kalkulus jegyzet

8/8/2019 kalkulus jegyzet

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B E V E Z E T É S A Z A N A L Í Z I S B E

M e z e i I s t v á n , F a r a g ó I s t v á n , S i m o n P é t e r

E ö t v ö s L o r á n d T u d o m á n y e g y e t e m

A l k a l m a z o t t A n a l í z i s é s S z á m í t á s m a t e m a t i k a i T a n s z é k



i i



T a r t a l o m j e g y z é k

1 . H a l m a z o k , r e l á c i ó k , f ü g g v é n y e k 1

1 . 1 . H a l m a z o k , r e l á c i ó k , f ü g g v é n y e k A . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 1 . 1 . H a l m a z o k é s r e l á c i ó k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 1 . 2 . F ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 . H a l m a z o k , r e l á c i ó k , f ü g g v é n y e k E . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 3 . 1 . E k v i v a l e n c i a é s r e n d e z é s i r e l á c i ó . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 3 . 2 . H a l m a z o k s z á m o s s á g a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 3 . 3 . R e l á c i ó k i n v e r z e é s k o m p o z í c i ó j a . . . . . . . . . . . . . . 9

2 . S z á m h a l m a z o k 1 1

2 . 1 . V a l ó s s z á m o k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 . 1 . 1 . A v a l ó s s z á m o k a x i ó m a r e n d s z e r e . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 . 1 . 2 . T e r m é s z e t e s , e g é s z é s r a c i o n á l i s s z á m o k . . . . . . . . . . 1 3

2 . 1 . 3 . F e l s ® é s a l s ó h a t á r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 1 . 4 . I n t e r v a l l u m o k é s k ö r n y e z e t e k . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 1 . 5 . V a l ó s s z á m o k h a t v á n y a i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 3 . K o m p l e x s z á m o k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 3 . 1 . A k o m p l e x s z á m f o g a l m a , m ¶ v e l e t e k . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 3 . 2 . K o m p l e x s z á m o k t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j a . . . . . . . . . . 2 1

3 . E l e m i f ü g g v é n y e k 2 3

3 . 1 . V a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y e k a l a p t u l a j d o n s á g a i A . . . . . . . . . . . 2 3

3 . 2 . A z e l e m i f ü g g v é n y e k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 2 . 1 . H a t v á n y f ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 2 . 2 . E x p o n e n c i á l i s é s l o g a r i t m u s f ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . 2 7

3 . 2 . 3 . T r i g o n o m e t r i k u s f ü g g v é n y e k é s i n v e r z e i k . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . 4 . H i p e r b o l i k u s f ü g g v é n y e k é s i n v e r z e i k . . . . . . . . . . . . 3 5

3 . 2 . 5 . N é h á n y k ü l ö n l e g e s f ü g g v é n y . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

3 . 3 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

i i i



i v T A R T A L O M J E G Y Z É K

4 . S o r o z a t o k , s o r o k 4 3

4 . 1 . S o r o z a t o k , s o r o k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

4 . 1 . 1 . A s o r o z a t f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i . . . . . . . . . . . . . 4 3

4 . 1 . 2 . S o r o z a t h a t á r é r t é k e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

4 . 1 . 3 . S o r o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

4 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 3 . S o r o z a t o k E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

4 . 3 . 1 . S o r o z a t k o n v e r g e n c i á j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

4 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k k o n v e r g e n s s o r o z a t o k k a l . . . . . . . . . . . . . 5 3

4 . 3 . 3 . R é s z s o r o z a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

4 . 3 . 4 . S o r o z a t l i m s u p - j a é s l i m i n f - j e . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

4 . 3 . 5 . I n t e r v a l l u m s o r o z a t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

4 . 3 . 6 . C a u c h y k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

4 . 3 . 7 . D i v e r g e n s s o r o z a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

4 . 4 . S o r o k E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

4 . 4 . 1 . S o r k o n v e r g e n c i á j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

4 . 4 . 2 . K o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

4 . 4 . 3 . V é g t e l e n s o r o k á t r e n d e z é s e i . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

5 . F o l y t o n o s s á g 6 3

5 . 1 . F o l y t o n o s s á g A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

5 . 1 . 1 . A f o l y t o n o s f ü g g v é n y f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i . . . . . . 6 3

5 . 1 . 2 . A m ¶ v e l e t e k é s a f o l y t o n o s s á g k a p c s o l a t a . . . . . . . . . 6 4

5 . 1 . 3 . I n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i . . . . . 6 5

5 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

5 . 3 . F o l y t o n o s s á g E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7

5 . 3 . 1 . A f o l y t o n o s s á g f o g a l m a é s a z á t v i t e l i e l v . . . . . . . . . . 6 7

5 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k k e l . . . . . . . . . . . . . 6 7

5 . 3 . 3 . I n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i . . . . . 6 8

5 . 3 . 4 . A z i n v e r z f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a . . . . . . . . . . . . . . 7 0

5 . 3 . 5 . E g y e n l e t e s f o l y t o n o s s á g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

6 . F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e 7 3

6 . 1 . F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

6 . 1 . 1 . " V é g e s b e n v e t t , v é g e s " h a t á r é r t é k . . . . . . . . . . . . . 7 3

6 . 1 . 2 . " V é g t e l e n b e n v e t t " , i l l e t v e " n e m v é g e s " h a t á r é r t é k . . . . 7 5

6 . 1 . 3 . E g y o l d a l i h a t á r é r t é k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

6 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8

6 . 3 . F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0

6 . 3 . 1 . A h a t á r é r t é k á l t a l á n o s d e n í c i ó j a é s a z á t v i t e l i e l v . . . . 8 0

6 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k f ü g g v é n y e k h a t á r é r t é k é v e l . . . . . . . . . . . . 8 2



T A R T A L O M J E G Y Z É K v

7 . D i e r e n c i á l h a t ó s á g 8 5

7 . 1 . D i e r e n c i á l h a t ó s á g A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5

7 . 1 . 1 . A d e r i v á l t f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e . . . . . . . . . 8 5

7 . 1 . 2 . E l e m i f ü g g v é n y e k d e r i v á l t j a é s a d e r i v á l á s i s z a b á l y o k . . . 8 8

7 . 1 . 3 . A d e r i v á l t k a p c s o l a t a a f ü g g v é n y t u l a j d o n s á g a i v a l . . . . 9 0

7 . 1 . 4 . T ö b b s z ö r ö s d e r i v á l t é s a T a y l o r - p o l i n o m . . . . . . . . . . 9 2

7 . 1 . 5 . L ' H o s p i t a l - s z a b á l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

7 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

7 . 3 . D i e r e n c i á l h a t ó s á g E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8

7 . 3 . 1 . A d e r i v á l t f o g a l m a é s k a p c s o l a t a a f o l y t o n o s s á g g a l . . . . 9 8

7 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y e k k e l , d e r i v á l á s i s z -

a b á l y o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9

7 . 3 . 3 . L o k á l i s n ö v e k e d é s , f o g y á s , l o k á l i s s z é l s ® é r t é k . . . . . . . 1 0 1

7 . 3 . 4 . K ö z é p é r t é k t é t e l e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3

7 . 3 . 5 . A g l o b á l i s m o n o t o n i t á s e l é g s é g e s f e l t é t e l e i . . . . . . . . . 1 0 4

7 . 3 . 6 . K o n v e x é s k o n k á v f ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

7 . 3 . 7 . T a y l o r - f o r m u l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

7 . 3 . 8 . L ' H o s p i t a l - s z a b á l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

8 . I n t e g r á l h a t ó s á g , i n t e g r á l s z á m í t á s 1 0 9

8 . 1 . I n t e g r á l s z á m í t á s A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9

8 . 1 . 1 . A R i e m a n n - i n t e g r á l f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e . . . . 1 0 9

8 . 1 . 2 . A R i e m a n n - i n t e g r á l é s a m ¶ v e l e t e k k a p c s o l a t a . . . . . . 1 1 2

8 . 1 . 3 . N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3

8 . 1 . 4 . P r i m i t í v f ü g g v é n y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5

8 . 1 . 5 . A z i n t e g r á l a l k a l m a z á s a i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

8 . 1 . 6 . F o u r i e r - s o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

8 . 1 . 7 . A z i m p r o p r i u s i n t e g r á l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5

8 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

8 . 3 . I n t e g r á l s z á m í t á s E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9

8 . 3 . 1 . A z i n t e g r á l f o g a l m a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9

8 . 3 . 2 . A z i n t e g r á l h a t ó s á g f e l t é t e l e i . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0

8 . 3 . 3 . M ¶ v e l e t e k é s a z i n t e g r á l k a p c s o l a t a . . . . . . . . . . . . . 1 3 2

8 . 3 . 4 . P r i m i t í v f ü g g v é n y é s a N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a . . . . . . 1 3 4

9 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k , f ü g g v é n y s o r o k 1 3 7

9 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k , f ü g g v é n y s o r o k A . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7

9 . 1 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7

9 . 1 . 2 . F ü g g v é n y s o r o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2

9 . 1 . 3 . H a t v á n y s o r o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

9 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

9 . 3 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k , f ü g g v é n y s o r o k E . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

9 . 3 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

9 . 3 . 2 . F ü g g v é n y s o r o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7

9 . 3 . 3 . H a t v á n y s o r o k , T a y l o r - s o r o k . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8



v i T A R T A L O M J E G Y Z É K

1 0 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k 1 5 1

1 0 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

1 0 . 1 . 1 . A z n - d i m e n z i ó s t é r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

1 0 . 1 . 2 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3

1 0 . 1 . 3 . H a t á r é r t é k é s f o l y t o n o s s á g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5

1 0 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7

1 0 . 3 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

1 0 . 3 . 1 . M e t r i k u s t é r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

1 0 . 3 . 2 . N y í l t é s z á r t h a l m a z o k ; k o m p a k t h a l m a z . . . . . . . . . . 1 6 0

1 0 . 3 . 3 . F o l y t o n o s f ü g g v é n y e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2

1 0 . 3 . 4 . F i x p o n t t é t e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3

1 1 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g a 1 6 5

1 1 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s d e r i v á l á s A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5

1 1 . 1 . 1 . P a r c i á l i s d e r i v á l t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5

1 1 . 1 . 2 . D e r i v á l t m á t r i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7

1 1 . 1 . 3 . É r i n t ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0

1 1 . 1 . 4 . S z é l s ® é r t é k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

1 1 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2

1 1 . 3 . T ö b b v á l t o z ó s d e r i v á l á s E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7

1 1 . 3 . 1 . P a r c i á l i s d e r i v á l t é s d e r i v á l t m á t r i x . . . . . . . . . . . . . 1 7 7

1 1 . 3 . 2 . M á s o d i k d e r i v á l t ; T a y l o r - f o r m u l a . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0

1 1 . 3 . 3 . S z é l s ® é r t é k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3

1 1 . 3 . 4 . I m p l i c i t - é s i n v e r z f ü g g v é n y t é t e l . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5

1 1 . 3 . 5 . F e l t é t e l e s s z é l s ® é r t é k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8

1 2 . V o n a l i n t e g r á l 1 9 1

1 2 . 1 . V o n a l i n t e g r á l A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1

1 2 . 1 . 1 . A v o n a l i n t e g r á l f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i . . . . . . . . . . 1 9 1

1 2 . 1 . 2 . P o t e n c i á l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4

1 2 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6

1 2 . 3 . V o n a l i n t e g r á l E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7

1 2 . 3 . 1 . A v o n a l i n t e g r á l f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i . . . . . . . . . . 1 9 7

1 2 . 3 . 2 . P o t e n c i á l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9

1 3 . D i e r e n c i á l e g y e n l e t e k 2 0 5

1 3 . 1 . D i e r e n c i á l e g y e n l e t e k A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5

1 3 . 1 . 1 . A l a p f o g a l m a k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5

1 3 . 1 . 2 . S z é t v á l a s z t h a t ó v á l t o z ó j ú d i e r e n c i á l e g y e n l e t . . . . . . . 2 0 6

1 3 . 1 . 3 . A l k a l m a z á s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7

1 3 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 8



T A R T A L O M J E G Y Z É K v i i

1 4 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y i n t e g r á l j a 2 1 1

1 4 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s i n t e g r á l A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

1 4 . 1 . 1 . A t ö b b v á l t o z ó s i n t e g r á l f o g a l m a . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

1 4 . 1 . 2 . A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a t é g l a l a p o n é s n o r m á l t a r t o m á n y o n 2 1 2

1 4 . 1 . 3 . A z i n t e g r á l t r a n s z f o r m á c i ó j a . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5

1 4 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6

1 5 . V e k t o r a n a l í z i s 2 1 7

1 5 . 1 . V e k t o r a n a l í z i s A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7

1 5 . 1 . 1 . T é r g ö r b é k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7

1 5 . 1 . 2 . F e l ü l e t e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

1 5 . 1 . 3 . A n a b l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6

1 5 . 1 . 4 . I n t e g r á l á t a l a k í t ó t é t e l e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7

1 5 . 2 . F e l a d a t o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8



v i i i T A R T A L O M J E G Y Z É K



1 . f e j e z e t

H a l m a z o k , r e l á c i ó k ,

f ü g g v é n y e k

B e m u t a t j u k a m a t e m a t i k a e s z k ö z e i t , a l é p t e n - n y o m o n h a s z n á l t f o g a l m a k a t , f o n t o s

m e g á l l a p o d á s o k a t v e z e t ü n k b e . B i z t o s a l a p o k a t k é s z í t ü n k a t o v á b b i é p í t k e z é s h e z .

G y a k r a n a l k a l m a z z u k a " m i n d e n " , i l l e t v e " t e t s z ® l e g e s " s z a v a k r ö v i d í t é s é r e a ∀,

a " l é t e z i k , i l l e t v e " v a n o l y a n " k i f e j e z é s e k h e l y e t t p e d i g a ∃ j e l e t . A z a l á b b i

t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• H a l m a z f o g a l m a é s h a l m a z m ¶ v e l e t e k

• R e l á c i ó

• F ü g g v é n y f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

• K o m p o z í c i ó é s i n v e r z

• H a l m a z s z á m o s s á g a

1 . 1 . H a l m a z o k , r e l á c i ó k , f ü g g v é n y e k A

1 . 1 . 1 . H a l m a z o k é s r e l á c i ó k

E g y h a l m a z t a k k o r t e k i n t ü n k i s m e r t n e k , h a m i n d e n j ó l m e g f o g a l m a z h a t ó d o l o -

g r ó l e l t u d j u k d ö n t e n i , h o g y h o z z á t a r t o z i k v a g y n e m t a r t o z i k h o z z á . ( A z o k o s

g o n d o l a t , a s z é p l á n y , a z e l é g n a g y s z á m v a g y a k i c s i p o z i t í v s z á m n e m

t e k i n t h e t ® j ó l m e g f o g a l m a z o t t d o l o g n a k , e z e k r ® l n e m k é r d e z z ü k , h o g y b e n n e

v a n n a k - e v a l a m i l y e n h a l m a z b a n , h o g y a l k o t n a k - e h a l m a z t . )

L e g y e n A h a l m a z , x e g y j ó l d e n i á l t d o l o g . H a x h o z z á t a r t o z i k a h a l m a z h o z ,

a k k o r e z t x ∈ A j e l ö l j e . H a x n e m t a r t o z i k h o z z á a h a l m a z h o z , a k k o r e z t x /∈ A j e l ö l i .

A h a l m a z e l e m e i t f e l s o r o l h a t j u k , p é l d á u l A := a,b,c,d , v a g y é r t e l m e s

t u l a j d o n s á g g a l a d j u k m e g a h a l m a z t , p é l d á u l B := x | x

v a l ó s s z á m é s x2 < 2 .

1



2 F E J E Z E T 1 . H A L M A Z O K , R E L Á C I Ó K , F Ü G G V É N Y E K

1 . 1 . D e n í c i ó . L e g y e n A é s B h a l m a z . A z t m o n d j u k , h o g y A r é s z e a B h a l -

m a z n a k , h a m i n d e n x∈

A e s e t é n x∈

B . J e l e : A⊂

B .

1 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n A é s B h a l m a z . A z A h a l m a z e g y e n l ® a B h a l m a z z a l ,

h a u g y a n a z o k a z e l e m e i . J e l e : A = B .

K ö n n y e n m e g g o n d o l h a t ó a k ö v e t k e z ® t é t e l :

1 . 1 . T é t e l . L e g y e n A é s B h a l m a z . A = B p o n t o s a n a k k o r , h a A ⊂ B é s

B ⊂ A.

N é h á n y e l j á r á s t m u t a t u n k , m e l y e k k e l ú j a b b h a l m a z o k h o z j u t h a t u n k .

1 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n A é s B h a l m a z .

A z A é s B e g y e s í t é s e ( u n i ó j a ) a z a h a l m a z , a m e l y r e A∪B := x | x ∈ A v a g y x ∈B

.

A z A é s B m e t s z e t e ( k ö z ö s r é s z e ) a z a h a l m a z , a m e l y r e A ∩ B := x | x ∈A é s x ∈ B .

A z A é s B k ü l ö n b s é g e a z a h a l m a z , a m e l y r e A \ B := x | x ∈ A é s x /∈ B.

A m e t s z e t é s a k ü l ö n b s é g k é p z é s e s o r á n e l k é p z e l h e t ® , h o g y e g y e t l e n x d o l o g

s e m r e n d e l k e z i k a k í v á n t t u l a j d o n s á g g a l . A z t a h a l m a z t , a m e l y n e k b á r m e l y j ó l

d e n i á l h a t ó d o l o g s e m e l e m e , ü r e s h a l m a z n a k n e v e z z ü k . J e l e : ∅ .

L e g y e n H h a l m a z é s A ⊂ H e g y r é s z h a l m a z a . A z A h a l m a z ( H - r a v o n a t k o z ó )

k o m p l e m e n t e r é n a z A := H \ A h a l m a z t é r t j ü k . D e M o r g a n - a z o n o s s á g o k n a k

n e v e z i k a k ö v e t k e z ® t é t e l t :

1 . 2 . T é t e l . L e g y e n H h a l m a z , A, B ⊂ H . E k k o r

A ∪ B = A ∩ B é s A ∩ B = A ∪ B.

L e g y e n a é s b d o l o g . A z a, b h a l m a z n y i l v á n s o k v á l t o z a t b a n f e l í r h a t ó :

a, b = b, a = a,b,b,a = a,b,b,a,b,b = s t b .

E z z e l s z e m b e n t e k i n t s ü k a l a p f o g a l o m n a k a z (a, b) r e n d e z e t t p á r t , a m e l y n e k

l é n y e g e s t u l a j d o n s á g a l e g y e n , h o g y

(a, b) = (c, d) p o n t o s a n a k k o r , h a a = c é s b = d.

A r e n d e z e t t p á r s e g í t s é g é v e l é r t e l m e z z ü k a h a l m a z o k s z o r z a t á t .

1 . 4 . D e n í c i ó . L e g y e n A, B h a l m a z . A z A é s B D e s c a r t e s - s z o r z a t a

A × B := (a, b) | a ∈ A é s b ∈ B.

P é l d á u l A := 2, 3, 5, B := 1, 3 e s e t é n

A × B = (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3).

A r e n d e z e t t p á r f o g a l m á r a é p ü l a r e l á c i ó .



1 . 1 . H A L M A Z O K , R E L Á C I Ó K , F Ü G G V É N Y E K A 3

1 . 5 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z r h a l m a z r e l á c i ó , h a m i n d e n e l e m e r e n -

d e z e t t p á r .

E g y m a g y a r - a n g o l s z ó t á r i s e g y r e l á c i ó , h i s z e n e l e m e i m a g y a r é s a n e k i m e g f e l e l ®

a n g o l s z ó b ó l a l k o t o t t r e n d e z e t t p á r o k .

1 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n r r e l á c i ó . A z r r e l á c i ó é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y a a

D(r) := x | v a n o l y a n y , h o g y (x, y) ∈ r.

A z r r e l á c i ó é r t é k k é s z l e t e

a z

R(r) := y | v a n o l y a n x ∈ D(r) , h o g y (x, y) ∈ r.

N y i l v á n r ⊂ D(r) × R(r).P é l d á u l r :=

(4, 2), (4, 3), (1, 2)

e s e t é n D(r) =

4, 1

, R(r) =

2, 3

.

1 . 1 . 2 . F ü g g v é n y e k

A f ü g g v é n y s p e c i á l i s r e l á c i ó .

1 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n f r e l á c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y , h a b á r m e l y

(x, y) ∈ f é s (x, z) ∈ f e s e t é n y = z .

P é l d á u l r := (1, 2), (2, 3), (2, 4) n e m f ü g g v é n y , h i s z e n (2, 3) ∈ r é s (2, 4) ∈ r ,

d e 3 = 4

; a z f := (1, 2), (2, 3), (3, 3) v i s z o n t f ü g g v é n y .

N é h á n y m e g á l l a p o d á s t t e s z ü n k f ü g g v é n y e k k ö r é b e n . H a f f ü g g v é n y , a k k o r

(x, y) ∈ f e s e t é n y a z f f ü g g v é n y x h e l y e n v e t t h e l y e t t e s í t é s i é r t é k e , v a g y a z

f f ü g g v é n y a z x- h e z a z y - t r e n d e l i h o z z á . J e l ö l é s b e n : y = f (x).

H a

f f ü g g v é n y é s

A := D(f ), a

Bp e d i g o l y a n h a l m a z , a m e l y r e

R(f ) ⊂B ( n y i l v á n A a f ü g g v é n y é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y a , B p e d i g a f ü g g v é n y ( e g y i k )

k é p h a l m a z a ) , a k k o r a z f ⊂ A×B, f f ü g g v é n y k i f e j e z é s h e l y e t t a z f : A → B j e l ö l é s t h a s z n á l j u k ( a z f f ü g g v é n y a z A h a l m a z t a B h a l m a z b a k é p e z i ) .

H a f f ü g g v é n y é s D(f ) ⊂ A, R(f ) ⊂ B , a k k o r f ∈ A B j e l ö l i e z t ( f a z

A h a l m a z b ó l a B h a l m a z b a k é p e z ® f ü g g v é n y ) .

P é l d á u l f := (a, α), (b, β ), (g, γ ), (d, δ), (e, ε) f ü g g v é n y . L á t h a t ó , h o g y β a z f f ü g g v é n y b h e l y e n v e t t h e l y e t t e s í t é s i é r t é k e , β = f (b) .

H a L a l a t i n b e t ¶ k , G p e d i g a g ö r ö g b e t ¶ k h a l m a z a , a k k o r f : a,b,g,d,e →G, f (a) = α, f (b) = β, f (g) = γ, f (d) = δ, f (e) = ε. H a c s a k a f ü g g v é n y t í p u s á r a

a k a r u n k u t a l n i , e l é g a z f ∈ L G .

T e r m é s z e t e s e n e g y f ü g g v é n y n e k i s v a n i n v e r z e , e z a z o n b a n n e m b i z t o s , h o g y

f ü g g v é n y l e s z .

1 . 8 . D e n í c i ó . L e g y e n f : A → B f ü g g v é n y . A z t m o n d j u k , h o g y a z f k ö l c -

s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ ( i n j e k t í v ) , h a k ü l ö n b ö z ® x1, x2 ∈ A e l e m e k n e k k ü l ö n -

b ö z ® B - b e l i e l e m e k e t f e l e l t e t m e g , a z a z b á r m e l y x1, x2 ∈ A, x1 = x2 e s e t é n

f (x1) = f (x2).

K ö n n y e n m e g g o n d o l h a t ó , h o g y k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y i n v e r z e i s f ü g -

g v é n y . R é s z l e t e s e b b e n :




1 . 3 . T é t e l . L e g y e n f f ü g g v é n y , A := D(f ), B := R(f ), f k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ .

E k k o r a z f i n v e r z e f −1 : B

→A o l y a n f ü g g v é n y , a m e l y b á r m e l y s

∈B p o n t h o z

a z t a t ∈ A p o n t o t r e n d e l i , a m e l y r e f (t) = s, ( r ö v i d e n : b á r m e l y s ∈ B e s e t é n

f (f −1(s)) = s.)

F ü g g v é n y e k k o m p o z í c i ó j á t i s e l k é s z í t h e t j ü k . S z e r e n c s é r e e z m i n d i g f ü g g v é n y

l e s z .

L e g y e n g : A → B, f : B → C. E k k o r a r e l á c i ó k k o m p o z í c i ó j á n a k f e l h a s z n á l á s á -

v a l m e g m u t a t h a t ó , h o g y

f g : A → C, b á r m e l y x ∈ A e s e t é n (f g)(x) = f (g(x)).

P é l d á u l a g f ü g g v é n y m i n d e n s z á m d u p l á j á h o z 1 - e t a d j o n h o z z á ( g : R →R, g(x) : = 2x + 1); a z f f ü g g v é n y p e d i g m i n d e n s z á m o t e m e l j e n n é g y z e t r e

(

f : R → R, f (x) := x2

) , a k k o r

f g : R → R,

(f g)(x) = (2x + 1)2

l e s z

a z f é s g k o m p o z í c i ó j a .

T o v á b b i h a s z n o s f o g a l m a k

L e g y e n f : A → B é s C ⊂ A. A z f f ü g g v é n y C - r e v a l ó l e s z ¶ k í t é s e

a z a z

f |C : C → B f ü g g v é n y , a m e l y r e b á r m e l y x ∈ C e s e t é n f |C (x) := f (x).

L e g y e n f : A → B, C ⊂ A é s D ⊂ B . A z

f (C ) := y | v a n o l y a n x ∈ C, a m e l y r e f (x) = y

h a l m a z t a C h a l m a z f f ü g g v é n n y e l l é t e s í t e t t k é p é n e k n e v e z z ü k . A z

f −1(D) := x | f (x) ∈ D

h a l m a z a D h a l m a z f f ü g g v é n y r e v o n a t k o z ó ® s k é p e . ( V i g y á z a t ! A z f −1n e m

i n v e r z f ü g g v é n y t j e l ö l e b b e n a z e s e t b e n . )

1 . 2 . F e l a d a t o k

1 . L e g y e n A := 2, 4, 6, 3, 5, 9 , B := 4, 5, 6, 7 , H := n | n e g é s z s z á m , 1 ≤n ≤ 20. K é s z í t s e e l a z A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A h a l m a z o k a t . M i l e s z a z

A h a l m a z H - r a v o n a t k o z ó A k o m p l e m e n t e r e ?

2 . L e g y e n A := a, b , B := a,b,c. A × B =? B × A =?

3 . L e g y e n

r := (x, y) | x, yv a l ó s s z á m ,

y = x2

. r−1

=?F ü g g v é n y - e a z

r?

F ü g g v é n y - e a z r−1?

4 . L e g y e n f : R → R, f (x) := x1+x2 . K é s z í t s e e l a z f f , f (f f ) f ü g -

g v é n y e k e t .

5 . G o n d o l j u k v é g i g e g y f : A → B k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y i n -

v e r z é n e k a s z e m l é l t e t é s é t !



1 . 3 . H A L M A Z O K , R E L Á C I Ó K , F Ü G G V É N Y E K E 5

6 . G o n d o l j u k m e g , h o g y e g y f : A → B k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y

i n v e r z é t a k ö v e t k e z ® l é p é s e k k e l l e h e t e l ® á l l í t a n i :

1 ) F e l í r j u k , h o g y y = f (x) .

2 ) F e l c s e r é l j ü k a z x é s y v á l t o z ó k a t : x = f (y).

3 ) E b b ® l a z e g y e n l e t b ® l k i f e j e z z ü k a z y - t a z x s e g í t s é g é v e l : y = g(x). E z

a g l e s z é p p e n a z f −1i n v e r z f ü g g v é n y .

P é l d á u l : f : R→ R, f (x) = 2x−1 . ( E z k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y . )

1 ) y = 2x − 12 ) x = 2y − 13 ) x + 1 = 2y , y = 1

2(x + 1) .

T e h á t f −1 : R→ R , f −1(x) = 12

(x + 1).S z e m l é l t e s s e i s a z

f é s

f −1f ü g g v é n y t !

7 . L e g y e n f : A → B , C 1, C 2 ⊂ A, D1, D2 ⊂ B. M u t a s s u k m e g , h o g y

f (C 1 ∪ C 2) = f (C 1) ∪ f (C 2)f (C 1 ∩ C 2) ⊂ f (C 1) ∩ f (C 2)f −1(D1 ∪ D2) = f −1(D1) ∪ f −1(D2)f −1(D1 ∩ D2) = f −1(D1) ∩ f −1(D2).

I g a z - e , h o g y h a C 1 ⊂ C 2 , a k k o r f (C 1) ⊂ f (C 2)?

I g a z - e , h o g y h a D1 ⊂ D2 , a k k o r f −1(D1) ⊂ f −1(D2) ?

8 . L e g y e n f : A → B , C ⊂ A, D ⊂ B.I g a z - e , h o g y f −1(f (C )) = C ? I g a z - e , h o g y f (f −1(D)) = D ?

1 . 3 . H a l m a z o k , r e l á c i ó k , f ü g g v é n y e k E

A r e n d e z e t t p á r t a l a p f o g a l o m n a k t e k i n t e t t ü k , d e l e h e t ® s é g v a n h a l m a z o k s e g í t -

s é g é v e l b e v e z e t n i a r e n d e z e t t p á r f o g a l m á t .

1 . 9 . D e n í c i ó . L e g y e n a é s b. A z (a, b) r e n d e z e t t p á r l e g y e n

(a, b) := a, a, b.

E z z e l a z é r t e l m e z é s s e l i g a z o l h a t ó a r e n d e z e t t p á r t j e l l e m z ® t u l a j d o n s á g .

1 . 4 . T é t e l . (a, b) = (c, d) ⇒ a = c é s b = d .

B i z o n y í t á s . ( ⇔) L e g y e n a, a, b = c, c, d.

1 . V a g y a = c , a m i b ® l

a = ck ö v e t k e z i k . T o v á b b á a, b = c, d , d e

a = c m i a t t b = d l e h e t c s a k .

2 . V a g y a = c, d , a m i b ® l c = d é s í g y a = c = d k ö v e t k e z i k . E k k o r

(c, d) = a, d e a k k o r a = a, b i s i g a z , í g y a = b. T e h á t a = b = c =d.

( ⇐) N y i l v á n v a l ó !




1 . 3 . 1 . E k v i v a l e n c i a é s r e n d e z é s i r e l á c i ó

A m a t e m a t i k a n é h á n y k é n y e s f o g a l m á t a r e l á c i ó k k a l é s f ü g g v é n y e k k e l h o z z u k

k a p c s o l a t b a .

1 . 1 0 . D e n í c i ó . L e g y e n H = ∅ , r ⊂ H × H, D(r) = H r e l á c i ó .

A z t m o n d j u k , h o g y

1 . r r e e x í v , h a ∀x ∈ H e s e t é n (x, x) ∈ r ;

2 . r s z i m m e t r i k u s , h a ∀(x, y) ∈ r e s e t é n (y, x) ∈ r ;

3 . r a n t i s z i m m e t r i k u s , h a m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r (x, y) ∈ r é s (y, x) ∈r , a k k o r x = y ;

4 .

rt r a n z i t í v , h a m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r

(x, y) ∈ ré s

(y, z) ∈ r, a k k o r

x = y .

1 . 1 1 . D e n í c i ó . H a a z r r e l á c i ó r e e x í v , s z i m m e t r i k u s é s t r a n z i t í v , a k k o r re k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó .

1 . 1 2 . D e n í c i ó . H a a z r r e l á c i ó r e e x í v , a n t i s z i m m e t r i k u s é s t r a n z i t í v , a k k o r

r r e n d e z é s i r e l á c i ó .

L e g y e n ∼ e g y e k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó a H h a l m a z o n ( D(∼) = H ) . Á l l a p o d j u n k

m e g a b b a n , h o g y (x, y) ∈∼ h e l y e t t a z x ∼ y j e l ö l é s t h a s z n á l j u k .

A ∼ e k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó s e g í t s é g é v e l a H h a l m a z t r é s z h a l m a z o k r a b o n t j u k

a k ö v e t k e z ® l é p é s e k k e l .

α ) L e g y e n x ∈ H . A z x- h e z t a r t o z ó e k v i v a l e n c i a - o s z t á l y

x/∼ := y | y ∈ H, x ∼ y.

β ) K ö n n y e n b e l á t h a t ó , h o g y h a x, z ∈ H , a k k o r

v a g y

x/∼ = z/∼, v a g y

x/∼ ∩ z/∼ = ∅.

E z a z t j e l e n t i , h o g y a H h a l m a z f e l b o n t h a t ó k ö z ö s p o n t n é l k ü l i e k v i v a l e n c i a -

o s z t á l y o k r a .

γ ) L e g y e n

H /∼ := X | ∃x ∈ H, h o g y X = x/∼.

A H /∼ a z e k v i v a l e n c i a - o s z t á l y o k h a l m a z a .

I g a z o l h a t ó , h o g y

1 . a

H /∼ e l e m e i k ö z ö s p o n t n é l k ü l i e k ( a β ) p o n t b a n e z t f o g a l m a z t u k m e g ) ,

2 . a

H /∼ e l e m e i n e k ( h a l m a z o k n a k ) a z e g y e s í t é s e k i a d j a a H h a l m a z t .

L á s s u n k k é t f o n t o s p é l d á t e r r e a z e l j á r á s r a .




1 . L e g y e n T a t ö r t e k h a l m a z a , a z a z

T =

pq

| p, q e g é s z s z á m , q = 0

.

A T h a l m a z o n é r t e l m e z ü n k e g y r e l á c i ó t :

a

b∼ c

d⇐⇒ ad = bc.

V é g i g g o n d o l h a t ó , h o g y ∼ e k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó . E k k o r

ab /∼ e k v i v a l e n c i a -

o s z t á l y b a b e l e t a r t o z i k a z ö s s z e s o l y a n t ö r t , a m e l y e g y e n l ® a z

ab - v e l . A

T /∼ h a l m a z p e d i g o l y a n k ö z ö s e l e m n é l k ü l i h a l m a z o k r a v a l ó f e l b o n t á s a a

T t ö r t e k h a l m a z á n a k , a m e l y e k e g y e s í t é s e k é n t v i s s z a k a p j u k a T h a l m a z t .

A z

ab /∼ e g y r a c i o n á l i s s z á m , a

T /∼ p e d i g a r a c i o n á l i s s z á m o k h a l m a z a .

Í g y v á l i k é r t h e t ® v é , h o g y

12 e g y e n l ®

24 - d e l ,

612 - d e l , h i s z e n e z e k a t ö r t e k

r e p r e z e n t á n s a i a z

12 /∼ r a c i o n á l i s s z á m n a k , é s a r a c i o n á l i s s z á m o k k a l v é g z e t t

m ¶ v e l e t e k s o r á n m i n d i g a m e g f e l e l ® r e p r e z e n t á n s t h ú z z u k e l ® a z o s z t á l y -

b ó l . P é l d á u l

1

2+

2

3=

3

6+

4

6=

7

6

a z t s u g a l l j a , h o g y

12 /∼ +

23 /∼ =

36 /∼ +

46 /∼ =

76 /∼.

2 . A m á s i k p é l d á b a n E

l e g y e n e g y s í k i r á n y í t o t t s z a k a s z a i n a k h a l m a z a . B e v e z e t ü n k

E - n e g y r e l á c i ó t : l e g y e n

a ∼ b, h a a z a s z a k a s z p á r h u z a m o s b - v e l , a z o n o s i r á n y ú a k é s e g y f o r m a h o s s z ú a k .

K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y ∼ e k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó . A z

a/∼ t a r t a l m a z z a a z a-

v a l p á r h u z a m o s , v e l e a z o n o s i r á n y ú é s h o s s z ú s á g ú i r á n y í t o t t s z a k a s z o k a t .

E g y i l y e n o s z t á l y l e g y e n e g y v e k t o r . A z

E /∼ a s í k v e k t o r a i n a k h a l m a z a .

Í g y v á l i k é r t h e t ® v é , h o g y v e k t o r o k ö s s z e a d á s á n á l a z e g y i k v e k t o r t e l t o l j u k

ú g y , h o g y a k é t v e k t o r k e z d ® p o n t j a m e g e g y e z z é k . V a l ó j á b a n m i n d k é t v e k -

t o r b ó l a z a l k a l m a s r e p r e z e n t á n s i r á n y í t o t t s z a k a s z t h ú z z u k e l ® , a z o k k a l

v é g e z z ü k e l a m ¶ v e l e t e t , é s a z e r e d ® i r á n y í t o t t s z a k a s z h o z t a r t o z ó e k v i v a l e n c i a -

o s z t á l y l e s z a z ö s s z e a d á s e r e d ® v e k t o r a .

A r e n d e z é s i r e l á c i ó k k a l k a p c s o l a t b a n c s a k k é t e g y s z e r ¶ p é l d á t t á r g y a l u n k .

L e g y e n N

a p o z i t í v e g é s z s z á m o k h a l m a z a . L e g y e n

≤a z a r e l á c i ó , a m e l y r e

a ≤ b, h a v a n o l y a n n e m n e g a t í v c e g é s z , h o g y a + c = b.

E z a ≤ v a l ó b a n r e n d e z é s i r e l á c i ó . M é g a z i s i g a z , h o g y b á r m e l y a, b ∈ N e s e t é n

v a g y a ≤ b , v a g y b ≤ a.

A z N p o z i t í v e g é s z e k h a l m a z á n e g y m á s i k r e l á c i ó t i s b e v e z e t h e t ü n k . A z t m o n d -

j u k , h o g y a

o s z t ó j a b

- n e k , h a v a n o l y a n k

p o z i t í v e g é s z , h o g y b = ak

. A z




o s z t h a t ó s á g r e l á c i ó r e e x í v ( a = a · 1 ) , a n t i s z i m m e t r i k u s ( h a b = ak é s a = bl ,

a k k o r b = blk , a m i b ® l lk = 1 , d e e z c s a k k = 1 é s l = 1 e s e t é n i g a z , t e h á t a = b)

é s t r a n z i t í v ( h a b = ak , c = bl , a k k o r c = akl , a z a z a o s z t ó j a c - n e k ) , t e h á t a z

o s z t h a t ó s á g i s r e n d e z é s i r e l á c i ó a z N

h a l m a z o n . C s a k n e m o l y a n s z é p , m i n t

a ≤ v o l t , h i s z e n , v a n o l y a n a, b ∈ N , a m e l y r e a n e m o s z t ó j a b - n e k , é s b s e m

o s z t ó j a a- n a k . ( P é l d á u l a := 4 é s b := 7 . )

1 . 3 . 2 . H a l m a z o k s z á m o s s á g a

G y a k r a n s z ü k s é g v a n h a l m a z o k e l e m s z á m á t ö s s z e h a s o n l í t a n i .

1 . 1 3 . D e n í c i ó . L e g y e n A, B h a l m a z . A z t m o n d j u k , h o g y A s z á m o s s á g a e g y e n l ®

a B s z á m o s s á g á v a l , h a v a n o l y a n φ : A → B f ü g g v é n y , a m e l y r e R(φ) = B , é s

φ k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ . [ A z i l y e n φ f ü g g v é n y t b i j e k c i ó n a k n e v e z z ü k A é s Bk ö z ö t t . ]

P é l d á u l a p o z i t í v e g é s z e k N

h a l m a z a é s a p o z i t í v p á r o s s z á m o k P h a l m a z a

e g y e n l ® s z á m o s s á g ú , h i s z e n a

φ : N→ P, φ(n) := 2n

f ü g g v é n y b i j e k c i ó N é s P k ö z ö t t .

1 . 1 4 . D e n í c i ó . L e g y e n A h a l m a z . A z t m o n d j u k , h o g y A v é g t e l e n ( s z á m o s s á g ú )

h a l m a z , h a ∃A ⊂ A, A = A, h o g y ∃φ : A → Ab i j e k c i ó .

A z e l ® b b i p é l d a é p p e n a z t m u t a t j a , h o g y N v é g t e l e n h a l m a z .

1 . 1 5 . D e n í c i ó . L e g y e n A v é g t e l e n h a l m a z . A z t m o n d j u k , h o g y A m e g s z á m -

l á l h a t ó , h a ∃φ : N→ A b i j e k c i ó .

M e g l e p ® , d e a r a c i o n á l i s s z á m o k Q

h a l m a z a m e g s z á m l á l h a t ó .

Í r j u k f e l a z 1, 2, 3, . . . , n , . . . n e v e z ® j ¶ t ö r t e k e t s o r o n k é n t .

. . . −31 −2

1 ← −11

01 → 1

121 → 3

1 . . .↓ ↑ ↓ ↑ ↓

. . . −32 −2

2 −12 ← 0

2 ← 12

22

32

. . .↓ ↑ ↓

. . . −33

−23

→ −13

→ 03

→ 13

→ 23

33

. . .↓

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A φ : N→ Q b i j e k c i ó t ú g y k é s z í t j ü k , h o g y

φ(1) := 01

, φ(2) := 11

, φ(3) := 12

, φ(4) := −12

, . . .

A r a j z s z e r i n t i l é p e g e t é s s e l h a l a d u n k , ü g y e l v e a r r a , h o g y o l y a n t ö r t e t u g o r j u n k

á t , a m e l y m á r e g y s z e r s o r r a k e r ü l t . E z z e l b i z t o s í t j u k , h o g y v a l ó b a n k ö l c s ö n ö s e n

e g y é r t e l m ¶ m a r a d j o n a f ü g g v é n y ü n k . L á t h a t ó a z i s , h o g y e l ® b b - u t ó b b m i n d e n

r a c i o n á l i s s z á m h o z e l j u t u n k , í g y φ b i j e k c i ó l e s z N é s Q k ö z ö t t , a m i a z t j e l e n t i ,

h o g y Q

m e g s z á m l á l h a t ó .




1 . 3 . 3 . R e l á c i ó k i n v e r z e é s k o m p o z í c i ó j a

K é t e l j á r á s t m u t a t u n k b e , a m e l l y e l a d o t t r e l á c i ó ( k ) b ó l ú j a b b r e l á c i ó h o z j u t h a t u n k .

1 . 1 6 . D e n í c i ó . L e g y e n r r e l á c i ó . A z r r e l á c i ó i n v e r z e a z a r e l á c i ó , a m e l y

r−1 := (s, t) | (t, s) ∈ r.

L á t h a t ó , h o g y r := (1, 3), (4, 2), (5, 2), (3, 3) e s e t é n

r−1 = (3, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3).

A m a g y a r - a n g o l s z ó t á r i n v e r z e a z a n g o l - m a g y a r s z ó t á r .

É r t e l m e z z ü k r e l á c i ó k k o m p o z í c i ó j á t ( ö s s z e t e t t r e l á c i ó , k ö z v e t e t t r e l á c i ó ) i s .

1 . 1 7 . D e n í c i ó . L e g y e n r, s r e l á c i ó . A z s b e l s ® r e l á c i ó é s r k ü l s ® r e l á c i ó

k o m p o z í c i ó j a l e g y e n

rs := (x, z) | v a n o l y a n y ∈ R(s)∩D(r) k ö z v e t í t ® e l e m , h o g y (x, y) ∈ s é s (y, z) ∈ r.

P é l d á u l s := (1, 2), (1, 4), (2, 3), r := (4, 3), (4, 4), (3, 5) e s e t é n

r s := (1, 3), (1, 4), (2, 5).

T e r m é s z e t e s e n e l k é s z í t h e t ® a z s r r e l á c i ó i s , d e e z m o s t

s r = ∅.

Á l t a l á b a n

r s = s r.

M e g l e p ® e n s z é p r e l á c i ó k k o m p o z í c i ó j á n a k i n v e r z e é s a z i n v e r z e k k o m p o z í -

c i ó j á n a k k a p c s o l a t a :

1 . 5 . T é t e l . L e g y e n r, s r e l á c i ó . E k k o r (r s)−1 = s−1 r−1.

M i v e l h a l m a z o k e g y e n l ® s é g é t s z e r e t n é n k i g a z o l n i , m e g m u t a t j u k , h o g y 1 . )

(r s)−1 ⊂ s−1 r−1é s 2 . ) s−1 r−1 ⊂ (r s)−1

.

1 . L e g y e n ( p,t) ∈ (r s)−1 ⇒ (t, p) ∈ r s ⇒ v a n o l y a n q ∈ R(s) ∩ D(r)k ö z v e t í t ® e l e m , h o g y (t, q) ∈ s é s (q, p) ∈ r ⇒ n y i l v á n ( p,q) ∈ r−1

é s

(q, t) ∈ s−1 ⇒ ( p,t) ∈ s−1 r−1.

2 . L e g y e n (u, w)

∈s−1

r−1

⇒v a n o l y a n v

∈R(r−1)

∩D(s−1) = R(s)

∩D(r)

k ö z v e t í t ® e l e m , h o g y (u, v) ∈ r−1 é s (v, w) ∈ s−1 ⇒ n y i l v á n (w, v) ∈ s é s

(v, u) ∈ r ⇒ (w, u) ∈ r s ⇒ (u, w) ∈ (r s)−1.



1 0 F E J E Z E T 1 . H A L M A Z O K , R E L Á C I Ó K , F Ü G G V É N Y E K



2 . f e j e z e t

S z á m h a l m a z o k

K i s k o r u n k t ó l s z á m o l u n k a v a l ó s s z á m o k k a l , ö s s z e a d j u k , s z o r o z z u k , o s z t j u k ® k e t ,

h a t v á n y o z u n k , a b s z o l ú t é r t é k é t v e s s z ü k a s z á m o k n a k . E g y e n l e t e k e t , e g y e n -

l ® t l e n s é g e k e t r e n d e z ü n k . M o s t l e f e k t e t j ü k a z t a v i s z o n y l a g e g y s z e r ¶ s z a b á -

l y r e n d s z e r t , a m e l y b ® l a m e g t a n u l t e l j á r á s o k l e v e z e t h e t ® k . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t

t á r g y a l j u k .

• V a l ó s s z á m o k h a l m a z a

• T e r m é s z e t e s s z á m o k h a l m a z a

• E g é s z s z á m o k é s r a c i o n á l i s s z á m o k h a l m a z a

• F e l s ® é s a l s ó h a t á r

• I n t e r v a l l u m é s k ö r n y e z e t

• H a t v á n y o z á s d e n í c i ó j a é s a z o n o s s á g a i

• K o m p l e x s z á m o k h a l m a z a

• K o m p l e x s z á m t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j a , m ¶ v e l e t e k

2 . 1 . V a l ó s s z á m o k A

2 . 1 . 1 . A v a l ó s s z á m o k a x i ó m a r e n d s z e r e

L e g y e n R n e m ü r e s h a l m a z . T e g y ü k f e l , h o g y v a n m é g e g y ö s s z e a d á s n a k n e v e z e t t

+ : R× R → Ré s e g y s z o r z á s n a k n e v e z e t t · : R× R → R

f ü g g v é n y i s , a m e l y e k

a k ö v e t k e z ® t u l a j d o n s á g o k k a l r e n d e l k e z n e k :

a 1 . b á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n a + b = b + a ( k o m m u t a t i v i t á s )

a 2 . b á r m e l y a,b,c ∈ R e s e t é n

a + (b + c) = (a + b) + c( a s s z o c i a t i v i t á s )

1 1



1 2 F E J E Z E T 2 . S Z Á M H A L M A Z O K

a 3 . v a n o l y a n 0 ∈ Re l e m , h o g y b á r m e l y a ∈ R

e s e t é n a + 0 = a ( 0 a z

ö s s z e a d á s r a n é z v e s e m l e g e s e l e m )

a 4 . b á r m e l y a ∈ R e s e t é n v a n o l y a n −a ∈ R e l l e n t e t t e l e m , h o g y a + (−a) = 0.

m 1 . b á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n a · b = b · a

m 2 . b á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n a · (b · c) = (a · b) · c

m 3 . v a n o l y a n 1 ∈ R e l e m , h o g y b á r m e l y a ∈ R e s e t é n a · 1 = a (

1a s z o r z á s r a

n é z v e s e m l e g e s e l e m )

m 4 . b á r m e l y a ∈ R\0 e s e t é n v a n o l y a n

1a ∈ R r e c i p r o k e l e m , h o g y a · 1

a = 1.

d . b á r m e l y a,b,c ∈ R e s e t é n a · (b + c) = ab + ac ( d i s z t r i b u t í v a s z o r z á s a z

ö s s z e a d á s r a n é z v e )

L á t h a t ó , h o g y a s z o r z á s s z a b á l y r e n d s z e r e a 4 . k ö v e t e l m é n y b e n l é n y e g e s e n e l t é r

a z ö s s z e a d á s t ó l ( e g y é b k é n t n e m i s k ü l ö n b ö z n e a z ö s s z e a d á s é s a s z o r z á s ) . A d .

i s a z e l t é r é s t e r ® s í t i .

T e g y ü k f e l , h o g y R

- e n v a n e g y o l y a n ≤ ( k i s e b b v a g y e g y e n l ® n e k n e v e z e t t ) r e n -

d e z é s i r e l á c i ó , a m e l y m é g a k ö v e t k e z ® t u l a j d o n s á g o k k a l r e n d e l k e z i k :

r 1 . b á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n v a g y a ≤ b , v a g y b ≤ a.

r 2 . m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r a ≤ b é s c ∈ R t e t s z ® l e g e s s z á m , a k k o r

a + c ≤ b + c .

r 3 . m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r 0 ≤ a é s 0 ≤ b, a k k o r 0 ≤ ab.

Á l l a p o d j u n k m e g a b b a n , h o g y a z a ≤ b, a = b h e l y e t t a < b j e l ö l é s t h a s z n á l u n k .

( S a j n o s a < n e m r e n d e z é s i r e l á c i ó , m e r t n e m r e e x í v . )

A z a 1 . a 4 . , m 1 . m 4 . , d . , r 1 . r 3 . a l a p j á n l e v e z e t h e t ® a z ö s s z e s e g y e n l ® s é g g e l é s

e g y e n l ® t l e n s é g g e l k a p c s o l a t o s s z a b á l y . K i e g é s z í t é s ü l h á r o m f o g a l m a t k ü l ö n i s

m e g e m l í t ü n k .

2 . 1 . D e n í c i ó . L e g y e n a, b ∈ R , b = 0 . E k k o r

ab := a · 1

b .

A z o s z t á s t e h á t e l v é g e z h e t ® a v a l ó s s z á m o k k a l .

2 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n x ∈ R. A z x a b s z o l ú t é r t é k e

|x| :=

x, h a 0 ≤ x−x, h a x ≤ 0, x = 0.

H a s z n o s a k a z a b s z o l ú t é r t é k k e l k a p c s o l a t o s e g y e n l ® t l e n s é g e k .

1 . B á r m e l y x ∈ R e s e t é n 0 ≤ |x|.

2 . L e g y e n x ∈ R é s

ε ∈ R, 0 ≤ ε. E k k o r

x ≤ ε,é s − x ≤ ε ⇐⇒ |x| ≤ ε.



2 . 1 . V A L Ó S S Z Á M O K A 1 3

3 . B á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n |a + b| ≤ |a| + |b| ( h á r o m s z ö g - e g y e n l ® t l e n s é g )

4 . B á r m e l y a, b ∈ R e s e t é n ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

K ö n n y e n i g a z o l h a t ó a k e z e k a z á l l í t á s o k . A 4 . b i z o n y í t á s á t m e g m u t a t j u k .

T e k i n t s ü k a z a = a − b + b e g y e n l ® t l e n s é g e t . E k k o r a 3 . s z e r i n t

|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|.

A z r 2 . s z e r i n t −|b| s z á m o t m i n d k é t o l d a l h o z h o z z á a d v a n e m v á l t o z i k a z e g y e n -

l ® t l e n s é g

|a| + (−|b|) = |a| − |b| ≤ |a − b| ( 2 . 1 )

H a s o n l ó m e g g o n d o l á s s a l

b = b − a + a

|b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a| / − |a|

|b| − |a| ≤ |b − a|

−(|a| − |b|) ≤ |b − a| = |a − b| ( 2 . 2 )

A z ( 2 . 1 ) é s ( 2 . 2 ) a 2 . t u l a j d o n s á g s z e r i n t ( x := |a|−|b|; ε := |a−b| s z e r e p o s z t á s -

s a l ) é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

2 . 1 . 2 . T e r m é s z e t e s , e g é s z é s r a c i o n á l i s s z á m o k

M o s t e l k ü l ö n í t j ü k a z R e g y n e v e z e t e s r é s z h a l m a z á t .

L e g y e n N ⊂ R o l y a n r é s z h a l m a z , a m e l y r e

1o 1 ∈ N2o

b á r m e l y n ∈ N e s e t é n n + 1 ∈ N3o

b á r m e l y n ∈ N e s e t é n n + 1 = 1 ( a z 1 a z e l s ® e l e m )

4oa b b ó l , h o g y a ) S ⊂ N

b ) 1 ∈ S c ) b á r m e l y n ∈ N e s e t é n n + 1 ∈ S

k ö v e t k e z i k , h o g y S = N. ( T e l j e s i n d u k c i ó . )

A z R - n e k a z i l y e n N r é s z h a l m a z á t a t e r m é s z e t e s s z á m o k h a l m a z á n a k n e v e z -

z ü k .

K i e g é s z í t é s ü l á l l j o n i t t m é g n é h á n y m e g á l l a p o d á s :

Z := N ∪ 0 ∪ m ∈ R | −m ∈ N a z e g é s z s z á m o k h a l m a z a

Q := x ∈ R | v a n o l y a n p ∈ Z, q ∈ N, h o g y x = pq a r a c i o n á l i s s z á m o k

h a l m a z a

Q∗ := R \Q a z i r r a c i o n á l i s s z á m o k h a l m a z a




A z N

s e g í t s é g é v e l a m ¶ v e l e t i , r e n d e z é s i s z a b á l y r e n d s z e r m e l l é a h a r m a d i k k ö v e t e l m é n y t

i l l e s z t j ü k a z R - h e z .

A r c h i m e d e s z - a x i ó m a : B á r m e l y a, b ∈ R, 0 < a s z á m o k h o z v a n o l y a n n ∈ N ,

h o g y b < na.

A z A r c h i m e d e s z - a x i ó m a k ö v e t k e z m é n y e k é n t m e g m u t a t j u k , h o g y b á r m e l y K ∈ Rs z á m h o z v a n o l y a n n ∈ N t e r m é s z e t e s s z á m , a m e l y r e K < n, u g y a n i s a z a := 1 ,

b := K s z e r e p o s z t á s s a l a z a x i ó m a i l y e n t e r m é s z e t e s s z á m o t b i z t o s í t .

M e g m u t a t j u k a z t i s , h o g y b á r m e l y ε ∈ R, 0 < ε e s e t é n v a n o l y a n n ∈ N t e r -

m é s z e t e s s z á m , h o g y

1n < ε, u g y a n i s l e g y e n a := ε é s b := 1 . A z a x i ó m a s z e r i n t

v a n o l y a n n ∈ N, h o g y

1 < n · ε. R e n d r e a l k a l m a z v a a m e g f e l e l ® s z a b á l y t

1 < nε / + (−1)

0 < nε − 1 / · 1n

0 <1

n(nε − 1) = ε − 1

n/ +

1

n1

n< ε.

A z A r c h i m e d e s z - a x i ó m á v a l s e m v á l t m é g m i n d e n i g é n y t k i e l é g í t ® v é a z R

. S z ü k -

s é g ü n k l e s z e g y u t o l s ó a x i ó m á r a , a m e l y e t n é h á n y f o g a l o m m a l k é s z í t ü n k e l ® .

2 . 1 . 3 . F e l s ® é s a l s ó h a t á r

2 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n A ⊂ R, A = ∅. A z t m o n d j u k , h o g y A f e l ü l r ® l k o r l á t o s

s z á m h a l m a z , h a v a n o l y a n K ∈R, h o g y b á r m e l y a

∈A e s e t é n a

≤K . A z i l y e n

K a z A h a l m a z e g y i k f e l s ® k o r l á t j a .

L e g y e n A ∈ R, A = ∅ f e l ü l r ® l k o r l á t o s h a l m a z . T e k i n t s ü k a

B := K ∈ R | K f e l s ® k o r l á t j a a z A h a l m a z n a k h a l m a z t . L e g y e n α ∈ R a B h a l m a z l e g k i s e b b e l e m e , a z a z o l y a n s z á m , a m e l y r e

1o α ∈ B ( α i s f e l s ® k o r l á t j a a z A h a l m a z n a k )

2ob á r m e l y K ∈ B f e l s ® k o r l á t r a α ≤ K .

A k é r d é s c s u p á n a z , h o g y v a n - e i l y e n α ∈ R.

F e l s ® h a t á r a x i ó m á j a : M i n d e n f e l ü l r ® l k o r l á t o s A

⊂R, A

=

∅h a l m a z n a k

v a n l e g k i s e b b f e l s ® k o r l á t j a .

A z i l y e n α ∈ R s z á m o t ( a m e l y n e m f e l t é t l e n ü l e l e m e a z A h a l m a z n a k ) a h a l m a z

f e l s ® h a t á r á n a k n e v e z z ü k , é s í g y j e l ö l j ü k :

α := sup A ( a z A h a l m a z s z u p r é m u m a )

N y i l v á n i g a z a sup A

k é t t u l a j d o n s á g a :



2 . 1 . V A L Ó S S Z Á M O K A 1 5

1ob á r m e l y a ∈ A e s e t é n a ≤ sup A

2ob á r m e l y 0 < ε e s e t é n v a n o l y a n a ∈ A, h o g y (sup A) − ε < a .

A m ¶ v e l e t i , r e n d e z é s i s z a b á l y r e n d s z e r r e l , a z A r c h i m e d e s z - a x i ó m á v a l é s a f e l s ®

h a t á r a x i ó m á j á v a l t e l j e s s é t e t t ü k a z R v a l ó s s z á m o k h a l m a z á t . E z z e l b i z t o s

a l a p o t t e r e m t e t t ü n k a j ö v ® b e n i s z á m o l á s o k h o z i s .

N é h á n y t o v á b b i m e g á l l a p o d á s .

2 . 4 . D e n í c i ó . L e g y e n A ⊂ R, A = ∅ . A z t m o n d j u k , h o g y A a l u l r ó l k o r l á t o s ,

h a v a n o l y a n L ∈ R, h o g y m i n d e n a ∈ A e s e t é n L ≤ a. A z L a z A h a l m a z e g y i k

a l s ó k o r l á t j a .

L e g y e n A a l u l r ó l k o r l á t o s s z á m h a l m a z . A z A a l s ó k o r l á t j a i k ö z ü l a l e g n a g y -

o b b a h a l m a z a l s ó h a t á r a . ( E n n e k l é t e z é s é h e z m á r n e m k e l l ú j a b b a x i ó m a ,

v i s s z a v e z e t h e t ® a f e l s ® h a t á r l é t e z é s é r e . ) A z A h a l m a z a l s ó h a t á r á t

inf A( a z

Ah a l m a z i n m u m a )

j e l ö l j e . N y i l v á n i g a z , h o g y

1ob á r m e l y a ∈ A e s e t é n inf A ≤ a

2ob á r m e l y 0 < ε e s e t é n v a n o l y a n a ∈ A, h o g y a < (inf A) + ε.

2 . 1 . 4 . I n t e r v a l l u m o k é s k ö r n y e z e t e k

2 . 5 . D e n í c i ó . L e g y e n I ⊂R . A z t m o n d j u k , h o g y I i n t e r v a l l u m , h a b á r m e l y

x1, x2 ∈ I, x1 < x2 e s e t é n m i n d e n o l y a n x ∈ R, a m e l y r e x1 < x < x2 , f e n n á l l ,

h o g y x ∈ I .

2 . 1 . T é t e l . L e g y e n a, b ∈ R, a < b .

[a, b]: = x ∈ R | a ≤ x ≤ b[a, b) : = x ∈ R | a ≤ x < b(a, b]: = x ∈ R | a < x ≤ b(a, b): = x ∈ R | a < x < b[a, +

∞): =

x

∈R

|a

≤x

(a, +∞) : = x ∈ R | a < x ; (0, +∞) =: R+

(−∞, a]: = x ∈ R | x ≤ a(−∞, a) : = x ∈ R | x < a ; (−∞, 0) =: R−

(−∞, +∞) := R




E z e k m i n d e g y i k e i n t e r v a l l u m .

M e g e m l í t j ü k , h o g y a z [a, a] =

a

é s a z (a, a) =∅

e l f a j u l ó i n t e r v a l l u m o k .

2 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R, r ∈ R+. A z a p o n t r s u g a r ú k ö r n y e z e t é n a

K r(a) := (a − r, a + r)

n y í l t i n t e r v a l l u m o t é r t j ü k . A z t m o n d j u k , h o g y K (a) a z a p o n t e g y k ö r n y e z e t e ,

h a v a n o l y a n r ∈ R+, h o g y K (a) = K r(a).

2 . 1 . 5 . V a l ó s s z á m o k h a t v á n y a i

2 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R . E k k o r a1 := a, a2 := a · a, a3 := a2 · a , . . . , an :=an−1 · a , . . .

2 . 8 . D e n í c i ó . L e g y e n

a ∈ R, 0 ≤ a. A √a

j e l e n t s e a z t a n e m n e g a t í v s z á m o t ,

a m e l y n e k n é g y z e t e a, a z a z 0 ≤ √a, (√a)2 = a.

V e g y ü k é s z r e , h o g y b á r m e l y a ∈ R e s e t é n

√a2 = |a|.

2 . 9 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R, k ∈ N . A

2k+1√

a j e l e n t s e a z t a v a l ó s s z á m o t ,

a m e l y n e k (2k + 1) - e d i k h a t v á n y a a.

V e g y ü k é s z r e , h o g y h a 0 < a, a k k o r

2k+1√

a > 0, é s h a a < 0 , a k k o r

2k+1√

a < 0 .

2 . 1 0 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R, 0 ≤ a, k ∈ N. A

2k√

a j e l e n t s e a z t a n e m n e g a t í v

s z á m o t , a m e l y n e k (2k)- a d i k h a t v á n y a a z a.

V e z e s s ü k b e a k ö v e t k e z ® j e l ö l é s t : h a n ∈ N é s a ∈ R a z n p a r i t á s á n a k m e g f e l e l ® ,

a k k o r

a1n := n√a.

2 . 1 1 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R+, p , q ∈ N .

apq :=

q√

a p.

2 . 1 2 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R+, p , q ∈ N .

a−pq :=

1q√

a p.

2 . 1 3 . D e n í c i ó . L e g y e n a ∈ R \ 0 . E k k o r a0 := 1.

L á t h a t ó , h o g y e z z e l a d e n í c i ó l á n c o l a t t a l e g y a

∈R+

b á r m e l y r

∈Q

r a c i o n á l i s

k i t e v ® j ¶ h a t v á n y á t é r t e l m e z t ü k . B e l á t h a t ó , h o g y a d e n í c i ó k b a n s z e r e p l ® s z á m o k

e g y é r t e l m ¶ e n l é t e z n e k , é s é r v é n y e s e k a k ö v e t k e z ® a z o n o s s á g o k :

1o a ∈ R+, r , s ∈ Q e s e t é n ar · as = ar+s

2o a ∈ R+, r ∈ Q e s e t é n ar · br = (ab)r

3o a ∈ R+, r , s ∈ Q e s e t é n (ar)s = ars



2 . 2 . F E L A D A T O K 1 7

2 . 2 . F e l a d a t o k

1 . L e g y e n a, b ∈ R . M u t a s s u k m e g , h o g y

(a + b)2 := (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

2 . M u t a s s u k m e g , h o g y m i n d e n x ∈ R, x = 1 é s b á r m e l y n ∈ N e s e t é n

xn+1 − 1

x − 1= 1 + x + x2 + · · · + xn.

3 . ( B e r n o u l l i - e g y e n l ® t l e n s é g )

L e g y e n h ∈ (−1, +∞) é s n ∈ N . M u t a s s u k m e g , h o g y

(1 + h)n ≥ 1 + nh.

M e g o l d á s : L e g y e n S := n ∈ N | (1 + h)n ≥ 1 + nh.

1o 1 ∈ S , m e r t (1 + h)1 = 1 + 1 · h .

2oL e g y e n k ∈ S . M e g m u t a t j u k , h o g y k + 1 ∈ S , u g y a n i s

(1 + h)k+1 = (1 + h)k(1 + h) ≥ (1 + kh)(1 + h) =

= 1 + (k + 1)h + kh2 ≥ 1 + (k + 1)h.

( A r e n d e z é s s z a b á l y a i m e l l e t t f e l h a s z n á l t u k , h o g y

k ∈ S , a z a z

(1 + h)k

≥1 + kh . )

E m l é k e z v e a z N b e v e z e t é s é n e k 4ok ö v e t e l m é n y é r e , e z a z t j e l e n t i , h o g y

S = N, a z a z m i n d e n n ∈ N e s e t é n i g a z a z e g y e n l ® t l e n s é g . E z t a b i z o n y í t á s i

m ó d s z e r t h í v j á k t e l j e s i n d u k c i ó n a k .

4 . L e g y e n a, b ∈ R+.

A2 :=a + b

2, G2 :=

√ab, H 2 :=

21a + 1

b

, N 2 :=

a2 + b2

2

M u t a s s u k m e g , h o g y H 2 ≤ G2 ≤ A2 ≤ N 2 é s e g y e n l ® s é g a s z á m o k k ö z ö t t

a k k o r é s c s a k a k k o r á l l , h a a = b.

E z e k n a g y m é r t é k ¶ á l t a l á n o s í t á s a i s i g a z .

L e g y e n k ∈ N (k ≥ 3) é s x1, x2, . . . , xk ∈ R+.

Ak := x1+x2+···+xkk , Gk := k

√x1x2 · · · xk, H k := k

1x1

+ 1x2

+···+ 1xk

, N k :=

x21+x2

2+···+x2k

k .

I g a z o l h a t ó , h o g y H k ≤ Gk ≤ Ak ≤ N k , é s e g y e n l ® s é g a s z á m o k k ö z ö t t

a k k o r é s c s a k a k k o r á l l f e n n , h a x1 = x2 = . . . = xk.




5 . L e g y e n h ∈ R é s n ∈ N. E k k o r

(1 + h)n = 1 + nh +

n2

h2 +

n3

h3 + · · · + hn,

a h o l f e l h a s z n á l v a , h o g y k! := 1 · 2 · . . . · k , a z n

k

=

n!

k!(n − k)!, k = 0, 1, 2, . . . , n

( k i e g é s z í t é s ü l 0! := 1) .

E b b ® l i g a z o l h a t ó a b i n o m i á l i s t é t e l :

L e g y e n a, b ∈ R, n ∈ N . E k k o r

(a + b)n =

nk=0

n

k

akbn−k.

6 . L e g y e n A := nn+1

| n ∈ N. M u t a s s u k m e g , h o g y A f e l ü l r ® l k o r l á t o s . M i

a sup A?

M e g o l d á s : M i v e l b á r m e l y n ∈ N e s e t é n n < n + 1 , e z é r t

nn+1

< 1 , t e h á t a

K := 1 f e l s ® k o r l á t . M e g m u t a t j u k , h o g y sup A = 1 , u g y a n i s

1oB á r m e l y n ∈ N e s e t é n

nn+1

< 1 .

2oL e g y e n ε ∈ R+

. K e r e s ü n k o l y a n n ∈ N s z á m o t , a m e l y r e

n

n + 1> 1 − ε.

n > (1 − ε)(n + 1) = n − εn + 1 − εεn > 1 − ε

n <1 − ε

ε

M i v e l b á r m i l y e n s z á m n á l , í g y a z

1−εε ∈ R s z á m n á l i s v a n n a g y o b b t e r -

m é s z e t e s s z á m , l e g y e n e z n ∈ N , e z é r t a z

n

n+1 ∈ A o l y a n , h o g y

n

n+1 >1 − ε. T e h á t sup A = 1.

7 . * L e g y e n E := ( n+1n )n | n ∈ N. M u t a s s u k m e g , h o g y E ⊂ R f e l ü l r ® l

k o r l á t o s .

M e g o l d á s : M e g m u t a t j u k , h o g y b á r m e l y n ∈ N e s e t é n

n + 1n

n

≤ 4.

L e g y e n n ∈ N , é s t e k i n t s ü k a z

14 ( n+1

n )ns z á m o t . A 4 . p é l d á b a n s z e r e p l ®

s z á m t a n i ( Ak ) é s m é r t a n i ( Gk ) k ö z é p k ö z ö t t i e g y e n l ® t l e n s é g s z e r i n t

1

4

n + 1

n

n

=1

2·1

2·n + 1

n·n + 1

n· · · n + 1

n≤ 1

2+ 1

2+ n+1

n + n+1n . . . n+1

n

n + 2

n+2

= 1,



2 . 3 . K O M P L E X S Z Á M O K A 1 9

e z é r t ( n+1n )n ≤ 4 , t e h á t E f e l ü l r ® l k o r l á t o s . A f e l s ® h a t á r a x i ó m á j a s z e r i n t

v a n f e l s ® h a t á r a . L e g y e n e := sup E.M e g j e g y e z z ü k , h o g y e z t a f e l s ® h a t á r t s o h a s e n k i n e m t u d t a é s t u d j a m e g s e -

j t e n i ( n e m ú g y , m i n t a 6 . p é l d á b a n . . . ) . K ö z e l í t ® l e g e ≈ 2, 71. E u l e r

n e v é h e z f ¶ z ® d i k a z e s z á m b e v e z e t é s e .

8 . L e g y e n

P :=

1 − 1

2

·

1 − 1

22

·

1 − 1

23

· · ·

1 − 1

2n

| n ∈ N

.

L é t e z i k - e inf P ? ( H a m á r b e l á t t a , h o g y l é t e z i k a z inf P , n e k e s e r e d j e n e l ,

h a n e m t u d j a m e g a d n i . M e g o l d a t l a n a p r o b l é m a . )

2 . 3 . K o m p l e x s z á m o k A

2 . 3 . 1 . A k o m p l e x s z á m f o g a l m a , m ¶ v e l e t e k

Ú g y á l t a l á n o s í t j u k a v a l ó s s z á m o k a t , h o g y a m ¶ v e l e t e k t u l a j d o n s á g a i n e v á l t o z -

z a n a k .

L e g y e n C := R × R a v a l ó s s z á m p á r o k h a l m a z a . V e z e s s ü k b e a z ö s s z e a d á s t

ú g y , h o g y a z (a, b), (c, d) ∈ C e s e t é n

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d);

a s z o r z á s t p e d i g ú g y , h o g y

(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc).

K ö n n y e n e l l e n ® r i z h e t ® a z ö s s z e a d á s é s a s z o r z á s n é h á n y t u l a j d o n s á g a .

a 1 . ∀(a, b), (c, d) ∈ C e s e t é n (a, b)+(c, d) = (c, d)+(a, b) ( k o m m u t a t i v i t á s )

a 2 . ∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ Ce s e t é n (a, b) + ((c, d) + (e, f )) = ((a, b) +

(c, d)) + (e, f ) ( a s s z o c i a t i v i t á s )

a 3 . ∀(a, b) ∈ C e s e t é n (a, b) + (0, 0) = (a, b)

a 4 . ∀(a, b) ∈ C e s e t é n a (−a, −b) ∈ C o l y a n l e s z , h o g y (a, b) + (−a, −b) =

(0, 0).

m 1 . ∀(a, b), (c, d) ∈ C e s e t é n (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b) ( k o m m u t a t i v i t á s )

m 2 . ∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C e s e t é n (a, b) · ((c, d) · (e, f )) = ((a, b) · (c, d)) ·(e, f ) ( a s s z o c i a t i v i t á s )

m 3 . ∀(a, b) ∈ C e s e t é n (a, b) · (1, 0) = (a, b)




1 a

i

b (a,b)=a+ib•

•

•

2 . 1 . á b r a .

m 4 . ∀(a, b) ∈ C \ (0, 0) e s e t é n a z ( aa2+b2 , − b

a2+b2 ) ∈ C o l y a n , h o g y

(a, b) · (a

a2 + b2, − b

a2 + b2) = (1, 0)

d . ∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C e s e t é n

(a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f )

( a s z o r z á s d i s z t r i b u t í v a z ö s s z e a d á s r a n é z v e )

A z a 1 . a . 4 , m 1 . m . 4 é s d . t u l a j d o n s á g o k i n d o k o l j á k , h o g y a v a l ó s s z á m o k k a l

v é g z e t t m ¶ v e l e t e k , s z á m o l á s o k ( a m e l y e k ö s s z e a d á s t , s z o r z á s t t a r t a l m a z n a k é s

l e g f e l j e b b e g y e n l ® s é g e k r e v o n a t k o z n a k ) a k o m p l e x s z á m o k k a l u g y a n ú g y v é g e z h e t ® k

e l .

A z o n o s í t s u k a z a ∈ R v a l ó s s z á m o t é s a z (a, 0) ∈ C k o m p l e x s z á m o t . ( N y i l -

v á n v a l ó a n b i j e k c i ó l é t e z i k a z R é s a z R × 0 ⊂ C h a l m a z k ö z ö t t . ) V e z e s s ü k

b e a z i := (0, 1) ∈ C k é p z e t e s e g y s é g e t . E k k o r b á r m e l y (a, b) ∈ C k o m p l e x

s z á m r a

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib.

( A m á s o d i k e g y e n l ® s é g a z a z o n o s í t á s k ö v e t k e z m é n y e ! )

F i g y e l e m b e v é v e , h o g y i2 = (0, 1) · (0, 1) = −1 , e g y s z e r ¶ v é v á l i k a z ö s s z e a d á s

a + ib + c + id = a + c + i(b + d),

é s a s z o r z á s i s

(a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc).

A k o m p l e x s z á m o t h e l y v e k t o r k é n t s z e n l é l t e t h e t j ü k ( 2 . 1 . á b r a ) .

A z ö s s z e a d á s a v e k t o r o k ö s s z e a d á s á n a k p a r a l e l o g r a m m a s z a b á l y á n a k m e g f e l e l ®

( 2 . 2 . á b r a ) .



2 . 3 . K O M P L E X S Z Á M O K A 2 1

a+ib

c+id

a+c+i(b+d)

•

•

•

2 . 2 . á b r a .

a

ba+ib

r

φ

•

2 . 3 . á b r a .

2 . 3 . 2 . K o m p l e x s z á m o k t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j a

E g y a + ib ∈ Ck o m p l e x s z á m h o z h o z z á r e n d e l h e t j ü k a z a b s z o l ú t é r t é k é t é s

i r á n y s z ö g é t ( 2 . 3 . á b r a ) .

A z a b s z o l ú t é r t é k : r =√

a2 + b2.A z i r á n y s z ö g s í k n e g y e d e n k é n t a d h a t ó m e g :

φ =

arctg ba , h a a > 0 é s b ≥ 0

π

2, h a a = 0 é s b > 0

π − arctg| ba |, h a a < 0 é s b ≥ 0

π + arctg| ba |, h a a < 0 é s b < 0

3π2

h a a = 0 é s b < 02π − arctg| b

a |, h a a > 0 é s b < 0

L á t h a t ó , h o g y a z i r á n y s z ö g r e φ ∈ [0, 2π). M e g j e g y e z z ü k , h o g y a = 0, b = 0e s e t é n

r = 0, é s a z i r á n y s z ö g e k k o r t e t s z ® l e g e s e n v á l a s z t h a t ó .




•

•

•

αβα+β

rp

rp

2 . 4 . á b r a .

H a e g y a + ib ∈ C k o m p l e x s z á m n a k r a z a b s z o l ú t é r t é k e é s φ a z i r á n y s z ö g e ,

a k k o r

a = r cos φ, b = r sin φ,

e z é r t a + ib = r(cos φ + i sin φ). E z a k o m p l e x s z á m t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j a .

A k o m p l e x s z á m o k t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j á n a k f e l h a s z n á l á s á v a l s z e m l é l e t e s e b b é

v á l i k a k o m p l e x s z á m o k s z o r z á s a i s .

L e g y e n r(cos α + i sin α), p(cos β + i sin β ) ∈ C , e k k o r

r(cos α + i sin α) · p(cos β + i sin β ) =

= rp(cos α cos β − sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β )) == rp(cos(α + β ) + i sin(α + β )).

T e h á t a s z o r z á s n á l a z a b s z o l ú t é r t é k e k ö s s z e s z o r z ó d n a k , a z i r á n y s z ö g e k p e d i g

ö s s z e a d ó d n a k ( 2 . 4 . á b r a ) .

A h a t v á n y o z á s a k o m p l e x s z á m t r i g o n o m e t r i k u s a l a k j á v a l i g e n e g y s z e r ¶ e n v é g e z h e t ®

e l . H a z = a + ib = r(cos φ + i sin φ) ∈ C é s n ∈ N , a k k o r

zn = (a + ib)n = [r(cos φ + i sin φ)]n = rn(cos nφ + i sin nφ),

a z a z a k o m p l e x s z á m n- e d i k h a t v á n y á n á l a z a b s z o l ú t é r t é k n - e d i k h a t v á n y a é s

a z i r á n y s z ö g n- s z e r e s e j e l e n i k m e g a znt r i g o n o m e t r i k u s a l a k j á b a n .



3 . f e j e z e t

E l e m i f ü g g v é n y e k

I s m e r t e t j ü k a v a l ó s s z á m o k h a l m a z á n é r t e l m e z e t t , v a l ó s s z á m é r t é k ¶ f ü g g v é n y e k

l e g f o n t o s a b b t u l a j d o n s á g a i t . D e n i á l j u k a g y a k r a n h a s z n á l t v a l ó s - v a l ó s f ü g -

g v é n y e k e t , m e l y e k e t e l e m i f ü g g v é n y e k n e k n e v e z n e k . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r -

g y a l j u k .

• M ¶ v e l e t e k v a l ó s f ü g g v é n y e k k e l

• K o r l á t o s , m o n o t o n , p e r i o d i k u s , p á r o s , p á r a t l a n f ü g g v é n y f o g a l m a

• H a t v á n y f ü g g v é n y e k

• E x p o n e n c i á l i s é s l o g a r i t m u s f ü g g v é n y e k

• T r i g o n o m e t r i k u s f ü g g v é n y e k é s i n v e r z e i k

• H i p e r b o l i k u s f ü g g v é n y e k é s i n v e r z e i k

• N é h á n y k ü l ö n l e g e s f ü g g v é n y

3 . 1 . V a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y e k a l a p t u l a j d o n s á g a i A

3 . 1 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R, λ ∈ R. E k k o r

λf : D(f ) → R, (λf )(x) := λf (x).

3 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n f, g : R ⊃→ R, D(f ) ∩ D(g) = ∅ . E k k o r

f + g : D(f ) ∩ D(g) → R, (f + g)(x) := f (x) + g(x)

f · g : D(f ) ∩ D(g) → R, (f · g)(x) := f (x) · g(x).

3 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n g : R ⊃→ R, H := D(g) \ x ∈ D(g) | g(x) = 0 = ∅.E k k o r

1/g : H → R, (1/g)(x) :=1

g(x).

2 3



2 4 F E J E Z E T 3 . E L E M I F Ü G G V É N Y E K

3 . 4 . D e n í c i ó . L e g y e n f, g : R ⊃→ R

f g

:= f · 1/g

3 . 5 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R. A z t m o n d j u k , h o g y f f e l ü l r ® l k o r l á t o s

f ü g g v é n y , h a R(f ) ⊂ R f e l ü l r ® l k o r l á t o s h a l m a z .

A z t m o n d j u k , h o g y f a l u l r ó l k o r l á t o s f ü g g v é n y , h a R(f ) ⊂ Ra l u l r ó l k o r l á t o s

h a l m a z .

A z t m o n d j u k , h o g y f k o r l á t o s f ü g g v é n y , h a R(f ) ⊂ Ra l u l r ó l i s é s f e l ü l r ® l i s

k o r l á t o s h a l m a z .

3 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R. A z t m o n d j u k , h o g y f m o n o t o n n ö v ®

f ü g g v é n y , h a b á r m e l y x1, x2 ∈ D(f ), x1 < x2 e s e t é n f (x1) ≤ f (x2) .

A z f s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® , h a b á r m e l y x1, x2

∈D(f ), x1 < x2 e s e t é n

f (x1) < f (x2) .

A z t m o n d j u k , h o g y f m o n o t o n c s ö k k e n ® f ü g g v é n y , h a m i n d e n x1, x2 ∈ D(f ), x1 <x2 e s e t é n f (x1) ≥ f (x2).

A z f s z i g o r ú a n m o n o t o n c s ö k k e n ® , h a b á r m e l y x1, x2 ∈ D(f ), x1 < x2

e s e t é n f (x1) > f (x2).

3 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R. A z t m o n d j u k , h o g y f p á r o s f ü g g v é n y , h a

1om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n −x ∈ D(f ) ,

2om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n f (−x) = f (x)

.

3 . 8 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R⊃→

R. A z t m o n d j u k , h o g y f p á r a t l a n f ü g g v é n y ,

h a

1om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n −x ∈ D(f ) ,

2om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n f (−x) = −f (x).

3 . 9 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R. A z t m o n d j u k , h o g y f p e r i o d i k u s f ü g -

g v é n y , h a l é t e z i k o l y a n p ∈ R, 0 < p s z á m , h o g y

1om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n x + p, x− p ∈ D(f ),

2om i n d e n x ∈ D(f ) e s e t é n f (x + p) = f (x − p) = f (x).

A p s z á m a f ü g g v é n y e g y i k p e r i ó d u s a .

3 . 2 . A z e l e m i f ü g g v é n y e k A

3 . 2 . 1 . H a t v á n y f ü g g v é n y e k

L e g y e n i d : R ⊃→ R, i d (x) := x. A z i d s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® , p á r a t l a n f ü g -

g v é n y ( 3 . 1 . á b r a ) . L e g y e n i d

2 : R ⊃→ R,i d

2(x) := x2.A z i d

2|R+

s z i g o r ú a n



3 . 2 . A Z E L E M I F Ü G G V É N Y E K A 2 5

id

3 . 1 . á b r a .

id2

1

1

3 . 2 . á b r a .




id3

1

1

3 . 3 . á b r a .

id−1

1

1

3 . 4 . á b r a .

m o n o t o n n ö v ® , a z i d

2|R−

s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó . A z i d

2p á r o s ( 3 . 2 . á b r a ) .

L e g y e n i d

3 : R ⊃→ R, i d

3(x) := x3. A z i d

3s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® , p á r a t -

l a n f ü g g v é n y ( 3 . 3 . á b r a ) . H a n ∈ N, a k k o r i d

n : R→ R, i d

n(x) := xnf ü g g v é n y

p á r o s n e s e t é n a z i d

2, p á r a t l a n n e s e t é n a z i d

3t u l a j d o n s á g a i t ö r ö k l i .

L e g y e n i d

−1 : R \ 0 → R, i d

−1(x) := 1/x. A z i d

−1|R−

é s a z i d

−1|R+

s z i g o r ú a n

m o n o t o n f o g y ó ( d e i d

−1n e m m o n o t o n ! ) . A z i d

−1p á r a t l a n ( 3 . 4 . á b r a ) .

L e g y e n i d

−2 : R \ 0 → R, i d

−2(x) := 1/x2. A z i d

−2|R−

s z i g o r ú a n m o n o t o n

n ® , a z i d

−2|R+

s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y . A z i d

−2p á r o s ( 3 . 5 . á b r a ) .

L e g y e n n ∈ N. A z i d

−n : R \ 0 → R, i d

−n(x) := 1/xnf ü g g v é n y p á r o s n

e s e t é n a z i d

−2, p á r a t l a n n e s e t é n a z i d

−1t u l a j d o n s á g a i t ö r ö k l i .




id−2

1

1

3 . 5 . á b r a .

id1/2

1

1

3 . 6 . á b r a .

L e g y e n i d

1/2 : [0, ∞) → R, i d

1/2(x) :=√

x. A z i d

1/2s z i g o r ú a n m o n o t o n

n ö v e k e d ® f ü g g v é n y ( 3 . 6 . á b r a ) . M e g e m l í t j ü k , h o g y a z i d

2|[0,∞)

k ö l c s ö n ö s e n

e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y i n v e r z e k é n t i s é r t e l m e z h e t ® a i d

1/2.

L e g y e n r ∈ Q. A z i d

r : R+ → R, i d

r(x) := xr. N é h á n y r e s e t é n s z e m l é l -

t e t j ü k a z i d

rf ü g g v é n y e k e t ( 3 . 7 . á b r a ) .

V é g ü l l e g y e n i d

0 : R → R, i d

0(x) := 1 . A z i d

0m o n o t o n n ö v e k e d ® , m o n o -

t o n f o g y ó i s , p á r o s f ü g g v é n y . B á r m i l y e n

p > 0s z á m s z e r i n t p e r i o d i k u s ( 3 . 7 .

á b r a ) .

3 . 2 . 2 . E x p o n e n c i á l i s é s l o g a r i t m u s f ü g g v é n y e k

L e g y e n a ∈ R+. A z a a l a p ú e x p o n e n c i á l i s f ü g g v é n y

expa : R→ R, expa(x) := ax.




id3/2

id2/3

id0

id−1/2

1

1

3 . 7 . á b r a .

expa

a>1expa

a<1

exp1

1

3 . 8 . á b r a .

expa s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® , h a a > 1,

expa s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó , h a a < 1,

expa = i d

0, h a a = 1 ( m o n o t o n n ö v ® é s m o n o t o n f o g y ó i s ) ( 3 . 8 . á b r a ) .

H a a > 0 é s a = 1 , a k k o r R(expa) = R+, a z a z c s a k p o z i t í v é r t é k e t v e s z f e l

a z expa

( é s m i n d e n p o z i t í v s z á m o t f e l i s v e s z ) . B á r m e l y a > 0 e s e t é n m i n d e n

x1, x2 ∈ R m e l l e t t

expa(x1 + x2) = expa(x1) · expa(x2).

( E z a l e g f o n t o s a b b i s m e r t e t ® j e l e a z e x p o n e n c i á l i s f ü g g v é n y e k n e k . ) K i t ü n t e t e t t

s z e r e p e v a n a z expe =: exp f ü g g v é n y n e k ( 3 . 9 . á b r a ) ( e a z e l ® z ® f e j e z e t 7 . *

p é l d á j á b a n s z e r e p l ® E u l e r - f é l e s z á m ) .




1

e

exp

3 . 9 . á b r a .

loga

a>1

loga

a<1

1

3 . 1 0 . á b r a .

L e g y e n a > 0, a = 1 . M i v e l expa s z i g o r ú a n m o n o t o n , e z é r t k ö l c s ö n ö s e n

e g y é r t e l m ¶ i s , t e h á t v a n i n v e r z f ü g g v é n y e .

loga := (expa)−1

l e s z a z a a l a p ú l o g a r i t m u s f ü g g v é n y ( 3 . 1 0 . á b r a ) . T e h á t

loga : R+ → R, loga(x) = y, a m e l y r e expa(y) = x.

H a a > 1 , a k k o r loga s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , h a a < 1 , a k k o r loga

s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó . A l a p v e t ® t u l a j d o n s á g a a l o g a r i t m u s f ü g g v é n y e k n e k ,

h o g y

1ob á r m e l y a > 0, a = 1 é s m i n d e n x1, x2 ∈ R+

e s e t é n

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2.




•

•

1x

sin x

P1

(1)

(2)

3 . 1 2 . á b r a .

sin

π /2 π 2π

1

−1

−π /2

3 . 1 3 . á b r a .

cos

π /2 π

2π

1

−1

−π /2

3 . 1 4 . á b r a .




tg

−π /2 π /2 π

3 . 1 5 . á b r a .

ctg

−π /2 π /2π−π

3 . 1 6 . á b r a .

2oB á r m e l y x1, x2 ∈ R e s e t é n sin(x1 + x2) = sin x1 cos x2 + cos x1 sin x2 ,

cos(x1 + x2) = cos x1 cos x2 − sin x1 sin x2 .

L e g y e n t g := sincos é s c t g := cos

sin .A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y

D( t g ) = R \π

2+ kπ | k ∈ Z

, D( c t g ) = R \ kπ | k ∈ Z .

A t g é s c t g i s p á r a t l a n , p = π s z e r i n t p e r i o d i k u s ( 3 . 1 5 . é s 3 . 1 6 . á b r a ) .

A t r i g o n o m e t r i k u s f ü g g v é n y e k p e r i o d i k u s s á g u k m i a t t n e m k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ e k .

T e k i n t s ü k a sin|[−π2, π2]

l e s z ¶ k í t é s t . E z a f ü g g v é n y s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® ,

e z é r t k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ , í g y v a n i n v e r z f ü g g v é n y e :

arcsin := (sin|[−π2, π2])−1




arcsin

π /2

1

−1

−π /2

3 . 1 7 . á b r a .

arccos

π

1−1

3 . 1 8 . á b r a .

A z é r t e l m e z é s b ® l arcsin : [−1, 1] → [−π2

, π2

], arcsin x = α, a m e l y r e sin α = x.A z a r c s i n s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , p á r a t l a n f ü g g v é n y ( 3 . 1 7 . á b r a ) .

A c o s f ü g g v é n y [0, π] i n t e r v a l l u m r a v a l ó l e s z ¶ k í t é s e s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó ,

e z é r t v a n i n v e r z f ü g g v é n y e :

arccos := (cos|[0,π])−1

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y arccos : [

−1, 1]

→[0, π], arccos x = α , a m e -

l y r e cos α = x.A z a r c c o s f ü g g v é n y s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó ( 3 . 1 8 . á b r a ) .

A t g f ü g g v é n y (−π2

, π2

) i n t e r v a l l u m r a v a l ó l e s z ¶ k í t é s e s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® ,


a r c t g := (sin|[−π2, π2])−1




arctg

π /2

−π /2

3 . 1 9 . á b r a .

arcctg

π /2

π

3 . 2 0 . á b r a .

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r c t g : R → (−π2

, π2

), a r c t g x = α, a m e l y r e

t g α = x.A z a r c t g s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , p á r a t l a n f ü g g v é n y ( 3 . 1 9 . á b r a ) .

A c t g f ü g g v é n y (0, π) i n t e r v a l l u m r a v a l ó l e s z ¶ k í t é s e s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó ,


a r c c t g

:= (c t g |[0,π])−

1

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r c c t g : R → (0, π), a r c c t g x = α , a m e l y r e

c t g α = x.A z a r c c t g s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó f ü g g v é n y ( 3 . 2 0 . á b r a ) .




sh

3 . 2 1 . á b r a .

ch

1

3 . 2 2 . á b r a .

3 . 2 . 4 . H i p e r b o l i k u s f ü g g v é n y e k é s i n v e r z e i k

L e g y e n s h : R → R, s h x := ex−e−x

2 . A z s h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® , p á r a t l a n

f ü g g v é n y ( 3 . 2 1 . á b r a ) .

L e g y e n c h : R → R, c h x := ex+e−x

2. A c h |

R−s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó , a c h |

R+

s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® . A c h p á r o s f ü g g v é n y . R(c h ) = [1, +∞). G y a k r a n

l á n c g ö r b é n e k i s n e v e z z ü k e z t a f ü g g v é n y t ( 3 . 2 2 . á b r a ) .

A l a p v e t ® ö s s z e f ü g g é s e k :

1oB á r m e l y x ∈ R e s e t é n c h

2x − s h

2x = 1.

2oB á r m e l y x1, x2 ∈ R e s e t é n

s h (x1 + x2) = s h x1 c h x2 + c h x1 s h x2,

c h (x1 + x2) = c h x1 c h x2 + s h x1 s h x2.




th

cth

1

−1

3 . 2 3 . á b r a .

arsh

3 . 2 4 . á b r a .

L e g y e n t h := s h

c h

, c t h := c h

s h

.

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y t h : R→ R, t h x = ex−e−x

ex+e−x , c t h : R \ 0 →R, c t h x = ex+e−x

ex−e−x. A t h é s c t h p á r a t l a n f ü g g v é n y e k ( 3 . 2 3 . á b r a ) .

A t h s z i g o r ú a n n ö v e k e d ® f ü g g v é n y . R( t h ) = (−1, 1).

A c t h |R−

s z i g o r ú a n f o g y ó , a c t h |R+

s z i g o r ú a n n ö v ® f ü g g v é n y . R(c t h ) = R\[−1, 1].

A z s h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® f ü g g v é n y , e z é r t v a n i n v e r z f ü g g v é n y e :

a r s h := (s h )−1.

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r s h : R → R, a r s h x = ln(x +√

x2 + 1)( l á s d a z 5 . f e l a d a t o t ) . A z a r s h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , p á r a t l a n f ü g g v é n y

( 3 . 2 4 . á b r a ) .




arch

1

3 . 2 5 . á b r a .

arth

1

−1

3 . 2 6 . á b r a .

A z c h f ü g g v é n y [0, ∞)

i n t e r v a l l u m r a v a l ó l e s z ¶ k í t é s e s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® ,


a r c h := ( c h |[0,∞))−1.

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r c h : [1, ∞) → [0, ∞), a r c h x = ln(x +√x2 − 1). A z a r c h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® f ü g g v é n y ( 3 . 2 5 . á b r a ) .

A z t h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , e z é r t v a n i n v e r z f ü g g v é n y e :

a r t h := ( t h )−1.

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r t h : (−1, 1) → R, a r t h x = 12

ln 1+x1−x . A z

a r t h s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , p á r a t l a n f ü g g v é n y ( 3 . 2 6 . á b r a ) .




arcth

1

3 . 2 7 . á b r a .

A z c t h f ü g g v é n y R+

i n t e r v a l l u m r a v a l ó l e s z ¶ k í t é s e s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó ,


a r c t h := ( c t h |R+

)−1.

A z é r t e l m e z é s b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a r c t h : (1, +∞) → R+, a r c t h x = 1

2ln x+1

x−1 .

A z a r c t h s z i g o r ú a n m o n o t o n f o g y ó f ü g g v é n y ( 3 . 2 7 . á b r a ) .

3 . 2 . 5 . N é h á n y k ü l ö n l e g e s f ü g g v é n y

1 . L e g y e n a b s : R→ R, a b s (x) := |x|, a h o l ( e m l é k e z t e t ® ü l )

|x| :=

x, h a x ≥ 0

−x, h a x < 0.( 3 . 2 8 . á b r a )

2 . L e g y e n s g n : R→ R, s g n (x) :=

1, h a x > 00, h a x = 0

−1, h a x < 0.( 3 . 2 9 . á b r a )

3 . L e g y e n e n t : R→ R, e n t (x) := [x], a h o l

[x] := maxn ∈ Z | n ≤ x.

( A z x ∈ R s z á m e g é s z r é s z e a z x- n é l k i s e b b v a g y e g y e n l ® e g é s z e k k ö z ü l

a l e g n a g y o b b . ) ( 3 . 3 0 . á b r a )

4 . L e g y e n d : R→ R, d(x) :=

1, h a x ∈ Q0, h a x ∈ R \Q.

D i r i c h l e t - f ü g g v é n y n e k n e v e z i k , n e m i s k í s é r e l j ü k m e g a s z e m l é l t e t é s é t .




abs

1

1

3 . 2 8 . á b r a .

sgn

1

−1

•

3 . 2 9 . á b r a .

ent

1

1 2

−1

−1

•

•

•

•

•

3 . 3 0 . á b r a .




5 . L e g y e n r : R→ R

r(x) :=

0, h a x ∈ R \Q1q , h a x ∈ Q, x = p

q

a h o l p ∈ Z, q ∈ N , é s p- n e k é s q - n a k n i n c s v a l ó d i k ö z ö s o s z t ó j a . R i e m a n n -

f ü g g v é n y n e k n e v e z i k , e z t s e m k í s é r e l j ü k m e g s z e m l é l t e t n i .

3 . 3 . F e l a d a t o k

1 . S z á m í t s u k k i a k ö v e t k e z ® f ü g g v é n y é r t é k e k e t :

i d

0(7) = i d

3(12) = i d

12 (4) = i d

−6(1) =

i d (6) = i d

3(−

1

2

) = i d

32 (4) = i d

−6(2) =

i d

2(5) = i d

3(0) = i d

− 32 (4) = i d

−6(12

) =

2 . Á l l í t s a n ö v e k v ® s o r r e n d b e a k ö v e t k e z ® s z á m o k a t :

a ) sin1, sin2, sin3, sin4

b ) ln 2, exp212 , exp 1

22, log2 1

c ) s h 3, c h (−2), a r s h 4, t h 1

d ) arcsin 12 , a r c t g 10, t h 10, cos1

3 . I g a z o l j a , h o g y c h

2x − s h

2x = 1, c h

2x = c h (2x)+12 m i n d e n x ∈ R e s e t é n .

4 . I g a z o l j a , h o g y m i n d e n

x, y ∈ R e s e t é n

a ) sin2x = 2sin x cos x, cos2x = cos2 x − sin2 x, cos2 x = 1+cos 2x2

,

sin2 x = 1−cos2x2

b ) sin x − sin y = 2 sin x−y2

cos x+y2

, cos x − cos y = 2 sin y−x2

sin x+y2

.

5 . M u t a s s a m e g , h o g y

a ) a r s h x = ln(x +√

x2 + 1) (x ∈ R)

b ) a r c h x = ln(x +√

x2 − 1) (x ∈ [1, +∞))

c ) a r t h x = 12 ln 1+x

1−x (x ∈ (−1, 1))

M e g o l d á s : a )

1o y = s h x = ex−e−x

2

2o x = ey−e−y

2

2x = ey − e−y/ · ey

2xey = (ey)2 − 1

(ey)2 − 2xey − 1 = 0



3 . 3 . F E L A D A T O K 4 1

(ey)1,2 = 2x±√4x2+42

= x ± √x2 + 1

M i v e l a z e x p f ü g g v é n y c s a k p o z i t í v é r t é k e t v e s z f e l , é s b á r m e l y x ∈ Re s e t é n

√x2 + 1 >

√x2 = |x| ≥ x , e z é r t c s a k

ey = x +

x2 + 1.

E b b ® l

y = ln(x +

x2 + 1),

d e e z a z t j e l e n t i , h o g y

3oa r s h x = ln(x +

x2 + 1).

6 . M u t a s s a m e g , h o g y a r c t g = π2

t h .

7 . A l k o s s o n k é p e t a k ö v e t k e z ® f ü g g v é n y e k r ® l :

a ) f : R→ R, f (x) :=

sin 1

x , h a x = 00, h a x = 0

b ) g : R→ R, g(x) :=

x2 sin 1

x , h a x = 00, h a x = 0

c ) h : R→ R, h(x) :=

x2(sin 1

x + 2), h a x = 00, h a x = 0

8 . L e g y e n f : R → R t e t s z ® l e g e s f ü g g v é n y . M u t a s s a m e g , h o g y a φ, ψ : R→R

φ(x) :=f (x) + f (−x)

2

, ψ(x) :=f (x) − f (−x)

2f ü g g v é n y e k k ö z ü l φ p á r o s , ψ p á r a t l a n , é s f = φ + ψ . H a f = exp, a k k o r

m i l e s z a φ é s a ψ f ü g g v é n y ?

9 . L e g y e n f, g : R → R. T e g y ü k f e l , h o g y f p e r i o d i k u s p > 0 , g p e d i g q > 0

s z á m s z e r i n t .

a ) M u t a s s a m e g , h o g y h a

pq ∈ Q, a k k o r f + g i s p e r i o d i k u s .

b ) K e r e s s e n p é l d á t a r r a , h o g y h a

pq ∈ R\Q, a k k o r f + g n e m p e r i o d i k u s .

M e g o l d á s : a ) L e g y e n

pq = k

l , a h o l k, l ∈ N. E k k o r lp = kq . L e g y e n

ω := lp + kq > 0 . M e g m u t a t j u k , h o g y f + g f ü g g v é n y ω s z e r i n t p e r i o d i k u s .

1o D(f + g) = R

2om i n d e n x ∈ R e s e t é n

(f + g)(x + ω) = f (x + kq + lp) + g(x + lp + kq) = f (x + kq) + g(x + lp) =

= f (x + lp) + g(x + kq) = f (x) + g(x) = (f + g)(x).

H a s o n l ó a z (f + g)(x − ω) = (f + g)(x) i g a z o l á s a i s .



4 . f e j e z e t

S o r o z a t o k , s o r o k

A s o r o z a t o k i g e n e g y s z e r ¶ f ü g g v é n y e k . R a j t u k t a n u l m á n y o z h a t ó a k ö z e l í t é s

p o n t o s s á g a . H a s z n o s é p í t ® k ö v e i a k é s ® b b i f o g a l m a k n a k . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t


• S o r o z a t f o g a l m a , m o n o t o n i t á s , k o r l á t o s s á g

• H a t á r é r t é k é s k o n v e r g e n c i a

• F o n t o s h a t á r é r t é k e k

• H a t á r é r t é k é s m ¶ v e l e t e k k a p c s o l a t a

•A z e s z á m d e n í c i ó j a

• C a u c h y - f é l e k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m s o r o z a t r a

• S o r k o n v e r g e n c i á j a

• K o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m o k s o r o k r a

4 . 1 . S o r o z a t o k , s o r o k A

4 . 1 . 1 . A s o r o z a t f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

A s o r o z a t a t e r m é s z e t e s s z á m o k h a l m a z á n é r t e l m e z e t t f ü g g v é n y .

L e g y e n H

=

∅h a l m a z , h a a : N

→H , a k k o r H - b e l i s o r o z a t r ó l b e s z é l ü n k . H a

p é l d á u l H a v a l ó s s z á m o k h a l m a z a , a k k o r s z á m s o r o z a t r ó l ; h a H b i z o n y o s j e l e k

h a l m a z a , a k k o r j e l s o r o z a t r ó l ; h a H a z i n t e r v a l l u m o k h a l m a z a , a k k o r i n t e r v a l l u m -

s o r o z a t r ó l b e s z é l ü n k .

L e g y e n a : N → Rs z á m s o r o z a t . H a n ∈ N

, a k k o r a(n) h e l y e t t an l e g y e n a

s o r o z a t n- e d i k t a g j a . M a g á t a z a : N → R s z á m s o r o z a t o t i s a r ö v i d e b b (an)h e l y e t t e s í t s e , e s e t l e g (an) ⊂ R h a n g s ú l y o z z a , h o g y s z á m s o r o z a t r ó l v a n s z ó .

P é l d á u l a z a : N→ R, an := 1

n h e l y e t t a z ( 1

n)

s o r o z a t r ó l b e s z é l ü n k .

4 3



4 4 F E J E Z E T 4 . S O R O Z A T O K , S O R O K

N é h a a t ö m ö r (an) h e l y e t t a z o l d o t t a b b a1, a2, . . . , an, . . . j e l ö l é s t i s h a s z n á l -

h a t j u k . P é l d á u l a z (n2) h e l y e t t 1, 4, 9, . . . , n2, . . . s o r o z a t r ó l b e s z é l ü n k .

M i v e l a s o r o z a t i s f ü g g v é n y , í g y a k o r l á t o s s á g , a m o n o t o n i t á s , m ¶ v e l e t e k s o r o z a -

t o k k a l n e m i g é n y e l n e k ú j d e n í c i ó t . E m l é k e z t e t ® ü l m é g i s ú j r a f o g a l m a z u n k e g y -

k é t e l n e v e z é s t .

4 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y (an) s o r o z a t k o r l á t o s , h a v a n o l y a n K ∈ R,

h o g y m i n d e n n ∈ N e s e t é n |an| ≤ K .

4 . 2 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y (an) m o n o t o n n ö v ® , h a m i n d e n n ∈ N e s -

e t é n an ≤ an+1 .

4 . 3 . D e n í c i ó . H a (an) s o r o z a t , é s λ ∈ R , a k k o r

λ(an) := (λan).

H a (an), (bn) k é t s o r o z a t , a k k o r

(an) + (bn) := (an + bn),

(an) · (bn) := (an · bn).

H a m é g bn = 0 (n ∈ N), a k k o r

(an)

(bn):=

an

bn

.

P é l d á u l a z ( nn+1

) s o r o z a t k o r l á t o s , h i s z e n b á r m e l y n ∈ N e s e t é n n < n + 1 , e z é r t

n

n + 1

=n

n + 1< 1.

A z ( nn+1) m o n o t o n n ö v ® , m e r t b á r m e l y n ∈ N e s e t é n

an =n

n + 1<

n + 1

n + 2= an+1,

m i v e l n(n + 2) < (n + 1)2 .

A z (en) := (( n+1n )n) s o r o z a t i s m o n o t o n n ö v ® . U g y a n i s l e g y e n n

∈N. A

s z á m t a n i é s m é r t a n i k ö z é p k ö z ö t t f e n n á l l ó e g y e n l ® t l e n s é g s z e r i n t

en =

n + 1

n

n

= 1·n + 1

n·n + 1

n· · · n + 1

n≤

1 + n · n+1n

n + 1

n+1

=

n + 2

n + 1

n+1

= en+1.

A z (en) s o r o z a t k o r l á t o s i s ( i g a z o l á s a u g y a n a z t a s z á m o l á s t i g é n y l i , a m i t a 2 .

f e j e z e t 7 . * p é l d á j á b a n m u t a t t u n k m e g ) , b á r m e l y n ∈ N e s e t é n

n+1

n

n ≤ 4.



4 . 1 . S O R O Z A T O K , S O R O K A 4 5

4 . 1 . 2 . S o r o z a t h a t á r é r t é k e

M o s t a s o r o z a t o k e g y m e r ® b e n ú j t u l a j d o n s á g á v a l i s m e r k e d ü n k m e g . H a a z

a1, a2, . . . , an, . . . s o r o z a t t a g j a i v a l a m i l y e n s z á m k ö r ü l k e v e s e t i n g a d o z n a k , a k k o r

a z i l y e n s o r o z a t o t k o n v e r g e n s n e k f o g j u k n e v e z n i . P o n t o s a b b a n :

4 . 4 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z (an) s z á m s o r o z a t k o n v e r g e n s , h a v a n

o l y a n A ∈ Rs z á m , h o g y b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n N ∈ N

k ü s z ö b i n d e x , h o g y m i n d e n n ∈ N, n > N e s e t é n |an − A| < ε. H a v a n i l y e n As z á m , a k k o r e z a s o r o z a t h a t á r é r t é k e l e s z , é s lim an = A v a g y an → A j e l ö l i

m a j d .

P é l d á u l

1n → 0, m e r t b á r m e l y ε > 0 e s e t é n v a n o l y a n N ∈ N, a m e l y r e N > 1

ε( A r c h i m e d e s z - a x i ó m a ) . H a p e d i g n > N , a k k o r

1n < 1

N < ε, a z a z | 1n − 0| < ε .

E g y m á s i k p é l d a k é n t v e g y ü n k e g y 1 m é t e r e s r u d a t . H a f é l b e v á g j u k , m a j d a

f é l r u d a t i s f é l b e v á g j u k , m a j d a z e g y i k d a r a b o t i s m é t f é l b e v á g j u k é s í g y t o v á b b ,

a k k o r a z

1

2,

1

4,

1

23, . . . ,

1

2n, . . .

s o r o z a t h o z j u t u n k . N y i l v á n e z a s o r o z a t ( 12n

) → 0 , a z a z a k e l e t k e z e t t ú j d a r a b o k

t e t s z ® l e g e s e n k i c s i k l e s z n e k .

A z o n n a l l á t h a t ó , h o g y h a (an) k o n v e r g e n s , a k k o r k o r l á t o s i s , h i s z e n ε := 1s z á m h o z i s v a n i l y e n k o r o l y a n N 1 k ü s z ö b i n d e x , h o g y m i n d e n n > N 1 e s e t é n

A − 1 < an < A + 1,

é s a z a1, a2, . . . , aN v é g e s s o k t a g s e m r o n t h a t j a e l a z (an) s o r o z a t k o r l á t o s s á g á t .

A m ¶ v e l e t e k s o r á n a k o n v e r g e n s s o r o z a t o k j ó l v i s e l k e d n e k .

4 . 1 . T é t e l . H a an → A é s λ ∈ R , a k k o r λan → λA.

H a an → A é s bn → B , a k k o r an + bn → A + B , anbn → AB .

H a bn → B é s B = 0, a k k o r

1bn

→ 1B .

H a an → A é s bn → B = 0, a k k o r

anbn

→ AB .

E z e k n e k a t é t e l e k n e k a z a l k a l m a z á s a k é n t n é z z ü k a k ö v e t k e z ® p é l d á t .

lim3n2 − 2n + 1

2n2 + n= lim

3 − 2 · 1n + 1

n2

2 + 1n

=3

2,

h i s z e n

1n → 0 , e z é r t

1n2 = 1

n · 1n → 0 . A n e v e z ® 2 + 1

n → 2 + 0 = 0, í g y a

h á n y a d o s s o r o z a t i s k o n v e r g e n s .

T o v á b b i m ó d s z e r e k s o r o z a t k o n v e r g e n c i á j á n a k a z e l d ö n t é s é r e .

4 . 2 . T é t e l . ( k ö z r e f o g á s i e l v )

H a (an), (xn), (yn) o l y a n , h o g y




1om i n d e n n ∈ N e s e t é n xn ≤ an ≤ yn ,

2o lim xn = lim yn =: α ,

a k k o r (an) k o n v e r g e n s , é s lim an = α.

4 . 3 . T é t e l . H a (an) m o n o t o n é s k o r l á t o s , a k k o r (an) k o n v e r g e n s .

P é l d á u l a z (en) := (( n+1n )n) s o r o z a t r ó l m á r l á t t u k , h o g y m o n o t o n n ö v ® é s k o -

r l á t o s i s , e z é r t k o n v e r g e n s . A h a t á r é r t é k e é p p e n a 2 . f e j e z e t 7 . * p é l d á j á b a n

s z e r e p l ® e s z á m :

lim

n + 1

n

n

= e.

A f e l a d a t o k k ö z ö t t e g y s o r t o v á b b i k o n v e r g e n s s o r o z a t o t t a l á l h a t u n k .

A s o r o z a t k o n v e r g e n c i á j á n a k d e n í c i ó j a t a r t a l m a z e g y k o m o l y n e h é z s é g e t :

m e g k e l l s e j t e n i a z t a z A ∈ R s z á m o t , a m e l y h e z a s o r o z a t t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l

k e r ü l . E z t k ü s z ö b ö l i k i a k ö v e t k e z ® t é t e l :

4 . 4 . T é t e l . ( C a u c h y k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m )

A z (an) s o r o z a t a k k o r é s c s a k a k k o r k o n v e r g e n s , h a b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z

v a n o l y a n N ∈ N k ü s z ö b i n d e x , h o g y m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r m, n > N , |an − am| < ε.

T e h á t a z , h o g y a s z á m s o r o z a t h o z z á s i m u l , t e t s z ® l e g e s e n m e g k ö z e l í t e g y s z á m o t ,

e g y e n é r t é k ¶ a z z a l , h o g y a s o r o z a t t a g j a i t e t s z ® l e g e s e n m e g k ö z e l í t i k e g y m á s t .

4 . 1 . 3 . S o r o k

M o s t g o n d o l j u n k a r r a , h o g y v a l a k i a z e l ® z ® e k b e n s z e r e p l ® 1 m é t e r e s r ú d s z e l e t e l é s é n é l

k a p o t t d a r a b o k a t ö s s z e s z e r e t n é i l l e s z t e n i , a z a z a z

1

2+

1

22+

1

23+ . . . +

1

2n+ . . .

ö s s z e g e t s z e r e t n é e l k é s z í t e n i . A k k o r a z

12

- h e z h o z z á r a g a s z t j a a z

122

h o s s z ú s á g ú t ,

í g y

12

+ 122

l e s z ; m a j d e h h e z r a g a s z t j a a z

123

h o s s z ú s á g ú t , í g y

12

+ 122

+ 123

l e s z ,

é s í g y t o v á b b . Á l t a l á n o s a b b a n : L e g y e n (an) s z á m s o r o z a t . K é s z í t s ü k e l a z

S 1 := a1, S 2 := a1 + a2, S 3 := a1 + a2 + a3, . . . , S n := a1 + a2 + . . . + an, . . .

s o r o z a t o t . A z (an) ö s s z e a d a n d ó k b ó l k é s z í t e t t

an v é g t e l e n s o r o n a z (S n)

r é s z l e t ö s s z e g - s o r o z a t o t é r t j ü k . A v é g t e l e n s o k s z á m ö s s z e a d á s a k o n v e r g e n s e l j á r á s ,

a z a z

an v é g t e l e n s o r k o n v e r g e n s , h a a z (S n) s o r o z a t k o n v e r g e n s . H a a z

(S n) s o r o z a t k o n v e r g e n s , a k k o r a

an v é g t e l e n s o r ö s s z e g é n a z (S n) s o r o z a t

h a t á r é r t é k é t é r t j ü k , a z a z

∞n=1 an := lim S n .



4 . 1 . S O R O Z A T O K , S O R O K A 4 7

P é l d á u l l e g y e n q ∈ R, 0 < q < 1 . T e k i n t s ü k a (qn) ö s s z e a d ó s o r o z a t o t . A z

n- e d i k r é s z l e t ö s s z e g

S n = q + q2 + q3 + . . . + qn = qqn − 1

q − 1.

M i v e l qn → 0 ( l á s d a C ) p é l d á k 3 . f e l a d a t á t ) , e z é r t

lim S n = lim qqn − 1

q − 1=

−q

q − 1=

q

1 − q.

t e h á t a

qn

v é g t e l e n s o r k o n v e r g e n s , é s

∞n=1 qn = q

1−q a v é g t e l e n s o r ö s s z e g e .

H a

an e g y k o n v e r g e n s v é g t e l e n s o r , a k k o r (S n) k o n v e r g e n s , e k k o r a C a u c h y

k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m s z e r i n t b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n N k ü s z ö b i n d e x ,

h o g y m i n d e n m > N é s n := m + 1 > N e s e t é n

ε > |S n − S m| = |a1 + a2 + . . . + am + am+1 − (a1 + a2 + . . . + am)| = |an|.E z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y an → 0 . T e h á t é r v é n y e s a k ö v e t k e z ® t é t e l :

4 . 5 . T é t e l . H a

an k o n v e r g e n s , a k k o r an → 0 .

M e g f o r d í t v a n e m i g a z a z á l l í t á s . L e g y e n (an) := (ln n+1n ) . M i v e l

n+1n = 1 + 1

n →1, e z é r t ln n+1

n → ln1 = 0. M i n d e n n ∈ N e s e t é n

S n = ln2

1+ ln

3

2+ ln

4

3+ . . . + ln

n + 1

n= ln

2

1· 3

2· 4

3· · · n + 1

n= ln(n + 1).

L e g y e n K > 0 t e t s z ® l e g e s . V a n o l y a n n ∈ N, h o g y n + 1 > eK

. E k k o r

S n = ln(n + 1) > ln eK = K, t e h á t a z (S n) n e m k o r l á t o s , d e a k k o r n e m i s

k o n v e r g e n s , a z a z

an n e m k o n v e r g e n s .

U g y a n í g y v i s e l k e d i k a

1n v é g t e l e n s o r i s : b á r a z

1n → 0, d e a

1n n e m k o n -

v e r g e n s .

V a n l e h e t ® s é g a z ö s s z e a d a n d ó s o r o z a t v i s e l k e d é s é b ® l a v é g t e l e n s o r k o n v e r -

g e n c i á j á r a k ö v e t k e z t e t n i .

4 . 6 . T é t e l . ( H á n y a d o s k r i t é r i u m )

L e g y e n (an) o l y a n s o r o z a t , a m e l y h e z v a n o l y a n 0 < q < 1 s z á m é s N k ü s z ö b i n d e x ,

h o g y m i n d e n n > N e s e t é n |an+1

an| ≤ q. E k k o r

an k o n v e r g e n s .

4 . 7 . T é t e l . ( G y ö k k r i t é r i u m )

L e g y e n (an) o l y a n s o r o z a t , a m e l y h e z v a n o l y a n 0 < q < 1 s z á m é s N k ü s z ö b i n d e x ,

h o g y m i n d e n

n > N e s e t é n

n |an| ≤ q.E k k o r

ank o n v e r g e n s .

P é l d á u l a

2n

n!a z é r t k o n v e r g e n s v é g t e l e n s o r , m e r t

an+1

an=

2n+1

(n+1)!

2n

n!

=2

n + 1<

1

2, h a n > 5.

É r d e k e s a v á l t a k o z ó e l ® j e l ¶ s o r o k r ó l s z ó l ó t é t e l .



4 . 2 . F E L A D A T O K 4 9

5 . L e g y e n a > 1, k ∈ N . M u t a s s a m e g , h o g y

nk

an → 0 .

L e g y e n

(an) := (n100

1,001n ). B e c s ü l j e m e g a z

a1, a2, a3é r t é k é t ,

lim an =?M e g o l d á s : B á r m e l y n ∈ N e s e t é n

nk

an=

n

( k√

a)n· n

( k√

a)n· · · n

( k√

a)n

M i v e l

k√

a > 1 , e z é r t

n( k√

a)n→ 0 a 4 . p é l d a s z e r i n t . A k k o r k d a r a b 0 - h o z

t a r t ó s o r o z a t s z o r z a t a i s 0 - h o z t a r t , t e h á t

n( k√

a)n→ 0 .

6 . L e g y e n a > 0 . M u t a s s a m e g , h o g y

an

n! → 0 .

M e g o l d á s : V a n o l y a n k ∈ N, h o g y a < k . L e g y e n n ∈ N, n > k . E k k o r

an

n!=

a

1· a

2· · · a

k· a

k + 1· · · a

n − 1· a

n.

L e g y e n

a1 ·

a2 · · ·

ak := L;

ak+1 < 1, . . . ,

an−1 < 1,

í g y

0 <an

n!< L

a

n.

M i v e l

Lan → 0, e z é r t a k ö z r e f o g o t t s o r o z a t r a

an

n!→ 0 .

7 . M u t a s s a m e g , h o g y

n!nn → 0 .

8 . L e g y e n a > 0 . I g a z o l j a , h o g y

n√

a → 1 .

M e g o l d á s : E l ® s z ö r l e g y e n a > 1 . L e g y e n pn := n√

a − 1 > 0 (n ∈ N).

B á r m e l y n ∈ N e s e t é n a B e r n o u l l i - e g y e n l ® t l e n s é g s z e r i n t

a = (1 + pn)n > npn,

í g y

0 < pn < an

.

M i v e l

an → 0

, e z é r t a k ö z r e f o g o t t s o r o z a t r a pn → 0, a m i a z 1 . f e l a d a t

s z e r i n t

n√

a → 1 .

H a 0 < a < 1 , a k k o r

1a > 1 , e z é r t

n

1a → 1 , d e a k k o r a r e c i p r o k s o r o z a t r a

i s

n√

a → 1 .

9 . lim n√

5 =? lim n√

2n + 1000 =? lim n√

2n + 5n =?

1 0 . I g a z o l j a , h o g y

n√

n → 1 .

K o n v e r g e n s - e a z (n√

n2), ( n

1

n2 ) s o r o z a t ?

M e g o l d á s : L e g y e n pn := n√

n − 1 > 0 (n ∈ N). B á r m e l y n ∈ N, n > 1

e s e t é n

n = (1 + pn)

n

>n

2 p

2

na 2 . f e j e z e t 5 . p é l d á j a s z e r i n t . E b b ® l

n >n(n − 1)

2p2

n

p2n <

2

n − 1

0 < pn <

√2√

n − 1.




A k ö n n y e n i g a z o l h a t ó

1√n−1

→ 0 m i a t t a k ö z r e f o g o t t pn → 0, a m i e g y e n é r t é k ¶

( 1 . f e l a d a t ) a z

n

√n → 1á l l í t á s s a l .

1 1 . I g a z o l j a , h o g y

1n√

n!→ 0 .

M e g o l d á s : M i n d e n n ∈ N e s e t é n ( e g y p i l l a n a t r a f e l t é t e l e z v e , h o g y n p á r o s )

n! = 1 · 2 · · ·n

2− 1

· n

2·n

2+ 1

· · · n > 1 · 1 · · · 1 · n

2· n

2· · · n

2,

a z a z n! > ( n2 )

n2

. E b b ® l

n√

n! >n

2

12

0 <1

n√

n!<

√2√n

.

M i v e l

1√n

→ 0 , e z é r t a k ö z r e f o g o t t s o r o z a t r a

1n√

n!→ 0 .

1 2 . M u t a s s a m e g , h o g y

1

n(n+1)k o n v e r g e n s .

M e g o l d á s : L e g y e n n ∈ N.

S n =1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ . . . +

1

1 · n(n + 1).

M i v e l

1k(k+1)

= 1k − 1

k+1, e z é r t

S n =1

1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− 1

4+ . . . +

1

n− 1

n + 1= 1 − 1

n + 1.

lim S n = lim 1

−1

n+1 = 1 , e z é r t 1n(n+1) k o n v e r g e n s , é s ∞

n=11

n(n+1) = 1 .

1 3 . M u t a s s a m e g , h o g y

1

n2 k o n v e r g e n s .

M e g o l d á s : L e g y e n n ∈ N, n > 1

S n =1

12+

1

22+

1

32+ . . . +

1

n2< 1 +

1

1 · 2+

2

2 · 3+ . . .

1

(n − 1)n=

= 1 +1

1− 1

2+

1

2− 1

3+ . . . +

1

n − 1− 1

n= 1 + 1 − 1

n< 2

T e h á t a z (S n) s o r o z a t k o r l á t o s . M á s r é s z t b á r m e l y n ∈ N e s e t é n S n+1 =S n + 1

(n+1)2> S n , t e h á t (S n) m o n o t o n n ö v e k e d ® . E z é r t S n k o n v e r g e n s ,

a z a z

1

n2 k o n v e r g e n s .

1 4 . K o n v e r g e n s - e a 1

n! , 3n

n!v é g t e l e n s o r ?

M i l y e n x ∈ R e s e t é n k o n v e r g e n s a

xn

n!v é g t e l e n s o r ?

M e g o l d á s : M e g m u t a t j u k , h o g y b á r m e l y x ∈ R e s e t é n

xn

n!k o n v e r g e n s ,

u g y a n i s h a x = 0 , a k k o r xn+1

(n+1)!xn

n!

=|x|

n + 1≤ 1

2, h a n > [2|x| − 1],



4 . 2 . F E L A D A T O K 5 1

e z é r t a h á n y a d o s k r i t é r i u m s z e r i n t xn

n! k o n v e r g e n s .

1 5 . K o n v e r g e n s - e a

3n

1+32nv é g t e l e n s o r ?

M e g o l d á s : A g y ö k k r i t é r i u m s z e r i n t

n

3n

1 + 32n<

n

3n

32n=

1

3(n ∈ N),

e z é r t

3n

1+32nk o n v e r g e n s .

1 6 . A h á n y a d o s - v a g y a g y ö k k r i t é r i u m a l a p j á n k i d e r ü l h e t n e - e , h o g y

1

n2 k o n -

v e r g e n s ?

M e g o l d á s : N e m . U g y a n i s

1(n+1)2

1n2

=

n

n + 1

2

< 1,

d e n i n c s o l y a n q < 1 s z á m , h o g y v a l a m i l y e n N u t á n m i n d e n n > N e s e t é n

( nn+1

) ≤ q .

A g y ö k k r i t é r i u m s z e r i n t i s

n

1

n2=

1n√

n2< 1,

d e m i v e l lim 1n√

n2= 1 , e z é r t n i n c s o l y a n q < 1 s z á m , h o g y v a l a m i l y e n N

u t á n m i n d e n

n > N - r e

1

n√n2 < q.

1 7 . K o n v e r g e n s - e a

cos(nπ)√n

v é g t e l e n s o r ?

M e g o l d á s : cos(nπ) = (−1)n, ( 1√n

) m o n o t o n f o g y ó l a g t a r t 0 - h o z , e z é r t a

L e i b n i z - t é t e l s z e r i n t

cos(nπ)√n

k o n v e r g e n s .

1 8 . * I g a z o l j u k a k ö v e t k e z ® á l l í t á s o k a t :

a ) B á r m e l y α,β,γ ∈ R e s e t é n

lim

1 +

α

n + β

n+γ

= eα

b )

∞n=0

1n!

= ec ) B á r m e l y n ∈ N e s e t é n v a n o l y a n ϑ ∈ (0, 1) , h o g y

e =1

0!+

1

1!+

1

2!+ . . . +

1

n!+

ϑ

n!n

d ) e ∈ R \Q




4 . 3 . S o r o z a t o k E

4 . 3 . 1 . S o r o z a t k o n v e r g e n c i á j a

4 . 5 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z (an) s o r o z a t k o n v e r g e n s , h a ∃A ∈ R,

∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |an − A| < ε.

4 . 9 . T é t e l . H a (an) k o n v e r g e n s , a k k o r (an) k o r l á t o s .

B i z o n y í t á s . L e g y e n ε := 1. M i v e l (an) k o n v e r g e n s , e z é r t ∃A ∈ R é s ∃N ∈ N ,

h o g y ∀n > N e s e t é n

A − 1 < an < A + 1.

H a

K := max|a1|, |a2|, . . . , |aN |, |A−1|, |A+1|,a k k o r ∀n ∈ N e s e t é n |an| ≤ K.

4 . 1 0 . T é t e l . H a (an) m o n o t o n é s k o r l á t o s , a k k o r (an) k o n v e r g e n s .

B i z o n y í t á s . T e g y ü k f e l , h o g y (an)

m o n o t o n n ö v e k e d ® . T e k i n t s ü k a z a1, a2, . . . , an, . . .h a l m a z t . E z a h a l m a z f e l ü l r ® l k o r l á t o s s z á m h a l m a z , e z é r t ∃ supa1, a2, . . . , an, . . . =:α. A h a l m a z f e l s ® h a t á r á n a k t u l a j d o n s á g a , h o g y

1o ∀n ∈ N e s e t é n an ≤ α

2o ∀ε > 0 ∃N ∈ N : an > α − ε.

L e g y e n n > N t e t s z ® l e g e s , é s b e c s ü l j ü k m e g a s o r o z a t n- e d i k t a g j á t :

α − ε < aN ≤ an ≤ α < α + ε,

t e h á t |an − α| < ε. A z a l á h ú z o t t r é s z é p p e n (an) k o n v e r g e n c i á j á t j e l e n t i .

4 . 1 1 . T é t e l . L e g y e n (an) o l y a n s o r o z a t , a m e l y h e z ∃(xn), (yn) :

1o ∀n ∈ N e s e t é n xn ≤ an ≤ yn

2o lim xn = lim yn =: α

A k k o r

(an)k o n v e r g e n s , é s

lim an = α.

B i z o n y í t á s . L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s .

M i v e l xn → α, e z é r t ∃N 1, ∀n > N 1 e s e t é n α − ε < xn < α + ε.M i v e l yn → α, e z é r t ∃N 2, ∀n > N 2 e s e t é n α − ε < yn < α + ε.L e g y e n N := maxN 1, N 2 é s n > N t e t s z ® l e g e s . E k k o r α − ε < xn ≤ an ≤yn < α + ε,

a m i b ® l |an − α| < ε.A z a l á h ú z o t t a k b ó l k ö v e t k e z i k a z á l l í t á s .



4 . 3 . S O R O Z A T O K E 5 3

4 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k k o n v e r g e n s s o r o z a t o k k a l

4 . 1 2 . T é t e l . H a an → 0 é s bn → 0, a k k o r an + bn → 0 .

B i z o n y í t á s . L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s , a k k o r

ε2 > 0 .

M i v e l an → 0, e z é r t ∃N 1 , ∀n > N 1 e s e t é n − ε2

< an < ε2

.

M i v e l bn → 0 , e z é r t ∃N 2 , ∀n > N 2 e s e t é n − ε2

< bn < ε2

.

L e g y e n N := maxN 1, N 2 é s n > N t e t s z ® l e g e s . E k k o r −ε = − ε2 − ε

2 < an +bn < ε

2+ ε

2= ε, a z a z |an + bn| < ε, t e h á t an + bn → 0 a z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t .

4 . 1 3 . T é t e l . H a an → 0 é s (cn) k o r l á t o s (|cn| < K (n ∈ N)) , a k k o r ancn → 0 .

B i z o n y í t á s . L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s , e k k o r

εK > 0. M i v e l an → 0 , e z é r t

∃N , ∀n > N e s e t é n |an| < εK . L e g y e n n > N t e t s z ® l e g e s .

|ancn| = |an||cn| ≤ |an| · K<ε

K · K = ε,

a z a l á h ú z o t t a k b ó l k ö v e t k e z i k , h o g y ancn → 0.

4 . 1 4 . T é t e l . H a an → A é s λ ∈ R, a k k o r λan → λA.

B i z o n y í t á s . (λan − λA) = (λ) · (an − A). A z an − A → 0 , a (λ) k o r l á t o s

s o r o z a t , e z é r t

λ(an − A) → 0 ⇐⇒ λan → λA.

4 . 1 5 . T é t e l . H a an → A é s bn → B , a k k o r an + bn → A + B .

B i z o n y í t á s . (an + bn − (A + B)) = (an −A + bn −B) = (an −A) + (bn −B).M i v e l an − A → 0 é s bn − B → 0, e z é r t ö s s z e g ü k i s 0 - h o z t a r t , a z a z an + bn →A + B .

4 . 1 6 . T é t e l . H a an → A é s bn → B , a k k o r anbn → AB .

B i z o n y í t á s . (anbn − AB) = (anbn − Abn + Abn − AB) = (an − A)(bn) +

(A)(bn − B).A z an − A → 0 , (bn) k o n v e r g e n s , e z é r t k o r l á t o s i s , í g y s z o r z a t u k 0 - h o z t a r t . A

bn − B → 0 , (A) k o r l á t o s , e z é r t s z o r z a t u k i s 0 - h o z t a r t . K é t 0 - h o z t a r t ó s o r o z a t

ö s s z e g e i s 0 - h o z t a r t , t e h á t

anbn → AB.

4 . 1 7 . T é t e l . H a bn → B, B = 0 , a k k o r

1bn

→ 1B

.

B i z o n y í t á s . L e g y e n B > 0.1

bn− 1

B

=

B − bn

Bbn

= − 1

B·

1

bn

· (bn − B)




A bn −B → 0. M e g m u t a t j u k , h o g y

1bn

k o r l á t o s . M i v e l bn → B , e z é r t ε := B2 > 0

s z á m h o z ∃N : ∀n > N e s e t é n −

B

2 < bn − B <B

2, v a g y

B −B

2 < bn < B +B

2 ,a m i b ® l

2

B>

1

bn>

2

3B.

E z a z t j e l e n t i , h o g y

1bn

k o r l á t o s ( n > N ) . A 0 - h o z t a r t ó é s k o r l á t o s s o r o z a t

s z o r z a t a 0 - h o z t a r t , t e h á t

1bn

→ 1B .

4 . 1 8 . T é t e l . H a an → A é s bn → B = 0, a k k o r

anbn

→ AB .

B i z o n y í t á s . ( anbn

) = (an) · ( 1bn

). A s z o r z a t s o r o z a t é s a r e c i p r o k s o r o z a t

k o n v e r g e n c i á j á r ó l s z ó l ó t é t e l s z e r i n t

an · 1bn→ A · 1B ,

t e h á t

anbn

→ AB .

4 . 3 . 3 . R é s z s o r o z a t o k

4 . 6 . D e n í c i ó . E g y i : N → N s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® s o r o z a t o t i n d e x -

s o r o z a t n a k n e v e z ü n k .

4 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n a, b : N → R. A z t m o n d j u k , h o g y b a z a s o r o z a t e g y

r é s z s o r o z a t a , h a ∃i : N→ N i n d e x s o r o z a t , h o g y b = a i, a z a z (bn) = (ain).

P é l d á u l

(an) := 1,12 ,

13 , . . . ,

1n , . . .

é s

(in) := 2, 4, 6, . . . , 2n , . . .e s e t é n

(ain) :=1

2,

1

4,

1

6. . . ,

1

2n, . . .

l e s z a r é s z s o r o z a t .

4 . 1 9 . T é t e l . M i n d e n s o r o z a t n a k v a n m o n o t o n r é s z s o r o z a t a .

B i z o n y í t á s . B á r m e l y s o r o z a t r a i g a z , h o g y

v a g y 1on i n c s l e g n a g y o b b t a g j a ,

v a g y 2ov a n l e g n a g y o b b t a g j a , d e v é g e s s o k a t e l h a g y v a a s o r o z a t t a g j a i k ö z ü l

a v i s s z a m a r a d ó s o r o z a t n a k m á r n i n c s l e g n a g y o b b t a g j a ,

v a g y 3o

v a n l e g n a g y o b b t a g a s o r o z a t b a n , é s b á r h o g y a n h a g y u n k e l v é g e s s o k a t

a s o r o z a t b ó l , a v i s s z a m a r a d t s o r o z a t n a k m é g m i n d i g v a n l e g n a g y o b b t a g j a .

H a (an) a z 1ot í p u s ú s o r o z a t , a k k o r e g y s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® r é s z s o r o z a t o t

k é s z í t ü n k .

ai1 := a1.



4 . 3 . S O R O Z A T O K E 5 5

H a g y j u k e l a s o r o z a t b ó l a1 - e t . A v i s s z a m a r a d t s o r o z a t b a n v a n a1 - n é l n a g y o b b

t a g , l e g y e n e z ak

.

ai2 := ak.

H a g y j u k e l a s o r o z a t b ó l a z ak - i g a t a g o k a t , é s a v i s s z a m a r a d t ak+1, ak+2, . . . , an, . . .s o r o z a t b ó l v á l a s s z u n k a z ak - n á l n a g y o b b t a g o t , l e g y e n e z al .

ai3 := al.

E z t a z e l j á r á s t f o l y t a s s u k . N y i l v á n i1 = 1 < i2 = k < i3 = l < . . . , t e h á t (in)i n d e x s o r o z a t l e s z , é s ai1 = a1 < ai2 = ak < ai3 = al < . . . a z (an) s o r o z a t

s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® r é s z s o r o z a t a .

H a (an) a 2ot í p u s ú s o r o z a t , a k k o r h a g y j u k e l a s o r o z a t b ó l a z t a v é g e s s o k

t a g o t , a m e l y k ö z ö t t v o l t a s o r o z a t l e g n a g y o b b t a g j a , é s a v i s s z a m a r a d t s o r o z a t t a l

i s m é t e l j ü k m e g a z e l ® z ® e l j á r á s t . Í g y e k k o r i s s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ®

r é s z s o r o z a t h o z j u t u n k .

H a (an) a 3ot í p u s ú s o r o z a t , a k k o r f o g y ó r é s z s o r o z a t o t k é s z í t ü n k . L e g y e n ak a

s o r o z a t l e g n a g y o b b t a g j a . E k k o r

ai1 := ak.

H a g y j u k e l ak - i g a s o r o z a t t a g o k a t . A v i s s z a m a r a d t ak+1, ak+2, . . . , an, . . . s o r o z a t -

n a k i s v a n l e g n a g y o b b t a g j a , l e g y e n e z al . N y i l v á n ak ≥ al. L e g y e n

ai2 := al.

H a g y j u k e l al - i g a s o r o z a t t a g o k a t , a v i s s z a m a r a d t al+1, al+2, . . . , an, . . . s o r o z a t

l e g n a g y o b b t a g j a l e g y e n am . N y i l v á n al ≥ am. L e g y e n

ai3 := am.

E z t a z e l j á r á s t f o l y t a s s u k . L á t h a t ó , h o g y a z í g y s z e r k e s z t e t t

(ain)v a l ó b a n r é s z -

s o r o z a t a a z (an) s o r o z a t n a k é s m o n o t o n f o g y ó l e s z .

4 . 2 0 . T é t e l . ( B o l z a n o - W e i e r s t r a s s k i v á l a s z t á s i t é t e l )

M i n d e n k o r l á t o s s o r o z a t n a k v a n k o n v e r g e n s r é s z s o r o z a t a .

B i z o n y í t á s . M i n d e n s o r o z a t n a k v a n m o n o t o n r é s z s o r o z a t a . E z a r é s z -

s o r o z a t i s k o r l á t o s l e s z . E g y m o n o t o n é s k o r l á t o s s o r o z a t k o n v e r g e n s .

4 . 3 . 4 . S o r o z a t l i m s u p - j a é s l i m i n f - j e

L e g y e n (an) k o r l á t o s s o r o z a t . K é s z í t s ü k e l a z

α1 := supa1, a2, a3, . . . , an, . . .α2 := supa2, a3, a4, . . . , an, . . .

.

.

.

αk := supak, ak+1, ak+2, . . . , an, . . ..

.

.

( 4 . 1 )




s z á m s o r o z a t o t . M i v e l a1, a2, . . . , an, . . . ⊃ a2, a3, . . . , an, . . ., e z é r t a f e l s ®

h a t á r u k r a n y i l v á n α1 ≥

α2

. E z t t o v á b b g o n d o l v a l á t s z i k , h o g y (αk

) m o n o t o n

f o g y ó s o r o z a t . A z (αk) u g y a n o l y a n k o r l á t o k k ö z é s z o r í t h a t ó , m i n t a z e r e d e t i

(an)s o r o z a t . M i v e l

(αk)m o n o t o n é s k o r l á t o s , e z é r t k o n v e r g e n s .

4 . 8 . D e n í c i ó . lim sup an := lim αk.

A z e l ® z ® g o n d o l a t m e n e t h e z h a s o n l ó a n l e g y e n

β 1 := inf a1, a2, a3, . . . , an, . . .β 2 := inf a2, a3, a4, . . . , an, . . .

.

.

.

β k := inf

ak, ak+1, ak+2, . . . , an, . . .

.

.

.

( 4 . 2 )

N y i l v á n β 1 ≤ β 2, é s e z a t e n d e n c i a m e g m a r a d , í g y (β k) m o n o t o n n ö v ® . A (β k)i s k o r l á t o s . M i v e l (β k) m o n o t o n é s k o r l á t o s , e z é r t k o n v e r g e n s .

4 . 9 . D e n í c i ó . lim inf an := lim β k.

A s z e r k e s z t é s b ® l l á t s z i k , h o g y ∀k ∈ N e s e t é n αk ≥ β k, í g y lim inf an = lim β k ≤lim αk = lim sup an.B e b i z o n y í t h a t ó , h o g y

4 . 2 1 . T é t e l . A z (an) k o r l á t o s s o r o z a t k o n v e r g e n s ⇐⇒ liminf an = lim sup an.

S z i n t é n b i z o n y í t á s n é l k ü l m e g e m l í t j ü k a limsup an é r d e k e s t u l a j d o n s á g a i t :

a ) ∀ε > 0 e s e t é n a (lim sup an) − ε s z á m n á l n a g y o b b t a g v é g t e l e n s o k v a n a z

(an) s o r o z a t b a n , a (lim sup an) + ε s z á m n á l n a g y o b b t a g m á r c s a k v é g e s

s o k v a n a z (an) s o r o z a t b a n .

b ) A limsup an a z (an) s o r o z a t k o n v e r g e n s r é s z s o r o z a t a i n a k a h a t á r é r t é k e i

k ö z ü l a l e g n a g y o b b ( t e h á t v a n i s o l y a n (ain) k o n v e r g e n s r é s z s o r o z a t , a m e -

l y r e ain → limsup an.)

É r t e l e m s z e r ¶ m ó d o s í t á s s a l m e g f o g a l m a z h a t ó k a lim inf an t u l a j d o n s á g a i i s .

4 . 3 . 5 . I n t e r v a l l u m s o r o z a t

4 . 2 2 . T é t e l . ( C a n t o r k ö z ö s r é s z t é t e l )

L e g y e n ([an, bn]) z á r t i n t e r v a l l u m o k s o r o z a t a . T e g y ü k f e l , h o g y ∀n ∈ N e s e t é n

[an, bn] ⊃ [an+1, bn+1] ( e g y m á s b a s k a t u l y á z o t t i n t e r v a l l u m o k ) é s lim bn − an =0. E k k o r e g y é r t e l m ¶ e n l é t e z i k c ∈ R, a m e l y r e ∩n∈N[an, bn] = c .



4 . 3 . S O R O Z A T O K E 5 7

B i z o n y í t á s . L e g y e n

(an)a z i n t e r v a l l u m o k k e z d ® p o n t j a i n a k s o r o z a t a . A z

e g y m á s b a s k a t u l y á z o t t s á g m i a t t ∀n ∈ N e s e t é n an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ b1, t e h á t

a z (an) s o r o z a t e g y i k f e l s ® k o r l á t j a b1 , m á s r é s z t (an) m o n o t o n n ö v ® . E z é r t (an)k o n v e r g e n s . L e g y e n α := lim an.A z i n t e r v a l l u m o k v é g p o n t j a i n a k s o r o z a t a l e g y e n (bn) . N y i l v á n ∀n ∈ N e s e t é n

bn ≥ bn+1 ≥ an+1 ≥ a1, t e h á t (bn) m o n o t o n f o g y ó é s a l u l r ó l k o r l á t o s , e z é r t (bn)k o n v e r g e n s . L e g y e n β := lim bn.B e l á t j u k , h o g y α = β.

β − α = lim bn − lim an = lim(bn − an) = 0.

L e g y e n c := α = β.A z (an) m o n o t o n n ö v e k e d é s e é s a (bn) m o n o t o n f o g y á s a m i a t t ∀n ∈ N e s e t é n

an ≤ lim an = c = lim bn ≤ bn,

e z é r t c ∈ [an, bn], a m i a z t j e l e n t i , h o g y

c ∈ ∩n∈N[an, bn].

I n d i r e k t m ó d o n , t e g y ü k f e l , h o g y ∃d ∈ R, d = c, a m e l y r e

d ∈ ∩n∈N[an, bn].

L e g y e n ε := |d−c|3

> 0. M i v e l bn − an → 0, e z é r t ∃N, ∀n > N e s e t é n bn − an <ε. L e g y e n [an, bn] e g y i l y e n i n t e r v a l l u m . A c

∈[an, bn], d e a k k o r a c - t ® l a

3 · ε t á v o l s á g r a l é v ® d m á r n e m l e h e t a z ε- n á l r ö v i d e b b i n t e r v a l l u m b a n . E z

e l l e n t m o n d á s , t e h á t ∩n∈N[an, bn] = c.

4 . 3 . 6 . C a u c h y k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m

A C a n t o r k ö z ö s r é s z t é t e l i s h a s z n o s s e g é d e s z k ö z l e h e t s o r o z a t k o n v e r g e n c i á j á n a k

k i m u t a t á s á r a . A k ö v e t k e z ® t é t e l a l a p v e t ® s z ü k s é g e s é s e l é g s é g e s f e l t é t e l t a d a

s o r o z a t k o n v e r g e n c i á j á r a .

4 . 1 0 . D e n í c i ó . M o n d j u k a z t , h o g y (an) C a u c h y - s o r o z a t , h a

∀ε > 0 ∃N ∈ N, h o g y ∀n,m > N e s e t é n |an − am| < ε.

4 . 2 3 . T é t e l . ( C a u c h y k o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m )

L e g y e n (an)

s z á m s o r o z a t

(an) k o n v e r g e n s ⇐⇒ (an) C a u c h y - s o r o z a t .

B i z o n y í t á s . ( ⇒) L e g y e n lim an =: A. L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s . M i v e l

an → A,e z é r t a z

ε2

> 0h i b a k o r l á t h o z ∃N

, h o g y ∀n > N e s e t é n |an − A| < ε

2 é s




∀m > N e s e t é n |am − A| < ε2 .

L e g y e n n,m > N t e t s z ® l e g e s . E k k o r

|an − am| = |an − A + A − am| ≤ |an − A| + |A − am|< ε

2+

ε

2= ε.

A z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t (an) C a u c h y - s o r o z a t .

( ⇐) L e g y e n (an)

C a u c h y - s o r o z a t . M e g m u t a t j u k , h o g y (an)

k o r l á t o s . U g y a n i s

a z ε := 1 p o z i t í v s z á m h o z i s ∃N 1, h o g y ∀n,m > N 1 e s e t é n

|an − am| < 1.

R ö g z í t s ü k a z m > N 1 i n d e x e t . Í g y

am − 1 < an < am + 1,

a m i a z t j e l e n t i , h o g y

∀n > N 1 e s e t é n a s o r o z a t t a g j a i a k é t k o r l á t k ö z é e s n e k .

A z a1, a2, . . . , aN v é g e s s o k t a g m á r n e m r o n t h a t j a e l a z e g é s z (an) s o r o z a t

k o r l á t o s s á g á t .

M i v e l (an) k o r l á t o s , e z é r t a B o l z a n o - W e i e r s t r a s s k i v á l a s z t á s i t é t e l m i a t t v a n

(ain) k o n v e r g e n s r é s z s o r o z a t a .

L e g y e n α := lim ain . M e g m u t a t j u k , h o g y an → α.L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s . M i v e l ain → α, e z é r t a z

ε2 > 0 h i b a k o r l á t h o z ∃N 2,

h o g y ∀n > N 2 e s e t é n |ain − α| < ε2

. M i v e l (an) C a u c h y - s o r o z a t , e z é r t a z

ε2

> 0h i b a k o r l á t h o z ∃N 3, h o g y ∀n > N 3 é s in ≥ n e s e t é n |ain − an| < ε

2. L e g y e n

N := maxN 2, N 3, é s l e g y e n n > N t e t s z ® l e g e s . E k k o r

|an − α| = |an − ain + ain − α| ≤ |an − ain | + |ain − α|< ε

2+

ε

2= ε.

A z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t an

→α.

4 . 3 . 7 . D i v e r g e n s s o r o z a t o k

E g y (an) s o r o z a t o t d i v e r g e n s n e k n e v e z ü n k , h a n e m k o n v e r g e n s , a z a z h a ∀A ∈ Rs z á m h o z ∃ε > 0 , h o g y ∀N ∈ N k ü s z ö b i n d e x u t á n ∃n > N o l y a n , h o g y |an −A| ≥ε.D i v e r g e n s s o r o z a t p é l d á u l a z (n2) é s a ((−1)n) s o r o z a t i s . A z (n2) s o r o z a t h o z

t á g a b b é r t e l e m b e n l e h e t ® s é g l e s z h a t á r é r t é k e t r e n d e l n i , m í g a ((−1)n) m a r a d

e g y r o s s z u l d i v e r g e n s s o r o z a t .

4 . 1 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y (an) s z á m s o r o z a t n a k +∞ a h a t á r é r t é k e ,

h a ∀K ∈ R s z á m h o z ∃N ∈ N k ü s z ö b i n d e x , h o g y ∀n > N e s e t é n an > K .

H a (an) s o r o z a t i l y e n , a k k o r lim an = +

∞.

4 . 1 2 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y (an) s z á m s o r o z a t n a k −∞ a h a t á r é r t é k e ,

h a ∀K ∈ R s z á m h o z ∃N ∈ N k ü s z ö b i n d e x , h o g y ∀n > N e s e t é n an < K .

H a (an) s o r o z a t i l y e n , a k k o r lim an = −∞.

P é l d á u l lim n2 = +∞ é s lim(−n2) = −∞ .

A +∞ v a g y −∞ h a t á r é r t é k ¶ s o r o z a t o k k a l v é g z e t t m ¶ v e l e t e k ( i l y e n e k ö s s z e g e ,

h á n y a d o s a ) n a g y k ö r ü l t e k i n t é s t i g é n y e l .



4 . 4 . S O R O K E 5 9

4 . 4 . S o r o k E

4 . 4 . 1 . S o r k o n v e r g e n c i á j a

4 . 1 3 . D e n í c i ó . L e g y e n (an) a z ö s s z e a d a n d ó k s o r o z a t a . K é s z í t s ü k e l a z (S n) :=(a1 + a2 + . . . + an) r é s z l e t ö s s z e g e k s o r o z a t á t . A

an v é g t e l e n s o r l e g y e n a

r é s z l e t ö s s z e g e k s o r o z a t a , a z a z

an := (S n).

4 . 1 4 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a

an v é g t e l e n s o r k o n v e r g e n s , h a a z

(S n) s o r o z a t k o n v e r g e n s . (

an d i v e r g e n s , h a a z (S n) d i v e r g e n s . )

H a a z (S n) k o n v e r g e n s , a k k o r a

an v é g t e l e n s o r ö s s z e g é n a r é s z l e t ö s s z e g -

s o r o z a t h a t á r é r t é k é t é r t j ü k , a z a z

∞n=1 an := lim S n.

A z a l á b b i t é t e l t a z A r é s z b e n m á r i g a z o l t u k .

4 . 2 4 . T é t e l . H a

an k o n v e r g e n s , a k k o r an → 0.

4 . 1 5 . D e n í c i ó . A

an a b s z o l ú t k o n v e r g e n s , h a

|an| k o n v e r g e n s .

4 . 2 5 . T é t e l . H a

an a b s z o l ú t k o n v e r g e n s , a k k o r


B i z o n y í t á s . H a

|an| k o n v e r g e n s , a k k o r ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N , n > m e s e t é n

||a1| + |a2| + . . . + |am| + |am+1| + . . . + |an| − (|a1| + |a2| + . . . + |am|)| =

= ||am+1| + . . . + |an|| < ε.

E k k o r a z S k

:= a1

+ a2

+ . . . + ak

(k∈N) r é s z l e t ö s s z e g e k r e

|S n − S m| = |am+1 + . . . + an| ≤ |am+1| + . . . + |an|< ε.

A z a l á h ú z o t t a k é p p e n a z t j e l e n t i k , h o g y


4 . 4 . 2 . K o n v e r g e n c i a k r i t é r i u m o k

4 . 2 6 . T é t e l . ( M a j o r á n s k r i t é r i u m )

L e g y e n (an), (bn) ⊂ R+é s ∀n ∈ N e s e t é n an ≤ bn. E k k o r

1oh a

bn k o n v e r g e n s , a k k o r

an k o n v e r g e n s ;

2oh a an d i v e r g e n s , a k k o r bn d i v e r g e n s .

B i z o n y í t á s . L e g y e n sn := a1+a2+. . .+an é s tn := b1+b2+. . .+bn, n ∈ N.A z (sn) é s (tn) s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® .

1oH a

bn k o n v e r g e n s , a k k o r (tn) k o n v e r g e n s . E k k o r ∀n ∈ N e s e t é n sn ≤

tn < lim tn =∞

n=1 bn, t e h á t (sn) k o r l á t o s i s , e z é r t (sn) k o n v e r g e n s , a z a z an k o n v e r g e n s .




2oH a an d i v e r g e n s , a k k o r (sn) f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s . E k k o r ∀n ∈ N e s e t é n

tn ≥

sn

m i a t t (tn

) i s f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s , a m i b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y (tn

)n e m k o n v e r g e n s ( d i v e r g e n s ) , í g y

bn d i v e r g e n s .

K é t e l é g s é g e s f e l t é t e l t a d u n k v é g t e l e n s o r a b s z o l ú t k o n v e r g e n c i á j á r a ( a m e l y -

b ® l m á r k ö v e t k e z i k a s o r k o n v e r g e n c i á j a ) .

4 . 2 7 . T é t e l . ( H á n y a d o s k r i t é r i u m , D ' A l e m b e r t )

L e g y e n (an) o l y a n s o r o z a t , a m e l y h e z ∃q ∈ (0, 1) é s ∃N ∈ N, h o g y ∀n > N e s e t é n

|an+1/an| ≤ q . E k k o r

an a b s z o l ú t k o n v e r g e n s .

B i z o n y í t á s . L e g y e n k ∈ N . A f e l t é t e l b ® l

|aN +2/aN +1| ≤ q ⇒ |aN +2| ≤ |aN +1|q|aN +3/aN +2| ≤ q ⇒ |aN +3| ≤ |aN +2|q ≤ |aN +1|q2

.

.

.

|aN +k/aN +k−1| ≤ q ⇒ |aN +k| ≤ |aN +k−1|q ≤ . . . ≤ |aN +1|qk−1.

E k k o r

S N +k = |a1| + |a2| + . . . + |aN +1| + |aN +2| + . . . + |aN +k| ≤≤ L + |aN +1|q + |aN +1|q2 + . . . + |aN +1|qk−1 =

= L + |aN +1|(q + q2 + . . . + qk−1) < L + |aN +1| q

1 − q,

a h o l L := |a1| + |a2| + . . . + |aN +1|, é s f e l h a s z n á l t u k , h o g y 0 < q < 1 e s e t é n

∞n=1 qn = q

1−q .

T e h á t

(S n)f e l ü l r ® l k o r l á t o s , d e m o n o t o n n ö v e k e d ® i s , e z é r t

(S n)k o n v e r g e n s ,

a m i a z t j e l e n t i , h o g y


4 . 2 8 . T é t e l . ( G y ö k k r i t é r i u m , C a u c h y )

L e g y e n (an) o l y a n s o r o z a t , a m e l y h e z ∃q ∈ (0, 1) é s ∃N ∈ N, h o g y ∀n > N e s e t é n

n

|an| ≤ q . E k k o r

an a b s z o l ú t k o n v e r g e n s .

B i z o n y í t á s . L e g y e n k ∈ N. A f e l t é t e l b ® l

N+1

aN +1| ≤ q ⇒ |aN +1| ≤ qN +1

N+2

aN +2| ≤ q ⇒ |aN +2| ≤ qN +2

.

.

.

N+k aN +k| ≤ q ⇒ |aN +k| ≤ q

N +k

.

E k k o r

S N +k = |a1| + |a2| + . . . + |aN +1| + |aN +2| + . . . + |aN +k| ≤≤ L + qN +1 + qN +2 + . . . + qN +k = L + qN (q + q2 + . . . + qk) <

< L + qN q

1 − q,



4 . 4 . S O R O K E 6 1

a h o l L := |a1| + |a2| + . . . + |aN |, é s f e l h a s z n á l t u k , h o g y 0 < q < 1 e s e t é n ∞n=1

qn = q

1−q.

T e h á t (S n) f e l ü l r ® l k o r l á t o s , d e m o n o t o n n ö v ® i s , e z é r t (S n) k o n v e r g e n s , a m i a z t

j e l e n t i , h o g y


A z a l t e r n á l ó s o r o k r a v o n a t k o z i k a k ö v e t k e z ® t é t e l .

4 . 2 9 . T é t e l . ( L e i b n i z )

L e g y e n (an) m o n o t o n f o g y ó , an → 0. E k k o r a

(−1)n+1an v é g t e l e n s o r k o n v e r -

g e n s .

B i z o n y í t á s . L e g y e n k ∈ N . E k k o r

S 1 = a1 S 2 = a1 − a2

S 3 = a1 − a2 + a3 S 4 = a1 − a2 + a3 − a4

.

.

.

.

.

.

S 2k−1 = a1 − a2 + . . . + a2k−1 S 2k = a1 − a2 + . . . + a2k−1 − a2k

M i v e l a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ . . . ≥ a2k−1 ≥ a2k ≥ . . . , e z é r t

S 1 ≥ S 2

S 3 ≥ S 4.

.

.

S 2k−1 ≥ S 2k,

m á s r é s z t S 1 ≥ S 3 ≥ . . . ≥ S 2k−1 ≥ . . . é s S 2 ≤ S 4 ≤ . . . ≤ S 2k ≤ . . .L á t h a t ó , h o g y a z ([S 2k, S 2k

−1]) e g y m á s b a s k a t u l y á z o t t i n t e r v a l l u m s o r o z a t .

M i v e l lim(S 2k−1 − S 2k) = l i m a2k = 0 , m e r t an → 0, e z é r t t e l j e s ü l n e k a

C a n t o r k ö z ö s r é s z t é t e l f e l é t e l e i , í g y ∃A ∈ R, h o g y lim S 2k−1 = lim S 2k = A,s ® t e z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y lim S n = A. T e h á t

(−1)n+1an k o n v e r g e n s é s ∞

n=1(−1)n+1an = A.A b i z o n y í t á s b ó l l á t s z i k , h o g y A ∈ [S 2k, S 2k−1]

, í g y

|S 2k−1 − A| ≤ a2k ≤ a2k−1 é s |S 2k − A| ≤ a2k (k ∈ N),

a z a z ∀n ∈ N e s e t é n |S n − A| ≤ an. E z h a s z n o s l e h e t a z a l t e r n á l ó s o r ö s s z e g é n e k

a b e c s l é s é h e z .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y

(−1)n+1 1

n a L e i b n i z - t é t e l s z e r i n t k o n v e r g e n s , d e n e m

a b s z o l ú t k o n v e r g e n s , m e r t 1n d i v e r g e n s .

4 . 1 6 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y

an f e l t é t e l e s e n k o n v e r g e n s , h a k o n -

v e r g e n s , d e n e m a b s z o l ú t k o n v e r g e n s .

4 . 4 . 3 . V é g t e l e n s o r o k á t r e n d e z é s e i

4 . 1 7 . D e n í c i ó . A p : N→ N b i j e k c i ó t ( p k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ é s R( p) = N )

a t e r m é s z e t e s s z á m o k p e r m u t á c i ó j á

n a k n e v e z z ü k .




P é l d á u l a 3, 2, 1, 6, 5, 4, . . . , 3k + 3, 3k + 2, 3k + 1, . . . s o r o z a t e g y p e r m u t á c i ó j a a

t e r m é s z e t e s s z á m o k n a k .

4 . 1 8 . D e n í c i ó . L e g y e n (an), (bn) s o r o z a t . A z t m o n d j u k , h o g y (bn) a z (an)s o r o z a t e g y á t r e n d e z é s e , h a ∃( pn) p e r m u t á c i ó j a a t e r m é s z e t e s s z á m o k n a k , h o g y

(bn) = (a pn).

B i z o n y í t á s n é l k ü l é r v é n y e s e k a k ö v e t k e z ® á l l í t á s o k .

4 . 3 0 . T é t e l . L e g y e n

an a b s z o l ú t k o n v e r g e n s s o r . A k k o r ∀( pn) p e r m u t á c i ó

e s e t é n

a pn i s a b s z o l ú t k o n v e r g e n s , s ® t

∞n=1

a pn =

∞n=1

an.

E t é t e l s z e r i n t a z a b s z o l ú t k o n v e r g e n s s o r o k ö r ö k l i k a v é g e s s o k s z á m ö s s z e a d -

á s á n á l t e l j e s ü l ® a s s z o c i a t i v i t á s t . E z z e l s z e m b e n a f e l t é t e l e s e n k o n v e r g e n s s o r o k

n a g y o n l a b i l i s k é p z ® d m é n y e k .

4 . 3 1 . T é t e l . L e g y e n

an f e l t é t e l e s e n k o n v e r g e n s s o r .

1o ∀A ∈ R s z á m h o z ∃( pn) p e r m u t á c i ó , h o g y

∞n=1 a pn = A.

2o ∃( pn) p e r m u t á c i ó , h o g y

a pn d i v e r g e n s .



5 . f e j e z e t

F o l y t o n o s s á g

A f o l y t o n o s s á g a f ü g g v é n y l o k á l i s t u l a j d o n s á g a . A z t f e j e z i k i , h o g y e g y a p o n t t ó l

k i c s i t k i m o z d u l v a a f ü g g v é n y é r t é k e k a z f (a) f ü g g v é n y é r t é k t ® l k e v e s e t t é r n e k e l .

A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• F o l y t o n o s f ü g g v é n y f o g a l m a

• F o l y t o n o s s á g é s m ¶ v e l e t e k k a p c s o l a t a

• I n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i

• E g y e n l e t e s f o l y t o n o s s á g

5 . 1 . F o l y t o n o s s á g A

5 . 1 . 1 . A f o l y t o n o s f ü g g v é n y f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

L e g y e n f 1 : R → R f 1(x) := x, a := 2. E g y m á s i k f ü g g v é n y p e d i g l e g y e n

f 2 : R→ R ,

f 2(x) :=

1, h a x < 22, h a x = 23, h a x > 2

( 5 . 1 . á b r a )

L á t h a t ó , h o g y a z f 1 f ü g g v é n y o l y a n , h o g y h a x k ö z e l v a n a z a := 2 p o n t h o z ,

a k k o r a z f 1(x) = x f ü g g v é n y é r t é k e k i s k ö z e l l e s z n e k a z f 1(2) = 2 é r t é k h e z .

U g y a n e z t n e m m o n d h a t j u k e l a z f 2 f ü g g v é n y r ® l . A k á r m i l y e n x s z á m o t v e s z ü n k

i s , a m e l y k ö z e l v a n a z a = 2 p o n t h o z ( x

= 2) , a z f 2(x) f ü g g v é n y é r t é k e k e l é g

t á v o l l e s z n e k a z f 2(2) = 2 s z á m t ó l ( b i z t o s a n

12

- n é l t á v o l a b b ) . A z f 1 f ü g g v é n y

v i s e l k e d é s e n y o m á n f o g a l m a z z u k m e g a f o l y t o n o s s á g f o g a l m á t .

L e g y e n f : R R, a ∈ D(f ) . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y f o l y t o n o s

a z a p o n t b a n , h a t e t s z ® l e g e s ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n δ > 0 i n g a d o z á s i

l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n o l y a n e s e t b e n , a m i k o r x ∈ D(f ) é s |x − a| < δ ( a z x a z

ap o n t h o z

δ- n á l k ö z e l e b b v a n ) , a k k o r |f (x) − f (a)| < ε

( a z f (x)

f ü g g v é n y é r t é k

6 3



6 4 F E J E Z E T 5 . F O L Y T O N O S S Á G

2 2

f1

(2) f2

(2)• •

5 . 1 . á b r a .

a z f (a)- t ó l a z ε h i b a h a t á r o n b e l ü l t é r c s a k e l ) . E z t a t u l a j d o n s á g o t f ∈ C [a] j e l ö l j e .

V a l ó b a n f 1 ∈ C [2], h i s z e n ∀ε > 0 s z á m h o z δ := ε a l k a l m a s , m e r t ∀x ∈R, |x − 2| < δ e s e t é n |f 1(x) − f 1(2)| = |x − 2| < ε. A z f 2 /∈ C [2]

, u g y a n i s

p é l d á u l ε := 12

e s e t é n ∀δ > 0 k i j e l ö l é s e m e l l e t t v a n o l y a n x ∈ R, p é l d á u l a z

x := 2 + δ2

, a m e l y r e u g y a n |x − 2| = δ2

< ε , d e |f 2(x) −f 2(2)| = |3 − 2| > ε, e z é r t

a z f 2 f ü g g v é n y n e m f o l y t o n o s a z a := 2 p o n t b a n .

a ) A f o l y t o n o s f ü g g v é n y h a s z n o s t u l a j d o n s á g a a j e l t a r t á s . E z a z t j e l e n t i , h o g y

h a f ∈ C [a] é s f (a) > 0 , a k k o r ∃K (a) ⊂ D(f ) k ö r n y e z e t , h o g y ∀x ∈ K (a) e s -

e t é n f (x) > 0, a z a z f (a) e l ® j e l é t a k ö r n y e z e t b e n f e l v e t t f ü g g v é n y é r t é k e k i s ö r ö k -

l i k . E t u l a j d o n s á g b e l á t á s á h o z e l é g a f o l y t o n o s s á g d e n í c i ó j á t ε := f (a)2

> 0h i b a k o r l á t r a v é g i g g o n d o l n i , h i s z e n e h h e z ∃δ > 0 , h o g y ∀x ∈ K δ(a) e s e t é n

f (a)

−ε < f (x) < f (a) + ε, a z a z

0 <f (a)

2= f (a) − ε < f (x).

b ) A f o l y t o n o s s á g k o n v e r g e n s s o r o z a t o k k a l i s k a p c s o l a t b a n v a n . H a f ∈ C [a]é s (xn) ⊂ D(f ) t e t s z ® l e g e s e n f e l v e t t o l y a n s o r o z a t , a m e l y r e xn → a, a k k o r

f (xn) → f (a) , a z a z a z (xn) s o r o z a t o n t e k i n t e t t f ü g g v é n y é r t é k e k s o r o z a t a f (a)-

h o z t a r t . M e g f o r d í t v a i s i g a z : h a ∀(xn) ⊂ D(f ), xn → a e s e t é n f (xn) →f (a), a k k o r f f o l y t o n o s a z a p o n t b a n . A f o l y t o n o s s á g e z t a f a j t a j e l l e m z é s é t a

lim f (xn) = f (lim xn) e g y e n l ® s é g s z i m b o l i z á l j a .

5 . 1 . 2 . A m ¶ v e l e t e k é s a f o l y t o n o s s á g k a p c s o l a t a

5 . 1 . T é t e l . H a f ∈ C [a] é s λ ∈ R , a k k o r λf ∈ C [a].

5 . 2 . T é t e l . H a f, g ∈ C [a], a k k o r f + g ∈ C [a] é s f · g ∈ C [a].

5 . 3 . T é t e l . H a f, g ∈ C [a] é s g(a) = 0 , a k k o r

f g ∈ C [a].

5 . 4 . T é t e l . H a g ∈ C [a], é s f ∈ C [g(a)], a k k o r f g ∈ C [a].



5 . 2 . F E L A D A T O K 6 5

M e g j e g y e z z ü k , h o g y a f o r d í t o t t á l l í t á s o k n e m i g a z a k . P é l d á u l f := s g n é s

g :=−

s g n e s e t é n f +g a z a z o n o s a n 0 f ü g g v é n y , a m e l y r e n y i l v á n f +g = 0∈

C [0],

d e f /∈ C [0] é s g /∈ C [0].

A z i n v e r z f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a c s a k i g e n s z ¶ k f e l t é t e l e k k e l i g a z .

5 . 5 . T é t e l . L e g y e n I ∈ R i n t e r v a l l u m , f : I → R s z i g o r ú a n m o n o t o n . T e g y ü k

f e l h o g y a z a ∈ I p o n t b a n f ∈ C [a]. L e g y e n t o v á b b á b := f (a). E k k o r f −1 ∈ C [b].

d ) L e g y e n [a, b] ⊂ D(f ). A z f f ü g g v é n y f o l y t o n o s a z [a, b] z á r t i n t e r v a l l u -

m o n , h a ∀α ∈ [a, b] e s e t é n f ∈ C [α]. E z t j e l ö l i a z f ∈ C [a, b].

5 . 1 . 3 . I n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i

A k o r l á t o s , z á r t i n t e r v a l l u m o n é r t e l m e z e t t f o l y t o n o s f ü g g v é n y n e k s z é p t u l a j d o n -

s á g a i v a n n a k .

5 . 6 . T é t e l . ( B o l z a n o )

H a f ∈ C [a, b] é s f (a) < 0, f (b) > 0 , a k k o r ∃c ∈ (a, b), a m e l y r e f (c) = 0 .

E z s p e c i á l i s e s e t e a s z i n t é n B o l z a n o - t é t e l n e k n e v e z e t t á l l í t á s n a k .

5 . 7 . T é t e l . L e g y e n f ∈ C [a, b] é s l e g y e n d a z f (a) é s f (b) k ö z ö t t i t e t s z ® l e g e s

s z á m . E k k o r ∃c ∈ [a, b] o l y a n , h o g y d = f (c).

E z a t é t e l a z t m o n d j a , h o g y e g y i n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y h a f e l v e s z k é t

é r t é k e t , a k k o r e k é t s z á m k ö z ö t t i m i n d e n é r t é k e t i s f e l v e s z , a m i a z t j e l e n t i , h o g y

e g y i n t e r v a l l u m f o l y t o n o s k é p e i n t e r v a l l u m .

5 . 8 . T é t e l . ( W e i e r s t r a s s )

H a f ∈ C [a, b], a k k o r ∃α, β ∈ [a, b] o l y a n , h o g y ∀x ∈ [a, b]

f (α) ≤ f (x) ≤ f (β ).

E z a t é t e l a z t m o n d j a , h o g y f |[a,b] k o r l á t o s ( h i s z e n f (α) é s f (β ) k ö z ö t t v a n a

f ü g g v é n y m i n d e n é r t é k e ) , s ® t v a n m i n i m u m a é s v a n m a x i m u m a i s a z f |[a,b]f ü g g v é n y n e k .

A B o l z a n o - é s a W e i e r s t r a s s - t é t e l k ö v e t k e z m é n y e , h o g y e g y z á r t , k o r l á t o s i n t e r -

v a l l u m f o l y t o n o s k é p e i s z á r t , k o r l á t o s i n t e r v a l l u m .

5 . 2 . F e l a d a t o k

1 . M u t a s s u k m e g , h o g y a z f : [0, +∞) → R, f (x) :=√

x f ü g g v é n y b á r m e l y

a ≥ 0 p o n t b a n f o l y t o n o s .

M e g o l d á s : E l ® s z ö r m e g m u t a t j u k , h o g y h a a := 0, a k k o r f ∈ C [0].

L e g y e n ε > 0

t e t s z ® l e g e s . E k k o r

√x < ε ⇔ x < ε2

m i a t t l e g y e n δ := ε2

.




a

x

sin x−sin a

x−a

5 . 2 . á b r a .

H a x ≥ 0, x < δ , a k k o r |f (x) − f (0)| =√

x < ε.

M o s t l e g y e n a > 0. N y i l v á n ∀x ≥ 0 e s e t é n

|√x − √a| =

|√x − √a| · (

√x +

√a)√

x +√

a=

|x − a|√x +

√a

≤ |x − a|√a

.

L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s . T e k i n t e t t e l a z e l ® b b i e g y e n l ® t l e n s é g r e , δ :=ε · √a. E k k o r ∀x ≥ 0, |x − a| < δ e s e t é n

|f (x) − f (a)| = |√x − √a| ≤ |x − a|√

a<

δ√a

= ε,

a m e l y a z t j e l e n t i , h o g y

f ∈ C [a].2 . M u t a s s u k m e g , h o g y a z f : R → R, f (x) := x2

f ü g g v é n y b á r m e l y a ∈ Rp o n t b a n f o l y t o n o s .

M e g o l d á s : L e g y e n (xn) ⊂ R, xn → a t e t s z ® l e g e s s o r o z a t . E k k o r f (xn) =(xn)2 = xn · xn → a · a = f (a).M i v e l ∀(xn) ⊂ R, xn → a s o r o z a t e s e t é n f (xn) → f (a), e z é r t a z á t v i t e l i

e l v s z e r i n t f ∈ C [a].

3 . M u t a s s u k m e g , h o g y a z f : R→ R, f (x) := sin x f ü g g v é n y b á r m e l y a ∈ Rp o n t b a n f o l y t o n o s .

M e g o l d á s : A s z i n u s z f ü g g v é n y é r t e l m e z é s é t f e l h a s z n á l v a a 5 . 2 á b r á r ó l l á t -

s z i k a | sin x−sin a| ≤ |x−a| e g y e n l ® t l e n s é g ∀a, x ∈ R e s e t é n . L e g y e n ε > 0t e t s z ® l e g e s . H a δ := ε, a k k o r

∀x

∈R,

|x

−a|

< δ e s e t é n

|f (x)

−f (a)

|=

| sin x − sin a| ≤ |x − a| < ε, t e h á t f ∈ C [a].

4 . L e g y e n f : R→ R ,

f (x) :=

sin x

x , h a x = 01, h a x = 0.

M u t a s s a m e g , h o g y f ∈ C [0].



5 . 3 . F O L Y T O N O S S Á G E 6 7

5 . L e g y e n f : R → R. T e g y ü k f e l , h o g y v a n o l y a n L > 0 s z á m , h o g y ∀s, t ∈

D(f ) e s e t é n

|f (s)

−f (t)

| ≤L|s

−t|. M u t a s s u k m e g , h o g y

∀a

∈D(f )

p o n t b a n f ∈ C [a].

6 . M u t a s s a m e g , h o g y a z x5 + 4x − 3 = 0 e g y e n l e t n e k v a n m e g o l d á s a a [0, 1]i n t e r v a l l u m o n i s .

7 . M u t a s s u k m e g , h o g y h a f ∈ C [a, b], f k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ f ü g g v é n y ,

a k k o r f s z i g o r ú a n m o n o t o n a z [a, b] i n t e r v a l l u m o n .

5 . 3 . F o l y t o n o s s á g E

5 . 3 . 1 . A f o l y t o n o s s á g f o g a l m a é s a z á t v i t e l i e l v

L e g y e n

f : R

R, a ∈ D(f ).

5 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f f o l y t o n o s a z a p o n t b a n , h a ∀ε > 0 ∃δ >0 ∀x ∈ K δ(a) ∩ D(f ) e s e t é n f (x) ∈ K ε(f (a)). J e l e : f ∈ C [a].

5 . 9 . T é t e l . ( Á t v i t e l i e l v )

f ∈ C [a] ⇐⇒ ∀(xn) ⊂ D(f ), xn → a e s e t é n f (xn) → f (a).

B i z o n y í t á s . ( ⇒) T e g y ü k f e l , h o g y f ∈ C [a], é s l e g y e n (xn) ⊂ D(f ), xn → at e t s z ® l e g e s s o r o z a t .

T e k i n t s ü n k e g y ε > 0 s z á m o t . M i v e l f ∈ C [a], e z é r t ∃δ > 0 o l y a n , h o g y

∀x ∈ D(f ), |x − a| < δ e s e t é n |f (x) − f (a)| < ε. A z xn → a m i a t t e h h e z a

δ > 0 s z á m h o z ∃N ∈ N k ü s z ö b i n d e x , h o g y ∀n > N e s e t é n |xn −a| < δ , d e e k k o r

|f (xn) − f (a)| < ε.E z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y

f (xn) → f (a).( ⇐ ) M o s t t e g y ü k f e l , h o g y ∀(xn) ⊂ D(f ), xn → a e s e t é n f (xn) → f (a),

d e ( i n d i r e k t m ó d o n ) f /∈ C [a]. E z a z t j e l e n t e n é , h o g y ∃ε > 0 ∀δ > 0 e s e t é n

∃xδ ∈ D(f ), xδ ∈ K δ(a), d e f (xδ) /∈ K ε(f (a)). S p e c i á l i s a n : ∀n ∈ Ne s e t é n

l e g y e n δ := 1n . E k k o r ∃xn ∈ D(f ), |xn − a| < 1

n o l y a n , h o g y |f (xn) − f (a)| ≥ ε.T e k i n t s ü k a z í g y n y e r t (xn) ⊂ D(f ) s o r o z a t o t . M i v e l |xn − a| < 1

n (n ∈ N),e z é r t xn → a. U g y a n a k k o r a z (f (xn)) s o r o z a t h a t á r é r t é k e n e m l e h e t f (a), h i s z e n

∀n ∈ N e s e t é n |f (xn) − f (a)| ≥ ε. E z e l l e n t m o n d f e l t é t e l ü n k n e k , t e h á t f ∈ C [a].

5 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k k e l

5 . 1 0 . T é t e l . H a f ∈ C [a] é s λ ∈ R , a k k o r λf ∈ C [a].

B i z o n y í t á s . L e g y e n (xn) ⊂ D(λf ) = D(f ), a m e l y r e xn → a. M i v e l f ∈C [a], e z é r t f (xn) → f (a), a m i b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y

(λf )(xn) = λf (xn) → λf (a) = (λf )(a).

T e h á t λf ∈ C [a].

5 . 1 1 . T é t e l . H a f, g ∈ C [a], a k k o r f + g ∈ C [a] é s f · g ∈ C [a].





(xn) ⊂ D(f + g) = D(f ) ∩ D(g),a m e l y r e

xn → a. M i v e l

f, g ∈ C [a], e z é r t f (xn) → f (a) é s g(xn) → g(a) , a m i b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y

(f + g)(xn) = f (xn) + g(xn) → f (a) + g(a) = (f + g)(a).

T e h á t f + g ∈ C [a]. ( S z o r z a t r a h a s o n l ó a n . )

5 . 1 2 . T é t e l . H a g ∈ C [a] é s g(a) = 0 , a k k o r

1g ∈ C [a].

B i z o n y í t á s . L e g y e n g(a) > 0 . E k k o r ∃K (a) ⊂ D(g), h o g y ∀x ∈ K (a) e s e t é n

g(x) > 0.

L e g y e n (xn) ⊂ D(g) a m e l y r e xn → a. N y i l v á n ∃n ∈ N , h o g y ∀n > N e s e t é n

xn ∈ K (a), í g y g(xn) > 0 . A z i l y e n n - e k r e

1g

(xn) =1

g(xn)→ 1

g(a)=

1g

(a),

t e h á t

1g ∈ C [a].

5 . 1 3 . T é t e l . H a f, g ∈ C [a], g(a) = 0, a k k o r

f g ∈ C [a].

B i z o n y í t á s . M i v e l

f

g= f · 1

gé s f,

1

g∈ C [a], e z é r t

f

g∈ C [a].

5 . 1 4 . T é t e l . g ∈ C [a], f ∈ C [g(a)] ⇒ f g ∈ C [a].

B i z o n y í t á s . L e g y e n (xn) ⊂ D(f g) ⊂ D(g), a m e l y r e xn → a. E k k o r (f g)(xn) = f (g(xn))) → f (g(a)) = (f g)(a), h i s z e n (g(xn)) ⊂ D(f ) é s g(xn) →g(a). T e h á t f g ∈ C [a].

5 . 3 . 3 . I n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i

5 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R→ R, A ⊂ D(f ). A z t m o n d j u k , h o g y f f o l y t o n o s

a z A h a l m a z o n , h a ∀u ∈ A e s e t é n f ∈ C [u]. J e l e : f ∈ C (A).

5 . 1 5 . T é t e l . ( B o l z a n o 1 . )

L e g y e n

f ∈ C [a, b], f (a) < 0é s

f (b) > 0.E k k o r ∃c ∈ [a, b]

, h o g y

f (c) = 0.

B i z o n y í t á s . T e k i n t s ü k a z [a, b] i n t e r v a l l u m

a+b2

f e l e z ® p o n t j á t . H á r o m e s e t l e h e t -

s é g e s :

v a g y f ( a+b2 ) = 0, e k k o r c := a+b

2 ;

v a g y f ( a+b

2) > 0

, e k k o r a1 := a, b1 := a+b

2;



5 . 3 . F O L Y T O N O S S Á G E 6 9

v a g y f ( a+b2 ) < 0 , e k k o r a1 := a+b

2 , b1 := b.

A k ö v e t k e z ® l é p é s b e n a z [a1, b1] i n t e r v a l l u m a1+b12f e l e z ® p o n t j á t k é s z í t j ü k e l .

I s m é t h á r o m e s e t l e h e t s é g e s :

v a g y f ( a1+b12

) = 0, e k k o r c := a1+b12

;

v a g y f ( a1+b12

) > 0, e k k o r a2 := a1, b2 := a1+b12

;

v a g y f ( a1+b12 ) < 0, e k k o r a2 := a1+b1

2 , b2 := b1.

A f e l e z é s i e l j á r á s t f o l y t a t v a v a l a m e l y i k l é p é s b e n e l j u t u n k a c z é r u s h e l y h e z , v a g y

k a p u n k e g y (an)

é s e g y (bn)

s o r o z a t o t , a m e l y r e

[a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ . . . ⊃ [an, bn] ⊃ [an+1, bn+1] ⊃ . . . ,

t o v á b b á

b1 − a1 =b − a

2, b2 − a2 =

b1 − a1

2=

b − a

22, . . . , bn − an =

b − a

2n, . . . ,

a m e l y b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y lim(bn−an) = 0. A C a n t o r - f é l e k ö z ö s r é s z t é t e l s z e r i n t

e g y é r t e l m ¶ e n ∃c ∈ [a, b], a m e l y r e ∩n∈N[an, bn] = c , a z a z lim an = lim bn = c.M i v e l f ∈ C [c], é s ∀n ∈ N e s e t é n f (an) < 0, e z é r t f (an) → f (c) ≤ 0. M á s r é s z t

∀n ∈ N e s e t é n f (bn) > 0, e z é r t f (bn) → f (c) ≥ 0. E b b ® l c s a k f (c) = 0l e h e t s é g e s .

5 . 1 6 . T é t e l . ( B o l z a n o 2 . )

L e g y e n f ∈ C [a, b] é s d ∈ R e g y t e t s z ® l e g e s f (a) é s f (b) k ö z é e s ® s z á m . E k k o r

∃c ∈ [a, b], a m e l y r e f (c) = d.

B i z o n y í t á s . T e g y ü k f e l , h o g y f (a) < f (b) é s f (a) < d < f (b). T e k i n t s ü k a

φ : [a, b] → R, φ(t) := f (t) − df ü g g v é n y t .

φ ∈ C [a, b], φ(a) = f (a) − d <0, φ(b) = f (b) − d > 0. A B o l z a n o 1 . t é t e l s z e r i n t ∃c ∈ (a, b), a m e l y r e φ(c) = 0.M i v e l 0 = φ(c) = f (c) − d, e z é r t f (c) = d.

5 . 1 7 . T é t e l . ( W e i e r s t r a s s 1 . )

L e g y e n f ∈ C [a, b]. E k k o r f |[a,b] k o r l á t o s f ü g g v é n y .

B i z o n y í t á s . I n d i r e k t m ó d o n , t e g y ü k f e l , h o g y p é l d á u l f |[a,b] f e l ü l r ® l n e m k o r -

l á t o s . E k k o r ∀n ∈ Ns z á m h o z ∃xn ∈ [a, b]

o l y a n , h o g y f (xn) > n. N y i l v á n

(xn) ⊂ [a, b], t e h á t (xn) k o r l á t o s s o r o z a t , e z é r t a B o l z a n o W e i e r s t r a s s - t é t e l s z -

e r i n t ∃(in) i n d e x s o r o z a t , h o g y (xin) ⊂ [a, b] k o n v e r g e n s . L e g y e n lim xin =: α ∈[a, b].

A z

f ∈ C [α]é s

xin → α,e z é r t

f (xin) → f (α). A z

(in)s z i g o r ú a n m o n o -

t o n n ö v e k e d ® , e z é r t in ≥ n, e z é r t f (xin) > in ≥ n (n ∈ N). T e h á t (f (xin))f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s s o r o z a t , a m i e l l e n t m o n d a n n a k , h o g y f (xin) → f (α). E l -

l e n t m o n d á s r a j u t o t t u n k , t e h á t h a m i s a z i n d i r e k t f e l t e v é s , a z a z f |[a,b] k o r l á t o s .

5 . 1 8 . T é t e l . ( W e i e r s t r a s s 2 . )

L e g y e n f ∈ C [a, b]. E k k o r ∃α, β ∈ [a, b], h o g y ∀x ∈ [a, b] e s e t é n f (α) ≤ f (x) ≤f (β ).




B i z o n y í t á s . A z

f |[a,b]k o r l á t o s , e z é r t a z

f (x) | x ∈ [a, b]h a l m a z k o r l á t o s , í g y

∃ supf (x) | x ∈ [a, b] =: M . M e g m u t a t j u k , h o g y a z M ∈ R s z á m o t a f ü g g v é n y

f e l i s v e s z i . A h a l m a z f e l s ® h a t á r á n a k t u l a j d o n s á g a i s z e r i n t

1o ∀x ∈ [a, b] e s e t é n f (x) ≤ M ;

2o ∀n ∈ N e s e t é n ∃xn ∈ [a, b], h o g y f (xn) > M − 1n .

A z (xn) ⊂ [a, b], k o r l á t o s s o r o z a t , e z é r t ∃(in) i n d e x s o r o z a t , h o g y (xin) k o n v e r -

g e n s . L e g y e n lim xin =: β ∈ [a, b]. E k k o r M − 1in

< f (xin) ≤ M (n ∈ N) .

A k ö z r e f o g á s i e l v s z e r i n t ( m i v e l in ≥ n , í g y

1in

→ 0) f (xin) → M. M á s -

r é s z t f ∈ C [β ] m i a t t f (xin) → f (β ). A s o r o z a t h a t á r é r t é k e e g y é r t e l m ¶ , e z é r t

f (β ) = M.H a s o n l ó a n l á t h a t ó b e a z

α ∈ [a, b]l é t e z é s e i s .

5 . 3 . 4 . A z i n v e r z f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a

E z e k r e a t é t e l e k r e h i v a t k o z v a f o g l a l k o z h a t u n k e g y f ü g g v é n y i n v e r z é n e k a f o l y t o n o s s á g á -

v a l . M e g j e g y e z z ü k , h o g y h a f ∈ C [a], b := f (a) é s ∃f −1i n v e r z f ü g g v é n y , a k k o r

m é g l e h e t , h o g y f −1n e m f o l y t o n o s a b p o n t b a n . E z t a h e l y z e t e t j ó l s z e m l é l t e t i

a z

f : (−∞, −1) ∪ 0 ∪ (1, +∞) → R

f (x) :=

x + 1, h a x < −1,0, h a x = 0,x

−1, h a x > 1

f ü g g v é n y , a m e l y f o l y t o n o s a 0 - b a n , f (0) = 0 , v a n i s i n v e r z e a f ü g g v é n y n e k :

f −1 : R→ R

f −1(x) :=

x − 1, h a x < 0,0, h a x = 0,x + 1, h a x > 0,

d e f −1 /∈ C [0].

5 . 1 9 . T é t e l . L e g y e n f : [a, b] → R, f ∈ C [a, b], f s z i g o r ú a n m o n o t o n . E k k o r

f −1 ∈ C (R(f )).

B i z o n y í t á s . A z f

∈C [a, b], e z é r t a B o l z a n o - é s a W e i e r s t r a s s - t é t e l k ö v e t k e z m é n y e k é n t

R(f ) z á r t , k o r l á t o s i n t e r v a l l u m . L e g y e n [c, d] := R(f ). A z f s z i g o r ú a n m o n o -

t o n , e z é r t k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ , t e h á t ∃f −1 : [c, d] → [a, b]. L e g y e n v ∈ [c, d]t e t s z ® l e g e s , u := f −1(v), é s l e g y e n (yn) ⊂ [c, d], yn → v t e t s z ® l e g e s s o r o z a t .

A z f −1i n v e r z f ü g g v é n y v p o n t b e l i f o l y t o n o s s á g á h o z ( a z á t v i t e l i e l v s z e r i n t ) e l é g

b e l á t n i , h o g y a z xn := f −1(yn) → f −1(v) = u. I n d i r e k t m ó d o n , t e g y ü k f e l , h o g y

(xn) ⊂ [a, b] s o r o z a t n e m t a r t u- h o z . E k k o r ∃δ > 0 ∀k ∈ N ∃nk > k, a m e l y r e

|xnk − u| ≥ δ.A z

(xnk)k∈N ⊂ [a, b] \ [u − δ, u + δ]s o r o z a t k o r l á t o s , e z é r t v a n



5 . 3 . F O L Y T O N O S S Á G E 7 1

k o n v e r g e n s r é s z s o r o z a t a : (xnkl). L e g y e n α := lim xnkl

. N y i l v á n α ∈ [a, b], d e

α= u. A z f

∈C [α], e z é r t

f (xnkl) = ynkl

→ f (α).

A z (ynkl) r é s z s o r o z a t a a v - h e z t a r t ó (yn) s o r o z a t n a k , e z é r t f (α) = v . F i g y e l e m b e

v é v e , h o g y f (u) = v , e l l e n t m o n d á s r a j u t o t t u n k f k ö l c s ö n ö s e g y é r t e l m ¶ s é g é v e l ,

t e h á t h a m i s a z i n d i r e k t f e l t é t e l , a z a z xn → u, í g y f −1 ∈ C [v].

5 . 3 . 5 . E g y e n l e t e s f o l y t o n o s s á g

5 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R R, B ⊂ D(f ). A z t m o n d j u k , h o g y f e g y e n l e t e -

s e n f o l y t o n o s a B h a l m a z o n , h a ∀ε > 0 ∃δ > 0, h o g y ∀x, x ∈ B, |x − x| < δe s e t é n |f (x) − f (x)| < ε.

5 . 2 0 . T é t e l . H a f e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a B h a l m a z o n , a k k o r f ∈ C (B).

B i z o n y í t á s . L e g y e n b ∈ B é s ε > 0 t e t s z ® l e g e s . A z f e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a

B h a l m a z o n , e z é r t ∃δ > 0 , h o g y ∀x ∈ B e s e t é n , a m e l y r e |x − b| < δ , t e l j e s ü l ,

h o g y |f (x) − f (b)| < ε. E z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y f ∈ C (B).M e g j e g y e z z ü k , h o g y h a f ∈ C (B) , a k k o r m é g l e h e t , h o g y f n e m e g y e n l e t e s e n

f o l y t o n o s a B h a l m a z o n . U g y a n i s , a z f : R+ → R, f (x) := x2f ü g g v é n y

a B := R+m i n d e n p o n t j á b a n f o l y t o n o s , d e n e m e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a B

h a l m a z o n . E n n e k i g a z o l á s á h o z l e g y e n ε := 12 é s δ > 0 t e t s z ® l e g e s . N y i l v á n

∃n ∈ N , a m e l y r e n > 12δ . L e g y e n x := n é s x := n+ δ

2. E k k o r |x−x| = δ

2< δ ,

d e

|f (x) − f (x)| =

n +

δ

22

− n2

= nδ +

δ2

4 > nδ >

1

2δ · δ =

1

2 = ε.

M i v e l ∃ε > 0 , h o g y ∀δ > 0 e s e t é n t a l á l t u n k o l y a n x, x ∈ R+s z á m o k a t , a m e -

l y e k r e u g y a n |x−x| < δ , d e |f (x)−f (x)| ≥ ε , e z é r t e z a f o l y t o n o s f f ü g g v é n y

n e m e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a z R+h a l m a z o n .

5 . 2 1 . T é t e l . ( H e i n e )

H a f ∈ C [a, b], a k k o r f e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a z [a, b] i n t e r v a l l u m o n .

B i z o n y í t á s . I n d i r e k t m ó d o n , t e g y ü k f e l , h o g y f n e m e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a z

[a, b] z á r t i n t e r v a l l u m o n . E k k o r ∃ε > 0 , h o g y ∀δ > 0 s z á m h o z ∃x, x ∈ [a, b],

a m e l y e k r e u g y a n |x − x| < δ , d e |f (x) − f (x)| ≥ ε. L e g y e n ∀n ∈ N e s e t é n

δ := 1n . A k k o r e h h e z a δ - h o z i s ∃xn, xn ∈ [a, b], a m e l y e k r e |xn − xn| < 1

n , d e

|f (xn) − f (xn)| ≥ ε.V i z s g á l j u k m e g a z

(xn)é s

(xn)s o r o z a t o k a t ! M i v e l

(xn) ⊂ [a, b], e z é r t ∃(in)

i n d e x s o r o z a t , h o g y (xin) k o n v e r g e n s . L e g y e n lim xin =: α ∈ [a, b]. M e g m u -

t a t j u k , h o g y u g y a n e z z e l a z (in) i n d e x s o r o z a t t a l a z (xin) r é s z s o r o z a t i s k o n v e r -

g e n s , s ® t lim xin = α. U g y a n i s ∀n ∈ N e s e t é n

|xin − α| ≤ |xin − xin | + |xin − α| <1

in+ |xin − α|.




M i v e l

1in

→ 0, |xin − α| → 0 , e z é r t ö s s z e g ü k i s 0 - h o z t a r t , e z é r t |xin − α| → 0.

T e h á t xin →

α, xin →

α, e z é r t f ∈

C [α] m i a t t f (xin

)→

f (α) é s f (xin

)→f (α) , a m e l y b ® l

f (xin) − f (xin) → 0

k ö v e t k e z i k . E z a z o n b a n l e h e t e t l e n , h i s z e n ∀n ∈ N e s e t é n |f (xn)−f (xn)| ≥ ε. A z

e l l e n t m o n d á s a z t j e l e n t i , h o g y h a m i s a z i n d i r e k t f e l t e v é s , t e h á t i g a z a z á l l í t á s .



6 . f e j e z e t

F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e

E g y f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e a z a p o n t b a n A, h a a z a- h o z k ö z e l i h e l y e k e n a f ü g g v é n y

A- h o z k ö z e l i é r t é k e k e t v e s z f e l . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• F ü g g v é n y h a t á r é r t é k f o g a l m a

• H a t á r é r t é k é s m ¶ v e l e t e k k a p c s o l a t a

• V é g t e l e n b e l i é s v é g t e l e n h a t á r é r t é k

• E g y o l d a l i h a t á r é r t é k

• M o n o t o n f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e

6 . 1 . F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e A

6 . 1 . 1 . " V é g e s b e n v e t t , v é g e s " h a t á r é r t é k

V i z s g á l j u n k m e g h á r o m , e g y m á s h o z n a g y o n h a s o n l ó f ü g g v é n y t .

L e g y e n

f 1 : R→ R f 1(x) := x + 2,

f 2 : R \ 2 →R f 2(x) := x2−4x−2 = (x−2)(x+2)

x−2 = x + 2,

f 3 : R

→R f 3(x) :=

x + 2, h a x = 21, h a x = 2.

( 6 . 1 . á b r a )

A f ü g g v é n y e k a := 2 p o n t k ö r ü l i v i s e l k e d é s é r e v a g y u n k k í v á n c s i a k . A z f 1f o l y t o n o s a 2 p o n t b a n , a m i a z t j e l e n t i , h o g y h a x k ö z e l v a n a 2 - h ö z , a k k o r a z

f 1(x) = x + 2 é r t é k e k k ö z e l e s n e k a 4 - h e z , a m e l y é p p e n f 1(2).A z f 2 f ü g g v é n y u g y a n n i n c s é r t e l m e z v e a 2 - b e n , d e h a x k ö z e l v a n a 2 - h ö z , a z

f 2(x) = x + 2 é r t é k e k e g y s z á m , e b b e n a z e s e t b e n a 4 k ö r ü l k e v e s e t i n g a d o z n a k .

A z f 3 f ü g g v é n y a 2 - b e n i s é r t e l m e z v e v a n . H a

xk ö z e l v a n a 2 - h ö z ( d e

x = 2) ,

7 3



7 4 F E J E Z E T 6 . F Ü G G V É N Y H A T Á R É R T É K E

f1

f2

f3

2 2 2

f1(2)

1 •

• •

6 . 1 . á b r a .

a k k o r a z f 3(x) = x + 2 é r t é k e k ( a z f 1 é s f 2 f ü g g v é n y h e z h a s o n l ó a n ) a 4 k ö r ü l

k e v e s e t i n g a d o z n a k ( f ü g g e t l e n ü l a t t ó l , h o g y

f (2) = 1) .

A p é l d á k b a n t a p a s z t a l t j e l e n s é g e k n y o m á n a l a k í t j u k k i a f ü g g v é n y h a t á r é r t é k é n e k

f o g a l m á t .

O l y a n f : R ⊃→ R f ü g g v é n y e k e t v i z s g á l u n k , m e l y e k D(f ) é r t e l m e z é s i t a r -

t o m á n y á b a n a z a ∈ R p o n t h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l i s v a n n a k a t t ó l k ü l ö n b ö z ®

p o n t o k ( e s e t l e g a /∈ D(f ) ) .

6 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a z a p o n t b a n v a n h a t á r é r t é k e ,

h a v a n o l y a n A ∈ R s z á m , h o g y b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n δ > 0i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n o l y a n x ∈ D(f ) p o n t b a n , a m e l y δ - n á l k ö z e l e b b

v a n a z a- h o z ( |x − a| < δ ) , d e x = a, a z f (x) f ü g g v é n y é r t é k e k a z ε h i b a k o r l á t n á l

k e v e s e b b e l t é r n e k e l A- t ó l ( |f (x) − A| < ε) .

A z f f ü g g v é n y n e k e z t a t u l a j d o n s á g á t a

lima

f = A;

limx→a

f (x) = A;

h a x → a, a k k o r f (x) → A

j e l ö l é s e k v a l a m e l y i k é v e l f e j e z z ü k k i .

H a ö s s z e v e t j ü k a z f f ü g g v é n y h a t á r é r t é k é n e k f o g a l m á t a f o l y t o n o s s á g é r t e l m e z é s é v e l ,

a k k o r l á t h a t ó , h o g y lima f = A é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y a z f f ü g g v é n y h e l y e t t

e g y

f : D(f )

∪ a

→R, f (x) := f (x), h a x = a

A,h a

x = af ü g g v é n y t t e k i n t v e , a z f f ü g g v é n y a z a p o n t b a n f o l y t o n o s l e s z . M á s s z ó v a l ,

a k k o r v a n h a t á r é r t é k e a z f f ü g g v é n y n e k a z a p o n t b a n , h a f o l y t o n o s s á t e h e t ® a z

a- b a n . E z é r t , h a a ∈ D(f ) , é s l é t e z i k a lima f , a k k o r a z f f ü g g v é n y p o n t o s a n

a k k o r f o l y t o n o s a z a p o n t b a n , h a lima f = f (a).E b b ® l a z é s z r e v é t e l b ® l f a k a d , h o g y a h a t á r é r t é k k e l v é g z e t t m ¶ v e l e t e k v i s s z a -

v e z e t h e t ® k a f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k k e l v é g z e t t m ¶ v e l e t e k r e .



6 . 1 . F Ü G G V É N Y H A T Á R É R T É K E A 7 5

6 . 1 . T é t e l . H a lima

f = A é s λ ∈ R, a k k o r lima

λf = λA.

6 . 2 . T é t e l . H a lima

f = A é s lima

g = B , a k k o r lima

(f + g) = A + B.

6 . 3 . T é t e l . H a lim

af = A é s

lima

g = B , a k k o r lim

af · g = AB.

6 . 4 . T é t e l . H a lima

g = B é s B = 0 , a k k o r lima

1g = 1

B .

6 . 5 . T é t e l . H a lima

f = A é s lima

g = B, B = 0 , a k k o r lima

f g = A

B .

6 . 6 . T é t e l . H a lima

g = B é s f ∈ C [b], a k k o r lima

f g = f (b).

( A t é t e l e k b e n s z e r e p l ® f e l t é t e l e k n e k é s á l l í t á s n a k i s é r t e l m e s n e k k e l l l e n n i e ,

e z e k e t a z E r é s z b e n p o n t o s a n i s m e g f o g a l m a z z u k . )

6 . 1 . 2 . " V é g t e l e n b e n v e t t " , i l l e t v e " n e m v é g e s " h a t á r é r t é k

L á t s z i k , h o g y a h a t á r é r t é k f o g a l m a a f ü g g v é n y é r t é k e k v á l t o z á s á n a k t e n d e n c i á j á t

t a r t j a s z e m e l ® t t . A z ú g y n e v e z e t t v é g e s h e l y e n v e t t v é g e s h a t á r é r t é k f o g a l m á t

( e z z e l f o g l a l k o z t u n k e d d i g ) k i t e r j e s z t h e t j ü k . T e k i n t s ü k á t e z e k e t a l e h e t ® s é g e k e t :

L e g y e n f : R ⊃→ R.

1oH a D(f ) f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s h a l m a z , é s v a n o l y a n A ∈ R , h o g y

b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n ω ∈ R k ü s z ö b s z á m , h o g y m i n d e n

x > ω , x ∈ D(f ) p o n t b a n |f (x) − A| < ε, a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e (+

∞) - b e n A.

J e l e : lim+∞ f = A v a g y limx→+∞ f (x) = A v a g y x → +∞ e s e t é n f (x) →A.

P é l d á u l limx→+∞ 1x = 0.

2oH a D(f ) a l u l r ó l n e m k o r l á t o s h a l m a z , é s v a n o l y a n A ∈ R, h o g y b á r m e l y

ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n ω ∈ R k ü s z ö b s z á m , h o g y m i n d e n x < ω ,

x ∈ D(f ) p o n t b a n |f (x) −A| < ε, a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y

h a t á r é r t é k e (−∞)- b e n A.

J e l e : lim−∞ f = A

v a g y limx→−∞ f (x) = A

v a g y x → −∞ e s e t é n

f (x) →A.

P é l d á u l limx→−∞ 1x = 0.

3oH a a

∈R é s a D(f ) é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y b a n a z a- h o z a k á r m i l y e n

k ö z e l i s t a l á l h a t ó p o n t a z a p o n t o n k í v ü l i s , é s t e l j e s ü l , h o g y b á r m e l y

K ∈ R s z á m h o z v a n o l y a n δ > 0 i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n x ∈D(f ), x = a, d e |x − a| < δ p o n t b a n f (x) > K , a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y

a z f h a t á r é r t é k e a z a- b a n +∞ .

J e l e : lima f = +∞ v a g y limx→a f (x) = +∞ v a g y x → a e s e t é n f (x) →+∞ .

P é l d á u l limx→0

1x2 = +∞.



6 . 1 . F Ü G G V É N Y H A T Á R É R T É K E A 7 7

6 . 1 . 3 . E g y o l d a l i h a t á r é r t é k

E l ® f o r d u l , h o g y a z a ∈ R p o n t t e t s z ® l e g e s k ö z e l s é g é b e n , a- t ó l j o b b r a é s b a l r a i s

v a n é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y b e l i p o n t , d e a z f f ü g g v é n y n e k n i n c s h a t á r é r t é k e a z

a- b a n . N é h a i l y e n k o r i s m o n d h a t u n k v a l a m i t a f ü g g v é n y v i s e l k e d é s é r ® l .

9oH a a z a ∈ R o l y a n , h o g y a- h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l i s v a n x ∈ D(f ), x >

a p o n t é s v a n o l y a n A ∈ R s z á m , h o g y b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t e s e t é n v a n

o l y a n δ > 0 i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a < x < a + δp o n t b a n |f (x) − A| < ε, a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y f - n e k a z a- b e l i j o b b

o l d a l i h a t á r é r t é k e A.

J e l e : lima+0 f = A v a g y limx→a+0 f (x) = A. N é h a f (a + 0) j e l ö l i a z f f ü g g v é n y a- b e l i j o b b o l d a l i h a t á r é r t é k é t . [ H a g y o m á n y o s a n a = 0 e s e t é n

0 + 0 h e l y e t t c s a k 0+ á l l m i n d e n ü t t . ]

P é l d á u l a z

f : R→ R, f (x) :=

1, h a x ≥ 0−1, h a x < 0

f ü g g v é n y n e k 0 - b a n n i n c s h a t á r é r t é k e , d e limx→0+ f (x) = 1 v a g y f (0+) =1 . ]

10oH a a z a ∈ R o l y a n , h o g y a- h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l i s v a n x ∈ D(f ), x >

a p o n t , é s b á r m e l y K ∈ R s z á m h o z v a n o l y a n δ > 0 i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g ,

h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a < x < a + δ e s e t é n f (x) > K , a k k o r a z t

m o n d j u k , h o g y a z f j o b b o l d a l i h a t á r é r t é k e a- b a n +∞.J e l e : lima+0 f = +∞ v a g y limx→a+0 f (x) = +∞.

P é l d á u l n e m l é t e z i k a limx→01x , d e limx→0+

1x = +∞.

11oH a a z a

∈R o l y a n , h o g y a- h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l i s v a n x

∈D(f ), x >


h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a < x < a + δ e s e t é n f (x) < K , a k k o r a z t

m o n d j u k , h o g y a z f j o b b o l d a l i h a t á r é r t é k e a- b a n −∞.J e l e : lima+0 f = −∞ v a g y limx→a+0 f (x) = −∞.

P é l d á u l n e m l é t e z i k a limx→0(− 1x ), d e limx→0+(− 1

x ) = −∞.

12oH a a z a ∈ R o l y a n , h o g y a- h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l i s v a n x ∈ D(f ), x <

a p o n t , é s v a n o l y a n A ∈ R , h o g y t e t s z ® l e g e s ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n

δ > 0 i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a−δ < x < a p o n t b a n

|f (x) − A| < ε , a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y a z f b a l o l d a l i h a t á r é r t é k e a z

a- b a n A.J e l e : lima−0 f = A v a g y limx→a−0 f (x) = A. N é h a f (a − 0) j e l ö l i a z f a-

b e l i b a l o l d a l i h a t á r é r t é k é t . [ H a g y o m á n y o s a n

a = 0e s e t é n

0 − 0 h e l y e t t

0− á l l m i n d e n ü t t .

P é l d á u l a 9od e n í c i ó u t á n i p é l d á b a n limx→0− f (x) = −1 v a g y f (0−) =

−1 . ]



h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a − δ < x < a

p o n t b a n f (x) > K

, a k k o r a z t




m o n d j u k , h o g y f b a l o l d a l i h a t á r é r t é k e a z a- b a n +∞.J e l e : lim

a−0f = +

∞v a g y lim

x→a−0f (x) = +

∞.

P é l d á u l limx→0−(− 1x ) = +∞.



h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), a − δ < x < a p o n t b a n f (x) < K , a k k o r a z t

m o n d j u k , h o g y f b a l o l d a l i h a t á r é r t é k e a z a- b a n −∞.J e l e : lima−0 f = −∞ v a g y limx→a−0 f (x) = −∞.

P é l d á u l limx→0− 1x = −∞.

I k o n s z e r ¶ e n ö s s z e f o g l a l j u k a h a t á r é r t é k e s e t e k e t ( 6 . 2 . á b r a ) .

A z e g y o l d a l i h a t á r é r t é k e k é s a h a t á r é r t é k k a p c s o l a t a i s m e g f o g a l m a z h a t ó :

H a l é t e z i k a lima−0 f é s a lima+0 f i s , é s lima−0 f = lima+0 f , a k k o r v a n

h a t á r é r t é k e a z f f ü g g v é n y n e k a z a- b a n , é s

lima

f = lima−0

f = lima+0

f.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y h a a z a ∈ R o l y a n , h o g y c s a k a z e g y i k o l d a l i h a t á r é r t é k

v e t h e t ® f e l a z a- b a n , é s e z a h a t á r é r t é k l é t e z i k i s , a k k o r e z é p p e n a z f f ü g g v é n y

a- b e l i h a t á r é r t é k e l e s z .

6 . 2 . F e l a d a t o k

1 . limx→22x2−x−6x2−x−2

=? limx→∞ 2x2−x−6x2−x−2

=?

2 . limx→1 x4

−2x2

−3x2−3x+2 =? limx→2−0 x4

−2x2

−3x2−3x+2 =? limx→2+0 x4

−2x2

−3x2−3x+2 =?

3 . limx→1( 31−x3 − 2

1−x2 ) =?

4 . limx→0sin 3x

x =? limx→0sin 3xsin 5x =? limx→0

tg2xx =?

5 . limx→0

1−cos xx2 =? limx→0

tgx−sin xx3 =?

6 . limx→0e2x−1

x =? limx→02x−1

x =?

7 . limx→0sh(x+2)sh(x−2)

=?

8 . limx→+∞√

x2 + 2 − √x2 + 2x − 3 =?

limx→−∞√

x2 + 2 − √x2 + 2x − 3 =?

9 . V a n - e o l y a n k ∈ R , h o g y l é t e z z e n a

limx→3

x3 − 9x2 + kx − 27

x2 − 6x + 9

é s v a l ó s s z á m l e g y e n a h a t á r é r t é k ?



6 . 2 . F E L A D A T O K 7 9

a

A1

A2

lima+0

f=A1

lima−0

f=A2

a

lima−0

f=−∞

lima+0 f=+∞

lim+∞ f=+∞lim−∞ f=+∞

lim+∞

f=−∞lim−∞

f=−∞

a

lim

a

f=+∞a

limaf=−∞

a

Alim

af=A

lim−∞

f=A lim+∞

f=A

A

6 . 2 . á b r a .




6 . 3 . F ü g g v é n y h a t á r é r t é k e E

6 . 3 . 1 . A h a t á r é r t é k á l t a l á n o s d e n í c i ó j a é s a z á t v i t e l i e l v

A B r é s z b e n b e m u t a t o t t , k ü l ö n b ö z ® e s e t e k r e v o n a t k o z ó h a t á r é r t é k f o g a l m a k

e g y d e n í c i ó b a n m e g f o g a l m a z h a t ó k . E h h e z a v a l ó s s z á m o k h a l m a z á t k i b ® v í t j ü k .

L e g y e n R := R ∪−∞, +∞. A z R h a l m a z o n i s l e s z ⊕ ö s s z e a d á s é s s z o r z á s .

1o ∀a, b ∈ R e s e t é n a ⊕ b := a + b

2o ∀a ∈ R e s e t é n a ⊕ (+∞) := +∞ é s a ⊕ (−∞) := −∞3o (+∞) ⊕ (+∞) := +∞ é s (−∞) ⊕ (−∞) := −∞4o

∀a, b

∈R e s e t é n a

b := a

·b

5o ∀a ∈ R \ 0 e s e t é n

a (+∞) := +∞, h a a > 0

a (+∞) := −∞, h a a < 0

a (−∞) := −∞, h a a > 0

a (−∞) := +∞, h a a < 0

6o (+∞) (+∞) := +∞, (+∞) (−∞) := −∞, (−∞) (−∞) := +∞7o ∀x ∈ R e s e t é n −∞ < x < +∞ .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y ⊕ é s a f e l s o r o l t e s e t e k b e n k o m m u t a t í v . N e i s k e r e s s ü k

a (+∞) ⊕ (−∞) é s a 0 (±∞) é r t e l m e z é s é t , é s t o v á b b r a s e m d e n i á l j u k a

00

,

(±∞)(±∞)

, 00, 1(±∞)

, (±∞)0 é r t é k e i t !

A z R

h a l m a z b a n é r t e l m e z z ü k a p o n t k ö r n y e z e t é t .

L e g y e n a ∈ R, r ∈ R, r > 0.

6 . 2 . D e n í c i ó . A z a p o n t r s u g a r ú k ö r n y e z e t e l e g y e n

K r(a) :=

(a − r, a + r), h a a ∈ R( 1

r , +∞), h a a = +∞(−∞, −1

r ), h a a = −∞

L e g y e n

A ⊂ R é s

a ∈ R .

6 . 3 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a t o r l ó d á s i p o n t j a a z A h a l m a z n a k , h a

∀r > 0 e s e t é n (K r(a) ∩ A) \ a = ∅ . T o v á b b á l e g y e n

A := a ∈ R | a t o r l ó d á s i p o n t j a a z A - n a k

a z A d e r i v á l t h a l m a z a .



6 . 3 . F Ü G G V É N Y H A T Á R É R T É K E E 8 1

A z A r é s z b e n b e m u t a t o t t h a t á r é r t é k e s e t e k e t e z u t á n e g y s é g e s d e n í c i ó b a f o g l a l -

h a t j u k .

L e g y e n f ∈ R R, a ∈ R, a ∈ D(f ).

6 . 4 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a z é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y

a t o r l ó d á s i p o n t j á b a n v a n h a t á r é r t é k e , h a ∃A ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (K δ(a) \a) ∩ D(f ) e s e t é n f (x) ∈ K ε(A).

L e g y e n f ∈ R R, a ∈ R, a ∈ (D(f ) ∩ (a, +∞))..

6 . 5 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a z a p o n t b a n v a n j o b b

o l d a l i h a t á r é r t é k e , h a ∃A ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ K δ(a) ∩ D(f ), x > a e s e t é n

f (x) ∈ K ε(A).

L e g y e n f ∈ R R, a ∈ R, a ∈ (D(f ) ∩ (−∞, a))..

6 . 6 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a z a p o n t b a n v a n b a l o l d a l i

h a t á r é r t é k e , h a ∃A ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ K δ(a) ∩ D(f ), x < a e s e t é n

f (x) ∈ K ε(A).

K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y

∃ lima+0

f ⇔ ∃ lima

f |D(f)∩(a,+∞)

é s

∃ lima−0

f ⇔ ∃ lima

f |D(f)∩(−∞,a).

A f ü g g v é n y h a t á r é r t é k é t i s l e h e t s o r o z a t o k k a l j e l l e m e z n i .

6 . 7 . T é t e l . ( H a t á r é r t é k r e v o n a t k o z ó á t v i t e l i e l v )

L e g y e n f ∈ R R, a ∈ D(f ), A ∈ R

lima

f = A ⇐⇒ ∀(xn) ⊂ D(f ) \ a, xn → a e s e t é n f (xn) → A.

B i z o n y í t á s .

( ⇒) L e g y e n (xn) ⊂ D(f ) \ a, xn → a t e t s z ® l e g e s s o r o z a t . M i v e l lima f = A,e z é r t ∀ε > 0 ∃δ > 0 o l y a n , h o g y ∀x ∈ (K δ(a)\a)∩D(f ) e s e t é n f (x) ∈ K ε(A).A z xn → a, e z é r t e h h e z a δ > 0 s z á m h o z i s ∃N ∈ N k ü s z ö b i n d e x , h o g y ∀n > N e s e t é n xn ∈ K δ (a), s ® t xn = a é s xn ∈ D(f ). A k k o r f (xn) ∈ K ε(A). E z é p p e n

a z t j e l e n t i , h o g y f (xn) → A.

( ⇐) T e g y ü k f e l , h o g y ∀(xn) ⊂ D(f ) \ a, xn → a e s e t é n f (xn) → A, d e

( i n d i r e k t m ó d o n ) lima f = A. E z a z t j e l e n t e n é , h o g y ∃ε > 0 ∀δ > 0 e s e t é n

∃x ∈ (K δ(a) \ a) ∩ D(f ), a m e l y r e f (x) /∈ K ε(A). E m i a t t ∀n ∈ Ne s e t é n

a δ := 1n > 0 s z á m h o z i s ∃xn ∈ K 1

n(a), xn = a, xn ∈ D(f ) o l y a n , h o g y

f (xn) /∈ K ε(A). N y i l v á n a z i l y e n (xn) s o r o z a t r a xn → a, d e a z e z e n a s o r o z a t o n

t e k i n t e t t (f (xn)) f ü g g v é n y é r t é k e k s o r o z a t á r a f (xn) A, h i s z e n ∀n ∈ N e s e t é n

f (xn) /∈ K ε(A).E z e l l e n t m o n d a f e l t é t e l ü n k n e k , í g y i g a z a z á l l í t á s .




M e g j e g y e z z ü k , h o g y a limx→a f (x) = A j e l ö l é s t a z á t v i t e l i e l v b ® l s z á r m a z -

t a t h a t j u k . U g y a n i s

∀(x

n) s o r o z a t r a lim

xn→af (x

n) = A l e n n e a z á l l í t á s . ( A z

n - e t e l h a g y v a k a p j u k a h a t á r é r t é k e t . A z x → a x t a r t a z a- h o z k i f e j e z é s

m ö g ö t t i s m i n d e n e s e t b e n e g y o l y a n t e t s z ® l e g e s (xn)

s o r o z a t o t é r t s ü n k , a m e l y r e

xn → a.)

6 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k f ü g g v é n y e k h a t á r é r t é k é v e l

6 . 8 . T é t e l . H a lima f = A é s λ ∈ R , a k k o r

lima

λf =

λ A, h a λ = 00, h a λ = 0

B i z o n y í t á s . L e g y e n (xn) ⊂ D(f ) \ a, xn → a t e t s z ® l e g e s s o r o z a t . E k k o r

λ = 0e s e t é n

(λf )(xn) = λf (xn) → λ A,e z é r t

lima λf = λ A.H a

λ = 0,

a k k o r 0 · f = 0 f ü g g v é n y , a m e l y r e lima 0 = 0.

6 . 9 . T é t e l . H a lima f = A, lima g = B , é s a ∈ (D(f ) ∩ D(g)) , a k k o r lima(f +g) = A ⊕ B .

B i z o n y í t á s . L e g y e n (xn) ⊂ (D(f ) ∩ D(g)) \ a, xn → a t e t s z ® l e g e s s o r o z a t .

E k k o r (f + g)(xn) = f (xn) + g(xn) → A ⊕ B , e z é r t lima(f + g) = A ⊕ B.( S z o r z a t r a h a s o n l ó a n . )

6 . 1 0 . T é t e l . H a lima g = B, B = 0 , a k k o r

lima

1

g

= 1B , h a B ∈ R \ 00,

h a

B = +∞v a g y

− ∞.

B i z o n y í t á s . M i v e l lima g = 0 , e z é r t ∃K (a) o l y a n , h o g y ∀x ∈ K (a)∩(D(g)\a)e s e t é n g(x) = 0. E k k o r K (a) ∩ (D(g) \ a) ⊂ D( 1

g ). A z a a t o r l ó d á s i p o n t j a

v o l t a D(g) - n e k , í g y a ∈ D( 1g ). L e g y e n (xn) ⊂ D( 1

g ) \ a, xn → a t e t s z ® l e g e s

s o r o z a t .

1

g(xn) =

1

g(xn)→

1B , h a B ∈ R \ 00, h a B = +∞ v a g y − ∞.

T e h á t i g a z a z á l l í t á s .

6 . 1 1 . T é t e l . H a lima g = b, b ∈ R é s f ∈ C [b], a k k o r lima f g = f (b).

B i z o n y í t á s . L e g y e n (xn

)⊂

D(f

g)\

a

, xn →

a t e t s z ® l e g e s s o r o z a t . M i v e l

D(f g) ⊂ D(g), e z é r t g(xn) → b. A z f ∈ C [b], í g y (f g)(xn) = f (g(xn)) →f (b). T e h á t lima f g = f (b).

[ M e g j e g y e z z ü k , h o g y

f g , f g f ü g g v é n y e k h a t á r é r t é k e n a g y k ö r ü l t e k i n t é s t i g é n y e l ,

a z i l y e n e k r e v o n a t k o z ó h a t á r é r t é k t é t e l e k c s a k k ö r ü l m é n y e s e n f o g a l m a z h a t ó k m e g . ]

6 . 1 2 . T é t e l . ( M o n o t o n f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e )

L e g y e n a, b ∈ R, f : (a, b) → R m o n o t o n f ü g g v é n y . E k k o r ∃ lima f é s ∃ limb f.



6 . 3 . F Ü G G V É N Y H A T Á R É R T É K E E 8 3

B i z o n y í t á s . T e g y ü k f e l , h o g y

f m o n o t o n f o g y ó .

L e g y e n

sup f :=

supf (x) | x ∈ (a, b), h a R(f ) f e l ü l r ® l k o r l á t o s ,

+∞, h a R(f ) f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s .

A sup f é r t e l m e z é s é b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y ∀ε > 0 ∃x0 ∈ (a, b) o l y a n , h o g y f (x0) ∈K ε(sup f ).L e g y e n δ > 0 o l y a n , h o g y (a, x0) = K δ(a) ∩ (a, b). E k k o r f m o n o t o n f o g y á s a

m i a t t ∀x ∈ K δ(a) ∩ (a, b) e s e t é n x < x0 , e z é r t h a f (x0) ∈ K ε(sup f ) é s f (x) ≥f (x0), a k k o r f (x) ∈ K ε(sup f ) i s t e l j e s ü l .

T e h á t ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ K δ(a) ∩ (a, b) e s e t é n f (x) ∈ K ε(sup f ) , í g y ∃ lima f =sup f.H a s o n l ó a n l á t h a t ó b e a

limb f l é t e z é s e i s .



7 . f e j e z e t

D i e r e n c i á l h a t ó s á g

A d i e r e n c i á l h a t ó s á g a f ü g g v é n y s i m a s á g á t j e l e n t i . A d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y

f o l y t o n o s , é s n i n c s r a j t a t ö r é s , c s ú c s . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• D e r i v á l t f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e

• E l e m i f ü g g v é n y e k d e r i v á l t j a i

• D e r i v á l á s i s z a b á l y o k

• M o n o t o n i t á s é s s z é l s ® é r t é k

• K o n v e x i t á s é s i n e x i ó

• F ü g g v é n y v i z s g á l a t

• T a y l o r p o l i n o m

• L ' H o s p i t a l s z a b á l y

• K ö z é p é r t é k t é t e l e k

7 . 1 . D i e r e n c i á l h a t ó s á g A

7 . 1 . 1 . A d e r i v á l t f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e

V i z s g á l j u n k m e g k é t e g y s z e r ¶ f ü g g v é n y t : f 1 : R

→R, f 1(t) := t2 , é s f 2 : R

→R, f 2(t) := |t|. R ö g z í t s ü k a z x := 0 p o n t o t . K ö n n y e n e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y f 1 é s

f 2 i s p á r o s ; a l u l r ó l k o r l á t o s é s f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s ; a p o z i t í v s z á m o k h a l m a z á n

n ö v e k v ® , a n e g a t í v s z á m o k h a l m a z á n f o g y ó ; a z x = 0 p o n t b a n m i n i m u m a v a n ,

é s a m i n i m u m é r t é k e 0 ; a z x = 0 p o n t b a n f o l y t o n o s .

S z e m b e t ¶ n ® a s o k h a s o n l ó s á g e l l e n é r e , h o g y a z x = 0 p o n t b a n a z f 1 f ü g g v é n y

s i m a , a z f 2 f ü g g v é n y n e k p e d i g t ö r é s e v a n .

V a n - e o l y a n m ¶ s z e r , a m e l y k i m u t a t j a , h o g y e g y f ü g g v é n y v a l a m e l y p o n t b a n

8 5



8 6 F E J E Z E T 7 . D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G

f1

f2

Kf10 K

f20

7 . 1 . á b r a .

s i m a , e g y m á s i k p e d i g n e m ?

L e g y e n f : R ⊃→ R t e t s z ® l e g e s f ü g g v é n y , x ∈ D(f ) e g y r ö g z í t e t t p o n t . A z f f ü g g v é n y x- h e z t a r t o z ó k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s - f ü g g v é n y e l e g y e n a

K f x : D(f ) \ x →R K f

x (t) :=f (t) − f (x)

t − x

f ü g g v é n y . V i z s g á l j u k m e g e z z e l a m ¶ s z e r r e l a z f 1 é s f 2 f ü g g v é n y t a z x := 0p o n t e s e t é n ( 7 . 1 . á b r a ) !

L á t j u k , h o g y a s i m a f 1 f ü g g v é n y e s e t é n v a n h a t á r é r t é k e ( f o l y t o n o s s á t e h e t ® )

a K f 10 k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s - f ü g g v é n y n e k , m í g a t ö r é s s e l r e n d e l k e z ® f 2 f ü g g v é n y

K f 20 k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s - f ü g g v é n y é n e k n i n c s h a t á r é r t é k e a 0 p o n t b a n .

E z a v i z s g á l a t m o t i v á l j a , h o g y a z o k a t a f ü g g v é n y e k e t , a m e l y e k k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s -

f ü g g v é n y é n e k v a n h a t á r é r t é k e a b b a n a p o n t b a n , a m e l y h e z t a r t o z i k , d i e r e n -

c i á l h a t ó n a k n e v e z z ü k a z a d o t t p o n t b a n . A z f ∈ D[x] j e l ö l j e e z t a t u l a j d o n s á -

g o t .

H a f ∈ D[x], a k k o r a k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s h a t á r é r t é k é t a z f f ü g g v é n y x p o n t b e l i

d i e r e n c i á l h á n y a d o s á n a k n e v e z z ü k :

limt→x

f (t) − f (x)

t − x=: f (x).



7 . 1 . D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G A 8 7

x t

t−x

f(t)−f(x)

(x,f(x))

(t,f(t))

szelõ

érintõ

7 . 2 . á b r a .

K ö n n y e n b e l á t h a t j u k , h o g y t → x e s e t é n t − x → 0, d e

f (t)−f (x)t−x m é g s e m l e s z

v é g t e l e n , e z c s a k ú g y l e h e t , h a f (t) − f (x) → 0 , a m i a z t j e l e n t i , h o g y h a a z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó a z x p o n t b a n , a k k o r o t t f o l y t o n o s i s .

H o n n a n k e r ü l t e l ® a z a m ¶ s z e r , a m e l y a l k a l m a s e g y f ü g g v é n y s i m a s á g á t k i m u -

t a t n i ? E l ® s z ö r e g y g e o m e t r i a i m e g k ö z e l í t é s t m u t a t u n k b e . L e g y e n f ∈ D[x]. A

k o o r d i n á t a - r e n d s z e r (x, f (x)) é s a t ® l e k ü l ö n b ö z ® (t, f (t)) p o n t j a i n á t f e k t e s s ü n k

e g y e g y e n e s t ( s z e l ® t ) . A z e g y e n e s m e r e d e k s é g e ( i r á n y t a n g e n s e )

f (t) − f (x)

t − x.

[ E z t j e l ö l t ü k K f x (t)- v e l . ]

H a t t a r t a z x- h e z , a k k o r a s z e l ® k t a r t a n a k e g y h a t á r h e l y z e t h e z , a m i t é r i n t ® n e k

n e v e z n e k , í g y a s z e l ® k m e r e d e k s é g e i s t a r t a z é r i n t ® m e r e d e k s é g é h e z ( 7 . 2 . á b r a ) .

[ E z t a h a t á r é r t é k e t n e v e z t ü k e l d i e r e n c i á l h á n y a d o s n a k . ]

A m á s i k e g y z i k a i i n t e r p r e t á c i ó l e g y e n . T e g y ü k f e l , h o g y e g y p o n t m o z g á s á t a

t → s(t) ú t - i d ® f ü g g v é n y í r j a l e . A [t0, t] i d ® i n t e r v a l l u m b a n a z á t l a g s e b e s s é g a

m e g t e t t s(t) − s(t0) ú t é s a m e g t é t e l é h e z s z ü k s é g e s t − t0 i d ® h á n y a d o s a , a z a z

s(t) − s(t0)

t − t0.

[ G y a k r a n e z t a h á n y a d o s t

∆s∆t j e l ö l i . ] H a m i n d e n h a t á r o n t ú l r ö v i d í t j ü k a z




i d ® i n t e r v a l l u m o t , a z á t l a g s e b e s s é g e g y s z á m k ö r ü l k e v e s e t i n g a d o z i k ( f e l t é v e ,

h o g y s i m a v o l t a z ú t - i d ® f ü g g v é n y ) , e z t a s z á m o t n e v e z i k p i l l a n a t n y i s e b e s s é g n e k :

limt→t0

s(t) − s(t0)

t − t0=: v(t0) v a g y lim

∆t→0

∆s

∆t= v.

[ L á t h a t ó , h o g y a p i l l a n a t n y i s e b e s s é g a z á t l a g s e b e s s é g h a t á r é r t é k e é s a z ú t - i d ®

f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h á n y a d o s a : s(t0) = v(t0). ]

A z f : R→ R, f (t) := t2 f ü g g v é n y n e m c s a k a z x := 0 p o n t b a n t ¶ n i k s i m á n a k .

L e g y e n x ∈ Re g y t e t s z ® l e g e s v a l ó s s z á m . N é z z ü k m e g , h o g y a z f f ü g g v é n y

x - h e z t a r t o z ó k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s á n a k v a n - e h a t á r é r t é k e !

limt→x

f (t) − f (x)

t − x= lim

t→x

t2 − x2

t − x= lim

t→x

(t − x)(t + x)

t − x= lim

t→x(t + x) = 2x.

T e h á t f ∈ D[x] é s f (x) = 2x.A z t a f ü g g v é n y t , a m e l y m i n d e n x p o n t b a n ( a h o l a f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó )

m e g a d j a a z x- b e l i d i e r e n c i á l h á n y a d o s t , a z f f ü g g v é n y d e r i v á l t j á n a k n e v e z i k ,

é s f - v e l j e l ö l i k . P é l d á n k b a n f : R→ R, f (x) = 2x.G y a k r a n a z f : R→ R, f (t) := t2 f ü g g v é n y t r ö v i d e n x2

f ü g g v é n y k é n t e m l e g e t i k ,

a d e r i v á l t j á t p e d i g (x2) j e l ö l i . E z z e l a m e g á l l a p o d á s s a l

(x2) = 2x.

7 . 1 . 2 . E l e m i f ü g g v é n y e k d e r i v á l t j a é s a d e r i v á l á s i s z a b á -

l y o k

N é z z ü n k n é h á n y t o v á b b i p é l d á t . L e g y e n f : R→R, f (t) := t3, x

∈R.

limt→x

f (t) − f (x)

t − x= lim

t→x

t3 − x3

t − x= lim

t→x

(t − x)(t2 + tx + x2)

t − x= lim

t→x(t2+tx+x2) = 3x2,

t e h á t f ∈ D[x] é s f (x) = 3x2, v a g y r ö v i d e n (x3) = 3x2

.

L e g y e n f : R→ R, f (t) := sin t, x ∈ R.

limt→x

f (t) − f (x)

t − x= lim

t→x

sin t − sin x

t − x= lim

t→x

2sin t−x2

cos t+x2

t − x=

= limt→x

sin t−x

2t−x2

cost + x

2

= 1 · cos x = cos x.

( A z á t a l a k í t á s s o r á n a t r i g o n o m e t r i k u s f ü g g v é n y e k a d d í c i ó s t é t e l e i n e k e g y k ö v e t k e z m é n y é t

h a s z n á l t u k . M i v e l limu→0sin u

u = 1 , e z é r t t → x e s e t é n a z u := t−x2 → 0 , í g y

limt→xsin t−x

2t−x2

= 1.)

T e h á t f ∈ D[x], a z a z a s z i n u s z f ü g g v é n y m i n d e n x ∈ R p o n t b a n d i e r e n c i á l h a t ó ,

é s f (x) = cos x , v a g y r ö v i d e n (sin x) = cos x.H a s o n l ó g o n d o l a t m e n e t t e l e g y s e r e g f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á t k i l e h e t m u -

t a t n i , é s a s z á m o l á s o k e r e d m é n y e k é n t a d e r i v á l t a k a t i s m e g k a p j u k .




N é h á n y f o n t o s f ü g g v é n y d e r i v á l t j á t t a r t a l m a z z a a k ö v e t k e z ® ö s s z e f o g l a l ó :

(xα) = αxα−1 α ∈ R (ln x) = 1x

(sin x) = cos x (loga x) = 1x ln a (a > 0, a = 1)

(cos x) = − sin x (arcsin x) = 1√1−x2

(ex) = ex (arccos x) = − 1√1−x2

(ax) = ax ln a (a > 0) (arctg x) = 11+x2

(tg x) = 1cos2 x (arsh x) = 1√

x2+1

(ctg x) = − 1sin2 x (arch x) = 1√

x2−1 (x > 1)

(sh x) = ch x (arth x) = 12 ln 1+x

1−x (−1 < x < 1)

(ch x) = sh x

(th x) = 1ch2x

D i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y e k k e l v é g z e t t m ¶ v e l e t e k e r e d m é n y e k é n t g y a k r a n k a -

p u n k d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y t . P é l d á u l h a f, g ∈ D[x], a k k o r

limt

→x

(f + g)(t) − (f + g)(x)

t

−x

= limt

→x

f (t) − f (x) + g(t) − g(x)

t

−x

=

= limt→x

f (t) − f (x)

t − x+ lim

t→x

g(t) − g(x)

t − x= f (x) + g(x).

T e h á t a z f + g f ü g g v é n y i s d i e r e n c i á l h a t ó a z x p o n t b a n é s (f + g)(x) =f (x) + g(x).E h h e z h a s o n l ó a n i g a z o l h a t ó m é g n é h á n y t é t e l :

7 . 1 . T é t e l . H a f ∈ D[x] é s λ ∈ R , a k k o r λf ∈ D[x] é s (λf )(x) = λf (x).

7 . 2 . T é t e l . H a f, g ∈ D[x], a k k o r f + g ∈ D[x] é s (f + g)(x) = f (x) + g(x) ,

t o v á b b á f · g ∈ D[x] é s (f · g)(x) = f (x)g(x) + f (x)g(x).

7 . 3 . T é t e l . H a g ∈ D[x] é s g(x) = 0, a k k o r

1g ∈ D[x] é s ( 1

g )(x) = − g(x)g2(x)

.

7 . 4 . T é t e l . H a f, g ∈ D[x] é s g(x) = 0 , a k k o r

f g ∈ D[x] é s ( f

g )(x) = f (x)g(x)−f (x)g(x)g2(x) .

7 . 5 . T é t e l . H a g ∈ D[x] é s f ∈ D[g(x)], a k k o r f g ∈ D[x] é s (f g)(x) =f (g(x)) · g(x) .

7 . 6 . T é t e l . H a f ∈ D[x], f (x) = 0, é s l é t e z i k a z f −1i n v e r z f ü g g v é n y , a k k o r a z

u := f (x) j e l ö l é s s e l f −1 ∈ D[u], é s (f −1)(u) = 1f (x)

= 1f (f −1(u))

.




7 . 1 . 3 . A d e r i v á l t k a p c s o l a t a a f ü g g v é n y t u l a j d o n s á g a i v a l

M i l y e n e l ® n y s z á r m a z i k a b b ó l , h a e g y f ü g g v é n y r ® l t u d j u k , h o g y d i e r e n c i á l h a t ó

( s i m a ) , é s i s m e r j ü k a d e r i v á l t j á t ?

a ) L e g y e n f ∈ D[x]. A k k o r e z a z t j e l e n t i , h o g y h a t k ö z e l v a n a z x- h e z ,

a k k o r

f (t)−f (x)t−x k ö z e l v a n f (x)- h e z . E z i n d o k o l j a a d i e r e n c i á l h a t ó s á g e g y

t o v á b b i s z e m l é l e t e s é s h a s z n o s j e l e n t é s é t . U g y a n i s h a t ≈ x, a k k o r

f (t) − f (x)

t − x≈ f (x), a m i b ® l f (t) − f (x) ≈ f (x)(t − x) v a g y

f (t) ≈ f (x) + f (x)(t − x)

k ö v e t k e z i k . E z a z t j e l e n t i , h o g y x- h e z k ö z e l i t p o n t o k b a n a f ü g g v é n y é r t é k

e g y l e g f e l j e b b e l s ® f o k ú p o l i n o m ( e g y e n e s ) h e l y e t t e s í t é s i é r t é k é v e l k ö z e l í -

t h e t ® . A z ex(t) := f (x) + f (x)(t − x) (t ∈ R) a z f f ü g g v é n y (x, f (x))p o n t j á h o z t a r t o z ó é r i n t ® j e .

b ) A d e r i v á l t e l ® j e l é b ® l k ö v e t k e z t e t h e t ü n k a f ü g g v é n y n ö v e k e d é s é r e .

L e g y e n f ∈ D[x] é s f (x) > 0. E k k o r

f (t) − f (x)

t − x≈ f (x), h a t ≈ x.

M i v e l f (x) > 0 , e z é r t

f (t)−f (x)t−x > 0 , h a t ≈ x. E z a z t j e l e n t i , h o g y h a t1 <

x, a k k o r f (t1) < f (x) é s h a t2 > x , a k k o r f (t2) > f (x) . T e h á t b á r m e l y

t1, t2 p o n t r a , a h o l t1 é s t2 i s k ö z e l v a n a z x- h e z é s t1 < x < t2 , f (t1) <f (x) < f (t2). I g a z o l h a t ó a z i s , h o g y h a f (x) > 0 e g y I i n t e r v a l l u m m i n d e n

x ∈ I p o n t j á b a n , a k k o r a z f f ü g g v é n y s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® a z I i n t e r v a l l u m o n , a z a z b á r m e l y x1, x2 ∈ I, x1 < x2 e s e t é n f (x1) < f (x2).

c ) L o k á l i s s z é l s ® é r t é k k e r e s é s é r e i s a l k a l m a s a d e r i v á l t . E g y f f ü g g v é n y n e k

a z a ∈ D(f ) p o n t b a n l o k á l i s m i n i m u m a v a n , h a v a n o l y a n , a z a p o n t o t

k ö r ü l v e v ® i n t e r v a l l u m , h o g y e b b ® l v e t t b á r m e l y x é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y -

b e l i p o n t r a f (x) ≥ f (a).H a f ∈ D[a], é s a z f f ü g g v é n y n e k m i n i m u m a v a n a z a p o n t b a n , a k k o r

f (a) = 0. U g y a n i s h a f (a) = 0 , p é l d á u l f (a) > 0 l e n n e , a k k o r l e n n e

o l y a n t1 < a < t2 , a- h o z k ö z e l i k é t p o n t , a m e l y e k r e f (t1) < f (a) < f (t2),a m e l y e l l e n t m o n d a n n a k , h o g y f - n e k a- b a n l o k á l i s m i n i m u m a v a n .

T e h á t e g y n y í l t i n t e r v a l l u m m i n d e n p o n t j á b a n d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y n e k

c s a k o t t l e h e t l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e , a h o l a d e r i v á l t j a 0 .

V i g y á z a t ! H a f ∈ D[a] é s f (a) = 0 , a k k o r a z a- b a n l e h e t , h o g y n i n c s

s z é l s ® é r t é k . P é l d á u l a z f : R → R, f (t) := t3 e s e t é n (t3) = 3t2 , e z é r t

f (0) = 3 · 02 = 0 , d e a z f f ü g g v é n y n e k n i n c s l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e a 0 - b a n .

d ) A f ü g g v é n y a l a k j á r a i s k ö v e t k e z t e t h e t ü n k a d e r i v á l t j á b ó l . A z f f ü g -

g v é n y t k o n v e x n e k n e v e z z ü k a z I

i n t e r v a l l u m o n , h a b á r m e l y x1, x2 ∈




I, x1 < x2 e s e t é n a z (x1, f (x1)) é s (x2, f (x2)) p o n t o t ö s s z e k ö t ® h ú r a l a t t

m a r a d a f ü g g v é n y g r a k o n j a a z [x1

, x2

] i n t e r v a l l u m o n .

I g a z o l h a t ó , h o g y e g y d i e r e n c i á l h a t ó f f ü g g v é n y p o n t o s a n a k k o r k o n v e x

a z I i n t e r v a l l u m o n , h a a z f d e r i v á l t j a m o n o t o n n ö v e k e d ® e z e n a z i n t e r -

v a l l u m o n .

A z f f ü g g v é n y m o n o t o n n ö v e k e d é s é r e a d e r i v á l t j á n a k e l ® j e l é b ® l k ö v e t k e z t e t h -

e t ü n k . H a a z f d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y , a k k o r b e v e z e t v e a z f := (f )

m á s o d i k d e r i v á l t a t , i g a z l e s z a z a t é t e l , h o g y f (x) > 0 (x ∈ I ) e s e t é n f k o n v e x a z I i n t e r v a l l u m o n .

( É r t e l e m s z e r ¶ e n m e g f o g a l m a z h a t j u k a k o n k á v f ü g g v é n y f o g a l m á t , é s i l y e n

f ü g g v é n y r e i s h a s o n l ó e l é g s é g e s f e l t é t e l a d h a t ó . )

A z o l y a n a ∈ D(f )

p o n t o t , a m e l y e t m e g e l ® z ® é s a z ® t k ö v e t ® i n t e r v a l -

l u m o k o n a z f f ü g g v é n y a l a k j a e l t é r ® ( v a g y k o n v e x b ® l k o n k á v b a , v a g y

k o n k á v b ó l k o n v e x b e m e g y á t a f ü g g v é n y ) , i n e x i ó s p o n t n a k n e v e z z ü k .

P é l d á u l a z f (x) = x3 f ü g g v é n y n e k 0 - b a n i n e x i ó j a v a n .

I g a z o l h a t ó , h o g y h a a z a ∈ D(f ) i n e x i ó s p o n t j a a k é t s z e r d i e r e n c i á l h a t ó

f f ü g g v é n y n e k , a k k o r f (a) = 0 .

V i g y á z a t ! H a f k é t s z e r d e r i v á l h a t ó a z a p o n t b a n , é s f (a) = 0 , a k k o r

m é g l e h e t , h o g y n i n c s i n e x i ó j a a f ü g g v é n y n e k a z a- b a n . P é l d á u l a z

f : R → R, f (t) := t4 f ü g g v é n y e s e t é n f (t) = 12t2 , e z é r t f (0) = 0 , d e

a z f f ü g g v é n y a z e g é s z R

i n t e r v a l l u m o n k o n v e x ( é s n e m k o n k á v e g y e t l e n

r é s z i n t e r v a l l u m o n s e m ) .

e ) H o g y a n h a s z n á l h a t j u k a z e d d i g i e r e d m é n y e k e t d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y e k

m e n e t é n e k v i z s g á l a t á h o z ? C é l s z e r ¶ a k ö v e t k e z ® l é p é s e k e t a 3 . f e l a d a t

p é l d á j á n n y o m o n k ö v e t n i .

1 . E l k é s z í t j ü k a z f d e r i v á l t f ü g g v é n y t .

2 . M e g k e r e s s ü k a z f z é r u s h e l y e i t ( i l l e t v e a z o k a t a p o n t o k a t , a h o l f

e l ® j e l e t v á l t h a t ) .

3 . K i s z á m í t j u k a z f m á s o d i k d e r i v á l t a t .

4 . M e g k e r e s s ü k a z f z é r u s h e l y e i t ( i l l e t v e a z o k a t a p o n t o k a t , a h o l f

e l ® j e l e t v á l t h a t ) .

5 . A f ü g g v é n y é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y á t a z f , a z f z é r u s h e l y e i ( i l -

l e t v e l e h e t s é g e s e l ® j e l v á l t á s i h e l y e i ) n y í l t i n t e r v a l l u m o k r a s z a b d a l j á k .

E z e k e n a z i n t e r v a l l u m o k o n m e g á l l a p í t j u k a d e r i v á l t a k e l ® j e l é t , a m i b ® l

a m o n o t o n i t á s i é s a l a k i v i s z o n y o k r a k ö v e t k e z t e t ü n k . ( Á t t e k i n t h e t ® v é

v á l i k a v i z s g á l a t e g y t á b l á z a t e l k é s z í t é s é v e l . )

6 . N é h á n y t á m p o n t o t k i s z á m o l u n k . H a v a n n a k , k i s z á m o l j u k a l o k á l i s

m a x i m u m é s m i n i m u m é r t é k e i t , a f ü g g v é n y h a t á r é r t é k é t ( e s e t l e g j o b b

o l d a l i é s b a l o l d a l i h a t á r é r t é k é t ) m i n d e n o l y a n p o n t b a n , a m e l y a z

é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y o l y a n t o r l ó d á s i p o n t j a , a m e l y b e n n i n c s é r t e l m e z v e

a f ü g g v é n y .

7 . V á z o l j u k a f ü g g v é n y m e n e t é t .




7 . 1 . 4 . T ö b b s z ö r ö s d e r i v á l t é s a T a y l o r - p o l i n o m

L á t t u k e g y f ü g g v é n y e l s ® é s m á s o d i k d e r i v á l t j á n a k s z e r e p é t . E z e k á l -

t a l á n o s í t á s a k é n t v e z e s s ü k b e a m a g a s a b b r e n d ¶ d e r i v á l t a k a t .

H a f d i e r e n c i á l h a t ó , a k k o r f := (f ) .

H a f d i e r e n c i á l h a t ó , a k k o r f := (f ) .

.

.

.

H a f (k)d i e r e n c i á l h a t ó , a k k o r f (k+1) := (f (k)), k = 1, 2, . . ..

M e g j e g y e z z ü k , h o g y v e s s z ® k k e l c s a k a z e l s ® h á r o m d e r i v á l t a t s z o k t u k j e l ö l n i ,

t e h á t f (1) := f , f (2) := f , f (3) := f . N é h a a z f (0) := f m e g á l l a p o d á s

i s h a s z n o s .

A z e l é g s i m a f ü g g v é n y e k e t j ó l k ö z e l í t h e t j ü k p o l i n o m o k k a l . A z t m á r l á t -

t u k , h o g y h a f ∈ D[a], a k k o r a z

ea(t) := f (a) + f (a)(t − a) (t ∈ R)

é r i n t ® f ü g g v é n y r e

ea(a) = f (a);

ea(t) = f (a) , í g y ea(a) = f (a), a z a z a z ea - n a k é s a z f - n e k a z a- b e l i

d i e r e n c i á l h á n y a d o s a i s m e g e g y e z e t t .

L á t h a t ó a z i s , h o g y

limt→a

f (t) − ea(t)

t − a= lim

t→a

f (t) − (f (a) + f (a)(t − a))

t − a= lim

t→a

f (t) − f (a)

t − a−f (a) = 0,

a m i a z t f e j e z i k i , h o g y a z ea é r i n t ® f ü g g v é n y o l y a n k ö z e l í t é s e a z f f ü g -

g v é n y n e k , h o g y h a a z

f (t) − ea(t)k ü l ö n b s é g e t o l y a n m ó d o n f e l n a g y í t j u k ,

h o g y (t − a) - v a l e l o s z t j u k , m é g e z a h á n y a d o s i s 0 - h o z k ö z e l i , h a t k ö z e l

v a n a z a- h o z .

A z ea é r i n t ® f ü g g v é n y c s a k e g y e l s ® f o k ú p o l i n o m . M i l y e n l e g y e n a z a m a -

g a s a b b f o k ú p o l i n o m , a m e l y a m é g p o n t o s a b b k ö z e l í t é s t l e h e t ® v é t e s z i ?

L e g y e n P (x) := 3 − 2x + 4x2 − 5x3. E k k o r P (0) = 3.

P (x) = −2 + 8x − 15x2, P (0) = −2.

P (x) = 8 − 30x, P (0) = 8

P (x) = −30, P (0) = −30.

K ö n n y e n e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y m i n d e n x ∈ R e s e t é n

P (x) = P (0) + P (0)x +P (0)

2!x2 +

P (0)

3!x3,

a z a z e g y p o l i n o m o t i g e n j ó l k ö z e l í t e t t ü n k ( e b b e n a z e s e t b e n p o n t o s a n

e l ® á l l í t o t t u n k ) e g y o l y a n p o l i n o m m a l , a m e l y n e k e g y ü t t h a t ó i a f ü g g v é n y

m a g a s a b b r e n d ¶ d e r i v á l t j a i e g y p o n t b a n ( m o s t e z a p o n t a 0 v o l t ) , e l o s z t v a

a d e r i v á l t r e n d j é n e k f a k t o r i á l i s a i v a l .




E k é t f é l e t a p a s z t a l a t v e z e t e l m i n k e t a z ú g y n e v e z e t t T a y l o r - f o r m u l á h o z .

T e g y ü k f e l , h o g y f o l y a n s i m a , h o g y a z f (n+1)d e r i v á l t f ü g g v é n y m é g

f o l y t o n o s i s a z a ∈ D(f ) e g y K (a) ⊂ D(f ) k ö r n y e z e t é b e n . L e g y e n T n :R→ R.

T n(x) := f (a) + f (a)(x − a) +f (a)

2!(x − a)2 + . . . +

f (n)(a)

n!(x − a)n

a z ú g y n e v e z e t t n- e d i k T a y l o r - p o l i n o m . ( L á t h a t ó , h o g y T 1 = ea . ) K ö n n y e n

e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y T n(a) = f (a), T n(a) = f (a), T n (a) = f (a), . . . , T (n)n (a) =

f (n)(a) ( a z a z a z ea é r i n t ® f ü g g v é n y h e z h a s o n l ó t u l a j d o n s á g g a l r e n d e l k e z i k

a T n T a y l o r - p o l i n o m i s . ) I g a z o l h a t ó , h o g y i l y e n f e l t é t e l m e l l e t t b á r m e l y

x ∈ K (a) e s e t é n v a n o l y a n c a z x é s a z a k ö z ö t t , h o g y

f (x) = T n(x) + f

(n+1)

(c)(n + 1)! (x − a)n+1,

a m i a z t j e l e n t i , h o g y a z f f ü g g v é n y t a T n T a y l o r - p o l i n o m o l y a n j ó l k ö z e l í t i ,

h o g y

f (x) − T n(x)

(x − a)n=

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a) ≈ 0, h a x ≈ a.

T e h á t a T a y l o r - p o l i n o m j ó l ( n - e d r e n d b e n ) s i m u l a z f f ü g g v é n y h e z ; a z

f f ü g g v é n y a- h o z k ö z e l i h e l y e t t e s í t i é r t é k e i t e g y p o l i n o m h e l y e t t e s í t é s i

é r t é k e i v e l n a g y o n p o n t o s a n k ö z e l í t h e t j ü k .

7 . 1 . 5 . L ' H o s p i t a l - s z a b á l y

A d e r i v á l t a k s e g í t s é g é v e l é p p e n a n e h é z n e k t ¶ n ® h a t á r é r t é k - s z á m í t á s o k i s

e l v é g e z h e t ® k . A L ' H o s p i t a l - f é l e s z a b á l y o k e g y i k e a r r ó l s z ó l , h o g y h a f é s

g d i e r e n c i á l h a t ó e g y I n y í l t i n t e r v a l l u m o n é s a z a p o n t b a n ( a m e l y v a g y

e l e m e v a g y v é g p o n t j a a z I i n t e r v a l l u m n a k , a k á r +∞ v a g y −∞ i s l e h e t ) ,

é s

limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0,

d e l é t e z i k a d e r i v á l t a k h á n y a d o s á n a k a h a t á r é r t é k e

limx→a

f (x)

g(x)=: L,

a k k o r a z f é s g h á n y a d o s á n a k i s v a n h a t á r é r t é k e , é s

limx→a

f (x)

g(x)= L.

U g y a n e z i g a z a k k o r i s , h a a z a p o n t b a n f é s g a 0 h e l y e t t ( +∞) - h e z v a g y

( −∞) - h e z t a r t [ n e m s z ü k s é g e s , h o g y a z o n o s e l ® j e l ¶ v é g t e l e n l e g y e n a k é t




f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e ] .

A L ' H o s p i t a l - s z a b á l l y a l s z á m í t s u k k i a

limx→0

cos x − cos3x

x2

h a t á r é r t é k e t . M i n d a s z á m l á l ó , m i n d a n e v e z ® 0 - b a n 0 , e z é r t a d e r i v á l t a k

h á n y a d o s á n a k a h a t á r é r t é k é t e l é g k i s z á m í t a n i .

limx→0

(cos x − cos3x)

(x2)= lim

x→0

− sin x + 3sin 3x

2x= −1

2limx→0

sin x

x+

3

2limx→0

sin3x

x=

= −1

2· 1 +

9

2limx→0

sin3x

3x= −1

2+

9

2= 4.

Í g y

limx→0

cos x − cos3x

x2= 4.

[ A d e r i v á l t a k h á n y a d o s á n a k h a t á r é r t é k é t s z i n t é n s z á m o l h a t t u k v o l n a a

L ' H o s p i t a l - s z a b á l l y a l :

limx→0

− sin x + 3sin 3x

2x= lim

x→0

− cos x + 9cos 3x

2=

−1 + 9

2= 4.]

S a j n o s , m é g a L ' H o s p i t a l s z a b á l y o k s e m t u d n a k m i n d e n k r i t i k u s h a t á r é r t é k -

f e l a d a t r a k ö n n y ¶ v á l a s z t a d n i . P é l d á u l

limx→∞

sh(x + 2) = limx→∞

sh(x−

2) = +∞

.

H a a d e r i v á l t a k a t n é z z ü k , a k k o r

limx→∞ ch(x + 2) = lim

x→∞ ch(x − 2) = +∞,

h a e z e k d e r i v á l t j a i t v i z s g á l j u k , a k k o r

limx→∞

sh(x + 2) = limx→∞

sh(x − 2) = +∞,

é s í g y t o v á b b . N e m k a p j u k m e g a

limx→∞sh(x + 2)

sh(x − 2)

h a t á r é r t é k e t a L ' H o s p i t a l s z a b á l y a l k a l m a z á s á v a l . [ M e g j e g y e z z ü k , h o g y

limx→∞

sh(x + 2)

sh(x − 2)= lim

x→∞ex+2 − e−(x+2)

ex−2 − e−(x−2)= lim

x→∞e2 − e−2

e2x

e−2 − e2

e2x

= e4.]



7 . 2 . F E L A D A T O K 9 5

7 . 2 . F e l a d a t o k

1 . D e r i v á l j u k a z f (x) := 3x5 + √x + ln sin2( 1x ) f ü g g v é n y t !

M e g o l d á s : f (x) = 3 · 5x4 + 12

x−12 + 1

sin2( 1x )· 2sin( 1

x) · cos( 1

x) · (− 1

x2 ).

2 . D e r i v á l j u k a

g(x) := 4x3 − 2x2 + 5x − 3

h(x) := (x − 2)3 sin(4x)

l(x) := xa + ax + ax + xa

+ ax ( a > 0 )

k(x) := (sin x)cos x

m(x) := arctg tgx+11−tgx

f ü g g v é n y e k e t !

3 . V i z s g á l j u k m e g a z f : R→ R, f (x) := 2x−1√x2+1

f ü g g v é n y m e n e t é t !

M e g o l d á s :

a ) f (x) =2√

x2+1−(2x−1) 2x

2√x2+1

x2+1= 2(x2+1)−2x2+x

(x2+1)32

= x+2

(x2+1)32

b )

x+2

(x2+1)32

= 0, x = −2 ( a t ö r t m á s h o l n e m v á l t e l ® j e l e t , m e r t a

n e v e z ® p o z i t í v )

c ) f (x) = (x2+1)32−(x+2)

32 (x2+1)

12 2x

(x2+1)3= x2+1−(3x2+6x)

(x2+1)52

= −2x2−6x+1

(x2+1)52

d ) −2x2

−6x+1(x2+1)

52

= 0, −2x2 − 6x + 1 = 0

x1 =

6+√

44

−4 ≈ −3, 16x2 = 6−√44−4 ≈ 0, 16

e )

- 3 . 1 6 - 2 0 . 1 6

f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - | + + + + + + + + + + +

f m o n . c s ö k k e n m i n n ®

f - - - - - - - | + + + + + + + + + + + + | - - - - - -

f a l a k k o n k á v | i n e x i ó | k o n v e x | i n e x i ó | k o n k á v

f )

f (−2) = − 5√5 = −√5 ≈ −2, 23

limx→−∞ 2x−1√x2+1

= limx→∞2− 1

x

−

1+ 1x2

= −2

limx→∞ 2x−1√x2+1

= limx→∞2− 1

x 1+ 1

x2

= 2

g )




f

2

−2

5

7 . 3 . á b r a .

4 . V i z s g á l j u k m e g a k ö v e t k e z ® f ü g g v é n y e k m e n e t é t :

g : R→ R, g(x) := e−x2

h : R \ −2, 8, h(x) := xx2−6x−16

l : R+ → R, l(x) := x ln x

k : R→ R, k(x) := ex

1+ex

5 . K é s z í t s ü k e l a z f (x) := sin x f ü g g v é n y a := 0 p o n t h o z t a r t o z ó T a y l o r -

p o l i n o m j á t n := 11e s e t é n .

M e g o l d á s :

f (x) = sin x f (0) = 0

f (x) = cos x f (0) = 1

f (x) = − sin x f (0) = 0

f (x) = − cos x f (0) = −1

f (4)(x) = sin x f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x f (5)(0) = 1

.

.

.

.

.

.

f (11)(x) = − cos x f (11)(0) = −1

f (12)(x) = sin x f (12)(0) = 0

[ L á t h a t ó , h o g y f = f (4) = f (8) = . . . = f (4k) = . . . = sin .

]



7 . 2 . F E L A D A T O K 9 7

T e h á t

T 11(x) = x −1

3! x3

+

1

5! x5

−1

7! x7

+

1

9! x9

−1

11! x11

M e g j e g y z é s : H a a sin f ü g g v é n y t a T 11 T a y l o r - p o l i n o m j á v a l k ö z e l í t j ü k ,

a k k o r p é l d á u l a z x := 0, 1 h e l y e n

| sin0, 1−T 11(0, 1)| =| sin c|

12!0, 112 ≤ 0, 112

12!=

10−12

479001600< 2·10−9·10−12 = 2·10−21.

S ® t , h a 0 ≤ x ≤ π2

, a k k o r ( k i h a s z n á l v a , h o g y x ≤ π2

< 2)

| sin x−T 11(x)| =| sin c|

12!x12 ≤ 1

12!

π

2

12<

212

12!≤ 2·10−9·212 = 8192·10−9 < 10−9.

L á t h a t ó , h o g y a T 11 a s i n f ü g g v é n y é r t é k e i t a [0, π2

] i n t e r v a l l u m o n e l é g j ó l

( l e g a l á b b n é g y t i z e d e s p o n t o s s á g g a l ) m e g a d j a .

6 . K é s z í t s ü k e l a k ö v e t k e z ® f ü g g v é n y e k T a y l o r - p o l i n o m j a i t :

g(x) := ex a := 0 n := 10

h(x) = cos x a := 0 n := 12

l(x) =√

1 + x a := 0 n := 2

k(x) = 1√1+x2 a := 0 n := 2

7 . S z á m í t s u k k i a

limx→0 x2

ln xh a t á r é r t é k e t !

M e g o l d á s :

limx→0

x2 ln x = limx→0

ln x

x−2.

M i v e l

limx→0

(ln x)

(x−2)= lim

x→0

x−1

−2x−3= lim

x→0−1

2x2 = 0,

e z é r t

limx→0

ln x

x−2= 0, í g y lim

x→0x2 ln x = 0.

8 . S z á m í t s u k k i a k ö v e t k e z ® h a t á r é r t é k e k e t !

a ) limx→0xtgx−1

x2

b ) limx→0

√cos x−1sin2 2x

c ) limx→01−√cos x1−cos

√x

d ) limx→∞ xln x

(ln x)x




7 . 3 . D i e r e n c i á l h a t ó s á g E

7 . 3 . 1 . A d e r i v á l t f o g a l m a é s k a p c s o l a t a a f o l y t o n o s s á g g a l

7 . 1 . D e n í c i ó . L e g y e n A ⊂ R, a ∈ A. A z t m o n d j u k , h o g y a b e l s ® p o n t j a a z

A h a l m a z n a k , h a ∃K (a), h o g y K (a) ⊂ A.A z A h a l m a z b e l s ® p o n t j a i n a k h a l m a z á t j e l ö l j e intA.

7 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ intD(f ). A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó a z a p o n t b a n , h a

∃ limx→a

f (x) − f (a)

x − a∈ R.

H a a z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó a z a p o n t b a n , a k k o r e z t f ∈ D[a] j e l ö l j e .

H a

f ∈ D[a], a k k o r

f (a) := limx→a

f (x) − f (a)

x − a.

A z f (a) ∈ Rs z á m o t a z f f ü g g v é n y a p o n t b e l i d i e r e n c i á l h á n y a d o s á n a k

n e v e z z ü k .

A z f (a) h e l y e t t g y a k r a n h a s z n á l j á k m é g a z f (a), df dx (a), Df (a) j e l ö l é s e k e t i s .

7 . 7 . T é t e l . ( F ® t é t e l )

L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ intD(f ).f ∈ D[a] ⇔ ∃F a : D(f ) → R, F a ∈ C [a] o l y a n , h o g y ∀x ∈ D(f ) e s e t é n

f (x) − f (a) = F a(x)(x − a).

B i z o n y í t á s . (

⇒) L e g y e n f

∈D[a]. E k k o r v e z e s s ü k b e a z

F a : D(f ) → R, F a(x) :=

f (x)−f (a)

x−a , h a x = a

f (a) h a x = a

f ü g g v é n y t . A z F a ∈ C [a], u g y a n i s ∀x ∈ D(f ) \ a e s e t é n

F a(x) − F a(a) =f (x) − f (a)

x − a− f (a),

e z é r t

limx→a

(F a(x) − F a(a)) = 0.

L e g y e n e z u t á n x ∈ D(f ) t e t s z ® l e g e s . H a x = a, a k k o r

f (x) − f (a) = f (x) − f (a)x − a

· (x − a) = F a(x) · (x − a);

h a x = a, a k k o r

f (a) − f (a) = F a(a) · (a − a)

n y i l v á n i g a z .

( ⇐) T e g y ü k f e l , h o g y ∃F a ∈ C [a]o l y a n , h o g y ∀x ∈ D(f )

e s e t é n f (x) − f (a) =



7 . 3 . D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G E 9 9

F a(x) · (x − a).H a x

= a, a k k o r

f (x) − f (a)

x − a= F a(x),

é s m i v e l F a ∈ C [a], e z é r t ∃ limx→a F a(x) = F a(a), d e a k k o r ∃ limx→af (x)−f (a)

x−ai s ( a z a z f ∈ D[a]) , s ® t F a(a) = f (a).

7 . 8 . T é t e l . H a f ∈ D[a], a k k o r f ∈ C [a].

B i z o n y í t á s . H a f ∈ D[a], a k k o r ∃F a ∈ C [a]

o l y a n , h o g y ∀x ∈ D(f ) e s e t é n

f (x) − f (a) = F a(x) · (x − a) , a z a z f = f (a) + F a · (id − a) . M i v e l f o l y t o n o s

f ü g g v é n y e k ö s s z e g e , s z o r z a t a i s f o l y t o n o s , e z é r t f i s f o l y t o n o s a z a p o n t b a n .

M e g j e g y z é s : A z f : R → R, f (x) := |x| f ü g g v é n y f o l y t o n o s a z a := 0p o n t b a n , d e

∀x ∈R

, x = 0e s e t é n

f (x) − f (a)

x − a=

|x| − 0

x − 0=

|x|x

=

1, h a x > 0

−1, h a x < 0

m i a t t n e m l é t e z i k a

limx→a

f (x) − f (a)

x − a

h a t á r é r t é k , e z é r t f n e m d i e r e n c i á l h a t ó a 0 p o n t b a n . A p é l d a a z t m u t a t j a , h o g y

a t é t e l n e m f o r d í t h a t ó m e g .

7 . 3 . 2 . M ¶ v e l e t e k d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y e k k e l , d e r i v á l á s i

s z a b á l y o k

7 . 9 . T é t e l . H a f ∈ D[a] é s λ ∈ R, a k k o r λf ∈ D[a], é s (λf )(a) = λ · f (a).


limx→a

(λf )(x) − (λf )(a)

x − a= lim

x→aλ · f (x) − f (a)

x − a= λ · f (a).

7 . 1 0 . T é t e l . H a f, g ∈ D[a], a k k o r f · g ∈ D[a], é s (f · g)(a) = f (a)g(a) +f (a)g(a).


limx→a

(f g)(x) − (f g)(a)

x − a= lim

x→a

f (x)g(x) − f (a)g(x) + f (a)g(x) − f (a)g(a)

x − a=

= limx→a

f (x) − f (a)

x − a· g(x) + f (a) lim

x→a

g(x) − g(a)

x − a= f (a)g(a) + f (a)g(a).

M i v e l g ∈ D[a]

, e z é r t g ∈ C [a]

, í g y limx→a g(x) = g(a).



1 0 0 F E J E Z E T 7 . D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G

7 . 1 1 . T é t e l . H a g ∈ D[a] é s g(a) = 0 , a k k o r

1g ∈ D[a], é s ( 1

g )(a) = − g(a)g2(a) .

B i z o n y í t á s . M i v e l g ∈ D[a], e z é r t g ∈ C [a], í g y a g(a) = 0 f e l t é t e l m i a t t

∃K (a) ⊂ D(g), h o g y ∀x ∈ K (a) e s e t é n g(x) = 0 . T e h á t a ∈ intD( 1g ). E k k o r

limx→a

( 1g )(x) − ( 1

g )(a)

x − a= lim

x→a

1g(x) − 1

g(a)

x − a= lim

x→a

g(a)−g(x)g(x)g(a)

x − a=

= limx→a

−g(x) − g(a)

x − a· 1

g(x)g(a)

= −g(a) · 1

g2(a).

7 . 1 2 . T é t e l . H a f, g ∈ D[a] é s g(a) = 0 , a k k o r

f g ∈ D[a] é s ( f

g )(a) =f (a)g(a)−f (a)g(a)

g2(a).

B i z o n y í t á s . M i v e l

f g = f · 1

g , é s a f e l t é t e l e k s z e r i n t

1g ∈ D[a], e z é r t a s z o r z a t f ü g -

g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á r a v o n a t k o z ó t é t e l m i a t t

f g ∈ D[a] é s

f

g

(a) =

f · 1

g

(a) = f (a)

1

g(a)+f (a)

− g(a)

g2(a)

=

f (a)g(a) − f (a)g(a)

g2(a).

7 . 1 3 . T é t e l . H a g ∈ D[a] é s f ∈ D[g(a)], a k k o r f g ∈ D[a], é s (f g)(a) =f (g(a)) · g(a) .

B i z o n y í t á s . M i v e l g ∈ D[a], e z é r t a f ® t é t e l m i a t t ∃Ga ∈ C [a] o l y a n , h o g y ∀x ∈D(g) e s e t é n g(x) − g(a) = Ga(x) · (x − a) . M i v e l f ∈ D[g(a)] , e z é r t s z i n t é n a

f ® t é t e l m i a t t ∃F g(a) ∈ C [g(a)] o l y a n , h o g y ∀y ∈ D(f ) e s e t é n f (y) − f (g(a)) =F g(a)(y) · (y − g(a)). L e g y e n x ∈ D(f g), e k k o r a z y := g(x) j e l ö l é s s e l

(f g)(x) − (f g)(a) = f (g(x)) − f (g(a)) = F g(a)(g(x)) · (g(x) − g(a)) =

= F g(a)(g(x)) · Ga(x) · (x − a) = (F g(a) g · Ga)(x) · (x − a).

M i v e l g ∈ D[a], e z é r t g ∈ C [a]; F g(a) ∈ C [g(a)] , í g y a z ö s s z e t e t t f ü g g v é n y

f o l y t o n o s s á g á r a v o n a t k o z ó t é t e l s z e r i n t F g(a) g ∈ C [a]. A Ga ∈ C [a] m i a t t , a

s z o r z a t f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g á t f e l h a s z n á l v a , a z F g(a) g · Ga i s f o l y t o n o s a z ap o n t b a n , a z a z F g(a) g · Ga ∈ C [a]. E z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y f g ∈ D[a], s ® t

(f g)(a) = (F g(a) g · Ga)(a) = F g(a)(g(a)) · Ga(a) = f (g(a)) · g(a).

7 . 1 4 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f : I → Rs z i g o r ú a n m o n o t o n é s

f o l y t o n o s f ü g g v é n y . L e g y e n a ∈ I, f ∈ D[a] é s f (a) = 0. E k k o r a b := f (a)p o n t b a n f −1 ∈ D[b], é s (f −1)(b) = 1

f (a)= 1

f (f −1(b)).



7 . 3 . D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G E 1 0 1

B i z o n y í t á s . A s z i g o r ú m o n o t o n i t á s m i a t t a z f f ü g g v é n y b i j e k c i ó a z I é s a

J := f (I ) k ö z ö t t ( a B o l z a n o - t é t e l k ö v e t k e z m é n y e k é n t J i s n y í l t i n t e r v a l l u m ) .

E z é r t l é t e z i k a z f −1 : J → I i n v e r z f ü g g v é n y . A z f −1f ü g g v é n y b p o n t b e l i

d i e r e n c i á l h a t ó s á g á h o z m e g k e l l m u t a t n i , h o g y l é t e z i k a

limy→b

f −1(y) − f −1(b)

y − b

h a t á r é r t é k ( é s e z v a l ó s s z á m ) .

L e g y e n (yn) ⊂ J, yn → b t e t s z ® l e g e s s o r o z a t . B á r m e l y n ∈ N e s e t é n l e g y e n xn :=f −1(yn). A z (xn) ⊂ I s o r o z a t k o n v e r g e n s , é s lim xn = a, m e r t a z i n v e r z f ü g g v é n y

f o l y t o n o s s á g á r ó l s z ó l ó t é t e l é s a z á t v i t e l i e l v s z e r i n t

yn → b ⇒ f −1

(y) → f −1

(b),a z a z

xn → a.

E z é r t

f −1(yn) − f −1(b)

yn − b=

xn − a

f (xn) − f (a)=

1f (xn)−f (a)

xn−a

→ 1

f (a),

h i s z e n f (a) = 0 . M i v e l b á r m e l y (yn) ⊂ J, yn → b e s e t é n a z ( f −1(yn)−f −1(b)yn−b )

k o n v e r g e n s , e z é r t a h a t á r é r t é k r e v o n a t k o z ó á t v i t e l i e l v s z e r i n t l é t e z i k a

limy→b

f −1(y) − f −1(b)

y − b

h a t á r é r t é k . T e h á t f −1

∈D[b], é s a z i s l á t h a t ó , h o g y

(f −1)(b) =1

f (a).

7 . 3 . 3 . L o k á l i s n ö v e k e d é s , f o g y á s , l o k á l i s s z é l s ® é r t é k

7 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ D(f ). A z t m o n d j u k , h o g y f l o k á l i s a n

n ® a z a p o n t b a n , h a ∃K (a) ⊂ D(f ), h o g y ∀x1 ∈ K (a), x1 < a e s e t é n f (x1) ≤f (a) é s ∀x2 ∈ K (a), x2 > a e s e t é n f (x2) ≥ f (a).

É r t e l e m s z e r ¶ m ó d o s í t á s s a l k a p j u k a l o k á l i s f o g y á s f o g a l m á t .

7 . 1 5 . T é t e l . H a f ∈ D[a], é s f a z a p o n t b a n l o k á l i s a n n ® , a k k o r f (a) ≥ 0.

B i z o n y í t á s . M i v e l f l o k á l i s a n n ® a z a- b a n , e z é r t ∃K (a) ⊂ D(f ), h o g y ∀x ∈K (a), x = a e s e t é n

f (x) − f (a)

x − a≥ 0




( h a x < a, a k k o r x − a < 0 é s f (x) − f (a) ≤ 0 , m í g x > a e s e t é n x − a > 0 é s

f (x)−

f (a)≥

0 ) .

A z f ∈ D[a], e z é r t

∃ limx→a

f (x) − f (a)

x − a≥ 0, a z a z f (a) ≥ 0.

7 . 1 6 . T é t e l . H a f ∈ D[a], é s f l o k á l i s a n f o g y ó a z a p o n t b a n , a k k o r f (a) ≤ 0.

B i z o n y í t á s . A z e l ® z ® t é t e l b i z o n y í t á s á n a k m i n t á j á r a t ö r t é n i k .

M e g j e g y z é s : A z f f ü g g v é n y s z i g o r ú a n l o k á l i s a n n ® , h a ∃K (a) ⊂ D(f ),h o g y ∀x1, x2 ∈ K (a), x1 < a < x2 e s e t é n f (x1) < f (a) < f (x2).

H a

f ∈ D[a]é s s z i g o r ú a n l o k á l i s a n n ® a z

a- b a n , a k k o r u g y a n ∀x ∈ K (a), x = a

e s e t é n

f (x) − f (a)

x − a> 0,

d e a h a t á r é r t é k r e

limx→a

f (x) − f (a)

x − a≥ 0

m o n d h a t ó , í g y f (a) ≥ 0. P é l d á u l a z f : R → R, f (t) := t3 a 0 - b a n s z i g o r ú a n

l o k á l i s a n n ® , d e f (0) = (t3)|t=0= 3t2|t=0

= 0.

7 . 1 7 . T é t e l . H a f ∈ D[a], é s f (a) > 0

, a k k o r f s z i g o r ú a n l o k á l i s a n n ® a z ap o n t b a n .

B i z o n y í t á s . M i v e l f ∈ D[a], e z é r t a f ® t é t e l m i a t t ∃F a ∈ C [a] o l y a n , h o g y

∀x ∈ D(f ) e s e t é n f (x) − f (a) = F a(x) · (x − a).F a(a) = f (a) > 0, e z é r t a f o l y t o n o s f ü g g v é n y j e l t a r t á s á r ó l s z ó l ó t é t e l m i -

a t t ∃K (a) ⊂ D(f ) o l y a n , h o g y ∀x ∈ K (a) e s e t é n F a(x) > 0. E z é r t ∀x1 ∈K (a), x1 < a e s e t é n

f (x1) − f (a) = F a(x1) · (x1 − a) < 0 ⇒ f (x1) < f (a),

m í g ∀x2 ∈ K (a), x2 > a e s e t é n

f (x2) − f (a) = F a(x2) · (x2 − a) > 0 ⇒ f (x2) > f (a),

7 . 1 8 . T é t e l . H a f ∈ D[a], é s f (a) < 0 , a k k o r f s z i g o r ú a n l o k á l i s a n f o g y a z ap o n t b a n .

B i z o n y í t á s . A z e l ® z ® t é t e l m i n t á j á r a t ö r t é n i k a b i z o n y í t á s .




7 . 4 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ D(f ). A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g -

g v é n y n e k a z a p o n t b a n l o k á l i s m i n i m u m a v a n , h a

∃K (a), h o g y

∀x

∈K (a)

∩D(f ) e s e t é n f (x) ≥ f (a).S z i g o r ú l o k á l i s m i n i m u m a k k o r v a n , h a ∀x ∈ K (a) ∩ D(f ), x = a e s e t é n

f (x) > f (a).É r t e l e m s z e r ¶ v á l t o z t a t á s s a l k a p j u k a l o k á l i s m a x i m u m é s a s z i g o r ú l o k á l i s

m a x i m u m f o g a l m á t .

A m i n i m u m é s a m a x i m u m k ö z ö s e l n e v e z é s e a s z é l s ® é r t é k .

7 . 1 9 . T é t e l . H a f ∈ D[a], é s a z f f ü g g v é n y n e k l o k á l i s a n s z é l s ® é r t é k e v a n a z ap o n t b a n , a k k o r f (a) = 0.

B i z o n y í t á s . H a f (a) = 0 l e n n e ( p é l d á u l f (a) > 0 ) , a k k o r f a z a- b a n s z i g o r ú a n

l o k á l i s a n n ö v e k e d n e , í g y n e m l e h e t n e l o k á l i s s z é l s ® é r t é k a- b a n .

7 . 3 . 4 . K ö z é p é r t é k t é t e l e k

7 . 5 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f d i e r e n c i á l h a t ó a z A ⊂ D(f ) h a l m a -

z o n ( j e l e f ∈ D(A)) , h a ∀a ∈ A e s e t é n f ∈ D[a].

7 . 2 0 . T é t e l . ( R o l l e )

H a f ∈ C [a, b], f ∈ D(a, b), é s f (a) = f (b), a k k o r ∃c ∈ (a, b) o l y a n , h o g y

f (c) = 0.

B i z o n y í t á s . H a ∀x ∈ [a, b] e s e t é n f (x) = f (a) = f (b), a z a z f k o n s t a n s f ü g -

g v é n y , a k k o r p é l d á u l a c := a+b2

∈(a, b) p o n t b a n f (c) = 0. ( A c m á s k é n t i s

v á l a s z t h a t ó ! )

H a ∃x0 ∈ (a, b), h o g y f (x0) = f (a), a k k o r a z f ∈ C [a, b] m i a t t a W e i e r s t r a s s -

t é t e l s z e r i n t v a n m i n i m u m a é s v a n m a x i m u m a i s a z f - n e k , é s l e g a l á b b a z e g y i k e t

n e m a z [a, b] i n t e r v a l l u m v é g p o n t j á b a n v e s z i f e l , h a n e m a z i n t e r v a l l u m b e l s e -

j é b e n . L e g y e n e z a p o n t c. E k k o r a s z é l s ® é r t é k s z ü k s é g e s f e l t é t e l e s z e r i n t

f (c) = 0.

7 . 2 1 . T é t e l . ( C a u c h y - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l )

L e g y e n f, g ∈ C [a, b], f , g ∈ D(a, b), é s t e g y ü k f e l , h o g y ∀x ∈ (a, b) e s e t é n

g(x) = 0. E k k o r ∃c ∈ (a, b) o l y a n , h o g y

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

=f (c)

g(c)

.

B i z o n y í t á s . H a g(b) = g(a) l e n n e , a k k o r R o l l e t é t e l e m i a t t g a z (a, b) i n t e r v a l -

l u m v a l a m e l y i k p o n t j á b a n 0 l e n n e , d e e z t k i z á r t u k . Í g y b e s z é l h e t ü n k a z

f (b)−f (a)g(b)−g(a)

h á n y a d o s r ó l .

L e g y e n λ ∈ R, é s t e k i n t s ü k a φ : [a, b] → R, φ(t) := f (t) − λg(t) f ü g g v é n y t .

K ö n n y ¶ e l l e n ® r i z n i , h o g y λ := f (b)−f (a)g(b)−g(a)

e s e t é n φ(a) = φ(b). T o v á b b á φ ∈ C [a, b]




é s φ ∈ D(a, b). Í g y a R o l l e - t é t e l s z e r i n t ∃c ∈ (a, b) o l y a n , h o g y φ(c) = 0. M i v e l

φ(t) := f

(t)

−λg

(t) (t

∈(a, b)) , e z é r t

0 = φ(c) = f (c) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a)g(c),

a m e l y b ® l g(c) = 0 m i a t t

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f (c)

g(c)

k ö v e t k e z i k .

7 . 2 2 . T é t e l . ( L a g r a n g e - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l )

L e g y e n f ∈ C [a, b], f ∈ D(a, b). E k k o r ∃c ∈ (a, b) o l y a n , h o g y

f (b)−

f (a) = f (c)·

(b−

a)

B i z o n y í t á s . A l k a l m a z z u k a C a u c h y - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l t a g(t) := t f ü g g v é n y r e .

7 . 2 3 . T é t e l . ( D a r b o u x - t é t e l )

L e g y e n I n y í l t i n t e r v a l l u m , f ∈ D(I ) . E k k o r ∀[a, b] ⊂ I é s ∀d ∈ Rs z á m r a ,

a m e l y f (a) é s f (b) k ö z é e s i k , ∃c ∈ (a, b) o l y a n , h o g y

f (c) = d.

B i z o n y í t á s . L e g y e n [a, b] ⊂ I . T e g y ü k f e l , h o g y f (a) < f (b) é s d ∈ (f (a), f (b)).T e k i n t s ü k a φ : I → R, φ(t) = f (t) − dt f ü g g v é n y t . N y i l v á n φ ∈ C [a, b], e z é r t

a W e i e r s t r a s s - t é t e l s z e r i n t v a n m i n i m u m a é s v a n m a x i m u m a i s a φ- n e k a z [a, b]

i n t e r v a l l u m o n . M e g m u t a t j u k , h o g y

φ- n e k s e m a z

a- b a n , s e m

b- b e n n i n c s m i n i -

m u m a . U g y a n i s φ(t) = f (t) − d, é s

φ(a) = f (a) − d < 0, e z é r t φ a- b a n s z i g o r ú a n l o k á l i s a n f o g y ó ,

φ(b) = f (b) − d > 0, e z é r t φ b - b e n s z i g o r ú a n l o k á l i s a n n ® .

E z a z t j e l e n t i , h o g y φ- n e k a z [a, b] i n t e r v a l l u m b e l s e j é b e n v a n a m i n i m u m a , a z a z

∃c ∈ (a, b) , h o g y ∀x ∈ [a, b] e s e t é n φ(c) ≤ φ(x). E k k o r a l o k á l i s s z é l s ® é r t é k

s z ü k s é g e s f e l t é t e l e s z e r i n t φ(c) = 0 , a z a z f (c) − d = 0.

7 . 3 . 5 . A g l o b á l i s m o n o t o n i t á s e l é g s é g e s f e l t é t e l e i

7 . 2 4 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f ∈ D(I ) , é s ∀x ∈ I e s e t é n

f (x) > 0. E k k o r

f s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® a z

I i n t e r v a l l u m o n .

B i z o n y í t á s . L e g y e n x1, x2 ∈ I, x1 < x2 . A L a g r a n g e - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t

∃c ∈ (x1, x2) o l y a n , h o g y

f (x2) − f (x1) = f (c) · (x2 − x1).

A z f (c) > 0, x2 − x1 > 0

, e z é r t f (x2) − f (x1) > 0

, a z a z f (x1) < f (x2)

.




7 . 2 5 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ Rn y í l t i n t e r v a l l u m , f ∈ D(I ), é s ∀x ∈ I e s e t é n

f (x) < 0 . E k k o r f s z i g o r ú a n m o n o t o n c s ö k k e n a z I i n t e r v a l l u m o n .

B i z o n y í t á s . H a s o n l ó a z e l ® b b i t é t e l h e z .

7 . 2 6 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f ∈ D(I ), é s ∀x ∈ I e s e t é n

f (x) = 0 . E k k o r ∃c∗ ∈ R o l y a n , h o g y ∀x ∈ I e s e t é n f (x) = c∗ a z a z f k o n s t a n s

a z I i n t e r v a l l u m o n .

B i z o n y í t á s . L e g y e n x1, x2 ∈ I, x1 < x2 . A L a g r a n g e - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t

∃c ∈ (x1, x2) o l y a n , h o g y

f (x2) − f (x1) = f (c) · (x2 − x1) = 0 · (x2 − x1) = 0,

a z a z f (x1) = f (x2).

7 . 1 . M e g j e g y z é s . A t é t e l i n t e r v a l l u m o n d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y r ® l s z ó l . P é l d á u l

a z f : (0, 1) ∪ (2, 3) → R

f (x) :=

1, h a 0 < x < 12, h a 2 < x < 3

f ü g g v é n y r e ∀x ∈ (0, 1)∪(2, 3) e s e t é n f (x) = 0 , d e a f ü g g v é n y m é g s e m k o n s t a n s -

f ü g g v é n y .

7 . 3 . 6 . K o n v e x é s k o n k á v f ü g g v é n y e k

7 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n I ⊂ R i n t e r v a l l u m , f : I → R. A z t m o n d j u k , h o g y f k o n v e x f ü g g v é n y , h a ∀x1, x2 ∈ I é s ∀λ ∈ (0, 1)

e s e t é n f (λx2 + (1 − λ)x1) ≤λf (x2) + (1

−λ)f (x1). A z f k o n k á v f ü g g v é n y , h a a (

−f ) k o n v e x , a z a z a z

e g y e n l ® t l e n s é g b e n ≥ á l l .

7 . 2 7 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f ∈ D(I ). H a f s z i g o r ú a n m o n o -

t o n n ö v e k e d ® a z I i n t e r v a l l u m o n , a k k o r f k o n v e x .

B i z o n y í t á s . T e g y ü k f e l , h o g y f s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® , é s l e g y e n x1, x2 ∈

I, x1 < x2. V e z e s s ü k b e a z

l : R→ R, l(x) := f (x1) +f (x2) − f (x1)

x2 − x1· (x − x1)

é s a z

r(x) : I → R, r(x) := f (x) − l(x)

f ü g g v é n y e k e t . N y i l v á n r∈

D(I ) , r(x1) = f (x1)−

l(x1) = 0 é s r(x2) = f (x2)−l(x2) = 0 , e z é r t a R o l l e - t é t e l s z e r i n t ∃c ∈ (x1, x2) o l y a n , h o g y r(c) = 0. M i v e l

∀t ∈ I e s e t é n

r(t) = f (t) − l(t) = f (t) − f (x2) − f (x1)

x2 − x1,

e z é r t f s z i g o r ú m o n o t o n n ö v e k e d é s é b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y a t ® l e e g y k o n s t a n s b a n

k ü l ö n b ö z ® r

i s s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v e k e d ® . M i v e l r(c) = 0

, e z é r t




∀x ∈ (x1, c) e s e t é n r(c) < 0

∀x ∈ (c, x2) e s e t é n r(c) > 0 .

E z a z t j e l e n t i , h o g y a z r f ü g g v é n y a z (x1, c) i n t e r v a l l u m o n f o g y ó , a (c, x2) i n -

t e r v a l l u m o n p e d i g n ö v e k e d ® . F i g y e l e m b e v é v e , h o g y r(x1) = r(x2) = 0, ∀x ∈(x1, x2) e s e t é n r(x) ≤ 0. E s z e r i n t

∀x ∈ (x1, x2) e s e t é n f (x) − (f (x1) +f (x2) − f (x1)

x2 − x1(x − x1)) ≤ 0.

L e g y e n λ := x−x1

x2−x1∈ (0, 1). E k k o r e g y r é s z t x = λx2 + (1 − λ)x1 , m á s r é s z t

f (λx2 + (1 − λ)x1) ≤ f (x1) + (f (x2) − f (x1)) · λ,

v a g y

f (λx2 + (1 − λ)x1) ≤ λf (x2) + (1 − λ)f (x1).T e h á t a z f k o n v e x a z I i n t e r v a l l u m o n .

7 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n I n y í l t i n t e r v a l l u m , f : I → R. A z t m o n d j u k , h o g y f

k é t s z e r f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó a z I i n t e r v a l l u m o n , h a f ∈ D(I ), é s

f = (f ) ∈ C (I ).J e l e : f ∈ C 2(I ).

7 . 2 8 . T é t e l . L e g y e n f ∈ C 2(I ) é s ∀x ∈ I e s e t é n f (x) > 0 E k k o r f k o n v e x .

B i z o n y í t á s . M i v e l f d e r i v á l t j a p o z i t í v a z I i n t e r v a l l u m o n , e z é r t f s z i g o r ú a n

m o n o t o n n ö v e k e d ® a z I - n . A z e l ® z ® t é t e l s z e r i n t , h a f s z i g o r ú a n m o n o t o n

n ö v e k e d ® , a k k o r f k o n v e x .

7 . 2 9 . T é t e l . H a f ∈ C 2(I ) , é s ∀x ∈ I e s e t é n f (x) < 0 , a k k o r f k o n k á v .

B i z o n y í t á s . A (−f ) f ü g g v é n y r e a l k a l m a z z u k a z e l ® z ® t é t e l t .

7 . 8 . D e n í c i ó . L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ D(f ), é s t e g y ü k f e l , h o g y ∃δ > 0o l y a n , h o g y (a − δ, a + δ) ⊂ D(f ).A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a z a p o n t b a n i n e x i ó j a v a n , h a f |(a−δ,a)k o n v e x é s f |(a,a+δ) k o n k á v , v a g y f |(a−δ,a) k o n k á v é s f |(a,a+δ) k o n v e x .

7 . 3 0 . T é t e l . L e g y e n f ∈ C 2(α, β ). H a a z f f ü g g v é n y n e k i n e x i ó j a v a n a z a ∈(α, β ) p o n t b a n , a k k o r f (a) = 0.

B i z o n y í t á s . I n d i r e k t m ó d o n , t e g y ü k f e l , h o g y f (a)

= 0 , p é l d á u l f (a) > 0.

A k k o r a z f ∈ C [a] m i a t t ∃δ > 0, h o g y ∀x ∈ (a − δ, a + δ) e s e t é n f (x) > 0 ,

a m i b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y f k o n v e x a z (a−δ, a + δ) i n t e r v a l l u m o n , d e a k k o r f - n e k

n i n c s i n e x i ó j a a- b a n . E z e l l e n t m o n d á s , t e h á t f (a) = 0.M e g j e g y e z z ü k , h o g y h a a z f f ü g g v é n y e g y I i n t e r v a l l u m o n e l s ® f o k ú p o l i n o m ,

a z a z ∃A, B ∈ R o l y a n , h o g y ∀x ∈ I e s e t é n f (x) = Ax + B , a k k o r f k o n v e x

é s k o n k á v i s a z I b á r m e l y r é s z i n t e r v a l l u m á n , e z é r t a z I i n t e r v a l l u m m i n d e n

p o n t j á b a n i n e x i ó j a v a n a z f

f ü g g v é n y n e k .




7 . 3 . 7 . T a y l o r - f o r m u l a

L e g y e n f a z a p o n t e g y k ö r n y e z e t é b e n n - s z e r d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y . L e g y e n

T n,a : R→ R, T n,a(x) := f (a)+f (a)·(x−a)+f (a)

2!(x−a)2+. . .+

f (n)(a)

n!(x−a)n

a z f f ü g g v é n y a p o n t h o z t a r t o z ó T a y l o r - p o l i n o m j a . A k ö v e t k e z ® t é t e l s e g í t -

s é g é v e l m e g l e h e t b e c s ü l n i , h o g y a z n - e d f o k ú T a y l o r - p o l i n o m m e n n y i r e j ó l

k ö z e l í t i a f ü g g v é n y t .

7 . 3 1 . T é t e l . L e g y e n f : R ⊃→ R, a ∈ D(f ). T e g y ü k f e l , h o g y ∃K (a) ⊂ D(f ),h o g y f ∈ C n+1(K (a))

. L e g y e n x ∈ K (a)t e t s z ® l e g e s . E k k o r ∃c ∈ K (a)

a z a é s

a z x k ö z ö t t o l y a n , h o g y

f (x) = T n,a(x) +f (n+1)(c)

(n + 1)!

(x

−a)n+1. ( T a y l o r - f o r m u l a )

B i z o n y í t á s . L e g y e n r : K (a) → R, r(t) := f (t) − T n,a(t) , t o v á b b á

p : K (a) → R, p(t) := (t − a)n+1.

L e g y e n x ∈ K (a) t e t s z ® l e g e s . T e g y ü k f e l , h o g y x > a. A l k a l m a z z u k a C a u c h y -

f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l t a z [a, x] i n t e r v a l l u m o n a z r é s p f ü g g v é n y e k r e . M i v e l t ∈(a, x) e s e t é n p(t) = (n + 1)(t − a)n = 0 , a z é r t ∃c1 ∈ (a, x) o l y a n , h o g y

r(x)

(x − a)n+1=

r(x) − r(a)

p(x) − p(a)=

r(c1)

p(c1).

V e g y ü k é s z r e , h o g y

r(t) = f (t)−T n,a(t) = f (t)−(f (a)+f (a)

2! 2(t−a)+. . .+f (n)(a)

n! n(t−a)n−1),

í g y r(a) = 0. N y i l v á n p(t) = (n +1)(t−a)n, í g y p(a) = 0 . E z é r t a C a u c h y - f é l e

k ö z é p é r t é k t é t e l t a l k a l m a z v a a z [a, c1] i n t e r v a l l u m o n a z r é s p f ü g g v é n y e k r e a z t

k a p j u k , h o g y ∃c2 ∈ (a, c1) o l y a n , h o g y

r(c1)

p(c1)=

r(c1) − r(a)

p(c1) − p(a)=

r(c2)

p(c2).

K ö n n y e n e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y b á r m e l y 1 ≤ k ≤ n e s e t é n

r(k)(t) = f (k)(t) − (f (k)(a) +f (k+1)(a)

(k + 1)!(k + 1)k(k − 1) . . . 2(t − a) + . . .

. . . +

f (n)(a)

n! n(n − 1) . . . (n − k + 1)(t − a)n−

k

),

í g y r(k)(a) = 0. N y i l v á n p(k)(t) = (n + 1)n . . . (n + 1 − (k − 1))(t − a)n+1−k,

í g y p(k)(a) = 0 ; d e ∀t ∈ K (a) e s e t é n p(n+1)(t) = (n + 1)! A z e l ® z ® l é p é s t m é g

(n − 1)- s z e r a l k a l m a z v a , a z u t o l s ó e s e t b e n ∃cn+1 ∈ (a, cn) o l y a n , h o g y

r(n)(cn)

p(n)(cn)=

r(n)(cn) − r(n)(a)

p(n)(cn) − p(n)(a)=

r(n+1)(cn+1)

p(n+1)(cn+1)=

f (n+1)(cn+1)

(n + 1)!.




( N y i l v á n T n,a l e g f e l j e b b n - e d f o k ú p o l i n o m , e z é r t T (n+1)n,a m á r a z o n o s a n 0 . ) Ö s s z e -

f o g l a l v a

f (x) − T n,a(x)

(x − a)n+1=

r(x)

p(x)=

r(c1)

p(c1)= . . . =

r(n)(cn)

p(n)(cn)=

f (n+1)(cn+1)

(n + 1)!,

e z é r t a c := cn+1 ∈ (a, x) v á l a s z t á s s a l

f (x) − T n,a(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1.

7 . 3 . 8 . L ' H o s p i t a l - s z a b á l y

7 . 3 2 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f, g ∈ D(I ). L e g y e n a ∈ I é s

limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0. H a ∃ limx→af (x)g(x)

, a k k o r ∃ limx→af (x)g(x)

i s , é s

limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f (x)

g(x).

B i z o n y í t á s . A b b a n a s p e c i á l i s e s e t b e n v é g e z z ü k e l a b i z o n y í t á s t , a m i k o r a ∈I, f (a) = g(a) = 0 é s limx→a

f (x)g(x)

=: L ∈ R. E k k o r ∀ε > 0 s z á m h o z ∃δ > 0,

h o g y ∀x ∈ K δ (a) ⊂ I, x = a e s e t é n

L − ε <f (x)

g(x)< L + ε.

L e g y e n x ∈ K δ(a) t e t s z ® l e g e s , x = a. A C a u c h y - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t

∃c ∈ K δ (a) a z a é s x k ö z ö t t , h o g y

f (x)

g(x)=

f (x) − f (a)

g(x) − g(a)=

f (c)

g(c).

Í g y

L − ε <f (x)

g(x)< L + ε

i s t e l j e s ü l , a m i b ® l k ö v e t k e z i k , h o g y

limx→a

f (x)

g(x) = L.



8 . f e j e z e t

I n t e g r á l h a t ó s á g ,

i n t e g r á l s z á m í t á s

E g y f ü g g v é n y i n t e g r á l h a t ó s á g a a z t j e l e n t i , h o g y a f ü g g v é n y a l a t t i t a r t o m á n y -

n a k v a n t e r ü l e t e . M ó d s z e r t d o l g o z u n k k i a t e r ü l e t m e g h a t á r o z á s á r a . S z á m o s

p r o b l é m á t i l y e n t e r ü l e t s z á m í t á s r a v e z e t ü n k v i s s z a . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r -

g y a l j u k .

• R i e m a n n - i n t e g r á l f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e

• I n t e g r á l á s i s z a b á l y o k

•N e w t o n - L e i b n i z f o r m u l a

• P r i m i t í v f ü g g v é n y

• E l e m i f ü g g v é n y e k p r i m i t í v f ü g g v é n y e i

• A z i n t e g r á l n é h á n y g e o m e t r i a i é s z i k a i a l k a l m a z á s a

• F o u r i e r s o r

• I m p r o p r i u s i n t e g r á l

8 . 1 . I n t e g r á l s z á m í t á s A

8 . 1 . 1 . A R i e m a n n - i n t e g r á l f o g a l m a é s g e o m e t r i a i j e l e n t é s e

I s m e r t , h o g y a z u > 0, v > 0 o l d a l ú t é g l a l a p t e r ü l e t e uv. Á l l a p o d j u n k m e g a b -

b a n , h o g y h a u > 0 é s v < 0 , a k k o r uv a t é g l a l a p e l ® j e l e s t e r ü l e t e l e g y e n . M á r a

m a t e m a t i k a k o r a i k o r s z a k á b a n i s f o g l a l k o z t a k g ö r b e v o n a l ú a l a k z a t o k t e r ü l e t é v e l .

N é z z ü k m e g m i i s , h o g y a

H := (x, y) | x ∈ [0, 1], y ∈ [0, x2]

1 0 9



1 1 0 F E J E Z E T 8 . I N T E G R Á L H A T Ó S Á G , I N T E G R Á L S Z Á M Í T Á S

id2

1/n i/n

(i/n)2

8 . 1 . á b r a .

p a r a b o l a a l a t t i t a r t o m á n y n a k m i l e h e t a t e r ü l e t e .

O s s z u k f e l a [0, 1] i n t e r v a l l u m o t n e g y e n l ® r é s z r e . A z o s z t ó p o n t o k x0 = 0, x1 =1n , x2 = 2

n , . . . , xn = nn . L e g y e n S n := 1

n · ( 1n )2 + 1

n · ( 2n )2 + . . . + 1

n · ( nn )n, a z a z

o l y a n t é g l a l a p o k t e r ü l e t é n e k a z ö s s z e g e , a m e l y e k n e k a z a l a p j a

1n , a m a g a s s á g a

p e d i g a z i d

2f ü g g v é n y o s z t ó p o n t o k b a n v e t t f ü g g v é n y é r t é k e ( 8 . 1 . á b r a ) .

S n e g y l é p c s ® s i d o m t e r ü l e t e . H a n ö v e l j ü k a z n o s z t ó p o n t s z á m o t , a k k o r a

l é p c s ® s i d o m o k e g y r e j o b b a n i l l e s z k e d n e k a H h a l m a z h o z , í g y e l v á r h a t ó , h o g y a z

(S n) s o r o z a t h a t á r é r t é k e é p p e n a H h a l m a z t e r ü l e t e l e g y e n . F e l h a s z n á l v a , h o g y

m i n d e n k ∈ N e s e t é n 12 + 22 + . . . + k2 = k(k+1)(2k+1)6

,

lim S n = lim1

n3(12 + 22 + . . . + n2) = lim

1

n3

n(n + 1)(2n + 1)

6=

= lim2n2 + 3n + 1

6n2= lim

2 + 3n + 1

n2

6=

1

3.

L e g y e n t e h á t a H h a l m a z t e r ü l e t e

13

.

E z t a g o n d o l a t m e n e t e t á l t a l á n o s í t j u k .

L e g y e n f : [a, b] → Rf ü g g v é n y .

L e g y e n

τ := x0, x1, x2, . . . , xi−1, xi, . . . , xn ⊂ [a, b],

a h o l

a = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = b

a z [a, b] i n t e r v a l l u m e g y f e l o s z t á s a .

M i n d e n [xi−1, xi]

i n t e r v a l l u m b a n v e g y ü n k f e l e g y ξi p o n t o t (

i = 1, 2, . . . , n .)



8 . 1 . I N T E G R Á L S Z Á M Í T Á S A 1 1 1

K é s z í t s ü k e l a z f f ü g g v é n y τ f e l o s z t á s h o z t a r t o z ó k ö z e l í t ® ö s s z e g é t :

σ(τ ) := f (ξ1)(x1−x0)+f (ξ2)(x2−x1)+. . .+f (ξn)(xn−xn−1) =n

i=1

f (ξi)(xi−xi−1).

( E z a σ(τ ) f e l e l m e g a b e v e z e t ® p é l d a S n l é p c s ® s i d o m t e r ü l e t é n e k , o t t a ξi p o n -

t o t m i n d i g a z i n t e r v a l l u m j o b b s z é l é n v e t t ü k . )

A k k o r m o n d j u k a f ü g g v é n y t i n t e g r á l h a t ó n a k , h a a σ(τ ) k ö z e l í t ® ö s s z e g e k -

n o m o d ó f e l o s z t á s o k s o r á n t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l k e r ü l n e k e g y s z á m h o z . P o n t o s a b -

b a n :

8 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f : [a, b] → R f ü g g v é n y i n t e g r á l h a t ó a z

[ a , b ] i n t e r v a l l u m o n , h a v a n o l y a n I ∈ R s z á m , h o g y b á r m i l y e n ε > 0 h i b a k o -

r l á t h o z v a n o l y a n δ > 0 , h o g y a z [a, b] i n t e r v a l l u m m i n d e n o l y a n τ f e l o s z t á s á r a ,

a m e l y b e n

maxxi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n < δ

é s a τ f e l o s z t á s h o z t a r t o z ó [xi−1, xi] i n t e r v a l l u m o k b a n v e t t t e t s z ® l e g e s ξi ∈ [xi−1, xi]p o n t o k e s e t é n a σ(τ ) =

ni=1 f (ξi)(xi − xi−1) k ö z e l í t ® ö s s z e g r e

|σ(τ ) − I | < ε.

H a f i n t e g r á l h a t ó a z [a, b] i n t e r v a l l u m o n , a k k o r e z t f ∈ R[a, b] j e l ö l j e ( R i e m a n n

t i s z t e l e t é r e , a k i a z i n t e g r á l t i l y e n m ó d o n b e v e z e t t e ) , é s l e g y e n b

a

f := I.

( i n t e g r á l a- t ó l b- i g ) . T o v á b b á e k k o r a z t m o n d j u k , h o g y a

H := (x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)], h a f (x) ≥ 0, v a g y y ∈ [f (x), 0], h a f (x) < 0, h a l m a z n a k ( g ö r b e a l a t t i t a r t o m á n y ) v a n e l ® j e l e s t e r ü l e t e , é s e z a t e r ü l e t a z

I ∈ R s z á m .

R ö v i d e n ú g y s z o k t a k h i v a t k o z n i e r r e a f o g a l o m r a , h o g y b e v e z e t v e a ∆xi :=

xi − xi−1 j e l ö l é s t ,

lim∆xi→0

f (ξi)∆xi = I

v a g y

lim∆x→0

f (ξ)∆x =

b

a

f (x)dx.

( É r d e m e s n y o m o n k ö v e t n i a s z i m b ó l u m o k m e t a m o r f ó z i s á t ! )

K ö n n y ¶ l á t n i , h o g y h a f : [a, b] → R, f (x) = c e g y k o n s t a n s f ü g g v é n y , a k k o r

lim∆xi→0

f (ξi)∆xi = lim

∆xi→0

ni=1

c(xi − xi−1) = c(b − a),

a m i n t e z t a s z e m l é l e t a l a p j á n i s v á r t u k , t e h á t f ∈ R[a, b]

é s

ba

f = c(b − a).




f

a b c

8 . 2 . á b r a .

8 . 1 . 2 . A R i e m a n n - i n t e g r á l é s a m ¶ v e l e t e k k a p c s o l a t a

B e l á t h a t ó , h o g y h a f ∈ C [a, b], a k k o r f ∈ R[a, b]. A s z e m l é l e t b ® l i s k ö v e t k e z i k ,

h o g y h a f ∈ R[a, b] é s f ∈ R[b, c], a k k o r f ∈ R[a, c], s ® t b

a

f +

c

b

f =

c

a

f ( 8 . 2 . á b r a ) .

M á r n e m o l y a n n y i l v á n v a l ó , d e i g a z o l h a t ó , h o g y

8 . 1 . T é t e l . H a f ∈ R[a, b] é s λ ∈ R, a k k o r λf ∈ R[a, b], é s b

a

λf = λ

b

a

f.

8 . 2 . T é t e l . H a f, g ∈ R[a, b], a k k o r f + g ∈ R[a, b], é s b

a

(f + g) =

b

a

f +

b

a

g.

8 . 3 . T é t e l . H a f, g ∈ R[a, b], é s f (x) ≥ g(x) m i n d e n x ∈ [a, b] e s e t é n , a k k o r

b

a

f

≥ b

a

g.

A z u t ó b b i t é t e l f o n t o s k ö v e t k e z m é n y e , h o g y h a f ∈ R[a, b], a k k o r |f | ∈ R[a, b],

é s

−|f | ≤ f ≤ |f |m i a t t

− b

a

|f | ≤ b

a

f ≤ b

a

|f |




f

a c b

8 . 3 . á b r a .

k ö v e t k e z i k , í g y b

a

f

≤ b

a

|f |.

8 . 1 . 3 . N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a

S z e m l é l e t e s e n j ó l l á t h a t ó , h o g y

8 . 4 . T é t e l . H a

f ∈ C [a, b], a k k o r v a n o l y a n

c ∈ [a, b], h o g y b

a

f = f (c) · (b − a) ( 8 . 3 . á b r a ) .

A z

ba f

b−a s z á m o t a z f i n t e g r á l k ö z e p é n e k n e v e z i k . E z a v é g e s s o k s z á m á t l a g á -

n a k a z e g y i k á l t a l á n o s í t á s a . ( A t é t e l s z e r i n t a z i n t e g r á l k ö z é p e g y f ü g g v é n y é r t é k . )

A z e d d i g i á l l í t á s o k v a l ó b a n s z e m l é l e t e s e k , d e a z i n t e g r á l k i s z á m í t á s á n a k k é n y e l m e s

m ó d s z e r é v e l m é g a d ó s a k v a g y u n k .

A z e g y s z e r ¶ s é g k e d v é é r t l e g y e n f ∈ C [a, b]. V e z e s s ü k b e a T : [a, b] → R, T (x) := x

af t e r ü l e t f ü g g v é n y t ( 8 . 4 . á b r a ) .

L e g y e n α∈

(a, b) e g y t e t s z ® l e g e s p o n t , é s v i z s g á l j u k m e g a z x∈

(a, b), x= α

e s e t é n a

T (x) − T (α)

x − α

k ü l ö n b s é g i h á n y a d o s t .

T (x) − T (α)

x − α=

xa

f − αx

f

x − α=

1

x − α

x

α

f =1

x − αf (c)(x − α) = f (c),




f

T(x)

a x b

8 . 4 . á b r a .

a h o l c ∈ [α, x] ( 8 . 5 . á b r a ) . E b b ® l k i h a s z n á l v a , h o g y f ∈ C [α] i s ,

limx→α

T (x) − T (α)

x − α= lim

x→αf (c) = f (α),

m á s r é s z t

limx→α

T (x) − T (α)

x − α= T (α).

T e h á t a T t e r ü l e t f ü g g v é n y o l y a n , h o g y a d e r i v á l t j a a z f . M i v e l T (a) = 0 é s

T (b) = b

af , e z é r t b

a

f = T (b) − T (a).

E l j u t o t t u n k ( m e g l e h e t ® s e n h e u r i s z t i k u s ú t o n ) e g y n e v e z e t e s e r e d m é n y h e z .

8 . 5 . T é t e l . ( N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a )

H a f ∈ C [a, b], é s T o l y a n f ü g g v é n y , h o g y T = f , a k k o r

b

a

f = T (b) − T (a).

P é l d á u l h a f : [0, 1] → R, f (x) = x2, a k k o r i l y e n T f ü g g v é n y n e k a l k a l m a s a

T : [0, 1] → R, T (x) := x3

3 ( h i s z e n ( x3

3 ) = x2) , í g y

10

f = T (1) − T (0) =13

3− 03

3=

1

3,

a m i ö s s z h a n g b a n v a n a b e v e z e t ® p é l d á b a n k a p o t t e r e d m é n n y e l .




f

T(α)

a α c x b

8 . 5 . á b r a .

8 . 1 . 4 . P r i m i t í v f ü g g v é n y

A p r i m i t í v f ü g g v é n y b i z o n y o s é r t e l e m b e n a d e r i v á l á s i n v e r z e .

8 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m é s f : I → R . A z F : I → R

d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y p r i m i t í v f ü g g v é n y e a z f - n e k , h a F = f.

H a F é s G p r i m i t í v f ü g g v é n y e f - n e k , a k k o r F = f é s G = f , í g y (F − G) = 0 ,

d e e g y i n t e r v a l l u m o n a f ü g g v é n y d e r i v á l t j a c s a k a k k o r 0 , h a a f ü g g v é n y k o n s t a n s .

T e h á t l é t e z i k o l y a n c ∈ R , h o g y F −G = c , a z a z e g y f ü g g v é n y p r i m i t í v f ü g g v é n y e i

l e g f e l j e b b k o n s t a n s b a n k ü l ö n b ö z n e k e g y m á s t ó l ( a T t e r ü l e t f ü g g v é n y i s c s a k e g y

k o n s t a n s b a n k ü l ö n b ö z h e t b á r m e l y m á s p r i m i t í v f ü g g v é n y t ® l ) .

V é g t e l e n ü l l e e g y s z e r ¶ s ö d ö t t a z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a , h i s z e n c s u p á n a z f e g y

p r i m i t í v f ü g g v é n y é t k e l l m e g k e r e s n i . H a e z F , a k k o r a h a g y o m á n y o s í r á s m ó d

s z e r i n t b

a

f (x)dx = [F (x)]ba,

a h o l [F (x)]ba := F (b) − F (a).

P é l d á u l a

π0

sin xdx k i s z á m í t á s á h o z a z F (x) := − cos x a l k a l m a s p r i m i t í v f ü g -

g v é n y ( (− cos x) = sin x) , í g y π

0

sin xdx = [− cos x]π0 = 1 − (−1) = 2.

Á l l a p o d j u n k m e g a b b a n , h o g y a z f e g y p r i m i t í v f ü g g v é n y é t F h e l y e t t

f , i l -

l e t v e F (x) h e l y e t t

f (x)dx j e l ö l j e . A p r i m i t í v f ü g g v é n y k e r e s é s e a d e r i v á l á s

i n v e r z e . N é h á n y e g y s z e r ¶ m ó d s z e r p r i m i t í v f ü g g v é n y k e r e s é s é r e ( d e r i v á l á s s a l

e l l e n ® r i z h e t ® ! ) :




λf = λ f, (f + g) = f + g, f g = f g − f g ( p a r c i á l i s i n t e g r á l á s e l v e ) φα · φ = φα+1

α+1, h a α = −1

φ

φ = ln φ, h a φ(x) > 0 (x ∈ I )

H a

f (x)dx = F (x)

, a k k o r

f (ax + b) = 1

a F (ax + b).

(

f ) φ =

(f φ · φ) ( h e l y e t t e s í t é s e s i n t e g r á l )

A d e r i v á l á s i s z a b á l y o k m e g f o r d í t á s á b ó l k a p j u k a z a l á b b i i n t e g r á l t á b l á z a t o t .

xαdx = xα+1

α+1(α = −1)

1x dx = ln x, h a x > 0, é s

1x dx = ln(−x) , h a x < 0

exdx = ex,

axdx = ax

ln a sin xdx = − cos x,

cos xdx = sin x

1cos2 x = tgx,

1

sin2 x= −ctgx

shxdx = chx,

chxdx = shx

11+x2 dx = arctgx,

1√

1−x2 dx = arcsinx, x ∈ (−1, 1)

1√

x2+1dx = arshx,

1√

x2−1dx = archx, x ∈ (1, +∞)

8 . 1 . 5 . A z i n t e g r á l a l k a l m a z á s a i

1 . H a f, g ∈ R[a, b], é s m i n d e n x ∈ [a, b] e s e t é n f (x) ≥ g(x) , a k k o r a

H := (x, y) | x ∈ [a, b] é s g(x) ≤ y ≤ f (x)

h a l m a z t e r ü l e t é t a

T =

b

a

f − b

a

g =

b

a

(f − g)

=

b

a

f (x) − g(x)dx

k é p l e t t e l s z á m í t j u k k i ( 8 . 6 . á b r a ) . ( A z f é s g n e m f e l t é t l e n ü l n e m n e g a t í v

f ü g g v é n y e k ! )

2 . A g e o m e t r i á b ó l t u d j u k , h o g y a,b,m é l ¶ t é g l a t é r f o g a t a V = ab ·m. E z t á l -

t a l á n o s í t v a , e g y T a l a p t e r ü l e t ¶ é s m m a g a s s á g ú h a s á b t é r f o g a t a V = T ·m.

M o s t v e g y ü n k e g y H t é r b e l i a l a k z a t o t ( p l . e g y k r u m p l i t ) . A k o o r d i n á t a -

r e n d s z e r x t e n g e l y é r e m e r ® l e g e s e n k é s z í t s ü k e l a H ö s s z e s s í k m e t s z e t é t .

( A k r u m p l i n á l e g y r a j t a á t s z ú r t k ö t ® t ¶ j á t s z h a t j a a z x

t e n g e l y s z e r e p é t .




f

g

T

a b

8 . 6 . á b r a .

E r r e m e r ® l e g e s e n s z e l e t e l ü n k . ) T e g y ü k f e l , h o g y a z x- n é l k e l e t k e z e t t S (x)s í k m e t s z e t n e k v a n t e r ü l e t e , é s a z a f ü g g v é n y , a m e l y

S : [a, b] → R, x → S (x),

f o l y t o n o s a z [a, b] i n t e r v a l l u m o n ( h a x é s x k ö z e l v a n , a k k o r S (x) é s

S (x) i s k ö z e l i e k ) ( 8 . 7 . á b r a ) .

O s s z u k f e l a z [a, b] i n t e r v a l l u m o t :

τ : a = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = b,

é s v e g y ü n k f e l t e t s z ® l e g e s e n ξi ∈ [xi−1, xi] p o n t o k a t ( i = 1, 2, . . . , n) ( 8 . 8 .

á b r a ) .

ab

m

T

m

x

y

z

a bS(x)

8 . 7 . á b r a .




• • •x

y

z

xi−1

xi

ξi

8 . 8 . á b r a .

A z S (ξi)(xi−xi−1) e g y o l y a n h a s á b n a k a t é r f o g a t a , a m e l y n e k a l a p t e r ü l e t e

S (ξi) , a m a g a s s á g a p e d i g (xi−xi−1). E z e k e t ö s s z e g e z v e e g y k ö z e l í t ® ö s s z e g e t

k a p u n k :

ni=1

S (ξi)(xi − xi−1).

F i n o m í t v a a z [a, b] i n t e r v a l l u m f e l o s z t á s á t , a k ö z e l í t ® ö s s z e g e k n e k l e s z h a t á r é r t é k e

( S ∈ C [a, b], e z é r t S ∈ R[a, b]) , e z l e s z a t e s t t é r f o g a t a :

V = limxi−xi−1→0

S (ξi)(xi − xi−1) =

b

a

S (x)dx.

K ü l ö n ö s e n e g y s z e r ¶ v é v á l i k a t é r f o g a t k i s z á m í t á s a , h a e g y f : [a, b] →R, f ∈ C [a, b], f (x) ≥ 0 (x ∈ [a, b]) f ü g g v é n y x t e n g e l y k ö r ü l i m e g -

f o r g a t á s á v a l s z á r m a z t a t o t t a H f o r g á s t e s t ( 8 . 9 . á b r a ) . E k k o r a z S (x)s í k m e t s z e t t e r ü l e t e e g y k ö r t e r ü l e t e :

S (x) = πf 2(x),

í g y

V =

b

a

πf 2(x)dx.

K ö n n y e n l á t h a t ó a C a v a l i e r i - e l v i s , a m e l y s z e r i n t h a k é t t e s t n e k e g y

s í k k a l p á r h u z a m o s ö s s z e s s í k m e t s z e t e p á r o n k é n t e g y e n l ® ( m i n d e n x- r e S 1(x) =S 2(x)) , a h o l a z x t e n g e l y a s í k r a m e r ® l e g e s e g y e n e s ) , é s a z í g y n y e r t S 1é s

S 2 f ü g g v é n y e k f o l y t o n o s a k , a k k o r a k é t t e s t t é r f o g a t a i s e g y e n l ® , h i s z e n




• •

x

y

z

a b

f

8 . 9 . á b r a .

S 1 = S 2 m i a t t b

a

S 1(x)dx =

b

a

S 2(x)dx.

3 . L e g y e n f : [a, b] → R f o l y t o n o s a n d e r i v á l h a t ó f ü g g v é n y . A

H := (x, f (x) | x ∈ [a, b])h a l m a z t a z

f g r a k o n j á n a k i s s z o k t á k n e v e z n i . S z e r e t n é n k e n n e k a z

í v h o s s z á t i s k i s z á m í t a n i . I s m é t o s s z u k f e l a z [a, b] i n t e r v a l l u m o t :

τ : a = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = b.

A z (xi−1, f (xi−1)) é s a z (xi, f (xi)) p o n t o t ö s s z e k ö t ® s z a k a s z h o s s z a ( 8 . 1 0 .

á b r a )

li :=

(xi − xi−1)2 + (f (xi) − f (xi−1))2 = (xi−xi−1)

1 +

f (xi) − f (xi−1)

xi − xi−1

2.

A L a g r a n g e - k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t v a n o l y a n ξi ∈ (xi−1, xi) , a m e l y r e

f (xi)−

f (xi−1) = f (ξi)

·(xi

−xi−1) , e z é r t

li = (xi − xi−1)

1 + [f (ξi)]2.

L á t h a t ó , h o g y a z f g r a k o n j á h o z k ö z e l e s ® t ö r ö t t v o n a l h o s s z a

ni=1

li =

ni=1

1 + [f (ξi)]2(xi − xi−1),




f

li

(xi,f(x

i))

(xi−1

,f(xi−1

))

a xi−1

xi b

8 . 1 0 . á b r a .

a m e l y a φ : [a, b] → R, φ(x) :=

1 + [f (x)]2 f ü g g v é n y n e k e g y i n t e -

g r á l k ö z e l í t ® ö s s z e g e . T e h á t a z f g r a k o n j á n a k í v h o s s z a

I (f ) = limxi−xi−1→0

1 + [f (ξi)]2(xi − xi−1) =

b

a

1 + [f (x)]2dx.

4 . H a f : [a, b] → R, f (x) ≥ 0 (x ∈ [a, b]) f o l y t o n o s a n d e r i v á l h a t ó f ü g -

g v é n y , a k k o r a z f g r a k o n j á n a k x t e n g e l y k ö r ü l i m e g f o r g a t á s á v a l k e l e t k e z ®

f o r g á s t e s t p a l á s t j á n a k f e l s z í n e h a s o n l ó m e g g o n d o l á s s a l a d ó d i k :

P (f ) =

b

a

2πf (x)

1 + [f (x)]2dx.

5 . I s m e r t , h o g y e g y t ö m e g p o n t r e n d s z e r t ö m e g k ö z é p p o n t j á h o z v e z e t ® v e k t o r t

a z

rs =m1r1 + m2r2 + . . . + mnrn

m1 + m2 + . . . + mn

a d j a , a h o l mi a z i - e d i k t ö m e g p o n t t ö m e g e , ri p e d i g e g y r ö g z í t e t t p o n t b ó l a

t ö m e g p o n t h o z v e z e t ® h e l y v e k t o r ( 8 . 1 1 . á b r a ) . L e g y e n f ∈ R[a, b], f (x) ≥0, x ∈ [a, b], é s

H := (x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]e g y h o m o g é n , ρ s ¶ r ¶ s é g ¶ l e m e z ( 8 . 1 2 . á b r a ) .

A l e m e z t ö m e g k ö z é p p o n t j á n a k m e g h a t á r o z á s á h o z o s s z u k f e l a z [a, b] i n -

t e r v a l l u m o t .

τ : a = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = b.




•

•

•

• •

•

m1 m

2

mn

r1

r2

rn

0 •

8 . 1 1 . á b r a .

f

H

xi−1 xiξi

f(ξi)

8 . 1 2 . á b r a .




A ξi :=xi−1+xi

2 (i = 1, 2, . . . , n) p o n t o k a t v á l a s z t v a a z [xi−1, xi]× [0, f (ξi)]t é g l a l a p t ö m e g k ö z é p p o n j á h o z v e z e t ® h e l y v e k t o r

ri

ξi,

f (ξi)

2

,

é s a t é g l a l a p o t h e l y e t t e s í t ® t ö m e g p o n t t ö m e g e

mi = ρf (ξi)(xi − xi−1).

A t ö m e g k ö z é p p o n t e l s ® k o o r d i n á t á j á n a k k ö z e l í t ® é r t é k e

m1ξ1 + m2ξ2 + . . . + mnξn

m1 + m2 + . . . + mn=

ni=1 ρf (ξi) · ξi(xi − xi−1)

ni=1 ρf (ξi)(xi − xi−1)

,

a m á s o d i k k o o r d i n á t a k ö z e l í t ® é r t é k e p e d i g

m1f (ξ1)

2+ m2

f (ξ2)2

+ . . . + mnf (ξn)

2

m1 + m2 + . . . + mn=

12

ni=1 ρf 2(ξi)(xi − xi−1)n

i=1 ρf (ξi)(xi − xi−1).

L á t h a t ó , h o g y m i n d k é t k i f e j e z é s i n t e g r á l k ö z e l í t ® ö s s z e g e k e t t a r t a l m a z , e z é r t

n e m m e g l e p ® , h o g y a l e m e z t ö m e g k ö z é p p o n t j á h o z v e z e t ® rs = (xs, ys)v e k t o r a k ö v e t k e z ® l e s z :

xs =

ba

xf (x)dx ba

f (x)dx; ys =

12

ba

f 2(x)dx ba

f (x)dx.

6 . A z O p o n t k ö r ü l f o r g ó m t ö m e g ¶ t ö m e g p o n t t e h e t e t l e n s é g i n y o m a t é k a

Θ = ml2 , a h o l l a t ö m e g p o n t O - t ó l m é r t t á v o l s á g a ( 8 . 1 3 . á b r a ) .

H a e g y L h o s s z ú s á g ú é s M t ö m e g ¶ r ú d a r ú d e g y i k v é g é h e z r ö g z í t e t t ,

r á m e r ® l e g e s t e n g e l y k ö r ü l f o r o g , a k k o r a r ú d n a k a t e n g e l y r e v o n a t k o z ó

t e h e t e t l e n s é g i n y o m a t é k á t k i t u d j u k s z á m í t a n i . O s s z u k f e l a [0, L] i n t e r -

v a l l u m o t :

τ : 0 = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = L.

A z [xi−1, xi] r ú d d a r a b t ö m e g e

M

L· (xi − xi−1),

a f o r g á s t e n g e l y t ® l m é r t t á v o l s á g á n a k a

ξi := xi

i s v á l a s z t h a t ó , í g y e n n e k a d a r a b n a k a t e h e t e t l e n s é g i n y o m a t é k a

M

L· (xi − xi−1)ξ2

i .




M

L0

0

l

m

•

•

8 . 1 3 . á b r a .

A z e g y e s r é s z e k t e h e t e t l e n s é g i n y o m a t é k a i n a k ö s s z e g e a z e g é s z r ú d t e h e t e t l e n -

s é g i n y o m a t é k á n a k k ö z e l í t ® é r t é k e

ni=1

M

Lξ2

i (xi − xi−1).

L á t h a t ó , h o g y e z a l a p j á n a r ú d t e h e t e t l e n s é g i n y o m a t é k a

Θ = limxi−xi−1→0

ni=1

M L

ξ2i (xi − xi−1) =

L

0

M L

x2dx,

a m e l y a N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a s z e r i n t

L

0

M

Lx2dx =

M

L

x3

3

L

0

=M

L

L3

3=

1

3ML2,

t e h á t Θ = 13

M L2.

E z a n é h á n y g o n d o l a t m e n e t b e m u t a t t a , h o g y s z e r t e á g a z ó p r o b l é m á k h o g y a n

v e z e t h e t ® k v i s s z a i n t e g r á l r a .

M é g e g y j e l e n t ® s a l k a l m a z á s t v á z o l u n k .

8 . 1 . 6 . F o u r i e r - s o r

L e g y e n f : R→ R 2π s z e r i n t p e r i o d i k u s f ü g g v é n y . ( H a p > 0 s z e r i n t p e r i o d i k u s

a z f f ü g g v é n y , a k k o r e g y e g y s z e r ¶ t r a n s z f o r m á c i ó v a l ( x := 2π p t) 2π s z e r i n t p e -

r i o d i k u s f ü g g v é n n y é l e h e t a l a k í t a n i . ) A z f

f ü g g v é n y t s z e r e t n é n k a j ó l i s m e r t




cos ni d ( n = 0, 1, 2, . . .) é s sin ni d ( n = 0, 1, 2, . . .) f ü g g v é n y e k ö s s z e g e k é n t

e l ® á l l í t a n i , a z a z m e g a d n i o l y a n a0

, a1

, a2

, . . . , an

, . . . é s b1

, b2

, . . . , bn

, . . . s z á m -

s o r o z a t o t , a m e l y r e m i n d e n x ∈ R e s e t é n

f (x) =a0

2+a1 cos x+b1 sin x+a2 cos2x+b2 sin2x+. . .+an cos nx+bn sin nx+. . .

( 8 . 1 )

N e m n y i l v á n v a l ó , h o g y m i l y e n f f ü g g v é n y e s e t é n l e h e t s é g e s e z , é s h a e l i s j u t u n k

e g y (an) é s (bn) s o r o z a t h o z , a k k o r a j o b b o l d a l i ö s s z e g v a l ó b a n v i s s z a a d j a - e a z f f ü g g v é n y t . M o s t c s a k f o r m á l i s a n o k o s k o d v a i n d u l j u n k k i a b b ó l , h o g y f ∈ C (R) ,

é s e l ® á l l m i n d e n x ∈ R e s e t é n

a0

2+

∞n=1

an cos nx + bn sin nx

v é g t e l e n s o r ö s s z e g e k é n t .

1 . I n t e g r á l j u k a z ( 8 . 1 ) e g y e n l ® s é g e t ( −π ) - t ® l π - i g , f e l t é v e , h o g y a z ö s s z e g

t a g o n k é n t i n t e g r á l h a t ó :

π

−π

f (x)dx =

π

−π

a0

2dx +

∞n=1

an

π

−π

cos nxdx + bn

π

−π

sin nxdx.

A z π

−π

a0

2dx =

a0

22π,

π

−π

cos nxdx =

sin nx

n

π

−π

= 0,

π

−π

sin nxdx =

− cos nx

n

π

−π

= 0,

e z é r t

a0 =1

π

π

−π

f (x)dx.

2 . L e g y e n k ∈ N e g y r ö g z í t e t t i n d e x . S z o r o z z u k m e g a z ( 8 . 1 ) e g y e n l ® s é g e t

( cos kx ) - s z e l , é s i n t e g r á l j u k ( −π ) - t ® l π - i g : π

−π

f (x)cos kxdx =a0

2

π

−π

cos kxdx +

∞n=1

an

π

−π

cos nx cos kxdx + bn

π

−π

sin nx cos kxdx.

T r i g o n o m e t r i k u s f o r m u l á k s z e r i n t n = k e s e t é n π

−π

cos nx cos kxdx =

π

−π

1

2(cos(n + k)x + cos(n − k)x)dx =

=1

2

sin(n + k)x

n + k

π

−π

+

sin(n − k)x

n − k

π

−π

= 0,




a z n = k e s e t é n p e d i g π

−π

cos2 kxdx =

π

−π

1 + cos 2kx2

dx =

12

x + sin2kx4k

π

−π

= π.

H a s o n l ó s z á m o l á s s a l π

−π

sin nx cos kxdx = 0.

T e h á t a v é g t e l e n s o r t a g j a i e g y e t l e n k i v é t e l l e l n u l l á k , í g y

ak =1

π

π

−π

f (x)cos kxdx.

H a a z ( 8 . 1 ) e g y e n l ® s é g e t ( sin kx ) - s z e l s z o r o z z u k v é g i g , é s i n t e g r á l u n k ( −π ) -

t ® l

π- i g , a k k o r u g y a n i l y e n s z á m o l á s s a l a d ó d i k , h o g y

bk =1

π

π

−π

f (x)sin kxdx.

3 . A z f f o l y t o n o s f ü g g v é n y e s e t é n n y e r t

a0 =1

π

π

−π

f (x)dx, ak =1

π

π

−π

f (x)cos kxdx, bk =1

π

π

−π

f (x)sin kxdx,

k = 1, 2, . . . s z á m o k a t a z f F o u r i e r - e g y ü t t h a t ó i n a k n e v e z z ü k . I g a z o l -

h a t ó , h o g y ( n a g y o n k i v é t e l e s , a g y a k o r l a t b a n e l k é p z e l h e t e t l e n f ü g g v é n y e k -

t ® l e l t e k i n t v e ) f e l ® i s á l l a z e z e k k e l a z e g y ü t t h a t ó k k a l k é p e z e t t F o u r i e r -

s o r ö s s z e g e k é n t :

f (x) =a0

2+

∞k=1

ak cos kx + bk sin kx (x ∈ R).

E z a m ó d s z e r r e z g é s e k , h u l l á m o k v i z s g á l a t á b a n g y a k r a n h a s z n á l h a t ó .

8 . 1 . 7 . A z i m p r o p r i u s i n t e g r á l

E d d i g c s a k [a, b]

z á r t , k o r l á t o s i n t e r v a l l u m o n v i z s g á l t u k é s s z á m o l t u k a z i n t e -

g r á l h a t ó s á g o t é s a z i n t e g r á l t . K i t e r j e s z t j ü k f o g a l m a i n k a t .

8 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n f : [a, +∞) → Ro l y a n f ü g g v é n y , a m e l y r e ∀ω ∈ R, ω >

a e s e t é n f ∈ R[a, ω]. A z t m o n d j u k , h o g y f i m p r o p r i u s i n t e g r á l j a k o n v e r -

g e n s a z [a, +∞

) i n t e r v a l l u m o n , h a

∃ limω→∞

ω

a

f ∈ R

h a t á r é r t é k . E z t f ∈ R[a, +∞) j e l ö l j e . H a f ∈ R[a, +∞) , a k k o r +∞a

f := limω→∞

ω

a

f.



8 . 2 . F E L A D A T O K 1 2 7

8 . 2 . F e l a d a t o k

1 . E l l e n ® r i z z ü k a p r i m i t í v f ü g g v é n y k e r e s é s i e l j á r á s o k a t !

M e g o l d á s : H a α = −1 , a k k o r

a ) ( φα+1

α+1) = 1

α+1· (α + 1)φα · φ, e z é r t

φα · φ = φα+1

α+1.

b ) (f ·g− f ·g) = f ·g+f ·g−f ·g = f ·g , e z é r t

f ·g = f ·g− f ·g

( p a r c i á l i s i n t e g r á l á s e l v e )

c ) (

f φ·φ) = f φ·φ, m á s r é s z t ((

f )φ) = f φ·φ. M i v e l m i n d k é t

f ü g g v é n y d e r i v á l t j a e g y i n t e r v a l l u m o n m e g e g y e z i k , e z é r t a f ü g g v é n y e k

l e g f e l j e b b e g y k o n s t a n s b a n t é r h e t n e k e l , í g y (

f ) φ =

(f φ · φ)( h e l y e t t e s í t é s e s i n t e g r á l )

2 . K e r e s s ü k m e g : sin3 x cos xdx =?

tgx cos5 xdx =?

2x+3

(x2+3)4 dx =?

x

1+x2 dx =?

tgxdx =?

2x+3x2+3x+10

dx =?

cos(5x − 1)dx =?

1

x2+2dx =?

1

x2+3x+10dx =?

3 . P a r c i á l i s i n t e g r á l á s s a l k e r e s s ü k m e g xe2xdx =?

x2e2xdx =?

e2x sin3xdx =?

eax cos bxdx =?

ln xdx =?

√

1 − x2dx =?

M e g o l d á s : 1 − x2dx =

1 ·

1 − x2dx = x

1 − x2 −

x−x√

1 − x2dx =

= x

1 − x2 −

1 − x2 − 1√1 − x2

dx = x

1 − x2 −

1 − x2 − 1√1 − x2

dx =

= x

1 − x2 −

1 − x2dx + arcsinx.

E b b ® l 2 √

1 − x2dx = x√

1 − x2 + arcsinx, í g y

1 −x2dx =

1

2

(x 1 −x2 + arcsinx).

4 . A z f : [0, r] → R, f (x) :=√

r2 − x2f ü g g v é n y g r a k o n j a e g y o r i g ó k ö z é p -

p o n t ú r s u g a r ú n e g y e d k ö r . S z á m o l j u k k i a k ö r t e r ü l e t é t , k e r ü l e t é t , a z rs u g a r ú g ö m b t é r f o g a t á t , f e l s z í n é t .

5 . L e g y e n a > 0 . S z á m o l j a k i a ch|[0,a] f ü g g v é n y g ö r b e a l a t t i t e r ü l e t é t é s

í v h o s s z á t .




f

−π π 3π

8 . 1 4 . á b r a .

6 . H o l v a n a s ú l y p o n t j a a z r s u g a r ú h o m o g é n f é l k ö r l a p n a k ?

7 . L e g y e n f : R → R, f (x) := x2, h a x ∈ [−π, π], é s m i n d e n x ∈ R e s e t é n

f (x + 2π) = f (x − 2π) =: f (x) ( 8 . 1 4 . á b r a ) .

a ) Á l l í t s a e l ® a z f F o u r i e r - e g y ü t t h a t ó i t !

b ) Í r j a f e l f F o u r i e r - s o r á t !

c ) M i t a d e z a F o u r i e r - s o r x := 0, x := π e s e t é n ?

8 . S z á m o l j u k k i a z

∞1

1

xαdx =? (α > 1)

∞0

e−atdt =? (a > 0)

i m p r o p r i u s i n t e g r á l o k a t !

9 . A g a m m a - f ü g g v é n y .

L e g y e n Γ : [ 0, ∞) → R, Γ(α) :=

∞0

tαe−tdt. M u t a s s u k m e g , h o g y

Γ(0) = 1 Γ(1) = 1, é s b á r m e l y α > 0 e s e t é n Γ(α + 1) = (α + 1)Γ(α).M e g o l d á s : Γ(0) =

∞0 e−tdt = [e−t]∞0 = 1 ( I t t r ö v i d í t e t t ü n k : limω→∞[e−t]ω0

h e l y e t t [e−t]∞0 á l l . )

Γ(α + 1) =

∞0

tα+1e−tdt = [−e−ttα+1]∞0 − ∞0

−e−t(α + 1)tαdt =

= 0 + (α + 1)

∞0

tαe−tdt = (α + 1)Γ(α).



8 . 3 . I N T E G R Á L S Z Á M Í T Á S E 1 2 9

E z é r t

Γ(1) = (0 + 1)Γ(0) = 1

Γ(2) = (1 + 1)Γ(1) = 2 · 1 = 2!Γ(3) = (2 + 1)Γ(2) = 3 · 2! = 3!.

.

.

Γ(n) = n! (n ∈ N)

K i s z á m í t h a t ó k ö z e l í t ® l e g a Γ(α), α /∈ N e s e t é n i s .

1 0 . S z á m o l j a k i a sin2|[0,2π] i n t e g r á l k ö z e p é t !

M e g o l d á s :

1

2π

2π

0

sin2 xdx =1

2π

2π

0

1 − cos2x

2dx =

1

2π

1

2x − sin2x

4

2π

0

=1

2π

1

22π =

1

2.

A sin2|[0,2π] i n t e g r á l k ö z e p e

12 .

8 . 3 . I n t e g r á l s z á m í t á s E

8 . 3 . 1 . A z i n t e g r á l f o g a l m a

A z i n t e g r á l h a t ó s á g f o g a l m á n a k k i é p í t é s é b e n D a r b o u x g o n d o l a t m e n e t é t h a s z n á l j u k .

L e g y e n f : [a, b] → Rk o r l á t o s f ü g g v é n y . L e g y e n τ = x0, . . . , xn ⊂ [a, b] v é g e s

h a l m a z , m e l y n e k e l e m e i r e

a = x0 < x1 < x2 < .. . < xi−1 < xi < .. . < xn = b.

τ a z [a, b] i n t e r v a l l u m e g y f e l o s z t á s a .

F [a, b] := τ | τ f e l o s z t á s a a z [a, b] i n t e r v a l l u m n a k .

L e g y e n τ ∈ F [a, b], é s l e g y e n e k

mi := inf f (x) | xi−1 ≤ x ≤ xi, M i := supf (x) | xi−1 ≤ x ≤ xi, i = 1, 2, . . . , n .

L e g y e n a τ f e l o s z t á s h o z t a r t o z ó a l s ó - i l l . f e l s ® ö s s z e g a z

s(τ ) :=n

i=1

mi(xi − xi−1) é s S (τ ) :=n

i=1

M i(xi − xi−1).

8 . 6 . T é t e l .

a ) ∀τ ∈ F [a, b] e s e t é n s(τ ) ≤ S (τ ),

b ) ∀τ, σ ∈ F [a, b] e s e t é n s(τ ) ≤ S (σ).


a ) mi ≤ M i, i = 1, 2, . . . , n ,

í g y s(τ ) ≤ S (τ ).




b ) L e g y e n τ ∈ F [a, b], é s a z [xk−1, xk] i n t e r v a l l u m b a n v e g y ü n k f e l e g y

o s z t ó p o n t o t : xk−1

< x < xk

.H a m := inf f (x) | xk−1 ≤ x ≤ x é s m := inf f (x) | x ≤ x ≤ xk ,

a k k o r m, m ≥ mk. E z é r t

s(τ ) =n

i=1

mi(xi − xi−1) ≤ m1(x1 − x0) + . . . + m(x − xk−1) +

+m(xk − x) + . . . + mn(xn − xn−1) = s(τ ∪ x).

H a s o n l ó h a t á s a v a n a z x b e i k t a t á s á n a k a f e l s ® ö s s z e g r e :

S (τ ) ≥ S (τ ∪ x).

L é p é s e n k é n t v é g i g g o n d o l v a i g a z , h o g y

s(τ ) ≤ s(τ ∪ σ) ≤ S (τ ∪ σ) ≤ S (σ).

E n n e k a t é t e l n e k a k ö v e t k e z m é n y e , h o g y a z

s(τ ) ∈ R | τ ∈ F [a, b] h a l m a z f e l ü l r ® l k o r l á t o s

( p é l d á u l a z S (a, b ) e g y f e l s ® k o r l á t j a ) , e z é r t

∃ sups(τ ) | τ ∈ F [a, b] =: I ∗

é s a z

S (τ ) ∈ R | τ ∈ F [a, b] h a l m a z a l u l r ó l k o r l á t o s

( p é l d á u l a z s(a, b)) e g y a l s ó k o r l á t j a ) , e z é r t

∃ inf S (τ ) | τ ∈ F [a, b] =: I ∗.

8 . 5 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f ( D a r b o u x - ) i n t e g r á l h a t ó , h a I ∗ = I ∗ . H a

f i n t e g r á l h a t ó , a k k o r

ba

f := I ∗ = I ∗ .

M e g m u t a t h a t ó , h o g y a B r é s z b e n b e m u t a t o t t R i e m a n n - i n t e g r á l h a t ó s á g e k v i -

v a l e n s a D a r b o u x - i n t e g r á l h a t ó s á g g a l , e z é r t j e l ö l é s b e n s e m t e s z ü n k k ü l ö n b s é g e t

k ö z ö t t ü k . H a f ( D a r b o u x - ) i n t e g r á l h a t ó , a k k o r e z t f ∈ R[a, b] j e l ö l j e .

8 . 3 . 2 . A z i n t e g r á l h a t ó s á g f e l t é t e l e i

8 . 7 . T é t e l . ( R i e m a n n - t é t e l )

f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃τ ∈ F [a, b] : S (τ ) − s(τ ) < ε.

B i z o n y í t á s . ( ⇒) L e g y e n ε > 0. M i v e l I ∗ a f e l s ® ö s s z e g e k i n m u m a , e z é r t a z

ε2

> 0 s z á m h o z ∃τ 1 ∈ F [a, b], h o g y

I ∗ +ε

2> S (τ 1).




( )

I*−ε /2 I

*+ε /2I

*=I

*

s(τ2

) s(τ) S(τ) S(τ1

)

8 . 1 5 . á b r a .

M i v e l I ∗ a z a l s ó ö s s z e g e k s z u p r é m u m a , e z é r t a z

ε2

> 0 s z á m h o z ∃τ 2 ∈ F [a, b],

h o g y

s(τ 2) > I ∗ − ε

2.

M i v e l I ∗ = I ∗ , e z é r t a τ := τ 1 ∪ τ 2 ∈ F [a, b] f e l o s z t á s r a

S (τ ) − s(τ ) ≤ S (τ 1) − s(τ 2) < ε. ( 8 . 1 5 . á b r a )

( ⇐ ) N y i l v á n ∀τ ∈ F [a, b] e s e t é n I ∗ ≤ S (τ ) é s I ∗ ≥ s(τ ), e z é r t a f e l t é t e l s z e r i n t

∀ε > 0 e s e t é n ∃τ ∈ F [a, b], h o g y 0 ≤ I ∗ − I ∗ ≤ S (τ ) − s(τ )< ε ⇐⇒ I ∗ = I ∗ .

( A z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t h a e g y n e m n e g a t í v s z á m b á r m e l y p o z i t í v s z á m n á l k i s e b b ,

a k k o r a z c s a k 0 l e h e t . )

8 . 8 . T é t e l . H a f : [a, b] → R m o n o t o n , a k k o r f ∈ R[a, b].

B i z o n y í t á s . L e g y e n f m o n o t o n n ö v e k e d ® ( n e l e g y e n k o n s t a n s , m e r t e n n e k i n t e -

g r á l h a t ó s á g á t m á r m e g m u t a t t u k ) . Í g y f (a) < f (b).L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s . L e g y e n τ ∈ F [a, b] o l y a n f e l o s z t á s , a m e l y b e n

maxxi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n <ε

f (b) − f (a).

E k k o r M i ≤ f (xi) é s mi ≥ f (xi−1), i = 1, 2, . . . , n, í g y

S (τ ) − s(τ ) =

ni=1

(M i − mi)(xi − xi−1)<

ni=1

(f (xi) − f (xi−1))

ε

f (b) − f (a)

=ε

f (b) − f (a)(f (x1) − f (x0) + f (x2) − f (x1) + . . . + f (xn) − f (xn−1)) = ε,

t e h á t a R i e m a n n - t é t e l s z e r i n t f ∈ R[a, b].

8 . 9 . T é t e l . f ∈ C [a, b] ⇒ f ∈ R[a, b].





ε > 0t e t s z ® l e g e s . A H e i n e - t é t e l s z e r i n t a z

[a, b]i n t e r v a l l u -

m o n f o l y t o n o s f f ü g g v é n y e g y e n l e t e s e n f o l y t o n o s a z [a, b]- n , e z é r t a z

εb−a > 0

s z á m h o z ∃δ > 0 ∀x, x ∈ [a, b], |x − x| < δ e s e t é n |f (x) − f (x)| < ε/(b − a) .

L e g y e n τ ∈ F [a, b] o l y a n , h o g y maxxi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n < δ. E k k o r

∀i = 1, 2, . . . , n e s e t é n ∀x, x ∈ [xi, xi−1] m i a t t

|f (x) − f (x)| <ε

b − a,

e z é r t

0 ≤ M i − mi ≤ ε

b − a.

T e k i n t s ü k a

S (τ )−

s(τ ) =n

i=1

(M i −

mi)(x

i −x

i−1)≤

ε

b − a ·(x

i −x

i−1) = ε,

í g y f ∈ R[a, b].M e g j e g y e z z ü k , h o g y f ∈ R[a, b] f ∈ C [a, b]. P é l d á u l a z

f : [0, 2] → R, f (x) :=

1, h a 0 ≤ x < 12, h a x = 13, h a 1 < x ≤ 2

m o n o t o n n ö v e k e d ® a [0, 2] i n t e r v a l l u m o n , e z é r t i n t e g r á l h a t ó , d e f /∈ C [1]. I t t

j e g y e z z ü k m e g a z t i s , h o g y v a n n e m i n t e g r á l h a t ó f ü g g v é n y i s . T e k i n t s ü k a

D i r i c h l e t - f ü g g v é n y d|[0,1] l e s z ¶ k í t é s é t . A d|[0,1] /∈ R[0, 1], m e r t a z ε := 12 > 0

s z á m h o z ∀τ ∈ F [0, 1] e s e t é n mi = 0 é s M i = 1 , í g y S (τ ) − s(τ ) = ni=1(1 −

0)(xi − xi−1) = 1 > ε.

8 . 3 . 3 . M ¶ v e l e t e k é s a z i n t e g r á l k a p c s o l a t a

Á l l a p o d j u n k m e g a b b a n , h o g y f ∈ R[a, b] e s e t é n a

b

f := − b

a

f.

N é h á n y e g y s z e r ¶ e n i g a z o l h a t ó , d e h o s s z a d a l m a s s z á m o l á s t i g é n y l ® t é t e l t c s a k

k i m o n d u n k :

8 . 1 0 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R i n t e r v a l l u m , é s a,b,c ∈ I. H a f ∈ R[a, b] é s f ∈R[b, c], a k k o r f

∈R[a, c], é s c

a

f =

b

a

f +

c

b

f.

8 . 1 1 . T é t e l . H a f ∈ R[a, b] é s λ ∈ R , a k k o r λf ∈ R[a, b], é s b

a

λf = λ

b

a

f.




8 . 1 2 . T é t e l . H a f, g ∈ R[a, b], a k k o r f + g ∈ R[a, b], é s b

a

f + g =

b

a

f +

b

a

g.

8 . 1 3 . T é t e l . H a f, g ∈ R[a, b], a k k o r f g ∈ R[a, b].

( N e k e r e s s ü k a z

ba

f g e l ® á l l í t á s á t , á l t a l á n o s k é p l e t n i n c s ! )

8 . 1 4 . T é t e l . H a g ∈ R[a, b], é s ∃c > 0, h o g y ∀x ∈ [a, b] e s e t é n |g(x)| ≥ c , a k k o r

1g ∈ R[a, b].

( I t t n e m e l é g , h o g y g(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] e s e t é n ! )

8 . 1 5 . T é t e l . H a f ∈ R[a, b], a k k o r |f | ∈ R[a, b].

8 . 1 6 . T é t e l . H a φ

∈R[a, b], φ(x)

≥0 (x

∈[a, b]), a k k o r ba φ

≥0 .

B i z o n y í t á s . ∀τ ∈ F [a, b] e s e t é n mi, M i ≥ 0, e z é r t

s(τ ) =

mi(xi − xi−1) ≥ 0, S (τ ) =

M i(xi − xi−1) ≥ 0,

é s e z e k k e l e g y ü t t

I ∗ = sups(τ ) | τ ∈ F [a, b] ≥ 0, I ∗ = inf S (τ ) | τ ∈ F [a, b] ≥ 0.

M i v e l φ ∈ R[a, b], e z é r t

ba

φ = I ∗ = I ∗ ≥ 0.

8 . 1 7 . T é t e l . H a f, g ∈ R[a, b], é s ∀x ∈ [a, b] e s e t é n f (x) ≥ g(x) a k k o r

ba f ≥

b

ag .

B i z o n y í t á s . L e g y e n φ := f − g. φ ∈ R[a, b], φ(x) ≥ 0 (x ∈ [a, b]) , e z é r t

0 ≤ b

a

φ =

b

a

f − g =

b

a

f − b

a

g,

a m i b ® l

ba

f ≥ ba g .

8 . 1 8 . T é t e l . H a f ∈ R[a, b], a k k o r | ba

f | ≤ ba

|f |.B i z o n y í t á s . ∀x ∈ [a, b] e s e t é n

−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,e z é r t (

|f

| ∈R[a, b] m i a t t ) b

a

−|f | ≤ b

a

f ≤ b

a

|f |,

d e a k k o r b

a

f

≤ b

a

|f |.




8 . 3 . 4 . P r i m i t í v f ü g g v é n y é s a N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a

8 . 1 9 . T é t e l . H a f ∈ C [a, b], a k k o r ∃c ∈ [a, b], h o g y

b

a f = f (c) · (b − a).

B i z o n y í t á s . A W e i e r s t r a s s - t é t e l m i a t t ∃α, β ∈ [a, b], a m e l y r e ∀x ∈ [a, b] e s e t é n

m := f (α) ≤ f (x) ≤ f (β ) =: M.

E z é r t

m(b − a) =

b

a

m ≤ b

a

f ≤ b

a

M = M (b − a),

a z a z

m ≤ 1

b − a· b

a

f ≤ M.

A B o l z a n o - t é t e l s z e r i n t a z f ∈ C [a, b] f ü g g v é n y k é t f ü g g v é n y é r t é k , í g y m é s

M k ö z ö t t i s m i n d e n é r t é k e t , í g y a z

1b−a · b

af s z á m o t i s v a l a h o l f e l v e s z i , a z a z

∃c ∈ [a, b], a m e l y r e

f (c) =1

b − a· b

a

f.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y a

1b−a · b

af a z f ∈ C [a, b] f ü g g v é n y i n t e g r á l k ö z e p e .

8 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , f : I → R. A z t m o n d j u k , h o g y

F : I → R, F ∈ D(I ) p r i m i t í v f ü g g v é n y e a z f f ü g g v é n y n e k , h a ∀x ∈ I e s e t é n

F (x) = f (x).

8 . 2 0 . T é t e l . H a F é s G p r i m i t í v f ü g g v é n y e f - n e k , a k k o r

∃c

∈R , h o g y

∀x

∈I

e s e t é n F (x) = G(x) + c.

B i z o n y í t á s . F = f é s G = f , e z é r t (F − G) = 0 a z I i n t e r v a l l u m o n . H a

e g y i n t e r v a l l u m o n e g y f ü g g v é n y d e r i v á l t j a 0 , a k k o r e z a f ü g g v é n y k o n s t a n s , a z a z

∃c ∈ R , h o g y ∀x ∈ I e s e t é n F (x) − G(x) = c.A z i n t e g r á l t é s a p r i m i t í v f ü g g v é n y t k a p c s o l j a ö s s z e a

8 . 2 1 . T é t e l . ( N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a )

L e g y e n f ∈ R[a, b]. T e g y ü k f e l , h o g y f - n e k v a n F p r i m i t í v f ü g g v é n y e . E k k o r

b

a

f = F (b) − F (a).

B i z o n y í t á s . L e g y e n τ ∈ F [a, b] t e t s z ® l e g e s . E k k o r

F (b) − F (a) = F (x1) − F (x0) + F (x2) − F (x1) + . . . + F (xn) − F (xn−1).

A L a g r a n g e - k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t ∃ξi ∈ (xi−1, xi), h o g y

F (xi) − F (xi−1) = F (ξi)(xi − xi−1) = f (ξi)(xi − xi−1), (i = 1, 2, . . . , n).



9 . f e j e z e t

F ü g g v é n y s o r o z a t o k ,

f ü g g v é n y s o r o k

E z e g y k i e g é s z í t ® f e j e z e t . A g y a k o r l a t b a n f e l m e r ü l ® p r o b l é m á k ( f ü g g v é n y e k

k ö z e l í t é s e , k ö z ö n s é g e s é s p a r c i á l i s d i e r e n c i á l e g y e n l e t e k m e g o l d á s a k ö z e l í t ® m ó d -

s z e r e k k e l ) i g é n y l i a s o r r a k e r ü l ® f o g a l m a k a t , e r e d m é n y e k e t . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t


• F ü g g v é n y s o r o z a t k o n v e r g e n c i a h a l m a z a

• P o n t o n k é n t i é s e g y e n l e t e s k o n v e r g e n c i a

•A h a t á r f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a , d i e r e n c i á l h a t ó s á g a , i n t e g r á l h a t ó s á g a

• F ü g g v é n y s o r k o n v e r g e n c i á j a

• W e i e r s t r a s s m a j o r á n s k r i t é r i u m

• A z ö s s z e g f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a , d i e r e n c i á l h a t ó s á g a , i n t e g r á l h a t ó s á g a

• H a t v á n y s o r

• C a u c h y - H a d a m a r d t é t e l

• A z ö s s z e g f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g a , A b e l t é t e l e

9 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k , f ü g g v é n y s o r o k A

9 . 1 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k

L e g y e n H ⊂ R, H = ∅ h a l m a z , é s a φ1, φ2, . . . , φn, . . . f ü g g v é n y e k m i n d e g y i k e

φn : H → R (n ∈ N). A z i l y e n (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t r ó l m o n d j u k , h o g y H h a l m a z o n é r t e l m e z e t t .

P é l d á u l

1 3 7



1 3 8 F E J E Z E T 9 . F Ü G G V É N Y S O R O Z A T O K , F Ü G G V É N Y S O R O K

1 . ( i d

n) [ i t t D(i d

n) = R, n ∈ N]

2 . h a n ∈ N, a k k o r φn : [0, 1] → R, φn(x) :=

0, h a x = 01, h a 0 < x < 1

n0, h a

1n ≤ x ≤ 1

3 . h a n ∈ N, a k k o r l á s d a z 9 . 1 . á b r á t

φn

1/2n 1/n 1

1

9 . 1 . á b r a .

4 . h a

n ∈ N, a k k o r l á s d a z 9 . 2 . á b r á t

φn

1/2n 1/n 1

n

9 . 2 . á b r a .



9 . 1 . F Ü G G V É N Y S O R O Z A T O K , F Ü G G V É N Y S O R O K A 1 3 9

5 . * (nk=1 sin (k · i d )) [ i t t i s

Ra z e g y e s f ü g g v é n y e k é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y a ]

É r d e k e s l e h e t a z a k é r d é s , h o g y a ( φn ) f ü g g v é n y s o r o z a t t a g j a i k ö z e l e d n e k - e

v a l a m i l y e n f ü g g v é n y h e z , h a n n ö v e k s z i k .

9 . 1 . D e n í c i ó . A ( φn ) f ü g g v é n y s o r o z a t [D(φn) = H, n ∈ N] k o n v e r g e n c i a -

h a l m a z a

KH (φn) := x ∈ H | (φn(x)) s z á m s o r o z a t k o n v e r g e n s

A z 1 . p é l d á b a n KH ( i d

n) = (−1, 1], m e r t h a −1 < x < 1 , a k k o r i d

n(x) = xn →0; h a x := 1, a k k o r i d

n(1) = 1 → 1, d e h a x > 1 v a g y x ≤ −1, a k k o r ( i d

n(x))n e m k o n v e r g e n s .

A 2 . p é l d á b a n KH (φn) = [0, 1], h i s z e n φn(0) = 0

→0 . H a 0 < x < 1 , a k k o r

v a n o l y a n N , h o g y

1N < x, é s e k k o r a (φn(x)) s o r o z a t 1, 1, . . . , 1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .

a l a k ú , a m e l y 0 - h o z t a r t ( h a n ≤ N , a k k o r φn(x) = 1 , h a n > N , a k k o r

φn(x) = 0 ) .

U g y a n e z m o n d h a t ó e l a 3 . é s 4 . p é l d á b a n i s .

A z 5 . * p é l d a k i c s i t n e h e z e b b . H a x = lπ (l ∈ Z) , a k k o r (n

k=1 sin(klπ)) = (0) a

s z á m s o r o z a t , a m e l y 0 - h o z t a r t . T e h á t

KH

n

k=1

sin (k · i d )

⊃ lπ | l ∈ Z.

H a v o l n a m é g x ∈ R, x = lπ (l ∈ Z) a f ü g g v é n y s o r o z a t k o n v e r g e n c i a h a l m a z á b a n ,

a k k o r a (sin kx) s o r o z a t n a k 0 - h o z k e l l e n e t a r t a n i a . T e g y ü k f e l , h o g y sin kx → 0.E k k o r i g a z l e n n e sin(k + 1)x → 0 i s , a z a z

sin(kx + x) = sin kx cos x + cos kx sin x → 0.

M i v e l sin x = 0, sin kx → 0 , e z é r t cos kx → 0 i s i g a z . Í g y sin2 kx + cos2 kx → 0i s i g a z l e n n e , d e e z n e m l e h e t , h i s z e n sin2 kx + cos2 kx = 1 . T e h á t

KH

n

k=1

sin (k · i d )

= lπ | l ∈ Z.

E z a z é r t f o n t o s p é l d a , m e r t a F o u r i e r - s o r o k p r o b l é m a k ö r e s z á m o s e h h e z h a s o n l ó

n e h é z s é g e t v e t f e l .

9 . 2 . D e n í c i ó . L e g y e n (φn) e g y H h a l m a z o n é r t e l m e z e t t f ü g g v é n y s o r o z a t . T e g y ü k

f e l , h o g y KH (φn) = ∅ . A (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t h a t á r f ü g g v é n y e a z a z f :KH (φn) → R f ü g g v é n y , a m e l y r e m i n d e n x ∈ KH (φn) e s e t é n

f (x) := lim φn(x).




G y a k r a n f := lim φn j e l ö l é s t i s h a s z n á l n a k .

A z 1 . p é l d á b a n

lim i d

n : (−1, 1] → R, (lim i d

n)(x) :=

0, h a − 1 < x < 11, h a x = 1

A 2 . , 3 . é s 4 . p é l d á b a n

lim φn : [0, 1] → R, (lim φn)(x) := 0.

A z 5 . * p é l d á b a n

lim

n

k=1

sin

(k

·i d ) =

∞

k=1

sin

(k

·i d ) :

lπ

|k

∈Z

→R,

(limn

k=1

sin (k · i d ))(x) =∞

k=1

sin kx := 0.

A m i k o r a p é l d á k b a n s z e r e p l ® f ü g g v é n y s o r o z a t o k t a g j a i n a k é s a h a t á r f ü g g v é n y n e k

a t u l a j d o n s á g a i t ö s s z e h a s o n l í t j u k , é r d e k e s k ü l ö n b s é g e k m u t a t k o z n a k . A z 1 .

p é l d á b a n i d

nf o l y t o n o s , d i e r e n c i á l h a t ó a z R- e n , m í g lim i d

nn e m f o l y t o n o s ,

í g y p e r s z e n e m i s d i e r e n c i á l h a t ó . A 2 . p é l d a φn f ü g g v é n y e i n e k e g y i k e s e m

f o l y t o n o s , a lim φn f o l y t o n o s é s d i e r e n c i á l h a t ó i s . A 3 . é s 4 . p é l d á b a n φn é s

lim φn i s f o l y t o n o s , a φn n e m d i e r e n c i á l h a t ó , a lim φn p e d i g s i m a . I t t a z o n b a n

m é g e g y i z g a l m a s k ü l ö n b s é g r e g y e l h e t ü n k f e l :

A 3 . p é l d á b a n

10

φn =1

2

1

n· 1 =

1

2n→ 0, é s

10

lim φn =

10

0 = 0,

m í g a 4 . p é l d á b a n

10

φn =1

2

1

n· n =

1

2→ 1

2, d e

10

lim φn =

10

0 = 0,

t e h á t a f ü g g v é n y s o r o z a t t a g j a i n a k i n t e g r á l j a i b ó l á l l ó s o r o z a t h a t á r é r t é k e n e m a

h a t á r f ü g g v é n y i n t e g r á l j a .

A z 5 . * p é l d á b a n a f ü g g v é n y s o r o z a t t a g j a i k e l l e m e s t r i g o n o m e t r i k u s , s i m a , p e -

r i o d i k u s f ü g g v é n y e k a z e g é s z R - e n , m í g a h a t á r f ü g g v é n y i g e n s z e g é n y e s , é p p e n

c s a k a p e r i o d i k u s s á g m a r a d t m e g . . .

A p é l d á k a z t m u t a t j á k , h o g y a p o n t o n k é n t i k o n v e r g e n c i a f o g a l m a n e m e l é g

h a t é k o n y a f ü g g v é n y s o r o z a t t a g j a i j ó t u l a j d o n s á g a i n a k a h a t á r f ü g g v é n y r e v a l ó

á t ö r ö k í t é s é r e . E z e n p r ó b á l u n k s e g í t e n i :

9 . 3 . D e n í c i ó . L e g y e n (φn) a H = ∅ h a l m a z o n é r t e l m e z e t t f ü g g v é n y s o r o z a t .

T e g y ü k f e l , h o g y KH (φn) = ∅, é s l e g y e n E ⊂ KH (φn), E = ∅ h a l m a z . A z t




m o n d j u k , h o g y a (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t e g y e n l e t e s e n k o n v e r g e n s a z E h a l m a -

z o n , h a b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n N ∈N k ü s z ö b i n d e x , h o g y

∀n > N

e s e t é n é s b á r m e l y x ∈ E h e l y e n

|φn(x) − (lim φn)(x)| < ε.

J e l ö l j e e z t a t é n y t φn →E lim φn .

E z a z t j e l e n t i , h o g y a k ü s z ö b i n d e x f ü g g e t l e n x- t ® l , e z é r t n e v e z z ü k e g y e n l e t e s

k o n v e r g e n c i á n a k .

A z 1 . p é l d á b a n a (−1, 1] h a l m a z o n n e m e g y e n l e t e s a z (i d

n) k o n v e r g e n c i á j a . M é g

a (−1, 1) h a l m a z o n s e m ! H a δ > 0 , a k k o r a z E := [−1 + δ, 1 − δ] i n t e r v a l l u m o n

m á r

i d

n →E 0.

A 2 . , 3 . é s 4 . p é l d á b a n i s a [0, 1] i n t e r v a l l u m o n n e m e g y e n l e t e s a k o n v e r g e n c i a ,

d e δ > 0 e s e t é n

φn →[δ,1] 0

m á r i g a z .

A z 5 . * p é l d á b a n u g y a n a z E := KH (n

k=1 sin (k · i d )) h a l m a z o n e g y e n l e t e s a

k o n v e r g e n c i a , d e e z z e l n e m s o k r a m e g y ü n k . . .

M i l y e n k ö v e t k e z m é n y e i v a n n a k e g y f ü g g v é n y s o r o z a t e g y e n l e t e s k o n v e r g e n -

c i á j á n a k ? R e n d l e s z a p é l d á k b a n t a p a s z t a l h a t ó k u s z a s á g b a n .

9 . 1 . T é t e l . L e g y e n φn ∈ C [a, b] (n ∈ N). T e g y ü k f e l , h o g y φn →[a,b] f. E k k o r

f ∈ C [a, b].

9 . 2 . T é t e l . L e g y e n

I ⊂ Rn y í l t i n t e r v a l l u m ,

φn : I → R (n ∈ N). T e g y ü k

f e l , h o g y v a n o l y a n x0 ∈ I , h o g y (φn(x0)) k o n v e r g e n s . T e g y ü k f e l , h o g y φn

f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó a z I i n t e r v a l l u m o n ( φn ∈ C 1(I ), n ∈ N) é s φn →I

g. E k k o r a (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t i s e g y e n l e t e s e n k o n v e r g á l a z I i n t e r v a l l u m o n e g y

f : I → R f ü g g v é n y h e z ( φn →I f ) , é s f ∈ D(I ), s ® t f (x) = g(x) = lim φn(x)m i n d e n x ∈ I e s e t é n .

A t é t e l á l l í t á s a r ö v i d e n :

(lim φn) = lim φn,

a z a z a l i m é s a d e r i v á l á s s o r r e n d j e f e l c s e r é l h e t ® .

9 . 3 . T é t e l . L e g y e n φn ∈ R[a, b], (n ∈ N). T e g y ü k f e l , h o g y φn →[a,b] f . E k k o r

f ∈ R[a, b], é s

lim b

a φn = b

a f.

A t é t e l r ö v i d e n a z t á l l í t j a , h o g y e g y e n l e t e s k o n v e r g e n c i a e s e t é n

lim

b

a

φn =

b

a

lim φn,

a z a z a l i m é s a z i n t e g r á l á s s o r r e n d j e f e l c s e r é l h e t ® .




9 . 1 . 2 . F ü g g v é n y s o r o k

A f ü g g v é n y s o r o z a t r a k i é p í t e t t f o g a l m a k é r t e l e m s z e r ¶ m ó d o s í t á s s a l f ü g g v é n y s o r r a

i s á t v i h e t ® k .

9 . 4 . D e n í c i ó . L e g y e n (φn) a H = ∅ h a l m a z o n é r t e l m e z e t t f ü g g v é n y s o r o z a t .

L e g y e n S n := φ1 + φ2 + . . . + φn (n ∈ N) a z n- e d i k r é s z l e t ö s s z e g . A (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t b ó l k é p e z e t t f ü g g v é n y s o r o n a z (S n) f ü g g v é n y s o r o z a t o t é r t j ü k ,

a z a z

φn := (S n).

9 . 5 . D e n í c i ó . KH

φn := KH (S n).

L á t h a t ó , h o g y KH

φn = x ∈ H |φn(x) k o n v e r g e n s .

9 . 6 . D e n í c i ó . T e g y ü k f e l , h o g y KH

φn = ∅ . L e g y e n

∞n=1

φn : KH

φn → R,

∞n=1

φn

(x) :=

∞n=1

φn(x)

a f ü g g v é n y s o r ö s s z e g f ü g g v é n y e .

N y i l v á n i g a z , h o g y (∞

n=1 φn) (x) = lim S n(x) m i n d e n x ∈ KH (S n) e s e t é n .

P é l d á u l φn := i d

n (n ∈ N) e s e t é n b á r m e l y x ∈ R p o n t b a n

S n(x) := x + x2 + . . . + xn =

x xn−1

x−1 , h a x = 1

n, h a x = 1.

E z é r t lim S n(x) = x1−x , h a x ∈ (−1, 1); h a x ∈ R \ (−1, 1), a k k o r (S n(x))

d i v e r g e n s . T e h á t KH i d

n = (

−1, 1), é s (∞

n=1 i d

n)(x) = x

1−x

.

9 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n (φn) o l y a n f ü g g v é n y s o r o z a t , a m e l y r e KH

φn = ∅.L e g y e n E ⊂ KH

φn. A z t m o n d j u k , h o g y

φn e g y e n l e t e s e n k o n v e r g e n s

a z E h a l m a z o n , h a a z (S n) r é s z l e t ö s s z e g e k s o r o z a t a e g y e n l e t e s e n k o n v e r g e n s a z

E h a l m a z o n .

J e l b e n :

φn →E

∞n=1 φn.

E g y h a s z n o s e l é g s é g e s f e l t é t e l f ü g g v é n y s o r e g y e n l e t e s k o n v e r g e n c i á j á r a :

9 . 4 . T é t e l . ( W e i e r s t r a s s m a j o r á n s k r i t é r i u m a )

L e g y e n (φn) a H = ∅ h a l m a z o n é r t e l m e z e t t o l y a n f ü g g v é n y s o r o z a t , a m e l y h e z

v a n o l y a n (an) ⊂ R+p o z i t í v s z á m s o r o z a t , h o g y m i n d e n x ∈ H e s e t é n |φn(x)| ≤

an, (n ∈ N) , é s m é g an i s k o n v e r g e n s . E k k o r

φn →H

∞n=1

φn.

A f ü g g v é n y s o r r é s z l e t ö s s z e g - s o r o z a t á r a t e t t e g y e n l e t e s k o n v e r g e n c i a f e l t é t e l e k

k ö v e t k e z t é b e n i g a z a k a v á z l a t o s a n m e g f o g a l m a z o t t t é t e l e k :

• H a φn ∈ C [a, b]

, é s

φn →[a,b]

∞n=1 φn , a k k o r

∞n=1 φn ∈ C [a, b].




• H a φn ∈ C 1(I ), é s φn →I g a k k o r ∞n=1 φn ∈ C 1(I ), é s

∞n=1

φn

=

∞n=1

φn = g.

( A z ö s s z e g z é s é s a d e r i v á l á s f e l c s e r é l h e t ® . )

• H a φn ∈ R[a, b], é s

φn →[a,b]

∞n=1 φn , a k k o r

∞n=1 φn ∈ R[a, b], é s

b

a

∞n=1

φn =∞

n=1

b

a

φn.

( A f ü g g v é n y s o r t t a g o n k é n t l e h e t i n t e g r á l n i . )

9 . 1 . 3 . H a t v á n y s o r o k

A h a t v á n y s o r o k s p e c i á l i s f ü g g v é n y s o r o k .

9 . 8 . D e n í c i ó . L e g y e n c0, c1, c2, . . . , cn, . . . s z á m s o r o z a t , a ∈ R e g y s z á m . A cn(i d − a)n

f ü g g v é n y s o r t h a t v á n y s o r n a k n e v e z z ü k , m e l y n e k e g y ü t t h a t ó - s o r o z a t a a (cn) , é s

a h a t v á n y s o r k ö z é p p o n t j a a z a ∈ R .

Á l l a p o d j u n k m e g , h o g y a t o v á b b i a k b a n a := 0a z e g y s z e r ¶ b b f o g a l m a z á s k e d -

v é é r t .

9 . 5 . T é t e l . ( C a u c h y H a d a m a r d - t é t e l )

L e g y e n

cn i d

nh a t v á n y s o r .

1oH a ( n

|cn|) k o r l á t o s , é s limsup n

|cn| = 0 , a k k o r l e g y e n

R :=1

lim sup n |cn| ( R a h a t v á n y s o r k o n v e r g e n c i a s u g a r a ) .

E k k o r

(−R, R) ⊂ KH

cn i d

n ⊂ [−R, R].

2oH a ( n |cn

|) f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s , a k k o r

KH

cn i d

n = 0.

3oH a lim sup n

|cn| = 0 , a k k o r

KH

cn i d

n = R.




L á t h a t ó , h o g y e g y h a t v á n y s o r k o n v e r g e n c i a h a l m a z a m i n d i g i n t e r v a l l u m ( a 2o

e s e t b e n e l f a j u l t i n t e r v a l l u m ) , d e e z a z i n t e r v a l l u m l e h e t a z 1oe s e t b e n (

−R, R) ,

(−R, R], [−R, R), [−R, R] v a l a m e l y i k e . A h a t v á n y s o r o k k o n v e r g e n c i a h a l m a z á t

ö s s z e v e t v e a z 5 . * p é l d á b a n s z e r e p l ®

sin (k · i d

)f ü g g v é n y s o r k o n v e r g e n c i a h a l -

m a z á v a l , s z e m b e ö t l ® a k ü l ö n b s é g .

9 . 6 . T é t e l . L e g y e n

cn i d

nh a t v á n y s o r , a m e l y r e ( n

|cn|) f e l ü l r ® l k o r l á t o s . E k k o r

a z f : KH

cn i d

n → R, f (x) :=∞

n=0 cnxnö s s z e g f ü g g v é n y a z intKH

cn i d

n

n y í l t i n t e r v a l l u m o n f o l y t o n o s i s é s d i e r e n c i á l h a t ó i s ; s ® t b á r m e l y x ∈ intKH

cn i d

n

e s e t é n

f (x) =∞

n=0

ncnxn−1.

A t é t e l k ö v e t k e z m é n y e , h o g y ( n |cn|) f e l ü l r ® l k o r l á t o s s á g á b ó l a z ( n |ncn|) =

( n√n n |cn|) f e l ü l r ® l k o r l á t o s s á g a i s k ö v e t k e z i k , s ® t a

ncn i d n−1 h a t v á n y s o r

k o n v e r g e n c i a h a l m a z a u g y a n a z m a r a d , m i n t a

cn i d

nk o n v e r g e n c i a h a l m a z a v o l t .

E z é r t e n n e k a h a t v á n y s o r n a k a z ö s s z e g f ü g g v é n y e i s d i e r e n c i á l h a t ó , s ® t

f (x) =∞

n=2

n(n − 1)cnxn−2

m i n d e n x ∈ intKH

cn i d

ne s e t é n .

E z a g o n d o l a t m e n e t f o l y t a t h a t ó :

f (k)(x) =∞

n=k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)cnxn−k, x ∈ intKH

cn i d

n.

L á t h a t ó a z i s , h o g y f (0) = c0, f (0) = c1 . . . , f (k)(0) = k!ck, . . .

9 . 7 . T é t e l . ( A b e l )

L e g y e n

cn i d

nh a t v á n y s o r , a m e l y n e k k o n v e r g e n c i a s u g a r a R > 0. T e g y ü k f e l ,

h o g y m é g

cnRn

i s k o n v e r g e n s . E k k o r a z f ∈ C [R], a z a z limx→R f (x) =∞n=0 cnRn.

9 . 2 . F e l a d a t o k

1 . V i z s g á l j u k m e g a k ö v e t k e z ® h a t v á n y s o r o k k o n v e r g e n c i a h a l m a z á t :

i d n,

1n

i d n,

(−1)

n

ni d n,

1n2

i d n,

15nni d n,

1n!

i d n,

nn i d n

M e g o l d á s : limsup n√

1 = 1 , lim sup n

1

n2 = 1, limsup n

1

n!= 0, limsup n

1n =

1 , limsup n

1

5nn = 15

, ( n√

nn) = (n) f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s .

KH

i d

n = (−1, 1)



9 . 2 . F E L A D A T O K 1 4 5

KH 1n i d

n = [−1, 1) ( L e i b n i z - t é t e l )

KH

(−1)

n

n i d n = (−1, 1]KH

1n2 i d

n = [−1, 1]

KH

15nn i d

n = [−5, 5)

KH

1n!

i d

n = R

KH

nni d

n = 02 .

1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . =1

1 − x, h a |x| < 1.

I g a z - e , h o g y

1 + 2x + 3x2

+ . . . + nxn

−1

+ . . . = 1

1 − x

=

1

(1 − x)2 ,h a |x| < 1?


x + 2x2 + 3x3 + . . . + nxn + . . . =x

(1 − x)2, h a |x| < 1?

M i v e l e g y e n l ® a z

1 + 22x + 32x2 + . . . + n2xn−1 + . . . , h a |x| < 1?

3 .

1 + x + x2 + . . . + xn + . . . =1

1

−x

, h a |x| < 1.

L e g y e n x := −t. E k k o r

1 − t + t2 − . . . + (−1)ntn + . . . =1

1 + t, h a |t| < 1.


t − t2

2+

t3

3− . . . + (−1)n tn+1

n + 1+ . . . = ln(1 + t), h a |t| < 1?


1 − 1

2+

1

3− . . . + (−1)n 1

n + 1+ . . . = ln2?

4 .

1 + x + x2 + . . . + xn + . . . =1

1 − x, h a |x| < 1.

L e g y e n x := −t2. E k k o r

1 − t2 + t4 − . . . + (−1)nt2n + . . . =1

1 + t2, h a |t| < 1.





t − t3

3+ t5

5− . . . + (−1)n t2n+1

2n + 1+ . . . = arctgt, h a |t| < 1?


1 − 1

3+

1

5− . . . + (−1)n 1

2n + 1+ . . . =

π

4?

9 . 3 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k , f ü g g v é n y s o r o k E

N e m i s m é t e l j ü k m e g a m á r p o n t o s a n b e v e z e t e t t f o g a l m a k a t , c s u p á n a f o n t o s é s

e g y s z e r ¶ e n i g a z o l h a t ó á l l í t á s o k a t v e s s z ü k s o r r a .

9 . 3 . 1 . F ü g g v é n y s o r o z a t o k

9 . 8 . T é t e l . L e g y e n φn ∈ C [a, b] (n ∈ N) .

φn →[a,b] f ⇒ f ∈ C [a, b].

B i z o n y í t á s . L e g y e n α ∈ [a, b] é s ε > 0 t e t s z ® l e g e s . M i v e l φn →[a,b] f , e z é r t a z

ε3 > 0 s z á m h o z ∃N , h o g y ∀n > N é s ∀x ∈ [a, b] e s e t é n

|φn(x) − f (x)| <ε

3.

L e g y e n n > N . A φn ∈ C [α], e z é r t a z

ε3 > 0 s z á m h o z ∃δ > 0 , h o g y ∀x ∈ [a, b],

|x

−α

|< δ e s e t é n

|φn(x) − φn(α)| < ε3

.

L e g y e n x ∈ [a, b] t e t s z ® l e g e s , |x − α| < δ . E k k o r

|f (x) − f (α)| = |f (x) − φn(x) + φn(x) − φn(α) + φn(α) − f (α)| ≤≤ |f (x) − φn(x)| + |φn(x) − φn(α)| + |φn(α) − f (α)| <

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

9 . 9 . T é t e l . L e g y e n φn ∈ R[a, b] (n ∈ N)

φn →[a,b] f ⇒ f ∈ R[a, b] é s b

a

φn → b

a

f.

B i z o n y í t á s . A b i z o n y í t á s t c s a k φn ∈ C [a, b] (n ∈ N) e s e t é n v é g e z z ü k e l , m e r t

e k k o r φn →[a,b] f m i a t t f ∈ C [a, b], í g y f ∈ R[a, b].L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s . M i v e l φn →[a,b] f , e z é r t a z ε/(b − a) > 0 s z á m h o z

∃N , h o g y ∀n > N é s ∀x ∈ [a, b] e s e t é n

|φn(x) − f (x)| <ε

b − a.



9 . 3 . F Ü G G V É N Y S O R O Z A T O K , F Ü G G V É N Y S O R O K E 1 4 7

L e g y e n n > N t e t s z ® l e g e s . E k k o r b

a

φn − b

a

f

=

b

a

(φn − f )

≤ b

a

|φn − f |< b

a

ε

b − a=

ε

b − a· (b − a) = ε.

A z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t lim b

aφn =

ba

f.

9 . 1 0 . T é t e l . L e g y e n I ⊂ R n y í l t i n t e r v a l l u m , φn : I → R (n ∈ N). T e g y ü k

f e l , h o g y v a n o l y a n x0 ∈ I , h o g y (φn(x0)) k o n v e r g e n s . T e g y ü k f e l , h o g y φn

f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó a z I i n t e r v a l l u m o n ( φn ∈ C 1(I ), n ∈ N) é s φn →I

g. E k k o r a (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t k o n v e r g á l a z I i n t e r v a l l u m o n e g y f : I → R

f ü g g v é n y h e z , é s f ∈ D(I ), s ® t f (x) = g(x) = lim φn(x) m i n d e n x ∈ I e s e t é n .

B i z o n y í t á s . A N e w t o n - L e i b n i z t é t e l m i a t t b á r m e l y n∈N

é s x∈

I e s e t é n

φn(x) − φn(x0) =

x x0

φn.

M i v e l φn e g y e n l e t e s e n k o n v e r g á l a g f ü g g v é n y h e z a z [x0, x] i n t e r v a l l u m o n , a z é r t

lim

x x0

φn =

x x0

g,

d e e z z e l e g y ü t t l é t e z i k a

lim(φn(x) − φn(x0)) = lim φn(x) − lim φn(x0)

h a t á r é r t é k i s . L e g y e n f (x) = lim φn(x). T e h á t

f (x) − f (x0) =

x x0

g (x ∈ I, x = x0).

A g f o l y t o n o s f ü g g v é n y , h i s z e n a f o l y t o n o s φn f ü g g v é n y e k b ® l á l l ó e g y e n l e t e s e n

k o n v e r g e n s f ü g g v é n y s o r o z a t h a t á r f ü g g v é n y e . Í g y g i n t e g r á l f ü g g v é n y e d i e r e n -

c i á l h a t ó , a z a z f d i e r e n c i á l h a t ó , é s f (x) = g(x) = lim φn(x) m i n d e n x ∈ I e s e t é n .

9 . 3 . 2 . F ü g g v é n y s o r o k

9 . 1 1 . T é t e l . ( W e i e r s t r a s s m a j o r á n s k r i t é r i u m )

L e g y e n (φn) f ü g g v é n y s o r o z a t é s (an) ⊂ R+s z á m s o r o z a t , m e l y e k r e

|φn(x)| ≤ an (n ∈ N, x ∈ H )

é s

an k o n v e r g e n s . E k k o r

φn e g y e n l e t e s e n k o n v e r g e n s a H h a l m a z o n .





ε > 0é s

x ∈ H t e t s z ® l e g e s . M i v e l

ank o n v e r g e n s , e z é r t

∃N , h o g y ∀n, m > N, n > m e s e t é n

|φm+1(x)| + |φm+2(x)| + . . . + |φn(x)| ≤ am+1 + am+2 + . . . + an < ε.


|φk(x)| k o n v e r g e n s , d e a k k o r

φn(x) i s k o n v e r g e n s .

L e g y e n f : H → R, f (x) :=∞

n=1 φn(x).L e g y e n m > N é s x ∈ H t e t s z ® l e g e s . E k k o r f (x) −

mk=1

φk(x)

=

∞

k=m+1

φk(x)

≤∞

k=m+1

|φk(x)| ≤∞

k=m+1

ak ≤ ε,

h i s z e n ∀n > m > N e s e t é n

am+1 + am+2 + . . . + an < ε

i g a z v o l t .

A z a l á h ú z o t t a k s z e r i n t

φk →H f.

9 . 3 . 3 . H a t v á n y s o r o k , T a y l o r - s o r o k

A C a u c h y H a d a m a r d - t é t e l n e k i s c s a k a z t a z e s e t é t i g a z o l j u k , a m e l y b e n :

9 . 1 2 . T é t e l . L e g y e n ( n

|cn|) k o r l á t o s , é s limsup n

|cn| = 0. L e g y e n R :=1

limsup n√|cn|

> 0. E k k o r

• 1o ∀x ∈ R, |x| < R e s e t é n a cnxna b s z o l ú t k o n v e r g e n s ,

• 2o ∀x ∈ R, |x| > R e s e t é n a

cnxn a b s z o l ú t d i v e r g e n s .

B i z o n y í t á s . 1oL e g y e n r > 0 o l y a n , h o g y |x| < r < R. E k k o r

1

|x| >1

r>

1

R= lim sup n

|cn|.

L e g f e l j e b b v é g e s s o k o l y a n t a g j a v a n a s o r o z a t n a k , a m e l y a s o r o z a t l i m e s z s z u -

p e r i o r j á n á l n a g y o b b s z á m n á l n a g y o b b , e z é r t ∃N , h o g y ∀n > N e s e t é n

n

|cn| <1

r.

S z o r o z z u k e z t a z e g y e n l ® s é g e t |x|- k e l , é s e m e l j ü k n- e d i k h a t v á n y r a . E k k o r

|cn| · |x|n < |x|

r

n

.

M i v e l

|x|r =: q < 1 é s p o z i t í v , e z é r t

∞n=N +1

|cn||x|n <∞

n=N +1

qn.



9 . 3 . F Ü G G V É N Y S O R O Z A T O K , F Ü G G V É N Y S O R O K E 1 4 9

E z m á r e l é g a |cnxn| s o r k o n v e r g e n c i á j á h o z .

2oM o s t l e g y e n p > 0 o l y a n , h o g y

|x| > p > R.

E k k o r

1

p<

1

R= lim sup n

|cn|.

A s o r o z a t l i m e s z s z u p e r i o r j á n á l k i s e b b s z á m n á l n a g y o b b t a g j a a s o r o z a t n a k

v é g t e l e n s o k v a n , e z é r t v é g t e l e n s o k o l y a n n ∈ N v a n , a m e l y r e

1

p< n

|cn|.

A z

|x

|- k e l b e s z o r o z v a é s n- e d i k h a t v á n y r a e m e l v e a z t k a p j u k , h o g y v é g t e l e n s o k

n- r e

1 <

|x| p

n

< |cn||x|n.

H a e g y ö s s z e a d a n d ó s o r o z a t v é g t e l e n s o k t a g j a n a g y o b b 1 - n é l , a k k o r a z a s o r o z a t

n e m t a r t h a t 0 - h o z , í g y

cnxn

n e m l e h e t k o n v e r g e n s .

9 . 1 3 . T é t e l . L e g y e n f : R R, f ∈ C ∞(K (a)) ( a z f f ü g g v é n y a k á r h á n y s z o r

d i e r e n c i á l h a t ó a z a p o n t v a l a m e l y k ö r n y e z e t é b e n ) é s ∃L > 0, A > 0 , h o g y

∀x ∈ K (a) e s e t é n |f (n)(x)| ≤ LAn. E k k o r ∀x ∈ K (a) e s e t é n

f (x) = f (a) + f (a) · (x − a) +f (2)(a)

2!(x − a)2 + . . . +

f (n)(a)

n!(x − a)n + . . . ,

a z a z

f (x) =∞

n=0

f (n)(a)

n!(x − a)n.

B i z o n y í t á s . A T a y l o r - f o r m u l a s z e r i n t ∀x ∈ K (a) e s e t é n m i n d e n n ∈ N m e l l e t t

∃cn+1 a z a é s x k ö z ö t t o l y a n , h o g y a v é g t e l e n s o r n- e d i k r é s z l e t ö s s z e g é n e k a z

f (x) - t ® l v a l ó e l t é r é s e

|f (x) −n

k=0

f (k)(a)

k!(x − a)k| =

|f (n+1)(cn+1)|(n + 1)!

|x − a|n+1 ≤ LAn+1

(n + 1)!|x − a|n+1.

M i v e l

(A

|x

−a

|)n+1

(n+1)! → 0, e z é r t

limn

k=0

f (k)(a)

k! (x − a)

k

= f (x).



1 0 . f e j e z e t

T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k

S z á m o s j e l e n s é g l e í r á s á h o z k e v é s n e k b i z o n y u l a v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y . E z é r t

á l t a l á n o s í t j u k a m á r m e g i s m e r t f o g a l m a i n k a t i s . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r -

g y a l j u k .

• M ¶ v e l e t e k v e k t o r o k k a l é s m á t r i x o k k a l

• T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y f o g a l m a é s s z e m l é l t e t é s e

• V e k t o r s o r o z a t h a t á r é r t é k e

• T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y h a t á r é r t é k e é s f o l y t o n o s s á g a

• M e t r i k u s t é r

• S o r o z a t k o n v e r g e n c i á j a m e t r i k u s t é r b e n

• C a u c h y s o r o z a t , t e l j e s m e t r i k u s t é r

• N y í l t , z á r t , k o m p a k t h a l m a z f o g a l m a m e t r i k u s t é r b e n

• F o l y t o n o s f ü g g v é n y e k t u l a j d o n s á g a i m e t r i k u s t é r b e n

• K o n t r a k c i ó f o g a l m a , x p o n t t é t e l

1 0 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k A

1 0 . 1 . 1 . A z n

- d i m e n z i ó s t é r

A L i n e á r i s A l g e b r a t a n u l m á n y o z á s a s o r á n m e g i s m e r k e d t ü n k a z Rn

v e k t o r t é r r e l .

H a a z x ∈ Rne g y v e k t o r , a k k o r a z x = (x1, x2, . . . , xn) , a h o l xi ∈ R a v e k t o r

i - e d i k k o o r d i n á t á j a . A z x v e k t o r n o r m á j a ( h o s s z a )

x :=

x21 + x2

2 + . . . + x2n ∈ R.

A v e k t o r o k n o r m á j á r a i g a z , h o g y

1 5 1



1 5 2 F E J E Z E T 1 0 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y E K

1o x ≥ 0 , é s x = 0 ⇔ x = 0 ∈ Rn

2o λ ∈ R λx = |λ|x3o x + y ≤ x + y .

L e g y e n ei := (0, . . . , 1i), . . . 0) ∈ Rna z i - e d i k e g y s é g v e k t o r ( ei = 1) , i =

1, 2, . . . , n . E k k o r x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen.A z a, b ∈ Rn

v e k t o r o k s k a l á r i s s z o r z a t á n a z

a, b := a1b1 + a2b2 + . . . + anbn ∈ Rs z á m o t é r t j ü k . A s k a l á r i s s z o r z a t t u l a j d o n s á g a i :

1o a, b = b, a

2

o

a + b, c = a, c + b, c3o

h a λ ∈ R, λa,b = a,λb = λa, b4o a, a = a2 ≥ 0

5o |a, b| ≤ a · b ( C a u c h y B u n y a k o v s z k i j S c h w a r z - e g y e n l ® t l e n s é g )

A z a é s b v e k t o r o r t o g o n á l i s ( m e r ® l e g e s ) , h a a, b = 0.M e g i s m e r k e d t ü n k a m á t r i x o k k a l i s . H a A e g y m s o r b ó l é s n o s z l o p b ó l á l l ó

m á t r i x , a k k o r A ∈ Rm×n, a m e l y n e k i - e d i k s o r á n a k j - e d i k e l e m e aij .

L e g y e n A, B ∈ Rm×né s λ ∈ R. E k k o r C := A + B ∈ Rm×n

, a h o l cij = aij + bij ,

é s D := λA ∈ Rm×n, a h o l dij = λaij .

H a A ∈ Rm×né s B ∈ Rn× p

, a k k o r a z S := A · B ∈ Rm× p, a h o l sij =n

k=1 aikbkj.

Á l l a p o d j u n k m e g a b b a n , h o g y a z Rnv e k t o r t e r e t a z o n o s í t j u k a z Rn×1

o s z l o p -

m á t r i x o k t e r é v e l , a m i n e k l e g y e n a z a k ö v e t k e z m é n y e , h o g y a z x ∈ Rn, x =(x1, x2, . . . , xn) v e k t o r t a z o n o s í t j u k a z

x =

x1

x2

.

.

.

xn

∈ Rn×1

o s z l o p m á t r i x s z a l . ( J e l ö l é s b e n s e m t e s z ü n k k ü l ö n b s é g e t k ö z ö t t ü k , s ® t v e k t o r t

m o n d u n k , d e o s z l o p m á t r i x o t í r u n k . ) P é l d á u l , h a a, b ∈ Rn, a k k o r s k a l á r i s

s z o r z a t u k f e l f o g h a t ó a k ö v e t k e z ® a l a k ú n a k i s :

a, b = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn = [a1 a2 . . . an]

b1b2

.

.

.

bn

,

a z a z e g y R1×n

- b e l i s o r m á t r i x é s e g y Rn×1

- b e l i o s z l o p m á t r i x s z o r z a t a k é n t .



1 0 . 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y E K A 1 5 3

1 0 . 1 . 2 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k

L e g y e n f : Rn ⊃→ Rk n v á l t o z ó s , k d i m e n z i ó s v e k t o r é r t é k ¶ f ü g g v é n y . H a x ∈D(f ) é s x = (x1, x2, . . . , xn) v e k t o r , a k k o r f (x) ∈ Rk

, é s f (x) = (f 1(x), f 2(x), . . . , f k(x)),

a h o l f i : Rn R a z i - e d i k k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y ( i = 1, 2, . . . , k ) . A z i l y e n f

f ü g g v é n y t

f =

f 1f 2

.

.

.

f k

a l a k b a n i s m e g a d h a t j u k .

P é l d á u l l e g y e n

f : R2 → R3, f (x1, x2) := sin(x1x2)

x1 + x2

x2

.

I t t f 1 : R2 → R, f 1(x1, x2) := sin(x1x2) a z e l s ® k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y , f 2 : R2 →R, f 2(x1, x2) := x1 + x2 é s f 3 : R2 → R, f 3(x1, x2) = x2 a m á s o d i k i l l e t v e a

h a r m a d i k k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y .

N é z z ü n k n é h á n y s p e c i á l i s e s e t e t .

1o n = 1, k = 1, f ∈ R R a z e d d i g t á r g y a l t v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y .

2o n > 1, k = 1, f ∈ Rn → R n v á l t o z ó s , v a l ó s v a g y s k a l á r é r t é k ¶

f ü g g v é n y . S z e m l é l t e t é s e n = 2 e s e t é n . A z (x1, x2) ∈ D(f ) p o n t b a á l l í t o t t

m e r ® l e g e s r e f e l m é r j ü k a z f (x1, x2) ∈ Rs z á m o t . A z í g y k a p o t t p o n t o k

e g y f e l ü l e t e t a l k o t n a k ( 1 0 . 1 . á b r a ) . M á s f a j t a s z e m l é l t e t é s

n = 2e s e t é n .

L e g y e n c ∈ R é s

N c := (x1, x2) ∈ D(f ) | f (x1, x2) = c.

A z N c a z f f ü g g v é n y c - h e z t a r t o z ó s z i n t v o n a l a . N é h á n y c1 < c2 <. . . < cs s z á m h o z t a r t o z ó s z i n t v o n a l á b r á z o l á s a t a r t a l m a s k é p e t a d a z f f ü g g v é n y r ® l . A t é r k é p é s z e t b e n s z i n t v o n a l a s t é r k é p n e k n e v e z i k e z t ( 1 0 . 2 .

á b r a ) .

3o n := 1, k > 1, r ∈ R Rkv a l ó s v á l t o z ó s , k d i m e n z i ó s v e k t o r é r t é k ¶

f ü g g v é n y .

S z e m l é l t e t é s e k = 3 e s e t é n . L e g y e n D(r) := [α, β ]. A t ∈ [α, β ] p a r a m é t e r é r t é k h e z

h o z z á r e n d e l j ü k a z R3e g y

r(t) := (x(t), y(t), z(t))k o o r d i n á t á k k a l m e g a d o t t

p o n t j á t . A z í g y k a p o t t p o n t o k e g y t é r g ö r b é t a l k o t n a k ( 1 0 . 3 . á b r a ) . ( A

t é r g ö r b e a z r f ü g g v é n y é r t é k k é s z l e t e ! )

P é l d á u l

r : [0, 6π] → R3, r(t) :=

2cos t

2sin t0.5t




(x1,x

2)•

f(x1,x

2) •

1 0 . 1 . á b r a .

N50

N100

N150

x1

x2

1 0 . 2 . á b r a .



1 0 . 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y E K A 1 5 5

r(t)•

α βt

1 0 . 3 . á b r a .

e g y h á r o m m e n e t e s c s a v a r v o n a l l e s z , a m e l y 3π m a g a s s á g i g j u t é s e g y 2

s u g a r ú h e n g e r r e t e k e r e d i k f e l ( 1 0 . 4 . á b r a ) .

4o n > 1, k > 1, f ∈ Rn Rk

v e k t o r v á l t o z ó s v e k t o r é r t é k ¶ ( r ö v i d e n

v e k t o r - v e k t o r ) f ü g g v é n y .

A m i k o r a l é g t é r m i n d e n p o n t j á h o z h o z z á r e n d e l j ü k a p o n t b e l i s z é l s e b e s s é g e t

( v e k t o r t ! ) , a k k o r e g y

v ∈ R3 R3

s e b e s s é g f ü g g v é n y r ® l ( n é h a s e b e s s é g t é r n e k i s n e v e z i k ) b e s z é l ü n k . A m i k o r

e g y t ö m e g ( p é l d á u l e g y c s i l l a g ) g r a v i t á c i ó s t e r é r ® l b e s z é l ü n k , a k k o r a z R3

m i n d e n p o n t j á h o z h o z z á r e n d e l j ü k a z a b b a n a p o n t b a n é r v é n y e s g r a v i t á c i ó s

e r ® t ( v e k t o r t ) , í g y e g y g ∈ R3 R3

f ü g g v é n y í r j a l e a t ö m e g ( c s i l l a g )

g r a v i t á c i ó s t e r é t .

1 0 . 1 . 3 . H a t á r é r t é k é s f o l y t o n o s s á g

N é z z ü k , h o g y m i l y e n t u l a j d o n s á g o k á l t a l á n o s í t h a t ó k i l y e n f ü g g v é n y e k r e .

L e g y e n a := (a1, a2, . . . , am) : N→ Rmv e k t o r s o r o z a t . A z (an) v e k t o r s o r o z a t

k o n v e r g e n s , h a v a l a m i l y e n p o n t h o z t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l k e r ü l , p o n t o s a b b a n

1 0 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z (an) v e k t o r s o r o z a t k o n v e r g e n s , h a v a n

o l y a n

A ∈ Rm

, A = (A1, A2, . . . , Am)v e k t o r , h o g y b á r m e l y

ε > 0h i b a k o r l á t h o z

v a n o l y a n N k ü s z ö b i n d e x , h o g y m i n d e n n > N e s e t é n

an − A < ε.

E k k o r i s lim an = A v a g y an → A l e s z e n n e k a j e l e . K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y

an − A < ε ⇔ |ain − Ai| <ε√m

, i = 1, 2, . . . , m ,




•

r(t)

t

1 0 . 4 . á b r a .

e z é r t e g y v e k t o r s o r o z a t k o n v e r g e n s a k k o r é s c s a k a k k o r , h a m i n d e g y i k k o o r d i n á t a -

s o r o z a t ( s z á m s o r o z a t ) k o n v e r g e n s . P é l d á u l a z (( 1n , n

n+1)) v e k t o r s o r o z a t k o n v e r -

g e n s , m e r t

1n → 0, n

n+1→ 1, í g y lim( 1

n , nn+1

) = (0, 1). A z (( 1n , (−1)n)) v e k t o r -

s o r o z a t n e m k o n v e r g e n s ( d i v e r g e n s ) , m e r t ((−1)n) n e m k o n v e r g e n s .

L e g y e n f ∈ Rn Rk

é s a ∈ D(f ). A z f f ü g g v é n y t f o l y t o n o s n a k n e v e z z ü k a z

a p o n t b a n , h a a- h o z k ö z e l i p o n t o k b a n a f ü g g v é n y é r t é k e k k ö z e l v a n n a k f (a)- h o z ,

p o n t o s a b b a n

1 0 . 2 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f f o l y t o n o s a z a p o n t b a n , h a m i n d e n ε > 0

h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n δ > 0 i n g a d o z á s i l e h e t ® s é g , h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), x−a < δ e s e t é n f (x) − f (a) < ε.

E z t i s f ∈ C [a] j e l ö l j e .

K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y f = (f 1, f 2, . . . , f k) e s e t é n

f (x) − f (a) < ε ⇔ |f i(x) − f i(a)| <ε√k

, i = 1, 2, . . . , k ,

í g y f f o l y t o n o s a- b a n p o n t o s a n a k k o r , h a m i n d e n k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y e f o l y t o n o s

a z a- b a n . É r v é n y e s m o s t i s a z

1 0 . 1 . T é t e l . ( á t v i t e l i e l v )

f ∈ Rn Rk

, a ∈ D(f ) .

f ∈ C [a] ⇐⇒ minden(xn) ⊂ D(f ), xn → a s o r o z a t r a f (xn) → f (a) .

P é l d á u l

f : R2 → R3, f (x1, x2) :=

x1x2

x21

x2



1 0 . 2 . F E L A D A T O K 1 5 7

f o l y t o n o s a z a := (1, 3) p o n t b a n , m e r t t e t s z ® l e g e s (x1n, x2n) → (1, 3) s o r o z a t r a

x1n ·

x2n →

1·

3 , (x1n

)2

→12

é s x2n →

3, e z é r t f (x1n

, x2n

)→

f (1, 3). T e h á t

f ∈ C [(1, 3)].

N é h a s z ü k s é g l e h e t m á t r i x é r t é k ¶ f ü g g v é n y e k r e i s . H a f ∈ Rn Rk× p

, a k k o r

f ij ∈ Rn R a z (i, j) - e d i k k o m p o n e n s e . A z f l e g y e n a k k o r f o l y t o n o s a z

a ∈ D(f ) p o n t b a n , h a m i n d e n f ij k o m p o n e n s e f o l y t o n o s a z a- b a n . ( E l é g , h a

m e g g o n d o l j u k , h o g y Rk× pa z o n o s í t h a t ó a z Rkp

v e k t o r t é r r e l . )

M á t r i x é r t é k ¶ f ü g g v é n y a z

f : R2 → R2×2, f (x1, x2) :=

x1x2 ex1

0 x1 + x2

.

A z f f o l y t o n o s i s m i n d e n (a1, a2) ∈ R2p o n t b a n .

L e g y e n a ∈ Rné s r > 0

. A z a p o n t r s u g a r ú k ö r n y e z e t e l e g y e n

K r(a) := x ∈ Rn | x − a < r.

L e g y e n H ⊂ Rné s a ∈ Rn

. A z a p o n t t o r l ó d á s i p o n t j a a H h a l m a z n a k , h a

b á r m e l y K (a) k ö r n y e z e t b e n v é g t e l e n s o k H - b e l i p o n t v a n . E z t a ∈ H j e l ö l j e .

L e g y e n f ∈ Rn Rk

é s a ∈ (D(f )) .

1 0 . 3 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k v a n h a t á r é r t é k e a z ap o n t b a n , h a v a n o l y a n A ∈ Rk

, h o g y b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n

δ > 0, h o g y m i n d e n x ∈ D(f ), x − a < δ , x = a e s e t é n

f (x) − A < ε.

E z t lima f = A v a g y limx→a f (x) = A v a g y h a x

→a, a k k o r f (x)

→A j e l ö l j e .

K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y a z f ∈ Rn Rk f ü g g v é n y n e k a z a ∈ (D(f ))p o n t -

b a n p o n t o s a n a k k o r v a n h a t á r é r t é k e , h a m i n d e n f i ∈ Rn R k o o r d i n á t a -

f ü g g v é n y é n e k v a n h a t á r é r t é k e a z a- b a n .

M o s t i s é r v é n y e s a z

1 0 . 2 . T é t e l . ( á t v i t e l i e l v )

lima f = A ⇐⇒ m i n d e n (xn) ⊂ D(f ), xn → a, xn = a e s e t é n f (xn) → A.

1 0 . 2 . F e l a d a t o k

1 . I g a z o l j u k a C a u c h y B u n y a k o v s z k i j S c h w a r z - e g y e n l ® t l e n s é g e t : m i n d e n a, b ∈Rn

, a = (a1, a2, . . . , an) é s b = (b1, b2, . . . , bn) v e k t o r r a

|a, b| ≤ a · b,

v a g y

|a1b1 + a2b2 + . . . + anbn| ≤

a21 + a2

2 + . . . + a2n ·

b21 + b22 + . . . + b2n.

M e g o l d á s :




1oH a b = (0, 0, . . . , 0) v e k t o r , a k k o r n y i l v á n i g a z .

2o

H a

b = 0, a k k o r b á r m e l y

λ ∈ R e s e t é n

0 ≤ a + λb,a + λb = a, a + 2a, bλ + b, bλ2 =

= b2λ2 + 2a, bλ + a2.

A b = 0 m i a t t e z e g y o l y a n m á s o d f o k ú p o l i n o m , a m e l y m i n d e n

λ ∈ R e s e t é n n e m n e g a t í v é r t é k ¶ . E z é r t a d i s z k r i m i n á n s a D ≤ 0. Í g y

4a, b2 − 4b2a2 ≤ 0

a, b2 ≤ a2b2

|a, b| ≤ a · b.

2 . G o n d o l j u k v é g i g , h o g y a z

f :R2

→R

, f (x1, x2) := x

2

1 + x

2

2s z e m l é l t e t é s e

e g y f o r g á s f e l ü l e t . H o g y a n n é z h e t k i a g : R2 → R, g(x1, x2) := x21 + x2

2 −2x1 + 4x2 + 1 f e l ü l e t ?

3 . L e g y e n F : R3 \ 0 → R3, F (r) := − M rr3 , a h o l r = (x1, x2, x3), M > 0.

A d j u k m e g a z F =: (P,Q,R) k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y e i t !

4 . L e g y e n

g : R2 → R3, g(x, y) :=

xy

x + yx − y

,

f : R3 → R, f (u,v,w) := u2v + w3.

Í r j a f e l a z

f gf ü g g v é n y t !

5 . L e g y e n

f : R2 → R, f (x, y) :=

xyx2+y2 , h a x2 + y2 = 0

0, h a x2 + y2 = 0

V a n - e h a t á r é r t é k e a (0, 0) ∈ R2p o n t b a n a z f f ü g g v é n y n e k ?

M e g o l d á s : L e g y e n e l ® s z ö r (xn, yn) := ( 1n , 0) (n ∈ N). (xn, yn) → (0, 0), d e

(xn, yn) = (0, 0).

f (xn, yn) =1n · 01

n2 + 0= 0 → 0.

H a v i s z o n t (xn, yn) := ( 1

n

, 1

n

) (n∈N) , a k k o r u g y a n (xn, yn)

→(0, 0);

(xn, yn) = (0, 0), d e

f (xn, yn) =1n · 1

n1

n2 + 1n2

=1

2→ 1

2.

M i v e l k é t m e g f e l e l ® , (0, 0)- h o z t a r t ó s o r o z a t o n k ü l ö n b ö z ® a f ü g g v é n y é r t é k e k

s o r o z a t á n a k h a t á r é r t é k e , e z é r t a f ü g g v é n y n e k n i n c s h a t á r é r t é k e (0, 0)

- b a n .



1 0 . 3 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y E K E 1 5 9

6 . L e g y e n

f : R2 → R, f (x, y) :=

x2y2

x2+y2 , h a x2 + y2 = 0

0, h a x2 + y2 = 0

M u t a s s a m e g , h o g y f ∈ C [(0, 0)].

1 0 . 3 . T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k E

1 0 . 3 . 1 . M e t r i k u s t é r

L e g y e n M = ∅ é s ρ : M × M → R o l y a n f ü g g v é n y , a m e l y r e

1o ρ(x, y) ≥ 0 , é s ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y

2o ρ(x, y) = ρ(y, x)

3o ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)( h á r o m s z ö g - e g y e n l ® t l e n s é g )

A z i l y e n t u l a j d o n s á g ú ρ f ü g g v é n y t M - b e l i m e t r i k á n a k n e v e z z ü k , é s a z (M, ρ)l e g y e n a m e t r i k u s t é r .

P é l d á k

1 . (R, |x − y|) m e t r i k u s t é r .

2 . M = ∅ t e t s z ® l e g e s h a l m a z é s

d : M

×M

→R, d(x, y) := 1, h a x = y

0,h a

x = y.

(M, d) e g y d i s z k r é t m e t r i k u s t é r .

3 . a ) (R2, ρe) , a h o l h a x = (x1, x2) , y = (y1, y2), a k k o r

ρe(x, y) :=

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 = x − y (e u k l i d e s z i m e t r i k a )

b ) (R2, ρm), a h o l

ρm(x, y) := |x1 − y1| + |x2 − y2| (Minkowski − metrika)

c ) (R2, ρc), a h o l

ρc(x, y) := max

|x1

−y1

|,

|x2

−y2

|(Csebisev

−metrika)

d ) (R2, ρ p), a h o l p > 1 é s

ρ p(x, y) := (|x1 − y1| p + |x2 − y2| p)1p

L á t h a t ó , h o g y ρ2 = ρe ; ρ1 = ρm , é s b e l á t h a t ó , h o g y

ρ∞ = ρc.




4 . a ) ( C [a, b], ρc ) , a h o l ρc(f, g) := max|f (x) − g(x)| | x ∈ [a, b]b ) (

C [a, b], ρi) , a h o l

ρi(f, g) := b

a |f − g|S z á m o s t o v á b b i p é l d a l é t e z i k m e t r i k u s t é r r e .

L e g y e n (M, ρ) m e t r i k u s t é r , é s (xn) : N→ M e g y M - b e l i s o r o z a t .

1 0 . 4 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z (xn) k o n v e r g e n s , h a ∃a ∈ M , h o g y

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N e s e t é n ρ(xn, a) < ε.

J e l e : lim xn = a v a g y xn → a.K ö n n y e n l á t h a t ó , h o g y a z (R, |x−y|) m e t r i k u s t é r b e n a v a l ó s k o n v e r g e n s s o r o z a -

t o k l e s z n e k k o n v e r g e n s e k .

A z (M, d) d i s z k r é t m e t r i k u s t é r b e n c s a k a z o l y a n (xn) s o r o z a t l e s z k o n v e r g e n s ,

a m e l y h e z ∃N , h o g y ∀i ≥ N e s e t é n xi = xN .A 3 / a ) , b ) , c ) , d ) m e t r i k u s t e r e k b e n p o n t o s a n a z o k a k o n v e r g e n s (xn)

⊂R2

s o r o z a t o k , m e l y e k n e k a z (x1n) ⊂ R é s (x2n) ⊂ R k o o r d i n á t a - s o r o z a t a i k o n v e r -

g e n s e k .

A (C [a, b], ρc) m e t r i k u s t é r b e n h a (f n) ⊂ C [a, b] e g y k o n v e r g e n s s o r o z a t , a k k o r

∃f ∈ C [a, b] ∀ε > 0 ∃N ∀n > N

ρc(f n, f ) = max|f n(x) − f (x)| | x ∈ [a, b] < ε,

a m i e k v i v a l e n s a z z a l , h o g y ∀x ∈ [a, b] e s e t é n |f n(x)−f (x)| < ε. L á t h a t j u k , h o g y

e z é p p e n a z (f n) e g y e n l e t e s k o n v e r g e n c i á j á t j e l e n t i , é s f n →[a,b] f.

1 0 . 5 . D e n í c i ó . L e g y e n (M, ρ) m e t r i k u s t é r , é s (xn) ⊂ M e g y M - b e l i s o r o z a t .

A z t m o n d j u k , h o g y (xn) C a u c h y - s o r o z a t , h a ∀ε > 0 ∃N , h o g y ∀n, m > N e s e t é n ρ(xn, xm) < ε.

1 0 . 3 . T é t e l . H a (xn) ⊂ M k o n v e r g e n s , a k k o r (xn) C a u c h y - s o r o z a t .

B i z o n y í t á s . B i z o n y í t á s a s z ó s z e r i n t m e g e g y e z i k a v a l ó s s o r o z a t o k C a u c h y k o n -

v e r g e n c i a k r i t é r i u m a b i z o n y í t á s á n a k e l s ® r é s z é v e l ( t e r m é s z e t e s e n |x − y| h e l y e t t

ρ(x, y) é r t e n d ® . . . ) .

M e g f o r d í t v a á l t a l á b a n n e m i g a z a z á l l í t á s . P é l d á u l a (Q, |x − y|) m e t r i k u s

t é r b e n a z (( n+1n )n) ⊂ Q

e g y C a u c h y - s o r o z a t , v i s z o n t a z e ∈ R \ Q i r r a c i o n á l i s

s z á m h o z k e r ü l t e t s z ® l e g e s e n k ö z e l a s o r o z a t , e z é r t n i n c s Q- b e l i h a t á r é r t é k e , í g y

n e m k o n v e r g e n s .

1 0 . 6 . D e n í c i ó . A z (M, ρ) m e t r i k u s t e r e t t e l j e s m e t r i k u s t é r n e k n e v e z z ü k ,

h a

∀(xn)

⊂M C a u c h y - s o r o z a t k o n v e r g e n s .

A z (R, |x − y|) , a z (R2, ρ p) m i n d e n p > 1 e s e t é n t e l j e s . A (C [a, b], max |f − g|)i s t e l j e s , d e (C [a, b],

ba |f − g|) m á r n e m .

1 0 . 3 . 2 . N y í l t é s z á r t h a l m a z o k ; k o m p a k t h a l m a z

L e g y e n (M, ρ)

m e t r i k u s t é r , a ∈ M

é s r > 0

.



1 0 . 3 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y E K E 1 6 1

1 0 . 7 . D e n í c i ó . A z a p o n t r s u g a r ú k ö r n y e z e t e a

K r(a) := x ∈ M | ρ(x, a) < r.

A K (a) h a l m a z a z a p o n t e g y k ö r n y e z e t e , h a ∃r > 0, h o g y

K (a) = K r(a).

L e g y e n H ⊂ M é s a ∈ H .

1 0 . 8 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a b e l s ® p o n t j a H - n a k , h a ∃K (a) , a m e -

l y r e K (a) ⊂ H.

1 0 . 9 . D e n í c i ó . L e g y e n G ⊂ M . A G h a l m a z t n y í l t h a l m a z n a k n e v e z z ü k , h a

m i n d e n p o n t j a b e l s ® p o n t .

1 0 . 1 0 . D e n í c i ó . L e g y e n F ⊂ M . A z F h a l m a z t z á r t h a l m a z n a k n e v e z z ü k ,

h a a k o m p l e m e n t e r e F := M \ F n y í l t h a l m a z .

1 0 . 4 . T é t e l .

1o M é s ∅ n y í l t h a l m a z .

2oH a Gγ (γ ∈ Γ) n y í l t h a l m a z o k (Gγ ⊂ M, γ ∈ Γ), a k k o r ∪γ∈ΓGγ i s

n y í l t h a l m a z .

3oH a G1, G2, . . . , Gn v é g e s s o k n y í l t h a l m a z (Gi ⊂ M, i = 1, . . . , n) ,

a k k o r ∩ni=1Gi i s n y í l t h a l m a z .


1oN y i l v á n v a l ó a n i g a z .

2oL e g y e n a ∈ ∪γ∈ΓGγ t e t s z ® l e g e s . E k k o r ∃γ ∈ Γ, a ∈ Gγ . M i v e l Gγ n y í l t ,

e z é r t ∃K (a) ⊂ Gγ , d e e k k o r K (a) ⊂ Gγ ⊂ ∪γ∈ΓGγ m i a t t K (a) ⊂ ∪γ∈ΓGγ .T e h á t a b e l s ® p o n t j a a h a l m a z o k e g y e s í t é s é n e k .

3oL e g y e n a ∈ ∩n

i=1Gi t e t s z ® l e g e s . E k k o r ∀i = 1, 2, . . . , n e s e t é n a ∈ Gi.M i v e l Gi n y í l t , e z é r t ∃K ri(a) ⊂ Gi, i = 1, 2, . . . , n .L e g y e n r := minr1, r2, . . . , rn, n y i l v á n r > 0. K r(a) ⊂ Gi, i = 1, 2, . . . , n ,

í g y K r(a) ⊂ ∩ni=1Gi , t e h á t a b e l s ® p o n t j a a h a l m a z o k m e t s z e t é n e k .

1 0 . 5 . T é t e l .

1o M é s ∅ z á r t h a l m a z .

2oH a F γ (γ ∈ Γ) z á r t h a l m a z o k (F γ ⊂ M, γ ∈ Γ), a k k o r ∩γ∈ΓF γ i s z á r t

h a l m a z .

3oH a F 1, F 2, . . . , F n v é g e s s o k z á r t h a l m a z (F i ⊂ M, i = 1, . . . , n), a k k o r

∪ni=1F i i s z á r t h a l m a z .





1o M k o m p l e m e n t e r e ∅, a m i n y í l t . ∅ k o m p l e m e n t e r e M , a m i n y í l t .

2oA D e M o r g a n - a z o n o s s á g s z e r i n t ∩γ∈ΓF γ = ∪γ∈ΓF γ . M i n d e n F γ n y í l t ,

a z e g y e s í t é s ü k i s n y í l t , í g y ∩γ∈ΓF γ z á r t .

3o ∪ni=1F i = ∩n

i=1F i . F i n y í l t , i = 1, 2, . . . , n, é s v é g e s s o k n y í l t m e t s z e t e

i s n y í l t , í g y ∪ni=1F i z á r t .

L e g y e n K ⊂ M.

1 0 . 1 1 . D e n í c i ó . A K h a l m a z t k o m p a k t n a k n e v e z z ü k , h a b á r m i l y e n Gγ (γ ∈Γ) n y í l t h a l m a z o k e s e t é n , a m e l y r e K ⊂ ∪γ∈ΓGγ [Gγ (γ ∈ Γ) a K h a l m a z n y í l t

f e d ® r e n d s z e r e

], v a n o l y a n

γ 1, γ 2, . . . , γ n ∈ Γ, h o g y

K ⊂ ∪ni=1Gγi [v a n v é g e s

f e d ® r e n d s z e r e i s a K h a l m a z n a k ].

A z (R, |x−y|) m e t r i k u s t é r b e n a z [a, b] z á r t i n t e r v a l l u m , v a g y a z [a1, b1], [a2, b2], . . . ,

[ak, bk] z á r t i n t e r v a l l u m o k e g y e s í t é s e k o m p a k t . ( A n a l í z i s k ö n y v e k b e n B o r e l - t é t e l

n é v e n m e g t a l á l h a t ó , h o g y b á r m e l y I γ ⊂ R (γ ∈ Γ)n y í l t i n t e r v a l l u m r e n d s z e r -

b ® l , a m e l y r e [a, b] ⊂ ∪γ∈ΓI γ , k i v á l a s z t h a t ó v é g e s s o k : I γ1 , I γ2 , . . . I γn , a m e -

l y r e [a, b] ⊂ ∪ni=1I γi . ) A k o m p a k t h a l m a z a v é g e s s o k p o n t b ó l á l l ó h a l m a z

á l t a l á n o s í t á s a .

Rn- b e n e g y H ⊂ Rn

h a l m a z k o r l á t o s , h a ∃R > 0 , h o g y ∀x ∈ H e s e t é n x ≤ R.I g a z o l h a t ó , h o g y a ρ(x, y) := x − y m e t r i k á v a l e l l á t o t t

Rn- b e n K ⊂ Rn

k o m -

p a k t p o n t o s a n a k k o r , h a K k o r l á t o s é s z á r t .

1 0 . 3 . 3 . F o l y t o n o s f ü g g v é n y e k

L e g y e n (M 1, ρ1) é s (M 2, ρ2) m e t r i k u s t é r , é s l e g y e n f : M 1 → M 2 .

1 0 . 1 2 . D e n í c i ó . A z f f ü g g v é n y a z a ∈ D(f ) p o n t b a n f o l y t o n o s , h a ∀ε > 0∃δ > 0 ∀x ∈ D(f ) , a m e l y r e ρ1(x, a) < δ , t e l j e s ü l , h o g y ρ2(f (x), f (a)) < ε. J e l e :

f ∈ C [a].

L e g y e n A ⊂ D(f ) ⊂ M 1 .

1 0 . 1 3 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f f o l y t o n o s a z A h a l m a z o n , h a ∀a ∈A e s e t é n f ∈ C [a]. J e l e : f ∈ C (A) . H a A = D(f ), a k k o r f ∈ C.

1 0 . 6 . T é t e l . L e g y e n (M 1, ρ1), (M 2, ρ2) m e t r i k u s t é r , f : M 1 → M 2 . f ∈ C ⇔∀G ⊂ M 2 n y í l t h a l m a z e s e t é n a z f −1(G) ® s k é p i s n y í l t .


( ⇒) L e g y e n G ⊂ M 2 n y í l t é s a ∈ f −1(G) t e t s z ® l e g e s . ( H a f −1(G) ü r e s h a l m a z ,

a k k o r n y í l t . ) E k k o r f (a) ∈ G , é s m i v e l G n y í l t , e z é r t ∃K (f (a)) ⊂ M 2 k ö r n y e z e t ,

a m e l y r e K (f (a)) ⊂ G.

M i v e l f ∈ C [a]

, e z é r t e h h e z a K (f (a))

k ö r n y e z e t h e z i s





x0 ∈ M t e t s z ® l e g e s . T e k i n t s ü k a z

x1 := f (x0), x2 :=f (x1), . . . xn+1 := f (xn), . . . s o r o z a t o t . M e g m u t a t j u k , h o g y (xn) ⊂ M C a u c h y -

s o r o z a t .

1o ∀n ∈ N e s e t é n

ρ(xn+1, xn) = ρ(f (xn), f (xn−1)) ≤ qρ(xn, xn−1) = qρ(f (xn−1), f (xn−2)) ≤≤ q2ρ(xn−1, xn−2) ≤ . . . ≤ qnρ(x1, x0).

2oL e g y e n ∀n, m ∈ N, n > m. E k k o r a h á r o m s z ö g - e g y e n l ® t l e n s é g i s m é t e l t

a l k a l m a z á s á v a l , i l l e t v e a z 1or é s z b e n i g a z o l t a k s z e r i n t

ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, xn−1) + ρ(xn−1, xn−2) + . . . + ρ(xm+1, xm) ≤≤ qn−1ρ(x1, x0) + qn−2ρ(x1, x0) + . . . + qmρ(x1, x0) =

= qmρ(x1, x0)[1 + q + q2 + . . . + qn−m−1] ≤ qmρ(x1, x0)1

1 − q.

3oA q ∈ [0, 1) m i a t t qm → 0 , e z é r t ∀ε > 0 ∃N ∀n > N e s e t é n

qmρ(x1, x0)1

1 − q< ε.

L e g y e n n, m > N, n > m t e t s z ® l e g e s . E k k o r

ρ(xn, xm) ≤ qmρ(x1, x0)1

1

−q

< ε,

t e h á t (xn) C a u c h y - s o r o z a t . A z (M, ρ) t e l j e s s é g e m i a t t (xn) k o n v e r g e n s .

L e g y e n x∗ := lim xn. M e g m u t a t j u k , h o g y x∗ ∈ M a l e k é p e z é s x p o n t j a .

A f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k r e v o n a t k o z ó á t v i t e l i e l v s z e r i n t

x∗ = lim xn = lim f (xn−1) = f (lim xn−1) = f (x∗).

A z x∗ e g y é r t e l m ¶ s é g é h e z t e g y ü k f e l , h o g y y ∈ M i s o l y a n , h o g y f (y) = y.E k k o r

ρ(x∗, y) = ρ(f (x∗), f (y)) ≤ qρ(x∗, y),

a m i b ® l

0 ≤ ρ(x∗, y) · (q − 1)

k ö v e t k e z i k . A ρ(x∗, y) ≥ 0 , q − 1 < 0, e z é r t s z o r z a t u k c s a k ú g y l e h e t

n e m n e g a t í v , h a ρ(x∗, y) = 0 , a m e l y n e k a m e t r i k a 1ot u l a j d o n s á g a s z e r i n t

x∗ = y a k ö v e t k e z m é n y e . T e h á t e g y e t l e n x p o n t v a n c s a k .



1 1 . f e j e z e t

T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y

d i e r e n c i á l h a t ó s á g a

M e g i s m e r k e d ü n k a p a r c i á l i s d e r i v á l t t a l , a f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á v a l , a z

i r á n y m e n t i d e r i v á l t t a l . S z é l s ® é r t é k - s z á m í t á s e s z k ö z e i s l e s z a d e r i v á l t . A z a l á b b i

t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• P a r c i á l i s d e r i v á l t

• T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y d e r i v á l t j a , d e r i v á l t m á t r i x

• P a r c i á l i s d e r i v á l t a k é s a d e r i v á l t m á t r i x k a p c s o l a t a

• F e l ü l e t é r i n t ® s í k j a

• T é r g ö r b e é r i n t ® j e

• S z é l s ® é r t é k f o g a l m a é s s z ü k s é g e s f e l t é t e l e

• Y o u n g t é t e l e

• M á s o d i k d e r i v á l t , T a y l o r - f o r m u l a

• S z é l s ® é r t é k e l é g s é g e s f e l t é t e l e

1 1 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s d e r i v á l á s A

1 1 . 1 . 1 . P a r c i á l i s d e r i v á l t

L e g y e n f : R2 ⊃→ R f ü g g v é n y . T e k i n t s ü k a z é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y e g y a =(x, y) ∈ intD(f ) b e l s ® p o n t j á t . F e k t e s s ü n k a z a p o n t o n á t a z x t e n g e l l y e l

p á r h u z a m o s e g y e n e s t , e n n e k e g y p o n t j a

(x + t, y), t ∈ R

1 6 5



1 6 6 F E J E Z E T 1 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y D I F F E R E N C I Á L H A T Ó S Á G A

x

y

z

(x,y)

(x+t,y)

f(x,y)φ

1 1 . 1 . á b r a .

l e s z , m a j d v e g y ü k a f ü g g v é n y é r t é k e i t e z e k b e n a p o n t o k b a n : f (x + t, y). E k k o r

e g y φ : R ⊃→ R, φ(t) := f (x + t, y) v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y t é r t e l m e z t ü n k , a k é p e

e g y , a f e l ü l e t e n f u t ó g ö r b e ( 1 1 . 1 . á b r a ) .

1 1 . 1 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y a z (x, y) p o n t b a n a z e l s ®

v á l t o z ó s z e r i n t p a r c i á l i s a n d i e r e n c i á l h a t ó , h a φ d i e r e n c i á l h a t ó a t = 0p o n t b a n .

H a φ

∈D[0], a k k o r a z f e l s ® v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a a z (x, y)

p o n t b a n l e g y e n a φ(0), a z a z

∂ 1f (x, y) := φ(0).

E m l é k e z v e a v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á r a

∂ 1f (x, y) = limt→0

f (x + t, y) − f (x, y)

t

l e s z e z a p a r c i á l i s d e r i v á l t .

L á t h a t ó , h o g y a z e l s ® v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l h a t ó s á g c s a k a f e l ü l e t i

g ö r b e s i m a s á g á t j e l e n t i a t = 0 p o n t b a n , é s a ∂ 1f (x, y) e n n e k a f e l ü l e t i g ö r b é n e k

a m e r e d e k s é g é t a d j a . A z i s l e o l v a s h a t ó , h o g y

f (x + t, y) − f (x, y)

t≈ ∂ 1f (x, y), h a t ≈ 0,

a m i ú g y i s o l v a s h a t ó , h o g y c s u p á n a z e l s ® t e n g e l y i r á n y á b a k i m o z d u l v a a z (x, y)p o n t b ó l

f (x + t, y) ≈ f (x, y) + ∂ 1f (x, y) · t,h a

t ≈ 0.



1 1 . 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S D E R I V Á L Á S A 1 6 7

A z e l ® z ® e k n e k m e g f e l e l ® e n , h a a z (x, y) p o n t o n á t a z y t e n g e l l y e l p á r h u z a m o s

e g y e n e s t v e s z ü n k f e l , a k k o r i s k a p u n k e g y ψ : R⊃→

R, ψ(t) := f (x, y + t)f e l ü l e t i g ö r b é t . H a ψ ∈ D[0], a k k o r a z f a m á s o d i k v á l t o z ó j a s z e r i n t p a r c i á l i s a n

d i e r e n c i á l h a t ó a z (x, y)

p o n t b a n , é s

∂ 2f (x, y) := ψ(0) = limt→0

f (x, y + t) − f (x, y)

t

l e s z a z f m á s o d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a a z (x, y) p o n t b a n . A z

e l ® z ® e k h e z h a s o n l ó a ∂ 2f (x, y)

j e l e n t é s e i s .

G y a k r a n h a s z n á l j á k m é g ∂ 1f (x, y) h e l y e t t a

∂f ∂x (x, y), f x(x, y) é s a D1f (x, y)

j e l ö l é s e k e t i s . E n n e k m e g f e l e l ® e k a ∂ 2f (x, y) h e l y e t t h a s z n á l t j e l ö l é s e k i s .

M e g g y e l h e t ® , h o g y a z f e l s ® v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l h a t ó s á g á n á l a

m á s o d i k k o o r d i n á t a , a z y n e m v á l t o z i k , á l l a n d ó m a r a d . E z i n d o k o l j a , h o g y h a

e g y t e t s z ® l e g e s (x, y) p o n t b a n a k a r j u k p é l d á u l a z

f (x, y) := x2y3 + 2x + y ((x, y) ∈ R2)

f ü g g v é n y e l s ® v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j á t k i s z á m í t a n i a z (x, y) p o n t b a n ,

a k k o r a d e r i v á l á s s o r á n a z y k o n s t a n s n a k s z á m í t , t e h á t

∂ 1f (x, y) = 2xy3 + 2 + 0 ((x, y) ∈ R2).

U g y a n í g y a m á s o d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l á s s o r á n x s z á m í t k o n -

s t a n s n a k , t e h á t

∂ 2f (x, y) = x23y + 1 ((x, y) ∈ R2).

S a j n o s a z f a k á r m i n d k é t v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d i e r e n c i á l h a t ó s á g á b ó l m é g

a f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a s e m k ö v e t k e z i k a z a d o t t p o n t b a n . P é l d á u l a z

f : R2 → R, f (x, y) :=

1, h a xy = 00, h a xy = 0

f ü g g v é n y r e ∂ 1f (0, 0) = 0 é s ∂ 2f (0, 0) = 0 , d e f /∈ C [(0, 0)].

1 1 . 1 . 2 . D e r i v á l t m á t r i x

M o s t f o g l a l k o z z u n k a d i e r e n c i á l h a t ó s á g f o g a l m á n a k o l y a n k i a l a k í t á s á v a l , a m e l y

v a l ó d i á l t a l á n o s í t á s a a v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á n a k .

L e g y e n f : R2 ⊃→ R, (x, y) ∈ intD(f ).

1 1 . 2 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y f d i e r e n c i á l h a t ó a z (x, y) p o n t b a n , h a

v a n o l y a n

A1, A2 ∈ Ré s o l y a n

α : R2

⊃→ R f ü g g v é n y , h o g y m i n d e n o l y a n

h = (h1, h2) ∈ R2v e k t o r r a , a m e l y r e (x + h1, y + h2) ∈ D(f ), t e l j e s ü l , h o g y

f (x + h1, y + h2) − f (x, y) = A1h1 + A2h2 + α(h1, h2)

é s

limh→0

α(h)

h = 0.




A limh→0α(h)h = 0 a z α(h) m a r a d é k t a g k i c s i s é g é r e u t a l . N y i l v á n limh→0 α(h) =

0i s i g a z , d e h a

α(h)é r t é k e i t e l o s z t j u k a h ≈ 0

k i c s i s z á m m a l , a k k o r e z z e l f e l -

n a g y í t j u k a z α(h) é r t é k e i t , í g y h a m é g e z a h á n y a d o s i s 0 - h o z t a r t , a k k o r α(h)i g a z á n k i c s i .

A m i k o r a h := (h1, 0) a l a k ú , a k k o r á t r e n d e z é s é s h a t á r é r t é k k é p z é s u t á n

limh→0

f (x + h1, y) − f (x, y)

h1= lim

h1→0

A1 +

α(h1, 0)

|h1|

= A1,

a m e l y a z t j e l e n t i , h o g y h a f d i e r e n c i á l h a t ó a z (x, y) p o n t b a n , a k k o r A1 c s a k

∂ 1f (x, y) l e h e t .

A h := (0, h2) a l a k ú v e k t o r o k r a p e d i g a z a d ó d n a , h o g y A2 c s a k ∂ 2f (x, y) l e h e t .

Í g y h a f d i e r e n c i á l h a t ó a z (x, y) p o n t b a n , a k k o r a f ü g g v é n y f (x + h1, y + h2)−f (x, y) m e g v á l t o z á s a j ó l k ö z e l í t h e t ® a

∂ 1f (x, y)h1 + ∂ 2f (x, y)h2

l i n e á r i s f ü g g v é n n y e l , s ® t a z e l k ö v e t e t t h i b a , a z α(h1, h2) e l h a n y a g o l h a t ó a n k i c s i :

m é g a f e l n a g y í t o t t

α(h)h h á n y a d o s i s 0 - h o z k ö z e l i , h a h k i c s i .

M á t r i x o k a t h a s z n á l v a a z f d i e r e n c i á l h a t ó s á g a a z t j e l e n t i , h o g y v a n o l y a n α :R2 ⊃→ R

f ü g g v é n y , h o g y

f (x + h1, y + h2) − f (x, y) = [∂ 1f (x, y) ∂ 2f (x, y)]

h1

h2

+ α(h1, h2)

é s

limh→0

α(h)

h = 0.

A z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á t a z (x, y)∈

intD(f ) p o n t b a n j e l ö l j e f ∈D[(x, y)], é s a z f d e r i v á l t j a e b b e n a p o n t b a n

f (x, y) := [∂ 1f (x, y) ∂ 2f (x, y)] ∈ R1×2.

H a f ∈ D[(x, y)], a k k o r f ∈ C [(x, y)] i s , m e r t

limh1,h2→0

f (x+h1, y+h2)−f (x, y) = limh1,h2→0

∂ 1f (x, y)h1+∂ 2f (x, y)h2+α(h1, h2) = 0.

A m a t e m a t i k a a l k a l m a z á s a i s o r á n g y a k r a n h a s z n á l j á k a h1 =: ∆x, h2 =: ∆y j e l ö l é s t ; a f ü g g v é n y m e g v á l t o z á s á t

∆f := f (x + h1, y + h2) − f (x, y)

j e l ö l i . E k k o r a

∆f ≈ ∂f ∂x

∆x + ∂f ∂y

∆y

a r r a u t a l , h o g y a f ü g g v é n y ∆f m e g v á l t o z á s á t j ó l k ö z e l í t i a p a r c i á l i s d e r i v á l t a k k a l

k é s z í t e t t l i n e á r i s f ü g g v é n y . E n n e k m é g v a n e g y a l i g m a g y a r á z h a t ó , v é g t e l e n k i c s i

m e n n y i s é g e k e t h a s z n á l ó v á l t o z a t a i s :

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy.




A df a z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l j a n e v e t v i s e l i .

A k é t v á l t o z ó s f ü g g v é n y r e k i a l a k í t o t t f o g a l m a k a t m i n d e n n e h é z s é g n é l k ü l á l -

t a l á n o s í t h a t j u k a s o k v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k r e i s .

L e g y e n f : Rn ⊃→ R, x = (x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) ∈ intD(f ).

∂ if (x) := limt→0

f (x1, x2, . . . , xi + t , . . . , xn) − f (x1, x2, . . . , xi, . . . , xn)

t

a z f i - e d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a .

A z f : Rn ⊃→ Rf ü g g v é n y t a z x ∈ intD(f ) p o n t b a n d i e r e n c i á l h a t ó n a k n e v e z -

z ü k , h a l é t e z i k o l y a n

A := [A1 A2 . . . An] ∈ R1×n, é s l é t e z i k o l y a n α : Rn ⊃→ R

f ü g g v é n y , h o g y m i n d e n h

∈Rn

v e k t o r r a

f (x + h) − f (x) = Ah + α(h), a h o l limh→0

α(h)

h = 0.

I t t i s i g a z , h o g y Ai = ∂ if (x), i = 1, 2, . . . , n. H a f ∈ D[x], a k k o r

f (x) = [∂ 1f (x) ∂ 2f (x) . . . ∂ nf (x)].

V é g ü l l e g y e n f : Rn ⊃→ Rk, x ∈ intD(f ). A z f f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó a z

x p o n t b a n , h a l é t e z i k o l y a n A ∈ Rk×n, é s v a n o l y a n α : Rn ⊃→ Rk

f ü g g v é n y ,

h o g y m i n d e n h ∈ Rne s e t é n

f (x + h)

−f (x) = Ah + α(h), a h o l lim

h→

0

α(h)

h

= 0.

M o s t Aij = ∂ j f i(x), é s í g y

f (x) =

∂ 1f 1(x) ∂ 2f 1(x) . . . ∂ nf 1(x)∂ 1f 2(x) ∂ 2f 2(x) . . . ∂ nf 2(x)

.

.

.

∂ 1f k(x) ∂ 2f k(x) . . . ∂ nf k(x)

∈ Rk×n

a z f d e r i v á l t j a a z x p o n t b a n . J a c o b i - m á t r i x n a k n e v e z i k .

P é l d á u l

1 . f (x,y,z) := xyz e s e t é n f (x,y,z) = [yz xz xy]

2 . r(t) :=

cos tsin t

t

e s e t é n r(t) :=

− sin tcos t

1

3 . F (x,y,z) =

P (x,y,z)

Q(x,y,z)R(x,y,z)

e s e t é n F (x,y,z) =

∂ xP ∂ yP ∂ zP

∂ xQ ∂ yQ ∂ zQ∂ xR ∂ yR ∂ zR




1 1 . 1 . 3 . É r i n t ®

F e l ü l e t é r i n t ® s í k j a

L e g y e n f : R2 ⊃→ R, (x0, y0) ∈ intD(f ), é s t e g y ü k f e l , h o g y f ∈ D[(x0, y0)] .


f (x, y) − f (x0, y0) ≈ ∂ 1f (x0, y0)(x − x0) + ∂ 2f (x0, y0)(y − y0),

h a (x, y) ≈ (x0, y0), é s e z a k ö z e l í t é s e l é g j ó . L e g y e n z0 := f (x0, y0), a k k o r a

z := ∂ 1f (x0, y0)(x − x0) + ∂ 2f (x0, y0)(y − y0) + z0

e s e t é n f (x, y) ≈ z , h a (x, y) ≈ (x0, y0) . V e g y ü k é s z r e , h o g y h a

n := (∂ 1f (x0, y0), ∂ 2f (x0, y0), −1),

r0 := (x0, y0, z0),

r := (x,y,z),

a k k o r a z n, r − r0 = 0 e g y e n l e t ¶ s í k r ó l l á t t u k b e , h o g y e l é g j ó l k ö z e l í t i a z f f ü g g v é n n y e l l e í r t f e l ü l e t e t .

A z n, r − r0 = 0 e g y e n l e t ¶ s í k o t a z f f e l ü l e t (x0, y0, f (x0, y0)) p o n t h o z t a r t o z ó

é r i n t ® s í k j á n a k n e v e z z ü k .

T é r g ö r b e é r i n t ® j e

L e g y e n r : R ⊃→ R3, t0 ∈ intD(r), é s t e g y ü k f e l , h o g y r ∈ D[t0].

H a

r(t) = x(t)

y(t)z(t)

,

a k k o r

r(t) − r(t0) =

x(t) − x(t0)

y(t) − y(t0)z(t) − z(t0)

≈ r(t0) · (t − t0) =

x(t0)

y(t0)z(t0)

(t − t0),

é s e z a k ö z e l í t é s e l é g j ó . E z a z t j e l e n t i , h o g y a

v :=

x(t0)

y(t0)z(t0)

i r á n y v e k t o r ú é s r0 :=

x(t0)

y(t0)z(t0)

p o n t o n á t m e n ®

e g y e n e s r :=

xyz

f u t ó p o n t j á r a

x = x(t0) + x(t0) · (t − t0)

y = y(t0) + y(t0) · (t − t0)

z = z(t0) + z(t0) · (t − t0)




é s e z a z e g y e n e s k ö z e l h a l a d a g ö r b é h e z , a z a z r(t) ≈ r , h a t ≈ t0 .

A z r = r0

+ v(t−

t0

) e g y e n e s t a z r t é r g ö r b e t0

p a r a m é t e r é r t é k h e z t a r t o z ó

é r i n t ® e g y e n e s é n e k n e v e z z ü k , a m e l y n e k i r á n y v e k t o r a a z r(t0) é r i n t ® v e k t o r .

( H a g y o m á n y o s a n t é r g ö r b é k e s e t é n a d e r i v á l t a t n e m v e s s z ® , h a n e m p o n t j e l ö l i . )

1 1 . 1 . 4 . S z é l s ® é r t é k

L e g y e n f : R2 ⊃→ R, a = (a1, a2) ∈ D(f ).

1 1 . 3 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k l o k á l i s m i n i m u m a v a n

a z a p o n t b a n , h a v a n o l y a n K (a) k ö r n y e z e t e a z a p o n t n a k , h o g y m i n d e n x =(x1, x2) ∈ K (a) ∩ D(f ) e s e t é n

f (x1, x2) ≥ f (a1, a2) v a g y f (x) ≥ f (a).

H a s o n l ó a l o k á l i s m a x i m u m f o g a l m a i s .

1 1 . 1 . T é t e l . ( L o k á l i s s z é l s ® é r t é k s z ü k s é g e s f e l t é t e l e )

L e g y e n f : R2 R, a = (a1, a2) ∈ intD(f ) é s f ∈ D[a]. H a f - n e k a- b a n l o k á l i s

s z é l s ® é r t é k e ( v a g y m i n i m u m a v a g y m a x i m u m a ) v a n , a k k o r f (a) = 0.[f (a) = 0 ⇐⇒ ∂ 1f (a1, a2) = 0 é s ∂ 2f (a1, a2) = 0.]

B i z o n y í t á s k é n t e l é g a r r a g o n d o l n i , h o g y h a f - n e k a z (a1, a2) p o n t b a n l o k á l i s

m i n i m u m a v a n , a k k o r a

φ : R ⊃→ R, φ(t) := f (t, a2)

f ü g g v é n y n e k a t = a1 p o n t b a n l e s z l o k á l i s m i n i m u m a .

M i v e l f ∈ D[(a1, a2)], e z é r t φ ∈ D[a1], e z é r t φ(a1) = 0 , a m i é p p e n a z t j e l e n t i ,

h o g y ∂ 1f (a1, a2) = 0.U g y a n e z e l m o n d h a t ó a

ψ : R ⊃→ R, ψ(t) := f (a1, t)

f ü g g v é n y r ® l i s . Í g y ψ(a2) = 0 , a m i ∂ 2f (a1, a2) = 0.E z z e l a m ó d s z e r r e l k e r e s h e t j ü k m e g e g y d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y l e h e t s é g e s

s z é l s ® é r t é k h e l y e i t .

E r e d m é n y e i n k e t s z i n t e v á l t o z t a t á s n é l k ü l v i h e t j ü k á t f : Rn ⊃→ R f ü g g v é n y r e

i s .

1 1 . 2 . T é t e l . L e g y e n f : Rn ⊃→ R, a ∈ intD(f ) é s f ∈ D[a]. H a f - n e k a- b a n

l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e v a n , a k k o r f (a) = 0.[f (a) = 0 ⇐⇒ ∂ 1f (a) = 0, ∂ 2f (a) = 0, . . . , ∂ nf (a) = 0.]

H a f : Rn

⊃→R é s f

∈D[a], a k k o r a z f

(a)

∈R1

×n

s o r m á t r i x h e l y e t t a

gradf (a) := (f (a))T v e k t o r t h a s z n á l j á k .

T e h á t

gradf (a) =

∂ 1f (a)∂ 2f (a)

.

.

.

∂ nf (a)

( o s z l o p m á t r i x , a m i t a z o n o s í t h a t u n k e g y v e k t o r r a l ) .




A gradf (a) s z e m l é l e t e s j e l e n t é s é t a 4 . f e l a d a t b a n m u t a t j u k m e g .

1 1 . 2 . F e l a d a t o k

1 . K é p z e l j e e l a z f : R2 → R,

f (x, y) := x2 + y2;

f (x, y) := x2 + y2 + 4x − 2y + 10 ;

f (x, y) := 2x2 + 5y2;

f ü g g v é n y e k k e l s z á r m a z t a t o t t f e l ü l e t e k e t . H o g y a n n é z h e t k i a

h : (x, y) | x2 + y2 < 100 → R, h(x, y) := −x2 − y2 + 100

f ü g g v é n y f e l ü l e t e ?

2 . Í r j a f e l a z f : R2 → R, f (x, y) := x2y3f ü g g v é n y (x0, y0) := (1, 2) p o n t h o z

t a r t o z ó é r i n t ® s í k j á t .

3 . Í r j a f e l a z r : [0, 4π] → R3, r(t) := (2cos t, 2sin t, t) t é r g ö r b e b á r m e l y

t0 ∈ (0, 4π) p o n t h o z t a r t o z ó é r i n t ® v e k t o r á t . S z á m o l j a k i a z r(t0), e3s k a l á r i s s z o r z a t o t ( e3 := (0, 0, 1)) . É r t e l m e z z e a z e r e d m é n y t !

4 . L e g y e n f : R2 → R, a ∈ intD(f ) é s e ∈ R2, a m e l y r e e = 1. A z f

f ü g g v é n y a

p o n t b e l i e

i r á n y m e n t i d e r i v á l t j á n a

∂ ef (a) := limt→0

1

t

(f (a + te)

−f (a))

h a t á r é r t é k e t é r t j ü k , h a e z a h a t á r é r t é k l é t e z i k .

H a f ∈ D[a], a k k o r m e g m u t a t h a t ó , h o g y

∂ ef (a) = gradf (a), e.

M u t a s s u k m e g , h o g y a f e l ü l e t a gradf (a)

v e k t o r r a l p á r h u z a m o s i r á n y b a n

a l e g m e r e d e k e b b a z a p o n t b a n .

M e g o l d á s : A z t a z e ∈ R2, e = 1 i r á n y t k e l l e n e m e g t a l á l n i , a m e l y r e

∂ ef (a) ≤ ∂ ef (a), h a e ∈ R2, e = 1. S í k b e l i v e k t o r o k e s e t é n l á t h a t t u k a

L i n e á r i s A l g e b r á b a n , h o g y

gradf (a), e

=

gradf (a)

· e

cos α,

a h o l α a k é t v e k t o r h a j l á s s z ö g e . M i v e l a gradf (a) n e m v á l t o z i k ( a z

a ∈ intD(f ) r ö g z í t e t t ) , a z e = 1 , e z é r t a s z o r z a t a k k o r a l e g n a g y o b b , h a

cos α = 1 , a z a z e p á r h u z a m o s a gradf (a) v e k t o r r a l .

E n n e k a k ö v e t k e z m é n y e , h o g y e g y h e g y r ® l l e f u t ó p a t a k , d e a g l e c c s e r e k i s

m i n d e n p o n t b a n a z a b b a n a p o n t b a n é r v é n y e s g r a d i e n s s e l p á r h u z a m o s a n

m o z o g n a k .



1 1 . 2 . F E L A D A T O K 1 7 3

5 . L e g k i s e b b n é g y z e t e k m ó d s z e r e

T e g y ü k f e l , h o g y v a l a m i l y e n ö s s z e f ü g g é s k i m u t a t á s á h o z m é r é s e k e t v é g z ü n k .

A z xi é r t é k h e z yi m é r é s i e r e d m é n y t a r t o z i k . A z a s e j t é s ü n k , h o g y a z

(xi, yi), i = 1, 2, . . . , n p o n t o k n a k e g y e g y e n e s e n k e l l e n e e l h e l y e z k e d n i ü k .

K e r e s s ü k m e g a m é r é s i p o n t o k h o z l e g j o b b a n i l l e s z k e d ® y = Ax + B a l a k ú

e g y e n e s t !

M e g o l d á s : A

ni=1(Axi + B − yi)2 a m é r é s i p o n t é s a z e g y e n e s k ö z ö t t i

ö s s z e s e l t é r é s n é g y z e t ö s s z e g e . S z e r e t n é n k , h a e z a l e g k i s e b b l e n n e .

L e g y e n e(A, B) :=n

i=1(Axi +B−yi)2 . O t t l e h e t m i n i m á l i s a z e f ü g g v é n y ,

a h o l e(A, B) = 0 , a z a z

∂ Ae(A, B) =

2(Axi + B − yi)xi = 0

∂ Be(A, B) = 2(Axi + B − yi) = 0

R é s z l e t e s e b b e n

A

x2i + B

xi =

xiyi

A

xi + Bn =

yi

E z e g y k é t i s m e r e t l e n e s ( A é s B ) l i n e á r i s e g y e n l e t r e n d s z e r , a m e l y n e k m e g -

o l d á s a ( m i n d i g m e g o l d h a t ó , h a a z xi p o n t o k k ü l ö n b ö z n e k )

A =n

xiyi −xi

yi

n

x2i − (

xi)2

, B =

x2

i

yi −xi

xiyi

n

x2i − (

xi)2

.

( A z ö s s z e g z é s e k m i n d e n ü t t 1 - t ® l n- i g é r t e n d ® k . ) M e g m u t a t h a t ó , h o g y a z

i l y e n A é s B e s e t é n a z y = Ax+B v a l ó b a n a l e g k ö z e l e b b m e g y a p o n t o k h o z .

6 . L e g y e n f : R2 → R, f (x, y) := exy cos(x2y3).

S z á m í t s a k i a ∂ xf (x, y), ∂ yf (x, y), ∂ y(∂ xf )(x, y) é s ∂ x(∂ yf )(x, y) p a r c i á l i s

d e r i v á l t a k a t . M i t t a p a s z t a l ?

7 . L e g y e n f : R2 → R,

f (x, y) :=

xy x2−y2

x2+y2 , h a x2 + y2 = 0

0, h a x2 + y2 = 0

M u t a s s a m e g , h o g y

∂ y(∂ xf )(0, 0) = ∂ x(∂ yf )(0, 0).

8 . K e r e s s e m e g a z f : R2 → R, f (x, y) := x4 + y4 − 2x + 3y + 1 f ü g g v é n y

l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e i t .

9 . A 2x5y3 + x3y5 −3x4y2 + 5xy3 = 6x2 − 1 e g y e n l ® s é g x = 1 é s y = 1 e s e t é n

t e l j e s ü l . V a n - e e z e n k í v ü l m á s m e g o l d á s a a z e g y e n l e t n e k ?




M e g o l d á s : L e g y e n f : R2 → R, f (x, y) := 2x5y3 + x3y5 − 3x4y2 + 5xy3 −

6x2 + 1 . N y i l v á n f ∈

C 1 é s f (1, 1) = 0 .

∂ 2f (x, y) = 6x5y2 + 5x3y4 − 6x4y + 15xy2, e z é r t ∂ 2f (1, 1) = 20 = 0 .

A z i m p l i c i t f ü g g v é n y t é t e l e s z e r i n t l é t e z i k K µ(1)é s K ρ(1)

k ö r n y e z e t é s

v a n o l y a n φ : K µ(1) → K ρ(1) d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y , a m e l y r e m i n d e n

x ∈ (1−µ, 1+ µ) e s e t é n f (x, φ(x)) = 0 , a z a z v é g t e l e n s o k m e g o l d á s a v a n a z

e g y e n l e t n e k . ( T e r m é s z e t e s e n e z n e m j e l e n t i a z t , h o g y a z (1, 1) s z á m p á r o n

k í v ü l v a n m é g m á s , e g é s z e k b ® l á l l ó s z á m p á r i s e z e k k ö z ö t t ! ) M i v e l

∂ 1f (x, y) = 10x4y3 + 3x2y5 − 12x3y5 + 5y3 − 12x, ∂ 1f (1, 1) = −6,

e z é r t

φ(1) = −∂ 1f (1, 1)

∂ 2f (1, 1)=

3

10.

E z t f e l h a s z n á l v a a φ f ü g g v é n y t k ö z e l í t ® l e g e l ® t u d j u k á l l í t a n i :

φ(x) ≈ φ(1) + φ(1)(x − 1), h a x ≈ 1,

a z a z

φ(x) ≈ 1 +3

10(x − 1), h a x ≈ 1.

1 0 . T e g y ü k f e l , h o g y v a n o l y a n y : R ⊃→ R d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y , a m e l y e t

a z xy + ex+y − y2 + 5 = 0 e g y e n l e t d e n i á l . S z á m í t s u k k i a d e r i v á l t j á t !

M e g o l d á s : L e g y e n f : R2 ⊃→ R, f (x, y) := xy + ex+y − y2 + 5 . A f e l t é t e l

s z e r i n t m i n d e n x

∈D(y) e s e t é n

h(x) := f (x, y(x)) = 0,

e z é r t a h f ü g g v é n y d e r i v á l t j a i s 0 , a z a z m i n d e n x ∈ D(y) e s e t é n

h(x) = (xy(x)+ex+y(x)−y2(x)+5) = y(x)+xy(x)+ex+y(x)·(1+y(x))−2y(x)y(x) = 0.

E b b ® l y(x) k i f e j e z h e t ® :

y(x) = − y(x) + ex+y(x)

x + ex+y(x) − 2y(x)(x ∈ D(y)).

A z e r e d m é n y t g y a k r a n a f e l ü l e t e s

y = − y + ex+y

x + ex+y − 2y

a l a k b a n i s f e l í r j á k .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y i l y e n k o r a f e l t é t e l e k e l l e n ® r z é s e n é l k ü l a z i m p l i c i t m ó -

d o n d e n i á l t f ü g g v é n y d e r i v á l á s i s z a b á l y á t a l k a l m a z z u k v a l ó j á b a n .



1 1 . 2 . F E L A D A T O K 1 7 5

1 1 . E g y g á z á l l a p o t á t a z F ( p,V,T ) = 0 á l l a p o t e g y e n l e t t e l a d j u k m e g . ( I d e á l i s

g á z e s e t é n e z pV −

nRT = 0 a l a k ú . ) E z a z e g y e n l e t h á r o m i m p l i c i t f ü g -

g v é n y t d e n i á l :

p = p(V, T ),

V = V (T, p),

T = T ( p,V ).

M u t a s s u k m e g , h o g y

∂ V p(V, T ) · ∂ T V (T, p) · ∂ pT ( p,V ) = −1.

M e g o l d á s : F e l t é t e l e z v e , h o g y t e l j e s ü l n e k a z i m p l i c i t f ü g g v é n y t é t e l é b e n s z -

e r e p l ® f e l t é t e l e k , a z i m p l i c i t f ü g g v é n y e k e t r e n d r e v i s s z a h e l y e t t e s í t v e k a p j u k ,

h o g y

(V, T ) → F ( p(V, T ), V , T ) = 0,

(T, p) → F ( p,V (T, p), T ) = 0,

( p,V ) → F ( p,V,T ( p,V )) = 0.

A z a z o n o s a n 0 f ü g g v é n y p a r c i á l i s d e r i v á l t j a i s 0 , e z é r t

∂ V F ( p(V, T ), V , T ) = ∂ 1F · ∂ V p + ∂ 2F · ∂ V V + ∂ 3F · ∂ V T = 0 ⇒ ∂ V p = −∂ 2F

∂ 1F ,

∂ T F ( p,V (T, p), T ) = ∂ 1F · ∂ T p + ∂ 2F · ∂ T V + ∂ 3F · ∂ T T = 0 ⇒ ∂ T V = −∂ 3F

∂ 2F ,

∂ pF ( p,V,T ( p,V )) = ∂ 1F · ∂ p p + ∂ 2F · ∂ pV + ∂ 3F · ∂ pT = 0 ⇒ ∂ pT = −∂ 1F ∂ 3F

.

E b b ® l

∂ V p · ∂ T V · ∂ pT =

−∂ 2F

∂ 1F

−∂ 3F

∂ 2F

−∂ 1F

∂ 3F

= −1.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y a f e l ü l e t e s e n g o n d o l k o d ó k c s o d á l k o z n a k a z o n , h o g y

h a g y o m á n y o s j e l ö l é s e k k e l é s f o r m á l i s t ö r t e k n e k v é v e a p a r c i á l i s d e r i v á l -

t a k a t

∂p

∂V · ∂V

∂T · ∂T

∂p= 1

l e n n e a v á r h a t ó e r e d m é n y . . . A pV −nRT = 0 e s e t e t v é g i g s z á m o l v a g y ® z ® d -

j ü n k m e g r ó l a , h o g y a s z o r z a t v a l ó b a n (−1).

1 2 . L e g y e n Φ : R2 → R3, Φ(u, v) =

x(u, v)

y(u, v)z(u, v)

:=

u + v

u2 + v2

u3 + v3

e g y k é t -

p a r a m é t e r e s m ó d o n a d o t t f e l ü l e t . A z (u0, v0) := (1, 2)

p a r a m é t e r é r t é k h e z



1 1 . 3 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S D E R I V Á L Á S E 1 7 7

x2 + y2 − 1 = 0 f e l t é t e l m e l l e t t !

K é s z í t s ü k e l a z F (x, y) := f (x, y) + λg(x, y) = x2 + y2

−2x + 4y

−1 +

λ(x2 + y2 − 1) f ü g g v é n y t .

∂ 1F (x, y) = 2x − 2 + 2λx = 0

∂ 2F (x, y) = 2y + 4 + 2λy = 0

x2 + y2 − 1 = 0

M e g o l d v a a h á r o m i s m e r e t l e n e s e g y e n l e t r e n d s z e r t ( é p p e n a n n y i e g y e n l e t á l l

r e n d e l k e z é s ü n k r e , a m e n n y i a z i s m e r e t l e n e k s z á m a . . . ) , a z t k a p j u k , h o g y

x = 11+λ , y = − 2

1+λ , a m e l y e k b ® l

1

(1 + λ)2+

4

(1 + λ)2= 1.

K é t m e g o l d á s i s v a n : λ1 =√

5−1 é s λ2 = −√5−1. E z e k h e z a P 1( 1√

5, − 2√

5)

é s a P 2(− 1√5

, 2√5

) p o n t o k t a r t o z n a k .

L e g y e n e l ® s z ö r λ1 =√

5 − 1 é s P 1( 1√5

, − 2√5

).

F 1(x, y) = f (x, y) + λ1g(x, y)

F 1(x, y) =

2x − 2 + 2(√

5 − 1)x 2y + 4 + 2(√

5 − 1)y

F 1 (x1, y1) =

2 + 2(

√5 − 1) 0

0 2 + 2(√

5 − 1)

=

2√

5 0

0 2√

5

e g y p o z i t í v d e n i t k v a d r a t i k u s a l a k m á t r i x a , í g y b á r m e l y h

∈R2, h

=

0 v e k t o r e s e t é n F 1 (x1, y1)h, h > 0 . E m i a t t a P 1( 1√5

, − 2√5

) p o n t b a n

m i n i m u m a v a n a z f f ü g g v é n y n e k a g = 0 f e l t é t e l m e l l e t t .

A λ2 = −√5 − 1 é s P 2(− 1√

5, 2√

5) s z i n t é n d e n i á l e g y F 2(x, y) = f (x, y) +

λ2g(x, y) f ü g g v é n y t .

F 2(x, y) =

2x − 2 + 2(−√5 − 1)x 2y + 4 + 2(−√

5 − 1)y

F 2 (x2, y2) =

2 + 2(−√

5 − 1) 0

0 2 + 2(−√5 − 1)

=

−2√

5 0

0 −2√

5

e g y n e g a t í v d e n i t k v a d r a t i k u s a l a k m á t r i x a , í g y b á r m e l y h ∈ R2, h =0 v e k t o r e s e t é n F 2 (x2, y2)h, h < 0 . E m i a t t a P 2(− 1√

5, 2√

5) p o n t b a n

m a x i m u m a v a n a z

f f ü g g v é n y n e k a

g = 0f e l t é t e l m e l l e t t .

1 1 . 3 . T ö b b v á l t o z ó s d e r i v á l á s E

1 1 . 3 . 1 . P a r c i á l i s d e r i v á l t é s d e r i v á l t m á t r i x

L e g y e n f : Rn ⊃→ R, x ∈ intD(f )

.




1 1 . 4 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f a z i - e d i k v á l t o z ó s z e r i n t ( i = 1, 2, . . . , n)

p a r c i á l i s a n d i e r e n c i á l h a t ó a z x p o n t b a n , h a

∃ limt→0

1

t(f (x + tei) − f (x)) ∈ R.

( I t t ei = (0, . . . , 1i), . . . , 0) a z i - e d i k e g y s é g v e k t o r . )

H a l é t e z i k a h a t á r é r t é k , a k k o r a z f i - e d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a a z

x p o n t b a n

∂ if (x) := limt→0

1

t(f (x + tei) − f (x)).

1 1 . 5 . D e n í c i ó . L e g y e n f : Rn ⊃→ Rk, x ∈ intD(f ). A z t m o n d j u k , h o g y f d i e r e n c i á l h a t ó a z x p o n t b a n ( f ∈ D[x]) , h a ∃F x : D(f ) → Rk×n

m á t r i x é r t é k ¶

f ü g g v é n y , a m e l y r e

F x ∈ C [x]é s ∀z ∈ D(f )

e s e t é n

f (z) − f (x) = F x(z) · (z − x).

H a f ∈ D[x], a k k o r f (x) := F x(x) a d e r i v á l t m á t r i x .

1 1 . 3 . T é t e l . f : Rn ⊃→ Rk, x ∈ intD(f )f ∈ D[x] ⇐⇒ f j ∈ D[x], j = 1, 2, . . . , k


A z f =

f 1f 2

.

.

.

f k

, a z F x =

F 1F 2

.

.

.

F k

,

a h o l F j ∈ R1×ns o r m á t r i x . E z é r t a z

f (z) − f (x) = F x(z) · (z − x) ⇔ f j(z) − f j (x) = F j (z) · (z − x), j = 1, . . . , k .

1 1 . 4 . T é t e l . H a g : Rn ⊃→ Rm, g ∈ D[x] é s f : Rm ⊃→ R p, f ∈ D[g(x)],

a k k o r f g ∈ D[x], é s (f g)(x) = f (g(x)) · g(x).

B i z o n y í t á s . A b i z o n y í t á s s z ó s z e r i n t m e g e g y e z i k a v a l ó s - v a l ó s k ö z v e t e t t f ü g -

g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó s á g á r ó l s z ó l ó t é t e l é v e l , c s u p á n a Gx : D(g) → Rm×né s

F g(x) : D(f )

→R p×m

f ü g g v é n y e k e t k e l l s z e r e p e l t e t n i .

1 1 . 5 . T é t e l . H a f : Rn ⊃→ Rk, f ∈ D[x], a k k o r

f (x) =

∂ 1f 1(x) . . . ∂ nf 1(x).

.

.

∂ 1f k(x) . . . ∂ nf k(x)

∈ Rk×n.




B i z o n y í t á s . H a

f ∈ D[x], a k k o r

∃F x : D(f ) →Rk

×n

, F x ∈ C [x],a m e l y r e

∀z ∈ D(f ) e s e t é n f (z) − f (x) = F x(z) · (z − x).

L e g y e n j = 1, 2, . . . , k é s i = 1, 2, . . . , n . E k k o r f j (z) − f j (x) = (F x(z))j · (z −x),

a h o l (F x(z))j a z F x(z) j - e d i k s o r a .

V á l a s s z u k a

z :=

x1

.

.

.

t.

.

.

xn

∈ D(f )

v e k t o r t . E k k o r

f j (z) − f j (x) = f j (x1, . . . , t , . . . , xn) − f j (x1, . . . , xi, . . . , xn) =

= (F x(z))j

0.

.

.

t − xi

.

.

.

0

= (F x(z))ji (t − xi).

H a t = xi , a k k o r

∂ if j (x) = limt→xi

f j (x1, . . . , t , . . . , xn) − f j (x1, . . . , xi, . . . , xn)

t − xi= lim

t→xi(F x(z))ji = (F x(x))ji ,

h i s z e n h a

F x ∈ C [x], a k k o r m i n d e n k o m p o n e n s e i s f o l y t o n o s a z

xp o n t b a n .

A p a r c i á l i s d e r i v á l t a k l é t e z é s é b ® l m é g n e m k ö v e t k e z i k a f ü g g v é n y d i e r e n -

c i á l h a t ó s á g a .

1 1 . 6 . T é t e l . H a f : Rn ⊃→ Rké s ∃K (x) ⊂ D(f ), h o g y ∀i = 1, . . . , n é s

∀ j = 1, . . . , k e s e t é n ∂ if j ∈ C (K (x)), a k k o r f ∈ D[x].

B i z o n y í t á s . A b i z o n y í t á s t f : R2 ⊃→ Re s e t é n v é g e z z ü k e l . L e g y e n ∀z ∈

K (x), z = x. H a x = (x1, x2) é s z = (z1, z2), a k k o r

f (z) − f (x) = f (z1, z2) − f (x1, z2) + f (x1, z2) − f (x1, x2).

A v a l ó s - v a l ó s L a g r a n g e - k ö z é p é r t é k t é t e l m i a t t ∃ϑ1, ϑ2 ∈ (0, 1), h o g y

f (z1, z2) − f (x1, z2) = ∂ 1f (x1 + ϑ1(z1 − x1), z2) · (z1 − x1)é s

f (x1, z2) − f (x1, x2) = ∂ 2f (x1, x2 + ϑ2(z2 − x2)) · (z2 − x2).

Í g y

f (z) − f (x) = [∂ 1f (x1 + ϑ1(z1 −x1), z2) ∂ 2f (x1, x2 + ϑ2(z2 −x2))]

z1 − x1

z2 − x2

.




A ∂ 1f é s ∂ 2f f o l y t o n o s s á g a m i a t t a z

F x(z) := [∂ 1f (x1 + ϑ1(z1 − x1), z2) ∂ 2f (x1, x2 + ϑ2(z2 − x2))]

v á l a s z t á s s a l a z F x ∈ C [x]. T e h á t ∃F x : D(f ) → R1×2, F x ∈ C [x], a m e l l y e l

∀z ∈ D(f ) e s e t é n

f (z) − f (x) = F x(z) · (z − x),

a z a z f ∈ D[x].

1 1 . 7 . T é t e l . L e g y e n f : Rn ⊃→ R, f ∈ D[a]. L e g y e n e ∈ Rn, e = 1.E k k o r

∂ ef (a) = f (a)e = gradf (a), e.

B i z o n y í t á s . L e g y e n φ : R

⊃→R, φ(t) := f (a + te). A k ö z v e t e t t f ü g g v é n y

d i e r e n c i á l h a t ó s á g a m i a t t

φ(t) = f (a + te) · e.

Í g y

∂ ef (a) = φ(0) = f (a)e.

1 1 . 3 . 2 . M á s o d i k d e r i v á l t ; T a y l o r - f o r m u l a

1 1 . 6 . D e n í c i ó . L e g y e n f : Rn ⊃→ R. T e g y ü k f e l , h o g y a ∂ if : Rn ⊃→ R i -

e d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t f ü g g v é n y n e k l é t e z i k a j - e d i k v á l t o z ó s z e r i n t i

p a r c i á l i s d e r i v á l t j a . E k k o r

∂ j (∂ if ) =: ∂ 2ij f.

1 1 . 8 . T é t e l . ( Y o u n g t é t e l e a v e g y e s p a r c i á l i s d e r i v á l t a k f e l c s e r é l h e t ® s é g é r ® l )

H a f : Rn ⊃→ R, ∂ if ∈ C (K (a)), i = 1, 2, . . . , n é s ∂ 2ij f ∈ C (K (a)), i , j =

1, 2, . . . , n e s e t é n , a k k o r

∂ 2ij f (a) = ∂ 2ji f (a), i , j = 1, 2, . . . , n .

B i z o n y í t á s . E z t i s c s a k f : R2 ⊃→ Re s e t é n i g a z o l j u k .

L e g y e n h, k ∈ R, h,k = 0 o l y a n , h o g y (a1 + h, a2 + k) ∈ K (a). L e g y e n F : R ⊃→R, F (x) := f (x, a2 +k)−f (x, a2) é s G : R ⊃→ R, G(y) := f (a1+h, y)−f (a1, y)( 1 1 . 2 . á b r a ) .

H e l y e t t e s í t é s s e l e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y

F (a1 + h) − F (a1) = G(a2 + k) − G(a2). ( 1 1 . 1 )

A ∂ 1f é s ∂ 2f f o l y t o n o s s á g a m i a t t ( a L a g r a n g e - k ö z é p é r t é k t é t e l s z e r i n t ) ∃ϑ1 ∈(0, 1) o l y a n , h o g y

F (a1+h)−F (a1) = F (a1+ϑ1h)·h = (∂ 1f (a1+ϑ1h, a2+k)−∂ 1f (a1+ϑ1h, a2))h.




K(a)

(a1

+h,a2

)

(a1

,a2

+k) (a1

+h,a2

+k)

a1

a2

1 1 . 2 . á b r a .

M i v e l ∂ 1f d i e r e n c i á l h a t ó a m á s o d i k v á l t o z ó s z e r i n t , e z é r t i s m é t a l k a l m a z v a a

L a g r a n g e - k ö z é p é r t é k t é t e l t , ∃ϑ2 ∈ (0, 1), h o g y

∂ 1f (a1 + ϑ1h, a2 + k) − ∂ 1f (a1 + ϑ1h, a2) = ∂ 2(∂ 1f )(a1 + ϑ1h, a2 + ϑ2k) · k.

H a s o n l ó g o n d o l a t m e n e t t e l ∃ϑ3, ϑ4 ∈ (0, 1) o l y a n , h o g y

G(a2 + k) − G(a2) = G(a2 + ϑ3k)k =

= (∂ 2f (a1 + h, a2 + ϑ3k) − ∂ 2f (a1, a2 + ϑ3k))k =

= ∂ 1(∂ 2f )(a1 + ϑ4h, a2 + ϑ3k)hk.

A ( 1 1 . 1 ) e g y e n l ® s é g m i a t t

∂ 2(∂ 1f )(a1 + ϑ1h, a2 + ϑ2k)kh = ∂ 1(∂ 2f )(a1 + ϑ4h, a2 + ϑ3k)kh.

M i v e l h, k = 0 , e z é r t l e i s o s z t h a t u n k (hk)- v a l . L e g y e n e k (hn) é s (kn) t e t s z ® l e g e s

o l y a n s o r o z a t o k , a m e l y e k r e hn = 0, kn = 0 é s hn → 0, kn → 0 . A ∂ 2(∂ 1f ) é s

∂ 1(∂ 2f ) f o l y t o n o s s á g a é s a ∀n ∈ N e s e t é n f e n n á l l ó e g y e n l ® s é g e k m i a t t

∂ 2(∂ 1f )(a1 + ϑn1 hn, a2 + ϑn

2 kn) → ∂ 2(∂ 1f )(a1, a2)

∂ 1(∂ 2f )(a1 + ϑn

4 hn, a2 + ϑn3 kn) → ∂ 1(∂ 2f )(a1, a2),

e z é r t

∂ 2(∂ 1f )(a1, a2) = ∂ 1(∂ 2f )(a1, a2).1 1 . 7 . D e n í c i ó . L e g y e n f : Rn ⊃→ R é s ∀i, j = 1, 2, . . . , n e s e t é n ∂ 2ij f ∈C (K (a)). E k k o r

f (a) :=

∂ 211f (a) . . . ∂ 21nf (a).

.

.

∂ 2n1f (a) . . . ∂ 2nnf (a)

∈ Rn×n




a z f m á s o d i k d e r i v á l t j a a z a p o n t b a n . H e s s e - m á t r i x n a k n e v e z z ü k .

A Y o u n g - t é t e l m i a t t f (a) s z i m m e t r i k u s m á t r i x .

L e g y e n f : Rn ⊃→ Re l é g s i m a f ü g g v é n y , a m i j e l e n t s e a z t , h o g y ∂ if, ∂ 2ij f ∈

C (K (a)), ∀i, j = 1, 2, . . . , n .L e g y e n h ∈ Rn, h = 0 é s t ∈ R o l y a n a m e l y e k r e a + th ∈ K (a).L e g y e n φ(t) := f (a + th). E k k o r

φ(t) = f (a + th) · h =

ni=1

∂ if (a + th)hi,

φ(t) =

n

i=1

∂ if (a + th)hi

=

ni=1

(∂ if )(a + th)hhi =

=

ni=1

n

j=1

∂ j (∂ if )(a + th)hjhi =

ni=1

nj=1

∂ 2ij f (a + th)hihj .

E z e k b ® l φ(0) = f (a), φ(0) = f (a)h é s φ(0) = f (a)h, h. ( A l e g u t o l s ó t

g o n d o l j u k v é g i g a m á t r i x s z o r z á s é s a s k a l á r i s s z o r z a t d e n í c i ó i n a k b i r t o k á b a n . )

A T a y l o r - f o r m u l a a l a p j á n ∀t ∈ R+e s e t é n ∃ϑ ∈ (0, t)

, h o g y

φ(t) = φ(0) + φ(0)t +1

2!φ(ϑ)t2.

( A h a r m a d i k t a g m á r a L a g r a n g e - f é l e m a r a d é k t a g . )

N y i l v á n i g a z , h o g y

1

2! φ(ϑ)t

2

=

1

2! (φ(0) + φ(ϑ) − φ(0))t

2

=

1

2! φ(0)t

2

+ α(t),

a h o l α(t) := 12!

(φ(ϑ) − φ(0))t2 , é s a m e l y r e

limt→0

α(t)

t2= lim

t→0

1

2!(φ(ϑ) − φ(0)) = 0,

m e r t φ f o l y t o n o s . T e h á t

φ(t) = φ(0) + φ(0)t +1

2!φ(0)t2 + α(t),

a h o l limt→0α(t)

t2 = 0. E g y b e f é s ü l v e a φ f ü g g v é n y r e k a p o t t e r e d m é n y e k e t :

φ(t) = f (a + th) = φ(0) + φ(0)t +

1

2! φ(0)t2

+ α(t) =

= f (a) + f (a)ht +1

2!f (a)h, ht2 + β (th),

a h o l β (th) := α(t), é s a m e l y r e

limth→0

β (th)

th2= lim

t→0

α(t)

t2= 0.




I t t a limth→0β(th)th2 = 0 ú g y i s i g a z , h o g y h = 0 r ö g z í t e t t v e k t o r é s t → 0 , d e ú g y

i s , h o g y

t = 0r ö g z í t e t t é s

h → 0.

L e g y e n t := 1 . E k k o r i g a z a k ö v e t k e z ® T a y l o r - f o r m u l a :

1 1 . 9 . T é t e l . H a f : Rn ⊃→ Re l é g s i m a (∂ if, ∂ 2ij f ∈ C (K (a))) , a k k o r ∃β :

Rn ⊃→ R, h o g y ∀h ∈ Rn, h = 0, a + h ∈ K (a) e s e t é n

f (a + h) = f (a) + f (a)h +1

2!f (a)h, h + β (h),

a h o l limh→0β(h)h2 = 0 .

1 1 . 3 . 3 . S z é l s ® é r t é k

1 1 . 1 0 . T é t e l . ( A l o k á l i s s z é l s ® é r t é k s z ü k s é g e s f e l t é t e l e )

H a f ∈ D[a] é s f - n e k a- b a n l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e v a n , a k k o r f (a) = 0.

B i z o n y í t á s . L e g y e n e ∈ Rn, e = 1. M i v e l f - n e k a- b a n l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e

v a n , e z é r t a φ : R R, φ(t) := f (a + te) f ü g g v é n y n e k a t = 0 p o n t b a n v a n

l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e , í g y φ(0) = 0. M i v e l φ(t) = f (a + te) · e, e z é r t t = 0 e s e t é n

f (a) · e = 0.

∀i = 1, 2, . . . , n e s e t é n

f (a)ei = ∂ if (a) = 0,

í g y f (a) = [0 . . . 0] = 0 ∈ R1×n.A T a y l o r - f o r m u l á t f e l h a s z n á l v a e l é g s é g e s f e l t é t e l t a d u n k a s z é l s ® é r t é k l é t e z é s é r e .

1 1 . 1 1 . T é t e l . ( A s z i g o r ú l o k á l i s m i n i m u m e l é g s é g e s f e l t é t e l e )

L e g y e n f : Rn ⊃→ R. T e g y ü k f e l , h o g y ∂ if, ∂ 2ij f ∈ C (K (a)), f (a) = 0 é s

∀h ∈ Rn, h = 0 e s e t é n f (a)h, h > 0. E k k o r f - n e k a- b a n s z i g o r ú l o k á l i s

m i n i m u m a v a n .

B i z o n y í t á s . L e g y e n h ∈ Rn, h = 0 t e t s z ® l e g e s . E k k o r

f (a + h) = f (a) + f (a)h +1

2!f (a)h, h + β (h) =

= f (a) +1

2!h2

f (a)

h

h ,h

h + 2β (h)

h2

.

L e g y e n S 1 :=

x

∈Rn

| x

= 1

a z e g y s é g g ö m b h é j a . M i v e l

h

he g y s é g h o s s z ú s á g ú

v e k t o r , í g y e := hh ∈ S 1 . A k : S 1 → R, k(e) := f (a) h

h , hh f o l y t o n o s f ü g -

g v é n y S 1 - e n . S 1 k o r l á t o s é s z á r t , e z é r t a W e i e r s t r a s s - t é t e l m i n t á j á r a v é g i g g o n d o -

l h a t ó , h o g y v a n m i n i m u m a a k f ü g g v é n y n e k , l e g y e n e z m ∈ R é s a z f (a)h, h >0 (h = 0) f e l t é t e l m i a t t m > 0 . E z a z t j e l e n t i , h o g y ∀h ∈ Rn, h = 0

f (a)h

h ,h

h ≥ m.




M i v e l limh→0β(h)h = 0 , e z é r t a z ε := m

4> 0 h i b a k o r l á t h o z ∃δ > 0 , h o g y

∀h ∈ Rn

, h = 0, h < δe s e t é n

−m

4<

β (h)

h2<

m

4.

L e g y e n e z e k u t á n h ∈ Rn, h = 0, h < δ t e t s z ® l e g e s . F e l t é t e l e z v e , h o g y

a + h ∈ K (a), t o v á b b b e c s ü l h e t j ü k f (a + h) e l ® á l l í t á s á t

f (a + h) = f (a) +1

2!h2(f (a)

h

h ,h

h + 2β (h)

h2>

> f (a) +1

2!h2

m − 2m

4

= f (a) +

1

2!h2 m

2,

v a g y

f (a + h) − f (a) > h2 m

4 > 0,h a

h < δ.E z a z t j e l e n t i , h o g y f - n e k a- b a n s z i g o r ú l o k á l i s m i n i m u m a v a n .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y a z f (a)h, h > 0 ∀h ∈ Rn, h = 0 e s e t é n n e h e z e n

e l l e n ® r i z h e t ® f e l t é t e l . E z t a n e h é z s é g e t k ö n n y í t i a

1 1 . 1 2 . T é t e l . ( S y l v e s t e r - t é t e l )

H a A ∈ Rn×ns z i m m e t r i k u s m á t r i x , a k k o r ∀h ∈ Rn, h = 0 e s e t é n Ah,h > 0 ⇔

a z A m á t r i x s a r o k a l d e t e r m i n á n s a i p o z i t í v j e l t a r t ó k .

A b i z o n y í t á s t c s a k é r z é k e l t e t j ü k o l y a n A m á t r i x e s e t é n , a m e l y d i a g o n á l i s , a z a z

A :=

λ1 . . . 0 00 λ2 . . . 0

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . λn

.

A z A s a r o k a l d e t e r m i n á n s a i

∆1 := λ1, ∆2 :=

λ1 00 λ2

= λ1λ2, ∆3 :=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

= λ1λ2λ3, . . .

E z e k p o n t o s a n a k k o r p o z i t í v j e l t a r t ó k , h a

λ1 > 0, λ2 > 0, . . . , λn > 0.

M o s t l e g y e n h∈Rn, h

= 0, h =

h1

h2

.

.

.

hn

.

Ah,h =

λ1h1

λ2h2

.

.

.

λnhn

,

h1

h2

.

.

.

hn

= λ1h2

1 + λ2h22 + . . . + λnh2

n.




J ó l l á t s z i k , h o g y

Ah,h > 0 ⇔ λ1 > 0, λ2 > 0, . . . , λn > 0 ⇔ ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆n > 0.

N e m d i a g o n á l i s m á t r i x o k e s e t é n i s k ö n n y ¶ e l l e n ® r i z n i e z t a f e l t é t e l t .

A l o k á l i s m a x i m u m e l é g s é g e s f e l t é t e l é t v á z l a t o s a n f o g a l m a z z u k m e g :

1 1 . 1 3 . T é t e l . H a f (a) = 0 é s f (a)h, h < 0 , a k k o r f - n e k a- b a n s z i g o r ú

l o k á l i s m a x i m u m a v a n .

1 1 . 1 4 . T é t e l . ( S y l v e s t e r - t é t e l )

Ah,h < 0 ⇐⇒ ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . . , ∆n

< 0, h a n p á r a t l a n

> 0, h a n p á r o s .

1 1 . 3 . 4 . I m p l i c i t - é s i n v e r z f ü g g v é n y t é t e l

E g y e n l e t e k , e g y e n l e t r e n d s z e r e k m e g o l d á s a s o r á n g y a k r a n t a l á l k o z u n k a z z a l a

p r o b l é m á v a l , h o g y e g y f (x, y) = 0 a l a k ú ö s s z e f ü g g é s b ® l k i f e j e z h e t ® - e a z y a z

x s e g í t s é g é v e l , v a n - e o l y a n φ f ü g g v é n y , h o g y f (x, φ(x)) = 0 m i n d e n x ∈ D(φ)e s e t é n .

P é l d á u l f 1(x, y) := x2 + y2 − 2x − 4y + 5 = 0 c s u p á n x = 1 é s y = 2 e s e t é n

t e l j e s ü l ( h i s z e n x2 + y2 − 2x − 4y + 5 = (x − 1)2 + (y − 2)2 ) , m í g a z f 2(x, y) :=x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 e s e t é b e n a

φ : [0, 2] → [2, 3], φ(x) :=

2x − x2 + 2

é s a

ψ : [0, 2] → [1, 2], ψ(x) := − 2x − x2 + 2

f ü g g v é n y r e i s i g a z , h o g y f 2(x, φ(x)) = 0 ( x ∈ D(φ) ) é s f 2(x, ψ(x)) = 0 ( x ∈D(ψ) ) .

A f e l v á z o l t p é l d á k n y o m á n f o g a l m a z z u k m e g a z i m p l i c i t m ó d o n d e n i á l t f ü g -

g v é n y t .

L e g y e n f : Rn × Rm ⊃→ Rm( m < n) e g y f ü g g v é n y .

1 1 . 8 . D e n í c i ó . H a v a n o l y a n φ : Rn ⊃→ Rm f ü g g v é n y , a m e l y r e m i n d e n

x ∈ D(φ) e s e t é n (x, φ(x)) ∈ D(f ) é s f (x, φ(x)) = 0 , a k k o r a z t m o n d j u k , h o g y

a z f (x, y) = 0 e g y e n l ® s é g e g y i m p l i c i t f ü g g v é n y t d e n i á l ( a φ f ü g g v é n y a z

f (x, y) = 0 á l t a l d e n i á l t i m p l i c i t f ü g g v é n y ) .

F e l v e t ® d i k a k é r d é s , h o g y m i l y e n f e l t é t e l e k e s e t é n l é t e z i k i l y e n f ü g g v é n y , é s h a

l é t e z i k , m i l y e n t u l a j d o n s á g a i v a n n a k .

1 1 . 1 5 . T é t e l . ( I m p l i c i t f ü g g v é n y t é t e l e ) L e g y e n f : Rn ×Rm ⊃→ Rm, f ∈ C 1 .

T e g y ü k f e l , h o g y v a n o l y a n (a, b) ∈ D(f ) p o n t , h o g y f (a, b) = 0 , é s e b b e n a

p o n t b a n

det ∂ yf (a, b) :=

∂ n+1f 1(a, b) . . . ∂ n+mf 1(a, b)

.

.

.

.

.

.

∂ n+1f m(a, b) . . . ∂ n+mf m(a, b)

= 0




Kr

Kp

Kq

K(a)

K(b)

−

+

a

b

b1

b2

b+ρ

a+µx

y‘

y‘‘

1 1 . 3 . á b r a .

E k k o r l é t e z n e k o l y a n K (a) ∈ Rn, K (b) ∈ Rm

k ö r n y e z e t e k é s φ : K (a) → K (b) f ü g g v é n y , h o g y m i n d e n x ∈ K (a) e s e t é n f (x, φ(x)) = 0. A φ f ü g g v é n y f o l y t o n o s

a- b a n , s ® t φ d i e r e n c i á l h a t ó i s a z a p o n t b a n , é s φ(a) = −(∂ yf (a, b))−1·∂ xf (a, b).

( A ∂ xf (a, b) :=

∂ 1f 1(a, b) . . . ∂ nf 1(a, b).

.

.

.

.

.

∂ 1f m(a, b) . . . ∂ nf m(a, b)

. )

M e g j e g y e z z ü k , h o g y a t é t e l c s a k a φ i m p l i c i t f ü g g v é n y l é t e z é s é r ® l s z ó l , á l t a l á b a n

n e m t u d j u k e z t a f ü g g v é n y t e l ® á l l í t a n i . E n n e k e l l e n é r e a φ d e r i v á l t j á t k i t u d j u k

s z á m í t a n i a z a p o n t b a n . . . !

B i z o n y í t á s . A z n = 1 , m = 1 e s e t b e n v é g e z z ü k e l a b i z o n y í t á s t .

A z f : R2 ⊃→ Rf ü g g v é n y f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó , e z é r t a ∂ 2f p a r c i á l i s

d e r i v á l t i s f o l y t o n o s , é s ∂ 2f (a, b) = 0 [ l e g y e n ∂ 2f (a, b) > 0] , e z é r t l é t e z i k a z

(a, b) ∈ D(f ) p o n t n a k o l y a n r > 0 s u g a r ú K r((a, b)) ⊂ D(f ) k ö r n y e z e t e , h o g y

m i n d e n (x, y) ∈ K r((a, b)) e s e t é n ∂ 2f (x, y) > 0 . T e k i n t s ü k a ha : y → f (a, y)f ü g g v é n y t . M i v e l ha(b) = f (a, b) = 0 é s ha(b) = ∂ 2f (a, b) > 0, e z é r t ha l o k á l i s a n

n ö v e k v ® , í g y v a n o l y a n b1 < b é s b2 > b , h o g y ha(b1) = f (a, b1) < 0 é s ha(b2) =f (a, b2) > 0 ( e m e l l e t t (a, b1), (a, b2) ∈ K r((a, b))) . A z f f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a

m i a t t v a n o l y a n p > 0 é s q > 0 , h o g y m i n d e n (x, y) ∈ K p(a, b1) é s (x, y) ∈K q(a, b2)

p o n t b a n f (x, y) < 0é s f (x, y) > 0

( e m e l l e t t K p(a, b1), K q(a, b2) ⊂

K r((a, b)) i s t e l j e s ü l j ö n ) .

L e g y e n µ := min p,q é s K (a) := (a−µ, a+µ), m í g l e g y e n ρ := maxb−(b1− p), b2 + q − b é s K (b) := (b − ρ, b + ρ). T e k i n t s ü n k e g y t e t s z ® l e g e s x ∈ K (a)

p o n t o t . L e g y e n hx : y → f (x, y). E k k o r l é t e z i k o l y a n (x, y) ∈ K p(a, b1) é s

(x, y) ∈ K q(a, b2) a l a k ú p o n t , a m e l y b e n hx(y) = f (x, y) < 0 , m í g hx(y) =f (x, y) > 0 . M i v e l hx a z f f o l y t o n o s s á g a k ö v e t k e z t é b e n e g y v a l ó s v á l t o z ó s

f o l y t o n o s f ü g g v é n y , e z é r t a B o l z a n o - t é t e l m i a t t v a n o l y a n y ∈ (y, y) , a m e l y b e n

hx(y) = f (x, y) = 0.C s a k e g y e t l e n i l y e n

yl é t e z i k , u g y a n i s , h a

y∗i s o l y a n l e n n e ,




h o g y hx(y∗) = f (x, y∗) = 0 , a k k o r a R o l l e - t é t e l m i a t t l é t e z n e o l y a n c a z y é s y∗

k ö z ö t t , h o g y hx

(c) = ∂ 2

f (x, c) = 0 l e n n e , a m e l y l e h e t e t l e n , h i s z e n a K r((a, b))

k ö r n y e z e t m i n d e n p o n t j á b a n ∂ 2f p o z i t í v .

T e h á t b á r m e l y x ∈ K (a)s z á m h o z e g y é r t e l m ¶ e n r e n d e l h e t ® o l y a n y ∈ K (b)

s z á m , h o g y f (x, y) = 0 , a z a z l é t e z i k o l y a n φ : K (a) → K (b), φ(x) := y f ü g g v é n y ,

h o g y f (x, φ(x)) = 0 m i n d e n x ∈ K (a) e s e t é n . [ N y i l v á n φ(a) = b. ]

M e g m u t a t j u k , h o g y φ f o l y t o n o s a z a p o n t b a n . L e g y e n ε > 0 t e t s z ® l e g e s e n

m e g a d o t t s z á m . H a ε > ρ, a k k o r δ := µ , h i s z e n b á r m e l y x ∈ K µ(a) e s e t é n

φ(x) ∈ K ρ(b) ⊂ K ε(φ(a)) , a m e l y s z e r i n t φ ∈ C [a]. H a ε ≤ ρ, a k k o r m e g i s m é t e l v e

a z e g é s z s z e r k e s z t é s t a z r := ε v á l a s z t á s s a l ( a z (a, b) ∈ D(f ) p o n t K ε((a, b))

k ö r n y e z e t é b e n l e s z a ∂ 2f p o z i t í v . . . ) , o l y a n φ f ü g g v é n y h e z j u t u n k , a m e l y a φf ü g g v é n y l e s z ¶ k í t é s e . E k k o r a z e l ® z ® m o n d a t n y o m á n i s m é t e l j u t u n k o d a , h o g y

φ ∈ C [a].A φ f ü g g v é n y a p o n t b e l i d i e r e n c i á l h a t ó s á g á h o z i n d u l j u n k k i a b b ó l , h o g y

t e t s z ® l e g e s h = 0, a + h ∈ K µ(a) e s e t é n

0 = f (a + h, φ(a + h)) − f (a, φ(a)) =

= f (a + h, φ(a + h)) − f (a, φ(a + h)) + f (a, φ(a + h)) − f (a, φ(a)) =

[ a k é t m e g v á l t o z á s h o z a L a g r a n g e - f é l e k ö z é p é r t é k t é t e l m i a t t l é t e z i k o l y a n ϑ1, ϑ2 ∈(0, 1) s z á m , h o g y ]

= ∂ 1f (a + ϑ1h, φ(a + h))h + ∂ 2f (a, φ(a) + ϑ2(φ(a + h) − φ(a)))(φ(a + h) − φ(a)).

Á t r e n d e z v e a z e g y e n l ® s é g e t ( f e l h a s z n á l v a , h o g y ∂ 2f a K r((a, b))k ö r n y e z e t b e e s ®

(a, φ(a) +ϑ2(φ(a +h)−φ(a))) p o n t b a n p o z i t í v , í g y n e m n u l l a ) , a z t k a p j u k , h o g y

φ(a + h) − φ(a)h

= − ∂ 1f (a + ϑ1h, φ(a + h))∂ 2f (a, φ(a) + ϑ2(φ(a + h) − φ(a)))

.

M i v e l ∂ 1f, ∂ 2f ∈ C [(a, b)], ∂ 2f (a, b) = 0 é s φ ∈ C [a], e z é r t limh→0 φ(a + h) −φ(a) = 0 , é s e m i a t t l é t e z i k

limh→0

φ(a + h) − φ(a)

h= −∂ 1f (a, φ(a))

∂ 2f (a, φ(a)),

t e h á t φ ∈ D[a] é s

φ(a) = −∂ 1f (a, b)

∂ 2f (a, b)= −(∂ 2f (a, b))−1 · ∂ 1f (a, b).

( M e g j e g y e z z ü k , h o g y e b b ® l a g o n d o l a t m e n e t b ® l k e v é s m e n t h e t ® á t a z n ≥ m > 1e s e t r e . )

A v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y e k k ö r é b e n i s é r d e k e s v o l t , h o g y e g y f ü g g v é n y k ö l c -

s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ - e . E z a k é r d é s t ö b b v á l t o z ó s l e k é p e z é s e k n é l i s f o n t o s . P é l d á u l

a p : [0, 2π) × [0, R] → R2 p(φ, r) := (r cos φ, r sin φ) ú g y n e v e z e t t p o l á r t r a n s z -

f o r m á c i ó a (φ0, r0)

p o n t o t t a r t a l m a z ó U ⊂ R2

n y í l t h a l m a z t a z (x0, y0) :=




(r0 cos φ0, r0 sin φ0) p o n t o t t a r t a l m a z ó V ⊂ R2n y í l t h a l m a z r a k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ e n

k é p e z i l e , s ® t a p f o l y t o n o s s á g a m e l l e t t a p−1

i n v e r z f ü g g v é n y i s f o l y t o n o s . ( A p

i n v e r z e a z (x, y) → (arctg yx ,

x2 + y2).)

K é r d é s a z , h o g y e g y f : Rn ⊃→ Rkf ü g g v é n y m i l y e n f e l t é t e l e k m e l l e t t r e n d e l k e z i k

h a s o n l ó t u l a j d o n s á g g a l .

L e h e t - e n é s k k ü l ö n b ö z ® ? N e m . U g y a n i s , h a p é l d á u l f : R3 ⊃→ R2f o l y t o n o s

f ü g g v é n y o l y a n , a m e l y e g y U ⊂ D(f ) n y í l t h a l m a z t a V ⊂ R(f ) n y í l t h a l m a z r a

k é p e z , é s a z f −1 : V → U i n v e r z f ü g g v é n y i s f o l y t o n o s l e n n e , a k k o r U - b a n f e l v é v e

e g y n é g y z e t a l a p ú g ú l á t ( ö t c s ú c s p o n t j a v a n ) , m a j d b á r m e l y k é t c s ú c s p o n t o t

o l y a n f o l y t o n o s g ö r b é v e l k ö t n é n k ö s s z e , a m e l y e k n e m m e t s z i k e g y m á s t ( e z t a z

R3t é r b e n m e g t e h e t j ü k . . . ) , a k k o r f |U : U → V b i j e k c i ó v a l e z t a g ú l á t ( a c s ú c s a i t

é s a c s ú c s o k a t ö s s z e k ö t ® g ö r b é k e t ) a V ⊂ R2s í k b e l i h a l m a z b a k é p e z z ü k . A

g r á f e l m é l e t b ® l i s m e r t , h o g y a t e l j e s ö t s z ö g p o n t ú g r á f n e m r a j z o l h a t ó s í k b a , a m i

a z t j e l e n t i , h o g y l e g a l á b b k é t g ö r b e k é p é n e k l e s z k ö z ö s p o n t j a , a m e l y e l l e n t m o n d

a n n a k , h o g y f |U é s i n v e r z e i s f o l y t o n o s v o l t . [ A p é l d á t L o v á s z L á s z l ó t a l á l t a

e g y e t e m i s t a k o r á b a n n é h á n y m á s o d p e r c e s g o n d o l k o d á s u t á n . . . ]

1 1 . 1 6 . T é t e l . ( a z i n v e r z f ü g g v é n y t é t e l e )

L e g y e n f : Rn ⊃→ Rn, f ∈ C 1 . L e g y e n a ∈ intD(f ) o l y a n p o n t , h o g y det f (a) =0 . E k k o r v a n o l y a n U ⊂ D(f ) , a z a p o n t o t t a r t a l m a z ó n y í l t h a l m a z é s v a n o l y a n

V ∈ R(f ) , a b := f (a) p o n t o t t a r t a l m a z ó n y í l t h a l m a z , h o g y a z f f ü g g v é n y

b i j e k c i ó a z U é s V k ö z ö t t , é s f −1a m e l l e t t , h o g y f o l y t o n o s , m é g d i e r e n c i á l h a t ó

i s b - b e n , é s (f −1)(b) = (f (a))−1.

B i z o n y í t á s . A z i m p l i c i t f ü g g v é n y t é t e l é t a l k a l m a z z u k e g y a l k a l m a s a n v á l a s z t o t t

f ü g g v é n y r e a z z a l a v á l t o z t a t á s s a l , h o g y a z x - e t f e j e z z ü k k i y s e g í t s é g é v e l .

L e g y e n F : D(f ) × Rn → Rn, F (x, y) := f (x) − y. N y i l v á n F ∈ C 1 . F (a, b) =

f (a) − b = 0.M i v e l

∂ xF (x, y) = f (x), e z é r t

det ∂ xF (a, b) = det f (a) = 0.

E z é r t l é t e z i k K (b) é s K (a) k ö r n y e z e t , é s l é t e z i k o l y a n φ : K (b) → K (a), h o g y

b á r m e l y y ∈ K (b) e s e t é n F (φ(y), y) = f (φ(y)) − y = 0 , a z a z f φ = idK(b) . E z

a z a z o n o s s á g m u t a t j a , h o g y φ a z f −1i n v e r z f ü g g v é n y . H a V := K (b) é s U :=

f −1(V ) a V n y í l t h a l m a z ® s k é p e ( a m e l y f f o l y t o n o s s á g a m i a t t n y í l t h a l m a z ) ,

a k k o r f m á r b i j e k c i ó U é s V h a l m a z k ö z ö t t . E m e l l e t t a φ = f −1f o l y t o n o s é s

d i e r e n c i á l h a t ó i s . A z f −1d e r i v á l t j á h o z v e g y ü k é s z r e , h o g y ∂ xF (a, b) = f (a) ∈

Rn×nm á t r i x n a k v a n i n v e r z m á t r i x a ( m i v e l det f (a) = 0) , t o v á b b á ∂ yF (x, y) =

∂ y(f (x) − y) = −I n ( i t t I n ∈ Rn×n

a z n

- e s e g y s é g m á t r i x ) , í g y ∂ yF (a, b) = −I n .

T e h á t

(f −1)(b) = −(∂ xF (a, b))−1∂ yF (a, b) = −(f (a))−1 · (−I n) = (f (a))−1.

1 1 . 3 . 5 . F e l t é t e l e s s z é l s ® é r t é k

T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y l o k á l i s s z é l s ® é r t é k é t e d d i g n y í l t h a l m a z o n k e r e s t ü k . A z

a l k a l m a z á s o k s o r á n g y a k r a n v a n s z ü k s é g e g y f ü g g v é n y s z é l s ® é r t é k é r e o l y a n e s -

e t b e n i s , a m i k o r a v á l t o z ó k k ö z ö t t b i z o n y o s ö s s z e f ü g g é s e k e t í r h a t u n k e l ® . E z e k

l e s z n e k a f e l t é t e l e s s z é l s ® é r t é k p r o b l é m á k .




L e g y e n f : Rn ⊃→ Ré s g1, g2, . . . , gm : Rn ⊃→ R(m < n) a d o t t f ü g g v é n y e k .

L e g y e n

H := x ∈ Rn | g1(x) = 0, g2(x) = 0, . . . , gm(x) = 0.

T e g y ü k f e l , h o g y H = ∅.

1 1 . 9 . D e n í c i ó . A z t m o n d j u k , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a g1 = 0 , g2 = 0, . . . ,

gm = 0 f e l t é t e l m e l l e t t f e l t é t e l e s s z é l s ® é r t é k e v a n a z a ∈ H p o n t b a n , h a a z ap o n t b a n a z f |H f ü g g v é n y n e k l o k á l i s s z é l s ® é r t é k e v a n .

A f e l t é t e l e s m i n i m u m e g y s z ü k s é g e s f e l t é t e l é t a d j a a k ö v e t k e z ® t é t e l .

1 1 . 1 7 . T é t e l . ( L a g r a n g e - f é l e m u l t i p l i k á t o r m ó d s z e r )

L e g y e n f, g1, g2, . . . , gm ∈ C 1 . T e g y ü k f e l , h o g y a z f f ü g g v é n y n e k a g1 = 0 ,

g2 = 0 , . . . , gm = 0 f e l t é t e l m e l l e t t f e l t é t e l e s m i n i m u m a v a n a z a ∈ H ∩ D(f )p o n t b a n . T e g y ü k f e l , h o g y

rang

∂ 1g1(a) ∂ 2g1(a) . . . ∂ ng1(a).

.

.

.

.

.

∂ 1gm(a) ∂ 2gm(a) . . . ∂ ngm(a)

= m.

E k k o r l é t e z i k o l y a n λ1, λ2, . . . , λm ∈ R , h o g y a z F = f +λ1g1+λ2g2+. . .+λmgm

f ü g g v é n y r e F (a) = 0.

B i z o n y í t á s . A b i z o n y í t á s t n = 2é s m = 1

e s e t é n v é g e z z ü k e l .

A g ∈ C 1 é s a z a := (a1, a2) p o n t b a n g(a1, a2) = 0. E b b e n a p o n t b a n a r a n g f e l t é -

t e l a z t j e l e n t i , h o g y p é l d á u l ∂ 2g(a1, a2) = 0 . E k k o r a z i m p l i c i t f ü g g v é n y t é t e l e

s z e r i n t l é t e z i k

K (a1)é s

K (a2)k ö r n y e z e t é s l é t e z i k o l y a n

φ : K (a1) → K (a2)d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y , a m e l y r e b á r m e l y x1 ∈ K (a1) e s e t é n g(x1, φ(x1)) = 0.E z a z t j e l e n t i , h o g y a

H = (x1, x2) ∈ R2 | g(x1, x2) = 0 ⊃ (x1, φ(x1)) ∈ R2 | x1 ∈ K (a1) =: H ∗.

T o v á b b á

φ(a1) = −∂ 1g(a1, a2)

∂ 2g(a1, a2),

a z a z

∂ 1g(a1, a2) + φ(a1)∂ 2g(a1, a2) = 0. ( 1 1 . 2 )

M i v e l φ(a1) = a2 é s (a1, a2) ∈ H ∗ , e z é r t h a a z f |H f ü g g v é n y n e k l o k á l i s m i n i m u m a

v a n a z (a1

, a2

) p o n t b a n , a k k o r l é t e z i k o l y a n K ∗

(a1

)⊂

K (a1

), h o g y m i n d e n x1 ∈K ∗(a1) e s e t é n f (x1, φ(x1)) ≥ f (a1, φ(a1)) = f (a1, a2). E z a z t j e l e n t i , h o g y a h :

K ∗(a1) → R, h(x1) := f (x1, φ(x1)) f ü g g v é n y n e k m i n i m u m a v a n a z a1 p o n t b a n .

A h f ü g g v é n y d i e r e n c i á l h a t ó ( d i e r e n c i á l h a t ó f ü g g v é n y e k k o m p o z í c i ó j a ) , e z é r t

h(a1) = 0 . M i v e l

h(x1) =

∂ 1f (x1, φ(x1)) ∂ 2f (x1, φ(x1)) 1

φ(x1)

,




e z é r t

h(a1

) = ∂ 1

f (a1

, a2

) + φ(a1

)∂ 2

f (a1

, a2

) = 0. ( 1 1 . 3 )

L e g y e n λ ∈ R e g y e l ® r e t e t s z ® l e g e s s z á m , é s s z o r o z z u k m e g λ- v a l a z ( 1 1 . 2 ) e g y e n -

l ® s é g e t , m a j d a d j u k ö s s z e a ( 1 1 . 3 ) e g y e n l ® s é g g e l . E k k o r

∂ 1f (a1, a2) + λ∂ 1g(a1, a2) + φ(a1)[∂ 2f (a1, a2) + λ∂ 2g(a1, a2)] = 0. ( 1 1 . 4 )

A λ m e g v á l a s z t h a t ó ú g y , h o g y

∂ 2f (a1, a2) + λ∗∂ 2g(a1, a2) = 0 ( 1 1 . 5 )

( l á t h a t ó , h o g y a λ∗ := −∂ 2f (a1,a2)∂ 2g(a1,a2)

m e g f e l e l ® . ) H a a s z ö g l e t e s z á r ó j e l b e n l é v ®

t é n y e z ® 0 , a k k o r ( 1 1 . 4 ) m i a t t

∂ 1f (a1, a2) + λ∗∂ 1g(a1, a2) = 0 ( 1 1 . 6 )

i s t e l j e s ü l . Ö s s z e s í t v e a z e r e d m é n y e k e t , a z t k a p t u k , h o g y h a a z f f ü g g v é n y n e k

f e l t é t e l e s s z é l s ® é r t é k e v a n a g = 0 f e l t é t e l m e l l e t t , a k k o r a z F := f + λ∗gf ü g g v é n y n e k a z e l s ® v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a 0 ( e z t m u t a t j a ( 1 1 . 6 ) ) ,

é s a m á s o d i k v á l t o z ó s z e r i n t i p a r c i á l i s d e r i v á l t j a i s 0 ( e z t m u t a t j a ( 1 1 . 5 ) ) , t e h á t

F (a1, a2) =

∂ 1F (a1, a2) ∂ 2F (a1, a2)

= 0.

B i z o n y í t á s n é l k ü l k ö z ö l j ü k a f e l t é t e l e s m i n i m u m e g y e l é g s é g e s f e l t é t e l é t .

1 1 . 1 8 . T é t e l . H a f, g1, g2, . . . , gm ∈ C 2 é s v a n o l y a n a ∈ Rnp o n t é s λ1, λ2, . . . , λm ∈

R , h o g y a z F := f +λg f ü g g v é n y r e F (a) = 0 , t o v á b b á m i n d e n o l y a n h ∈ Rn, h =0

v e k t o r r a , a m e l y r e

g1(a)h = 0, g2(a)h = 0, . . . , gm(a)h = 0,

t e l j e s ü l , h o g y

F (a)h, h > 0,

a k k o r a z f f ü g g v é n y n e k a g1 = 0, g2 = 0, . . . , gm = 0 f e l t é t e l m e l l e t t f e l t é t e l e s

m i n i m u m a v a n a z a p o n t b a n .

A f e l t é t e l e s m a x i m u m r a v o n a t k o z ó s z ü k s é g e s f e l t é t e l é s a z e l é g s é g e s f e l t é t e l i s

é r t e l e m s z e r ¶ v á l t o z t a t á s o k k a l m e g f o g a l m a z h a t ó .



1 2 . f e j e z e t

V o n a l i n t e g r á l

A z f : [a, b] → R f ü g g v é n y i n t e g r á l j á t á l t a l á n o s í t j u k . A z [a, b] i n t e r v a l l u m

s z e r e p é t e g y g ö r b e , a z f f ü g g v é n y s z e r e p é t e g y v e k t o r - v e k t o r f ü g g v é n y v e s z i á t .


• A v o n a l i n t e g r á l f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

• A p o t e n c i á l f o g a l m a é s l é t e z é s é n e k k a p c s o l a t a a v o n a l i n t e g r á l l a l

• P a r a m é t e r e s i n t e g r á l d i e r e n c i á l h a t ó s á g a

• A p o t e n c i á l l é t e z é s é n e k e l é g s é g e s f e l t é t e l e

1 2 . 1 . V o n a l i n t e g r á l A

1 2 . 1 . 1 . A v o n a l i n t e g r á l f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

A m i k o r e g y s z á n k ó t a z A p o n t b ó l B p o n t b a h ú z u n k s e l m o z d u l á s s a l a z ú t t a l

p á r h u z a m o s F e r ® v e l , a k k o r a v é g z e t t m u n k a W = F · s ( 1 2 . 1 . á b r a ) . A m i k o r

a z F e r ® α s z ö g e t z á r b e a z e l m o z d u l á s s a l ( 1 2 . 2 . á b r a ) , a k k o r a v é g z e t t m u n k a

W = F cos α = F , s.

A z r : [α, β ] → R3t é r g ö r b e m e n t é n p o n t r ó l p o n t r a v á l t o z ó F ∈ R3 → R3

A Bs

F

1 2 . 1 . á b r a .

1 9 1



1 9 2 F E J E Z E T 1 2 . V O N A L I N T E G R Á L

A Bs

αF

1 2 . 2 . á b r a .

r(ti−1

)r(t

i)

r(ξi) F(r(ξ

i))

1 2 . 3 . á b r a .

e r ® f ü g g v é n y ( e r ® t é r ) m u n k á j a ú g y k ö z e l í t h e t ® , h o g y f e l o s z t v a [α, β ] i n t e r v a l l u -

m o t α = t0 < t1 < .. . < ti−1 < ti < .. . < tn = β o s z t ó p o n t o k k a l , é s f e l v é v e

ti−1 ≤ ξi ≤ ti (i = 1, . . . , n)

t o v á b b i p o n t o k a t a z e l e m i m u n k a

∆W i := F (r(ξi)), r(ti) − r(ti−1),

é s a z F e r ® t é r n e k a g ö r b e m e n t é n v é g z e t t m u n k á j a

W ≈

∆W i =n

i=1

F (r(ξi)), r(ti) − r(ti−1) =

F (r(ξi)), ∆ri.

H a r e l é g s i m a ( d i e r e n c i á l h a t ó ) , a k k o r a z

r(ti) − r(ti−1) =

x(ti) − x(ti−1)

y(ti) − y(ti−1)z(ti) − z(ti−1)

=

x(ηi)(ti − ti−1)

y(ϑi)(ti − ti−1)z(ζ i)(ti − ti−1)

≈ r(ξi)(ti − ti−1),

h a r f o l y t o n o s . L á t h a t ó , h o g y W ≈ ni=1F (r(ξi)), r(ξi)(ti − ti−1), a m e l y

h a s o n l í t e g y i n t e g r á l - k ö z e l í t ® ö s z e g h e z . E z a g o n d o l a t m e n e t s z o l g á l a l a p u l a

k ö v e t k e z ® f o g a l m a k h o z .



1 2 . 1 . V O N A L I N T E G R Á L A 1 9 3

L e g y e n Ω ⊂ Rnö s s z e f ü g g ® ( b á r m e l y k é t p o n t j á t e g y Ω- b a n h a l a d ó f o l y t o n o s

g ö r b é v e l ö s s z e l e h e t k ö t n i ) , n y í l t h a l m a z , r ö v i d e n t a r t o m á n y . L e g y e n f ∈Rn

Rn, D(f ) := Ω f o l y t o n o s v e k t o r f ü g g v é n y , f ∈ C (Ω). L e g y e n r : [α, β ] →Ω

e g y s i m a t é r g ö r b e , a z a z r ∈ C [α, β ], r ∈ D(α, β ), r(t) = 0( t ∈ (α, β ) ) , é s

b á r m e l y t1, t2 ∈ (α, β ), t1 = t2 e s e t é n r(t1) = r(t2).

1 2 . 1 . D e n í c i ó . A z f f ü g g v é n y r t é r g ö r b e m e n t i i n t e g r á l j a l e g y e n r

f :=

β

α

f (r(t)), r(t)dt.

P é l d á u l

f : R3 → R3, f (x,y,z) :=

x + yx − y

z

( i t t Ω = R3

) é s

r : [0, 1] → R3, r(t) :=

t

2t3t

e s e t é n r(t) =

1

23

, í g y

r

f =

10

t + 2tt − 2t

3t

,

123

dt =

10

[(t+2t)+2(t−2t)+9t]dt =

10

10tdt =

10

t2

2

10

= 5.

A v o n a l i n t e g r á l t u l a j d o n s á g a i

1oH a r1 : [α, β ] → Ω , r2 : [β, γ ] → Ω é s r1(β ) = r2(β ), a k k o r a z r1 ∪r2 : [α, γ ] → Ω

, a m e l y r e r1 ∪ r2|[α,β] = r1 é s r1 ∪ r2|[β,γ ] = r2 l e g y e n a z

e g y e s í t e t t g ö r b e . E k k o r r1∪r2

f =

r1

f +

r2

f.

2oH a r : [α, β ] → Ω , a k k o r a z

←−r : [α, β ] → Ω, ←−r (t) := r(α + β − t) l e g y e n a z

e l l e n t é t e s e n i r á n y í t o t t g ö r b e . E k k o r

←−r f = − r f.

3oH a f k o r l á t o s a z Ω t a r t o m á n y o n , a z a z v a n o l y a n K > 0 , h o g y m i n d e n

x ∈ Ωe s e t é n f (x) ≤ K , é s a z r : [α, β ] → Ω

g ö r b e L h o s s z ú s á g ú , a k k o r

r

f

≤ K · L.



1 2 . 1 . V O N A L I N T E G R Á L A 1 9 5

A m i k o r a z Ω = R3, a k k o r e z c s i l l a g t a r t o m á n y . H a a z e r ® t é r

f :=

P

QR

: R3 → R3

m e g f e l e l ® e n s i m a P,Q,R : R3 → R k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y e k k e l ( a z e r ® t é r k o m p o -

n e n s e i k é n t i s s z o k t á k e m l e g e t n i ) , a k k o r a ∂ if j = ∂ jf i f e l t é t e l a z t j e l e n t i , h o g y

a z

f (x) =

∂ 1P (x) ∂ 2P (x) ∂ 3P (x)

∂ 1Q(x) ∂ 2Q(x) ∂ 3Q(x)∂ 1R(x) ∂ 2R(x) ∂ 3R(x)

(x ∈ Ω)

d e r i v á l t m á t r i x s z i m m e t r i k u s . H a m é g b e v e z e t j ü k a r o t á c i ó f o g a l m á t i s , a k k o r

rotf := ×f :=

e1 e2 e3

∂ 1 ∂ 2 ∂ 3P Q R

:= (∂ 2R−∂ 3Q)e1−(∂ 1R−∂ 3P )e2+(∂ 1Q−∂ 2P )e3 = 0 ∈ R3

a z e g é s z R3t é r e n . F i z i k á b a n í g y i s e m l e g e t i k e z t a t é t e l t : R o t á c i ó m e n t e s

e r ® t é r n e k v a n p o t e n c i á l j a .

V é g ü l n é z z ü k m e g , h o g y h a e g y f e r ® t é r n e k v a n p o t e n c i á l j a , a k k o r h o g y a n l e h e t

e z t m e g t a l á l n i , é s m i l y e n t o v á b b i h a s z o n s z á r m a z i k a p o t e n c i á l i s m e r e t é b ® l .

A z e g y s z e r ¶ s é g k e d v é é r t l e g y e n

f : R2 → R2, f (x, y) :=

x + yx − y

.

M i v e l ∂ y(x + y) = 1 é s ∂ x(x − y) = 1 , e z é r t f (x, y) s z i m m e t r i k u s , e z é r t v a n

f - n e k Φ p o t e n c i á l j a , é s e z a z e g y e l ® r e i s m e r e t l e n p o t e n c i á l o l y a n Φ : R2 → R

f ü g g v é n y , a m e l y r e

∂ xΦ(x, y) = x + y,

∂ yΦ(x, y) = x − y.

H a ∂ xΦ(x, y) = x + y , a k k o r Φ(x, y) = x2

2 + xy + φ(y) a l a k ú , a h o l φ : R →R, d i e r e n c i á l h a t ó , d e e g y é b k é n t e g y e l ® r e t e t s z ® l e g e s f ü g g v é n y l e h e t . E k k o r

∂ yΦ(x, y) = x + φ(y) = x − y , í g y φ(y) = −y , a m i b ® l φ(y) = −y2

2 + c , a h o l

c ∈ R t e t s z ® l e g e s .

T e h á t c s a k a Φ : R2 → R, Φ(x, y) = x2

2+ xy − y2

2+ c a l a k ú f ü g g v é n y l e h e t a z

f p o t e n c i á l j a .

H a e z e k u t á n e g y t e t s z ® l e g e s r : [α, β ] → R2s i m a g ö r b e m e n t é n s z e r e t n é n k

a z f

e r ® t é r m u n k á j á t k i s z á m í t a n i , a k k o r ( a k ö z v e t e t t f ü g g v é n y d e r i v á l á s á t s z e m




e l ® t t t a r t v a )

r

f =

β

α

f (r(t)), r(t)dt =

β

α

gradΦ(r(t)), r(t)dt =

β

α

Φ(r(t)) · r(t)dt =

=

β

α

(Φ(r(t)))dt = [Φ(r(t))]βα = Φ(r(β )) − Φ(r(α)),

a m e l y a z t m u t a t j a ( a m i t a t é t e l i s s u g a l l t ) , h o g y a v o n a l i n t e g r á l é r t é k e c s u p á n a

g ö r b e k é t v é g p o n t j á t ó l f ü g g , é s f ü g g e t l e n a t t ó l , h o g y m i l y e n g ö r b é v e l k ö t ö t t ü k

ö s s z e a z r(α) é s r(β ) p o n t o t . S p e c i á l i s a n , h a r(α) = r(β ), a k k o r z á r t g ö r b é r ® l

v a n s z ó , é s e k k o r Φ(r(β )) = Φ(r(α)) , í g y

r

f = 0 , a h o g y a n e z t a t é t e l i s á l l í t o t t a .

1 2 . 2 . F e l a d a t o k

1 . L e g y e n

f : R3 → R3, f (x,y,z) :=

x + y + z

y − zx + z

é s r : [0, 6π] → R3, r(t) :=

2cos t

2sin tt

.

S z á m í t s a k i a z

r

f v o n a l i n t e g r á l t !

2 . L e g y e n f : R2 \ (0, 0) →R2, f (x, y) :=

xx2+y2

− yx2+y2

.

S z á m í t s a k i a z f é r i n t ® t é r v o n a l i n t e g r á l j á t e g y o r i g ó k ö z é p p o n t ú , e g y s é g -

s u g a r ú , p o z i t í v i r á n y í t á s ú ( a z ó r a m u t a t ó j á r á s á v a l e l l e n t é t e s i r á n y í t á s ú )

z á r t k ö r v o n a l o n .

3 . M u t a s s a m e g , h o g y a z

F : R3 \ (0, 0, 0) →R3, F (x1, x2, x3) :=

− x1

(x21+x2

2+x23)

3/2

− x2

(x21+x2

2+x23)

3/2

− x3

(x21+x2

2+x23)

3/2

e r ® t é r n e k v a n p o t e n c i á l j a . S z á m í t s a k i a Φ p o t e n c i á l t !

M e g o l d á s : L e g y e n i, j = 1, 2, 3 é s i = j . E k k o r

∂ i−

xj

(x2

1 + x2

2 + x2

3)3/2 =

−xj (

−

3

2

(x21 + x2

2 + x23)−5/2)

·2xi =

= −xi(−3

2(x2

1 + x22 + x2

3)−5/2) · 2xj = ∂ j

− xi

(x21 + x2

2 + x23)3/2

,

e z é r t v a n p o t e n c i á l j a a z F e r ® t é r n e k . H a Φ : R3 \ (0, 0, 0) → R, a k k o r

∂ iΦ(x1, x2, x3) = − xi

(x21 + x2

2 + x23)3/2

,



1 2 . 3 . V O N A L I N T E G R Á L E 1 9 7

a k k o r

Φ(x1, x2, x3) =

1

(x21 + x2

2 + x23)1/2 + c,

m e r t

∂ iΦ(x1, x2, x3) = −1

2(x2

1+x22+x2

3)−3/2(2xi) = − xi

(x21 + x2

2 + x23)3/2

, i = 1, 2, 3.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y F e g y o r i g ó b a n e l h e l y e z e t t M = 1t ö m e g p o n t g r a v -

i t á c i ó s t e r é n e k i s t e k i n t h e t ® , h i s z e n a z r h e l y v e k t o r ú p o n t b a n a z m = 1t ö m e g r e h a t ó e r ® ( a z e g y s é g r e n d s z e r v á l a s z t á s a m i a t t f e l l é p ® s z o r z ó t é n y e z ® t ® l

e l t e k i n t v e )

F (r) = − 1

r

2

· r

r

(r = 0).

E n n e k a z e r ® t é r n e k a p o t e n c i á l j a

Φ(r) =1

r (r = 0).

4 . L e g y e n

f : R2 → R2, f (x, y) :=

xy2

x2y

,

é s a g ö r b e l e g y e n e g y l e m n i s z k á t a , p é l d á u l a z

L :=

(x, y)

∈R2

| (x

−2)2 + y2

· (x + 2)2 + y2 = 8

.

( A z L g ö r b é n a s í k ö s s z e s o l y a n p o n t j a r a j t a v a n , a m e l y n e k a C 1(2, 0)é s C 2(−2, 0) p o n t o k t ó l m é r t t á v o l s á g a i n a k s z o r z a t a 8 . ) M e n n y i l e s z a z f v o n a l i n t e g r á l j a a l e m n i s z k á t á n ?

1 2 . 3 . V o n a l i n t e g r á l E

1 2 . 3 . 1 . A v o n a l i n t e g r á l f o g a l m a é s t u l a j d o n s á g a i

L e g y e n Ω ⊂ Rnt a r t o m á n y , é s f : Ω → Rn, f ∈ C (Ω). L e g y e n r : [α, β ] → Ω, r ∈

C [α, β ] é s r ∈ C 1(α, β ) , t o v á b b á ∀t1, t2 ∈ (α, β ), t1 = t2 e s e t é n r(t1) = r(t2)e g y ú n . s i m a g ö r b e .

1 2 . 2 . D e n í c i ó . A z f f ü g g v é n y r g ö r b e m e n t i v o n a l i n t e g r á l j á n a z

r

f :=

β

α

f (r(t)), r(t)dt

v a l ó s i n t e g r á l t é r t j ü k .




1 2 . 3 . T é t e l . H a r1 : [α, β ] → Ω é s r2 : [β, γ ] → Ω, r1, r2 s i m a g ö r b e é s r1(β ) =r2

(β ) ( c s a t l a k o z n a k ) , a k k o r a z r1 ∪

r2

: [α, γ ]→

Ω, (r1 ∪

r2

)|[α,β]

= r1

é s

(r1 ∪ r2)|[β,γ ] = r2 c s a t o l t g ö r b é k e s e t é n r1∪r2

f =

r1

f +

r2

f.

B i z o n y í t á s . r1∪r2

f =

γ

α

f ((r1 ∪ r2)(t)), (r1 ∪ r2)˙(t)dt =

=

β

α

f (r1(t)), r1(t)dt +

γ

β

f (r2(t)), r2(t)dt =

r1

f +

r2

f.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y

(r1 ∪ r2)e s e t l e g

β - b a n n e m d i e r e n c i á l h a t ó , d e e g y p o n t

n e m b e f o l y á s o l j a a z i n t e g r á l é r t é k é t .

1 2 . 4 . T é t e l . H a r : [α, β ] → Ω s i m a g ö r b e , a k k o r a z

←−r : [α, β ] → Ω, ←−r (t) :=r(α + β − t)

e l l e n t e t t i r á n y í t á s ú g ö r b é r e

←−rf = −

r

f.

B i z o n y í t á s . V e z e s s ü k b e a z u := α + β − t h e l y e t t e s í t é s t , e k k o r ←−r

f =

β

α

f (r(α + β − t)), r(α + β − t)dt =

= α

β f (r(u)), r(u)du = − β

α f (r(u)), r(u)du = − r f.

1 2 . 5 . T é t e l . T e g y ü k f e l , h o g y f : Ω → Rnk o r l á t o s , a z a z ∃M > 0 , ∀x ∈

Ω f (x) ≤ M . E k k o r a z r : [α, β ] → Ω s i m a g ö r b e e s e t é n

r

f

≤ M · L,

a h o l L a g ö r b e í v h o s s z a .


r

f =

β

αf (r(t)), r(t)dt

≤ β

α|f (r(t)), r(t)| dt

≤ β

α

f (r(t)) · r(t)dt ≤ β

α

M · r(t)dt = M L,

h i s z e n

βα

r(t)dt a g ö r b e í v h o s s z a . ( K ö z b e n a C a u c h y B u n y a k o v s z k i j S c h w a r z -

e g y e n l ® t l e n s é g e t h a s z n á l t u k . )



1 2 . 3 . V O N A L I N T E G R Á L E 1 9 9

1 2 . 3 . 2 . P o t e n c i á l

1 2 . 3 . D e n í c i ó . A z f : Ω → Rn l e g y e n Z - t u l a j d o n s á g ú , h a ∀r : [α, β ] →Ω, r(α) = r(β ) s i m a z á r t g ö r b e e s e t é n

r f = 0.

1 2 . 4 . D e n í c i ó . A z f : Ω → Rnl e g y e n F - t u l a j d o n s á g ú , h a ∀r1 : [α1, β 1] → Ω

é s ∀r2 : [α2, β 2] → Ω o l y a n s i m a g ö r b é k e s e t é n , m e l y e k r e m é g r1(α1) = r2(α2)é s r1(β 1) = r2(β 2) i s i g a z , t e l j e s ü l , h o g y

r1

f =

r2

f.

1 2 . 5 . D e n í c i ó . A z f : Ω → Rnl e g y e n P - t u l a j d o n s á g ú , h a ∃Φ : Ω → R, Φ ∈

D(Ω) é s gradΦ = f. A Φ a z f e g y i k p o t e n c i á l j a .

1 2 . 6 . T é t e l . L e g y e n

f : Ω → R

n. E k k o r

Z ⇔ F ⇔ P.


1o Z ⇒ F.L e g y e n r1 : [α1, β 1] → Ω s i m a g ö r b e , r2 : [α2, β 2] → Ω s i m a g ö r b e . T e g y ü k

f e l , h o g y α2 = β 1 , é s r1(α1) = r2(α2), r1(β 1) = r2(β 2). E k k o r a z

←−r2 :[α2, β 2] → Ω, ←−r2(t) := r2(α2 + β 2 − t) e l l e n t é t e s e n i r á n y í t o t t g ö r b é v e l a z

r1 ∪ ←−r2 z á r t g ö r b e l e s z . Í g y

0 =

r1∪←−r2

f =

r1

f +

←−r2

f =

r1

f −

r2

f,

t e h á t r1

f =

r2

f.

2o F ⇒ P.R ö g z í t s ü n k e g y a ∈ Ω p o n t o t . L e g y e n Φ : Ω → R, Φ(x) :=

−→a,x

f , a h o l

−→a, x

j e l ö l j ö n e g y a- t x- s z e l ö s s z e k ö t ® s i m a g ö r b é t . L e g y e n ei (i = 1, 2, . . . , n)a z i - e d i k e g y s é g v e k t o r . E k k o r

∂ iΦ(x) = lims→0

Φ(x + sei) − Φ(x)

s= lim

s→0

1

s

−−−−−→a,x+sei

f − −→a,x

f

=

= lims→0

1

s

s

0

f (x + tei), eidt = lims→0

1

s

s

0

f i(x + tei)dt =

= lims→0

1s f i(x + ϑei) · s = f i(x). ( 1 2 . 1 )

( L á s d a 1 2 . 4 . á b r á t . ) K ö z b e n f e l h a s z n á l t u k , h o g y a z [x, x + sei] s z a k a s z t

a γ : [0, s] → Rn, γ (t) := x + tei p a r a m é t e r e z é s s e l á l l í t h a t j u k e l ® , m e l y r e

γ (t) = ei .

F e l h a s z n á l t u k m é g a f o l y t o n o s f ü g g v é n y i n t e g r á l k ö z e p é t i s . A z u t o l s ó l é p é s

f i f o l y t o n o s s á g á n a k a k ö v e t k e z m é n y e .




a

x x+sei

ei

1 2 . 4 . á b r a .

3o P ⇒ Z L e g y e n r : [α, β ] → Ω, r(α) = r(β ) s i m a z á r t g ö r b e . M i v e l ∃Φ ∈ D(Ω)p o t e n c i á l , e z é r t

r

f =

β

α

f (r(t)), r(t)dt =

β

α

gradΦ(r(t)), r(t)dt =

β

α

Φ(r(t))r(t)dt =

= β

α

(Φ(r(t)))dt = [Φ(r(t))]βα = Φ(r(β ))

−Φ(r(α)) = 0,

h i s z e n r(α) = r(β ) m i a t t Φ(r(α)) = Φ(r(β )) .

M i v e l Z ⇒ F, F ⇒ P é s P ⇒ Z , e z é r t a z f m i n d h á r o m t u l a j d o n s á g a e g y e n é r t é k ¶ .

M i e l ® t t a p o t e n c i á l l é t e z é s é n e k e l é g s é g e s f e l t é t e l é v e l f o g l a l k o z n á n k , e g y ö n -

m a g á b a n i s f o n t o s , g y a k r a n h a s z n á l t e r e d m é n y t m u t a t u n k b e .

L e g y e n g : [a, b] × [c, d] → R, g ∈ C. A

G : [c, d] → R, G(y) :=

b

a

g(x, y)dx

f ü g g v é n y t p a r a m é t e r e s i n t e g r á l n a k n e v e z z ü k ( y a p a r a m é t e r ) .

1 2 . 7 . T é t e l . L e g y e n g : [a, b] × [c, d] → R, g ∈ C é s ∂ 2g ∈ C ([a, b] × [c, d]).

E k k o r a G : [c, d] → R, G(y) := b

ag(x, y)dx f ü g g v é n y r e G ∈ D(c, d), é s ∀y ∈

(c, d) e s e t é n

G(y) =

b

a

∂ 2g(x, y)dx.



1 2 . 3 . V O N A L I N T E G R Á L E 2 0 1

B i z o n y í t á s . L e g y e n y∈

(c, d) t e t s z ® l e g e s . E k k o r

∀s

∈(c, d), s

= y e s e t é n

G(s) − G(y)

s − y− b

a

∂ 2g(x, y)dx =

=1

s − y

b

a

g(x, s)dx − b

a

g(x, y)dx

− b

a

∂ 2g(x, y)dx =

=1

s − y

b

a

(g(x, s) − g(x, y))dx − b

a

∂ 2g(x, y)dx =

=1

s − y

b

a

∂ 2g(x, η)(s − y)dx − b

a

∂ 2g(x, y)dx =

= b

a (∂ 2g(x, η) − ∂ 2g(x, y))dx.

M i v e l ∂ 2g ∈ C , e z é r t ∀ε > 0 ∃δ > 0 , h o g y ∀(x, s), (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], a m e l y r e

(x, s) − (x, y) = |s − y| < δ,

t e l j e s ü l , h o g y |∂ 2g(x, s) − ∂ 2g(x, y)| < ε, é s m i v e l η a z y é s s k ö z ö t t v a n , í g y

|η − y| < δ i s f e n n á l l , a m i b ® l

|∂ 2g(x, η) − ∂ 2g(x, y)| < ε

i s k ö v e t k e z i k .

L e g y e n s ∈ (c, d), s = y o l y a n , h o g y |s − y| < δ. E k k o r

G(s) − G(y)

s − y−

b

a

∂ 2g(x, y)dx

≤

b

a

|∂ 2g(x, η)−∂ 2g(x, y)|dx <

b

a

εdx = ε(b−a).

E z é p p e n a z t j e l e n t i , h o g y ∃ lims→yG(s)−G(y)

s−yé s

G(y) = lims→y

G(s) − G(y)

s − y=

b

a

∂ 2g(x, y)dx.

E z t a t é t e l t a p a r a m é t e r e s i n t e g r á l d e r i v á l á s a n é v e n s z o k t á k e m l e g e t n i , é s

f o r m á l i s a n a z t m o n d j a , h o g y

d

dy b

ag(x, y)dx =

b

a

∂g

∂y (x, y)dx,

a z a z k e l l ® e n s i m a f ü g g v é n y e s e t é n a z i n t e g r á l p a r a m é t e r s z e r i n t i d e r i v á l á s á t a z

i n t e g r á l a l a t t i s e l l e h e t v é g e z n i .

L e g y e n Ω ⊂ Rn. A z Ω t a r t o m á n y c s i l l a g t a r t o m á n y , h a ∃a ∈ Ω , h o g y

∀x ∈ Ω e s e t é n a z [a, x] := a + t(x − a) ∈ Rn | t ∈ [0, 1] ⊂ Ω ( a z a p o n t b ó l a z

Ωm i n d e n p o n t j á h o z e l l e h e t l á t n i . . . ) .




1 2 . 8 . T é t e l . ( a p o t e n c i á l l é t e z é s é n e k e l é g s é g e s f e l t é t e l e )

L e g y e n Ω⊂Rn

c s i l l a g t a r t o m á n y . L e g y e n f ∈

C 1(Ω) (

∀i, j = 1, 2, . . . , n e s e t é n

∂ if j ∈ C (Ω)) é s ∀i, j = 1, 2, . . . , n e s e t é n ∀x ∈ Ω p o n t b a n

∂ if j (x) = ∂ j f i(x),

a z a z f (x) ∈ Rn×ns z i m m e t r i k u s m á t r i x . E k k o r ∃Φ : Ω → R, a m e l y r e ∀i, j =

1, 2, . . . , n e s e t é n ∀x ∈ Ω p o n t b a n ∂ iΦ(x) = f i(x) , a z a z v a n p o t e n c i á l j a a z f f ü g g v é n y n e k .

B i z o n y í t á s . L e g y e n x ∈ Ω, x = a t e t s z ® l e g e s . L e g y e n a z a p o n t o t x - s z e l

ö s s z e k ö t ® s z a k a s z a

[0, 1] t → a + t(x − a) ∈ Ω

s i m a g ö r b e . J e l ö l j e e z t

−→a,x.A z

−→a, xg ö r b é n v e t t v o n a l i n t e g r á l l e g y e n a

Φf ü g g v é n y x- b e l i é r t é k e , a z a z

Φ : Ω → R, Φ(x) :=

−→a,x

f =

10

f (a + t(x − a)), x − adt.

M e g m u t a t j u k , h o g y Φ p o t e n c i á l j a a z f f ü g g v é n y n e k . L e g y e n i ∈ 1, 2, . . . , nt e t s z ® l e g e s i n d e x . E k k o r ∀x ∈ Ω e s e t é n

∂ iΦ(x) = ∂ i

10

f (a+t(x−a)), x−adt = ∂ i

10

nj=1

f j (a+t(x−a))(xj −aj)dt =

[ M o s t a l k a l m a z z u k a p a r a m é t e r e s i n t e g r á l d e r i v á l á s á r ó l s z ó l ó t é t e l t . A p a r a m é t e r

m o s t xi l e s z . Í g y f o l y t a t v a a s z á m o l á s t : ]

=

10

n

j=1

∂ if j (a + t(x − a))t · (xj − aj) + f i(a + t(x − a)) · 1

dt =

[ h i s z e n h a j = i, a k k o r ∂ i(xj − aj ) = 0. M o s t h a s z n á l j u k k i , h o g y ∂ if j = ∂ j f i .

Í g y k a p j u k , h o g y : ]

=

10

n

j=1

∂ j f i(a + t(x − a))t · (xj − aj ) + f i(a + t(x − a))

dt =

[ T e k i n t s ü k a Ψ : R → R, Ψ(t) := t · f i(a + t(x − a)) f ü g g v é n y t . A s i m a s á g i

f e l t e v é s e k m i a t t Ψ ∈ D é s

Ψ(t) = f i(a + t(x − a)) + t · f i (a + t(x − a)) · (x − a) =

= f i(a + t(x − a)) + tn

j=1

∂ j f i(a + t(x − a)) · (xj − aj).



1 2 . 3 . V O N A L I N T E G R Á L E 2 0 3

V e g y ü k é s z r e , h o g y a z i n t e g r á l a l a t t é p p e n Ψ(t) á l l . E z é r t : ]

1

0

Ψ(t)dt = [Ψ(t)]10 = Ψ(1) − Ψ(0) = f i(a + x − a) = f i(x).

[ K ö z b e n t ö b b s z ö r d e r i v á l t u n k k ö z v e t e t t f ü g g v é n y t . . . ]

T e h á t ∂ iΦ(x) = f i(x). M i v e l f i ∈ C , e z é r t ∂ iΦ ∈ C , a m i b ® l m á r k ö v e t k e z i k ,

h o g y Φ ∈ D . Í g y v a l ó b a n

Φa z f p o t e n c i á l j a .



1 3 . f e j e z e t

D i e r e n c i á l e g y e n l e t e k

A t e r m é s z e t b e n , t á r s a d a l o m b a n z a j l ó f o l y a m a t o k l e í r á s á r a a l k a l m a s a k a d i e r -

e n c i á l e g y e n l e t e k . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• A d i e r e n c i á l e g y e n l e t f o g a l m a

• S z é t v á l a s z t h a t ó v á l t o z ó j ú d i e r e n c i á l e g y e n l e t e k m e g o l d á s a

• A l k a l m a z á s o k

1 3 . 1 . D i e r e n c i á l e g y e n l e t e k A

1 3 . 1 . 1 . A l a p f o g a l m a k

L e g y e n Ω ⊂ R2t a r t o m á n y , f : Ω → R f o l y t o n o s f ü g g v é n y . K e r e s s ü k a z o l y a n y :

R R f ü g g v é n y e k e t , a m e l y e k D(y) é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y a n y í l t i n t e r v a l l u m ,

y f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó , m i n d e n x ∈ D(y) e s e t é n (x, y(x)) ∈ Ω é s

y(x) = f (x, y(x)).

E z t a p r o b l é m á t e l s ® r e n d ¶ d i e r e n c i á l e g y e n l e t n e k n e v e z z ü k , é s a z y = f (x, y)s z i m b ó l u m m a l h i v a t k o z u n k r á . L á t n i f o g j u k , h o g y e n n e k a p r o b l é m á n a k á l -

t a l á b a n v é g t e l e n s o k m e g o l d á s a v a n . H a a z o n b a n v a l a m e l y x0 p o n t b a n e l ® í r j u k

a m e g o l d á s y(x0) é r t é k é t , a k k o r r e n d s z e r i n t e g y e t l e n m e g o l d á s t k a p u n k . A z

y(x0) = y0

ö s s z e f ü g g é s t k e z d e t i f e l t é t e l n e k n e v e z i k . A f e l a d a t o k b ó l k i d e r ü l m a j d , h o g y i l y e n

t í p u s ú f e l t é t e l e k t e r m é s z e t e s m ó d o n h o z z á t a r t o z n a k a d i e r e n c i á l e g y e n l e t e k h e z .

F e l v e t ® d i k a k é r d é s , h o g y a z f f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a e l e g e n d ® - e a h h o z ,

h o g y l e g y e n m e g o l d á s a a z y = f (x, y) d i e r e n c i á l e g y e n l e t n e k , i l l e t v e , h a v a n

m e g o l d á s a , a k k o r h o g y a n l e h e t a h h o z e l j u t n i .

2 0 5



2 0 6 F E J E Z E T 1 3 . D I F F E R E N C I Á L E G Y E N L E T E K

1 3 . 1 . 2 . S z é t v á l a s z t h a t ó v á l t o z ó j ú d i e r e n c i á l e g y e n l e t

A p r o b l é m á v a l t ö r t é n ® j e l e n l e g i e l s ® i s m e r k e d é s n é l c s a k a z z a l a s p e c i á l i s e s e t t e l

f o g l a l k o z u n k , a h o l a z f : R2 R

f ü g g v é n y e l ® á l l

f (x, y) = g(x)h(y)

a l a k b a n , a h o l g, h : R R f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k , D(g) i n t e r v a l l u m , é s a hf ü g g v é n y n e m v e s z i f e l a 0 é r t é k e t . A z i l y e n d i e r e n c i á l e g y e n l e t e t s z é t v á l a s z t h a t ó

v á l t o z ó j ú n a k n e v e z z ü k é s t ö m ö r e b b e n a z

y = g(x)h(y)

k i f e j e z é s s e l j e l ö l j ü k . T e g y ü k f e l , h o g y v a l a m e l y y : I → R f ü g g v é n y m e g o l d á s a a

f e l a d a t n a k , a z a z m i n d e n x ∈ I e s e t é n y(x) = g(x)h(y(x)) . E k k o r

y(x)

h(y(x))= g(x) (x ∈ I ) ( 1 3 . 1 )

L e g y e n H :=

1/h é s G =

g a z 1/h é s a g e g y - e g y p r i m i t í v f ü g g v é n y e .

T e t s z ® l e g e s x ∈ I e s e t é n

(H y)(x) = H (y(x))y(x) =y(x)

h(y(x))é s G(x) = g(x).

M i v e l a (H y) é s a Gd e r i v á l t f ü g g v é n y e k ( 1 3 . 1 ) s z e r i n t a z I i n t e r v a l l u m o n

m e g e g y e z n e k , a z é r t a H y é s G f ü g g v é n y e k c s a k e g y k o n s t a n s b a n t é r h e t n e k e l

e g y m á s t ó l . A z a z v a n o l y a n c ∈ R s z á m , a m e l l y e l m i n d e n x ∈ I e s e t é n

H (y(x)) = G(x) + c.

H a a H f ü g g v é n y n e k v a n i n v e r z f ü g g v é n y e , H −1, a k k o r

H −1(H (y(x))) = H −1(G(x) + c),

a z a z m i n d e n x ∈ I e s e t é n

y(x) = H −1(G(x) + c). ( 1 3 . 2 )

T e h á t a z y = g(x)h(y) f e l a d a t m i n d e n m e g o l d á s a e l ® á l l í t h a t ó ( 1 3 . 2 ) a l a k b a n .

( B e h e l y e t t e s í t é s s e l e l l e n ® r i z h e t ® , h o g y e z e k a f ü g g v é n y e k v a l ó b a n m e g o l d á s o k . )

M e g j e g y e z z ü k , h o g y e z t a g o n d o l a t m e n e t e t c s u p á n f o r m á l i s a n k ö v e t v e e g y k ö n -

n y e n m e g j e g y e z h e t ® m e g o l d á s i e l j á r á s h o z j u t u n k :

y = g(x)h(y)

d y

d x= g(x)h(y)

d y

h(y)= g(x)d x



1 3 . 1 . D I F F E R E N C I Á L E G Y E N L E T E K A 2 0 7

E z t a z e g y e n l e t e t i n t e g r á l v a é s b e v e z e t v e a H := 1/h é s G = g p r i m i t í v

f ü g g v é n y e k e t a

H (y) = G(x) + c

e g y e n l e t h e z j u t u n k . M i n d k é t o l d a l r a a l k a l m a z v a a H −1i n v e r z f ü g g v é n y t a ( 1 3 . 2 )

m e g o l d á s t k a p j u k .

N é z z ü k m e g , h o g y e z a z e g y s z e r ¶ e n m e g o l d h a t ó t í p u s m i l y e n j e l e n s é g e k

l e í r á s á r a a l k a l m a s .

1 3 . 1 . 3 . A l k a l m a z á s

T e g y ü k f e l , h o g y e g y r a d i o a k t í v a n y a g a t0 i d ® p i l l a n a t b a n m0 t ö m e g ¶ . A z

i d ® e l ® r e h a l a d t á v a l a t > 0 i d ® p i l l a n a t b a n j e l ö l j e m(t) , m í g a t + ∆t i d ® p o n t b a n

m(t+∆t) a s u g á r z ó a n y a g t ö m e g é t . F e l t e s s z ü k , h o g y a t é s t+∆t i d ® p o n t k ö z ö t t i

∆m := m(t + ∆t) − m(t)t ö m e g v á l t o z á s e g y e n e s e n a r á n y o s a

ti d ® p o n t b e l i

m(t)t ö m e g g e l é s a z e l t e l t ∆t i d ® v e l : ∆m ∼ m(t)∆t. S u g á r z á s r ó l v a n s z ó , í g y ∆t > 0e s e t é n ∆m < 0. B e v e z e t v e e g y k > 0 a r á n y o s s á g i t é n y e z ® t a ∆m = −km(t)∆t,

a z a z a

∆m

∆t= −km(t)

e g y e n l ® s é g h e z j u t u n k . H a ∆t → 0 , a k k o r a

lim∆t→0

∆m

∆t=

d m

d t= −km(t)

d i e r e n c i á l e g y e n l e t e t k a p j u k . E b b e n m o s t x h e l y e t t t a v á l t o z ó , é s y(x)h e l y e t t

m(t) a z i s m e r e t l e n f ü g g v é n y . A d i e r e n c i á l e g y e n l e t s z é t v á l a s z t h a t ó v á l t o z ó j ú ( km o s t n e m i s f ü g g a t v á l t o z ó t ó l ) . O l d j u k m e g a z e g y e n l e t e t a z i m é n t i s m e r t e t e t t

m ó d s z e r r e l . S z é t v á l a s z t v a a v á l t o z ó k a t

d m

m= −k d t.

M i n d k é t o l d a l t i n t e g r á l v a

ln m = −kt + c,

m e l y b ® l

m = e

−kt+c = e

−kte

c

M i v e l a k e z d e t i f e l t é t e l b ® l m0 = m(0) = e

0e

c = e

c, a z é r t a m e g o l d á s b á r m e l y

t > 0 e s e t é n

m(t) = m0 e

−kt.

A s u g á r z ó a n y a g o k e g y i k j e l l e m z ® j e a T f e l e z é s i i d ® , a m e l y m e g a d j a , h o g y m e n -

n y i i d ® a l a t t t ¶ n i k e l a z a n y a g t ö m e g é n e k f e l e . A T f e l e z é s i i d ® v e l m e g a d h a t ó a

k b o m l á s i á l l a n d ó . U g y a n i s

m0

2= m(T ) = m0 e

−kT ,




m e l y b ® l

k =ln 2

T .

K u t a t á s o k k i m u t a t t á k , h o g y é l ® n ö v é n y i s z e r v e z e t b e n a s z é n 1 4 - e s i z o t ó p j á n a k

k o n c e n t r á c i ó j a á l l a n d ó , m i v e l a s z é t s u g á r z ó d ó C

14p ó t l ó d i k a l é g k ö r b ® l a z a s -

s z i m i l á c i ó s o r á n . A z o n b a n , a m i k o r p é l d á u l e g y f a e l p u s z t u l , a k k o r t ö b b é n e m

é p ü l b e a C

14, e z é r t c s ö k k e n a f a a n y a g á b a n a k o n c e n t r á c i ó j a . T a l á l t a k e g y

k o r h a d t f a t ö r z s e t , a m e l y b e n a C

14t é r f o g a t e g y s é g r e e s ® m e n n y i s é g e c s a k 9 0 % - a

a s z o k á s o s n a k . H á n y é v v e l e z e l ® t t p u s z t u l t e l a f a , h a t u d j u k , h o g y a C

14f e l e z é s i

i d e j e 5 3 7 0 é v ?

M i v e l a C

14m e n n y i s é g e t a f a e l p u s z t u l á s á t ó l s z á m í t o t t t i d ® m ú l v a a z

m(t) = m0 e

− ln 25370 t

k é p l e t a d j a é s j e l e n l e g a f a a n y a g á b a n a C

14m e n n y i s é g e 0, 9m0 , a z é r t a k e r e s e t t

i d ® t a

0, 9m0 = m0 e

− ln 25370 t

e g y e n l e t a d j a . M i n d k é t o l d a l t m0 - a l o s z t v a , m a j d l o g a r i t m u s t v é v e

ln 0, 9 = − ln 2

5370t

m e l y b ® l

t = −5370ln 0, 9

ln 2= 816 é v .

T e h á t a f a 8 1 6 é v v e l e z e l ® t t p u s z t u l t e l . E z a p é l d a i l l u s z t r á l t a a C

14- e s k o -

r m e g h a t á r o z á s m ó d s z e r é t , a m e l y é r t 1 9 6 0 - b a n W . L i b b y a m e r i k a i v e g y é s z k é m i a i

N o b e l d í j a t k a p o t t . . .

1 3 . 2 . F e l a d a t o k

1 . ( K o r l á t l a n s z a p o r o d á s m o d e l l j e ) L e g y e n a t = 0 i d ® p o n t b a n m0 t ö m e g ¶

v í r u s e g y v á r o s l a k o s a i b a n . Í r j u k l e a j á r v á n y k i a l a k u l á s á n a k m o d e l l j é t

( h a n i n c s e l l e n s z e r e a v í r u s s z a p o r o d á s á n a k . . . ) .

2 . ( K o r l á t o z o t t n ö v e k e d é s m o d e l l j e ) E g y s z i g e t e n l e g f e l j e b b M m e n n y i s é g ¶

( p é l d á u l t ö m e g ¶ ) n y ú l s z á m á r a t e r e m e l e g e n d ® f ¶ . B e t e l e p í t e n e k m0 m e n -

n y i s é g ¶ n y u l a t . Í r j u k l e a n y u l a k m e n n y i s é g é n e k i d ® b e l i v á l t o z á s á t !

M e g o l d á s : J e l ö l j e m(t) a k é r d é s e s m e n n y i s é g e t a t i d ® p o n t b a n . F e l t e h e t ® ,

h o g y e g y t i d ® p o n t b a n e n n e k ∆t i d ® a l a t t i m e g v á l t o z á s a a r á n y o s a z e l -

t e l t ∆t i d ® v e l , a z m(t) n y ú l m e n n y i s é g g e l é s a s z i g e t m a r a d é k n y ú l e l t a r t ó

k é p e s s é g é v e l . A z a z

m(t + ∆t) − m(t) ∼ m(t)(M − m(t))∆t.



1 3 . 2 . F E L A D A T O K 2 0 9

B e v e z e t v e a k s z a p o r o d á s i t é n y e z ® t

m(t + ∆t) − m(t) = km(t)(M − m(t))∆t.

E l o s z t v a a z e g y e n l e t e t ∆t- v e l , m a j d a ∆t → 0 h a t á r á t m e n e t e t v é v e a

d m

d t= m = km(M − m)

s z é t v á l a s z t h a t ó v á l t o z ó j ú d i e r e n c i á l e g y e n l e t e t k a p j u k . S z é t v á l a s z t v a a

v á l t o z ó k a t

d m

m(M − m)= k d t.

F e l h a s z n á l v a , h o g y

1

m(M − m)=

1

M 1

m+

1

M − m

k a p j u k , h o g y 1

m(M − m)d m =

1

M (ln m − ln(M − m)) =

1

M ln

m

M − m

. A z e g y e n l e t m i n d k é t o l d a l á t i n t e g r á l v a

1

M ln

m

M − m= kt + c

lnm

M − m= M kt + M c

m

M − m =e

Mk te

Mc

.E b b ® l

m(t) = M e

Mk t

e

−Mc + e

Mk t.

A z m(0) = m0 k e z d e t i f e l t é t e l b ® l

m0 = M 1

e

−Mc + 1,

m e l y b ® l

e

M c =m0

M − m0.

Í g y a m e g o l d á s

m(t) = M e

Mk t

M −m0

m0+ e

M kt.

L á t h a t ó , h o g y

limt→∞m(t) = M lim

t→∞1

M −m0

m0e

−Mk t + 1= M.




m(t)

M

m0

t

1 3 . 1 . á b r a .

3 . O l d j a m e g a z a l á b b i d i e r e n c i á l e g y e n l e t e k e t !

a ) y = xy , x ∈ Rb ) y = −y t g x , x ∈ (−π/2, π/2)

c ) y = 12x

1 + y2

, x > 0



1 4 . f e j e z e t

T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y

i n t e g r á l j a

A v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y i n t e g r á l j á t m o s t m á s i r á n y b a n á l t a l á n o s í t j u k . E l j u t u n k

e g y f e l ü l e t a l a t t i t é r r é s z t é r f o g a t á h o z , a m e l y n e k k i s z á m í t á s á t v a l ó s f ü g g v é n y e k

i n t e g r á l j á n a k k i s z á m í t á s á r a v e z e t j ü k v i s s z a . A z a l á b b i t é m a k ö r ö k e t t á r g y a l j u k .

• T ö b b v á l t o z ó s f ü g g v é n y R i e m a n n - i n t e g r á l j á n a k d e n í c i ó j a

• A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a t é g l a l a p o n F u b i n i - t é t e l l e l

• A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a n o r m á l t a r t o m á n y o n

• A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a m á s t a r t o m á n y o k o n i n t e g r á l t r a n s z f o r m á c i ó v a l

1 4 . 1 . T ö b b v á l t o z ó s i n t e g r á l A

1 4 . 1 . 1 . A t ö b b v á l t o z ó s i n t e g r á l f o g a l m a

L e g y e n T := [a, b] × [c, d] ⊂ R2e g y z á r t t é g l a l a p . L e g y e n f : R2 ⊃→ R

k é t v á l -

t o z ó s f o l y t o n o s f ü g g v é n y , a m e l y r e T ⊂ D(f ). K é s z í t s ü k e l a z [a, b] i n t e r v a l l u m

e g y a = x0 < x1 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b é s a [c, d] i n t e r v a l l u m

e g y c = y0 < . . . < yk−1 < yk < . . . < ym = b f e l o s z t á s á t . M i n d e n [xi−1, xi]r é s z i n t e r v a l l u m b a n v e g y ü n k f e l e g y ξi ∈ [xi−1, xi] é s m i n d e n [yk−1, yk] r é s z i n t e r -

v a l l u m b a n e g y ηk ∈ [yk−1, yk] p o n t o t ( i = 1, . . . , n , k = 1, . . . , m) . K é s z í t s ü k e l

a

σn,m :=

i=1,...,n, k=1,...,m

f (ξi, ηk)(xi − xi−1)(yk − yk−1)

k ö z e l í t ® ö s s z e g e t . ( A σn,m s z e m l é l e t e s e n [xi−1, xi] × [yk−1, yk] t é g l a l a p a l a p l a p ú ,

f (ξi, ηk) m a g a s s á g ú ( e z l e h e t n e g a t í v s z á m i s ! ) h a s á b o k e l ® j e l e s t é r f o g a t á n a k

a z ö s s z e g e . )

A z f

f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g a m i a t t i g a z o l h a t ó , h o g y e z e k n e k a k ö z e l í t ® ö s s z e g e k n e k

2 1 1



2 1 2 F E J E Z E T 1 4 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S F Ü G G V É N Y I N T E G R Á L J A

l é t e z i k h a t á r é r t é k e a b b a n a z é r t e l e m b e n , h o g y v a n o l y a n I ∈ Rs z á m , h o g y

b á r m e l y ε > 0 h i b a k o r l á t h o z v a n o l y a n δ > 0 s z á m , h o g y m i n d e n o l y a n f e l o s z t á s r a ,

a m e l y b e n

maxxi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n < δ

é s

maxyk − yk−1 | k = 1, 2, . . . , m < δ

é s e z e k b e n t e t s z ® l e g e s e n f e l v e t t ξi ∈ [xi−1, xi] ( i = 1, . . . , n ) é s ηk ∈ [yk−1, yk]( k = 1, . . . , m) e s e t é n

|σn,m − I | < ε.

A z i l y e n I ∈ R s z á m o t a z f f ü g g v é n y T t é g l a l a p o n v e t t i n t e g r á l j á n a k n e v e z -

z ü k é s T

f := I.

E r r e a f o g a l o m r a r ö v i d e n ú g y s z o k t a k h i v a t k o z n i , h o g y T

f = limxi−xi−1→0, yk−yk−1→0

i,k

f (ξi, ηk)(xi − xi−1)(yk − yk−1) =

= lim∆xi→0, ∆yk→0

i,k

f (ξi, ηk)∆xi∆yk =

[a,b]×[c,d]

f (x, y)dxdy.

A z

T

f ∈ R s z á m o t a z f f e l ü l e t a l a t t i

H :=

(x,y,z)∈R3

|(x, y)

∈T, 0

≤z

≤f (x, y), h a f (x, y)

≥0

v a g y f (x, y) ≤ z ≤ 0, h a f (x, y) < 0

t é r r é s z e l ® j e l e s t é r f o g a t á n a k n e v e z z ü k .

1 4 . 1 . 2 . A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s a t é g l a l a p o n é s n o r m á l t a r -

t o m á n y o n

N y i l v á n v a l ó , h o g y a b e m u t a t o t t e l j á r á s v é g i g v i t e l e i g e n n e h é z k e s s é t e n n é a z f f ü g g v é n y T t é g l a l a p o n v e t t i n t e g r á l j á n a k k i s z á m í t á s á t .

I d é z z ü k f e l a v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y i n t e g r á l j á n a k t é r f o g a t s z á m í t á s r a v a l ó a l -

k a l m a z á s á t . L e g y e n m o s t a z [a, b] i n t e r v a l l u m t e t s z ® l e g e s x ∈ [a, b] p o n t j á b a n a

H s í k m e t s z e t é n e k t e r ü l e t e

S (x)( 1 4 . 1 . á b r a ) . E z a t e r ü l e t a

[c, d] y → f (x, y)f ü g g v é n y [c, d]- n v e t t i n t e g r á l j a :

S (x) =

d

c

f (x, y)dy.



1 4 . 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S I N T E G R Á L A 2 1 3

a x b

c

d

f

S(x)

1 4 . 1 . á b r a .

H a e z t a z [a, b] x → S (x) f ü g g v é n y t ( a m e l y f f o l y t o n o s s á g a m i a t t f o l y t o n o s )

i n t e g r á l j u k a z [a, b] i n t e r v a l l u m o n , a k k o r

T

f =

[a,b]×[c,d]

f (x, y)dxdy =

b

a

S (x)dx =

b

a

d

c

f (x, y)dy

dx.

H a s o n l ó g o n d o l a t m e n e t t e l a d ó d n a , h o g y

T

f = d

c

b

af (x, y)dx

dy.

1 4 . 1 . T é t e l . ( F u b i n i - t é t e l )

L e g y e n f : R2 R, f f o l y t o n o s é s [a, b] × [c, d] ⊂ D(f ). E k k o r

[a,b]×[c,d]

f =

b

a

d

c

f (x, y)dy

dx =

d

c

b

a

f (x, y)dx

dy.

P é l d á u l l e g y e n f : R2 → R, f (x, y) = xy. T := [0, 1] × [2, 3]. E k k o r

T

f = 3

2 1

0

xydxdy = 3

2 x2

2y

1

0

dy = 3

2

y

2dy =

y2

4 3

2

=9

4− 1 =

5

4.

A z f f ü g g v é n y T t é g l a l a p o n v e t t i n t e g r á l j á n a k d e n í c i ó j a n e m i g é n y e l t e , h o g y

a z f f o l y t o n o s f ü g g v é n y l e g y e n . H a f n e m f o l y t o n o s , a k k o r e l ® f o r d u l h a t , h o g y

n e m l é t e z i k a z I ∈ R s z á m . H a a z o n b a n l é t e z i k a k í v á n t t u l a j d o n s á g ú I s z á m ,

a k k o r a z f f ü g g v é n y t i n t e g r á l h a t ó n a k m o n d j u k a T t é g l a l a p o n , é s e k k o r T

f := I.




E z z e l a m e g j e g y z é s s e l t é r ü n k á t a z f : R2 ⊃→ Rf ü g g v é n y n e k n e m t é g l a l a p

a l a k ú h a l m a z o k o n v e t t i n t e g r á l h a t ó s á g á r a é s i n t e g r á l j á r a .

L e g y e n α, β : [a, b] → Rf o l y t o n o s f ü g g v é n y o l y a n , h o g y m i n d e n x ∈ [a, b]

e s e t é n

α(x) ≤ β (x). L e g y e n

N x := (x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] é s α(x) ≤ y ≤ β (x) a z x- t e n g e l y r e n é z v e n o r m á l t a r t o m á n y . L e g y e n f : N x → R f o l y t o n o s

f ü g g v é n y . M i v e l α, β ∈ C [a, b], e z é r t v a n o l y a n c, d ∈ R , h o g y m i n d e n x ∈ [a, b]

e s e t é n c ≤ α(x) ≤ β (x) ≤ d. T e r j e s s z ü k k i a z f f ü g g v é n y t a

T := [a, b] × [c, d]

t é g l a l a p r a a k ö v e t k e z ® m ó d o n :

f : T → R, f (x, y) :=

f (x, y), h a (x, y) ∈ N x

0, h a (x, y) ∈ T \ N x.

E z a z f f ü g g v é n y o l y a n , h o g y f |Nx f o l y t o n o s , m í g a T \N x h a l m a z o n a z o n o s a n 0 .

I g a z o l h a t ó , h o g y a z i l y e n f f ü g g v é n y i n t e g r á l h a t ó , é s a z f f ü g g v é n y T t é g l a l a p o n

v e t t i n t e g r á l j a s e g í t s é g é v e l é r t e l m e z z ü k a z f f ü g g v é n y N x n o r m á l t a r t o m á n y o n

v e t t i n t e g r á l j á t : N x

f :=

T

f .

A F u b i n i - t é t e l s z e r i n t

N x f =

T

ˆf =

b

a d

c

ˆf (x, y)dy

dx =

=

b

a

α(x)

c

f (x, y)dy +

β(x)

α(x)

f (x, y)dy +

d

β(x)

f (x, y)dy

dx =

=

b

a

β(x)

α(x)

f (x, y)dy

dx,

h i s z e n [c, α(x)] y → f (x, y) = 0 , [α(x), β (x)] y → f (x, y) = f (x, y) é s

[β (x), d] y → f (x, y) = 0 b á r m e l y x ∈ [a, b] e s e t é n .

P é l d á u l l e g y e n f : R2 → R, f (x, y) = xy é s

N x :=

(x, y)

∈R2

|x

∈[

−1, 1] é s x2

−1

≤y

≤1

−x2

.

E k k o r N x

f =

1−1

1−x2

x2−1

xydy

dx =

1−1

x

y2

2

1−x2

x2−1

dx =

=

1−1

x

2(1 − x2)2 − x

2(x2 − 1)2dx =

1−1

0dx = 0.



1 4 . 1 . T Ö B B V Á L T O Z Ó S I N T E G R Á L A 2 1 5

É r t e l e m s z e r ¶ m ó d o s í t á s s a l k a p j u k a z N y y - t e n g e l y r e n é z v e n o r m á l t a r t o m á n y r a

v e t t i n t e g r á l t i s .

A z e l ® z ® e k m i n t á j á r a é p í t h e t ® f e l a z f : R3 ⊃→ R f ü g g v é n y T := [a1, b1] ×[a2, b2] × [a3, b3]

t é g l á r a v e t t i n t e g r á l j a , a z e r r e v o n a t k o z ó F u b i n i - t é t e l , m a j d a z

N xy xy - s í k r a n é z v e n o r m á l t a r t o m á n y o n v e t t i n t e g r á l i s .

A z N xy ⊂ R3a z xy - s í k r a n é z v e n o r m á l t a r t o m á n y , h a l é t e z i k a z [a, b] ⊂ R

z á r t i n t e r v a l l u m , l é t e z n e k α, β : [a, b] → R f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k , a m e l y e k r e

α(x) ≤ β (x) ( x ∈ [a, b]) , é s l é t e z n e k a λ, µ : R2 ⊃→ R f o l y t o n o s f ü g g v é n y e k ,

a m e l y e k r e λ(x, y) ≤ µ(x, y) ( x ∈ [a, b], α(x) ≤ y ≤ β (x) ) o l y a n o k , h o g y

N xy = (x,y,z) ∈ R3 | x ∈ [a, b], α(x) ≤ y ≤ β (x), λ(x, y) ≤ z ≤ µ(x, y).

T e g y ü k f e l , h o g y f : R3 ⊃→ R, f o l y t o n o s f ü g g v é n y , é s N xy ⊂ D(f ). E k k o r

N xy

f = b

a

β(x)

α(x)

µ(x,y)

λ(x,y)f (x,y,z)dz

dy

dx.

1 4 . 1 . 3 . A z i n t e g r á l t r a n s z f o r m á c i ó j a

A z e g y v á l t o z ó s h e l y e t t e s í t é s s e l t ö r t é n ® i n t e g r á l á s n a k i s v a n m e g f e l e l ® j e a t ö b -

b v á l t o z ó s i n t e g r á l á s b a n . A v a l ó s v á l t o z ó s h e l y e t t e s í t é s e s i n t e g r á l s z e r i n t , h a

φ : [α, β ] → [a, b] s z i g o r ú a n m o n o t o n n ö v ® b i j e k c i ó , é s φ ∈ D , a k k o r b

a

f (x)dx =

β

α

f (φ(t)) · φ(t)dt.

T e g y ü k f e l , h o g y a z f : R2 ⊃→ R f ü g g v é n y t a Q ⊂ D(f ) h a l m a z o n s z e r e t n é n k

i n t e g r á l n i . H a s z e r e n c s é n k v a n , a k k o r t a l á l u n k o l y a n

Φ = (φ, ψ) : T → Qb i j e k -

c i ó t , a h o l T = [α, β ] × [γ, δ] ⊂ R2e g y t é g l a l a p , Φ f o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó ,

é s b á r m e l y (u, v) ∈ T e s e t é n

detΦ(u, v) =

∂ uφ(u, v) ∂ vφ(u, v)∂ uψ(u, v) ∂ vψ(u, v)

= 0.

B e b i z o n y í t h a t ó , h o g y e k k o r Q

f =

T

f (φ(u, v), ψ(u, v)) · | detΦ(u, v)|dudv.

P é l d á u l Q := (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4 , a m i e g y o r i g ó k ö z é p p o n t ú , 2 s u g a r ú

z á r t k ö r l e m e z . A z f : R2

→R, f (x, y) := x2 + y2

.

M i v e l a

(φ, ψ) := [0, 2] × [0, 2π] → Q, φ(u, v) := u cos v, ψ(u, v) := u sin v

b i j e k c i ó ( p o l á r t r a n s z f o r m á c i ó n é v e n i s m e r t ) , é s

det(φ, ψ)(u, v) =

cos v −u sin vsin v u cos v

= u cos2 v + u sin2 v = u,




e z é r t Q

x2 + y2dxdy = [0,2]×[0,2π]

(u cos v)2 + (u sin v)2

ududv =

=

20

2π

0

u3dv

du =

20

[u3v]2π0 du =

2π

u4

4

20

= 8π.

A z f : R3 ⊃→ Rf ü g g v é n y e k i n t e g r á l á s á n á l g y a k r a n k ö n n y í t é s t j e l e n t , h a é s z r e v e s s z ü k ,

h o g y a z

X (r,φ,ϑ) := r sin ϑ cos φ

Y (r,φ,ϑ) := r sin ϑ sin φ

Z (r,φ,ϑ) := r cos φ

t r a n s z f o r m á c i ó v a l a z

[R1, R2] × [φ1, φ2] × [ϑ1, ϑ2] =: T

t é g l á t a Q ⊂ R3i n t e g r á l á s i t a r t o m á n y r a k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ¶ e n k é p e z i l e a

Φ := (X , Y , Z ) : T → Q f ü g g v é n y , é s detΦ = 0 a T t é g l á n . E k k o r

detΦ(r,φ,ϑ) =

sin ϑ cos φ −r sin ϑ sin φ r cos ϑ cos φsin ϑ sin φ r sin ϑ cos φ r cos ϑ sin φ

cos ϑ 0 −r sin ϑ

= −r2 sin ϑ.

E k k o r

Q

f (x,y,z)dxdydz =

T f (X (r,φ,ϑ), Y (r,φ,ϑ), Z (r,φ,ϑ)) · r2 sin ϑ · drdφdϑ.

A z i t t a l k a l m a z o t t t é r b e l i p o l á r t r a n s z f o r m á c i ó o l y a n Q t é r r é s z e k r e a l k a l m a s ,

a m e l y e g y g ö m b v a l a m i l y e n r é s z e ( f é l g ö m b , g ö m b r é t e g s t b . ) .

1 4 . 2 . F e l a d a t o k



1 5 . f e j e z e t

V e k t o r a n a l í z i s

T é r g ö r b é k j e l l e m z ® i t é r t e l m e z z ü k é s s z á m í t j u k k i ( g ö r b ü l e t , t o r z i ó , í v h o s s z ) .

F e l ü l e t e k e n i s b e v e z e t j ü k a z i n t e g r á l f o g a l m á t . A N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l a á l -

t a l á n o s í t á s a k é n t i n t e g r á l á t a l a k í t ó t é t e l e k e t ( G a u s s , S t o k e s ) f o g a l m a z u n k m e g .


• G ö r b e é r i n t ® j e , b i n o r m á l i s a , f ® n o r m á l i s a

• G ö r b e r e k t i k á l h a t ó s á g a é s h o s s z a

• G ö r b ü l e t , s i m u l ó k ö r , t o r z i ó

• F e l ü l e t e k p a r a m é t e r e s m e g a d á s a

• F e l s z í n d e n í c i ó j a

• F e l s z í n i i n t e g r á l

• F e l ü l e t i i n t e g r á l

• G r a d i e n s , d i v e r g e n c i a , r o t á c i ó

• S t o k e s - t é t e l , G a u s s - t é t e l

1 5 . 1 . V e k t o r a n a l í z i s A

1 5 . 1 . 1 . T é r g ö r b é k

L e g y e n r : [α, β ] → R3e g y m e g f e l e l ® e n s i m a ( r, r,

. . .

r ∈ C é s b á r m e l y t ∈(α, β ) e s e t é n r(t), r(t),

. . .

r (t) = 0) t é r g ö r b e . M á r l á t t u k , h o g y r(t0) a g ö r b e t0p a r a m é t e r ¶ p o n t j á h o z h ú z o t t é r i n t ® v e k t o r . J e l ö l j ü k a z r(t0) i r á n y á b a m u t a t ó

e g y s é g v e k t o r t t- v e l :

t :=r(t0)

r(t0) .

2 1 7



2 1 8 F E J E Z E T 1 5 . V E K T O R A N A L Í Z I S

E z t t a n g e n c i á l i s v e k t o r n a k n e v e z z ü k .

M o s t l e g y e n a g ö r b e P 0

p o n t j a a z r(t0

) v e k t o r v é g p o n t j a . V e g y ü n k f e l t e t -

s z ® l e g e s e n a g ö r b é n P 1 é s P 2 ( P 1, P 2 = P 0 ) p o n t o k a t . H a a P 1, P 0, P 2 n e m e s i k

e g y e g y e n e s b e , a k k o r e g y s í k o t h a t á r o z n a k m e g . K ö z e l e d j e n P 1 é s P 2 i s P 0 - h o z .

T e g y ü k f e l , h o g y a z á l t a l u k m e g h a t á r o z o t t s í k o k i s k ö z e l í t e n e k e g y h a t á r h e -

l y z e t h e z , a m i s z i n t é n e g y s í k . E z t a s í k o t a g ö r b e P 0 p o n t h o z t a r t o z ó s i m u l ó

s í k j á n a k n e v e z z ü k ( l é n y e g é b e n e z a s í k t a r t a l m a z z a a g ö r b e P 0 - h o z k ö z e l i k i s

d a r a b j á t ) . M e g m u t a t h a t ó , h o g y a s i m u l ó s í k o t a z r(t0) é s a z r(t0) v e k t o r o k

f e s z í t i k k i , e z é r t a s í k e g y i k n o r m á l v e k t o r a a z r(t0) × r(t0) l e s z . E b b ® l a s i m u l ó

s í k b á r m e l y p o n t j á h o z v e z e t ® r h e l y v e k t o r r a f e n n á l l , h o g y

(r(t0) × r(t0)), r − r(t0) = 0 (a s i m u l ó s í k e g y e n l e t e ) .

A s i m u l ó s í k n o r m á l v e k t o r á b ó l s z á r m a z t a t o t t e g y s é g v e k t o r a b i n o r m á l i s :

b :=r(t0) × r(t0)

r(t0) × r(t0) .

N y i l v á n b b i n o r m á l i s m e r ® l e g e s a t t a n g e n c i á l i s v e k t o r r a . A b é s t s í k j á t r e k t i -

k á l ó s í k n a k n e v e z z ü k . E n n e k a s í k n a k a z e g y i k n o r m á l v e k t o r a a t×b , a m e l y b ® l

s z á r m a z t a t o t t e g y s é g v e k t o r t a z f f ® n o r m á l i s n a k n e v e z z ü k :

f :=(r(t0) × r(t0)) × r(t0)

(r(t0) × r(t0)) × r(t0) .

A z f é s b s í k j a a n o r m á l s í k ( e n n e k e g y i k n o r m á l v e k t o r a a z r(t0) é r i n t ® v e k t o r . )

A t, f , b p á r o n k é n t e g y m á s r a m e r ® l e g e s e g y s é g v e k t o r o k , a m e l y e k e b b e n a s o r -

r e n d b e n j o b b s o d r á s ú r e n d s z e r t a l k o t n a k . A g ö r b e r(t0)h e l y v e k t o r ú p o n t j á h o z

i l l e s z t e t t t, f , b v e k t o r r e n d s z e r t k í s é r ® t r i é d e r n e k n e v e z z ü k ( t0 v á l t o z á s á v a l a

k í s é r ® t r i é d e r i s v á l t o z i k , d e a g ö r b e s z á m á r a n a g y o n t e r m é s z e t e s n e k t ¶ n i k e z a

r e n d s z e r ) .

A k ö z n a p i é r t e l e m b e n i s f o n t o s t u d n i e g y ú t h o s s z á t . T i s z t á z n i f o g j u k , h o g y

e g y r : [α, β ] → R3t é r g ö r b é n e k m i k o r v a n í v h o s s z a , é s h a v a n , a k k o r a z t h o g y a n

d e n i á l j u k .

L e g y e n τ a z [α, β ] e g y t e t s z ® l e g e s f e l o s z t á s a :

τ : α = t0 < t − 1 < .. . < ti−1 < ti < .. . < tn = β.

A z r(ti−1) é s r(ti) a g ö r b e p o n t j a i h o z v e z e t ® h e l y v e k t o r , í g y r(ti) − r(ti−1) a

k é t p o n t o t ö s s z e k ö t ® s z a k a s z h o s s z a . L e g y e n

L(τ ) :=n

i=1

r(ti) − r(ti−1)

a z r(t0), r(t1), . . . r(tn) p o n t o k h o z t a r t o z ó t ö r ö t t v o n a l h o s s z a . K é s z í t s ü k e l a z

ö s s z e s i l y e n t ö r ö t t v o n a l h o s s z á t t a r t a l m a z ó s z á m h a l m a z t :

L(τ ) | τ f e l o s z t á s a a z

[α, β ]i n t e r v a l l u m n a k .



1 5 . 1 . V E K T O R A N A L Í Z I S A 2 1 9

H a e z a h a l m a z f e l ü l r ® l k o r l á t o s , a k k o r a z r t é r g ö r b é t r e k t i k á l h a t ó n a k ( k i -

e g y e n e s í t h e t ® ) n e v e z z ü k , é s e k k o r

supL(τ ) | τ f e l o s z t á s a a z [α, β ] i n t e r v a l l u m n a k =: L

R- b e l i s z á m o t n e v e z z ü k a t é r g ö r b e h o s s z á n a k . H a a h a l m a z f e l ü l r ® l n e m k o r l á t o s ,

a k k o r n i n c s h o s s z a a t é r g ö r b é n e k ( v a g y v é g t e l e n h o s s z ú ) .

M á r l á t t u k , h o g y s i m a g ö r b e e s e t é n

r(ti) − r(ti−1) ≈ r(ξi) · (ti − ti−1) (ξi ∈ [ti−1, ti]),

í g y

L(τ ) =

ni=1

r(ti) − r(ti−1) ≈n

i=1

r(ξi) · (ti − ti−1),

a m i e g y i n t e g r á l k ö z e l í t ® ö s s z e g . M e g m u t a t h a t ó , h o g y e z s i m a g ö r b e e s e t é n

e l v e z e t a g ö r b e í v h o s s z á h o z : s i m a g ö r b e r e k t i k á l h a t ó , é s

L =

β

α

r(t)dt.

H a r : [α, β ] → Rs i m a g ö r b e , a k k o r b á r m e l y t ∈ [α, β ] e s e t é n l e g y e n s(t) := t

αr(u)du a g ö r b é n e k a t p a r a m é t e r ¶ p o n t i g t e r j e d ® í v h o s s z a ( n y i l v á n e z i s

l é t e z i k ) . A z é r t e l m e z é s a l a p j á n l á t h a t ó , h o g y

s(t) =d

dt

t

α

r(u)du = r(t).

H a t, t + ∆t

∈[α, β ], a k k o r

∆s := s(t + ∆t) − s(t) =

t+∆t

t

r(u)du ≈ r(t)∆t, h a ∆t ≈ 0.

A z r t é r g ö r b e m e n t é n m o z g ó p o n t p á l y a m e n t i ( k e r ü l e t i ) s e b e s s é g e e b b ® l s z á r -

m a z t a t h a t ó :

v(t) = lim∆t→0

∆s

∆t=

ds

dt= r(t).

G y a k r a n h a s z n á l j u k a s z ö g s e b e s s é g f o g a l m á t . T e g y ü k f e l , h o g y a z r(t) é s a z

r(t + ∆t)v e k t o r o k h a j l á s s z ö g e

∆φ. A z r t é r g ö r b e t p a r a m é t e r ¶ p o n t j á b a n a

s z ö g s e b e s s é g l e g y e n

ω(t) := lim∆t→0

∆φ

∆t.

E l é g s i m a g ö r b e e s e t é n k i s z á m í t j u k a z ω(t) s z ö g s e b e s s é g e t . I s m e r t , h o g y

r(t) × r(t + ∆t) = r(t) · r(t + ∆t) · sin∆φ.

F e l h a s z n á l v a , h o g y r(t) × r(t) = 0 ,

sin∆φ =r(t) × (r(t + ∆t) − r(t))

r(t) · r(t + ∆t) .




E m l é k e z v e a r r a , h o g y lim∆φ→0sin∆φ∆φ = 1 , é s ∆t → 0 e s e t é n ∆φ → 0 , t o v á b b

s z á m o l u n k :

sin∆φ

∆φ· ∆φ

∆t=

r(t) × r(t+∆t)−r(t)∆t

r(t) · r(t + ∆t) ,

lim∆t→0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t= r(t),

ω(t) = lim∆t→0

∆φ

∆t=

r(t) × r(t)r(t)2

.

E g y a u t ó b a n ú t k a n y a r u l a t h o z é r v e f o n t o s t u d n i , h o g y m e n n y i r e g ö r b ü l t a z ú t ,

m e n n y i r e t é r e l a z e g y e n e s t ® l . A z e l é g s i m a g ö r b e t é s t + ∆t p a r a m é t e r ¶ p o n t j a i

k ö z ö t t i g ö r b e í v h o s s z a l e g y e n ∆s . E k é t p o n t b e l i é r i n t ® v e k t o r h a j l á s s z ö g e l e g y e n

∆α . A t p a r a m é t e r ¶ p o n t h o z t a r t o z ó g ö r b ü l e t e n a

G(t) := lim∆s→0

∆α

∆s

h a t á r é r t é k e t é r t j ü k . A g ö r b ü l e t a r r ó l t á j é k o z t a t , h o g y ∆s ú t m e g t é t e l e k o r

m e k k o r a a s e b e s s é g v e k t o r s z ö g e l f o r d u l á s a . H a G n a g y , a k k o r é l e s a k a n y a r , h a

G k ö z e l n u l l a , a k k o r l é n y e g é b e n e g y e n e s a z ú t .

K i s z á m í t j u k a g ö r b ü l e t e t i s e l é g s i m a g ö r b e ( r, r ∈ C ) e s e t é n . H a ∆s ≈ 0 ,

a k k o r ∆t ≈ 0 , í g y

∆α

∆s=

∆α

∆t:

∆s

∆t,

a m i b ® l

G(t) = lim∆s→0

∆α∆s = lim∆t→0

∆α∆t : lim∆t→0

∆s∆t = Ω(t) : r(t),

a h o l Ω(t) a z r ( e z i s t é r g ö r b e ! ) s z ö g s e b e s s é g e a t p a r a m é t e r ¶ h e l y e n . T e h á t

G(t) =r(t) × r(t)

r(t)2: r(t) =

r(t) × r(t)r(t)3

.

L e g y e n G(t) = 0 e s e t é n

R(t) :=1

G(t)> 0.

I g a z o l h a t ó , h o g y a g ö r b e t p a r a m é t e r ¶ p o n t j á h o z i l l e s z k e d ® R(t) s u g a r ú k ö r ,

m e l y a s i m u l ó s í k b a n f e k s z i k , é s a m e l y n e k a k ö z é p p o n t j a a z f f ® n o r m á l i s e g y e -

n e s é n v a n , a g ö r b é h e z j ó l s i m u l ó k ö r t a d . S i m u l ó k ö r n e k n e v e z i k . A z r g ö r b é n

v a l ó m o z g á s r ö v i d s z a k a s z o n a s i m u l ó k ö r ö n v a l ó m o z g á s s a l h e l y e t t e s í t h e t ® .

A g ö r b ü l e t a z t m u t a t j a m e g , h o g y e g y g ö r b e m e n n y i r e t é r e l a z e g y e n e s t ® l .

E g y m á s i k j e l l e m z ® a d a t , a t o r z i ó a r r ó l t á j é k o z t a t , h o g y a g ö r b e m e n n y i r e t é r

e l e g y s í k g ö r b é t ® l .

A g ö r b e s i m u l ó s í k j á n a k n o r m á l v e k t o r a a b i n o r m á l i s . H a a p a r a m é t e r v á l -

t o z á s s a l a s i m u l ó s í k v á l t o z i k , a k k o r e r r ® l a b i n o r m á l i s e l h a j l á s a t a n ú s k o d i k . A




∆s í v h o s s z v á l t o z á s s a l j á r ó b i n o r m á l i s s z ö g e l f o r d u l á s j e l l e m z i a t o r z i ó t ( c s a v a r o -

d á s t ) , a z a z a t p a r a m é t e r ¶ h e l y h e z t a r t o z ó t o r z i ó l e g y e n

T (t) := lim∆s→0

∆β

∆s.

a h o l ∆β a z r(t) é s a z r(t+∆t) g ö r b e p o n t o k n á l é r v é n y e s s i m u l ó s í k o k n o r m á l v e k -

t o r á n a k ( b(t) é s b(t + ∆t) ) h a j l á s s z ö g e , ∆s p e d i g a k é t p o n t k ö z ö t t i í v h o s s z . A z

e l ® z ® e k h e z h a s o n l ó a n , e l é g s i m a g ö r b e e s e t é n ( r, r,. . .

r ∈ C )

T (t) = lim∆s→0

∆β

∆s= lim

∆t→0

∆β

∆t:

∆s

∆t= lim

∆t→0

∆β

∆t: lim∆t→0

∆s

∆t=

b(t) × b(t)b(t)2

: r(t),

a h o l a z o s z t a n d ó a b b i n o r m á l i s , m i n t t é r g ö r b e s z ö g s e b e s s é g e . B e h e l y e t t e s í t v e a

b i n o r m á l i s r a m e g i s m e r t e l ® á l l í t á s t , e g y s z e r ¶ s í t é s e k u t á n a t o r z i ó r a a z t k a p j u k ,

h o g y

T (t) =|r(t) × r(t),

. . .

r (t)|r(t) × r(t)2

.

M e g j e g y e z z ü k , h o g y h a a s z á m l á l ó b a n a v e g y e s s z o r z a t n a k n e m v e s s z ü k a z a b -

s z o l ú t é r t é k é t , a k k o r T (t) > 0e s e t é n j o b b c s a v a r o d á s ú , T (t) < 0

e s e t é n b a l c -

s a v a r o d á s ú g ö r b é r ® l b e s z é l ü n k . C s a v a r m e n e t e k n é l , c s i g a l é p c s ® n é l j e l e n t ® s é g e

l e h e t e n n e k i s . . .

1 5 . 1 . 2 . F e l ü l e t e k

L e g y e n S e g y s í k a t é r b e n . A z S s í k e g y p o n t j á h o z v e z e s s e n a z r0 v e k t o r .

L e g y e n t o v á b b á a z a é s b k é t n e m p á r h u z a m o s s í k b e l i v e k t o r . I s m e r t , h o g y a z

S s í k t e t s z ® l e g e s p o n t j á h o z v e z e t ® r v e k t o r e l ® á l l a l k a l m a s u, v∈R s z á m o k k a l

r = r0 + ua + vb

a l a k b a n . K o o r d i n á t á n k é n t e z a z t j e l e n t i , h o g y

x = x0 + ua1 + vb1

y = y0 + ua2 + vb2

z = z0 + ua3 + vb3.

T e h á t a z S s í k b á r m e l y p o n t j á t h á r o m k é t v á l t o z ó s f ü g g v é n n y e l m e g t u d t u k a d n i .

E z á l t a l á n o s a n i s i g a z . L e g y e n

Φ : R2

⊃→ R3

, Φ = X

Y Z

,

a h o l X , Y , Z : R2 ⊃→ R. H a Ω := D(Φ) ⊂ R2, a k k o r b á r m e l y (u, v) ∈ Ω e s e t é n

a z X (u, v)

Y (u, v)Z (u, v)

∈ R3




x

y

z

u

v

Φ(u,v)

1 5 . 1 . á b r a .

a t é r e g y p o n t j á h o z v e z e t ® h e l y v e k t o r t a d . E z e k a p o n t o k e g y f e l ü l e t e t ( k é t -

p a r a m é t e r e s f e l ü l e t ) h a t á r o z n a k m e g . P é l d á u l a Φ : [0, 2π] × [0, π] → R3,

Φ(u, v) :=

3sin v cos u

3sin v sin u3cos v

e g y (0, 0, 0) k ö z é p p o n t ú , R = 3 s u g a r ú g ö m b f e l ü l e t k é t p a r a m é t e r e s e l ® á l l í t á s a

( 1 5 . 1 . á b r a ) .

L e g y e n Φ : R2 ⊃→ R3, (u0, v0) ∈ D(Φ). A p : R ⊃→ R3, p(u) := Φ(u, v0), a

f e l ü l e t e n f u t ó g ö r b e l e g y e n a z u - p a r a m é t e r v o n a l , m í g a q : R ⊃→ R3, q(v) :=Φ(u0, v) a v - p a r a m é t e r v o n a l ( 1 5 . 2 . á b r a ) .

H a Φ s i m a f ü g g v é n y ( X , Y , Z k o o r d i n á t a - f ü g g v é n y e k p a r c i á l i s d e r v i á l t j a i f o l y t o n o s a k ) ,

a k k o r p(u0) é s q(v0) a z u - p a r a m é t e r v o n a l i l l . a v - p a r a m é t e r v o n a l é r i n t ® v e k t o r a i ,

é s e k k o r a z n := ˙ p(u0)× q(v0) a Φ f e l ü l e t Φ(u0, v0) p o n t j á h o z t a r t o z ó é r i n t ® s í k j á -

n a k a n o r m á l v e k t o r a l e s z . M i v e l

˙ p(u0) =

∂ uX (u0, v0)∂ uY (u0, v0)∂ uZ (u0, v0)

é s q(v0) =

∂ vX (u0, v0)∂ vY (u0, v0)∂ vZ (u0, v0)

,

e z é r t a z é r i n t ® s í k n o r m á l v e k t o r a a z

n =

i j k

∂ uX ∂ uY ∂ uZ ∂ vX ∂ vY ∂ vZ

d e t e r m i n á n s , a h o l a p a r c i á l i s d e r i v á l t a k a t a z

(u0, v0)h e l y e n k e l l v e n n i .




u0

v0

(u0,v)

(u,v0)

u

v

i

j

k

•

•

•

•

q(v)

p(u)

Φ(u0,v

0)

1 5 . 2 . á b r a .

L e g y e n Φ

s i m a f e l ü l e t , (u, v), (u + ∆u, v), (u + ∆u, v + ∆v), (u, v + ∆v) ∈

D(Φ) p o n t o k á l t a l m e g h a t á r o z o t t t é g l a l a p . E n n e k t e r ü l e t e ∆u · ∆v . A

Φ(u + ∆u, v) − Φ(u, v) ≈ ∂ uX (u, v)

∂ uY (u, v)∂ uZ (u, v)

∆u =: a,

Φ(u, v + ∆v)

−Φ(u, v)

≈ ∂ vX (u, v)∂ vY (u, v)

∂ vZ (u, v)∆v =: b,

e z é r t a f e l ü l e t e n f u t ó u - é s v - p a r a m é t e r v o n a l a k á l t a l h a t á r o l t Φ(u, v), Φ(u +∆u, v), Φ(u + ∆u, v + ∆v), Φ(u, v + ∆v) c s ú c s o k k a l j e l l e m e z h e t ® f e l ü l e t d a r a b

f e l s z í n e k ö z e l í t ® l e g a Φ(u, v) f e l ü l e t i p o n t h o z t a r t o z ó é r i n t ® s í k o n l é v ® o l y a n p a r -

a l e l o g r a m m á n a k a t e r ü l e t e , a m e l y n e k o l d a l v e k t o r a i a é s b. E z a t e r ü l e t a v e k -

t o r i á l i s s z o r z a t t a l k i f e j e z h e t ® :

a × b = n∆u∆v =

i j k∂ uX ∂ uY ∂ uZ ∂ vX ∂ vY ∂ vZ

· ∆u∆v.

A p a r a m é t e r t a r t o m á n y t a z u é s a v t e n g e l l y e l p á r h u z a m o s e g y e n e s e k k e l e l é g

s ¶ r ¶ n f e l o s z t v a ∆u∆v t e r ü l e t ¶ c e l l á k k e l e t k e z n e k ( 1 5 . 3 . á b r a ) .

A c e l l a k é p e a f e l ü l e t e n e g y g ö r b e v o n a l ú c e l l a l e s z , m e l y n e k f e l s z í n é t s z á -

m o l t u k k i a z e l ® b b i e k b e n . H a e z e k e t ö s s z e g e z z ü k , a k k o r a Φ f e l ü l e t f e l s z í n é n e k

e g y k ö z e l í t ® ö s s z e g é t k a p j u k :

u

v

∂ uX (u, v)

∂ uY (u, v)∂ uZ (u, v)

× ∂ vX (u, v)

∂ vY (u, v)∂ vZ (u, v)

∆u∆v,




u

v

∆ u

∆ v

1 5 . 3 . á b r a .

a m e l y a f e l o s z t á s m i n d e n h a t á r o n t ú l i s ¶ r í t é s é v e l a Φ f e l ü l e t Ω é r t e l m e z é s i t a r -

t o m á n y á r a v e t t i n t e g r á l h o z t a r t . T e h á t a Φ

f e l ü l e t f e l s z í n e

S :=

Ω

∂ uΦ × ∂ vΦdudv,

a h o l

∂ uΦ =

∂ uX

∂ uY ∂ uZ

é s ∂ vΦ =

∂ vX

∂ vY ∂ vZ

.

A z i n t e g r á l a n d ó f ü g g v é n y t e g y s z e r ¶ s í t h e t j ü k . M i v e l a, b v e k t o r e s e t é n

a × b2 = a2 · b2 sin2 α = a2b2(1 − cos2 α) =

= a2b2 − a2b2 cos2 α = a2b2 − (a, b)2,

e z é r t

S =

Ω

(∂ uΦ2∂ vΦ2 − (∂ uΦ, ∂ vΦ)2)1/2dudv.

F e l s z í n i i n t e g r á l

L e g y e n Φ : R2 ⊃→ R3, Ω := D(Φ) e g y s i m a f e l ü l e t . T e g y ü k f e l , h o g y a f e l ü l e t

m i n d e n p o n t j á h o z h o z z á r e n d e l t ü n k e g y v a l ó s s z á m o t , a z a z l e g y e n U : R3 ⊃→R, D(U ) := Φ(Ω)

. T e g y ü k f e l , h o g y U f o l y t o n o s . A z U s k a l á r f ü g g v é n y Φ

f e l ü l e t r e v e t t i n t e g r á l j á t a s z o k á s o s m ó d o n é r t e l m e z z ü k :

1oF e l o s z t j u k a z Ω p a r a m é t e r t a r t o m á n y t ∆u∆v t e r ü l e t ¶ c e l l á k r a .

2oA c e l l á k b a n f e l v e s z ü n k t e t s z ® l e g e s e n (u, v) p o n t o k a t .

3oE l k é s z í t j ü k a z U (Φ(u, v)) · ∂ uΦ × ∂ vΦ∆u∆v s z o r z a t o t ( a z U f ü g g v é n y

e g y f e l ü l e t i p o n t b a n v e t t é r t é k é n e k é s a ∆u∆v t e r ü l e t ¶ c e l l a k é p é n e k a

k ö z e l í t ® t e r ü l e t é t s z o r o z t u k ö s s z e ) .




4oA uv U (Φ(u, v)) · ∂ uΦ × ∂ vΦ∆u∆v e g y i n t e g r á l k ö z e l í t ® ö s s z e g .

5o A z U s k a l á r f ü g g v é n y Φ f e l ü l e t r e v e t t i n t e g r á l j á n a k ö z e l í t ® ö s s z e g e k h a t á r é r t é k é t

é r t j ü k : Φ

U := lim∆u→0,∆v→0

u

v

U (Φ(u, v)) · ∂ uΦ × ∂ vΦ∆u∆v =

=

Ω

U (Φ(u, v)) · ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)dudv.

F e l ü l e t i i n t e g r á l

L e g y e n Φ : R2 ⊃→ R3, Ω := D(Φ) e g y s i m a f e l ü l e t . T e g y ü k f e l , h o g y a f e l ü l e t

m i n d e n p o n t j á h o z e g y v e k t o r t r e n d e l t ü n k , a z a z F : R3 ⊃→ R3, D(F ) = Φ(Ω).T e g y ü k f e l , h o g y F f o l y t o n o s . A z F v e k t o r é r t é k ¶ f ü g g v é n y

Φf e l ü l e t r e v e t t

i n t e g r á l j á t a z e d d i g i e k h e z h a s o n l ó a n é r t e l m e z z ü k :

1oF e l o s z t j u k a z Ω p a r a m é t e r t a r t o m á n y t ∆u∆v t e r ü l e t ¶ c e l l á k r a .

2oA c e l l á k b a n t e t s z ® l e g e s e n f e l v e s z ü n k (u, v) p o n t o k a t .

3oE l k é s z í t j ü k a z F (Φ(u, v)) v e k t o r t .

4oA c e l l a (u, v) s a r o k p o n t j á h o z t a r t o z ó Φ(u, v) p o n t h o z t a r t o z i k e g y é r i n -

t ® s í k , a m e l y n e k n o r m á l v e k t o r a

∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v).

M i v e l a ∆u∆v t e r ü l e t ¶ c e l l á h o z t a r t o z ó f e l ü l e t e l e m t e r ü l e t e

∆S ≈ ∂ uΦ(u, v)∆u × ∂ vΦ(u, v)∆v = ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)∆u∆v,

e z é r t a

∆S := (∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v))∆u∆v

v e k t o r t f e l s z í n v e k t o r n a k n e v e z z ü k . ( A ∆S h o s s z a é p p e n a f e l ü l e t e l e m

t e r ü l e t e , é s i r á n y a a f e l ü l e t r e m e r ® l e g e s , ˙ p(u), q(v) v e k t o r o k k a l j o b b s o -

d r á s ú r e n d s z e r t a l k o t . )

5oE l k é s z í t j ü k a

u

v

F (Φ(u, v)), ∆S

s k a l á r i s s z o r z a t o k ö s s z e g é t . E z e g y i n t e g r á l k ö z e l í t ® ö s s z e g .

6o A z F v e k t o r é r t é k ¶ f ü g g v é n y

Φf e l ü l e t r e v e t t i n t e g r á l j á n a k ö z e l í t ® ö s s z e g e k

h a t á r é r t é k é t é r t j ü k : Φ

F := lim∆u→0,∆v→0

u

v

F (Φ(u, v)), ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)∆u∆v =

=

Ω

F (Φ(u, v)), ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)dudv. ( 1 5 . 1 )




1 5 . 1 . 3 . A n a b l a

A n a b l a e g y j e l k é p e s v e k t o r , a m e l y a z x s z e r i n t i , a z y s z e r i n t i é s a z s z e r i n t i

p a r c i á l i s d e r i v á l á s r a a d u t a s í t á s t . J e l e . V e k t o r k é n t i s h a s z n á l h a t ó , s k a l á r i s é s

v e k t o r i á l i s s z o r z a t o k e g y i k t é n y e z ® j e i s l e h e t .

:=

∂ x

∂ y∂ z

H a f : R3 ⊃→ R s i m a f ü g g v é n y , a k k o r

gradf = f =

∂ xf ∂ yf ∂ zf

.

( I t t a z f ú g y v i s e l k e d i k , m i n t e g y v e k t o r s z á m s z o r z ó j a , c s a k a s z o k á s t ó l e l t é r ® e n

m o s t a v e k t o r m ö g ö t t h e l y e z k e d i k e l . )

H a f : R3 ⊃→ R3s i m a f ü g g v é n y , a k k o r a z f (x,y,z) ∈ R3×3

d e r i v á l t m á t r i x

f ® á t l ó j á b a n á l l ó e l e m e k ö s s z e g e l e g y e n a

divf (x,y,z) = ∂ xf 1(x,y,z) + ∂ yf 2(x,y,z) + ∂ zf 3(x,y,z).

A z f d i v e r g e n c i á j a a v e k t o r r a l :

divf = , f ( a n a b l a é s a z f v e k t o r s k a l á r i s s z o r z a t a ) .

H a f : R3

⊃→R3

s i m a f ü g g v é n y , a k k o r a z f (x,y,z)

∈R3×3

d e r i v á l t m á t r i x

f ® á t l ó r a s z i m m e t r i k u s a n e l h e l y e z k e d ® e l e m e i k ü l ö n b s é g e i b ® l á l l ó v e k t o r t a z f r o t á c i ó j á n a k n e v e z z ü k , é s

rotf (x,y,z) :=

∂ yf 3(x,y,z) − ∂ zf 2(x,y,z)

∂ zf 1(x,y,z) − ∂ xf 3(x,y,z)∂ xf 2(x,y,z) − ∂ yf 1(x,y,z)

.

A z f r o t á c i ó j a a v e k t o r r a l :

rotf = × f

( a n a b l a é s a z f v e k t o r v e k t o r i á l i s s z o r z a t a ) .

A gradf j e l e n t é s é t a z i r á n y m e n t i d e r i v á l t k a p c s á n d e r í t e t t ü k f e l , a rotf a

v o n a l i n t e g r á l t é m a k ö r é b e n , a p o t e n c i á l l é t e z é s é n e k e l é g s é g e s f e l t é t e l é n é l k e r ü l t

m á r e l ® . ( A divf h a m a r o s a n m e g j e l e n i k . ) L á t h a t ó , h o g y a grad, div é s rote g y - e g y d i e r e n c i á l á s i u t a s í t á s , a m e l y a s e g í t s é g é v e l á t t e k i n t h e t ® v é v á l i k .

A v a l ó b a n ú g y v i s e l k e d i k , m i n t e g y v e k t o r . P é l d á u l f : R3 ⊃→ R e l é g

s i m a f ü g g v é n y e s e t é n

rot(gradf ) = × (f ) = 0,




h i s z e n é s f p á r h u z a m o s a k . ( A d e r i v á l á s o k h o s s z a d a l m a s e l v é g z é s e u t á n i s

e z t k a p n á n k . )

M e g e m l í t j ü k , h o g y a s a j á t m a g á v a l v e t t s k a l á r i s s z o r z a t a a L a p l a c e - o p e r á t o r :

:= , ,

a z a z h a f : R3 ⊃→ Re l é g s i m a s k a l á r f ü g g v é n y , a k k o r a

f := div(gradf ) = ∂ 2xxf + ∂ 2yy f + ∂ 2zz f

a L a p l a c e f .

1 5 . 1 . 4 . I n t e g r á l á t a l a k í t ó t é t e l e k

A v a l ó s - v a l ó s f ü g g v é n y e k r e v o n a t k o z ó N e w t o n L e i b n i z - f o r m u l á t f o g j u k m o s t á l -

t a l á n o s í t a n i . E n n e k a t é t e l n e k e g y i k k ö v e t k e z m é n y e , h o g y h a f : R ⊃→ Rf o l y t o n o s a n d i e r e n c i á l h a t ó , a k k o r

b

a

f = f (b) − f (a),

a m i t ú g y é r t e l m e z h e t ü n k , h o g y a z f f ü g g v é n y d e r i v á l t j á n a k a z [a, b] h a l m a z o n

v e t t i n t e g r á l j a a z f f ü g g v é n y n e k a h a l m a z h a t á r á n v a l ó m e g v á l t o z á s á v a l e g y e n l ® .

A z e g y i k á l t a l á n o s í t á s a k ö v e t k e z ® :

L e g y e n Φ : R2 ⊃→ R3s i m a f e l ü l e t , m e l y e t e g y r : R ⊃→ R3

i r á n y í t o t t g ö r b e

h a t á r o l ( a f e l s z í n v e k t o r o k i r á n y á b ó l n é z v e a z r g ö r b e p o z i t í v i r á n y í t á s ú l e g y e n ) .

1 5 . 1 . T é t e l . ( S t o k e s - t é t e l )

H a F : R3 ⊃→ R3 s i m a v e k t o r f ü g g v é n y , a k k o r Φ

rotF =

r

F,

a z a z a rotF ( a z F f ü g g v é n y r e a l k a l m a z t u n k e g y d i e r e n c i á l o p e r á t o r t ) f e l ü l e t i

i n t e g r á l j a e g y e n l ® a f e l ü l e t h a t á r á n a z F v o n a l i n t e g r á l j á v a l .

A m á s i k á l t a l á n o s í t á s a k ö v e t k e z ® :

L e g y e n e g y z á r t , s i m a f e l ü l e t a Φ : R2 ⊃→ R3, a m e l y e g y V ⊂ R3

t é r r é s z t v e s z

k ö r ü l ( a f e l s z í n v e k t o r o k a t k i f e l é i r á n y í t j u k ) .

1 5 . 2 . T é t e l . ( G a u s s - t é t e l )

H a

F :R3

⊃→R3

s i m a v e k t o r f ü g g v é n y , a k k o r V

divF =

Φ

F,

a z a z a V t é r b e l i t a r t o m á n y r a i n t e g r á l v a a divF f ü g g v é n y t ( e g y m á s i k d i e r e n -

c i á l o p e r á t o r t a l k a l m a z t u n k a z F f ü g g v é n y r e ) , e z a z i n t e g r á l a t é r r é s z h a t á r á n v e t t

f e l ü l e t i i n t e g r á l b a m e g y á t .




1 5 . 2 . F e l a d a t o k

1 . L e g y e n r : [0, 6π] → R3, r(t) :=

cos tsin t

t

e g y c s a v a r v o n a l . S z á m í t s a k i a

t0 := π2

p a r a m é t e r é r t é k h e z t a r t o z ó

a ) k í s é r ® t r i é d e r t , f , b v e k t o r a i t ,

b ) a G(t0) g ö r b ü l e t e t é s a z R(t0) s i m u l ó k ö r s u g a r á t ,

c ) a T (t0) t o r z i ó t .

S z á m í t s a k i a c s a v a r v o n a l h o s s z á t !

2 . L e g y e n

Φ : [0, 2π] × [0, π] → R3, Φ(u, v) :=

3sin v cos u3sin v sin u

3cos v

e g y g ö m b f e l ü l e t . Í r j a f e l a z (u0, v0) := (0, π

2 ) p a r a m é t e r é r t é k e k h e z t a r t o z ó

p : [0, 2π] → R3, p(u) := Φ(u, π2

) é s a q : [0, π] → R3, q(v) := Φ(0, v)p a r a m é t e r v o n a l a k a t ! ( A F ö l d g ö m b ö n m i t j e l e n t e n é n e k e z e k ? )

Í r j a f e l a z (u0, v0) := ( π3

, π3

) p a r a m é t e r é r t é k e k h e z t a r t o z ó é r i n t ® s í k e g y e n -

l e t é t ! ( M e k k o r a s z ö g e t z á r b e e z a s í k a z E g y e n l í t ® s í k j á v a l ? )

3 . A z e l ® b b i Φ(u, v) f e l ü l e t n e k m e k k o r a a z

Ω := (u, v)

|0

≤u

≤

π

4

,π

3 ≤v

≤

π

2

p a r a m é t e r t a r t o m á n y h o z t a r t o z ó f e l s z í n e ?

4 . M u t a s s u k m e g , h o g y a z f : [a, b] × [c, d] → Rs i m a f ü g g v é n y m i n t f e l ü l e t

f e l s z í n é t a d

c

b

a

1 + [∂ xf (x, y)]2 + [∂ yf (x, y)]2dx

dy

i n t e g r á l a d j a !

M e g o l d á s : L e g y e n

Φ : [a, b] × [c, d] → R3

, Φ(x, y) := x

yf (x, y)

a f e l ü l e t k é t p a r a m é t e r e s e l ® á l l í t á s a .

∂ xΦ(x, y) =

1

0∂ xf (x, y)

, ∂ yΦ(x, y) =

0

1∂ yf (x, y)



1 5 . 2 . F E L A D A T O K 2 2 9

∂ xΦ(x, y)2 = 1 + [∂ xf (x, y)]2, ∂ yΦ(x, y)2 = 1 + [∂ yf (x, y)]2,

(∂ xΦ(x, y), ∂ yΦ(x, y))2

= (∂ xf (x, y) · ∂ yf (x, y))2

,∂ xΦ2 · ∂ yΦ2 − ∂ xΦ, ∂ yΦ2 = 1 + (∂ xf )2 + (∂ yf )2.

E b b ® l m á r k ö v e t k e z i k a z á l l í t á s .

5 . L e g y e n Φ : [0, 1] × [0, 1] → R3, Φ(u, v) :=

u + v

u − vu

, é s U : R3 →

R, U (x,y,z) := x + y + z. S z á m í t s a k i a z

Φ

U f e l s z í n i i n t e g r á l t !

6 . L e g y e n

Φ : [0, 1] × [0, 1] → R3, Φ(u, v) :=

u + vu − v

u

,

é s

F : R3 → R3, F (x,y,z) :=

y

xz

.

S z á m í t s a k i a z

Φ

F f e l ü l e t i i n t e g r á l t !

7 . L e g y e n

Φ : [0, 2π] × [0, π/2] → R3, Φ(u, v) :=

cos v cos u

cos v sin usin v

e g y f e l s ® f é l g ö m b , é s h a t á r o l ó g ö r b é j e

r : [0, 2π] → R3, r(t) :=

cos t

sin t0

.

L e g y e n F : R3 → R3, F (x,y,z) :=

x2y

yzz

e g y v e k t o r f ü g g v é n y . E l -

l e n ® r i z z ü k a S t o k e s - t é t e l t !

M e g o l d á s :

rotF (x,y,z) = ×F (x,y,z) =

i j k∂ x ∂ y ∂ zx2 yz z

= i(0−y)− j(0−0)+k(0−x2),

t e h á t rotF (x,y,z) =

−y

0−x2

, rotF (Φ(u, v)) =

− cos v sin u

0−(cos v cos u)2

.

∂ uΦ(u, v) =

− cos v sin u

cos v cos u0

, ∂ vΦ(u, v) =

− sin v cos u

− sin v sin ucos v




∂ uΦ(u, v)×

∂ vΦ(u, v) = i j k

−cos v sin u cos v cos u 0

− sin v cos u − sin v sin u cos v =

= i(cos2 v cos u) − j(− cos2 v sin u) + k(cos v sin v sin2 u + cos v sin v cos2 u) =

=

cos2 v cos u

cos2 v sin ucos v sin v

,

é s e z e k k i f e l é n é z ® v e k t o r o k .

A S t o k e s - t é t e l b a l o l d a l a : Φ

rotF =

[0,2π]×[0,π/2]

rotF (Φ(u, v)), ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)dudv =

=

2π

0

π/2

0

− cos v sin u0

− cos2 v cos2 u

,

cos2 v cos ucos2 v sin ucos v sin v

dv

du =

=

2π

0

π/2

0

(− cos3 v sin u cos u − cos3 v sin v cos2 u)dv

du.

M i v e l − cos3 vdv = −

cos v(1 − sin2 v)dv = −

cos vdv +

sin2 v cos vdv =

=

−sin v +

sin3 v

3

,

e z é r t π/2

0

− cos3 vdv =

− sin v +

sin3 v

3

π/2

0

= −2

3.

M á s r é s z t π/2

0

cos3 v(− sin v)dv =

cos4 v

4

π/2

0

= −1

4.

E z e k e t f e l h a s z á l v a

Φ

rotF =

2π

0

sin u cos u ·

−23

+ cos2 u ·

−1

4

du

= −2

3

sin2 u

2

2π

0

− 1

4

2π

0

1 + cos 2u

2du =

= 0 − 1

4

1

2u +

sin2u

4

2π

0

= −π

4.



1 5 . 2 . F E L A D A T O K 2 3 1

A S t o k e s - t é t e l j o b b o l d a l a e g y v o n a l i n t e g r á l : r

F =

2π

0

F (r(t)), r(t)dt =

2π

0

cos2

t sin t00

,

− sin tcos t

0

dt =

=

2π

0

− cos2 t sin2 tdt =

2π

0

−sin2 2t

4dt =

2π

0

−1 − cos4t

8dt =

=

−1

8t +

sin4t

32

2π

0

= −π

4.

T e h á t e b b e n a p é l d á b a n Φ

rotF =

r

F = −π

4.

8 . L e g y e n F : R3 → R3, F (x,y,z) := x

2

yyzz

v e k t o r f ü g g v é n y .

L e g y e n

V := (x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ R2e g y o r i g ó k ö z é p p o n t ú , R s u g a r ú g ö m b , m e l y e t a

Φ : [0, 2π] × [−π/2, π/2] → R3, Φ(u, v) :=

R cos v cos u

R cos v sin uR sin v

f e l ü l e t h a t á r o l . E l l e n ® r i z z ü k a G a u s s - t é t e l t !

M e g o l d á s :

divF (x,y,z) = , F (x,y,z) = ∂ x(x2

y) + ∂ y(yz) + ∂ z(z) = 2xy + z + 1.A G a u s s - t é t e l b a l o l d a l a :

V

divF =

V

(2xy + z + 1)dxdydz.

A z i n t e g r á l k i s z á m í t á s á h o z c é l s z e r ¶ e g y p o l á r t r a n s z f o r m á c i ó t a l k a l m a z n i .

L e g y e n

Ψ : [0, 2π] × [π/2, π/2] × [0, R] → R3, Ψ(u,v,r) :=

r cos v cos u

r cos v sin ur sin v

.

A Ψ b i j e k c i ó a T := [0, 2π] × [π/2, π/2] × [0, R] é s a V g ö m b k ö z ö t t .

S z á m í t s u k k i a h e l y e t t e s í t ® f ü g g v é n y d e r i v á l t j á n a k d e t e r m i n á n s á t :

detΨ(u, v) =

−r cos v sin u −r sin v cos u cos v cos ur cos v cos u −r sin v sin u cos v sin u

0 r cos v sin v

=

= −r cos v(−r cos2 v sin2 u − r cos2 v cos2 u) +

+sin v(r2 cos v sin v sin2 u + r2 cos v sin v cos2 u) =

= r2 cos v.




M i v e l v ∈ [−π2 , π

2 ], e z é r t | detΨ(u, v)| = r2 cos v. E z t f e l h a s z n á l v a V

(2xy + z + 1)dxdydz =

2π

0

π/2

−π/2

R

0

(2(r cos v cos u)(r cos v sin u) + r sin v + 1)r2 cos vdr

dv

du =

2π

0

π/2

−π/2

R

0

(2r4 cos3 v cos u sin u + r3 sin v cos v + r2 cos v)dr

dv

du =

2π

0

π/2

−π/2

2

5R5 cos3 v cos u sin u +

1

4R4 sin v cos v +

1

3R3 cos v

dv

du.

A 7 . f e l a d a t b ó l π/2

−π/2

cos3 vdv =

sin v − sin3 v

3

π/2

−π/2

=4

3.

π/2

−π/2

sin v cos vdv =

sin2 v

2

π/2

−π/2

= 0, é s

π/2

−π/2

cos vdv = 2.

Í g y a z i n t e g r á l á s t f o l y t a t v a : 2π

0

4

3· 2

5R5 cos u sin u +

1

4R4 +

2

3R3

du =

8

15R5

sin2 u

2

2π

0

+4π

3R3 =

4π

3R3.

A G a u s s - t é t e l j o b b o l d a l a e g y f e l ü l e t i i n t e g r á l :

Φ

F = [0,2π]×[−π

2 ,π2 ]

F (Φ(u, v)), ∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v)dudv.

∂ uΦ(u, v) =

−R cos v sin u

R cos v cos u0

, ∂ vΦ(u, v) =

−R sin v cos u

−R sin v sin uR cos v

∂ uΦ(u, v) × ∂ vΦ(u, v) =

i j k

−R cos v sin u R cos v cos u 0−R sin v cos u −R sin v sin u R cos v

=

= i(R2 cos2 v cos u) − j(−R2 cos2 v sin u) +

+k(R2 cos v sin v sin2 u + R2 cos v sin v cos2 u) =

=

R2 cos2 v cos u

R2 cos2 v sin uR2 cos v sin v

.

F (Φ(u, v)) =

(R cos v cos u)2(R cos v sin u)

(R cos v sin u)(R sin v)R sin v

.



1 5 . 2 . F E L A D A T O K 2 3 3

E z e k k e l a f ü g g v é n y e k k e l

Φ

F =

[0,2π]×[−π

2 ,π2 ]

R3 cos3 v cos2 u sin uR2 cos v sin v sin u

R sin v

,

R2 cos2 v cos uR2 cos2 v sin uR2 cos v sin v

dudv =

=

2π

0

π/2

−π/2

(R5 cos5 v cos3 u sin u + R4 cos3 v sin v sin2 u + R3 sin2 v cos v)dv

du.

kalkulus jegyzet

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