombres transfinisdes raisonnements mathématiques’, Fundamenta Mathematicae 3, 76–108.

297

298 BIBLIOGRAFIA

Löwenheim, L. (1915), ‘Über Möglichkeiten im Relativkalkül’, Mathemati-schen Annalen 76, 447–470. Przekład ang. w: (van Heijenoort 1967),s. 232–251.

Morris, C. (1938), Foundations of the theory of signs, w: ‘International En-cyclopedia of United Scince’, Vol. 1, Chicago University Press, Chicago.

Murawski, R. (1990), Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Pro-blemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenie Gödla, Poznań. II wyd.1991.

Murawski, R. (1999), Recursive Functions and Metamathematics. Problemsof Completeness and Decidability, Gödel’s Theorems, Kluwer AcademicPublishers, Dordrecht-Boston-London.

Robinson, J. A. (1965), ‘A machine-oriented logic based on the resolu-tion principle’, Journal of the Association for Computing Machinery12(1), 23–41.

Skolem, T. A. (1920), Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Er-füllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem The-orem über dichte Mengen, I, Skrifter utgitt av Videnskapsselskapet i Kri-stiania, Mat. Naturv. Kl. 4.

Tarski, A. (1933), Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, Prace To-warzystwa Naukowego Warszawskiego, Warszawa. Zob. (Tarski 1936 (zarok 1935)). Tłumaczenie angielskie: „The Concept of Truth in Forma-lized Languages”, w: Logic, Semantics, Metamatematics: Papers from1923 to 1938, Oxford 1956.

Tarski, A. (1936 (za rok 1935)), ‘Der Wahrheitsbegriff in der formalisier-ten Sprachen’, Studia Philosophica 41, 261–405. Uzupełniony przekładz wydania polskiego w 1933 r., (Tarski 1933).

Tarski, A. (1944), ‘The semantic conception of truth and the foundation ofsemantics’, Philosophy and Phenomenological Research 4, 341–376.

Trzęsicki, K. (2003), Logika i teoria mnogości. Ujęcie systematyczno-historyczne, Exit, Warszawa.

BIBLIOGRAFIA 299

Trzęsicki, K. (2006), ‘From the idea of decidability to the number Ω’, Studiesin Grammar, Logic and Rethoric 9(22), 73–142.

Turing, A. M. (1936–37), ‘On computable numbers, with an applicationto the Entscheidungsproblem’, Proceedings of the London Mathema-tical Society 42(Series 2), 230–265. Received May 25, 1936; Ap-pendix added August 28; read November 12, 1936; corrections Ibid.vol. 43(1937), pp. 544–546. Turing’s paper appeared in Part 2 of vol.42 which was issued in December 1936 (Reprint in M. Davis (ed.)1965, pp.116–151, ( 1965); corr. ibid. pp. 151–154). Online version:http://www.abelard.org/turpap2/tp2-ie.asp.

van Heijenoort, J., red. (1967), From Frege to Gödel. A source book in Ma-thematical Logic, Harvard University Press, Cambridge Mass.

Zorn, M. (1935), ‘A remark on method in transfinite algebra’, Bulletin of theAmerican Mathematical Society 41, 667–670.

elementy logiki i teorii mnogości

Documents