jaime alonso restrepo mejía

Negociación del valor relativo (spreads) en la curva de rendimiento TES, un proceso

Orstein Uhlenbeck Cointregrado, ajustado por ACP ¹

Jaime Alonso Restrepo Mejía.

Resumen Realizar negociación de valor relativo sobre la curva de los bonos de deuda pública de la republica de Colombia parecería algo simple. Sin embargo, en la práctica se demuestra totalmente lo contrario. El riesgo en este tipo de negociación, donde el manejo del spread entre una referencia y otra puede ampliarse más de los límites de riesgo asignados, podría generar como resultado de dicha estrategia en una negociación con pérdidas importantes por tiempo indeterminado a no ser de cancelar la negociación rápidamente. A continuación se presenta una metodología que disminuye de forma importante la probabilidad de pérdidas y aumenta la probabilidad de éxito en este tipo de negocio, utilizando herramientas econométricas, de estadística multivariada y de series de tiempo, suponiendo que el spread está gobernado matemáticamente por la ecuación diferencial parcial del tipo de reversión a la media llamada Orstein-Uhlenbeck. El proceso anteriormente descrito será ajustado por medio del Análisis de Componentes Principales para luego aplicar el método de Cointegración de dos pasos de Engle-Granger para aquellos títulos que hacen parte del primer componente, es decir aquellos que contribuyendo en más del 50% a la variación del sistema. Palabras Claves: Renta Fija, Valor relativo, Cointegración Clasificación JEL: G12, G14, G17, C10, C22

¹ Trabajo presentado para optar por el título de Magister en Economía de la Pontificia Universidad Javeriana.

Negotiating relative value (spreads) in the TES yield curve, a Cointegrated Orstein

Uhlenbeck process, adjusted by PCA ¹

Jaime Alonso Restrepo Mejía.

Abstract Negotiating relative value (spreads) in government bonds and especially in the Colombian bond market seems so simple. However, in practice it proves quite the opposite. The risk in this type of negotiation, where the management of the spread between a reference and the other can be extended over assigned risk limits, could generate as a result of this strategy in major losses indefinitely unless you cancel rapidly the trade. In this research I give a methodology that significantly reduces the probability of losses and increases the probability of success in this type of business, using econometric tools, and multivariate statistical time series, assuming that the spread between two bonds is governed mathematically by the partial differential equation of the type of mean reversion called Ornstein-Uhlenbeck. The process described in this study will be adjusted by the means of the Principal Component Analysis and then applying the method of two-step cointegration describe by Engle-Granger for those securities that are part of the first component, i.e. those that contribute more than 50% of the variation of the system.

Keywords: Fixed Income, Relative Value, Cointegration JEL Classification: G12, G14, G17, C10, C22

¹ This paper is presented as a final research to obtain a master´s degree in economics from the Pontificia Universidad Javeriana.

Tabla de contenido

SECCIÓN 1. ............................................................................................................................ 1

Introducción .......................................................................................................................... 1

Sección 2. ............................................................................................................................. 4

Revisión de la literatura sobre el tema. .............................................................................. 4

b. Artículos Relacionados .................................................................................................. 11

Sección 3 ............................................................................................................................ 16

3.1. Especificación del modelo propuesto: ....................................................................... 16

Debilidades de la metodología anterior ............................................................................ 17

Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica: ...................................................... 18

Paso 2). Inspección visual: ................................................................................................ 24

Paso 3).Pruebas Estadísticas (Tests) .............................................................................. 26

Sección 4: Aplicación y Resultados del modelo. ............................................................. 28

Sección 5 Conclusiones. ................................................................................................... 38

Apéndice 1.......................................................................................................................... 39

Revisión del concepto O-U: .............................................................................................. 39

Apéndice 2.......................................................................................................................... 41

Revisión del concepto de Análisis de Componentes Principales (ACP). ...................... 41

Sección 6: Bibliografía. ...................................................................................................... 42

Tabla de Gráficos Inspección Visual

Gráfico 1 Tes 2024 vs Tes 2014……………………………………………………….25

Gráfico 2 Tes 2015 vs Tes 2024……………………………………………………….25

Gráfico 3 Tes 2020 vs Tes 2018………………………………………………………25

Gráfico 4 Distribución por pesos de los componentes………………………………..31

Gráfico 5 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos………..34

Gráfico 6 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos………..35

Gráfico 7 Raíces inversas en círculo unitario………………………………………….37

Tablas

Tabla 1- Bonos de deuda pública de la República de Colombia………………………28

Tabla 2- Matriz de Correlaciones de Tasas de interés de los bonos…………………..29

Tabla 3- ACP distribuido por componentes en orden de importancia………………...29

Tabla 4- Pesos de las variables dentro del componente más importante…………….30

Tabla 5- Resultados de las pruebas de raíz unitaria …………………………………...31

Tabla 6- Resultado de Prueba de Causalidad de Granger…………………………….32

Tabla 7- Resultado de test de cointegración E-G y P-O………………………………..33

Tabla 8-Prueba de Johansen de Causalidad………….……………………………….36

Tabla 9-Relación entre variables en el VEC…………………………………………….36

1

Sección 1.

Introducción

En las áreas de negociación de las entidades financieras colombianas como a

nivel internacional se tienen grupos de personas (negociadores o traders) que

compran y venden diferentes activos con cumplimiento el mismo día, o en otros casos

para mantener dichos activos “en posición” por un período de tiempo t (donde t > 3

días). Estos grupos de personas conforman unidades de negocio con asignación de

presupuestos que por lo general no son nada despreciables. Dentro de estas

unidades de negocio se tienen por ejemplo: negociación de monedas, negociación de

títulos de deuda pública emitida en moneda local (COP), deuda pública emitida en

moneda diferente al COP regularmente en USD, negociación de títulos o bonos

corporativos y negociación de productos derivados como forwards, futuros, opciones y

swaps. Existe igualmente un grupo de persona que conforman la unidad de ALM

(Asset Liability Management) que se encuentran localizados físicamente en la misma

área, pero su filosofía de negociación a pesar de usar los mismos activos financieros

tienen unos objetivos claramente diferentes. Dentro de esta gran variedad de unidades

de negocio se encuentra la negociación de la deuda pública o títulos de deuda pública

TES. Alexander Gibllin y Weddington III (2002) plantean tres tipos de estrategias que

realizan específicamente los fondos de cobertura que bien podrían aplicarse a nuestro

entorno; a saber: Estrategia Direccional, Estrategia de Arbitraje y Estrategia Clásica de

Cobertura.

En la estrategia direccional la idea es que los negociadores de bonos tomen

posiciones largas o cortas en una determinada temporalidad con el fin de vender o

recomprar bonos y generar utilidad. Esta estrategia usualmente es la más común y la

toma de decisión se fundamenta en un alto porcentaje en análisis técnico o en análisis

fundamental.

2

En la estrategia de cobertura clásica, la idea es comprar un bono pero no

venderlo sino mantenerlo y cuando el mercado se encuentre en contra de la posición,

tomar una cobertura con un futuro y neutralizar la posible pérdida (no necesariamente

cuando se encuentre en contra de la posición, la cobertura puede tomarse en el futuro

mucho antes). La idea está orientada a una estrategia llamada de “carry trade” con el

fin de mantener la diferencia entre el costo de tener la posición del bono comprado

contra el rendimiento que este activo produce. Este tipo de estrategia es muy común

pero en mercados donde el desarrollo de los futuros de bonos no es profundo (líquido)

las estrategias serán muy limitadas en la consecución de los objetivos planteados.

La estrategia de arbitraje es aquella que hace referencia a comprar y vender al

mismo tiempo dos activos y generar utilidad con un riesgo menor a las dos estrategias

anteriormente mencionadas. Duarte, Fan y Longstaff (2005) definen las estrategias de

arbitraje más usadas en los mercados internacionales, estas son: El arbitraje del

spread en la curva de permutas financieras swaps, el arbitraje en la curva de tipos de

interés, el arbitraje de las tasas de interés en hipotecas, el arbitraje de volatilidad y el

arbitraje de estructura de capital.

En Colombia, el arbitraje más común de todos los anteriormente expuestos es

el arbitraje en la curva de tipo interés. Según Dubil (2004) dentro de este grupo de

arbitraje se encuentran diferentes estrategias: Una hace referencia a la estrategia de

cupón cero vs cupón del bono (más conocida por sus siglas en inglés como STRIPS),

otra estrategia hace referencia al arbitraje cubierto con duración y por último la

estrategia de spreads entre bonos de deuda pública con diferentes vencimientos.

Todas estas estrategias son conocidas como estrategias de valor relativo y es por

tanto en este punto en donde se desarrolla la presente investigación; específicamente

en la negociación del spread relativo (SR) entre bonos de deuda pública con diferentes

vencimientos.

A pesar de que la mayor fuente de utilidad proviene de estrategias

direccionales, la negociación del valor relativo (spreads) ha venido ganando más

atención en el mercado financiero colombiano en años recientes. Sin embargo y como

se mostrará más adelante, la metodología que usa el mercado actualmente no es la

3

más adecuada y por tanto se presenta otra metodología a consideración, más robusta,

de forma tal que al tomar decisiones de negociación en un spread las probabilidades

de éxito sean mayores a las basadas en el método conocido como “Z score” (puntaje

estandarizado) o también conocido como el método de la distancia.

La metodología propuesta se basa en el modelo de cointegración presentado

por Engle y Granger (1987), aplicado en este caso a los spreads de los bonos de

deuda pública que componen la curva de rendimiento; todo lo anterior basado y

ajustado con la metodología de análisis de componentes principales (ACP),

metodología ésta última, desarrollada de forma clara y concisa en Jolliffe (2002),

Basilevsky (1994) y Duntenman (1989).

La idea entonces es crear una metodología de mínimo riesgo para capturar

desequilibrios generados en la curva de rendimientos a través de spreads. La

metodología es considerada de mínimo riesgo debido a que se trata de negociar el

spread que al momento indicado tenga una oportunidad de arbitraje hacia el mercado

es decir se toma una posición larga (corta) en una referencia contra una posición corta

(larga) neutralizando ambas posiciones y obteniendo solamente el exceso del

desequilibrio (beneficio).

4

Sección 2.

Revisión de la literatura sobre el tema.

Se podría decir que existen tres personas a las cuales se les atribuye el

descubrimiento del arbitraje, más comúnmente conocida como el arbitraje estadístico.

Este tipo de modelaje financiero se centró en principio sobre acciones aunque como

veremos en el desarrollo la presente investigación, también se aplica al arbitraje entre

el spread generado por las tasas de interés de bonos con características

homogéneas. Paul Wilmott, Profesor investigador y consultor en el área de las

matemáticas aplicadas a las finanzas en Wilmott (2005) dice haber sido él y su grupo

de investigadores los que entre diciembre de 1979 y enero de 1980 descubrieron el

tema. Sin embargo, dan crédito al área de de investigaciones cuantitativas de Morgan

Stanley en cabeza de Gerry Bamberger quienes descubrieron una versión mejorada

del arbitraje estadístico en el año de 1982.

Ahora, Pole (2007), Vidgamurthy (2004) y Gatev, Goetzman y Rouwenhorst

(2006) dan crédito al mismo Morgan Stanley pero a otro grupo de investigadores

cuantitativos, a cargo de Nunzio Tartaglia por el año de 1985. Dentro de este grupo de

investigadores y otros más que se han unido desde aquella época en adelante a

desarrollar modelos matemáticos y estadísticos de arbitraje, se podría decir que

existen cuatro modelos que son los más conocidos y aplicados en los mercados

financieros, los cuales se describen a continuación:

5

a). Modelos. a.1) Método del Spread Estocástico.

Este método escrito por Elliott, Vanderhoek y Malcom (2005), se fundamenta

matemáticamente en un proceso de reversión a la medida mediante la ecuación:

𝑥𝑘+ 1 - 𝑥𝑘 = 𝑎 − 𝑏 . 𝑥𝑘 . 𝜏 + 𝜍 . 𝜏. 휀𝑘+1 (1)

Donde 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∈ ℝ

휀𝑅 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑖𝑑 𝐺𝑢𝑎𝑢𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑁 0,1

𝜍 ≥ 0

𝑏 > 𝑜

El proceso descrito por la ecuación (1) revierte a la media 𝜇 =𝑎

𝑏 con parámetro de

fuerza de ajuste b.

Podríamos escribir la ecuación (1) como:

𝑥𝑘+1 = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑥𝑘 + 𝐶 ∙ 휀𝑘+1 (2)

Con 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝜏 ≥ 0

𝐵 = 1 − 𝑏 ∙ 𝜏 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 < 𝐵 < 1

𝐶 = 𝜍 ∙ 𝜏

Adicionalmente:

𝑥𝑘 ≅ 𝑋 𝑘 . 𝜏 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋 𝑡 |𝑡 ≥ 𝑜

Que satisface la ecuación diferencial estocástica:

𝑑𝑥 𝑡 = 𝑎 − 𝑏. 𝑥 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝜍 ∙ 𝑑𝜔(𝑡) (3)

Donde:

{ω(t)│t≥o} 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝑟𝑜𝑤𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟.

6

La observación del proceso 𝑌𝑘 𝑑𝑒 𝑋𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:

𝑌𝑘 = 𝑋𝑘 + 𝐷. 𝑊𝑘 (4)

Donde

𝑊𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑖. 𝑖. 𝑑 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑁 0,1 𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 휀𝑘 𝑦 𝐷 > 0

Asumimos que: 0 ≤ 𝐶 < 𝐷 para valores pequeños de

y recordemos que 𝐶 = 𝜍. 𝜏

Estableciendo:

𝑌𝑘= 𝜍. 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2 …… . . 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑑𝑟í𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑋𝑘 = 𝐸[𝑥𝑘 |𝑦𝑘]

Para poder estimar, necesitamos conocer los valores de A, B, C, D de los datos

observados, es decir que :

𝑌𝑘 = 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑘

Se asume que el spread observado presenta ruido pero tiene un proceso de

reversión a la media 𝑥𝑘

Caso 1

Si 𝑌𝐾 > 𝜒𝑘 | 𝜒𝑘−1 = 𝐸 𝜒𝑘 |𝑦𝑘−1

El spread sería muy significativo y el negociador podría tornar una posición larga en el

spread del negocio y realizar un beneficio (utilidad) cuando ocurra la corrección.

Caso 2

Si 𝑌𝐾 < 𝜒𝑘 | 𝜒𝑘−1

El negociador podría tomar una posición corta en el spread y realizarán un beneficio

(utilidad) cuando ocurra la corrección.

7

a.2) Método Estocástico de Spread Residual.

Este método propuesto por Do, Faff y Hamza (2006) parte del supuesto de que

existe un equilibrio relativo entre la medición de los activos. Al existir un precio

construido por un estado en desequilibrio, éste será cuantificado a través de una

función llamada “función de spread residual”, de la forma 𝐺(𝑅𝑡𝐴 ,𝑅𝑡

𝐵 , 𝑈𝑇) donde U

denota un vector exógeno de información presente en el equilibrio. El término “spreads

residual” hace una referencia al hecho de que la función descrita anteriormente

captura accesos por arriba o por debajo de un spread de largo plazo el cual podría

tomar valores diferentes de cero, dependiendo de la cuantificación del spread. Debido

a las fuerzas del mercado, el valor relativo del spread debería volver (revertirse) a su

estado de equilibrio en el largo plazo.

Sea 𝑋 el estado de tener un precio fuera del equilibrio o un llamado spread

residual, respecto a un nivel determinado de equilibrio. La dinámica del proceso está

gobernada por una ecuación aplicada tomada de Vasicek (1977) que sigue un

proceso de Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1).

𝑑𝑋𝑡 = 𝑘 𝜃 − 𝑋𝑡 .𝑑𝑡 + 𝜍. 𝑑 𝐵𝑡 (5)

El precio fuera de equilibrio es:

𝑌𝑡 = 𝐺𝑡 = 𝑋𝑡 + 𝑊𝒕 (6)

Estas dos ecuaciones constituyen el modelo de espacio-estado del error en el

precio de equilibrio definido con respecto a un equilibro establecido entre los dos

activos. El objetivo central de este método es poder especificar la función residual del

spread G. Para obtener este objetivo uno de los caminos es usar modelos de

estadística multivariada como el modelo de factores que ha sido aplicado con éxito en

la teoría del portafolio APT de S. Ross.

8

a.2.1) Aproximación al Control Estocástico.

Mudchanatongsuk, Primbs y Wong (2008) se basan en el análisis de los dos

métodos anteriores, para encontrar una solución óptima, cerrada utilizando la conocida

ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman. Esta aproximación no se considera un nuevo

método ya que el proceso sigue siendo de orden Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1). La

estructura de aproximación en principio es muy similar a las planteadas en los

métodos a.1 y a.2 veamos:

Si tenemos: M (t) = Activo libre de riesgo, r = Tasa de interés libre de riesgo (en

Compuesto Continuo) entonces:

dM (t) = r. M (t). dt (7)

Si hacemos

A(t) = Activo 1 y B(t) = Activo 2

Donde B(t) sigue un proceso de movimiento browniano geométrico

𝑑𝐵 𝑡 = 𝜇. 𝐵 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝐵 𝑡 . 𝑑𝑍(𝑡) (8)

Donde: μ = 𝑇𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝜍 = 𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑍 𝑡 = 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

Ahora: x(t) = spread de dos activos

x(t)= ln𝐴(𝑡) − ln𝐵 𝑡

x(t) sigue siendo un proceso O-U (ver Anexo 1).

dx(t)= k(𝜃 − 𝑋(𝑡)).𝑑𝑡 + ƞ . 𝑑𝑤(𝑡) (9)

Donde 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 es la tendencia y representa el cambio instantáneo esperado en

el spread en el momento t.

9

θ = Nivel de equilibrio de largo plazo donde el spread debería revertir.

k = Tasa de reversión (o fuerza) que debe ser positiva para garantizar estabilidad

alrededor del valor de equilibrio.

ƞ = Es el parámetro de desviación estándar y determina la volatilidad del spread

w(t)= Es el movimiento Browniano Estándar donde ρ (Rho) denota el coeficiente de

correlación entre Z(t) y w(t).

Usando el lema de ITŌ obtenemos la dinámica de A(t) así:

𝑑𝐴 𝑡 = 𝜇 + 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 + 1

2 . ƞ2 + 𝜌. 𝜍. ƞ . 𝐴 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝐴 𝑡 𝑑𝑧 𝑡

+ 𝑛. 𝐴 𝑡 . 𝑑𝑤(𝑡) (10)

Donde Ρ. σ. Ƞ = Covarianza entre el proceso de wiener w(t) y Z(t).

Ahora, se dice que V(t) es el valor de financiamiento (propio) del portafolio y h(t) y ĥ(t)

sean los pesos asignados en el portafolio al activo 1 y al activo 2. Se requiere entonces

que: h(t)= – ĥ(t). Finalmente, observe que el peso del portafolio en el activo libre de

riesgo es 1.

Uniendo lo anteriormente expuesto se dice que la dinámica del valor del beneficio del

portafolio estará dada por la ecuación:

𝑑𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 𝑕(𝑡) .𝑑𝐴(𝑡)

𝐴(𝑡)+ ĥ 𝑡 .

𝑑𝛽 (𝑡)

𝛽(𝑡)+

𝑑𝑀(𝑡)

𝑀(𝑡) } (11)

Finalmente:

𝑑𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 . 𝑕 𝑡 . 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 .1

2ƞ2 + 𝜌. 𝜍. ƞ + 𝑟 𝑑𝑡 + ƞ. 𝑑𝑤(𝑡) (12)

10

a.3 Método de la Distancia.

Este método propuesto por Gatev, Goetzman y Rouwenhorst (2006), tiene un

componente adicional al proceso de reversión a la media contemplado en los métodos

anteriores. El aporte a resaltar en este método, es que teniendo los activos motivo del

análisis, se miden sus diferencias al cuadrado de forma histórica y cuando las

diferencias (distancias) se separan (alejan) de cierto nivel, se realiza la negociación.

El método contempla algunas técnicas de negociación como por ejemplo el

nivel de entrada en el negocio, el nivel de salida y el nivel del número de desviaciones

en términos de la volatilidad usada. Algunos autores como por ejemplo Martellini,

Priaulet y Priaulet (2003) llaman a este método Z-score o puntaje estandarizado ya

que la distancia es obtenida por medio de las diferencias entre los activos

estandarizados, es decir del rendimiento se resta la media y se divide por la desviación

estándar (de dichos rendimiento).

a.4 Método de la Cointegración.

El método de la cointegración fue propuesto y demostrado de forma general

por Engle y Granger (1987) y planteado con anterioridad en Granger (1981) y Granger

y Weiss (1983). Las ideas a desarrollar en este punto, siguen los planteamientos

expuestos en Montenegro (2007), Asteriou y Hall (2007) y en Vidyamurthy (2004).

De forma concisa, el análisis se basa en una combinación lineal entre dos variables:

𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡 estimada por una regresión de la forma

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (13)

Donde

ǔ𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝛽1 − 𝛽2

𝑋𝑡 (14)

11

Siendo ǔ𝒕 los residuos. Ahora, sí ǔ𝒕 ~ I(0), entonces las variables 𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡 se

dice que estarán cointegradas. Podemos entonces expresar la relación entre 𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡

utilizando un mecanismo de corrección de error que corrige desviaciones de corto

plazo hacia la relación que nos interesa que es la de largo plazo así:

∆𝑌𝑡 = 𝑎𝑜 + 𝑏1 ∆𝑋𝑡 − 𝜋. 𝑢 𝑡−1 + 𝑌𝑡 (15)

Donde:

𝑏1= Mide el impacto del cambio que Xt tendría en Yt.

𝜋 = Efecto de ajuste que mide cuanto es corregido debido al desequilibrio.

b. Artículos Relacionados

Existen varios artículos a nivel internacional que aplican un análisis de

cointegración a las tasas de interés de deuda pública. Se revisaran cuatro trabajos en

orden de importancia que se consideran de gran aporte a la presente investigación. Se

aclara de antemano que en ninguno de estos trabajos se aplican el 100% de las ideas

(metodologías) aquí propuestas, lo que hace más interesante el aporte de esta

investigación.

b.1 Trabajo de Hall, Anderson y Granger (1992):

Este es uno de los trabajos más importantes sobre cointegración aplicado a la

tasa de interés de tesoros americanos. El problema básico es explicar el porqué las

tasas de interés de diferentes vencimientos parecen moverse en forma coordinada a

través del tiempo. La posible solución al problema de explicar este fenómeno es bien

interesante y nada fácil ya que el comportamiento de las tasas de interés por lo

general no se considera como un proceso estocásticamente estacionario. Sin

embargo diversos trabajos como en Engle y Granger (1987), muestran como sí es

posible trabajar con este tipo de variables. El planteamiento parte de contemplar la

12

estructura de la curva de rendimiento basado en un cálculo de las tasas futuras de

forma recursiva partiendo del concepto propuesto por Fisher, Keynes y Hicks.

Donde:

𝑅 𝑘, 𝑡 = 1

𝑘 .

𝑘∑

𝑗 = 1 𝐹(𝑗, 𝑡) Para k =1,2,3 (16)

Donde: 𝐹(𝑗, 𝑡) son tasas futuras. La relación se asume como:

𝐹 𝑗, 𝑡 = 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + ⋀. (j, t) (17)

La primera parte de la ecuación al lado derecho son las expectativas basadas

en información disponible en t. La segunda parte de la ecuación al lado derecho es la

prima de riesgo. Sustituyendo se obtiene:

𝑅 𝑘, 𝑡 = 1

𝑘∙

𝑘∑

𝑗 = 1 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + 𝐿 (𝑘, 𝑡 ) (18)

Donde:

𝐿 𝑘, 𝑡 = 1

𝑘 ∙

𝑘∑

𝑗 = 1 ⋀. (j, t) (19)

Como dicen Campbell y Schiller (1988): “Muchas variables económicas

pueden estar cointegradas cuando son correctamente medidas, algunas veces de

forma natural o algunas veces en unidades logarítmicas. Algunos ejemplos muy

usados son el consumo, el ingreso, las tasas de interés y los precios de las acciones

con sus dividendos”.

Sabemos por la ecuación (18) que:

𝑅 (𝑘, 𝑡) = 1

𝑘 ∙

𝑘∑

𝑗 = 1 ∙ 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + 𝐿. 𝑘 + 𝑡

13

Reorganizando:

𝑅 𝑘, 𝑡 − 𝑅 1, 𝑡 = 1

𝑘. ∑ ∑ ∙ 𝐸𝑡 ∆𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 + 𝐿(𝑘, 𝑡)

𝑗=𝑖𝑗=1

𝑘=1𝑖=1 (20)

Donde:

∆𝑅 𝑘, 𝑠 = 𝑅 𝑘, 𝑠 − 𝑅 (𝑘, 𝑠 − 1); ∆𝑅 1, 𝑡 y 𝐿 𝑘, 𝑡 son estacionarias.

Dadas dichas condiciones, el lado izquierdo de la ecuación es también

estacionario en donde (1, −1)𝑇 es un vector de cointegración para:

𝑋 𝑡 = [𝑅(𝑘, 𝑡),𝑅 (1, 𝑡)]𝑇

Lo cual implica que cada tasa de interés R(k,t) está cointegrada con R(1,t) y

que los spreads entre 𝑅 𝑘, 𝑡 𝑦 𝑅(1, 𝑡) son combinaciones lineales estacionarias de

𝑋 𝑡 que resultan de la cointegración de 𝑋 𝑡 . La modelación de los datos se realiza

bajo la ecuación planteada en Engle y Granger (1987) de la forma:

∆𝑋 𝑡 = −𝛿 𝑆 𝑡 − 1 − 𝜇 + 𝐶 𝐵 ∙ ∆𝑋 𝑡 − 1 + 𝑑 𝐵 휀(𝑡) (21)

Donde 𝑆 𝑡 − 1 − 𝜇 es el término de corrección de error y 𝛿 es una matriz de

coeficientes de ajustes. El resultado de la investigación de este artículo muestra que a

pesar de que las tasas de interés de los bonos de diferentes vencimientos se separan

unas de otras en el corto plazo, se ajustan cuando los spreads entre ellas se desvían

de un umbral de valor de equilibrio 𝜇. Se concluye por lo tanto que es apropiado

modelar la estructura de las tareas de interés de los tesoros americanos como un

sistema cointegrado.

14

b.2. Trabajo de Bradley y Lumpkin (1992).

El documento examina la posible relación temporal de las observaciones de las

tasas de los tesoros americanos analizando siete vencimientos diferentes. El análisis

contempla: tasas de interés a tres meses, un año, tres, cinco, siete, diez y treinta años.

El supuesto aplicado en el documento parte de la hipótesis de las expectativas de la

estructura de tasas de interés.

Se asume entonces que los inversores son neutrales al riesgo del tipo de

interés y consideran que bonos de diferentes vencimientos son sustitutos perfectos. Se

plantea entonces que las tasas de interés de largo plazo son un promedio del

comportamiento de las tasas de interés de corto plazo y del valor de las tasas de

interés de corto plazo a futuro. Si existen diferencias en las tasas de interés de forma

importante, existe la posibilidad de un arbitraje y por lo tanto dicho exceso se

eliminaría. Se usa el proceso (modelo) de dos pasos propuesto por Engle y Granger

(1987) para determinar si las tasas de interés analizadas pertenecen a un sistema

cointegrado.

El resultado es un claro soporte a la idea de que existe un equilibrio en la

estructura de tasas de interés de rendimientos que evita que alguna referencia (de un

bono específico) se desvíe de manera importante de una línea media por un período

de tiempo considerablemente largo.

b.3 Trabajo de Ramaprasad Bhar (1994).

En este estudio se analizan seis bonos del tesoro australiano convencimiento

de trece semanas a quince años. El estudio es una clara extensión del trabajo de

Bradley y Lumpkin (1992) pero aplicado al mercado de bonos del Tesoro Australiano.

La metodología se basa en el modelo de dos pasos de Engle y Granger (1987). El

resultado, es una clara evidencia de que las tasas de interés del tesoro australiano

15

están cointegradas. Intuitivamente se dice que este comportamiento cointegrado

sugiere que los movimientos de las tasas de interés son posibles pero sin desviarse de

forma significativa unas de otras ya que habría posibilidad de arbitrar y generar

utilidades de forma importante.

b.4.Trabajo de Stock y Watson (2006).

En su libro de econometría, Stock y Watson (2006) plantean un ejercicio

interesante para analizar la relación existente entre la tasa de interés del corto plazo

(90 días) del mercado de tesoros americanos y la tasa del bono del tesoro americano

de un año. A pesar de que es un estudio sencillo y con sólo dos bonos se confirma

que aplicando el modelo de cointegración para estos dos activos los análisis arrojados

por las pruebas de raíces unitarias y del modelo en sí, dan crédito para poder afirmar

que el modelaje de las dos tasas de interés mencionadas anteriormente pertenecen a

un sistema cointegrado.

16

Sección 3

3.1. Especificación del modelo propuesto:

3.1.1. Método usado por el mercado para negociar valor relativo (spreads).

La metodología más usada por el mercado colombiano es muy cercana a la

planteada Gater, Goetzman y Rouwenhorst (2006). El cual como se ha visto, es

llamado el método de la distancia. Algunas aplicaciones a tasas de interés utilizando

esta metodología está en Nath (2003), en Martellini, Priaulet y Priaulet (2003) y en

Choudhry (2004). La metodología que se plantea, es tomar las tasas de interés

negociadas por el mercado de los bonos de deuda pública y establecer una

comparación entre dos tasas de interés pertenecientes a dos referencias distintas. De

esta manera se identifica un spread en donde se aplica un análisis estadístico histórico

realizando una estandarización. Lo que se busca es establecer una puntuación o

medición conocida como z-score o puntaje estandarizado, que no es más que la

medida de dispersión alrededor de un valor de análisis, en este caso el valor de

análisis usado es la media del spread.

La fórmula del cálculo es: 𝑁𝑆 =S−μ

α∙ σ

Donde: 𝑁𝑆: 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜

𝑆: 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠

𝜇: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑

𝜍: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑

𝛼: 𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑

17

Se recuerda que:

𝛼 = ±1 Corresponde a un 68% del área bajo la curva de distribución normal.

𝛼 = ±2 Corresponde a un 95%.

𝛼 = ±3 Corresponde a un 99,7%.

Al aplicar la metodología estadística anterior, se obtiene un nuevo valor

estandarizado (NS) y se comprueba si es un valor significativo planteando una prueba

de hipótesis de la forma:

Ho : NS = N

H1 : NS ≠ N

Donde N = Valor normal si se encuentra dentro de los parámetros del área de la

distribución normal establecidos anteriormente. Los valores usados para α son: 1%,

5% y 10%.

El resultado de la evaluación de la prueba de hipótesis, es aquella donde, si se

rechaza Ho, el valor del spread estaría en una región critica, por lo tanto se debería

negociar el spread.

Debilidades de la metodología anterior

Algunas debilidades que se deben tener en cuenta al momento negociar un

spread bajo este método son:

1. ¿Cuál debería ser el valor de α cuando aplicamos las pruebas estadísticas?

α = +/-1,+/-2,o +/-3?. Recordemos que este es el factor que multiplica el

término σ.

2. No existe un método de medición para determinar la fortaleza de la relación

entre cada uno de los bonos motivo del análisis.

18

3. No se puede determinar cual bono vender y/o cuál bono comprar.

4. En el análisis estadístico se estandariza bajo el supuesto de normalidad, sin

embargo en la práctica, se ha comprobado por diferentes metodologías y por

varios investigadores, que las distribuciones en finanzas son puntudas en la

parte central de la distribución y poseen colas pesadas.

5. En la metodología expuesta se trabaja con las tasas de interés que se obtienen

de la curva de rendimiento directamente, es decir, que no tienen en cuenta el

efecto que genera la reinversión de los intereses pagados por los cupones del

título lo que distorsiona el análisis.

3.1.2. Método propuesto: Negociación de valor relativo aplicando cointegración ajustado por análisis de componentes principales (ACP).

El método propuesto se basa en el método de dos pasos de cointegración

propuesto por Engle y Granger (1987). Adicionalmente se aplica el análisis de

componentes principales (ver Anexo2) para determinar los bonos que más

importancia tienen en el tipo de movimiento de la curva de rendimiento. Para mostrar

el desarrollo de las ideas se seguirá el planteamiento de Stock y Watson (2006).

Los autores Stock y Watson (2006) plantean que para determinar si dos

variables son cointegradas debemos seguir tres pasos que son: 1) Uso del

conocimiento experto y teoría económica, 2) Inspección visual de las series de análisis

y 3) Pruebas (tests) estadísticos que soportan o rechazan el análisis anterior.

Aplicando el anterior procedimiento se expondrán las ideas así:

Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica:

Durante varios años se ha tenido experiencia por parte del autor de la presente

investigación en la negociación de diferentes activos financieros para tesorerías

pertenecientes a bancos nacionales como internacionales. En el área de tasas de

interés, las posiciones direccionales son las más comunes, sin embargo las

19

negociaciones de valor relativo (spreads) cada vez son más atractivas, pero el análisis

para la toma de decisiones se fundamenta en el método visto anteriormente, el cual es

el de mayor uso y sencillez para los negociadores del mercado. Uno de los grandes

problemas al cual se enfrentan los negociadores, es el hecho de que se negocia el

valor relativo (spread) y pasado un tiempo prudencial (t), este spread no se cierra (es

decir no converge) sino que se amplía cada vez mas hasta llegar al punto de alcanzar

el nivel de pérdida máxima permitida (stop loss) por las área de riesgo de las entidades

financieras. Debido a lo anterior se procede a cerrar la posición obteniendo una

pérdida importante en el libro de negociación de la entidad respectiva.

La experiencia muestra que la negociación se realiza sin tener muy claro si el

nivel de entrada en el valor relativo (spread) es el adecuado, si los dos bonos motivo

de la negociación tienen una relación estadísticamente importante o si por el contrario

la liquidez de un bono afecta la negociación de otro y por lo tanto el valor relativo

(spread) no se ajustará rápidamente. Sin embargo, detrás de estas prácticas de

mercado existe realmente una teoría económica que se fundamenta en la hipótesis de

expectativas que se popularizó por los escritos de Fisher (1930), Keynes (1930) y

Hicks (1953).

Para aplicar esta teoría y comprobar que realmente está vigente, se usaron los

documentos de Marín y Rubio (2001), Campbell, Lo y MacKinlay (1997) y Cox

Ingersoll y Ross (1981).

La hipótesis pura de expectativas de forma sencilla, manifiesta que los bonos

se valoran de tal forma que las tasas de interés de corto plazo deben ser iguales a las

expectativas de las tasas de interés futuras (o futuras implícitas) por tanto podemos

establecer la siguiente relación:

1 + 𝑟𝑛 𝑛 = 1 + 𝑟𝑓1

0 ∙ 1 + 𝑟𝑓21 … 1 + 𝑟𝑓𝑛

𝑛−1 (22)

20

Donde r es la tasa de interés cupón cero. Por tanto esta curva de cupón cero, es una

media geométrica de las tasas futuras implícitas 𝑟𝑓 . Por consiguiente:

(1 + 𝑟𝑓𝑛𝑛−1)^(𝑛− 𝑛−1 ) =

1+𝑟𝑛 𝑛

1+ 𝑟𝑛−1 𝑛−1 (23)

Es decir: 1 + 𝑟𝑛 𝑛

1 + 𝑟𝑛−1 𝑛−1

(1 + 𝑟𝑓𝑛𝑛−1)^(𝑛− 𝑛−1 )

Si usamos un determinado período de tiempo en las ecuaciones (22) o (23)

diremos que:

La tasa de interés esperada de un bono que vence en t=2 deberá ser igual a la tasa de

interés que con certeza tiene el bono que vence en t=1

1 = 𝐸 𝑃𝑏21 (24)

Donde Pb= precio del bono.

𝑃𝑏21 = Precio del bono al final del t = 1 hasta el final del t = 2.

En valor presente:

1

𝑃𝑏1=

𝐸 𝑃𝑏21

𝑃𝑏2 (25)

𝑃𝑏1 = precio del bono para el período t =1 desde hoy (t = 0).

Ahora la tasa de interés obtenida al invertir en un bono a un año (t = 1)

volviendo a reinvertir el flujo de caja total obtenido al final de dicho período, en otro

bono, con vencimiento de un año, deberá ser igual a la tasa de interés garantiza de

una inversión en un bono a dos años.

1

𝑃𝑏2=

1

𝑃𝑏1∙ 𝐸

1

𝑃𝑏21 (26)

21

Sin embargo las ecuaciones (25) y (26) deberían ser iguales de la forma:

1

𝑃𝑏1 = 𝐸

𝑃𝑏21

𝑃𝑏2 y

1

𝑃𝑏2 =

1

𝑃𝑏1∙ 𝐸

1

𝑃𝑏21

Reemplazando

1

𝑃𝑏2 =

𝐸 𝑃𝑏21

𝑃𝑏2 ∙ 𝐸 [

1

𝑃𝑏21]

Finalmente, reorganizando y cancelando algunos términos obtenemos:

𝐸 1

𝑃𝑏21 =

1

𝐸 𝑃𝑏21

(27)

Aplicando el teorema de Jensen obtenemos como conclusión que esta

igualdad no se satisface, a menos que el 𝑃𝑏21

sea determinístico, lo cual no tendría

sentido en un funcionamiento de libre mercado. Por lo anterior, la hipótesis pura de

expectativas da paso a un análisis más ajustado al mercado llamado simplemente

hipótesis de expectativas, que a diferencia de lo planteado anteriormente, donde los

excesos de rendimiento (desviaciones de las tasas futuras implícitas) debería ser cero,

la nueva hipótesis permite excesos de rendimientos pero siempre y cuando estos

sean constantes. Diremos entonces que la hipótesis de expectativas es un análisis

más general que la hipótesis pura de expectativas, permitiendo diferencias en las

tasas de interés futuras implícitas, siendo estas constantes pero que dependan del

vencimiento de los bonos. Generalmente estas diferencias existentes se conocen con

el nombre de prima de riesgo.

No es motivo de la presente investigación analizar quienes están a favor o en

contra de tales postulados los cuales como es bien conocido, son muchos los

investigadores y académicos de una lado como del otro. Incluso, otras teorías han

22

salido de la academia al mercado, buscando otra alternativa de solución. Lo más

importante de las anteriores hipótesis que se plantean, es poder identificar la

introducción implícita que se hace al concepto de equilibrio. Para el desarrollo de esta

idea se seguirá el planteamiento de Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry (2003) en

donde se define un estado de equilibrio como: “Aquel que no tiene tendencia a

cambiar”.

Generalmente se considera a las finanzas como una disciplina que presenta

una forma de equilibro estable. Es decir que cuando se tiene un equilibrio inestable,

éste no durará mucho tiempo debido a la generación de choques estocásticos de la

economía. Por tanto, el concepto de equilibrio podríamos decir que son estados a los

cuales un sistema es atraído. La descripción del sistema sería a través de la

expresión:

𝑓 𝑋1, 𝑋2,𝑋3, …𝑋𝑛 = 0.

Si consideramos 𝑛 variables descritas en la función como 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,… 𝑋𝑛

cuando exista una relación entre ellas y se mantenga, diremos entonces que el

sistema está en equilibrio. Sin embargo la relación entre dichas variables algunas

veces no pueden ser armónicas en el corto plazo, lo que generaría una desviación,

pero lo importante es que en el largo plazo existirá una relación más fuerte que hará

que el sistema converja a través del tiempo. Esto nos introduce a que en el largo

plazo, las variables descritas en el sistema deberán tener un movimiento

correlacionado los cuales serán especificadas por cada sistema. Esta idea se podría

representar como

𝑋1 = 𝛽𝑋2

De esta forma denotamos una relación lineal de largo plazo entre 𝑋1 y 𝑋2.

Teniendo el concepto de equilibrio expuesto por Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry

(2003) más claro, aplicaremos ahora las ideas expuestas por Black (1985) sobre el

23

equilibrio, ruido e información pero ya en el entorno de los mercados financieros

motivo de esta investigación. Ante la pregunta ¿Por qué si el valor relativo (spread)

entre dos bonos se desvía de un valor de equilibrio (o umbral) los negociadores siguen

operando sin darse cuenta?. Sin embargo, pasado cierto tiempo, se comienza a

revertir la tendencia hacia la media del equilibrio. Para dar respuesta aplicamos

entonces la relación expuesta por Black (1985):

𝑃 𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝑁𝑡 (28)

Donde:

P(t) = Precio del Bono

𝐼𝑡 = Información

𝑁𝑡= Ruido

El mercado de los activos financieros será más líquido a medida que aumenten

las estrategias de negociación, estas estrategias se basan en la información 𝐼𝑡 y en el

ruido 𝑁𝑡 . Existen variedad de grupos de inversores que usan una estrategia o la otra,

sin embargo, para los que negocian basados en información 𝐼𝑡 la velocidad de llegar

al precio por medio de un “shock” es tal que la mayoría de veces este grupo de

negociadores termina usando la estrategias del ruido 𝑁𝑡 , es decir que tanto los que

negocian en la estrategia del ruido 𝑁𝑡 , como los que usan la estrategia de información

𝐼𝑡 , al final terminan haciendo que el impacto en el precio P(t) sea mayor ocasionado

por el mismo ruido 𝑁𝑡 que por la misma información 𝐼𝑡 .

El negociar con una estrategia basada en el ruido 𝑁𝑡 es usar opiniones,

sentimientos, herramientas diversas de análisis que “suponen” un comportamiento

determinado del activo. Por otra parte, el negociar con una estrategia basada en

información 𝐼𝑡 es aplicar análisis basado en información que ha sido publicada.

Cuando 𝑵𝒕 > 𝑰𝒕 => 𝑷(𝒕) se aleja del equilibrio, esto hace que el P(t) sea imperfecto

y por tanto se debería corregir por parte de agentes del mercado que tengan

conocimiento y por consiguiente 𝑵𝒕 > 𝑰𝒕 => 𝑷(𝒕) volverá a su estado de equilibrio

de largo plazo. Es importante hacer claridad de que si no existieran las estrategias de

24

los inversores basadas en el ruido 𝑁𝑡 no habría una negociación significativa en los

activos financieros. Merton (1971) desarrolla todo una serie de reglas en un modelo en

tiempo continuo, donde muestra que en el largo plazo los precios (o valor relativo)

deben converger a un nivel de equilibrio cuando estos se desvían de manera

importante.

Paso 2). Inspección visual:

En este apartado se presenta, como su nombre lo indica, una representación

gráfica del comportamiento del valor relativo (spread) de diferentes pares de bonos de

deuda pública de Colombia. La idea es poder observar una estructura de

convergencia, o de reversión a la media en un horizonte de largo plazo. Por medio de

la inspección visual, se obtienen las primeras conclusiones sobre la relación del valor

relativo entre activos del análisis, aunque no tiene soporte estadístico, es un

metodología que ha sido usada por los investigadores con buenos resultados

prácticos.

25

Gráfico 1 TES 2024 vs TES 2014



26

Paso 3). Pruebas Estadísticas (Tests)

Las pruebas comúnmente usadas son aquellas que hacen referencia al

planteamiento de una hipótesis. Es decir que la hipótesis de raíz unitaria se acepta o

no se acepta (se rechaza) en la serie de datos de análisis. Se plantea de forma

general y siguiendo a Patterson (2011) que:

𝐻𝑜 : 𝜌 = 1

𝐻𝑎 : 𝜌 < 1

¿Pero qué podríamos decir del significado de raíz unitaria?

Si consideramos un modelo AR(1) y siguiendo a Asteriou y Hall (2007) y a Pfaff

(2008).

𝑌𝑡 = 𝜌 𝑌𝑡−1 + 휀𝑡 (29)

Podemos tener tres posibles casos:

𝑖 𝜌 < 1 La serie es estacionaria

𝑖𝑖 𝜌 > 1 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑡𝑎

𝑖𝑖𝑖 𝑃 = 1 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎

El interés de las pruebas se ubica en la alternativa 𝑖𝑖𝑖 donde:

𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 휀𝑡 Siendo 𝜌 = 1

Donde

휀𝑡 𝑁 𝑖. 𝑖. 𝑑 (0, 𝜍2)

Ahora sí:

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−1 휀𝑡 (30)

27

∆𝑌𝑡 = 휀𝑡 y como 휀𝑡 es ruido blanco, entonces:

∆𝑌𝑡 es una serie estacionaria.

Por lo tanto las pruebas de raíz unitaria más usadas y que se aplican en la presente

investigación son:

Prueba de Dickey Fuller Aumentado (ADF): (1979) y Dickey y Fuller (1981).

Prueba de Phillips y Perrón (PP): Presentado en el artículo de Elliot,

Nothemberg y Stock (1996).

Prueba de KPSS, Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin, 1992:

28

Sección 4

Aplicación y Resultados del modelo.

Se ha realizado la aplicación de todo lo expuesto en la presente investigación al

mercado de tasas de interés de los bonos de deuda pública interna de la república de

Colombia. Para desarrollar y obtener los resultados deseados se ha usado

programación de algoritmos en MatLAb®, Eviews®, Stata® y XLStat® con el objetivo

de comparar resultados entre programas y a su vez utilizar algunas subrutinas que son

más eficientes entre dichos programas. Los bonos que se han tenido en cuenta se

presentan a continuación en la Tabla 1.

Titulo Fecha Emisión Fecha Vencimiento

COLTES 6 Abril/13 17-Abr-09 17-Abr-13

COLTES 9.25 Mayo/14 14-May-08 14-May-14

COLTES 8 Octubre/15 28-Oct-05 28-Oct-15

COLTES 7.25 Junio/16 15-Jun-09 15-Jun-16

COLTES 11.25 Octubre/18 24-Oct-07 24-Oct-18

COLTES 11 Julio/20 24-Jul-05 24-Jul-20

COLTES 10 Julio/24 24-Jul-08 24-Jul-24

Tabla 1- Bonos de deuda pública de la República de Colombia

De la anterior canasta de bonos homogéneos, es decir mismo riesgo de crédito

y mismas características, se determina cuales son los bonos que poseen una mayor

relación entre sí en términos de su variabilidad y de esta forma se estructura el

análisis. Para esto se aplica inicialmente la técnica de ACP (Análisis de Componentes

Principales) desarrollada por Hotelling obteniendo los siguientes resultados

presentados en la Tabla 2:

29

Matriz de Correlaciones (Triangular Inferior)

1.0000

0.4568 1.0000

0.7680 0.4288 1.0000

0.3493 0.3564 0.4191 1.0000

0.6581 0.2923 0.6341 0.3629 1

0.7280 0.3328 0.7591 0.4770 0.7717 1

Tabla 2- Matriz de Correlaciones de tasas de interés de los bonos de deuda

pública

El análisis de ACP se comienza con la matriz de correlaciones Tabla 2 (sin

embargo algunos autores manifiestan que también es posible hacer el análisis usando

matriz de varianza-covarianza) usando para esto la diferencia de los precios de los

bonos y luego estacionalizando los datos. Al aplicar el proceso estadístico se obtiene

los valores propios por componente, el porcentaje de varianza capturado por cada

componente en orden de importancia y su acumulado como se muestra en la Tabla 3.

Valores

Propios CP1 CP2 PC3 PC4 PC5 PC6

EigenValue 3.686 0.850 0.687 0.368 0.229 0.180

% Variance 61.426 14.171 11.449 6.141 3.815 2.998

Cumulative % 61.426 75.597 87.046 93.187 97.002 100.000

Tabla 3- ACP distribuido por componente en orden de importancia.

30

Teniendo los resultados de los componentes se determinan los más importantes

como son: El Componente Principal 1 (CP1), el CP2 y el CP3 capturando más del

87% de la variación total del sistema. A continuación se determina que el componente

más importante para el análisis que será aquel que capture más del 50% de

explicación de la variación del sistema. Para esto se observa que el CP1 es el más

interesante e importante y en el cual centramos el análisis. Dentro del CP1 analizamos

la importancia de cada una de las variables que lo componen y obtenemos los pesos

que cada variable tiene en el CP1 como se muestra en la Tabla 4

Pesos dentro CP1

Var1 (Tes14) 0.4531

Var2 (Tes15) 0.2958

Var3 (Tes 16) 0.4582

Var4 (Tes 18) 0.3104

Var5 (Tes20) 0.4276

Var6 (Tes24) 0.4670

Tabla 4- Pesos de las variables dentro del componente más importante.

Con la anterior Tabla 4, se logra obtener el primer objetivo que es reducir la

dimensión del análisis, a unas pocas variables siendo las resultantes de un proceso de

identificación en orden de importancia. Por lo tanto la estructura del análisis se centrará

en las Variables 1, 3, 5 y 6 del CP1. Dichas variables de análisis corresponden a los

bonos TES con vencimientos TES14 (1), TES16 (3), TES20 (5), y TES24 (6). En la

Gráfica 4 se observa donde estará centrado el análisis.

31

Gráfica 4- Distribución por pesos de los componentes.

Luego de obtener los resultados anteriores se aplica las técnicas econométricas

descritas en la investigación. A cada una de las variables que se han definido como

variables objetivo del análisis (del punto anterior) se realizan las respectivas pruebas

de raíz unitaria. Los métodos de pruebas son ADF, PP y KPSS (Dickey Fuller

Aumentado, Phillips Perron y Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin) en la Tabla 5

muestra los resultados.

Tabla 5- Resultados de Pruebas de Raíz Unitaria.

1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Principal Component

Var

ianc

e E

xpla

ined

(%)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Variables

Pruebas t-est Prob t-est Prob t-est Prob t-est Prob

Dickey-Fuller Aumentado- A nivel -1.23 0.66 -0.59 0.87 -0.92 0.78 -0.72 0.84

Dickey-Fuller Aumentado-1ra. Diferencia -15.61 0.00 -16.78 0.00 -15.09 0.00 -17.61 0.00

Phillips-Perron-A nivel -1.00 0.75 -0.62 0.86 -0.62 0.86 -0.66 0.85

Phillips-Perron-1ra. Diferencia -15.55 0.00 -16.77 0.00 -14.94 0.00 -17.62 0.00

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin-A nivel 1.26 0.463(5%) 1.47 0.463(5%) 1.48 0.463(5%) 1.68 0.463(5%)

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin-1ra.Diferencia 0.12 0.463(5%) 0.15 0.463(5%) 0.17 0.463(5%) 0.11 0.463(5%)

Bono 14 Bono 16 Bono 20 Bono 24

32

Los resultados de las pruebas en niveles muestran que las variables de análisis

tienen raíz unitaria y que al realizar primera diferencia se rechaza la hipótesis nula de

raíz unitaria obteniendo un orden de integración de I(1) es decir la serie es

estacionaria. Teniendo las pruebas de raíz unitaria y antes de aplicar el análisis de

cointegración mediante el modelo de E-G (Engle - Granger) se aplica una herramienta

para determinar dentro del grupo de variables de análisis, la causalidad entre ellas.

Este ha sido una de las varías críticas que ha tenido el método de E-G en el cual no se

identifica en la ecuación qué papel juegan las variables de análisis, es decir cuál es la

variable endógena y cuál es la exógena. En la Tabla 6 obtenemos el resultado de la

causalidad de Granger.

Tabla 6- Resultado de Prueba de Causalidad de Granger.

Con el resultado anterior se desarrolla entonces el método de E-G. La idea es

realizar un test al comportamiento de los residuos de la regresión. Si los estadísticos

salen significativos entonces se dice que se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria y

los residuos serian estacionarios.

En la Tabla 7 se observa el resultado de la prueba ADF que es la planteada en el

método de E-G.

Prueba de Causalidad de Granger F-Est Prob. Ho H1

T20 NO Granger Cause T14 4.36509 0.0135 Rechazo Acepto

T14 NO GC T20 0.87918 0.4162 Acepto Rechazo

T14 NO GC T24 2.85744 0.059 Rechazo Acepto




T20 NO GC T24 12.1051 9.00E-06 Rechazo Acepto






33

Tabla 7- Resultado de los Test de Cointegración por medio de E-G y P-O

En todos los casos los resultados son significativos lo cual muestra que si existe

cointegración entre las variables de análisis. Para evaluar el resultado de la prueba de

ADF, no se usan las tablas comunes de raíz unitaria sino que se usa las tablas de

propuestas por Mackinnon para este tipo de casos. Adicional al método anterior y

utilizando la misma Tabla 7 se realiza el método de cointegración alterno de Phillips-

Ouliaris (P-O). Este método en su estructura es muy similar al de E-G con la diferencia

que se aplica el test de Phillips-Perron (PP) de raíz unitaria. Los resultados también

están en línea con los de E-G. Como resultado entonces se concluye que el análisis

de las variables muestra cointegración y por tanto es adecuado realizar, si las

oportunidades de mercado se dan, negociaciones de valor relativo entre las variables.

En las Gráficas 5 y 6 se aprecia el comportamiento del logaritmo natural del precio de

las variables de análisis a través del tiempo. Algunos investigadores trabajan las

variables de análisis en niveles o con el logaritmo de los precio. Para el presente

análisis se trabaja en niveles para algunos modelos, sin embargo lo más importante

del resultado de los análisis es el resultado arrojado en el comportamiento de los

residuos, los cuales deben ser ruido blanco.

Test de Cointegracion 14-16 14-20 14-24 16-20 20-24

Resultados Test en Residuos t-Est t-Est t-Est t-Est t-Est

Modelo E_G (ADF) -20.2739 -18.91532 -17.76724 -22.21935 -21.72383

Modelo P-O (PP) -20.46985 -18.91925 -17.77904 -22.22943 -22.40211

34

Gráfica 5 – Comportamiento de las tasas de los bonos y los residuos

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

TES16 TES14 RESID14_16

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

5

6

7

8

9

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

RESID14_20 TES14 TES20

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

.20

5

6

7

8

9

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

RESID_1424 TES14 TES24

35

Gráfica 6 – Comportamiento de las tasas de los bonos y los residuos

En los años recientes y debido a las limitaciones en el análisis del modelo de dos

pasos de E-G en cuanto al número de variables que se incluyen en la ecuación, el

método de prueba de cointegración de Johansen ha ganado gran popularidad, este

método está basado en gran parte en el método VAR desarrollado por Sims. A pesar

de que para dos variables el método de E-G es muy usado en la práctica, rápido y

funciona de forma adecuada, a manera de alternativa en la presente aplicación se

desarrolla el método de Johansen obteniendo los siguientes resultados. Se obtiene la

prueba de causalidad vía Johansen. Los resultado de las prueba de hipótesis se

observan a continuación en la Tabla 8.

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300


-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300


36

Tabla 8- Prueba de Johansen de causalidad

De los anteriores resultados se observa que dentro de las variables de

análisis más importantes del CP1, se identifican la causalidad entre cada una

de las variables y en que vía se da esta relación. Este análisis arroja

resultados similares a los obtenidos por el método de Granger para algunos

pares de combinaciones de variables. De igual forma en el análisis de

cointegración se obtienen los vectores autorregresivos de corrección de error

VEC, este resultado se comprueba analizando los coeficientes de las

ecuaciones generadas en cada combinación de variables y rechazando o no

rechazando la hipótesis nula al 5%. En la Tabla 9 se muestran los resultados.

TABLA 9- Relación entre variables en el VEC

Pruebas de Causalidad por VAR Prob Resultado

Tes 14 vs Tes 16 0.0167 Se rechaza Ho


Tes 14 vs Tes 20 0.1270 NO Se rechaza Ho








VEC- Relacion entre variables Vlr Coef. Prob. Resultado Ho

Tes 14 vs Tes 16 -0.0923 0.0032 Rechazo




37

Finalmente para comprobar la estabilidad dinámica del modelo se

obtiene el inverso de las raíces del polinomio característico AR las cuales se

encuentran dentro del círculo unitario, como se observa en la Grafica 7.

Tes14-Tes16 Tes14-Tes20

Tes14-Tes 24 Tes16-20

Grafica 7- Raíces Inversas en círculo unitario

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


38

Sección 5

Conclusiones.

Se ha utilizado el procedimiento estadístico multivariado de Análisis de

Componentes Principales (ACP) para reducir la dimensionalidad del grupo de

variables que componen la curva de rendimiento de bonos de deuda pública de la

república de Colombia. De esta forma se concentra el análisis en las variables que

tengan una mayor relación en términos de variabilidad. Luego se ha planteado un

análisis econométrico de las variables que capturan dicha mayor variabilidad del

sistema, es decir las variables que están en el componente CP1 mayor a 50%. Las

pruebas de raíz unitaria se realizan y luego se aplica los métodos de cointegración

Engle-Granger (E-G) y Phillips-Ouliaris (P-O). Como estructura base y mucho antes

de los aportes de E-G se observa como las variables poseen un comportamiento de

reversión a la media que a su vez aplicando la ecuación diferencial parcial de Ornstein

y Uhlenbeck (O-U) presentada en los años 30, genera un mayor sentido matemático,

estadístico y econométrico a dichos métodos de cointegración. Para definir las

variables dependientes se aplica la causalidad de Granger y se estructura el análisis

de cointegración basado en dichos criterios. Por último se plantea un análisis adicional

utilizando la metodología de Johansen obteniendo resultados acordes con los

obtenidos por E-G y P-O. Es decir que se observa causalidad entre las variables y

cointegración. Por lo tanto, las negociaciones de valor relativo deben realizarse

teniendo en cuenta las variables resultantes del presente estudio y no usando

cualquier par de variables (bonos). Cuando el comportamiento del spread entre las

variables de análisis se desvíe de su media, se podrá establecer una estrategia de

compra-venta y esperar su corrección a su tendencia de largo plazo. El porcentaje de

éxito en las estrategias establecidas de esta forma será mayor debido a la estructura

de relación de las variables.

39

Apéndice 1.

Revisión del concepto O-U:

La mayoría de modelos expuestos en este trabajo, supone un proceso llamado

de Ornstein - Uhlenbeck (O-U). Esta es un modelo matemático famoso y conocido a

partir del año 1930 cuando se pública el artículo “en la teoría del movimiento

Browniano” por los físicos L.S. Ornstein y G.E Uhlenbeck.

Steele (2001) plantea que el razonamiento del proceso O-U es “aquel proceso en

donde una molécula individual podría acelerarse hacia arriba o hacia abajo, pero

siendo consistente con la velocidad promedio que generan las diferentes trayectorias

dadas por las moléculas, la diferencia entre dicha velocidad de la partícula individual y

la media de las trayectorias debe mostrar una reversión hacia cero”. Wiserma (2008)

se atreve a plantear que es tal vez la ecuación diferencial estocástica más recordada

sea esta de la forma:

𝑑𝑋 𝑡 = −λ X 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝑑𝐵(𝑡) (31)

Con λ y 𝜍 constantes y positivas.

Donde −𝜆𝑋 𝑡 recibe el nombre de componente de tendencia y 𝜍. 𝑑𝐵(𝑡)

componente de difusión del proceso. Esta ecuación fue la postulada por Ornstein

Uhlenbeck y podemos obtener su derivación en Mikosh (2000). Existen muchos

campos de aplicación del proceso O-U. En finanzas el proceso O-U fue aplicado con

bastante éxito por Vasicek (1977) para modelar el comportamiento de las tasas de

interés. En el artículo original de Vasicek (1977) éste muestra cómo la tasa instantánea

de interés sigue un proceso de O-U de la siguiente forma:

𝑑𝑟 = 𝛼 𝛾 − 𝑟 . 𝑑𝑡 + 𝜌. 𝑑𝑧 (32)

40

Donde 𝛼(𝛾 − 𝑟) es la tendencia instantánea y representa la fuerza que ayuda

al proceso a mantenerse (o a regresar) a la medida del proceso largo plazo (𝛾). La

parte estocástica la cual posee una varianza instantánea constante ρ2 causa que el

proceso fluctúe alrededor del nivel ya explicado (𝛾) de forma errática pero continua.

Cox, Ingersoll y Ross (1985) proponen una solución más robusta al modelo

para evitar problemas con posibles tasas de interés negativas de la forma:

𝑑𝑟 𝑡 = 𝑘 𝜃 − 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 + 𝛿. 𝑟 𝑡 𝑑𝑤(𝑡) (33)

41

Apéndice 2.

Revisión del concepto de Análisis de Componentes Principales (ACP).

Dentro el modelo propuesto de negociación de valor relativo (spreads) el

análisis de componentes principales (ACP) será una herramienta de ajuste muy

importante en la toma de decisiones. Existe gran cantidad de bibliografía sobre el

ACP, alguna bibliografía muy representativa ha sido usada y desarrollada en el

presente trabajo como es el caso de Basilerevsky (1994) para todo el tema de la

explicación de algo más de 20 teoremas que cuidadosamente expone dicho autor.

Jolliffe (2002) es otra gran referencia sobre todo en el tema de ACP a series de

tiempo. Otra referencias interesantes adicionales por su aplicación matemática son

Härdle y Simar (2007), Timm (2002), Raycov y Marcoulides (2008). Gran cantidad de

documentos técnicos también se han escrito sobre el uso del ACP para tasas de

interés a partir del trabajo realizado por Litterman y Sheinkman (1991), algunos de los

cuales se revisaron como Bliss (1997), Soto (2004), Alexander (2003), Alexander

(2008) y James y Webber (2000).

El propósito final del ACP es reducir la dimensionalidad del un grupo de

variables de análisis teniendo en cuenta las variaciones que estas (variables) poseen

originalmente. Este propósito se logra transformándolas en un nuevo grupo de

variables que llamaremos componentes principales. Estos componentes, serán en su

definición más sencilla, que resultan de combinaciones lineales de las variables

originales, las cuales no estarán correlacionadas pero sí ordenadas tal como lo

presenta Everitt y Hothorn (2011). Para realizar el proceso anterior debemos

comenzar por diagonalizar la matriz de correlación (o de varianza y covarianzas). La

cual proporciona la asociación entre vectores y valores propios. Para realizar la

respectiva diagonalización, la matriz deberá cumplir ciertas propiedades como ser

simétrica, no singular y positiva semi-definida. Esta matriz se pre multiplicará y post

multiplicará por una matriz orto normal. Los elementos obtenidos en la diagonal son

llamados valores propios destacados por λ (lambda) o también reciben el nombre de

raíces características.

42

Sección 6

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jaime alonso restrepo mejía

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