klassen von flächen costa-fläche benedikt türk, lukas bäcker - 7.1.20151
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Klassen von Flächen
Costa-Fläche
Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015
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2Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015
• Regelflächen• Minimalfläch
en• Drehflächen• Röhrenfläche
n
Klassen von Flächen
Für das Rechnen mit Flächen (hier vor allem Minimalflächen)wichtig: Integration von Funktionen auf S
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Klassen von Flächen -
Integration
Def (integrierbar): Eine Funktion mit
heißt (Lebesgue-) integrierbar, falls die Funktion
(Lebesgue-) integrierbar ist. Der Wert des Integrals ist
, wobei man den folgenden formalen Ausdruck als Flächenelement bezeichnet:
Integration
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Klassen von Flächen -
Integration
„Punkt auf der Karte“ ( ∈ U )
F: U → S ∩ Vf: S → R(f ist skalar)
Verzerrungsfaktor
Beispiel: Flächeninhalt der Sphäre
Integration
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Klassen von Flächen -
Regelflächen
Idee: Sei I R ein offenes Intervall und sei eine parametrisierte Raumkurve. Hefte nun an jedem Punkt dieser Kurve eine Gerade an, um so eine Fläche zu erhalten. Sei dazu eine glatte Abbildungmit für alle t ∈ I.Sei J R ein weiteres offenes Intervall. Wir setzen mit
Regelflächen
Def(Regelfläche): Eine reguläre Fläche S R³, die durch obige Parametrisierungüberdeckt werden kann, heißt Regelfläche .
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Klassen von Flächen -
Regelflächen
Beispiele
Zylinder? JA
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Klassen von Flächen -
Regelflächen
Beispiele
Kegel? JA
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Klassen von Flächen -
Regelflächen
Beispiele
EinschaligesHyperboloid?
JA
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Klassen von Flächen -
Regelflächen
Satz (Gauß-Krümmung): Sei S R³ eine Regelfläche. Dann gilt für die Gauß-Krümmung
Satz
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
MinimalflächenErinnerung (Diverse Krümmungsbegriffe): Sei S R³ eine reguläre Fläche.Für einen Punkt p ∈ S nennt man
Gauß-Krümmung und
Mittlere Krümmung von S in p. Häufig betrachtet man das mittlere Krümmungsfeld,das folgendermaßen definiert ist (N ist Normalenfeld):
Sätze
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
MinimalflächenDef (Minimalfläche): Eine reguläre Fläche S R³ heißt Minimalfläche, falls
(entspricht der Bedingung H , falls S orientierbar )
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele
Ebene? JA
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele
Helikoid? Beispiel
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Satz
Satz (Krümmungen): Für jede reguläre Fläche gilt
Insbesondere gilt für die Gaußkrümmung von Minimalflächen
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele - Enneperfläche
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen
Richmond-Minimalfläche
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen
Chen-Gackstatter-Minimalfläche
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele – Katenoid
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Klassen von Flächen -
Minimalflächen
Beispiele
Mischung aus Helikoid und Katenoid
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Klassen von Flächen -
Drehflächen
Idee: Wähle eine ebene Kurve in der x-z-Ebene und lasse diese um die z-AchseRotieren. Ist r(t) eine ebene Kurve, so erhalten wir eine lokale Parametrisierung derZugehörigen Drehfläche durch
Drehflächen
Wählt man z.B. einmal und einmal , so erhält man zwei lokaleParametrisierungen, die die ganze Drehfläche überdecken
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Klassen von Flächen -
Drehflächen
Durch die Darstellung
Lassen sich explizit die beiden Fundamentalformen (in Abhängigkeit von r(t)) bestimmen undman erhält für die Weingarten-Abbildung:
In weiterer Folge ließen sich die Gauß-Krümmung H sowie die mittlere Krümmung K explizitDarstellen.
Bemerkung
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Klassen von Flächen -
Drehflächen
Beispiele – Katenoid „zum Zweiten“
Das Katenoid ist die einzige Fläche, die zugleichMinimalfläche UND Drehfläche ist.
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Klassen von Flächen -
Drehflächen
Beispiele
Rotationsparaboloid
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Klassen von Flächen -
Drehflächen
Beispiele
Traktrix
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Klassen von Flächen -
Röhrenflächen
RöhrenflächenIdee: Sei eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht verschwindenderKrümmung, für alle . Dann sind die Windung und dasFrenet-Dreibein definiert. Sei , dann betrachten wir folgende Parametrisierung:
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Klassen von Flächen -
Röhrenflächen
Beispiele
Torus