jednacine koje se svode na kvadatne
DESCRIPTION
Matematika i jednacine koje mogu da se svedu na kvadratne jednacineTRANSCRIPT
1
NEKE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE
1) Bikvadratna jednačina To je jednačina oblika: 024 =++ cbxax Uvodimo smenu tx =2 , dobijamo jednačinu
02 =++ cbtat , nadjemo a
acbbt2
42
2,1−±−
= i vratimo se u smenu:
1
2 tx = i 22 tx =
12,1 tx ±= i 24,3 tx ±= Primer1: 034 24 =+− xx ⇒=+− 034 24 xx smena tx =2 034 24 =+− tt
12
24
32
242
242
1216412
314)4()4(2
4
2
1
2,1
22
2,1
=−
=
=+
=
±=
−±=
⋅⋅⋅−−±−−
=−±−
=
t
t
t
aacbbt
Vratimo se u smenu: i
www.matematiranje.com
34
1
=−=
=
cba
3
3
3
3
2
1
2,1
21
2
−=
+=
±=
=
=
x
x
x
x
tx
11
1
1
4
3
4,3
22
2
−=+=
±=
=
=
xxx
x
tx
2
Primer 2: )838(2)5()54( 42222 −=++− xxx
01665030
166162510254016)838(2)5()54(
24
42424
42222
=++−
−=++++−
−=++−
xxxxxxx
xxx
021630 24 =+− xx → Bikvadratna, smena: tx =2 2 30 216 0t t− + =
12224
182
362
6302
864900302
4
2
1
2,1
2
2,1
==
==
±=
−±=
−±−=
t
t
t
aacbbt
Vratimo se u smenu:
22
22
22
12
12
4
3
4,3
4,3
2
−=
+=
±=
±=
=
x
x
x
x
x
Primer 3:
3)2(2)2( 222 =−−− xxxx Ovo liči na bikvadratnu jednačinu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: txx =− 22
txx =− 22
→ 32
1
−=−=
=
cba
www.matematiranje.com
21630
1
=−=
=
cba
23
23
23
18
18
2
1
2,1
2,1
2
−=
+=
±=
±=
=
x
x
x
x
x
03232
2
2
=−−
=−
tttt
3
13
242
21242
24
2
1
2,1
2
2,1
−==
±=
+±=
−±−=
tt
t
aacbbt
Vratimo se sada u smenu:
012
12
2
2
22
2
=+−
−=−
=−
xxxx
txx
Sada rešavamo dve nove kvadratne jednačine po x.
11
2022
442
4
3
4,3
4,3
==
±=
−±=
xx
x
x
Dakle, rešenja su: { }1,1,1,3 − Primer 4: 5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx Ovo baš i ne liči na bikvadratnu jednačunu, a ne ‘’vidi se’’ da ima neka pametna smena. Ako sve pomnožimo tek tad smo u problemu!!! Probajmo da pomnožimo prva dva, i druga dva, da vidimo šta će da ispadne…
5625,0)623)(( 22 =++++ xxxxx →=+++ 5625,0)65)(( 22 xxxx Neće!!!
Probajmo onda prvi i četvrti, a drugi i treći!!!
5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx
www.matematiranje.com
03232
2
2
21
2
=−−
=−
=−
xxxx
txx
32
1
−=−=
=
cba
13
242
21242
2
1
2,1
2,1
−==
±=
+±=
xx
x
x
12
1
=−=
=
cba
4
5625,0)23)(3(5625,0)212)(3(
22
22
=+++
=++++
xxxxxxxxx
E, ovo je već bolje ⇒ Smena: txx =+ 32
05625,025625,0)2(
2 =−+
=+⋅
tttt
25,225,0
25,22
225,242
2
1
2,1
−=+=
±−=
+±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
025,23
25,232
2
=−+
+=+
xxxx
23
203
2993
43
4,3
4,3
−==
±−=
−±−=
xx
x
x
5) Reši jednačinu 045
352
2
=+−+
+−+
xxx
xxx
04
535
045
35
2
2
2
2
=+−+
⋅+−+
=+−+
+−+
xxx
xxx
xxx
xxx
Ovde je zgodno uzeti smenu txxx
=−+ 52
, jer je onda txx
x 152 =
−+
034043
/0413
2
2
=++
=++
⋅=+⋅+
tttt
tt
t
www.matematiranje.com
025,0325,03
2
2
=−+
+=+
xxxx
2103
2103
2103
2193
2
1
2,1
2,1
−−=
+−=
±−=
+±−=
x
x
x
x
5
31
224
212164
2
1
2,1
−=−=
±−=
−±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
152
−=−+
xxx ili 352
−=−+
xxx
05205
5
2
2
2
=−+
=+−+
−=−+
xxxxx
xxx
054035
35
2
2
2
=−+
=+−+
−=−+
xxxxx
xxx
( )2
6122
6222
2422
2042
2,1
2,1
2,1
2,1
±−=
±−=
±−=
+±−=
x
x
x
x
5
1
4
3
−==
xx
61
61
2
1
−−=
+−=
x
x
{ }5,1,61,61 −−−+− su rešenja.
Binomne jednačine
To su jednačine oblika:
0=± BAxn gde su 0>A i 0>B Najpre pokušamo da datu jednačinu rastavimo na činioce upotrebom poznatih formula, pa koristimo 00 =⇔=⋅ MNM v 0=N
Uvek ovu jednačinu možemo rešiti smenom nBx yA
= , koja binomnu jednačinu svede
na oblik 01=±ny www.matematiranje.com
220164
2,1+±−
=x
264
2,1±−
=x
6
Primer 1 0278 3 =−x Pazi: Pogrešno je jer se ‘’gube’’ rešenja!!! Upotrebićemo formulu
0)332)2)((32())((
22
2233
=+⋅+−
++−=−
xxxBABABABA
⇒=++− 0)964)(32( 2 xxx odavde je:
2332
032
1 =
==−
x
xx
ili
4333
8)333(2
8366
4333
8)333(2
8366
3
2
iiix
iiix
−−=
−−=
−−=
+−=
+−=
+−=
PAZI: ii 363361108108 =⋅⋅=−⋅=− Primer 2 07296 =−x
03
072966
6
=−
=−
xx
→=− 0)3()( 2323x Razlika kvadrata www.matematiranje.com
03)2(0278
33
3
=−
=−
xx
23
827827278
3
3
3
=
=
=
=
x
x
x
x
2
2,3
2,3
2
3
4 6 9 0
6 36 1448
6 108 6 6 38 8
6 6 38
6 6 38
x x
x
ix
ix
ix
+ + =
− ± −=
− ± − − ±= =
− +=
− −=
7
3 3 3 3
2 2
( 3 )( 3 ) 0( 3)( 3 9)( 3)( 3 9) 0x xx x x x x x− + =
− + + + − + =
03 =−x ili 0932 =++ xx ili 03 =+x ili 0932 =+− xx
1 3x =
23 3 3
2ix − +
= 33 3 3
2ix − −
=
3 0x + = → 4 3x = − 2 3 9 0x x− + = → 2
36936,5
−±=x
53 3 3
2ix +
= 63 3 3
2ix −
=
PAZI: ii 333912727 =⋅⋅=−⋅=−
Primer 3.: Rešimo jednačinu: 025 3 =+x Rešenje: Sad se ne može upotrebiti formula, pa idemo na smenu:
nBx yA
= , kako je A=5, B=2, 3=n
smena je 32 5
x y=
022
02525
02525
3
3
3
3
=+⋅
=+⋅⋅
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
y
y
y
⇒=+⋅ 0)1(2 3y 013 =+y (zbir kubova) www.matematiranje.com
8333
2273
23693
3,2
3,2
ix
x
±−=
−±−=
−±−=
2
1
( 1)( 1) 01 0
1
y y yy
y
+ − − =+ =
= −
8
Vratimo se u smenu: i Primer 4 Rešiti jednačinu 01711 4 =−x Rešenje: I ovde ne možemo lako datu jednačinu rastaviti na činioce; zato upotrebljavamo
smenu: n
AByx =
Kako je 4=n , 17=B , 11=A ⇒ =x 41117y
4
4
4
4 4 4 2 2
2 2
2
1711 17 011
1711 17 011
17 17 0 17( 1) 0 1 0 ( ) 1 0( 1)( 1) 0( 1)( 1)( 1) 0
y
y
y y y yy yy y y
⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ − =
⋅ − = ⇒ − = ⇒ − = → − =
− + =
− + + =
231
231
231
2411
01
3
2
3,2
3,2
2
iy
iy
iy
y
yy
−=
+=
±=
−±=
=−−
32
331
3
52
231
52
521
52
⋅+
=
−=⋅−=
=
ix
x
yx
33 5
22
31⋅
−=
ix
9
01=−y ili 01=+y ili 012 =+y 11 =y 12 −=y 12 −=y
iy
iy+=
±=−±=
3
4,3 1
iy −=4
Vratimo se u smenu =x 41117y
;1117
11171 44
1 =⋅=x 442 11
1711171 −=−=x
;1117
43 ix = 4
4 1117ix −=
Trinomne jednačine
To su jednačine oblika
02 =++ cbxax nn
gde su ba, i c realni brojevi (različite od nule). Rešava se smenom 22 txtx nn =⇒= . Rešavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu. Primer 1: Reši jednačinu 087 36 =−+ xx Rešenje: 3 2 3( ) 7 8 0x x+ − = cmena tx =3 0872 =−+ tt
8
12
97
2
1
2,1
−==
±−=
tt
t
Vratimo se u smenu:
Ili ili www.matematiranje.com
0)1)(1(01
1
2
3
3
=++−
=−
=
xxxxx
01=−x 012 =++ xx
3
3
3 3
2
88 02 0
( 2)( 2 4) 0
xxxx x x
= −
+ =
+ =
+ − + =
10
02 =+x ili 422 +− xx 24 −=x
Primer 2: Rešiti jednačinu:
8 417 16 0x x− + =
Rešenje: 4 2 4
2
( ) 17 16 017 16 0
x xt t
− + =
− + = smena: tx =4
116
21517
2
1
2,1
==
±=
tt
t
Vratimo se u smenu:
ili 14 =x
0)1)(1)(1(
0)1)(1(01
2
22
4
=++−
=+−
=−
xxxxx
x
ili ili ili ili , , Dakle rešenja su: { }iiii −+−−− ,,1,1,2,2,2,2 www.matematiranje.com
2,31 3
2ix − ±
=11 =x
ix
ix
x
312
3222
122
6,5
6,5
6,5
±=
±=
−±=
ixix
x
x
22
4
4
4
3
4,3
2
−=+=
−±=
−=
164 =x
0)4)(2)(2(0)2)(2(
02016
2
2222
44
4
=++−
=+−
=−
=−
xxxxx
xx
02 =−x 02 =+x 042 =+x22 −=x21 =x
01=−x 012 =+x01=+x
15 =x 16 −=x
ixix
x
x
−=+=
−±=
−=
8
7
8,7
2
1
1
11
Simetrične (recipročne) jednačine To su jednačina oblika: 0... 221 =++++++ −− abxcxcxbxax nnn Gde su ...,, cba realni brojevi. Naziv simetrične potiče jer su koificijenti uz knx − i kx
)...2,1,0( nk = jednaki. Drugo ime recipročne su dobile zbog osobina: Ako je α=x jedno rešenje, onda je i
α1
=x takodje rešenje date jednačine i važi osobina: Ako je najveći stepen −n neparan
broj, tada je 11 −=x jedno rešenje simetrične jednačine!!!
Postupak rešavanja
- Ako je jednačina neparnog sistema podelimo je sa )1( +x i dobijemo jednačinu parnog sistema
- Celu jednačinu podelimo sa’’srednjim’’ članom i grupišemo odgovarajuće članove.
- Uzimamo smenu 1x tx
+ = , odavde je ako kvadriramo:
22
2
22
2
22
12
112
1
tx
x
txx
xx
tx
x
=++
=+⋅⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→−=+ 21 22
2 tx
x ZAPAMTI
12
ili
33
3
33
3
332
23
33
113
1133
11312
1
txx
xx
txx
xx
txx
xx
xx
tx
x
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=+++
=+++⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
3 33
1 3x t tx
+ = − → ZAPAMTI
itd… Primer1: Rešiti jednačinu: 0231632 234 =++−+ xxxx Rešenje: Celu jednačinu delimo sa 2x jer je on srednji član. Dakle
0231632222
2
2
3
2
4
=++−
−+xx
xx
xxx
xx
012131632 22 =⋅+⋅+−+
xxxx grupišemo članove!!!
0161312 2 =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
xx smena: t
xx =+
1
02032016342
0163)2(2
2
2
2
=−+
=−+−
=−+−
tttt
tt
4133
416093
2,1±−
=+±−
=t
41 −=t , 25
2 =t
www.matematiranje.com
13
Vratimo se u smenu:
i
212
416255
0252522
251
4
3
4,3
2
2
=
=
−±=
=+−
=+
=+
x
x
x
xxxx
xx
Dakle, rešenja su 2 i 21 i 32+− i 32 −− i recipročna su!!! Za 2 i
21 je to
očigledno, a šta je sa 32+− i 32 −− ?
32
1323)2(
3232
132
132 2
−−=
−−−−
=−−−−
⋅+−
=+−
Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje recipročna. Primer 2: Rešiti jednačinu:
0121637371612 2345 =++−−+ xxxxx Rešenje: Ovo je jednačina petog stepena, pa je jedno rešenje 1−=x , pa ćemo celu jednačinu podeliti sa )1( +x
12441412)1(:)121637371612( 2342345 ++−+=+++−−+ xxxxxxxxxx Pogledaj deljenje polinoma!!! Dalje radimo:
01121441412
:/012441412
22
2234
=⋅+⋅+−+
=++−+
xxxx
xxxxx
www.matematiranje.com
32
322
4164
01441
41
2
1
2,1
2
2
−−=
+−=
−±−=
=++
−=+
−=+
x
x
x
xxxx
xx
14
04114112 22 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
xx
Smena 211 22
2 −=+⇒=+ tx
xtx
x
065412
041424120414)2(12
2
2
2
=−+
=−+−
=−+−
tttttt
25
613
24564
2
1
2,1
−=
=
±−=
t
t
t
Vratimo se u smenu:
6
131=+
xx i
251
−=+x
x
06136 2 =+− xx 0252 2 =++ xx
221
435
4
3
4,3
−=
−=
±−=
x
x
x
Dakle: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−− 1,2,
21,
32,
23 su rešenja
Veoma slične simetričnim su KOSOSIMETRIČNE jednačine, one su oblika
1 2 2... 0n n nax bx cx cx bx a− −+ + + − − − = tj. koeficijenti uz kx i knx − su suprotni koeficijenti Ako je kososimetrična jednačina neparnog sistema, jedno rešenje je uvek 11 =x Postupak rešavanja je sličan!!! www.matematiranje.com
32
128
23
1218
12513
2
1
2,1
==
==
±=
x
x
x
15
Primer 3:
01716167 2345 =−+−+− xxxxx kososimetrična
Pošto je njeno rešenje 11 =x , celu jednačinu delimo sa )1( −x
16106)1(:)1716167( 2342345 +−+−=−−+−+− xxxxxxxxxx Dobijena jednačina: 016106 234 =+−+− xxxx je simetrična 2:/ x
0116106
016106
22
234
=+⋅−+−
=+−+−
xxxx
xxxx
itd… Dobijena rešenja su 32,32,1,1 4321 −=+=== xxxx i 15 =x
www.matematiranje.com