Jawaban Soal Babab Final

1. Untuk setiap bilangan real a,b dengan a≥0 dan b≥0 berlaku

𝑎+𝑏

2≥ √𝑎𝑏

Pembuktian:

Hasil dari kuadrat selalu positif, berarti ≥0, maka:

(√𝑎 − √𝑏)2

≥ 0

𝑎 − 2√𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0

𝑎 + 𝑏 ≥ √𝑎𝑏 𝑎+𝑏

2≥ √𝑎𝑏 -> AM≥GM untuk bilangan real a,b terbukti

2. Untuk setiap bilangan positid a,b,c, dan d berlaku

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

4≥ √𝑎𝑏𝑐𝑑

Pembuktian:

Dari persamaan AM≥GM yang sudah terbukti, maka dapat

disimpulkan:

𝑎 + 𝑏

2≥ √𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑛

𝑐 + 𝑑

2≥ √𝑐𝑑

Gabungkan persamaan sehingga membentuk 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑

4

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

4≥

1

2(√𝑎𝑏 + √𝑐𝑑)

(√𝑎𝑏4

− √𝑐𝑑4

)2

≥ 0

√𝑎𝑏 − 2√𝑎𝑏𝑐𝑑4

+ √𝑐𝑑 ≥ 0

√𝑎𝑏 + √𝑐𝑑 ≥ 2√𝑎𝑏𝑐𝑑4

Masukkan ke dalam persamaan

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

4≥

1

2(√𝑎𝑏 + √𝑐𝑑) ≥ √𝑎𝑏𝑐𝑑

4

Maka terbukti:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

4≥ √𝑎𝑏𝑐𝑑

4

3. –

4. The intersecting chords theorem

Tali busur AB dan CD berpotongan di titik X.

AX x XB=CX x XD

Pembuktian:

A D

X

C B

Gambar mewakili garis AB dan CD

Dibuat garis imanjiner AC dan DB sehingga terbentuk

segitiga

Maka, terlihat jelas bahwa:

∠CXA=∠BXD (sudut tolak belakang)

∠CAX=∠BDX (sudut keliling)

∠ACX=∠XBD (sudut keliling)

Dapat disumpulkan bahwa segitiga ACX dan BDX adalah

sebangun, dapat dibuat persamaan: 𝐴𝑋

𝐷𝑋=

𝐶𝑋

𝐵𝑋=

𝐴𝐶

𝐵𝐷 ->AX x XB=CX x XD Terbukti

5. Jika 𝑋 ∈ 𝑅, (3𝑥2 − 7𝑥 − 2012)(3𝑥2 − 7𝑥 − 2011)(3𝑥2 −

7𝑥 − 2010)(3𝑥2 − 7𝑥 − 2009) + 1 = 𝑏2

Pembuktian:

Jika a= (3𝑥2 − 7𝑥 − 2013), maka dapat dibuat persamaan:

(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1=𝑎4 + 10𝑎3 + 35𝑎2 + 50𝑎 + 25

= (𝑎2 + 5𝑎 + 5)2

= [(3𝑥2 − 7𝑥 − 2013)2 + 5(3𝑥2 − 7𝑥 − 2013) + 5]2

Terbukti

6. Bilangan real x,y, dan z memenuhi persamaan:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2=5 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3=7

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 =? ?

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 − 2𝑥𝑧 5 = 9 − 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) 2 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧

𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 −

𝑦𝑧 − 𝑥𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

7-3xyz=27-3.2.3

−3𝑥𝑦𝑧 = 2, 𝑥𝑦𝑧 =2

−3

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3) − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 +

𝑥𝑧)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)+xyz(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 3.7 − 2.5 +2

−3. 3

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 21 − 12 = 9 Solved

7. Hasil dari 2012(1!)

3!+

2012(2!)

4!+

2012(3!)

5!+ ⋯ +

2012(2010!)

2012!

2012(1!

3!+

2!

4!+ ⋯ +

2010!

2012!)

2012(1

2.3+

1

3.4+ ⋯ +

1

2011.2012)

2012 [(1

2−

1

3) + (

1

3−

1

4) … + (

1

2011−

1

2012)]

2012 [(1

2−

1

2012)]

2012 [(1006

2012−

1

2012)]

= 1005

Solved

8. Selisih nilai terbesar dan terkecil 12 bilangan bulat dua digit

yang berurutan berbentuk XX, tepatnya 11. Karena,

(n+11)-n=11

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 . ->34-23=11

9. Faktor positif dari 24 adalah 8

24=23 + 31. Dapat diambil kesimpulan, faktor positif didapat

dari (3+1)(1+1)=8

Maka FP n=2𝑎. 3𝑏 . 5𝑐 . 7𝑑 . 11𝑒,

n memiliki=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1) faktor

4n memiliki=(a+3)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1) faktor

5n memiliki=(a+3)(b+1)(c+2)(d+1)(e+1) faktor

20n memiliki=(a+3)(b+1)(c+2)(d+1)(e+1) faktor

Jika z=(b+1)(d+1)(e+1)

Maka:

4n memiliki=(a+3)(c+1)z faktor

5n memiliki=(a+3)(c+2)z faktor

Angka yang memenuhi adalah a=6,c=0, dan z=3

Maka faktor dari 20n adalah

(6+3)(0+2)3=54 faktor positif Solved

10.

x

𝑥+𝑡1

2= 87 → 𝑡1 =

174

𝑥

𝑥 + 𝑡2

2= 73 → 𝑡2 =

146

𝑥

Z

Z

Luas persegi panjang= 𝑥 (174

𝑥+

146

𝑥) = 320𝑐𝑚2

Luas segitiga ABT=320-(87+68+73)

=320-228

=92cm²