NOWA KONCEPCJA LOGIKI

To może być albo układ elektryczny, albo paliwo.

Ale iskrę na świecy pan masz, paliwo też dochodzi.

A więc albo gaźnik, albo coś gorszego.

(z rozumowania mechanika samochodowego)

Zadanie logiki.

Zasadnicze zadanie logiki można sformułować krótko: Na czym polega wyciąganie

trafnych, poprawnych wniosków? Jak praktycznie rozstrzygać, czy dane rozumowanie jest

poprawne czy nie? Logika współczesna – jak stwierdziliśmy – nie daje na te podstawowe

pytania żadnej odpowiedzi.

Co to jest logika? Wittgenstein

Czysta logika.

Pierwsze to rozumowania i paradoksy konstruowane przez starożytnych sofistów

i retorów.

,,Zgubiłeś rogi? Nie zgubiłeś. A zatem je posiadasz – jesteś rogaczem”.

,,Jeśli kłamca twierdzi, że kłamie, to jednocześnie kłamie i mówi prawdę. Bo jeśli

w tym momencie mówi prawdę, to kłamie, a jeśli kłamie, to mówi prawdę.”

Analiza tego typu rozumowań tkwi u źródeł logiki współczesnej,

Inne rozumowania, które można uznać za czysto logiczne, to rozumowania związane

z rozwiązywaniem różnego rodzaju praktycznych zagadek logicznych.

Przykład z retoryki. ,,Zgubiłeś rogi? Nie zgubiłeś. A zatem je posiadasz – jesteś rogaczem.”

Na czym polega niepoprawność tego rozumowania? Gdzie tkwi błąd?...

Przykład z praktyki. Co w praktyce sprawia, że rozumowaniu skłonni jesteśmy przypisać

miano logicznego? (Wittgenstein – znaczenia słów)

Rozważmy najprostsze praktyczne rozumowanie: Siedzę przed telewizorem i oto

gaśnie światło w pokoju. Wysiadły korki – wnioskuję (tzn. przepaliły się bezpieczniki). Czy

można orzec o wniosku takim, że jest logiczny? Czy rozumowanie takie nazwalibyśmy

logicznym? Sądzę, że przeciętny użytkownik języka miałby tu wątpliwości. Istnieje bowiem,

co prawda, ewidentny związek pomiędzy faktami zgaśnięcia telewizora i światła oraz

przepalenia się korków, wnioskowanie to związane jest z pewną prawidłowością, ale

przypomina nam ono raczej (nabyty) odruch warunkowy, i trudno byłoby powiedzieć, że

wyciągnięcie takiego wniosku wymaga sztuki logicznego myślenia.

Rozwińmy nasz przykład następująco. Zgasł telewizor i zgasło światło. Co się stało? –

pytam siebie. Albo wysiadły korki, albo wyłączyli prąd (nastąpiła przerwa w dopływie prądu

z elektrowni). Ale – wyglądam przez okno – w innych mieszkaniach pali się światło. A zatem

– wnioskuję – wysiadły korki. Logiczne?

dokonaliśmy pewnej analizy możliwości (możliwych stanów rzeczy).

• mechanik naprawiający czy to samochód, czy telewizor,

• lekarz przy badaniu pacjenta i stawianiu diagnozy,

• detektyw poszukujący sprawcy przestępstwa,

• dyrektor mający podjąć ważną decyzję,

• programista układający program lub usiłujący wykryć błąd w programie,

• publicysta analizujący sytuację polityczną,

• zwykły człowiek stojący przed zagadkami życia codziennego.

Któż z nich zna logikę formalną, któż stosuje formalne schematy logiczne?

Rysunek 1. Schemat naprawy samochodu (drzewo decyzyjne)

Główna teza.

Typowy mechanizm wyciągania logicznych wniosków:

1. skojarzenia, zgadnięcie, domysł

2. świadomej refleksja czy tak rzeczywiście musi być, czy nie ma innej możliwości?

Mniej lub bardziej złożone analizy możliwości są także charakterystyczne dla wszystkich

wzmiankowanych praktycznych logicznych rozumowań.

• różny charakter w zależności od dziedziny rozważań.

• mniej lub bardziej precyzyjne,

• mniej lub bardziej oparte na konkretnej wiedzy,

• mniej lub bardziej rutynowe.

• Przestrzeń rozważanych możliwości – mniej lub bardziej wyraźna, co wpływa

na pewność, co do wyciąganych wniosków.

• odwołujemy się zazwyczaj do naszej wiedzy i doświadczenia,

• zagadki logiczne – czyste?

Logika w praktyce to analiza możliwości. Wniosek uznajemy za logiczny,

prawidłowy, jeśli przekonani jesteśmy, że nie ma innej (rozsądnej) możliwości.

tę ogólną tezę musimy sprecyzować i rozwinąć, a jednocześnie możliwie przekonująco

uzasadnić.

Descartes R., Discours de la méthode, 1637 (wyd. polskie: Rozprawa o metodzie,

PWN, Warszawa 1981).

„[…] Zamiast wielkiej liczby prawideł, z których składa się logika, starczyłoby cztery

następujące, bylebym tylko powziął niezłomne i trwałe postanowienie, by ni razu nie

zaniedbać ich przestrzegania.

(1) Pierwszym było, aby nigdy nie przyjmować za prawdziwą żadnej rzeczy, zanim by

jako taka nie została rozpoznana przeze mnie w sposób oczywisty: co znaczy, aby starannie

unikać pośpiechu i uprzedzeń oraz by nie zawrzeć w swych sądach nic ponad to, co jawi się

przed mym umysłem tak jasno i wyraźnie, że nie miałbym żadnego powodu, by o tym

powątpiewać.

(2) Drugim, aby dzielić każde z badanych zagadnień na tyle cząstek, na ile by się dało

i na ile byłoby potrzeba dla najlepszego ich rozwiązania.

(3) Trzecim, by prowadzić swe myśli w porządku, poczynając od przedmiotów

najprostszych i najdostępniejszych poznaniu i wznosić się po trochu, jakby po stopniach, aż

do poznania przedmiotów bardziej złożonych, przyjmując porządek nawet wśród tych

przedmiotów, które bynajmniej z natury swej nie wyprzedzają się wzajemnie.

(4) i ostatnie, by czynić wszędzie wyliczenia tak całkowite i przeglądy tak

powszechne, aby być pewnym, że nic nie zostało pominięte”..

(Paradoksalnie Kartezjusz uznawany jest też za ojca „metody kartezjańskiej”

rozumianej jako matematyzacja i formalizacja nauki.)

Zagadki logiczne.

Na dworze króla Artura. (Przykład ten, jak i kilka dalszych, zaczerpnąłem z książki

Zdzisława Nowaka, Po rozum do głowy (Wesoła logika), Warszawa, 1987).

Innymi typowymi zagadkami logicznymi (często zamieszczanymi w popularnych

czasopismach) są tzw. algebrafy. Oto przykład:

ABC – DA = AFG

+ x :

AG : DF = A

AHB – DEG = DDC

Inne zagadki logiczne? ĆWICZENIA: Nawet zagadki Bilba mają elementy „przeszukiwania

przestrzeni możliwości”.

--- Znalezienie ogólnej metody rozwiązywania wszelkich zadań logicznych jest, wobec tych

kilku przykładów, zadaniem mocno wygórowanym. Twórczy charakter:

• wybór rodzaju (i kolejności) rozważanych możliwości,

• sformułowanie odpowiedniego pytania, które jest najłatwiejsze do

rozstrzygnięcia na początku analizy.

• dobry pomysł,

• przełamanie myślowych schematów.

--- rozwiązania tego zadania podjęli się (nieco pochopnie) badacze w dziedzinie sztucznej

inteligencji.

--- nasze zadanie znacznie skromniejsze. Chcemy wypracować jakąś ogólną, mniej lub

bardziej mechaniczną metodę weryfikacji rozumowań.

Powrót do matematyki.

Czy matematyka i stosowane w niej rozumowania potwierdzają naszą wstępną ogólną tezę

o logice? I kwestię tą można nawet uznać za decydującą, bowiem na pierwszy rzut oka

potwierdzenia takiego nie widać. (Gdyby było widać, to prawdopodobnie dawno już logika

akademicka miałaby kształt, który tutaj proponuję.)

• Problem: wyjątkowy, skrajny charakter rozumowań matematycznych (wiedza,

twierdzenia, ścisłość, niezawodność)

• jako wzorzec praktycznych rozumowań logicznych ???

• aspekty specyficzne dla matematyki i elementarna logika

Dowód przez przypadki czy ciąg wnioskowań.

• teorie bogate vs ubogie (matematyka dyskretna)

• każdy dowód przez przypadki da się przedstawić jako ciąg wnioskowań,

• ale i odwrotnie – co bardziej naturalne?

• fundamentalność rozróżnienie dowodzenia: wprost i nie wprost (nie widać jej w

modelu formalnym)

• rozważanie możliwości – zasadnicza część praktycznej weryfikacji dowodu

matematycznego, podczas gdy ujęcie proponowane przez logikę formalną nie daje

żadnej praktycznej metody sprawdzania dowodów.

Weryfikacja dowodu matematycznego.

• pojęcie oczywistości (nieostre i względne)

• w razie problemów i wątpliwości – czy da się skonstruować kontrprzykład, czy nie

ma innej możliwości?

• wskazanie kontrprzykładu: podstawowy sposób obalania rozumowania

matematycznego

• niemożność skonstruowania kontrprzykładu à uzupełnienie dowodu

• znajomość formalnej logiki i schematów wnioskowania praktycznie bezużyteczna

• podstawa praktycznej weryfikacji dowodów matematycznych jest rozeznanie w danej

dziedzinie matematyki i wyobraźnia – umiejętność konstruowania kontrprzykładów.

• Błędy w dowodach, o ile nie są to błędy niekompetencji, polegają właśnie najczęściej

na nieuwzględnieniu (ukrytej w taki czy inny sposób) możliwości (przypadku).

Znalezienie kontrprzykładu, obala wniosek, i znajduje to następujące potwierdzenie

w logice formalnej. Jeśli istnieje kontrprzykład dla danej tezy, to nie istnieje żaden formalny

dowód tej tezy (w danej teorii). Lub wyrażając się inaczej: to co logicznie wynika z pewnych

przesłanek, prawdziwe jest we wszelkich możliwych światach, w których przesłanki te są

spełnione.

Tę ostatnią tezę (pochodzącą od Leibniza) wykorzystywali filozofowie usiłujący

skonstruować ogólną definicję prawdy logicznej. Nie zdołali jednak wyciągnąć wniosku, że

wobec tego, praktyczna logika musi być po prostu analizą możliwości.

Analiza rozumowań niematematycznych. – metoda wzorowana na praktycznej metodzie

weryfikacji dowodu matematycznego:

• przesunięcie akcentów, pewne rzeczy wymagają bardziej szczegółowej analizy (np.

samo wyodrębnianie wniosków i stwierdzeń, znaczenia zdań), inne wymagają

modyfikacji (pojęcie oczywistości?).

• Ale jasne przy tym powinno być, że daremne jest poszukiwanie metody bardziej

efektywnej, bardziej mechanicznej, skoro sama matematyka metody takiej w praktyce

nie posiada.

• Istota metody: sprawdzenie, czy żadna możliwość nie została pominięta.

Ćwiczenie: Tekst Dedukcja Sherlocka Holmesa ( Tajemnica złotego pince-nez)

Nasza analiza nie oznacza to, że rozumowania Holmes są błędne, nielogiczne:

• wnioski, które wyciąga Holmes są najbardziej prawdopodobnymi możliwościami,

możliwości inne, których nie bierze pod uwagę, są nieprawdopodobne lub mało

prawdopodobne,

• rozumowania Holmesa, choć niezupełne, są skuteczne.

• ale rozumowania Holmesa nie są nie są dedukcyjne (w sensie logiki współczesnej), są

jedynie uprawdopodabniajace.

• (przy tego typu wnioskowaniach) nieprawdopodobne jest, aby zawsze się sprawdzały

niezawodność Holmesa jest literacka fantazją

• typowe analizy możliwości, z pominięciem (mniej lub bardziej świadomym)

możliwości mało prawdopodobnych (np. dokładniejsze badania i eksperymenty

służące upewnieniu się, że dany wniosek jest trafny, wykluczeniu innych możliwości.)

• poza logiką: niezwykła spostrzegawczość, zdolność kojarzenia, umiejętność

dostrzegania istotnych dla sprawy elementów w drobnych szczegółach (nie da się

nauczyć)

Większość rozumowań, wszystkie rozumowania dotyczące realnego świata, są niezupełne

w tym sensie, że pomijają całe klasy mniej prawdopodobnych możliwości. Dotyczy to

w równej mierze rozumowań, na przykład, w dziedzinie psychologii, co i w fizyce i technice.

FIZYKA

• Konstruowanie samolotów --- teoria + praktyczne próby, które ujawniają zazwyczaj wiele

nieprzewidzianych efektów

• Fizyka – też opiera się na niezupełnych i zawodnych analizach możliwości.

• rozwiązywanie zadań, konkretne obliczenia – to matematyka (nawet algorytmy)

• rozumowania przyczyniające się do odkrywania i wynajdywania takich schematów,

rozumowania twórcze w dziedzinie fizyki, wyciąganie logicznych wniosków z wyników

eksperymentów i obserwacji – są tak samo niezupełne i zawodne, jak ,,dedukcje”

Sherlocka Holmesa i zdroworozsądkowe wnioski mechanika samochodowego.

• eksperyment myślowy, eksperyment krzyżowy,

• Newton: ”chyba, że szkła których użyłem nie są dość doskonałe”,

• Maxwell nie pisał ,,stąd wynika”, ale na przykład, ,,z trudem możemy uniknąć wniosku”.

• Newtona – światło strumieniem cząsteczek (brak efektów interferencji i dyfrakcji).

• Maxwella – w świetle nagromadzonych „dowodów” – fala elektromagnetyczna. A jeśli

jest falą, to coś musi falować

• Nie uwzględniali możliwości, że światło ma naturę podwójną: korpuskularno-falową

Wśród możliwości, których fizyk nie uwzględnia w badaniach (ale których dogmatycznie nie

wyklucza) są takie, że Bóg w danym przypadku może zechce uczynić cud, albo, że wszystkie

prawa fizyki ulegną od jutra zmianie, albo „coś o czym w tej chwili nie mam zielonego

pojęcia”.

• Odważnik na sznurku ??

• Stosunkowa pewność w fizyce, wynika z :

o zastosowania matematyki, oraz z

o codziennego potwierdzania przez (praktykę praw mechaniki i innych bliskich codzienności.

To czego powinien być świadomy każdy naukowiec, to fakt, że o realnym świecie

niczego pewnego dowieść się nie da. (czym dalej od codziennej praktyki, tym mniejsza

pewność: kosmologia, archeologia).

Einstein: jeśli matematyczne prawa odnoszą się do rzeczywistości, to nie są pewne;

a jeśli są pewne, to nie odnoszą się do rzeczywistości.

Ćwiczenie: Tekst Dedukcja Sherlocka Holmesa ( Tajemnica złotego pince-nez)

– ,,Poszukuje się kobiety o dobrych manierach i wykwintnie ubranej. Posiada ona szczególnie

gruby nos i blisko siebie osadzone oczy. Czoło zmarszczone, ostry wyraz twarzy, plecy

prawdopodobnie skrzywione. Pewne szczegóły wskazują na to, że w ostatnich dwóch

miesiącach była dwa razy u optyka, ponieważ używa szkieł bardzo silnych, a optyków jest

niewielu, zatem nietrudno będzie odnaleźć jej ślad”.

Holmes zaśmiał się widząc zdumienie Hopkinsa. Muszę się przyznać, że i ja (Dr

Watson) byłem zdumiony.

– Cała ta dedukcja jest niezwykle prosta – rzekł. – Według mnie nie ma przedmiotu

bardziej nadającego się do badań niż pince-nez, i to takie specjalne pince-nez jak to. Jest

własnością kobiety, to wynika z jego wykonania i ostatnich słów umierającego sekretarza. Ze

złotej kunsztownej oprawy wnoszę, że należy do kobiety o dobrych manierach, wytwornie

ubranej. Kabłąki są silnie rozstawione, więc nos jej u nasady musi być bardzo gruby. Nosy

tego gatunku są zazwyczaj krótkie, ale zdarzają się wyjątki, więc przy tym twierdzeniu nie

będę się upierał. Ja sam mam wąska twarz, a jednak szkła są dla mnie ułożone za blisko.

Wynika z tego, że oczy naszej damy muszą być blisko siebie osadzone. Możesz się przekonać

Watsonie, że szkła są wklęsłe i bardzo silne. Kobieta, która przez całe życie jest tak

krótkowidząca musi nosić ślady tej ułomności na czole w postaci zmarszczek i mieć

skrzywione plecy.

– Tak – odparłem. – Twoje argumenty są niezwykle jasne. Przyznaję jednak, że nie

wiem, z czego wnioskujesz o dwukrotnym odwiedzeniu optyka.

Holmes wziął ponownie pince-nez do ręki.

– O ile ci wiadomo – wyjaśnił – kabłąki pokryte są pasemkami korka w celu

złagodzenia ucisku na nos. Jedno pasemko jest brudne i zatłuszczone, drugie natomiast nowe.

Widocznie niedawno zostało założone. Tamto zaś zostało zmienione nie dalej jak przed

kilkoma miesiącami. Obydwa są takie same i wykonane identycznie, mogę więc założyć, że

obie naprawy zostały dokonane w tym samym sklepie.

– Na Boga, to cudowne! – zawołał Hopkins z najwyższym podziwem. – Pomyśleć, że

wszystko to miałem w ręku i nie wiedziałem o niczym!”

• Przede wszystkim złote pince-nez nie musiały być koniecznie własnością mordercy

(mogły być, na przykład własnością ciotki sekretarza, albo być rodzajem pamiątki czy

talizmanu, itp.), a stąd już wynika, że wszystkie wnioski są jedynie prawdopodobne,

nie pewne.

• Nawet jeśli szkła należały do kobiety-morderczyni, to mogły być wykonane przez

kiepskiego optyka, i kobieta mogła się czuć lepiej bez nich, niż z nimi na nosie, mógł

to być przedmiot od parady albo do maskowania się. Wtedy upadają wszystkie

wnioski o wyglądzie kobiety, jak również, te powołujące się na jej krótkowzroczność.

• Nieprawdopodobny, ale przecież nie całkowicie wykluczony jest przypadek, że nawet

ślepa osoba przejdzie wąski trawnik, nie zahaczając o ścieżkę.

• Nie można też z absolutną pewnością wykluczyć, że ,,nasza dama” posiadała, na

przykład, skrzydła, lub jeśli skrzydła wydają się Czytelnikowi zbytnią przesadą – to

jednak: zapasową parę szkieł.

Takie różne nieuwzględnione w rozumowaniu możliwości można by mnożyć,

• Kobieta znajdująca się w schowku w pokoju profesora mogła już (z takich czy innych

przyczyn) nie żyć, a wówczas nie mogłaby zostawić oczywiście żadnych śladów na

popiele rozsypanym przez Holmesa (choć i w tej sprawie absolutnej pewności mieć

nie można) – pułapka zastawiona przez detektywa mogła dać mylną wskazówkę.

Podobne, liczne luki, mniejsze lub większe wątpliwości, można znaleźć

w rozumowaniach przedstawionych w innych opowiadaniach i nowelach.

Nasza analiza nie oznacza to, że rozumowania Holmes są błędne, nielogiczne:

• wnioski, które wyciąga Holmes są najbardziej prawdopodobnymi możliwościami,

możliwości inne, których nie bierze pod uwagę, są nieprawdopodobne lub mało

prawdopodobne,

• rozumowania Holmesa, choć niezupełne, są skuteczne.

• ale rozumowania Holmesa nie są nie są dedukcyjne (w sensie logiki współczesnej), są

jedynie uprawdopodabniajace.

• (przy tego typu wnioskowaniach) nieprawdopodobne jest, aby zawsze się sprawdzały

niezawodność Holmesa jest literacka fantazją

• typowe analizy możliwości, z pominięciem (mniej lub bardziej świadomym)

możliwości mało prawdopodobnych (np. dokładniejsze badania i eksperymenty

służące upewnieniu się, że dany wniosek jest trafny, wykluczeniu innych możliwości.)

• poza logiką: niezwykła spostrzegawczość, zdolność kojarzenia, umiejętność

dostrzegania istotnych dla sprawy elementów w drobnych szczegółach (nie da się

nauczyć)

Zupełność vs niezupełność

• Rozumowania matematycze i niematematyczne

• pewność (ciągłe spektrum)

• zupełność

• przedmiot językowo zupełny

• zupełność ßà konieczność ß à matematyka

• szachy

• Jaka jest kolejna, niewymieniona, liczba w ciągu 3, 2, 4, 3, 5, 4, ...

= = = = naprzemienne odejmowanie jedynki i dodawanie dwójki

• Czy jest to jednak wniosek logicznie zupełny? Czy nie ma innej możliwości?

• liczby 2, 5, 8, itd. występujących za każdym razem w otoczeniu liczb 3 i 4.

• Znaleźć najbardziej naturalną, najprostszą regułę ...”

Zgadywanie, zakładanie vs wnioskowanie.

• kawałek drzewa zasłoniętego przez dom kontynuuje się poza domem

w naturalny sposób,

• samochód po drugiej niewidocznej stronie wygląda normalnie (ma cztery

koła),

• krowa cała czarna z jednej strony jest też czarna z drugiej strony,

• krzesło, do którego odwracamy się tyłem nie znika, lecz nadal tkwi

nieruchomo za naszymi plecami.

• Czasami się mylimy (i bywamy zaskoczeni).

• Kwestia białej łaty (możliwość rozsądna?)

• Kiedy logiczne rozumowanie?

• Odgadnięcie obrazu z kawałka

• nieostra granica między logicznym rozumowaniem a zakładaniem

• kryterium: analiza możliwości

• WASYL

Wnioski

1. Praktyczne analizy: niezupełne ze względu na efektywność, ale i niewiedzę i brak

wyobraźni

2. rozsądne możliwości: nie tylko jawnie dane przesłanki, ale całość naszej wiedzy,

doświadczenia i wyobraźni.

Logiczny wniosek w praktycznym rozumowaniu nie jest więc zazwyczaj prostą konsekwencją

przesłanek, jak to ujmuje tradycyjna logika (nawet jeśli uwzględnimy przesłanki

entymematyczne), lecz konsekwencją ogólnego obrazu przedmiotu rozważań w naszym

umyśle, jego oglądu, z uwzględnieniem również niejasnych i nie w pełni świadomych

przekonań i wyobrażeń. (Także w matematyce!). Mimo tego i właśnie dlatego, analizy nasze

są skuteczne i efektywne.

Najgorsza w próbach nauczania logiki jest sugestia, że rozumowania zależą od form zdań!

3. Nawet w przypadkach, gdy teoretycznie możliwe są analizy zupełne, lub prawie

zupełne, często skuteczniejsze okazują się rozumowania niezupełne. A więc, nie tylko

że większości naszych rozumowań nie sposób zmatematyzować, ale nawet, gdy taka

możliwość istnieje, okazuje się ona często nierozsądna, bezowocna lub nie warta

zachodu.

Racjonalne podejście do zagadnień naukowych i praktycznych winno zatem zawierać w sobie

element krytycznej refleksji i oceny dotyczących możliwości i sensowności zastosowania

języka matematyki i metod matematycznych w odniesieniu do danego zagadnienia czy

przedmiotu. Ten istotny fakt zdaje się być często jeszcze niedostrzegany ani przez naukowców,

ani przez metodologów nauki.