9.obicne diferencijalne jednacine
DESCRIPTION
Obicne diferencijalne jednacineTRANSCRIPT
-
192
9 Numeriko reavanje obinih diferencijalnih jednaina
9.1 UVOD
Matematiki modeli velikog broja procesa u hemijskom inenjerstvu imaju formu diferencijalnih jednaina. Obina diferencijalna jednaina (ODJ) je jednaina u kojoj, u optem sluaju, figuriu: nezavisno promenljiva x, funkcija y(x) i njeni izvodi, poev od prvog pa do nekog n- tog. Dakle, ODJ definie vezu izmeu funkcije i njenih izvoda i moemo da je uopteno prikaemo kao:
bxayyyyxF n = ,0),...,,,,( )( , (9.1)
ili u eksplicitnom obliku (reeno po najviem izvodu):
bxayyyyxfdx
ydy nnn
n == ),,...,,,,( )1()( (9.1a)
gde interval definisanosti funkcija, [a, b] moe biti beskonaan. Diferencijalna jednaina (9.1) u kojoj je najvii izvod koji figurie, izvod n-tog reda zove se ODJ n-tog reda. Svaka funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednainu (9.1), predstavlja njeno reenje. Reenje moe biti,
opte, kada sadri n proizvoljnih konstanti, ci, i = 1,2,...,n, koje se zovu integracione konstante,
partikularno, koje se dobija iz opteg, odreivanjem brojnih vrednosti n integracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovolje funkcija i njeni izvodi 1., 2.,..., (n - 1)-vog reda na granicama a i b oblasti definisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granini uslovi.
Primer 1: Promena koncentracije reaktanta A, koji se troi u nekoj hemijskoj reakciji, sa vremenom t , pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione smee i uz idealno meanje smee, opisana je diferencijalnom jednainom 1. reda:
-
193
),0[,)( 3
= t
smmolCr
dtdC
AA
gde je r(CA) kinetiki izraz, tj. izraz za brzinu hemijske reakcije u funkciji koncentracije reaktanta i temperature. Ako jednaini dodamo i podatak o poetnoj koncentraciji reaktanta (u momentu otpoinjanja reakcije, t = 0), kao granini uslov:
0)0( AA CC =
dobijamo matematiki model izotermskog arnog hemijskog reaktora. Traena funkcija CA(t) je partikularno reenje date ODJ, koje se dobija odreivanjem jedne integracione konstante (u pitanju je ODJ 1. reda) u optem reenju, iz zadatog graninog uslova u poetnom momentu, 0AC .
Primer 2: Promena koncentracije reaktanta A, koji se troi u istoj hemijskoj reakciji, du
stacionarnog cevnog hemijskog reaktora, pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione smee, opisana je diferencijalnom jednainom 2. reda:
Lzsm
molCrdz
dCwdz
CdD AAAA
= 0,0)( 32
2
gde su, z - rastojanje od ulaza u reaktorsku cev L - duina cevi DA - koeficijent difuzije reaktanta w - srednja brzina proticanja reakcione smee kroz reaktor
kojoj treba dodati i dva uslova: jedan za ulaz u reaktor (z = 0), a drugi za izlaz iz reaktora (z = L). Data ODJ i granini uslovi ine matematiki model izotermskog cevnog reaktora. Traena funkcija CA(z), predstavlja partikularno reenje, koje pored date ODJ zadovoljava i dva granina uslova.
Primer 3: Promena poloaja y (ugao tj. otklon u odnosu na vertikalu) matematikog klatna u toku vremena t, predstavlja partikularno reenje homogene dif. jednaine 2 reda sa konstantnim koeficijentima (bilans koliine kretanja klatna):
0),/(0)()( 2 =++ tsradbtyaty
sa dodatnim uslovima:
y(0) = y0 (zadat poetni poloaj otklon klatna)
y(0) = 0 (zadata ugaona brzina kretanja klatna u poetnom momentu )
Numeriko reenje ODJ
Mali broj diferencijalnih jednaina, koje su od praktinog interesa, se moe reiti
analitiki, tj. dobiti njeno reenje u vidu analitiki definisane funkcije y(x). Tako se partikularno reenje diferencijalne jednaine (9.1) dobija priblino ili numeriki u obliku tabele priblinih vrednosti traene funkcije: (xi, yi), i = 0,1,...,N u nizu taaka xi, i = 0,1,...,N. Pri tom se razlikuju dva tipa problema:
-
194
poetni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granini uslovi (ukupno n) dati na levoj granici a, oblasti definisanosti funkcije. U ovom sluaju, za granine uslove se koristi termin poetni uslovi.
granini problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati na levoj, granici a, a neki na desnoj granici b oblasti definisanosti funkcije y(x). Kaemo da su granini uslovi razdvojeni (split boundary conditions)
Tako, Primeri 1 i 3 predstavljaju poetne probleme, a Primer 2 granini problem.
Sistem obinih diferencijalnih jednaina
Sistem ODJ, m-tog reda se sastoji od n obinih diferencijalnih jednaina, u kojima figurie isto toliko funkcija yi(x), i = 1,2,...,n, i njhovi izvodi, pri emu je najvii red izvoda koji je ukljuen jednak m. Tako, u najoptejem sluaju, sistem ODJ izgleda:
],[,,...,2,1,0))(),...,(...,),(),...,(),(),...,(,( )()(111 baxnixyxyxyxyxyxyxF
mn
mnni ==
ili u vektorskom obliku:
nibaxdxd
dxd
dxdxF m
m
i ,...,2,1],,[,0.,..,,,, 22
==
yyyy (9.2)
Specijalno, sistem ODJ prvog reda je:
nibxadxdxFi ,..,2,1,,0,, ==
yy (9.3)
ili u eksplicitnom obliku:
).,.,.,,(
).,.,.,,(
21
2111
nnn
n
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
=
=
M (9.4)
Partikularno reenje sistema ODJ je skup funkcija y1(x), y2(x),...,yn(x), koje zadovoljavaju sistem jednaina (9.2) i jo ukupno n m graninih uslova. Kao i u sluaju jedne ODJ, razlikujemo poetni i granini problem u zavisnosti da li su svi granini uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnoj granici oblasti definisanosti funkcija, [a, b]. Primer 4: Dobijanje temperaturnog profila T(x) fluida koji protie kroz cev i temperaturnog
profila )(xT , fluida koji protie kroz omota stacionarnog istostrujnog izmenjivaa toplote tipa cev u cevi, duine L, predstavlja poetni problem za sledei sistem od dve diferencijalne jednaine 1. reda (energetski bilansi za jedan i drugi fluid):
-
195
( ) ( )
( )( ) ( )smJTT
RRRK
dzTdwc
smJTTR
KdzdTwc
Tp
Tp
32
3
12
2
=
=
sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao poetnim uslovima:
x = 0: T(0) = T0 , T(0) = T0 (oba granina uslova u x = 0) gde su, R, R - unutranji poluprenici unutranje i spoljnje cevi izmenjivaa , - gustine fluida cp, cp - specifine toplote fluida w, w - srednje brzine fluida KT - koeficijent prolaza toplote Primer 5: Dobijanje temperaturnog profila oba fluida u stacionarnom suprotnostrujnom
izmenjivau toplote tipa cev u cevi, duine L, predstavlja granini problem:
( )
( )( )TT
RRRK
dzTdwc
TTR
KdzdTwc
Tp
Tp
=
=
12
2
2
sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao graninim uslovima:
T(0) = T0 , T(L) = T0 (granini uslovi su "razdvojeni")
9.2 PREVOENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA
ODJ n- tog reda:
F(x, y, y, y,..., y (n)) = 0, (a x b) (9.1)
sledeim smenama:
)1(
3
2
1
,,
,
=
=
==
nn yy
yyyyyy
M
(9.5)
prevodimo u sledei ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:
-
196
( )
( )
( )
( )),,,,(),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
2121
2111
21232
21121
nnnn
nnnn
n
n
yyyxfyyyxfdxdy
yyyxfydx
dy
yyyxfydxdy
yyyxfydxdy
KK
K
M
K
K
==
==
==
==
(9.6)
u kome se poslednja jednaina dobija, imajui u vidu da je:
( ) )()1( nnn yydxd
dxdy
==
reavanjem polazne diferencijalne jednainu po najviem izvodu i uvoenjem datih smena:
),...,,,(),...,,,(0),...,,,( 21smene
)1()()(n
nnnn yyyxfyyyxfdxdyyyyyxF ===
Primer 6: Diferencijalna jednaina 2. reda:
042 22 =+ yyyy
se smenama:
yyyy == 21 ,
prevodi u sistem:
1
21
22
222
21
24
24
yyy
yyyy
dxdy
ydxdy
=
==
=
U sluaju poetnog problema,
10
)1(
0
0
)(
)()(
=
==
nn yay
yayyay
M
poetni uslovi za uvedene funkcije glase:
10
02
01
)(
)()(
=
==
nn yay
yayyay
M (9.6a)
-
197
9.3 NUMERIKO REAVANJE ODJ 1. REDA OJLEROVA METODA
Traimo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao reenje poetnog problema: 0)(,),( yayyxfy == (9.7) odnosno, koja zadovoljava datu ODJ 1. reda i dati poetni uslov. Numeriko reenje dobijamo u vidu priblinih vrednosti traene funkcije, yi, i = 1,2,..., N u nizu ekvidistantnih taaka:
bxax
NiN
abhihxx
N
i
==
=
=+=
,
,...,2,1,)(,
0
0 (9.8)
odnosno u vidu tabele: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Kae se da smo izvrili diskretizaciju domena [a, b] nezavisno promenljive. Na Sl. 9.1 prikazani su: tano reenje, tj. neka (nepoznata) funkcija (x) i numeriko reenje, tj. niz taaka (xi, yi), i = 0,1,...,N.
Pretpostavimo sada, za momenat, da je poznata vrednost funkcije u taki xi, )( ii xyy = . Kako odrediti vrednost funkcije yi+1 u sledeoj taki? Ojlerova (Euler) metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda kolinikom prirataja:
( ) ( )iiiiiii
ii yxfxyh
yyxxyy ,1
1
1 =
= +
+
+
iz koje sledi (rekurentna) formula za dobijanje priblinog reenja: ( ) 1,...1,0,,1 =+=+ Niyxhfyy iiii (9.9) korak diskretizacije h (9.8) naziva se korak integracije ili integracioni korak.
Slika 9.1 - Tano i numeriko reenje ODJ 1. reda
(x)
tana vrednost ( ) ( )iti xy =
xi x0
yi
y0
y
-
198
Zadatak 9.1 Potrebno je reiti numeriki diferencijalnu jednainu:
1)0(
10,25
=
=
y
xydxdy
a) Dobiti numeriko reenje, delei interval definisanosti funkcije (interval integracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tanim reenjem:
xexy 25)( =
b) Ponoviti proraun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tanim reenjem.
c) Ponoviti proraun i poreenje za N = 50
d) Poveavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje priblinog od tanog reenja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01
Reenje (Mathcad):
i 0 N..:= y yt:=
yt
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.082
6.73810 -3
5.53110 -4
4.5410 -5
3.72710 -6
3.05910 -7
2.51110 -8
2.06110 -9
1.69210 -10
1.38910 -11
=y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1-1.5
2.25
-3.375
5.063
-7.594
11.391
-17.086
25.629
-38.443
57.665
=yti xi( ):=yt0 1:=
Tacne vrednosti:
yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=
i 1 N..:=
Integracija:
y0 1:=x0 a:=h 0.1=hb a
N:=Korak integracije:N 10:=
a)
b 1:=a 0:=f x y,( ) 25 y:=Podaci:
x( ) e 25 x:=Tacno resenje:
-
199
Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.
0 5 10 151
0
1
yi
yti
i
i 0 N..:=
y yt:=Greske:
yt
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.189
0.036
6.73810 -3
1.27310 -3
2.40410 -4
4.5410 -5
8.57510 -6
1.6210 -6
3.05910 -7
5.77810 -8
1.09110 -8
2.06110 -9
3.89310 -10
7.35310 -11
1.38910 -11
=y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1-0.667
0.444
-0.296
0.198
-0.132
0.088
-0.059
0.039
-0.026
0.017
-0.012
7.70710 -3
-5.13810 -3
3.42510 -3
-2.28410 -3
=yti xi( ):=Tacne vrednosti:
yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=
i 1 N..:=Integracija:
h 0.067=hb a
N:=
N 15:=b)
Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.
0 5 1050
0
50
100
i
i0 5 10
0
100
yi
yti
i
-
200
Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan
Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.
5 10 15 200.15
0.1
0.05
0
i
i
Priblizno resenje ne osciluje
0 5 10 15 200
0.5
1
yi
yti
i
i 0 N..:=
max ( ) 0.118= y yt:=yti xi( ):=
Greske:
yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=i 1 N..:=Integracija :
h 0.02=hb a
N:=Korak integracije:N 50:=
c)
max ( ) 0.856=Greska metode je velika
Racunski proces je stabilan
5 101
0
1
i
i
d)
N 100:= Korak integracije: hb a
N:= h 0.01=
-
201
Integracija:
i 1 N..:= xi x0 i h+:= yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=Greske:
yti xi( ):= y yt:= max
( ) 0.051=
Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobiju prihvatljivirezultati: 0.01<
Lokalna greka i red numerike metode
Lokalna greka neke numerike metode, 1+iE je greka na (i + 1)-vom integracionom koraku (i = 0,1,...,N-1), tj. odstupanje tanog prirataja traene funkcije kada se x promeni sa xi na xi+1, od prirataja )( 1 ii yy + izraunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem integracionog koraka i u optem sluaju je proporcionalana nekom celobrojnom pozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h tei nuli, beskonano mala veliina reda hn i piemo:
( )ni hOE =+1 Po dogovoru, kaemo da je metoda p - tog reda tanosti, ako je njena lokalna greka reda hp+1:
( )11 ++ = pi hOE (9.10)
Globalna greka i stabilnost numerike metode
Pod globalnom grekom numerike metode integracije dif. jednaine, podrazumeva se
odstupanje tanog od numerikog reenja. Tako je globalna greka, i+1 u nekoj taki xi+1 u intervalu integracije, jednaka:
( ) 11111 )( +++++ == itiiii yyyxy (9.11) Na Sl. 9.1, globalne greke u pojedinim takama su odstupanja krive (tano reenje dif. jednaine) od taaka (priblino reenje).
Jasno je da ako lokalna greka metode raste iz koraka u korak, to e prouzrokovati poveanje globalne greke sa poveanjem x odnosno i, tj. propagaciju greke u toku raunskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti raunskog procesa, takva numerika
-
202
metoda je nestabilna. U problemu 9.1 uoava se nestabilnost Ojlerove metode pri priblinom reavanju zadate ODJ, sa korakom integracije 0.1 (a).
Poveanje globalne greke tokom raunskog procesa moe biti prouzrokovano i akumulacijom greaka zaokruivanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi poveanja tanosti metode moe doi do propagacije greaka zaokruivanja (veliki broj raunskih operacija) i poveanja nestabilnosti procesa. Propagacija greaka zaokruivanja se moe minimizovati ako se proraun izvodi sa velikim brojem znaajnih cifara, to je sluaj pri korienju Mathcad-a, ili pri proraunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku (Pogl. 1.5).
9.4 TANOST I STABILNOST OJLEROVE METODE
Da bi izveli izraz za lokalnu greku Ojlerove metode, pretpostavimo da je vrednost yi
tana. Tanu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalne jednaine (9.7) u granicama xi do xi+1:
( )( ) ( )( )+++
+== +111
,, 1i
i
i
i
i
i
x
xii
x
x
y
y
dxxyxfyydxxyxfdy
Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovim polinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f(x, y), tj. prvi izvod traene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f(xi, yi) u celom intervalu ],[ 1+ii xx , odakle sledi formula (9.9). Tana vrednost yi+1 bi bila:
( ) ( ) ( ) ( ) 1ijeaproksimac greska
1
1
!1, ++
-
203
nagib = f(xi,yi )
f(xi,yi)
1+iE
ii yy +1
xi xi+1 xi+1
f(x,y(x))
yi+1
( )tiy 1+1+iE
xi
yi
y
Slika 9.2 - Lokalna greka Ojlerove metode
Propagacija greke u raunskom procesu
Neka je globalna greka procene funkcije u taki xi jednaka: ( ) itii yy = . Ova greka
prouzrokuje greku procene funkcije u sledeoj taki xi+1 (pojava irenja ili propagacije greke), poto vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu (9.9) nije tana. Na greku koja potie od greke vrednosti yi treba dodati lokalnu greku metode i greku zaokruivanja. Ako greku zaokruivanja zanemarimo, globalnu greku vrednosti funkcije u taki xi+1 dobijamo kao:
1,...,1,0,1),(1 =++= ++ NiEiyxhfii ii
Drugu od greaka procenjujemo kao:
[ ] iiiixyxhf yxyfhyxhf
y iii
=
= ),(),(),(
pa je:
1,...,1,0,)],(1[ 11 =+
+= ++ NiEyxyfh iiiii (9.13)
Ako kao primer uzmemo jednostavnu diferencijalnu jednainu:
0)(, yayyy == (9.14)
gde je neka konstanta, imaemo:
.,),(,),()12.9(
1 constEEyxyfyyxf iii ===
= + (9.14a)
i (9.13) dobija jednostavan oblik:
-
204
1,...,1,0,]1[1 =+=++= + NiEEh iii (9.13a)
Uzastopnom primenom formule (9.13a) moemo, polazei od 0 = 0, da izraunamo greku n funkcije u nekoj taki xn, koja je rezultat irenja greke na intervalu ],[ 0 nxx :
NnhhEE n
n
n ,...,2,1,]1)1[(11
=+
=
= (9.15)
Ako bi uveli neku srednju vrednost lokalne greke E na posmatranom intervalu ],[ 0 nxx , kao i srednju vrednost , funkcije,
),()( yxyfx
=
na istom intervalu, iz (9.13) bi dobili procenu globalne greke na n-tom koraku n , za opti oblik ODJ (9.7):
NnhhE n
n ,...,2,1,]1)1[( =+= (9.16)
Stabilnost raunskog procesa
Iz (9.16) je jasno da e globalna greka priblinog reenja ODJ u toku Ojlerovog
postupka (n raste), da raste, ako je izraz )1( + h , koji se stepenuje sa n, po apsolutnoj vrdnosti vei od jedinice. Tako iz (9.16) sledi dovoljan uslov stabilnosti Ojlerove metode na nekom intervalu ],[ 0 nxx :
)0(],,[,1)(1 0 >+ hxxxxh n (9.17)
U specijalnom sluaju = )(x (9.14), dovoljan uslov stabilnosti (9.16) je i potreban i glasi: )0(11 >+ hh , odnosno,
)0(02 > hh
Dakle,
za pozitivne vrednosti parametra , Ojlerova metoda je nestabilna, sa bilo koliko malim korakom integracije h,
za negativne vrednosti , metoda e biti stabilna, ako i samo ako integracioni korak (h > 0) zadovoljava uslov: 02 h , odnosno,
-
205
2h (9.17a)
Primer 7: U Zadatku 9.1 smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika (9.14) sa = -25, sa poetnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (to ne znai i dovoljno tanu) raunsku proceduru obezbeuje izbor veliine integracionog koraka:
08.0252 =h
to objanjava nestabilnost prorauna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan raunski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se moe objasniti na sledei nain. Za datu ODJ, Ojlerova metoda (9.9), za priblinu vrednost funkcije u taki xi+1 daje:
( ) 1,...,1,0,1),(1 =+=+=+=+ Niyhyhyyxhfyy iiiiiii Oigledno je da reenje osciluje, tj. naizmenino menja znak (a time i globalna greka) u toku nestabilnog prorauna (a), jer je:
01)1( >
-
206
xi+0.5h posmatranog intervala ],[ 1+ii xx (Sl. 9.3), ime se poveava tanost procenjenog prirataja (yi+1 - yi). Rezultat je formula:
)(1,...,1,0),5.0,5.0(
00
1
xyyNihfyhxfhyy iiiii
==+++=+ (9.18)
Slika 9.3 Ojlerova metoda srednje take
Metoda srednjeg nagiba
Kod ove metode se pomeranje iz take (xi, yi) vri du prave, iji je nagib izraunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u poetnoj i krajnjoj taki posmatranog intervala
],[ 1+ii xx :
[ ])(
1,,1,0,),(),(2
00
1
xyy
Nihfyhxfyxfhyy iiiiiii
=
=++++=+ K (9.19)
x
y
xi+1xi
yi+1
yi
k1
k2
k2
ks ( )( )
2
,,
21
2
1
kkk
hfyhxfkfyxfk
s
iii
iii
+=
++===
Slika 9.4 - Ojlerova metoda srednjeg nagiba
y
x
k2yi+1
xi+1xi xi +h/2
yi
k1
k2
k1,k2- nagibi pravih
( )( )iii
iii
hfyhxfkfyxfk
5.0,5.0,
2
1
++===
-
207
9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA
Zbog svoje tanosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije najire koriena metoda za numeriku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:
( )
),()2,2()2,2(
),(
1,...,1,0,2261
34
23
12
1
43211
KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfK
yxhfK
NiKKKKyy
ii
ii
ii
ii
ii
++=++=++=
=
=++++=+
(9.20)
Geometrijska interpretacija je sledea. Taka (xi+1, yi+1) se dobija pomeranjem iz take (xi, yi) po pravoj, iji je nagib izraunat kao srednja vrednost 4 nagiba, pri emu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom teinom u odnosu na 1. nagib (nagib tangente u poetnoj taki) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj taki). Naime, u formulama (9.20), prepoznajemo:
1. f (xi, yi) nagib u poetnoj taki
2. f (xi+h/2, yi+K1/2) nagib u sred.taki dobijenoj iz po.take nagibom 1
3. f (xi+h/2, yi+K2/2) nagib u sred.taki dobijenoj iz po.take nagibom 2
4. f (xi+h, yi+K3) nagib u krajnjoj taki dobijenoj iz po.take, nagibom 3
Zadatak 9.2 Diferencijalna jednaina koja opisuje promenu koncentracije reaktanta u reakciji prvog reda BA koja se odigrava u idealno meanom i idealno izolovanom (adijabatski reim) arnom reaktoru glasi:
)()(
)0(,
00
0)(0
AAp
RA
AAACTR
EA
CCcHTCT
CCCekdt
dCA
+=
==
gde su:
00 , ACT - poetna temperatura i koncentracija k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu R - univerzalna gasna konstanta RH - toplota reakcije cp, - specifina toplota i gustina reakcione smee Potrebno je za date podatke (Praktkum) odrediti koncentraciju reaktanta nakon 2500s od startovanja reaktora, a) Ojlerovom metodom s razliitim integracionim koracima b) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa razliitiom integracionim koracima i uporediti rezultate
-
208
Reenje: (Praktikum, XIII-3)
9.7 KLASIFIKACIJA NUMERIKIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ 1. REDA
Jedna podela metoda je na:
jednokorane, koje za izraunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj taki koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj taki (yi, fi ) To su prethodno izloene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.
viekorane, koje za izraunavanje yi+1 pored yi i fi koriste i vrednosti funkcije i izvoda u nizu prethodnih taaka: yi-1, fi-1 = f(xi-1, yi-1), yi-2, fi-2 = f(xi-2, yi-2), ...
Druga podela je na:
eksplicitne, kod kojih je formula za izraunavanje vrednosti funkcije u narednoj taki, yi+1 ekplicitno izraena po yi+1. Izloene Ojlerove metode i metoda Runge Kuta su eksplicitne jednokorane metode
implicitne, kod kojih je formula za izraunavanje yi+1 implicitna.
9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA
Implicitne jednokorane metode se baziraju se na ideji da se pri aproksimaciji izvoda f(x,y) funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednoj taki, yi+1 ukljui taka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f(xi+1, y(xi+1)) nepoznata i da se onda zahvaljujui iterativnom odreivanju yi+1 iz tako dobijene implicitne formule (metod uzastopnih zamena) povea stabilnost raunskog procesa. Implicitne metode sadre dve formule:
prediktor formulu, koja slui za odreivanje prve procene za yi+1, pomou neke eksplicitne jednokorane metode
korektor formulu, koja je implicitna i ijim se iterativnim korienjem (metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom preciznou.
Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajua eksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 rauna kao:
( )
)(
1,...,1,0,),(),(2
00
111
xyy
Niyxfyxfhyy iiiiii
=
=++= +++ (9.21)
a prediktor i korektor formule su: prediktor: ),()0( 1 iiii yxhfyy +=+ (9.21a)
-
209
korektor: [ ] 1...,1,0;,...1,0),(),(2
)(11
)1(1 ==++= +++
+ Nikyxfyxfhyy kiiiii
ki (9.21b)
izlazni kriterijum:
-
210
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21122 2!21
!21
++
++=+
++= iiiiiiiii fffffffffP
i za odabrano k = 3, izvodi se sledea formula, 4 - tog reda:
( ) ( )52131 ,1,...,4,3,2234 hOENifffhyy iiiii ==++= +
Ona oigledno zahteva prethodno izraunavanje prve tri vrednosti funkcije, nekom jednokoranom metodom. to se tanosti eksplicitnih viekoranih metoda tie, moe se, integracijom greaka interepolacije, izvesti:
( )( )
=
+
+
neparno za,parno za ,
3
2
rhOrhO
E rr
9.10 VIEKORANE IMPLICITNE METODE
Izvode se analogno eksplicitnim viekoranim metodama, s tim to se za aproksimaciju podintegralne funkcije f(x,y(x)) koristi IP koji prolazi i kroz taku (xi+1, yi+1):
( ) ( ) ( )1111 ,,1
++++ =+= +
iiir
x
xrkii yxfxPdxxPyy
i
ki
Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula koristi se neka viekorana eksplicitna metoda.
Milne ova metoda
To je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih viekoranih implicitnih metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani nain, sa k = 3, r = 2, a korektor formula sa k = 1, r=2 je:
prediktor: 1,...,4,3),22(3
4213
)0(1 =++= + Nifff
hyy iiiii (9.24a)
korektor: ,...2,1,0,)4(3 1
)(11
)1(1 =+++= ++
+ kfffhyy ii
kii
ki (9.24b)
Za dobijanje prve tri take numerikog reenja, koristi se neka jednokorana metoda, najbolje, istog reda tanosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (Pogl. 9.6). Ako se Milne-ova implicitna viekorana metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, moe se, imajui u vidu efekat korektora, konstatovati:
-
211
obe metode imaju lokalne greke istog reda, O(h5) Milneova metoda je stabilnija, tj. otpornija na propagaciju greaka u toku
raunskog procesa, pa u optem sluaju ima manju globalnu greku. Zadatak 9.4 Problem formulisan u Zadatku 9.2 reiti Milne-ovom metodom. Reenje: (Praktikum, XIII-5)
9.11 NUMERIKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA
Poetni problem za sistem od n ODJ 1. reda se moe formulisatu kao:
0,0
21
)(
,...,2,1,),,,,(
ii
nii
yxy
niyyyxfdxdy
=
== K
ili u vektorskom obliku:
00 )(,),( yyyfy
== xxdxd (9.25)
Numeriko reavanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
x0 x xN , xk = x0 + kh , k = 0,1,..., N (9.26a) yi,k = yi(xk), i = 1,2,...,n , k = 0,1,..., N (9.26b)
Dakle, za oznaavanje razliitih funkcija koristiemo indeks i, a za oznaavanje diskretnih vrednosti x i odgovarajuih vrednosti funkcija, indeks k. Za numeriku integraciju sistema (9.25) koriste se metode numerike integracije jedne ODJ 1. reda, pri emu se primenjuju simultano na sve jednaine u sistemu. Opisaemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.
Primena Ojlerove metode
( ) 1,...,1,0,,...,2,1,)(),...,(),(,)()( 211 ==+=+ Nknixyxyxyxhfxyxy knkkkikiki (9.27a)
ili u vektorskom obliku:
1,..,1,0),,(1 =+=+ Nkxh kkkk yfyy (9.27b)
-
212
Primena Metode Runge - Kutta 4. reda
1,,0,...,2,1)22(61)()( 43211 ==++++=+ NkniKKKKxyxy iiiikiki K (9.28)
gde su:
( )
( ) ,...,2,1,)(,,)(,
,2
)(,,2
)(,2
,2
)(,,2
)(,2
,)(),...,(
31314
21213
11112
11
niKxyKxyhxhfK
KxyKxyhxhfK
KxyKxyhxhfK
x yx, yx = hfK
nknkkii
nknkkii
nknkkii
knkkii
=+++=
+++=
+++=
KK
KK
KK
(9.28a)
ili u vektorskom obliku:
1,...,1,0),22(61 )(
4)(
3)(
2)(
11 =++++=+ Nkkkkk
kk KKKKyy (9.29)
gde su:
,=
2,
2=
2+,
2+=
),(
)(3
)(4
)(2)(
3
)(1)(
2
)(1
)( kkk
k
kk
k
kk
kkk
hxh
hxh
hxh
xh
KyfK
KyfK
KyfK
yfK
++
++
=
(9.29a)
9.12 NUMERIKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Integracija ODJ 1. reda
Za priblino reavanje ODJ prvog reda (9.7) ili uopte reavanje jedne ODJ vieg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolve block:
prvi deo bloka poinje reju Given (analogija sa Solve block-om) iza koje se daje formulacija problema (diferencijalna jednaina i poetni uslov), u obliku vrlo slinom izvornom (9.7)
drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja definie funkciju y(x) kao interpolacionu funkciju za izraunatu tabelu - numeriko reenje.
-
213
Znaenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su: x - nezavisno promenljiva xmax - gornja granica intervala integracije nk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)
Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira integracioni korak da se zadovolji tanost sa kriterijumom definisanim sistemskim parametrom TOL. Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstantnim integracionim korakom du intervala integracije. Postoji mogunost izbora (desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak, du intervala integracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajue tanosti. Pozivom funkcije y(x), ije ime je definisano u formulaciji problema, moe se dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja reenje date ODJ, u bilo kojoj taki iz intervala
]max.[ xa , (a = x0) .
Zadatak 9.5 Problem formulisan u zadatku 9.2. reiti pomou Odesolve block-a. Reenje: (Praktikum, XIII-6)
Poetni problem za sistem ODJ 1. reda Od vie funkcija kojima raspolae Mathcad za numeriko reavanje sistema ODJ
(9.25), odabraemo dve: rkfixed, koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracionim
korakom u celom intervalu integracije ],[ 0 Nxx (9.26a), Rkadapt, koja za razliku od rkfixed menja korak du intervala integracije da bi se
zadovoljio kriterijum tanosti, definisan sistemskim parametrom TOL. Obe funkcije imaju identinu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:
y - vektor poetnih vrednosti funkcija [x0, xmax] interval integracije (9.26a) nt - broj izraunatih vrednosti funkcija traenih 1,...,1,0),( = nixyi , koje korisnik
dobija D - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (9.25)
Funkcije vraaju matricu dimenzija [(nt+1)x(nt+1)] ija prva kolona sadri levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, a ostale kolone odgovarajue vrednosti traenih funkcija 1,...,1,0),( = nixyi .
Zadatak 9.6 Diferencijalne jednaine koje opisuju promene koncentracija uesnika u reakcijama prvog reda:
121
0 05.0,1.0,10 == skskCBA
kk
sa vremenom, u arnom, idealno meanom reaktoru, su:
-
214
0)0()0(,1)0( 31
10
0
===
=
=
=
CBA
BC
BAB
AA
CCmkmolC
Ckdt
dC
CkCkdt
dC
Ckdt
dC
a) Pomou funkcije rkfixed nai numeriko reenje datog sistema u vremenskom intervalu (s) ]60,0[ , sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije komponenata.
b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tanost krajnjih koncentracija od 4 sigurne cifre.
c) Isti problem reiti pomou funkcije Rkadapt, pri emu se trae koncentracije u 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti reenja.
Reenje: (Prakt., XIV-2) Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1. reda, pri
emu se ona posmatra kao specijalan sluaj sistema ODJ.
Zadatak 9.7 Problem definisan u Zadatku 9.2, reiti pomou funkcija rkfixed i Rkadapt Reenje: (Prakt., XIV-3)
9.13 GRANINI PROBLEM ZA ODJ 2. REDA
Za teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa reavanje ODJ 2. reda (videti Primer 2), iji je opti oblik:
y + g1(x, y)y + g2(x, y) = g3(x), a x b (9.30)
sa razdvojenim graninim uslovima, koji u najoptijem sluaju (Robinov problem) glase:
Ay(a) + B y (a) = c (9.31a)
A1y(b) + B1 y (b) = c1 (9.31b)
Specijalan sluaj ODJ (9.30) je linerna ODJ:
y + g1(x)y + g2(x)y = g3(x) (9.30a)
Specijalni sluajevi problema (graninih uslova) su:
Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1, B = B1 = 0)
y(a) = c (9.32a)
y(b) = c1 (9.32b)
-
215
Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)
y(a) = c (9.33a)
y(b) = c1 (9.33b)
Treba rei, da u optem sluaju, tip graninog uslova na levoj granici ne mora da bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici moemo imati Dirihleov uslov (9.32a), a na desnoj Nojmanov (9.33b)
9.13 METOD PROBE I GREKE
Dirihleov problem (9.32a,b)
Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
ihxxbxaxn
abh in +===
= 00 ,,,
diferencijalna jednaina (9.30) se reava numerikom integracijom ekvivalentnog sistema ODJ prvog reda (9.34):
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ?
,,
,
002
01
1221132
2121
===
=
===
xyxycxy
yxgyyxgxgdxdy
yyyyydxdy
(9.34)
Meutim, za otpoinjanje numerike integracije sistema nedostaje vrednost prvog izvoda traene funkcije u taki x0 = a. Probajui sa razliitim poetnim vrednostima za )(xy , dobijali bi razliite vrednosti funkcije )( nn xyy = na kraju intervala integracije i traimo onu vrednost )( 0xy za koju se za yn dobija zadata vrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (9.32b) na desnoj granici, x = b:
1. k = 0, usvaja se polazna procena )(0 )(kxy
2. Integrie se sistem ODJ 1. reda:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )kxyxy
cxy
yxgyyxgxgdxdy
ydxdy
002
01
1221132
21
,,
=
=
=
=
-
216
3. Ako je zadovoljen uslov
-
217
Robinov problem (9.31a,b)
Problem se moe reavati kao problem reavanja jednaine:
F(y(x0)) = A1y(xn) + B1y(xn) - c1 = 0 (9.38)
Iz procene poetne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante, poetnu vrednost njenog prvog izvoda dobijamo iz graninog uslova (9.31a):
])([1)( )(0)(0 kk xAycBxy =
Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme poetna vrednost prvog izvoda y(x0)(k), iz istog graninog uslova se dobija procena poetne vrednosti funkcije y(x0)(k). Zadatak 9.8 U tankom filmu tenosti, debljine L, koji je sa jedne strane (x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa vrstim zidom, odvija se reakcija:
BA k
i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferencijalnom jednainom:
0)1(1)0(
05.0222
==
=
yy
ydx
yd
gde je bezdimenzioni parametar 2 (Tilov modul), definisan kao:
DkL22 =
k - konstanta brzine reakcije D - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tenosti
Izraunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za 8.02 =
Reenje: (Mathcad)
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed. 1. reda:
D x z,( )
z1
2 z0( )0.5
:=
Funkcija ciju nulu trazimo : f z0 1( )( ) 1 z0 0( )gde z0 0( ) predstavlja dobijenu vrednost y(0) numerickom integracijom sistema od desne
granice x=1 do leve granice x=0 (negativan korak integracije) uz zadatu pocetnu vrednost prvog izvoda : z1(1)=0 i pretpostavljenu pocetnu vrednost funkcije y(1), odnosno z0(1).
Iteraciona promenljiva : pocetna vrednost koncentracije y(1), tj. funkcije z 0(1)
-
218
2. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=
vrednosti: X 0.6617= X Xp:= 1.742 103
= F 2.035 10 5=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
3. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=
vrednosti: X 0.6617= X Xp:= 1.633 105
= F 2.623 10 9=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.5:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
0.511
0.546
0.604
0.686
0.796
0
0.114
0.23
0.351
0.479
0.616
=
Fpp 1 S1 ( )
n:= Fpp 0.204=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.8:= zXp
0
:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fp 0.171=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=
vrednosti: X 0.6634= X Xp:= 0.137= F 2.151 103
=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
-
219
(Smanji TOL) f X( ) 4.233 10 5=X 0.6616=X root f x( ) x,( ):=x 0.5:=
Poziv funkcije root:
f x( ) zx
0
f 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,
freturn
:=
Definisanje funkcije cija nula se trazi:
Resenje problema koriscenjem funkcije root:
y x( )
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.966
0.934
0.904
0.875
0.849
0.824
0.802
0.781
0.761
0.744
0.728
0.714
0.702
0.691
0.682
=
0.5 0 0.5 10.6
0.8
1
1.2
y x( )
x
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
k cspline x y,( ):=Definisanje kubnog splajna:
y reverse S 1 ( ):=x reverse S 0 ( ):=Definisanje vektora x i y:
S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=Racunanje konacnog profila:
n 20:=Povecanje broja tacaka profila radi preciznije interpolacije:
Definisanje funkcije koja daje koncentraciju u bilo kojoj tacki interpolacijom u tabeli x - y numericki dobijenog resenja.
Zadatak 9.9 Bezdimenzioni matematiki model reakcije:
BA k
n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika ploice, debljine L je:
zrna) inaspovrspoljnja(11:1
)zrna simetrijeravan (0:0
10,0222
(==
==
=
ydxdy
Bix
dxdyx
xydx
yd n
gde su 2 i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izraunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,5.0,2 === Bin
-
220
Reenje: (Mathcad)
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )
n S2 ( )
n,
:=
vrednosti: X 0.0466= X Xp:= 0.053= F 0.098=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
2. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )
n S2 ( )
n,
:=
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda:
D x z,( )
z1
2
z0( )0.5
:=
f y 0( )( ) y 1( ) 11Bi x
y 1( )dd
+Funkcija ciju nulu trazimo :
gde je nezavisno promenljiva pretpostavljena pocetna vrednost funkcije y(0), odnosno z0(0). y(1), odnosno z0(1) predstavlja dobijenu vrednost funkcije na desnoj granici numerickom integracijom sistema od leve granice x=0, a dy(1)/dx, odnosno z1(1) dobijenu vrednost prvog izvoda na desnoj granici.
Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(0), tj. funkcije z 0(0)
Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=
f u v,( ) u 11Bi
v+:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.01:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fpp f S1 ( )
n S2 ( )
n,
:= Fpp 0.313=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.1:= zXp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fp f S1 ( )
n S2 ( )
n,
:= Fp 0.457=
-
221
F 2.355 10 3=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
itd....
Resenje problema koriscenjem funkcije root:
Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z
x
0
S Rkadapt z 0, 1, n, D,( )
f S 1 ( )
n 11Bi
S 2 ( )
n+
freturn
:=
Poziv funkcije root: TOL 0.0001:=
x 0.1:= X root f x( ) x,( ):= X 0.03535= f X( ) 1.083 10 6=
zX
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= S
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.035
0.051
0.103
0.208
0.385
0.663
0
0.161
0.376
0.685
1.114
1.686
=
vrednosti: X 0.032= X Xp:= 0.015= F 0.032=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
3. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )
n S2 ( )
n,
:=
vrednosti: X 0.0356= X Xp:= 3.615 103
=
9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE
Moe se pokazati, da ako je diferencijalna jednaina linearna (9.30), algebarska jednaina koja se reava metodom probe i greke (9.35, 9.37 ili 9.38) je takoe linearna, pa se njeno reenje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, iz dve polazne procene, odnosno reenje dif. jednaine se dobija u treoj integraciji ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.
Metoda superpozicije
Za linearnu diferencijalnu jednainu vai princip superpozicije: linearna kombinacija dva partikularna reenja,
-
222
( ) ( ) ( )xyxyxy 2211 += (9.39)
takoe parikularno reenje. Tako se reenje Robinovog problema moe dobiti na sledei nain:
1. Sa polaznom procenom y1(a) dobijamo numeriki prvo partikularno reenje y1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y1,i )i = 0,n
2. Sa polaznom procenom y2(a) dobijamo numeriki drugo partikularno reenje y2=(y2,i , y2,i)i = 0,n
3. Iz uslova da traeno reenje y = 1y1 + 2y2 zadovolji granine uslove (9.31a,b), tj. iz sistema od dve linearne jednaine:
( ) ( )( ) ( ) 1,22,111,22,111
0,220,110,220.11
cyyByyAcyyByyA
nnnn =+++
=+++
dobijamo parametre 1 i 2
4. Konano, reenje dobijamo superpozicijom:
niyyy iii ,...,1,0,,22,11 =+=
Zadatak 9.10 Za reakciju prvog reda u tankom filmu tenosti (Zad.9.8), koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:
0)1(1)0(
0222
==
=
yy
ydx
yd
Izraunati za 8.02 = , koncentracijski profil, a) metodom probe i greke b) metodom superpozicije
Reenje: (Mathcad)
a) D x z,( )z1
2 z0
:= n 5:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.5:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
0.508
0.532
0.574
0.634
0.714
0
0.08
0.163
0.252
0.348
0.456
=
Fpp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fpp 0.286=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.8:= zXp
0
:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fp 0.142=
-
223
Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
0.5 0 0.5 10.6
0.8
1
1.2
y x( )
x
y x( )
00123
45
67
8910
1112
1314
15
10.9690.94
0.913
0.8880.864
0.8420.822
0.8040.7870.772
0.7580.746
0.7350.726
0.718
=
b) n 5:=
1. polazna procena i integracija :
X1 0.5:= zX1
0
:= S1 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.714
0.634
0.574
0.532
0.508
0.5
0.456
0.348
0.252
0.163
0.08
0
=
2. polazna procena i integracija
X2 0.8:= zX2
0
:= S2 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.142
1.014
0.918
0.852
0.813
0.8
0.729
0.557
0.403
0.261
0.129
0
=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=
vrednosti: X 0.7006= X Xp:= 0.099= F 0=
Resenje dobijeno u 1. iteraciji !
Racunanje profila:
n 20:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=
Definisanje vektora x i y: x reverse S 0 ( ):= y reverse S 1 ( ):=
-
224
Jednacine iz kojih se odredjuju parametri 1 i 2 su:
y 0( ) 1 y1 0( ) 2 y2 0( )+ 1 (1) y1 0( ) S10 1, S10 1, 0.714=
xy 1( )d
d1 x
y1 1( )dd
2 xy2 1( )
dd
+ 0 y2 0( ) S20 1, S20 1, 1.142=(2)
Druga se svodi na identitet pa ostaje samo prva jednacina, sto znaci da mozemo dabiramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz prve jednacine:
1 0:= 21 1 S10 1,
S20 1,:= 2 0.876=
Racunanje profila :
y 1 S11 2 S2
1 +:= y
1
0.888
0.804
0.746
0.712
0.701
=
Zadatak 9.11 Za reakciju 1. reda u poroznoj ploici katalizatora (Zad.9.9), matematiki model glasi:
11:1
0:0
10,0222
==
==
=
ydxdy
Bix
dxdyx
xydx
yd
Izraunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,2 == Bi a) metodom probe i greke b) metodom superpozicije
Reenje: (Mathcad)
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jednacine 1. reda:
D x z,( )
z1
2
z0
:= n 5:= f u v,( ) u 11Bi
v+:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.01:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fpp f S1 ( )
n S2 ( )
n,
:= Fpp 0.948=
-
225
Resenje dobijeno u 1. iteraciji !
Racunanje profila:
n 10:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Definisanje vektora x i y: x S 0
:= y S 1
:=
Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
y x( )
x
y x( )
001
23
456
78
910
0.1920.196
0.2070.227
0.2570.2960.347
0.4130.494
0.5960.722
=
b)
1. polazna procena i integracija :
X1 0.01:= zX1
0
:= S1 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.1:= zXp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fp f S1 ( )
n S2 ( )
n,
:= Fp 0.479=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp
Fp Fpp:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )
n S2 ( )
n,
:=
vrednosti: X 0.1918= X Xp:= 0.092= F 0=
-
226
y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1920.196
0.207
0.227
0.257
0.296
0.347
0.413
0.494
0.596
0.722
=y 1 S11 2 S2
1 +:=Racunanje profila :
2 1.918=2
1 1 S1n 1,1Bi
S1n 2,+
S2n 1,1Bi
S2n 2,+:=1 0:=
Prva jednacina se svodi na identitet pa ostaje samo druga jedn., sto znaci da mozemo da biramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz druge jednacine:
S2n 2, 0.725=xy2 1( )
dd
S2n 2,S1n 2, 0.073=xy1 1( )
dd
S1n 2,
S2n 1, 0.376=y2 1( ) S2n 1,S1n 1, 0.038=y1 1( ) S1n 1,
(2) 1 y1 1( )1Bi x
y1 1( )dd
+
2 y2 1( )1Bi x
y2 1( )dd
+
+ 1
(1) xy 0( )d
d1 x
y1 0( )dd
2 xy2 0( )
dd
+ 0
Jednacine iz kojih se odredjuju parametri 1 i 2 su:
S2 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1
0
:=X1 0.1:=
2. polazna procena i integracija :0
9.13 LINEARNA ODJ METODA KONANIH RAZLIKA
Alternativan nain priblinog reavanja graninog problema za linearnu ODJ (9.30a) je metoda konanih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda konanim razlikama. Izvodi koji figuriu u dif. jednaini (9.30a) aproksimiraju se u unutranjim takama xi, i=1,2,... n-1 diskretizovanog domena nezavisno promenljive, konanim razlikama:
( ) ( )
( ) ( )22 11122
2111
,2
,22
hOEh
yyyh
hyhyh
yxy
hOEh
yyh
yyxy
iiiiiii
iiiii
=+
=
=
=
=+
+
+
(9.40)
-
227
(greka aproksimacija je reda h2) ime se diferencijalna jednaina zamenjuje sledeim sistemom od (n -1) linearne algebarske jednaine sa, u usluaju Robinovog problema, ukupno (n +1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,
1,...,2,1,)()()(2 321112 11 ==+
++ ++ nixgyxg
hyyxg
hyyy
iiiii
iiii (9.41)
Nedostajue 2 jednaine su granini uslovi (9.31a,b) u kojima su prvi izvodi aproksimirani konanim razlikama unapred ili u nazad (greke aproksimacija su reda h): c
hyyBAy =+ 010 (9.42a)
1111 chyyByA nnn =
+ (9.42b)
Rezultujui SLJ ima trodijagonalnu strukturu i reava se Thomasovim algoritmom.U specijalnom sluaju Dirihleovih graninih uslova, vrednosti funkcije u krajnjim takama, y0 i yn su zadate, pa se reavaju samo jednaine (9.40) po y1,...,yn-1. Zadatak 9.12 Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cevnom reaktoru, u koome se odvija reakcija prvog reda:
BAk
opisan je diferencijalnom jednainom:
reaktora) iz (izlaz0:1
reaktor)u (ulaz11:0
10,01 22
==
==
=
dzdcz
dzdc
Pecz
zcDdzdc
dzcd
Pe a
Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2 a) Izraunati i nacrtati koncentracijski profil c(z) b) Izraunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:
)0()1()0(
cccx =
c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izraunatim iz analitikog reenja problema:
aeeeaeee
rrrre
xrrxrre
DPPPrDPPPr
eerrererPererPrrzc
421
21,4
21
21
)()()(),,(
22
21
2112
1221 2112
2112
+=++=
+
=++
-
228
d) Poveavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numerikim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tanou od 3 sigurne cifre.
Reenje: (Prakt., XVI-4)