kalkulus lanjut integral permukaan dan teorema divergensi

12
 LAPORAN HASIL PRESENTASI MATA KULIAH MATEMATIKA LANJUT (Integral Permukaan dan Teorema Divergensi) Disusun Oleh : Kelompok II :  Sumarni H12112271  Nahliyani H12112272  Rahmadana H12112255  Boghi Kurniawan H12112263  Wahyudi Usman H11112273  Rijal Fajriatul H11112274  Aswad H. M H11112276  Risnayni H11112012  Arimbi Gita H11112272  Mentari H11112266 Dosen: Dr. Mawardi, M. Sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2013

Upload: luckyjecks

Post on 08-Oct-2015

228 views

Category:

Documents


22 download

DESCRIPTION

Kalkulus

TRANSCRIPT

  • LAPORAN HASIL PRESENTASI MATA KULIAH MATEMATIKA LANJUT

    (Integral Permukaan dan Teorema Divergensi)

    Disusun Oleh :

    Kelompok II :

    Sumarni H12112271

    Nahliyani H12112272

    Rahmadana H12112255

    Boghi Kurniawan H12112263

    Wahyudi Usman H11112273

    Rijal Fajriatul H11112274

    Aswad H. M H11112276

    Risnayni H11112012

    Arimbi Gita H11112272

    Mentari H11112266

    Dosen:

    Dr. Mawardi, M. Sc

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS HASANUDDIN

    MAKASSAR

    2013

  • 1. TEMPAT DAN WAKTU

    Waktu pelaksanaan yaitu pada :

    Hari/Tanggal : Senin,25 dan 30 November 2013

    Waktu : 12.50-15.00 dan 07.30-09.00 WITA

    Tempat : Ruang PB 231 dan Lt.7

    2. PESERTA

    Hampir semua mahasiswa kelas Matematika Lanjut C semester III.

    3. MATERI PRESENTASI

    Materi yang dipresentasikan yaitu Integral Permukaan dan Teorema Divergensi

    pada halaman 156-163 (referensi dari fileMatematika Lanjut).

    4. PROSES JALANNYA PRESENTASI

    1) Penyaji I : Sumarni (hadir)

    Halaman 156:

    Pada Bagian 4.1, kita telah belajar bagaimana cara untuk mengintegrasikan sepanjang

    kurva. Sekarang kita akan belajar bagaimana mengintegrasikan permukaan di R3,

    seperti pada bola atau parabola. Mengingat materi di bagian 1.8,bagaimana kita

    mengidentifikasi poin (x, y, z) pada kurva C di R3, dengan parameter x = x (t), y = y

    (t), z = z (t),a t b, dengan titik-titik terminal dari vektor posisi

    (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k untuk t dalam [a, b].

    Ide di balik parameterisasi kurva adalah bahwa hal itu mengubah subset dari R1

    (biasanya interval [a, b]) ke kurva di R2 atau R

    3 (lihat Gambar 4.4.1).

  • Gambar 4.4.1 Parameterisasi kurva C di R3

    Sama halnya dengan bagaimana kita menggunakan parameterisasi kurva untuk

    menentukan garis sepanjang kurva, kita akan menggunakan parameterisasi kurva

    untuk menentukan permukaan. Kita akan menggunakan dua variabel, u dan v, untuk

    parameter sebuah permukaan di R3 :

    x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v),

    untuk(u, v) di beberapa daerah R di R2 (lihat Gambar 4.4.2).

    Gambar 4.4.2 Parameterisasi permukaan di R3

    Dalam hal ini, vektor posisi pada permukaan diberikan oleh fungsi bernilai vector :

    (u,v) = x(u,v)I + y(u,v)j + z(u,v)k for (u,v) in R

  • 2) Penyaji 2 : Wahyudi Usman (hadir)

    Halaman 157

    Karena (u, v) adalah fungsi dari dua variabel, maka turunan parsial

    dan

    di R

    ditentukan dari :

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Parameterisasi dapat dianggap sebagai transformasi daerah di R2 ( di

    bidang uv) ke permukaan 2 dimensi di R3. Parameterisasi permukaan ini kadang-

    kadang disebut patch , berdasarkan gagasan menambal wilayah R ke dengan

    cara grid seperti ditunjukkan pada Gambar 4.4.2 .Bahkan,petak-petak di R membawa

    kita bagaimana kita akan menentukan permukaan atas . Sepanjang petak-petak

    vertikal di R, u variabel konstan . Jadi baris tersebut akan dipetakan menjadi kurva

    pada , dan u variabel konstan sepanjang r vektor posisi ( u , v ). Dengan demikian ,

    vektor singgung kurva pada suatu titik ( u , v ) adalah

    . Demikian pula, petak-

    petak horisontal dalam R dipetakan ke kurva pada dengan

    .

    Sekarang ambil titik ( u , v ) di R, dengan asumsi sudut kiri bawah dari salah

    satu kotak persegi panjang bagian dalam R , seperti yang ditunjukkan pada Gambar

    4.4.2 .Misalkan persegi panjang ini memiliki lebar kecil dan tinggi masing-masing

    dan . Poin sudut persegi panjang adalah( u , v ) , ( u + , v ) , (u + , v +

    ) dan ( u , v + ) .Jadi luas persegi panjang A = .

    Kemudian persegi panjang akan dipetakan oleh parameterisasi tadi ke beberapa

    bagian dari permukaan ,

    Untuk dan yang cukup kecil , akan memiliki luas permukaan ( sebut

    saja ) yang sangat dekat dengan luas jajaran genjang yang memiliki sisi yang

    berdekatan ( u + , v ) ( u , v )( sesuai dengan segmen garis dari ( u , v ) ke ( u

    + , v ) di R ) dan ( u , v + ) ( u , v )( sesuai dengan segmen garis dari ( u ,

    v ) ke ( u , v + ) di ) .

    Diterapkan pada fungsi dari dua variabel ,

  • ( ) ( )

    ( ) ( )

    Jadi,luas permukaan elemen d adalah

    ( ) ( ) ( ) ( ) (

    ) (

    )

    Dengan demikian, total luas permukaan S dari kira-kira jumlahnya

    , atas persegi panjang di R. Mengambil batas bahwa jumlah sebagai

    diagonal dari persegi panjang terbesar ke 0 memberikan :

    3) Penyaji Ketiga : Nahliyani (hadir)

    Halaman 158-159

    Kita akan menulis integral ganda di sebelah kanan menggunakan notasi khusus :

    Ini adalah kasus khusus dari integral permukaan sepanjang permukaan , di mana

    elemen luas permukaan d dapat dianggap sebagai 1d. Menggantikan 1 terhadap

    fungsi bernilai real f (x, y, z) didefinisikandi R3, seperti berikut:

    Definisi 4.3. Misalkan permukaan di R3 dengan parameter x = x (u, v), y = y (u,

    v),z = z (u, v), untuk (u, v) di beberapa daerah R di R2. Misalkan (u, v) = x (u, v) i +

    y (u, v) j + z (u, v) k adalah vektor posisi untuk setiap titik pada , dan misalkan f (x,

    y, z) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada beberapa

  • subset dari R3 yang berisi . Integral permukaan f (x, y, z) di atas permukaan

    adalah

    ( ) ( ( ) ( ) ( ))

    Secara khusus, luas permukaan S dari adalah

    Contoh 4.9. Sebuah torus T adalah sebuah permukaan yang diperoleh dengan

    memutar lingkaran dengan jari-jari dalam bidang yz sekitar sumbu z, di mana pusat

    lingkaran adalah pada jarak b dari sumbu z (0

  • Maka vector posisinya : ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    Sehingga,

    ( ) ( )

    dan menghitung perkalian silangnya :

    ( ) ( ) (

    )

    Yang memiliki jarak :

    ( )

    Dengan demikian, luas permukaan T adalah

    ( )

    |

  • 4) Penyaji keempat : Risnayni (hadir)

    Contoh lain( dari referensi lain) :

    Hitung luas permukaan dibawah bidang z=4

    Jawab:

    Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada darah S(daerah yang dibatasi lingkaran ).

    Misalkan ( ) . Maka diperoleh dan

    Sehingga luas permukaan G adalah

    Dengan {( ) }

    Dengan koordinat polar, maka batasan S berubah menjadi

    {( ) }

    Jadi,

    ( )

    ( ) |

    ( )

    Dan latihan halaman 163 no.1 :

    1. (x,y,z) = xi + 2yj + 3zk , : x2 + y2 + z2 = 9

    Jawab :

    Div =

    +

    +

    = 1 + 2 + 3

    = 6

    dv =

    dv = 6

    dv = 6 vol (s) = 6 . 4 (3)3/3

    = 6 .4 /3 (27)

    = 216

  • 5) Penyaji Kelima : Arimbi Gita (hadir)

    Halaman 160

    Definisi 4.4. Misalkan merupakan permukaan di R3 dan misalkan (x, y, z) = f1 (x,

    y, z) i + f2 (x, y, z) j + f3 (x, y, z) k menjadi medan vektor yang didefinisikan pada

    beberapa subset dari R3 yang berisi . Integral permukaan f di atas adalah

    dimana, di setiap titik di , n adalah satuan luar vektor normal ke .

    6) Penyaji Keenam : Aswad H.Mangalaeng (hadir)

    Halaman 160-161

    Contoh 4.10. Evaluasi integral permukaan

    ,dimana (x, y, z) = yzi + xzj +

    xyk dan adalah bagian dari x + y + z = 1 dengan x 0, y 0, dan z 0, dengan n

    menunjuk ke arah z positif (lihat Gambar 4.4.5).

    Solusi: Karena vektor = (1,1,1) adalah normal untuk x + y + z = 1 kemudian

    membagi oleh panjangnya menghasilkan vector n =(

    ). Kita sekarang perlu

    parameterisasi Seperti yang bisa kita lihat dari Gambar 4.4.5, memproyeksikan

    ke xy menghasilkan daerah segitiga R = {(x, y): 0 x 1, 0 y 1 x}. Jadi,

    dengan menggunakan (u, v) bukan (x, y), kita melihat bahwa

    ( ) untuk

    adalah parameterisasi dari atas R (karena z = 1 (x + y) pada ). Jadi pada ,

    ( ) (

    )

    ( )

    (( ) )

    (( )( ( )) )

  • (( ) ( ) )

    Untuk (u,v) di R dan untuk (u,v) = x(u,v)I + y(u,v)j + z(u,v)k = ui + vj + (1-(u +

    v))k sehingga

    ( ) ( ) ( )

    Dengan demikian, mengintegrasikan R menggunakan irisan vertikal (misalnya seperti

    yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 4.4.5 sehingga

    ( ( ( ) ( ) ( )) )

    (( ) ( ) )

    (( )

    ( )

    |

    )

    (

    )

    7) Penyaji ketujuh : Rahmadana (hadir)

    Halaman : 162

    Teorema 4.8 : Misalkan merupakan permukaan tertutup di R3 yang dibatasi oleh S,

    dan misalkan (x, y, z) = f1 (x, y, z) i + f2 (x, y, z) j + f3 (x, y, z) k menjadi medan

    vektor yang didefinisikan pada beberapa subset dari R3

    yang berisi .

  • Contoh soal :

    Tentukan

    dimana (x,y,z) = xi + yj + zk , = x2 + y2 + z2

    Solusi :

    Div =

    +

    +

    = 1 + 1 + 1

    = 3

    ( ) ( )

    8) Penyaji Kedelapan : Mentari (hadir)

    Halaman 163

    Teorema 4.9 :

    Jika fluks dari medan vektor f adalah nol melalui setiap permukaan tertutup yang

    memuat titik tertentu, maka div f = 0 pada titik tersebut.

    Bukti: Dengan rumus (4.33), pada titik tertentu (x, y, z)

    Div (x,y,z) =

    untuk permukaan tertutup yang berisi (x, y, z)

    ,sehingga

    =

    (0) dengan asumsi bahwa fluks melalui masing-masing

    adalah nol, sehingga,

    =

    = 0

    Terakhir,diperoleh notasi :

    (x,y,z) dan

    9) Penyaji kesembilan : Rijal Fajriatul (hadir)

  • Halaman 163

    Latihan no.2 :

    2. (x,y,z) = xi + yj + zk , : S = {(x,y,z): 0 x,y,z 1}

    Solusi :

    Div =

    +

    +

    = 1 + 1 + 1

    = 3

    =

    =

    dy dz

    =

    dz

    =

    = 3

    DAFTAR PUSTAKA

    Corral Michael. Vector Calculus. 2008

    Spiegel Murray and Wrede Robert C. KALKULUS LANJUT EDISI KEDUA.