kalkulus lanjut ( slide 1 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 11

Kalkulus Lanjut (slide 1)

Dosen PengampuDosen Pengampu

Dra. Harmastuti M.KomDra. Harmastuti M.Kom

by.tuti & Kris 2

Jurusan Matematika

Fakultas Sains Terapan ISTA

Kompetensi Matakuliah:

Setelah mengikuti matakuliah Kalkulus Lanjut mahasiswa diharapkan mampu : memahami konsep-konsep dasar Kalkulus lanjut dan dapat menerapkan pada permasalahan di bidang statistika atau bidang lain secara tepat.

Program Studi : StatistikaSKS : 3Semester : III


Rencana PerkuliahanRencana Perkuliahan((Pertemuan PertamaPertemuan Pertama))

Pendahuluan : Pendahuluan : Menginformasikan TentangMenginformasikan Tentang

Kontrak Pembelajaran

GBPP; Cara Penilaian; Cara Penilaian, , Model TugasModel Tugas


SilabusSilabusMateri yang akan dibahas dalam satu semester sbb:Materi yang akan dibahas dalam satu semester sbb:

Fungsi perubah ganda, Fungsi perubah ganda, limit dan kontinuitas fungsi perubah limit dan kontinuitas fungsi perubah ganda.ganda.

Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih tinggi. tinggi. Deferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif Deferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif parsial derivatif fungsi komposit. parsial derivatif fungsi komposit.

Theorema Taylor, deret Taylor dan Maclaurin, Transformasi Theorema Taylor, deret Taylor dan Maclaurin, Transformasi koordinat, determinan jacobi, koordinat lengkung. koordinat, determinan jacobi, koordinat lengkung.

Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian silang(cross) vekto,r fungsi vector, derivatif vektor, gradient , silang(cross) vekto,r fungsi vector, derivatif vektor, gradient , curl. Tafsiran geometri derivatif vector. Bidang singgung dan curl. Tafsiran geometri derivatif vector. Bidang singgung dan garis normal permukaan, Derivatif berarah. Titik garis normal permukaan, Derivatif berarah. Titik Ekstrim( Masimum dan minimum). Pelipat lagrangeEkstrim( Masimum dan minimum). Pelipat lagrange

Integral : vector , garis.teorema Green, divergensi dan stokes. Integral : vector , garis.teorema Green, divergensi dan stokes.

Deret Fourier, Deret Fourier, Integral Fourier, fungsi gamma dan fungsi betaIntegral Fourier, fungsi gamma dan fungsi beta


Buku PustakaBuku Pustaka

Wajib :Wajib :

1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, 1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Calculus , Prentice hall Englewood Prentice hall Englewood Cliffs , New JerseyCliffs , New Jersey

2.Kreyszic, 1988 : ‘ 2.Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Mathematics’Advanced Engineering Mathematics’, 6th ed, John , 6th ed, John Wiley & Sons,Wiley & Sons,

New York.New York.

3.Spiegel M. R. 1990,’ 3.Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’Kalkulus lanjutan’ , edisi terjemahan Penerbit , edisi terjemahan Penerbit Erlangga.Erlangga.

Pilihan :Pilihan :

1. Leithol, L 1991 : 1. Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’, Erllangga, Erllangga

2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ 2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Geometri AnalitikKalkulus dan Geometri Analitik ‘ ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta., jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta.


Apa itu kalkulus LanjutApa itu kalkulus Lanjut ? ?

Kalkulus lanjut adalah matematika yang Kalkulus lanjut adalah matematika yang

membahas fungsi lebih dari satu variabel (multi membahas fungsi lebih dari satu variabel (multi

variabel) baik dalam menentukan nilai fungsi, variabel) baik dalam menentukan nilai fungsi,

limit, kontinu, derivatif, integral, deret beserta limit, kontinu, derivatif, integral, deret beserta

aplikasinya. Untuk mempela- jarinya diharapkan aplikasinya. Untuk mempela- jarinya diharapkan

sudah pernah mengambil matakuliah kalkulus 2.sudah pernah mengambil matakuliah kalkulus 2.


Materi yang dibahas pada pertemuan Materi yang dibahas pada pertemuan 11

1.1. Fungsi dua perubahFungsi dua perubah

2.2. Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitas


Fungsi dua perubahFungsi dua perubah

Diketahui D daerah di dalam R Diketahui D daerah di dalam R 2 2 pada bidang pada bidang XOY.XOY.

Fungsi Fungsi ff : D : D . didefinisikan z = . didefinisikan z = ff(x,y) (x,y)

untuk setiap (x,y)untuk setiap (x,y) D disebut fungsi dua D disebut fungsi dua

perubah(variable), dengan x dan y perubah perubah(variable), dengan x dan y perubah

bebas. bebas.


Ilustrasi GrafisIlustrasi Grafis

ff : D : D , , (x,y)(x,y)D dan z = D dan z = ff(x,y)(x,y) pada bidang S.pada bidang S.

X

Z

Y

(x,y)

Z=f(x,y) S

a bc

d


Contoh. 1.1Contoh. 1.1

FungsiFungsi f f didefinisikandidefinisikan : :

z = z = ff(x,y) = . (x,y) = .

nilai fungsi nilai fungsi ff, di titik(2,1) adalah , di titik(2,1) adalah f f (2,1) = (2,1) =

yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikandidefinisikan

22 yxy2x

xy

9

2


Contoh 1.2.Contoh 1.2.

Dengan cara yang sama Dengan cara yang sama

untuk z = untuk z = ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22

nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah ff(1,-1) = 2(1,-1) = 2



Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan

persamaanpersamaan

z = z = ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22

menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:


2. Limit dan kontinuitas2. Limit dan kontinuitasa. Limit :a. Limit : Definisi- 1.1Definisi- 1.1. Fungsi . Fungsi ff dikatakan mempunyai limit L untuk dikatakan mempunyai limit L untuk

(x,y) (x,y) (x (x00 ,y ,y00) yang ditulis ) yang ditulis

jika untuk setiap jika untuk setiap >0 terdapat >0 terdapat >0. sehingga untuk setiap >0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi(x,y) yang memenuhi

0 < 0 < (1.1) (1.1)

maka maka | | ff(x,y) - L | < (x,y) - L | < ..

Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (xterbuka dengan pusat (x00,y,y00) dan berjari-jari) dan berjari-jari ..

L)

0y,

0x()y,x()y,x(flim

δ2)0y(y2)0x(x



Tentukan nilai limit Tentukan nilai limit ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22 untuk untuk (x,y) mendekati di titik (2,1)(x,y) mendekati di titik (2,1)

Jawab :Jawab :

5

)yx(lim

)y,x(lim

22

)1,2()y,x(

)1,2()y,x(

f


Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitasb. Kontinub. Kontinu : :Definisi- 1.2Definisi- 1.2.. Fungsi Fungsi ff dikatakan kontinu di titik dikatakan kontinu di titik (x(x00 ,y ,y00)) , jika , jika

1. 1. f f (x(x00 ,y ,y00) ) ada dan ada dan

2.2.

3.3. apabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka apabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka ff dikatakan dikatakan

tidak kontinu di titik tidak kontinu di titik (x(x00 ,y ,y00))

ada),y,x(lim)0y,0(xy)(x,

f

)y,(x)

0y,

0(xy)(x,y)(x,lim 00ff



Selidiki apakah fungsiSelidiki apakah fungsi ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22 kontinu di titik (2,1)kontinu di titik (2,1)

Jawab : SJawab : Subtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaituubtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaitu

1. 1. ff(2,1) = 5 < (2,1) = 5 < ada ada

2. 52. 5

3. 3. = 5= 5

karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi ff kontinu di titik (2,1) kontinu di titik (2,1)

)yx(lim)y,x(lim 22

)1,2()y,x()1,2()y,x(

f


Soal Latihan Soal Latihan

1. a. Jika f(x,y) = 6 – 2x – 2y tentukan nilai f(1,1) dan (1,2) serta gambar luasan yang terjadi.

b. Diberikan fungsi f(x,y) = sin (3x + 2y), tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (0 , /2). c. Diberikan fungsi

2y2x

yx2

y)f(x,

tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (4,3).

d. Diberikan fungsi xsine yy)f(x, tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y)= (/4, /3).

2. Gambarlah luasan

a. f(x,y) = 2y – x2 – y2

b. Gambarkan daerah R pada bidang XY yang dibatasi oleh X2 + Y2 = a2 ; X 2 +Y2 = b2 ; X = 0 dan Y = 0 dimana 0< a <b.

c. Gambarkan luasan f(x,y) = 2y – x2 – y2

a. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasana. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasan


b.Limit Fungsi Dua Perubahb.Limit Fungsi Dua Perubah


c.Kontinuitasc.Kontinuitas


ResumeResume

1. Apabila D daerah di dalam 2 atau bidang XOY, fungsi f : D didefinisikan z = f (x,y)

untuk setiap (x,y) D disebut fungsi dua variabel, dengan x dan y variabel independen.

2. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk (x,y) (x0 ,y0) yang ditulis

L)

0y,

0x()y,x()y,x(flim

jika untuk setiap >0 terdapat >0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi

0 < δ2)0y(y2)0x(x (1.1)

maka | f (x,y) - L | <

Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (x0,y0) dan berjari-jari .

3. Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0 ,y0) , jika f(x0 ,y0) ada dan

)y,f(x)

0y,

0(xy)(x,y)(x,f lim 00


Derivatif Parsial Derivatif Parsial

Pada slide ke2 dibahas Derivatif ParsialPada slide ke2 dibahas Derivatif Parsial untuk untuk fungsi dua perubah atau lebihfungsi dua perubah atau lebih

2222by.tuti & Krisby.tuti & Kris

The endThe end

Selamat Mempelajari danSelamat Mempelajari dan MendalamiMendalami Mata Kuliah Kalkulus Mata Kuliah Kalkulus

Lanjut Lanjut Semoga BermanfaatSemoga Bermanfaat

kalkulus lanjut ( slide 1 )

Documents