inferencias asintÓticas sobre una combinaciÓn lineal de …

UNIVERSIDAD DE GRANADA

Departamento de Estadiacutestica e Investigacioacuten Operativa

TESIS DOCTORAL

IINNFFEERREENNCCIIAASS AASSIINNTTOacuteOacuteTTIICCAASS SSOOBBRREE UUNNAA

CCOOMMBBIINNAACCIIOacuteOacuteNN LLIINNEEAALL DDEE KK PPRROOPPOORRCCIIOONNEESS

IINNDDEEPPEENNDDIIEENNTTEESS

Mariacutea Aacutelvarez Hernaacutendez

Granada 2011

Editor Editorial de la Universidad de Granada

Autor Mariacutea Aacutelvarez Hernaacutendez

DL GR 4518-2011

ISBN 978-84-694-5758-0

La presente Tesis Doctoral estaacute avalada (hasta la fecha de su lectura) por los artiacuteculos y comunicaciones a Congresos que se indican a continuacioacuten

Artiacuteculos aceptados

1 Martiacuten Andreacutes A and Aacutelvarez Hernaacutendez M (2008) Comments on lsquoActive-control

trials with binary data a com parison of m ethods for testing superiority or non-

inferiority using the odds ratio Statistics in Medicine 27(27) 5799-5800 DOI

101080 10629360601026386

2 Martiacuten Andreacutes A Aacutelvarez Hernaacutendez M and Herranz Tejedor I (2010)

Inferences about a linear com bination of proportions Statistical Methods in Medical

Research Prepublihed March 11 2010 DOI 1011770962280209347953

3 Martiacuten Andreacutes A Herranz Tejedor I and Aacutelvarez Hernaacutendez M (2010) On the

optimal m ethod to m ake inferences about a linear com bination of proportions To

appear in Journal of Statistical Computation and Simulation

Artiacuteculos sometidos


Asymptotic two-tailed confidence intervals for the difference of proportions

2 Martiacuten Andreacutes A and Aacutelvarez Hernaacute ndez M (2011) Two-tailed approxim ate

confidence intervals for th e ratio of proportions Som etido por segunda vez (a

instancias del editor) a The American Statistician

3 Martiacuten Andreacutes A and Aacutelvarez H ernaacutendez M (2011) Two-tailed asym ptotic

inferences for a proportion

4 Martiacuten Andreacutes A and Aacutelvarez Hernaacutendez M (2011) Optim al method for realizing

two-tailed inferences about a linear combination of two proportions

Congresos

1 Martiacuten Andreacutes A y Aacutelvarez Hernaacutendez M ldquoOn the inferences of a linear function of

several proportionsrdquo XII Conferencia Espantildeola de Biometriacutea Com unicacioacuten oral

Actas paacutegs 141-142 ISBN 978-84-692-532 5-0 Caacutediz (23-25 septiem bre del

2009)

2 Martiacuten Andreacutes A Aacutelvarez Hernaacutendez M y Herranz T ejedor I ldquoI ntervalos de

confianza aproxim ados para la diferencia de dos proporcionesrdquo XXXII Congreso

Nacional de Estadiacutestica e Investigacioacuten Operativa y VI Jornadas de Estadiacutestica

Puacuteblica Comunicacioacuten oral Actas paacutegs 1-7 ISBN 978-84-693-6152-8 A Coruntildea

(14-17 septiembre del 2010)

La realizacioacuten de este trabajo ha s ido posible gracias a la Beca Predoctoral

adscrita a Proyectos de Investigacioacuten de Ex celencia de la Consejeriacutea de Innovacioacuten

Ciencia y Empresa de la J unta de Andaluciacutea (BOJA nuacutem 138 de 18 de julio de 2005)

Proyecto de Excelencia P06-FQM-1459

Esta memoria ha sido realizada en el seno del

Grupo de Investigacioacuten en Bioe stadiacutestica de la Universi dad de Granada del Plan

Andaluz de Investigacioacuten Desarrollo e I nnovacioacuten de la Junta de Andaluciacutea (FQM-

235)

Proyecto de Investigacioacuten ldquoAnaacutelisis de tablas de contingencia desde las perspectivas

del acuerdo el diagnoacutestico la independencia y la equivalenciardquo del Plan Nacional

I+D (MTM2009-08886)

Proyecto de Investigacioacuten ldquoMeacutetodos estadiacutesticos para el acuerdo la independencia y

la equiv alencia Aplicacioacuten a la obtencioacuten de interva los de confianzardquo del Plan

Nacional I+D (MTM2008-01697)

AGRADECIMIENTOS

Quisiera dedicar m i maacutes sincero agradecim iento a m i tutor y director de Tesis

D Antonio Martiacuten Andreacutes y a m i direct ora Dntildea Inm aculada Herranz Tejedor por

haberme dado la posib ilidad de trabajar con ellos perm itieacutendome aprender de sus

conocimientos y de su excepcional profesionalidad G racias por su perm anente

disposicioacuten y dedicacioacuten a este trabajo ha sido todo un privilegio

Igualmente gracias a Francisco R equena Juan de Dios Luna Mariacutea Teresa

Miranda Pedro Fem ia Joseacute Antonio Roldaacuten y Ana Mariacuten m iembros de la Unidad

Docente de Bioestad iacutestica de la Fac ultad de Medicina (Dep artamento de Estad iacutestica e

Investigacioacuten Operativa de la Univer sidad de Granada) por acogerm e con carintildeo en e l

equipo Ellos son m odelo a seguir tanto por su s aptitudes en la investigacioacuten com o por

la calidad de su docencia Mi agradecim iento de modo especial a Marta Loacutepez por su

colaboracioacuten en los aspectos de form ato de esta m emoria y por su disponibilidad y

apoyo personal en todo momento

Quisiera m encionar con igual considerac ioacuten al departam ento de Estadiacutestica e

Investigacioacuten Operativa de la Universidad de Salam anca Mi gratitud a profesores y

compantildeeros con los que em prendiacute esta aven tura y en concreto a su directora Dntildea M

Purificacioacuten Galindo por inculcar me el intereacutes por la esta diacutestica y anim arme a seguir

adquiriendo conocimientos de ella

Agradezco el apoyo incondicional d e mi familia y am igos que han ten ido que

soportar y en m uchas ocasiones aliviar el de sgaste que este tipo de trabajos conlleva

Me comprometo a devolverles el tiempo que no he podido dedi carles en esta etapa En

especial mencionar a m is abuelas Pilar y Ca rmen por su ejem plo de lucha para salir

adelante y por los sabios consejos que ha n sido ayuda en m i crecimiento personal A

mis hermanas Rosalidia y Carm en por esta r conmigo siempre que las he necesitado

Finalmente a mis padres Manuel y Mordf del Carm en por ensentildearme la constancia en e l

trabajo y el arrojo en la vida Ellos son ejemplo diario y mi soporte en cada momento

ldquoLo importante es no dejar de hacerse preguntasrdquo

Albert Einstein

IacuteNDICE

Paacuteg

PROacuteLOGO XIII

CAPIacuteTULO I K=CUALQUIERA Y CASO Kge3

I1 INTRODUCCIOacuteN 1

I2 NOTACIOacuteN 3

I21 Generalidades y estadiacutestico base 3

I22 Estimadores de las proporciones pi 4

I221 Estimadores no restringidos por H0 4

I222 Estimadores siacute restringidos por H0 5

I23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 5

I24 Modificacioacuten de los datos muestrales y meacutetodos de inferencia que se

obtienen 7

I3 RESULTADOS DE LA LITERATURA 8

I31 Resultados teoacutericos 8

I311 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald 8

I312 Meacutetodos de tipo bayesiano 9

I313 Meacutetodo de tipo Newcombe 9

I32 Resultados praacutecticos 10

I321 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten 10

I322 Conclusiones de la literatura 11

I4 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO 13

I41 Propiedades a verificar por cualquier estadiacutestico para que la inferencia sea

coherente 13

I42 Meacutetodo de Newcombe-Zou 14

I43 Procedimiento y estimador E (meacutetodo de las marcas) 14

I431 Estimadores de maacutexima verosimilitud 15

I432 Equivalencia del planteamiento anterior y el test chi-cuadrado

(o test de las marcas) 17

I433 Caacutelculos alternativos para el test y el intervalo 18

II INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

I434 Propiedad del estadiacutestico 20

I435 Aproximaciones al meacutetodo de las marcas meacutetodos de tipo

ldquoadjustedrdquo Wald 21

I44 Procedimiento y estimador P (en sus dos versiones Pa y Pb) 24

I441 Obtencioacuten del procedimiento 24

I442 Propiedades del estadiacutestico Pa 25

I45 Meacutetodos con correccioacuten por continuidad 26

I5 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO 28

I51 Objetivo 28

I52 Descripcioacuten del estudio de simulacioacuten y de los criterios a emplear para la

seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo 28

I53 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia en la versioacuten sin cpc 30

I531 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo W (α=5) 30

I532 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo N (α=5) 31

I533 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo E (α=5) 32

I534 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo P (α=5) 33

I54 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los mejores de cada familia

(α=1 5 y 10) caso general y caso particular de un contraste 34

I55 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los mejores de cada

familia (α=5) 35

I56 Verificacioacuten de los resultados de la literatura 36

I6 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 37

I61 Meacutetodo oacuteptimo 37

I62 Foacutermulas aconsejadas para realizar la inferencia 37

I621 Meacutetodo E0 (el mejor salvo que nile10 i) 37

I622 Meacutetodo W3 (el mejor si nile10 i y una buena alternativa al resto

de casos) 38

I623 Meacutetodo Pa0 (meacutetodo muy conservador pero que no falla casi

nunca) 39

I63 Ejemplos praacutectico 39

IacuteNDICE III

CAPIacuteTULO II K=2 EN EL CASO DE LA DIFERENCIA

II1 INTRODUCCIOacuteN 43

II2 NOTACIOacuteN 44

II21 Generalidades y estadiacutestico base 44

II22 Estimadores de las proporciones pi 45

II221 Estimadores no restringidos por H0 45

II222 Estimadores siacute restringidos por H0 46

II23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 47

II24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos que proporcionan 48

II3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO 49

II31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z 49

II311 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald 50

II312 Meacutetodo de Newcombe 50

II313 Meacutetodo condicionado 51

II314 Meacutetodo incondicionado exacto 52

II315 Meacutetodo incondicionado Peskun 52

II316 Estadiacutestico Z con correccioacuten por continuidad 53

II317 Propiedades que verifica el estadiacutestico ZE 54

II32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico X 54

II33 Meacutetodos basados en el estadiacutestico A 55

II4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO 56

II41 Generalidades sobre los estudios a realizar 56

II42 Conclusiones de la literatura 57

II5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO 60

II51 Aproximaciones al procedimiento de las marcar procedimiento L y

meacutetodos de tipo ldquoadjustedrdquo Wald 60

II52 Procedimientos basados en el estimador Pb 62

II53 Test e intervalo de confianza para el procedimiento ZCb 62

II54 Estadiacutestico A con correccioacuten por continuidad 63

II55 Equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos

de confianza y su meacutetodo de test asociado 64

IV INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

II6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO 65

II61 Objetivo 65

II62 Descripcioacuten del estudio a realizar y de los criterios a emplear para la


II63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc) 68

II631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (α=5) 68

II632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo X (α=5) 73

II633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (α=5) 74

II634 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo L (α=5) 74

II64 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los mejores de cada familia

(α=1 5 10) caso general y caso particular con grandes muestras 76

II65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los dos oacuteptimos

(α=5) 77

II66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura 77

II67 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo para el caso claacutesico de δ=0 (test claacutesico de

homogeneidad de dos proporciones independientes) 79

II671 Seleccioacuten general 79

II672 Seleccioacuten para α=5 en el caso de grandes muestras (nge160) 81

II68 Evaluacioacuten del caso de la diferencia seguacuten el estudio de simulacioacuten del

Capiacutetulo I 81

II7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 82

II71 Meacutetodo oacuteptimo 82

II72 Foacutermulas aconsejadas para realizar la inferencia 83

II721 Caso general (para todo δ) 83

II722 Caso particular (δ=0) 84

II73 Ejemplos praacutecticos 85

II731 Intervalo de confianza 85

II732 Test de homogeneidad 87

CAPIacuteTULO III K=2 EN EL CASO DEL COCIENTE

III1 INTRODUCCIOacuteN 89

III2 NOTACIOacuteN 90

IacuteNDICE V

III21 Generalidades y estadiacutestico base 90

III22 Estimadores de las proporciones pi 91

III221 Estimadores no restringidos por H0 91

III222 Estimadores siacute restringidos por H0 92

III23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 93

III24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan 94

III3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO 95

III31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z 95

III311 Generalidad 95

III312 Meacutetodo claacutesico de Wald 96

III313 Meacutetodo condicionado 96

III314 Meacutetodo incondicionado exacto 97

III315 Meacutetodo incondicionado Peskun 97

III32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico L 98

III321 Generalidades 98

III322 Meacutetodos claacutesicos de Woolf y ldquoadjustedrdquo Woolf 98

III323 Meacutetodos de tipo Newcombe 99

III324 Meacutetodos condicionado e incondicionado exacto 100

III33 Meacutetodos basados en el estadiacutestico X 100

III34 Propiedades de los diversos estadiacutesticos 101

III4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO 101

III41 Generalidades sobre los estudios a realizar 101

III42 Conclusiones de la literatura 102

III5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO 104

III51 Procedimientos basados en el meacutetodo de Newcombe 104

III52 Valor aproximado del estimador de maacutexima verosimilitud (estimadores

Aa y Ab) y procedimientos que ocasionan 105

III53 Intervalo de confianza para los procedimientos ZPab 108

III54 Estadiacutesticos R y A 109

III55 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados 109

III56 Estadiacutesticos con correccioacuten por continuidad 110

III57 Equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos


VI INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

III6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO 111

III61 Objetivo 111

III62 Descripcioacuten del estudio a realizar y de los criterios a emplear para la


III63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc) 114

III631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (α=5) 114

III632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo R (α=5) 116

III633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo L (α=5) 117

III634 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo X (α=5) 119

III635 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (α=5) 119

III64 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los mejores de cada familia

(α=1 5 10) caso general y caso particular de grandes muestras 120

III65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los dos meacutetodos

oacuteptimos seleccionados (α=5) 121

III66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura 121

III67 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo para el caso claacutesico ρ=1 (test claacutesico de


III7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 122

III71 Meacutetodo oacuteptimo 122

III72 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia 123

III721 Meacutetodo oacuteptimo en general ZAb1 123

III722 Meacutetodo maacutes sencillo casi tan bueno como el anterior

(especialmente para valores moderados de ρ) ZW4 124

III723 Mejor meacutetodo claacutesico vaacutelido para n1+n2ge 200 α=5 y 01ltρlt10

LW1 125

III73 Ejemplos praacutecticos 125

III731 Evaluacioacuten de una vacuna 125

III732 Evaluacioacuten de un meacutetodo diagnoacutestico binario 126

CAPIacuteTULO IV K=2 EN EL RESTO DE LOS CASOS

IV1 INTRODUCCIOacuteN 131

IV2 NOTACIOacuteN 132

IV21 Generalidades y estadiacutestico base 132

IacuteNDICE VII

IV22 Estimadores de las proporciones pi 133

IV221 Estimadores no restringidos por H0 133

IV222 Estimadores siacute restringidos por H0 134

IV23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 135

IV24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan 135

IV3 RESULTADOS DE LA LITERATURA 136

IV31 Resultados de tipo teoacuterico 136

IV311 Meacutetodo claacutesico de Wald 136

IV312 Meacutetodo incondicionado exacto 137

IV313 Meacutetodo incondicionado Peskun 137

IV314 Propiedades a verificar por cualquier estadiacutestico de contraste 138

IV32 Resultados de tipo praacutectico 138

IV4 APORTACIONES 138

IV41 Aportaciones de tipo teoacuterico 138

IV411 Meacutetodo de Newcombe-Zou 138

IV412 Meacutetodo de las marcas y equivalencia con el procedimiento ZE 139

IV413 Procedimiento y estimador A (incondicionado aproximado) 140

IV414 Propiedades de equivalencia 140

IV415 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados 142

IV416 Estadiacutestico con correccioacuten por continuidad 142

IV42 Aportaciones de tipo praacutectico 143

IV421 Objetivo 143

IV422 Descripcioacuten del estudio a realizar y de los criterios a emplear para

la seleccioacuten del oacuteptimo 143

IV423 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc (α=5) 147

IV424 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los seleccionados

anteriormente y para los errores α=1 5 y 10 evaluacioacuten

general y detallada 148

IV425 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc (α=5) 149

IV5 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 149

IV51 Meacutetodo oacuteptimo 149

IV52 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia cuando |β1|ne|β2| o β1=β2 150

IV521 Meacutetodo oacuteptimo para n1lt60 y α=10 ZW2 150

VIII INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

IV522 Meacutetodo oacuteptimo para el resto de los casos (y tambieacuten en general)

ZW4 150

IV53 Ejemplo praacutectico 150

CAPIacuteTULO V K=1 O EL CASO DE UNA PROPORCIOacuteN

V1 INTRODUCCIOacuteN 153

V2 NOTACIOacuteN 154

V21 Generalidades y estadiacutestico base 154

V22 Generalidades sobre las proporciones pi 154

V23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 155

V24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos que proporcionan 155

V3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO 156

V31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z 156

V311 Generalidad 156

V312 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald 157

V313 Meacutetodos condicionado 158

V314 Estadiacutestico Z con correccioacuten por continuidad 158

V32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico G 158

V33 Meacutetodos basados en el estadiacutestico A 159

V4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO 159

V41 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten 159

V42 Conclusiones de la literatura 160

V5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO 162

V51 Test e intervalo de confianza para el procedimiento GE 162

V52 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados 163

V53 Estadiacutestico A con correccioacuten por continuidad 163

V54 Equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos


V6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO 164

V61 Objetivo 164

V62 Descripcioacuten del estudio a realizar y de los criterios a emplear para la


IacuteNDICE IX

V63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc) 167

V631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (α=5) 167

V632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo G (α=5) 167

V633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (α=5) 168

V64 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los mejores de cada familia

(α=15 y 10) caso general y evaluacioacuten detallada 168

V65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los cuatro meacutetodos


V66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura 170

V7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 171

V71 Meacutetodo oacuteptimo 171

V72 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia 171

V721 Meacutetodo oacuteptimo para αge5 A1 171

V722 Meacutetodo oacuteptimo para α=1 (vaacutelido tambieacuten en general si nge50)

ZE0 172

V723 Meacutetodo maacutes sencillo y solo un poco peor que los anteriores

ZW2 172

V73 Ejemplos praacutecticos 172

CAPIacuteTULO VI K=2 EN EL CASO ESPECIAL DE LA RAZOacuteN DEL

PRODUCTO CRUZADO

VI1 INTRODUCCIOacuteN 175

VI2 NOTACIOacuteN 176

VI21 Generalidades y estadiacutesticos base 176

VI22 Estimadores de las proporciones pi 177

VI23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador 177

VI24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan 178

VI3 RESULTADOS DE LA LITERATURA 178

VI31 Resultados de tipo teoacuterico 178

VI311 Meacutetodos basados en el estadiacutestico X 178

VI312 Meacutetodos basados en el estadiacutestico L 180

VI313 Estadiacutesticos con correccioacuten por continuidad 181

VI314 Estadiacutesticos desde la perspectiva del ln(O) 182

X INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

VI32 Resultados de tipo praacutectico 182

VI321 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten 182

VI322 Conclusiones de la literatura 183

VI4 APORTACIONES 184

VI41 Aportaciones de tipo teoacuterico 184

VI5 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS 184

VI51 Meacutetodo oacuteptimo 184

VI52 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia 185

VI521 Meacutetodo oacuteptimo en general XE0 185

VI522 Meacutetodo maacutes sencillo casi tan bueno como el anterior

(especialmente para grandes muestras) LW1 185

VI53 Ejemplo praacutectico 186

CONCLUSIONES 187

REFERENCIAS 191

APEacuteNDICE TABLAS 201

Tabla AI1 202

Tabla AI2 204

Tabla AI3 206

Tabla AI4 208

Tabla AI5 212

Tabla AI6 214

Tabla AI7 216

Tabla AI8 218

Tabla AI9 220

Tabla AII1 222

Tabla AII2 234

Tabla AII3 235

Tabla AII4 y Tabla AII5 238

Tabla AII6 Tabla AII7 y Tabla AII8 239

Tabla AII9 240

IacuteNDICE XI

Tabla AII10 241

Tabla AII11 242

Tabla AII12 243

Tabla AIII1 244

Tabla AIII2 268

Tabla AIII3 271

Tabla AIII4 277

Tabla AIII5 278

Tabla AIII6 Tabla AIII7 y Tabla AIII8 279

Tabla AIII9 280

Tabla AIV1 281

Tabla AIV2 287

Tabla AIV3 288

Tabla AIV4 y Tabla AIV5 291

Tabla AIV6 292

Tabla AV1 293

Tabla AV2 298

Tabla AV3 299

Tabla AV4 300

Tabla AV5 301

Tabla AV6 304

Tabla AV7 305

Tabla AV8 y Tabla AV9 306

PROacuteLOGO

Las i nferencias de dos c olas sobre una combinacioacuten l ineal L=Σβipi de K

proporciones bi nomiales i ndependientes pi son m uy f recuentes en l a investigacioacuten

aplicada (Tebbs and Roths 2008) En particular los casos con Kle2 han recibido gran

atencioacuten desde casi l os inicios d e l a E stadiacutestica C uando K=1 y β1=1 e l obj etivo e s

realizar inferencias sobre una proporcioacuten p1 (como en Agresti and Coull 1998) Cuando

K=2 los o bjetivos p ueden s er v arios l a d iferencia d=p2minusp1 de dos pr oporciones s i

β1=minus1 y β2=+1 ( como e n A gresti a nd C affo 2000) la s uma S=p1+p2 de dos

proporciones s i β1=+1 y β2=+1 (como e n l a e valuacioacuten de m eacutetodos d e di agnoacutestico

binarios) la razoacuten R= p2p1 de dos proporciones si β1=minusR y β2=+1 (como en Agresti

2003) o una c ombinacioacuten l ineal de dos pr oporciones c on β1lt0 ( como e n P hillips

2003) Los c asos c on Kgt2 s on hi stoacutericamente ba stante m enos ha bituales pe ro e n l os

uacuteltimos antilde os s e l es estaacute p restando m aacutes at encioacuten d ado s u gran i ntereacutes p raacutectico

(Newcombe 2001 P rice a nd Bonett 2004 S chaarschmidt et al 2008 T ebbs a nd

Roths 2008 Agresti et al 2008 Zou et al 2009 etc)

En unas ocasiones la combinacioacuten lineal L es un contraste (Σβ i=0) en cuyo caso

suele interesar realizar el test de hipoacutetesis para la hipoacutetesis nula H L=0 o determinar un

intervalo de confianza para L (IC en adelante) En otras ocasiones la combinacioacuten lineal

L no es un contraste (Σβ ine0) en cuyo caso suele interesar determinar un IC de dos colas

para L Sea cual sea el caso la realizacioacuten de ambas inferencias pueden enfocarse desde

la uacutenica perspectiva de la realizacioacuten de un test de hipoacutetesis acerca de L (H0 L=λ vs

H1 Lneλ e n donde λ es una constante t al que Bminus=0 0i i

i iβ ββ λ β

lt gtle lesum sum =B+) pues

como es habitual hoy diacutea el IC se obtiene mediante la inversioacuten del test anterior el IC

es el conjunto de todos los valores de λ en los que el test anterior da un valor p mayor

que α (si 1minusα es la confianza deseada para el IC) Como el test tambieacuten puede realizarse

a traveacutes del IC (el test es significativo si el IC no contiene al valor λ) en los proacuteximos

capiacutetulos se u tilizaraacute el p rocedimiento q ue s ea m aacutes coacute modo para l a d efinicioacuten o el

anaacutelisis que se persiga De todos modos en esta memoria se explicitaraacute generalmente

ambos tipos de inferencia

XIV INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

Adicionalmente a la h ora de e valuar un d eterminado pr ocedimiento puede

elegirse la perspectiva del test o la perspectiva del IC Para evaluar un procedimiento de

obtencioacuten de IC suelen utilizarse los paraacutemetros recubrimiento real y longitud media

para evaluar un procedimiento de realizacioacuten de un test suelen utilizarse los paraacutemetros

error real y potencia (todos estos paraacutemetros se definiraacuten expliacutecitamente maacutes adelante)

Como el recubrimiento real y el error real suman 1 (ver las demostraciones especiacuteficas

en aquellos capiacutetulos en los que la evaluacioacuten de los procedimientos se realizan a traveacutes

de un test de hipoacutetesis) y ademaacutes como cuanto mayor es la potencia del test menor seraacute

la longitud del IC que se obtenga mediante inversioacuten del mismo la consecuencia es que

ambas ev aluaciones s on eq uivalentes De ah iacute q ue en c ada o casioacuten s e u tilice l a

perspectiva que sea maacutes coacutemoda

Desde l a p erspectiva d e l a es tadiacutestica cl aacutesica ( no b ayesiana) q ue es l a de l a

memoria actual los procedimientos para realizar la inferencia pueden ser de tipo exacto

(el error real α nunca es mayor que el error nominal α) o de tipo aproximado (el error

real α puede ser mayor que el error nominal α) En el caso exacto los meacutetodos (cuando

existen) son c omputacionalmente i ntensivos requieren de pr ogramas in formaacuteticos

especiales y son poco factibles p ara t amantildeos de m uestra moderadamente g randes

(Santner et al 2007) salvo en el caso de una uacutenica proporcioacuten Esta memoria se dedica

al caso aproximado

En e l caso aproximado las i nferencias pueden e star basadas en l a d istribucioacuten

real d e l as v ariables i mplicadas ( una K-binomial) o e n l a di stribucioacuten a sintoacutetica de l

estadiacutestico utilizado pa ra l a i nferencia (usualmente l a di stribucioacuten nor mal) Las

primeras e n oc asiones de nominadas inferencias ldquoquasi-exactasrdquo (Chen 2002) o ldquocas i

exactasrdquo ( Agresti 2003) r equieren de c ierta i ntensidad de c oacutemputo y pueden e star

basadas en el p-value tradicional (Kang and Chen 2000) o e n el mid p-value (Agresti

and Gottard 2007) Las segundas generalmente denominadas inferencias asintoacuteticas o

con grandes muestras suelen ser maacutes sencillas de aplicar y algunas de ellas t ienen un

gran i ntereacutes p edagoacutegico (Agresti and C affo 200 0) Esta m emoria estaacute d edicada a l as

inferencias asintoacuteticas con la uacutenica exclusioacuten de que no s e analiza el claacutesico test de la

razoacuten de verosimilitudes La razoacuten para ello es doble Por un lado la experiencia con los

casos de la diferencia y razoacuten de proporciones indica que dicho meacutetodo funciona mal

salvo que los tamantildeos de muestra sean muy grandes (que es donde todos los meacutetodos

PROacuteLOGO XV

van bien) por otro el meacutetodo requiere de una cierta intensidad de coacutemputo (y uno de

los objetivos de esta memoria es obtener meacutetodos sencillos de utilizar)

Esta memoria tiene dos obj etivos P or un l ado proponer nue vos m eacutetodos

asintoacuteticos de tipo claacutesico para la realizacioacuten de inferencias de dos colas acerca de una

combinacioacuten lineal de K proporciones binomiales independientes Por otro seleccionar

el meacutetodo oacuteptimo de entre las nuevas propuestas y las proporcionadas por la literatura

con eacutenfasis especial en los meacutetodos de menor intensidad de coacutemputo

Con r especto a l as ap ortaciones p raacutecticas ( la s eleccioacuten d el m eacutetodo oacute ptimo)

conviene sentildealar que toda la memoria estaacute basada en el claacutesico criterio de Armitage el

valor p de cualquier test asintoacutetico de dos colas es el doble del valor p del mismo test

asintoacutetico de una cola (en l a di reccioacuten de m enor va lor p) U na opc ioacuten a lternativa

consistiriacutea en aplicar el criterio de Mantel (1974) seguacuten el cual el valor p del test de dos

colas es l a s uma d e l os valores p de dos t ests d e una c ola ( uno e n ba se a l resultado

observado ot ro e n ba se al r esultado de la o tra c ola q ue es t an ex tremo o m aacutes q ue el

observado) En nuestro caso multidimensional el criterio debe modificarse en el sentido

siguiente Si el valor observado es L gtλ (por ejemplo) entonces el valor simeacutetrico de la

otra cola seraacute Lprime=λminus( L minusλ) = 2 λminus L si el mismo es liacutecito (es decir s i estaacute entre Bminus y

B+) entonces el valor p es el de Armitage si no lo es entonces el valor p seraacute solo el

del test de una cola De un modo maacutes formal si z alude a una variable aleatoria normal

tiacutepica y zexp alude al valor observado del estadiacutestico de contraste entonces el valor p por

el meacutetodo de Armitage (lo claacutesico) seraacute 2timesPr zgezexp en tanto que por el meacutetodo de

Mantel el valor p seraacute el anterior solo si 2λminusB+le L le2λminusBminus pues su valor es de solo Pr

zgezexp e n ot ro caso La r azoacuten d e q ue es ta m emoria ex cluya el p rocedimiento d e

Mantel es que hemos comprobado que el mismo no mejora ninguna de las conclusiones

obtenidas

Esta m emoria estaacute o rganizada co mo s igue E n el C apiacutetulo I s e abordaraacuten l os

aspectos teoacutericos del caso general de K proporciones y los aspectos praacutecticos del caso

Kge3 En los Capiacutetulos II y III se abordaraacuten los aspectos teoacutericos y praacutecticos de los casos

de la diferencia y razoacuten de dos proporciones respectivamente (ambos pertenecientes al

caso K=2) reservando el Capiacutetulo IV para el resto de los casos con K=2 Finalmente en

el Capiacutetulo V se abordaraacuten los aspectos teoacutericos y praacutecticos del caso de una proporcioacuten

(K=1) S e nos va a disculpar que a fin d e que l os c apiacutetulos p uedan l eerse

XVI INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K PROPORCIONES INDEPENDIENTES

independientemente determinados razonamientos y descripciones se repitan en muchos

de ellos (llegando a ser excesivamente reiterativos)

Adicionalmente e l C apiacutetulo V I a borda br evemente ( sin i ntencioacuten de e fectuar

aportaciones de r elevancia) el cas o d el co nocido p araacutemetro d e l a r azoacuten de l pr oducto

cruzado ( odds-ratio) D e un m odo obj etivo tal paraacutemetro no de beriacutea incluirse en l a

memoria por no s er susceptible d e s er analizado d esde l a p erspectiva act ual (una

combinacioacuten l ineal de pr oporciones) s in e mbargo he mos pr eferido h acerlo d ada s u

importancia su relacioacuten con los casos de dos proporciones y porque participa de ciertas

singularidades comunes a los casos de la diferencia y la razoacuten

Finalmente debe sentildealarse que como las selecciones realizadas en esta memoria

se b asan en un gran nuacute mero de t ablas -imposibles d e e xplicitar a l completo- en el

Apeacutendice final d e la mis ma se r ecogen s olo l as tablas maacutes imp ortantes E l le ctor

interesado puede solicitar al autor las tablas completas

CAPIacuteTULO I

K=CUALQUIERA Y CASO Kge 3

I1 INTRODUCCIOacuteN

En los uacuteltimos antildeos han tomado gran importancia (Tebbs amp Roths 2008) las

inferencias acerca de una combinacioacuten lineal L=ipi de varias proporciones binomiales

independientes pi (es decir inferencias basadas en la toma de muestras independientes

de las poblaciones objetivo) especialmente en el aacutembito de las Ciencias de la Salud

Tabla I1

Tabla 2timesK para muestras independientes

Muestras SIacute NO Total Coeficientes

1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2

hellip hellip hellip hellip hellip

K xk yk nk βk

Total a1 a2 n

Los datos obtenidos en este tipo de estudios suelen presentarse en el formato de

la Tabla I1 en donde SIacuteNO alude a la presencia o ausencia de la caracteriacutestica que se

estudia ix ( iy ) es el nordm de individuos de entre los in (tamantildeo de muestra) que siacute (no)

presentan la caracteriacutestica βi son los coeficientes de la combinacioacuten lineal (que

habitualmente son conocidos y distintos de 0) 1a =xi ( 2a =yi) es el total de individuos

que siacute (no) presentan la caracteriacutestica y finalmente n =ai=ni es el tamantildeo total de la

experiencia Las variables aleatorias xi siguen distribuciones binomiales independientes

( )i iB n p con 12i K en donde ip es la proporcioacuten (desconocida) de individuos

de la poblacioacuten i que presentan la caracteriacutestica en estudio

2 INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K

PROPORCIONES INDEPENDIENTES

La combinacioacuten lineal L puede ser en unas ocasiones un contraste (i=0) y en

otras puede no serlo (i0) En funcioacuten de la situacioacuten interesaraacute realizar un test o un

IC para L Como el test puede realizarse a traveacutes del IC y el IC puede obtenerse

mediante la inversioacuten del test en lo que sigue se utilizaraacute la perspectiva que sea maacutes

coacutemoda

Histoacutericamente la atencioacuten se ha centrado en los casos con K2 especialmente

en el aacutembito de las investigaciones meacutedicas Ejemplos praacutecticos son el caso de los

ensayos cliacutenicos (que comparan dos tratamientos en funcioacuten de su respuesta

usualmente el eacutexito del tratamiento en donde K=2) el caso de estudios epidemioloacutegicos

(que tratan de ver la relacioacuten entre un factor de riesgo y una enfermedad o efecto

indeseado en donde tambieacuten K=2) o el caso maacutes frecuente de las inferencias acerca de

una uacutenica proporcioacuten (en donde K=1) Cuando K=2 los objetivos pueden ser varios

Realizar inferencias sobre la diferencia d=p2p1 de dos proporciones (es decir

sobre L para 1=1 y 2=+1) Newcombe (1998) Agresti amp Caffo (2000) Kang

amp Chen (2000) Martiacuten amp Herranz (2003) Brown amp Li (2005) Santner et al

(2007) etc

Realizar inferencias sobre la razoacuten R=p2p1 de dos proporciones (es decir sobre

H0 L=p2Rp1=0 para 1=R y 2=+1) Chan (2003) Agresti (2003) Dann amp

Koch (2005) Price amp Bonett (2008) etc

Realizar inferencias sobre una combinacioacuten lineal L=2p2+1p1 de dos

proporciones (en los ensayos de no-inferioridad con 1lt0) Phillips (2003) y

Martiacuten amp Herranz (2010)

Cuando K=1 (con lo que puede hacerse 1=1) el objetivo seraacute realizar inferencias sobre

la uacutenica proporcioacuten p1 Agresti amp Coull (1998) Newcombe (1998) Brown et al (2001)

Agresti amp Caffo (2000) etc

Los casos con Kgt2 son bastante menos habituales pero aunque en los uacuteltimos

antildeos se les estaacute prestando maacutes atencioacuten dado su gran intereacutes praacutectico (Newcombe 2001

Price amp Bonett 2004 Schaarschmidt et al 2008 Tebbs amp Roths 2008 Agresti et al

2008 Zou et al 2009) el problema solo se ha abordado desde el punto de vista de los

IC obtenidos por el meacutetodo claacutesico de Wald


3

Este capiacutetulo tiene dos finalidades Desde el punto de vista teoacuterico se analizaraacute

el caso de una combinacioacuten lineal de proporciones para cualquier valor de K Desde el

punto de vista praacutectico se seleccionaraacute el mejor meacutetodo para realizar inferencias en el

caso de Kgt2 (en realidad en los casos de K=3 o 4) El resto de casos es decir cuando

Kle2 se analizaraacuten especiacuteficamente en los capiacutetulos siguientes (pues ellos tienen un

intereacutes praacutectico extra)

I2 NOTACIOacuteN

I21 Generalidades y estadiacutestico base

Sean K variables aleatorias binomiales independientes xi~B(ni pi) con i=1 2hellip

K y sea L=ipi el paraacutemetro de intereacutes (con las proporciones pi desconocidas y los

paraacutemetros βi usualmente conocidos y distintos de 0) Sea i iL p con ip =xini las

proporciones muestrales Como el estadiacutestico L es asintoacuteticamente normal con media

y varianza las indicadas a continuacioacuten

2di i i i i i i iL p N p p q n

en donde qi=1ndashpi entonces para contrastar H0 L= vs H1 L hay que comparar del

modo claacutesico el valor experimental del estadiacutestico

2

22expi i i i

Lz

p q n

(11)

con 22z (en donde z2 es el percentil (1ndashα2)100 de la distribucioacuten normal tiacutepica)

El IC (1ndashα) para L se obtiene invirtiendo el test es decir despejando λ en la ecuacioacuten

2 22exp z z En particular si las proporciones pi no dependen de entonces el IC tendraacute

la forma

L L plusmn 22 i i i iz p q n (12)

Las expresiones (11) y (12) no tienen utilidad praacutectica alguna hasta que las

proporciones pi desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten de las mismas Como



tal estimacioacuten puede realizarse por muy diferentes caminos y los meacutetodos de tests que

se obtienen son muy variados en la literatura en esta seccioacuten se van a definir -sin

justificar- todos ellos a fin de homogeneizar la notacioacuten maacutes adelante se proporcionaraacuten

todas las justificaciones precisas

Para lo que sigue se notaraacute por B+=0i

i

Bndash=

0i

i

y B= i Obseacutervese que

B+ndashBndash =βi Como 0le pi ip le 1 y Bndashle Ble B+ entonces Bndash L B B+ y ademaacutes se

verifica que 2 2i i| | B L B L | |

I22 Estimadores de las proporciones pi

A continuacioacuten se describen los distintos estimadores de las proporciones pi que

se utilizan a lo largo de este capiacutetulo denotando en mayuacutesculas y negrita la letra

abreviada que designaraacute el procedimiento de inferencia que proporciona cada estimador

I221 Estimadores no restringidos por H0

La opcioacuten maacutes sencilla y maacutes empleada para estimar las proporciones pi consiste

en utilizar los estimadores claacutesicos de maacutexima verosimilitud simple (es decir las

proporciones muestrales)

W (Wald) i i ip x n (13)

Una opcioacuten maacutes reciente (Newcombe 1998) consiste en sustituir las

proporciones desconocidas por el extremo apropiado del IC de Wilson (1927)

N (Newcombe-Zou) (si 0) (si 0) si

(si 0) (si 0) si i i i i

ii i i i

u l Lp

l u L

(14)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(15)


5

siendo (li ui) el IC de dos colas al 100middot(1ndashα) para la proporcioacuten pi

I222 Estimadores siacute restringidos por H0

La principal aportacioacuten que se desarrolla en esta memoria consiste en utilizar los

estimadores de maacutexima verosimilitud ip bajo H0 siguientes

E (Incondicionado exacto) ip 2i i i in C R C (16)

en donde 2 2 2 22i i i i i iR n n bC C 1 2i ib p y C es la uacutenica solucioacuten distinta de 0

de la ecuacioacuten 2 0iy n B C R

Otro tipo de estimadores son los obtenidos por el meacutetodo de Peskun (1993)

P (Incondicionado tipo Peskun) 1

12

ii

i

np

donde

2B

n

(17)

Como puede suceder que el valor de ip

no esteacute comprendido entre 0 y 1 podriacutea ser

conveniente exigir que cumpla esta condicioacuten de ahiacute que los estimadores ip

tengan dos

versiones

Pa ip

= (17)

Pb ip

= (17) restringidos a estar entre 0 y 1 ( ip

=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)

I23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador

Cuando en la expresioacuten (11) se sustituye cada uno de los estimadores aludidos

en la seccioacuten anterior se obtienen los estadiacutesticos 2Wz 2

Nz 2Ez 2

Paz y 2Pbz cada uno de

los cuales dan lugar a un procedimiento de test diferente Al invertir el mismo se

obtiene un procedimiento de IC diferente En ambos casos el nombre del procedimiento

es el mismo que el del estimador que se utiliza procedimiento W N E Pa o Pb A

continuacioacuten se explicita el IC (λI λS) obtenido en cada caso (pues no es tan evidente

como el del estadiacutestico de contraste) Los dos primeros casos no presentan dificultad



pues no dependiendo de el estimador de las pi basta con utilizar directamente la

expresioacuten (12)

ICW 2

2i i i

i

p qL L z

n

(18)

ICN 2

2i i i

i

p qL L z

n

(19)

en donde ip viene dada por (14) con (li ui) el IC de Wilson para una proporcioacuten

definido por (15) y cuyas ecuaciones provienen de la expresioacuten

22 22 2

222

1

2 2i ii

i i i i i i i

p pn z zl u p z

n z n n n

(110)

Para los otros casos hay que realizar ciertas operaciones (detalladas maacutes

adelante) que llevan a los siguientes IC

ICE Las uacutenicas dos soluciones (λI λS) de la ecuacioacuten

222 Signo 0 iy n L B L z L R (111)

con 22 2 4 4 22 22 1 2i i i i i i R n L z n p L z y I SB L

B Si no existe solucioacuten λI (λS) entonces λI=Bndash ( λS=B+ )

ICPa 2

2 2 22 2 2

2 22

2

2 2 i

i

B LBz z n znL L

n z n n n n

(112)

ICPb 22 2 22

2 2 22 2 2 2

2

2

2 2

nBz z n nzn B LL L S n

n nz n n n

(113)

con 2i

I i

Sn

i

I

n n e 1

2i

i

| |I i | B n

n


7

El problema con este uacuteltimo IC es que su obtencioacuten puede requerir aplicar variar veces

la expresioacuten (113) Para obtener el IC anterior es preciso realizar los pasos siguientes

1 Hacer I=1 2hellip K y obtener los dos valores λI y λS que proporcionan la

expresioacuten (113)

2 Si λI y λS verifican la expresioacuten 2i iB | | n n iI el proceso finaliza

3 En otro caso el extremo que haya fallado hay que obtenerlo de nuevo para un

nuevo conjunto I que se obtiene eliminando del anterior todos los valores r tales

que r r i I i i| | n min | | n

4 Asiacute sucesivamente hasta que el proceso finalice es decir hasta que λI y λS

verifiquen la expresioacuten 2i iB | | n n en todos los valores iI con I el

conjunto asociado al valor λI o λS considerado

I24 Modificacioacuten de los datos muestrales y meacutetodos de inferencia que se obtienen

Las foacutermulas anteriores pueden utilizarse en base a los datos originales (xi yi

ni) o en base a los datos incrementados en una cantidad determinada hi es decir en base

a los datos modificados (xi+hi yi+hi ni+2hi) Este incremento tiene su origen en los

meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald que consisten en aplicar el claacutesico procedimiento W a los

datos incrementados en una cierta cantidad (lo que para el caso de una proporcioacuten

veniacutea sugerido por el hecho de que el centro del intervalo ldquoadjustedrdquo Wald coincide con

el centro del intervalo de Wilson) La razoacuten de este modo de proceder radica en la

reconocida mala actuacioacuten del procedimiento W por lo que el objetivo de este

incremento es mejorar su comportamiento

A continuacioacuten se denotan los valores posibles del incremento hi y el diacutegito (en

negrita) que lo identificaraacute

0 hi=0 (claacutesico)

1 hi=2K (Price amp Bonett)

2 hi=2

2z 2K



3

22

22

11 si 1

con I en el extremo inferior 22

0 en otro caso

11 si 1

con S en el extremo superior 22

0 en otro caso

iii

i I

i

iii

i S

spz I K

K

hs

pz S K

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s

Existen otros posibles incrementos que se descartan aquiacute pues la literatura o nuestros

propios resultados aludidos maacutes abajo han demostrado que no mejoran a los anteriores

Cada uno de los 4 incrementos anteriores (0 1 2 y 3) puede aplicarse a cada uno

de los 5 procedimientos de la seccioacuten anterior (W N E Pa y Pb) dando lugar asiacute a 20

meacutetodos de inferencia distintos en lo que sigue ellos seraacuten notados por la letra del

procedimiento y el diacutegito del incremento correspondiente W0 W1 W2 W3 N0

Pb3

I3 RESULTADOS DE LA LITERATURA

I31 Resultados teoacutericos

I311 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald

El meacutetodo de inferencia maacutes simple y conocido consiste en sustituir las

proporciones pi por la expresioacuten (13) (estimador no restringido a H0 L=) Esto da

lugar al claacutesico estadiacutestico de Wald

2

22Wi i i i

Lz

p q n

(114)

y al claacutesico IC de Wald dado por la expresioacuten (18) ambos son los notados aquiacute de

modo geneacuterico por meacutetodo W0

Price amp Bonett (2004) comprueban heuriacutesticamente que el meacutetodo W0 mejora

sustancialmente si se le aplica a los datos incrementados en hi=2K es decir si se aplica el

meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald W1 El procedimiento es compatible con lo aconsejado por

Agresti amp Coull (1998) para el caso de una proporcioacuten y por Agresti amp Caffo (2000) para

el caso de la diferencia de dos proporciones

Schaarschmidt et al (2008) comprueban el comportamiento del procedimiento


9

W aplicado a los datos incrementados en las cantidades hi=1 y hi=05 seleccionando la

primera opcioacuten Estos autores no evaluacutean la propuesta de Price amp Bonett pues seguacuten sus

resultados (que no muestran) el meacutetodo W1 se comporta de forma maacutes liberal que el caso

de hi=1 cuando Kge6 y α=5 Sin embargo su anaacutelisis se centra en el caso de las

comparaciones muacuteltiples algo que no cae dentro de los objetivos de esta memoria y Price

and Bonett siacute presentaron datos de que el meacutetodo W1 es mejor que el basado en hi=1

I312 Meacutetodos de tipo bayesiano

Aparte del meacutetodo claacutesico W0 existen en la literatura otros procedimientos

Tebbs amp Roths (2008) proponen sustituir los Kndash1 paraacutemetros perturbadores por unos

estimadores de tipo bayesiano reparametrizando el estadiacutestico de intereacutes L y

generalizando el trabajo de Beal (1987) (que se centroacute en el caso particular de K=2)

Aunque este tipo de estimadores no se veraacuten en este trabajo siacute se tendraacuten en cuenta las

comparaciones que hacen los autores con respecto a los meacutetodos utilizados desde la

perspectiva claacutesica

I313 Meacutetodo de tipo Newcombe

Wilson (1927) indicoacute que el IC asintoacutetico para una uacutenica proporcioacuten p es la

solucioacuten de la ecuacioacuten 2 1p p z p p n Si esta foacutermula se aplica a cada una

de las proporciones pi actuales entonces las ecuaciones a resolver proporcionariacutean los

liacutemites li y ui para cada i=1hellip K dados por la expresioacuten (110) Tanto Newcombe

(2001) para K=2 y 4 y i=0 como Zou et al (2009) para cualquier valor de K y de i

proponen sustituir en el IC (12) las proporciones desconocidas pi por los valores

definidos a partir del IC de Wilson lo que lleva al ICN de la expresioacuten (19) Aunque la

propuesta inicial es de Newcombe son Zou et al los que proporcionan una justificacioacuten

de la misma (que a continuacioacuten se explica con maacutes detalle) La clave es la expresioacuten

2V Σ Vi iL p Si se conociera el valor del estimador V iˆ p entonces L L

22 Σ V i i

ˆz p en donde V iˆ p deben obtenerse en las cercaniacuteas de los extremos del



IC Como asintoacuteticamente 2 Vi i iˆp p z p =(li ui) entonces V i

ˆ p

2 22i i p l z o 2 2

2i i p u z seguacuten que pi=li o pi=ui Pero como en el hipercubo

i il u la funcioacuten L=ipi alcanza los valores extremos Miacuten L=0 0i i

i i i il u

y

Maacutex L=0 0i i

i i i iu l

entonces los valores de V iˆ p se calculan en pi=li (si igt0) y

en pi=ui (si ilt0) para obtener el extremo inferior de L y en pi=ui (si igt0) y en pi=li (si

ilt0) para obtener el extremo superior de L De ahiacute que

22 22 2

0 0

22 22 2

0 0

maacutex

miacuten

i i

i i

i i i i i i i i i i i i


p u p l p l u

L Lp l p u p l u

(115)

en donde las segundas expresiones son las originales de Zou et al y las primeras son

una adecuacioacuten (personal) al formato de Newcombe Maacutes adelante se veraacute que esta

expresioacuten es la misma que la (19)

I32 Resultados praacutecticos

I321 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten

En general con el fin de realizar comparaciones entre los distintos meacutetodos la

mayoriacutea de los autores evaluacutean los IC obtenidos por cada meacutetodo al 100(1) a traveacutes

de los paraacutemetros recubrimiento real R y longitud l del intervalo para unos valores

fijados de pi El recubrimiento R del intervalo se define como

1 2

1 2

1 20 0 0 1

Ki i i

K

n n n Ki x n x

i i Kx x x i i

nR p q I x x x

x

(116)

en donde I(x1 x2 xK)=1 si el IC (λI λS) que ocasionan las observaciones (x1 x2 xK)

contiene a L=ipi e I(x1 x2 xK)=0 en otro caso es decir si L(λI λS) Dado que R es

una probabilidad entonces 0leRle1

La longitud l del intervalo se define como

1 2

1 20 0 0 1

K

i i i

K

n n n Ki x n x

i i S Ix x x i i

nl p q

x

(117)


11

Como I SB B y I S entonces 0 l B B

Para cada par de valores (ni i) los diversos autores generan aleatoriamente un

gran nuacutemero N de conjuntos de pi a partir de una distribucioacuten uniforme [0 1] calculando

el IC para cada L por el meacutetodo a evaluar y con una confianza que generalmente es del

95 A continuacioacuten calculan para cada meacutetodo todos o algunos de los siguientes

paraacutemetros la media de R (Rmean= jR N 100) la media de l

(lmean= jl N ) el miacutenimo valor de R (Rmin= j jmin R 100) correspondiendo el

subiacutendice j a cada repeticioacuten (j=0 1hellip N) y el porcentaje de veces (Rlt93) en que Rjlt93

(a fin de controlar el nuacutemero de veces en que el meacutetodo es demasiado liberal)

Lo deseable en general es que Rmean sea del 95 en promedio (el meacutetodo seraacute

conservador si Rmean es mayor que 95 siendo liberal en otro caso) que Rmin sea lo

maacutes cercano posible al 95 y que Rlt93 y lmean sean lo maacutes pequentildeos posible

I322 Conclusiones de la literatura

Las conclusiones obtenidas a partir de las diversas comparaciones efectuadas por

los distintos autores pueden resumirse del siguiente modo

1) Price amp Bonett (2004) comparan el meacutetodo claacutesico de Wald W0 con la propuesta de

Laplace (hi=1) recogida por Good (1983) para K=1 y Greenland (2001) para K=2 y el

meacutetodo adjusted Wald W1 que ellos proponen Entre sus resultados observan que

W1 se comporta mucho mejor que los otros dos procedimientos y entre estos dos

uacuteltimos es mejor el basado en hi=1 que el claacutesico W0 (algo que tambieacuten comproboacute

Greenland 2001 para K=2) Estas conclusiones ademaacutes se extienden para cualquier

valor de K demostrando que no hay ejemplos donde W1 sea inferior a los otros dos

meacutetodos comparados

2) Schaarschmidt et al (2008) comparan los meacutetodos basados en hi=05 hi=1 y el

claacutesico de Wald W0 hacieacutendolo tanto desde el punto de vista general como

evaluando maacutes detalladamente coacutemo influye las proporciones pi en el valor del

recubrimiento Omiten del anaacutelisis el meacutetodo W1 pues dicen haber comprobado que

tiene un comportamiento maacutes liberal que el basado en hi=1 para Kge6 (pero no



muestran esos datos) Entre las conclusiones particulares acerca de las proporciones

pi obtienen que cuando estas son cercanas a 0 o 1 los meacutetodos basados en hi=05 y

hi=1 son conservadores mientras que W0 es bastante liberal en algunos casos Por el

contrario si pi es cercana a 05 el recubrimiento en todos los casos es cercano al 95

nominal En general el incremento hi=1 es maacutes conservador mientras que el hi=05

tiende a ser liberal Su conclusioacuten es que puede ser recomendado el incremento hi=1

como la opcioacuten maacutes conservadora para tamantildeos de muestra moderados (nigt40) Si

los tamantildeos de muestra son maacutes pequentildeos hay un escaso porcentaje de casos en los

que el recubrimiento se acerca al nominal En esta situacioacuten (nile40) el incremento

hi=05 tiene un mejor comportamiento (incluso para tamantildeos de muestra grandes

alcanza en un porcentaje alto de ocasiones un recubrimiento aceptable comparado

con el hi=1) Adicionalmente los autores concluyen algo bien conocido que el

meacutetodo W0 es bastante liberal tanto para tamantildeos de muestra pequentildeos como para

tamantildeos de muestra grandes Finalmente sus resultados sentildealaron que todos los

meacutetodos obtienen ligeramente peores resultados cuando Kge6 siendo este efecto maacutes

pronunciado en el caso de W0

3) Tebbs amp Roths (2008) realizan una comparacioacuten entre 3 nuevos IC de tipo bayesiano

-H (basado en los estudios de Haldane) JP (basado en Jeffreys-Perks) y EB

(Empirical Bayesian MLE)- y los meacutetodos W0 W1 y el basado en hi=1 Sus

resultados indican que los nuevos intervalos tienen habitualmente un recubrimiento

inferior al nominal aunque en el caso de EB el recubrimiento es a menudo muy

cercano al 95 Por otro lado los meacutetodos W1 y el basado en hi=1 tienen un

comportamiento bastante bueno cuando K=3 o 4 cuando K=5 W1 puede ser algo

conservador aunque no demasiado En lo que se refiere a la longitud media los

nuevos meacutetodos proporcionan intervalos algo maacutes estrechos en general que los casos

hi=1 y W1 que son muy similares entre siacute Con respecto al recubrimiento miacutenimo

los casos hi=1 y W1 son sorprendentemente constantes siendo los nuevos intervalos

los que tienen valores de recubrimiento miacutenimo muy bajos De entre los 3 nuevos

intervalos el EB parece la mejor opcioacuten pues mantiene el recubrimiento real

cercano al nominal posee un recubrimiento miacutenimo maacutes adecuado que el resto y

proporciona una longitud media miacutenima

4) Zou et al (2009) basaacutendose en Newcombe (2001) para un contraste con K=4

comparan el meacutetodo W1 de Price amp Bonett con su propuesta N0 basada en el IC de


13

Wilson Su conclusioacuten es que para K=3 el meacutetodo N0 proporciona intervalos de

confianza estrechos y con recubrimiento medio cercano al recubrimiento nominal del

95 En cuanto al miacutenimo recubrimiento el procedimiento W1 el que tiene mejores

resultados que N0 Para K=4 N0 mejora sustancialmente en teacuterminos del

recubrimiento medio y de la anchura del intervalo no asiacute en cuanto al recubrimiento

miacutenimo en el que sigue destacando W1 Los resultados se mantienen a un nivel del

90 y del 99 En conclusioacuten el meacutetodo N0 se puede considerar como un meacutetodo

competitivo que aporta buenos resultados frente al procedimiento W1

I4 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO


coherente

Cualquier estadiacutestico zexp debe verificar ciertas propiedades para que sea uacutetil en la

inferencia Tales propiedades son las de convexidad espacial y convexidad parameacutetrica

que se justifican a continuacioacuten

La convexidad espacial fue propuesta por Barnard (1947) para el caso de las

tablas 22 quien indicoacute la conveniencia de que las regiones criacuteticas para el test claacutesico

de la diferencia (H0 p2p1=0) sean convexas Esto implica que el estadiacutestico zexp

utilizado debe ser creciente en 2p y decreciente en 1p aunque tales crecimiento o

decrecimiento no tienen que ser estrictos Roumlhmel amp Mansmann (1999 b) justificaron

que lo mismo debe suceder en el caso maacutes general de H0 p2p1= Por tanto en el caso

actual de una combinacioacuten lineal de proporciones (H0 L=) deberiacutea ocurrir que el

estadiacutestico zexp utilizado sea creciente en las ip con βigt0 y decreciente en las ip con

βilt0

En cuanto a la convexidad parameacutetrica Roumlhmel amp Mansmann (1999 a)

sentildealaron tambieacuten que el p-valor para el test de superioridad en el caso de la diferencia

(H0 dleδ vs H1 dgtδ) debiacutea ser creciente en δ De modo general para el test actual de

H0 L= vs H1 L el p-valor debe ser creciente en λ cuando L gtλ y decreciente en λ

cuando L ltλ lo que implica que el estadiacutestico zexp tiene que ser decreciente en λ

(convexidad parameacutetrica en ) La verificacioacuten de tal propiedad es la que garantiza que



la inversioacuten del test mediante la igualdad 2 22 expz z sea equivalente a resolver la

igualdad 2 22exp z z y proporcione un IC para λ que no presente huecos De modo

similar para que el IC para βi sea coherente es preciso que zexp sea creciente en βi

(convexidad parameacutetrica en βi)

Las tres propiedades descritas pueden resumirse en la expresioacuten siguiente

exp exp exp0 si 0 0 0

0 si 0i

ii i

dz dz dz

dp d d

(118)

I42 Redefinicioacuten del meacutetodo de Newcombe-Zou

Ya se vio en la seccioacuten I313 que en el meacutetodo de Wilson ocurre que

2 22i i i i ip p z p q n sustituyendo en la primera expresioacuten de (115) se obtiene

nuestro formato alternativo para el ICN dado por la expresioacuten (19) Operando en eacutel es

inmediato ver que el estadiacutestico de test tendraacute la forma

2 2

2

2 2

si lt

si gtN

L R Lz

L R L

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i

u u l l l l u uR = y R =

n n n n

lo cual da lugar al planteamiento resentildeado en la seccioacuten I221 alusivo al estimador ip

de la expresioacuten (14)

La ventaja de nuestro formato es que el mismo es vaacutelido tanto si son iguales los

errores empleados para el IC de Wilson y para la inferencia sobre L como si son

distintos Por el contrario los formatos claacutesicos exigen que ambos errores sean el

mismo

I43 Nuevo procedimiento y estimador E (meacutetodo de las marcas)

Cuando Kle2 los meacutetodos basados en el estimador de maacutexima verosimilitud ip


15

(bajo H0) tienen un gran predicamento (Wilson 1927 Roebruck amp Kuumlhn 1995 Chan

1998 Martiacuten amp Herranz 2004) y son equivalentes al meacutetodo de las marcas (como se

veraacute) Sin embargo la propuesta no se ha extendido al caso de Kgt2 Ese es el objetivo

actual

I431 Estimadores de maacutexima verosimilitud

La probabilidad restringida a H0 L=λ es Pr (x1hellip xK λ=βipi)= i i ii x n xi i

i

np q

x

con K i K i i Kp p Para obtener los estimadores de maacutexima verosimilitud

basta con maximizar la funcioacuten =ln P(x1hellip xK | λ=βipi) xi ln pi+(nindashxi) ln(1ndashpi)

En el caso de que L los estimadores de maacutexima verosimilitud ip son iguales a los

estimadores claacutesicos ip (no restringidos a H0) En cambio si L ip seraacuten las

soluciones de la ecuacioacuten d dpi=0 Por lo que

0 i i i K K KK K K

i i i K i i K i i i K K

n p p n p pdpdi

dp p dp p p p p q p q

ie

i i ii i i i

i i i i i i i

n p pn p n qC i

p q p q

(119)

con C una constante que estaacute por determinar De lo anterior se deduce que el estimador

seraacute ip 2i i i in C R C con 2 2 2 22i i i i i iR n n b C C y 1 2i ib p

Para ver cuaacutel de las dos soluciones ip o ip es la adecuada hay que tener

en cuenta que 22i i iR n C pues 0 1ip con lo cual Ri gendashni+βiC ge ni+βiC

Cuando βiC gt0 esto implica que 1ip lo que es imposible salvo que ip =+1

De ser asiacute es porque ip =+1 ni=βiC -por la expresioacuten (119)- y Ri=0 con lo que

i iˆ ˆp p =+1 De modo similar si βiClt0 entonces 0ip que tambieacuten es

imposible a menos que 0i iˆ ˆp p De ahiacute que la solucioacuten siempre seraacute ip

Esto quiere decir que 2 i i i i ip C n C R por lo que sumando en i y teniendo en

cuenta que i iˆ ˆL p se obtiene que C ha de ser la solucioacuten de la ecuacioacuten



y(C)=n+(Bndash2λ)CndashRi=0 (120)

Es por ello que el estimador ip viene dado por la expresioacuten (16)

La constante C se puede expresar de los siguientes modos

2 1 1i i i i i i i i iE

E i i i i i i i i

ˆ ˆ ˆn p p n p p n p pL zC

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV L K p q p q B p q

(121)

La primera igualdad se obtiene sumando en i la expresioacuten i i iˆp p 2

i i i iˆ ˆp q C n

obtenida a partir de (119) de modo que tenemos 2i i i i E

ˆ ˆL C p q n CV con

VE= 2i i i i

ˆˆ ˆp q n V L Las demaacutes igualdades se obtienen de modo similar salvo la

segunda que proviene del hecho de que 22E Ez L V

Para demostrar que la ecuacioacuten (120) tiene una solucioacuten uacutenica Cne0 cuando

L es preciso estudiar la funcioacuten y(C) Obseacutervese que y(C=0)=0 por lo que C=0 es

siempre una solucioacuten falsa de la ecuacioacuten (121) Por otro lado la ecuacioacuten dydC =

(B2λ) ndashβi(βiC+nibi)Ri=0 proporcionaraacute los extremos C de la funcioacuten y(C) De existir

los mismos ellos dan lugar a un maacuteximo puesto que 2 2 2 34 0i i i i idy dC n p q R

Por otro lado como

2 si2

2 sii

C

B m Cy( C )lim B

C B m C

entonces y(C) tiene dos asiacutentotas oblicuas de pendientes m+ y mndash y de ecuaciones y =

mplusmnC + hplusmn con

2 2i i i i ii i i

C C Ci i i

n n b Ch lim y C m C lim n C R lim

n C R

2 si1

2 sii i i

T h C +n s b

n T h C

en donde si=Signo (βi) y 0 0i i

i i iT x n x

Si denotamos por Ai = iC+nibi


17

24

0i i ii i i

i i i

n p qy C m C h s A R

s A R

(122)

pues como 2 2 24i i i i iR A n p q entonces Ri ge Ai ge plusmnAi = plusmnsiAi y por lo tanto el

denominador de la fraccioacuten anterior seraacute positivo La expresioacuten (122) indica que la

funcioacuten y(C) se encuentra siempre por debajo de las dos asiacutentotas y habraacute de tener un

maacuteximo en C C como vimos anteriormente Como ademaacutes corta al eje horizontal en

C=0 se deduce que tambieacuten debe cortar a dicho eje en otro punto C=C0ne0 que seraacute

C0gt0 (C0lt0) cuando L L Ademaacutes la solucioacuten C=C0 habraacute que buscarla

entre los cortes de las asiacutentotas con el eje horizontal h m T B y

h m n T B Finalmente como i iˆ ˆp q 14 entonces por la primera

igualdad de (121) 24 i iC L n En consecuencia puede afirmarse que la

ecuacioacuten y(C) tiene una solucioacuten uacutenica C0ne0 que estaacute comprendida entre las cotas

siguientes

20

20

Si 4

Si 4

i i

i i

L L n C T B

L n T B C L n

(123)

Una vez determinado el valor C0 entonces 20Ez C L por la expresioacuten (121)

I432 Equivalencia del planteamiento anterior y el test chi-cuadrado (o test de las

marcas)

El procedimiento E es equivalente al meacutetodo de las marcas en el que hay comuacuten

acuerdo en que produce mejores resultados que el de Wald en los casos K=1 (Agresti amp

Coull 1998) K=2 (Newcombe 1998) y en general para cualquier paraacutemetro de una

tabla de contingencia (Lang 2008) La expresioacuten siguiente demuestra que el test chi-

cuadrado de bondad de ajuste tradicional (que es la forma alternativa al test de las

marcas Lovinson 2005 y Bera and Bilias 2001) es equivalente al test actual



2 2 2

2 i i i i i i i i i i i i iexp i i i

i i i i i i i i

ˆ ˆ ˆ ˆx n p n x n q n p p n p pˆp p

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn p n q p q p q

2i i i EˆC p p C L z

Las tres uacuteltimas igualdades se deben respectivamente a la expresioacuten (119) a que

i iL p y i iˆn p y a la expresioacuten (121)

I433 Caacutelculos alternativos para el test y el intervalo

Por lo visto anteriormente el procedimiento E consiste en resolver la ecuacioacuten

y=n+(Bndash2λ)CndashRi=0 donde

2

2 2 2 22

1 2

E

i i i i i i

i i

C z L

R n n bC C

b p

(124)

Cuando el objetivo sea realizar el test (en cuyo caso λ es conocido) y L ne λ

entonces 2Ez es la uacutenica solucioacuten 2

Ez ne0 de la ecuacioacuten (124) cuando L =λ se asume

que 2Ez =0 Ademaacutes podemos calcular el valor del estadiacutestico en el formato habitual

2

22Ei i i i

Lz

ˆ ˆp q n

con 2i i i i ip n C R C (125)

La buacutesqueda del valor 2Ez se ve facilitada si se tiene en cuenta que

2

22

si4

siE

i i

T L B LLz

n n T L B L

con

0 0i i

i i iT x n x

(126)

Si se sustituye C por 2Ez L en la expresioacuten (120) y se multiplica por

L se obtiene la siguiente ecuacioacuten maacutes general

f=n L +(B2) 2Ez Signo L iR =0 (127)


19

con 22 2 4 22i i i E i i i ER n L z n b z L por tanto el estimador de maacutexima

verosimilitud ip seraacute (en este nuevo formato) ip =ni L + 2i Ez Signo L

iR 2 2i Ez Resolviendo f=0 se obtiene el valor de 2

Ez

Alternativamente si el investigador desea soacutelo saber si el test es significativo

al error α sin realizar demasiados caacutelculos no es preciso resolver la ecuacioacuten

(124) En efecto como se decidiraacute H1 cuando 2 20 2E z C L z entonces el test

seraacute significativo si 20 2C z L o 2

0 2C z L cuando L o L

respectivamente es decir

Decidir la hipoacutetesis alternativa 21 2 0H y C z L (128)

lo que siendo debido a que y(C)ge0 entre 0 y C0 como se indicoacute maacutes arriba simplifica el

proceso enormemente (la intensidad de caacutelculos es similar a la del test claacutesico de Wald)

Otro objetivo habitual es obtener el IC de las marcas para L (λI λS) Con tal fin

el modo maacutes directo de resolverlo es a traveacutes de la expresioacuten (120) Alternativamente

como 2Ez C L entonces 2

EL z C Sustituyendo en (124) se obtiene

22 2 0E iy C n z B L C R De nuevo haciendo 2Ez = 2

2z podemos

determinar los valores C=CIlt0 y C=CSgt0 que satisfacen la ecuacioacuten anterior y calcular

22I IL z C y 2

2S SL z C Con ello λIleλleλS seraacute la solucioacuten buscada

Basaacutendose en la expresioacuten (126) puede verse que unas cotas maacutes especiacuteficas en

donde buscar las soluciones son

2

2 4i

i

L zn

I 2

22

2

z B TL

z T

222

2

z B n T L

z n T

S 2

2 4i

i

L zn

De manera similar se actuaraacute cuando el objetivo sea obtener el IC para K en

valores fijados de λ βineβK y 2Ez = 2

2z



I434 Propiedades del estadiacutestico E

Sea zexp=zE en la expresioacuten (118) y sea ψ= ip λ o βi seguacuten lo que interese

Como 2Edz d=2zE(dzEd) entonces el signo de d 2

Ez d es el mismo (distinto) que el

signo de dzEd cuando L gtλ ( L ltλ) pues entonces zEgt0 (zElt0) Esto significa que las

propiedades de convexidad (118) se verifican para zE si 2Ez verifica las expresiones

(118) cuando L gtλ o las contrarias cuando L ltλ El objetivo es por tanto calcular

d 2Ez d

Por la expresioacuten (124) se deduce lo siguiente

2 2i i i i i i i iy C y p n C R y C R A R

2 i i iy C B A R D con minus2n le DC le0

en donde la uacuteltima afirmacioacuten se debe a que 2 i i iCD B C CA R o por la

expresioacuten (124) i i i i i i iDC n R CA R n n A R con iA=ni+biβiC

pero como 2 2 2 24i i i i iR A C p q entonces Rige| iA | minus1le iA Ri le+1 y minus2nleDCle0 Como

por las expresiones (119) y (121) se deduce que Signo (C) = Signo i i iˆp p =

Signo L entonces al ser DC0 Signo (D) ne Signo (C) = Signo L

Como y=0 entonces 0dy d y y C dC d de modo que

dC d y y C y asiacute

2 2 ( )

i i i i

i i i i

dC C dC n C dC C R A

d D dp DR d DR

(129)

Finalmente como 2Ez =C( L minusλ) entonces 2 2

E Edz d z L dC d por lo

que sustituyendo en las expresiones de (129) se obtienen las igualdades siguientes

2 2( )

1Edz LC

d D

2 2 ( )1 iE

ii i

n LdzC

dp DR


21

2 ( )( )i iE

ii i

R A LdzC p

d DR

(130)

Si en estas tres expresiones se tiene en cuenta la relacioacuten (sentildealada arriba) entre los

signos de los teacuterminos C D y ( L ) asiacute como que RigeAi se deduce que 2Ez verifica las

expresiones (128) cuando L gtλ y las contrarias cuando L ltλ

I435 Aproximaciones al meacutetodo de las marcas meacutetodos de tipo adjusted Wald

La dificultad del actual meacutetodo de las marcas es que se basa en resolver por

meacutetodos iterativos la ecuacioacuten (124) bien en 2Ez (si se trata del test) o bien en λ (si se

trata del IC) Con el fin de simplificar el meacutetodo desarrollemos en serie de Maclaurin

(en C=0) el teacutermino iR

2 3

2 32

2 2i i i i i i ii i i i

i i

p q p q bR n bC C C

n n

(131)

Sustituyendo en la expresioacuten (124) y dividiendo por 2C se obtiene que

21 2 0L CV C V con 1 i i i iV p q n y 3 2

2 i ii i iV p q b n Sustituyendo

C= 2Ez L y operando se obtiene la expresioacuten 3 2 4

1 2 0E EL z L V z V

Si se retienen soacutelo los teacuterminos de O(ni)gendash1 y se divide por L se obtienen

las claacutesicas soluciones de tipo Wald (procedimiento W) de las expresiones (18) y

(114) Si se retienen soacutelo los teacuterminos de orden O(ni)gendash2 se sustituye 4Ez

221Ez L V y se divide por L entonces se obtiene 2

1L V

22 EL V z 2

1 EV z 0 De esto se deducen los siguientes estadiacutestico e IC

aproximados

2 2

2 2 22 22 2 1 22

1 11 2 1 2 2 E

L V Vz L z z V z

V VV L V V

(132)



El origen de los meacutetodos heuriacutesticos de tipo adjusted Wald es la propuesta

de Agresti amp Coull (1998) quienes demostraron que para el caso K=1 el centro del IC

de Wilson (IC de las marcas para una proporcioacuten) era igual al centro del meacutetodo

adjusted Wald propuesto por ellos (datos incrementados en 22z 2) lo que justificaba la

buena actuacioacuten del meacutetodo En base a las aproximaciones anteriores es ahora factible

demostrar que sucede aproximadamente lo mismo en el caso general de Kgt1 Para

expresar el centro 22 2 12L z V V del IC (132) en el formato tradicional de Wald

(es decir para hacerlo igual al valor L que se obtiene al incrementar los datos en hi)

hay que tener en cuenta que

2 2

2

1

1 i ii i i i i i i i

i i i i

bV p q b p q

n n nV K n

pues V2V1 es la media ponderada de βibini y ella seraacute aproximadamente igual a su

media aritmeacutetica Con ello el centro del IC (132) seraacute

2 22 2 2

1

con2 2

i i i

i

z V x hb zL h

V n K

Como el centro del IC adjusted Wald W(+ci) es L= 2i i i i ix c n c entonces

igualando ambas expresiones se obtiene que hi ha de verificar la igualdad

2i i i i i i ix h n h x hb n con lo cual hi= 2 22 22i i n z Kn z =

2i in h n h h = 22 2z K Esto da una justificacioacuten teoacuterica del nuevo meacutetodo

adjusted Wald que se denominoacute por meacutetodo W2 Obseacutervese que si α=5 el meacutetodo es

el mismo que proponen Price amp Bonett (2004) pues 2 22 2 1 96 2 2z K K K El

meacutetodo es tambieacuten compatible con los meacutetodos adjusted Wald de Agresti amp Coull

(1998) para K=1 ( 22z 2) y Agresti amp Caffo (2000) para el caso de la diferencia en K=2

( 22z 4)

Las aproximaciones anteriores son correctas solo cuando los datos observados

no pertenecen a la frontera del espacio muestral es decir cuando 0ltxiltni ( i) En otro

caso cuando ip =0 o 1 (es decir bi=1) entonces Ri=ni+biiC y el desarrollo en serie

de la expresioacuten (131) da un valor ni+biiC que no necesariamente coincide con el


23

anterior En efecto si ip =0 y iClt0 por ejemplo la expresioacuten (119) indica que

iC= i iˆn q y por tanto 0 i i i i i i i i

ˆn q C n C n bC (en donde la desigualdad se

debe a que iq 1 y la igualdad a que bi=1) por ello Ri=(ni+biiC) y no ni+biiC como

indica la expresioacuten (131) El mismo resultado se obtiene cuando ip =1 y iCgt0 La

conclusioacuten es que Ri=(ni+biiC) cuando bi=1 y biiClt0 pudiendo aplicarse en otro

caso la aproximacioacuten de la expresioacuten (131) Si con esta nueva expresioacuten se actuacutea como

al inicio de la seccioacuten se obtiene la siguiente aproximacioacuten

3 2 2 4 61 20 j j E E EN L L L B z L V z V z (133)

en donde j=1 si L j=2 si L 1 i iN I n 2 i iN S n 1 i i iB I b

2 i i iB S b Ii=1 si ip =0 y ilt0 o ip =1 y igt0 (Ii=0 en otro caso) y Si=1 si

ip =0 y igt0 o ip =1 y ilt0 (Si=0 en otro caso) Por lo tanto cuando el punto

observado cae en una de las esquinas del espacio muestral (es decir cuando bi=1) se

obtienen los siguientes resultados (que coinciden con el del meacutetodo de las marcas)

12

2

si

si E

L N B Lz

L N B L

2 2

1 2 2 22 2

1 2 2 2

N L z B N L z BL

N z N z

De modo general si en la expresioacuten (133) se actuacutea como se hizo con la

expresioacuten 3 2 41 2 0L z L V z V se obtienen los IC siguientes

2

2 221 2 12

2

42

j j j

j

zCI L B B N z V

N z

22

2 2 22 2 22 2 2 2 12

1 12

42

j j j j j

j

z V VCI L B N z B N z N z V

V VN z

En todos los casos hay que hacer j=1 y emplear el signo para obtener el extremo

inferior y hacer j=2 y emplear el signo + para obtener el extremo superior entendiendo

que V2V1=0 cuando V1=0



Procediendo como en el caso anterior si el centro de los intervalos CI1 y CI2 se

iguala al centro del IC de Wald con los datos incrementados en ih y ih

respectivamente se obtiene que

2222

22 2

2

1

2 1

ij ii

j

i

ij ii

j

nn

K N zzh

nn z

K N z

y

22

22

(1 ) si

2

(1 ) si

2

i

i

i

z I KL

Khz S K

LK

El uacuteltimo incremento da lugar al meacutetodo adjusted Wald que hemos denominado por

meacutetodo W3 Conviene ademaacutes observar que cuando 0ltxiltni (i) entonces W2=W3 y si

ademaacutes se elige =5 entonces 22 2z K 2K y W1W2 =W3

I44 Procedimiento y estimador P (en sus dos versiones Pa y Pb)

I441 Obtencioacuten del procedimiento

Otra de las propuestas de esta memoria se basa en el criterio de Sterne (1954) el

cual fue utilizado por Peskun (1993) para el caso de la diferencia d El test de las marcas

para H0 L=ipi= seraacute significativo si 2 22E z z en todos los valores pi tales que

βipi=λ por lo tanto (seguacuten Sterne) el objetivo seraacute determinar el miacutenimo valor de 2Ez o

lo que es lo mismo el valor de pi que hace maacuteximo el denominador V= 2i piqini bajo

la condicioacuten βipi=λ Como dpKdpi=iK (ineK) entonces el maacuteximo se obtiene si

1 2 1 2

0i i K KK ii i

i i i K i K K i K

p pdV V dp V V VV

dp p dp p p p n n

(ineK)

lo cual ocurriraacute cuando 1 2i i ip n (i) con γ una constante que estaacute por

determinar Como 1 2i i in p entonces sumando en i se obtiene 2n B en

donde 2 i| B | | | por la expresioacuten 2 2i i| | B L B | | Por

tanto V alcanzaraacute un extremo en los valores ip

de las proporciones pi dados por la

expresioacuten (17) lo que se corresponde con el estimador P Dicho extremo es un maacuteximo

pues 2 2 22 1 1 0i i i i K K i i Kd V dp V p V p n n y su valor


25

sustituyendo pi por ip

seraacute aV

= 2 2i i n n 4 En consecuencia el estadiacutestico de

contraste para el procedimiento P seraacute (en su versioacuten Pa)

2

222

4

2Pa

i

i

Lz

B

n n

(134)

Para que la expresioacuten (134) sea un valor vaacutelido es preciso que su denominador

22 2i in B n no sea negativo Para verlo sea f = 2 2i i n n Como

2 2 0i i idf d n cuando βini=γ y como 2 2id f d =2(nni)nnigt0 entonces f

alcanza un miacutenimo cuando βi=niγ (i) y asiacute f gei

min f=0 Haciendo 2 22Pa z z se obtiene

el IC de la expresioacuten (112)

Si en alguacuten caso el estimador verifica que ip

lt0 ( ip

gt1) parece conveniente

sustituirlo por ip

=0 ( ip

=1) para que asiacute sea liacutecito De hacerlo asiacute i ip q

=0 y esos

teacuterminos no contribuyen al valor de la nueva varianza bV

Esto proporciona el nuevo

estadiacutestico (que es igual de sencillo que el anterior)

2

22 21

con e 4

i iPb b iI I

b i i

L | |z V n I i | |

V n n

(136)

Haciendo 2 22Pb z z y despejando λ se obtiene el (1ndashα)-IC para L de la expresioacuten (113)

Obseacutervese que tal expresioacuten contiene como caso particular a la expresioacuten (112)

Por tanto se pueden considerar dos versiones la primera versioacuten Pa (en la que los

valores de ip

no estaacuten restringidos a tomar valores entre 0 y 1) y la segunda versioacuten Pb

(en la que siacute se obliga a los valores ip

a tomar un valor liacutecito que esteacute comprendido

entre 0 y 1)

I442 Propiedades del estadiacutestico Pa

El objetivo actual es verificar si el estadiacutestico Pa verifica las propiedades



resentildeadas en la expresioacuten (118) no nos preocupamos de la versioacuten Pb pues como se

veraacute maacutes tarde la misma no mejora los resultados de la versioacuten Pa Como Padz d es

proporcional a 1 2PaL dz d g

con 4 2g V L

2i i n

2 2B L B n la condicioacuten exigida se verificaraacute si gge0 Cuando (Bndash2 L ) y (Bndash

2λ) tienen signos distintos gge0 seguro En otro caso 2i ig n

2 2| B L | | B | n 2i i n 2

i| | n h por la expresioacuten anteriormente

citada de 2i| | B L 2 iB | | Derivando h en |βi| se ve que h

alcanza un miacutenimo cuando i i i| | n | | n (i) Como tal miacutenimo es 0 entonces

ghge0 y la convexidad parameacutetrica en queda demostrada

Para demostrar la convexidad espacial basta ver que Pa idz dp es proporcional a

1 2Pa i iL dz dp

cantidad que es positiva (negativa) cuando βige0 (βile0)

Desgraciadamente la convexidad parameacutetrica en i no tiene porqueacute verificarse

Ahora Pa idz d es proporcional a 1 2Pa iL dz d

que a su vez es proporcional a

f= 22 2 2i h h i ip n B L B n n Como idf dp no depende

de ip entonces f es siempre creciente o siempre decreciente lo que quiere decir que

seraacute siempre positiva si lo es en los valores extremos ip =0 o 1 Pero cuando ip =0

entonces f= 2 i iL B n n cantidad que puede ser negativa (con lo que

no se verificariacutea la convexidad) cuando 0 2 0L B y igt0 Esto es lo que

sucede en el caso (que sirve de contraejemplo) de 1=1 2=+2 =14 1p =0 y

2p =116

I45 Meacutetodos con correccioacuten por continuidad

Cox (1970) plantea la conveniencia de efectuar una correccioacuten por continuidad

(cpc en adelante) cuando la distribucioacuten de una variable aleatoria discreta (como es la

variable xi) sea aproximada a traveacutes de una variable continua (como es la variable


27

normal) Haber (1980) propone ademaacutes que una cpc debe consistir en sumar o restar a la

variable la mitad de su salto promedio En nuestro caso el estadiacutestico de contraste es L

y como B L B su salto total seraacute i y cpc vendraacute dada por la expresioacuten

2 1ic N con 1iN n el nuacutemero total de puntos del espacio

muestral

Para determinar el estadiacutestico 2expz de la expresioacuten (11) con cpc basta con

redefinirlo asiacute

2

2 si

0 si

i i i iexpc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(137)

y en el caso de querer determinar el IC de la expresioacuten (12) con cpc basta antildeadirle a la

misma el teacutermino plusmnc

L plusmn 22 i i i iz p q n c (138)

Teniendo en cuenta esta cpc cualquier estadiacutestico o IC de los definidos anteriormente

podraacute expresarse tambieacuten en versioacuten con una cpc Esto se denotaraacute antildeadieacutendole el

subiacutendice c al nombre del procedimiento o meacutetodo afectado asiacute el procedimiento W da

lugar al procedimiento Wc el meacutetodo E2 al meacutetodo E2c etc

En el caso particular del test de las marcas el estadiacutestico se obtiene cambiando el

valor 2Ez de la expresioacuten (124) por el valor 2

2Ecz L L c siendo 2

Ecz el

valor del estadiacutestico de las marcas con cpc (la incoacutegnita de la ecuacioacuten en el caso del

test) Similarmente para el IC asociado al meacutetodo de las marcas basta cambiar el valor

2Ez en la expresioacuten (124) por el valor 2

22z L | L | c y determinar sus dos

soluciones con IB L c y SL c B



I5 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO

I51 Objetivo

Como se indicoacute en el Proacutelogo la evaluacioacuten de los diferentes meacutetodos de

inferencia puede realizarse desde la perspectiva de los tests de hipoacutetesis o desde la

perspectiva de los IC puesto que los dos enfoques son equivalentes (si se realizan al

mismo error nominal α) En esta seccioacuten tal evaluacioacuten se efectuaraacute desde la perspectiva

de los IC pues asiacute es como lo hacen todos los autores (por ser estas las inferencias maacutes

habituales para L)

Los meacutetodos de inferencia a evaluar son inicialmente los 20 indicados al final de

la seccioacuten I2 (los meacutetodos W0 W1 W2 W3 N0 Pb3) lo que incluye las propuestas

maacutes relevantes de la literatura de ellos 17 son meacutetodos nuevos (los denominados en

esta memoria por W2 W3 N1 N2 N3 E0 E1 E2 E3 Pa0 Pa1 Pa2 Pa3 Pb0 Pb1

Pb2 Pb3) Adicionalmente se han evaluado otros meacutetodos nuevos de menor intereacutes

(ver la seccioacuten I53) En todo caso el objetivo es seleccionar el meacutetodo o meacutetodos

oacuteptimos (bajo los criterios que se especificaraacuten) Una vez realizada esa seleccioacuten

inicial se evaluaraacuten comparativamente esos meacutetodos seleccionados con los meacutetodos

con cpc a que dan lugar


seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo

Para efectuar la evaluacioacuten anterior se va a realizar un estudio de simulacioacuten en

cada una de las siguientes combinaciones de los paraacutemetros (a K ni bi)

=5 (aunque en ocasiones especiales tambieacuten se contemplaraacuten los errores del 1 y

del 10)

K=3 (n1 n2 n3) = (10 10 10) (30 30 30) (30 10 10) y (30 20 10) (1 2 3) =

(13 13 13) (1 12 12) (1 12 2) y (1 1 1)

K=4 (n1 n2 n3 n4)=(10 10 10 10) (20 20 20 20) (20 20 10 10) y (20 15 10 5)

(1 2 3 4) = (14 14 14 14) (1 +1 1 +1) (13 13 13 1) y (3 1 1 3)

El proceso de simulacioacuten consistiraacute en lo siguiente

1) Fijar una combinacioacuten (a K ni bi meacutetodo a evaluar)


29

2) Para cada punto del espacio muestral (x1 x2hellip xK) obtener el IC (I S) para L al

(1ndash)100 de confianza

3) Generar K valores de una distribucioacuten uniforme [0 1] -los cuales formaraacuten el vector

de proporciones (p1 p2hellip pK)- y calcular el valor real de L para el mismo (L=ipi)

4) Calcular el recubrimiento R y la longitud l del IC del meacutetodo a partir de las

expresiones (116) y (117) respectivamente

5) El proceso se repite 10000 veces obteniendo asiacute 10000 valores Rj y lj a partir de

los cuales se determinan -como se indicoacute en la seccioacuten I321- el recubrimiento

medio (Rmean) el recubrimiento miacutenimo (Rmin) la longitud media (lmean) y el

porcentaje de ldquofallosrdquo del meacutetodo es decir el porcentaje de casos en los que el

recubrimiento es menor del 93 (Rlt93) este uacuteltimo paraacutemetro que fue definido

por Price and Bonett (2004) para el caso de α=5 se sustituiraacute por los paraacutemetros

Rlt99 y Rlt86 (definidos de modo similar) en los casos de α=1 y α=10

respectivamente a fin de que lo que se entiende por un ldquofallordquo sea relativo al error

real

Para seleccionar el meacutetodo oacuteptimo asumimos las siguientes reglas de actuacioacuten

(a) El primer paso seraacute eliminar aquellos meacutetodos que sean demasiado liberales es

decir los que tengan un valor excesivo del paraacutemetro Rlt93 (pues no tiene intereacutes un

meacutetodo que tenga muchos ldquofallosrdquo)

(b) De los meacutetodos que resten se seleccionaraacute aquellos que teniendo un valor de Rlt93

pequentildeo su valor de Rmean sea proacuteximo al 95 prefiriendo los meacutetodos

conservadores (Rmeangt95) sobre los liberales (Rmeanlt95) Hay que tener en

cuenta que de nada sirve un meacutetodo tan conservador que (Rlt93)=0 y

Rmean=100 (por aludir a un caso extremo)

(c) De entre los meacutetodos que resten se seleccionaraacuten aquellos en los que Rmin sea

grande (y cercano al nominal) y lmean sea pequentildeo

(d) Finalmente si sigue habiendo maacutes de un meacutetodo seleccionado se preferiraacute aquel

que sea maacutes sencillo de aplicar (es decir el que requiera de menos caacutelculos)

Dado que el nuacutemero de meacutetodos es excesivo (los 20 aludidos en la seccioacuten

anterior y algunos maacutes que se han ensayado) la seleccioacuten se efectuaraacute por fases

seleccionando el mejor de cada familia de meacutetodos (es decir de cada procedimiento) y



comparando al final entre siacute todos los seleccionados Con fines de comparabilidad ello

nos obliga a efectuar una simulacioacuten distinta para cada familia o grupo de meacutetodos

comparados (las 10000 reacuteplicas aludidas maacutes arriba) pero igual dentro de cada familia

o grupo lo que ocasionaraacute que algunos datos de Rmean lmean etc sean diferentes de

una tabla a otra

Adicionalmente la necesaria restriccioacuten de espacio que implica esta memoria

nos impide presentar los resultados de todos los meacutetodos comparados restringieacutendonos

exclusivamente a los 20 meacutetodos principales resentildeados arriba (los restantes estaacuten

disponibles para el lector que lo desee)

I53 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia en la versioacuten sin cpc

I531 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo W (=5)

Los datos para los 4 meacutetodos W0 W1 W2 y W3 se encuentran en la Tabla AI1

y de su anaacutelisis puede concluirse lo siguiente

El claacutesico meacutetodo W0 es muy malo por tener un altiacutesimo porcentaje de fallos

Los meacutetodos W1 y W2 fallan demasiado en algunas ocasiones (que ademaacutes

coinciden con el caso de muestras grandes) y fallan algo en muchos otros casos Por

ello y aunque son solo ligeramente conservadores deben ser rechazados

El meacutetodo W3 tiene muy pocos fallos (aunque es algo conservador)

La conclusioacuten es que el mejor meacutetodo de este grupo es el W3 (el cual es

equivalente al meacutetodo W2 cuando los datos no estaacuten en los bordes del espacio

muestral)

Adicionalmente se han evaluado diversas modificaciones de los meacutetodos

anteriores pero ninguna de ellas logra mejorar la actuacioacuten del meacutetodo seleccionado

W3 Las 8 modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) se describen a

continuacioacuten

(1) Tres meacutetodos que son aproximaciones simples o dobles de los meacutetodos que maacutes

adelante se denominan como EA1 al EA3


31

W4 hi = 2

22i

i

n z

Kn z

W5 hi =

2

22

nz

K n z

W6 hi =

2

2 22 2i

i

nn z

K n z n nz

(2) Tres meacutetodos que son aproximaciones de los meacutetodos que maacutes adelante se

denominan como EA4 y EA5 por lo que participan de su filosofiacutea hay que

determinar los valores ih y sumar a los datos una cantidad hi diferente seguacuten que se

esteacute obteniendo el extremo inferior (hacer h=1 es decir usar i1) o el superior (hacer

h=2 es decir usar i2)

W7 2

2 1ih i

ih ih

n zh

N

W8 22

22

1

2 1

ih ii

hi

ih ii

h

nn

K N zzh

nn z

K N z

(3) Dos meacutetodos que son una simplificacioacuten del W3 a fin de hacerlo maacutes faacutecil de aplicar

(ahora se suma la misma cantidad hi con independencia del extremo del CI que se

esteacute calculando)

W9

2 2

1 2

2 2

si 0 y 1 en el interior si 02 2

2 2 en otro caso es extremo en otro caso

4 4

i i i i

i

i

z zp x

K Khz K z K

x K K

W10 (nueva) 2

12

ii

i

z nh K

K n

I532 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo N (=5)

Los datos para los 4 meacutetodos N0 N1 N2 y N3 se encuentran en la Tabla AI2

De su anaacutelisis puede concluirse que deben descartarse todos los meacutetodos que utilizan los

datos incrementados (N1 N2 y N3) en tanto que puede aceptarse el meacutetodo claacutesico N0

(por no contar con excesivos fallos y ser muy ligeramente conservador) La conclusioacuten

es por tanto que el mejor meacutetodo de este grupo es el N0

Adicionalmente hemos comprobado que en las expresiones (15) o (110) del IC



de Wilson que da lugar al estimador N conviene que =5 con independencia del

error deseado para el IC para L (1 5 o 10)

I533 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo E (=5)

Los datos para los 4 meacutetodos E0 E1 E2 y E3 se encuentran en la Tabla AI3 De

su anaacutelisis puede concluirse que deben descartarse todos los meacutetodos que utilizan los

datos incrementados (E1 E2 y E3) en tanto que puede aceptarse el meacutetodo claacutesico E0

por no tener un nuacutemero excesivos de fallos (salvo a veces en el caso de muestras muy

pequentildeas) y ser unas veces ligeramente conservador y otras ligeramente liberal La

conclusioacuten es por tanto que el mejor meacutetodo de este grupo es el E0


anteriores pero ninguna de ellas logra mejorar la actuacioacuten del meacutetodo seleccionado E0

Las 5 modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) se describen a

continuacioacuten

(1) Tres meacutetodos que provienen de las aproximaciones originales obtenidas en la

seccioacuten I425 (antes de utilizar la aproximacioacuten extra que implican los meacutetodos

adjusted Wald)

EA1 2

2 22 21

1 12 2

V VL L z z V z

V V

EA2 2

2 22 2 312 2

3 1 1 1 1

1

1 2 2

V V VL L z z V z

z V V V V V

EA3 2

2 2 32 21

1 1 12 2

VV VL L z z V z

V V V

con 2 3 2 4 31 2 3 5 1

i i i ii i i i i i i i i i iV p q n V p q b n V p q p q n Al aplicar

las expresiones anteriores aparece el problema de que los cocientes V2V1 y V3V1

estaacuten indeterminados cuando todas las ip valen 0 oacute 1 en esos casos se asume que


33

3 2

22

1

i ii

i i

b nV

V n

4 3

32

1

i i

i i

nV

V n

Complementariamente en los dos uacuteltimos casos hay que actuar asiacute

EA2 Si ip =0 oacute 1 (i) (o el interior de la raiacutez es negativo) tomar como solucioacuten la

de EA1

EA3 Cuando el interior de la raiacutez es negativo tomar como solucioacuten la de EA1

(2) Dos meacutetodos que tambieacuten son aproximaciones depuradas del meacutetodo E En ambos

casos hay que determinar primero las siguientes deltas de Kronecker ih (obseacutervese

que ellas siempre valen 0 en las clases cuyas proporciones no toman valores

extremos) y luego los valores Nh y Bh (con h=1 o 2)

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 si 1 2

0 en otro caso 1 si 0 con

1 si 01 si 1 2

0 en otro caso

i ii i i i i i

iii

iii ii i i i i i

p s N n B b

s

p s N n B b

Ahora los extremos del CI se obtienen mediante las expresiones que siguen (h=1

cuando se usa el signo h=2 cuando se usa el signo +)

EA4 2

2 212

42

h h h h

h

zL L B B N z V

N z

EA5 22

2 2 22 212

1 1

42

h h h h h h

h

z V VL L B N z B N z N z V

V VN z

(en EA5 hay que entender que si V1=0 entonces V2V1=0)

I534 Seleccioacuten para los meacutetodos de tipo P (=5)

Los datos para los 8 meacutetodos Pa0 Pa1 Pa2 Pa3 Pb0 Pb1 Pb2 y Pb3 se

encuentran en la Tabla AI4 De su anaacutelisis puede concluirse que



Deben descartarse todos los meacutetodos que utilizan los datos incrementados (Pa1 Pa2

Pa3 Pb1 Pb2 y Pb3) por tener maacutes fallos que el meacutetodo Pa0 y Pb0 de los datos sin

incrementar y un valor similar o superior de Rmean

Los meacutetodos Pa0 y Pb0 son muy similares pero el primero es ligeramente mejor que

el segundo (especialmente en los valores de lmean) y es bastante maacutes sencillo

(aunque es muy conservador)

La conclusioacuten es por tanto que el mejor meacutetodo de este grupo es el Pa0

Adicionalmente se han evaluado dos modificaciones de los meacutetodos anteriores

pero ninguna de ellas logra mejorar la actuacioacuten del meacutetodo seleccionado Pa0 Las dos

modificaciones evaluadas aluden a meacutetodos que son una aproximacioacuten del meacutetodo Pa0

APa01 2

2 2

2i

i

B LzL L

n n

APa02 El APa01 basado en los datos incrementados en 22 2i i h n z n


(=1 5 y 10) caso general y caso particular de un contraste

La Tabla AI5 del Apeacutendice de Tablas presenta los resultados de los meacutetodos

seleccionados en la seccioacuten anterior (W3 N0 E0 y Pa0) para =5 (confianza del

95) A la vista de los mismos puede deducirse que

El meacutetodo N0 tiene un buen valor de Rmean cercano al 95 nominal (en promedio

es ligeramente conservador) pero falla mucho y en todas las circunstancias (pues sus

valores de Rlt93 suelen ser demasiados grandes) por lo que hay que descartarlo

Los meacutetodo Pa0 y W3 son muy conservadores (valores muy grandes de Rmean) y

muy imprecisos (valores muy grandes de lmean) aunque W3 es menos extremo en

estos dos aspectos Ambos meacutetodos fallan muy poco aunque el meacutetodo Pa0 falla

algo menos que el meacutetodo W3 Globalmente es pues preferible el meacutetodo W3 al

meacutetodo Pa0

El meacutetodo E0 tiene los mejores valores de Rmean (es maacutes equilibrado en torno al

95) de lmean (es maacutes pequentildeo que los de Pa0 y W3) y solo falla demasiado


35

cuando ni=10 ( i ) de donde se deduce que (salvo en esta uacuteltima situacioacuten) es el

mejor meacutetodo

Con el fin de matizar yo ratificar dichos resultados las Tabla AI6 y AI7 presentan los

resultados para los errores del 1 (confianza del 99) y del 10 (confianza del 90)

respectivamente Analizando las mismas puede observarse que las conclusiones

anteriores permanecen de modo general En consecuencia la seleccioacuten actual para el

caso general es la siguiente

Si ni 10 (i) W3 es el mejor meacutetodo

En otro caso E0 es el mejor meacutetodo pero una alternativa mucho maacutes sencilla es el

meacutetodo W3 (aunque es algo conservador tiene alguacuten fallo y provoca unos IC algo

maacutes amplios que los del meacutetodo E0)

Si se desea un meacutetodo que no falle casi nunca la seleccioacuten es el meacutetodo Pa0 (pero es

demasiado conservador y proporciona unos IC excesivamente amplios)

Las selecciones realizadas en el paacuterrafo anterior se mantienen para el caso de un

contraste (i=0) con el uacutenico cambio de que ahora el meacutetodo W3 praacutecticamente no

falla Los datos son los de las Tablas AI5 a la AI7 para los casos con K=3 y βi=(1ndash

12ndash12) y K=4 en las combinaciones βi=(ndash1 1ndash1 1) y βi=(ndash3 ndash1 1 3) En

consecuencia la seleccioacuten actual para el caso de un contraste es la siguiente


En otro caso E0 es el mejor meacutetodo (aunque falla algo) pero una alternativa mucho

maacutes sencilla (aunque algo conservadora y que provoca unos IC algo maacutes amplios) es

el meacutetodo W3

Si se desea un meacutetodo que no falle nunca la seleccioacuten es el meacutetodo Pa0 (pero es


I55 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los mejores de cada familia

(=5)

La Tabla AI8 presenta los resultados para K=3 y =5 para los meacutetodos E0



N0 y Pa0 sin y con cpc (meacutetodos E0 N0 Pa0 E0c N0c y Pac respectivamente) Se

excluye el meacutetodo W3 pues ya de por siacute era muy conservador (y la aplicacioacuten de una

cpc ocasionaraacute que lo sea maacutes auacuten) Como era esperable los meacutetodos con cpc tienen un

nuacutemero de fallos menor o igual que los meacutetodos sin cpc Puede observarse lo siguiente

Los meacutetodos E0 y E0c son iguales en todos los paraacutemetros salvo cuando ni=10 ( i)

en cuyo caso E0c es algo mejor que E0 por tener menos fallos Como en este uacuteltimo

caso sigue sin ser competitivo frente a W3 se deduce que el meacutetodo E0 (aun con

cpc) no tiene intereacutes

El meacutetodo N0c es ligeramente mejor que el N0 en cuanto a fallos y a Rmin

sucediendo al contrario que con respecto a los paraacutemetros Rmean y lmean Como

esto no implica que N0 mejore su actuacioacuten como para ser competitivo con los

meacutetodos oacuteptimos E0 y W3 se deduce que la cpc no tiene intereacutes en este caso

De igual modo la cpc no tiene intereacutes en el caso del meacutetodo Pa0 pues unas pocas

veces tiene un efecto beneficioso y unas pocas maacutes de veces lo tiene perjudicial

Se ve pues que en el caso K=3 la cpc solo es uacutetil para mejorar ligeramente el

meacutetodo E0 para muestras pequentildeas Como la cpc decrece fuertemente seguacuten aumenta K

se deduce que su intereacutes seraacute auacuten menor en el caso de que Kgt3 La conclusioacuten es que se

mantiene la seleccioacuten realizada anteriormente con la matizacioacuten del caso E0c

I56 Verificacioacuten de los resultados de la literatura

La literatura ha analizado algunos de los meacutetodos descritos anteriormente y

establecido conclusiones acerca de su comportamiento absoluto o relativo a otros

meacutetodos Aquiacute se trata de ratificarlas o criticarlas en base a nuestros datos Las uacutenicas

conclusiones de la literatura (las mencionadas en la seccioacuten I322) (1) Price amp Bonett

(2004) que indican que el meacutetodo W1 es mejor que el meacutetodo W0 (que tiene muy mal

comportamiento) y (2) Zou et al (2009) que indican que el meacutetodo N0 es mejor que el

meacutetodo W1 que a su vez es mejor que el meacutetodo W0 (que tiene muy mal

comportamiento)

Seguacuten nuestros resultados resumidos en la Tabla AI9 el meacutetodo W0 es

claramente un meacutetodo muy malo Respecto de la otra afirmacioacuten (que el meacutetodo N0 es

mejor que el W1) de los datos de las tablas se observa que (en funcioacuten del paraacutemetro


37

analizado que se sentildeala al inicio de cada paacuterrafo)

Rlt93 aunque W1 es casi siempre mejor que N0 en ocasiones W1 falla demasiado

por lo que debe elegirse N0

Rmin la mitad de las veces es mejor N0 y la otra mitad W1

Rmean N0 es maacutes equilibrado que W1 en K=3 pero en K=4 ocurre al reveacutes

lmean N0 es algo mejor

De ahiacute la afirmacioacuten de Zou (especialmente porque solo mostroacute los datos para K=3 y

valores de ni maacutes pequentildeos que los actuales)

I6 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

I61 Meacutetodo oacuteptimo

Por todo lo resentildeado en la seccioacuten 15 pueden establecerse las conclusiones que

se indican en el cuadro de abajo Obseacutervese que todos los meacutetodos seleccionados son

nuevas aportaciones de esta memoria

SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA K3

Si ni 10 (i) W3 es el mejor meacutetodo (seguido de E0c que es bastante menos

fiable)






I62 Foacutermulas aconsejadas para realizar la inferencia

I621 Meacutetodo E0 (el mejor salvo que ni10 i)

La expresioacuten base es



2 Signo 0iy n L Β z L R

con 22 2 2 4 22 1 2i i i i i iR n L z n p z L y 0i

i I SΒ L

0i

+iΒ

Para obtener el intervalo (en cuyo caso es desconocido) basta hacer en la

misma z=z2 y obtener las dos soluciones (λI λS) de la ecuacioacuten en Para obtener el

estadiacutestico de contraste para el test (en cuyo caso es conocido) basta obtener la uacutenica

solucioacuten 20Ez de la ecuacioacuten en z2 En la direccioacuten httpwwwugreslocalbioest

Z_LINEAR_KEXE puede obtenerse un programa gratuito que realiza los caacutelculos

anteriores

I622 Meacutetodo W3 (el mejor si ni10 i y una buena alternativa en el resto de los

casos)

1) Incrementar todos los datos (los eacutexitos xi y los fracasos yi) en 22 2z K si 0ltxiltni

(i) o en otro caso incrementarlos en

22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0

con 1 si 0

ii

i

s

2) El intervalo y el estadiacutestico de contraste vienen dados respectivamente por las

expresiones siguientes aplicadas a los datos incrementados anteriores

2

2i i i

i

p qL L z

n

2

223

i i iW

i

p qz L

n

I623 Meacutetodo Pa0 (meacutetodo muy conservador pero que no falla casi nunca)

El intervalo y el estadiacutestico de contraste vienen dados respectivamente por las

expresiones siguientes (en las que B=i)


39

2 22 2 2

22 2 20 22 2

2

2 4

2 2 2 i

Pa

i i

i

B L Ln Bz z n zL L z

n z n n n n B

n n

I63 Ejemplos praacutecticos

Price and Bonett (2004) aluden a un estudio de Cohen et al (1991) en el que se

anotoacute la presencia o ausencia de un tumor en cuatro grupos de 30 ratas sometidas a

cuatro dietas (con mayor o menor grasa y con o sin fibra) La Tabla I2 muestra los

resultados obtenidos y los tres contrastes de intereacutes para evaluar el efecto de la fibra (L2)

para evaluar el efecto del nivel de grasa (L3) o para evaluar la interaccioacuten entre ambos

efectos (L1 la diferencia entre los efectos de la fibra seguacuten que se determinen a uno u otro

nivel de grasa) En todos los casos βi=0 (por lo que se trata de contrastes)

Tabla I2

Fibra CON SIN

Grasa Alta Baja Alta Baja

Sample size (ni) 30 30 30 30

Rats showing cancer (xi) 20 14 27 19

Efectos β1 β2 β3 β4

L1=FibratimesGrasa +1 ndash1 ndash1 +1

L2=Fibra +1 +1 ndash1 ndash1

L3=Grasa +1 ndash1 +1 ndash1

Tebbs and Roths (2008) aluden a los datos (Tabla I3) de un ensayo cliacutenico

multiceacutentrico cuyo fin era evaluar la eficacia de un reacutegimen rebajado en sal en el

tratamiento de bebeacutes varones con diarrea aguda Una de las caracteriacutesticas a medir era el

nuacutemero de nintildeos que experimentan fiebre con la administracioacuten del tratamiento o

durante el ensayo El objetivo es estimar el porcentaje de sujetos que responden al

tratamiento A causa de que el nivel de participacioacuten es diferente pues depende de la

localizacioacuten una estimacioacuten natural de la proporcioacuten global es la media de las

probabilidades de respuesta pi en los K=6 lugares ie L=βipi con βi=ni ni (en nuestra

opinioacuten este modo de proceder es el adecuado si acaso los tamantildeos muestrales son



proporcionales a los tamantildeos poblacionales) Ahora βine0

Tabla I3

Localizacioacuten Tamantildeo de muestra (ni) Casos de fiebre (xi) Coeficientes (βi)

Bangladesh

Brasil

India

Peruacute

Vietnam

Total

158

107

175

092

143

675

73

32

44

34

104

287

158675

107675

175675

092675

143675

1

Si deseamos saber si el test de interaccioacuten para la Tabla I2 (H0 L1=0 vs H1

L1ne0) es significativo (a un error α=5) sin realizar demasiados caacutelculos podemos

utilizar la regla de la expresioacuten (128) Para el ejemplo se tiene que λ=B=0

22z = 2

2 5 z =1962 y 2 2 2 21 2 30 15 1 96 30 30 1 96 7 5 1 96i iL C R a

con ai=10 2 ndash24 y 8 para i=1 2 3 y 4 respectivamente Por ello el valor de C en la

funcioacuten es y(C)=120ndashRi= ndash129866 lt 0 luego el test no es significativo

El meacutetodo E0 aplicado a los contrastes L1 L2 y L3 proporciona los valores

zE0=0412 2424 y +2803 respectivamente lo que indica que son significativos los

efectos de la fibra (L2) y de la grasa (L3) pero que no hay interaccioacuten entre ambas (L1)

como se comproboacute en el paacuterrafo anterior Para cuantificar la magnitud de los efectos de

L2 y L3 hay que determinar el IC para cada una de ellas Alternativamente los tests

anteriores pueden realizarse a traveacutes del IC para L1 L2 y L3

La Tabla I4 contiene los IC al 95 para todos los contrastes de la Tabla I2 y de

la Tabla I3 realizados por los meacutetodos E0 W3 y Pa0 Puede observarse que como se

indicoacute arriba los contrastes L2 y L3 son significativos al error del 5 (pues sus IC

contienen al valor 0) pero el contraste L1 no lo es (pues sus IC no contienen al valor 0)

Sin embargo en la evaluacioacuten de la magnitud de los diversos intervalos para Li o L se

producen algunas diferencias entre meacutetodos Se observa que el meacutetodo Pa0 proporciona

unos IC excesivamente amplios salvo para tamantildeos muestrales grandes (como en el

caso de L) Finalmente se ve que el meacutetodo W3 proporciona unos IC de anchura similar

a la del meacutetodo E0 pero sus centros son algo maacutes diferentes (salvo en el caso de L de


41

nuevo por causa de los grandes valores de ni)

Tabla I4 Anaacutelisis de los datos de las Tablas I2 y I3

IC (Tablas I2 y I3) = Centro (1ordf entrada) plusmn Radio (2ordf entrada)

Meacutetodo L1 L2 L3 L

E0 00719 03164 03934 03162 04581 03161 04256 00349

W3 00646 03162 03876 03162 04522 03162 04256 00348

Pa0 ndash00646 03520 ndash03876 03454 04522 03428 04256 00372

CAPIacuteTULO II

K=2 EN EL CASO DE LA DIFERENCIA

II1 INTRODUCCIOacuteN

Uno de los objetivos maacutes habituales en Ciencias de la Salud es la comparacioacuten

de las proporciones pi (i=1 o 2) de individuos que presentan una caracteriacutestica de intereacutes

en dos poblaciones distintas a cuyo fin lo maacutes habitual es tomar dos muestras

independientes de cada una de ellas Este es el caso de que se comparen la proporcioacuten

de curaciones con dos tratamientos distintos o la proporcioacuten de enfermos en los grupos

con y sin un determinado factor de riesgo etc En tales situaciones el paraacutemetro de

intereacutes suele ser la diferencia d=p2p1 entre ambas proporciones lo que constituye un

caso particular del caso general del capiacutetulo anterior ahora K=2 1=1 2=+1 L=d y la

Tabla I1 se particulariza en la actual Tabla II1 que se comenta de momento El

objetivo actual es pues la realizacioacuten de un test de dos colas sobre d (H0 d=δ vs H1

dδ) o la obtencioacuten de un IC de dos colas para d

Tabla II1

Tabla 2times2 para muestras independientes


I x1 y1 n1 β1=1

II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n

La Tabla II1 presenta los datos obtenidos en este tipo de experimentos donde

de nuevo SIacuteNO alude a la presencia o ausencia de la caracteriacutestica que se estudia ix

( iy ) es el nordm de individuos de entre los in (tamantildeo de muestra) que siacute (no) presentan la

caracteriacutestica βi son los coeficientes de la combinacioacuten lineal 1a =xi ( 2a =yi) son los

totales de individuos que siacute (no) presentan la caracteriacutestica y finalmente n =a1+a2=ni

es el tamantildeo total de la experiencia Las dos variables aleatorias ( )ix siguen



distribuciones binomiales independientes ( )i i ix B n p con i=1 o 2 en donde ip es

la proporcioacuten (desconocida) de individuos de la poblacioacuten i que presentan la

caracteriacutestica

Las medidas utilizadas para evaluar la relacioacuten entre dos proporciones pi son de

muy diversos tipos siendo las maacutes frecuentes la diferencia de proporciones (diferencia

de Berkson) d el cociente de proporciones (riesgo relativo) R y la odds-ratio (razoacuten del

producto cruzado) O Como ya hemos indicado en este capiacutetulo nos centraremos en el

caso de la diferencia de proporciones d=p2ndashp1 posponiendo el resto de paraacutemetros para

los capiacutetulos siguientes

El caso d ha sido profusamente utilizado en la literatura tanto desde el punto de

vista exacto como desde el punto de vista asintoacutetico En el caso exacto ha sido tratado

por autores como Chan (1998) Roumlhmel amp Mansmann (1999 a) o Martiacuten amp Herranz

(2004 b) entre otros fundamentaacutendose en las ideas originales de Barnard (1947) Para

este tipo de meacutetodos la obtencioacuten de un IC es computacionalmente intensiva y poco

factible para tamantildeos de muestra moderadamente grandes es por ello que la mayoriacutea de

los investigadores se centran en el caso asintoacutetico para el que existen cientos de

artiacuteculos en los que se proponen yo analizan diversos meacutetodos (Newcombe 1998 a

Agresti amp Caffo 2000 Kang amp Chen 2000 Chan 2003 Agresti 2003 Martiacuten amp

Herranz 2003 Brown amp Li 2005 Santner et al 2007)

El objetivo de este capiacutetulo es proponer y evaluar nuevos meacutetodos asintoacuteticos

para el caso particular del paraacutemetro d y compararlos con las mejores propuestas de la

literatura

II2 NOTACIOacuteN

II21 Generalidades y estadiacutesticos base

Sean dos variables aleatorias binomiales independientes xi~B(ni pi) con i=1 o

2 y sea d=p2ndashp1 el paraacutemetro de intereacutes (con las proporciones pi desconocidas) Sean

ip =xini las proporciones muestrales y 2 1d p p la estimacioacuten muestral de la

diferencia poblacional d Sean tambieacuten qi=1pi y 1i iq p Para contrastar H0 d=δ vs

H1 dδ (con ndash1leδle1 ya que 0lepile1) es necesario seleccionar primeramente un

CAPIacuteTULO II K=2 EN EL CASO DE LA DIFERENCIA 45

estadiacutestico de contraste que podraacute tener una de las tres formas siguientes (y que en

adelante seraacuten aludidas abreviadamente por el nombre en negrita que se indica)

Z

2

2

1 1 2 2

1 2

1 1Z

d δz

p p p p

n n

(21)

X 2

22 si | | 0

0 si | |=0

i i ii

X i i

n p pχ d δ

z p q

d δ

(22)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

y

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(23)

En cualquiera de los tres casos habraacute que comparar el valor experimental del estadiacutestico

2expz (cualquiera de los tres anteriores) con 2

2z en donde 2z es el percentil (1ndash

α2)100 de la distribucioacuten normal tiacutepica Para obtener el IC (1ndashα) para d se invierte

el test despejando δ en la ecuacioacuten 2 22exp z z En unas ocasiones la solucioacuten seraacute

expliacutecita (y maacutes o menos sencilla) en otras requeriraacute de un procedimiento iterativo

II22 Estimadores de las proporciones pi

En los tres estadiacutesticos anteriores (Z X o A) las proporciones pi desconocidas

deben ser sustituidas por alguno de sus estimadores (con el fin de que tengan utilidad

praacutectica) En lo que sigue se describen los mismos y se pone en mayuacutesculas y negrita la

letra abreviada que designaraacute el procedimiento que proporciona cada estimador (letra

que hay que antildeadir a la del estadiacutestico Z X o A utilizado)

II221 Estimadores no restringidos por H0

El procedimiento claacutesico y maacutes utilizado a la hora de estimar las proporciones

consiste en sustituir los valores desconocidos pi por los estimadores claacutesicos de maacutexima



verosimilitud simple (es decir las proporciones muestrales)


Una opcioacuten maacutes reciente (Newcombe 1998 a) consiste en sustituir las


N (Newcombe) 1 1 2 2

1 1 2 2

si d

si d

p u p l

p l p u

(25)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(26)


II222 Estimadores siacute restringidos por H0

El estimador de pi restringido por H0 maacutes habitual (por su sencillez) es el

obtenido por el meacutetodo condicionado de Dunnett and Gent (1977)

C (Condicionado) 1 21

a np

n

y 1 1

2 1

+a np p

n

(27)

Como puede suceder que el valor de ip no esteacute comprendido entre 0 y 1 parece

conveniente exigir que se cumpla esta condicioacuten de ahiacute que el estimador ip tenga dos

versiones

Ca ip = (27)

Cb ip = (27) restringida a que esteacute entre 0 y 1 ( ip =0 si ip lt0 y ip =1 si ip gt1)

Una opcioacuten maacutes complicada es utilizar los siguientes estimadores de maacutexima

verosimilitud bajo H0 (Mee 1984 Farrington and Manning 1990)

E (Incondicionado exacto) 0 51 2 32 3p c B cos c y 2 1ˆ ˆp p (28)


en donde 0 1 1c x 1 1 1 12c a n n x 2 2 1 12c n n n a 3c n

22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y 1 3 2 3cos A B


P (Incondicionado de Peskun) 11

2

n np

n

y 2

2 1 2

n np p

n

(29)

aunque al igual que el caso condicionado podriacutea ser conveniente exigir que ip

sea un

valor liacutecito (que esteacute comprendido entre 0 y 1) de ahiacute que ip

tenga dos versiones

Pa ip

= (29)

Pb ip

= (29) restringida a que esteacute entre 0 y 1 ( ip

=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)

II23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador

Cuando en las 3 expresiones (21) (22) y (23) se sustituye cada uno de los 7

estimadores aludidos en la seccioacuten anterior se obtienen los 21 estadiacutesticos 2ZWz 2

ZNz

2ZCaz 2

ZCbz 2ZEz 2

ZPaz 2ZPbz 2

AWz hellip 2APbz cada uno de los cuales da lugar a un

procedimiento de test diferente Al invertir el mismo se obtiene un procedimiento de IC

diferente En ambos casos el nombre del procedimiento es la unioacuten de las letras de los

testsestimadores implicados en su definicioacuten por ello al combinar los 3 estadiacutesticos

(Z X y A) con los 7 estimadores (W N Ca Cb E Pa y Pb) se obtienen los 21

procedimientos iniciales ZW ZN ZCa ZCb ZE ZPa ZPb XWhellip APb Sin embargo

algunos de ellos deben omitirse por las razones que siguen

a) Los procedimientos XE y ZE son equivalentes (como se justificaraacute en la siguiente

seccioacuten) por lo que basta con considerar uno de ellos (el ZE por ser el maacutes

conocido)

b) Los procedimientos XW AW XN y AN no dependen de (y ademaacutes los dos

primeros tienen ademaacutes un valor nulo)

c) Los procedimientos ACa y APa pueden proporcionar valores de pilt0 o pi gt1 (en

cuyo caso no tiene sentido la trasformacioacuten arco seno)



A los 14 procedimientos restantes se les antildeade el siguiente procedimiento L

(contando asiacute con 15 procedimientos en total) cuyo IC viene dado por

L (I S) = 2

2 22 22 2 1 2

1 12 2α α α

V Vd z z V z

V V

(210)

en donde

1 1 2 21

1 2

p q p qV

n n y

1 1 1 2 2 22 2 2

1 2

2 1 1 2p q p p q pV

n n

(211)

con lo cual un punto (x1 x2) es de la regioacuten criacutetica (RC en adelante) del test para si el

intervalo de confianza que proporciona (I S) es tal que I o S La expresioacuten tiene

la dificultad de que el valor de V2V1 estaacute indeterminado en las esquinas del espacio

parameacutetrico (es decir si V1=0) Para solventar el problema asumimos que en estas

esquinas sucede que 1 1 2 2p q p q =1 con lo cual

1 22 2

2 1 21

1

1 2

2 1 1 2

Si = 0 1 1

p p

V n nV

Vn n

II24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos que proporcionan

Las foacutermulas anteriores pueden utilizarse en base a los datos (xi yi ni) originales

o en base a los datos originales incrementados en una cantidad hi determinada (xi+hi

yi+hi ni+2hi) Este incremento como se comentoacute en el capiacutetulo anterior tiene su origen

en los meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald cuyo objetivo no es otro que el de mejorar el

comportamiento del procedimiento ZW

Los valores posibles de hi se denotan con el diacutegito (en negrita) que los

identificaraacute (el cual se antildeadiraacute a las letras de los procedimientos descritos arriba)


1 hi =05 (Woolf)

2 hi =1 (Agresti amp Caffo)

3 hi=2

2 4z


4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2

1 si 0 1 si 11 2con si

0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p


propios resultados (aludidos maacutes adelante) han demostrado que no mejoran a los

anteriores

Cada uno de los 5 incrementos (0 1 2 3 y 4) puede aplicarse a cada uno de los

15 procedimientos anteriores (ZW ZNhellip APb y L) dando lugar a 75 meacutetodos de

inferencia distintos en lo que sigue ellos seraacuten notados por las letras del procedimiento

y el diacutegito del incremento correspondiente ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4hellip L4

II3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO

II31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z

Desde casi el inicio de la Estadiacutestica es bien conocido que si i i ix B n p

con i=1 o 2 son independientes entonces las proporciones muestrales i i ip x n

convergen en distribucioacuten a una normal de media ip y varianza 1i i ip p n y la

diferencia 2 1d p p de las proporciones estimadas es asintoacuteticamente normal con

media y varianza las indicadas a continuacioacuten

1 1 2 22 1 2 1

1 2

d p q p qd p p N p p

n n

Para contrastar la hipoacutetesis H0 d=δ vs H1 dneδ hay que comparar el valor experimental

del estadiacutestico 2Zz dado por (21) con 2

2z (como se indicoacute entonces) El IC (1ndashα) para

d que se obtiene por inversioacuten del test tendraacute la forma

dd plusmn 1 1 2 22

1 2

p q p qz

n n

Las expresiones anteriores no tienen utilidad hasta que las proporciones pi

desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten de las mismas (como las resentildeadas en



la seccioacuten II22)

II311 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald

El procedimiento claacutesico de cualquier libro de texto elemental consiste en

sustituir los valores desconocidos pi por las proporciones muestrales (estimadores de

maacutexima verosimilitud simple) dados por la expresioacuten (24) lo que da lugar al

procedimiento ZW (el claacutesico procedimiento de Wald) Las expresiones siguientes

aluden al estadiacutestico de Wald y al IC de Wald que se obtiene por inversioacuten del test

ZW 2

2

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p qn n

(212)

ICZW dd plusmn 1 1 2 22

1 2

p q p qz

n n (213)

Es conocido que el meacutetodo de Wald tiene un mal comportamiento (Dunnet amp

Gent 1977 Hauck amp Anderson 1986 Roebruck amp Kuumlhn 1995 Feigin amp Lumelskii

2000 Brown amp Li 2005 Xu amp Kolassa 2007) Con el fin de mejorarlo Agresti amp

Caffo (2000) propusieron aplicarlo no en base a los datos originales (meacutetodo ZW0) sino

en base a los datos incrementados en una cantidad hi=1 (meacutetodo ZW2) para α=5

II312 Meacutetodo de Newcombe

Newcombe (1998 a) plantea un nuevo procedimiento basado en el IC asintoacutetico

para una uacutenica proporcioacuten dado por Wilson (1927) del cual se dieron datos detallados

en la seccioacuten I313 Su procedimiento basado en el estadiacutestico Z da lugar al test e IC

del procedimiento ZN

ICZN

2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1

d z l l n u u nd

d z u u n l l n

(214)


ZN

2 1 1 2 2

1 22

2 1 1 2 2

1 2

1 1 si

= 1 1

si ZN

l l u ud d

n nz

u u l ld d

n n

(215)

en donde li y ui se obtienen como en las expresiones (26) En realidad Newcombe solo

aludioacute a la expresioacuten (214) pero los estimadores ip de la expresioacuten (25) y la expresioacuten

(215) se deducen de modo inmediato

Zou and Donner (2008) generalizan y justifican teoacutericamente el procedimiento

de Newcombe Para tales autores si (li ui) es un IC cualquiera para pi al error α

entonces el IC aproximado para d tambieacuten al error α es

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

I

S

d u p p l

d p l u p

Es inmediato ver que si (li ui) han sido obtenidos por la foacutermula asintoacutetica claacutesica (26)

entonces el IC anterior es el mismo que el de Newcombe

II313 Meacutetodo condicionado

Bajo la hipoacutetesis nula H0 p2ndashp1=δ ocurre que p2=p1+δ por lo que el uacutenico

paraacutemetro desconocido es p1 Desde el punto de vista condicionado (es decir

condicionando en que los eacutexitos siempre sumen el valor observado de a1) el estimador

sugerido por Dunnett amp Gent (1977) viene dado por la expresioacuten (27) aunque

Farrington amp Manning (1990) matizan esta definicioacuten en el sentido de que si 0ip (o

1ip ) debe hacerse 0ip (o 1ip ) para que sean valores liacutecitos De ahiacute los dos

procedimientos ZCa y ZCb Sea cual sea el caso el estadiacutestico de contraste seraacute de la

forma

ZCab 2

2

1 1 2 2

1 2

ZCa b

dz

p q p qn n

(216)

El IC a traveacutes del procedimiento ZCa -Wallenstein (1997) y Martiacuten amp Herranz (2003)-



se obtiene determinando las dos soluciones de la ecuacioacuten de segundo grado

ICZCa 2 0A B C con

222 2 1 1 2 1 2

22 2 1 2 1 1 2

2 21 2 2 1 2

2

A z n n n n nn n

B z n n a a nn n d

C nn n d z a a

(217)

La solucioacuten es tambieacuten vaacutelida para el procedimiento ZCb si se verifica que

1 1 2 2 1 2 2 1I Smin a n a n min a n a n (Martiacuten amp Herranz 2003) pues solo

entonces 0le ip le1 La solucioacuten explicita de este caso se ve en la seccioacuten II53

II314 Meacutetodo incondicionado exacto

Desde el punto de vista incondicionado Mee (1984) propone el estimador de

maacutexima verosimilitud bajo H0 (sin condicionar en los marginales) y Miettinen amp

Nurminen (1985) proporcionan la foacutermula expliacutecita para su caacutelculo el valor 1p de la

expresioacuten (28) que es la uacutenica solucioacuten liacutecita que se obtiene de la ecuacioacuten de tercer

grado sentildealada entonces El estadiacutestico de contraste seraacute de la forma

ZE 2

2

1 1 2 2

1 2

ZE

dz

ˆ ˆ ˆ ˆp q p qn n

(218)

La desventaja de este meacutetodo de las marcas es que su IC (ICZE) no tiene solucioacuten

expliacutecita y hay que determinarlo de forma iterativa Aquiacute la palabra ldquoexactordquo se estaacute

utilizando en el sentido de que el estadiacutestico del procedimiento ZE se determina de

modo exacto (no de modo aproximado como se hace maacutes adelante)

II315 Meacutetodo incondicionado de Peskun

Peskun (1993) empleoacute el criterio de Sterne (1954) al indicar que el test Z de la

expresioacuten (21) seraacute significativo cuando lo sea para cualquier valor de p1 es decir

cuando su valor 2Zz sea mayor o igual que 2

2z para todo p1 Con tal objetivo determinoacute

el miacutenimo valor de 2Zz o lo que es lo mismo el valor de p1 que hace maacuteximo su


denominador i i iV p q n con i=1 o 2 encontrando que este maacuteximo se alcanza en

el valor 1p

de la expresioacuten (29) Esto proporciona el procedimiento ZPa el cual

ocasiona las dos expresiones siguientes para el test y el IC

ZPa 2

1 222 2

1 2

4

4ZPa

nn n dz

n n n

(219)

ICZPa 2 2

222 2

1 24

n z dd n d z n z

n n n

(220)

aunque Peskun no tuvo en cuenta que ip

puede ser un valor iliacutecito ( ip

lt0 o ip

gt1) lo

que siacute se considera en la seccioacuten II52

II316 Estadiacutestico Z con correccioacuten por continuidad

Es conocida la necesidad de utilizar una correccioacuten por continuidad (cpc en

adelante) (Cox 1970) cuando se aproxima una variable discreta (como las binomiales

actuales) a traveacutes de una variable continua (como es la normal) Haber (1972) propuso

que una cpc debe consistir en sumar o restar a la variable aleatoria la mitad de su salto

promedio En particular el estadiacutestico Z de la expresioacuten (21) se convierte en el

siguiente estadiacutestico Zc con cpc

Zc 2

1 1 2 22

1 2

si

0 si Zc

p q p q| d | c | d | c

z n n

| d | c

(221)

Para el procedimiento ZE Martiacuten amp Herranz (2004 a) comprobaron que la mejor

opcioacuten es efectuar una cpc muy suave dada por c=1(N1) o 2(N1) si los tamantildeos

muestrales son distintos o iguales respectivamente en donde N=(n1+1)times(n2+1) pues la

tradicional cpc de Yates (Cornfield 1956) de c=(n1+n2)(2n1n2) da lugar a resultados

muy conservadores Su razonamiento para la obtencioacuten del valor c es vaacutelido para

cualquier versioacuten del estadiacutestico Z por lo que la misma cpc puede ser asumida para

todos los procedimientos de tipo Z



II317 Propiedades que verifica el estadiacutestico ZE

Para que un estadiacutestico z2 sea uacutetil en la inferencia es preciso que verifique ciertas

propiedades de coherencia En el contexto de los tests exactos para H0 (Roumlhmel amp

Mansmann 1999 a) es necesario que las RC no presenten huecos Como la RC se

construye ordenando los puntos del espacio muestral de mayor a menor valor del

estadiacutestico z2 la ausencia de huecos en la misma implica que z2 debe ser creciente

(decreciente) en 2p ( 1p ) si d Esto es lo que se conoce como las dos propiedades

de convexidad de Barnard (convexidad espacial) La convexidad espacial del estadiacutestico

ZE fue demostrada primero de modo heuriacutestico por Chan (1998) y luego de modo maacutes

preciso por Martiacuten amp Herranz (2004 b) y Roumlhmel (2005) siendo tambieacuten cierta cuando

a ZE se le efectuacutea una correccioacuten por continuidad (Herranz amp Martiacuten 2008)

Por otro lado y por el principio de Sterne (1954) para que z2 sea liacutecito es

preciso que alcance su valor miacutenimo en la frontera del espacio nulo es decir que sea

decreciente en (convexidad parameacutetrica) ZE igualmente verifica tal propiedad

(Martiacuten amp Herranz 2004 b)

II32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico X

El claacutesico estadiacutestico chi-cuadrado de Pearson tiene la forma

2

2exp

O E

E

con O las cantidades observadas (x1 x2 y1 y2) y E las cantidades esperadas (n1p1 n2p2

n1q1 n2q2) Sustituyendo tales valores en la foacutermula anterior y haciendo operaciones se

obtiene que

2 2 2

1 1 1 2 2 22

1 1 1 2 2 2

i i iexp

i i

x n p x n p n p p

n p q n p q p q

(222)

lo que da lugar al estadiacutestico 2Xz de la expresioacuten (22) Dunnett amp Gent (1977) proponen

utilizar este estadiacutestico en los estimadores condicionados ip dando asiacute lugar al

procedimiento XCa Alternativamente si se hace 1p p y se tiene en cuenta que el

teacutermino (OndashE)2 es siempre el mismo entonces


22

1 11 2

1 1

1 1XCaz n p xn p p n p p

(223)

Dunnet amp Gent (1977) comprobaron que 2ZCaz 2

XCaz Por el contrario Nam

(1995) demostroacute que si en la expresioacuten (222) se sustituye pi por sus estimadores

incondicionados de maacutexima verosimilitud ˆ ip entonces los procedimientos ZE y XE siacute

que son el mismo ( 2ZEz = 2

XEz ) por lo que ambos aluden al meacutetodo de las marcas Por

ello si se hace 1ˆ ˆp p entonces (Martiacuten amp Herranz 2004 b proporcionan una

demostracioacuten maacutes directa)

22 2

2 22 22 1 1 1

1 2

1 2

ˆ( )ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 )ZE XE

x n pp p x n pz z

p p p p n p p n p pn n

Una alternativa para ambas expresiones es (Martiacuten amp Herranz 2004 b)

1 1 2 12

2 2 2 1

1 si 0 1=

1 si 1ZE

ˆ ˆ ˆ ˆn p p p p p p p z

ˆ ˆ ˆ ˆn p p p p p p p

(224)

II33 Meacutetodos basados en el estadiacutestico A

Herranz amp Martiacuten (2008) proponen como estadiacutestico de contraste el valor

d con 1 12 1d sin p sin p y 1 1

2 1sin p sin p el cual se basa en

la conocida transformacioacuten arco seno Como asintoacuteticamente 1isin p se distribuye

como una 1 1 4i iN sin p n entonces d se distribuye como una normal con media

y varianza las que se indican

1 1 1 1 22 1 2 1 1 2 1 24dd sin p sin p N sin p sin p n n n n

En consecuencia el estadiacutestico de contraste seraacute

A 2

1 22

1 2

A

n n dz

n n

(225)



que es el mismo de la expresioacuten (23) Para que la expresioacuten sea uacutetil Herranz amp Martiacuten

sustituyen las proporciones pi desconocidas por el estimador de maacutexima verosimilitud

bajo H0 ( 1p 2 1ˆ ˆp p ) dando lugar a la expresioacuten

AE 2

1 22

1 2

AE

n n dz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

ˆ ˆsin p sin p

(226)

Es habitual utilizar la transformacioacuten arco seno con la transformacioacuten de

Anscombe la cual consiste (al igual que los meacutetodos ldquoadjusted Wald) en un

incremento inicial de los datos originales de 38 en ese caso el estadiacutestico 2AEz se

calculariacutea en base a los datos modificados (xi+38 yi+38 ni+34)

En todos los casos la determinacioacuten del IC (ICZE) debe hacerse por meacutetodos

iterativos

II4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO

II41 Generalidades sobre los estudios a realizar

A fin de seleccionar el meacutetodo de inferencia oacuteptimo la mayoriacutea de los autores

plantean el problema desde el punto de vista de los IC por lo que comparan el

recubrimiento real R y la longitud media l de cada meacutetodo de IC para unos valores

fijados de pi (i=1 o 2) Ambos paraacutemetros vienen dados por las expresiones

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(227)

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(228)

en donde 1 2( ) 1I x x si ( )I S -el IC obtenido con la pareja (x1 x2)- e 1 2( )I x x 0

en otro caso Dado que R es una probabilidad ndash1le I S le+1 y I S se verifica que

0le R le1 y 0le l le2 Se considera que un meacutetodo de IC es mejor cuanto menor sea su

longitud l y cuanto maacutes cercano sea su recubrimiento real R al recubrimiento nominal de

1 En general los criterios para seleccionar el procedimiento oacuteptimo suelen ser los

siguientes (Brown amp Li 2005)


ndash R debe ser cercano al valor nominal (90 95 y 99 usualmente)

ndash l debe ser lo maacutes pequentildeo posible siempre y cuando R sea superior o proacutexima al

valor nominal

ndash R debe converger al nivel nominal uniforme y raacutepidamente con el incremento del

tamantildeo de la muestra especialmente si las probabilidades ip son cercanas a 0 o a 1

ndash Es aconsejable la simplicidad del IC es decir que sea faacutecil de recordar de calcular

de entender y de presentar

Alternativamente otros autores plantean la seleccioacuten desde el punto de vista de

los tests de hipoacutetesis Si el test asintoacutetico se realiza a un error nominal de la RC que

ocasiona estaraacute formada por todos los puntos (x1 x2) en los que 2 22exp z z el error real

del test (p) -con p=p1- vendraacute dado por

1 1 2 2 211 21 2 0

1 2

1 1n x x n xx

RC RC

n np P x x | H p p p p

x x

(229)

y el tamantildeo del mismo seraacute

maacutex con maacutex 0 miacuten 1 1p D p D= p p (230)

Adicionalmente la potencia (p1 p2) para una alternativa dada seraacute

1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x

Bajo este planteamiento el meacutetodo oacuteptimo seraacute aquel cuyo sea maacutes cercano a

(preferiblemente menor o igual) y cuya potencia sea lo mayor posible en la mayoriacutea de

las alternativas ensayadas

II42 Conclusiones de la literatura

La literatura ha analizado el problema actual con gran detalle y en numerosas

ocasiones pero todos los estudios realizados se limitan a comparar unos pocos meacutetodos

de entre los conocidos hasta ese momento Las conclusiones obtenidas a partir de las

diversas comparaciones efectuadas por los distintos autores pueden resumirse como

sigue



1) Dunnett amp Gent (1977) comparan los meacutetodos ZW0 ZCa0 y XCa0 -estos dos

uacuteltimos con y sin la cpc de Yates- por el meacutetodo condicionado (pues su referente

idoacuteneo es el meacutetodo condicionado de Gart) Para ellos el meacutetodo XCa0 con cpc es

mejor que XCa0 sin cpc el cual a su vez es mejor que el meacutetodo ZCa0 que a su vez

es mejor que el meacutetodo ZW0

2) Hauck amp Anderson (1986) realizan un anaacutelisis comparativo de distintos meacutetodos

concluyendo que ZW0 es demasiado liberal y proporciona por tanto un

recubrimiento inferior al nominal en la mayoriacutea de los casos Ademaacutes advierten que

nunca se debe utilizar dicho meacutetodo sin una correccioacuten por continuidad incluso

aunque los tamantildeos de muestra sean grandes

3) Roebruck amp Kuumlhn (1995) comparan la actuacioacuten de los meacutetodos ZW0 ZCb0 y ZE0

Uno de sus resultados es que debe rechazarse el meacutetodo ZCb0 debido a su mal

comportamiento especialmente cuando ademaacutes no supera a los meacutetodos ZW0 y

ZE0 en ninguna situacioacuten Para la mayoriacutea de los casos su anaacutelisis muestra que ZE0

proporciona resultados aceptables con la excepcioacuten de los casos en que los

paraacutemetros pi y δ son grandes

4) Wallenstein (1997) compara los meacutetodos ZW0 ZCb0 ZE0 ZPa0 concluyendo que

el meacutetodo ZW0 sobreestima la probabilidad de recubrimiento y que el meacutetodo ZPa0

proporciona un IC estrecho que converge maacutes despacio hacia la probabilidad

nominal Ademaacutes antildeade que si se considera una cpc como la de Yates los nuevos

IC tienen un recubrimiento al menos igual al nominal Finalmente defiende que el

meacutetodo ZCb0 es el que tiene un mejor comportamiento

5) Newcombe (1998 a) sentildeala que la uacutenica virtud del meacutetodo ZW0 es su sencillez de

caacutelculo pues el recubrimiento no es simeacutetrico y presenta anomaliacuteas cosa que no

ocurre con el resto de meacutetodos que compara En cuanto al meacutetodo ZE0 este tiene

una probabilidad pobre de recubrimiento Por uacuteltimo el meacutetodo ZN0 es

computacionalmente maacutes sencillo y tratable con tamantildeos de muestra grandes por lo

que el autor lo recomienda por encima del resto

6) Agresti amp Caffo (2000) reiteran el mal comportamiento del claacutesico meacutetodo ZW0

sentildealando que ademaacutes la probabilidad de recubrimiento tiende a ser muy pequentildea

cuando pi es un valor cercano a 0 o a 1 Por ello proponen el meacutetodo ZW2 tan

sencillo como el ZW0 pero con un mucho mejor comportamiento Comparando su

meacutetodo con el ZN0 los autores indican que ambos son conservadores cuando las


proporciones pi se acercan a 0 o a 1 aunque ZN0 es globalmente menos

conservador tiene un recubrimiento medio maacutes cercano al nominal y sus IC tienden

a ser un poco maacutes estrechos Aunque ZN0 tenga una buena actuacioacuten se

recomienda como meacutetodo oacuteptimo ZW2 incluso para el caso de un contraste (δ=0)

especialmente por su mayor sencillez

7) Feigin amp Lumelskii (2000) analizan varios meacutetodos siendo ZPa0 el que maacutes destaca

por su buen comportamiento y descartando ZW0 por tener una mala actuacioacuten Los

autores comprueban que el meacutetodo ZPa0 tiene una longitud de intervalo grande si

alguna de las proporciones pi son pequentildeas pero sin embargo para pi grandes y

tamantildeos de muestra moderados el IC es maacutes estrecho que con el resto de meacutetodos

por lo que concluyen que ZPa0 es el meacutetodo oacuteptimo

8) Martiacuten amp Herranz (2004 b) proponen dos cpc para el meacutetodo ZE0 (que seleccionan

frente a los meacutetodos ZW0 y ZCb0) con el objetivo de que disminuya su liberalidad

seleccionando de ellas la cpc que da lugar al meacutetodo ZE0c

9) Brown amp Li (2005) ademaacutes de proponer otro nuevo meacutetodo basado en una

reparametrizacioacuten del modelo llegan a la conclusioacuten de que para tamantildeos de muestra

pequentildeos el meacutetodo ZW0 tiene un recubrimiento menor que el nominal aunque

proporciona IC estrechos Los meacutetodos bayesianos que analizan son maacutes

conservadores que el resto teniendo los meacutetodos ZN0 y ZE0 un comportamiento

muy similar Estos dos uacuteltimos son los meacutetodos que seleccionan eligiendo el meacutetodo

ZN0 en el caso de tamantildeos de muestra pequentildeos y distintos y el ZE0 en cualquier

otro caso

10) Xu amp Kolassa (2007) proponen diversas cpc para el claacutesico meacutetodo ZW0 (del que

destacan su ya conocido mal comportamiento) todas ellas procedentes de malas

definiciones de cpc para el meacutetodo ZE0 en el caso =0

11) Santner et al (2007) comparan la actuacioacuten de diversos meacutetodos exactos (que no son

el objetivo de esta memoria) y del meacutetodo ZE0 indicando que este uacuteltimo es liberal

el 50 de las veces

Adicionalmente Anbar (1983) propuso utilizar el procedimiento de Wald solo para

la primera proporcioacuten (sustituir p1 por 1p ) pues la segunda es obligada a verificar la

hipoacutetesis nula (p2= 1p +) Es evidente lo inadecuado del procedimiento dado que las

inferencias para p2p1 no son concordantes con las inferencias para p1p2 (es decir si se



sustituye p2 por 2p y se hace p1= 2p )

Otra aportacioacuten reciente es la de Newcombe amp Nurminen (2011) Los autores

defienden el meacutetodo de las marcas (en la versioacuten de Miettinen amp Nurminen maacutes que en

la versioacuten de Mee empleada en esta memoria) pues opinan que las criacuteticas al mismo son

infundadas Como se ha sentildealado en los paacuterrafos anteriores (y se ratificaraacute en nuestra

evaluacioacuten de de la seccioacuten II6) el meacutetodo de las marcas es excesivamente liberal

Seguacuten Newcombe amp Nurminen la causa de ello es la utilizacioacuten del paraacutemetro

evaluador ldquomiacutenimo recubrimientordquo maacutes que el ldquorecubrimiento mediordquo Nuestra opinioacuten

es contraria a este planteamiento pues el ldquomiacutenimo recubrimientordquo viene forzado por el

hecho de que el IC se obtiene por inversioacuten del test y en la evaluacioacuten de los tests debe

emplearse el ldquomaacuteximo error real rdquo (con ldquomiacutenimo recubrimientordquo = 1) Como en la

praacutectica el investigador no conoce cuaacutel es el verdadero valor del paraacutemetro perturbador

p1 todo procedimiento aproximado de inferencia debe garantizar lo maacutes posible que el

recubrimiento nominal se alcanza o supera sea cual sea el valor de p1

II5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO

II51 Aproximaciones al procedimiento de las marcas procedimiento L y meacutetodos

de tipo ldquoadjustedrdquo Wald

En el capiacutetulo anterior se desarrolloacute con detalle la principal aportacioacuten de esta

memoria el procedimiento de las marcas para una combinacioacuten lineal general de

proporciones independientes Todo lo indicado entonces puede aplicarse al caso

particular actual de L=d obtenieacutendose asiacute que las expresiones (120) y (121) son

equivalentes a las resentildeadas para este caso por Martiacuten and Herranz (2010) las cuales

son a su vez equivalentes al claacutesico procedimiento ZE de la literatura La dificultad del

procedimiento para el caso L era que tanto si se trata de realizar el test como de obtener

el IC hay que resolverlo por meacutetodos iterativos Es por ello que se buscaron

simplificaciones basadas en el desarrollo en serie de Maclaurin lo que de paso permitioacute

justificar teoacutericamente los meacutetodos heuriacutesticos de tipo ldquoadjustedrdquo Wald

En este caso para L=d la expresioacuten clave seraacute 2 0iy n δC R con

2ZEC z d δ y 2 2 2 22 1 2i i i iR n n p C C (utilizando el signo + para i=2 y el ndash

para i=1) Siguiendo el mismo proceso que en la seccioacuten I425 a partir del desarrollo


en serie se obtiene la expresioacuten 3 2 41 2 0ZE ZEd z d V z V siendo V1 y V2 los

valores dados por la expresioacuten (211) Si se retienen soacutelo los teacuterminos de grado 1 y se

divide por d se obtienen las soluciones claacutesicas de tipo Wald (procedimiento

ZW) dadas por las expresiones (212) y (213) Igualmente el desarrollo de grado 2 da

lugar a 2 2 21 2 1 0ZE ZEd V d V z z V De esto se deduce que un valor

aproximado para 2ZEz viene dado por el siguiente nuevo estadiacutestico

2

2

1 2 1

L

dz

V d V V

(231)

lo que da lugar al procedimiento L cuyo IC viene dado por la expresioacuten (210)

Obseacutervese que las expresiones (231) y (210) son comparables a las (132) para el caso

de una combinacioacuten general Las expresiones (210) y (231) tienen la dificultad de que

el valor de V2V1 estaacute indeterminado en las esquinas del espacio parameacutetrico (es decir si

V1=0) Para solventar el problema asumimos que en estas esquinas sucede que

1 1 2 2p q p q =1 con lo cual si V1=0

1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n

Respecto de los procedimientos ldquoadjustedrdquo Wald siguiendo el desarrollo de la

seccioacuten I425 se obtienen dos nuevos incrementos haciendo que el centro del intervalo

de Wald para los datos incrementados sea aproximadamente igual que el centro del IC

del procedimiento de las marcas para los datos originales Estas propuestas vienen dadas

por las expresiones 3 y 4 del apartado II24 Obseacutervese que el Caso 3 produce iguales

resultados que el Caso 4 cuando las observaciones originales no estaacuten en la frontera del

espacio muestral es decir cuando xine0 y xineni ( i ) pero si por ejemplo x1=0 y 0ltx2ltn2

entonces 21 2 2 4h h z en el Caso 3 pero en el Caso 4 2

1 23 4h z y 22 2 4h z

cuando se obtiene el extremo inferior y 21 2 2 4h h z cuando se obtiene el extremo

superior



II52 Procedimientos basados en el estimador Pb

El criterio de Sterne (1954) fue utilizado por Peskun (1993) bajo el principio de

que el test sea significativo para cualquier valor de p1 Asiacute obtuvo el procedimiento ZPa

como se mencionoacute en la seccioacuten II315 viniendo dados el estadiacutestico de contraste y el

IC por las expresiones (219) y (220) respectivamente Lo que Peskun no tuvo cuenta es

que el estimador ip

puede ser un valor iliacutecito (es decir que ip

lt0 o ip

gt1) Si se obliga

(como en el caso del estimador condicionado ip ) a que ip

esteacute entre 0 y 1 se obtiene el

procedimiento ZPb que viene dado expliacutecitamente por la expresioacuten que sigue

2 2 21 2 1 22

4 4 si 2 maacutex con

1 miacuten si 2 maacutex

i i

ZPb

i i i i

d n n n nn n n nz V=

V n n n

(232)

en donde la primera parte de la expresioacuten (sin restriccioacuten) se corresponde con el

procedimiento ZPa En consecuencia haciendo 2 22ZPb z z y realizando las operaciones

oportunas el IC para el procedimiento ZPb se obtiene mediante los siguientes pasos

1 Determinar ( I S ) a traveacutes de la expresioacuten (220)

2 Si I S verifican que 1 22maacutex| | n n n el proceso finaliza

3 En otro caso el extremo X que haya fallado hay que obtenerlo de nuevo

mediante la expresioacuten

22

2 212 12

1 2 1 1

4 12 2

X

sz znd z n sd sd

n z n n

(233)

con 1 i in min n s=signo( X ) y utilizando el signo + si X=S o si X=I

Como se ve el estimador ip

solo tiene sentido en el caso del estadiacutestico Z (que

es para el que se define) a pesar de todo los estimadores Pa y Pb se evaluaraacuten tambieacuten

(ver la seccioacuten siguiente) para los otros estadiacutesticos

II53 Test e intervalo de confianza para el procedimiento ZCb

El IC de la expresioacuten (217) para el procedimiento ZCa es vaacutelido tambieacuten para el

procedimiento ZCb -como se indicoacute entonces (Martiacuten amp Herranz 2003)- si se verifica


que 1 1 2 2 1 2 2 1miacuten miacutenI Sa n a n a n a n pues solo entonces 0le ip le1

Para ver coacutemo actuar en otro caso hagamos como en la seccioacuten anterior obtener el

estadiacutestico Z para el estimador Cb e invertirlo del modo tradicional Es faacutecil ver que las

nuevas expresiones son

1 2 1 2

1 2 1 2 2 12

2 1 2

2 2 2

2

1 1

1 1+ si miacuten miacuten

1 con si o

1si o

ZCb

p p p p a a a a

n n n n n n

d p p a az V=

V n n n

p p a

n n

1

1

a

n

(234)

en tanto que para el ICZCb en el caso de que alguno de los extremos δX de la expresioacuten

(217) falle el mismo debe calcularse en base a la misma expresioacuten pero para los

nuevos valores 2 2 21 2 2A n z n n 2 2

2 1 2 1 22B z n a a n n d 2 2 22 2 1 2C n n d z a a

si 2 2 1 2 o X Xa n a n o para 2 2 22 2 1A n z n n 2 2

2 2 2 1 12B z n a a n n d

2 2 21 2 1 2C n n d z a a si 1 1 2 1 o X Xa n a n De un modo maacutes expliacutecito

22 22 2 1 1 2 1 22 1 2 1 2

1 2 2 2 21 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1 2

221 2 1 2 1 22 2 2

ZCb 2 22 2 2 22 1 2 2 2

21

21 2

4

2 2

IC 2 2

i i

i

i

z n n n n n a an n a a p qnn n d z z

nn n nnn n

nn n n n n n z

n a a n zn n p qd d z z

n n n z n n nn n

n n

n n n

2

2 2 1 2 2 2 1 12 22 2 2

2 1 12 2

i

n a a n z p qd z z

z n n nn n

en donde cada una de las tres expresiones anteriores es vaacutelida bajo cada una de las

condiciones de la expresioacuten (234) respectivamente

II54 Estadiacutestico A con correccioacuten por continuidad

Siguiendo la argumentacioacuten de Haber resentildeada en la seccioacuten II316 el salto

total del estadiacutestico de contraste d es de el cual se alcanza en las parejas (x1=0



x2=1) y (x1=1 x2=0) con lo que el salto promedio seraacute de 2 1c N pues el

nuacutemero total de puntos del espacio muestral es de N=(n1+1)(n2+1) Con ello el

estadiacutestico A con cpc seraacute

Ac 2

1 22

1 2

si

0 si

Ac

n n d cd cz = n n

d c

(235)

II55 Equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos de

confianza y su meacutetodo de test asociado

Desde el punto de vista de los IC exactos Agresti and Min (2001) hicieron ver la

conveniencia de obtener el IC de dos colas mediante la inversioacuten del test de dos colas

H0 d=δ vs H1 dneδ Desde un punto de vista maacutes general lo anterior tambieacuten es

conveniente a fin de que la inferencia estadiacutestica sea coherente si δ0 no pertenece al IC

(1minusα) entonces el test para δ=δ0 debe dar significativo al error α (y al reveacutes) Esto

significa dos cosas Por un lado que la definicioacuten de un procedimiento puede hacerse

desde la perspectiva del test o del IC Por otro que evaluar un procedimiento de IC es

equivalente a evaluar su procedimiento de test asociado (si ambos se realizan al mismo

error nominal α) como se ve a continuacioacuten

Para evaluar un IC suele utilizarse los paraacutemetros recubrimiento real R y

longitud media l Para evaluar un test suelen utilizarse los paraacutemetros error real

(tamantildeo del test) y potencia El error real del test se calcula mediante la expresioacuten

(230) teniendo en cuenta que 2 21 2 2exp RC x x | z z Como el IC se obtiene

mediante la inversioacuten del test entonces cada observacioacuten (x1 x2) ocasiona un IC para d

dado por 2 21 2 0 0 2exp IC x x | z z con lo que el recubrimiento real seraacute

1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x

en donde I(x1x2)=1 si 1 2IC x x e

I(x1x2)=0 en otro caso Como 1 2IC x x cuando 2 20 2exp z z entonces I(x1x2)=1

si 1 2x x RC y por tanto 1 2 0miacuten

p DRC

P x x | H

con RC aludiendo al conjunto


complementario del conjunto RC y finalmente =1α Esto quiere decir que calcular

el incremento del error nominal respecto del real es equivalente a calcular el incremento

del recubrimiento nominal respecto del real Δα=αminusα= (1minusα)minus(1minusα)=γminusγ con γ=1minusα

el recubrimiento nominal (la confianza nominal del intervalo)

Finalmente cuanto mayor sea la potencia del test menor seraacute la longitud

media l del IC que ocasiona (y al reveacutes)

II6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO

II61 Objetivo

Como se indicoacute en el Proacutelogo y en la seccioacuten anterior la evaluacioacuten de los

diferentes meacutetodos de inferencia puede realizarse desde la perspectiva de los tests de

hipoacutetesis o desde la perspectiva de los IC puesto que los dos enfoques son equivalentes

(si se realizan al mismo error nominal a) En esta seccioacuten tal evaluacioacuten se efectuaraacute

desde la perspectiva de los tests de hipoacutetesis al contrario que en el caso general

i iL p pues suele ser maacutes sencillo definir el test que el IC y la evaluacioacuten

comparativa de los valores de es maacutes sencilla (como se ve de momento) que la de los

valores de l


la seccioacuten II2 (los meacutetodos ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4hellip ZPb4 XCa0hellip XPb4

ACb0hellip APb4 y L) lo que incluye las propuestas maacutes relevantes de la literatura (en la

que cada autor solo compara unos pocos de ellos) De ellos 64 son meacutetodos nuevos (los

denominados por ZW3 ZW4 ZPb XPa XPb ACb APb y L con incrementos 0hellip 4 y

ZN ZCa ZCb ZE ZPa XCa XCb y AE con incrementos 1hellip4) Adicionalmente se

han evaluados otros meacutetodos nuevos de menor intereacutes (ver la seccioacuten II63) En todo

caso el objetivo es seleccionar el meacutetodos oacuteptimos bajo los criterios que se

especificaraacuten



Para efectuar la evaluacioacuten anterior se va a realizar un estudio del



comportamiento de cada meacutetodo en cada una de las siguientes combinaciones de

paraacutemetros (a ni δ)

a=5 (aunque ocasionalmente tambieacuten se utilizaraacuten los valores del 1 y 10)

ni= 40 60 y 100 con n1n2 (en los estudios iniciales se ha contemplado el valor

ni=20 pero todos los meacutetodos van mal pues suelen fallar cuando |δ| toma valores

extremos) Se excluyen los casos n1gtn2 pues las hipoacutetesis nulas H0 p2minusp1=+δ y 0H

p1p2= son equivalentes

= 0 +01 +02 +03 +05 +07 +08 +09 y +095 Se excluyen los casos δlt0

pues las hipoacutetesis nulas H0 p2p1=+ y 0H q2q1= son equivalentes Esta

exclusioacuten y la del paacuterrafo anterior estaacute justificada por el hecho de que el estadiacutestico

2expz de cualquiera de cualquier meacutetodo coherente debe tomar el mismo valor bajo

las tres hipoacutetesis enunciadas (Martiacuten and Herranz 2010 comprueban que esto es lo

que sucede con todos los meacutetodos estudiados)

El proceso de obtencioacuten de datos consistiraacute en lo siguiente

1 Seleccionar una combinacioacuten (a n1 n2 δ meacutetodo a evaluar)

2 Construir la regioacuten criacutetica RC=(x1 x2)|2 2

2exp z z

3 Calcular el error real (tamantildeo) del test mediante la expresioacuten (230) y el

incremento del error real con respecto al error nominal Hay que tener

en cuenta que si 0 el test seraacute conservador (por lo que el IC tambieacuten lo seraacute y

tendraacute maacutes recubrimiento que el nominal) si 0 el test seraacute liberal (por lo que

el IC tambieacuten lo seraacute y tendraacute menos recubrimiento que el nominal)

4 Calcular =(nordm de puntos de la RC)times100N siendo N=(n1+1)times(n2+1) el nordm total de

puntos del espacio muestral El valor de es un buen indicativo de la potencia del

test (Upton 1982 Martiacuten amp Silva 1994 Chen et al 2007) siendo denominado por

los uacuteltimos autores como ldquopotencia a largo plazordquo de ahiacute que en adelante seraacute

aludido como ldquopotenciardquo a secas Se ha preferido esta definicioacuten global frente a la

definicioacuten tradicional (p1 p2) del final de la seccioacuten II41 pues esta uacuteltima

implicariacutea evaluar la potencia en diferentes alternativas (p1 p2) lo que complica la

seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo (pues ninguno de ellos lo seraacute uniformemente para

cualquier alternativa)


5 Determinar en cada caso si hay o no un ldquofallordquo es decir si ndash4 ndash2 o 1

para a=10 5 o 1 respectivamente Esta definicioacuten se introduce pues es

deseable que el meacutetodo asintoacutetico proporcione un error real cercano al nominal es

decir que α α o equivalentemente que Δα 0 Pero esto implica que habraacute que

permitir alguna discrepancia entre ambos Si α=5 por ejemplo es tradicional en

diversos aacutembitos (Agresti and Coull 1998 Price and Bonett 2004 Martiacuten et al

2005) permitir que αlt7 es decir que el recubrimiento real sea mayor del 93 o

equivalentemente que Δαgtminus2 en otro caso (Δαleminus2 α7 o 1 α93)

diremos que el test o el CI ldquofallardquo Si αlt3 (Δαgt+2) el test es muy conservador

pero no da significaciones falsas y la eventual mala actuacioacuten del mismo se pondraacute

de manifiesto en el bajo valor de θ

6 Para cada meacutetodo se construiraacute una tabla (como la Tabla AII1) que contemple los

valores individuales de Δα y asiacute como la informacioacuten de en queacute circunstancias

falla el meacutetodo

7 Por uacuteltimo para cada combinacioacuten se calcularaacute el nordm total de fallos (F) y los valores

medios de ( ) y de ( ) Como se han omitido los valores ndashδ (por dar los

mismo resultados que +δ) los caacutelculos anteriores se realizaraacuten asignaacutendole peso 1

al caso δ=0 y peso 2 al resto de los casos En ocasiones y con el fin de comprobar

la estabilidad de las conclusiones se calcularaacuten los mismos valores para cada

combinacioacuten (n1 n2)

Una vez obtenidos los resultados la seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo se realizaraacute bajo

los siguientes criterios

(a) Se daraacute especial importancia al caso α=5 (por ser el error nominal maacutes frecuente)

(b) Se descartaraacuten los meacutetodos con un excesivo nuacutemero de fallos (pues con demasiada

frecuencia son excesivamente liberales) mostrando preferencia por los meacutetodos con

menos fallos

(c) Entre los meacutetodos que queden se eligen los que tengan un maacutes cercano a 0 (es

decir los meacutetodos con un error medio cercano al nominal) En caso de empate se

prefieren los meacutetodos conservadores ( gt0) a los liberales ( lt0) para que asiacute

las significaciones sean fiables

(d) Entre los meacutetodos que queden se prefieren los de mayor potencia Aquiacute hay que

tener en cuenta que si un meacutetodo cualquiera A es maacutes liberal que otro B entonces



B A y es esperable que B A (lo que no significa que A sea mejor

meacutetodo que B)




comparando al final entre siacute todos los seleccionados





II63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc)

II631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (a=5)

Una parte de la Tabla AII1 contiene los datos completos de todos los meacutetodos

basados en el estadiacutestico Z (se omiten los del procedimiento ZCa pues el mismo puede

dar lugar a una varianza negativa) Globalmente puede observase que

En general todos los procedimientos empeoran cuando los datos son incrementados

en cualquier cantidad salvo el procedimiento ZW que mejora conforme los datos se

incrementan en una cantidad cada vez mayor

Los valores de son siempre mayores con los procedimientos ZPb que con los

ZE Esto era deseable y esperable dado que el meacutetodo de Peskun se basa en el

miacutenimo valor del estadiacutestico del procedimiento ZE (por lo que el procedimiento ZPb

debe ser maacutes conservador que ZE)

Una parte de la Tabla AII2 contiene el resumen de los datos de todos los

meacutetodos basados en el estadiacutestico Z y de su anaacutelisis puede concluirse lo siguiente

Los peores meacutetodos son aquellos que aparecen en la tabla entre el meacutetodo ZPb1 al

ZW0 pues teniendo demasiados fallos deben descartarse

El reputado meacutetodo ZE0 ocupa una posicioacuten muy discreta pues aunque tiene buena

potencia la misma viene causada por ser un meacutetodo demasiado liberal que da lugar

a demasiados fallos


Los meacutetodos ZPa0 y ZPb0 deben descartase pues aunque no tienen fallos su

potencia es demasiado baja (en todo caso ZPa0 es mejor que ZPb0 por ser menos

conservador)

El meacutetodo ZN0 debe descartarse por tener cuatro fallos y ser demasiado liberal

Los meacutetodos ZW2 ZW3 y ZCb0 son bastante buenos solo tienen dos fallos (que lo

son por muy poco) y son bastante potentes aunque todos son ligeramente liberales

El meacutetodo ZW4 (que es igual al ZW3 cuando los valores observados no pertenecen

a la frontera del espacio muestral) es el oacuteptimo a este nivel de error no tiene fallos

tiene una buena potencia y es ligeramente conservador

La conclusioacuten es que el mejor meacutetodo de este grupo es el ZW4 (el cual es

equivalente al meacutetodo ZW3 cuando los datos no estaacuten en los bordes del espacio

muestral) Si no importa una ligera liberalidad tambieacuten pueden utilizarse cualquiera de

los meacutetodos ZW2 y ZCb0 pues tienen un buen y similar comportamiento

Adicionalmente se han evaluados diversas modificaciones de los meacutetodos


ZW4 Las modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) se describen a

continuacioacuten

(1) Se ha comprobado que la propuesta de Borkowf (2006) para el caso de una

proporcioacuten -en el sentido de utilizar el procedimiento ZW en los valores (xi ni+1)

para el extremo inferior y (xi+1 ni+1) para el superior- no es de utilidad para el

actual caso d El nuevo estadiacutestico que por ser intermedio entre los ZW3 y ZW4

seraacute denominado por ZW35 viene dado por

ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si Utilizar 1

Si Utilizar 1

p p x x

p p x x

y siempre utilizar (n1+1) y (n2+1)

El resumen de su actuacioacuten indica que aunque el meacutetodo no tiene fallos es

demasiado conservador ( α =221) y tiene poca potencia (θ =8488) De ahiacute que se

le haya descartado

(2) Meacutetodos extras de tipo ZW Los siguientes meacutetodos incrementan los datos en una

cantidad fija



ZW5

22

222 2

i i

i

n zh

n z

ZW6

22

2 22 24 2

i i

i

nn zh

n z n nz

ZW7

222

24

i

nzh

n z

ZW8

2 2

2 2

2 22 22 2

i

i

i

n z n zh

nn z n z

ZW9 2

222

1 11

4 2

i i

zh z

n n

ZW10

22 2

2

22 2

2

11

4

14 1

4

i

hi

i

h

zn z

nh

zn z

n

ZW11 2 2

2 22

4 2

i

z n zh

n

ZW12 2 2

2 214 2

i

i

z zh

n

Los siguientes meacutetodos que son aproximaciones de los meacutetodos L3 y L4 que se

veraacuten maacutes adelante incrementan los datos en una cantidad variable que depende del

extremo que se esteacute calculando

ZW13

22

1

22

2

si 2 1

si 2 1

i i

ii

i i

i

I n zd

N Ih

S n zd

N S

ZW14

221 22

22 2

1 2

222 22

22 2

2 2

1

2 si

2 1

2

1

2 si

2 1

2

i ii

i ii

i

i ii

i ii

I nn

N zzd

I nn z

N zh

S nn

N zzd

S nn z

N z

en donde

1 21 2 1 1 1 1 2 2

1 2

1 21 2 2 2 1 1 2 2

1 2

1 si 0 1 si 1 2 1 1 2

0 si 0 0 si 1

1 si 1 1 si 0 2 1 1 2

0 si 1 0 si 0

i i

i i

p pI I N I n B I p I p

p p

p pS S N S n B S p S p

p p

(236)

Finalmente los siguientes dos meacutetodos son una simplificacioacuten de ZW4 a fin de

hacerlo maacutes faacutecil de aplicar


ZW15

22

22

si 0 y 14

en otro caso2

i i

i

zp p

hz

ZW16 2

2

1 2

21

4i

z nh

n n

(3) Meacutetodos extras de tipo ZN Los siguientes estimadoresestadiacutesticos son nuevas

propuestas relacionadas con la anterior

ZNA0 Obtener ip para el error 1 1

ZNC0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d

con las li y ui calculadas al error

ZNCA0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d

el ZNC0 para el error 1 1

(4) Meacutetodos extras de tipo ZE Si el estimador ip se condiciona a que sus valores sean

compatibles con los del intervalo de confianza de Wilson (li ui) para las pi a un error

entonces se obtienen el estimador y meacutetodo dado por

ZEN0 Si (li ui) alude al CI para las pi obtenido por el meacutetodo de Wilson sustituir en Z

ˆ ˆ ˆ ˆ si si si i i i i i i i i i i i i ip p l p u p l p l p u p u

(5) Meacutetodos de tipo ZC La versioacuten Cb del estimador condicionado ip se puede definir

expliacutecitamente asiacute (lo que da lugar al estimador y al estadiacutestico ya analizados que se

indica)

ZCb0

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 1

si miacuten miacuten

0 si o

0 si o

1p a n n p a +n n a n a n a n a n

p p a +n n a n a n

p a n n p a n a n

Si en lo anterior se obliga a que las dos proporciones se diferencien en (que

parece maacutes loacutegico pero que nunca se ha propuesto) se obtiene el estimador y

estadiacutestico

ZCbD0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p a n a n

p p a n a n

Los estadiacutesticos que siguen se obtienen como simplificaciones de las

expresiones que se deducen al resolver en la igualdad 2 22exp z z para los

estadiacutesticos ZCb0 y ZCbD0 Si se escogen soacutelo los teacuterminos de grado 05 se



obtienen los estimadores y estadiacutesticos que siguen

ZCbA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o

1p p p =p a n a n a n a n

p p =p a n a n

p p p a n a n

ZCbDA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p d a n a n

p d p a n a n

Si se acogen solo los teacuterminos de grado 1 y se asume que n1n2 y a1a2 se

obtienen los estadiacutesticos doblemente aproximados siguientes

ZCbAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22

2 2

22 2 12

22 2 2

2

si miacuten miacuten1 1

2

si o 1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a

n n n np p p p z

n n n

n z d c

n a az =

np p z

n n

2

22

1 2

11 2

21 11 1 2

1

2

si o 1

2

n

n z d c

n a a

n np p z

n n

ZCbDAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22 2

2 2 2

2 22 2 1

22 2

2

2 2


2si o

1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a

n n n np p p p zn n n

z n zd sig c

n n a az =

n nd d z

n n

d sig

22 2

2 1 2

1 1 1 2

21 1

2

1 1

2si o

1

2

z n zc

n n a a

n nd d z

n n

Alternativamente si en todo lo anterior utilizamos la versioacuten Ca en lugar de la


Cb es decir si utilizamos soacutelo la primera expresioacuten de las tres de cada definicioacuten se

obtiene primero el estimador y estadiacutestico ya analizado ZCb0 y de modo extra los

estimadores y estadiacutesticos nuevos ZCaD0 (que se excluye pues puede dar una

varianza negativa) ZCaA0 = ZCaDA0 y ZCaAA0 = ZCaDAA0 Por tanto solo

tiene sentido analizar los dos casos marcados en negrita

Finalmente se puede condicionar al estimador Cb a que sus valores sean

compatibles con los del intervalo de confianza de Wilson (li ui) para las pi a un

error es decir que si ip alude al estimador Cb entonces el estimador y meacutetodo

viene dado por

ZCbN0

si

si

si

i i i i i

i i i i

i i i i

p p l p u

p l p l

p u p u

(6) Meacutetodos de tipo ZP El primer (segundo) estadiacutestico que sigue es una aproximacioacuten

del ZPb0 para el caso de que las ni sean grandes (n1n2 y las ni sean grandes)

ZPb01

2 2 21 2 1 2

24 4 si 2 maacutex

con 1 miacuten si 2 maacutex

i i

exp

i i i i

n n n d nn n n nd cz V=

V d d n n n

ZPb02

2 2

21 si 2 maacutex


i i

exp

i i i i

d n n nd cz V=

V d d n n n

Otras opciones posibles son los meacutetodos

ZPa0x Si en cada una de las foacutermulas anteriores se escoge solo la primera

expresioacuten de V (esto se hace pues asiacute se obtiene un IC maacutes sencillo)

ZPa5 Si ZPa0 se aplica a los datos incrementados en hi=2

2 2i n z n

II632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo X (a=5)


basados en el estadiacutestico X (no se incluyen procedimientos XCa y XPa pues los mismos

pueden dar lugar a varianzas negativas) en tanto que una parte de la Tabla AII2

contiene el resumen de los mismos Puede observarse que todos los meacutetodos presentan



muy mal comportamiento


anteriores pero ninguna de ellas compite con las seleccionadas en la seccioacuten anterior

Las tres modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) son las siguientes

(1) Meacutetodos extras de tipo XE

XEN0 El estadiacutestico X para el estimador de ZEN0

(2) Meacutetodos extras de tipo XC Otras opciones posibles son los meacutetodos

XCbD0 El estimador de ZCbD0 puesto en el estadiacutestico X

XCbN0 El estimador ZCaN0 puesto en el estadiacutestico X

II633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (a=5)


basados en el estadiacutestico A en tanto que una parte de la Tabla AII2 contiene el resumen

de sus resultados De ellas se deduce que el uacutenico meacutetodo que presenta un buen

comportamiento es el meacutetodo AE1

Cuando se utiliza la transformacioacuten arco seno es frecuente incrementar los datos

en hi=38 (transformacioacuten de Ascombe) pero estos procedimientos no sirven para

mejorar la seleccioacuten anterior

II634 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo L (a=5)


basados en el estadiacutestico L en tanto que una parte de la Tabla AII2 contiene el resumen

de sus resultados De su anaacutelisis puede concluirse que todos los meacutetodos L presentan un



anteriores pero ninguna de ellas compite con los meacutetodos ya seleccionados Las cuatro

modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) se describen a continuacioacuten


(1) Para estos casos es necesario calcular tambieacuten el teacutermino

3 33 1 1 1 1 1 2 2 2 2 25 1 5 1V p q p q n p q p q n

La primera posibilidad es utilizar una aproximacioacuten de orden 3 lo que da lugar a

dos opciones La primera es

LA0

2

2 22 2 32 2 1 2

2 3 1 1 12 2

1

1

2 21

V V Vd z z V z

V V V VzV

con el caso particular de que si V1=0 (o el interior de la raiacutez es negativo) debe

aplicarse el procedimiento L La segunda se basa en otro modo de obtener la

aproximacioacuten

LB0 22 22 2 1 2 1 2 2 1 3 12 2 d z V V z V z V V V V

con los casos particulares de que si V1=0

1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n

y 3 3

3 1 2

1

1 2

1 1

1 1V n n

Vn n

y de que si el interior de la raiacutez es negativo se aplica L0

Los 2 siguientes meacutetodos (que son una mejora de la aproximacioacuten de Maclaurin)

requieren determinar previamente las cantidades de la expresioacuten (236) Ahora los

extremos (I S) del CI se obtienen mediante las expresiones que siguen (h=1 para

I cuando se usa el signo h=2 para S cuando se usa el signo +)

LC0

22 22

2 122

42

h h h h

h

zd B B N z V

N z

LD0 22

2 2 22 2 22 2 2 12

1 12

42

h h h h h h

h

z V Vd B N z B N z N z V

V VN z

(en el meacutetodo LD0 hay que entender que si V1=0 entonces V2V1=0)




(a=1 5 y 10) caso general y caso particular de grandes muestras

La primera parte de las Tablas AII3 y AII4 repite los resultados completos y

resumidos respectivamente para los cinco meacutetodos seleccionados en la seccioacuten anterior

al error a=5 (ZW4 ZW2 ZW3 ZCb0 y AE1) a fin de hacer maacutes faacutecil al lector la

comparacioacuten de los mismos Todos ellos excepto el uacuteltimo son de dificultad

operacional baja A la vista de los mismos puede deducirse que

Los meacutetodos ZW2 ZW3 y ZCb0 son muy similares tienen solo dos fallos y son

algo liberales en promedio siendo preferibles los dos primeros por proporcionar

unos IC maacutes sencillos de obtener

Los dos mejores meacutetodos son los AE1 y ZW4 no tienen fallos son ligeramente

conservadores en promedio y tienen una buena potencia En general es mejor el

meacutetodo AE1 que el ZW4 aunque sucede al contrario cuando ambas muestras estaacuten

equilibradas

Con el fin de matizar yo ratificar dichos resultados las mismas Tablas AII3 y

AII4 contienen tambieacuten los mismos resultados para los errores del 1 y 10

Analizando dichas tablas al completo puede observarse de modo general que

El meacutetodo oacuteptimo global es el AE1 que es ligeramente superior al ZW4 (ambos son

ligeramente conservadores)

El meacutetodo oacuteptimo sencillo es el ZW4 pues es solo ligeramente peor que el AE1 (de

hecho al 5 ambos son casi iguales) y a cambio es mucho maacutes faacutecil de aplicar

(pues se puede hacer a mano) Cuando el punto no es de la frontera este meacutetodo es

equivalente al ZW3

El meacutetodo claacutesico ZCb0 actuacutea tan bien como el ZW3 solo para valores 5 pero

es algo maacutes complicado (pues puede requerir de la resolucioacuten de dos ecuaciones de

2ordm grado) En general dicho meacutetodo es el maacutes potente pero ello se debe a que suele

ser demasiado liberal y suele dar muchos fallos (especialmente al error del 1)

Adicionalmente la Tabla AII5 presenta el resumen de los datos de todos los

meacutetodos con solo cero o dos fallos (que son los que tienen intereacutes) para el caso de

grandes muestras (n1=n2=100) y error =5 (pues puede observarse que los


desequilibrios muestrales en grandes muestras no producen fuertes discrepancias) De

ella se deduce que los mejores meacutetodos son por este orden los ZW4 AE1 y ZCb0

Como ademaacutes el ZW4 es el maacutes sencillo de los tres eacutel seraacute el aconsejado

De todo lo anterior se deduce que los meacutetodos oacuteptimos (que son siempre alguno

de los propuestos en esta memoria y en segundo lugar el claacutesico ZCb0) son

En general el AE1 (aunque el meacutetodo ZW4 es solo un poco peor es maacutes faacutecil y es

el oacuteptimo cuando las muestras son equilibradas) seguido del ZCb0

En grandes muestras (n200) el ZW4 (seguido de los AE1 y ZCb0 por ese orden)

II65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los dos oacuteptimos (a=5)

Con el fin de ver si la aplicacioacuten de una cpc mejora los resultados de los dos

meacutetodos seleccionados en la seccioacuten anterior (los AE1 y ZW4) la Tabla AII6 presenta

el resumen de los mismos en sus dos versiones sin y con cpc (meacutetodos AE1 ZW4

AE1c y ZW4c) al 1 5 y 10 De ella se deduce que en ninguno de los casos la cpc

mejora la actuacioacuten del meacutetodo por lo que se mantienen las conclusiones de la seccioacuten

anterior

II66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura



meacutetodos Aquiacute se trata de ratificarlas o criticarlas en base a nuestros datos (algunas

conclusiones aparecen ya mencionadas en la seccioacuten II42) Con tal fin aludiremos a la

Tabla AII7 que resume los resultados de los meacutetodos implicados De esta uacuteltima se

deduce que (en lo que sigue el siacutembolo gt alude a que el meacutetodo de la izquierda es

mejor que el meacutetodo de la derecha)

ZCb0 gtgt ZW2 gt ZPa0 gt ZN0 gt ZE0 gtgt ZW1 gtgt ZW0

Las principales conclusiones de la literatura son las que siguen las cuales se

comentan si no se deducen directamente de las conclusiones especificadas arriba

No se analizan las afirmaciones de Dunnet amp Gent (1977) por estar basadas en los



estadiacutesticos con la cpc de Yates y en una evaluacioacuten condicional

Tanto Hauck amp Anderson (1986) como Xu amp Kolassa (2008) afirman que el meacutetodo

ZW0 presenta un muy mal comportamiento cosa que se confirma seguacuten nuestros

resultados

Seguacuten Roebruck amp Kuumlhn (1995) el meacutetodo ZE0 es mejor que los meacutetodos ZW0 (lo

que es conforme con nuestros datos) y ZCb0 pero seguacuten Wallenstein (1997) ocurre

lo contrario con respecto a la segunda afirmacioacuten ZCb0 es mejor que ZE0 Nuestros

resultados indican que sucede lo segundo Wallenstein (1997) tambieacuten afirma que el

meacutetodo ZCb0 es mejor que el meacutetodo ZPa0 nuestros resultados indican que esto es

verdad desde el punto de vista de la potencia pero no tan claramente en cuanto al

nuacutemero de fallos y al error medio

Chan (1998) indica que ZE0 es liberal si n1=n2 nuestros resultados indican que en

realidad ZE0 es liberal praacutecticamente siempre

Newcombe (1998 a) demostroacute que ZN0 es mejor que ZE0 Agresti amp Caffo (2000)

vieron que su propuesta ZW2 funciona bastante bien y Feigin amp Lumelskii (2000)

antildeadieron que el meacutetodo ZPa0 es mejor que el ZW0 Nuestros datos confirman

todas estas 3 afirmaciones

Martiacuten amp Herranz (2004 a) sugieren que el meacutetodo ZE0 debe aplicarse con cpc y en

la versioacuten de dos colas de Mantel Aquiacute no se ha evaluado pues ZE0 no ha llegado a

ser seleccionado y ademaacutes el meacutetodo de Mantel no ha sido contemplado Para este

meacutetodo el criterio de test consiste en comparar zexp con z2 (z) si 2 1d

( 2 1d ) La Tabla AII8 contiene los resultados para las cuatro combinaciones

que se obtienen con las versiones Armitage (actual)Mantel y consin cpc del

meacutetodo ZE0 De ella que se deduce que las versiones CON son siempre mejores que

las versiones SIN y que el meacutetodo oacuteptimo lo proporciona la versioacuten ZE0c (la actual

con cpc)

Brown amp Li (2005) indican que ZE0 es mejor que ZW0 y Santner et al (2007) que

ZE0 era liberal el 50 de las veces Nuestros resultados indican que en realidad el

meacutetodo ZE0 es liberal praacutecticamente siempre pero la discrepancia se debe a los

diferentes puntos de vista adoptados Santner et al (2007) aluden a que para un

dado ZE0 es liberal en la mitad de los posibles valores de p1 (caso de muestras muy

pequentildeas) Aquiacute se elige el peor valor de p1 (el que proporciona el valor de ) para


cada y se indica que el meacutetodo ZE0 es liberal para casi todos los (caso de

muestras moderadas)

Finalmente conviene resentildear la sorprendente mala actuacioacuten del reputado

meacutetodo ZE0 lo que es conforme con lo sentildealado por Chan (1998) Newcombe (1998) y

Santner et al (2007) Maacutes sorprendente auacuten es el hecho de que uno de los dos mejores

meacutetodos (el ZW4) sea una aproximacioacuten del meacutetodo ZE0

II67 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo para el caso claacutesico de =0 (test claacutesico de

homogeneidad de dos proporciones independientes)

II671 Seleccioacuten general

Un asunto complementario es el caso del test para δ=0 es decir el claacutesico test de

homogeneidad de dos proporciones independientes (H0 d=0 H0 p1=p2) Su estadiacutestico

de contraste tradicional suele expresarse de la forma 2 2exp 1 2 2 1 1 2 1 2( ) x y x y n n n a a el

cual se corresponde con los meacutetodos ZE0 y XE0 actuales En este caso particular los

meacutetodos de estimacioacuten Ca Cb y E proporcionan igual valor para las estimaciones de las

pi por lo que todos los meacutetodos que provocan (sean de tipo Z X o A) deben ser el

mismo Como por otro lado los procedimientos XE y ZE son tambieacuten el mismo la

afirmacioacuten anterior se traslada a ambos Adicionalmente en el caso del estadiacutestico A

ocurre que =0 siempre (pues p1=p2) con lo que todos los meacutetodos de tipo A son el

mismo Esto quiere decir que ahora se verifican las siguientes igualdades entre

procedimientos ZCa = ZCb = ZE = XCa = XCb y ACb =APb = AE de donde se deduce

que basta con que contemplemos los procedimientos ZE y AE (cada uno de ellos en sus

cinco versiones) como representantes de los anteriores A estos hay que antildeadir los

procedimientos basados en el estadiacutestico L La Tabla AII9 contiene el resumen de los

datos para todos los meacutetodos (extraiacutedos de los datos originales de la Tabla AII1) El

primer objetivo es seleccionar los mejores meacutetodos de modo global para =5 (que es

el error maacutes importante) De tales datos se deduce que

Se pueden descartar los meacutetodos ZW0 a XPb1 (al final en el orden de la tabla) por

tener dos o maacutes fallos y ser demasiado liberales

Se pueden descartar los meacutetodos L2 y L3 pues aunque no tienen fallos son

demasiado liberales



Se pueden descartar los todos los meacutetodos de tipo ZP (al inicio de la tabla) pues

aunque son equilibrados tienen poca potencia

Los meacutetodos que restan (todos ellos sin fallos) pueden dividirse en dos grupos los

que son ligeramente liberales (ZE2 a ZN4) y los que son algo maacutes liberales (AE3 a

ZW1) siendo preferibles los del primer grupo

De este primer grupo (ZE2 a ZN4) puesto que todos tienen un similar error son

preferibles los meacutetodos con mayor potencia En consecuencia los meacutetodos

seleccionados son los ZE2 y ZE3 (que solo son ligeramente liberales) aunque los

ZN2 y ZN3 son solo ligeramente peores

Obseacutervese que el meacutetodo claacutesico ZE0 y los dos meacutetodos seleccionados para todo

valor de (AE1 y ZW4) pertenecen al segundo grupo citado arriba los tres son

demasiado liberales

Se ve pues que los meacutetodos seleccionados en esta fase son los ZE2 y ZE3 A

ellos conviene antildeadirles los meacutetodos ZE0 (por razones histoacutericas) y los AE1 y ZW4

(por ser los meacutetodos seleccionados de modo general)

Para matizar dicha seleccioacuten se construye la Tabla AII10 para estos cinco

meacutetodos (con y sin cpc) y para los tres errores de la cual se deduce la tabla resumen

Tabla AII11 Su anaacutelisis da lugar a una seleccioacuten muy variada los mejores meacutetodos

son los AE1c AE1 ZE0c y ZE0 para =1 los ZE2c ZE2 ZE3c y ZE3 para =5 y

ZE3 para =10 Adicionalmente la tabla indica que los meacutetodos ZE0 no deben

utilizarse para =10 son poco convenientes para =5 pero son los mejores para

=1 En realidad lo que sucede es que la seleccioacuten depende fuertemente de los valores

de n1 y n2 Analizando en detalle dicha tabla podemos concluir que los meacutetodos

preferibles son

Para =1 ZE0c (seguido de AE1c)

Para =5 No hay una seleccioacuten clara pues seguacuten los valores de ni la seleccioacuten es

ZE0c (seguido de AE1c) para ni distintos y ZE3c para ni iguales De modo general

seleccionamos el meacutetodo ZE0c por ser el mejor en la mayoriacutea de las circunstancias el

maacutes sencillo y el claacutesico

Para =10 No hay una seleccioacuten unaacutenime pero ZE3 suele ser el mejor


En consecuencia la seleccioacuten final para el caso =0 es la siguiente

Para =1 y 5 ZE0c (seguido de AE1c) para ni distintos y ZE3c para ni iguales

Para =10 ZE3 (nunca utilizar ZE0)

II672 Seleccioacuten para =5 en el caso de grandes muestras (n160)

Ahora al contrario que en el caso general en el que se analizan globalmente

todos los (pues se piensa en un intervalo de confianza) la actuacioacuten de los distintos

meacutetodos variacutea seguacuten cual sea el desequilibrio muestral Es por ello que consideraremos

como grandes muestras los casos (n1=60 n2=100) y (n1=100 n2=100) es decir el caso

n160 En lo que sigue nos centramos en los casos =5 y n160 por ser los maacutes

habituales Observado los errores y potencias para =5 de las tablas de la seccioacuten

II64 se observa que

Para n=160 (n1=60 n2=100) los mejores meacutetodos son (por este orden) los ZE0 AE1

AE3 y ZE1 con errores de 006 006 +004 y 002 respectivamente y potencias

7541 7538 7512 y 7512 respectivamente Tambieacuten se observa que el meacutetodo ZW0

(seleccionado maacutes abajo) actuacutea muy mal (de hecho falla)

Para n=200 (n1=100 n2=100) los mejores meacutetodos son (por este orden) ZW0 ZE0 y

AE1 todos ellos con un error de 060 y una potencia de 7886 7874 y 7866

respectivamente

En consecuencia y dado que el meacutetodo AE1 es maacutes difiacutecil de aplicar que el

ZE0 la seleccioacuten es clara el meacutetodo oacuteptimo es el ZE0 (el claacutesico de la literatura) el

cual como vimos antes debe aplicarse con cpc


Capiacutetulo I

La metodologiacutea utilizada para seleccionar el meacutetodo oacuteptimo en el caso de una

combinacioacuten lineal general de K proporciones es diferente y menos perfecta que la

utilizada en el caso actual de la diferencia En el primer caso se eligen valores de δ al

azar y se determina el error a(p) solo para el valor p que se eligioacute al azar en el caso

actual se parte de una diferencia δ fijada de antemano y entonces se maximiza el error



a(p) en el paraacutemetro perturbador p Se ve pues la conveniencia de ratificar que ambas

metodologiacuteas dan lugar a resultados similares

Para tal fin se va a analizar por la metodologiacutea desarrollada en el capiacutetulo

anterior el caso actual de la diferencia de proporciones por lo que debemos suponer

que L=d b1=ndash1 b2=+1 El anaacutelisis se realizaraacute para tamantildeos muestrales ni=40 60 y 100

(a fin de que sus resultados sean comparables a los anteriores) y soacutelo para a=5 Los

meacutetodos elegidos para esta comparacioacuten son los maacutes habituales yo relevantes de este

caso ZE0 ZN0 ZW2 ZW3 ZPa0 y ZW4 Por el estudio realizado en las secciones

anteriores se ve que ZE0ltZN0ltZPa0lt ZW2 ZW3ltZW4

Analizando los meacutetodos notados en la seccioacuten I52 por E0 N0 Pa0 W1 W2 y

W3 (que son equivalentes a los citados arriba por ese orden) se obtienen los resultados

de la Tabla AII12 De ella se deduce que

El peor meacutetodo es el ZN0 (pues casi siempre presenta un apreciable nuacutemero de fallos)

Los siguientes peores meacutetodos son los ZE0 (da valores Rmin demasiado bajos) y ZPa0

(da valores Rmin demasiado bajo y sus lmean son demasiado grandes)

A continuacioacuten viene los meacutetodos ZW2 y ZW1 que siendo similares entre siacute tiene

algunos valores de Rmin demasiado bajos

Finalmente el mejor meacutetodo es el ZW3 (no falla nunca y sus valores de lmean son

mejores o iguales que los de cualquier otro meacutetodo) el cual tiene un comportamiento

ligeramente conservador

Se ve pues que globalmente los resultados de ambas metodologiacuteas de anaacutelisis

son compatibles especialmente en lo que respecta a cuaacuteles son los peores meacutetodos

(ZN0 y ZE0) y a cuaacutel es el mejor (el ZW3)

II7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

II71 Meacutetodo oacuteptimo

Por todo lo resentildeado en las secciones anteriores pueden establecerse las

conclusiones que se indican en el cuadro de abajo Obseacutervese que casi todos los

meacutetodos seleccionados son nuevas aportaciones de esta memoria


SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA EL CASO DE LA DIFERENCIA

Caso General

AE1 es el mejor meacutetodo (aunque requiere de procedimientos iterativos para obtener

el IC)

Alternativamente puede emplearse el meacutetodo ZW4 pues siendo solo un poco peor

que el AE1 es maacutes sencillo e incluso lo supera en el caso de tamantildeos de muestra

equilibrados y en el caso de grandes muestras (n200)

Caso de un Contraste (es decir =0)

Para =1 o 5 ZE0c para ni distintos y ZE3c para ni iguales son los mejores

meacutetodos (seguido por el meacutetodo AE1c que tiene un comportamiento muy similar

pero que es maacutes complicado)

Para =10 ZE3 es el mejor meacutetodo

II72 Foacutermulas aconsejadas para realizar la inferencia

II721 Caso General (para todo )

Meacutetodo AE1 (meacutetodo oacuteptimo)

1) Incrementar los datos de ambos grupos (los eacutexitos xi y los fracasos yi) en 05

2) El estadiacutestico de contraste viene dado por la expresioacuten

2

1 1 1 11 2 2 1 2 1

21

1 2

AE

ˆ ˆn n sin p sin p sin p sin pz =

n n

(237)

con ip el estimador de maacutexima verosimilitud dado por 0 51 2 32 3p c B cos c

y 2 1ˆ ˆp p utilizando para ello 0 1 1c x 1 1 1 12c a n n x

2 2 1 12c n n n a 3c n 22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y

1 3 2 3cos A B



Si el objetivo es obtener el intervalo calcular por meacutetodos iterativos las dos

soluciones de la ecuacioacuten 2 21 2AE z z

Meacutetodo ZW4 (meacutetodo alternativo casi tan bueno como el oacuteptimo pero maacutes sencillo)

1) Incrementar todos los datos (los eacutexitos xi y los fracasos yi) en 22 4z si 0ltxiltni (i)

o en otro caso incrementarlos en

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p



1 1 2 22

1 2

p q p qd d z

n n 2

24

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p q

n n

(238)

II722 Caso Particular (=0)

Ahora solo tiene sentido realizar el test siendo las opciones las que se indican a

continuacioacuten Una ventaja adicional de la seleccioacuten que sigue es que los meacutetodos

aconsejados no precisan de condicioacuten de validez alguna (salvo que n1+n240) no siendo

necesario por tanto verificar si las cantidades esperadas son mayores o no que un

determinado nuacutemero

Meacutetodo ZE0c el oacuteptimo si =1 o =5 y los tamantildeos de muestra son diferentes

El estadiacutestico de contraste tiene la siguiente forma claacutesica

2

2 11 22 1

1 1 220

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y 2

si 0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq

q a nn n c n nn n np p c

(239)

Una versioacuten simplificada del mismo (aunque no exactamente igual) es la tambieacuten

claacutesica expresioacuten


2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 220

1 21 2 2 1

si 1 si con

2 si 0 si ZE c

x y x y c n a a n n x y x y c n nz c

n nx y x y c

Meacutetodo ZE3c el oacuteptimo si =1 o =5 y los tamantildeos de muestra son iguales

1) Incrementar todos los datos (los eacutexitos xi y los fracasos yi) en 22 4z

2) Calcular el estadiacutestico de contraste

2

2 11 22 1

1 1 223

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y

2 si

0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq

q a nn nc n n

n n np p c

(240)

Una versioacuten simplificada del mismo (aunque no exactamente igual) es

2

1 2 2 11 22 1 2 2 1

3 1 2 1 21 2

1 2 2 1

1 si si con

2 si 0 si

ZE c

x y x y cn nn x y x y c

z ca a n n n nx y x y c

Meacutetodo ZE3 el oacuteptimo si =10



2

12 2 13

2

1 2

con 1 1

ZE

p a np pz

q a npq

n n

(241)

Una versioacuten simplificada del mismo (y exactamente igual) es

2

2 1 2 2 13

1 2 1 2ZE

x y x yz n

a a n n

II73 Ejemplos praacutecticos

II731 Intervalo de confianza

Rodary et al (1989) estudian la respuesta a la quimioterapia y a la radioterapia a

traveacutes de un ensayo cliacutenico en pacientes con nefroblastoma Los datos son los de la

Tabla II2 por lo que los porcentajes de respuesta positiva fueron 1p =09432=8388 y



2p =09079=6976 en el grupo de quimioterapia y radioterapia respectivamente (cuyos

valores poblacionales son p1 y p2 respectivamente) El meacutetodo oacuteptimo general para

obtener un IC aproximado al 95 para d=p2p1 es el AE1 de la expresioacuten (237) lo que

proporciona los valores d=p2p1(01290 00482) de longitud l(AE1) = 01772

Alternativamente puede emplearse el meacutetodo ZW4 (que en realidad es el

recomendado para tamantildeos de muestra similares como en el caso actual) Como

0ltxiltni los datos deben incrementarse en 19624=096 y la primera expresioacuten (238)

debe aplicarse a las dos muestras x1n1=83968992 y x2n2=69967792 esto

proporciona el IC dado por d=p2p1(01205 00488) de longitud l(ZW4) = 01693 lt

l(AE1) = 01772

Si se aplica el claacutesico y poco fiable meacutetodo ZE0c de las marcas con cpc de la

expresioacuten (239) se obtiene el intervalo (01287 00483) de longitud l(ZE0c) = 01770

(solucioacuten que en esta ocasioacuten es muy similar a la del meacutetodo AE1 pues con muestras

relativamente grandes y valores de cercanos a 0 el meacutetodo ZE0c no funciona mal)

Tabla II2

Respuestas favorables (SIacute) o desfavorables (NO) para los tratamientos indicados

Tratamiento SIacute NO Total

Quimioterapia 83 5 88

Radioterapia 69 7 76

Total 152 12 164

Finalmente el meacutetodo exacto oacuteptimo de Herranz and Martiacuten (2008) -programa

httpwwwugreslocalbioestSDGEXE seleccionando el test SG2 y el orden ZY-

proporciona el IC exacto d=p2p1(01352 00547) de longitud l(exacto) = 01899 El

meacutetodo exacto basado en el orden que proporciona el estadiacutestico AE1 da

d=p2p1(01295 00494) un intervalo que es muy similar al del meacutetodo asintoacutetico

AE1 y de menor longitud que el IC exacto anterior (lo que sugiere que este nuevo orden

podriacutea ser una buena alternativa para construir el meacutetodo exacto)


II732 Test de homogeneidad

Antes de obtener el IC de la seccioacuten anterior los investigadores usualmente

comienzan determinando si las dos proporciones implicadas (p1 y p2) son iguales o no a

cuyo efecto suelen realizar el test de homogeneidad de dos proporciones al error =5

Aunque los tamantildeos de muestra son diferentes no lo son demasiado de modo que los

dos tests ZE0c y ZE3c son aplicables Las expresiones (239) y (240) proporcionan los

valores zZE0c=08617 y zZE3c=08372 ambos no significativos por ser inferiores a 196

debe aceptarse que las dos proporciones son iguales

Obseacutervese que los meacutetodos oacuteptimos aconsejados para el test no son los mismos

que los meacutetodos oacuteptimos aconsejados para el IC lo que ocasionalmente puede dar lugar

a que no sean compatibles los resultados de uno y otro

CAPIacuteTULO III

K=2 EN EL CASO DEL COCIENTE

III1 INTRODUCCIOacuteN

Como se indicoacute en el capiacutetulo anterior la comparacioacuten de las dos proporciones

pi (i=1 o 2) de individuos que presentan una caracteriacutestica de intereacutes en dos poblaciones

distintas es uno de los objetivos maacutes frecuentes en Ciencias de la Salud a cuyo fin lo

maacutes comuacuten es tomar dos muestras independientes de cada una de ellas En estadiacutestica

aplicada es habitual el uso del paraacutemetro d (desarrollado en el capiacutetulo II) pero en el

aacutembito de la medicina el paraacutemetro de intereacutes suele ser el cociente de dos proporciones

R=p2p1 Son ejemplos de ello los ensayos cliacutenicos donde se evaluacutea la eficacia de una

nueva vacuna los estudios de comparacioacuten de dos meacutetodos de diagnoacutestico binarios los

estudios sobre la comparacioacuten de dos tratamientos etc Igual que el paraacutemetro d R

constituye un caso particular del caso general del Capiacutetulo I ahora K=2 1=ndashρ 2=+1

L=p2ndashρp1 λ=0 y la Tabla I1 se particulariza en la actual Tabla III1 (que se comenta de

momento) El objetivo actual es pues la realizacioacuten de un test de dos colas sobre R (H0

R=ρ vs H1 Rρ equiv H0 p2ndashρp1=0 vs H1 p2ndashρp10) o la obtencioacuten de un IC de dos colas

para R

Tabla III1



I x1 y1 n1 β1=ndashρ

II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n

La Tabla III1 presenta los datos obtenidos en este tipo de experimentos donde





caracteriacutestica βi son los coeficientes de la combinacioacuten lineal 1a =xi ( 2a =yi) es el

total de individuos que siacute (no) presentan la caracteriacutestica y finalmente n =a1+a2=ni es

el tamantildeo total de la experiencia Las dos variables aleatorias ( )ix siguen distribuciones

binomiales independientes ( )i i ix B n p con i=1 o 2 en donde ip es la proporcioacuten

(desconocida) de individuos de la poblacioacuten i que presentan la caracteriacutestica

El Caso d ha recibido la atencioacuten de cientos de artiacuteculos a lo largo de la

literatura en tanto que el nuacutemero de publicaciones acerca de R es bastante maacutes limitado

Desde el punto de vista exacto la obtencioacuten del IC para R es computacionalmente

intensiva (requiere de programas informaacuteticos especiacuteficos) y es poco factible para

tamantildeos de muestra moderadamente grandes (Reiczigel et al 2008) Por ello

investigadores como Farrington amp Manning (1990) Dann amp Koch (2005) o Price amp

Bonnet (2008) entre otros han dedicado gran atencioacuten al caso asintoacutetico proponiendo

yo analizando distintos meacutetodos para realizar inferencias


para el caso particular del paraacutemetro R y compararlos con las mejores propuestas de la

literatura

III2 NOTACIOacuteN

III21 Generalidades y estadiacutesticos base


2 y sea R=p2p1 el paraacutemetro de intereacutes (con las proporciones pi desconocidas) Sean

ip =xini las proporciones muestrales y 2 1R p p la estimacioacuten muestral del cociente

poblacional R Sean tambieacuten qi=1pi y 1i iq p Para contrastar H0 R=ρ vs H1 Rρ

(con 0leρleinfin ya que 0lepile1) es necesario seleccionar primeramente un estadiacutestico de

contraste que podraacute tener una de las cinco formas siguientes (que en adelante seraacuten

aludidas abreviadamente por el nombre en negrita que se indica)

Z

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1Z

p ρpz

p p p pρ

n n

(31)

CAPIacuteTULO III K=2 EN EL CASO DEL COCIENTE 91

R

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1R

p ρpz

p p p pR

n n

(32)

L

2

2 12 1 2

1 1 2 2

2 1

si 0

0 si =0

L

ln R ρ| p ρp |

q qz

n p n p

| p ρp |

(33)

X 22

2 12 2

2 1

si | | 0con =

0 si | |=0 i i i i

X ii i

χ p ρp n p pz χ

p qp ρp

(34)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

donde

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(35)

En cualquiera de los cinco casos habraacute que comparar el valor experimental del

estadiacutestico 2expz (cualquiera de los cinco anteriores 2

Zz 2Rz hellip 2

Az ) con 22z (en donde

2z es el percentil (1ndashα2)100 de la distribucioacuten normal tiacutepica) Para obtener el IC

(1ndashα) para R se invierte el test despejando ρ en la ecuacioacuten 2 22exp z z En unas

ocasiones la solucioacuten seraacute expliacutecita (y maacutes o menos sencilla) en otras requeriraacute de un

procedimiento iterativo

III22 Estimadores de las proporciones pi

En los cinco estadiacutesticos anteriores (Z R L X o A) las proporciones pi

desconocidas deben ser sustituidas por alguno de sus estimadores (con el fin de que

tengan utilidad praacutectica) En lo que sigue se describen los mismos y se pone en

mayuacutesculas y negrita la letra abreviada que designaraacute el procedimiento que proporciona

cada estimador (letra que hay que antildeadir a la del estadiacutestico Z R L X o A utilizado)

III221 Estimadores no restringidos por H0









N (Newcombe) 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2 2 1

si 0

si 0

p u p l p p

p l p u p p

(37)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(38)


III222 Estimadores siacute restringidos por H0


obtenido por el meacutetodo de tipo condicionado de Dunnett amp Gent (1977)

C (Condicionado) 11

1 2

ap

n n

y 2 1p p (39)


conveniente exigir que cumpla esta condicioacuten de ahiacute que el estimador ip tenga dos

versiones

Ca ip = (39)

Cb ip = (39) restringida a que esteacute entre 0 y 1 ( ip =1 si ip gt1)


verosimilitud bajo H0 (Koopman 1984 Miettinen amp Nurminen 1985)

E (Incondicionado exacto)


2

1 2 2 1 1 2 2 1 1

1

4

2

n x n x n x n x nap

n

y 2 1ˆ ˆp p (310)

Un modo de simplificar lo anterior es a traveacutes de los siguientes estimadores

incondicionados aproximados

A (Incondicionado Aproximado) 2 11

x xp

n

y 2 1p p (311)

Al igual que en el caso de los estimadores de tipo condicionado parece conveniente

exigir que ip

sea un valor liacutecito (es decir que esteacute comprendido entre 0 y 1) de ahiacute que

ip

tenga dos versiones

Aa ip

= (311)

Ab ip


=1 si ip

gt1)


P (Incondicionado de Peskun) 1 21

2

n np

n

y 2 1p p

(312)

aunque como en el caso de los estimadores de tipo condicionado e incondicionado

aproximado parece conveniente exigir que ip

sea un valor liacutecito de ahiacute que ip

tenga

tambieacuten dos versiones

Pa ip

= (312)

Pb ip


=1 si ip

gt1)

III23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador

Cuando en las 5 expresiones (31) (32) (33) (34) y (35) se sustituye cada uno

de los 9 estimadores aludidos en la seccioacuten anterior se obtienen los 45 estadiacutesticos 2ZWz

2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz 2

ZPbz 2RWz hellipy 2

APbz cada uno de los cuales da

lugar a un procedimiento de test diferente Al invertir el mismo se obtiene un

procedimiento de IC diferente En ambos casos el nombre del procedimiento es la

unioacuten de las letras de los estadiacutesticos (Z R L X y A) y estimadores (W N Ca Cb E

Aa Ab Pa y Pb) implicados en su definicioacuten es por ello que los 45 procedimientos



aludidos seraacuten ZW ZN ZCa ZCb ZE ZAa ZAb ZPa ZPb RWhellip APb Sin

embargo algunos de ellos deben omitirse por las razones que siguen

a) El estadiacutestico R (cuyo origen como se ve maacutes adelante es obtener una

simplificacioacuten del estadiacutestico Z para que el IC se obtenga como solucioacuten de una

ecuacioacuten lineal) solo puede combinarse con los dos estimadores W y N pues ellos

son los uacutenicos que no dependen de De ahiacute que R solo proporcione dos

procedimientos los RW y RN

b) Los procedimientos XE y ZE son equivalentes (como se demostraraacute en la siguiente

seccioacuten) por lo que basta considerar uno de ellos (el ZE por ser el maacutes conocido)

c) Los procedimientos XW AW XN y AN no dependen de ρ (y ademaacutes los dos

primeros tienen un valor nulo) por lo que deben excluirse

d) Los procedimientos ACa AAa y APa pueden proporcionar valores de pigt1 (en cuyo

caso no tiene sentido la trasformacioacuten arco seno) por lo que tambieacuten deben

excluirse

Teniendo en cuenta estas exclusiones se obtienen 30 procedimientos en total de los 45

inicialmente propuestos

III24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan

Las foacutermulas anteriores pueden utilizarse en base a los datos xi e yi originales o

en base a los datos originales incrementados en una cantidad hi determinada es decir en

base a (xi+hi yi+hi ni+2hi) Este incremento como se comentoacute en el Capiacutetulo I tiene su

origen en los meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald cuyo objetivo no es otro que el de mejorar el

comportamiento del procedimiento ZW adicionalmente el incremento es tambieacuten

habitual para mejorar el comportamiento del procedimiento LW del que tambieacuten se

sabe que funciona muy mal (Woolf 1955 Katz et al 1978 Koopman 1984 Dann amp

Koch 2005) Los valores posibles de hi se denotan con el diacutegito (en negrita) que los



1 hi =05 (Woolf)

2 hi =1 (Dann amp Koch)


3 hi=2

2 4z

4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p


propios datos (aludidos maacutes adelante) han demostrado que no mejoran a los anteriores


30 procedimientos anteriores (ZW ZNhellip APa y APb) dando lugar a 150 meacutetodos de


y el diacutegito del incremento correspondiente ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4hellip APb4

III3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO

III31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z

III311 Generalidad

Es bien conocido que si i i ix B n p con i=1 o 2 son dos distribuciones

binomiales independientes entonces las proporciones muestrales i i ip x n convergen

a una normal dip N(pi piqini) Como 0 2 1H p p es equivalente a

0 2 1 0H p p entonces el estadiacutestico de contraste 2 1p p (meacutetodo de Fieller

1944) bajo H0 se distribuye asintoacuteticamente como una normal con media y varianza

las indicadas a continuacioacuten

2 1 1 2 22 1

1 2

0 d p q p qp p N

n n

Para contrastar la hipoacutetesis H0 R=ρ vs H1 Rneρ hay que comparar el valor experimental


2z (como se indicoacute anteriormente) El IC (1ndashα)

para R que se obtiene por inversioacuten del test vendraacute dado por las dos soluciones liacutecitas

de la ecuacioacuten 2 22 Zz z





la seccioacuten III22)

III312 Meacutetodo claacutesico de Wald




procedimiento ZW (el claacutesico procedimiento de Wald contemplado por primera vez por

Katz et al 1978 para el actual caso de R) Las expresiones siguientes aluden al

estadiacutestico y al IC que se obtiene por inversioacuten del mismo

ZW 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p qn n

(313)

ICZW R 21 2 1 22 22

2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2

11 ( )

y y y yRz z

z y n x n x n x n x n x

(314)

III313 Meacutetodo condicionado

Bajo la hipoacutetesis nula H0 p2p1=ρ ocurre que p2=p1ρ por lo que p1 es el uacutenico

paraacutemetro desconocido Desde el punto de vista condicionado (es decir condicionando

en que los eacutexitos siempre sumen el valor observado de a1) el estimador ip sugerido por

Farrington amp Manning (1990) viene dado por la expresioacuten (39) con la precaucioacuten de

que si 1ip debe hacerse 1ip para que sea un valor liacutecito Esto lleva a que se

consideren dos versiones ZCa (sin exigir que ip sea un valor liacutecito) y ZCb (exigiendo

que ip esteacute entre 0 y 1) Cualquiera que sea el caso el estadiacutestico de contraste seraacute de la

forma

ZCab 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZC

p pz

p q p qn n

(315)

La obtencioacuten del IC a traveacutes del procedimiento ZCab (ICZCab) no tiene una solucioacuten

expliacutecita sencilla y hay que determinarlo por meacutetodos iterativos


III314 Meacutetodo incondicionado exacto

Desde el punto de vista incondicionado Koopman (1984) y Miettinen amp

Nurminen (1985) proponen el estimador de maacutexima verosimilitud bajo H0 (sin

condicionar en los marginales) -el valor 1p dado por la expresioacuten (310)- y lo aplican al

estadiacutestico Z Por tanto el estadiacutestico de contraste para el procedimiento ZE seraacute de la

forma

ZE 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZE

p pz


(316)

y el IC se obtiene resolviendo en ρ por meacutetodos iterativos la ecuacioacuten 2 22ZE α z z

(aunque Nam 1995 proporciona la solucioacuten expliacutecita a traveacutes de las soluciones de una

ecuacioacuten cuacutebica) Para los casos maacutes extremos Koopman (1984) justificoacute que el IC

R(I S) es el siguiente (1) cuando x1=x2=0 (0 infin) (2) cuando x1=n1 y x2=n2

22 2 2I n n z 2

1 2 1S n z n (3) cuando x1=0 y x20 S= y (4)

cuando x10 y x2=0 I=0

III315 Meacutetodo incondicionado de Peskun

En el Caso d Peskun (1993) empleoacute el criterio de Sterne (1954) al indicar que el

estadiacutestico Z seraacute significativo cuando lo sea para cualquier valor de p1 es decir cuando

2 22Z z z para todo valor de p1 Martiacuten amp Herranz (2010) emplearon el mismo criterio

para el Caso R determinando el miacutenimo valor de 2Zz (es decir el maacuteximo valor de su

denominador) respecto de p1 Tales autores encuentran que este maacuteximo se alcanza en el

valor 1p

de la expresioacuten (312) y teniendo en cuenta que ip

puede ser un valor iliacutecito

expresan el estadiacutestico ZPb de la forma

ZPb

2 2

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

222 2 1 1 1

2

1 2 1 2 2

4 si

1 si

1 si

ZPb

nn n p p n n n n n n n n

z n p p n n n

n p p n n n

(317)

viniendo dado el estadiacutestico 2ZPaz por la primera expresioacuten de arriba (sin tener en cuenta



las restricciones para ρ) El IC para se obtiene resolviendo las ecuaciones de segundo

grado 2 22ZPa α z z y 2 2

2ZPb α z z (ver maacutes detalles en la seccioacuten III54)

III32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico L

III321 Generalidades

Otro estadiacutestico bien conocido en el Caso R es el estadiacutestico L basado en la

transformacioacuten logariacutetmica En lugar de considerar la variable aleatoria R se

contempla su logaritmo neperiano 2 1ln R ln p ln p que se distribuye de manera

aproximadamente normal con media y varianza las siguientes

1 1 1 2 2 2dln R N ln q n p q n p

Para el caso de contrastar H0 R= el estadiacutestico apropiado viene dado por la expresioacuten

(33) invirtiendo la misma se obtiene el IC siguiente

ICL 2 1 1 1 2 2 2R R exp z q n p q n p (318)

Las expresiones anteriores como en el caso de otros estadiacutesticos no tienen utilidad

hasta que las proporciones pi desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten de las

mismas

III322 Meacutetodos claacutesicos de Woolf y ldquoadjustedrdquo Woolf

De nuevo el procedimiento maacutes sencillo para obtener las expresiones (33) y

(318) consiste en sustituir los valores desconocidos por las proporciones muestrales

dadas por la expresioacuten (36) lo que da lugar al procedimiento LW de Woolf (1955)

Ahora

LW 2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z

q q nn p n p x x n n

(319)

ICLW 2 1 1 1 2 2 2R R exp z y n x y n x (320)

Es conocido que el meacutetodo de Woolf tiene un mal comportamiento (Woolf


1955 Koopman 1984) Con el fin de mejorarlo diversos autores han propuesto

aplicarlo no en base a los datos originales (meacutetodo LW0) sino en base a los datos

incrementados en una cantidad hi (xi+hi yi+hi) Son tradicionales los incrementos hi=05

(meacutetodo LW1) de Woolf (1955) y hi=1 (meacutetodo LW2) de Dann amp Koch (2005) este

uacuteltimo propuesto en paralelo a la sugerencia de Agresti amp Caffo (2000) para el Caso d

III323 Meacutetodos de tipo Newcombe

Para el Caso d Newcombe (1998) plantea un nuevo procedimiento basado en el

IC asintoacutetico para una uacutenica proporcioacuten dado por Wilson (1927) del cual se dieron

datos detallados en los capiacutetulos anteriores Zou amp Donner (2008) generalizan y

justifican teoacutericamente el procedimiento de Newcombe (ver la seccioacuten I313)

incluyendo resultados para el Caso R Tales autores indican que si (li ui) es un IC para

pi al error α entonces un IC aproximado para R tambieacuten al error α es (procedimiento

LZ)

ICLZ

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

R exp ln u ln p ln p ln l

R

R exp ln p ln l ln u ln p

(321a)

Esto implica que para realizar el test para H0 R=ρ el formato no puede ser el

tradicional sino que se concluiraacute que el test es significativo cuando (la siguiente

expresioacuten no fue explicitada por los anteriores autores)

LZ

2

2 2

1 1 2 2

2

2 2

1 1 2 2

1 si

1 si

ln RR

ln u ln p ln p ln l

ln RR

ln p ln l ln u ln p

(321b)

Estos resultados se obtienen por el meacutetodo de Zou amp Donner descrito en la

seccioacuten I313 y que ellos llaman ldquomeacutetodo MOVERrdquo (method of variance estimates

recovery) El meacutetodo es coincidente con el de Newcombe solo cuando se trabaja con

funciones lineales de las pi lo que no es el caso actual De ahiacute que el actual

procedimiento LZ sea diferente al procedimiento LN definido en la seccioacuten III23 y que

se explicita en las expresiones (332) y (333) de las aportaciones El procedimiento



actual da lugar a los 5 meacutetodo LZx (con x=0 1 2 3 y 4) Ninguno de ellos se encuentra

entre los prometidos al inicio de este capiacutetulo por la razoacuten que se indica al final de la

seccioacuten III633

III324 Meacutetodo condicionado e incondicionado exacto

Martiacuten amp Herranz (2010) revisan y proponen nuevos estadiacutesticos para realizar

inferencias asintoacuteticas acerca de una combinacioacuten lineal de dos proporciones

particularizando sus resultados al Caso R actual Tales autores proponen sustituir en la

expresioacuten (33) las proporciones desconocidas pi por los estimadores condicionado de la

expresioacuten (39) o incondicionado de la expresioacuten (310) lo que da lugar a los

estadiacutesticos 2LCbz y 2

LEz respectivamente De manera que los estadiacutesticos de contraste

vienen dados por

LCb 2 2 1 2

1 1 2 2LCb

q qz ln R

n p n p

(322)

LE 2 2 1 2

1 1 2 2LE

ˆ ˆq qz ln R

ˆ ˆn p n p

(323)

III33 Meacutetodos basado en el estadiacutestico X

El claacutesico estadiacutestico chi-cuadrado de Pearson dado por la expresioacuten (222) fue

propuesto por Koopman (1984) para el Caso R dando lugar al estadiacutestico 2Xz de la

expresioacuten (34) La foacutermula anterior carece de sentido hasta que las pi desconocidas sean

sustituidas por la estimacioacuten apropiada Koopman propone el estimador ip de maacutexima

verosimilitud bajo H0 obteniendo asiacute el procedimiento XE Si se hace 1ˆ ˆp p el

estadiacutestico de contraste seraacute de la forma

XE

2 2

1 1 2 22

1 2 1ZE

ˆ ˆx n p x n pz

ˆ ˆ ˆ ˆn pq n p p

(324)

Gart amp Nam (1988) comprueban que el procedimiento ZE y XE son el mismo (pues se

verifica que 2 2ZE XEz z ) puesto que ambos aluden al meacutetodo de las marcas y Martiacuten amp

Herranz (2010) proporcionan una demostracioacuten maacutes directa Estos uacuteltimos autores


tambieacuten proponen el procedimiento XCb utilizar los estimadores condicionados de

(39) en la expresioacuten (34) comprobando que en este caso los procedimientos XCb y

ZCb son distintos el nuevo estadiacutestico de contraste es por tanto

XCb

2 2

2 1 1 2 2

1 2 1XCb

x n p x n pz

n pq n p p

(325)

III34 Propiedades de los diversos estadiacutesticos

Para que un estadiacutestico 2z sea uacutetil en la inferencia es preciso que verifique

ciertas propiedades de coherencia Como se ha comentado en la seccioacuten II317 es

necesario que las regiones criacuteticas no presenten huecos (convexidad espacial) por lo

que la ausencia de estos en la misma implica que 2z debe ser creciente (decreciente) en

2p ( 1p ) si R Por otro lado por el principio de Sterne (1954) para que 2z sea

liacutecito es preciso que alcance su valor miacutenimo en la frontera del espacio nulo es decir

que sea decreciente con ρ (propiedad de convexidad parameacutetrica)

Martiacuten amp Herranz (2010) demuestran que los estadiacutesticos 2ZWz 2

ZCbz 2ZEz 2

ZPbz

2XCbz 2

LWz verifican propiedades de convexidad tanto espacial como parameacutetrica salvo

el caso 2LWz que soacutelo crece en 2p (pero no decrece en 1p ) Adicionalmente demuestran

que tales estadiacutesticos alcanzan igual valor en las hipoacutetesis nulas (equivalentes) H0

p2=ρp1 y 0 1 2 1H p p lo que les sirvioacute para simplificar sus demostraciones

III4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO

III41 Generalidades sobre los estudios a realizar

Al igual que en los casos anteriores la mayoriacutea de los autores plantean el

problema de seleccionar el meacutetodo oacuteptimo desde el punto de vista de los IC Para ello

comparan el recubrimiento real R y la longitud media l de cada meacutetodo de IC para unos

valores fijados de pi (i=1 o 2) paraacutemetros que vienen dados por las expresiones

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(326)



1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(327)

en donde 1 2( ) 1I x x si ( )I S -el IC obtenido con la pareja (x1 x2)- e

1 2( )I x x 0 en otro caso Dado que R es una probabilidad se verifica que 0le Rle1 Se

considera que un meacutetodo de IC es mejor cuanto menor sea su longitud l y cuanto maacutes

cercano sea su recubrimiento real R al recubrimiento nominal de 1 Es aconsejable

igualmente la simplicidad del IC es decir que sea faacutecil de recordar de calcular de

entender y de presentar





1 1 2 22 11 21 2 0

1 2

1 1n x n xx a

RC RC

n np P x x | H p p p

x x

(328)


maacutex con 0 miacuten 1 1p D p D= p p (329)

Adicionalmente la potencia (p1 p2) para una alternativa y error dados seraacute

1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x

Bajo este planteamiento el meacutetodo oacuteptimo seraacute aquel cuyo valor sea maacutes cercano a

(preferiblemente menor o igual) y cuya potencia sea lo mayor posible en la mayoriacutea

de las alternativas ensayadas

III42 Conclusiones de la literatura

La literatura no ha analizado tan profundamente el Caso R actual como lo ha

hecho con el Caso d Las principales conclusiones obtenidas a partir de las diversas

comparaciones efectuadas por los distintos autores pueden resumirse como sigue


1) Katz et al (1978) analizan los meacutetodos claacutesicos ZW0 y LW0 junto con otro

procedente de Thomas amp Gart (1977) en el que se considera el paraacutemetro odds-ratio

θ Seguacuten sus resultados el meacutetodo basado en θ es razonable (aunque ligeramente

conservador) y proporciona resultados similares al meacutetodo LW0 en tanto que ZW0

tiene una actuacioacuten muy mala y debe descartarse Los autores seleccionan el meacutetodo

LW0 como el oacuteptimo por ser menos conservador y maacutes coherente que el resto asiacute

como computacionalmente maacutes sencillo

2) Koopman (1984) compara el meacutetodo LW0 seleccionado por Katz et al (1978) con

el meacutetodo XE0 que eacutel propone Su recomendacioacuten es este uacuteltimo ya que

proporciona un recubrimiento maacutes cercano al nominal que el LW0 el cual es en

algunas ocasiones demasiado conservador

3) Gart amp Nam (1988) hicieron una revisioacuten acerca de los meacutetodos propuestos en la

literatura hasta ese momento Entre otros valoraron los meacutetodos ZW0 LW0 ZE0 y

XE0 demostrando primeramente la igualdad entre los procedimientos ZE y XE Los

autores comprobaron que ZW0 debe descartarse por su mala actuacioacuten En cuanto a

los meacutetodos LW0 y XE0 ambos proporcionan resultados muy similares con un

recubrimiento cercano al nominal De entre estos dos los autores seleccionaron

como meacutetodo oacuteptimo al XE0 (ya que tiene un recubrimiento maacutes cercano al nominal

que con LW0) aunque para valores grandes de es LW0 el que tiene un

comportamiento mejor

4) Farrington amp Manning (1990) analizaron los meacutetodos ZW0 ZCb0 y ZE0 El estudio

de simulacioacuten mostraba que ZE0 proporciona un IC con un recubrimiento cercano al

nominal y considerablemente mejor que en los otros dos casos ZW0 se descarta (a

pesar de ser el maacutes sencillo) por ser el de peor actuacioacuten ZCb0 es maacutes preciso que

ZW0 y maacutes simple que ZE0 pero ZE0 es el mejor meacutetodo

5) Dann amp Koch (2005) realizan un estudio completo de todos los meacutetodos aludidos en

los cuatro paacuterrafos anteriores (desde los puntos de vista del IC y del test) Los

autores analizan 3 grupos de procedimientos seguacuten que el estadiacutestico utilizado sea L

Z o X Los meacutetodos evaluados son (entre otros) LW0 LW1 LW2 ZW0 meacutetodo de

Bailey (una modificacioacuten de ZW0) ZCb0 ZE0 Desde el punto de vista del IC los

autores concluyen que LW2 produce un recubrimiento maacutes alto que con el resto de

meacutetodos del grupo L y que el meacutetodo de Bailey provoca IC maacutes estrechos que en el

caso ZW0 Desde el punto de vista del test el meacutetodo oacuteptimo es el ZE0 pues su



potencia es alta aunque tiene un error real bastante elevado y requiere de una

computacioacuten intensiva para su caacutelculo Los meacutetodos maacutes simples son los basados en

el estadiacutestico L que en la praacutectica tienen buena potencia y mantienen el error real

cercano al nominal En el grupo de Z destaca el meacutetodo de Bailey (que tiene buena

potencia y el mejor error real) aunque provoca en ciertos casos resultados erraacuteticos

Dann amp Koch destacan el buen comportamiento de LW2 y ZE0

6) Price amp Bonnet (2008) proponen meacutetodos de tipo bayesiano y basados en la inversa

del seno hiperboacutelico comparaacutendolos con ZE0 LW0 y diversas variantes del

procedimiento LW (sumando valores diferentes a xi que a yi) Los autores

comprueban que estos procedimientos ldquoadjustedrdquo LW tienen en general una

probabilidad de recubrimiento por debajo del nominal para muestras grandes

debiendo utilizarse con precaucioacuten Su conclusioacuten es que el meacutetodo ZE0 es

claramente superior al resto de meacutetodos y con caracteriacutesticas computacionales

similares a las de su meacutetodo bayesiano (que tambieacuten presenta un buen

comportamiento)

III5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO

III51 Procedimientos basados en el meacutetodo de Newcombe

Newcombe (1998) propone un nuevo procedimiento para el Caso d basado en el

IC asintoacutetico para una uacutenica proporcioacuten dado por Wilson (1927) Para el actual Caso R

y el estadiacutestico Z siguiendo el razonamiento realizado en la seccioacuten I313 como

L=p2ndashρp1 entonces el test y el IC para el procedimiento ZN seraacuten

ZN

2

2 1

2 1 1 2 2

1 22

2

2 1

2 1 1 2 2

1 2

si 1 1

=

si 1 1

ZN

p pR

l l u u

n nz

p pR

u u l l

n n

(330)

ICZN

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

1 2 2

2

1 2 2

2

p p p p u l p u p lu p u

R

p p p p l u p l p ul p l

(331)


en donde li y ui se obtienen como en las expresiones (38) La expresioacuten (330) se deduce

de modo inmediato sustituyendo en (31) las proporciones desconocidas pi por los

estimadores ip dados por (37) La expresioacuten (331) ndashsimilar a la obtenida por Li et al

(2010) en el contexto maacutes amplio del cociente entre dos paraacutemetros cualesquiera y de

modo simultaacuteneo con nuestras deducciones se obtiene despejando de la expresioacuten

(330) y teniendo en cuenta la definicioacuten del IC de Wilson

De igual modo puede procederse con los demaacutes estadiacutesticos liacutecitos Por ejemplo

LN

2 1 2

21 1 2 22

1 2 2 1 2

1 1 2 21 1 2 2

1 1si

1 1si

LN

u lln R R

n u n lln R z

q q l uln R Rn p n p n l n u

(332)

ICLN

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

exp 1 1

exp 1 1

R p u p lR

R p l p u

(333)

Conviene sentildealar que el actual procedimiento es diferente al de las expresiones (321a)

y (321a) propuesto por Zou amp Donner

III52 Valor aproximado del estimador de maacutexima verosimilitud (estimadores Aa

y Ab) y procedimientos que ocasionan

Todo lo indicado en el Capiacutetulo I acerca del procedimiento de las marcas es

aplicable al caso de K=2 En particular el paraacutemetro de intereacutes es L=1p1+2p2 y los

estimadores de maacutexima verosimilitud ˆ ip bajo H0 L= son la solucioacuten de las ecuaciones

ˆ ˆ î i i i i in p p p q =C (i) bajo la condicioacuten 1 1 2 2ˆ ˆβ p β p λ con C una constante que

estaacute por determinar Esto indica que para i=1 y 2 debe ocurrir que

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆn p n p C p p y 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆn p n p C p p

respectivamente Como 2 2 1 1ˆ ˆp p sustituyendo en la segunda igualdad se deduce

que

2 22 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ 2n p n n p C p p (334)



de modo que restando esta igualdad de la de i=1 y despejando 1p se obtiene que

1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2ˆ 2p n p n p n C n C Efectuando la

divisioacuten teniendo en cuenta que C= 2ZE

ˆz L λ es de orden 0 en los valores usuales de

2ZEz y despreciando todos los teacuterminos de orden menor o igual que 1 se deduce que

1 1 1 2 2 2 21 1

1

ˆn p n p n

p pn

(335)

y como 2 1 1 2ˆ ˆ p p entonces 2 1 1 2p p es decir

2 2p p 1 1 1 2 2 2 1

2

n p n p n

n

(336)

Como se ha visto en secciones anteriores en el caso particular de R=p2p1 son

equivalentes las hipoacutetesis H0 R= y H0 L=p2p1=0 por lo que 1= 2=+1 y =0

Sustituyendo esos valores en las dos anteriores expresiones (335) y (336) se obtienen

los estimadores de la expresioacuten (311) Como puede suceder que ip

sea un valor iliacutecito

(es decir que no esteacute comprendido entre 0 y 1) parece conveniente considerar que

ip

=1 cuando ip

gt1 lo que da lugar a la versioacuten Ab del estimador (frente a la versioacuten Aa

que se obtiene si no se impone tal condicioacuten) Adicionalmente conviene resentildear una

circunstancia especial En el Caso d (en el que 1=1 2=+1 y =0) las expresiones

(335) y (336) proporcionan los estimadores condicionados claacutesicos de Dunnet amp Gent

de la expresioacuten (27) lo que indica que estos estimadores condicionados son tambieacuten

aproximaciones del estimador de maacutexima verosimilitud exacto

Combinando cada uno de los estadiacutesticos definidos en esta memoria con el

estimador incondicionado aproximado A se obtienen los procedimientos ZA LA XA y

AA (en sus dos versiones Aa y Ab) A la hora de deducir los distintos tests se

sustituyen como es habitual las proporciones desconocidas pi por los estimadores

incondicionados aproximados -dados por la expresioacuten (311)- en las estadiacutesticos (31)

(33) (34) y (35)

El IC para los procedimientos LAab XAab y AAab hay que determinarlo

por meacutetodos iterativos pero en el caso del procedimiento ZAa se obtiene de modo

expliacutecito resolviendo una ecuacioacuten de segundo grado Para ver esto comencemos por

adaptar la expresioacuten (311) a la exigencia de que 0 ip 1


1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

si

1 si

1 1 si

p x x n p x x n x n x n x x

p p x n x

p p n x x

Sustituyendo estos valores en la expresioacuten (31) se obtiene que el estadiacutestico de test para

el procedimiento ZAb es

ZAb

2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(337)

El IC (I S) por el procedimiento ZAb se obtiene despejando ρ de la ecuacioacuten

2 22ZAbz z proceso que hay que realizar para cada uno de los tres casos citados y que

proporciona respectivamente las ecuaciones

2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 2

2 2 0

2 0

2 0

x nn p z n x nx x z n x n x x x x nn p z n x

n p z n p p z n p

n p n p p z n p z

Esto quiere decir que para obtener el IC del meacutetodo ZAb (ICZAb) hay que seguir el

proceso siguiente

1 Obtener primeramente los dos valores (I S) que proporciona la expresioacuten

2222 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1

1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

2

2 2

z n x n x x x z n x n xnx x z n x x a np p

Rx nn p z n x

(338)

Si las dos soluciones obtenidas verifican que 2 1 2 1I Sx n x n x x el

problema finaliza En otro caso puede que falle uno o dos de los extremos los

cuales se vuelven a determinar como en los pasos siguientes

2 Si el extremo que falla es I se obtiene su valor mediante la expresioacuten



2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(339)

3 Si el extremo que falla es S se obtiene su valor mediante la expresioacuten

2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(340)

El procedimiento de test y de IC para la versioacuten ZAa seraacute similar al caso

anterior pero sin tener en cuenta las restricciones iniciales el estadiacutestico de test ( 2ZAaz )

viene dado por la primera expresioacuten de (337) -sin tener en cuenta las limitaciones para

ρ- y el IC (ICZAa) es el de la expresioacuten (338)

III53 Intervalo de confianza para los procedimientos ZPab

En la seccioacuten III314 ya se indicoacute el valor de los estadiacutesticos de contraste para

los procedimientos ZPa y ZPb de Martiacuten amp Herranz (2010) y coacutemo proceder para

obtener los IC Las expresiones expliacutecitas para los mismos son las que siguen En el

caso del procedimiento ZPa

ICZPa 2

1 2 2 1 2 1 2

21 2 2 1

4 2

4

np p z a z n n nR

np n z n

(341)

En el caso del procedimiento ZPb la solucioacuten anterior es vaacutelida si se verifica que

1 1 2 2I Sn n n n n n En otro caso si alguno de los extremos falla habraacute

que proceder como en la seccioacuten anterior Como la segunda y tercera expresioacuten de

(337) es la misma que las de (317) las soluciones tambieacuten seraacuten las mismas Es decir

bull Si 1 1I n n n la solucioacuten es la expresioacuten (339)

bull Si 2 2 Sn n n la solucioacuten es la expresioacuten (340)



es para el que se define) A pesar de todo los estimadores Pa y Pb se evaluaraacuten tambieacuten

en los demaacutes estadiacutesticos


III54 Estadiacutesticos R y A

Con el fin de simplificar el IC que se obtiene a traveacutes del claacutesico estadiacutestico Z de

la expresioacuten (31) puede sustituirse en ella el valor de 2 de su denominador por 2R lo

que da lugar al estadiacutestico R de la expresioacuten (32) Para que la simplificacioacuten se

mantenga es preciso que los valores desconocidos pi se sustituyan por estimadores que

no dependan de es decir por los estimadores W o N Desde esa perspectiva los nuevos

procedimientos RW y RN vienen dados por los estadiacutesticos

2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RW

p ρpz

p q p qR

n n

y

2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RN

p ρpz

p q p qR

n n

los cuales proporcionan los IC

21 2 1 2

1 11 α

nρ R z

x x n n

y 1 1 2 22 2 2

1 1 2 2

1 α

p q p qρ R z

n p n p

Asimismo Herranz amp Martiacuten (2008) proponen para el Caso d el estadiacutestico de

contraste A dado por la expresioacuten (23) El mismo estadiacutestico puede ser utilizado

tambieacuten en el Caso R lo que nos lleva a la expresioacuten (35) y proporciona los

procedimientos ACb AE AAb y APb resentildeados anteriormente

III55 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados

En la seccioacuten III322 ya se indicoacute que por causa del mal comportamiento del

meacutetodo LW0 conviene aplicar el procedimiento LW a los datos incrementados en una

cantidad hi = 05 o 1 Otras opciones son utilizar las propuestas realizadas en capiacutetulos

anteriores es decir los Casos 3 y 4 de la seccioacuten III24

Aunque lo anterior es inicialmente aconsejado para el procedimiento LW nada

impide que se haga igual para los demaacutes procedimientos (como se propone en esta

memoria)

A efectos praacutecticos el Caso 4 es el de mayor dificultad cuando los datos

observados estaacuten en la frontera del espacio muestral (es decir cuando ip = 0 o 1) La

Tabla III2 presenta los coeficientes por los que hay que multiplicar el factor 22 4z



para obtener el liacutemite inferior del IC (primera liacutenea) o el liacutemite superior del IC (segunda

liacutenea) en funcioacuten de los valores de ip

Tabla III2 Coeficientes para el Caso 4

2 0p 20 1p 2 1p

1 0p 3 1 3 1 3 3

1 3 1 1 1 1

10 1p 1 1 1 1 1 3

1 3 1 1 1 1

1 1p 1 1 1 1 1 3

3 3 3 1 3 1

III56 Estadiacutesticos con correccioacuten por continuidad


total del estadiacutestico de contraste 2 1p p es de 1+ρ con lo que el salto promedio seraacute

de 1 2 1c N pues el nuacutemero total de puntos del espacio muestral es de

N=(n1+1)(n2+1) Con ello el estadiacutestico Z con cpc seraacute

Zc

2

2 1

2 12 2 1 1 2 2

1 2

2 1

si 1 1

0 si

Zc

p p cp p c

p p p pz = n n

p p c

(342)

De igual modo el salto total del estadiacutestico de contraste d es de (como se vio

en la seccioacuten II54) con lo que el salto promedio seraacute de 2 1c N Con ello el


Ac

2

1 2 1 22 si

0 si Ac

n n d c n n d cz =

d c

(343)

La argumentacioacuten no produce efecto alguno en el caso del estadiacutestico L y no

tiene intereacutes en el caso de los estadiacutesticos R y X (pues como se veraacute estos estadiacutesticos

no dan lugar a procedimientos resentildeables)



de confianza y su meacutetodo de test asociado

Para el Caso d la equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de

IC y su meacutetodo de test asociado fue tratado en la seccioacuten II55 El mismo razonamiento

es aplicable al Caso R Dado el test de dos colas H0 R=ρ vs H1 Rneρ si ρ0 no pertenece

al IC (1minusα) entonces el test para ρ=ρ0 debe dar significativo al error α (y al reveacutes) Por

ello la definicioacuten de un procedimiento puede hacerse desde la perspectiva del test o del

IC y ademaacutes evaluar un procedimiento de IC es equivalente a evaluar su procedimiento

de test asociado (si ambos se realizan al mismo error nominal α)

La demostracioacuten de tal equivalencia es similar a la desarrollada en el capiacutetulo

anterior El error real del test se calcula mediante la expresioacuten (329) teniendo en cuenta

que 2 21 2 2exp RC x x | z z Como el IC se obtiene mediante la inversioacuten del test

entonces cada observacioacuten (x1 x2) ocasiona un IC para R dado por

2 21 2 0 0 2exp IC x x | z z con lo que el recubrimiento real seraacute de nuevo

1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x

en donde ahora I(x1x2)=1 si 1 2IC x x e

I(x1x2)=0 en otro caso Como 1 2IC x x cuando 2 20 2exp z z entonces

I(x1x2)=1 si 1 2x x RC y por tanto 1 2 0miacuten

p DRC

P x x | H

con RC aludiendo al

conjunto complementario del conjunto RC y finalmente =1α Esto quiere decir que

calcular el incremento del error nominal respecto del real es equivalente a calcular el

incremento del recubrimiento nominal respecto del real



III6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO

III61 Objetivo



hipoacutetesis o desde la perspectiva de los IC En esta seccioacuten tal evaluacioacuten se efectuaraacute



desde la perspectiva de los tests de hipoacutetesis al igual que en el Caso d pues suele ser

maacutes sencillo definir el test que el IC y la evaluacioacuten comparativa de los valores de es

maacutes sencilla (como se ve de momento) que la de los valores de l

Los meacutetodos de inferencia a evaluar son inicialmente los 150 indicados al final

de la seccioacuten III2 (los meacutetodos ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4hellip ZPb4 RW0hellip

RN4 LW0hellip LPb4 XCa0hellip XPb4 ACb0hellip APb3 y APb4) lo que incluye las

propuestas maacutes relevantes de la literatura De ellos son nuevos los 137 meacutetodos

siguientes

LW3 y LW4

ZW ZCa ZCb ZE ZPa ZPb LN LCb LE XCb en los casos 1 al 4

ZN ZAa ZAb RW RN LCa LAa LAb LPa LPb XCa XAa XAb XPa XPb

ACb AE AAb y APb en los casos 0 al 4

Adicionalmente se han evaluados otros meacutetodos nuevos de menor intereacutes (ver la

seccioacuten III63) En todo caso el objetivo es seleccionar el meacutetodos oacuteptimos bajo los

criterios que se especificaraacuten





paraacutemetros (a ni ρ)


ρ= 001 01 02 05 08 1 125 2 5 10 y 100

ni= 40 60 y 100 con n1n2 Se excluyen los casos n1gtn2 pues las hipoacutetesis nulas H0

p2p1=ρ y 0H p1p2=1ρ son equivalentes (cualquiera de los procedimientos

descritos proporcionan igual valor del estadiacutestico bajo ambas hipoacutetesis)

Adicionalmente lo anterior significa que cuando n1=n2 debe ocurrir que los tests

para y 1 deben proporcionar los mismos valores de error real y potencia



1 Seleccionar una combinacioacuten (a n1 n2 ρ meacutetodo a evaluar)


2exp z z


incremento del error real con respecto al error nominal De nuevo hay

que tener en cuenta que si 0 el test seraacute conservador (por lo que el IC

tambieacuten lo seraacute y tendraacute maacutes recubrimiento que el nominal) si 0 el test seraacute

liberal (por lo que el IC tambieacuten lo seraacute y tendraacute menos recubrimiento que el

nominal)

4 Calcular la potencia a largo plazo =(nordm de puntos de la RC)times100N siendo

N=(n1+1)times(n2+1) el nordm total de puntos del espacio muestral La conveniencia de la

misma frente a la potencia tradicional ya fue justificada en la seccioacuten II62


para a=10 5 o 1 respectivamente La conveniencia de esta definicioacuten fue

resentildeada tambieacuten en la seccioacuten II62

6 Para cada meacutetodo se construiraacute una tabla (como la Tabla AIII1) que contemple los




medios de ( ) y de ( ) Estas tablas resumen seraacuten dobles unas para 01

10 y otras para =001 y =100 en conjunto La razoacuten para ello es que los

valores de Δα son mucho maacutes grandes en =001 o 100 que en los demaacutes casos

lo que puede afectar en exceso al valor medio y desvirtuar las conclusiones El

criterio seraacute entonces seleccionar y ordenar los mejores meacutetodos en el caso 01

10 y solo para ellos reordenarlos en los casos =001 o 100 (salvo excepcioacuten

especialmente remarcable)






menos fallos








tener en cuenta que si un meacutetodo cualquiera A es maacutes liberal que otro meacutetodo B

entonces B A y es esperable que B A (lo que no significa que A sea

mejor meacutetodo que B)









III63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc)

III631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (a=5)

Una parte de la Tabla AIII1 contiene los datos completos de todos los meacutetodos

basados en el estadiacutestico Z (se omiten los procedimientos ZCa y ZAa pues pueden dar

lugar a varianzas negativas) Globalmente puede observarse que

Respecto del nuacutemero de fallos el hecho de sumar una cantidad hi es unas veces

positivo (ZW y ZA) otras negativo (ZN) y otras indiferente (ZC ZE y ZP) en

cuanto al nuacutemero de fallos

Los meacutetodos basados en el estimador exacto ZEx son todos ellos muy malos

especialmente el claacutesico y muy apreciado meacutetodo ZE0 Por el contrario

sorprendentemente casi todos los meacutetodos ZAx basados en el estimador

aproximado tienen un mejor comportamiento

El peor meacutetodo de todos los meacutetodos como era esperable es el claacutesico meacutetodo de


Wald (ZW0) Tambieacuten muy malos los meacutetodos ZCbx basados en el estimador

condicionado y sorprendentemente los meacutetodos maacutes complejos (ZEx)

Una parte de la Tabla AIII2 contiene el resumen de los datos de todos los

meacutetodos basados en el estadiacutestico Z Observando los resultados para la zona 01

10 puede concluirse lo siguiente

Los mejores meacutetodos (por no tener fallos) son los aparecen en las primeras

posiciones ZAb1 ZW2 a 4 ZPa0 a 4 y ZPb0 a 4

Todos los meacutetodos de tipo ZP deben descartarse por tener demasiado error y una

potencia muy baja (los ZPa2 a ZPb0 en el orden de la tabla) aunque ninguno de

ellos falla

De los cuatro meacutetodos restantes puede decirse que ZW4 gt ZAb1 gt ZW2=ZW3

Similarmente en el caso extremo (001 o 100) puede afirmarse que

Deben descartarse los meacutetodos ZW1 (por su baja potencia) y ZAb0 (por su mala

actuacioacuten para valores moderados de )

El mejor meacutetodo es el ZAb1 (pues aunque tiene un fallo -que lo es por poco- es el

menos conservador y el de mayor potencia) seguido de los meacutetodos ZW2 ZW3 y

ZW4 (que son similares entre siacute)

Con el fin de clarificar la seleccioacuten una parte la Tabla AIII3 presenta los

resultados completos para los datos de los cuatro meacutetodos seleccionados (ZAb1 ZW2

ZW3 y ZW4) para los errores del 1 y 10 y una parte de la Tabla AIII4 presenta el

resumen de los mismos De ellas junto con los resultados para el 5 se deduce que

globalmente el mejor meacutetodo es ZAb1 pero que el meacutetodo ZW4 es similar o muy poco

peor y algo maacutes faacutecil de aplicar

La conclusioacuten es que el mejor meacutetodo de entre los de tipo Z es el ZAb1 aunque

el meacutetodo ZW4 es similar o muy poco peor y algo maacutes faacutecil Es de resentildear lo curioso

del resultado el estimador A (que es una aproximacioacuten del estimador exacto E)

proporciona mejores resultados que el propio estimador exacto Asimismo puede

observarse que el claacutesico meacutetodo ZE0 (que sorprendentemente es superado por el

ZCb0) solo es vaacutelido al error del 5 para grandes muestras y para valores 02ltlt5




anteriores pero ninguna de ellas logra mejorar la actuacioacuten de los meacutetodos

seleccionados Las modificaciones evaluadas (con la descripcioacuten de su origen) se

describen a continuacioacuten


proporcioacuten -utilizando el procedimiento ZW en los valores (xi ni+1) para el

extremo inferior y (xi+1 ni+1) para el superior- no es de utilidad para el Caso R

Ahora el nuevo estadiacutestico ZW35 es el del estadiacutestico ZW con los datos

incrementados del siguiente modo

ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si 0 Utilizar 1

Si 0 Utilizar 1

p p x x

p p x x



demasiado conservador ( =198) y tiene poca potencia ( =8058) respecto de

los meacutetodos seleccionados De ahiacute que se le haya descartado

Ademaacutes en general deben descartarse todos los meacutetodos con unos incrementos

constantes y asimeacutetricos (h1h2) pues ellos ocasionan que las inferencias acerca de

R no sean compatibles con las inferencias acerca de R1 (como le sucede a muchas

otras propuestas de la literatura)

(2) Se ha comprobado que si se desea simplificar el meacutetodo ZAb1 (que implica a tres

ecuaciones de segundo grado) por el meacutetodo ZAa1 (que implica solo a una

ecuacioacuten de segundo grado) mediante el artificio de considerar que cuando la

varianza da negativa entonces el test es siempre significativo el meacutetodo asiacute

obtenido tiene demasiados fallos y no actuacutea bien

III632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo R (a=5)


basados en el estadiacutestico R en tanto que una parte de la Tabla AIII2 contiene el

resumen de los mismos Puede observarse que todos los meacutetodos tienen muchos fallos

por lo que ninguacuten meacutetodo de tipo R es de utilidad


III633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo L (a=5)


basados en el estadiacutestico L (se omiten los procedimientos LCa y LAa pues pueden dar

lugar a una varianza negativa lo que es coherente con lo que sucediacutea en el caso del

estadiacutestico Z) en tanto que una parte de la Tabla AIII2 contiene el resumen de los

mismos De modo general puede observase que

En general todos los procedimientos mejoran cuando los datos son incrementados en

cualquier cantidad salvo en los procedimientos LPa y LPb (en los que resulta

indiferente) y LW (en el que resulta negativo)

Al contrario que en el caso del estadiacutestico Z algunos de los meacutetodos basados en el

estimador exacto (los LEx) tienen una muy buena actuacioacuten y casi todos los meacutetodos

basados en el estimador condicionado (los LCbx) son buenos en cambio todos los

meacutetodos basados en el estimador aproximado del exacto (los LAbx) son muy malos

Los claacutesicos meacutetodos LWx son todos ellos muy malos siendo LW1 el mejor de todos

Por lo que respecta a la seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo para 01 10 puede

concluirse lo siguiente

Casi todos los meacutetodos deben descartarse por tener muchos fallos y ser excesivamente

liberales Esto incluye a todos los meacutetodos LWx basados en el claacutesico procedimiento

LW de ellos solo es aprovechable el claacutesico meacutetodo LW1 el cual seraacute vaacutelido solo

cuando los tamantildeos de muestra son grandes (superiores a 100) y los valores de son

moderados (01ltlt10)

Los meacutetodos con 0 fallos (LE2 a 4) son conservadores siendo los mejores los

meacutetodos LE2 y LE3 (que son casi iguales entre siacute como era esperable por la

definicioacuten de ambos)

Los meacutetodos con solo 1 fallo (los LCb2 a 4) fallan por poco de modo que pueden

incluirse en la seleccioacuten

Comparativamente los mejores meacutetodos son (el siacutembolo gt indica que el meacutetodo que

hay a su izquierda es mejor que el que hay a su derecha) LE3 gt LE2=LCb4 gt

LCb2=LCb3 gt LE4 pudiendo observarse que todos ellos son meacutetodos complejos

Similarmente en el caso de extremo (001 o 100) se observa que los meacutetodos

aceptables son LCb2=LCb3=LCb4 gt LE2=LE3=LE4 Se descartan los meacutetodos LN1 y



LCb1 (por su muy mala actuacioacuten en el caso de valores moderados de ) y LE1 (por su

baja potencia)

Con el fin de clarificar la seleccioacuten una parte de la Tabla AIII3 presenta los

resultados completos para los meacutetodos seleccionados (LE2 LE3 LE4 LCb2 LCb3 y

LCb4) en los errores del 1 y 10 y una parte de la Tabla AIII4 presenta el resumen

de los mismos De ellas junto con los resultados para el error del 5 se deduce lo

siguiente

El meacutetodo oacuteptimo es el LE3 para valores moderados de y el LCb3 para valores

extremos de

Si se desea el oacuteptimo para cualquier valor de la mejor seleccioacuten es el meacutetodo LCb3

El claacutesico meacutetodo LW1 solo es vaacutelido al error del 5 para grandes muestras y para

valores moderados de (01ltlt10)

En consecuencia puede concluirse que el mejor meacutetodo de entre los de tipo L es el

LCb3 (aunque para valores moderados de lo supera el meacutetodo LE3)


anteriores y un meacutetodo nuevo pero ninguno de ellos logra mejorar la actuacioacuten de los

meacutetodos seleccionados Las meacutetodos analizados (con la descripcioacuten de su origen) se


(1) Price and Bonett (2008) propusieron un meacutetodo de tipo LW consistente en antildeadir

025 a las xi y 15 a las yi Seguacuten nuestros resultados el meacutetodo tiene muchos fallos

(concentrados en los valores extremos de ) Por otro lado Walter (1975) propuso

otro meacutetodo de tipo LW consistente en antildeadir 05 a las xi y 0 a las yi Nuestros

resultados indican que el meacutetodo tiene muchos fallos en muy diversos valores de

De modo general la asignacioacuten de diferentes incrementos a los eacutexitos y a los

fracasos hace que los intervalos para R y R1 no sean compatibles lo que es una

razoacuten maacutes para que dichos meacutetodos se descarten

(2) Zou amp Donner (2008) propusieron el procedimiento LZ que proporciona las

expresiones (321a) y (321b) lo que da lugar a 5 nuevos meacutetodos LZx Nuestros

datos indican que en general los meacutetodos LNx propuestos en esta memoria

proporcionan mejores resultados que los meacutetodos LZx Por ejemplo para valores


moderados o extremos de los tres mejores meacutetodos son siempre de tipo LN Esto

junto a que el procedimiento LN es expresable en el formato general utilizado en

esta memoria (pero no el LZ) ha hecho que sea el primero el que se haya incluido

en la misma

III634 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo X (a=5)


basados en el estadiacutestico X (los meacutetodos XCa XAa y XPa se eliminan del anaacutelisis pues

en ocasiones proporcionan una varianza negativa) en tanto que una parte de la Tabla

AIII2 contiene el resumen de los mismos Puede observarse que todos los meacutetodos

presentan un mal comportamiento

III635 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (a=5)


basados en el estadiacutestico A en tanto que una parte de la Tabla AIII2 contiene el

resumen de los mismos Se excluyen todas las versiones ldquoardquo (los procedimientos ACa

AAa y APa) pues en ocasiones producen estimaciones de las pi menores que 0 o

mayores que 1 (lo que no permite aplicar el meacutetodo arco seno) Ahora surge la novedad

de que en la transformacioacuten arco seno es frecuente incrementar los datos en hi=38

(transformacioacuten de Ascombe) lo que llamaremos Caso 15 (por encontrarse a mitad de

camino entre los Casos 1 y 2) Esto hace que ahora aparezcan los meacutetodos especiales

ACb15 AE15 APb15 y AAb15 Se observa que los uacutenicos meacutetodos de intereacutes son

los AEx (que es precisamente en los uacutenicos donde es positivo el efecto de sumar una

determinada cantidad a los datos) y que de ellos los mejores son los meacutetodos AE1 y

AE15 (no tienen fallos y tienen una buena potencia) que siempre son conservadores en

promedio


resultados de los dos meacutetodos (AE1 y AE15) para los errores del 1 y 10 y una

parte de la Tabla AIII4 presenta el resumen de los mismos De ellas junto con los

resultados al error del 5 se deduce que ambos meacutetodos son similares pero que para

los valores moderados (grandes) es algo mejor el meacutetodo AE15 (AE1) siendo este



uacuteltimo el mejor en general La conclusioacuten es por tanto que el mejor meacutetodo de entre los

de tipo A es el AE1 (aunque para valores moderados de lo supera el meacutetodo AE15)

Adicionalmente se ha evaluado una modificacioacuten del meacutetodo de Anscombe

consistente en aplicar el meacutetodo AE15 con una varianza de 1(4ni+2) para cada

proporcioacuten pi en lugar de la varianza 1[4(ni+34)] asumida aquiacute pero ello no logra

mejorar la actuacioacuten de los meacutetodos seleccionados


(α=1 5 y 10) caso general y caso particular de grandes muestras

La Tabla AIII5 repite el resumen de los resultados para los seis meacutetodos

seleccionados en la seccioacuten anterior (ZAb1 ZW4 LE3 LCb3 AE1 y AE15) a fin de

hacer maacutes faacutecil al lector la comparacioacuten de los mismos (los datos completos se

encuentran en las Tablas AIII1 y AIII3) Se observa que

Los meacutetodos de tipo L deben descartarse por ser menos potentes que el resto

El meacutetodo oacuteptimo en general es el ZAb1 (con la ventaja antildeadida de ser sencillo de

aplicar) aunque para valores moderados de el meacutetodo ZW4 es casi igual o un

poco peor y auacuten maacutes sencillo (para los valores grandes de las demaacutes alternativas

son maacutes complicadas y el meacutetodo ZW4 es bastante peor)

Adicionalmente la Tabla AIII6 presenta el resumen de los datos de todos los

meacutetodos con dos o menos fallos (que son los que tienen intereacutes) para el caso de grandes

muestras (n1=n2=100) y error α=5 (pues puede observarse que los desequilibrios

muestrales en grandes muestras no producen fuertes discrepancias) De ella se deduce

que aunque ahora los meacutetodos ZW2 a 3 y ZAb1 a 3 actuacutean bien en las dos gamas de

se mantienen de modo general las conclusiones anteriores (aunque ahora ZAb3 es muy

ligeramente superior a ZAb1)

De lo anterior se deduce que los meacutetodos oacuteptimos (que son siempre alguno de

los propuestos en esta memoria) son

En general el meacutetodo ZAb1 (aunque el meacutetodo ZW4 es una buena y maacutes sencilla

alternativa especialmente cuando es moderado)


En grandes muestras (n200) el meacutetodo ZAb3 (muy ligeramente superior al

ZAb1)

III65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los dos meacutetodos oacuteptimos

seleccionados (α=5)


meacutetodos seleccionados en la seccioacuten anterior (los ZAb1 y ZW4) la Tabla AIII7

presenta el resumen de los mismos en sus dos versiones sin y con cpc (meacutetodos ZAb1

ZW4 ZAb1c y ZW4c) al 1 5 y 10 De ella se deduce que en ninguno de los casos

la cpc mejora la actuacioacuten del meacutetodo por lo que se mantienen las conclusiones de la

seccioacuten anterior

III66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura




conclusiones aparecen ya mencionadas en la seccioacuten III42) Con tal fin aludiremos a la

Tabla AIII8 que resumen los resultados de los meacutetodos implicados De esta uacuteltima se

deduce que todos los meacutetodos son muy malos (pues tienen muchos fallos) y

excesivamente liberales por lo que nunca deben utilizarse Comparativamente entre

ellos (y sin tener en cuenta su nuacutemero de fallos puesto que siempre es elevado) la

conclusioacuten es

Si es moderado ZCb0 gt ZE0 gt LW1 gt LW0 gt ZW0

Si es grande LW0 gt ZC0 ZE0 gt LW1 gt ZW0



ndash Katz et al (1978) afirman que el meacutetodo LW0 es mejor que el meacutetodo ZW0 el cual

es erraacutetico y no debe utilizarse cosa que se confirma seguacuten nuestros resultados



ndash Tanto Price amp Bonnett (2008) como Koopman (1984) indican que el meacutetodo ZE0

es mejor que el LW0 nuestros resultados indican que esto es cierto para el caso de

moderado pero para grande sucede al contrario

ndash Seguacuten Farrington amp Manning (1990) el meacutetodo ZE0 es mejor que el ZCb0 que a

su vez es mejor que el ZW0 Nuestros datos son conformes con la afirmacioacuten de

que ZE0 es mejor que ZW0 pero el meacutetodo ZCb0 actuacutea mejor que el ZE0 en los

valores moderados de

III67 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo para el caso claacutesico =1 (test claacutesico de


Un asunto complementario es el caso del test para =1 es decir el claacutesico test de

homogeneidad de dos proporciones independientes (H0 R=1 equiv H0 p2=p1) Como el

caso actual de =1 es el mismo caso que el de =0 ya analizado en el Caso d las

conclusiones de entonces solo pueden mejorarse por causa de los nuevos estadiacutesticos L

y R que no se utilizaron en el Caso d En este caso particular los meacutetodos de estimacioacuten

Ca Cb Aa Ab y E proporcionan igual valor para las estimaciones de las pi por lo que

todos los procedimientos L que provocan deben ser el mismo Esto quiere decir que

ahora se verifican las siguientes igualdades entre procedimientos LCa = LCb = LAa =

LAb = LE de donde se deduce que basta con que contemplemos los procedimientos LE

(en sus cinco versiones) como representantes de los anteriores A ellos hay que antildeadirle

los procedimientos extras LW LN LP RW y RN

La Tabla AIII9 contiene el resumen de los datos para todos los nuevos meacutetodos

incorporados por el caso =1 respecto de los del caso =0 los cuales han sido extraiacutedos

de los datos originales de la Tabla AIII1 De tales datos se deduce que los uacutenicos

meacutetodos de intereacutes son los LW1 y LE2 (por ese orden) que no mejoran claramente la

seleccioacuten realizada en el caso =0 (los ZE0c y AE1c) especialmente por cuanto LW1

no verifica las propiedades de convexidad

III7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

III71 Meacutetodo oacuteptimo

Por todo lo resentildeado en las secciones anteriores pueden concluirse que todos los


meacutetodos claacutesicos de la literatura funcionan muy mal siendo los meacutetodos oacuteptimos los

resentildeados en el cuadro de abajo Obseacutervese que todos los meacutetodos seleccionados son


SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA EL CASO DEL COCIENTE

ZAb1 es el mejor meacutetodo


que el ZAb1 es maacutes sencillo y funciona bien para valores moderados de

Comentarios sobre los meacutetodos claacutesicos

El meacutetodo LW1 es vaacutelido para grandes muestras =5 y 01ltlt10 (pero es

incoherente por no ser convexo en 1p )

El meacutetodo ZE0 es vaacutelido para grandes muestras =5 y 02ltlt5

III72 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia

III721 Meacutetodo oacuteptimo en general ZAb1

1) Incrementar todos los datos de ambos grupos (los eacutexitos y los fracasos) en 05


2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(344)

3) Si el objetivo es obtener el IC calcular las dos soluciones de la ecuacioacuten

2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 0 x nn p z n x nx x z n x n x x x x nn p z n x

o alternativa y equivalentemente obtener los valores (I S) de



222 2 2 2 1 12

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

22 2

z n x n xznx x n x n x x x z n x x a np p

x nn p z n x

(345a)

Si las soluciones obtenidas verifican que 2 1 2 1 I Sx n x n x x el

problema finaliza En otro caso puede que falle uno o dos de los extremos Si el

extremo que falla es I obtener la menor de las dos soluciones de la ecuacioacuten

2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 22 0 n p z n p p z n p

o alternativa y equivalentemente obtener el valor

2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(345b)

Si el extremo que falla es S obtener la mayor de las dos soluciones de la ecuacioacuten

2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 22 0 n p n p p z n p z


2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(345c)

III722 Meacutetodo maacutes sencillo casi tan bueno como el anterior (especialmente para

valores moderados de ) ZW4



21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p




21 2 1 2

2 1 1 1 2 2 1 1 2 22

1 1

11

y y y yRR z z

y n x n x n x n xzn x

2

2 124

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p q

n n

(346)

III723 Mejor meacutetodo claacutesico vaacutelido para n1+n2200 =5 y 01ltlt10 LW1


2) El estadiacutestico de contraste y el IC vienen dados por la expresiones

2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z


y 1 2

21 1 2 2

y yR R exp z

n x n x

(347)

III73 Ejemplos praacutecticos

III731 Evaluacioacuten de una vacuna

Maxwell (1961) estudia el riesgo relativo acerca de la presencia de una infeccioacuten

viacuterica entre dos grupos de personas inoculando el virus a uno de los grupos pero no al

otro En el grupo en el que no se inoculoacute el virus tuvieron la infeccioacuten 48 de 102

individuos en tanto que en el grupo en el que siacute se inoculoacute tuvieron la infeccioacuten 11 de

46 individuos Los datos son los de la Tabla III3 La estimacioacuten muestral de R es

R =(48102)(1146)=197 pero el objetivo es obtener un IC al 95 para el verdadero

paraacutemetro poblacional R

Tabla III3

Presencia (SIacute) o ausencia (NO) de una infeccioacuten viacuterica en dos grupos

independientes

Infeccioacuten viacuterica SIacute NO Total

Virus

Inoculado

SIacute 11 35 46

NO 48 54 102

Total 59 89 148

Aplicando el meacutetodo oacuteptimo ZAb1 a los datos de Maxwell (x2=48 n2=102

x1=11 y n1=46) lo primero es reconvertir los mismos en x2=485 n2=103 x1=115 y

n1=47 La expresioacuten (345a) indica que R(11659 35082) un IC de longitud l(ZAb1)



= 23423 El intervalo es correcto pues 485(150115) = 03502 11659 35082

(150485)115 = 88261

Alternativamente puede emplearse el meacutetodo ZW4 Como 0ltxiltni los datos deben

incrementarse en 19624=096 y la expresioacuten (346) debe aplicarse a los datos

x2n2=489610392 y x1n1=11964792 Esto proporciona el IC R(11887 37853) de

longitud l(ZW4)=25966 que como era de esperar (pues el meacutetodo ZW4 suele tener

menos puntos en la RC que el ZAb1) es superior a l(ZAb1)=23423

Si se aplica el claacutesico y poco fiable meacutetodo ZE0 de las marcas se obtiene el IC

R(11768 34976) de longitud l(ZE0)=23208 inferior a las dos anteriores Esta

ventaja es tan solo aparente pues como se ha dicho el meacutetodo de las marcas es

excesivamente liberal El tambieacuten claacutesico meacutetodo LW1 de la expresioacuten (349) que es

auacuten maacutes liberal que el ZE0 y que como eacutel no es fiable para menos de 200 datos (como

aquiacute) proporciona un IC tambieacuten maacutes estrecho R(11187 33104) de longitud l(LW1)

= 21917

Finalmente el meacutetodo exacto basado en el orden ZE0 (Agresti and Min 2001)

proporciona el intervalo R(11705 36164) de longitud l(exacto)=24459 Como se ve

el meacutetodo aproximado seleccionado en este artiacuteculo (el ZAb1) es el que maacutes se acerca a

los valores exactos

Tabla III4

Resultado de un test diagnoacutestico frente la presencia o ausencia de la enfermedad

Test

+ (T) ndash (T ) Total

Enfermedad SI (E) x1 y1 n1

NO ( E ) x2 y2 n2

Total a1 a2 n

III732 Evaluacioacuten de un meacutetodo de diagnoacutestico binario

En el aacutembito meacutedico es muy frecuente la necesidad de evaluar la eficacia de un

test diagnoacutestico binario La Tabla III4 presenta el formato habitual para la evaluacioacuten

de un test diagnoacutestico donde SIacuteNO alude a la presencia o ausencia real de la


enfermedad y +ndash alude al resultado positivo o negativo del test mediante el cual se

pretende detectar dicha enfermedad (el resto de valores son anaacutelogos a lo explicado en

la Tabla III1)

Para evaluar la calidad del test diagnoacutestico suelen utilizarse diversos paraacutemetros

Si no se tiene en cuenta la prevalencia p de la enfermedad (proporcioacuten de enfermos en la

poblacioacuten) los investigadores suelen fijarse en los paraacutemetros ldquosensibilidadrdquo (SN =

proporcioacuten de enfermos diagnosticado positivamente) y ldquoespecificidadrdquo (EP =

proporcioacuten de sanos diagnosticados negativamente) En base a los datos de la Tabla

III4 las estimaciones muestrales para dichas medidas vendraacuten dados por 1 1SN x n

(es decir 1p ) y 2 2EP y n (es decir 2q ) en tanto que los IC para las mismas se

obtienen mediante las foacutermulas claacutesicas del IC para una proporcioacuten (ver el Capiacutetulo V)

A fin de poner en relacioacuten ambas cosas suelen utilizarse los paraacutemetros RVP =

SN(1EP) y RVN = (1SN)EP o razones de verosimilitud del positivo y del negativo

respectivamente Las estimaciones muestrales de ambas medidas se obtienen

sustituyendo SN y EP por los estimadores indicados arriba Obseacutervese que los

paraacutemetros RVP y RVN son en realidad dos riesgos relativos -p1p2 y q1q2

respectivamente en la notacioacuten de este capiacutetulo- por lo que el IC para los mismos se

obtiene por los meacutetodos actuales

Cuando se tiene en cuenta la prevalencia p de la enfermedad los investigadores

suelen fijarse en los paraacutemetros ldquovalor predictivo positivordquo (VPP = proporcioacuten de

enfermos de entre los diagnosticados positivamente) y ldquovalor predictivo negativordquo (VPN

= proporcioacuten de sanos de entre los diagnosticados negativamente) cuyos valores se

relacionan con los de SN y EP a traveacutes del Teorema de Bayes

11

11 1

p SN pVPP

p SN p EP p

con

1 1EP

SN RVP (348)

11

11 1 1

p EP pVPN

p EP p SN p

con 1 SN

RVNEP

(349)

Las estimaciones muestrales de ambas medidas se obtienen sustituyendo SN y EP por

los estimadores indicados en el paacuterrafo anterior Para obtener un IC para VPP o VPN

basta obtener un IC para o rsquo respectivamente e invertir las expresiones (348) y



(349) Como en la notacioacuten actual =p2p1 y rsquo=q1q2 entonces los IC para y rsquo son

en realidad un IC para un riesgo relativo (lo que de nuevo cae dentro del objetivo del

capiacutetulo actual)

Mercaldo et al (2007) aluden a un estudio de Li et al para diagnosticar el

Alzheimer en base a la presencia (diagnoacutestico positivo) o ausencia (diagnoacutestico

negativo) del alelo ApoEe4 La clasificacioacuten de un grupo de 418 enfermos y otro de

375 en base a este criterio se presenta en la Tabla III5 El objetivo es evaluar la calidad

del meacutetodo de diagnoacutestico teniendo en cuenta o no la prevalencia de la enfermedad lo

que implica estimar los paraacutemetros VPP y VPN o los paraacutemetros y rsquo En lo que

sigue ejemplificamos el caso de (al que llamaremos R por coherencia con el resto del

capiacutetulo)

Tabla III5

Datos del ejemplo de Li et al

Resultado del test

+ ndash Total

Resultado del estaacutendar

+ 240 178 418

ndash 87 288 375

Total 327 466 793

La estimacioacuten muestral de R es R =(87375) (240418) = 04041 pero el

objetivo es obtener su IC Aplicando el meacutetodo ZAb1 los datos reconvertidos seraacuten

x2=875 n2=376 x1=2405 y n1=419 Aplicando la expresioacuten (345a) se obtiene que el

IC es R(03291 04928) de longitud l(ZAb1) = 01637 El intervalo es correcto pues

875(7952405) = 01578 03291 04928 (795875)2405 = 29418

Alternativamente puede emplearse el meacutetodo ZW4 Como 0ltxiltni los datos

deben incrementarse en 19624=096 y la expresioacuten (346) debe aplicarse a las dos

muestras x2n2=879637692 y x1n1=2409641992 Esto proporciona el IC R(03275

04914) de longitud l(ZW4)=01639 que como era de esperar (pues el meacutetodo ZW4

suele tener menos puntos en la RC que el ZAb1) es superior a l(ZAb1)=01637 (solo

ligeramente pues el tamantildeo muestral es muy grande)



R(03293 04925) de longitud l(ZE0)=01632 algo inferior a las dos anteriores Esta



maacutes fiable que el ZE0 en la situacioacuten actual de muchos datos y valores moderados de

proporciona el IC R(03315 04958) de longitud l(LW1) =01643 ligeramente

superior

CAPIacuteTULO IV

K=2 EN EL RESTO DE LOS CASOS

IV1 INTRODUCCIOacuteN

En los uacuteltimos antildeos la literatura ha mostrado gran intereacutes acerca de las

inferencias asintoacuteticas sobre una combinacioacuten lineal L=ipi de K proporciones

binomiales independientes pi (Tebbs amp Roths 2008) a cuyo fin lo maacutes habitual es

tomar muestras independientes de las poblaciones objetivo En realidad este intereacutes

alude al caso general para Kgt2 (desarrollado en el capiacutetulo I) aunque puede seguirse un

razonamiento similar para el caso general de solo dos proporciones Para K=2 el

paraacutemetro de intereacutes seraacute la combinacioacuten lineal L=1p1+2p2 lo que engloba los casos

claacutesicos de la diferencia (d) y del cociente (R) de dos proporciones ya comentadas en los

dos capiacutetulos anteriores Como es tradicional la Tabla VI1 ilustra la presentacioacuten de

los datos (un caso particular de la Tabla I1) la cual se comenta de momento El

objetivo actual es pues la realizacioacuten de un test de dos colas sobre L (H0 L=λ vs H1

Lneλ) o la obtencioacuten de un IC de dos colas para L

Tabla IV1



1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2

Total a1 a2 n

La Tabla IV1 presenta los datos obtenido en este tipo de estudios en donde de

nuevo SIacuteNO alude a la presencia o ausencia de la caracteriacutestica que se estudia ix ( iy )

es el nordm de individuos de entre los in (tamantildeo de muestra) que siacute (no) presentan la

caracteriacutestica βi son los coeficientes de la combinacioacuten lineal (que habitualmente son



conocidos y distintos de 0) 1a =xi ( 2a =yi) es el total de individuos que siacute (no)

presentan la caracteriacutestica y finalmente n =ai=ni es el tamantildeo total de la experiencia

Las dos variables aleatorias (xi) siguen distribuciones binomiales independientes

( )i i ix B n p con 12i en donde ip es la proporcioacuten (desconocida) de

individuos de la poblacioacuten i que presentan la caracteriacutestica en estudio

Como se ha mencionado a lo largo de esta memoria son habituales las

inferencias para K=2 con β1=ndash1 y β2=+1 (diferencia de proporciones) y con β1=ndashρ

β2=+1 y λ=0 (cociente de proporciones) desarrolladas en los capiacutetulos II y III

respectivamente En los siguientes apartados nos centraremos en el resto de casos K=2

los cuales han recibido escasa atencioacuten usualmente centrada en el caso β1lt0 (Phillips

2003 Martiacuten amp Herranz 2010)

Este capiacutetulo tiene como finalidad proponer nuevos meacutetodos asintoacuteticos y

compararlos con los meacutetodos propuestos en la literatura seleccionando el meacutetodo

oacuteptimo para realizar inferencias en los casos menos estudiados de K=2

IV2 NOTACIOacuteN

IV21 Generalidades y estadiacutestico base

Sean dos variables aleatorias binomiales independientes xi~B(ni pi) con i=1 y 2

y sea L=1p1+2p2 el paraacutemetro de intereacutes (con las proporciones pi desconocidas y los

paraacutemetros βi usualmente conocidos y distintos de 0) Sea i iL p la estimacioacuten

muestral del paraacutemetro poblacional L con ip =xini las proporciones muestrales Como

se comentoacute en la seccioacuten I21 el estadiacutestico L sigue una distribucioacuten normal de media

i ip y varianza 2 i i i ip q n en donde qi=1ndashpi Para contrastar H0 L= vs H1 L

(teniendo en cuenta que Bndash=0i

i

le λ le0i

i

= B+ con B= B B =sumβi) hay que

comparar del modo claacutesico el valor experimental del estadiacutestico (que en adelante seraacute

aludido abreviadamente por el nombre en negrita que se indica)

Z 2

22Zi i i i

Lz

p q n

(41)

CAPIacuteTULO IV K=2 EN EL RESTO DE LOS CASOS 133


Para obtener el IC (1ndashα) para L se invierte el test despejando λ en la ecuacioacuten 2 22Z z z

En unas ocasiones la solucioacuten seraacute expliacutecita (maacutes o menos sencilla) en otras requeriraacute

de un procedimiento iterativo

IV22 Estimadores de las proporciones pi


desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten de las mismas En lo que sigue se

describen tales estimadores y se pone en mayuacutescula y negrita la letra abreviada que

designaraacute el procedimiento que cada uno de ellos proporciona (letra que habraacute que

antildeadir a la letra Z alusivo al uacutenico estadiacutestico propuesto)

IV221 Estimadores no restringidos por H0

El estimador maacutes simple y conocido a la hora de sustituir las proporciones pi

desconocidas es el estimador claacutesico de maacutexima verosimilitud simple (es decir las



Otra opcioacuten maacutes complicada y novedosa (Newcombe 1998 a) consiste en

sustituir las proporciones desconocidas por el extremo apropiado del IC de Wilson

(1927)



ii i i i

u l Lp

l u L

(43)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(44)




IV222 Estimadores siacute restringidos por H0



C (Condicionado) 2 1 21

1 2 2 1

a np

n n

y 2 1 1

21 2 2 1

a np

n n

(45)


conveniente exigir que cumpla esta condicioacuten de ahiacute que el estimador ip tengan dos

versiones

Ca ip = (45)

Cb ip = (45) restringida a estar entre 0 y 1 ( ip =0 si ip lt0 y ip =1 si ip gt1)

Una opcioacuten maacutes complicada consiste utilizar los estimadores de maacutexima

verosimilitud ip bajo H0 (Martiacuten amp Herranz 2010) dados por


con α=λβ2 y β= ndashβ1β2 en donde 0 1 1c x 1 1 1 2 11 2c a n n x

2 1 1 2 2 1c n n n x n x c3=nβ2 B= 22c ndash3c1c3 A=45c3(c1c2ndash3c0c3)ndash

32c

y 1 3 2 3cos A B



A (Incondicionado Aproximado)

1 1 2 2 21

1

x x np

n

y 1 1 2 2 1

22

x x np

n

(47)


exigir que ip


los estimadores ip

tengan dos versiones

Aa ip

= (47)


Ab ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)


P (Incondicionado tipo Peskun)

2 1 1 2 11

1

2

2

n n np

n

y 2 1 1 2 1

22

2

2

n n np

n

(48)



sea un valor liacutecito de ahiacute que los

estimadores ip

tenga tambieacuten dos versiones

Pa ip

= (48)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)

IV23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador

Cuando en el estadiacutestico Z de la expresioacuten (41) se sustituye cada uno de

los 9 estimadores aludidos en la seccioacuten anterior se obtienen los 9 estadiacutesticos 2ZWz

2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz y 2

ZPbz cada uno de los cuales dan lugar a un


diferente En ambos casos se obtienen los siguientes 9 procedimientos iniciales ZW

ZN ZCa ZCb ZE ZAa ZAb ZPa o ZPb Obseacutervese que cada procedimiento se inicia

con la letra Z lo que es innecesario dado que solo se propone un estadiacutestico (el Z) sin

embargo se ha preferido hacerlo asiacute por homogeneidad con el resto de los capiacutetulos Sin

embargo por las razones que se sentildealan maacutes tarde (seccioacuten IV414) los

procedimientos ZCa y ZCb deben excluirse por lo que en este capiacutetulo solo se

analizaraacuten 7 procedimientos (los ZW ZN ZE ZAa ZAb ZPa o ZPb)

IV24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan

Las foacutermulas anteriores pueden utilizarse en base a los datos originales (xi yi) o

en base a los datos incrementados en una cantidad determinada hi es decir en base a

(xi+hi yi+hi ni+2hi) Este incremento como se comentoacute en el Capiacutetulo I tiene su origen




comportamiento del procedimiento ZW Los valores posibles de hi se denotan con el

diacutegito (en negrita) que los identificaraacute (el cual se antildeadiraacute a las letras de los

procedimientos descritos arriba)


1 hi=05 (Woolf)

2 hi=1 (Dann amp Koch)

3 hi=2

2z 4

4

22

22

1 si 1 21 2 con si

4 0 en otro caso 1 si 0 en donde

1 si 01 si 1 21 2 con si

4 0 en otro caso

i iii

ii i

ii iii

p sz II L

h sp sz S

S L

Cada uno de los 5 incrementos anteriores (0 1 2 3 y 4) puede aplicarse a cada

uno de los 7 procedimientos de la seccioacuten anterior (ZW ZN ZE ZAa ZAb ZPa o

ZPb) dando lugar asiacute a 35 meacutetodos de inferencia distintos En lo que sigue ellos seraacuten

notados por la letra del procedimiento y el diacutegito del incremento correspondiente ZW0

ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 ZPb4

IV3 RESULTADOS DE LA LITERATURA

IV31 Resultados de tipo teoacuterico

IV311 Meacutetodo claacutesico de Wald

El meacutetodo de inferencia al que maacutes se recurre por su sencillez consiste en


maacutexima verosimilitud simple no restringidos a H0 L=) dadas por la expresioacuten (42) lo

que da lugar al procedimiento ZW (el claacutesico procedimiento de Wald) Para K=2 este

meacutetodo fue propuesto por Phillips (2003) el cual lo obtuvo como una generalizacioacuten

del Caso d asumiendo que el paraacutemetro δ es una funcioacuten lineal de p1 Bajo esta

perspectiva el estadiacutestico de contraste y el IC que se obtiene por inversioacuten del mismo

tienen las expresiones siguientes

ZW 2

22ZWi i i i

Lz

p q n

(49)


ICZW 22 i i i iL L z p q n (410)

Phillips (2003) menciona la posibilidad (sin entrar a valorar la opcioacuten) de que existan

aproximaciones que mejoren el comportamiento de ZW como la propuesta de Agresti

amp Coull (2000) de incrementar los datos en hi=1 (realizada para el Caso d)

IV312 Meacutetodo incondicionado exacto

Desde el punto de vista incondicionado Martiacuten amp Herranz (2010) proponen el

estimador de maacutexima verosimilitud bajo H0 sin condicionar en los marginales Tales

autores obtuvieron los valores expliacutecitos de ip dados por la expresioacuten (46) que a su

vez contiene como caso particular a los estimadores de Miettinen amp Nurminen (1985)

para el caso de la diferencia d y a los de Koopman (1984) para el caso del cociente R

Por tanto el estadiacutestico de contraste para el procedimiento ZE seraacute de la forma

ZE 2

22ZEi i i i

Lz

ˆ ˆp q n

(411)

y el IC se obtiene resolviendo en λ por meacutetodos iterativos la ecuacioacuten 2 22ZE z z

IV313 Meacutetodo incondicionado Peskun

Para el Caso d Peskun (1993) empleoacute el criterio de Sterne (1954) al indicar que el

estadiacutestico 2Zz seraacute significativo cuando lo sea para cualquier valor de p1 Martiacuten amp

Herranz (2010) emplearon el mismo criterio para el caso general de K=2 determinando

que el estimador ip

viene dado por la expresioacuten (48) El estadiacutestico e IC del

procedimiento ZPa (sin tener en cuenta si los valores de ip

son liacutecitos) seraacute de la forma

ZPa

2

222

4

2ZPa

i

i

Lz

B

n n

(412)

ICZPa 2

2 2 22 2 2

22

2

2 2 i

i

B LB z z n znL L

n z n n n n

(413)



En el caso de obligar a que el estimador ip

tome un valor liacutecito (es decir a que verifique

0le iple1) habraacute que tener en cuenta que ip

=0 si ip

lt0 y que ip

=1 si ip

gt1 obteniendo

asiacute el procedimiento ZPb

IV314 Propiedades a verificar por cualquier estadiacutestico de contraste


propiedades de coherencia Como se ha comentado en capiacutetulos anteriores es necesario

que las regiones criacuteticas no presenten huecos (convexidad espacial) por lo que la

ausencia de estos en la misma implica que z2 debe ser creciente (decreciente) en ip si

0i ( 0i ) Por otro lado por el principio de Sterne (1954) para que z2 sea liacutecito es


decreciente con λ y creciente en i (convexidad parameacutetrica) Martiacuten amp Herranz (2010)

demuestran que los estadiacutesticos 2ZWz 2

ZEz y 2ZPa bz verifican todas estas propiedades de

convexidad

IV32 Resultados de tipo praacutectico

Como se ha indicado anteriormente la literatura ha prestado muy escasa atencioacuten al

caso de K=2 (y siempre limitadas al caso de 1lt0) En particular

1) Phillips (2003) indica que el meacutetodo ZW0 aplicado como test de una cola

funciona razonablemente bien puesto que el tamantildeo real del test es cercano al

nominal

2) Martiacuten amp Herranz (2010) basaacutendose en las conclusiones de la literatura acerca de

los Casos d y R sugieren (sin prueba empiacuterica alguna) que de entre los meacutetodos

ZW0 ZE0 y ZPab0 el mejor debe ser el reputado meacutetodo ZE0

IV4 APORTACIONES

IV41 Aportaciones de tipo teoacuterico

IV411 Meacutetodo de Newcombe-Zou

Newcombe (1998) plantea un nuevo procedimiento para el Caso d basado en el


IC asintoacutetico para una uacutenica proporcioacuten dado por Wilson (1927) Posteriormente Zou et

al (2009) justifican teoacutericamente y generalizan dicho procedimiento para cualquier

valor de K Siguiendo el razonamiento realizado en la seccioacuten I313 para el caso actual

el estadiacutestico de contraste y el IC seraacuten de la forma

ZN

2 2

2

2 2

si lt

si gtZN

L R Lz

L R L

(414)

ICZN

2

2

L z RL

L z R

(415)

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i


n n n n

siendo (li ui) los valores obtenidos por las expresiones (44) Como se comentoacute en la

seccioacuten I42 la ventaja de este formato es que el mismo es vaacutelido tanto si los errores α

empleados para el IC de Wilson y para la inferencia sobre L son iguales como si son

distintos

IV412 Meacutetodo de las marcas y equivalencia con el procedimiento ZE

La propuesta maacutes relevante de esta memoria es la mencionada en el Capiacutetulo I

acerca del meacutetodo de las marcas desarrollado para una combinacioacuten lineal de K

proporciones binomiales independientes Anaacutelogamente a lo indicado en la seccioacuten

I43 el meacutetodo de las marcas para K=2 consiste en resolver en 2ZEz o en λ la ecuacioacuten

2 0iy n B C R donde 2ZEC z L (416)

con 2 2 2 2 2i i i i i iR n C n b C y 1 2i ib p con i=1 2 Cuando el objetivo es realizar

el test (en cuyo caso λ es conocido) 2ZEz es la uacutenica solucioacuten 2 0ZEz de la ecuacioacuten

(416) si L en tanto que si L se asume que 2ZEz =0 Cuando el objetivo es

obtener el IC I SL (en cuyo caso es 2 22ZE z z conocido) entonces λi son las

uacutenicas dos soluciones de la ecuacioacuten (416)



Esta metodologiacutea es equivalente a la del procedimiento ZE mencionado en la

seccioacuten IV312 ya que ambos se obtienen sustituyendo las proporciones desconocidas

pi por sus estimadores de maacutexima verosimilitud ip bajo H0 dando lugar a expresiones

equivalentes tanto para el test como para el IC

IV413 Procedimiento y estimador A (incondicionado aproximado)

El estimador incondicionado aproximado fue desarrollado en la seccioacuten III52

de modo general para K=2 por lo que las definiciones dadas en la expresioacuten (47) son

las mismas expresiones (335) y (336) Como puede suceder que ip



ip

=0 cuando ip

lt0 y que ip

=1 cuando ip

gt1 lo que da lugar a la versioacuten Ab (frente a

la versioacuten Aa que se obtiene si no se impone tal condicioacuten)

Sustituyendo las proporciones desconocidas pi por el estimador A se obtiene

como estadiacutestico de contraste el siguiente

ZA 2

22 ZAi i i i

Lz

p q n

(417)

obteniendo por inversioacuten del mismo el intervalo ICZA Es algebraicamente faacutecil de

comprobar que el estadiacutestico (417) es el mismo de la expresioacuten (412)

IV414 Propiedades de equivalencia

Para que un procedimiento de test actuacutee coherentemente es razonable exigirle

que verifique tanto las propiedades de convexidad espacial y parameacutetrica (seccioacuten

IV314) como las propiedades de equivalencia siguientes cualquier estadiacutestico z2 debe

tomar el mismo valor al contrastar la hipoacutetesis nula original H0 β1p1+β2p2=λ que al

contratar las cuatro hipoacutetesis nulas equivalentes 0 1 1 2 2 1H q p

0 1 1 2 2 2H p q 0 1 1 2 2 1 2H q q y 0 1 2 1 2 1 vH p p

Esto quiere decir que las cinco ternas (β1 β2 λ) (ndashβ1 β2 λndashβ1) (β1 ndashβ2 λndashβ2) (β1 β2

β1+β2ndashλ) y (1 β2β1 λβ1) deben ocasionar el mismo valor del estadiacutestico z2

En este capiacutetulo se ha propuesto un uacutenico estadiacutestico ndashdado por la expresioacuten

(41)- descartando otras posibilidades que ofrece esta memoria o la literatura pues todas


ellas presentan alguna incoherencia relativa a las propiedades de convexidad espacial

yo convexidad parameacutetrica y a las propiedades de equivalencia actuales Esto es lo que

sucede con los estadiacutesticos basados en la transformacioacuten logariacutetmica (Martiacuten amp Herranz

2010) y en la transformacioacuten arco seno pues es faacutecil ver que en ambos casos no se

verifican las 4 propiedades de equivalencia (de hecho la transformacioacuten logariacutetmica

solo verifica una de las dos propiedades de convexidad espacial en el Caso R) Por

ejemplo en el caso de la transformacioacuten arco seno (cuya definicioacuten puede verse en la

seccioacuten II33) el estadiacutestico de contraste para las hipoacutetesis H0 y 0H toma el valor

221 2 2 1 2 1 1 24Az n n n n mientras que para las hipoacutetesis 0H y 0H

toma el valor 221 2 2 1 2 1 1 24Az n n n n siendo 1

i isin p y

1i isin p en ambos casos Adicionalmente se ha descartado el claacutesico estadiacutestico

chi-cuadrado pues los procedimientos que se obtienen a partir de eacutel suelen tener en

general un mal comportamiento (con la salvedad del procedimiento basado en el

estimador ip en cuyo caso 2E coincide con el procedimiento 2

ZEz ) como se ha visto en

los capiacutetulos II y III de esta memoria

Respecto de los estimadores se ha excluido el estimador condicionado ip

(correspondiente al procedimiento ZCab) pues los procedimientos que ocasiona

tampoco verifican las 4 propiedades de equivalencia Por ejemplo para las ternas (β1

β2 λ) (β1 β2 β1+β2ndashλ) obtenidas a partir de las hipoacutetesis H0 y 0H las expresiones i ip q

son de la forma

2 1 2 2 1 22 1 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n na np q

n n n n

1 1 2 1 2 11 1 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x y n na np q

n n n n

en cambio para las ternas (ndashβ1 β2 λndashβ1) (β1 ndashβ2 λndashβ2) obtenidas a partir de las

hipoacutetesis 0H y 0H dichas expresiones son

2 1 2 2 1 2 2 1 2 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n n x x np q

n n n n



1 2 1 1 1 1 2 1 2 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x x n x y n np q

n n n n

de modo que el estadiacutestico 2ZCa bz toma valores distintos no cumpliendo asiacute las

propiedades de equivalencia

IV415 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados

A menudo por causa del mal comportamiento del meacutetodo ZW0 conviene

aplicar el procedimiento ZW a los datos incrementados en una cantidad hi con i=1 2

Como se ha citado en otros capiacutetulos son tradicionales los incrementos hi=05 y hi=1

Otras posibilidades son los incrementos propuestos en los capiacutetulos anteriores es decir

los Casos 3 y 4 de la seccioacuten IV24 Aunque lo anterior es inicialmente aconsejado para

el procedimiento ZW nada impide que se haga igual para los demaacutes procedimientos

(como se propone en esta memoria)


observados estaacuten en la frontera del espacio muestral (es decir cuando ip =0 o 1) pues

entonces el valor de hi es diferente seguacuten que se vaya a determinar el extremo inferior λI

(caso de L ) o el extremo superior λS (caso de L ) Cuando 0ltxiltni para i=1 y 2

los Casos 3 y 4 proporcionan la misma solucioacuten Adicionalmente cuando α=5 los

Casos 2 y 3 proporcionan praacutecticamente la misma solucioacuten pues 19624asymp1

IV416 Estadiacutestico con correccioacuten por continuidad

Siguiendo la argumentacioacuten de Haber resentildeada en la seccioacuten I44 el salto total

del estadiacutestico de contraste L es de i| | con lo que el salto promedio seraacute de

2 1ic | | N con 1 21 1N n n el nuacutemero total de puntos del espacio

muestral Con ello el estadiacutestico Z con cpc seraacute

Zc 2 2

2 si

0 si

i i i iZc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(418)

En el caso particular del test de las marcas el estadiacutestico se obtiene cambiando

el valor 2ZEz de la expresioacuten (416) por el valor 2

2ZEcz L L c siendo 2

ZEcz


el valor del estadiacutestico de las marcas con cpc (la incoacutegnita de la ecuacioacuten en el caso del


2ZEz en la expresioacuten (416) por el valor 2

22z L | L | c y determinar sus

dos soluciones con IB L c y SL c B

IV42 Aportaciones de tipo praacutectico

IV421 Objetivo





de los test de hipoacutetesis pues ella permite una evaluacioacuten maacutes coacutemoda que desde la

perspectiva de los IC


la seccioacuten IV2 (los meacutetodos ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 ZN0 ZPb4) lo que

incluye las propuestas maacutes relevantes de la literatura de ellos 31 son meacutetodos nuevos

(los denominados por ZW ZE ZPa y ZPb con incrementos 1 al 4 y ZN ZAa y ZAb con

incrementos 0 al 4) Por tanto el objetivo es seleccionar el meacutetodos oacuteptimos bajo los


IV422 Descripcioacuten del estudio a realizar y de los criterios a emplear para la



comportamiento de cada meacutetodo en cada una de las siguientes combinaciones de los

paraacutemetros (a ni bi λ)

=5 (aunque en ocasiones tambieacuten se contemplaraacuten los valores del 1 y del 10)

ni = 40 60 y 100 con n1len2 Se excluyen los casos n1gtn2 pues las hipoacutetesis nulas H0

β1p1+β2p2=λ y 0H β2p2+β1p1=λ son equivalentes (cualquiera de los procedimientos




Las parejas (β1 β2) son las indicadas en la Tabla IV2 habiendo sido seleccionadas

de modo que verifiquen las siguientes condiciones

Tabla IV2

Combinaciones de tamantildeos muestrales (n1 n2) ternas (β1 β2 λ) y peso a asignar en

las evaluaciones de los distintos meacutetodos

n1 n2 1 2 Peso n1 n2 1 2 Peso n1 n2 1 2 Peso

40 40 +3 +1 +05 2 40 100 +3 +1 +05 2 60 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

40 60 +3 +1 +05 2 +1 +3 +05 2 +1 +3 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +1 +5 +05 2 +1 +5 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

+1 +3 +05 2 60 60 +3 +1 +05 2 100 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+1 +5 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

ndash Debe ocurrir que βine0 con i=1 o 2 pues el caso de solo una proporcioacuten no es

el objetivo actual y se trata aparte (ver el proacuteximo capiacutetulo)

ndash Debe ocurrir que |β1|ne|β2| pues el caso |β1|=|β2| provocaraacute las mismas

conclusiones obtenidas en el Caso d Esto es asiacute pues las ternas (β1 β2 λ) (ndash

β1 β2 λndashβ1) (β1 ndashβ2 λndashβ2) y (ndashβ1 ndashβ2 λndashβ1ndashβ2) dan lugar al mismo valor del

estadiacutestico analizado lo cual se debe a que las hipoacutetesis nulas

correspondientes son equivalentes (ver las propiedades de equivalencia de la

seccioacuten IV414)

ndash Debe ocurrir que β1=1 o β2=1 (si n1nen2) o β2=1 (si n1=n2) pues las ternas (β1

β2 λ) (1 β2β1 λβ1) y (β1β2 1 λβ2) ocasionan hipoacutetesis nulas que tambieacuten

son equivalentes

ndash Por tanto se contemplan soacutelo los casos con βigt0 β1=1 o β2=1 (si n1nen2) o


β2=1 (si n1=n2) y |β1|ne|β2| En particular la pareja (β1 β2)=(+1+1) no se

evaluacutea dado que por ser equivalentes las hipoacutetesis H0 β1p1+β2p2=λ y

0 1 1 2 2 1H q p sus conclusiones seraacuten las del Caso d

Para cada pareja (1 2) λ tomaraacute los valores 1 20B B Como ya se

indicoacute antes la hipoacutetesis nula H0 β1p1+β2p2=λ es equivalente a la hipoacutetesis

0 1 1 2 2 1 2H q q de ahiacute que si se evaluacutea el valor λ no hace falta evaluar

el valor β1+β2ndashλ A cambio a las salidas para 1 2 2 hay que asignarle

peso 2 en el caacutelculo de los promedios frente al peso 1 de las salidas con

1 2 2 De ahiacute los valores a evaluar y los pesos indicados en la Tabla

IV2

El proceso de obtencioacuten de datos consiste en realizar los siguientes pasos

1 Seleccionar una combinacioacuten (a n1 n2 b1 b2 λ meacutetodo 2Xz a evaluar)

2 Construir la regioacuten criacutetica RC= 2 21 2 2X x x | z z

3 Calcular el error real (tamantildeo) del test mediante la expresioacuten

1 1 2 21 2

1

1 21 1 2 2

1 2

maacutex 1 1n x n xx x

A p BRC

n np p p p

x x

(419)

en donde

2 1 1 1 2

1 2 1 1 2

maacutex 0 miacuten 1 si 0


A B

A B

y 1 1

22

pp

(420)

siendo las cantidades A y B debidas a que 0lepile1 y λ=β1p1+β2p2 Tal y como

sucedioacute en los capiacutetulos anteriores el recubrimiento real R para un valor fijado de

p1 viene dado por la expresioacuten

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p p I x x

x x

en donde 1 2( ) 1I x x si ( )I S el IC obtenido con la pareja (x1 x2)

1 2( )I x x 0 en otro caso y p2 el indicado en la expresioacuten (420) Como el valor de

p1 es desconocido el recubrimiento relevante viene dado por R=

miacuten 1 1 A p B R p =1



4 Calcular el incremento del error real con respecto al error nominal De

nuevo hay que tener en cuenta que si 0 el test seraacute conservador (por lo que el

IC tambieacuten lo seraacute y tendraacute maacutes recubrimiento que el nominal) por el contrario si

0 el test seraacute liberal (por lo que el IC tambieacuten lo seraacute y tendraacute menos

recubrimiento que el nominal)



misma frente a la potencia tradicional

1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x

(421)

ya fue justificada en la seccioacuten II62 Como en ocasiones anteriores una mayor

potencia a largo plazo es indicativo de una menor longitud media de los IC que se

obtengan por inversioacuten del test en donde

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(422)




7 Para cada meacutetodo se construiraacute una tabla (como la Tabla AIV1) que contemple los




medios de ( ) y de ( )






menos fallos






(d) Entre los meacutetodos que queden se prefieren los de mayor potencia

IV423 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc (α=5)

La Tabla AIV1 contiene los datos completos de todos los meacutetodos (se omite el

procedimiento ZAa pues puede dar lugar a varianzas negativas) Globalmente se

observa que

Respecto al nuacutemero de fallos el hecho de sumar una cantidad hi es positivo

uacutenicamente en el caso del procedimiento ZW El resto de procedimientos

empeoran salvo el ZPb que apenas variacutea

Los meacutetodos basados en los estimadores exacto de Newcombe y aproximado (ZEx

ZNx y ZAbx) son todos ellos muy malos pues aunque tienen una buena potencia

son meacutetodos demasiado liberales que dan lugar a demasiados fallos (de hecho lo

primero es causa de lo segundo)

El peor meacutetodo de todos (como es tradicional) es el claacutesico meacutetodo ZW0 de Wald

La Tabla AIV2 contiene el resumen de los datos de todos los meacutetodos Del

anaacutelisis de la misma puede concluirse lo siguiente

La seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo debe centrarse en los meacutetodos con pocos fallos (4 o

menos) es decir en los 11 primeros meacutetodos de la tabla

Todos los meacutetodos de tipo ZP deben descartarse por tener una potencia muy baja

De los tres restantes (ZW2 ZW3 y ZW4) puede afirmarse que el meacutetodo ZW4 (que

no tiene fallos) es mucho mejor que los ZW2 y ZW3 que siendo iguales entre siacute

tienen 4 fallos (aunque estos lo son por muy poco)

La conclusioacuten es que el mejor meacutetodo de todos es el ZW4 aunque los meacutetodos

ZW2 y ZW3 proporcionan tambieacuten buenos resultados y tienen un comportamiento muy

similar



IV424 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo sin cpc de entre los seleccionados anteriormente

y para los errores =1 5 y 10 evaluaciones general y detallada

La Tabla AIV3 contiene los datos completos de los meacutetodos seleccionados en la

seccioacuten anterior (ZW2 ZW3 y ZW4) para los tres errores analizados en tanto que la

Tabla AIV4 contiene el resumen de los mismos De ellas se deduce que

Para α=1 el mejor meacutetodo es el ZW3 que es similar al meacutetodo ZW4 pero

preferible a este (por ser algo maacutes potente y muy poco maacutes liberal) El meacutetodo ZW2

es el peor de los tres

Para α=5 el mejor meacutetodo es el ZW4 el cual es mucho mejor que los otros dos

(ZW2 y ZW3) que son similares entre siacute




De lo anterior se deduce que para los errores α=1 5 y 10 los meacutetodos

oacuteptimos son los ZW3 ZW4 y ZW2 respectivamente aunque el meacutetodo ZW4 puede ser

considerado el mejor de modo global

Adicionalmente con el fin de determinar maacutes detalladamente en queacute momento

(en funcioacuten de los tamantildeos muestrales ni) es preferible un meacutetodo u otro la Tabla AIV5

presenta el resumen de los resultados de los meacutetodos seleccionados para cada pareja de

tamantildeos de muestra (n1 n2) y para los tres errores citados (α=1 5 y 10) A la vista

de la misma se observa que

Para α=1 se descarta inicialmente ZW2 pues tiene errores demasiado grandes

seleccionando ZW4 frente a ZW3 (a pesar de tener mejor potencia)

Para α=5 destaca el mejor comportamiento de ZW4 frente a ZW2 y ZW3 (que

son praacutecticamente iguales)

Para α=10 en general ZW3 no tiene buena actuacioacuten pues tiene errores muy

grandes a pesar de su buena potencia Para tamantildeos pequentildeos (n1=40) ZW2 es el

meacutetodo maacutes adecuado tanto bajo el punto de vista del error como de la potencia en

tanto que para tamantildeos maacutes grandes (n1ge60) es ZW4 el meacutetodo oacuteptimo




En general el meacutetodo ZW4 (pues tiene el mejor comportamiento)

En particular el meacutetodo ZW4 para los errores α=1 y α=5 asiacute como para n1ge60

al error α=10 En otro caso (para n1lt60 y α=10) el oacuteptimo es el meacutetodo ZW2

IV425 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc (=5)

Con el fin de ver si la aplicacioacuten de una cpc mejora el resultado del meacutetodo ZW4

seleccionado la Tabla AIV6 presenta los datos completos del mismo en sus dos

versiones sin y con cpc (meacutetodos ZW4 y ZW4c) al 5 De ella se deduce que el meacutetodo

oacuteptimo sigue siendo el ZW4 (por ser maacutes sencillo) ya que ninguno de los dos meacutetodos

presenta fallos y el comportamiento global es similar Por lo tanto la cpc no mejora la

actuacioacuten del meacutetodo y se mantienen las conclusiones de la seccioacuten anterior

IV5 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

IV51 Meacutetodo oacuteptimo

Por todo lo resentildeado en las secciones anteriores para el caso de 12

puede concluirse que todos los meacutetodos claacutesicos de la literatura funcionan muy mal

siendo los meacutetodos oacuteptimos los indicados en el cuadro de abajo Respecto del caso

1=2 ya se indicoacute en la seccioacuten IV422 que las conclusiones son las mismas

que la del Caso d con la salvedad de que la solucioacuten basada en la transformacioacuten arco

seno solo es vaacutelida cuando 2=1 (pues en otro caso no se verificaban las propiedades

de equivalencia) de ahiacute lo indicado en el cuadro de maacutes abajo Obseacutervese que todos los


SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA K=2

Casos de 12 y 1=2

De modo general ZW4 es el mejor meacutetodo

De modo maacutes particular el meacutetodo oacuteptimo es ZW4 cuando α=1 y 5 (asiacute como

para n1ge60 al error α=10) para n1lt60 y α=10 el meacutetodo oacuteptimo es el ZW2

Casos de 1=2

Proceder como en el caso de la diferencia (Capiacutetulo II)



IV52 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia cuando 12 o 1=2

IV521 Meacutetodo oacuteptimo para n1lt60 y α=10 ZW2


2) El estadiacutestico de contraste y el intervalo vienen dados respectivamente por las


2

22ZWi i i

i

Lz

p q

n

y

2

2i i i

i

p qL L z

n

(423)

IV522 Meacutetodo oacuteptimo para el resto de los casos (y tambieacuten en general) ZW4

1) Incrementar todos los datos (los eacutexitos xi y los fracasos yi) en 22 4z si 0ltxiltni (i=1

2) o en otro caso incrementarlos en

22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s

2) El estadiacutestico de contraste y el intervalo vienen dados de nuevo por las expresiones

(423) aplicadas a los datos incrementados anteriores

IV53 Ejemplo praacutectico

Tebbs and Roths (2008) aluden a los datos de un ensayo cliacutenico multiceacutentrico

(ver la Tabla I3) cuyo fin era evaluar la eficacia de un reacutegimen rebajado en sal en el

tratamiento de bebeacutes varones con diarrea aguda A causa de que el nivel de

participacioacuten es diferente pues depende de la localizacioacuten una estimacioacuten natural de la

proporcioacuten global es la media de las probabilidades de respuesta pi en los K=6 lugares

ie L=βipi con βi=ni ni Si se desea separar la inferencia acerca de la zona

sudamericana (Brasil y Peruacute) del resto entonces K=2 y βi=ni (n1+n2) para dicha zona Los

datos se muestran en la Tabla IV3(a)


Aplicando el meacutetodo ZW4 (en este caso equivalente al meacutetodo ZW3 ya que

0ltxiltni) para el caacutelculo del IC al 95 de confianza entonces 22z 4=19624=09604 y el

meacutetodo de Wald de la expresioacuten (423) debe aplicarse a los datos de la Tabla IV3(b) El

resultado es L (02700 03996)

Tabla IV3

Datos de un ensayo cliacutenico multiceacutentrico

(a) Datos originales


Brasil

Peruacute

Total

107

092

199

32

34

66

107199

092199

1

(b) Datos incrementados en 09604


Brasil

Peruacute

Total

1089208

0939208

2028416

329604

349604

679208

107199

092199

1

CAPIacuteTULO V

K=1 O EL CASO DE UNA PROPORCIOacuteN

V1 INTRODUCCIOacuteN

Uno de los problemas maacutes baacutesicos de inferencia estadiacutestica es la obtencioacuten de un

intervalo de confianza de dos colas para una proporcioacuten binomial p desconocida asiacute

como la resolucioacuten de un contraste de hipoacutetesis H0 p=π siendo π un valor conocido y

dado de antemano Igual que para otros paraacutemetros el caso de una proporcioacuten

constituye un caso particular del caso general del Capiacutetulo I ahora K=1 L=p y λ=π

(pues si H0 1p1= basta dividir por 1 para obtener H0 p1=1= y evitar el

subiacutendice que ya no tiene intereacutes haciendo p1=p y 1=1) El objetivo actual es pues la

realizacioacuten de un test de dos colas sobre p (H0 p=π vs H1 pneπ) o la obtencioacuten de un IC

de dos colas para p

En este caso tendremos una uacutenica muestra de tamantildeo n donde x (y) es el nordm de

individuos de entre los n que siacute (no) presentan la caracteriacutestica aludida en el estudio La

variable aleatoria (x) sigue una distribucioacuten binomial x B n p en donde p es la

proporcioacuten (desconocida) de individuos de la poblacioacuten que presentan la caracteriacutestica

Desde el punto de vista de las inferencias exactas lo habitual de los libros de

texto avanzados es recomendar el meacutetodo de Clopper amp Pearson (1934) basado en la

inversioacuten de un test de dos colas con la ventaja de poder determinar el IC a partir de las

tablas de la distribucioacuten F de Snedecor Por razones de simplicidad de las foacutermulas y

del intereacutes pedagoacutegico de algunas de las soluciones muchos autores abogan por

resolver el problema de modo asintoacutetico (Newcombe 1998 b Agresti amp Caffo 2000)

El objetivo de este capiacutetulo es valorar los meacutetodos asintoacuteticos ya existentes y

proponer nuevos meacutetodos evaluando comparativamente todos ellos



V2 NOTACIOacuteN

V21 Generalidades y estadiacutesticos base

Sea una variable aleatoria binomial x~B(np) en donde p la proporcioacuten

desconocida es el paraacutemetro de intereacutes Sean p =xn la proporcioacuten muestral q=1p y

1q p Para contrastar H0 p=π vs H1 p π (con 0le π le1 ya que 0leple1) es necesario

seleccionar primeramente un estadiacutestico de contraste de entre los cuatro que siguen los

cuales en adelante seraacuten aludidos abreviadamente por el nombre en negrita que se

indica

Z

2

2

1Z

p πz

p p

(51)

L 22 1Lz ln p lnπ np p (52)

G 2

2 11 1G

p πz np p ln ln

p π

(53)

A 22 1 14Az n sin p sin π (54)

En cualquiera de los cuatro casos habraacute que comparar el valor experimental del

estadiacutestico 2expz (cualquiera de los cuatro anteriores 2

Zz 2Lz 2

Gz 2Az ) con 2

2z (en donde


(1ndashα) para p se invierte el test despejando π en la ecuacioacuten 2 22exp z z (en todas las

ocasiones se obtiene solucioacuten expliacutecita maacutes o menos sencilla)

V22 Generalidades sobre las proporciones pi

En los estadiacutesticos Z L y G la proporcioacuten p desconocida debe ser sustituida por

alguno de sus estimadores con el fin de que tengan utilidad praacutectica En lo que sigue se

describen los mismos y se pone en mayuacutesculas y negrita la letra abreviada que designaraacute

el procedimiento que proporciona cada estimacioacuten (letra que hay que antildeadir a la del

estadiacutestico Z L o G utilizado)

La solucioacuten maacutes habitual para estimar p (por su sencillez) consiste en utilizar el

estimador claacutesico de maacutexima verosimilitud simple es decir la proporcioacuten muestral la

CAPIacuteTULO V K=1 O EL CASO DE UNA PROPORCIOacuteN 155

cual no estaacute restringida por H0

W (Wald) p x n (55)

El estimador de p restringido por H0 es el uacutenico posible y propuesto por Wilson (1927)

E (Wilson) p=π (56)

V23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador



ZEz

2LWz 2

LEz 2GWz y 2

GEz cada uno de los cuales da lugar a un procedimiento de test

diferente Al invertir el mismo se obtiene un procedimiento de IC diferente En ambos

casos el nombre del procedimiento es la unioacuten de las letras de los estadiacutesticos (Z L y

G) y estimadores (W y E) implicados en su definicioacuten es por ello que los 7

procedimientos iniciales seraacuten ZW ZE LW LE GW GE y A (en donde se ha antildeadido

el procedimiento A que se obtiene a partir del estadiacutestico 2Az )

Sin embargo los procedimientos LW y LE deben omitirse pues presentan la

dificultad de que actuacutean incoherentemente el test para H0 p=π no da igual resultado

que el test (equivalente) para 0 H 1ndashp=1ndashπ (por lo que el IC para p tampoco es

compatible con el IC para 1ndashp) Teniendo en cuenta estas exclusiones se obtienen

finalmente 5 procedimientos en total

V24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos que proporcionan

Las foacutermulas anteriores pueden utilizarse en base a los datos x e y originales o en

base a los datos originales incrementados en una cantidad h determinada (x+h y+h

n+2h) Este incremento como se ha venido comentando en capiacutetulos anteriores tiene su

origen en los meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald cuyo objetivo es mejorar el comportamiento del

meacutetodo ZW el cual se sabe que funciona muy mal (Ghost 1979 Chen 1990

Newcombe 1998) Los valores posibles de h se denotan con el diacutegito (en negrita) que

los identificaraacute (el cual se antildeadiraacute a las letras descritas arriba)



0 h=0 (claacutesico)

1 h =05 (Woolf)

2 h =2 (Agresti amp Coull)

3 h= 22 2z (Chen)

4

22

22

1 si 11con si

0 si 12

1 si 01con si

0 si 02

pz I I pgt

ph

pz S S plt

p

5

Si sustituir por 1

Si sustituir por 1 1

p p x n

p p x n

(Barkowf)


propios datos aludidos maacutes adelante han demostrado que no mejoran a los anteriores

Cada uno de los 6 incrementos anteriores (0 1 2 3 4 y 5) puede aplicarse a

cada uno de los 5 procedimientos definidos (ZW ZE GW GE y A) dando lugar asiacute a

30 meacutetodos de inferencia distintos en lo que sigue ellos seraacuten notados por las letras del

procedimiento y el diacutegito del incremento correspondiente ZW0 ZW1 ZW2 ZW3

ZW4 ZW5hellip A5

V3 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO TEOacuteRICO

V31 Meacutetodos basados en el estadiacutestico Z

V311 Generalidad

Es de sobra conocido que si x B n p entonces la proporcioacuten muestral

p x n converge en distribucioacuten a una normal con media y varianza las indicadas a

continuacioacuten

dp N(p pqn)

Para contrastar la hipoacutetesis H0 p=π vs H1 pneπ hay que comparar el valor experimental



para p que se obtiene por inversioacuten del test vendraacute dado por las dos soluciones de la

ecuacioacuten 2 22 Zz z


Las expresiones tanto del test como del IC no tienen utilidad hasta que las

proporciones p desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten de las mismas (como

las resentildeadas en la seccioacuten V22)

V312 Meacutetodo claacutesico de Wald y meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald

El procedimiento claacutesico de los libros de texto elementales consiste en sustituir p

por la proporcioacuten muestral (estimador de maacutexima verosimilitud simple) dados por la

foacutermula (55) lo que da lugar al procedimiento ZW (claacutesico procedimiento de Wald

introducido por Wilson (1927) para el caso actual de p) Las expresiones siguientes

aluden al estadiacutestico y al IC que se obtiene por inversioacuten del mismo

ZW

2

2

1ZW

pz n

p p

(57)

ICZW p 2 1p z p p n (58)

Diversos autores han comprobado que el claacutesico procedimiento ZW funciona

mal (Ghost 1979 Chen 1990 Newcombe 1998 b) La mejora tradicional consiste en

utilizar el estadiacutestico no en base a los datos originales (meacutetodo ZW0) sino en base a los

datos incrementados en una determinada cantidad h es decir en base a los datos (x+h

y+h n+2h) En este contexto Agresti amp Coull (1998) propusieron incrementar los datos

en una cantidad h=2 (basaacutendose en las ideas de Wilson 1927) y Chen (1990) propuso el

incremento h= 22 2z

Por otro lado Borkowf (2006) planteoacute un nuevo meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald que

garantizara una probabilidad de recubrimiento cercana a la nominal y cuyo IC fuera

sencillo y faacutecil de interpretar y calcular Para ello sugirioacute incrementar en uno los eacutexitos

(x+1) en el caso de calcular el liacutemite superior del ICZW e incrementar en uno los

fracasos (y+1) en el caso de calcular el liacutemite inferior del ICZW de forma que la

proporcioacuten muestral tendraacute el valor p = x(n+1) para pI y el valor p = (x+1)(n+1) para

pS



V313 Meacutetodo condicionado

Bajo la hipoacutetesis nula H0 p=π Wilson (1927) propuso sustituir p por π dando

lugar al estadiacutestico de contraste y al IC siguientes

ZE

2

2

1ZE

pz n

(59)

ICZE p 22

2 222

2

1

2 2

p pz znp z

n z n n n

(510)

V314 Estadiacutestico Z con correccioacuten por continuidad

Es conocida la necesidad de utilizar una correccioacuten por continuidad (Cox 1970)

cuando se aproxima una variable binomial (discreta) a una normal (continua) Siguiendo

la argumentacioacuten de Haber resentildeada en II316 el salto total del estadiacutestico de contraste

p es de 1 (pues toma valores entre 0 y 1) y como tiene un total de n saltos (0le xle n) la

cpc seraacute la claacutesica c=12n Con ello Blyth amp Still (1983) proponen el siguiente

estadiacutestico Z con cpc

Zc

2

2 si 1

0 si Zc

| p | cn | p | c

z p p

| p | c

(511)

El nuevo estadiacutestico Zc proporciona los dos nuevos procedimientos ZWc y ZEc y los 6

meacutetodos ZWac y ZEac con a aludiendo a los incrementos de los Casos 0 al 5

V32 Meacutetodos basados en el estadiacutestico G

Otro tipo de estadiacutestico desarrollado para el caso de una proporcioacuten es el

estadiacutestico G (de tipo logit) obtenido a partir de la transformacioacuten logariacutetmica de la

odds p(1ndashp) En lugar de considerar la variable aleatoria p se contempla el logaritmo

neperiano 1ln p p que se distribuye de manera aproximadamente normal con

media y varianza las siguientes

1 1 1 1dln p p N ln p p np p


Para el caso de contrastar H0 p=π el estadiacutestico apropiado viene dado por la expresioacuten

(53) la cual carece de sentido hasta que p sea sustituida por la estimacioacuten apropiada

Brown et al (2001) proponen sustituir la proporcioacuten p desconocida de (53) por su

estimador muestral dando lugar al procedimiento GW Por tanto el estadiacutestico de

contraste y el IC obtenido por inversioacuten del mismo tienen la forma

GW 2

2

1GW

pz ln ln npq

q

(512)

ICGW p

11

21 zqexp

p npq

(513)

Anscombe (1956) sugiere como en el caso de los meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald que

el procedimiento GW se obtenga a partir de los datos incrementados en 05 (incremento

tambieacuten utilizado por Wolf 1955 para el procedimiento LW del caso R)

V33 Meacutetodos basado en el estadiacutestico A

Otra alternativa basada en la transformacioacuten arco seno es considerar la variable

aleatoria 1sin p Como el estadiacutestico bajo H0 se distribuye asintoacuteticamente como

una normal con media y varianza las siguientes

1 1 1 4dsin p N sin n

Ghosh (1979) propone el estadiacutestico 2Az de la expresioacuten (54) y el siguiente IC que

obtiene por inversioacuten del mismo

ICA 2 12 2p sin sin p z n

(514)

Es habitual utilizar el procedimiento A con la transformacioacuten de Anscombe

(1948) la cual consiste (como en los meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald) en incrementar los

datos en la cantidad h=38

V4 RESULTADOS DE LA LITERATURA DE TIPO PRAacuteCTICO

V41 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten

De manera similar a los capiacutetulos anteriores la mayoriacutea de los autores plantean

el problema de seleccionar el meacutetodo oacuteptimo desde el punto de vista de los IC Para ello



comparan el recubrimiento real R y la longitud media l de cada meacutetodo de IC para un

valor fijado de p paraacutemetros que vienen dados por las expresiones

0

(1 ) ( )n

x n x

x

nR I x

x

(515)

0

(1 )n

x n xS I

x

nl p p

x

(516)

en donde I(x)=1 si ( )I Sp p p e I(x)=0 en otro caso en donde ( )I Sp p p alude al IC

que se obtiene en el valor x utilizado Dado que R es una probabilidad se verifica que

0leRle1 En general se considera que un meacutetodo de IC es oacuteptimo (Blyth amp Still 1983

Newcombe 1998 b) si se verifica que la probabilidad de recubrimiento R es cercana al

valor nominal 1ndashα que la anchura l del intervalo es pequentildea y que es sencillo de

utilizar



ocasiona estaraacute formada por todos los puntos x en los que 2 22exp z z y el error real del

test seraacute

100 1n xx

RC

n

x

(517)

Adicionalmente la potencia (p|) para una alternativa p y un error dados seraacute

| (1 )x n x

RC

np p p

x




V42 Conclusiones de la literatura

Las principales conclusiones obtenidas a partir de las diversas comparaciones

efectuadas por los distintos autores pueden resumirse como sigue

1) Ghosh (1979) valoroacute los meacutetodos ZE0 ZW0 y A0 desde la perspectiva de los IC

Seguacuten sus resultados para el caso de tamantildeos de muestra grandes el recubrimiento

de A0 es cercano al recubrimiento nominal de forma maacutes satisfactoria que con


ZW0 Numeacutericamente esto se confirma para muestras de menor tamantildeo

observando en este caso que tanto ZE0 como A0 tienen un comportamiento similar

lo que hace que su distincioacuten no sea muy clara Para tamantildeos muestrales grandes la

actuacioacuten de A0 es un poco peor que con ZE0 que finalmente es el meacutetodo oacuteptimo

aconsejado

2) El estudio realizado por Boumlhning (1998) compara los meacutetodos ZW0 ZE0 A0 y

A15 (el procedimiento A con los datos incrementados en 38) sugiriendo

inicialmente que tanto el meacutetodo ZW0 como el A0 son inadecuados por su mal

comportamiento en el borde del espacio muestral Para tamantildeos de muestra

pequentildeos era de esperar la mala actuacioacuten de ZW0 siendo ZE0 el que mejores

resultados aporta En cuanto a los meacutetodos A0 y A15 concluye que el segundo es

mejor pero que no supera al meacutetodo ZE0

3) Chen (1990) sugiere el meacutetodo ZW3 el cual compara con los ZW0 y A0 El autor

concluye que aunque el meacutetodo A0 se comporta mucho mejor que el ZW0

(teniendo un recubrimiento maacutes cercano al nominal) no supera al meacutetodo oacuteptimo

ZW3

4) Newcombe (1998 b) evaluacutea los meacutetodos ZW0 ZW0c ZE0 y ZE0c entre otros Su

conclusioacuten inicial es la claacutesica el meacutetodo ZW0 es el maacutes simple y ampliamente

utilizado aunque es demasiado liberal Ademaacutes observa que si se le antildeade una cpc

su comportamiento mejora en algunos aspectos pero sigue siendo inadecuado

(fallando demasiado en el borde del espacio muestral) Por el contrario el meacutetodo

ZE0 tiene un recubrimiento cercano al nominal y aunque en ocasiones se comporta

de forma conservadora es casi tan faacutecil de calcular como el ZW0 y su actuacioacuten es

muy buena en todos los sentidos Comparando ZE0 con ZE0c advierte que ZE0c es

demasiado conservador por lo que elige como meacutetodo oacuteptimo al ZE0 (ya que

ninguacuten otro meacutetodo de los que evaluacutea es capaz de superarle)

5) Brown et al (2001) realizan un estudio completo de todos los meacutetodos propuestos

en la literatura hasta ese momento Entre otros valoraron los meacutetodos ZW0 ZW2

ZE0 A0 GW0 y GW1 Los autores comprueban lo ya conocido (que ZW0 es muy

conservador y debe ser descartado) que ZW2 tiene un recubrimiento bastante

conservador para valores de p cercanos a 0 o a 1 y su comportamiento es

comparable con el intervalo de Jeffreys (que utiliza como distribucioacuten a priori una

distribucioacuten beta Berger 1985) que ZE0 y ZW2 tienen casi la misma longitud de



intervalo y su diferencia praacutectica no es relevante Sin embargo cuando n es

pequentildeo la longitud media de ZW2 es notablemente maacutes grande que la de ZE0

Adicionalmente comproboacute que el meacutetodo A0 tiene un recubrimiento mayor que en

los otros casos que GW0 se comporta bien en teacuterminos de recubrimiento (pero el

intervalo es innecesariamente largo) y que GW1 no tiene una buena actuacioacuten En

conclusioacuten la recomendacioacuten final de los autores es la siguiente para tamantildeos de

muestra pequentildeos (nle40) debe utilizarse el meacutetodo ZE0 (el de Jeffreys es muy

similar y puede utilizarse indistintamente) para tamantildeos de muestra grandes (ngt40)

el oacuteptimo es el meacutetodo ZW2 (que supera al ZE0 incluso en simplicidad)

6) Borkowf (2006) propone un nuevo meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald (el ZW5) que compara

con los meacutetodos ZW0 y ZW3 Sus conclusiones son que el meacutetodo ZW0 tiene un

recubrimiento inferior al nominal cuando p es cercano a 0 o a 1 que el

recubrimiento de ZW3 es el que maacutes se estabiliza en torno al valor nominal que

ZW5 da niveles ligeramente inferiores al nominal para valores de p intermedios y

por encima del nominal cuando p es cercano a 0 o a 1 En cuando a la longitud del

intervalo para p cercano al 05 el meacutetodo oacuteptimo aconsejado es el ZW3 mientras

que para p cercano a 0 o a 1 el meacutetodo oacuteptimo aconsejado es el ZW5 Su conclusioacuten

final es que el meacutetodo ZW5 es el mejor (siendo el meacutetodo ZW3 una buena

alternativa)

Adicionalmente Newcombe (2011) y Newcombe amp Nurminen (2011) defienden el

meacutetodo de las marcas (el de Wilson) por la razoacuten ya sentildealada (y discutida) en el uacuteltimo

paacuterrafo de la seccioacuten II42 De todos modos su conclusioacuten (que no se basa en un

estudio amplio del problema) no entra en contradiccioacuten con las conclusiones del final de

este capiacutetulo (especialmente por cuanto estos autores no evaluacutean el meacutetodo arcoseno)

V5 APORTACIONES DE TIPO TEOacuteRICO

V51 Test e intervalo de confianza para el procedimiento GE

Como se comentoacute en la seccioacuten V32 Brown et al (2001) sugieren el

procedimiento GW Nuestra propuesta actual es utilizar el procedimiento GE cuyo

estadiacutestico de contraste e IC son los siguientes

GE 2

2 1 1GEz ln p q ln n (518)


ICGE p 1

1

21 1

qexp z n

p

(519)

V52 Estadiacutesticos basados en los datos incrementados

En las secciones V312 y V32 se indicoacute que por causa del mal

comportamiento de los procedimientos ZW y GW la literatura ha sugerido incrementar

los datos en una cantidad h que variacutea con el autor La propuesta actual es utilizar el

incremento del Caso 4 de la seccioacuten V24 ya ampliamente comentado en los primeros

capiacutetulos para todos los procedimientos de este capiacutetulo

La definicioacuten del Caso 5 presenta el inconveniente de que el valor n no siempre

es sustituido por (n+1) lo cual entra en contradiccioacuten con la filosofiacutea actual de esta

memoria Hemos comprobado que si el Caso 5 se modifica haciendo que el valor n sea

siempre sustituido por el valor n+1 la nueva propuesta suele ofrecer mejores resultados

que con la definicioacuten particular de Borkowf De todos modos no se la incluye en lo que

sigue pues sus resultados no son competitivos con los de los meacutetodos que se

seleccionaraacuten

V53 Estadiacutesticos A con correccioacuten por continuidad

Para el estadiacutestico A puede hacerse un razonamiento similar al realizado en la

seccioacuten V314 respecto del estadiacutestico Z Ahora el salto total del estadiacutestico de

contraste 1sin p es de 314162 con lo que el salto promedio seraacute de c=314164n

Con ello el estadiacutestico A con cpc seraacute

Ac 2

1 1 1 12

1 1

4 si

0 si Ac

| sin p sin | c n | sin p sin | cz

| sin p sin | c

(520)

La argumentacioacuten no tiene intereacutes en el caso del estadiacutestico G (pues como se

veraacute no da lugar a ninguacuten procedimiento resentildeable)

V54 Equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos de


El mismo razonamiento que ha sido empleado en capiacutetulos anteriores puede

ahora aplicarse al caso de una proporcioacuten Tanto desde el punto de vista exacto como



del asintoacutetico es habitual obtener el IC de dos colas mediante la inversioacuten de un test de

dos colas H0 p=π vs H1 pneπ Esto significa que la definicioacuten de un procedimiento

puede hacerse desde las perspectivas del test o del IC y ademaacutes que evaluar un

procedimiento de IC es equivalente a evaluar su procedimiento de test asociado (si

ambos se realizan al mismo error nominal α)

La demostracioacuten de tal equivalencia es similar a la desarrollada en otras

ocasiones El error real del test se calcula mediante la expresioacuten (517) teniendo en

cuenta que 2 22exp RC x | z z Como el IC se obtiene mediante la inversioacuten del test

entonces cada observacioacuten x ocasiona un IC para p dado por IC(p)=

2 20 0 2exp p | z p z con lo que el recubrimiento real seraacute 0

0

n

x

P x | H I x

en

donde ahora I(x)=1 si p IC x e I(x)=0 en otro caso Como p IC x cuando

2 22exp z p z entonces I(x)=1 si x RC y por tanto 0100

RC

P x | H con RC

aludiendo al conjunto complementario del conjunto RC y finalmente =1α Esto

quiere decir que calcular el incremento del error nominal respecto del real es

equivalente a calcular el incremento del recubrimiento real respecto del nominal



V6 APORTACIONES DE TIPO PRAacuteCTICO

V61 Objetivo




desde la perspectiva de los tests de hipoacutetesis


la seccioacuten V2 (los meacutetodos ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 ZW5hellip ZE5 GW0hellip

GE5 A0hellip A4 y A5) lo que incluye las propuestas maacutes relevantes de la literatura De

ellos 22 son nuevos meacutetodos (los denominados por ZW1 y ZW4 GW con incrementos


2hellip5 ZE y A con incrementos 1hellip5 y GE con incrementos 0hellip5) Adicionalmente

se han evaluado otros meacutetodos nuevos de menor intereacutes (ver la seccioacuten V63) En todo


especificaraacuten





paraacutemetros (a n π)


n= 20 40 60 80 100 y 200

π= 005 01 02 03 04 05 Se excluyen los casos πgt05 pues las hipoacutetesis nulas

H0 p=π y 0H 1ndashp=1ndashπ son equivalentes (cualquiera de los procedimientos



1 Seleccionar una combinacioacuten (a n π meacutetodo a evaluar)

2 Construir la regioacuten criacutetica RC=x | 2 22exp z z

3 Calcular el error real del test mediante la expresioacuten (517) y el incremento del

error nominal respecto del error real De nuevo hay que tener en

cuenta que si 0 el test seraacute conservador (por lo que el IC tambieacuten lo seraacute y



4 Calcular la potencia a largo plazo =(nordm de puntos de la RC)times100N siendo N=n+1

el nordm total de puntos del espacio muestral La conveniencia de la misma frente a la

potencia tradicional ya fue justificada en la seccioacuten II62






6 Para cada meacutetodo se construiraacute una tabla (como la Tabla AV1) que contemple los




medios de ( ) y de ( ) Como se han omitido los valores πgt05 los

caacutelculos anteriores se realizaraacuten asignaacutendole peso 1 al caso π=05 y peso 2 al resto

de casos Estas tablas resumen seraacuten dobles unas para nle60 y otras para nge80 la

razoacuten para ello es que hemos comprobado que las conclusiones variacutean fuertemente

seguacuten sea la gama de n que se contemple






menos fallos









La seleccioacuten se efectuaraacute por fases seleccionando primero el mejor meacutetodo de

cada familia (es decir de cada procedimiento) y comparando al final entre siacute todos los

seleccionados






V63 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo de cada familia (en sus versiones sin cpc)

V631 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo Z (a=5)

Una parte de la Tabla AV1 contiene los datos completos de todos los meacutetodos

basados en el estadiacutestico Z en tanto que una parte de la Tabla AV2 contiene el resumen

de los mismos A la vista de los resultados puede observarse que

Los meacutetodos ZW0 ZW1 ZE2 ZE3 y ZE4 deben descartarse por su gran nuacutemero de

fallos Tambieacuten se descartan los meacutetodos ZW5 y ZE5 pues aunque no tienen fallos

son demasiado conservadores y tienen poca potencia

Para n60 los mejores meacutetodos son por este orden los ZW2 ZW3 y ZW4 (todos

ellos muy conservadores)

Para ngt60 se observa que el meacutetodo ZE0 (ligeramente conservador) es mucho mejor

que los meacutetodos ZW2 ZW3 y ZW4 (que son muy conservadores e iguales entre siacute)

los cuales a su vez son mejores que el meacutetodo ZE1 (que es liberal)

De lo anterior se deduce que una seleccioacuten global aconseja descartar los meacutetodos ZW4

(peor o igual que los ZW2 y ZW3 pero maacutes complicado) y ZE1 (que no resulta

seleccionado para n60 y es el peor de los seleccionados para ngt60)

La conclusioacuten es que el mejor meacutetodo de este grupo es ZW2 para tamantildeos de

muestra n60 seguido de ZW3 Para tamantildeos de muestra ngt60 se selecciona ZE0

(seguido de ZW2 y ZW3 que son iguales entre siacute)

V632 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo G (a=5)


basados en el estadiacutestico G en tanto que una parte de la Tabla AV2 contiene el

resumen de los mismos Puede observarse que todos los meacutetodos G son peores que los

seleccionados en el caso Z pues los primeros tienen maacutes error yo menos potencia que

los segundos Aunque para ngt60 los meacutetodos GW1 GE2 GE3 y GE4 no son mucho

peores que los meacutetodos Z seleccionados siacute que son maacutes complicados de ahiacute que ninguacuten

meacutetodo de tipo G sea seleccionado



V633 Seleccioacuten entre los meacutetodos de tipo A (a=5)


basados en el estadiacutestico A en tanto que una parte de la Tabla AV2 contiene el

resumen de los mismos De esta uacuteltima se deduce que todos los meacutetodos A son peores

que los seleccionados en el caso Z por tener maacutes error y menos potencia que ZW2 (en

n60) o ser maacutes liberales que ZE0 sin ganar por ello en potencia (en ngt60) A pesar de

todo si se permite alguacuten fallo en el caso de n60 el mejor de estos meacutetodos es el A1 el

cual es conservador para n60 y algo liberal para ngt60

Adicionalmente se ha evaluado la Transformacioacuten de Anscombe en el

estadiacutestico arco seno (incrementar los datos en h=38) lo que hemos denominado

anteriormente por Caso 15 (por encontrarse a mitad de camino entre los Casos 1 y 2)

que proporciona el meacutetodo A15 Por otro lado en el caso del meacutetodo A15 el

estadiacutestico original de Anscombe era

AA 2 1 1 4 0 25expz | sen p sen | c n

lo que da lugar al meacutetodo AA15 Hemos comprobado que ninguna de las

modificaciones anteriores logra mejorar la actuacioacuten del meacutetodo seleccionado (solicitar

los datos al autor)


(α=1 5 y 10) caso general y evaluacioacuten detallada

Con el fin de comparar los meacutetodos ZE0 ZW2 ZW3 y A1 seleccionados en la

seccioacuten anterior y evaluarlos para los errores del 1 5 y 10 se han obtenido las

Tablas AV3 y AV4 que contienen los resultados completos y resumidos para los

cuatro meacutetodos respectivamente (las tablas del 5 ya son conocidas pero se las vuelve

a incluir para facilitar las comparaciones) Analizando dichas tablas puede observarse

de modo general que

Para nle60 los mejores meacutetodos son el A1 para αle5 y el ZW2 para α=10 De

entre los sencillos el mejor es el ZW3 Ademaacutes no debe utilizarse el meacutetodo ZE0

pues puede tener muchos fallos


Para ngt60 el mejor meacutetodo es ZE0 seguido de A1 De entre los sencillos el mejor

vuelve a ser el ZW3

Con el fin de evitar la excesiva globalizacioacuten anterior y determinar maacutes

detalladamente en queacute momento (en funcioacuten del tamantildeo muestral n) es preferible un

meacutetodo u otro las Tablas AV5 y AV6 presentan los resultados completos y el resumen

de los mismos (respectivamente) para los cuatro meacutetodos aludidos (ZE0 ZW2 ZW3 y

A1) para n=10 (10) 100 150 200 y para los tres errores A partir de ellas se observa

que la seleccioacuten de un meacutetodo u otro en cada circunstancia no es totalmente estable

pero siacute apuntan ciertas tendencias claras que pueden resumirse en lo que sigue

Para α=1 el mejor meacutetodo es el ZE0 seguido del A1 (aunque los meacutetodos ZW2

y ZW3 van bien)

Para α=5 el mejor meacutetodo es el A1 seguido de los ZW2 y ZW3 primero (que

son similares) y del ZE0 despueacutes (que solo debe utilizarse para nge50)

Para α=10 el mejor meacutetodo es el A1 (salvo para 40lenle70) seguido de los ZW2 y

ZW3 primero (que vuelven a ser similares) y del ZE0 despueacutes (que solo debe

utilizarse para nge30)

La conclusioacuten global es por tanto que los meacutetodos oacuteptimos son el A1 (para

α=5 o 10) y el ZE0 (para α=1) seguidos de cerca por los meacutetodos ZW2 y ZW3

que son similares entre siacute (de estos dos uacuteltimos seraacute preferible el ZW2 por ser el maacutes

sencillo) Tambieacuten conviene resentildear que aunque de modo general el meacutetodo ZE0 no va

mal el mismo solo debe aplicarse para nge50

V65 Seleccioacuten del meacutetodo oacuteptimo consin cpc de entre los cuatro meacutetodos oacuteptimos


Con el fin de ver si la aplicacioacuten de una cpc mejora los resultados de los cuatro

meacutetodos seleccionados en la seccioacuten V63 la Tabla AV7 presenta los datos originales

y la Tabla AV8 el resumen de los mismos en sus dos versiones sin y con cpc (meacutetodos

ZW2 ZW3 ZE0 A1 en el caso de SIN cpc meacutetodos ZW2c ZW3c ZE0c y A1c en el

caso de CON cpc) y a los errores del 1 5 y 10 De ella se deduce que solo los

meacutetodos ZE0c y A1c mejoran respecto a su versioacuten sin cpc para nle60 (pues dejan de

tener fallos) pero ello es a cambio de perder bastante potencia De ahiacute que se

mantengan las conclusiones de la seccioacuten anterior



V66 Verificacioacuten de los resultados de la literatura




conclusiones aparecen ya mencionadas en la seccioacuten V42) Con tal fin aludiremos a la

Tabla AV9 que resumen los resultados de los meacutetodos implicados Comparativamente

entre ellos (y sin tener mucho en cuenta su nuacutemero de fallos) la conclusioacuten es

Para nle60 ZW2 gt ZW3 gt ZE0 gt ZW5 gt ZE0c gt A0 gt ZW0c gt ZW0

Para ngt60 ZE0 gt ZW2=ZW3 gt ZW5 gt A0 gt ZE0c gt ZW0c gt ZW0 (los tres

meacutetodos subrayados son de diferenciacioacuten dudosa)

Globalmente ZE0 ZW2 ZW3 gt ZW5 gt ZE0c A0 ZW0c gt ZW0



ndash Tanto Ghost (1979) como Boumlhning (1988) afirman que el meacutetodo ZE0 es mejor que

el A0 superando ambos al ZW0 (que es erraacutetico y no debe utilizarse) nuestros

resultados son conformes con la afirmacioacuten

ndash Blyth amp Still (1983) y Newcombe (1998) indican que el meacutetodo ZW0c es mejor

que el ZW0 pero nuestros resultados indican que esto es cierto siempre Los

primeros autores tambieacuten afirman que ZE0c es mejor que ZE0 mientras que el

segundo afirma lo contrario nuestro anaacutelisis avala la segunda afirmacioacuten

ndash Blyth amp Still (1983) tambieacuten afirman que ZE0c es mejor que ZW0c Nuestros

resultados indican que eso es bien claro para el caso de nle60 pero que no lo es

tanto para ngt60

ndash Seguacuten Newcombe (1998 b) el meacutetodo ZE0 es mejor que los meacutetodos ZW0 y ZWc

nuestros resultados son conformes con la afirmacioacuten

ndash Seguacuten Chen (1990) el meacutetodo ZW3 es mejor que el A0 que a su vez es mejor que

el ZW0 nuestros resultados son conformes con la afirmacioacuten

ndash Agresti amp Coull (1998) abogan por el buen comportamiento de los meacutetodos ZW3

ZW2 y ZE0 nuestros resultados son conformes con la afirmacioacuten

ndash Borkowf (2006) indica que el meacutetodo ZW5 es mejor que el ZW3 nuestros datos

indican lo contrario


Adicionalmente Brown et al (2001) afirman que los meacutetodos GW0 y GW1

funcionan mal y que el meacutetodo A0 es peor que el A15 que a su vez es peor que los

ZW2 y ZE0 Nuestros resultados de las secciones V632 y 3 (con sus tablas) son

conformes con lo anterior Por otra parte los mismos autores defienden que los meacutetodos

oacuteptimos son ZE0 para nle40 y ZW2 o ZE0 (que son iguales entre siacute) para ngt40

Nuestros resultados indican lo contrario en el caso de nle40 asiacute como que ZE0 algo

mejor que ZW2 para ngt40

V7 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

V71 Meacutetodo oacuteptimo


meacutetodos claacutesicos de la literatura funcionan muy bien siendo los meacutetodos oacuteptimos los

resentildeados en el cuadro de abajo Obseacutervese que uno de los meacutetodos seleccionados es

una nueva aportacioacuten de esta memoria

SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA EL CASO DE UNA

PROPORCIOacuteN

α=1 ZE0 es el mejor meacutetodo (pero es fiable de modo general cuando nge50)

α=5 o 10 A1 es el mejor meacutetodo

En ambos casos (para cualquier ) puede emplearse el meacutetodo ZW2 pues siendo

solo un poco peor que los anteriores es maacutes sencillo

V72 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia

V721 Meacutetodo oacuteptimo para 5 A1

El estadiacutestico de contraste y el IC viene dados por las expresiones (el incremento

ya ha sido incluido en las mismas)

2

2 1 11

0 54 1

1A

x z sin sin n

n

y

2 1 20 5

1 2 1zx

p sin sinn n



V722 Meacutetodo oacuteptimo para =1 (vaacutelido tambieacuten en general si n50) ZE0

El estadiacutestico de contraste y el IC viene dados por las expresiones

2

20

1ZE

x nz

n

y

2 22 2

2

22

2 4

x n xz zx z

npn z

V723 Meacutetodo maacutes sencillo y solo un poco peor que los anteriores ZW2



2

22

2 4

4 2 2ZW

x nz

n x n x

y

2

2 22

44

x n xx z

npn

V73 Ejemplos praacutecticos

Newcombe (1998) cita varios ejemplos alusivos a un estudio realizado por

Turnbull et al (1992) sobre la prevalencia del VIH en la poblacioacuten de ex prisioneros de

Inglaterra de 1990 De estos ejemplos seleccionamos dos uno con un valor de n grande

y otro con un valor de n pequentildeo En el primero de ellos se considera una muestra de

148 individuos toxicoacutemanos (hombres y mujeres) de los que en 15 se han detectado

anticuerpos positivos del VIH En el segundo se considera una muestra de 29 mujeres

no toxicoacutemanas de las que solo 1 da positiva en el anaacutelisis de dichos anticuerpos La

Tabla V1 muestra los intervalos de confianza para cada una de las muestras utilizando

los tres meacutetodos seleccionados

Tabla V1

Intervalos de confianza al 95 (en ) para una proporcioacuten p calculada con los tres meacutetodos oacuteptimos (entre pareacutentesis se indica la amplitud del intervalo)

Meacutetodo ZW2 ZE0 A1 n=145 x=15

630 - 1651 (1021 )

637 - 1637 (1000)

616 - 1611 (995)

n=29 x=1

000 - 1890 (1890 )

061 - 1718 (1657 )

022 - 1548 (1526 )


En ambos casos se observa que el meacutetodo ZW2 (que es el maacutes conservador) es

el que proporciona unos IC maacutes amplios en tanto que el meacutetodo A1 (que es el oacuteptimo)

es el que proporciona unos IC maacutes estrechos Tambieacuten se observa que los tres meacutetodos

proporcionan similares resultados cuando n es grande (n=145) pero que los mismos

difieren bastante cuando n es pequentildeo (n=29) En este uacuteltimo caso ya se ha dicho que el

meacutetodo ZE0 no es fiable (pues nlt50) y ello a pesar de proporcionar un intervalo maacutes

amplio que el meacutetodo oacuteptimo A1 (que siacute es fiable) por el contrario el meacutetodo ZW2 siacute

es fiable pero ello ha sido a costa de proporcionar un IC bastante maacutes amplio que el que

proporciona el meacutetodo A1

CAPIacuteTULO VI

K=2 EN EL CASO ESPECIAL DE LA RAZOacuteN DEL

PRODUCTO CRUZADO

VI1 INTRODUCCIOacuteN

Como se ha indicado en capiacutetulos anteriores uno de los objetivos tradicionales

en Ciencias de la Salud es la comparacioacuten de las dos proporciones de individuos pi (i=1

2) que presentan una caracteriacutestica de intereacutes en dos poblaciones distintas a cuyo fin lo

maacutes habitual es tomar dos muestras independientes de cada una de ellas Para evaluar la

relacioacuten entre ambas proporciones existen muy diversas medidas pero las maacutes

frecuentes son d=p2ndashp1 (diferencia de proporciones) R=p2p1 (cociente de

proporciones) y O=p2q1p1q2 (razoacuten de producto cruzado u odds-ratio) El caso d fue

abordado en el capiacutetulo II el caso R lo fue en el III siendo el objetivo actual el caso O

En consecuencia nuestro intereacutes radica ahora en las inferencias asintoacuteticas de dos colas

sobre O (test H0 O=θ vs H1 Oneθ o IC para O)

Como se sabe la odds-ratio es una de las medidas estadiacutesticas y epidemioloacutegicas

maacutes importantes siendo el uacutenico paraacutemetro del modelo condicionado (una distribucioacuten

hipergeomeacutetrica generalizada) De hecho es el mejor paraacutemetro posible para medir la

asociacioacuten en una Tabla 22 pues puede estimarse en cualquier tipo de estudio y su

magnitud absoluta no variacutea al permutar filas entre siacute columnas entre siacute o filas por

columnas (cosa que no sucede con otros paraacutemetros como d o R)

Como se ha comentado en el Proacutelogo el paraacutemetro O no puede estimarse desde

la perspectiva de una combinacioacuten lineal de proporciones (que es la planteada en esta

memoria) pero conviene aludirlo aquiacute dado lo frecuente de su uso y su relacioacuten con el

paraacutemetro R cuando la prevalencia de la enfermedad es pequentildea (que es lo usual) Este

capiacutetulo tiene pues la finalidad de recoger resumir y discutir los meacutetodos propuestos en

la literatura acerca de las inferencias asintoacuteticas sobre O



La Tabla VI1 presenta los datos obtenidos en este tipo de estudios en donde de


al nordm de individuos de entre los in (tamantildeo de muestra) que siacute (no) presentan la

caracteriacutestica 1a =xi ( 2a =yi) al total de individuos que siacute (no) presentan la

caracteriacutestica y finalmente n =ai=ni al tamantildeo total de la experiencia Las dos

variables aleatorias (xi) siguen distribuciones binomiales independientes ( )i i ix B n p

con 12i en donde ip es la proporcioacuten (desconocida) de individuos de la poblacioacuten i

que presentan la caracteriacutestica en estudio

Tabla VI1


Muestras SIacute NO Total

1 x1 y1 n1

2 x2 y2 n2

Total a1 a2 n

VI2 NOTACIOacuteN

VI21 Generalidades y estadiacutesticos base

Sean dos variables aleatorias binomiales independientes xiB(ni pi) con i=1 y

2 y 2 1 2 1O p q q p el paraacutemetro de intereacutes (con las proporciones pi desconocidas y

qi=1ndashpi) Sea 2 1 2 1O p q q p la estimacioacuten muestral del paraacutemetro poblacional O con

ip =xini las proporciones muestrales y 1i iq p Para contrastar H0 O=θ vs H1 Oθ

(con 0le θ le infin ya que 0lepile1) es necesario seleccionar primeramente un estadiacutestico de

contraste de entre los siguientes (que en adelante seraacute aludido abreviadamente por el

nombre en negrita que se indica)

X 2 2

2 i i i i i iX

i i i i i

n p p x n pz

p q n p q

(61)

L 2 2

2

1 1 1L

i i i i i i i

lnO lnθ lnO lnθz

n p q n p n q

(62)

CAPIacuteTULO VI K=2 EN EL CASO ESPECIAL DE LA RAZOacuteN DEL PRODUCTO CRUZADO 177

En cualquiera de los dos casos habraacute que comparar el valor experimental del

estadiacutestico 2expz ( 2

Xz o 2Lz ) con 2

2z en donde 2z es el percentil (1ndashα2)100 de la

distribucioacuten normal tiacutepica Para obtener el IC (1ndashα) para O se invierte el test despejando

θ en la ecuacioacuten 2 22exp z z En algunas ocasiones la solucioacuten seraacute expliacutecita (y maacutes o

menos sencilla) en otras requeriraacute de un procedimiento iterativo

VI22 Estimadores de las proporciones pi

En los dos estadiacutesticos anteriores (X o L) y con el fin de que tengan utilidad

praacutectica las dos proporciones pi desconocidas deben ser sustituidas por alguno de sus

estimadores En lo que sigue se describen los mismos y se pone en mayuacutesculas y negrita

la letra abreviada que designaraacute el procedimiento que proporciona cada estimador (letra

que hay que antildeadir a la del estadiacutestico X o L utilizado)

El estimador maacutes simple y conocido es el estimador claacutesico de maacutexima



El estimador de pi restringido por H0 es el obtenido por el meacutetodo condicionado

Cornfield (1956) o por el meacutetodo incondicionado Miettinen amp Nurminen (1985)

dado por la uacutenica expresioacuten

E (Condicionado o Incondicionado) 1 2 1Si =1 ˆ ˆp p a n en otro caso (si 1 )

2

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

11

1 1 12

2

4 1

2 1

a n a n a n a n n ap

n

â n pp

n

(64)

VI23 Procedimientos de inferencia que se obtienen con cada estimador

Cuando en las dos expresiones (61) y (62) se sustituye cada uno de los dos

estimadores aludidos en la seccioacuten anterior se obtienen cuatro estadiacutesticos que dan



lugar a los cuatro procedimientos de inferencia que notaremos por XW XE LW y LE

respectivamente (la unioacuten de las letras del estadiacutestico y del estimador) Sin embargo en

lo que sigue se excluiraacuten los procedimientos XW (pues su estadiacutestico tiene un valor

nulo) y LE (pues la literatura no suele aludirlo) Por ello en este capiacutetulo solo se

consideraraacuten 2 procedimientos (los XE y LW) que proporcionan dos estadiacutesticos (los

2XEz y 2

LWz ) y dos IC (los ICXE e ICLW)

VI24 Datos muestrales a utilizar y meacutetodos de inferencia que proporcionan


en base a los datos incrementados en una cantidad determinada hi es decir en base a los

datos (xi+hi yi+hi ni+2hi) Este incremento como se ha comentado repetidamente en los

capiacutetulos anteriores tiene su origen en los meacutetodos ldquoadjustedrdquo Wald cuyo objetivo no

es otro que el de mejorar el comportamiento de los procedimientos basados en el

estimador W Los valores posibles de hi se denotan con el diacutegito (en negrita) que los



1 hi=05 (Woolf)

Cada uno de los 2 incrementos anteriores (0 y 1) puede aplicarse a cada uno de

los 2 procedimientos de la seccioacuten anterior (XE o LW) dando lugar asiacute a 4 meacutetodos de

inferencia distintos En lo que sigue ellos seraacuten notados por la letra del procedimiento y

el diacutegito del incremento correspondiente XE0 LW0 y LW1 (no se tendraacute en cuenta el

meacutetodo XE1 ya que no es mencionado por la literatura)

VI3 RESULTADOS DE LA LITERATURA

VI31 Resultados de tipo teoacuterico

VI311 Meacutetodos basados en el estadiacutestico X


propuesto por Cornfield (1956) para el Caso O dando lugar al estadiacutestico 2Xz de la


sustituidas por la estimacioacuten apropiada restringida a la hipoacutetesis nula Bajo H0 O=θ

sucede que


12

11 1

pp

p

(65)

por lo que p1 es el uacutenico paraacutemetro desconocido Desde el punto de vista condicionado

(es decir condicionando en que los eacutexitos siempre sumen el valor observado a1) el

estimador sugerido por Cornfield (1956) viene dado por la expresioacuten (64)

Alternativamente desde el punto de vista incondicionado Miettinen amp Nurminen

(1985) proponen el estimador de maacutexima verosimilitud bajo H0 (sin condicionar en los

marginales) dando la foacutermula expliacutecita para su caacutelculo

1 221 4 2

p B B AC A

y 2 1 11 1ˆ ˆ ˆp p p (66)

con A=n1(θndash1) B=n2θ+n1ndasha1(θndash1) y C=ndasha1 Se puede observar que la expresioacuten (66) es

ideacutentica a la expresioacuten (64) por lo que los valores de 1p y 2p son los mismos bajo

ambas perspectivas (de ahiacute que se use la misma notacioacuten) La clave de esta equivalencia

estaacute en la expresioacuten 2 2 2 1 1 1n p p n p p obtenida en la estimacioacuten de pi tanto

por el meacutetodo condicionado (a1=x1+x2) como por el meacutetodo de maacutexima verosimilitud

por lo que aunque el anaacutelisis condicional en los marginales es admisible para O este

punto de vista no es necesario (Miettinen amp Nurminen 1985)

Con ello las proporciones estimadas (independientemente del punto de vista

utilizado) seraacuten

2

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11

2

2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 12

14 1

2 1

14 1

2 1

p a n a n a n a n n an


(67)

donde 2p se obtiene sustituyendo en (65) el valor de 1p (con las dos excepciones

indicadas entonces para el caso de =1)

En base a lo anterior el estadiacutestico 22XE i i i i iacute i

ˆ ˆ ˆz x n p n p q puede ponerse en

funcioacuten de 1p (Miettinen amp Nurminen proponen el mismo estadiacutestico pero

multiplicado por (n1)n)

2

22 1 1 121 1 1 1 1 2

1 1

11 1 1XE

i i i

ˆx n pˆ ˆz x n p n p n

ˆ ˆ ˆ ˆn p q p q

(68)

o bien en funcioacuten de 2p



2

22 2 2 222 2 2 2 2 1

2 2

11 1 1XE

i i i

ˆx n pˆ ˆz x n p n q n


(69)

Si el objetivo es obtener el IC basta con resolver en θ la ecuacioacuten 2 22XE z z

(Cornfield 1956) obteniendo de modo iterativo las dos soluciones (θL θU) Gart amp

Thomas (1982) sentildealan que un modo maacutes simple consiste en utilizar la notacioacuten

i i iˆ ˆn p x y i i iˆ ˆn q y de modo que la expresioacuten 2 22 XEz z en funcioacuten de 1x seraacute

22 1 2

2 1 11 1 1 1 1 2 1 1

n nˆz x x

ˆ ˆ ˆ ˆx n x a x n a x

2

1 11 1 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1ˆx x


lo que proporciona una ecuacioacuten de cuarto grado en 1x de soluciones 1 1L Uˆ ˆx x

Trasladando dichas soluciones al paraacutemetro θ en base a la expresioacuten

1 1 1 1

1 2 1 1

ˆ â x n x

ˆ ˆx n a x

(610)

se consigue el intervalo deseado (θL θU) para O

VI312 Meacutetodos basados en el estadiacutestico L

Otro estadiacutestico bien conocido propuesto por Woolf (1955) es el estadiacutestico L

basado en la transformacioacuten logariacutetmica En lugar de considerar la variable aleatoria O

se contempla su logaritmo neperiano 2 1 2 1lnO ln p q q p que se distribuye de modo


2 1

2 1 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1dp p

lnO ln ln N lnOp p n p q n p q

Es por ello que para contrastar H0 O=θ el estadiacutestico apropiado viene dado por la

expresioacuten (62) Invirtiendo la misma se obtiene el IC siguiente

ICL 2 1 1 1 2 2 21 1O O exp z n p q n p q

Las expresiones anteriores como en el caso del estadiacutestico chi-cuadrado no tienen

utilidad hasta que las proporciones pi desconocidas sean sustituidas por una estimacioacuten

de ellas Woolf propone el estimador de maacutexima verosimilitud simple dado por (63)


obteniendo asiacute el claacutesico procedimiento LW El estadiacutestico de contraste e IC seraacuten por

tanto los siguientes

22 1 1LW

i i i

z ln O x n x

(611)

ICLW 21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

(612)

Es conocido que el procedimiento LW de Woolf tiene en general un mal

comportamiento Con el fin de mejorarlo diversos autores han propuesto aplicarlo no

en base a los datos originales (meacutetodo LW0) sino en base a los datos incrementados en

una cantidad hi dando lugar a los denominados meacutetodos ldquoadjustedrdquo Woolf El

incremento maacutes habitual es hi=05 (meacutetodo LW1) propuesto por Gart (1966) y evaluado

en el trabajo de Gart amp Thomas (1982) Agresti et al (2008) en su artiacuteculo acerca de

comparaciones muacuteltiples (que no son objeto de esta memoria) mencionan para el Caso

O un incremento propuesto por Agresti (1999) para el procedimiento LW el mismo

consiste en antildeadir a cada valor xi (yi) la cantidad 212 in a n ( 2

22 in a n ) con i=1 o 2

pero este tipo de incremento solo se recomendaba en el caso de contar con alguacuten dato

nulo y para tamantildeos de muestra pequentildeos

VI313 Estadiacutesticos con correccioacuten por continuidad

Es conocida la necesidad de utilizar una cpc cuando se aproxima una variable

discreta (como las actuales binomiales) a traveacutes de una variable continua En el caso del

estadiacutestico chi-cuadrado es habitual aplicar la claacutesica cpc de Yates es decir c=05

Utilizando la expresioacuten (61) se obtiene el estadiacutestico

2

2 si

0 si i i i i i i i i i

Xc

i i i

| x n p | c n p q | x n p | cz

| x n p | c

(613)

En particular el procedimiento XEc fue propuesto inicialmente por Cornfield (1956)

cuyo estadiacutestico de contraste -utilizando la primera expresioacuten de (68)- seraacute de la forma

2

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 si

0 si i i i

XEc

ˆ ˆ ˆ ˆ| x n p | c n p q | x n p | cz

ˆ| x n p | c

(614)



VI314 Estadiacutesticos desde la perspectiva del ln O

Siqueira et al (2008) trabajan tomando como referencia el paraacutemetro ψ= ln O

y la hipoacutetesis nula H0 ψ=ψ0 en donde ψ0= ln con nuestra notacioacuten Utilizando el

meacutetodo de las marcas obtienen el siguiente estadiacutestico de contraste

2 2 22 1 02 2 2

2 2 1 2 0

2

2 2u

n k n g exp ψa x hyW

a h a hn n exp ψ

(615)

con g=2a2+h 2 02k a exp ψ h y 214h b a d donde 2 0d a exp ψ y

2 1 0 1 1b n a exp ψ n a En el mismo estudio Siqueira et al obtienen tambieacuten

el siguiente estadiacutestico We (que aluden como el estadiacutestico de Wald)

2

0

1 1 1 2 2 2e

ψ ψW

n x y n x y

donde ψ ln O (616)

VI32 Resultados de tipo praacutectico

VI321 Generalidades sobre los estudios de simulacioacuten



comparan el recubrimiento R y la longitud media l da cada meacutetodo de IC para unos

valores fijados de pi (i=1 2) paraacutemetros que vienen dados por las expresiones

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(617)

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx xS I

x x

n nl p p p p O O

x x

(618)

en donde I(x1 x2)=1 si I SO O O -el IC obtenido con la pareja (x1 x2)- e I(x1 x2)=0 en

otro caso Dado que R es una probabilidad entonces 0leRle1 Se considera como es

habitual que un meacutetodo de IC es mejor cuanto menor sea su longitud l y cuanto maacutes

cercano sea su recubrimiento real R al recubrimiento nominal de 1ndashα Adicionalmente es


aconsejable la simplicidad del IC es decir que sea faacutecil de recordar de calcular de


VI322 Conclusiones de la literatura



1) Gart amp Thomas (1982) evaluacutean los meacutetodos XE0 y LW1 (ademaacutes de uno erroacuteneo

de Miettinen) Los autores observan que el meacutetodo LW1 tiene un recubrimiento en

general superior al recubrimiento nominal y en el caso de que Ogt1 tiende a

subestimar el liacutemite superior del intervalo En cuando al meacutetodo XE0 el mismo se

comporta mucho mejor que el anterior (para cualquier valor de O) y alcanza

uniformemente el recubrimiento nominal Es por ello que concluyen que el meacutetodo

oacuteptimo estaacutendar para cualquier caso es el XE0

2) Lui amp Lin (2003) evaluacutean los meacutetodos LW0 LW1 XE0 y XE0c observando que el

meacutetodo XE0c es demasiado conservador y puede perder eficacia (especialmente

cuando los tamantildeos de muestra no son grandes) mientas que el meacutetodo XE0 tiene

un comportamiento bastante bueno (tanto por el recubrimiento como por la longitud

del intervalo) Su conclusioacuten final es que cuando los tamantildeos de muestra son

pequentildeos o los valores de pi extremos (muy pequentildeos o muy grandes) es preferible

el meacutetodo XE0 mientras que para tamantildeos de muestra grandes o valores de pi

cercanos a 05 el meacutetodo oacuteptimo es el LW1

3) Lawson (2004) compara varios meacutetodos exactos o asintoacuteticos (los meacutetodos XE0

XE0c LW0 y LW1 en el uacuteltimo caso) Sobre estos uacuteltimos comprueba que (i) El

meacutetodo XE0 tiene mejor comportamiento sin cpc ya que XE0c es demasiado

conservador (aunque provoca buenos IC en cuanto a su anchura siempre que

ninguacuten dato sea nulo) (ii) El meacutetodo LW1 produce intervalos de longitud adecuada

y aunque en teacuterminos de recubrimiento no es el mejor el meacutetodo es preferible para

valores pequentildeos de O (con la ventaja antildeadida de su sencillez) (iii) En general el

mejor meacutetodo es el XE0

4) Siqueira et al (2008) concluyen que los meacutetodos XE0 y LW0 son muy similares

pero su evaluacioacuten estaacute basada en muy grandes muestras (que es donde casi



cualquier meacutetodo tendraacute un buen comportamiento) y en el caso del test de no

inferioridad

VI4 APORTACIONES

VI41 Aportaciones de tipo teoacuterico

En la seccioacuten IV314 se han mencionado dos nuevos estadiacutesticos de contraste

We y Wu obtenidos por Siqueria et al (2008) desde la perspectiva del paraacutemetro ln(O)

Sin embargo ninguno de ellos es novedoso ya que se trata de alguno de los estadiacutesticos

ya conocidos por la literatura (y definidos en este capiacutetulo)

Por un lado el estadiacutestico Wu no es otro que el claacutesico estadiacutestico 2XEz propuesto

por Cornfield (1956) y por Miettinen amp Nurminen (1985) y contemplado en la seccioacuten

VI311 aunque en un formato bastante distinto (que es lo que los confunde) Para ver

esto basta con tener en cuenta en la expresioacuten (615) que 1 1 12 1 2ˆh n p θ a

1 1 1 12 2 2 1ˆk n a θ a n p θ y 1 12 2 1ˆg n n p θ realizando operaciones

puede verse que el primer factor de (615) es el primer factor de (68) (y de igual modo

con el segundo factor) En el caso del estadiacutestico We este no es otro que el estadiacutestico

2LWz de Woolf comentado en la seccioacuten VI312 las expresiones (616) y (611) son

iguales Por tanto los estadiacutesticos Wu y We no son maacutes que los viejos estadiacutesticos 2XEz y

2LWz de los meacutetodos XE0 y LW0 respectivamente

Siqueira et al (2008) confirman con sus resultados que el meacutetodo que

proporciona el estadiacutestico We (LW0) y el meacutetodo que proporciona el estadiacutestico Wu

(XE0) tienen un comportamiento similar En nuestra opinioacuten su conclusioacuten estaacute

fuertemente influenciada por el hecho de que su trabajo se centra en el test de no

inferioridad y sobretodo por los elevados tamantildeos de muestra considerados en la

mayoriacutea de los casos

VI5 CONCLUSIONES FINALES Y EJEMPLOS

VI51 Meacutetodo oacuteptimo

Por todo lo resentildeado en las secciones anteriores pueden concluirse que en la


literatura hay comuacuten acuerdo acerca de cuales son los meacutetodos oacuteptimos El cuadro de

abajo muestra la conclusioacuten maacutes aceptada

SELECCIOacuteN DEL MEJOR MEacuteTODO PARA EL CASO DE LA

RAZOacuteN DE PRODUCTO CRUZADO

De modo general XE0 es el mejor meacutetodo

Alternativamente con grandes muestras puede emplearse el meacutetodo LW1 (por ser

maacutes sencillo que el XE0 y funcionar bien en ese caso)

VI52 Foacutermulas aconsejadas para realizar inferencia

VI521 Meacutetodo oacuteptimo en general XE0


221 1 12

0 1 1 21 1

1 1 1XE

ˆx n pˆz n p n

ˆ ˆp q

(619)

con 1p el estimador de maacutexima verosimilitud dado por

1

21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1

si 1

4 1 si 1

2 1

a n

p a n a n a n a n n a

n

2) Si el objetivo es obtener el IC calcular por meacutetodos iterativos las dos soluciones θ

de la ecuacioacuten 2 20 2XE z z

VI522 Meacutetodo maacutes sencillo casi tan bueno como el anterior (especialmente para

grandes muestras) LW1


2) El intervalo y el estadiacutestico de contraste vienen dados respectivamente por la


21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

y

2

21

1 1LW

i i i

ln O z

x n x

(620)



VI53 Ejemplo praacutectico

Lui amp Lin (2003) citan un ejemplo proveniente del estudio realizado por Fleiss

(1979) para los datos hipoteacuteticos que aparecen en la Tabla VI2 en la que se consideran

dos muestras de igual tamantildeo para el grupo de casos y del grupo control (n1=n2=50)

Para los datos observados 1p =2050=04 y 2p =1050=02 son las proporciones

muestrales de individuos expuestos al factor de riesgo en cada uno de los grupos

obteniendo una odds-ratio muestral de 0 375O

Tabla VI2

Factor de Riesgo

Muestras Expuestos No expuestos Total

Casos 20 30 50

Control 10 40 50

Total 30 70 100

Si el objetivo es obtener un IC al 95 para el verdadero paraacutemetro poblacional

O el meacutetodo oacuteptimo XE0 aplicado a estos datos foacutermula (619) da O(01554

09072)

Alternativamente puede emplearse el meacutetodo LW1 Reconvirtiendo los datos en

x1=205 n1=51 x2=105 y n2=51 y aplicando la expresioacuten (620) el intervalo que se

obtiene es O(01600 09298) La relativamente fuerte discrepancia con el anterior

(especialmente en el extremo superior) se debe a que los tamantildeos de muestra son

pequentildeos

CONCLUSIONES

Las inferencias de dos colas sobre una combinacioacuten lineal de K proporciones

binomiales independientes son muy frecuentes en investigacioacuten aplicada especialmente

en el aacutembito de las Ciencias de la Salud Como se indicoacute en el Proacutelogo el objetivo de

esta memoria era doble (i) Proponer nuevos meacutetodos asintoacuteticos de tipo claacutesico para la

realizacioacuten de tales inferencias (ii) Seleccionar los meacutetodos oacuteptimos de entre las nuevas

propuestas y las proporcionadas por la literatura (con eacutenfasis especial en los meacutetodos de

menor intensidad de coacutemputo) En esta memoria se han efectuado aportaciones sobre

los casos generales de Kgt2 (maacutes de dos proporciones) K=2 (diferencia cociente y

combinacioacuten de dos proporciones) y K=1 (una proporcioacuten) adicionalmente y fuera del

marco anterior se ha analizado el caso de la razoacuten de producto cruzado En todos los

casos se han considerado tanto los aspectos teoacutericos como los aspectos praacutecticos

Las aportaciones maacutes relevantes de esta memoria son las siguientes

1 Definicioacuten del meacutetodo de las marcas para una combinacioacuten lineal de K proporciones

binomiales independientes meacutetodo que para K=1 o 2 es equivalente a los ya

conocidos

2 Demostracioacuten de que el claacutesico meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald de Agresti y otros (que es

de tipo heuriacutestico) es en realidad una aproximacioacuten del meacutetodo de las marcas (pues el

centro del intervalo del primero es aproximadamente igual al centro del intervalo de

segundo) Adicionalmente se propone una modificacioacuten del meacutetodo que mejora casi

siempre los resultados (y que es equivalente a la anterior si los datos observados no

estaacuten en la frontera del espacio muestral)

3 Generalizacioacuten de los meacutetodos de Peskun (1993) Newcombe (1998) y del arco seno

que han sido definidos por la literatura solo para unos pocos casos particulares a

todos los casos estudiados en esta memoria (los dos primeros) o a todos los casos de

K=1 o 2 (el tercero)

4 Definicioacuten de la correccioacuten por continuidad a emplear en algunos de los estadiacutesticos

estudiados

5 Definicioacuten (caso de K=2) de un nuevo estimador incondicionado de las proporciones

desconocidas pi (bajo la hipoacutetesis nula) que siendo una aproximacioacuten del estimador

incondicionado de maacutexima verosimilitud coincide con el estimador condicionado en



el caso de la diferencia de proporciones y da lugar a un meacutetodo oacuteptimo en el caso del

cociente

6 Justificacioacuten y verificacioacuten de que cualquier estadiacutestico de contraste debe verificar

determinadas propiedades de coherencia las aquiacute denominadas propiedades de

convexidad espacial y parameacutetrica

7 Justificacioacuten de la equivalencia entre la evaluacioacuten de un meacutetodo de test de hipoacutetesis

y un meacutetodo de obtencioacuten de intervalos de confianza (si el segundo se obtiene por

inversioacuten del primero)

8 Determinacioacuten del meacutetodo de inferencia asintoacutetico oacuteptimo en cada uno de los casos y

obtencioacuten de las foacutermulas expliacutecitas para el test y el intervalo de confianza (cuando

esto es posible) informacioacuten que puede encontrarse al final de cada capiacutetulo de esta

memoria Las conclusiones se han obtenido mediante la evaluacioacuten de cientos de

meacutetodos (la mayoriacutea de ellos nuevos) o en el caso del Capiacutetulo VI mediante la

discusioacuten de las afirmaciones de la literatura La siguiente tabla resume el nuacutemero de

meacutetodos evaluados el nuacutemero de ellos que son nuevas aportaciones y los meacutetodos

seleccionados en cada caso

Caso Nordm de

meacutetodos evaluados

Nordm de meacutetodosnuevos

Meacutetodos seleccionados (en negrita los que son nuevos)

K ge 3 20 17

E0 (salvo que ni10 i) W3 en otro caso (y como alternativa maacutes sencilla a

E0 aunque algo peor) Pa0 si se desea un meacutetodo que no falle casi nunca

K=2 DIFERENCIA DE PROPORCIONES

75 64

Caso general AE1 (requiere de procedimientos iterativos) ZW4 alternativa maacutes sencilla (aunque algo peor)

Caso de un contraste (δ=0) ZE0c (ZE3c) para α=1 o 5 con ni distintos

(iguales) ZE3 para α=10

K=2 COCIENTE DE

PROPORCIONES 150 137

ZAb1 ZW4 alternativa maacutes sencilla (aunque algo peor)

K=2 RESTO DE CASOS

35 31

Caso de |β1|ne|β2| oacute β1=β2 ZW4 de modo general y de modo maacutes particular

cuando α=1 o 5 (asiacute como para n1ge60 y α=10)

ZW2 para n1lt60 y α=10 Caso de β1= ndashβ2

Proceder como en el caso de la diferencia

K=1 UNA PROPORCIOacuteN

30 22

ZE0 para α=1 A1 para α=5 o 10 ZW2 alternativa maacutes sencilla (aunque un poco peor

que los dos anteriores)

CONCLUSIONES 189

9 Construccioacuten y colocacioacuten en la red de un programa gratuito (httpwwwugres

localbioestZ_LINEAR_KEXE) que permite aplicar el meacutetodo de las marcas a

cualquier valor de K del caso lineal (test o intervalo de confianza)

Adicionalmente conviene efectuar un anaacutelisis global acerca de los meacutetodos

oacuteptimos seleccionados (que se aluden en la aportacioacuten nuacutemero 8 anterior) Puede

observarse que

a) El meacutetodo oacuteptimo no es sistemaacuteticamente el mismo en todos los casos lineales

analizados (K3 K=2 ndashen sus tres versiones de la diferencia razoacuten y combinacioacuten

general y K=1)

b) El reconocido meacutetodo de las marcas (E0 en K3 y ZE0 en K2) es el mejor solo

cuando K3 (y cuando K=1 si el error objetivo es pequentildeo) teniendo muy mal

comportamiento en el caso de K=2

c) De modo general el meacutetodo ldquoadjustedrdquo Wald definido en esta memoria (E4 en K3 y

ZE4 en K2 es decir aplicar la foacutermula de Wald a los datos incrementados en una

cantidad que generalmente es de 22 2z K ) es siempre una buena y sencilla opcioacuten

aunque casi nunca es la oacuteptima (por dar lugar a un meacutetodo algo conservador)

d) Casi la totalidad de los meacutetodos oacuteptimos del caso lineal son nuevas propuestas de

esta memoria

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53 1080-1085

APEacuteNDICE TABLAS

202

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI1

Meacutetodos de tipo W K=3 confianza=95

Meacutetodo W0 W1 W2 W3

n1n2n3 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93

i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

917

940

916

921

320

717

383

381

027

016

024

022

892

36

962

830

956

952

955

954

883

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

955

952

954

954

891

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

970

956

967

964

895

931

935

929

030

017

026

023

01

00

00

00

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

904

936

927

930

211

752

388

350

057

034

044

041

983

87

477

323

955

952

954

954

876

922

921

900

058

035

044

041

06

00

01

01

955

951

954

953

876

922

921

900

058

035

044

041

08

00

01

00

969

956

965

962

931

930

925

928

064

036

047

043

00

00

00

00

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

892

932

877

871

195

581

373

307

106

064

097

096

993

217

973

968

954

951

954

953

879

930

894

897

109

065

102

100

14

00

47

82

954

951

952

952

875

931

877

897

109

065

102

100

18

00

64

109

969

956

967

966

907

941

915

910

118

066

109

107

01

00

06

33

i = (1 1 1)

101010

303030

301010

302010

916

940

916

921

456

687

494

318

082

049

072

064

891

35

960

836

956

952

955

954

900

925

901

907

083

049

073

066

02

00

00

01

955

952

955

954

900

955

901

906

083

049

073

066

01

00

00

02

970

957

968

964

905

928

926

934

090

051

079

069

00

00

00

00

IN

FE

RE

NC

IAS A

SIN

TOacute

TIC

AS SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

203

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES



n1n2n3n4 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93

I=(14 14 14 14)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

559

665

731

566

024

017

021

023

887

29

720

955

953

951

952

953

929

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

06

952

951

952

952

930

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

07

972

960

968

975

936

938

940

937

027

018

023

027

00

00

00

00

i = ( -1 1 1 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

629

870

730

449

095

069

083

094

895

30

716

956

953

951

952

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

05

952

951

951

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

07

971

961

967

975

936

938

942

940

106

073

091

108

00

00

00

00

I=(13 13 13 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

899

926

890

801

624

671

501

241

053

039

051

062

987

605

978

987

949

949

948

948

902

923

870

808

055

040

053

069

45

01

138

407

948

948

947

945

900

921

870

808

055

040

053

069

64

01

202

424

969

959

967

978

926

937

926

935

060

041

057

077

00

00

04

00

i = (-3 -1 1 3)

10101010

20202020

20201010

2015105

911

632

915

857

655

679

536

481

210

153

183

215

985

230

916

949

951

950

950

951

914

929

901

858

214

154

186

229

01

00

06

350

950

949

949

950

914

932

901

853

214

154

186

229

02

00

07

360

970

959

966

977

936

940

918

940

235

161

201

255

00

00

00

00

204

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI2

Meacutetodos de tipo N K=3 confianza=95

Meacutetodo N0 N1 N2 N3


i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

953

952

953

953

867

904

888

890

027

016

024

021

52

03

09

03

945

950

945

946

00

304

243

288

028

016

023

021

210

91

214

179

946

950

945

947

00

304

243

288

026

016

023

021

205

86

207

173

952

953

950

951

00

304

243

288

028

017

023

022

194

81

195

164

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

953

952

952

952

887

905

887

896

057

034

044

041

14

01

06

03

943

948

948

948

209

347

245

319

055

034

043

040

215

100

168

145

944

949

948

949

209

487

297

382

055

034

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040

209

94

163

138

950

951

953

953

209

487

297

382

059

035

045

042

196

88

152

131

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

953

952

953

953

898

905

910

914

105

064

098

096

16

01

08

05

940

947

938

939

293

296

148

377

103

064

096

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226

109

230

239

941

948

939

940

303

296

185

377

103

064

096

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220

103

223

232

947

950

944

943

303

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185

377

109

065

101

098

205

97

206

218

i = (1 1 1)

101010

303030

301010

302010

953

952

953

953

870

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885

911

081

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072

064

51

03

08

04

945

950

945

947

273

481

185

525

079

049

070

063

209

91

210

174

946

951

945

947

273

481

185

525

079

049

070

063

202

85

202

166

953

953

951

951

273

481

185

525

084

050

074

063

192

78

189

159

IN

FE

RE

NC

IAS A

SIN

TOacute

TIC

AS SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

205

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




I=(14 14 14 14)

10101010

20202020

20201010

2015105

952

952

952

952

892

912

908

897

024

017

021

023

45

05

05

12

951

952

951

948

563

663

659

174

023

017

020

023

154

80

131

180

951

952

951

948

563

663

659

174

023

017

020

023

150

77

126

175

956

952

952

953

593

663

659

509

025

018

022

025

186

197

218

187

i = ( -1 1 1 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

952

952

952

952

890

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094

069

082

094

52

05

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10

950

952

951

949

435

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423

092

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091

157

77

133

178

951

952

951

949

435

702

548

423

092

068

081

091

152

73

129

174

955

952

952

952

643

703

601

423

101

071

087

100

186

199

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193

I=(13 13 13 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

952

952

952

953

903

912

914

914

053

039

051

064

13

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989

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997

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997

997

997

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989

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997

997

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997

997

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996

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996

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989

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991

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997

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990

322

236

287

363

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216

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096

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240

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00

00

00

218

A

PEacute

ND

ICE

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BL

AS

Tabla AI8

Meacutetodos seleccionados K=3 CONSIN cpc confianza=95

Meacutetodo E0 E0c N0 N0c

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896

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953

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953

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49

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FE

RE

NC

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K

219

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ION

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EP

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Meacutetodo Pa0 Pa0c

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976

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974

974

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974

974

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937

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00

00

i = (1 12 2)

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975

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976

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974

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974

974

976

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931

935

944

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057

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077

01

00

00

00

220

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI9

Comparacioacuten con la literatura K = 3 confianza=95

Meacutetodo W0 W1 N0


i = (13 13 13)

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303030

301010

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953

953

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301010

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952

952

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954

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953

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916

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891

35

960

836

956

952

955

954

900

925

901

907

083

049

073

066

02

00

00

01

953

952

953

953

862

907

893

907

081

049

072

064

54

03

07

03

IN

FE

RE

NC

IAS A

SIN

TOacute

TIC

AS SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

221

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




I=(14 14 14 14)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

559

665

731

566

024

017

021

023

887

29

720

955

953

951

952

953

929

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

06

952

952

952

952

897

900

909

907

024

017

021

023

49

07

05

10

i = ( -1 1 1 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

629

870

730

449

095

069

083

094

895

30

716

956

953

951

952

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

05

952

952

953

952

900

906

908

910

094

069

082

094

48

04

05

11

I=(13 13 13 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

899

926

890

801

624

671

501

241

053

039

051

062

987

605

978

987

949

949

948

948

902

923

870

808

055

040

053

069

45

01

138

407

952

952

953

953

893

914

906

912

053

039

051

064

14

01

06

17

i = (-3 -1 1 3)

10101010

20202020

20201010

2015105

911

632

915

857

655

679

536

481

210

153

183

215

985

230

916

949

951

950

950

951

914

929

901

858

214

154

186

229

01

00

06

350

953

952

953

953

902

915

908

907

208

153

182

217

10

01

06

14

222 APEacuteNDICE TABLAS X

AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII1

Incremento de error (primera entrada) y ldquopotenciardquo (segunda entrada) para

todos los meacutetodos sin cpc comparados Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo (=5)

n1 n2 ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 00 -090 6758 -067 6710 -067 6639 -067 6639 -067 6568

01 -355 6924 -355 6841 -054 6782 -054 6794 -054 6746 02 -453 7198 -338 7115 -017 7067 -017 7067 -017 7032 03 -201 7490 -201 7460 -115 7412 -115 7412 -061 7388 05 -307 8215 -096 8233 -016 8233 -016 8233 -016 8209 07 -359 9012 -104 9060 015 9054 015 9054 067 9030 08 -503 9387 -049 9405 -015 9435 -015 9435 064 9405 09 -426 9691 151 9738 073 9768 080 9756 080 9756 095 -859 9839 358 9869 020 9887 020 9887 020 9887 60 00 -136 7021 -052 6949 -014 6893 -014 6893 -014 6837 01 -355 7165 -355 7093 -051 7049 -051 7049 -036 7013 02 -453 7393 -338 7365 -014 7317 -014 7317 -014 7297 03 -201 7685 -201 7645 -201 7633 -201 7637 -077 7617 05 -307 8385 -099 8381 -096 8393 -096 8389 -025 8369 07 -201 9100 -064 9136 -074 9148 -074 9152 021 9132 08 -453 9444 -012 9468 -012 9500 -012 9496 053 9484 09 -728 9736 106 9760 -067 9792 -067 9792 081 9788 095 -1578 9860 361 9880 203 9904 203 9904 203 9904 100 00 -673 7254 -052 7211 -018 7158 -018 7158 -018 7119 01 -355 7380 -355 7336 -079 7298 -084 7305 -076 7276 02 -453 7607 -117 7575 -047 7544 -047 7544 -042 7530 03 -201 7877 -201 7868 -039 7839 -043 7839 -042 7822 05 -307 8529 -096 8527 -096 8527 -096 8520 -028 8503 07 -232 9193 -088 9208 -076 9225 -076 9227 -031 9213 08 -453 9505 -021 9522 -082 9548 015 9539 065 9524 09 -473 9771 -008 9795 095 9814 098 9812 101 9807 095 -1522 9882 361 9901 209 9918 209 9918 209 9918

60 60 00 -130 7326 -048 7261 -048 7229 -048 7240 -048 7208 01 -184 7428 -087 7385 -087 7358 -087 7364 -036 7347 02 -276 7662 -044 7611 -014 7584 -014 7584 001 7568 03 -074 7904 -061 7898 -167 7869 -167 7874 -089 7863 05 -085 8533 -081 8551 -099 8541 -099 8541 002 8530 07 -106 9210 -157 9215 -043 9256 -037 9250 -037 9239 08 -294 9519 -083 9538 -050 9557 -050 9557 053 9546 09 -147 9772 172 9798 094 9825 094 9825 115 9823 095 -1487 9887 -088 9906 184 9925 184 9925 184 9925 100 00 -232 7583 -034 7547 -024 7509 -024 7509 -024 7486 01 -308 7685 -122 7653 -096 7627 -096 7629 -076 7621 02 -276 7879 -084 7864 -030 7843 -030 7846 -019 7838 03 -090 8116 -104 8114 -050 8107 -050 8107 -015 8098 05 -089 8700 -035 8703 -048 8708 -048 8708 -038 8700 07 -136 9300 -048 9312 -013 9328 -013 9326 -009 9320 08 -276 9576 -033 9593 024 9606 024 9604 028 9597 09 -329 9813 -176 9831 020 9844 020 9843 101 9836 095 -1444 9911 -059 9920 137 9933 203 9932 203 9932

100 100 00 -060 7886 -060 7866 -060 7842 -060 7842 -060 7831 01 -176 7978 -176 7960 -122 7942 -122 7946 -084 7942 02 -169 8148 -082 8127 -082 8123 -082 8123 -011 8119 03 -042 8360 -042 8358 -104 8342 -104 8344 -020 8340 05 -131 8882 -023 8869 -119 8881 -119 8880 -035 8876 07 -070 9396 -014 9402 -045 9424 -051 9428 -051 9424 08 -229 9649 -038 9653 005 9660 005 9660 049 9656 09 -244 9853 030 9859 019 9866 022 9864 096 9860 095 -763 9929 -013 9938 137 9947 137 9947 200 9946

Media global -389 8652 -066 8647 -024 8643 -020 8644 017 8630

INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K 223 PROPORCIONES INDEPENDIENTES

n1 n2 ZN0 ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 40 40 00 -067 6686 -067 6639 -067 6591 -067 6591 -067 6544

01 -054 6794 -054 6746 053 6651 053 6663 053 6615 02 -017 7067 -013 7032 009 6972 009 6972 009 6948 03 -020 7412 -119 7442 -022 7383 -022 7383 -022 7359 05 -055 8233 -105 8263 -112 8251 -112 8251 -098 8227 07 -120 9108 -176 9108 -350 9149 -350 9149 -347 9137 08 -145 9494 -524 9530 -507 9542 -507 9542 -504 9536 09 034 9786 -553 9833 -1608 9875 -1608 9875 -1608 9875 095 -004 9911 -906 9941 -2733 9964 -2733 9964 -6759 9982 60 00 -049 6981 006 6885 042 6821 034 6829 034 6781 01 -040 7093 008 7029 026 6957 011 6965 011 6929 02 -030 7333 -013 7297 019 7241 018 7253 018 7233 03 -014 7633 -015 7629 -006 7609 -006 7605 -006 7585 05 -057 8393 -060 8405 -130 8405 -097 8405 -096 8389 07 -048 9172 -128 9192 -386 9228 -313 9220 -309 9204 08 -031 9516 -313 9556 -806 9592 -581 9584 -579 9572 09 -090 9816 -597 9844 -1394 9872 -1394 9872 -1394 9872 095 -333 9928 -1307 9952 -3027 9968 -3027 9968 -5747 9976 100 00 -009 7182 -008 7163 036 7109 036 7109 036 7076 01 -027 7305 -006 7276 024 7242 023 7242 023 7213 02 -024 7546 002 7510 -012 7491 -022 7496 -021 7481 03 -057 7846 -009 7817 -079 7815 -079 7815 -065 7800 05 -030 8532 -052 8541 -213 8551 -213 8556 -201 8541 07 -062 9244 -149 9259 -433 9290 -301 9280 -299 9266 08 -070 9565 -323 9589 -814 9614 -814 9614 -814 9599 09 -122 9833 -627 9858 -1482 9882 -1482 9882 -2786 9884 095 -167 9935 -881 9952 -3340 9969 -3340 9966 -6517 9971

60 60 00 -048 7251 -048 7218 -048 7175 -048 7175 -048 7143 01 -036 7364 -036 7326 030 7283 030 7283 030 7267 02 -018 7579 -014 7573 -004 7530 -004 7530 -004 7519 03 -064 7888 -063 7882 010 7845 007 7845 007 7834 05 -086 8568 -031 8543 -140 8581 -108 8570 -108 8560 07 -072 9253 -130 9274 -377 9315 -377 9315 -377 9304 08 -093 9581 -087 9581 -414 9616 -414 9616 -410 9605 09 094 9825 -286 9852 -974 9879 -974 9879 -974 9879 095 -300 9938 -1268 9954 -2826 9968 -2826 9968 -2826 9968 100 00 -024 7534 008 7492 023 7460 023 7463 023 7440 01 -025 7638 -001 7608 012 7580 012 7580 012 7567 02 -019 7840 -007 7828 006 7807 003 7812 003 7804 03 -014 8103 -015 8093 -012 8083 -011 8083 -011 8073 05 -033 8708 -052 8711 -103 8721 -075 8718 -067 8708 07 -027 9336 -111 9352 -308 9364 -223 9359 -213 9352 08 -049 9617 -194 9636 -498 9656 -484 9654 -478 9648 09 -077 9857 -365 9870 -898 9885 -898 9885 -898 9885 095 -092 9943 -972 9958 -2087 9969 -2057 9968 -3621 9969

100 100 00 -060 7858 -060 7838 -060 7815 -060 7819 -060 7807 01 -047 7946 -018 7928 022 7902 017 7904 017 7900 02 -014 8119 -016 8111 -009 8092 -012 8088 -012 8083 03 -044 8350 -044 8344 -004 8330 -005 8330 -005 8324 05 -019 8875 -053 8882 -071 8882 -071 8879 -071 8875 07 -026 9416 -081 9429 -241 9451 -208 9445 -207 9441 08 -102 9678 -253 9692 -208 9683 -208 9683 -207 9679 09 -034 9876 -305 9888 -803 9900 -803 9898 -799 9895 095 -155 9954 -803 9963 -1845 9971 -1735 9969 -1735 9969

Media global -060 8657 -239 8657 -571 8653 -556 8652 -805 8641


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

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Media global -375 8653 -142 8647 -372 8644 -306 8643 -352 8629


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII2

Nuacutemero de fallos (F) error medio ( α ) y potencia media (θ ) para los meacutetodos basados en los estadiacutesticos Z X A y L (=5)

Meacutetodo F α θ

ZW4 0 017 8630

ZPa0 0 023 8472

ZPb0 0 057 8466

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

ZN0 4 -060 8657

ZPb1 8 -011 8478

ZPa1 8 -043 8484

ZE0 12 -081 8654

ZW1 16 -066 8647

ZE1 20 -127 8652

ZPb3 20 -133 8481

ZCb1 20 -151 8658

ZPb4 20 -157 8470

ZPb2 24 -157 8480

ZPa3 26 -191 8485

ZPa4 26 -215 8475

ZPa2 30 -213 8485

ZN1 32 -239 8657

ZE4 40 -369 8632

ZE3 42 -353 8651

ZE2 44 -365 8651

ZN3 50 -556 8652

ZN2 50 -571 8653

ZN4 50 -805 8641

ZCb3 54 -404 8659

ZCb2 54 -421 8659

ZCb4 54 -491 8648

ZW0 72 -389 8652

Meacutetodo F α θ

XCb0 96 -1654 8718

XCb3 96 -3282 8754

XCb2 96 -3282 8753

XCb4 96 -3351 8742

XCb1 96 -3750 8768

XPb4 102 -8239 9669

XPb3 102 -8315 9672

XPb2 102 -8315 9671

XPb0 102 -8341 9676

XPb1 102 -8345 9676

Meacutetodo F α θ

AE1 0 016 8621

AE4 10 -059 8611

AE3 10 -063 8625

AE2 12 -078 8625

AE0 20 -183 8615

APb4 54 -940 8534

APb3 72 -1746 8556

APb2 74 -1741 8556

APb1 74 -2349 8551

ACb1 96 -1043 8710

ACb4 96 -1074 8706

ACb3 96 -1196 8722

ACb2 96 -1319 8722

ACb0 102 -1588 8677

APb0 102 -4917 8552

Meacutetodo F α θ

L0 22 -375 8653

L1 28 -142 8647

L4 36 -352 8629

L3 40 -306 8643

L2 42 -372 8644


Tabla AII3

Incremento de error (primera entrada) y ldquopotenciardquo (segunda entrada) para los cinco meacutetodos sin cpc seleccionados Los valores en negrita indican que el

meacutetodo ldquofallardquo =5

n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 -067 6639 -067 6639 -067 6568 -090 6734 -090 6734

01 -054 6782 -054 6794 -054 6746 -092 6865 -054 6805 02 -017 7067 -017 7067 -017 7032 -063 7103 -017 7020 03 -115 7412 -115 7412 -061 7388 -051 7436 011 7341 05 -016 8233 -016 8233 -016 8209 -016 8209 -016 8126 07 015 9054 015 9054 067 9030 021 9042 101 8995 08 -015 9435 -015 9435 064 9405 126 9411 126 9399 09 073 9768 080 9756 080 9756 -115 9768 -115 9768 095 020 9887 020 9887 020 9887 122 9887 016 9899 60 00 -014 6893 -014 6893 -014 6837 -048 6989 -014 6957 01 -051 7049 -051 7049 -036 7013 -136 7121 -040 7081 02 -014 7317 -014 7317 -014 7297 -124 7357 -003 7277 03 -201 7633 -201 7637 -077 7617 -048 7661 -023 7589 05 -096 8393 -096 8389 -025 8369 -043 8393 -005 8317 07 -074 9148 -074 9152 021 9132 -057 9148 021 9108 08 -012 9500 -012 9496 053 9484 -049 9508 006 9480 09 -067 9792 -067 9792 081 9788 064 9792 067 9788 095 203 9904 203 9904 203 9904 160 9904 160 9904 100 00 -018 7158 -018 7158 -018 7119 -018 7220 -045 7225 01 -079 7298 -084 7305 -076 7276 -203 7344 -001 7288 02 -047 7544 -047 7544 -042 7530 -117 7566 001 7501 03 -039 7839 -043 7839 -042 7822 -093 7856 -002 7788 05 -096 8527 -096 8520 -028 8503 -041 8537 -006 8469 07 -076 9225 -076 9227 -031 9213 -057 9239 -004 9193 08 -082 9548 015 9539 065 9524 -037 9556 011 9524 09 095 9814 098 9812 101 9807 026 9824 109 9807 095 209 9918 209 9918 209 9918 133 9923 133 9923

60 60 00 -048 7229 -048 7240 -048 7208 -048 7283 -048 7272 01 -087 7358 -087 7364 -036 7347 -087 7396 -036 7358 02 -014 7584 -014 7584 001 7568 -022 7600 001 7546 03 -167 7869 -167 7874 -089 7863 -040 7880 -001 7810 05 -099 8541 -099 8541 002 8530 -035 8541 056 8476 07 -043 9256 -037 9250 -037 9239 -037 9234 -037 9218 08 -050 9557 -050 9557 053 9546 042 9546 042 9535 09 094 9825 094 9825 115 9823 -038 9820 -038 9820 095 184 9925 184 9925 184 9925 187 9919 187 9919 100 00 -024 7509 -024 7509 -024 7486 -006 7541 -006 7538 01 -096 7627 -096 7629 -076 7621 -176 7659 -016 7627 02 -030 7843 -030 7846 -019 7838 -098 7859 -010 7814 03 -050 8107 -050 8107 -015 8098 -075 8116 -010 8054 05 -048 8708 -048 8708 -038 8700 -035 8711 -004 8653 07 -013 9328 -013 9326 -009 9320 -013 9326 -003 9291 08 024 9606 024 9604 028 9597 -051 9612 -007 9588 09 020 9844 020 9843 101 9836 -018 9846 073 9838 095 137 9933 203 9932 203 9932 124 9933 120 9935

100 100 00 -060 7842 -060 7842 -060 7831 -060 7874 -060 7866 01 -122 7942 -122 7946 -084 7942 -064 7958 -047 7938 02 -082 8123 -082 8123 -011 8119 -029 8129 -011 8093 03 -104 8342 -104 8344 -020 8340 -043 8348 -013 8295 05 -119 8881 -119 8880 -035 8876 -077 8895 -036 8834 07 -045 9424 -051 9428 -051 9424 -090 9423 -090 9399 08 005 9660 005 9660 049 9656 028 9656 061 9640 09 019 9866 022 9864 096 9860 056 9866 172 9858 095 137 9947 137 9947 200 9946 137 9945 137 9945

Media global -024 8643 -020 8644 017 8630 -025 8657 016 8621


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

=1

n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 -012 5675 003 5556 003 5461 -008 5699 -008 5723

01 -049 5842 006 5758 006 5640 -049 5877 -005 5842 02 -020 6234 -008 6139 -004 6092 -038 6222 -002 6139 03 -011 6639 -007 6627 -007 6591 -033 6722 -002 6544 05 -020 7656 -103 7698 -093 7662 -036 7733 007 7549 07 001 8715 -054 8769 -048 8727 -009 8769 -010 8691 08 006 9191 002 9256 003 9250 -045 9280 025 9185 09 049 9619 035 9673 035 9673 -004 9673 035 9649 095 091 9786 061 9833 061 9833 -029 9839 061 9822 60 00 -007 6022 001 5942 001 5870 001 6022 -006 6062 01 -052 6194 001 6118 001 6034 -114 6218 000 6166 02 -036 6529 -022 6465 -021 6433 -065 6553 -005 6469 03 -048 6961 -041 6909 -039 6885 -050 6957 -006 6845 05 -050 7873 -042 7897 -037 7869 -035 7905 003 7777 07 -022 8844 -073 8880 -049 8852 -020 8896 -003 8796 08 -013 9276 -007 9332 -007 9320 -006 9332 015 9272 09 043 9668 -046 9724 -046 9724 -025 9728 042 9688 095 072 9828 002 9868 002 9868 -022 9872 033 9860 100 00 -018 6327 -002 6279 -002 6221 -010 6370 -004 6375 01 -052 6498 -007 6440 -007 6387 -162 6520 -008 6489 02 -063 6808 -026 6769 -026 6745 -143 6827 -007 6754 03 -064 7189 -065 7170 -065 7146 -073 7201 -004 7109 05 -039 8058 -015 8066 -011 8044 -055 8092 -005 7979 07 -049 8947 -026 8986 -025 8964 -046 9007 -002 8913 08 -030 9362 -015 9391 -015 9377 -062 9413 012 9343 09 -063 9708 000 9744 000 9744 -059 9763 055 9722 095 085 9850 053 9879 053 9879 -052 9899 051 9877

60 60 00 -034 6439 -002 6337 -002 6294 -007 6423 -008 6455 01 -040 6576 -038 6509 -020 6461 -061 6595 -010 6571 02 -047 6885 -024 6837 -021 6821 -045 6896 -016 6821 03 -048 7240 -048 7213 -039 7192 -019 7251 002 7149 05 -010 8092 -050 8095 -037 8078 -031 8121 -010 8017 07 012 8968 -014 8998 -007 8981 -011 9003 002 8941 08 003 9382 -022 9422 -012 9403 001 9411 -017 9360 09 051 9721 028 9755 028 9755 006 9755 008 9737 095 072 9858 002 9884 002 9884 -004 9893 067 9874 100 00 -013 6781 -001 6710 -001 6677 -002 6788 -012 6811 01 -044 6919 -044 6874 -020 6846 -107 6932 -005 6906 02 -041 7189 -029 7163 -026 7150 -072 7199 -007 7145 03 -060 7522 -067 7510 -065 7497 -049 7528 -002 7448 05 -026 8307 -009 8297 -005 8286 -025 8310 001 8224 07 -010 9093 -029 9112 -025 9101 -020 9120 003 9054 08 -003 9451 -017 9481 -012 9469 -020 9489 017 9437 09 050 9761 000 9789 000 9789 -029 9792 018 9773 095 085 9885 -015 9907 -015 9907 -027 9912 046 9903

100 100 00 -010 7178 -001 7139 -001 7119 -004 7201 -008 7205 01 -140 7318 -003 7278 -003 7268 -031 7317 -005 7299 02 -050 7556 -033 7538 -026 7531 -014 7554 -014 7513 03 -023 7852 -017 7827 -010 7819 -018 7836 001 7780 05 -038 8518 -024 8532 -012 8525 -016 8538 005 8447 07 -018 9221 -047 9229 -026 9221 -019 9242 004 9185 08 016 9531 -021 9550 -013 9544 -030 9564 011 9523 09 035 9804 -005 9823 -001 9820 -044 9828 018 9810 095 083 9911 052 9924 052 9924 -021 9927 052 9920

Media global -011 8217 -017 8214 -013 8193 -038 8246 008 8189


=10

n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 027 7103 -059 7174 -059 7127 -175 7222 -175 7198

01 006 7258 -038 7293 -038 7269 -167 7317 -038 7293 02 -018 7496 -044 7519 -038 7496 -087 7555 000 7484 03 -023 7817 -120 7852 -120 7829 -155 7900 -039 7793 05 -056 8531 -176 8495 080 8471 -034 8495 080 8435 07 -182 9256 048 9197 139 9185 018 9197 175 9149 08 -026 9554 -160 9530 046 9518 109 9518 109 9518 09 -053 9833 369 9792 534 9786 369 9792 -154 9816 095 -406 9941 496 9911 496 9911 496 9911 496 9911 60 00 -006 7389 -025 7397 -025 7357 -191 7477 -093 7445 01 -004 7525 -032 7537 -032 7525 -224 7581 -049 7513 02 -016 7729 -058 7757 -045 7741 -192 7785 -045 7725 03 -195 8029 -195 8009 -047 7997 -066 8029 022 7961 05 -173 8649 -173 8641 -009 8629 -040 8649 012 8577 07 -180 9300 -206 9292 -022 9280 -186 9288 -010 9256 08 -160 9596 -081 9580 065 9568 -026 9584 011 9568 09 -143 9840 132 9824 269 9816 061 9828 036 9832 095 157 9932 213 9924 213 9924 352 9924 167 9928 100 00 -032 7597 -036 7621 -036 7592 -032 7645 -032 7641 01 -018 7713 -049 7735 -049 7725 -224 7764 -019 7728 02 -192 7928 -192 7935 -036 7923 -192 7950 -043 7914 03 -020 8177 -088 8184 -088 8174 -063 8196 -002 8138 05 -173 8764 -173 8759 -173 8749 -071 8766 -021 8720 07 -013 9360 -186 9348 -016 9336 -186 9362 -048 9336 08 -160 9633 -001 9616 068 9606 -040 9628 -017 9609 09 -242 9853 -224 9845 274 9833 -224 9855 -021 9848 095 -280 9942 369 9930 369 9930 333 9935 312 9937

60 60 00 -053 7643 -105 7686 -105 7665 -214 7740 -080 7697 01 -064 7777 -185 7820 -185 7810 -185 7826 -087 7794 02 -052 7976 -128 7998 -128 7987 -128 8003 -128 7960 03 -033 8218 -032 8224 -032 8213 -032 8224 -032 8170 05 -087 8780 -130 8793 -130 8788 -130 8799 -092 8748 07 -126 9379 014 9358 052 9352 020 9352 052 9325 08 -059 9645 -081 9621 093 9616 087 9616 093 9605 09 058 9860 122 9847 263 9839 -355 9858 065 9850 095 186 9944 212 9936 212 9936 -279 9941 200 9938 100 00 011 7888 -052 7931 -052 7911 -028 7931 -004 7924 01 -025 8000 -078 8012 -022 8004 -168 8031 -021 8002 02 -016 8174 -097 8185 -047 8179 -097 8195 -005 8155 03 -033 8408 -096 8409 -093 8404 -039 8403 005 8361 05 -237 8916 -237 8914 -035 8908 -069 8916 -008 8870 07 -041 9440 -200 9437 -024 9432 -017 9434 -013 9412 08 -081 9677 000 9669 000 9666 -027 9669 026 9658 09 027 9877 037 9869 231 9862 -012 9872 053 9869 095 -280 9953 227 9945 369 9943 169 9945 049 9946

100 100 00 -036 8178 -036 8193 -036 8185 -247 8209 -036 8197 01 -019 8260 -019 8268 -019 8264 -044 8282 -019 8260 02 -005 8409 -146 8419 -032 8415 -040 8423 -014 8393 03 -096 8615 -095 8613 -064 8609 -075 8615 -019 8574 05 -030 9057 -109 9054 -063 9050 -079 9054 -030 9022 07 -135 9526 -009 9503 049 9499 -029 9507 087 9479 08 -130 9723 -078 9717 -024 9713 -238 9732 007 9707 09 -046 9897 036 9885 190 9883 231 9883 -036 9889 095 281 9957 -044 9959 344 9956 -043 9957 282 9955

Media global -072 8863 -036 8862 051 8852 -048 8872 022 8843

238 A

PEacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII4

Nuacutemero de fallos (F) error medio ( α ) y potencia media (θ ) para los cinco meacutetodos sin cpc seleccionados

=1

Meacutetodo F α

AE1 0 008 8189

ZW4 0 -013 8193

ZW2 2 -011 8217

ZW3 2 -017 8214

ZCb0 8 -038 8246

=5

Meacutetodo F α

AE1 0 016 8621

ZW4 0 017 8630

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

=10

Meacutetodo F α

AE1 0 022 8843

ZW3 0 -036 8862

ZCb0 0 -048 8872

ZW4 0 051 8852

ZW2 2 -072 8863

Tabla AII5

Nuacutemero de fallos (F) error medio ( α ) y potencia media (θ ) para los meacutetodos sin cpc con 2 o menos fallos n1= n2=100 y

α=5

Meacutetodo F α θ

ZCb0 0 -013 8960

ZW4 0 013 8950

AE1 0 017 8934

AE2 0 -030 8935

AE4 0 -031 8930

AE3 0 -033 8934

ZPa1 0 -038 8839

ZPb1 0 -038 8839

ZPa0 0 039 8819

ZPb0 0 039 8819

ZW2 0 -040 8954

ZW3 0 -040 8954

ZE1 0 -046 8956

ZW1 0 -046 8953

ZCb1 0 -050 8958

ZN0 0 -055 8958

ZE0 0 -080 8958

L1 1 -053 8954

AE0 1 -057 8927

L0 1 -327 8958


Tabla AII6

Nuacutemero de fallos (F) error medio ( α ) y potencia media (θ ) para los dos meacutetodos seleccionados aplicados con y sin cpc

α=1 α=5 α=10

Meacutetodo F α θ Meacutetodo F α θ Meacutetodo F α θ

AE1 0 008 8189 AE1 0 016 8621 AE1 0 022 8843

ZW4c 0 -010 8188 ZW4 0 017 8626 AE1c 0 037 8838

AE1c 0 010 8186 AE1c 0 019 8617 ZW4 0 051 8852

ZW4 0 -013 8193 ZW4c 0 028 8626 ZW4c 0 063 8848

Tabla AII7

Nuacutemero de fallos (F) error medio ( α ) y potencia media (θ ) para los meacutetodos claacutesicos de la literatura

Meacutetodo F α θ

ZPa0 2 024 8459 ZW2 2 -032 8627 ZCb0 2 -033 8984 ZN0 4 -054 8636 ZE0 6 -075 8634 ZW1 20 -073 8628 ZW0 74 -343 8632

Tabla AII8

El meacutetodo ZE0 aplicado con y sin cpc en la versioacuten de Armitage actual (ZE0 y ZE0c) y en la versioacuten de Mantel (ZE0-M y ZE0c-M)

α=1 α=5 α=10

Meacutetodo F α θ Meacutetodo F α θ Meacutetodo F α θZE0c 0 -022 8199 ZE0c 8 -062 8628 ZE0c 0 -089 8847

ZE0 0 -028 8206 ZE0c-M 8 -064 8629 ZE0c-M 0 -089 8847

ZE0c-M 6 -031 8200 ZE0 12 -075 8634 ZE0 0 -096 8851

ZE0-M 6 -038 8208 ZE0-M 12 -077 8634 ZE0-M 0 -096 8851

240 APEacuteNDICE TABLAS

Tabla AII9

Resumen de los resultados de todos los meacutetodos para el caso claacutesico de δ=0 y α=5 (los meacutetodos omitidos son equivalentes a alguno de los resentildeados)

Meacutetodo F α θ

ZPa3 0 -008 6798 ZPb3 0 -008 6798 ZPa2 0 -008 6797 ZPb2 0 -008 6797 ZPa4 0 -008 6775 ZPb4 0 -008 6775 ZPa1 0 -011 6807 ZPb1 0 -011 6806 ZPa0 0 -019 6806 ZPb0 0 -019 6806 ZE2 0 -012 7180 ZN2 0 -012 7162 ZE3 0 -013 7185 ZE4 0 -013 7135 ZN3 0 -014 7164 ZN4 0 -014 7132 AE3 0 -024 7214 AE2 0 -024 7209 AE4 0 -024 7115 ZN1 0 -028 7206 ZE1 0 -032 7225 ZW3 0 -039 7214 ZW2 0 -039 7212 ZW4 0 -039 7175 ZN0 0 -043 7249 AE1 0 -044 7265 L4 0 -044 7160

ZE0 0 -045 7274 ZW1 0 -052 7257 L3 0 -108 7208 L2 0 -108 7201

ZW0 2 -220 7305 L1 6 -446 7265

AE0 6 -1220 7324 L0 6 -4644 7353

XPb2 6 -8957 9402 XPb3 6 -8957 9402 XPb4 6 -8957 9402 XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9414

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

241 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES

Tabla AII10 Resultados para los meacutetodos seleccionados (con y sin cpc) en el caso claacutesico de δ=0

(la primera entrada es el error medio la segunda la potencia media)

α=1 ZE0 ZE0c ZE2 ZE2c ZE3 ZE3c ZW4 ZW4c AE1 AE1c

40 40 -008 5699 003 5651 003 5509 003 5509 003 5461 022 5402 003 5461 003 5437 -008 5723 -008 5723

60 001 6022 001 6022 012 5886 015 5878 022 5822 022 5814 001 5870 001 5870 -006 6062 -004 6046

100 -010 6370 -010 6370 008 6264 008 6264 015 62069 015 6201 -002 6221 000 6216 -004 6375 -003 6361

60 60 -007 6423 -002 6412 011 6316 016 6294 021 6240 021 6240 -002 6294 -001 6283 -008 6455 -007 6445

100 -002 6788 -002 6785 006 6710 009 6703 014 6661 015 6658 -001 6677 -001 6677 -012 6811 -012 6804

100 100 -004 7201 -002 7189 006 7135 007 7127 013 7099 013 7091 -001 7119 -001 7119 -008 7205 -008 7205

Media Global -005 6417 -002 6405 008 6303 010 6296 015 6248 018 6234 000 6274 000 6267 -008 6439 -007 6431


40 40 -090 6734 -067 6710 -067 6615 023 6544 -067 6615 023 6568 -067 6568 -067 6568 -09 6734 -067 6710

60 -048 6989 -036 6973 042 6853 046 6837 042 6869 046 6845 -014 6837 -014 6837 -014 6957 -001 6949

100 -018 7220 -009 7206 036 7124 036 7124 036 7124 036 7124 -018 7119 -016 7114 -045 7225 -037 7216

60 60 -048 7283 -048 7272 -048 7186 -048 7186 -048 7197 -048 7186 -048 7208 -048 7186 -048 7272 -048 7261

100 -006 7541 -006 7541 023 7473 023 7466 021 7476 023 7473 -024 7486 -009 7479 -006 7538 000 7531

100 100 -060 7874 -060 7866 -060 7827 -020 7817 -060 7831 -020 7817 -060 7831 -060 7831 -06 7866 -060 7866

Media Global -045 7274 -038 7261 -012 7180 010 7162 -013 7185 010 7169 -039 7175 -036 7169 -044 7265 -036 7256


40 40 -175 7222 -175 7198 071 7079 071 7079 027 7127 071 7103 -059 7127 027 7079 -175 7198 -016 7174

60 -191 7477 -191 7477 057 7365 058 7357 040 7389 040 7381 -025 7357 -006 7349 -093 7445 -093 7445

100 -032 7645 -032 7645 065 7573 065 7568 020 7597 033 7588 -036 7592 -036 7592 -032 7641 -032 7641

60 60 -214 7740 -214 7708 010 7611 010 7611 -024 7632 -024 7632 -105 7665 -080 7654 -080 7697 -053 7686

100 -028 7931 -005 7924 015 7892 015 7879 015 7892 015 7892 -052 7911 -052 7911 -004 7924 011 7911

100 100 -247 8209 -247 8209 -036 8170 -036 8170 -036 8178 -036 8170 -036 8185 -036 8170 -036 8197 -036 8197

Media Global -158 7704 -144 7694 030 7615 031 7611 007 7636 017 7628 -052 7640 -031 7626 -070 7684 -037 7676


Tabla AII11 Resumen de los resultados para los meacutetodos seleccionados (con y sin cpc) en el caso claacutesico

de δ=0

α =1 Meacutetodo F α θ

ZW4 0 000 6274

ZW4c 0 000 6267

ZE0c 0 -002 6405

ZE0 0 -005 6417

AE1c 0 -007 6431

AE1 0 -008 6439

ZE2 0 008 6303

ZE2c 0 010 6296

ZE3 0 015 6248

ZE3c 0 018 6234

α =5

Meacutetodo F α θ

ZE3c 0 010 7169

ZE2c 0 010 7162

ZE2 0 -012 7180

ZE3 0 -013 7185

AE1c 0 -036 7256

ZW4c 0 -036 7169

ZE0c 0 -038 7261

ZW4 0 -039 7175

AE1 0 -044 7265

ZE0 0 -045 7274

α =10

Meacutetodo F α θ

ZE3 0 007 7636

ZE3c 0 017 7628

ZE2 0 030 7615

ZW4c 0 -031 7626

ZE2c 0 031 7611

AE1c 0 -037 7676

ZW4 0 -052 7640

AE1 0 -070 7684

ZE0c 0 -144 7694

ZE0 0 -158 7704

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

243 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES

Tabla AII12

Resultados obtenidos con la metodologiacutea del Capiacutetulo I para los meacutetodos resentildeados Confianza= 95

Meacutetodo ZW1 ZW2 ZW3

n1n2 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93 Rmean Rmin lmean Rlt93

i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

953

953

954

953

952

951

931

929

935

926

933

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

953

953

954

953

952

951

931

925

928

926

931

937

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

955

955

955

955

953

952

937

931

931

934

943

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

Meacutetodo ZN0 ZE0 ZPa0


i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

952

952

951

952

951

951

889

882

892

917

917

888

035

032

028

029

025

022

04

02

02

01

00

01

949

950

950

950

950

950

929

877

899

913

935

935

035

032

028

029

025

022

00

00

00

00

00

00

967

969

969

971

969

967

867

938

918

944

942

931

039

036

032

033

029

025

00

00

00

00

00

00


Tabla AIII1

Incremento del error (primera entrada) y ldquopotenciardquo (segunda entrada) para todos los meacutetodos sin cpc comparados Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo

(α=5)

n1 n2 ρ ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 -8530 9173 493 9024 486 9185 490 9167 490 9167

01 -4256 8560 -462 8519 051 8543 027 8537 324 8459 02 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055 05 -377 7412 -096 7341 -096 7305 -096 7299 -010 7252 08 -453 6924 -338 6847 -012 6794 -012 6794 -012 6752 1 -090 6758 -067 6710 -067 6639 -067 6639 -067 6568 125 -453 6924 -338 6847 -012 6794 -012 6794 -012 6752 2 -377 7412 -096 7341 -096 7305 -096 7299 -010 7252 5 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055 10 -4256 8560 -462 8519 051 8543 027 8537 324 8459 100 -8530 9173 493 9024 486 9185 490 9167 490 9167 60 001 -8139 9388 491 9312 469 9400 469 9392 469 9392 01 -3080 8836 -254 8816 030 8828 030 8828 081 8745 02 -1258 8477 -069 8449 -032 8445 -032 8453 011 8405 05 -131 7729 -072 7693 -099 7669 -099 7677 -037 7649 08 -276 7241 -276 7189 -026 7145 -026 7145 -026 7117 1 -136 7021 -052 6949 -014 6893 -014 6893 -014 6837 125 -453 7113 -074 7053 -033 6993 -033 6993 -033 6961 2 -1018 7489 -096 7421 -096 7393 -096 7393 -096 7357 5 -3380 8181 -225 8149 -081 8145 -030 8141 -030 8061 10 -5337 8577 -481 8521 026 8549 017 8545 323 8473 100 -8796 9180 493 9024 485 9184 489 9168 489 9168 100 001 -7453 9585 466 9548 465 9589 466 9585 466 9585 01 -1687 9104 -073 9102 016 9102 016 9109 016 9080 02 -402 8788 -035 8778 -095 8773 -095 8771 -022 8749 05 -075 8075 -043 8051 -068 8042 -056 8046 -038 8027 08 -381 7544 -038 7496 -029 7460 -029 7464 -029 7435 1 -673 7254 -052 7211 -018 7158 -018 7158 -018 7119 125 -1092 7254 -128 7213 -027 7170 -043 7175 -043 7150 2 -2218 7544 -096 7501 -096 7476 -096 7476 -096 7443 5 -4814 8199 -349 8157 -087 8160 -083 8157 -083 8078 10 -6512 8578 -542 8527 011 8553 -024 8551 318 8476 100 -9039 9186 493 9024 485 9181 488 9169 488 9169

60 60 001 -8506 9393 490 9315 469 9398 469 9393 469 9393 01 -4224 8855 -276 8826 040 8831 015 8831 072 8753 02 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431 05 -393 7845 -056 7807 -010 7777 -037 7777 -013 7753 08 -276 7439 -035 7390 -007 7364 -013 7366 -013 7345 1 -130 7326 -048 7261 -048 7229 -048 7240 -048 7208 125 -276 7439 -035 7390 -007 7364 -013 7366 -013 7345 2 -393 7845 -056 7807 -010 7777 -037 7777 -013 7753 5 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431 10 -4224 8855 -276 8826 040 8831 015 8831 072 8753 100 -8506 9393 490 9315 469 9398 469 9393 469 9393 100 001 -7986 9586 466 9547 460 9591 466 9586 466 9586 01 -2754 9120 -282 9112 -009 9119 -007 9114 -007 9085 02 -1026 8817 -035 8805 -006 8801 -004 8799 002 8781 05 -076 8190 -045 8176 -024 8163 -020 8159 -020 8145 08 -172 7773 -084 7742 -033 7720 -033 7718 -008 7703 1 -232 7583 -034 7547 -024 7509 -024 7509 -024 7486 125 -424 7622 -054 7588 -054 7565 -054 7569 -045 7552 2 -1236 7919 -052 7892 -046 7880 -047 7887 -041 7869 5 -3668 8520 -200 8500 -038 8502 -038 8500 -038 8460 10 -5576 8857 -416 8835 -005 8844 -022 8841 040 8765 100 -8844 9396 489 9313 469 9399 469 9393 469 9393

100 100 001 -8487 9588 466 9547 460 9590 464 9586 464 9586 01 -4198 9129 -260 9122 -016 9125 -016 9126 -016 9095 02 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815 05 -407 8301 -069 8282 -036 8279 -036 8281 -036 8271 08 -169 7989 -082 7968 -082 7949 -082 7949 -012 7940 1 -060 7886 -060 7866 -060 7842 -060 7842 -060 7831 125 -169 7989 -082 7968 -082 7949 -082 7949 -012 7940 2 -407 8301 -069 8282 -036 8279 -036 8281 -036 8271 5 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815 10 -4198 9129 -260 9122 -016 9125 -016 9126 -016 9095 100 -8487 9588 466 9547 460 9590 464 9586 464 9586

Media global -2919 8301 -039 8256 060 8261 058 8260 091 8228


n1 n2 ρ ZN0 ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 40 40 001 -658 9619 -7829 9744 -9494 9851 -9490 9845 -9500 9994

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100 100 001 -619 9775 -7755 9817 -9488 9871 -9482 9868 -9500 9942 01 -136 9196 -385 9208 -1309 9222 -1309 9220 -8383 9201 02 -095 8873 -077 8872 -312 8875 -297 8873 -4291 8860 05 -069 8282 -012 8277 000 8262 000 8262 000 8254 08 -014 7955 002 7934 013 7912 013 7913 013 7906 1 -060 7858 -060 7838 -060 7815 -060 7819 -060 7807 125 -014 7955 002 7934 013 7912 013 7913 013 7906 2 -069 8282 -012 8277 000 8262 000 8262 000 8254 5 -095 8873 -077 8872 -312 8875 -297 8873 -4291 8860 10 -136 9196 -385 9208 -1309 9222 -1309 9220 -8383 9201 100 -619 9775 -7755 9817 -9488 9871 -9482 9868 -9500 9942

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Media global -4199 8575 -4194 8576 -4651 8704 -4656 8704 -5176 8684


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01 -9429 9423 -9429 9518 -9429 9572 -9429 9572 -9429 9590 02 -9026 9334 -9088 9435 -9104 9494 -9099 9471 -9108 9494 05 -8054 7436 -6557 7377 -7271 7418 -7271 7406 -7812 7388 08 -7181 6859 -5081 6752 -3569 6663 -3569 6681 -1335 6615 1 -1515 6805 -090 6734 -067 6615 -067 6639 -067 6568 125 -7181 6859 -5081 6752 -3569 6663 -3569 6681 -1335 6615 2 -8054 7436 -6557 7377 -7271 7418 -7271 7406 -7812 7388 5 -9026 9334 -9088 9435 -9104 9494 -9099 9471 -9108 9494 10 -9429 9423 -9429 9518 -9429 9572 -9429 9572 -9429 9590 100 -9500 9488 -9500 9590 -9500 9637 -9500 9637 -9500 9649 60 001 -9500 9656 -9500 9716 -9500 9760 -9500 9760 -9500 9776 01 -9500 9600 -9500 9660 -9500 9708 -9500 9708 -9500 9716 02 -9473 9536 -9473 9588 -9473 9640 -9473 9636 -9473 9644 05 -8472 7581 -8215 7553 -7911 7537 -7911 7529 -8495 7501 08 -8101 7129 -6090 7033 -3736 6961 -3736 6965 -1737 6917 1 -876 7069 -014 6957 013 6885 013 6885 013 6837 125 -7656 7109 -6327 7033 -5081 6973 -5081 6973 -3838 6929 2 -8054 7749 -8278 7721 -8365 7725 -8365 7721 -8565 7721 5 -9494 9348 -9494 9412 -9494 9472 -9494 9468 -9494 9468 10 -9491 9400 -9491 9460 -9491 9512 -9491 9508 -9491 9504 100 -9500 9452 -9500 9500 -9500 9564 -9500 9560 -9500 9568 100 001 -9500 9787 -9500 9833 -9500 9865 -9500 9865 -9500 9872 01 -9093 9720 -9104 9766 -9110 9800 -9108 9795 -9111 9804 02 -8960 9631 -8965 9679 -8969 9715 -8969 9713 -8970 9732 05 -8825 7699 -8728 7670 -8644 7670 -8644 7665 -8644 7670 08 -8498 7324 -7703 7254 -5795 7206 -5795 7208 -2574 7175 1 -848 7259 -045 7225 015 7167 015 7163 015 7124 125 -7656 7332 -7181 7269 -6465 7228 -6465 7228 -6465 7201 2 -8847 8066 -8907 8063 -8975 8061 -8974 8058 -9047 8061 5 -9500 9314 -9500 9365 -9500 9404 -9500 9404 -9500 9408 10 -9500 9341 -9500 9396 -9500 9440 -9500 9440 -9500 9437 100 -9500 9384 -9500 9435 -9500 9481 -9500 9476 -9500 9481

60 60 001 -9500 9616 -9500 9667 -9500 9702 -9500 9702 -9500 9707 01 -9421 9557 -9421 9613 -9421 9653 -9421 9653 -9421 9651 02 -9179 9503 -9189 9551 -9194 9581 -9194 9575 -9195 9575 05 -8482 7872 -8215 7850 -7975 7839 -7975 7845 -8248 7842 08 -8182 7401 -7552 7337 -6090 7294 -6090 7294 -5090 7270 1 -1527 7337 -048 7272 -048 7240 -048 7240 -048 7208 125 -8182 7401 -7552 7337 -6090 7294 -6090 7294 -5090 7270 2 -8482 7872 -8215 7850 -7975 7839 -7975 7845 -8248 7842 5 -9179 9503 -9189 9551 -9194 9581 -9194 9575 -9195 9575 10 -9421 9557 -9421 9613 -9421 9653 -9421 9653 -9421 9651 100 -9500 9616 -9500 9667 -9500 9702 -9500 9702 -9500 9707 100 001 -9500 9770 -9500 9802 -9500 9825 -9500 9820 -9500 9826 01 -9221 9709 -9232 9747 -9236 9771 -9236 9771 -9237 9766 02 -9133 9653 -9135 9679 -9138 9701 -9138 9701 -9138 9696 05 -9027 8030 -8968 8008 -9141 8013 -9141 8017 -9248 8007 08 -8504 7637 -8381 7595 -7703 7565 -8038 7569 -8038 7560 1 -1020 7583 -006 7538 004 7502 004 7512 004 7483 125 -8189 7634 -7968 7598 -7552 7560 -7552 7564 -7552 7551 2 -9318 8224 -9465 8215 -9467 8216 -9467 8216 -9467 8218 5 -9500 9487 -9500 9520 -9500 9550 -9500 9549 -9500 9550 10 -9500 9524 -9500 9560 -9500 9591 -9500 9586 -9500 9594 100 -9500 9562 -9500 9599 -9500 9627 -9500 9623 -9500 9627

100 100 001 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769 01 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 02 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 05 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 08 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 1 -1536 7893 -060 7866 -060 7846 -060 7846 -060 7831 125 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 2 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 5 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 10 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 100 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769

Media global -8269 8651 -7950 8557 -7755 8664 -7760 8664 -7604 8656


n1 n2 ρ ACb15 AE15 APb15 AAb15 40 40 001 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839

01 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 02 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 05 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 08 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 1 -090 6734 -090 6734 -090 6734 -090 6734 125 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 2 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 5 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 10 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 100 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839 60 001 -265 9572 445 9440 -9500 9708 -9457 9860 01 -2011 9020 306 8689 -9500 9644 -6352 9512 02 -2303 8673 164 8265 -9473 9584 -4407 9092 05 -2234 7901 -012 7541 -8215 7565 -3120 8081 08 -1262 7281 -062 7129 -6090 7041 -1483 7309 1 -053 6989 -053 6989 -053 6989 -053 6989 125 -1332 7121 -106 7009 -6327 7041 -1760 7189 2 -1818 7637 -030 7309 -8159 7721 -2788 7849 5 -2286 8401 087 8077 -9494 9392 -4575 8924 10 -1635 8796 153 8557 -9491 9448 -5482 9384 100 -107 9472 371 9376 -9500 9500 -9500 9848 100 001 -725 9679 408 9551 -9500 9824 -9495 9894 01 -2723 9237 323 8904 -9099 9754 -6617 9570 02 -2808 8942 132 8539 -8962 9664 -4700 9234 05 -2448 8203 000 7889 -8767 7684 -3309 8339 08 -1193 7556 -078 7457 -8038 7266 -1403 7578 1 -037 7230 -037 7230 -037 7230 -037 7230 125 -1115 7269 -064 7177 -7181 7281 -1189 7303 2 -1998 7667 -021 7411 -8905 8075 -2994 7882 5 -2002 8389 -003 8150 -9500 9348 -4809 8894 10 -1727 8795 012 8626 -9500 9389 -5167 9331 100 -107 9481 372 9408 -9500 9423 -9500 9836

60 60 001 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 01 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 02 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 05 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 08 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 1 -126 7304 -126 7304 -126 7304 -126 7304 125 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 2 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 5 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 10 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 100 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 100 001 -939 9680 439 9584 -9500 9792 -9499 9930 01 -2722 9240 287 8961 -9228 9735 -6912 9623 02 -3103 8969 163 8620 -9134 9667 -5147 9304 05 -2845 8335 022 8038 -8968 8012 -3655 8486 08 -1834 7812 -051 7700 -8381 7599 -1835 7827 1 -015 7541 -015 7541 -015 7541 -015 7541 125 -1529 7656 -039 7557 -7968 7604 -1927 7695 2 -2594 8054 -009 7801 -9461 8223 -3431 8249 5 -2943 8684 056 8429 -9500 9516 -5138 9122 10 -2075 9018 104 8826 -9500 9552 -6019 9498 100 -712 9578 384 9521 -9500 9588 -9500 9885

100 100 001 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944 01 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 02 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 05 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 08 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 1 -060 7878 -060 7878 -060 7878 -060 7878 125 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 2 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 5 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 10 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 100 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944

Media global -1672 8430 110 8226 -7969 8654 -4620 8693


Tabla AIII2

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos basados en los estadiacutesticos Z R L X y A (α=5)

01 10 = 001 y = 100

Meacutetodo F Meacutetodo F ZW4 0 006 7971 ZAb0 0 397 9487

ZAb1 0 -027 8050 ZW2 0 472 9391

ZW2 0 -031 8010 ZW3 0 474 9382

ZW3 0 -034 8011 ZW4 0 474 9382

ZPa2 0 077 7694 ZW1 0 483 9295

ZPa3 0 080 7688 ZPa2 0 498 9131

ZPa4 0 082 7671 ZPa3 0 498 9127

ZPa1 0 094 7681 ZPa4 0 498 9126

ZPa0 0 112 7659 ZPa1 0 499 8955

ZPb2 0 136 7635 ZPa0 0 500 8979

ZPb3 0 141 7631 ZPb2 0 500 8941

ZPb4 0 143 7614 ZPb3 0 500 8937

ZPb1 0 147 7623 ZPb4 0 500 8937

ZPb0 0 147 7604 ZPb1 0 500 8858

ZAb3 3 -037 8037 ZPb0 0 500 8791

ZAb2 3 -038 8038 ZAb1 1 234 9570

ZN0 6 -067 8075 ZAb3 3 -164 9644

ZAb4 14 -1104 8008 ZAb2 3 -211 9651

ZN1 15 -172 8067 ZCb0 12 -603 9657

ZCb0 16 -117 8084 ZE0 12 -628 9700

ZW1 16 -155 8026 ZN0 12 -634 9700

ZAb0 17 -165 8062 ZCb1 12 -7362 9776

ZCb1 20 -242 8073 ZN1 12 -7364 9779

ZE1 21 -239 8070 ZE1 12 -7364 9778

ZE0 22 -142 8081 ZW0 12 -8484 9386

ZN3 22 -453 8065 ZAb4 12 -8772 9756

ZE3 22 -489 8067 ZCb3 12 -9362 9852

ZN2 22 -491 8065 ZE3 12 -9364 9855

ZE2 22 -511 8067 ZN3 12 -9366 9856

ZN4 22 -2700 8045 ZCb2 12 -9382 9860

ZE4 22 -2726 8046 ZN2 12 -9383 9861

ZCb3 23 -491 8069 ZE2 12 -9383 9861

ZCb2 23 -498 8069 ZN4 12 -9500 9971

ZCb4 23 -2714 8048 ZE4 12 -9500 9971

ZW0 44 -1691 8061 ZCb4 12 -9500 9969

01 10 = 001 y = 100

Meacutetodo F Meacutetodo F

RN1 23 -811 7026 RW1 6 -4496 9207

RN0 24 -432 6974 RW4 6 -4500 8853

RW4 24 -2603 7359 RW2 6 -4514 9342

RN3 28 -1430 7079 RW3 6 -4514 9336

RN2 28 -1435 7083 RN0 11 -1659 9102

RN4 28 -2392 7073 RN1 12 -5283 9220

RW3 36 -1445 7349 RN3 12 -6063 9343

RW2 36 -1565 7354 RN2 12 -6095 9348

RW1 54 -1104 7291 RW0 12 -9152 9348

RW0 54 -3636 7431 RN4 12 -9234 9408


01 10 = 001 y = 100


LE3 0 006 7969 LN1 0 242 9585

LE2 0 014 7968 LCb2 0 498 8693

LE4 0 040 7927 LCb3 0 498 8684

LCb2 1 -014 8006 LCb4 0 498 8678

LCb4 1 015 7966 LCb1 0 499 8607

LCb3 1 -021 8007 LE2 0 499 8440

LW0 9 -082 7745 LE3 0 500 8428

LN2 10 -130 8061 LE4 0 500 8422

LN3 11 -147 8063 LE1 0 500 8393

LN4 14 -1308 8021 LN3 9 -268 9661

LW1 19 -156 7990 LW0 11 -349 9516

LAb3 21 -200 8093 LN2 11 -554 9666

LAb2 21 -220 8092 LAb1 11 -599 9687

LW2 21 -324 8007 LW1 12 -3908 9756

LW3 23 -330 8007 LAb3 12 -7973 9756

LAb4 23 -2267 8059 LAb2 12 -8262 9766

LW4 25 -2352 7996 LCb0 12 -8944 8703

LE1 36 -244 7989 LE0 12 -8944 8439

LAb1 36 -249 8107 LN0 12 -8958 9672

LCb1 40 -251 8025 LW3 12 -9152 9837

LN1 54 -548 8085 LW2 12 -9167 9842

LE0 54 -5472 8032 LAb0 12 -9320 9772

LCb0 54 -5473 8069 LN4 12 -9428 9775

LN0 54 -5486 8125 LPb1 12 -9496 9938

LAb0 54 -5534 8154 LPa1 12 -9498 9948

LPb2 54 -6463 8349 LPa4 12 -9500 9997

LPa2 54 -6485 8371 LPb4 12 -9500 9997

LPb3 54 -6517 8351 LPa0 12 -9500 9988

LPa3 54 -6551 8374 LPa2 12 -9500 9987

LPb1 54 -6677 8366 LPa3 12 -9500 9987

LPa1 54 -6769 8391 LPb0 12 -9500 9986

LPb4 54 -7136 8327 LPb2 12 -9500 9986

LPa4 54 -7138 8351 LPb3 12 -9500 9984

LPb0 54 -7836 8383 LW4 12 -9500 9963

LPa0 54 -7847 8407 LAb4 12 -9500 9901


01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


XCb0 48 -2351 8198 XCb0 12 -720 9703

XCb2 48 -3557 8188 XCb1 12 -7362 9786

XCb3 48 -3564 8189 XCb2 12 -9075 9866

XCb1 48 -3981 8202 XCb3 12 -9362 9859

XAb0 48 -4089 8489 XAb1 12 -9498 9963

XCb4 48 -4466 8166 XAb4 12 -9500 9997

XAb2 48 -4793 8475 XPb1 12 -9500 9997

XAb4 48 -5115 8452 XPb2 12 -9500 9997

XAb3 48 -5166 8479 XPb3 12 -9500 9997

XAb1 48 -5357 8499 XPb4 12 -9500 9997

XPb0 54 -9272 9673 XAb2 12 -9500 9993

XPb2 54 -9283 9702 XAb3 12 -9500 9991

XPb3 54 -9283 9701 XCb4 12 -9500 9979

XPb4 54 -9283 9701 XPb0 12 -9500 9960

XPb1 54 -9284 9706 XAb0 12 -9500 9943

01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100

Meacutetodo F Meacutetodo F AE15 0 043 7948 AE1 0 355 9500

AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

AE2 1 058 7933 AE0 0 455 9419

AE3 1 064 7933 AE2 1 035 9582

AE4 16 -1455 7902 AE3 1 070 9573

ACb1 48 -1913 8170 ACb1 8 -587 9606

ACb15 48 -1942 8176 ACb0 8 -2757 9514

ACb3 48 -2043 8161 ACb15 10 -461 9577

ACb2 48 -2161 8161 ACb2 12 -2993 9681

ACb4 48 -2695 8128 ACb3 12 -2993 9452

AAb15 48 -3537 8428 AE4 12 -9256 9647

AAb2 48 -3574 8420 ACb4 12 -9378 9804

AAb3 48 -3580 8420 AAb1 12 -9494 9933

AAb1 48 -3606 8426 AAb15 12 -9495 9882

AAb4 48 -4215 8393 AAb4 12 -9500 9993

APb4 48 -7183 8425 AAb2 12 -9500 9984

APb2 48 -7368 8436 AAb3 12 -9500 9981

APb3 48 -7374 8435 AAb0 12 -9500 9883

APb1 48 -7605 8435 APb4 12 -9500 9700

APb15 48 -7629 8434 APb2 12 -9500 9694

AE0 54 -864 7971 APb3 12 -9500 9693

ACb0 54 -2306 8194 APb1 12 -9500 9658

AAb0 54 -3580 8430 APb15 12 -9500 9644

APb0 54 -7995 8439 APb0 12 -9500 9606


Tabla AIII3

Incremento de error primera entrada y ldquopotenciardquo segunda entrada para los meacutetodos sin cpc seleccionados de cada familia Los valores de negrita indican que el

meacutetodo ldquofallardquo α=1

n1 n2 ρ ZAb1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780

01 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 02 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 05 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 08 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 1 003 5628 -012 5675 003 5556 003 5461 125 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 2 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 5 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 10 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 100 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780 60 001 097 9256 100 9008 100 9112 100 9112 01 003 8525 -065 8389 041 8433 065 8401 02 -004 8017 -069 7941 011 7949 012 7885 05 -027 6993 -014 6997 -050 6965 -039 6917 08 -059 6297 -041 6349 -024 6250 -021 6198 1 001 5982 -007 6022 001 5942 001 5870 125 005 6070 -050 6146 -003 6066 -003 6014 2 -015 6609 -035 6629 -024 6593 -019 6537 5 006 7701 -057 7529 -009 7537 019 7433 10 043 8333 -099 7985 070 8085 070 8085 100 076 9208 100 8629 100 8780 100 8780 100 001 098 9440 099 9348 099 9404 099 9404 01 -017 8846 -028 8783 026 8795 027 8747 02 -020 8411 -009 8365 005 8363 011 8331 05 -057 7464 -023 7443 -020 7418 -015 7390 08 -122 6730 -029 6706 -026 6670 -026 6626 1 -002 6332 -018 6327 -002 6279 -002 6221 125 006 6274 -085 6351 -010 6286 -007 6250 2 002 6718 -066 6728 -027 6694 -027 6646 5 004 7771 -065 7537 -009 7559 015 7457 10 012 8435 -123 7988 071 8085 071 8085 100 023 9367 100 8628 100 8780 100 8780

60 60 001 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 01 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 02 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 05 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 08 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 1 003 6359 -034 6439 -002 6337 -002 6294 125 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 2 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 5 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 10 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 100 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 100 001 095 9489 099 9348 099 9406 099 9406 01 -024 8869 -033 8794 025 8807 026 8760 02 -002 8450 -010 8408 -018 8408 005 8380 05 -023 7611 -038 7604 -022 7577 -009 7557 08 -068 7031 -035 7035 -031 6996 -028 6970 1 002 6755 -013 6781 -001 6710 -001 6677 125 000 6801 -043 6848 -041 6796 -024 6775 2 001 7223 -035 7239 -014 7200 -012 7171 5 010 8111 -071 7995 -005 7997 -005 7937 10 010 8635 -086 8404 030 8450 069 8416 100 066 9442 100 9007 100 9112 100 9112

100 100 001 079 9554 099 9347 099 9406 099 9406 01 007 8899 -040 8805 -024 8818 023 8768 02 -018 8493 -019 8441 -018 8440 004 8414 05 -014 7751 -014 7749 -008 7724 -007 7708 08 -013 7310 -041 7327 -041 7295 -026 7281 1 003 7154 -010 7178 -001 7139 -001 7119 125 -013 7310 -041 7327 -041 7295 -026 7281 2 -014 7751 -014 7749 -008 7724 -007 7708 5 -018 8493 -019 8441 -018 8440 004 8414 10 007 8899 -040 8805 -024 8818 023 8768 100 079 9554 099 9347 099 9406 099 9406 Media global 009 7792 -016 7684 015 7688 023 7653


n1 n2 ρ LE2 LE3 LE4 LCb2 LCb3 LCb4 40 40 001 100 4343 100 4569 100 4539 100 6532 100 6657 100 6633

01 -077 7626 098 7728 098 7716 -068 7870 085 7971 085 7965 02 -025 7269 011 7287 057 7174 -025 7484 036 7490 041 7388 05 -025 6383 016 6336 016 6258 -028 6550 002 6490 003 6407 08 -044 5824 004 5723 004 5628 -031 5931 -010 5812 -010 5735 1 -046 5687 -008 5592 -008 5497 -046 5687 -008 5592 -008 5497 125 -044 5824 004 5723 004 5628 -031 5931 -010 5812 -010 5735 2 -025 6383 016 6336 016 6258 -028 6550 002 6490 003 6407 5 -025 7269 011 7287 057 7174 -025 7484 036 7490 041 7388 10 -077 7626 098 7728 098 7716 -068 7870 085 7971 085 7965 100 100 4343 100 4569 100 4539 100 6532 100 6657 100 6633 60 001 100 7257 100 7377 100 7361 100 8109 100 8185 100 8177 01 -051 8257 063 8293 093 8257 -059 8413 046 8449 073 8421 02 -029 7865 034 7865 039 7797 -006 8005 012 7989 021 7913 05 -023 6961 009 6909 009 6857 -028 7053 -020 7013 -020 6961 08 -065 6309 -001 6222 000 6166 -065 6361 -057 6289 -057 6238 1 -035 6026 000 5930 000 5846 -035 6026 000 5930 000 5850 125 -033 6030 -002 5958 -002 5878 -033 6106 000 6018 001 5958 2 -018 6433 006 6389 018 6325 -016 6557 011 6533 011 6469 5 -040 7233 015 7257 050 7145 -034 7401 037 7421 043 7321 10 -081 7533 098 7645 098 7641 -082 7749 092 7849 092 7841 100 100 3631 100 3906 100 3882 100 5766 100 5946 100 5934 100 001 100 8773 100 8836 100 8829 100 9032 100 9119 100 9114 01 -014 8756 045 8766 046 8715 -007 8846 021 8860 022 8809 02 -023 8370 012 8368 018 8331 -020 8452 -036 8447 -021 8411 05 -040 7467 -003 7421 -003 7385 -067 7518 -078 7486 -076 7452 08 -044 6713 -004 6670 -004 6624 -169 6771 -229 6711 -229 6670 1 -034 6308 -010 6247 -010 6192 -034 6308 -010 6247 -010 6192 125 -095 6177 -038 6117 -035 6054 -024 6233 001 6165 001 6107 2 -032 6469 -002 6428 005 6375 -016 6556 -004 6537 007 6482 5 -056 7175 010 7199 012 7092 -042 7286 010 7317 043 7211 10 -099 7426 098 7534 098 7532 -094 7585 096 7689 096 7684 100 100 2482 100 2833 100 2813 100 4620 100 4861 100 4849

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01 318 8727 -018 8709 146 8584 237 8775 -227 8775 -076 8650 02 166 8388 -192 8382 064 8311 070 8435 -192 8441 018 8370 05 015 7704 -152 7739 -019 7698 -017 7751 -152 7745 005 7698 08 003 7269 -121 7323 -088 7287 014 7287 -118 7317 -081 7281 1 -016 7115 -175 7174 -059 7115 -016 7115 -175 7174 -059 7115 125 003 7269 -121 7323 -088 7287 014 7287 -118 7317 -081 7281 2 015 7704 -152 7739 -019 7698 -017 7751 -152 7745 005 7698 5 166 8388 -192 8382 064 8311 070 8435 -192 8441 018 8370 10 318 8727 -018 8709 146 8584 237 8775 -227 8775 -076 8650 100 1000 8578 1000 8495 1000 8489 993 8810 993 8703 993 8697 60 001 969 9228 997 9144 997 9140 969 9308 969 9280 969 9276 01 127 9016 041 9008 041 8948 001 9044 -095 9044 -095 8984 02 107 8697 -097 8689 081 8653 004 8721 -020 8737 -020 8705 05 -025 8037 -085 8053 -085 8029 -034 8061 -046 8077 -032 8053 08 -101 7613 -101 7629 -101 7601 -027 7597 -134 7633 -134 7613 1 -013 7397 -125 7429 -038 7393 -013 7397 -125 7429 -038 7393 125 -002 7425 -129 7457 -076 7429 -027 7453 -129 7481 -076 7453 2 056 7753 -173 7781 001 7749 034 7781 -029 7813 -029 7785 5 159 8389 -022 8385 -022 8321 103 8417 -192 8433 043 8365 10 280 8717 -073 8697 102 8573 250 8752 -237 8745 -077 8621 100 1000 8425 1000 8357 1000 8349 993 8633 1000 8537 1000 8533 100 001 915 9594 966 9560 966 9558 816 9609 904 9597 904 9594 01 025 9251 025 9254 025 9230 005 9276 -082 9278 015 9249 02 -027 8976 -062 8979 -037 8962 -104 9005 -185 9007 -078 8988 05 -034 8351 -122 8355 -081 8339 -143 8375 -122 8380 -090 8365 08 -003 7853 -055 7885 -055 7858 -316 7863 -084 7887 -056 7863 1 020 7590 -035 7617 -035 7588 020 7590 -035 7617 -035 7588 125 -160 7559 -160 7597 -041 7575 034 7566 -017 7597 -017 7578 2 -173 7800 -173 7812 029 7783 019 7819 017 7829 017 7802 5 106 8380 -133 8377 -133 8317 081 8401 -194 8409 -194 8346 10 283 8694 -179 8674 -004 8558 254 8720 -236 8706 -066 8585 100 1000 8220 1000 8126 1000 8121 993 8382 1000 8310 1000 8305

60 60 001 969 9145 997 9086 997 9084 969 9245 969 9191 969 9188 01 117 9008 032 9000 032 8941 041 9033 -054 9027 -054 8968 02 126 8705 -097 8705 -097 8672 045 8732 -097 8732 035 8697 05 008 8116 -038 8130 -013 8111 -018 8135 -073 8156 -050 8135 08 -012 7780 -129 7794 -087 7777 -012 7786 -129 7796 -087 7780 1 -053 7654 -214 7686 -081 7659 -053 7654 -214 7686 -081 7659 125 -012 7780 -129 7794 -087 7777 -012 7786 -129 7796 -087 7780 2 008 8116 -038 8130 -013 8111 -018 8135 -073 8156 -050 8135 5 126 8705 -097 8705 -097 8672 045 8732 -097 8732 035 8697 10 117 9008 032 9000 032 8941 041 9033 -054 9027 -054 8968 100 969 9145 997 9086 997 9084 969 9245 969 9191 969 9188 100 001 922 9567 966 9507 966 9505 816 9601 944 9563 944 9562 01 025 9258 007 9263 007 9239 025 9279 -051 9274 -051 9252 02 -027 8995 044 8994 044 8981 -027 9015 -028 9018 -028 9005 05 -025 8450 -061 8461 -053 8452 -031 8463 -061 8473 -053 8463 08 -027 8078 -052 8093 -052 8081 -032 8085 -046 8099 -046 8086 1 -030 7906 -039 7918 -038 7901 -030 7906 -039 7918 -038 7901 125 -081 7932 -200 7957 -039 7944 014 7935 -200 7950 -027 7937 2 033 8182 -005 8192 -005 8179 023 8195 -027 8211 -027 8198 5 -097 8711 -104 8711 -104 8680 063 8723 -099 8734 -099 8703 10 116 8999 001 8990 001 8934 074 9015 -065 9010 -065 8951 100 969 9054 997 8994 997 8992 969 9143 997 9046 997 9044

100 100 001 922 9533 966 9478 966 9478 816 9567 966 9502 966 9501 01 025 9258 013 9258 013 9235 025 9272 -032 9273 -032 9250 02 024 9013 026 9012 026 8999 -027 9029 -027 9027 -027 9014 05 008 8545 -094 8554 -089 8547 -043 8555 -087 8559 -037 8551 08 -033 8273 -104 8287 -103 8281 -092 8281 -135 8291 -135 8285 1 -036 8182 -247 8195 -081 8185 -036 8182 -247 8195 -081 8185 125 -033 8273 -104 8287 -103 8281 -092 8281 -135 8291 -135 8285 2 008 8545 -094 8554 -089 8547 -043 8555 -087 8559 -037 8551 5 024 9013 026 9012 026 8999 -027 9029 -027 9027 -027 9014 10 025 9258 013 9258 013 9235 025 9272 -032 9273 -032 9250 100 922 9533 966 9478 966 9478 816 9567 966 9502 966 9501 Media global 204 8441 112 8438 160 8408 177 8477 088 8473 137 8443


n1 n2 ρ AE1 AE15 40 40 001 620 9482 685 9459

01 469 8733 364 8733 02 225 8305 216 8299 05 058 7632 -017 7632 08 003 7269 -118 7287 1 -175 7198 -175 7222 125 003 7269 -118 7287 2 058 7632 -017 7632 5 225 8305 216 8299 10 469 8733 364 8733 100 620 9482 685 9459 60 001 711 9564 796 9548 01 427 8892 427 8904 02 241 8529 133 8533 05 -017 7937 -017 7933 08 -101 7613 -101 7613 1 -093 7445 -175 7461 125 -018 7453 -018 7461 2 069 7717 038 7725 5 222 8365 103 8369 10 317 8788 214 8788 100 472 9520 612 9488 100 001 792 9643 792 9631 01 539 9070 497 9068 02 206 8776 071 8778 05 008 8232 -037 8240 08 000 7844 -195 7853 1 -032 7641 -070 7660 125 -020 7597 -020 7597 2 040 7819 -019 7822 5 125 8433 -021 8440 10 140 8843 -009 8836 100 295 9568 507 9532

60 60 001 557 9605 686 9581 01 416 8955 327 8955 02 240 8597 215 8603 05 035 8038 035 8038 08 -005 7761 -012 7772 1 -080 7697 -214 7718 125 -005 7761 -012 7772 2 035 8038 035 8038 5 240 8597 215 8603 10 416 8955 327 8955 100 557 9605 686 9581 100 001 680 9674 773 9662 01 355 9130 390 9122 02 274 8838 230 8836 05 084 8343 084 8344 08 -027 8054 -042 8059 1 -004 7924 -042 7934 125 -024 7944 -027 7942 2 053 8140 -045 8145 5 182 8664 062 8672 10 255 9010 142 9010 100 443 9633 612 9615

100 100 001 559 9706 686 9693 01 389 9179 300 9179 02 265 8904 190 8910 05 000 8471 000 8468 08 -092 8259 -092 8264 1 -036 8197 -247 8209 125 -092 8259 -092 8264 2 000 8471 000 8468 5 265 8904 190 8910 10 389 9179 300 9179 100 559 9706 686 9693

Media global 209 8508 181 8508


Tabla AIII4

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos sin cpc seleccionados de cada familia

α=1

01 10 = 001 y = 100


ZW3 0 -003 7375 ZAb1 0 081 9348

ZW4 0 006 7331 ZW3 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

ZW2 1 -042 7392 ZW2 0 100 8994

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LE4 0 025 7215 LCb4 0 100 7580

LE2 0 -042 7282 LCb2 0 100 7477

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

LCb4 1 010 7305 LE4 0 100 6552

LCb2 1 -040 7370 LE2 0 100 6410

AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

α=10

01 10 = 001 y = 100


ZW2 0 -041 8329 ZW2 0 767 9560

ZW4 0 -052 8303 ZW3 0 839 9506

ZAb1 0 -053 8356 ZW4 0 839 9497

ZW3 0 -104 8337 ZAb1 1 214 9663

LCb2 0 010 8325 LCb2 0 926 9160

LE4 0 -024 8280 LE2 0 963 9050

LE2 0 036 8306 LCb3 0 973 9094

LCb4 0 -049 8299 LCb4 0 973 9091

LE3 0 -082 8317 LE3 0 988 8984

LCb3 0 -108 8336 LE4 0 988 8981

AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579


Tabla AIII5

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los seis meacutetodos sin cpc seleccionados

α=1

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

α=5

01 10 =001 y =100


ZW4 0 006 7971 ZAb1 1 234 9570

ZAb1 0 -027 8050 ZW4 0 474 9382

AE15 0 043 7948 AE1 0 355 9500

AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

LE3 0 006 7969 LCb3 0 498 8684

LCb3 1 -021 8007 LE3 0 500 8428

α=10

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579

LE3 0 -082 8317 LCb3 0 973 9094

LCb3 0 -108 8336 LE3 0 988 8984

ZW4 0 -052 8303 ZW4 0 839 9497

ZAb1 0 -053 8356 ZAb1 1 214 9663


Tabla AIII6

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos sin cpc con 2 o menos fallos n1=n2=100 y α=5

01 10 = 001 y = 100 Meacutetodo F Meacutetodo F

LE2 0 0 8454 ZAb3 0 -054 9738 LE3 0 002 8454 AE2 0 059 9683 LE4 0 004 8437 AE3 0 059 9680

LCb2 0 -012 8472 ZAb2 0 -092 9743 LCb3 0 -012 8472 ZAb1 0 270 9694 LCb4 0 -012 8456 AE1 0 364 9638 ZAb3 0 -014 8479 AE15 0 416 9626 ZAb2 0 -016 8479 ZW2 0 460 9590 ZAb1 0 -022 8483 ZW3 0 464 9586 ZW4 0 -028 8453 ZW4 0 464 9586 ZW2 0 -044 8468 LCb2 0 495 9335 ZW3 0 -044 8467 LCb3 0 495 9332

AE15 0 045 8396 LCb4 0 495 9330 AE1 0 058 8393 LE2 0 497 9265 AE3 0 069 8386 LE3 0 499 9246 ZPa2 0 069 8178 LE4 0 499 9245 AE2 0 070 8385 ZPa2 0 500 9299 ZPa3 0 091 8156 ZPa3 0 500 9295 ZPa4 0 091 8147 ZPa4 0 500 9295 ZPa1 0 093 8150 ZPa1 0 500 9254 ZPa0 0 101 8153 ZPa0 0 500 9209 ZPb2 0 127 8121 ZPb2 0 500 9148 ZPb0 0 127 8102 ZPb3 0 500 9144 ZPb3 0 146 8106 ZPb4 0 500 9144 ZPb4 0 146 8099 ZPb1 0 500 9102 ZPb1 0 157 8093 ZPb0 0 500 9058

Tabla AIII7

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los dos meacutetodos finalmente seleccionados aplicados con y sin cpc

01 10 = 001 y = 100


ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZW4c 0 007 7328 ZAb1c 0 082 9347

ZAb1c 1 -005 7442 ZW4 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4c 0 100 9098

Tabla AIII8

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos claacutesicos de la literatura

01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100

Meacutetodo F Meacutetodo F LW0 9 -082 7745 LW0 11 -349 9516

ZCb0 16 -117 8084 ZCb0 12 -603 9657

LW1 19 -156 7990 ZE0 12 -628 9700

ZE0 22 -142 8081 LW1 12 -3908 9756

ZW0 44 -1691 8061 ZW0 12 -8484 9386


Tabla AIII9

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) de todos los meacutetodos extras que introduce el caso claacutesico de ρ=1 y α=5 respecto del caso =0 ya

analizado en el capiacutetulo anterior (los meacutetodos omitidos son equivalentes a alguno de los resentildeados)

Meacutetodo F

LW1 0 031 7105

LE2 0 -044 7227

LE4 0 -048 7189

RW4 0 -051 5818

LN4 0 -063 7179

LE3 0 -065 7231

LW3 0 067 7062

LW2 0 067 7060

LW4 0 067 7033

LN3 0 -087 7217

LN2 0 -087 7214

RN0 1 -111 5669

RN4 1 -132 8683

RN1 1 -132 5688

RN2 1 -137 5707

RN3 1 -137 5707

LW0 1 -162 6866

LE1 4 -300 7270

LN1 6 -355 7259

RW2 6 -509 6157

RW3 6 -509 6156

RW1 6 -968 6138

RW0 6 -1796 6291

LE0 6 -4629 7336

LN0 6 -4629 7319

LPa4 6 -5237 6950

LPb4 6 -5237 6950

LPa3 6 -5697 6968

LPb3 6 -5697 6968

LPa2 6 -5697 6962

LPb2 6 -5697 6962

LPa1 6 -6847 7019

LPb1 6 -6847 7019

LPa0 6 -7104 7043

LPb0 6 -7104 7043

XPb2 6 -8957 9402

XPb3 6 -8957 9402

XPb4 6 -8957 9402

XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9421


Tabla AIV1 Incremento del error Δα (primera entrada) y ldquopotenciardquo θ (segunda entrada) para todos los meacutetodos sin cpc comparados Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo (=5)

n1 n2 β1 β2 λ ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -497 8953 -051 8977 -035 9007 -039 9007 043 8959

1 -1027 7757 -082 7716 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 7055 -197 7008 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 -1234 9120 -460 9126 085 9173 085 9173 308 9143

1 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -453 7317 -172 7287 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -160 7103 -071 7032 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -521 8992 -077 9004 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -1956 7801 -074 7761 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -197 7093 -197 7053 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 -1487 9144 -460 9164 066 9188 066 9184 324 9152

1 -3380 8181 -225 8149 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -453 7337 -163 7289 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -140 7101 -086 7061 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -307 9128 -036 9140 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -391 8105 -066 8081 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -112 7509 -061 7461 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 -580 9296 -194 9320 071 9344 090 9336 097 9300

1 -1258 8477 -069 8449 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -276 7737 -132 7713 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7557 -163 7533 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -950 9036 -151 9046 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -3354 7839 -214 7810 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -197 7124 -197 7080 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 -2191 9169 -470 9169 032 9206 024 9198 325 9162

1 -4814 8199 -349 8157 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -453 7339 -196 7305 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -181 7109 -123 7076 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -307 9276 -099 9300 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -104 8432 -065 8430 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -074 7964 -031 7945 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 -307 9452 -043 9469 033 9481 055 9481 066 9466

1 -402 8788 -035 8778 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8191 -169 8201 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -065 8042 -023 8022 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -259 9170 -177 9183 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -1028 8151 -064 8132 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -092 7546 -062 7525 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 -676 9323 -212 9344 050 9360 056 9355 097 9317

1 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -276 7759 -087 7745 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -163 7573 -163 7546 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -386 9216 -177 9227 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -2220 8198 -067 8180 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -099 7577 -065 7564 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 -1171 9348 -203 9356 035 9375 038 9372 089 9336

1 -3668 8520 -200 8500 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -276 7775 -108 7752 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -163 7586 -163 7567 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -178 9333 -099 9341 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -275 8500 -056 8494 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -068 8015 -043 8002 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -223 9479 -031 9494 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -1026 8817 -035 8805 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -169 8223 -169 8211 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -067 8073 -044 8051 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -153 9378 -144 9385 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -1019 8561 -056 8547 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -051 8062 -045 8056 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 -391 9509 -282 9517 021 9527 021 9526 021 9513

1 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -169 8236 -169 8227 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -049 8082 -041 8074 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -894 8410 -141 8399 -045 8396 -045 8396 -003 8373


n1 n2 β1 β2 λ ZN0 ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 40 40 3 1 05 -011 9060 -269 9126 -841 9167 -841 9167 -841 9143

1 -017 7775 -020 7763 -044 7739 -056 7751 -056 7704

2 -008 6913 -008 6889 032 6853 032 6853 032 6841

5 1 05 -067 9292 -593 9369 -1648 9441 -1648 9441 -3873 9453

1 -217 8251 -286 8281 -286 8293 -286 8287 -4325 8227

2 -016 7210 -047 7174 -047 7139 -047 7151 -047 7145

3 -003 6948 -003 6936 046 6865 046 6865 046 6865

60 3 1 05 -049 9112 -306 9152 -725 9192 -725 9192 -725 9160

1 -049 7829 -152 7817 -397 7813 -397 7805 -2681 7765

2 -010 6957 032 6901 050 6885 045 6893 045 6893

5 1 05 -067 9324 -725 9388 -2095 9456 -2095 9452 -5357 9468

1 -217 8281 -274 8293 -614 8321 -614 8321 -6941 8257

2 -217 7237 -047 7197 -047 7161 -047 7161 -047 7157

3 -014 6973 014 6917 037 6885 037 6885 037 6885

1 3 05 -040 9192 -169 9228 -387 9260 -387 9256 -386 9240

1 -024 8101 -067 8093 -072 8081 -072 8085 -070 8053

2 -001 7413 017 7389 017 7381 017 7381 017 7373

1 5 05 020 9396 -340 9444 -841 9480 -841 9480 -841 9472

1 -033 8529 -053 8541 -136 8537 -138 8541 -118 8501

2 -015 7689 004 7661 -007 7649 -007 7653 -007 7653

3 000 7477 002 7469 029 7429 029 7429 036 7421

100 3 1 05 -035 9150 -503 9189 -1341 9225 -1341 9220 -3522 9196

1 -024 7865 -079 7858 -622 7863 -617 7865 -6616 7834

2 -016 6984 014 6945 047 6911 047 6911 047 6911

5 1 05 -084 9348 -856 9404 -3322 9469 -2586 9461 -6745 9481

1 -217 8300 -564 8319 -1381 8351 -1381 8348 -8757 8307

2 -217 7242 -022 7206 -047 7172 -047 7172 -047 7172

3 -021 6979 -011 6945 021 6902 021 6902 021 6902

1 3 05 -073 9324 -117 9336 -282 9355 -251 9353 -248 9343

1 -021 8428 -063 8433 -055 8418 -058 8423 -058 8406

2 -021 7926 001 7906 023 7906 023 7906 023 7897

1 5 05 -036 9507 -177 9529 -387 9548 -388 9546 -387 9534

1 -014 8805 -046 8805 -115 8805 -115 8800 -115 8785

2 -019 8167 -015 8167 007 8141 000 8141 000 8136

3 -019 8008 -019 8003 -004 8003 -004 8003 -004 7998

60 60 3 1 05 -040 9242 -171 9269 -498 9296 -498 9293 -498 9272

1 -015 8162 -067 8156 -045 8146 -036 8148 -036 8127

2 -048 7482 013 7439 035 7412 035 7412 035 7407

5 1 05 007 9428 -476 9463 -1331 9495 -1331 9495 -2324 9489

1 -014 8551 -149 8560 -292 8570 -292 8573 -4306 8541

2 -014 7708 011 7681 -048 7667 -048 7673 011 7667

3 -010 7493 002 7482 029 7444 027 7450 027 7450

100 3 1 05 -040 9279 -269 9300 -856 9323 -856 9325 -856 9307

1 -017 8218 -068 8203 -296 8202 -296 8200 -4289 8180

2 -017 7499 014 7476 020 7460 020 7460 020 7460

5 1 05 -048 9456 -467 9477 -1921 9511 -1921 9511 -4682 9507

1 -017 8583 -498 8586 -1072 8598 -1062 8596 -7727 8570

2 -024 7723 -048 7700 -050 7681 -050 7685 006 7682

3 -028 7509 017 7486 027 7466 027 7470 027 7470

1 3 05 -092 9373 -097 9380 -256 9396 -210 9393 -208 9385

1 -008 8503 -009 8495 -044 8489 -034 8489 -034 8476

2 -056 7999 -011 7982 001 7969 001 7969 001 7966

1 5 05 -136 9533 -173 9550 -499 9568 -499 9568 -499 9557

1 -095 8839 -034 8843 -184 8843 -184 8841 -115 8825

2 -095 8193 -019 8179 -004 8174 -004 8174 -004 8172

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1 -294 8510 -020 8495 -020 8487 -021 8487 -021 8473

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1 5 05 -049 9515 028 9526 -726 9547 -726 9544 -725 9531

1 -351 8831 -015 8823 -016 8820 -026 8822 -026 8804

2 -059 8216 -021 8198 -030 8198 -036 8198 -036 8197

3 -049 8051 -030 8044 -030 8041 -030 8041 -030 8041

100 100 3 1 05 -021 9405 -079 9415 -469 9425 -295 9424 -290 9417

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Media Global -090 8424 -151 8423 -423 8424 -385 8424 -894 8406

INFERENCIAS ASINTOacuteTICAS SOBRE UNA COMBINACIOacuteN LINEAL DE K 285 PROPORCIONES INDEPENDIENTE

n1 n2 β1 β2 λ ZPa0 ZPa1 ZPa2 ZPa3 ZPa4 40 40 3 1 05 166 8733 117 8780 -090 8905 -090 8905 -084 8888

1 -011 7424 -152 7460 -058 7490 -020 7412 -020 7383

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1 166 7769 -012 7835 053 7894 053 7847 053 7805

2 015 7020 -047 7026 -047 6930 -047 6930 -047 6919

3 -003 6924 -003 6924 066 6829 066 6829 066 6829

60 3 1 05 177 8677 177 8745 -090 8824 112 8816 120 8804

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1 3 05 -040 9012 026 9056 -211 9104 -211 9104 -163 9088

1 022 7817 -067 7845 -034 7817 026 7821 026 7805

2 018 7293 018 7293 018 7293 018 7293 018 7285

1 5 05 278 9084 140 9148 048 9208 056 9204 056 9204

1 073 8181 -048 8201 011 8221 024 8221 024 8197

2 -006 7557 004 7537 011 7517 011 7513 011 7513

3 007 7429 007 7421 041 7397 041 7397 041 7397

100 3 1 05 255 8595 232 8667 194 8752 194 8744 198 8737

1 060 7365 034 7394 -020 7404 -020 7406 -020 7382

2 013 6897 037 6868 055 6829 054 6834 054 6834

5 1 05 434 8585 345 8696 345 8802 345 8795 345 8795

1 227 7648 244 7691 172 7749 172 7747 173 7703

2 002 7022 -008 6981 -047 6955 -047 6955 -047 6950

3 005 6945 021 6911 046 6873 045 6878 045 6878

1 3 05 020 9244 -024 9268 -207 9290 -181 9288 -160 9280

1 000 8232 005 8227 -024 8223 -024 8225 -024 8215

2 002 7805 024 7800 025 7790 025 7795 025 7786

1 5 05 170 9350 -007 9384 -245 9420 -245 9418 -229 9406

1 -095 8602 -033 8595 -115 8602 -184 8599 -115 8587

2 -019 8071 002 8061 -006 8058 -006 8058 -006 8054

3 -004 7969 -004 7969 -004 7945 -004 7945 -004 7940

60 60 3 1 05 -040 8998 098 9016 058 9038 034 9049 056 9033

1 010 7837 -067 7858 -067 7877 -067 7877 -028 7858

2 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321

5 1 05 336 9024 283 9081 158 9143 158 9143 158 9143

1 158 8119 117 8151 034 8189 034 8189 034 8164

2 017 7541 011 7541 -003 7541 -003 7541 011 7538

3 -010 7476 029 7412 029 7412 029 7412 048 7407

100 3 1 05 230 8916 098 8953 147 9000 147 8995 147 8984

1 041 7799 -067 7841 -067 7843 -067 7841 025 7827

2 020 7411 020 7411 020 7385 020 7385 020 7382

5 1 05 400 8917 354 8990 327 9065 327 9059 327 9059

1 158 8059 205 8088 122 8114 164 8111 164 8090

2 -012 7554 011 7536 029 7515 029 7517 040 7515

3 003 7476 019 7460 028 7444 028 7444 028 7444

1 3 05 024 9247 -028 9270 -226 9289 -226 9287 -168 9281

1 008 8263 -003 8270 -097 8270 -097 8273 -024 8265

2 014 7875 014 7879 031 7869 031 7869 031 7866

1 5 05 216 9325 082 9343 082 9382 082 9382 098 9372

1 107 8531 033 8567 025 8578 -004 8578 017 8567

2 -031 8119 -019 8086 -004 8068 -004 8072 -004 8070

3 012 7986 012 7986 012 7982 012 7986 012 7986

100 100 3 1 05 063 9235 026 9241 082 9247 082 9247 082 9242

1 -056 8299 -022 8308 -097 8318 004 8284 014 8278

2 -036 7987 038 7921 038 7921 038 7921 038 7919

5 1 05 362 9241 275 9287 264 9313 264 9313 265 9304

1 127 8509 033 8526 088 8541 102 8522 102 8512

2 -019 8080 -019 8080 011 8079 011 8079 011 8079

3 -020 8040 026 7999 026 7999 026 7999 026 7999

Media Global 090 8148 058 8167 021 8184 028 8181 038 8170


n1 n2 β1 β2 λ ZPb0 ZPb1 ZPb2 ZPb3 ZPb4 40 40 3 1 05 314 8560 232 8697 152 8757 152 8757 156 8751

1 -011 7424 -152 7460 -058 7490 -020 7412 -020 7383

2 -008 6829 -008 6829 101 6663 101 6663 101 6663

5 1 05 441 8584 345 8685 345 8780 345 8780 345 8780

1 227 7638 248 7698 198 7710 194 7722 196 7674

2 015 7020 -047 7026 -047 6930 -047 6930 -047 6919

3 -003 6924 -003 6924 066 6829 066 6829 066 6829

60 3 1 05 370 8501 232 8601 239 8681 232 8677 239 8673

1 059 7377 044 7373 -020 7393 -020 7389 -020 7365

2 -010 6885 032 6821 066 6781 052 6797 052 6789

5 1 05 449 8489 443 8597 345 8709 345 8697 345 8693

1 227 7569 291 7625 267 7677 262 7677 265 7637

2 005 7021 013 6977 -047 6945 -047 6949 -047 6941

3 009 6925 030 6901 057 6861 057 6861 057 6861

1 3 05 226 8924 098 8976 086 9024 086 9024 093 9008

1 022 7817 -067 7845 -034 7817 026 7821 026 7805

2 018 7293 018 7293 018 7293 018 7293 018 7285

1 5 05 421 8924 354 8996 302 9064 302 9060 302 9060

1 158 8085 171 8101 034 8121 034 8117 063 8093

2 -006 7557 004 7537 011 7517 011 7513 011 7513

3 007 7429 007 7421 041 7397 041 7397 041 7397

100 3 1 05 387 8438 374 8534 239 8628 239 8619 239 8619

1 075 7312 098 7332 067 7353 067 7348 067 7324

2 013 6897 037 6868 055 6829 054 6834 054 6834

5 1 05 449 8430 449 8537 422 8638 422 8631 422 8628

1 332 7525 291 7575 287 7631 291 7626 293 7590

2 003 7003 010 6955 003 6923 -003 6931 -003 6923

3 005 6945 021 6911 046 6873 045 6878 045 6878

1 3 05 020 9244 -024 9268 -207 9290 -181 9288 -160 9280

1 000 8232 005 8227 -024 8223 -024 8225 -024 8215

2 002 7805 024 7800 025 7790 025 7795 025 7786

1 5 05 216 9300 249 9319 098 9343 098 9341 101 9329

1 124 8520 033 8546 046 8556 046 8556 055 8541

2 -019 8071 002 8061 -006 8058 -006 8058 -006 8054

3 -004 7969 -004 7969 -004 7945 -004 7945 -004 7940

60 60 3 1 05 272 8882 270 8906 147 8936 147 8944 159 8928

1 010 7837 -067 7858 -067 7877 -067 7877 -028 7858

2 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321

5 1 05 443 8852 412 8917 354 8984 354 8984 354 8981

1 158 8022 240 8011 226 8049 226 8049 230 8027

2 017 7541 011 7541 -003 7541 -003 7541 011 7538

3 -010 7476 029 7412 029 7412 029 7412 048 7407

100 3 1 05 372 8778 321 8839 307 8883 305 8883 307 8869

1 041 7799 041 7789 026 7797 -067 7799 026 7783

2 020 7411 020 7411 020 7385 020 7385 020 7382

5 1 05 462 8766 443 8836 418 8909 432 8903 432 8903

1 317 7934 240 7966 269 7992 269 7991 269 7971

2 018 7541 029 7520 029 7497 029 7500 044 7499

3 003 7476 019 7460 028 7444 028 7444 028 7444

1 3 05 067 9224 026 9239 041 9255 040 9255 041 9248

1 008 8263 -003 8270 -097 8270 -097 8273 -024 8265

2 014 7875 014 7879 031 7869 031 7869 031 7866

1 5 05 380 9221 370 9240 291 9268 291 9263 294 9255

1 175 8479 180 8491 102 8491 102 8489 135 8479

2 -031 8119 -019 8086 -004 8068 -004 8072 -004 8070

3 012 7986 012 7986 012 7982 012 7986 012 7986

100 100 3 1 05 279 9133 245 9142 210 9183 210 9183 220 9178

1 -056 8299 -022 8308 -097 8318 004 8284 014 8278

2 -036 7987 038 7921 038 7921 038 7921 038 7919

5 1 05 451 9117 434 9148 400 9200 400 9182 400 9179

1 174 8415 243 8401 239 8419 239 8419 243 8410

2 -019 8080 -019 8080 011 8079 011 8079 011 8079

3 -020 8040 026 7999 026 7999 026 7999 026 7999

Media Global 149 8085 134 8106 108 8122 111 8119 118 8109


Tabla AIV2

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para todos los meacutetodos (α=5)

Meacutetodo F

ZW4 0 -003 8373

ZPZA1 0 058 8167

ZPZA0 0 090 8148

ZPb3 0 111 8119

ZPb4 0 118 8109

ZPb0 0 134 8106

ZPb1 0 149 8085

ZPZA4 2 038 8170

ZPb2 2 108 8122

ZW2 4 -045 8396

ZW3 4 -045 8396

ZPZA3 6 028 8181

ZPZA2 8 021 8184

ZN0 10 -057 8429

ZAb0 12 -090 8424

ZW1 18 -141 8399

ZE0 20 -084 8426

ZAb1 22 -151 8423

ZE1 26 -133 8427

ZN1 30 -163 8433

ZAb3 36 -385 8424

ZAb4 36 -423 8424

ZAb4 42 -894 8406

ZE4 48 -1364 8416

ZE3 50 -310 8431

ZE2 52 -333 8432

ZN3 54 -437 8437

ZN2 54 -454 8437

ZN4 54 -1548 8423

ZW0 78 -894 8410


Tabla AIV3 Incremento del error (1ordf entrada) y ldquopotenciardquo θ (2ordf entrada) para los tres meacutetodos sin cpc seleccionados y los tres errores analizados Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo =1

n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -022 8590 017 8644 017 8620

1 -025 7002 -021 6978 -021 6907

2 -058 6127 -026 6068 -020 6056

5 1 05 -066 8757 049 8858 049 8858

1 -040 7490 006 7519 008 7418

2 -071 6454 -044 6401 -017 6383

3 -052 6187 -032 6115 -032 6115

60 3 1 05 -017 8852 011 8880 017 8844

1 -036 7465 -010 7449 -009 7405

2 -032 6709 -024 6677 -014 6661

5 1 05 -058 9036 025 9092 043 9080

1 -069 7941 011 7949 012 7885

2 -046 7037 -041 6989 -029 6981

3 -041 6805 -041 6749 -023 6741

1 3 05 -028 8633 000 8697 033 8665

1 -053 7057 -021 7037 -021 6965

2 -050 6174 -023 6110 -023 6102

1 5 05 -084 8780 049 8876 049 8876

1 -057 7529 -009 7537 019 7433

2 -057 6477 -044 6409 -023 6397

3 -049 6198 -025 6118 -025 6118

100 3 1 05 -005 9058 -096 9085 -092 9070

1 -012 7918 -024 7909 -005 7880

2 -030 7341 -014 7298 -006 7288

5 1 05 002 9276 017 9300 017 9280

1 -009 8365 005 8363 011 8331

2 -041 7621 -041 7621 -033 7614

3 -021 7452 -016 7409 -010 7404

1 3 05 -047 8679 000 8730 038 8694

1 -056 7109 -018 7092 -015 7018

2 -045 6226 -022 6153 -022 6153

1 5 05 -100 8802 066 8894 066 8894

1 -065 7537 -009 7559 015 7457

2 -069 6494 -044 6436 -044 6426

3 -055 6211 -031 6134 -031 6134

60 60 3 1 05 -015 8901 -037 8930 -037 8895

1 -033 7530 -015 7519 -012 7474

2 -024 6762 -016 6729 -014 6724

5 1 05 -060 9073 041 9116 067 9102

1 -069 7971 003 7976 003 7912

2 -041 7055 -041 7022 -041 7020

3 -041 6815 -019 6778 -019 6778

100 3 1 05 -042 9119 -037 9141 -037 9128

1 -018 8010 -004 7992 -004 7971

2 -022 7388 -022 7375 -009 7369

5 1 05 -009 9302 -037 9335 -037 9315

1 -010 8408 -018 8408 005 8380

2 -057 7663 -019 7640 -011 7637

3 -016 7463 -016 7440 -007 7437

1 3 05 -021 8942 005 8974 019 8938

1 -033 7593 -013 7580 -013 7543

2 -029 6824 -017 6778 -017 6778

1 5 05 -070 9089 038 9133 070 9119

1 -071 7995 -005 7997 -005 7937

2 -043 7075 -019 7038 -019 7038

3 -076 6837 -019 6794 -019 6794

100 100 3 1 05 -026 9179 -005 9192 -005 9179

1 -013 8084 -009 8077 -004 8059

2 -022 7452 -022 7437 -014 7435

5 1 05 -031 9331 026 9352 027 9330

1 -019 8441 -018 8440 004 8414

2 -057 7685 -009 7664 -009 7662

3 -042 7486 -016 7472 -016 7472

Media Global -041 7882 -010 7882 -002 7856


=5 n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -035 9007 -039 9007 043 8959

1 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 085 9173 085 9173 308 9143

1 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 066 9188 066 9184 324 9152

1 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 071 9344 090 9336 097 9300

1 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 032 9206 024 9198 325 9162

1 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 033 9481 055 9481 066 9466

1 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 050 9360 056 9355 097 9317

1 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 035 9375 038 9372 089 9336

1 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 021 9527 021 9526 021 9513

1 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -045 8396 -045 8396 -003 8373


=10

n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 069 9197 031 9161 035 9131

1 026 8061 -075 8079 -075 8037

2 -033 7424 -131 7448 -059 7436

5 1 05 231 9346 -224 9316 581 9256

1 018 8441 -192 8435 000 8370

2 -192 7662 -192 7674 -192 7674

3 -101 7472 -101 7484 -101 7484

60 3 1 05 -049 9320 -160 9300 -010 9284

1 -027 8373 -022 8381 -022 8361

2 -066 7861 -066 7861 -066 7853

5 1 05 -261 9472 001 9456 001 9432

1 003 8709 -097 8717 005 8681

2 -159 8065 -097 8065 -058 8061

3 -164 7893 -164 7909 -164 7909

1 3 05 038 9212 -395 9200 061 9164

1 -074 8109 -046 8117 -046 8081

2 -055 7461 -075 7485 -075 7485

1 5 05 199 9356 -224 9344 -076 9288

1 023 8453 -192 8461 -047 8397

2 -192 7677 -192 7693 -192 7689

3 -101 7485 -101 7493 -101 7493

100 3 1 05 -037 9433 -061 9418 005 9411

1 -075 8669 -117 8665 -012 8650

2 -026 8254 -148 8269 -020 8259

5 1 05 037 9575 025 9568 037 9558

1 -042 8971 -028 8974 -001 8959

2 -065 8462 -146 8464 -041 8462

3 -038 8331 -038 8331 -017 8326

1 3 05 034 9239 -395 9227 -024 9191

1 -100 8150 -077 8157 -077 8121

2 -023 7476 -083 7510 -083 7510

1 5 05 108 9375 -232 9350 -077 9292

1 018 8464 -192 8471 -192 8409

2 -192 7682 -192 7699 -192 7696

3 -101 7486 -101 7501 -101 7501

60 60 3 1 05 -160 9350 -160 9339 -160 9325

1 -022 8422 -310 8428 -051 8406

2 -031 7869 -042 7885 -042 7885

5 1 05 -261 9481 -050 9476 -050 9452

1 014 8729 -097 8729 009 8699

2 -097 8076 -097 8081 -097 8081

3 -164 7912 -164 7917 -164 7917

100 3 1 05 -074 9466 -057 9464 -050 9458

1 -117 8731 -117 8732 -025 8721

2 -148 8301 -148 8307 -025 8304

5 1 05 037 9596 -085 9591 031 9581

1 -027 9000 -027 9002 -027 8989

2 -038 8489 -050 8484 -050 8484

3 -038 8349 -038 8356 -038 8356

1 3 05 -160 9372 -080 9365 -080 9351

1 -022 8458 -036 8471 -035 8453

2 -043 7918 -063 7927 -063 7927

1 5 05 -079 9500 -068 9487 -068 9461

1 -021 8747 -097 8750 -097 8721

2 -097 8088 -097 8098 -097 8098

3 -099 7918 -164 7931 -164 7931

100 100 3 1 05 -057 9501 -019 9492 -019 9487

1 -117 8780 -018 8779 -018 8771

2 -030 8346 -148 8358 -148 8358

5 1 05 025 9612 -052 9607 -052 9597

1 -027 9025 -027 9025 -027 9014

2 -036 8497 -038 8502 -038 8502

3 -038 8364 -046 8378 -046 8378

Media Global -049 8657 -111 8657 -043 8638


Tabla AIV4

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los tres meacutetodos sin cpc seleccionados en los tres errores analizados

α=1 α=5 α=10

Meacutetodo F Meacutetodo F Meacutetodo F

ZW4 0 -002 7856 ZW4 0 -003 8373 ZW4 0 -043 8638

ZW3 0 -010 7882 ZW2 4 -045 8396 ZW2 0 -049 8657

ZW2 2 -041 7882 ZW3 4 -045 8396 ZW3 0 -111 8657

Tabla AIV5

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los tres meacutetodos seleccionados en los errores y en los valores de n1 y n2 que se indican

α=1 α=5 α=10

n1 n2 Meacutetodo F Meacutetodo F Meacutetodo F

40 40 ZW4 0 002 7379 ZW4 0 028 8005 ZW2 0 014 8359

ZW3 0 -004 7415 ZW2 2 -065 8042 ZW4 0 045 8321

ZW2 0 -047 7408 ZW3 2 -066 8044 ZW3 0 -128 8355

40 60 ZW4 0 004 7612 ZW4 0 007 8186 ZW4 0 -049 8484

ZW3 0 -007 7645 ZW2 2 -054 8215 ZW2 0 -058 8508

ZW2 0 -049 7646 ZW3 2 -055 8217 ZW3 0 -136 8509

40 100 ZW4 0 -006 7846 ZW4 0 -007 8363 ZW2 0 -034 8649

ZW3 0 -015 7874 ZW3 0 -065 8388 ZW4 0 -057 8629

ZW2 2 -040 7873 ZW2 0 -066 8388 ZW3 0 -133 8650

60 60 ZW4 0 -006 7859 ZW4 0 -009 8376 ZW4 0 -075 8644

ZW3 0 -011 7886 ZW3 0 -025 8397 ZW2 0 -104 8658

ZW2 0 -042 7886 ZW2 0 -026 8397 ZW3 0 -136 8659

60 100 ZW4 0 -005 8100 ZW4 0 -013 8562 ZW4 0 -054 8798

ZW3 0 -012 8119 ZW2 0 -025 8577 ZW2 0 -064 8808

ZW2 0 -037 8121 ZW3 0 -026 8577 ZW3 0 -077 8809

100 100 ZW4 0 000 8350 ZW4 0 -018 8754 ZW2 0 -041 8962

ZW3 0 -006 8363 ZW2 0 -024 8761 ZW3 0 -042 8962

ZW2 0 -030 8365 ZW3 0 -025 8763 ZW4 0 -042 8957


Tabla AIV6 Incremento del error Δα (primera entrada) y ldquopotenciardquo θ (segunda entrada)

para el meacutetodo seleccionado con y sin cpc (=5) n1 n2 β1 β2 λ ZW4 ZW4c 40 40 3 1 05 043 8959 097 8947

1 -022 7656 -022 7656 2 -078 6960 -078 6960 5 1 05 308 9143 308 9137 1 -041 8055 -041 8043 2 -047 7228 -047 7228 3 -071 7020 -052 7008 60 3 1 05 -040 8996 063 9132 1 -068 7709 -001 8017 2 -093 7005 -008 7429 5 1 05 324 9152 097 9300 1 -030 8061 041 8397 2 -071 7253 -045 7701 3 -056 7021 -046 7509 1 3 05 014 9140 -040 8996 1 -001 8025 -068 7709 2 -022 7437 -040 6997 1 5 05 097 9300 324 9152 1 011 8405 -030 8053 2 -045 7709 -045 7245 3 -046 7509 -056 7021 100 3 1 05 -043 9022 050 9290 1 -077 7742 -008 8394 2 -118 7042 -017 7930 5 1 05 325 9162 067 9464 1 -083 8078 -022 8749 2 -062 7266 -082 8172 3 -047 7037 -023 8022 1 3 05 007 9295 -043 9022 1 -008 8394 -077 7740 2 -017 7930 -118 7042 1 5 05 066 9466 325 9162 1 -022 8749 -083 8078 2 -082 8172 -062 7259 3 -023 8022 -047 7037

60 60 3 1 05 -040 9186 -040 9183 1 -017 8089 -017 8087 2 -048 7503 -044 7493 5 1 05 097 9317 123 9315 1 009 8431 017 8428 2 -056 7716 -054 7710 3 -046 7525 -046 7525 100 3 1 05 -013 9216 037 9339 1 -034 8143 -017 8469 2 -060 7538 -025 7982 5 1 05 089 9336 038 9489 1 -038 8460 002 8779 2 -058 7736 -031 8197 3 -110 7544 -018 8041 1 3 05 026 9343 -013 9216 1 -036 8476 -034 8142 2 -025 7982 -060 7531 1 5 05 038 9492 089 9336 1 002 8781 -038 8456 2 -031 8203 -058 7736 3 -018 8041 -090 7538

100 100 3 1 05 -019 9386 -019 9385 1 -019 8535 -019 8535 2 -036 8046 -033 8038 5 1 05 021 9513 021 9511 1 -032 8815 -032 8814 2 -026 8220 -026 8218 3 -027 8066 -023 8062

Media Global -003 8373 003 8370


Tabla AV1


(α=5)

n π ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 ZW5

20 005 -3111 8095 474 7619 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 -740 7143 -828 7619 068 7619 068 7619 068 7619 476 6667

02 -292 6667 -292 6667 063 6667 063 6667 179 6190 285 6190

03 -026 6190 -026 6190 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 -220 6190 -220 6190 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 -819 8537 -819 8537 020 8780 361 8537 361 8537 466 8293

01 -355 8049 -460 8293 081 8049 081 8049 081 8049 302 7805

02 -453 7805 021 7561 -012 7561 -012 7561 -012 7561 136 7317

03 -201 7317 115 7073 -057 7317 -057 7317 -057 7317 115 7073

04 -041 7073 -041 7073 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 -307 7317 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 -1444 8852 -059 8852 203 8852 203 8852 203 8852 011 8689

01 -087 8361 -176 8525 020 8525 020 8525 038 8361 305 8197

02 -276 8033 -029 8033 158 7869 158 7869 158 7869 085 7869

03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 010 7705

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n π A0 A1 A2 A3 A4 A5

20 005 -3244 8571 341 8095 -255 8571 -255 8571 -255 8571 341 8095

01 -828 7619 068 7619 -830 8095 068 7619 068 7619 387 7143

02 -513 7143 063 6667 179 6190 179 6190 179 6190 285 6190

03 -026 6190 -026 6190 -056 6190 -056 6190 -056 6190 252 5714

04 -220 6190 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 -924 8780 361 8537 -881 9024 -881 9024 -881 9024 361 8537

01 -460 8293 197 8049 081 8049 081 8049 081 8049 197 8049

02 021 7561 021 7561 -012 7561 -012 7561 -012 7561 227 7317

03 -057 7317 -057 7317 094 7073 094 7073 094 7073 266 6829

04 -041 7073 -041 7073 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 -059 8852 -258 9016 -287 9016 -287 9016 -287 9016 402 8689

01 -176 8525 020 8525 -249 8525 -249 8525 -231 8361 216 8361

02 -029 8033 -029 8033 -048 8033 -048 8033 -048 8033 158 7869

03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 146 7377

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 227 7213

80 005 -545 9136 151 9012 -553 9136 034 9012 034 9012 151 9012

01 -121 8765 -121 8765 -060 8642 -060 8642 -060 8642 270 8519

02 -004 8272 -004 8272 -019 8272 -019 8272 -019 8272 152 8148

03 -014 8025 -014 8025 -021 8025 -021 8025 -021 8025 128 7901

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 170 7654

100 005 014 9109 -153 9208 -131 9109 -131 9109 -131 9109 326 9010

01 057 8812 057 8812 023 8812 023 8812 023 8812 216 8713

02 047 8416 047 8416 033 8416 033 8416 033 8416 174 8317

03 002 8218 002 8218 -004 8218 -004 8218 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 148 7921

200 005 -002 9403 -002 9403 033 9353 -034 9403 -034 9403 172 9353

01 016 9154 -091 9204 -015 9154 -015 9154 -015 9154 169 9104

02 -018 8905 -018 8905 -024 8905 -024 8905 -024 8905 085 8856

03 050 8706 -034 8756 047 8706 047 8706 047 8706 131 8657

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 100 8557

Media Global -215 8102 018 8051 -082 8058 -039 8042 -038 8037 204 7880


Tabla AV2

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos basados en los estadiacutesticos Z G y A (α=5)

n le 60 n ge 80

Meacutetodo F Meacutetodo F ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595 ZW3 0 114 7432 ZE1 0 -038 8607 ZW4 0 122 7394 ZW2 0 065 8562 ZE5 0 182 7276 ZW3 0 069 8562 ZW5 0 192 7247 ZW4 0 073 8556 ZE1 4 -004 7525 ZW5 0 102 8502 ZE0 4 026 7516 ZE5 0 158 8476 ZW1 10 -134 7486 ZW1 4 -053 8587 ZE2 14 -341 7520 ZW0 10 -179 8607 ZE3 14 -341 7520 ZE3 12 -152 8584 ZE4 14 -557 7520 ZE4 12 -152 8577

ZW0 21 -505 7516 ZE2 14 -173 8587

n le 60 n ge 80 Meacutetodo F Meacutetodo F GW0 0 134 6920 GW1 0 -029 8593 GE2 0 181 7354 GW0 0 052 8395 GE3 0 182 7335 GE2 0 085 8550 GE4 0 190 7296 GE3 0 085 8550 GW5 0 242 7131 GE4 0 088 8544 GE5 0 269 7087 GE5 0 114 8481 GW1 4 040 7432 GW5 0 187 8452 GE1 10 -117 7404 GE1 2 -027 8578 GW2 14 -323 7495 GW2 8 -173 8596 GW3 14 -323 7495 GW3 12 -119 8541 GE0 14 -540 7495 GE0 12 -119 8541

GW4 18 -394 7433 GW4 12 -119 8541

n le 60 n ge 80 Meacutetodo F Meacutetodo F

A5 0 236 7281 A3 0 -019 8587 A1 2 056 7496 A4 0 -019 8587 A4 8 -057 7486 A1 0 -020 8607 A3 8 -058 7496 A5 0 172 8479 A2 10 -113 7525 A0 2 -040 8602 A0 12 -389 7602 A2 2 -051 8592

Tabla AV3 Incremento del error (primera entrada) y ldquopotenciardquo (segunda entrada) para los cuatro meacutetodos sin cpc seleccionados

Los valores de negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo =1

n π ZE0 ZW2 ZW3 A1

20 005 -059 8095 074 7619 -059 8095 074 7619

01 -013 7143 076 6667 -013 7143 076 6667

02 000 5714 074 5238 000 5714 -041 5714

03 041 4762 -028 5238 041 4762 -028 5238

04 -001 4762 -001 4762 -001 4762 -001 4762

05 -018 4762 -018 4762 -018 4762 -018 4762

40 005 -039 8537 093 8049 066 8293 066 8293

01 -055 7805 085 7317 049 7561 -098 7805

02 006 6829 056 6585 020 6585 -009 6829

03 012 6341 012 6341 012 6341 -049 6585

04 -044 6341 006 6098 046 5854 006 6098

05 036 5854 -066 6341 036 5854 036 5854

60 005 002 8689 072 8525 002 8689 072 8525

01 -064 8197 062 7869 043 7869 025 8033

02 -046 7541 012 7377 042 7213 012 7377

03 030 6885 -006 7049 030 6885 -006 7049

04 -016 6885 -016 6885 -016 6885 -016 6885

05 -035 6885 -035 6885 038 6557 -035 6885

80 005 035 8765 079 8642 035 8765 -086 8765

01 -045 8395 057 8148 045 8148 -060 8395

02 024 7654 -011 7778 024 7654 -011 7778

03 000 7407 000 7407 000 7407 000 7407

04 017 7160 -019 7284 017 7160 -019 7284

05 003 7160 003 7160 003 7160 003 7160

100 005 -015 8911 085 8713 057 8812 -002 8911

01 -020 8515 035 8416 -003 8416 -024 8515

02 016 7921 012 7921 016 7921 -018 8020

03 -017 7723 015 7624 -017 7723 015 7624

04 -004 7525 -004 7525 -004 7525 -004 7525

05 -020 7525 -020 7525 -020 7525 -020 7525

200 005 -044 9254 050 9154 038 9154 -049 9254

01 -030 8955 036 8856 033 8856 -034 8955

02 -002 8557 -005 8557 -002 8557 -005 8557

03 -007 8358 015 8308 -007 8358 015 8308

04 -014 8259 -014 8259 -014 8259 007 8209

05 013 8159 013 8159 013 8159 013 8159

Media Global -011 7517 025 7413 015 7436 -006 7490

=5 n π ZE0 ZW2 ZW3 A1

20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095 01 068 7619 068 7619 068 7619 068 7619

02 063 6667 063 6667 063 6667 063 6667

03 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 020 8780 361 8537 361 8537 01 -067 8293 081 8049 081 8049 197 8049

02 -217 7805 -012 7561 -012 7561 021 7561

03 -057 7317 -057 7317 -057 7317 -057 7317

04 155 6829 155 6829 155 6829 -041 7073

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 203 8852 -258 9016 01 020 8525 020 8525 020 8525 020 8525

02 158 7869 158 7869 158 7869 -029 8033

03 -157 7869 -001 7705 -001 7705 010 7705

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541

80 005 -131 9136 316 8889 316 8889 151 9012 01 126 8642 126 8642 126 8642 -121 8765

02 152 8148 152 8148 152 8148 -004 8272

03 128 7901 128 7901 128 7901 -014 8025

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901

100 005 159 9109 159 9109 159 9109 -153 9208 01 -136 8911 023 8812 216 8713 057 8812

02 -095 8515 033 8416 -095 8515 047 8416

03 -128 8317 -004 8218 -004 8218 002 8218

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 -002 9403 01 061 9154 061 9154 061 9154 -091 9204

02 085 8856 085 8856 085 8856 -018 8905

03 -034 8756 -034 8756 -034 8756 -034 8756

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657

Media Global 020 8055 079 8005 092 7997 018 8051

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K 299

PR

OP

OR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

S

300

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS


20 005 245 8571 245 8571 245 8571 245 8571

01 568 7619 -330 8095 568 7619 568 7619

02 -559 7619 018 7143 018 7143 -013 7143

03 166 6667 166 6667 166 6667 166 6667

04 -075 6667 -075 6667 -075 6667 -075 6667

05 -153 6667 -153 6667 -153 6667 -153 6667

40 005 520 8780 -381 9024 520 8780 520 8780

01 433 8293 -143 8537 433 8293 -224 8537

02 283 7805 -160 8049 283 7805 283 7805

03 -186 7805 129 7561 -186 7805 -186 7805

04 256 7317 256 7317 256 7317 256 7317

05 193 7317 193 7317 193 7317 193 7317

60 005 -248 9180 213 9016 213 9016 -248 9180

01 -261 8852 132 8689 132 8689 -261 8852

02 265 8197 -081 8361 265 8197 -097 8361

03 -200 8197 073 8033 -200 8197 -200 8197

04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869

05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869

80 005 369 9136 -053 9136 369 9136 369 9136

01 109 8889 355 8765 109 8889 109 8889

02 -225 8642 053 8519 -225 8642 -225 8642

03 -118 8395 110 8272 -118 8395 -118 8395

04 138 8148 138 8148 138 8148 138 8148

05 071 8148 071 8148 071 8148 071 8148

100 005 -002 9307 310 9208 -002 9307 -002 9307

01 -301 9109 037 9010 364 8911 025 9010

02 -027 8713 188 8614 -027 8713 -027 8713

03 -009 8515 -009 8515 -009 8515 -009 8515

04 179 8317 -036 8416 179 8317 179 8317

05 114 8317 114 8317 114 8317 114 8317

200 005 292 9453 -046 9502 292 9453 -067 9502

01 -238 9353 007 9303 245 9254 000 9303

02 076 9055 -121 9104 076 9055 076 9055

03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955

04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856

05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856

Media Global 052 8360 038 8349 130 8326 044 8355

Tabla AV4

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los cuatro meacutetodos sin cpc seleccionados

α=1 n le 60 n ge 80

Meacutetodo F Meacutetodo F A1 0 005 6802 ZE0 0 -007 8169

ZE0 0 -015 6865 ZW3 0 013 8130 ZW3 0 018 6742 A1 0 -017 8178 ZW2 0 031 6704 ZW2 0 020 8122

α=5 n le 60 n ge 80

Meacutetodo F Meacutetodo F ZW2 0 093 7447 R1 0 -008 8607 ZW3 0 114 7432 ZE0 0 013 8595 A1 2 056 7496 ZW2 0 065 8562

ZE0 4 026 7516 ZW3 0 069 8562

α=10 n le 60 n ge 80


ZW2 0 016 7911 ZE0 0 018 8818 A1 0 057 7897 A1 0 031 8812

ZW3 0 172 7852 R1 0 033 8815 ZE0 2 085 7901 ZW2 0 060 8787

INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

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EA

L D

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301 P

RO

POR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

STabla AV5

Incremento del error Δα (primera entrada) y ldquopotenciardquo θ (segunda entrada) en la evaluacioacuten maacutes detallada para los meacutetodos sin cpc seleccionados Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo

=1

n π ZW2 ZW3 ZE0 A1 ZW2 ZW3 ZE0 A1 10 005 090 6364 -015 7273 -015 7273 090 6364 70 005 075 8592 020 8732 020 8732 075 8592

01 084 5455 -028 6364 -028 6364 084 5455 01 010 8169 012 8028 006 8169 010 8169 02 036 4545 036 4545 036 4545 036 4545 02 036 7465 014 7465 -006 7606 -016 7606 03 -006 3636 -006 3636 -006 3636 -006 3636 03 014 7183 002 7183 -026 7324 014 7183 04 -083 3636 083 1818 -083 3636 -083 3636 04 001 7042 001 7042 001 7042 001 7042 05 -115 3636 080 1818 080 1818 -115 3636 05 -015 7042 -015 7042 -015 7042 -015 7042

20 005 074 7619 -059 8095 -059 8095 074 7619 80 005 079 8642 035 8765 035 8765 -086 8765 01 076 6667 -013 7143 -013 7143 076 6667 01 057 8148 045 8148 -045 8395 -060 8395 02 074 5238 000 5714 000 5714 -041 5714 02 -011 7778 024 7654 024 7654 -011 7778 03 -028 5238 041 4762 041 4762 -028 5238 03 000 7407 000 7407 000 7407 000 7407 04 -001 4762 -001 4762 -001 4762 -001 4762 04 -019 7284 017 7160 017 7160 -019 7284 05 -018 4762 -018 4762 -018 4762 -018 4762 05 003 7160 003 7160 003 7160 003 7160

30 005 094 7742 067 8065 -056 8387 067 8065 90 005 082 8681 047 8791 -045 8901 -052 8901 01 080 7097 022 7419 022 7419 080 7097 01 022 8352 017 8352 017 8352 022 8352 02 057 6129 005 6129 -007 6452 -036 6452 02 022 7802 004 7802 -018 7912 022 7802 03 015 5806 015 5806 015 5806 -057 6129 03 -010 7582 022 7473 022 7473 -010 7582 04 -040 5806 002 5484 -040 5806 015 5484 04 003 7363 -001 7363 -029 7473 003 7363 05 -061 5806 048 5161 048 5161 -061 5806 05 020 7253 020 7253 020 7253 020 7253

40 005 093 8049 066 8293 -039 8537 066 8293 100 005 085 8713 057 8812 -015 8911 -002 8911 01 085 7317 049 7561 -055 7805 -098 7805 01 035 8416 -003 8416 -020 8515 -024 8515 02 056 6585 020 6585 006 6829 -009 6829 02 012 7921 016 7921 016 7921 -018 8020 03 012 6341 012 6341 012 6341 -049 6585 03 015 7624 -017 7723 -017 7723 015 7624 04 006 6098 046 5854 -044 6341 006 6098 04 -004 7525 -004 7525 -004 7525 -004 7525 05 -066 6341 036 5854 036 5854 036 5854 05 -020 7525 -020 7525 -020 7525 -020 7525

50 005 092 8235 -018 8627 -018 8627 068 8431 150 005 023 9073 015 9007 011 9073 023 9073 01 068 7647 006 7843 006 7843 016 7843 01 005 8742 004 8742 004 8742 005 8742 02 -019 7255 025 7059 025 7059 -019 7255 02 -010 8344 -005 8344 -005 8344 -010 8344 03 -029 6863 019 6667 019 6667 -029 6863 03 -024 8146 004 8079 004 8079 -024 8146 04 -033 6667 002 6471 -033 6667 010 6471 04 004 7947 004 7947 004 7947 004 7947 05 -053 6667 034 6275 034 6275 -053 6667 05 -011 7947 -011 7947 -011 7947 -011 7947

60 005 072 8525 002 8689 002 8689 072 8525 200 005 050 9154 038 9154 -044 9254 -049 9254 01 062 7869 043 7869 -064 8197 025 8033 01 036 8856 033 8856 -030 8955 -034 8955 02 012 7377 042 7213 -046 7541 012 7377 02 -005 8557 -002 8557 -002 8557 -005 8557 03 -006 7049 030 6885 030 6885 -006 7049 03 015 8308 -007 8358 -007 8358 015 8308 04 -016 6885 -016 6885 -016 6885 -016 6885 04 -014 8259 -014 8259 -014 8259 007 8209 05 -035 6885 038 6557 -035 6885 -035 6885 05 013 8159 013 8159 013 8159 013 8159 Media Global 021 7230 015 7222 -007 7321 000 7286

302

A

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ND

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=5

n π ZW2 ZW3 ZE0 A1 ZW2 ZW3 ZE0 A1

10 005 385 7273 385 7273 -361 8182 385 7273 70 005 266 8873 266 8873 266 8873 -009 9014 01 -202 7273 -202 7273 -202 7273 372 6364 01 240 8451 240 8451 -182 8732 054 8592 02 172 5455 172 5455 172 5455 172 5455 02 -003 8169 -003 8169 -003 8169 -003 8169 03 027 4545 027 4545 -256 5455 -256 5455 03 007 7887 007 7887 007 7887 007 7887 04 317 3636 317 3636 317 3636 -087 4545 04 127 7606 127 7606 127 7606 -017 7746 05 285 3636 285 3636 285 3636 285 3636 05 086 7606 086 7606 086 7606 086 7606

20 005 341 8095 341 8095 -255 8571 341 8095 80 005 316 8889 316 8889 -131 9136 151 9012 01 068 7619 068 7619 068 7619 068 7619 01 126 8642 126 8642 126 8642 -121 8765 02 063 6667 063 6667 063 6667 063 6667 02 152 8148 152 8148 152 8148 -004 8272 03 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190 03 128 7901 128 7901 128 7901 -014 8025 04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714 04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901

30 005 344 8387 344 8387 -108 8710 344 8387 90 005 138 9011 040 9121 040 9121 040 9121 01 242 7742 242 7742 242 7742 -182 8065 01 -001 8791 -001 8791 -001 8791 -001 8791 02 139 7097 139 7097 139 7097 139 7097 02 032 8352 032 8352 032 8352 032 8352 03 006 6774 006 6774 -202 7097 029 6774 03 003 8132 003 8132 003 8132 003 8132 04 116 6452 116 6452 116 6452 116 6452 04 097 7912 097 7912 097 7912 097 7912 05 072 6452 072 6452 072 6452 072 6452 05 054 7912 054 7912 054 7912 054 7912

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INFE

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20 005 245 8571 245 8571 245 8571 245 8571 80 005 -053 9136 369 9136 369 9136 369 9136 01 -330 8095 568 7619 568 7619 568 7619 01 355 8765 109 8889 109 8889 109 8889 02 018 7143 018 7143 -559 7619 -013 7143 02 053 8519 -225 8642 -225 8642 -225 8642 03 166 6667 166 6667 166 6667 166 6667 03 110 8272 -118 8395 -118 8395 -118 8395 04 -075 6667 -075 6667 -075 6667 -075 6667 04 138 8148 138 8148 138 8148 138 8148 05 -153 6667 -153 6667 -153 6667 -153 6667 05 071 8148 071 8148 071 8148 071 8148

30 005 392 8710 392 8710 392 8710 392 8710 90 005 088 9231 540 9121 -380 9341 071 9231 01 268 8065 -156 8387 -156 8387 -156 8387 01 198 8901 -099 9011 -099 9011 -099 9011 02 284 7419 -053 7742 -053 7742 -053 7742 02 -148 8681 148 8571 148 8571 148 8571 03 -146 7419 298 7097 298 7097 298 7097 03 -086 8462 164 8352 164 8352 164 8352 04 084 7097 084 7097 084 7097 084 7097 04 -060 8352 -060 8352 -060 8352 -060 8352 05 013 7097 013 7097 013 7097 013 7097 05 -133 8352 -133 8352 -133 8352 -133 8352

40 005 -381 9024 520 8780 520 8780 520 8780 100 005 310 9208 -002 9307 -002 9307 -002 9307 01 -143 8537 433 8293 433 8293 -224 8537 01 037 9010 364 8911 -301 9109 025 9010 02 -160 8049 283 7805 283 7805 283 7805 02 188 8614 -027 8713 -027 8713 -027 8713 03 129 7561 -186 7805 -186 7805 -186 7805 03 -009 8515 -009 8515 -009 8515 -009 8515 04 256 7317 256 7317 256 7317 256 7317 04 -036 8416 179 8317 179 8317 179 8317 05 193 7317 193 7317 193 7317 193 7317 05 114 8317 114 8317 114 8317 114 8317

50 005 -036 9020 622 8824 622 8824 -147 9020 150 005 078 9404 433 9338 -288 9470 067 9404 01 370 8431 083 8627 083 8627 083 8627 01 -028 9205 253 9139 253 9139 -040 9205 02 208 8039 -087 8235 -087 8235 -087 8235 02 -031 8940 182 8874 182 8874 -036 8940 03 120 7843 120 7843 120 7843 120 7843 03 100 8742 100 8742 100 8742 100 8742 04 -113 7843 -113 7843 -113 7843 -113 7843 04 037 8675 -130 8742 -130 8742 -130 8742 05 -189 7843 -189 7843 -189 7843 -189 7843 05 139 8609 139 8609 139 8609 139 8609

60 005 213 9016 213 9016 -248 9180 -248 9180 200 005 -046 9502 292 9453 292 9453 -067 9502 01 132 8689 132 8689 -261 8852 -261 8852 01 007 9303 245 9254 -238 9353 000 9303 02 -081 8361 265 8197 265 8197 -097 8361 02 -121 9104 076 9055 076 9055 076 9055 03 073 8033 -200 8197 -200 8197 -200 8197 03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955 04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869 04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856 05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869 05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856 Media Global 054 8212 130 8192 066 8214 031 8230


Tabla AV6

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) en la evaluacioacuten maacutes detallada para los meacutetodos sin cpc seleccionados

α=1 α=5 α=10 Meacutetodo F Meacutetodo F Meacutetodo F

n=10 E0 0 -010 4793 A1 2 132 5620 A1 0 040 6447 ZW3 0 020 4463 ZW2 2 153 5455 ZW2 0 075 6447 A1 1 012 4628 ZW3 2 153 5455 ZW3 0 235 6281 ZW2 2 012 4628 ZE0 6 -034 5785 ZE0 0 235 6281

n=20 ZW3 0 -007 5974 A1 0 113 6753 ZW2 0 -010 7359 ZE0 0 -007 5974 ZW2 0 163 6667 A1 0 148 7273 A1 0 013 5887 ZW3 0 163 6667 ZW3 0 154 7273 ZW2 0 034 5801 ZE0 2 055 6753 ZE0 2 049 7359

n=30 A1 0 007 6569 A1 0 088 7273 ZE0 0 104 7742 ZE0 0 -008 6627 ZW2 0 161 7214 ZW3 0 104 7742 ZW3 0 025 6452 ZW3 0 161 7214 A1 0 104 7742 ZW2 0 032 6451 ZE0 2 041 7332 ZW2 0 162 7683

n=40 A1 0 -012 7007 ZW2 0 044 7627 ZW2 0 -037 8027 ZE0 0 -019 7051 A1 0 098 7628 A1 0 136 7982 ZW3 0 038 6829 ZW3 0 106 7583 ZW3 0 255 7938 ZW2 0 040 6829 ZE0 2 -020 7716 ZE0 0 255 7938

n=50 ZE0 0 003 7253 A1 0 -010 7950 A1 0 -043 8271 A1 0 004 7308 ZW2 0 042 7914 ZW2 0 083 8200 ZW3 0 009 7237 ZW3 0 042 7914 ZW3 0 096 8235 ZW2 0 010 7273 ZE0 0 042 7914 ZE0 0 096 8235

n=60 A1 0 013 7511 ZE0 0 044 8078 ZE0 0 -048 8405 ZW2 0 019 7481 ZW2 0 073 8048 ZW2 0 094 8346 ZE0 0 -020 7571 ZW3 0 073 8048 ZW3 0 107 8346 ZW3 0 022 7422 A1 2 -043 8107 A1 0 -114 8435

n=70 ZE0 0 -002 7708 A1 0 014 8220 A1 0 -022 8528 ZW3 0 008 7631 ZE0 0 047 8195 ZW3 0 064 8502 A1 0 014 7657 ZW2 0 124 8143 ZE0 0 064 8502 ZW2 0 023 7631 ZW3 0 124 8143 ZW2 0 078 8476

n=80 ZE0 0 006 7811 A1 0 -007 8350 ZW3 0 056 8597 ZW2 0 020 7789 ZE0 0 041 8305 ZE0 0 056 8597 ZW3 0 022 7766 ZW2 0 122 8260 A1 0 056 8597 A1 0 -032 7856 ZW3 0 122 8260 ZW2 0 116 8530

n=90 A1 0 -001 7932 ZW3 0 036 8412 ZW2 0 -014 8691 ZE0 0 -008 7952 ZE0 0 036 8412 A1 0 029 8671 ZW3 0 018 7892 A1 0 036 8412 ZE0 0 -053 8691 ZW2 0 023 7892 ZW2 0 054 8392 ZW3 0 114 8651

n=100 ZW3 0 007 8029 A1 0 -018 8515 ZE0 0 -019 8749 A1 0 -008 8065 ZW2 0 029 8497 A1 0 041 8731 ZE0 0 -009 8065 ZW3 0 040 8497 ZW2 0 099 8713 ZW2 0 024 7993 ZE0 0 -046 8551 ZW3 0 102 8713

n=150 ZW2 0 -001 8405 A1 0 -009 8790 A1 0 006 8970 A1 0 -001 8405 ZE0 0 021 8766 ZE0 0 034 8958 ZE0 0 002 8392 ZW2 0 027 8766 ZW2 0 041 8958 ZW3 0 003 8380 ZW3 0 047 8754 ZW3 0 165 8934

n=200 ZW3 0 010 8593 A1 0 -034 8955 A1 0 -004 9109 A1 0 -011 8611 ZW2 0 044 8928 ZE0 0 018 9109 ZE0 0 -016 8630 ZW3 0 044 8928 ZW2 0 -035 9118 ZW2 0 016 8584 ZE0 0 044 8928 ZW3 0 105 9091

INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

AC

IOacuteN

LIN

EA

L D

E K

305

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES

Tabla AV7 Incremento del error (primera entrada) y ldquopotenciardquo (segunda entrada) para los meacutetodos seleccionados SINCON cpc Los valores en negrita indican que el meacutetodo ldquofallardquo (α=5)

n ZW2 ZW2c ZW3 ZW3c

20 005 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 400 5714

03 252 5714 252 5714 252 5714 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 081 8049 345 7805 081 8049 345 7805

02 -012 7561 227 7317 -012 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 402 8689 203 8852 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 336 8197

02 158 7869 158 7869 158 7869 158 7869

03 -001 7705 165 7541 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 316 8889 316 8889 316 8889 316 8889

01 126 8642 126 8642 126 8642 270 8519

02 152 8148 152 8148 152 8148 152 8148

03 128 7901 128 7901 128 7901 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 385 8911 159 9109 326 9010

01 023 8812 216 8713 216 8713 216 8713

02 033 8416 174 8317 -095 8515 174 8317

03 -004 8218 125 8119 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 172 9353

01 061 9154 061 9154 061 9154 169 9104

02 085 8856 085 8856 085 8856 085 8856

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 079 8005 211 7857 092 7997 221 7840

n ZE0 ZE0c A1 A1c

20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 285 6190

03 252 5714 252 5714 -026 6190 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 276 5238

05 086 5714 086 5714 086 5714 382 4762

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 -067 8293 345 7805 197 8049 197 8049

02 -217 7805 227 7317 021 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 -041 7073 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 -258 9016 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 216 8361

02 158 7869 158 7869 -029 8033 272 7705

03 -157 7869 165 7541 010 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 258 7213

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 -131 9136 316 8889 151 9012 151 9012

01 126 8642 126 8642 -121 8765 270 8519

02 152 8148 152 8148 -004 8272 254 8025

03 128 7901 128 7901 -014 8025 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 159 9109 -153 9208 326 9010

01 -136 8911 216 8713 057 8812 057 8812

02 -095 8515 174 8317 047 8416 174 8317

03 -128 8317 125 8119 002 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 -002 9403 -002 9403

01 061 9154 061 9154 -091 9204 169 9104

02 085 8856 085 8856 -018 8905 163 8806

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 020 8055 199 7868 018 8051 215 7840


Tabla AV8

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los cuatro meacutetodos seleccionados aplicados con y sin cpc (α=5)

n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 A1 0 -020 8607

ZE0c 0 241 7247 ZW2 0 065 8562

ZW2c 0 253 7237 ZW3 0 069 8562

ZW3c 0 261 7208 ZE0c 0 157 8488

A1c 0 268 7203 A1c 0 163 8478

A1 2 056 7496 ZW2c 0 170 8476

ZE0 4 026 7516 ZW3c 0 182 8472

Tabla AV9

Nuacutemero de fallos (F) incremento medio del error ( ) y potencia media ( ) para los meacutetodos claacutesicos de la literatura (α=5)

n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 ZW2 0 065 8562

ZW5 0 192 7247 ZW3 0 069 8562

ZE0c 0 241 7247 ZW5 0 102 8502

ZE0 4 026 7516 ZE0c 0 157 8488

ZW0c 10 -279 7334 ZW0c 2 033 8491

A0 12 -389 7602 A0 2 -040 8602

ZW0 21 -505 7510 ZW0 10 -179 8607

TESIS_I

INDICE_4_FIN

PROacuteLOGO

CAPIacuteTULO I_12_FIN

CAPIacuteTULO II_18_FIN

CAPIacuteTULO III_14_FIN

CAPIacuteTULO IV_9_FIN

CAPITULO V_9_FIN

CAPIacuteTULO VI_11_FIN

CONCLUSIONES_9_FIN

Referencias_3

Apeacutendice Tablas_final

PORTADA APEacuteNDICE TABLAS

Apeacutendice Tablas

Editor Editorial de la Universidad de Granada

Autor Mariacutea Aacutelvarez Hernaacutendez

DL GR 4518-2011

ISBN 978-84-694-5758-0






101080 10629360601026386

















Congresos




2009)













235)



I+D (MTM2009-08886)




AGRADECIMIENTOS




























Albert Einstein

IacuteNDICE

Paacuteg

PROacuteLOGO XIII



I2 NOTACIOacuteN 3







obtienen 7











coherente 13
















I51 Objetivo 28











familia (α=5) 35







de casos) 38


nunca) 39


IacuteNDICE III


































II61 Objetivo 65











(α=5) 77







Capiacutetulo I 81












IacuteNDICE V




































III61 Objetivo 111























LW1 125








IacuteNDICE VII






















IV421 Objetivo 143














ZW4 150



























V61 Objetivo 164



IacuteNDICE IX















ZE0 172


ZW2 172



PRODUCTO CRUZADO


























CONCLUSIONES 187

REFERENCIAS 191


Tabla AI1 202

Tabla AI2 204

Tabla AI3 206

Tabla AI4 208

Tabla AI5 212

Tabla AI6 214

Tabla AI7 216

Tabla AI8 218

Tabla AI9 220

Tabla AII1 222

Tabla AII2 234

Tabla AII3 235



Tabla AII9 240

IacuteNDICE XI

Tabla AII10 241

Tabla AII11 242

Tabla AII12 243

Tabla AIII1 244

Tabla AIII2 268

Tabla AIII3 271

Tabla AIII4 277

Tabla AIII5 278


Tabla AIII9 280

Tabla AIV1 281

Tabla AIV2 287

Tabla AIV3 288


Tabla AIV6 292

Tabla AV1 293

Tabla AV2 298

Tabla AV3 299

Tabla AV4 300

Tabla AV5 301

Tabla AV6 304

Tabla AV7 305


PROacuteLOGO






















i iβ ββ λ β




























al caso aproximado














PROacuteLOGO XV

























obtenidas






















CAPIacuteTULO I







Tabla I1



1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2


K xk yk nk βk

Total a1 a2 n
















coacutemoda











(2007) etc
















3







I2 NOTACIOacuteN










2

22expi i i i

Lz

p q n

(11)




la forma











i

Bndash=

0i

i

















ii i i i

u l Lp

l u L

(14)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(15)


5










12

ii

i

np

donde

2B

n

(17)




tengan dos

versiones

Pa ip

= (17)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




Nz 2Ez 2










expresioacuten (12)

ICW 2

2i i i

i

p qL L z

n

(18)

ICN 2

2i i i

i

p qL L z

n

(19)



22 22 2

222

1

2 2i ii

i i i i i i i

p pn z zl u p z

n z n n n

(110)







ICPa 2

2 2 22 2 2

2 22

2

2 2 i

i

B LBz z n znL L

n z n n n n

(112)

ICPb 22 2 22

2 2 22 2 2 2

2

2

2 2


n nz n n n

(113)

con 2i

I i

Sn

i

I

n n e 1

2i

i

| |I i | B n

n


7


























2 hi=2

2z 2K



3

22

22

11 si 1


0 en otro caso

11 si 1


0 en otro caso

iii

i I

i

iii

i S

spz I K

K

hs

pz S K

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s







Pb3







2

22Wi i i i

Lz

p q n

(114)










9


























22 Σ V i i





ˆ p

2 22i i p l z o 2 2



i i i il u

y

Maacutex L=0 0i i

i i i iu l




22 22 2

0 0

22 22 2

0 0

maacutex

miacuten

i i

i i



p u p l p l u

L Lp l p u p l u

(115)










1 2

1 2

1 20 0 0 1

Ki i i

K

n n n Ki x n x

i i Kx x x i i

nR p q I x x x

x

(116)





1 2

1 20 0 0 1

K

i i i

K

n n n Ki x n x

i i S Ix x x i i

nl p q

x

(117)


11

































































13











coherente












βilt0















0 si 0i

ii i

dz dz dz

dp d d

(118)






2 2

2

2 2

si lt

si gtN

L R Lz

L R L

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i


n n n n






mismo




15




actual



i

np q

x






0 i i i K K KK K K


n p p n p pdpdi


ie

i i ii i i i

i i i i i i i

n p pn p n qC i

p q p q

(119)

















E i i i i i i i i



(121)


i i i iˆ ˆp q C n



VE= 2i i i i








Por otro lado como

2 si2

2 sii

C

B m Cy( C )lim B

C B m C



2 2i i i i ii i i

C C Ci i i


n C R

2 si1

2 sii i i

T h C +n s b

n T h C


i i iT x n x



17

24

0i i ii i i

i i i


s A R

(122)











siguientes

20

20

Si 4

Si 4

i i

i i

L L n C T B

L n T B C L n

(123)



marcas)









2 2 2


i i i i i i i i









2

2 2 2 22

1 2

E

i i i i i i

i i

C z L

R n n bC C

b p

(124)





2

22Ei i i i

Lz

ˆ ˆp q n



2

22

si4

siE

i i

T L B LLz

n n T L B L

con

0 0i i

i i iT x n x

(126)





19




Ez















2z podemos


22I IL z C y 2




2

2 4i

i

L zn

I 2

22

2

z B TL

z T

222

2

z B n T L

z n T

S 2

2 4i

i

L zn



2z










d 2Ez d











2 2 ( )

i i i i

i i i i


d D dp DR d DR

(129)




2 2( )

1Edz LC

d D

2 2 ( )1 iE

ii i

n LdzC

dp DR


21

2 ( )( )i iE

ii i

R A LdzC p

d DR

(130)









2 3

2 32


i i

p q p q bR n bC C C

n n

(131)





1 2 0E EL z L V z V





1L V

22 EL V z 2


aproximados

2 2

2 2 22 22 2 1 22

1 11 2 1 2 2 E

L V Vz L z z V z

V VV L V V

(132)












2 2

2

1


i i i i

bV p q b p q

n n nV K n



2 22 2 2

1

con2 2

i i i

i

z V x hb zL h

V n K









( 22z 4)






23















12

2

si

si E

L N B Lz

L N B L

2 2

1 2 2 22 2

1 2 2 2

N L z B N L z BL

N z N z



2

2 221 2 12

2

42

j j j

j

zCI L B B N z V

N z

22

2 2 22 2 22 2 2 2 12

1 12

42

j j j j j

j


V VN z









2222

22 2

2

1

2 1

ij ii

j

i

ij ii

j

nn

K N zzh

nn z

K N z

y

22

22

(1 ) si

2

(1 ) si

2

i

i

i

z I KL

Khz S K

LK












1 2 1 2

0i i K KK ii i

i i i K i K K i K

p pdV V dp V V VV

dp p dp p p p n n

(ineK)









25


seraacute aV



2

222

4

2Pa

i

i

Lz

B

n n

(134)








lt0 ( ip


sustituirlo por ip

=0 ( ip


=0 y esos




2

22 21

con e 4

i iPb b iI I

b i i

L | |z V n I i | |

V n n

(136)




valores de ip




entre 0 y 1)








con 4 2g V L

2i i n



2 2| B L | | B | n 2i i n 2






1 2Pa i iL dz dp











2p =116






27





muestral



2

2 si

0 si

i i i iexpc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(137)










2Ecz L L c siendo 2

Ecz el









I51 Objetivo






habituales para L)















del 10)

K=3 (n1 n2 n3) = (10 10 10) (30 30 30) (30 10 10) y (30 20 10) (1 2 3) =

(13 13 13) (1 12 12) (1 12 2) y (1 1 1)

K=4 (n1 n2 n3 n4)=(10 10 10 10) (20 20 20 20) (20 20 10 10) y (20 15 10 5)

(1 2 3 4) = (14 14 14 14) (1 +1 1 +1) (13 13 13 1) y (3 1 1 3)




29















real























una tabla a otra
















muestral)




continuacioacuten




31

W4 hi = 2

22i

i

n z

Kn z

W5 hi =

2

22

nz

K n z

W6 hi =

2

2 22 2i

i

nn z

K n z n nz






W7 2

2 1ih i

ih ih

n zh

N

W8 22

22

1

2 1

ih ii

hi

ih ii

h

nn

K N zzh

nn z

K N z




W9

2 2

1 2

2 2



4 4

i i i i

i

i

z zp x

K Khz K z K

x K K

W10 (nueva) 2

12

ii

i

z nh K

K n






















continuacioacuten



adjusted Wald)

EA1 2

2 22 21

1 12 2

V VL L z z V z

V V

EA2 2

2 22 2 312 2

3 1 1 1 1

1

1 2 2

V V VL L z z V z

z V V V V V

EA3 2

2 2 32 21

1 1 12 2

VV VL L z z V z

V V V

con 2 3 2 4 31 2 3 5 1





33

3 2

22

1

i ii

i i

b nV

V n

4 3

32

1

i i

i i

nV

V n



de EA1






1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 si 1 2


1 si 01 si 1 2

0 en otro caso

i ii i i i i i

iii

iii ii i i i i i

p s N n B b

s

p s N n B b



EA4 2

2 212

42

h h h h

h

zL L B B N z V

N z

EA5 22

2 2 22 212

1 1

42

h h h h h h

h


V VN z

















APa01 2

2 2

2i

i

B LzL L

n n














meacutetodo Pa0




35


mejor meacutetodo




















el meacutetodo W3




(=5)






























comportamiento)





37
















fiable)













i I SΒ L

0i

+iΒ






anteriores


casos)



22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0

con 1 si 0

ii

i

s



2

2i i i

i

p qL L z

n

2

223

i i iW

i

p qz L

n





39

2 22 2 2

22 2 20 22 2

2

2 4

2 2 2 i

Pa

i i

i


n z n n n n B

n n









Tabla I2

Fibra CON SIN




















Tabla I3


Bangladesh

Brasil

India

Peruacute

Vietnam

Total

158

107

175

092

143

675

73

32

44

34

104

287

158675

107675

175675

092675

143675

1




22z = 2

2 5 z =1962 y 2 2 2 21 2 30 15 1 96 30 30 1 96 7 5 1 96i iL C R a



















41





E0 00719 03164 03934 03162 04581 03161 04256 00349

W3 00646 03162 03876 03162 04522 03162 04256 00348

Pa0 ndash00646 03520 ndash03876 03454 04522 03428 04256 00372

CAPIacuteTULO II














Tabla II1



I x1 y1 n1 β1=1

II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n











caracteriacutestica



















literatura

II2 NOTACIOacuteN










Z

2

2

1 1 2 2

1 2

1 1Z

d δz

p p p p

n n

(21)

X 2

22 si | | 0

0 si | |=0

i i ii

X i i

n p pχ d δ

z p q

d δ

(22)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

y

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(23)























1 1 2 2

si d

si d

p u p l

p l p u

(25)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(26)






a np

n

y 1 1

2 1

+a np p

n

(27)



versiones

Ca ip = (27)







22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y 1 3 2 3cos A B



2

n np

n

y 2

2 1 2

n np p

n

(29)


sea un


tenga dos versiones

Pa ip

= (29)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




ZNz

2ZCaz 2

ZCbz 2ZEz 2

ZPaz 2ZPbz 2










conocido)









L (I S) = 2

2 22 22 2 1 2

1 12 2α α α

V Vd z z V z

V V

(210)

en donde

1 1 2 21

1 2

p q p qV

n n y

1 1 1 2 2 22 2 2

1 2

2 1 1 2p q p p q pV

n n

(211)






1 22 2

2 1 21

1

1 2

2 1 1 2

Si = 0 1 1

p p

V n nV

Vn n










1 hi =05 (Woolf)


3 hi=2

2 4z


4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p



anteriores












1 1 2 22 1 2 1

1 2


n n





dd plusmn 1 1 2 22

1 2

p q p qz

n n












ZW 2

2

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p qn n

(212)


1 2

p q p qz

n n (213)











ICZN

2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1

d z l l n u u nd

d z u u n l l n

(214)


ZN

2 1 1 2 2

1 22

2 1 1 2 2

1 2

1 1 si

= 1 1

si ZN

l l u ud d

n nz

u u l ld d

n n

(215)







2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

I

S

d u p p l

d p l u p











forma

ZCab 2

2

1 1 2 2

1 2

ZCa b

dz

p q p qn n

(216)





ICZCa 2 0A B C con

222 2 1 1 2 1 2

22 2 1 2 1 1 2

2 21 2 2 1 2

2

A z n n n n nn n

B z n n a a nn n d

C nn n d z a a

(217)










ZE 2

2

1 1 2 2

1 2

ZE

dz


(218)













el valor 1p



ZPa 2

1 222 2

1 2

4

4ZPa

nn n dz

n n n

(219)

ICZPa 2 2

222 2

1 24

n z dd n d z n z

n n n

(220)



lt0 o ip

gt1) lo









Zc 2

1 1 2 22

1 2

si

0 si Zc

p q p q| d | c | d | c

z n n

| d | c

(221)



























2

2exp

O E

E



obtiene que

2 2 2

1 1 1 2 2 22

1 1 1 2 2 2

i i iexp

i i

x n p x n p n p p

n p q n p q p q

(222)






22

1 11 2

1 1


(223)









22 2

2 22 22 1 1 1

1 2

1 2

ˆ( )ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 )ZE XE

x n pp p x n pz z



1 1 2 12

2 2 2 1

1 si 0 1=

1 si 1ZE



(224)










A 2

1 22

1 2

A

n n dz

n n

(225)






AE 2

1 22

1 2

AE

n n dz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

ˆ ˆsin p sin p

(226)






iterativos







1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(227)

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(228)










valor nominal









1 1 2 2 211 21 2 0

1 2

1 1n x x n xx

RC RC


x x

(229)




1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x









sigue


























































otro caso






el 50 de las veces












































2

2

1 2 1

L

dz

V d V V

(231)







1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n









1 23 4h z y 22 2 4h z


superior








que el estimador ip


lt0 o ip

gt1) Si se obliga




2 2 21 2 1 22



i i

ZPb

i i i i


V n n n

(232)








22

2 212 12

1 2 1 1

4 12 2

X

sz znd z n sd sd

n z n n

(233)














1 2 1 2

1 2 1 2 2 12

2 1 2

2 2 2

2

1 1


1 con si o

1si o

ZCb

p p p p a a a a

n n n n n n

d p p a az V=

V n n n

p p a

n n

1

1

a

n

(234)






2 2 2 1 12B z n a a n n d


22 22 2 1 1 2 1 22 1 2 1 2

1 2 2 2 21 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1 2

221 2 1 2 1 22 2 2

ZCb 2 22 2 2 22 1 2 2 2

21

21 2

4

2 2

IC 2 2

i i

i

i


nn n nnn n

nn n n n n n z


n n n z n n nn n

n n

n n n

2

2 2 1 2 2 2 1 12 22 2 2

2 1 12 2

i

n a a n z p qd z z

z n n nn n











Ac 2

1 22

1 2

si

0 si

Ac

n n d cd cz = n n

d c

(235)


















1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x




p DRC

P x x | H










II61 Objetivo








valores de l









especificaraacuten






















2exp z z









































menos fallos










meacutetodo que B)



























a demasiados fallos




conservador)














continuacioacuten






ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si Utilizar 1

Si Utilizar 1

p p x x

p p x x




le haya descartado


cantidad fija



ZW5

22

222 2

i i

i

n zh

n z

ZW6

22

2 22 24 2

i i

i

nn zh

n z n nz

ZW7

222

24

i

nzh

n z

ZW8

2 2

2 2

2 22 22 2

i

i

i

n z n zh

nn z n z

ZW9 2

222

1 11

4 2

i i

zh z

n n

ZW10

22 2

2

22 2

2

11

4

14 1

4

i

hi

i

h

zn z

nh

zn z

n

ZW11 2 2

2 22

4 2

i

z n zh

n

ZW12 2 2

2 214 2

i

i

z zh

n




ZW13

22

1

22

2

si 2 1

si 2 1

i i

ii

i i

i

I n zd

N Ih

S n zd

N S

ZW14

221 22

22 2

1 2

222 22

22 2

2 2

1

2 si

2 1

2

1

2 si

2 1

2

i ii

i ii

i

i ii

i ii

I nn

N zzd

I nn z

N zh

S nn

N zzd

S nn z

N z

en donde

1 21 2 1 1 1 1 2 2

1 2

1 21 2 2 2 1 1 2 2

1 2

1 si 0 1 si 1 2 1 1 2

0 si 0 0 si 1

1 si 1 1 si 0 2 1 1 2

0 si 1 0 si 0

i i

i i


p p


p p

(236)




ZW15

22

22

si 0 y 14

en otro caso2

i i

i

zp p

hz

ZW16 2

2

1 2

21

4i

z nh

n n




ZNC0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d


ZNCA0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d









indica)

ZCb0

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p a +n n a n a n

p a n n p a n a n



estadiacutestico

ZCbD0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p a n a n

p p a n a n







ZCbA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p =p a n a n

p p p a n a n

ZCbDA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p d a n a n

p d p a n a n



ZCbAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22

2 2

22 2 12

22 2 2

2


2

si o 1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a

n n n np p p p z

n n n

n z d c

n a az =

np p z

n n

2

22

1 2

11 2

21 11 1 2

1

2

si o 1

2

n

n z d c

n a a

n np p z

n n

ZCbDAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22 2

2 2 2

2 22 2 1

22 2

2

2 2


2si o

1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a


z n zd sig c

n n a az =

n nd d z

n n

d sig

22 2

2 1 2

1 1 1 2

21 1

2

1 1

2si o

1

2

z n zc

n n a a

n nd d z

n n











viene dado por

ZCbN0

si

si

si

i i i i i

i i i i

i i i i

p p l p u

p l p l

p u p u



ZPb01

2 2 21 2 1 2

24 4 si 2 maacutex


i i

exp

i i i i


V d d n n n

ZPb02

2 2

21 si 2 maacutex


i i

exp

i i i i

d n n nd cz V=

V d d n n n





2 2i n z n



































3 33 1 1 1 1 1 2 2 2 2 25 1 5 1V p q p q n p q p q n



LA0

2

2 22 2 32 2 1 2

2 3 1 1 12 2

1

1

2 21

V V Vd z z V z

V V V VzV



aproximacioacuten

LB0 22 22 2 1 2 1 2 2 1 3 12 2 d z V V z V z V V V V


1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n

y 3 3

3 1 2

1

1 2

1 1

1 1V n n

Vn n






LC0

22 22

2 122

42

h h h h

h

zd B B N z V

N z

LD0 22

2 2 22 2 22 2 2 12

1 12

42

h h h h h h

h


V VN z

















equilibradas









equivalente al ZW3























anterior


















resultados






















con cpc)









muestras moderadas)




























demasiado liberales














demasiado liberales












preferibles son


















II64 se observa que







respectivamente





Capiacutetulo I






































Caso General


el IC)














2

1 1 1 11 2 2 1 2 1

21

1 2

AE


n n

(237)



2 2 1 12c n n n a 3c n 22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y

1 3 2 3cos A B








21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p



1 1 2 22

1 2

p q p qd d z

n n 2

24

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p q

n n

(238)









2

2 11 22 1

1 1 220

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y 2

si 0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq


(239)




2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 220

1 21 2 2 1

si 1 si con

2 si 0 si ZE c


n nx y x y c




2

2 11 22 1

1 1 223

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y

2 si

0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq

q a nn nc n n

n n np p c

(240)


2

1 2 2 11 22 1 2 2 1

3 1 2 1 21 2

1 2 2 1

1 si si con

2 si 0 si

ZE c






2

12 2 13

2

1 2

con 1 1

ZE

p a np pz

q a npq

n n

(241)


2

2 1 2 2 13

1 2 1 2ZE

x y x yz n

a a n n

















l(AE1) = 01772





Tabla II2





Total 152 12 164




















CAPIacuteTULO III
















para R

Tabla III1




II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n





















literatura

III2 NOTACIOacuteN









Z

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1Z

p ρpz

p p p pρ

n n

(31)


R

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1R

p ρpz

p p p pR

n n

(32)

L

2

2 12 1 2

1 1 2 2

2 1

si 0

0 si =0

L

ln R ρ| p ρp |

q qz

n p n p

| p ρp |

(33)

X 22

2 12 2

2 1

si | | 0con =

0 si | |=0 i i i i

X ii i

χ p ρp n p pz χ

p qp ρp

(34)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

donde

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(35)



Zz 2Rz hellip 2





















N (Newcombe) 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2 2 1

si 0

si 0

p u p l p p

p l p u p p

(37)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(38)





C (Condicionado) 11

1 2

ap

n n

y 2 1p p (39)



versiones

Ca ip = (39)






2

1 2 2 1 1 2 2 1 1

1

4

2

n x n x n x n x nap

n

y 2 1ˆ ˆp p (310)




x xp

n

y 2 1p p (311)


exigir que ip


ip

tenga dos versiones

Aa ip

= (311)

Ab ip


=1 si ip

gt1)



2

n np

n

y 2 1p p

(312)




tenga


Pa ip

= (312)

Pb ip


=1 si ip

gt1)




2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz 2

ZPbz 2RWz hellipy 2





















excluirse














1 hi =05 (Woolf)



3 hi=2

2 4z

4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p









III311 Generalidad







2 1 1 2 22 1

1 2

0 d p q p qp p N

n n


















ZW 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p qn n

(313)

ICZW R 21 2 1 22 22

2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2

11 ( )

y y y yRz z


(314)









forma

ZCab 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZC

p pz

p q p qn n

(315)









forma

ZE 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZE

p pz


(316)





22 2 2I n n z 2









valor 1p




ZPb

2 2

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

222 2 1 1 1

2

1 2 1 2 2

4 si

1 si

1 si

ZPb


z n p p n n n

n p p n n n

(317)













1 1 1 2 2 2dln R N ln q n p q n p






mismas





Ahora

LW 2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z


(319)
















LZ)

ICLZ

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2


R


(321a)




LZ

2

2 2

1 1 2 2

2

2 2

1 1 2 2

1 si

1 si

ln RR

ln u ln p ln p ln l

ln RR

ln p ln l ln u ln p

(321b)











seccioacuten III633









vienen dados por

LCb 2 2 1 2

1 1 2 2LCb

q qz ln R

n p n p

(322)

LE 2 2 1 2

1 1 2 2LE

ˆ ˆq qz ln R

ˆ ˆn p n p

(323)








XE

2 2

1 1 2 22

1 2 1ZE

ˆ ˆx n p x n pz


(324)








XCb

2 2

2 1 1 2 2

1 2 1XCb

x n p x n pz

n pq n p p

(325)










ZCbz 2ZEz 2

ZPbz

2XCbz 2











1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(326)



1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(327)











1 1 2 22 11 21 2 0

1 2

1 1n x n xx a

RC RC


x x

(328)




1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x


























































comportamiento)







ZN

2

2 1

2 1 1 2 2

1 22

2

2 1

2 1 1 2 2

1 2

si 1 1

=

si 1 1

ZN

p pR

l l u u

n nz

p pR

u u l l

n n

(330)

ICZN

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

1 2 2

2

1 2 2

2


R


(331)









LN

2 1 2

21 1 2 22

1 2 2 1 2

1 1 2 21 1 2 2

1 1si

1 1si

LN

u lln R R

n u n lln R z


(332)

ICLN

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

exp 1 1

exp 1 1

R p u p lR

R p l p u

(333)










2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆn p n p C p p y 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆn p n p C p p


que

2 22 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ 2n p n n p C p p (334)








1 1 1 2 2 2 21 1

1

ˆn p n p n

p pn

(335)


2 2p p 1 1 1 2 2 2 1

2

n p n p n

n

(336)







ip

=1 cuando ip












(33) (34) y (35)






1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

si

1 si

1 1 si


p p x n x

p p n x x



ZAb

2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(337)




2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 2

2 2 0

2 0

2 0


n p z n p p z n p

n p n p p z n p z


proceso siguiente


2222 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1

1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

2

2 2


Rx nn p z n x

(338)







2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(339)


2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(340)










ICZPa 2

1 2 2 1 2 1 2

21 2 2 1

4 2

4

np p z a z n n nR

np n z n

(341)



















2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RW

p ρpz

p q p qR

n n

y

2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RN

p ρpz

p q p qR

n n


21 2 1 2

1 11 α

nρ R z

x x n n

y 1 1 2 22 2 2

1 1 2 2

1 α

p q p qρ R z

n p n p












memoria)









2 0p 20 1p 2 1p

1 0p 3 1 3 1 3 3

1 3 1 1 1 1

10 1p 1 1 1 1 1 3

1 3 1 1 1 1

1 1p 1 1 1 1 1 3

3 3 3 1 3 1






Zc

2

2 1

2 12 2 1 1 2 2

1 2

2 1

si 1 1

0 si

Zc

p p cp p c

p p p pz = n n

p p c

(342)




Ac

2

1 2 1 22 si

0 si Ac

n n d c n n d cz =

d c

(343)



















1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x




p DRC

P x x | H

con RC aludiendo al







III61 Objetivo













siguientes

LW3 y LW4













ρ= 001 01 02 05 08 1 125 2 5 10 y 100










2exp z z






nominal)























menos fallos










































ellos falla































ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si 0 Utilizar 1

Si 0 Utilizar 1

p p x x

p p x x






















































baja potencia)





siguiente


extremos de


























en la misma




















promedio






































ZAb1)


















conclusioacuten es






















































2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(344)






222 2 2 2 1 12

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

22 2


x nn p z n x

(345a)




2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 22 0 n p z n p p z n p


2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(345b)


2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 22 0 n p n p p z n p z


2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(345c)





21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p




21 2 1 2

2 1 1 1 2 2 1 1 2 22

1 1

11

y y y yRR z z


2

2 124

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p q

n n

(346)




2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z


y 1 2

21 1 2 2

y yR R exp z

n x n x

(347)










Tabla III3


independientes


Virus

Inoculado

SIacute 11 35 46

NO 48 54 102

Total 59 89 148







(150485)115 = 88261












= 21917




los valores exactos

Tabla III4


Test



NO ( E ) x2 y2 n2

Total a1 a2 n








la Tabla III1)





















11

11 1

p SN pVPP

p SN p EP p

con

1 1EP

SN RVP (348)

11

11 1 1

p EP pVPN

p EP p SN p

con 1 SN

RVNEP

(349)
















capiacutetulo)

Tabla III5


Resultado del test

+ ndash Total


+ 240 178 418

ndash 87 288 375

Total 327 466 793





875(7952405) = 01578 03291 04928 (795875)2405 = 29418














superior

CAPIacuteTULO IV















Tabla IV1



1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2

Total a1 a2 n





















IV2 NOTACIOacuteN









i

le λ le0i

i




Z 2

22Zi i i i

Lz

p q n

(41)



















(1927)



ii i i i

u l Lp

l u L

(43)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(44)








1 2 2 1

a np

n n

y 2 1 1

21 2 2 1

a np

n n

(45)



versiones

Ca ip = (45)







32c

y 1 3 2 3cos A B




1 1 2 2 21

1

x x np

n

y 1 1 2 2 1

22

x x np

n

(47)


exigir que ip


los estimadores ip


Aa ip

= (47)


Ab ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)



2 1 1 2 11

1

2

2

n n np

n

y 2 1 1 2 1

22

2

2

n n np

n

(48)




estimadores ip


Pa ip

= (48)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz y 2





















1 hi=05 (Woolf)


3 hi=2

2z 4

4

22

22

1 si 1 21 2 con si


1 si 01 si 1 21 2 con si

4 0 en otro caso

i iii

ii i

ii iii

p sz II L

h sp sz S

S L

















ZW 2

22ZWi i i i

Lz

p q n

(49)













ZE 2

22ZEi i i i

Lz

ˆ ˆp q n

(411)






que el estimador ip




ZPa

2

222

4

2ZPa

i

i

Lz

B

n n

(412)

ICZPa 2

2 2 22 2 2

22

2

2 2 i

i

B LB z z n znL L

n z n n n n

(413)






=0 si ip

lt0 y que ip

=1 si ip

gt1 obteniendo












convexidad






nominal




IV4 APORTACIONES









ZN

2 2

2

2 2

si lt

si gtZN

L R Lz

L R L

(414)

ICZN

2

2

L z RL

L z R

(415)

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i


n n n n




distintos
























ip

=0 cuando ip

lt0 y que ip

=1 cuando ip





ZA 2

22 ZAi i i i

Lz

p q n

(417)









0 1 1 2 2 2H p q 0 1 1 2 2 1 2H q q y 0 1 2 1 2 1 vH p p
















i isin p y











son de la forma

2 1 2 2 1 22 1 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n na np q

n n n n

1 1 2 1 2 11 1 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x y n na np q

n n n n



2 1 2 2 1 2 2 1 2 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n n x x np q

n n n n



1 2 1 1 1 1 2 1 2 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x x n x y n np q

n n n n






















Zc 2 2

2 si

0 si

i i i iZc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(418)




ZEcz








IV421 Objetivo


























Tabla IV2




40 40 +3 +1 +05 2 40 100 +3 +1 +05 2 60 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

40 60 +3 +1 +05 2 +1 +3 +05 2 +1 +3 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +1 +5 +05 2 +1 +5 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

+1 +3 +05 2 60 60 +3 +1 +05 2 100 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+1 +5 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1








seccioacuten IV414)



son equivalentes












IV2





1 1 2 21 2

1

1 21 1 2 2

1 2


A p BRC

n np p p p

x x

(419)

en donde

2 1 1 1 2

1 2 1 1 2



A B

A B

y 1 1

22

pp

(420)




1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x


x x















1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x

(421)




1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(422)














menos fallos










observa que



















similar
























































Casos de 12 y 1=2




Casos de 1=2









2

22ZWi i i

i

Lz

p q

n

y

2

2i i i

i

p qL L z

n

(423)




22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s

















Tabla IV3




Brasil

Peruacute

Total

107

092

199

32

34

66

107199

092199

1



Brasil

Peruacute

Total

1089208

0939208

2028416

329604

349604

679208

107199

092199

1

CAPIacuteTULO V











de dos colas para p















V2 NOTACIOacuteN







indica

Z

2

2

1Z

p πz

p p

(51)


G 2

2 11 1G

p πz np p ln ln

p π

(53)




Zz 2Lz 2

Gz 2Az ) con 2

2z (en donde














W (Wald) p x n (55)






ZEz

2LWz 2

LEz 2GWz y 2























1 h =05 (Woolf)


3 h= 22 2z (Chen)

4

22

22

1 si 11con si

0 si 12

1 si 01con si

0 si 02

pz I I pgt

ph

pz S S plt

p

5

Si sustituir por 1


p p x n

p p x n

(Barkowf)







ZW4 ZW5hellip A5



V311 Generalidad



continuacioacuten

dp N(p pqn)
















ZW

2

2

1ZW

pz n

p p

(57)








incremento h= 22 2z







pS






ZE

2

2

1ZE

pz n

(59)

ICZE p 22

2 222

2

1

2 2

p pz znp z

n z n n n

(510)








Zc

2

2 si 1

0 si Zc

| p | cn | p | c

z p p

| p | c

(511)
















GW 2

2

1GW

pz ln ln npq

q

(512)

ICGW p

11

21 zqexp

p npq

(513)












(514)












0

(1 ) ( )n

x n x

x

nR I x

x

(515)

0

(1 )n

x n xS I

x

nl p p

x

(516)






utilizar




test seraacute

100 1n xx

RC

n

x

(517)


| (1 )x n x

RC

np p p

x















aconsejado











ZW3






































alternativa)











GE 2

2 1 1GEz ln p q ln n (518)


ICGE p 1

1

21 1

qexp z n

p

(519)













seleccionaraacuten






Ac 2

1 1 1 12

1 1

4 si

0 si Ac


| sin p sin | c

(520)



















0

n

x

P x | H I x

en



RC

P x | H con RC







V61 Objetivo













especificaraacuten







n= 20 40 60 80 100 y 200


































menos fallos











seleccionados



















































los datos al autor)








de modo general que






vuelve a ser el ZW3









y ZW3 van bien)













































tanto para ngt60
























PROPORCIOacuteN









2

2 1 11

0 54 1

1A

x z sin sin n

n

y

2 1 20 5

1 2 1zx

p sin sinn n





2

20

1ZE

x nz

n

y

2 22 2

2

22

2 4

x n xz zx z

npn z




2

22

2 4

4 2 2ZW

x nz

n x n x

y

2

2 22

44

x n xx z

npn











Tabla V1



630 - 1651 (1021 )

637 - 1637 (1000)

616 - 1611 (995)

n=29 x=1

000 - 1890 (1890 )

061 - 1718 (1657 )

022 - 1548 (1526 )











CAPIacuteTULO VI


PRODUCTO CRUZADO


































Tabla VI1



1 x1 y1 n1

2 x2 y2 n2

Total a1 a2 n

VI2 NOTACIOacuteN









X 2 2

2 i i i i i iX

i i i i i

n p p x n pz

p q n p q

(61)

L 2 2

2

1 1 1L

i i i i i i i

lnO lnθ lnO lnθz

n p q n p n q

(62)




Xz o 2Lz ) con 2


















2

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

11

1 1 12

2

4 1

2 1


n

ˆa n pp

n

(64)











2XEz y 2











1 hi=05 (Woolf)













sucede que


12

11 1

pp

p

(65)







1 221 4 2

p B B AC A

y 2 1 11 1ˆ ˆ ˆp p p (66)










2

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11

2

2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 12

14 1

2 1

14 1

2 1



(67)







2

22 1 1 121 1 1 1 1 2

1 1

11 1 1XE

i i i



(68)




2

22 2 2 222 2 2 2 2 1

2 2

11 1 1XE

i i i



(69)





22 1 2

2 1 11 1 1 1 1 2 1 1

n nˆz x x


2

1 11 1 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1ˆx x




1 1 1 1

1 2 1 1

ˆ ˆa x n x

ˆ ˆx n a x

(610)







2 1

2 1 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1dp p











22 1 1LW

i i i

z ln O x n x

(611)

ICLW 21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

(612)










22 in a n ) con i=1 o 2








2

2 si


Xc

i i i


| x n p | c

(613)



2

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 si

0 si i i i

XEc


ˆ| x n p | c

(614)







2 2 22 1 02 2 2

2 2 1 2 0

2

2 2u


a h a hn n exp ψ

(615)




2

0

1 1 1 2 2 2e

ψ ψW

n x y n x y

donde ψ ln O (616)







1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(617)

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx xS I

x x

n nl p p p p O O

x x

(618)







































inferioridad

VI4 APORTACIONES




































221 1 12

0 1 1 21 1

1 1 1XE

ˆx n pˆz n p n

ˆ ˆp q

(619)


1

21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1

si 1

4 1 si 1

2 1

a n


n








21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

y

2

21

1 1LW

i i i

ln O z

x n x

(620)










Tabla VI2

Factor de Riesgo


Casos 20 30 50

Control 10 40 50

Total 30 70 100



09072)





pequentildeos

CONCLUSIONES















conocidos












estudiados







cociente















Caso Nordm de




K ge 3 20 17




75 64




K=2 COCIENTE DE



K=2 RESTO DE CASOS

35 31






30 22



CONCLUSIONES 189






observarse que



general y K=1)









esta memoria

REFERENCIAS
























Publications











York







3679-3695







3453-3465




1735-1737



12 37-58









943-956

REFERENCIAS 193















593-602






141














900

































REFERENCIAS 195










Journal 46 (3) 305-319



Analysis 45 (2) 373-388







17 555-574









Biometrics 40 (4) 1175-1176



2183



Medicine 4 213-226













1271-1282



Association 88 (422) 656-661


Medicine 22 201-212



449-456






5046-5053



Medicine 8 593-598



REFERENCIAS 197













bimj200710410



386-394






Journal 50 (5) 782-792






275-278



138 (6) 1884-1893













(1) 81-89




371-375
















53 1080-1085


202

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI1




i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

917

940

916

921

320

717

383

381

027

016

024

022

892

36

962

830

956

952

955

954

883

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

955

952

954

954

891

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

970

956

967

964

895

931

935

929

030

017

026

023

01

00

00

00

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

904

936

927

930

211

752

388

350

057

034

044

041

983

87

477

323

955

952

954

954

876

922

921

900

058

035

044

041

06

00

01

01

955

951

954

953

876

922

921

900

058

035

044

041

08

00

01

00

969

956

965

962

931

930

925

928

064

036

047

043

00

00

00

00

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

892

932

877

871

195

581

373

307

106

064

097

096

993

217

973

968

954

951

954

953

879

930

894

897

109

065

102

100

14

00

47

82

954

951

952

952

875

931

877

897

109

065

102

100

18

00

64

109

969

956

967

966

907

941

915

910

118

066

109

107

01

00

06

33

i = (1 1 1)

101010

303030

301010

302010

916

940

916

921

456

687

494

318

082

049

072

064

891

35

960

836

956

952

955

954

900

925

901

907

083

049

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218

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953

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896

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219

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976

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220

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AS

Tabla AI9




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20201010

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20201010

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949

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953

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950

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953

953

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217

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06

14


AP

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E T

AB

LA

S

Tabla AII1



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100 100 00 -1536 7893 -060 7866 -060 7846 -060 7846 -060 7831 01 -7606 7933 -4973 7905 -3668 7886 -3668 7886 -1442 7872 02 -8381 8029 -7222 8009 -5795 7999 -5795 7999 -4000 7993 03 -8587 8197 -7877 8172 -6388 8168 -7001 8170 -5385 8166 05 -8644 8673 -7348 8674 -5618 8690 -5618 8686 -3145 8679 07 -8102 9261 -4123 9279 -2464 9296 -2464 9298 -447 9286 08 -6616 9551 -2212 9576 -304 9594 -785 9598 -042 9588 09 -4013 9812 -076 9832 -030 9851 -020 9849 006 9844 095 -2078 9917 155 9933 -143 9948 -095 9946 -095 9946

Media global -4917 8552 -2349 8551 -1741 8556 -1746 8556 -940 8534


n1 n2 L0 L1 L2 L3 L4 40 40 00 -4504 6901 -410 6686 -088 6591 -090 6615 -015 6520

01 -431 6913 -059 6805 013 6746 013 6746 024 6686 02 -060 7079 -023 7032 063 6972 063 6972 071 6936 03 -077 7388 035 7377 066 7317 049 7329 049 7305 05 -016 8209 012 8180 -105 8251 -105 8239 -105 8215 07 -057 9018 -032 9084 -211 9120 -184 9108 -160 9084 08 126 9411 -060 9477 -507 9542 -507 9542 -504 9536 09 -131 9792 034 9786 -553 9833 -553 9833 -553 9833 095 -004 9911 -906 9941 -2733 9964 -906 9941 -2225 9946 60 00 -4607 7061 -281 6981 -048 6901 -048 6909 -025 6853 01 -492 7113 -119 7057 -074 7005 -074 7001 -048 6961 02 -126 7309 -008 7273 040 7237 040 7241 042 7217 03 -057 7613 -013 7593 -045 7585 -045 7585 -006 7565 05 -029 8345 008 8357 -038 8361 -029 8357 -004 8341 07 -057 9136 -017 9160 -196 9188 -154 9184 -133 9168 08 010 9492 -100 9532 -299 9552 -299 9552 -295 9536 09 -118 9804 -251 9828 -916 9860 -916 9852 -916 9852 095 020 9912 -620 9936 -1816 9956 -1816 9956 -1816 9956 100 00 -5023 7264 -751 7196 -053 7134 -053 7134 005 7085 01 -658 7322 -242 7274 -203 7245 -203 7249 -194 7213 02 -315 7532 -103 7498 -117 7474 -117 7474 -078 7457 03 -123 7807 -064 7793 -114 7783 -068 7776 -032 7759 05 -164 8510 -062 8500 -198 8512 -186 8505 -168 8491 07 -119 9227 -129 9249 -304 9261 -310 9266 -299 9249 08 -204 9553 -117 9573 -376 9589 -376 9589 -375 9575 09 -485 9838 -232 9845 -739 9865 -739 9865 -739 9865 095 020 9928 -780 9947 -1840 9961 -1840 9961 -3621 9964

60 60 00 -4505 7369 -430 7304 -126 7218 -126 7229 -030 7186 01 -238 7417 -046 7364 006 7321 006 7321 019 7304 02 -083 7589 001 7573 033 7530 019 7536 027 7519 03 -009 7847 010 7847 015 7845 007 7850 007 7839 05 -019 8519 -024 8543 -005 8533 -001 8533 -001 8522 07 -037 9234 -012 9242 -191 9258 -071 9253 -071 9242 08 042 9546 -087 9581 -323 9594 -307 9589 -300 9583 09 -040 9831 -308 9855 -916 9858 -286 9852 -286 9852 095 184 9925 -314 9944 -1326 9960 -1326 9960 -1326 9960 100 00 -4721 7603 -356 7557 -173 7515 -173 7515 -123 7489 01 -446 7664 -223 7630 -145 7606 -145 7608 -076 7596 02 -125 7838 -016 7817 002 7799 002 7797 007 7788 03 -074 8085 -019 8072 -015 8065 -021 8065 000 8056 05 -069 8692 -008 8690 -025 8692 -038 8697 -027 8689 07 -051 9322 -047 9331 -140 9346 -140 9344 -097 9336 08 -095 9607 -115 9620 -383 9635 -202 9635 -178 9627 09 -136 9847 -245 9862 -739 9878 -739 9877 -739 9875 095 097 9938 -366 9951 -1840 9963 -1303 9961 -1303 9961

100 100 00 -4505 7921 -447 7868 -158 7844 -158 7844 -073 7829 01 -174 7972 -047 7947 001 7922 001 7926 001 7920 02 -095 8127 -011 8113 020 8092 020 8092 020 8086 03 -009 8331 002 8329 001 8332 -007 8332 -007 8328 05 -069 8862 -006 8869 -019 8863 -015 8863 -015 8859 07 -090 9423 -013 9420 -121 9429 -119 9428 -081 9424 08 -095 9654 -015 9669 -212 9689 -223 9691 -222 9687 09 -136 9864 016 9875 -305 9888 -305 9888 -291 9883 095 137 9947 -156 9956 -807 9965 -807 9965 -807 9965

Media global -375 8653 -142 8647 -372 8644 -306 8643 -352 8629


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII2


Meacutetodo F α θ

ZW4 0 017 8630

ZPa0 0 023 8472

ZPb0 0 057 8466

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

ZN0 4 -060 8657

ZPb1 8 -011 8478

ZPa1 8 -043 8484

ZE0 12 -081 8654

ZW1 16 -066 8647

ZE1 20 -127 8652

ZPb3 20 -133 8481

ZCb1 20 -151 8658

ZPb4 20 -157 8470

ZPb2 24 -157 8480

ZPa3 26 -191 8485

ZPa4 26 -215 8475

ZPa2 30 -213 8485

ZN1 32 -239 8657

ZE4 40 -369 8632

ZE3 42 -353 8651

ZE2 44 -365 8651

ZN3 50 -556 8652

ZN2 50 -571 8653

ZN4 50 -805 8641

ZCb3 54 -404 8659

ZCb2 54 -421 8659

ZCb4 54 -491 8648

ZW0 72 -389 8652

Meacutetodo F α θ

XCb0 96 -1654 8718

XCb3 96 -3282 8754

XCb2 96 -3282 8753

XCb4 96 -3351 8742

XCb1 96 -3750 8768

XPb4 102 -8239 9669

XPb3 102 -8315 9672

XPb2 102 -8315 9671

XPb0 102 -8341 9676

XPb1 102 -8345 9676

Meacutetodo F α θ

AE1 0 016 8621

AE4 10 -059 8611

AE3 10 -063 8625

AE2 12 -078 8625

AE0 20 -183 8615

APb4 54 -940 8534

APb3 72 -1746 8556

APb2 74 -1741 8556

APb1 74 -2349 8551

ACb1 96 -1043 8710

ACb4 96 -1074 8706

ACb3 96 -1196 8722

ACb2 96 -1319 8722

ACb0 102 -1588 8677

APb0 102 -4917 8552

Meacutetodo F α θ

L0 22 -375 8653

L1 28 -142 8647

L4 36 -352 8629

L3 40 -306 8643

L2 42 -372 8644


Tabla AII3



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Tabla AII4


=1

Meacutetodo F α

AE1 0 008 8189

ZW4 0 -013 8193

ZW2 2 -011 8217

ZW3 2 -017 8214

ZCb0 8 -038 8246

=5

Meacutetodo F α

AE1 0 016 8621

ZW4 0 017 8630

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

=10

Meacutetodo F α

AE1 0 022 8843

ZW3 0 -036 8862

ZCb0 0 -048 8872

ZW4 0 051 8852

ZW2 2 -072 8863

Tabla AII5


α=5

Meacutetodo F α θ

ZCb0 0 -013 8960

ZW4 0 013 8950

AE1 0 017 8934

AE2 0 -030 8935

AE4 0 -031 8930

AE3 0 -033 8934

ZPa1 0 -038 8839

ZPb1 0 -038 8839

ZPa0 0 039 8819

ZPb0 0 039 8819

ZW2 0 -040 8954

ZW3 0 -040 8954

ZE1 0 -046 8956

ZW1 0 -046 8953

ZCb1 0 -050 8958

ZN0 0 -055 8958

ZE0 0 -080 8958

L1 1 -053 8954

AE0 1 -057 8927

L0 1 -327 8958


Tabla AII6


α=1 α=5 α=10


AE1 0 008 8189 AE1 0 016 8621 AE1 0 022 8843

ZW4c 0 -010 8188 ZW4 0 017 8626 AE1c 0 037 8838

AE1c 0 010 8186 AE1c 0 019 8617 ZW4 0 051 8852

ZW4 0 -013 8193 ZW4c 0 028 8626 ZW4c 0 063 8848

Tabla AII7


Meacutetodo F α θ


Tabla AII8


α=1 α=5 α=10


ZE0 0 -028 8206 ZE0c-M 8 -064 8629 ZE0c-M 0 -089 8847

ZE0c-M 6 -031 8200 ZE0 12 -075 8634 ZE0 0 -096 8851

ZE0-M 6 -038 8208 ZE0-M 12 -077 8634 ZE0-M 0 -096 8851


Tabla AII9


Meacutetodo F α θ


ZE0 0 -045 7274 ZW1 0 -052 7257 L3 0 -108 7208 L2 0 -108 7201

ZW0 2 -220 7305 L1 6 -446 7265

AE0 6 -1220 7324 L0 6 -4644 7353

XPb2 6 -8957 9402 XPb3 6 -8957 9402 XPb4 6 -8957 9402 XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9414

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

241 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




40 40 -008 5699 003 5651 003 5509 003 5509 003 5461 022 5402 003 5461 003 5437 -008 5723 -008 5723

60 001 6022 001 6022 012 5886 015 5878 022 5822 022 5814 001 5870 001 5870 -006 6062 -004 6046

100 -010 6370 -010 6370 008 6264 008 6264 015 62069 015 6201 -002 6221 000 6216 -004 6375 -003 6361

60 60 -007 6423 -002 6412 011 6316 016 6294 021 6240 021 6240 -002 6294 -001 6283 -008 6455 -007 6445

100 -002 6788 -002 6785 006 6710 009 6703 014 6661 015 6658 -001 6677 -001 6677 -012 6811 -012 6804

100 100 -004 7201 -002 7189 006 7135 007 7127 013 7099 013 7091 -001 7119 -001 7119 -008 7205 -008 7205

Media Global -005 6417 -002 6405 008 6303 010 6296 015 6248 018 6234 000 6274 000 6267 -008 6439 -007 6431


40 40 -090 6734 -067 6710 -067 6615 023 6544 -067 6615 023 6568 -067 6568 -067 6568 -09 6734 -067 6710

60 -048 6989 -036 6973 042 6853 046 6837 042 6869 046 6845 -014 6837 -014 6837 -014 6957 -001 6949

100 -018 7220 -009 7206 036 7124 036 7124 036 7124 036 7124 -018 7119 -016 7114 -045 7225 -037 7216

60 60 -048 7283 -048 7272 -048 7186 -048 7186 -048 7197 -048 7186 -048 7208 -048 7186 -048 7272 -048 7261

100 -006 7541 -006 7541 023 7473 023 7466 021 7476 023 7473 -024 7486 -009 7479 -006 7538 000 7531

100 100 -060 7874 -060 7866 -060 7827 -020 7817 -060 7831 -020 7817 -060 7831 -060 7831 -06 7866 -060 7866

Media Global -045 7274 -038 7261 -012 7180 010 7162 -013 7185 010 7169 -039 7175 -036 7169 -044 7265 -036 7256


40 40 -175 7222 -175 7198 071 7079 071 7079 027 7127 071 7103 -059 7127 027 7079 -175 7198 -016 7174

60 -191 7477 -191 7477 057 7365 058 7357 040 7389 040 7381 -025 7357 -006 7349 -093 7445 -093 7445

100 -032 7645 -032 7645 065 7573 065 7568 020 7597 033 7588 -036 7592 -036 7592 -032 7641 -032 7641

60 60 -214 7740 -214 7708 010 7611 010 7611 -024 7632 -024 7632 -105 7665 -080 7654 -080 7697 -053 7686

100 -028 7931 -005 7924 015 7892 015 7879 015 7892 015 7892 -052 7911 -052 7911 -004 7924 011 7911

100 100 -247 8209 -247 8209 -036 8170 -036 8170 -036 8178 -036 8170 -036 8185 -036 8170 -036 8197 -036 8197

Media Global -158 7704 -144 7694 030 7615 031 7611 007 7636 017 7628 -052 7640 -031 7626 -070 7684 -037 7676



de δ=0


ZW4 0 000 6274

ZW4c 0 000 6267

ZE0c 0 -002 6405

ZE0 0 -005 6417

AE1c 0 -007 6431

AE1 0 -008 6439

ZE2 0 008 6303

ZE2c 0 010 6296

ZE3 0 015 6248

ZE3c 0 018 6234

α =5

Meacutetodo F α θ

ZE3c 0 010 7169

ZE2c 0 010 7162

ZE2 0 -012 7180

ZE3 0 -013 7185

AE1c 0 -036 7256

ZW4c 0 -036 7169

ZE0c 0 -038 7261

ZW4 0 -039 7175

AE1 0 -044 7265

ZE0 0 -045 7274

α =10

Meacutetodo F α θ

ZE3 0 007 7636

ZE3c 0 017 7628

ZE2 0 030 7615

ZW4c 0 -031 7626

ZE2c 0 031 7611

AE1c 0 -037 7676

ZW4 0 -052 7640

AE1 0 -070 7684

ZE0c 0 -144 7694

ZE0 0 -158 7704

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

243 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES

Tabla AII12




i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

953

953

954

953

952

951

931

929

935

926

933

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

953

953

954

953

952

951

931

925

928

926

931

937

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

955

955

955

955

953

952

937

931

931

934

943

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00



i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

952

952

951

952

951

951

889

882

892

917

917

888

035

032

028

029

025

022

04

02

02

01

00

01

949

950

950

950

950

950

929

877

899

913

935

935

035

032

028

029

025

022

00

00

00

00

00

00

967

969

969

971

969

967

867

938

918

944

942

931

039

036

032

033

029

025

00

00

00

00

00

00


Tabla AIII1


(α=5)

n1 n2 ρ ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 -8530 9173 493 9024 486 9185 490 9167 490 9167

01 -4256 8560 -462 8519 051 8543 027 8537 324 8459 02 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055 05 -377 7412 -096 7341 -096 7305 -096 7299 -010 7252 08 -453 6924 -338 6847 -012 6794 -012 6794 -012 6752 1 -090 6758 -067 6710 -067 6639 -067 6639 -067 6568 125 -453 6924 -338 6847 -012 6794 -012 6794 -012 6752 2 -377 7412 -096 7341 -096 7305 -096 7299 -010 7252 5 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055 10 -4256 8560 -462 8519 051 8543 027 8537 324 8459 100 -8530 9173 493 9024 486 9185 490 9167 490 9167 60 001 -8139 9388 491 9312 469 9400 469 9392 469 9392 01 -3080 8836 -254 8816 030 8828 030 8828 081 8745 02 -1258 8477 -069 8449 -032 8445 -032 8453 011 8405 05 -131 7729 -072 7693 -099 7669 -099 7677 -037 7649 08 -276 7241 -276 7189 -026 7145 -026 7145 -026 7117 1 -136 7021 -052 6949 -014 6893 -014 6893 -014 6837 125 -453 7113 -074 7053 -033 6993 -033 6993 -033 6961 2 -1018 7489 -096 7421 -096 7393 -096 7393 -096 7357 5 -3380 8181 -225 8149 -081 8145 -030 8141 -030 8061 10 -5337 8577 -481 8521 026 8549 017 8545 323 8473 100 -8796 9180 493 9024 485 9184 489 9168 489 9168 100 001 -7453 9585 466 9548 465 9589 466 9585 466 9585 01 -1687 9104 -073 9102 016 9102 016 9109 016 9080 02 -402 8788 -035 8778 -095 8773 -095 8771 -022 8749 05 -075 8075 -043 8051 -068 8042 -056 8046 -038 8027 08 -381 7544 -038 7496 -029 7460 -029 7464 -029 7435 1 -673 7254 -052 7211 -018 7158 -018 7158 -018 7119 125 -1092 7254 -128 7213 -027 7170 -043 7175 -043 7150 2 -2218 7544 -096 7501 -096 7476 -096 7476 -096 7443 5 -4814 8199 -349 8157 -087 8160 -083 8157 -083 8078 10 -6512 8578 -542 8527 011 8553 -024 8551 318 8476 100 -9039 9186 493 9024 485 9181 488 9169 488 9169

60 60 001 -8506 9393 490 9315 469 9398 469 9393 469 9393 01 -4224 8855 -276 8826 040 8831 015 8831 072 8753 02 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431 05 -393 7845 -056 7807 -010 7777 -037 7777 -013 7753 08 -276 7439 -035 7390 -007 7364 -013 7366 -013 7345 1 -130 7326 -048 7261 -048 7229 -048 7240 -048 7208 125 -276 7439 -035 7390 -007 7364 -013 7366 -013 7345 2 -393 7845 -056 7807 -010 7777 -037 7777 -013 7753 5 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431 10 -4224 8855 -276 8826 040 8831 015 8831 072 8753 100 -8506 9393 490 9315 469 9398 469 9393 469 9393 100 001 -7986 9586 466 9547 460 9591 466 9586 466 9586 01 -2754 9120 -282 9112 -009 9119 -007 9114 -007 9085 02 -1026 8817 -035 8805 -006 8801 -004 8799 002 8781 05 -076 8190 -045 8176 -024 8163 -020 8159 -020 8145 08 -172 7773 -084 7742 -033 7720 -033 7718 -008 7703 1 -232 7583 -034 7547 -024 7509 -024 7509 -024 7486 125 -424 7622 -054 7588 -054 7565 -054 7569 -045 7552 2 -1236 7919 -052 7892 -046 7880 -047 7887 -041 7869 5 -3668 8520 -200 8500 -038 8502 -038 8500 -038 8460 10 -5576 8857 -416 8835 -005 8844 -022 8841 040 8765 100 -8844 9396 489 9313 469 9399 469 9393 469 9393

100 100 001 -8487 9588 466 9547 460 9590 464 9586 464 9586 01 -4198 9129 -260 9122 -016 9125 -016 9126 -016 9095 02 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815 05 -407 8301 -069 8282 -036 8279 -036 8281 -036 8271 08 -169 7989 -082 7968 -082 7949 -082 7949 -012 7940 1 -060 7886 -060 7866 -060 7842 -060 7842 -060 7831 125 -169 7989 -082 7968 -082 7949 -082 7949 -012 7940 2 -407 8301 -069 8282 -036 8279 -036 8281 -036 8271 5 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815 10 -4198 9129 -260 9122 -016 9125 -016 9126 -016 9095 100 -8487 9588 466 9547 460 9590 464 9586 464 9586

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100 100 001 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769 01 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 02 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 05 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 08 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 1 -1536 7893 -060 7866 -060 7846 -060 7846 -060 7831 125 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 2 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 5 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 10 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 100 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769

Media global -8269 8651 -7950 8557 -7755 8664 -7760 8664 -7604 8656


n1 n2 ρ ACb15 AE15 APb15 AAb15 40 40 001 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839

01 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 02 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 05 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 08 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 1 -090 6734 -090 6734 -090 6734 -090 6734 125 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 2 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 5 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 10 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 100 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839 60 001 -265 9572 445 9440 -9500 9708 -9457 9860 01 -2011 9020 306 8689 -9500 9644 -6352 9512 02 -2303 8673 164 8265 -9473 9584 -4407 9092 05 -2234 7901 -012 7541 -8215 7565 -3120 8081 08 -1262 7281 -062 7129 -6090 7041 -1483 7309 1 -053 6989 -053 6989 -053 6989 -053 6989 125 -1332 7121 -106 7009 -6327 7041 -1760 7189 2 -1818 7637 -030 7309 -8159 7721 -2788 7849 5 -2286 8401 087 8077 -9494 9392 -4575 8924 10 -1635 8796 153 8557 -9491 9448 -5482 9384 100 -107 9472 371 9376 -9500 9500 -9500 9848 100 001 -725 9679 408 9551 -9500 9824 -9495 9894 01 -2723 9237 323 8904 -9099 9754 -6617 9570 02 -2808 8942 132 8539 -8962 9664 -4700 9234 05 -2448 8203 000 7889 -8767 7684 -3309 8339 08 -1193 7556 -078 7457 -8038 7266 -1403 7578 1 -037 7230 -037 7230 -037 7230 -037 7230 125 -1115 7269 -064 7177 -7181 7281 -1189 7303 2 -1998 7667 -021 7411 -8905 8075 -2994 7882 5 -2002 8389 -003 8150 -9500 9348 -4809 8894 10 -1727 8795 012 8626 -9500 9389 -5167 9331 100 -107 9481 372 9408 -9500 9423 -9500 9836

60 60 001 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 01 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 02 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 05 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 08 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 1 -126 7304 -126 7304 -126 7304 -126 7304 125 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 2 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 5 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 10 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 100 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 100 001 -939 9680 439 9584 -9500 9792 -9499 9930 01 -2722 9240 287 8961 -9228 9735 -6912 9623 02 -3103 8969 163 8620 -9134 9667 -5147 9304 05 -2845 8335 022 8038 -8968 8012 -3655 8486 08 -1834 7812 -051 7700 -8381 7599 -1835 7827 1 -015 7541 -015 7541 -015 7541 -015 7541 125 -1529 7656 -039 7557 -7968 7604 -1927 7695 2 -2594 8054 -009 7801 -9461 8223 -3431 8249 5 -2943 8684 056 8429 -9500 9516 -5138 9122 10 -2075 9018 104 8826 -9500 9552 -6019 9498 100 -712 9578 384 9521 -9500 9588 -9500 9885

100 100 001 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944 01 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 02 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 05 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 08 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 1 -060 7878 -060 7878 -060 7878 -060 7878 125 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 2 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 5 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 10 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 100 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944

Media global -1672 8430 110 8226 -7969 8654 -4620 8693


Tabla AIII2


01 10 = 001 y = 100


ZAb1 0 -027 8050 ZW2 0 472 9391

ZW2 0 -031 8010 ZW3 0 474 9382

ZW3 0 -034 8011 ZW4 0 474 9382

ZPa2 0 077 7694 ZW1 0 483 9295

ZPa3 0 080 7688 ZPa2 0 498 9131

ZPa4 0 082 7671 ZPa3 0 498 9127

ZPa1 0 094 7681 ZPa4 0 498 9126

ZPa0 0 112 7659 ZPa1 0 499 8955

ZPb2 0 136 7635 ZPa0 0 500 8979

ZPb3 0 141 7631 ZPb2 0 500 8941

ZPb4 0 143 7614 ZPb3 0 500 8937

ZPb1 0 147 7623 ZPb4 0 500 8937

ZPb0 0 147 7604 ZPb1 0 500 8858

ZAb3 3 -037 8037 ZPb0 0 500 8791

ZAb2 3 -038 8038 ZAb1 1 234 9570

ZN0 6 -067 8075 ZAb3 3 -164 9644

ZAb4 14 -1104 8008 ZAb2 3 -211 9651

ZN1 15 -172 8067 ZCb0 12 -603 9657

ZCb0 16 -117 8084 ZE0 12 -628 9700

ZW1 16 -155 8026 ZN0 12 -634 9700

ZAb0 17 -165 8062 ZCb1 12 -7362 9776

ZCb1 20 -242 8073 ZN1 12 -7364 9779

ZE1 21 -239 8070 ZE1 12 -7364 9778

ZE0 22 -142 8081 ZW0 12 -8484 9386

ZN3 22 -453 8065 ZAb4 12 -8772 9756

ZE3 22 -489 8067 ZCb3 12 -9362 9852

ZN2 22 -491 8065 ZE3 12 -9364 9855

ZE2 22 -511 8067 ZN3 12 -9366 9856

ZN4 22 -2700 8045 ZCb2 12 -9382 9860

ZE4 22 -2726 8046 ZN2 12 -9383 9861

ZCb3 23 -491 8069 ZE2 12 -9383 9861

ZCb2 23 -498 8069 ZN4 12 -9500 9971

ZCb4 23 -2714 8048 ZE4 12 -9500 9971

ZW0 44 -1691 8061 ZCb4 12 -9500 9969

01 10 = 001 y = 100


RN1 23 -811 7026 RW1 6 -4496 9207

RN0 24 -432 6974 RW4 6 -4500 8853

RW4 24 -2603 7359 RW2 6 -4514 9342

RN3 28 -1430 7079 RW3 6 -4514 9336

RN2 28 -1435 7083 RN0 11 -1659 9102

RN4 28 -2392 7073 RN1 12 -5283 9220

RW3 36 -1445 7349 RN3 12 -6063 9343

RW2 36 -1565 7354 RN2 12 -6095 9348

RW1 54 -1104 7291 RW0 12 -9152 9348

RW0 54 -3636 7431 RN4 12 -9234 9408


01 10 = 001 y = 100


LE3 0 006 7969 LN1 0 242 9585

LE2 0 014 7968 LCb2 0 498 8693

LE4 0 040 7927 LCb3 0 498 8684

LCb2 1 -014 8006 LCb4 0 498 8678

LCb4 1 015 7966 LCb1 0 499 8607

LCb3 1 -021 8007 LE2 0 499 8440

LW0 9 -082 7745 LE3 0 500 8428

LN2 10 -130 8061 LE4 0 500 8422

LN3 11 -147 8063 LE1 0 500 8393

LN4 14 -1308 8021 LN3 9 -268 9661

LW1 19 -156 7990 LW0 11 -349 9516

LAb3 21 -200 8093 LN2 11 -554 9666

LAb2 21 -220 8092 LAb1 11 -599 9687

LW2 21 -324 8007 LW1 12 -3908 9756

LW3 23 -330 8007 LAb3 12 -7973 9756

LAb4 23 -2267 8059 LAb2 12 -8262 9766

LW4 25 -2352 7996 LCb0 12 -8944 8703

LE1 36 -244 7989 LE0 12 -8944 8439

LAb1 36 -249 8107 LN0 12 -8958 9672

LCb1 40 -251 8025 LW3 12 -9152 9837

LN1 54 -548 8085 LW2 12 -9167 9842

LE0 54 -5472 8032 LAb0 12 -9320 9772

LCb0 54 -5473 8069 LN4 12 -9428 9775

LN0 54 -5486 8125 LPb1 12 -9496 9938

LAb0 54 -5534 8154 LPa1 12 -9498 9948

LPb2 54 -6463 8349 LPa4 12 -9500 9997

LPa2 54 -6485 8371 LPb4 12 -9500 9997

LPb3 54 -6517 8351 LPa0 12 -9500 9988

LPa3 54 -6551 8374 LPa2 12 -9500 9987

LPb1 54 -6677 8366 LPa3 12 -9500 9987

LPa1 54 -6769 8391 LPb0 12 -9500 9986

LPb4 54 -7136 8327 LPb2 12 -9500 9986

LPa4 54 -7138 8351 LPb3 12 -9500 9984

LPb0 54 -7836 8383 LW4 12 -9500 9963

LPa0 54 -7847 8407 LAb4 12 -9500 9901


01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


XCb0 48 -2351 8198 XCb0 12 -720 9703

XCb2 48 -3557 8188 XCb1 12 -7362 9786

XCb3 48 -3564 8189 XCb2 12 -9075 9866

XCb1 48 -3981 8202 XCb3 12 -9362 9859

XAb0 48 -4089 8489 XAb1 12 -9498 9963

XCb4 48 -4466 8166 XAb4 12 -9500 9997

XAb2 48 -4793 8475 XPb1 12 -9500 9997

XAb4 48 -5115 8452 XPb2 12 -9500 9997

XAb3 48 -5166 8479 XPb3 12 -9500 9997

XAb1 48 -5357 8499 XPb4 12 -9500 9997

XPb0 54 -9272 9673 XAb2 12 -9500 9993

XPb2 54 -9283 9702 XAb3 12 -9500 9991

XPb3 54 -9283 9701 XCb4 12 -9500 9979

XPb4 54 -9283 9701 XPb0 12 -9500 9960

XPb1 54 -9284 9706 XAb0 12 -9500 9943

01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

AE2 1 058 7933 AE0 0 455 9419

AE3 1 064 7933 AE2 1 035 9582

AE4 16 -1455 7902 AE3 1 070 9573

ACb1 48 -1913 8170 ACb1 8 -587 9606

ACb15 48 -1942 8176 ACb0 8 -2757 9514

ACb3 48 -2043 8161 ACb15 10 -461 9577

ACb2 48 -2161 8161 ACb2 12 -2993 9681

ACb4 48 -2695 8128 ACb3 12 -2993 9452

AAb15 48 -3537 8428 AE4 12 -9256 9647

AAb2 48 -3574 8420 ACb4 12 -9378 9804

AAb3 48 -3580 8420 AAb1 12 -9494 9933

AAb1 48 -3606 8426 AAb15 12 -9495 9882

AAb4 48 -4215 8393 AAb4 12 -9500 9993

APb4 48 -7183 8425 AAb2 12 -9500 9984

APb2 48 -7368 8436 AAb3 12 -9500 9981

APb3 48 -7374 8435 AAb0 12 -9500 9883

APb1 48 -7605 8435 APb4 12 -9500 9700

APb15 48 -7629 8434 APb2 12 -9500 9694

AE0 54 -864 7971 APb3 12 -9500 9693

ACb0 54 -2306 8194 APb1 12 -9500 9658

AAb0 54 -3580 8430 APb15 12 -9500 9644

APb0 54 -7995 8439 APb0 12 -9500 9606


Tabla AIII3



n1 n2 ρ ZAb1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780

01 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 02 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 05 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 08 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 1 003 5628 -012 5675 003 5556 003 5461 125 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 2 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 5 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 10 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 100 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780 60 001 097 9256 100 9008 100 9112 100 9112 01 003 8525 -065 8389 041 8433 065 8401 02 -004 8017 -069 7941 011 7949 012 7885 05 -027 6993 -014 6997 -050 6965 -039 6917 08 -059 6297 -041 6349 -024 6250 -021 6198 1 001 5982 -007 6022 001 5942 001 5870 125 005 6070 -050 6146 -003 6066 -003 6014 2 -015 6609 -035 6629 -024 6593 -019 6537 5 006 7701 -057 7529 -009 7537 019 7433 10 043 8333 -099 7985 070 8085 070 8085 100 076 9208 100 8629 100 8780 100 8780 100 001 098 9440 099 9348 099 9404 099 9404 01 -017 8846 -028 8783 026 8795 027 8747 02 -020 8411 -009 8365 005 8363 011 8331 05 -057 7464 -023 7443 -020 7418 -015 7390 08 -122 6730 -029 6706 -026 6670 -026 6626 1 -002 6332 -018 6327 -002 6279 -002 6221 125 006 6274 -085 6351 -010 6286 -007 6250 2 002 6718 -066 6728 -027 6694 -027 6646 5 004 7771 -065 7537 -009 7559 015 7457 10 012 8435 -123 7988 071 8085 071 8085 100 023 9367 100 8628 100 8780 100 8780

60 60 001 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 01 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 02 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 05 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 08 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 1 003 6359 -034 6439 -002 6337 -002 6294 125 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 2 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 5 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 10 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 100 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 100 001 095 9489 099 9348 099 9406 099 9406 01 -024 8869 -033 8794 025 8807 026 8760 02 -002 8450 -010 8408 -018 8408 005 8380 05 -023 7611 -038 7604 -022 7577 -009 7557 08 -068 7031 -035 7035 -031 6996 -028 6970 1 002 6755 -013 6781 -001 6710 -001 6677 125 000 6801 -043 6848 -041 6796 -024 6775 2 001 7223 -035 7239 -014 7200 -012 7171 5 010 8111 -071 7995 -005 7997 -005 7937 10 010 8635 -086 8404 030 8450 069 8416 100 066 9442 100 9007 100 9112 100 9112

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n1 n2 ρ AE1 AE15 40 40 001 620 9482 685 9459

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Media global 209 8508 181 8508


Tabla AIII4


α=1

01 10 = 001 y = 100


ZW3 0 -003 7375 ZAb1 0 081 9348

ZW4 0 006 7331 ZW3 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

ZW2 1 -042 7392 ZW2 0 100 8994

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LE4 0 025 7215 LCb4 0 100 7580

LE2 0 -042 7282 LCb2 0 100 7477

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

LCb4 1 010 7305 LE4 0 100 6552

LCb2 1 -040 7370 LE2 0 100 6410

AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

α=10

01 10 = 001 y = 100


ZW2 0 -041 8329 ZW2 0 767 9560

ZW4 0 -052 8303 ZW3 0 839 9506

ZAb1 0 -053 8356 ZW4 0 839 9497

ZW3 0 -104 8337 ZAb1 1 214 9663

LCb2 0 010 8325 LCb2 0 926 9160

LE4 0 -024 8280 LE2 0 963 9050

LE2 0 036 8306 LCb3 0 973 9094

LCb4 0 -049 8299 LCb4 0 973 9091

LE3 0 -082 8317 LE3 0 988 8984

LCb3 0 -108 8336 LE4 0 988 8981

AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579


Tabla AIII5


α=1

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

α=5

01 10 =001 y =100


ZW4 0 006 7971 ZAb1 1 234 9570

ZAb1 0 -027 8050 ZW4 0 474 9382

AE15 0 043 7948 AE1 0 355 9500

AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

LE3 0 006 7969 LCb3 0 498 8684

LCb3 1 -021 8007 LE3 0 500 8428

α=10

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579

LE3 0 -082 8317 LCb3 0 973 9094

LCb3 0 -108 8336 LE3 0 988 8984

ZW4 0 -052 8303 ZW4 0 839 9497

ZAb1 0 -053 8356 ZAb1 1 214 9663


Tabla AIII6



LE2 0 0 8454 ZAb3 0 -054 9738 LE3 0 002 8454 AE2 0 059 9683 LE4 0 004 8437 AE3 0 059 9680



Tabla AIII7


01 10 = 001 y = 100


ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZW4c 0 007 7328 ZAb1c 0 082 9347

ZAb1c 1 -005 7442 ZW4 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4c 0 100 9098

Tabla AIII8


01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


ZCb0 16 -117 8084 ZCb0 12 -603 9657

LW1 19 -156 7990 ZE0 12 -628 9700

ZE0 22 -142 8081 LW1 12 -3908 9756

ZW0 44 -1691 8061 ZW0 12 -8484 9386


Tabla AIII9



Meacutetodo F

LW1 0 031 7105

LE2 0 -044 7227

LE4 0 -048 7189

RW4 0 -051 5818

LN4 0 -063 7179

LE3 0 -065 7231

LW3 0 067 7062

LW2 0 067 7060

LW4 0 067 7033

LN3 0 -087 7217

LN2 0 -087 7214

RN0 1 -111 5669

RN4 1 -132 8683

RN1 1 -132 5688

RN2 1 -137 5707

RN3 1 -137 5707

LW0 1 -162 6866

LE1 4 -300 7270

LN1 6 -355 7259

RW2 6 -509 6157

RW3 6 -509 6156

RW1 6 -968 6138

RW0 6 -1796 6291

LE0 6 -4629 7336

LN0 6 -4629 7319

LPa4 6 -5237 6950

LPb4 6 -5237 6950

LPa3 6 -5697 6968

LPb3 6 -5697 6968

LPa2 6 -5697 6962

LPb2 6 -5697 6962

LPa1 6 -6847 7019

LPb1 6 -6847 7019

LPa0 6 -7104 7043

LPb0 6 -7104 7043

XPb2 6 -8957 9402

XPb3 6 -8957 9402

XPb4 6 -8957 9402

XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9421




1 -1027 7757 -082 7716 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 7055 -197 7008 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 -1234 9120 -460 9126 085 9173 085 9173 308 9143

1 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -453 7317 -172 7287 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -160 7103 -071 7032 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -521 8992 -077 9004 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -1956 7801 -074 7761 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -197 7093 -197 7053 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 -1487 9144 -460 9164 066 9188 066 9184 324 9152

1 -3380 8181 -225 8149 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -453 7337 -163 7289 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -140 7101 -086 7061 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -307 9128 -036 9140 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -391 8105 -066 8081 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -112 7509 -061 7461 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 -580 9296 -194 9320 071 9344 090 9336 097 9300

1 -1258 8477 -069 8449 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -276 7737 -132 7713 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7557 -163 7533 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -950 9036 -151 9046 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -3354 7839 -214 7810 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -197 7124 -197 7080 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 -2191 9169 -470 9169 032 9206 024 9198 325 9162

1 -4814 8199 -349 8157 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -453 7339 -196 7305 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -181 7109 -123 7076 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -307 9276 -099 9300 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -104 8432 -065 8430 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -074 7964 -031 7945 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 -307 9452 -043 9469 033 9481 055 9481 066 9466

1 -402 8788 -035 8778 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8191 -169 8201 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -065 8042 -023 8022 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -259 9170 -177 9183 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -1028 8151 -064 8132 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -092 7546 -062 7525 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 -676 9323 -212 9344 050 9360 056 9355 097 9317

1 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -276 7759 -087 7745 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -163 7573 -163 7546 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -386 9216 -177 9227 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -2220 8198 -067 8180 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -099 7577 -065 7564 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 -1171 9348 -203 9356 035 9375 038 9372 089 9336

1 -3668 8520 -200 8500 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -276 7775 -108 7752 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -163 7586 -163 7567 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -178 9333 -099 9341 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -275 8500 -056 8494 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -068 8015 -043 8002 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -223 9479 -031 9494 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -1026 8817 -035 8805 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -169 8223 -169 8211 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -067 8073 -044 8051 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -153 9378 -144 9385 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -1019 8561 -056 8547 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -051 8062 -045 8056 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 -391 9509 -282 9517 021 9527 021 9526 021 9513

1 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -169 8236 -169 8227 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -049 8082 -041 8074 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -894 8410 -141 8399 -045 8396 -045 8396 -003 8373



1 -017 7775 -020 7763 -044 7739 -056 7751 -056 7704

2 -008 6913 -008 6889 032 6853 032 6853 032 6841

5 1 05 -067 9292 -593 9369 -1648 9441 -1648 9441 -3873 9453

1 -217 8251 -286 8281 -286 8293 -286 8287 -4325 8227

2 -016 7210 -047 7174 -047 7139 -047 7151 -047 7145

3 -003 6948 -003 6936 046 6865 046 6865 046 6865

60 3 1 05 -049 9112 -306 9152 -725 9192 -725 9192 -725 9160

1 -049 7829 -152 7817 -397 7813 -397 7805 -2681 7765

2 -010 6957 032 6901 050 6885 045 6893 045 6893

5 1 05 -067 9324 -725 9388 -2095 9456 -2095 9452 -5357 9468

1 -217 8281 -274 8293 -614 8321 -614 8321 -6941 8257

2 -217 7237 -047 7197 -047 7161 -047 7161 -047 7157

3 -014 6973 014 6917 037 6885 037 6885 037 6885

1 3 05 -040 9192 -169 9228 -387 9260 -387 9256 -386 9240

1 -024 8101 -067 8093 -072 8081 -072 8085 -070 8053

2 -001 7413 017 7389 017 7381 017 7381 017 7373

1 5 05 020 9396 -340 9444 -841 9480 -841 9480 -841 9472

1 -033 8529 -053 8541 -136 8537 -138 8541 -118 8501

2 -015 7689 004 7661 -007 7649 -007 7653 -007 7653

3 000 7477 002 7469 029 7429 029 7429 036 7421

100 3 1 05 -035 9150 -503 9189 -1341 9225 -1341 9220 -3522 9196

1 -024 7865 -079 7858 -622 7863 -617 7865 -6616 7834

2 -016 6984 014 6945 047 6911 047 6911 047 6911

5 1 05 -084 9348 -856 9404 -3322 9469 -2586 9461 -6745 9481

1 -217 8300 -564 8319 -1381 8351 -1381 8348 -8757 8307

2 -217 7242 -022 7206 -047 7172 -047 7172 -047 7172

3 -021 6979 -011 6945 021 6902 021 6902 021 6902

1 3 05 -073 9324 -117 9336 -282 9355 -251 9353 -248 9343

1 -021 8428 -063 8433 -055 8418 -058 8423 -058 8406

2 -021 7926 001 7906 023 7906 023 7906 023 7897

1 5 05 -036 9507 -177 9529 -387 9548 -388 9546 -387 9534

1 -014 8805 -046 8805 -115 8805 -115 8800 -115 8785

2 -019 8167 -015 8167 007 8141 000 8141 000 8136

3 -019 8008 -019 8003 -004 8003 -004 8003 -004 7998

60 60 3 1 05 -040 9242 -171 9269 -498 9296 -498 9293 -498 9272

1 -015 8162 -067 8156 -045 8146 -036 8148 -036 8127

2 -048 7482 013 7439 035 7412 035 7412 035 7407

5 1 05 007 9428 -476 9463 -1331 9495 -1331 9495 -2324 9489

1 -014 8551 -149 8560 -292 8570 -292 8573 -4306 8541

2 -014 7708 011 7681 -048 7667 -048 7673 011 7667

3 -010 7493 002 7482 029 7444 027 7450 027 7450

100 3 1 05 -040 9279 -269 9300 -856 9323 -856 9325 -856 9307

1 -017 8218 -068 8203 -296 8202 -296 8200 -4289 8180

2 -017 7499 014 7476 020 7460 020 7460 020 7460

5 1 05 -048 9456 -467 9477 -1921 9511 -1921 9511 -4682 9507

1 -017 8583 -498 8586 -1072 8598 -1062 8596 -7727 8570

2 -024 7723 -048 7700 -050 7681 -050 7685 006 7682

3 -028 7509 017 7486 027 7466 027 7470 027 7470

1 3 05 -092 9373 -097 9380 -256 9396 -210 9393 -208 9385

1 -008 8503 -009 8495 -044 8489 -034 8489 -034 8476

2 -056 7999 -011 7982 001 7969 001 7969 001 7966

1 5 05 -136 9533 -173 9550 -499 9568 -499 9568 -499 9557

1 -095 8839 -034 8843 -184 8843 -184 8841 -115 8825

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Media Global 090 8148 058 8167 021 8184 028 8181 038 8170



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2 -008 6829 -008 6829 101 6663 101 6663 101 6663

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1 227 7638 248 7698 198 7710 194 7722 196 7674

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100 3 1 05 387 8438 374 8534 239 8628 239 8619 239 8619

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1 3 05 020 9244 -024 9268 -207 9290 -181 9288 -160 9280

1 000 8232 005 8227 -024 8223 -024 8225 -024 8215

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1 124 8520 033 8546 046 8556 046 8556 055 8541

2 -019 8071 002 8061 -006 8058 -006 8058 -006 8054

3 -004 7969 -004 7969 -004 7945 -004 7945 -004 7940

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1 010 7837 -067 7858 -067 7877 -067 7877 -028 7858

2 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321

5 1 05 443 8852 412 8917 354 8984 354 8984 354 8981

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2 017 7541 011 7541 -003 7541 -003 7541 011 7538

3 -010 7476 029 7412 029 7412 029 7412 048 7407

100 3 1 05 372 8778 321 8839 307 8883 305 8883 307 8869

1 041 7799 041 7789 026 7797 -067 7799 026 7783

2 020 7411 020 7411 020 7385 020 7385 020 7382

5 1 05 462 8766 443 8836 418 8909 432 8903 432 8903

1 317 7934 240 7966 269 7992 269 7991 269 7971

2 018 7541 029 7520 029 7497 029 7500 044 7499

3 003 7476 019 7460 028 7444 028 7444 028 7444

1 3 05 067 9224 026 9239 041 9255 040 9255 041 9248

1 008 8263 -003 8270 -097 8270 -097 8273 -024 8265

2 014 7875 014 7879 031 7869 031 7869 031 7866

1 5 05 380 9221 370 9240 291 9268 291 9263 294 9255

1 175 8479 180 8491 102 8491 102 8489 135 8479

2 -031 8119 -019 8086 -004 8068 -004 8072 -004 8070

3 012 7986 012 7986 012 7982 012 7986 012 7986

100 100 3 1 05 279 9133 245 9142 210 9183 210 9183 220 9178

1 -056 8299 -022 8308 -097 8318 004 8284 014 8278

2 -036 7987 038 7921 038 7921 038 7921 038 7919

5 1 05 451 9117 434 9148 400 9200 400 9182 400 9179

1 174 8415 243 8401 239 8419 239 8419 243 8410

2 -019 8080 -019 8080 011 8079 011 8079 011 8079

3 -020 8040 026 7999 026 7999 026 7999 026 7999

Media Global 149 8085 134 8106 108 8122 111 8119 118 8109


Tabla AIV2


Meacutetodo F

ZW4 0 -003 8373

ZPZA1 0 058 8167

ZPZA0 0 090 8148

ZPb3 0 111 8119

ZPb4 0 118 8109

ZPb0 0 134 8106

ZPb1 0 149 8085

ZPZA4 2 038 8170

ZPb2 2 108 8122

ZW2 4 -045 8396

ZW3 4 -045 8396

ZPZA3 6 028 8181

ZPZA2 8 021 8184

ZN0 10 -057 8429

ZAb0 12 -090 8424

ZW1 18 -141 8399

ZE0 20 -084 8426

ZAb1 22 -151 8423

ZE1 26 -133 8427

ZN1 30 -163 8433

ZAb3 36 -385 8424

ZAb4 36 -423 8424

ZAb4 42 -894 8406

ZE4 48 -1364 8416

ZE3 50 -310 8431

ZE2 52 -333 8432

ZN3 54 -437 8437

ZN2 54 -454 8437

ZN4 54 -1548 8423

ZW0 78 -894 8410



n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -022 8590 017 8644 017 8620

1 -025 7002 -021 6978 -021 6907

2 -058 6127 -026 6068 -020 6056

5 1 05 -066 8757 049 8858 049 8858

1 -040 7490 006 7519 008 7418

2 -071 6454 -044 6401 -017 6383

3 -052 6187 -032 6115 -032 6115

60 3 1 05 -017 8852 011 8880 017 8844

1 -036 7465 -010 7449 -009 7405

2 -032 6709 -024 6677 -014 6661

5 1 05 -058 9036 025 9092 043 9080

1 -069 7941 011 7949 012 7885

2 -046 7037 -041 6989 -029 6981

3 -041 6805 -041 6749 -023 6741

1 3 05 -028 8633 000 8697 033 8665

1 -053 7057 -021 7037 -021 6965

2 -050 6174 -023 6110 -023 6102

1 5 05 -084 8780 049 8876 049 8876

1 -057 7529 -009 7537 019 7433

2 -057 6477 -044 6409 -023 6397

3 -049 6198 -025 6118 -025 6118

100 3 1 05 -005 9058 -096 9085 -092 9070

1 -012 7918 -024 7909 -005 7880

2 -030 7341 -014 7298 -006 7288

5 1 05 002 9276 017 9300 017 9280

1 -009 8365 005 8363 011 8331

2 -041 7621 -041 7621 -033 7614

3 -021 7452 -016 7409 -010 7404

1 3 05 -047 8679 000 8730 038 8694

1 -056 7109 -018 7092 -015 7018

2 -045 6226 -022 6153 -022 6153

1 5 05 -100 8802 066 8894 066 8894

1 -065 7537 -009 7559 015 7457

2 -069 6494 -044 6436 -044 6426

3 -055 6211 -031 6134 -031 6134

60 60 3 1 05 -015 8901 -037 8930 -037 8895

1 -033 7530 -015 7519 -012 7474

2 -024 6762 -016 6729 -014 6724

5 1 05 -060 9073 041 9116 067 9102

1 -069 7971 003 7976 003 7912

2 -041 7055 -041 7022 -041 7020

3 -041 6815 -019 6778 -019 6778

100 3 1 05 -042 9119 -037 9141 -037 9128

1 -018 8010 -004 7992 -004 7971

2 -022 7388 -022 7375 -009 7369

5 1 05 -009 9302 -037 9335 -037 9315

1 -010 8408 -018 8408 005 8380

2 -057 7663 -019 7640 -011 7637

3 -016 7463 -016 7440 -007 7437

1 3 05 -021 8942 005 8974 019 8938

1 -033 7593 -013 7580 -013 7543

2 -029 6824 -017 6778 -017 6778

1 5 05 -070 9089 038 9133 070 9119

1 -071 7995 -005 7997 -005 7937

2 -043 7075 -019 7038 -019 7038

3 -076 6837 -019 6794 -019 6794

100 100 3 1 05 -026 9179 -005 9192 -005 9179

1 -013 8084 -009 8077 -004 8059

2 -022 7452 -022 7437 -014 7435

5 1 05 -031 9331 026 9352 027 9330

1 -019 8441 -018 8440 004 8414

2 -057 7685 -009 7664 -009 7662

3 -042 7486 -016 7472 -016 7472

Media Global -041 7882 -010 7882 -002 7856


=5 n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -035 9007 -039 9007 043 8959

1 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 085 9173 085 9173 308 9143

1 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 066 9188 066 9184 324 9152

1 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 071 9344 090 9336 097 9300

1 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 032 9206 024 9198 325 9162

1 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 033 9481 055 9481 066 9466

1 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 050 9360 056 9355 097 9317

1 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 035 9375 038 9372 089 9336

1 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 021 9527 021 9526 021 9513

1 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -045 8396 -045 8396 -003 8373


=10

n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 069 9197 031 9161 035 9131

1 026 8061 -075 8079 -075 8037

2 -033 7424 -131 7448 -059 7436

5 1 05 231 9346 -224 9316 581 9256

1 018 8441 -192 8435 000 8370

2 -192 7662 -192 7674 -192 7674

3 -101 7472 -101 7484 -101 7484

60 3 1 05 -049 9320 -160 9300 -010 9284

1 -027 8373 -022 8381 -022 8361

2 -066 7861 -066 7861 -066 7853

5 1 05 -261 9472 001 9456 001 9432

1 003 8709 -097 8717 005 8681

2 -159 8065 -097 8065 -058 8061

3 -164 7893 -164 7909 -164 7909

1 3 05 038 9212 -395 9200 061 9164

1 -074 8109 -046 8117 -046 8081

2 -055 7461 -075 7485 -075 7485

1 5 05 199 9356 -224 9344 -076 9288

1 023 8453 -192 8461 -047 8397

2 -192 7677 -192 7693 -192 7689

3 -101 7485 -101 7493 -101 7493

100 3 1 05 -037 9433 -061 9418 005 9411

1 -075 8669 -117 8665 -012 8650

2 -026 8254 -148 8269 -020 8259

5 1 05 037 9575 025 9568 037 9558

1 -042 8971 -028 8974 -001 8959

2 -065 8462 -146 8464 -041 8462

3 -038 8331 -038 8331 -017 8326

1 3 05 034 9239 -395 9227 -024 9191

1 -100 8150 -077 8157 -077 8121

2 -023 7476 -083 7510 -083 7510

1 5 05 108 9375 -232 9350 -077 9292

1 018 8464 -192 8471 -192 8409

2 -192 7682 -192 7699 -192 7696

3 -101 7486 -101 7501 -101 7501

60 60 3 1 05 -160 9350 -160 9339 -160 9325

1 -022 8422 -310 8428 -051 8406

2 -031 7869 -042 7885 -042 7885

5 1 05 -261 9481 -050 9476 -050 9452

1 014 8729 -097 8729 009 8699

2 -097 8076 -097 8081 -097 8081

3 -164 7912 -164 7917 -164 7917

100 3 1 05 -074 9466 -057 9464 -050 9458

1 -117 8731 -117 8732 -025 8721

2 -148 8301 -148 8307 -025 8304

5 1 05 037 9596 -085 9591 031 9581

1 -027 9000 -027 9002 -027 8989

2 -038 8489 -050 8484 -050 8484

3 -038 8349 -038 8356 -038 8356

1 3 05 -160 9372 -080 9365 -080 9351

1 -022 8458 -036 8471 -035 8453

2 -043 7918 -063 7927 -063 7927

1 5 05 -079 9500 -068 9487 -068 9461

1 -021 8747 -097 8750 -097 8721

2 -097 8088 -097 8098 -097 8098

3 -099 7918 -164 7931 -164 7931

100 100 3 1 05 -057 9501 -019 9492 -019 9487

1 -117 8780 -018 8779 -018 8771

2 -030 8346 -148 8358 -148 8358

5 1 05 025 9612 -052 9607 -052 9597

1 -027 9025 -027 9025 -027 9014

2 -036 8497 -038 8502 -038 8502

3 -038 8364 -046 8378 -046 8378

Media Global -049 8657 -111 8657 -043 8638


Tabla AIV4


α=1 α=5 α=10


ZW4 0 -002 7856 ZW4 0 -003 8373 ZW4 0 -043 8638

ZW3 0 -010 7882 ZW2 4 -045 8396 ZW2 0 -049 8657

ZW2 2 -041 7882 ZW3 4 -045 8396 ZW3 0 -111 8657

Tabla AIV5


α=1 α=5 α=10


40 40 ZW4 0 002 7379 ZW4 0 028 8005 ZW2 0 014 8359

ZW3 0 -004 7415 ZW2 2 -065 8042 ZW4 0 045 8321

ZW2 0 -047 7408 ZW3 2 -066 8044 ZW3 0 -128 8355

40 60 ZW4 0 004 7612 ZW4 0 007 8186 ZW4 0 -049 8484

ZW3 0 -007 7645 ZW2 2 -054 8215 ZW2 0 -058 8508

ZW2 0 -049 7646 ZW3 2 -055 8217 ZW3 0 -136 8509

40 100 ZW4 0 -006 7846 ZW4 0 -007 8363 ZW2 0 -034 8649

ZW3 0 -015 7874 ZW3 0 -065 8388 ZW4 0 -057 8629

ZW2 2 -040 7873 ZW2 0 -066 8388 ZW3 0 -133 8650

60 60 ZW4 0 -006 7859 ZW4 0 -009 8376 ZW4 0 -075 8644

ZW3 0 -011 7886 ZW3 0 -025 8397 ZW2 0 -104 8658

ZW2 0 -042 7886 ZW2 0 -026 8397 ZW3 0 -136 8659

60 100 ZW4 0 -005 8100 ZW4 0 -013 8562 ZW4 0 -054 8798

ZW3 0 -012 8119 ZW2 0 -025 8577 ZW2 0 -064 8808

ZW2 0 -037 8121 ZW3 0 -026 8577 ZW3 0 -077 8809

100 100 ZW4 0 000 8350 ZW4 0 -018 8754 ZW2 0 -041 8962

ZW3 0 -006 8363 ZW2 0 -024 8761 ZW3 0 -042 8962

ZW2 0 -030 8365 ZW3 0 -025 8763 ZW4 0 -042 8957




1 -022 7656 -022 7656 2 -078 6960 -078 6960 5 1 05 308 9143 308 9137 1 -041 8055 -041 8043 2 -047 7228 -047 7228 3 -071 7020 -052 7008 60 3 1 05 -040 8996 063 9132 1 -068 7709 -001 8017 2 -093 7005 -008 7429 5 1 05 324 9152 097 9300 1 -030 8061 041 8397 2 -071 7253 -045 7701 3 -056 7021 -046 7509 1 3 05 014 9140 -040 8996 1 -001 8025 -068 7709 2 -022 7437 -040 6997 1 5 05 097 9300 324 9152 1 011 8405 -030 8053 2 -045 7709 -045 7245 3 -046 7509 -056 7021 100 3 1 05 -043 9022 050 9290 1 -077 7742 -008 8394 2 -118 7042 -017 7930 5 1 05 325 9162 067 9464 1 -083 8078 -022 8749 2 -062 7266 -082 8172 3 -047 7037 -023 8022 1 3 05 007 9295 -043 9022 1 -008 8394 -077 7740 2 -017 7930 -118 7042 1 5 05 066 9466 325 9162 1 -022 8749 -083 8078 2 -082 8172 -062 7259 3 -023 8022 -047 7037

60 60 3 1 05 -040 9186 -040 9183 1 -017 8089 -017 8087 2 -048 7503 -044 7493 5 1 05 097 9317 123 9315 1 009 8431 017 8428 2 -056 7716 -054 7710 3 -046 7525 -046 7525 100 3 1 05 -013 9216 037 9339 1 -034 8143 -017 8469 2 -060 7538 -025 7982 5 1 05 089 9336 038 9489 1 -038 8460 002 8779 2 -058 7736 -031 8197 3 -110 7544 -018 8041 1 3 05 026 9343 -013 9216 1 -036 8476 -034 8142 2 -025 7982 -060 7531 1 5 05 038 9492 089 9336 1 002 8781 -038 8456 2 -031 8203 -058 7736 3 -018 8041 -090 7538

100 100 3 1 05 -019 9386 -019 9385 1 -019 8535 -019 8535 2 -036 8046 -033 8038 5 1 05 021 9513 021 9511 1 -032 8815 -032 8814 2 -026 8220 -026 8218 3 -027 8066 -023 8062

Media Global -003 8373 003 8370


Tabla AV1


(α=5)


20 005 -3111 8095 474 7619 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 -740 7143 -828 7619 068 7619 068 7619 068 7619 476 6667

02 -292 6667 -292 6667 063 6667 063 6667 179 6190 285 6190

03 -026 6190 -026 6190 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 -220 6190 -220 6190 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 -819 8537 -819 8537 020 8780 361 8537 361 8537 466 8293

01 -355 8049 -460 8293 081 8049 081 8049 081 8049 302 7805

02 -453 7805 021 7561 -012 7561 -012 7561 -012 7561 136 7317

03 -201 7317 115 7073 -057 7317 -057 7317 -057 7317 115 7073

04 -041 7073 -041 7073 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 -307 7317 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 -1444 8852 -059 8852 203 8852 203 8852 203 8852 011 8689

01 -087 8361 -176 8525 020 8525 020 8525 038 8361 305 8197

02 -276 8033 -029 8033 158 7869 158 7869 158 7869 085 7869

03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 010 7705

04 -163 7705 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 146 7377

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541

80 005 -426 9012 -426 9012 316 8889 316 8889 316 8889 270 8889

01 -503 8765 023 8642 126 8642 126 8642 126 8642 023 8642

02 -179 8272 -004 8272 152 8148 152 8148 152 8148 098 8148

03 -014 8025 -014 8025 128 7901 128 7901 128 7901 079 7901

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 097 7778

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 170 7654

100 005 -725 9109 014 9109 159 9109 159 9109 218 9010 086 9010

01 -176 8812 -176 8812 023 8812 216 8713 216 8713 163 8713

02 -169 8515 047 8416 033 8416 -095 8515 -095 8515 134 8317

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03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 146 7377

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 227 7213

80 005 -545 9136 151 9012 -553 9136 034 9012 034 9012 151 9012

01 -121 8765 -121 8765 -060 8642 -060 8642 -060 8642 270 8519

02 -004 8272 -004 8272 -019 8272 -019 8272 -019 8272 152 8148

03 -014 8025 -014 8025 -021 8025 -021 8025 -021 8025 128 7901

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 170 7654

100 005 014 9109 -153 9208 -131 9109 -131 9109 -131 9109 326 9010

01 057 8812 057 8812 023 8812 023 8812 023 8812 216 8713

02 047 8416 047 8416 033 8416 033 8416 033 8416 174 8317

03 002 8218 002 8218 -004 8218 -004 8218 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 148 7921

200 005 -002 9403 -002 9403 033 9353 -034 9403 -034 9403 172 9353

01 016 9154 -091 9204 -015 9154 -015 9154 -015 9154 169 9104

02 -018 8905 -018 8905 -024 8905 -024 8905 -024 8905 085 8856

03 050 8706 -034 8756 047 8706 047 8706 047 8706 131 8657

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 100 8557

Media Global -215 8102 018 8051 -082 8058 -039 8042 -038 8037 204 7880


Tabla AV2


n le 60 n ge 80


ZW0 21 -505 7516 ZE2 14 -173 8587


GW4 18 -394 7433 GW4 12 -119 8541


A5 0 236 7281 A3 0 -019 8587 A1 2 056 7496 A4 0 -019 8587 A4 8 -057 7486 A1 0 -020 8607 A3 8 -058 7496 A5 0 172 8479 A2 10 -113 7525 A0 2 -040 8602 A0 12 -389 7602 A2 2 -051 8592



n π ZE0 ZW2 ZW3 A1

20 005 -059 8095 074 7619 -059 8095 074 7619

01 -013 7143 076 6667 -013 7143 076 6667

02 000 5714 074 5238 000 5714 -041 5714

03 041 4762 -028 5238 041 4762 -028 5238

04 -001 4762 -001 4762 -001 4762 -001 4762

05 -018 4762 -018 4762 -018 4762 -018 4762

40 005 -039 8537 093 8049 066 8293 066 8293

01 -055 7805 085 7317 049 7561 -098 7805

02 006 6829 056 6585 020 6585 -009 6829

03 012 6341 012 6341 012 6341 -049 6585

04 -044 6341 006 6098 046 5854 006 6098

05 036 5854 -066 6341 036 5854 036 5854

60 005 002 8689 072 8525 002 8689 072 8525

01 -064 8197 062 7869 043 7869 025 8033

02 -046 7541 012 7377 042 7213 012 7377

03 030 6885 -006 7049 030 6885 -006 7049

04 -016 6885 -016 6885 -016 6885 -016 6885

05 -035 6885 -035 6885 038 6557 -035 6885

80 005 035 8765 079 8642 035 8765 -086 8765

01 -045 8395 057 8148 045 8148 -060 8395

02 024 7654 -011 7778 024 7654 -011 7778

03 000 7407 000 7407 000 7407 000 7407

04 017 7160 -019 7284 017 7160 -019 7284

05 003 7160 003 7160 003 7160 003 7160

100 005 -015 8911 085 8713 057 8812 -002 8911

01 -020 8515 035 8416 -003 8416 -024 8515

02 016 7921 012 7921 016 7921 -018 8020

03 -017 7723 015 7624 -017 7723 015 7624

04 -004 7525 -004 7525 -004 7525 -004 7525

05 -020 7525 -020 7525 -020 7525 -020 7525

200 005 -044 9254 050 9154 038 9154 -049 9254

01 -030 8955 036 8856 033 8856 -034 8955

02 -002 8557 -005 8557 -002 8557 -005 8557

03 -007 8358 015 8308 -007 8358 015 8308

04 -014 8259 -014 8259 -014 8259 007 8209

05 013 8159 013 8159 013 8159 013 8159

Media Global -011 7517 025 7413 015 7436 -006 7490


20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095 01 068 7619 068 7619 068 7619 068 7619

02 063 6667 063 6667 063 6667 063 6667

03 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 020 8780 361 8537 361 8537 01 -067 8293 081 8049 081 8049 197 8049

02 -217 7805 -012 7561 -012 7561 021 7561

03 -057 7317 -057 7317 -057 7317 -057 7317

04 155 6829 155 6829 155 6829 -041 7073

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 203 8852 -258 9016 01 020 8525 020 8525 020 8525 020 8525

02 158 7869 158 7869 158 7869 -029 8033

03 -157 7869 -001 7705 -001 7705 010 7705

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541

80 005 -131 9136 316 8889 316 8889 151 9012 01 126 8642 126 8642 126 8642 -121 8765

02 152 8148 152 8148 152 8148 -004 8272

03 128 7901 128 7901 128 7901 -014 8025

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901

100 005 159 9109 159 9109 159 9109 -153 9208 01 -136 8911 023 8812 216 8713 057 8812

02 -095 8515 033 8416 -095 8515 047 8416

03 -128 8317 -004 8218 -004 8218 002 8218

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 -002 9403 01 061 9154 061 9154 061 9154 -091 9204

02 085 8856 085 8856 085 8856 -018 8905

03 -034 8756 -034 8756 -034 8756 -034 8756

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657

Media Global 020 8055 079 8005 092 7997 018 8051

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K 299

PR

OP

OR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

S

300

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS


20 005 245 8571 245 8571 245 8571 245 8571

01 568 7619 -330 8095 568 7619 568 7619

02 -559 7619 018 7143 018 7143 -013 7143

03 166 6667 166 6667 166 6667 166 6667

04 -075 6667 -075 6667 -075 6667 -075 6667

05 -153 6667 -153 6667 -153 6667 -153 6667

40 005 520 8780 -381 9024 520 8780 520 8780

01 433 8293 -143 8537 433 8293 -224 8537

02 283 7805 -160 8049 283 7805 283 7805

03 -186 7805 129 7561 -186 7805 -186 7805

04 256 7317 256 7317 256 7317 256 7317

05 193 7317 193 7317 193 7317 193 7317

60 005 -248 9180 213 9016 213 9016 -248 9180

01 -261 8852 132 8689 132 8689 -261 8852

02 265 8197 -081 8361 265 8197 -097 8361

03 -200 8197 073 8033 -200 8197 -200 8197

04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869

05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869

80 005 369 9136 -053 9136 369 9136 369 9136

01 109 8889 355 8765 109 8889 109 8889

02 -225 8642 053 8519 -225 8642 -225 8642

03 -118 8395 110 8272 -118 8395 -118 8395

04 138 8148 138 8148 138 8148 138 8148

05 071 8148 071 8148 071 8148 071 8148

100 005 -002 9307 310 9208 -002 9307 -002 9307

01 -301 9109 037 9010 364 8911 025 9010

02 -027 8713 188 8614 -027 8713 -027 8713

03 -009 8515 -009 8515 -009 8515 -009 8515

04 179 8317 -036 8416 179 8317 179 8317

05 114 8317 114 8317 114 8317 114 8317

200 005 292 9453 -046 9502 292 9453 -067 9502

01 -238 9353 007 9303 245 9254 000 9303

02 076 9055 -121 9104 076 9055 076 9055

03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955

04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856

05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856

Media Global 052 8360 038 8349 130 8326 044 8355

Tabla AV4


α=1 n le 60 n ge 80


ZE0 0 -015 6865 ZW3 0 013 8130 ZW3 0 018 6742 A1 0 -017 8178 ZW2 0 031 6704 ZW2 0 020 8122

α=5 n le 60 n ge 80


ZE0 4 026 7516 ZW3 0 069 8562

α=10 n le 60 n ge 80


ZW2 0 016 7911 ZE0 0 018 8818 A1 0 057 7897 A1 0 031 8812

ZW3 0 172 7852 R1 0 033 8815 ZE0 2 085 7901 ZW2 0 060 8787

INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

AC

IOacuteN

LIN

EA

L D

E K

301 P

RO

POR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

STabla AV5


=1


01 084 5455 -028 6364 -028 6364 084 5455 01 010 8169 012 8028 006 8169 010 8169 02 036 4545 036 4545 036 4545 036 4545 02 036 7465 014 7465 -006 7606 -016 7606 03 -006 3636 -006 3636 -006 3636 -006 3636 03 014 7183 002 7183 -026 7324 014 7183 04 -083 3636 083 1818 -083 3636 -083 3636 04 001 7042 001 7042 001 7042 001 7042 05 -115 3636 080 1818 080 1818 -115 3636 05 -015 7042 -015 7042 -015 7042 -015 7042

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40 005 -381 9024 520 8780 520 8780 520 8780 100 005 310 9208 -002 9307 -002 9307 -002 9307 01 -143 8537 433 8293 433 8293 -224 8537 01 037 9010 364 8911 -301 9109 025 9010 02 -160 8049 283 7805 283 7805 283 7805 02 188 8614 -027 8713 -027 8713 -027 8713 03 129 7561 -186 7805 -186 7805 -186 7805 03 -009 8515 -009 8515 -009 8515 -009 8515 04 256 7317 256 7317 256 7317 256 7317 04 -036 8416 179 8317 179 8317 179 8317 05 193 7317 193 7317 193 7317 193 7317 05 114 8317 114 8317 114 8317 114 8317

50 005 -036 9020 622 8824 622 8824 -147 9020 150 005 078 9404 433 9338 -288 9470 067 9404 01 370 8431 083 8627 083 8627 083 8627 01 -028 9205 253 9139 253 9139 -040 9205 02 208 8039 -087 8235 -087 8235 -087 8235 02 -031 8940 182 8874 182 8874 -036 8940 03 120 7843 120 7843 120 7843 120 7843 03 100 8742 100 8742 100 8742 100 8742 04 -113 7843 -113 7843 -113 7843 -113 7843 04 037 8675 -130 8742 -130 8742 -130 8742 05 -189 7843 -189 7843 -189 7843 -189 7843 05 139 8609 139 8609 139 8609 139 8609

60 005 213 9016 213 9016 -248 9180 -248 9180 200 005 -046 9502 292 9453 292 9453 -067 9502 01 132 8689 132 8689 -261 8852 -261 8852 01 007 9303 245 9254 -238 9353 000 9303 02 -081 8361 265 8197 265 8197 -097 8361 02 -121 9104 076 9055 076 9055 076 9055 03 073 8033 -200 8197 -200 8197 -200 8197 03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955 04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869 04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856 05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869 05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856 Media Global 054 8212 130 8192 066 8214 031 8230


Tabla AV6















INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

AC

IOacuteN

LIN

EA

L D

E K

305

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES


n ZW2 ZW2c ZW3 ZW3c

20 005 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 400 5714

03 252 5714 252 5714 252 5714 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 081 8049 345 7805 081 8049 345 7805

02 -012 7561 227 7317 -012 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 402 8689 203 8852 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 336 8197

02 158 7869 158 7869 158 7869 158 7869

03 -001 7705 165 7541 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 316 8889 316 8889 316 8889 316 8889

01 126 8642 126 8642 126 8642 270 8519

02 152 8148 152 8148 152 8148 152 8148

03 128 7901 128 7901 128 7901 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 385 8911 159 9109 326 9010

01 023 8812 216 8713 216 8713 216 8713

02 033 8416 174 8317 -095 8515 174 8317

03 -004 8218 125 8119 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 172 9353

01 061 9154 061 9154 061 9154 169 9104

02 085 8856 085 8856 085 8856 085 8856

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 079 8005 211 7857 092 7997 221 7840

n ZE0 ZE0c A1 A1c

20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 285 6190

03 252 5714 252 5714 -026 6190 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 276 5238

05 086 5714 086 5714 086 5714 382 4762

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 -067 8293 345 7805 197 8049 197 8049

02 -217 7805 227 7317 021 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 -041 7073 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 -258 9016 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 216 8361

02 158 7869 158 7869 -029 8033 272 7705

03 -157 7869 165 7541 010 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 258 7213

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 -131 9136 316 8889 151 9012 151 9012

01 126 8642 126 8642 -121 8765 270 8519

02 152 8148 152 8148 -004 8272 254 8025

03 128 7901 128 7901 -014 8025 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 159 9109 -153 9208 326 9010

01 -136 8911 216 8713 057 8812 057 8812

02 -095 8515 174 8317 047 8416 174 8317

03 -128 8317 125 8119 002 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 -002 9403 -002 9403

01 061 9154 061 9154 -091 9204 169 9104

02 085 8856 085 8856 -018 8905 163 8806

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 020 8055 199 7868 018 8051 215 7840


Tabla AV8


n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 A1 0 -020 8607

ZE0c 0 241 7247 ZW2 0 065 8562

ZW2c 0 253 7237 ZW3 0 069 8562

ZW3c 0 261 7208 ZE0c 0 157 8488

A1c 0 268 7203 A1c 0 163 8478

A1 2 056 7496 ZW2c 0 170 8476

ZE0 4 026 7516 ZW3c 0 182 8472

Tabla AV9


n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 ZW2 0 065 8562

ZW5 0 192 7247 ZW3 0 069 8562

ZE0c 0 241 7247 ZW5 0 102 8502

ZE0 4 026 7516 ZE0c 0 157 8488

ZW0c 10 -279 7334 ZW0c 2 033 8491

A0 12 -389 7602 A0 2 -040 8602

ZW0 21 -505 7510 ZW0 10 -179 8607

TESIS_I

INDICE_4_FIN

PROacuteLOGO





CAPITULO V_9_FIN


CONCLUSIONES_9_FIN

Referencias_3









101080 10629360601026386

















Congresos




2009)













235)



I+D (MTM2009-08886)




AGRADECIMIENTOS




























Albert Einstein

IacuteNDICE

Paacuteg

PROacuteLOGO XIII



I2 NOTACIOacuteN 3







obtienen 7











coherente 13
















I51 Objetivo 28











familia (α=5) 35







de casos) 38


nunca) 39


IacuteNDICE III


































II61 Objetivo 65











(α=5) 77







Capiacutetulo I 81












IacuteNDICE V




































III61 Objetivo 111























LW1 125








IacuteNDICE VII






















IV421 Objetivo 143














ZW4 150



























V61 Objetivo 164



IacuteNDICE IX















ZE0 172


ZW2 172



PRODUCTO CRUZADO


























CONCLUSIONES 187

REFERENCIAS 191


Tabla AI1 202

Tabla AI2 204

Tabla AI3 206

Tabla AI4 208

Tabla AI5 212

Tabla AI6 214

Tabla AI7 216

Tabla AI8 218

Tabla AI9 220

Tabla AII1 222

Tabla AII2 234

Tabla AII3 235



Tabla AII9 240

IacuteNDICE XI

Tabla AII10 241

Tabla AII11 242

Tabla AII12 243

Tabla AIII1 244

Tabla AIII2 268

Tabla AIII3 271

Tabla AIII4 277

Tabla AIII5 278


Tabla AIII9 280

Tabla AIV1 281

Tabla AIV2 287

Tabla AIV3 288


Tabla AIV6 292

Tabla AV1 293

Tabla AV2 298

Tabla AV3 299

Tabla AV4 300

Tabla AV5 301

Tabla AV6 304

Tabla AV7 305


PROacuteLOGO






















i iβ ββ λ β




























al caso aproximado














PROacuteLOGO XV

























obtenidas






















CAPIacuteTULO I







Tabla I1



1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2


K xk yk nk βk

Total a1 a2 n
















coacutemoda











(2007) etc
















3







I2 NOTACIOacuteN










2

22expi i i i

Lz

p q n

(11)




la forma











i

Bndash=

0i

i

















ii i i i

u l Lp

l u L

(14)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(15)


5










12

ii

i

np

donde

2B

n

(17)




tengan dos

versiones

Pa ip

= (17)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




Nz 2Ez 2










expresioacuten (12)

ICW 2

2i i i

i

p qL L z

n

(18)

ICN 2

2i i i

i

p qL L z

n

(19)



22 22 2

222

1

2 2i ii

i i i i i i i

p pn z zl u p z

n z n n n

(110)







ICPa 2

2 2 22 2 2

2 22

2

2 2 i

i

B LBz z n znL L

n z n n n n

(112)

ICPb 22 2 22

2 2 22 2 2 2

2

2

2 2


n nz n n n

(113)

con 2i

I i

Sn

i

I

n n e 1

2i

i

| |I i | B n

n


7


























2 hi=2

2z 2K



3

22

22

11 si 1


0 en otro caso

11 si 1


0 en otro caso

iii

i I

i

iii

i S

spz I K

K

hs

pz S K

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s







Pb3







2

22Wi i i i

Lz

p q n

(114)










9


























22 Σ V i i





ˆ p

2 22i i p l z o 2 2



i i i il u

y

Maacutex L=0 0i i

i i i iu l




22 22 2

0 0

22 22 2

0 0

maacutex

miacuten

i i

i i



p u p l p l u

L Lp l p u p l u

(115)










1 2

1 2

1 20 0 0 1

Ki i i

K

n n n Ki x n x

i i Kx x x i i

nR p q I x x x

x

(116)





1 2

1 20 0 0 1

K

i i i

K

n n n Ki x n x

i i S Ix x x i i

nl p q

x

(117)


11

































































13











coherente












βilt0















0 si 0i

ii i

dz dz dz

dp d d

(118)






2 2

2

2 2

si lt

si gtN

L R Lz

L R L

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i


n n n n






mismo




15




actual



i

np q

x






0 i i i K K KK K K


n p p n p pdpdi


ie

i i ii i i i

i i i i i i i

n p pn p n qC i

p q p q

(119)

















E i i i i i i i i



(121)


i i i iˆ ˆp q C n



VE= 2i i i i








Por otro lado como

2 si2

2 sii

C

B m Cy( C )lim B

C B m C



2 2i i i i ii i i

C C Ci i i


n C R

2 si1

2 sii i i

T h C +n s b

n T h C


i i iT x n x



17

24

0i i ii i i

i i i


s A R

(122)











siguientes

20

20

Si 4

Si 4

i i

i i

L L n C T B

L n T B C L n

(123)



marcas)









2 2 2


i i i i i i i i









2

2 2 2 22

1 2

E

i i i i i i

i i

C z L

R n n bC C

b p

(124)





2

22Ei i i i

Lz

ˆ ˆp q n



2

22

si4

siE

i i

T L B LLz

n n T L B L

con

0 0i i

i i iT x n x

(126)





19




Ez















2z podemos


22I IL z C y 2




2

2 4i

i

L zn

I 2

22

2

z B TL

z T

222

2

z B n T L

z n T

S 2

2 4i

i

L zn



2z










d 2Ez d











2 2 ( )

i i i i

i i i i


d D dp DR d DR

(129)




2 2( )

1Edz LC

d D

2 2 ( )1 iE

ii i

n LdzC

dp DR


21

2 ( )( )i iE

ii i

R A LdzC p

d DR

(130)









2 3

2 32


i i

p q p q bR n bC C C

n n

(131)





1 2 0E EL z L V z V





1L V

22 EL V z 2


aproximados

2 2

2 2 22 22 2 1 22

1 11 2 1 2 2 E

L V Vz L z z V z

V VV L V V

(132)












2 2

2

1


i i i i

bV p q b p q

n n nV K n



2 22 2 2

1

con2 2

i i i

i

z V x hb zL h

V n K









( 22z 4)






23















12

2

si

si E

L N B Lz

L N B L

2 2

1 2 2 22 2

1 2 2 2

N L z B N L z BL

N z N z



2

2 221 2 12

2

42

j j j

j

zCI L B B N z V

N z

22

2 2 22 2 22 2 2 2 12

1 12

42

j j j j j

j


V VN z









2222

22 2

2

1

2 1

ij ii

j

i

ij ii

j

nn

K N zzh

nn z

K N z

y

22

22

(1 ) si

2

(1 ) si

2

i

i

i

z I KL

Khz S K

LK












1 2 1 2

0i i K KK ii i

i i i K i K K i K

p pdV V dp V V VV

dp p dp p p p n n

(ineK)









25


seraacute aV



2

222

4

2Pa

i

i

Lz

B

n n

(134)








lt0 ( ip


sustituirlo por ip

=0 ( ip


=0 y esos




2

22 21

con e 4

i iPb b iI I

b i i

L | |z V n I i | |

V n n

(136)




valores de ip




entre 0 y 1)








con 4 2g V L

2i i n



2 2| B L | | B | n 2i i n 2






1 2Pa i iL dz dp











2p =116






27





muestral



2

2 si

0 si

i i i iexpc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(137)










2Ecz L L c siendo 2

Ecz el









I51 Objetivo






habituales para L)















del 10)

K=3 (n1 n2 n3) = (10 10 10) (30 30 30) (30 10 10) y (30 20 10) (1 2 3) =

(13 13 13) (1 12 12) (1 12 2) y (1 1 1)

K=4 (n1 n2 n3 n4)=(10 10 10 10) (20 20 20 20) (20 20 10 10) y (20 15 10 5)

(1 2 3 4) = (14 14 14 14) (1 +1 1 +1) (13 13 13 1) y (3 1 1 3)




29















real























una tabla a otra
















muestral)




continuacioacuten




31

W4 hi = 2

22i

i

n z

Kn z

W5 hi =

2

22

nz

K n z

W6 hi =

2

2 22 2i

i

nn z

K n z n nz






W7 2

2 1ih i

ih ih

n zh

N

W8 22

22

1

2 1

ih ii

hi

ih ii

h

nn

K N zzh

nn z

K N z




W9

2 2

1 2

2 2



4 4

i i i i

i

i

z zp x

K Khz K z K

x K K

W10 (nueva) 2

12

ii

i

z nh K

K n






















continuacioacuten



adjusted Wald)

EA1 2

2 22 21

1 12 2

V VL L z z V z

V V

EA2 2

2 22 2 312 2

3 1 1 1 1

1

1 2 2

V V VL L z z V z

z V V V V V

EA3 2

2 2 32 21

1 1 12 2

VV VL L z z V z

V V V

con 2 3 2 4 31 2 3 5 1





33

3 2

22

1

i ii

i i

b nV

V n

4 3

32

1

i i

i i

nV

V n



de EA1






1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 si 1 2


1 si 01 si 1 2

0 en otro caso

i ii i i i i i

iii

iii ii i i i i i

p s N n B b

s

p s N n B b



EA4 2

2 212

42

h h h h

h

zL L B B N z V

N z

EA5 22

2 2 22 212

1 1

42

h h h h h h

h


V VN z

















APa01 2

2 2

2i

i

B LzL L

n n














meacutetodo Pa0




35


mejor meacutetodo




















el meacutetodo W3




(=5)






























comportamiento)





37
















fiable)













i I SΒ L

0i

+iΒ






anteriores


casos)



22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0

con 1 si 0

ii

i

s



2

2i i i

i

p qL L z

n

2

223

i i iW

i

p qz L

n





39

2 22 2 2

22 2 20 22 2

2

2 4

2 2 2 i

Pa

i i

i


n z n n n n B

n n









Tabla I2

Fibra CON SIN




















Tabla I3


Bangladesh

Brasil

India

Peruacute

Vietnam

Total

158

107

175

092

143

675

73

32

44

34

104

287

158675

107675

175675

092675

143675

1




22z = 2

2 5 z =1962 y 2 2 2 21 2 30 15 1 96 30 30 1 96 7 5 1 96i iL C R a



















41





E0 00719 03164 03934 03162 04581 03161 04256 00349

W3 00646 03162 03876 03162 04522 03162 04256 00348

Pa0 ndash00646 03520 ndash03876 03454 04522 03428 04256 00372

CAPIacuteTULO II














Tabla II1



I x1 y1 n1 β1=1

II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n











caracteriacutestica



















literatura

II2 NOTACIOacuteN










Z

2

2

1 1 2 2

1 2

1 1Z

d δz

p p p p

n n

(21)

X 2

22 si | | 0

0 si | |=0

i i ii

X i i

n p pχ d δ

z p q

d δ

(22)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

y

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(23)























1 1 2 2

si d

si d

p u p l

p l p u

(25)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(26)






a np

n

y 1 1

2 1

+a np p

n

(27)



versiones

Ca ip = (27)







22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y 1 3 2 3cos A B



2

n np

n

y 2

2 1 2

n np p

n

(29)


sea un


tenga dos versiones

Pa ip

= (29)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




ZNz

2ZCaz 2

ZCbz 2ZEz 2

ZPaz 2ZPbz 2










conocido)









L (I S) = 2

2 22 22 2 1 2

1 12 2α α α

V Vd z z V z

V V

(210)

en donde

1 1 2 21

1 2

p q p qV

n n y

1 1 1 2 2 22 2 2

1 2

2 1 1 2p q p p q pV

n n

(211)






1 22 2

2 1 21

1

1 2

2 1 1 2

Si = 0 1 1

p p

V n nV

Vn n










1 hi =05 (Woolf)


3 hi=2

2 4z


4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p



anteriores












1 1 2 22 1 2 1

1 2


n n





dd plusmn 1 1 2 22

1 2

p q p qz

n n












ZW 2

2

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p qn n

(212)


1 2

p q p qz

n n (213)











ICZN

2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1

d z l l n u u nd

d z u u n l l n

(214)


ZN

2 1 1 2 2

1 22

2 1 1 2 2

1 2

1 1 si

= 1 1

si ZN

l l u ud d

n nz

u u l ld d

n n

(215)







2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

I

S

d u p p l

d p l u p











forma

ZCab 2

2

1 1 2 2

1 2

ZCa b

dz

p q p qn n

(216)





ICZCa 2 0A B C con

222 2 1 1 2 1 2

22 2 1 2 1 1 2

2 21 2 2 1 2

2

A z n n n n nn n

B z n n a a nn n d

C nn n d z a a

(217)










ZE 2

2

1 1 2 2

1 2

ZE

dz


(218)













el valor 1p



ZPa 2

1 222 2

1 2

4

4ZPa

nn n dz

n n n

(219)

ICZPa 2 2

222 2

1 24

n z dd n d z n z

n n n

(220)



lt0 o ip

gt1) lo









Zc 2

1 1 2 22

1 2

si

0 si Zc

p q p q| d | c | d | c

z n n

| d | c

(221)



























2

2exp

O E

E



obtiene que

2 2 2

1 1 1 2 2 22

1 1 1 2 2 2

i i iexp

i i

x n p x n p n p p

n p q n p q p q

(222)






22

1 11 2

1 1


(223)









22 2

2 22 22 1 1 1

1 2

1 2

ˆ( )ˆ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) ( )(1 )ZE XE

x n pp p x n pz z



1 1 2 12

2 2 2 1

1 si 0 1=

1 si 1ZE



(224)










A 2

1 22

1 2

A

n n dz

n n

(225)






AE 2

1 22

1 2

AE

n n dz

n n

con

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

ˆ ˆsin p sin p

(226)






iterativos







1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(227)

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(228)










valor nominal









1 1 2 2 211 21 2 0

1 2

1 1n x x n xx

RC RC


x x

(229)




1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x









sigue


























































otro caso






el 50 de las veces












































2

2

1 2 1

L

dz

V d V V

(231)







1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n









1 23 4h z y 22 2 4h z


superior








que el estimador ip


lt0 o ip

gt1) Si se obliga




2 2 21 2 1 22



i i

ZPb

i i i i


V n n n

(232)








22

2 212 12

1 2 1 1

4 12 2

X

sz znd z n sd sd

n z n n

(233)














1 2 1 2

1 2 1 2 2 12

2 1 2

2 2 2

2

1 1


1 con si o

1si o

ZCb

p p p p a a a a

n n n n n n

d p p a az V=

V n n n

p p a

n n

1

1

a

n

(234)






2 2 2 1 12B z n a a n n d


22 22 2 1 1 2 1 22 1 2 1 2

1 2 2 2 21 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1 2

221 2 1 2 1 22 2 2

ZCb 2 22 2 2 22 1 2 2 2

21

21 2

4

2 2

IC 2 2

i i

i

i


nn n nnn n

nn n n n n n z


n n n z n n nn n

n n

n n n

2

2 2 1 2 2 2 1 12 22 2 2

2 1 12 2

i

n a a n z p qd z z

z n n nn n











Ac 2

1 22

1 2

si

0 si

Ac

n n d cd cz = n n

d c

(235)


















1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x




p DRC

P x x | H










II61 Objetivo








valores de l









especificaraacuten






















2exp z z









































menos fallos










meacutetodo que B)



























a demasiados fallos




conservador)














continuacioacuten






ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si Utilizar 1

Si Utilizar 1

p p x x

p p x x




le haya descartado


cantidad fija



ZW5

22

222 2

i i

i

n zh

n z

ZW6

22

2 22 24 2

i i

i

nn zh

n z n nz

ZW7

222

24

i

nzh

n z

ZW8

2 2

2 2

2 22 22 2

i

i

i

n z n zh

nn z n z

ZW9 2

222

1 11

4 2

i i

zh z

n n

ZW10

22 2

2

22 2

2

11

4

14 1

4

i

hi

i

h

zn z

nh

zn z

n

ZW11 2 2

2 22

4 2

i

z n zh

n

ZW12 2 2

2 214 2

i

i

z zh

n




ZW13

22

1

22

2

si 2 1

si 2 1

i i

ii

i i

i

I n zd

N Ih

S n zd

N S

ZW14

221 22

22 2

1 2

222 22

22 2

2 2

1

2 si

2 1

2

1

2 si

2 1

2

i ii

i ii

i

i ii

i ii

I nn

N zzd

I nn z

N zh

S nn

N zzd

S nn z

N z

en donde

1 21 2 1 1 1 1 2 2

1 2

1 21 2 2 2 1 1 2 2

1 2

1 si 0 1 si 1 2 1 1 2

0 si 0 0 si 1

1 si 1 1 si 0 2 1 1 2

0 si 1 0 si 0

i i

i i


p p


p p

(236)




ZW15

22

22

si 0 y 14

en otro caso2

i i

i

zp p

hz

ZW16 2

2

1 2

21

4i

z nh

n n




ZNC0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d


ZNCA0 2 1

2 1

Cb para = si

Cb para = si

I

S

l u d

u l d









indica)

ZCb0

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p a +n n a n a n

p a n n p a n a n



estadiacutestico

ZCbD0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p a n a n

p p a n a n







ZCbA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p =p a n a n

p p p a n a n

ZCbDA0

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1


0 si o

0 si o


p p d a n a n

p d p a n a n



ZCbAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22

2 2

22 2 12

22 2 2

2


2

si o 1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a

n n n np p p p z

n n n

n z d c

n a az =

np p z

n n

2

22

1 2

11 2

21 11 1 2

1

2

si o 1

2

n

n z d c

n a a

n np p z

n n

ZCbDAA0

22

2

1 2 1 22

2 2 11 1 2 2 2

2

22 2

2 2 2

2 22 2 1

22 2

2

2 2


2si o

1

2

1

1

exp

n zd c

n a a a a


z n zd sig c

n n a az =

n nd d z

n n

d sig

22 2

2 1 2

1 1 1 2

21 1

2

1 1

2si o

1

2

z n zc

n n a a

n nd d z

n n











viene dado por

ZCbN0

si

si

si

i i i i i

i i i i

i i i i

p p l p u

p l p l

p u p u



ZPb01

2 2 21 2 1 2

24 4 si 2 maacutex


i i

exp

i i i i


V d d n n n

ZPb02

2 2

21 si 2 maacutex


i i

exp

i i i i

d n n nd cz V=

V d d n n n





2 2i n z n



































3 33 1 1 1 1 1 2 2 2 2 25 1 5 1V p q p q n p q p q n



LA0

2

2 22 2 32 2 1 2

2 3 1 1 12 2

1

1

2 21

V V Vd z z V z

V V V VzV



aproximacioacuten

LB0 22 22 2 1 2 1 2 2 1 3 12 2 d z V V z V z V V V V


1 22 2

2 1 2

1

1 2

2 1 1 2

1 1

p p

V n n

Vn n

y 3 3

3 1 2

1

1 2

1 1

1 1V n n

Vn n






LC0

22 22

2 122

42

h h h h

h

zd B B N z V

N z

LD0 22

2 2 22 2 22 2 2 12

1 12

42

h h h h h h

h


V VN z

















equilibradas









equivalente al ZW3























anterior


















resultados






















con cpc)









muestras moderadas)




























demasiado liberales














demasiado liberales












preferibles son


















II64 se observa que







respectivamente





Capiacutetulo I






































Caso General


el IC)














2

1 1 1 11 2 2 1 2 1

21

1 2

AE


n n

(237)



2 2 1 12c n n n a 3c n 22 1 33B c c c 3

3 1 2 0 3 24 5 3A c c c c c c y

1 3 2 3cos A B








21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I d

p ph

p pz S S S d

p p



1 1 2 22

1 2

p q p qd d z

n n 2

24

1 1 2 2

1 2

ZW

dz

p q p q

n n

(238)









2

2 11 22 1

1 1 220

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y 2

si 0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq


(239)




2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 220

1 21 2 2 1

si 1 si con

2 si 0 si ZE c


n nx y x y c




2

2 11 22 1

1 1 223

21 21 2

1 22 1

1 si si

1 1 con y

2 si

0 si

ZE c

p p cc n np p c

p a n n n nz pq

q a nn nc n n

n n np p c

(240)


2

1 2 2 11 22 1 2 2 1

3 1 2 1 21 2

1 2 2 1

1 si si con

2 si 0 si

ZE c






2

12 2 13

2

1 2

con 1 1

ZE

p a np pz

q a npq

n n

(241)


2

2 1 2 2 13

1 2 1 2ZE

x y x yz n

a a n n

















l(AE1) = 01772





Tabla II2





Total 152 12 164




















CAPIacuteTULO III
















para R

Tabla III1




II x2 y2 n2 β2=+1

Total a1 a2 n





















literatura

III2 NOTACIOacuteN









Z

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1Z

p ρpz

p p p pρ

n n

(31)


R

2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

1 1R

p ρpz

p p p pR

n n

(32)

L

2

2 12 1 2

1 1 2 2

2 1

si 0

0 si =0

L

ln R ρ| p ρp |

q qz

n p n p

| p ρp |

(33)

X 22

2 12 2

2 1

si | | 0con =

0 si | |=0 i i i i

X ii i

χ p ρp n p pz χ

p qp ρp

(34)

en donde 2

2

0 si 0 o 1

si 0 o 1

i i i i i

i i i i i

χ p p p p

χ p q p q

A 2

1 22

1 2

4A

n n d δz

n n

donde

1 12 1

1 12 1

d sin p sin p

δ sin p sin p

(35)



Zz 2Rz hellip 2





















N (Newcombe) 1 1 2 2 2 1

1 1 2 2 2 1

si 0

si 0

p u p l p p

p l p u p p

(37)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

i

i

z z x yx z

nu

n z

(38)





C (Condicionado) 11

1 2

ap

n n

y 2 1p p (39)



versiones

Ca ip = (39)






2

1 2 2 1 1 2 2 1 1

1

4

2

n x n x n x n x nap

n

y 2 1ˆ ˆp p (310)




x xp

n

y 2 1p p (311)


exigir que ip


ip

tenga dos versiones

Aa ip

= (311)

Ab ip


=1 si ip

gt1)



2

n np

n

y 2 1p p

(312)




tenga


Pa ip

= (312)

Pb ip


=1 si ip

gt1)




2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz 2

ZPbz 2RWz hellipy 2





















excluirse














1 hi =05 (Woolf)



3 hi=2

2 4z

4

21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p









III311 Generalidad







2 1 1 2 22 1

1 2

0 d p q p qp p N

n n


















ZW 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p qn n

(313)

ICZW R 21 2 1 22 22

2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2

11 ( )

y y y yRz z


(314)









forma

ZCab 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZC

p pz

p q p qn n

(315)









forma

ZE 2

2 12

2 1 1 2 2

1 2

ZE

p pz


(316)





22 2 2I n n z 2









valor 1p




ZPb

2 2

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

222 2 1 1 1

2

1 2 1 2 2

4 si

1 si

1 si

ZPb


z n p p n n n

n p p n n n

(317)













1 1 1 2 2 2dln R N ln q n p q n p






mismas





Ahora

LW 2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z


(319)
















LZ)

ICLZ

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2


R


(321a)




LZ

2

2 2

1 1 2 2

2

2 2

1 1 2 2

1 si

1 si

ln RR

ln u ln p ln p ln l

ln RR

ln p ln l ln u ln p

(321b)











seccioacuten III633









vienen dados por

LCb 2 2 1 2

1 1 2 2LCb

q qz ln R

n p n p

(322)

LE 2 2 1 2

1 1 2 2LE

ˆ ˆq qz ln R

ˆ ˆn p n p

(323)








XE

2 2

1 1 2 22

1 2 1ZE

ˆ ˆx n p x n pz


(324)








XCb

2 2

2 1 1 2 2

1 2 1XCb

x n p x n pz

n pq n p p

(325)










ZCbz 2ZEz 2

ZPbz

2XCbz 2











1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(326)



1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(327)











1 1 2 22 11 21 2 0

1 2

1 1n x n xx a

RC RC


x x

(328)




1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x


























































comportamiento)







ZN

2

2 1

2 1 1 2 2

1 22

2

2 1

2 1 1 2 2

1 2

si 1 1

=

si 1 1

ZN

p pR

l l u u

n nz

p pR

u u l l

n n

(330)

ICZN

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

1 2 2

2

1 2 2

2


R


(331)









LN

2 1 2

21 1 2 22

1 2 2 1 2

1 1 2 21 1 2 2

1 1si

1 1si

LN

u lln R R

n u n lln R z


(332)

ICLN

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

exp 1 1

exp 1 1

R p u p lR

R p l p u

(333)










2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆn p n p C p p y 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆn p n p C p p


que

2 22 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ 2n p n n p C p p (334)








1 1 1 2 2 2 21 1

1

ˆn p n p n

p pn

(335)


2 2p p 1 1 1 2 2 2 1

2

n p n p n

n

(336)







ip

=1 cuando ip












(33) (34) y (35)






1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

si

1 si

1 1 si


p p x n x

p p n x x



ZAb

2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(337)




2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 2

2 2 0

2 0

2 0


n p z n p p z n p

n p n p p z n p z


proceso siguiente


2222 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1

1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

2

2 2


Rx nn p z n x

(338)







2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(339)


2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(340)










ICZPa 2

1 2 2 1 2 1 2

21 2 2 1

4 2

4

np p z a z n n nR

np n z n

(341)



















2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RW

p ρpz

p q p qR

n n

y

2

2 2 1

2 1 1 2 2

1 2

RN

p ρpz

p q p qR

n n


21 2 1 2

1 11 α

nρ R z

x x n n

y 1 1 2 22 2 2

1 1 2 2

1 α

p q p qρ R z

n p n p












memoria)









2 0p 20 1p 2 1p

1 0p 3 1 3 1 3 3

1 3 1 1 1 1

10 1p 1 1 1 1 1 3

1 3 1 1 1 1

1 1p 1 1 1 1 1 3

3 3 3 1 3 1






Zc

2

2 1

2 12 2 1 1 2 2

1 2

2 1

si 1 1

0 si

Zc

p p cp p c

p p p pz = n n

p p c

(342)




Ac

2

1 2 1 22 si

0 si Ac

n n d c n n d cz =

d c

(343)



















1 2

1 2

1 2 0 1 20 0

miacutenn n

p Dx x

P x x | H I x x




p DRC

P x x | H

con RC aludiendo al







III61 Objetivo













siguientes

LW3 y LW4













ρ= 001 01 02 05 08 1 125 2 5 10 y 100










2exp z z






nominal)























menos fallos










































ellos falla































ZW35

2 1 1 2

2 1 1 2

Si 0 Utilizar 1

Si 0 Utilizar 1

p p x x

p p x x






















































baja potencia)





siguiente


extremos de


























en la misma




















promedio






































ZAb1)


















conclusioacuten es






















































2

1 2 2 1 2 2

1 12 1 1 2 2 1

2

2 2 12 2

1

2

1 2 1 2

1

si

si

si 1

ZAb

nn n p p x n x

n x xx x n x n x

n p p xz

n x

n p p n x

x

(344)






222 2 2 2 1 12

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1

22 2


x nn p z n x

(345a)




2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 22 0 n p z n p p z n p


2 2

2 22 1 2 2 1 22 2

2 1 2

1

2 4

I

z zx p z x p p

n p z

(345b)


2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 22 0 n p n p p z n p z


2 2

2 21 2 2 1 2 12

1 1

1

2 4

S

z zx p z x p p

n p

(345c)





21 22

1 21 2

21 22

1 21 2


0 si 0 0 si 14


0 si 1 0 si 04

i

i

i

p pz I I I R

p ph

p pz S S S R

p p




21 2 1 2

2 1 1 1 2 2 1 1 2 22

1 1

11

y y y yRR z z


2

2 124

2 1 1 2 2

1 2

ZW

p pz

p q p q

n n

(346)




2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1LW

ln R ln R z


y 1 2

21 1 2 2

y yR R exp z

n x n x

(347)










Tabla III3


independientes


Virus

Inoculado

SIacute 11 35 46

NO 48 54 102

Total 59 89 148







(150485)115 = 88261












= 21917




los valores exactos

Tabla III4


Test



NO ( E ) x2 y2 n2

Total a1 a2 n








la Tabla III1)





















11

11 1

p SN pVPP

p SN p EP p

con

1 1EP

SN RVP (348)

11

11 1 1

p EP pVPN

p EP p SN p

con 1 SN

RVNEP

(349)
















capiacutetulo)

Tabla III5


Resultado del test

+ ndash Total


+ 240 178 418

ndash 87 288 375

Total 327 466 793





875(7952405) = 01578 03291 04928 (795875)2405 = 29418














superior

CAPIacuteTULO IV















Tabla IV1



1 x1 y1 n1 β1

2 x2 y2 n2 β2

Total a1 a2 n





















IV2 NOTACIOacuteN









i

le λ le0i

i




Z 2

22Zi i i i

Lz

p q n

(41)



















(1927)



ii i i i

u l Lp

l u L

(43)

con

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nl

n z

y

2 22 2

2

22

2 4 i i

i i

ii

z z x yx z

nu

n z

(44)








1 2 2 1

a np

n n

y 2 1 1

21 2 2 1

a np

n n

(45)



versiones

Ca ip = (45)







32c

y 1 3 2 3cos A B




1 1 2 2 21

1

x x np

n

y 1 1 2 2 1

22

x x np

n

(47)


exigir que ip


los estimadores ip


Aa ip

= (47)


Ab ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)



2 1 1 2 11

1

2

2

n n np

n

y 2 1 1 2 1

22

2

2

n n np

n

(48)




estimadores ip


Pa ip

= (48)

Pb ip


=0 si ip

lt0 y ip

=1 si ip

gt1)




2ZNz 2

ZCaz 2ZCbz 2

ZEz 2ZAaz 2

ZAbz 2ZPaz y 2





















1 hi=05 (Woolf)


3 hi=2

2z 4

4

22

22

1 si 1 21 2 con si


1 si 01 si 1 21 2 con si

4 0 en otro caso

i iii

ii i

ii iii

p sz II L

h sp sz S

S L

















ZW 2

22ZWi i i i

Lz

p q n

(49)













ZE 2

22ZEi i i i

Lz

ˆ ˆp q n

(411)






que el estimador ip




ZPa

2

222

4

2ZPa

i

i

Lz

B

n n

(412)

ICZPa 2

2 2 22 2 2

22

2

2 2 i

i

B LB z z n znL L

n z n n n n

(413)






=0 si ip

lt0 y que ip

=1 si ip

gt1 obteniendo












convexidad






nominal




IV4 APORTACIONES









ZN

2 2

2

2 2

si lt

si gtZN

L R Lz

L R L

(414)

ICZN

2

2

L z RL

L z R

(415)

en donde

2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1(+) ( )

i i i i


i i i i


n n n n




distintos
























ip

=0 cuando ip

lt0 y que ip

=1 cuando ip





ZA 2

22 ZAi i i i

Lz

p q n

(417)









0 1 1 2 2 2H p q 0 1 1 2 2 1 2H q q y 0 1 2 1 2 1 vH p p
















i isin p y











son de la forma

2 1 2 2 1 22 1 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n na np q

n n n n

1 1 2 1 2 11 1 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x y n na np q

n n n n



2 1 2 2 1 2 2 1 2 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

y x n n x x np q

n n n n



1 2 1 1 1 1 2 1 2 12 2

1 2 2 1 1 2 2 1

x x n x y n np q

n n n n






















Zc 2 2

2 si

0 si

i i i iZc

| L | c p q n | L | cz

| L | c

(418)




ZEcz








IV421 Objetivo


























Tabla IV2




40 40 +3 +1 +05 2 40 100 +3 +1 +05 2 60 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

40 60 +3 +1 +05 2 +1 +3 +05 2 +1 +3 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+5 +1 +05 2 +1 +5 +05 2 +1 +5 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1

+1 +3 +05 2 60 60 +3 +1 +05 2 100 100 +3 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 1 +2 1 +2 1

+1 +5 +05 2 +5 +1 +05 2 +5 +1 +05 2

+1 2 +1 2 +1 2

+2 2 +2 2 +2 2

+3 1 +3 1 +3 1








seccioacuten IV414)



son equivalentes












IV2





1 1 2 21 2

1

1 21 1 2 2

1 2


A p BRC

n np p p p

x x

(419)

en donde

2 1 1 1 2

1 2 1 1 2



A B

A B

y 1 1

22

pp

(420)




1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 1 2 2 1 2

0 0 1 2

(1 ) (1 ) ( )n n

x n x x n x

x x


x x















1 1 1 2 2 21 21 2 1 1 2 2

1 2

(1 ) (1 )x n x x n x

RC

n np p p p p p

x x

(421)




1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

(1 ) (1 )n n

x n x x n xS I

x x

n nl p p p p

x x

(422)














menos fallos










observa que



















similar
























































Casos de 12 y 1=2




Casos de 1=2









2

22ZWi i i

i

Lz

p q

n

y

2

2i i i

i

p qL L z

n

(423)




22

22

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

1 si 1 21 con para

2 0 en otro caso

i iii I

i

i iii S

p sz I K I

K h

p sz S K S

K

1 si 0con

1 si 0i

ii

s

















Tabla IV3




Brasil

Peruacute

Total

107

092

199

32

34

66

107199

092199

1



Brasil

Peruacute

Total

1089208

0939208

2028416

329604

349604

679208

107199

092199

1

CAPIacuteTULO V











de dos colas para p















V2 NOTACIOacuteN







indica

Z

2

2

1Z

p πz

p p

(51)


G 2

2 11 1G

p πz np p ln ln

p π

(53)




Zz 2Lz 2

Gz 2Az ) con 2

2z (en donde














W (Wald) p x n (55)






ZEz

2LWz 2

LEz 2GWz y 2























1 h =05 (Woolf)


3 h= 22 2z (Chen)

4

22

22

1 si 11con si

0 si 12

1 si 01con si

0 si 02

pz I I pgt

ph

pz S S plt

p

5

Si sustituir por 1


p p x n

p p x n

(Barkowf)







ZW4 ZW5hellip A5



V311 Generalidad



continuacioacuten

dp N(p pqn)
















ZW

2

2

1ZW

pz n

p p

(57)








incremento h= 22 2z







pS






ZE

2

2

1ZE

pz n

(59)

ICZE p 22

2 222

2

1

2 2

p pz znp z

n z n n n

(510)








Zc

2

2 si 1

0 si Zc

| p | cn | p | c

z p p

| p | c

(511)
















GW 2

2

1GW

pz ln ln npq

q

(512)

ICGW p

11

21 zqexp

p npq

(513)












(514)












0

(1 ) ( )n

x n x

x

nR I x

x

(515)

0

(1 )n

x n xS I

x

nl p p

x

(516)






utilizar




test seraacute

100 1n xx

RC

n

x

(517)


| (1 )x n x

RC

np p p

x















aconsejado











ZW3






































alternativa)











GE 2

2 1 1GEz ln p q ln n (518)


ICGE p 1

1

21 1

qexp z n

p

(519)













seleccionaraacuten






Ac 2

1 1 1 12

1 1

4 si

0 si Ac


| sin p sin | c

(520)



















0

n

x

P x | H I x

en



RC

P x | H con RC







V61 Objetivo













especificaraacuten







n= 20 40 60 80 100 y 200


































menos fallos











seleccionados



















































los datos al autor)








de modo general que






vuelve a ser el ZW3









y ZW3 van bien)













































tanto para ngt60
























PROPORCIOacuteN









2

2 1 11

0 54 1

1A

x z sin sin n

n

y

2 1 20 5

1 2 1zx

p sin sinn n





2

20

1ZE

x nz

n

y

2 22 2

2

22

2 4

x n xz zx z

npn z




2

22

2 4

4 2 2ZW

x nz

n x n x

y

2

2 22

44

x n xx z

npn











Tabla V1



630 - 1651 (1021 )

637 - 1637 (1000)

616 - 1611 (995)

n=29 x=1

000 - 1890 (1890 )

061 - 1718 (1657 )

022 - 1548 (1526 )











CAPIacuteTULO VI


PRODUCTO CRUZADO


































Tabla VI1



1 x1 y1 n1

2 x2 y2 n2

Total a1 a2 n

VI2 NOTACIOacuteN









X 2 2

2 i i i i i iX

i i i i i

n p p x n pz

p q n p q

(61)

L 2 2

2

1 1 1L

i i i i i i i

lnO lnθ lnO lnθz

n p q n p n q

(62)




Xz o 2Lz ) con 2


















2

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

11

1 1 12

2

4 1

2 1


n

ˆa n pp

n

(64)











2XEz y 2











1 hi=05 (Woolf)













sucede que


12

11 1

pp

p

(65)







1 221 4 2

p B B AC A

y 2 1 11 1ˆ ˆ ˆp p p (66)










2

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11

2

2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 12

14 1

2 1

14 1

2 1



(67)







2

22 1 1 121 1 1 1 1 2

1 1

11 1 1XE

i i i



(68)




2

22 2 2 222 2 2 2 2 1

2 2

11 1 1XE

i i i



(69)





22 1 2

2 1 11 1 1 1 1 2 1 1

n nˆz x x


2

1 11 1 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1ˆx x




1 1 1 1

1 2 1 1

ˆ ˆa x n x

ˆ ˆx n a x

(610)







2 1

2 1 1 1 1 2 2 2

1 1

1 1dp p











22 1 1LW

i i i

z ln O x n x

(611)

ICLW 21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

(612)










22 in a n ) con i=1 o 2








2

2 si


Xc

i i i


| x n p | c

(613)



2

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 si

0 si i i i

XEc


ˆ| x n p | c

(614)







2 2 22 1 02 2 2

2 2 1 2 0

2

2 2u


a h a hn n exp ψ

(615)




2

0

1 1 1 2 2 2e

ψ ψW

n x y n x y

donde ψ ln O (616)







1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2 1 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx x

x x

n nR p p p p I x x

x x

(617)

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 1 2 2

0 0 1 2

1 1n n

n x n xx xS I

x x

n nl p p p p O O

x x

(618)







































inferioridad

VI4 APORTACIONES




































221 1 12

0 1 1 21 1

1 1 1XE

ˆx n pˆz n p n

ˆ ˆp q

(619)


1

21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1

si 1

4 1 si 1

2 1

a n


n








21 1 1 2 2 2

1 1 1 1O O exp z

x n x x n x

y

2

21

1 1LW

i i i

ln O z

x n x

(620)










Tabla VI2

Factor de Riesgo


Casos 20 30 50

Control 10 40 50

Total 30 70 100



09072)





pequentildeos

CONCLUSIONES















conocidos












estudiados







cociente















Caso Nordm de




K ge 3 20 17




75 64




K=2 COCIENTE DE



K=2 RESTO DE CASOS

35 31






30 22



CONCLUSIONES 189






observarse que



general y K=1)









esta memoria

REFERENCIAS
























Publications











York







3679-3695







3453-3465




1735-1737



12 37-58









943-956

REFERENCIAS 193















593-602






141














900

































REFERENCIAS 195










Journal 46 (3) 305-319



Analysis 45 (2) 373-388







17 555-574









Biometrics 40 (4) 1175-1176



2183



Medicine 4 213-226













1271-1282



Association 88 (422) 656-661


Medicine 22 201-212



449-456






5046-5053



Medicine 8 593-598



REFERENCIAS 197













bimj200710410



386-394






Journal 50 (5) 782-792






275-278



138 (6) 1884-1893













(1) 81-89




371-375
















53 1080-1085


202

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI1




i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

917

940

916

921

320

717

383

381

027

016

024

022

892

36

962

830

956

952

955

954

883

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

955

952

954

954

891

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

970

956

967

964

895

931

935

929

030

017

026

023

01

00

00

00

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

904

936

927

930

211

752

388

350

057

034

044

041

983

87

477

323

955

952

954

954

876

922

921

900

058

035

044

041

06

00

01

01

955

951

954

953

876

922

921

900

058

035

044

041

08

00

01

00

969

956

965

962

931

930

925

928

064

036

047

043

00

00

00

00

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

892

932

877

871

195

581

373

307

106

064

097

096

993

217

973

968

954

951

954

953

879

930

894

897

109

065

102

100

14

00

47

82

954

951

952

952

875

931

877

897

109

065

102

100

18

00

64

109

969

956

967

966

907

941

915

910

118

066

109

107

01

00

06

33

i = (1 1 1)

101010

303030

301010

302010

916

940

916

921

456

687

494

318

082

049

072

064

891

35

960

836

956

952

955

954

900

925

901

907

083

049

073

066

02

00

00

01

955

952

955

954

900

955

901

906

083

049

073

066

01

00

00

02

970

957

968

964

905

928

926

934

090

051

079

069

00

00

00

00

IN

FE

RE

NC

IAS A

SIN

TOacute

TIC

AS SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

203

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




I=(14 14 14 14)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

559

665

731

566

024

017

021

023

887

29

720

955

953

951

952

953

929

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

06

952

951

952

952

930

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

07

972

960

968

975

936

938

940

937

027

018

023

027

00

00

00

00

i = ( -1 1 1 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

629

870

730

449

095

069

083

094

895

30

716

956

953

951

952

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

05

952

951

951

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

07

971

961

967

975

936

938

942

940

106

073

091

108

00

00

00

00

I=(13 13 13 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

899

926

890

801

624

671

501

241

053

039

051

062

987

605

978

987

949

949

948

948

902

923

870

808

055

040

053

069

45

01

138

407

948

948

947

945

900

921

870

808

055

040

053

069

64

01

202

424

969

959

967

978

926

937

926

935

060

041

057

077

00

00

04

00

i = (-3 -1 1 3)

10101010

20202020

20201010

2015105

911

632

915

857

655

679

536

481

210

153

183

215

985

230

916

949

951

950

950

951

914

929

901

858

214

154

186

229

01

00

06

350

950

949

949

950

914

932

901

853

214

154

186

229

02

00

07

360

970

959

966

977

936

940

918

940

235

161

201

255

00

00

00

00

204

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI2




i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

953

952

953

953

867

904

888

890

027

016

024

021

52

03

09

03

945

950

945

946

00

304

243

288

028

016

023

021

210

91

214

179

946

950

945

947

00

304

243

288

026

016

023

021

205

86

207

173

952

953

950

951

00

304

243

288

028

017

023

022

194

81

195

164

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

953

952

952

952

887

905

887

896

057

034

044

041

14

01

06

03

943

948

948

948

209

347

245

319

055

034

043

040

215

100

168

145

944

949

948

949

209

487

297

382

055

034

043

040

209

94

163

138

950

951

953

953

209

487

297

382

059

035

045

042

196

88

152

131

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

953

952

953

953

898

905

910

914

105

064

098

096

16

01

08

05

940

947

938

939

293

296

148

377

103

064

096

095

226

109

230

239

941

948

939

940

303

296

185

377

103

064

096

095

220

103

223

232

947

950

944

943

303

296

185

377

109

065

101

098

205

97

206

218

i = (1 1 1)

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095

057

087

077

01

00

00

00

220

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS

Tabla AI9




i = (13 13 13)

101010

303030

301010

302010

917

940

916

921

320

717

383

381

027

016

024

022

892

36

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830

956

952

955

954

883

927

922

914

028

016

025

022

01

00

01

01

953

952

953

953

887

909

897

901

027

016

024

021

55

04

08

03

i = (1 12 12)

101010

303030

301010

302010

904

936

927

930

211

752

388

350

057

034

044

041

983

87

477

323

955

952

954

954

876

922

921

900

058

035

044

041

06

00

01

01

953

952

952

952

886

918

877

902

057

034

044

040

15

01

07

04

i = (1 12 2)

101010

303030

301010

302010

892

932

877

871

195

581

373

307

106

064

097

096

993

217

973

968

954

951

954

953

879

930

894

897

109

065

102

100

14

00

47

82

953

952

953

953

891

911

909

914

105

064

098

096

16

01

08

05

i = (1 1 1)

101010

303030

301010

302010

916

940

916

921

456

687

494

318

082

049

072

064

891

35

960

836

956

952

955

954

900

925

901

907

083

049

073

066

02

00

00

01

953

952

953

953

862

907

893

907

081

049

072

064

54

03

07

03

IN

FE

RE

NC

IAS A

SIN

TOacute

TIC

AS SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

221

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




I=(14 14 14 14)

10101010

20202020

20201010

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924

938

927

903

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665

731

566

024

017

021

023

887

29

720

955

953

951

952

953

929

932

930

857

024

017

021

024

00

00

00

06

952

952

952

952

897

900

909

907

024

017

021

023

49

07

05

10

i = ( -1 1 1 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

924

938

927

903

629

870

730

449

095

069

083

094

895

30

716

956

953

951

952

953

930

936

927

913

096

069

084

097

00

00

00

05

952

952

953

952

900

906

908

910

094

069

082

094

48

04

05

11

I=(13 13 13 1)

10101010

20202020

20201010

2015105

899

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890

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501

241

053

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051

062

987

605

978

987

949

949

948

948

902

923

870

808

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053

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45

01

138

407

952

952

953

953

893

914

906

912

053

039

051

064

14

01

06

17

i = (-3 -1 1 3)

10101010

20202020

20201010

2015105

911

632

915

857

655

679

536

481

210

153

183

215

985

230

916

949

951

950

950

951

914

929

901

858

214

154

186

229

01

00

06

350

953

952

953

953

902

915

908

907

208

153

182

217

10

01

06

14


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII1



n1 n2 ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 00 -090 6758 -067 6710 -067 6639 -067 6639 -067 6568

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60 60 00 -130 7326 -048 7261 -048 7229 -048 7240 -048 7208 01 -184 7428 -087 7385 -087 7358 -087 7364 -036 7347 02 -276 7662 -044 7611 -014 7584 -014 7584 001 7568 03 -074 7904 -061 7898 -167 7869 -167 7874 -089 7863 05 -085 8533 -081 8551 -099 8541 -099 8541 002 8530 07 -106 9210 -157 9215 -043 9256 -037 9250 -037 9239 08 -294 9519 -083 9538 -050 9557 -050 9557 053 9546 09 -147 9772 172 9798 094 9825 094 9825 115 9823 095 -1487 9887 -088 9906 184 9925 184 9925 184 9925 100 00 -232 7583 -034 7547 -024 7509 -024 7509 -024 7486 01 -308 7685 -122 7653 -096 7627 -096 7629 -076 7621 02 -276 7879 -084 7864 -030 7843 -030 7846 -019 7838 03 -090 8116 -104 8114 -050 8107 -050 8107 -015 8098 05 -089 8700 -035 8703 -048 8708 -048 8708 -038 8700 07 -136 9300 -048 9312 -013 9328 -013 9326 -009 9320 08 -276 9576 -033 9593 024 9606 024 9604 028 9597 09 -329 9813 -176 9831 020 9844 020 9843 101 9836 095 -1444 9911 -059 9920 137 9933 203 9932 203 9932

100 100 00 -060 7886 -060 7866 -060 7842 -060 7842 -060 7831 01 -176 7978 -176 7960 -122 7942 -122 7946 -084 7942 02 -169 8148 -082 8127 -082 8123 -082 8123 -011 8119 03 -042 8360 -042 8358 -104 8342 -104 8344 -020 8340 05 -131 8882 -023 8869 -119 8881 -119 8880 -035 8876 07 -070 9396 -014 9402 -045 9424 -051 9428 -051 9424 08 -229 9649 -038 9653 005 9660 005 9660 049 9656 09 -244 9853 030 9859 019 9866 022 9864 096 9860 095 -763 9929 -013 9938 137 9947 137 9947 200 9946

Media global -389 8652 -066 8647 -024 8643 -020 8644 017 8630


n1 n2 ZN0 ZN1 ZN2 ZN3 ZN4 40 40 00 -067 6686 -067 6639 -067 6591 -067 6591 -067 6544

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Media global -375 8653 -142 8647 -372 8644 -306 8643 -352 8629


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII2


Meacutetodo F α θ

ZW4 0 017 8630

ZPa0 0 023 8472

ZPb0 0 057 8466

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

ZN0 4 -060 8657

ZPb1 8 -011 8478

ZPa1 8 -043 8484

ZE0 12 -081 8654

ZW1 16 -066 8647

ZE1 20 -127 8652

ZPb3 20 -133 8481

ZCb1 20 -151 8658

ZPb4 20 -157 8470

ZPb2 24 -157 8480

ZPa3 26 -191 8485

ZPa4 26 -215 8475

ZPa2 30 -213 8485

ZN1 32 -239 8657

ZE4 40 -369 8632

ZE3 42 -353 8651

ZE2 44 -365 8651

ZN3 50 -556 8652

ZN2 50 -571 8653

ZN4 50 -805 8641

ZCb3 54 -404 8659

ZCb2 54 -421 8659

ZCb4 54 -491 8648

ZW0 72 -389 8652

Meacutetodo F α θ

XCb0 96 -1654 8718

XCb3 96 -3282 8754

XCb2 96 -3282 8753

XCb4 96 -3351 8742

XCb1 96 -3750 8768

XPb4 102 -8239 9669

XPb3 102 -8315 9672

XPb2 102 -8315 9671

XPb0 102 -8341 9676

XPb1 102 -8345 9676

Meacutetodo F α θ

AE1 0 016 8621

AE4 10 -059 8611

AE3 10 -063 8625

AE2 12 -078 8625

AE0 20 -183 8615

APb4 54 -940 8534

APb3 72 -1746 8556

APb2 74 -1741 8556

APb1 74 -2349 8551

ACb1 96 -1043 8710

ACb4 96 -1074 8706

ACb3 96 -1196 8722

ACb2 96 -1319 8722

ACb0 102 -1588 8677

APb0 102 -4917 8552

Meacutetodo F α θ

L0 22 -375 8653

L1 28 -142 8647

L4 36 -352 8629

L3 40 -306 8643

L2 42 -372 8644


Tabla AII3



n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 -067 6639 -067 6639 -067 6568 -090 6734 -090 6734

01 -054 6782 -054 6794 -054 6746 -092 6865 -054 6805 02 -017 7067 -017 7067 -017 7032 -063 7103 -017 7020 03 -115 7412 -115 7412 -061 7388 -051 7436 011 7341 05 -016 8233 -016 8233 -016 8209 -016 8209 -016 8126 07 015 9054 015 9054 067 9030 021 9042 101 8995 08 -015 9435 -015 9435 064 9405 126 9411 126 9399 09 073 9768 080 9756 080 9756 -115 9768 -115 9768 095 020 9887 020 9887 020 9887 122 9887 016 9899 60 00 -014 6893 -014 6893 -014 6837 -048 6989 -014 6957 01 -051 7049 -051 7049 -036 7013 -136 7121 -040 7081 02 -014 7317 -014 7317 -014 7297 -124 7357 -003 7277 03 -201 7633 -201 7637 -077 7617 -048 7661 -023 7589 05 -096 8393 -096 8389 -025 8369 -043 8393 -005 8317 07 -074 9148 -074 9152 021 9132 -057 9148 021 9108 08 -012 9500 -012 9496 053 9484 -049 9508 006 9480 09 -067 9792 -067 9792 081 9788 064 9792 067 9788 095 203 9904 203 9904 203 9904 160 9904 160 9904 100 00 -018 7158 -018 7158 -018 7119 -018 7220 -045 7225 01 -079 7298 -084 7305 -076 7276 -203 7344 -001 7288 02 -047 7544 -047 7544 -042 7530 -117 7566 001 7501 03 -039 7839 -043 7839 -042 7822 -093 7856 -002 7788 05 -096 8527 -096 8520 -028 8503 -041 8537 -006 8469 07 -076 9225 -076 9227 -031 9213 -057 9239 -004 9193 08 -082 9548 015 9539 065 9524 -037 9556 011 9524 09 095 9814 098 9812 101 9807 026 9824 109 9807 095 209 9918 209 9918 209 9918 133 9923 133 9923

60 60 00 -048 7229 -048 7240 -048 7208 -048 7283 -048 7272 01 -087 7358 -087 7364 -036 7347 -087 7396 -036 7358 02 -014 7584 -014 7584 001 7568 -022 7600 001 7546 03 -167 7869 -167 7874 -089 7863 -040 7880 -001 7810 05 -099 8541 -099 8541 002 8530 -035 8541 056 8476 07 -043 9256 -037 9250 -037 9239 -037 9234 -037 9218 08 -050 9557 -050 9557 053 9546 042 9546 042 9535 09 094 9825 094 9825 115 9823 -038 9820 -038 9820 095 184 9925 184 9925 184 9925 187 9919 187 9919 100 00 -024 7509 -024 7509 -024 7486 -006 7541 -006 7538 01 -096 7627 -096 7629 -076 7621 -176 7659 -016 7627 02 -030 7843 -030 7846 -019 7838 -098 7859 -010 7814 03 -050 8107 -050 8107 -015 8098 -075 8116 -010 8054 05 -048 8708 -048 8708 -038 8700 -035 8711 -004 8653 07 -013 9328 -013 9326 -009 9320 -013 9326 -003 9291 08 024 9606 024 9604 028 9597 -051 9612 -007 9588 09 020 9844 020 9843 101 9836 -018 9846 073 9838 095 137 9933 203 9932 203 9932 124 9933 120 9935

100 100 00 -060 7842 -060 7842 -060 7831 -060 7874 -060 7866 01 -122 7942 -122 7946 -084 7942 -064 7958 -047 7938 02 -082 8123 -082 8123 -011 8119 -029 8129 -011 8093 03 -104 8342 -104 8344 -020 8340 -043 8348 -013 8295 05 -119 8881 -119 8880 -035 8876 -077 8895 -036 8834 07 -045 9424 -051 9428 -051 9424 -090 9423 -090 9399 08 005 9660 005 9660 049 9656 028 9656 061 9640 09 019 9866 022 9864 096 9860 056 9866 172 9858 095 137 9947 137 9947 200 9946 137 9945 137 9945

Media global -024 8643 -020 8644 017 8630 -025 8657 016 8621


AP

EacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

=1

n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 -012 5675 003 5556 003 5461 -008 5699 -008 5723

01 -049 5842 006 5758 006 5640 -049 5877 -005 5842 02 -020 6234 -008 6139 -004 6092 -038 6222 -002 6139 03 -011 6639 -007 6627 -007 6591 -033 6722 -002 6544 05 -020 7656 -103 7698 -093 7662 -036 7733 007 7549 07 001 8715 -054 8769 -048 8727 -009 8769 -010 8691 08 006 9191 002 9256 003 9250 -045 9280 025 9185 09 049 9619 035 9673 035 9673 -004 9673 035 9649 095 091 9786 061 9833 061 9833 -029 9839 061 9822 60 00 -007 6022 001 5942 001 5870 001 6022 -006 6062 01 -052 6194 001 6118 001 6034 -114 6218 000 6166 02 -036 6529 -022 6465 -021 6433 -065 6553 -005 6469 03 -048 6961 -041 6909 -039 6885 -050 6957 -006 6845 05 -050 7873 -042 7897 -037 7869 -035 7905 003 7777 07 -022 8844 -073 8880 -049 8852 -020 8896 -003 8796 08 -013 9276 -007 9332 -007 9320 -006 9332 015 9272 09 043 9668 -046 9724 -046 9724 -025 9728 042 9688 095 072 9828 002 9868 002 9868 -022 9872 033 9860 100 00 -018 6327 -002 6279 -002 6221 -010 6370 -004 6375 01 -052 6498 -007 6440 -007 6387 -162 6520 -008 6489 02 -063 6808 -026 6769 -026 6745 -143 6827 -007 6754 03 -064 7189 -065 7170 -065 7146 -073 7201 -004 7109 05 -039 8058 -015 8066 -011 8044 -055 8092 -005 7979 07 -049 8947 -026 8986 -025 8964 -046 9007 -002 8913 08 -030 9362 -015 9391 -015 9377 -062 9413 012 9343 09 -063 9708 000 9744 000 9744 -059 9763 055 9722 095 085 9850 053 9879 053 9879 -052 9899 051 9877

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100 100 00 -010 7178 -001 7139 -001 7119 -004 7201 -008 7205 01 -140 7318 -003 7278 -003 7268 -031 7317 -005 7299 02 -050 7556 -033 7538 -026 7531 -014 7554 -014 7513 03 -023 7852 -017 7827 -010 7819 -018 7836 001 7780 05 -038 8518 -024 8532 -012 8525 -016 8538 005 8447 07 -018 9221 -047 9229 -026 9221 -019 9242 004 9185 08 016 9531 -021 9550 -013 9544 -030 9564 011 9523 09 035 9804 -005 9823 -001 9820 -044 9828 018 9810 095 083 9911 052 9924 052 9924 -021 9927 052 9920

Media global -011 8217 -017 8214 -013 8193 -038 8246 008 8189


=10

n1 n2 δ ZW2 ZW3 ZW4 ZCb0 AE1 40 40 00 027 7103 -059 7174 -059 7127 -175 7222 -175 7198

01 006 7258 -038 7293 -038 7269 -167 7317 -038 7293 02 -018 7496 -044 7519 -038 7496 -087 7555 000 7484 03 -023 7817 -120 7852 -120 7829 -155 7900 -039 7793 05 -056 8531 -176 8495 080 8471 -034 8495 080 8435 07 -182 9256 048 9197 139 9185 018 9197 175 9149 08 -026 9554 -160 9530 046 9518 109 9518 109 9518 09 -053 9833 369 9792 534 9786 369 9792 -154 9816 095 -406 9941 496 9911 496 9911 496 9911 496 9911 60 00 -006 7389 -025 7397 -025 7357 -191 7477 -093 7445 01 -004 7525 -032 7537 -032 7525 -224 7581 -049 7513 02 -016 7729 -058 7757 -045 7741 -192 7785 -045 7725 03 -195 8029 -195 8009 -047 7997 -066 8029 022 7961 05 -173 8649 -173 8641 -009 8629 -040 8649 012 8577 07 -180 9300 -206 9292 -022 9280 -186 9288 -010 9256 08 -160 9596 -081 9580 065 9568 -026 9584 011 9568 09 -143 9840 132 9824 269 9816 061 9828 036 9832 095 157 9932 213 9924 213 9924 352 9924 167 9928 100 00 -032 7597 -036 7621 -036 7592 -032 7645 -032 7641 01 -018 7713 -049 7735 -049 7725 -224 7764 -019 7728 02 -192 7928 -192 7935 -036 7923 -192 7950 -043 7914 03 -020 8177 -088 8184 -088 8174 -063 8196 -002 8138 05 -173 8764 -173 8759 -173 8749 -071 8766 -021 8720 07 -013 9360 -186 9348 -016 9336 -186 9362 -048 9336 08 -160 9633 -001 9616 068 9606 -040 9628 -017 9609 09 -242 9853 -224 9845 274 9833 -224 9855 -021 9848 095 -280 9942 369 9930 369 9930 333 9935 312 9937

60 60 00 -053 7643 -105 7686 -105 7665 -214 7740 -080 7697 01 -064 7777 -185 7820 -185 7810 -185 7826 -087 7794 02 -052 7976 -128 7998 -128 7987 -128 8003 -128 7960 03 -033 8218 -032 8224 -032 8213 -032 8224 -032 8170 05 -087 8780 -130 8793 -130 8788 -130 8799 -092 8748 07 -126 9379 014 9358 052 9352 020 9352 052 9325 08 -059 9645 -081 9621 093 9616 087 9616 093 9605 09 058 9860 122 9847 263 9839 -355 9858 065 9850 095 186 9944 212 9936 212 9936 -279 9941 200 9938 100 00 011 7888 -052 7931 -052 7911 -028 7931 -004 7924 01 -025 8000 -078 8012 -022 8004 -168 8031 -021 8002 02 -016 8174 -097 8185 -047 8179 -097 8195 -005 8155 03 -033 8408 -096 8409 -093 8404 -039 8403 005 8361 05 -237 8916 -237 8914 -035 8908 -069 8916 -008 8870 07 -041 9440 -200 9437 -024 9432 -017 9434 -013 9412 08 -081 9677 000 9669 000 9666 -027 9669 026 9658 09 027 9877 037 9869 231 9862 -012 9872 053 9869 095 -280 9953 227 9945 369 9943 169 9945 049 9946

100 100 00 -036 8178 -036 8193 -036 8185 -247 8209 -036 8197 01 -019 8260 -019 8268 -019 8264 -044 8282 -019 8260 02 -005 8409 -146 8419 -032 8415 -040 8423 -014 8393 03 -096 8615 -095 8613 -064 8609 -075 8615 -019 8574 05 -030 9057 -109 9054 -063 9050 -079 9054 -030 9022 07 -135 9526 -009 9503 049 9499 -029 9507 087 9479 08 -130 9723 -078 9717 -024 9713 -238 9732 007 9707 09 -046 9897 036 9885 190 9883 231 9883 -036 9889 095 281 9957 -044 9959 344 9956 -043 9957 282 9955

Media global -072 8863 -036 8862 051 8852 -048 8872 022 8843

238 A

PEacuteN

DIC

E T

AB

LA

S

Tabla AII4


=1

Meacutetodo F α

AE1 0 008 8189

ZW4 0 -013 8193

ZW2 2 -011 8217

ZW3 2 -017 8214

ZCb0 8 -038 8246

=5

Meacutetodo F α

AE1 0 016 8621

ZW4 0 017 8630

ZW3 2 -020 8644

ZW2 2 -024 8643

ZCb0 2 -025 8657

=10

Meacutetodo F α

AE1 0 022 8843

ZW3 0 -036 8862

ZCb0 0 -048 8872

ZW4 0 051 8852

ZW2 2 -072 8863

Tabla AII5


α=5

Meacutetodo F α θ

ZCb0 0 -013 8960

ZW4 0 013 8950

AE1 0 017 8934

AE2 0 -030 8935

AE4 0 -031 8930

AE3 0 -033 8934

ZPa1 0 -038 8839

ZPb1 0 -038 8839

ZPa0 0 039 8819

ZPb0 0 039 8819

ZW2 0 -040 8954

ZW3 0 -040 8954

ZE1 0 -046 8956

ZW1 0 -046 8953

ZCb1 0 -050 8958

ZN0 0 -055 8958

ZE0 0 -080 8958

L1 1 -053 8954

AE0 1 -057 8927

L0 1 -327 8958


Tabla AII6


α=1 α=5 α=10


AE1 0 008 8189 AE1 0 016 8621 AE1 0 022 8843

ZW4c 0 -010 8188 ZW4 0 017 8626 AE1c 0 037 8838

AE1c 0 010 8186 AE1c 0 019 8617 ZW4 0 051 8852

ZW4 0 -013 8193 ZW4c 0 028 8626 ZW4c 0 063 8848

Tabla AII7


Meacutetodo F α θ


Tabla AII8


α=1 α=5 α=10


ZE0 0 -028 8206 ZE0c-M 8 -064 8629 ZE0c-M 0 -089 8847

ZE0c-M 6 -031 8200 ZE0 12 -075 8634 ZE0 0 -096 8851

ZE0-M 6 -038 8208 ZE0-M 12 -077 8634 ZE0-M 0 -096 8851


Tabla AII9


Meacutetodo F α θ


ZE0 0 -045 7274 ZW1 0 -052 7257 L3 0 -108 7208 L2 0 -108 7201

ZW0 2 -220 7305 L1 6 -446 7265

AE0 6 -1220 7324 L0 6 -4644 7353

XPb2 6 -8957 9402 XPb3 6 -8957 9402 XPb4 6 -8957 9402 XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9414

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

241 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES




40 40 -008 5699 003 5651 003 5509 003 5509 003 5461 022 5402 003 5461 003 5437 -008 5723 -008 5723

60 001 6022 001 6022 012 5886 015 5878 022 5822 022 5814 001 5870 001 5870 -006 6062 -004 6046

100 -010 6370 -010 6370 008 6264 008 6264 015 62069 015 6201 -002 6221 000 6216 -004 6375 -003 6361

60 60 -007 6423 -002 6412 011 6316 016 6294 021 6240 021 6240 -002 6294 -001 6283 -008 6455 -007 6445

100 -002 6788 -002 6785 006 6710 009 6703 014 6661 015 6658 -001 6677 -001 6677 -012 6811 -012 6804

100 100 -004 7201 -002 7189 006 7135 007 7127 013 7099 013 7091 -001 7119 -001 7119 -008 7205 -008 7205

Media Global -005 6417 -002 6405 008 6303 010 6296 015 6248 018 6234 000 6274 000 6267 -008 6439 -007 6431


40 40 -090 6734 -067 6710 -067 6615 023 6544 -067 6615 023 6568 -067 6568 -067 6568 -09 6734 -067 6710

60 -048 6989 -036 6973 042 6853 046 6837 042 6869 046 6845 -014 6837 -014 6837 -014 6957 -001 6949

100 -018 7220 -009 7206 036 7124 036 7124 036 7124 036 7124 -018 7119 -016 7114 -045 7225 -037 7216

60 60 -048 7283 -048 7272 -048 7186 -048 7186 -048 7197 -048 7186 -048 7208 -048 7186 -048 7272 -048 7261

100 -006 7541 -006 7541 023 7473 023 7466 021 7476 023 7473 -024 7486 -009 7479 -006 7538 000 7531

100 100 -060 7874 -060 7866 -060 7827 -020 7817 -060 7831 -020 7817 -060 7831 -060 7831 -06 7866 -060 7866

Media Global -045 7274 -038 7261 -012 7180 010 7162 -013 7185 010 7169 -039 7175 -036 7169 -044 7265 -036 7256


40 40 -175 7222 -175 7198 071 7079 071 7079 027 7127 071 7103 -059 7127 027 7079 -175 7198 -016 7174

60 -191 7477 -191 7477 057 7365 058 7357 040 7389 040 7381 -025 7357 -006 7349 -093 7445 -093 7445

100 -032 7645 -032 7645 065 7573 065 7568 020 7597 033 7588 -036 7592 -036 7592 -032 7641 -032 7641

60 60 -214 7740 -214 7708 010 7611 010 7611 -024 7632 -024 7632 -105 7665 -080 7654 -080 7697 -053 7686

100 -028 7931 -005 7924 015 7892 015 7879 015 7892 015 7892 -052 7911 -052 7911 -004 7924 011 7911

100 100 -247 8209 -247 8209 -036 8170 -036 8170 -036 8178 -036 8170 -036 8185 -036 8170 -036 8197 -036 8197

Media Global -158 7704 -144 7694 030 7615 031 7611 007 7636 017 7628 -052 7640 -031 7626 -070 7684 -037 7676



de δ=0


ZW4 0 000 6274

ZW4c 0 000 6267

ZE0c 0 -002 6405

ZE0 0 -005 6417

AE1c 0 -007 6431

AE1 0 -008 6439

ZE2 0 008 6303

ZE2c 0 010 6296

ZE3 0 015 6248

ZE3c 0 018 6234

α =5

Meacutetodo F α θ

ZE3c 0 010 7169

ZE2c 0 010 7162

ZE2 0 -012 7180

ZE3 0 -013 7185

AE1c 0 -036 7256

ZW4c 0 -036 7169

ZE0c 0 -038 7261

ZW4 0 -039 7175

AE1 0 -044 7265

ZE0 0 -045 7274

α =10

Meacutetodo F α θ

ZE3 0 007 7636

ZE3c 0 017 7628

ZE2 0 030 7615

ZW4c 0 -031 7626

ZE2c 0 031 7611

AE1c 0 -037 7676

ZW4 0 -052 7640

AE1 0 -070 7684

ZE0c 0 -144 7694

ZE0 0 -158 7704

X

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K

243 P

RO

PO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES

Tabla AII12




i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

953

953

954

953

952

951

931

929

935

926

933

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

953

953

954

953

952

951

931

925

928

926

931

937

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00

955

955

955

955

953

952

937

931

931

934

943

941

035

032

029

029

026

022

00

00

00

00

00

00



i = (ndash1 1)

4040

4060

6060

40100

60100

100100

952

952

951

952

951

951

889

882

892

917

917

888

035

032

028

029

025

022

04

02

02

01

00

01

949

950

950

950

950

950

929

877

899

913

935

935

035

032

028

029

025

022

00

00

00

00

00

00

967

969

969

971

969

967

867

938

918

944

942

931

039

036

032

033

029

025

00

00

00

00

00

00


Tabla AIII1


(α=5)

n1 n2 ρ ZW0 ZW1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 -8530 9173 493 9024 486 9185 490 9167 490 9167

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100 100 001 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769 01 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 02 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 05 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 08 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 1 -1536 7893 -060 7866 -060 7846 -060 7846 -060 7831 125 -8821 7935 -8728 7902 -8583 7873 -8583 7879 -8583 7871 2 -8988 8339 -8957 8330 -8905 8333 -8905 8333 -8905 8332 5 -9274 9638 -9276 9655 -9278 9676 -9277 9672 -9277 9671 10 -9415 9685 -9415 9704 -9415 9726 -9415 9724 -9415 9724 100 -9500 9725 -9500 9748 -9500 9766 -9500 9766 -9500 9769

Media global -8269 8651 -7950 8557 -7755 8664 -7760 8664 -7604 8656


n1 n2 ρ ACb15 AE15 APb15 AAb15 40 40 001 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839

01 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 02 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 05 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 08 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 1 -090 6734 -090 6734 -090 6734 -090 6734 125 -1227 6948 -020 6782 -5081 6764 -1459 6996 2 -2063 7555 030 7174 -6905 7388 -2660 7787 5 -2163 8406 138 7989 -9078 9399 -4278 8923 10 -1546 8810 126 8495 -9429 9482 -6205 9411 100 -107 9477 417 9322 -9500 9548 -9499 9839 60 001 -265 9572 445 9440 -9500 9708 -9457 9860 01 -2011 9020 306 8689 -9500 9644 -6352 9512 02 -2303 8673 164 8265 -9473 9584 -4407 9092 05 -2234 7901 -012 7541 -8215 7565 -3120 8081 08 -1262 7281 -062 7129 -6090 7041 -1483 7309 1 -053 6989 -053 6989 -053 6989 -053 6989 125 -1332 7121 -106 7009 -6327 7041 -1760 7189 2 -1818 7637 -030 7309 -8159 7721 -2788 7849 5 -2286 8401 087 8077 -9494 9392 -4575 8924 10 -1635 8796 153 8557 -9491 9448 -5482 9384 100 -107 9472 371 9376 -9500 9500 -9500 9848 100 001 -725 9679 408 9551 -9500 9824 -9495 9894 01 -2723 9237 323 8904 -9099 9754 -6617 9570 02 -2808 8942 132 8539 -8962 9664 -4700 9234 05 -2448 8203 000 7889 -8767 7684 -3309 8339 08 -1193 7556 -078 7457 -8038 7266 -1403 7578 1 -037 7230 -037 7230 -037 7230 -037 7230 125 -1115 7269 -064 7177 -7181 7281 -1189 7303 2 -1998 7667 -021 7411 -8905 8075 -2994 7882 5 -2002 8389 -003 8150 -9500 9348 -4809 8894 10 -1727 8795 012 8626 -9500 9389 -5167 9331 100 -107 9481 372 9408 -9500 9423 -9500 9836

60 60 001 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 01 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 02 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 05 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 08 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 1 -126 7304 -126 7304 -126 7304 -126 7304 125 -1462 7493 -060 7366 -7552 7347 -1703 7514 2 -2544 7982 008 7675 -8338 7872 -2924 8186 5 -2868 8694 104 8345 -9187 9538 -4669 9132 10 -1947 9019 124 8748 -9421 9600 -6361 9530 100 -278 9570 416 9484 -9500 9656 -9494 9882 100 001 -939 9680 439 9584 -9500 9792 -9499 9930 01 -2722 9240 287 8961 -9228 9735 -6912 9623 02 -3103 8969 163 8620 -9134 9667 -5147 9304 05 -2845 8335 022 8038 -8968 8012 -3655 8486 08 -1834 7812 -051 7700 -8381 7599 -1835 7827 1 -015 7541 -015 7541 -015 7541 -015 7541 125 -1529 7656 -039 7557 -7968 7604 -1927 7695 2 -2594 8054 -009 7801 -9461 8223 -3431 8249 5 -2943 8684 056 8429 -9500 9516 -5138 9122 10 -2075 9018 104 8826 -9500 9552 -6019 9498 100 -712 9578 384 9521 -9500 9588 -9500 9885

100 100 001 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944 01 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 02 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 05 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 08 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 1 -060 7878 -060 7878 -060 7878 -060 7878 125 -1901 8030 -022 7933 -8728 7912 -2109 8054 2 -2924 8434 015 8180 -8962 8332 -3780 8591 5 -3382 8973 115 8701 -9275 9650 -5511 9334 10 -2934 9233 123 9028 -9415 9698 -6528 9635 100 -953 9681 416 9626 -9500 9742 -9500 9944

Media global -1672 8430 110 8226 -7969 8654 -4620 8693


Tabla AIII2


01 10 = 001 y = 100


ZAb1 0 -027 8050 ZW2 0 472 9391

ZW2 0 -031 8010 ZW3 0 474 9382

ZW3 0 -034 8011 ZW4 0 474 9382

ZPa2 0 077 7694 ZW1 0 483 9295

ZPa3 0 080 7688 ZPa2 0 498 9131

ZPa4 0 082 7671 ZPa3 0 498 9127

ZPa1 0 094 7681 ZPa4 0 498 9126

ZPa0 0 112 7659 ZPa1 0 499 8955

ZPb2 0 136 7635 ZPa0 0 500 8979

ZPb3 0 141 7631 ZPb2 0 500 8941

ZPb4 0 143 7614 ZPb3 0 500 8937

ZPb1 0 147 7623 ZPb4 0 500 8937

ZPb0 0 147 7604 ZPb1 0 500 8858

ZAb3 3 -037 8037 ZPb0 0 500 8791

ZAb2 3 -038 8038 ZAb1 1 234 9570

ZN0 6 -067 8075 ZAb3 3 -164 9644

ZAb4 14 -1104 8008 ZAb2 3 -211 9651

ZN1 15 -172 8067 ZCb0 12 -603 9657

ZCb0 16 -117 8084 ZE0 12 -628 9700

ZW1 16 -155 8026 ZN0 12 -634 9700

ZAb0 17 -165 8062 ZCb1 12 -7362 9776

ZCb1 20 -242 8073 ZN1 12 -7364 9779

ZE1 21 -239 8070 ZE1 12 -7364 9778

ZE0 22 -142 8081 ZW0 12 -8484 9386

ZN3 22 -453 8065 ZAb4 12 -8772 9756

ZE3 22 -489 8067 ZCb3 12 -9362 9852

ZN2 22 -491 8065 ZE3 12 -9364 9855

ZE2 22 -511 8067 ZN3 12 -9366 9856

ZN4 22 -2700 8045 ZCb2 12 -9382 9860

ZE4 22 -2726 8046 ZN2 12 -9383 9861

ZCb3 23 -491 8069 ZE2 12 -9383 9861

ZCb2 23 -498 8069 ZN4 12 -9500 9971

ZCb4 23 -2714 8048 ZE4 12 -9500 9971

ZW0 44 -1691 8061 ZCb4 12 -9500 9969

01 10 = 001 y = 100


RN1 23 -811 7026 RW1 6 -4496 9207

RN0 24 -432 6974 RW4 6 -4500 8853

RW4 24 -2603 7359 RW2 6 -4514 9342

RN3 28 -1430 7079 RW3 6 -4514 9336

RN2 28 -1435 7083 RN0 11 -1659 9102

RN4 28 -2392 7073 RN1 12 -5283 9220

RW3 36 -1445 7349 RN3 12 -6063 9343

RW2 36 -1565 7354 RN2 12 -6095 9348

RW1 54 -1104 7291 RW0 12 -9152 9348

RW0 54 -3636 7431 RN4 12 -9234 9408


01 10 = 001 y = 100


LE3 0 006 7969 LN1 0 242 9585

LE2 0 014 7968 LCb2 0 498 8693

LE4 0 040 7927 LCb3 0 498 8684

LCb2 1 -014 8006 LCb4 0 498 8678

LCb4 1 015 7966 LCb1 0 499 8607

LCb3 1 -021 8007 LE2 0 499 8440

LW0 9 -082 7745 LE3 0 500 8428

LN2 10 -130 8061 LE4 0 500 8422

LN3 11 -147 8063 LE1 0 500 8393

LN4 14 -1308 8021 LN3 9 -268 9661

LW1 19 -156 7990 LW0 11 -349 9516

LAb3 21 -200 8093 LN2 11 -554 9666

LAb2 21 -220 8092 LAb1 11 -599 9687

LW2 21 -324 8007 LW1 12 -3908 9756

LW3 23 -330 8007 LAb3 12 -7973 9756

LAb4 23 -2267 8059 LAb2 12 -8262 9766

LW4 25 -2352 7996 LCb0 12 -8944 8703

LE1 36 -244 7989 LE0 12 -8944 8439

LAb1 36 -249 8107 LN0 12 -8958 9672

LCb1 40 -251 8025 LW3 12 -9152 9837

LN1 54 -548 8085 LW2 12 -9167 9842

LE0 54 -5472 8032 LAb0 12 -9320 9772

LCb0 54 -5473 8069 LN4 12 -9428 9775

LN0 54 -5486 8125 LPb1 12 -9496 9938

LAb0 54 -5534 8154 LPa1 12 -9498 9948

LPb2 54 -6463 8349 LPa4 12 -9500 9997

LPa2 54 -6485 8371 LPb4 12 -9500 9997

LPb3 54 -6517 8351 LPa0 12 -9500 9988

LPa3 54 -6551 8374 LPa2 12 -9500 9987

LPb1 54 -6677 8366 LPa3 12 -9500 9987

LPa1 54 -6769 8391 LPb0 12 -9500 9986

LPb4 54 -7136 8327 LPb2 12 -9500 9986

LPa4 54 -7138 8351 LPb3 12 -9500 9984

LPb0 54 -7836 8383 LW4 12 -9500 9963

LPa0 54 -7847 8407 LAb4 12 -9500 9901


01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


XCb0 48 -2351 8198 XCb0 12 -720 9703

XCb2 48 -3557 8188 XCb1 12 -7362 9786

XCb3 48 -3564 8189 XCb2 12 -9075 9866

XCb1 48 -3981 8202 XCb3 12 -9362 9859

XAb0 48 -4089 8489 XAb1 12 -9498 9963

XCb4 48 -4466 8166 XAb4 12 -9500 9997

XAb2 48 -4793 8475 XPb1 12 -9500 9997

XAb4 48 -5115 8452 XPb2 12 -9500 9997

XAb3 48 -5166 8479 XPb3 12 -9500 9997

XAb1 48 -5357 8499 XPb4 12 -9500 9997

XPb0 54 -9272 9673 XAb2 12 -9500 9993

XPb2 54 -9283 9702 XAb3 12 -9500 9991

XPb3 54 -9283 9701 XCb4 12 -9500 9979

XPb4 54 -9283 9701 XPb0 12 -9500 9960

XPb1 54 -9284 9706 XAb0 12 -9500 9943

01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

AE2 1 058 7933 AE0 0 455 9419

AE3 1 064 7933 AE2 1 035 9582

AE4 16 -1455 7902 AE3 1 070 9573

ACb1 48 -1913 8170 ACb1 8 -587 9606

ACb15 48 -1942 8176 ACb0 8 -2757 9514

ACb3 48 -2043 8161 ACb15 10 -461 9577

ACb2 48 -2161 8161 ACb2 12 -2993 9681

ACb4 48 -2695 8128 ACb3 12 -2993 9452

AAb15 48 -3537 8428 AE4 12 -9256 9647

AAb2 48 -3574 8420 ACb4 12 -9378 9804

AAb3 48 -3580 8420 AAb1 12 -9494 9933

AAb1 48 -3606 8426 AAb15 12 -9495 9882

AAb4 48 -4215 8393 AAb4 12 -9500 9993

APb4 48 -7183 8425 AAb2 12 -9500 9984

APb2 48 -7368 8436 AAb3 12 -9500 9981

APb3 48 -7374 8435 AAb0 12 -9500 9883

APb1 48 -7605 8435 APb4 12 -9500 9700

APb15 48 -7629 8434 APb2 12 -9500 9694

AE0 54 -864 7971 APb3 12 -9500 9693

ACb0 54 -2306 8194 APb1 12 -9500 9658

AAb0 54 -3580 8430 APb15 12 -9500 9644

APb0 54 -7995 8439 APb0 12 -9500 9606


Tabla AIII3



n1 n2 ρ ZAb1 ZW2 ZW3 ZW4 40 40 001 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780

01 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 02 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 05 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 08 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 1 003 5628 -012 5675 003 5556 003 5461 125 -011 5818 -027 5907 -002 5800 -002 5735 2 -021 6520 -030 6526 -035 6454 -018 6383 5 007 7638 -040 7490 006 7519 008 7418 10 049 8251 -087 7971 068 8073 068 8073 100 093 9090 100 8626 100 8780 100 8780 60 001 097 9256 100 9008 100 9112 100 9112 01 003 8525 -065 8389 041 8433 065 8401 02 -004 8017 -069 7941 011 7949 012 7885 05 -027 6993 -014 6997 -050 6965 -039 6917 08 -059 6297 -041 6349 -024 6250 -021 6198 1 001 5982 -007 6022 001 5942 001 5870 125 005 6070 -050 6146 -003 6066 -003 6014 2 -015 6609 -035 6629 -024 6593 -019 6537 5 006 7701 -057 7529 -009 7537 019 7433 10 043 8333 -099 7985 070 8085 070 8085 100 076 9208 100 8629 100 8780 100 8780 100 001 098 9440 099 9348 099 9404 099 9404 01 -017 8846 -028 8783 026 8795 027 8747 02 -020 8411 -009 8365 005 8363 011 8331 05 -057 7464 -023 7443 -020 7418 -015 7390 08 -122 6730 -029 6706 -026 6670 -026 6626 1 -002 6332 -018 6327 -002 6279 -002 6221 125 006 6274 -085 6351 -010 6286 -007 6250 2 002 6718 -066 6728 -027 6694 -027 6646 5 004 7771 -065 7537 -009 7559 015 7457 10 012 8435 -123 7988 071 8085 071 8085 100 023 9367 100 8628 100 8780 100 8780

60 60 001 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 01 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 02 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 05 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 08 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 1 003 6359 -034 6439 -002 6337 -002 6294 125 -009 6557 -029 6587 -029 6536 -021 6504 2 -017 7116 -019 7119 -017 7079 -011 7044 5 006 8060 -069 7971 003 7976 003 7912 10 011 8573 -074 8393 035 8439 068 8404 100 089 9344 100 9008 100 9113 100 9113 100 001 095 9489 099 9348 099 9406 099 9406 01 -024 8869 -033 8794 025 8807 026 8760 02 -002 8450 -010 8408 -018 8408 005 8380 05 -023 7611 -038 7604 -022 7577 -009 7557 08 -068 7031 -035 7035 -031 6996 -028 6970 1 002 6755 -013 6781 -001 6710 -001 6677 125 000 6801 -043 6848 -041 6796 -024 6775 2 001 7223 -035 7239 -014 7200 -012 7171 5 010 8111 -071 7995 -005 7997 -005 7937 10 010 8635 -086 8404 030 8450 069 8416 100 066 9442 100 9007 100 9112 100 9112

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n1 n2 ρ AE1 AE15 40 40 001 620 9482 685 9459

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Media global 209 8508 181 8508


Tabla AIII4


α=1

01 10 = 001 y = 100


ZW3 0 -003 7375 ZAb1 0 081 9348

ZW4 0 006 7331 ZW3 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

ZW2 1 -042 7392 ZW2 0 100 8994

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LE4 0 025 7215 LCb4 0 100 7580

LE2 0 -042 7282 LCb2 0 100 7477

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

LCb4 1 010 7305 LE4 0 100 6552

LCb2 1 -040 7370 LE2 0 100 6410

AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

α=10

01 10 = 001 y = 100


ZW2 0 -041 8329 ZW2 0 767 9560

ZW4 0 -052 8303 ZW3 0 839 9506

ZAb1 0 -053 8356 ZW4 0 839 9497

ZW3 0 -104 8337 ZAb1 1 214 9663

LCb2 0 010 8325 LCb2 0 926 9160

LE4 0 -024 8280 LE2 0 963 9050

LE2 0 036 8306 LCb3 0 973 9094

LCb4 0 -049 8299 LCb4 0 973 9091

LE3 0 -082 8317 LE3 0 988 8984

LCb3 0 -108 8336 LE4 0 988 8981

AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579


Tabla AIII5


α=1

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 013 7333 AE1 0 092 9277

AE1 0 024 7327 AE15 0 096 9259

LE3 0 018 7264 LCb3 0 100 7590

LCb3 1 006 7352 LE3 0 100 6566

ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZAb1 1 -007 7446 ZW4 0 100 9099

α=5

01 10 =001 y =100


ZW4 0 006 7971 ZAb1 1 234 9570

ZAb1 0 -027 8050 ZW4 0 474 9382

AE15 0 043 7948 AE1 0 355 9500

AE1 0 073 7941 AE15 0 410 9479

LE3 0 006 7969 LCb3 0 498 8684

LCb3 1 -021 8007 LE3 0 500 8428

α=10

01 10 = 001 y = 100


AE15 0 069 8270 AE1 0 572 9599

AE1 0 128 8266 AE15 0 684 9579

LE3 0 -082 8317 LCb3 0 973 9094

LCb3 0 -108 8336 LE3 0 988 8984

ZW4 0 -052 8303 ZW4 0 839 9497

ZAb1 0 -053 8356 ZAb1 1 214 9663


Tabla AIII6



LE2 0 0 8454 ZAb3 0 -054 9738 LE3 0 002 8454 AE2 0 059 9683 LE4 0 004 8437 AE3 0 059 9680



Tabla AIII7


01 10 = 001 y = 100


ZW4 0 006 7331 ZAb1 0 081 9348

ZW4c 0 007 7328 ZAb1c 0 082 9347

ZAb1c 1 -005 7442 ZW4 0 100 9099

ZAb1 1 -007 7446 ZW4c 0 100 9098

Tabla AIII8


01 ρ 10 ρ = 001 y ρ = 100


ZCb0 16 -117 8084 ZCb0 12 -603 9657

LW1 19 -156 7990 ZE0 12 -628 9700

ZE0 22 -142 8081 LW1 12 -3908 9756

ZW0 44 -1691 8061 ZW0 12 -8484 9386


Tabla AIII9



Meacutetodo F

LW1 0 031 7105

LE2 0 -044 7227

LE4 0 -048 7189

RW4 0 -051 5818

LN4 0 -063 7179

LE3 0 -065 7231

LW3 0 067 7062

LW2 0 067 7060

LW4 0 067 7033

LN3 0 -087 7217

LN2 0 -087 7214

RN0 1 -111 5669

RN4 1 -132 8683

RN1 1 -132 5688

RN2 1 -137 5707

RN3 1 -137 5707

LW0 1 -162 6866

LE1 4 -300 7270

LN1 6 -355 7259

RW2 6 -509 6157

RW3 6 -509 6156

RW1 6 -968 6138

RW0 6 -1796 6291

LE0 6 -4629 7336

LN0 6 -4629 7319

LPa4 6 -5237 6950

LPb4 6 -5237 6950

LPa3 6 -5697 6968

LPb3 6 -5697 6968

LPa2 6 -5697 6962

LPb2 6 -5697 6962

LPa1 6 -6847 7019

LPb1 6 -6847 7019

LPa0 6 -7104 7043

LPb0 6 -7104 7043

XPb2 6 -8957 9402

XPb3 6 -8957 9402

XPb4 6 -8957 9402

XPb0 6 -8958 9421

XPb1 6 -8958 9421




1 -1027 7757 -082 7716 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 7055 -197 7008 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 -1234 9120 -460 9126 085 9173 085 9173 308 9143

1 -2258 8162 -178 8120 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -453 7317 -172 7287 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -160 7103 -071 7032 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -521 8992 -077 9004 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -1956 7801 -074 7761 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -197 7093 -197 7053 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 -1487 9144 -460 9164 066 9188 066 9184 324 9152

1 -3380 8181 -225 8149 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -453 7337 -163 7289 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -140 7101 -086 7061 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -307 9128 -036 9140 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -391 8105 -066 8081 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -112 7509 -061 7461 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 -580 9296 -194 9320 071 9344 090 9336 097 9300

1 -1258 8477 -069 8449 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -276 7737 -132 7713 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7557 -163 7533 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -950 9036 -151 9046 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -3354 7839 -214 7810 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -197 7124 -197 7080 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 -2191 9169 -470 9169 032 9206 024 9198 325 9162

1 -4814 8199 -349 8157 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -453 7339 -196 7305 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -181 7109 -123 7076 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -307 9276 -099 9300 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -104 8432 -065 8430 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -074 7964 -031 7945 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 -307 9452 -043 9469 033 9481 055 9481 066 9466

1 -402 8788 -035 8778 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8191 -169 8201 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -065 8042 -023 8022 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -259 9170 -177 9183 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -1028 8151 -064 8132 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -092 7546 -062 7525 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 -676 9323 -212 9344 050 9360 056 9355 097 9317

1 -2238 8492 -095 8482 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -276 7759 -087 7745 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -163 7573 -163 7546 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -386 9216 -177 9227 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -2220 8198 -067 8180 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -099 7577 -065 7564 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 -1171 9348 -203 9356 035 9375 038 9372 089 9336

1 -3668 8520 -200 8500 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -276 7775 -108 7752 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -163 7586 -163 7567 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -178 9333 -099 9341 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -275 8500 -056 8494 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -068 8015 -043 8002 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -223 9479 -031 9494 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -1026 8817 -035 8805 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -169 8223 -169 8211 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -067 8073 -044 8051 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -153 9378 -144 9385 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -1019 8561 -056 8547 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -051 8062 -045 8056 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 -391 9509 -282 9517 021 9527 021 9526 021 9513

1 -2230 8838 -064 8835 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -169 8236 -169 8227 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -049 8082 -041 8074 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -894 8410 -141 8399 -045 8396 -045 8396 -003 8373



1 -017 7775 -020 7763 -044 7739 -056 7751 -056 7704

2 -008 6913 -008 6889 032 6853 032 6853 032 6841

5 1 05 -067 9292 -593 9369 -1648 9441 -1648 9441 -3873 9453

1 -217 8251 -286 8281 -286 8293 -286 8287 -4325 8227

2 -016 7210 -047 7174 -047 7139 -047 7151 -047 7145

3 -003 6948 -003 6936 046 6865 046 6865 046 6865

60 3 1 05 -049 9112 -306 9152 -725 9192 -725 9192 -725 9160

1 -049 7829 -152 7817 -397 7813 -397 7805 -2681 7765

2 -010 6957 032 6901 050 6885 045 6893 045 6893

5 1 05 -067 9324 -725 9388 -2095 9456 -2095 9452 -5357 9468

1 -217 8281 -274 8293 -614 8321 -614 8321 -6941 8257

2 -217 7237 -047 7197 -047 7161 -047 7161 -047 7157

3 -014 6973 014 6917 037 6885 037 6885 037 6885

1 3 05 -040 9192 -169 9228 -387 9260 -387 9256 -386 9240

1 -024 8101 -067 8093 -072 8081 -072 8085 -070 8053

2 -001 7413 017 7389 017 7381 017 7381 017 7373

1 5 05 020 9396 -340 9444 -841 9480 -841 9480 -841 9472

1 -033 8529 -053 8541 -136 8537 -138 8541 -118 8501

2 -015 7689 004 7661 -007 7649 -007 7653 -007 7653

3 000 7477 002 7469 029 7429 029 7429 036 7421

100 3 1 05 -035 9150 -503 9189 -1341 9225 -1341 9220 -3522 9196

1 -024 7865 -079 7858 -622 7863 -617 7865 -6616 7834

2 -016 6984 014 6945 047 6911 047 6911 047 6911

5 1 05 -084 9348 -856 9404 -3322 9469 -2586 9461 -6745 9481

1 -217 8300 -564 8319 -1381 8351 -1381 8348 -8757 8307

2 -217 7242 -022 7206 -047 7172 -047 7172 -047 7172

3 -021 6979 -011 6945 021 6902 021 6902 021 6902

1 3 05 -073 9324 -117 9336 -282 9355 -251 9353 -248 9343

1 -021 8428 -063 8433 -055 8418 -058 8423 -058 8406

2 -021 7926 001 7906 023 7906 023 7906 023 7897

1 5 05 -036 9507 -177 9529 -387 9548 -388 9546 -387 9534

1 -014 8805 -046 8805 -115 8805 -115 8800 -115 8785

2 -019 8167 -015 8167 007 8141 000 8141 000 8136

3 -019 8008 -019 8003 -004 8003 -004 8003 -004 7998

60 60 3 1 05 -040 9242 -171 9269 -498 9296 -498 9293 -498 9272

1 -015 8162 -067 8156 -045 8146 -036 8148 -036 8127

2 -048 7482 013 7439 035 7412 035 7412 035 7407

5 1 05 007 9428 -476 9463 -1331 9495 -1331 9495 -2324 9489

1 -014 8551 -149 8560 -292 8570 -292 8573 -4306 8541

2 -014 7708 011 7681 -048 7667 -048 7673 011 7667

3 -010 7493 002 7482 029 7444 027 7450 027 7450

100 3 1 05 -040 9279 -269 9300 -856 9323 -856 9325 -856 9307

1 -017 8218 -068 8203 -296 8202 -296 8200 -4289 8180

2 -017 7499 014 7476 020 7460 020 7460 020 7460

5 1 05 -048 9456 -467 9477 -1921 9511 -1921 9511 -4682 9507

1 -017 8583 -498 8586 -1072 8598 -1062 8596 -7727 8570

2 -024 7723 -048 7700 -050 7681 -050 7685 006 7682

3 -028 7509 017 7486 027 7466 027 7470 027 7470

1 3 05 -092 9373 -097 9380 -256 9396 -210 9393 -208 9385

1 -008 8503 -009 8495 -044 8489 -034 8489 -034 8476

2 -056 7999 -011 7982 001 7969 001 7969 001 7966

1 5 05 -136 9533 -173 9550 -499 9568 -499 9568 -499 9557

1 -095 8839 -034 8843 -184 8843 -184 8841 -115 8825

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Media Global 090 8148 058 8167 021 8184 028 8181 038 8170



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2 -008 6829 -008 6829 101 6663 101 6663 101 6663

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1 227 7638 248 7698 198 7710 194 7722 196 7674

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100 3 1 05 387 8438 374 8534 239 8628 239 8619 239 8619

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1 3 05 020 9244 -024 9268 -207 9290 -181 9288 -160 9280

1 000 8232 005 8227 -024 8223 -024 8225 -024 8215

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1 124 8520 033 8546 046 8556 046 8556 055 8541

2 -019 8071 002 8061 -006 8058 -006 8058 -006 8054

3 -004 7969 -004 7969 -004 7945 -004 7945 -004 7940

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1 010 7837 -067 7858 -067 7877 -067 7877 -028 7858

2 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321 049 7321

5 1 05 443 8852 412 8917 354 8984 354 8984 354 8981

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2 017 7541 011 7541 -003 7541 -003 7541 011 7538

3 -010 7476 029 7412 029 7412 029 7412 048 7407

100 3 1 05 372 8778 321 8839 307 8883 305 8883 307 8869

1 041 7799 041 7789 026 7797 -067 7799 026 7783

2 020 7411 020 7411 020 7385 020 7385 020 7382

5 1 05 462 8766 443 8836 418 8909 432 8903 432 8903

1 317 7934 240 7966 269 7992 269 7991 269 7971

2 018 7541 029 7520 029 7497 029 7500 044 7499

3 003 7476 019 7460 028 7444 028 7444 028 7444

1 3 05 067 9224 026 9239 041 9255 040 9255 041 9248

1 008 8263 -003 8270 -097 8270 -097 8273 -024 8265

2 014 7875 014 7879 031 7869 031 7869 031 7866

1 5 05 380 9221 370 9240 291 9268 291 9263 294 9255

1 175 8479 180 8491 102 8491 102 8489 135 8479

2 -031 8119 -019 8086 -004 8068 -004 8072 -004 8070

3 012 7986 012 7986 012 7982 012 7986 012 7986

100 100 3 1 05 279 9133 245 9142 210 9183 210 9183 220 9178

1 -056 8299 -022 8308 -097 8318 004 8284 014 8278

2 -036 7987 038 7921 038 7921 038 7921 038 7919

5 1 05 451 9117 434 9148 400 9200 400 9182 400 9179

1 174 8415 243 8401 239 8419 239 8419 243 8410

2 -019 8080 -019 8080 011 8079 011 8079 011 8079

3 -020 8040 026 7999 026 7999 026 7999 026 7999

Media Global 149 8085 134 8106 108 8122 111 8119 118 8109


Tabla AIV2


Meacutetodo F

ZW4 0 -003 8373

ZPZA1 0 058 8167

ZPZA0 0 090 8148

ZPb3 0 111 8119

ZPb4 0 118 8109

ZPb0 0 134 8106

ZPb1 0 149 8085

ZPZA4 2 038 8170

ZPb2 2 108 8122

ZW2 4 -045 8396

ZW3 4 -045 8396

ZPZA3 6 028 8181

ZPZA2 8 021 8184

ZN0 10 -057 8429

ZAb0 12 -090 8424

ZW1 18 -141 8399

ZE0 20 -084 8426

ZAb1 22 -151 8423

ZE1 26 -133 8427

ZN1 30 -163 8433

ZAb3 36 -385 8424

ZAb4 36 -423 8424

ZAb4 42 -894 8406

ZE4 48 -1364 8416

ZE3 50 -310 8431

ZE2 52 -333 8432

ZN3 54 -437 8437

ZN2 54 -454 8437

ZN4 54 -1548 8423

ZW0 78 -894 8410



n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -022 8590 017 8644 017 8620

1 -025 7002 -021 6978 -021 6907

2 -058 6127 -026 6068 -020 6056

5 1 05 -066 8757 049 8858 049 8858

1 -040 7490 006 7519 008 7418

2 -071 6454 -044 6401 -017 6383

3 -052 6187 -032 6115 -032 6115

60 3 1 05 -017 8852 011 8880 017 8844

1 -036 7465 -010 7449 -009 7405

2 -032 6709 -024 6677 -014 6661

5 1 05 -058 9036 025 9092 043 9080

1 -069 7941 011 7949 012 7885

2 -046 7037 -041 6989 -029 6981

3 -041 6805 -041 6749 -023 6741

1 3 05 -028 8633 000 8697 033 8665

1 -053 7057 -021 7037 -021 6965

2 -050 6174 -023 6110 -023 6102

1 5 05 -084 8780 049 8876 049 8876

1 -057 7529 -009 7537 019 7433

2 -057 6477 -044 6409 -023 6397

3 -049 6198 -025 6118 -025 6118

100 3 1 05 -005 9058 -096 9085 -092 9070

1 -012 7918 -024 7909 -005 7880

2 -030 7341 -014 7298 -006 7288

5 1 05 002 9276 017 9300 017 9280

1 -009 8365 005 8363 011 8331

2 -041 7621 -041 7621 -033 7614

3 -021 7452 -016 7409 -010 7404

1 3 05 -047 8679 000 8730 038 8694

1 -056 7109 -018 7092 -015 7018

2 -045 6226 -022 6153 -022 6153

1 5 05 -100 8802 066 8894 066 8894

1 -065 7537 -009 7559 015 7457

2 -069 6494 -044 6436 -044 6426

3 -055 6211 -031 6134 -031 6134

60 60 3 1 05 -015 8901 -037 8930 -037 8895

1 -033 7530 -015 7519 -012 7474

2 -024 6762 -016 6729 -014 6724

5 1 05 -060 9073 041 9116 067 9102

1 -069 7971 003 7976 003 7912

2 -041 7055 -041 7022 -041 7020

3 -041 6815 -019 6778 -019 6778

100 3 1 05 -042 9119 -037 9141 -037 9128

1 -018 8010 -004 7992 -004 7971

2 -022 7388 -022 7375 -009 7369

5 1 05 -009 9302 -037 9335 -037 9315

1 -010 8408 -018 8408 005 8380

2 -057 7663 -019 7640 -011 7637

3 -016 7463 -016 7440 -007 7437

1 3 05 -021 8942 005 8974 019 8938

1 -033 7593 -013 7580 -013 7543

2 -029 6824 -017 6778 -017 6778

1 5 05 -070 9089 038 9133 070 9119

1 -071 7995 -005 7997 -005 7937

2 -043 7075 -019 7038 -019 7038

3 -076 6837 -019 6794 -019 6794

100 100 3 1 05 -026 9179 -005 9192 -005 9179

1 -013 8084 -009 8077 -004 8059

2 -022 7452 -022 7437 -014 7435

5 1 05 -031 9331 026 9352 027 9330

1 -019 8441 -018 8440 004 8414

2 -057 7685 -009 7664 -009 7662

3 -042 7486 -016 7472 -016 7472

Media Global -041 7882 -010 7882 -002 7856


=5 n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 -035 9007 -039 9007 043 8959

1 -022 7704 -022 7710 -022 7656

2 -197 6972 -197 6972 -078 6960

5 1 05 085 9173 085 9173 308 9143

1 -041 8132 -041 8138 -041 8055

2 -244 7240 -244 7240 -047 7228

3 -071 7020 -071 7020 -071 7020

60 3 1 05 -035 9032 -040 9036 -040 8996

1 -068 7757 -068 7761 -068 7709

2 -052 7005 -197 7013 -093 7005

5 1 05 066 9188 066 9184 324 9152

1 -081 8145 -030 8141 -030 8061

2 -244 7253 -244 7257 -071 7253

3 -056 7021 -056 7021 -056 7021

1 3 05 -040 9164 -040 9164 014 9140

1 -067 8053 -067 8061 -001 8025

2 -060 7445 -060 7445 -022 7437

1 5 05 071 9344 090 9336 097 9300

1 -032 8445 -032 8453 011 8405

2 -052 7709 -052 7713 -045 7709

3 -163 7517 -163 7517 -046 7509

100 3 1 05 -035 9065 -043 9065 -043 9022

1 -077 7788 -077 7790 -077 7742

2 -118 7042 -118 7042 -118 7042

5 1 05 032 9206 024 9198 325 9162

1 -087 8160 -083 8157 -083 8078

2 -117 7269 -117 7269 -062 7266

3 -047 7037 -047 7037 -047 7037

1 3 05 -092 9305 -092 9307 007 9295

1 -009 8409 -009 8413 -008 8394

2 -127 7940 -127 7940 -017 7930

1 5 05 033 9481 055 9481 066 9466

1 -095 8773 -095 8771 -022 8749

2 -169 8179 -169 8177 -082 8172

3 -066 8027 -066 8027 -023 8022

60 60 3 1 05 -040 9205 -040 9205 -040 9186

1 -017 8113 -017 8113 -017 8089

2 -060 7498 -060 7509 -048 7503

5 1 05 050 9360 056 9355 097 9317

1 -033 8471 -033 8471 009 8431

2 -056 7716 -056 7718 -056 7716

3 -055 7530 -055 7530 -046 7525

100 3 1 05 -013 9239 -013 9237 -013 9216

1 -034 8171 -063 8169 -034 8143

2 -060 7534 -060 7538 -060 7538

5 1 05 035 9375 038 9372 089 9336

1 -038 8502 -038 8500 -038 8460

2 -058 7736 -058 7736 -058 7736

3 -090 7538 -110 7544 -110 7544

1 3 05 -030 9354 -030 9352 026 9343

1 -025 8484 -036 8489 -036 8476

2 -026 7986 -026 7986 -025 7982

1 5 05 -004 9508 032 9505 038 9492

1 -006 8801 -004 8799 002 8781

2 -030 8205 -031 8206 -031 8203

3 -018 8041 -018 8041 -018 8041

100 100 3 1 05 -019 9393 -019 9394 -019 9386

1 -056 8544 -056 8546 -019 8535

2 -033 8042 -036 8046 -036 8046

5 1 05 021 9527 021 9526 021 9513

1 -032 8828 -032 8831 -032 8815

2 -027 8221 -026 8221 -026 8220

3 -027 8066 -041 8068 -027 8066

Media Global -045 8396 -045 8396 -003 8373


=10

n1 n2 β1 β2 λ ZW2 ZW3 ZW4 40 40 3 1 05 069 9197 031 9161 035 9131

1 026 8061 -075 8079 -075 8037

2 -033 7424 -131 7448 -059 7436

5 1 05 231 9346 -224 9316 581 9256

1 018 8441 -192 8435 000 8370

2 -192 7662 -192 7674 -192 7674

3 -101 7472 -101 7484 -101 7484

60 3 1 05 -049 9320 -160 9300 -010 9284

1 -027 8373 -022 8381 -022 8361

2 -066 7861 -066 7861 -066 7853

5 1 05 -261 9472 001 9456 001 9432

1 003 8709 -097 8717 005 8681

2 -159 8065 -097 8065 -058 8061

3 -164 7893 -164 7909 -164 7909

1 3 05 038 9212 -395 9200 061 9164

1 -074 8109 -046 8117 -046 8081

2 -055 7461 -075 7485 -075 7485

1 5 05 199 9356 -224 9344 -076 9288

1 023 8453 -192 8461 -047 8397

2 -192 7677 -192 7693 -192 7689

3 -101 7485 -101 7493 -101 7493

100 3 1 05 -037 9433 -061 9418 005 9411

1 -075 8669 -117 8665 -012 8650

2 -026 8254 -148 8269 -020 8259

5 1 05 037 9575 025 9568 037 9558

1 -042 8971 -028 8974 -001 8959

2 -065 8462 -146 8464 -041 8462

3 -038 8331 -038 8331 -017 8326

1 3 05 034 9239 -395 9227 -024 9191

1 -100 8150 -077 8157 -077 8121

2 -023 7476 -083 7510 -083 7510

1 5 05 108 9375 -232 9350 -077 9292

1 018 8464 -192 8471 -192 8409

2 -192 7682 -192 7699 -192 7696

3 -101 7486 -101 7501 -101 7501

60 60 3 1 05 -160 9350 -160 9339 -160 9325

1 -022 8422 -310 8428 -051 8406

2 -031 7869 -042 7885 -042 7885

5 1 05 -261 9481 -050 9476 -050 9452

1 014 8729 -097 8729 009 8699

2 -097 8076 -097 8081 -097 8081

3 -164 7912 -164 7917 -164 7917

100 3 1 05 -074 9466 -057 9464 -050 9458

1 -117 8731 -117 8732 -025 8721

2 -148 8301 -148 8307 -025 8304

5 1 05 037 9596 -085 9591 031 9581

1 -027 9000 -027 9002 -027 8989

2 -038 8489 -050 8484 -050 8484

3 -038 8349 -038 8356 -038 8356

1 3 05 -160 9372 -080 9365 -080 9351

1 -022 8458 -036 8471 -035 8453

2 -043 7918 -063 7927 -063 7927

1 5 05 -079 9500 -068 9487 -068 9461

1 -021 8747 -097 8750 -097 8721

2 -097 8088 -097 8098 -097 8098

3 -099 7918 -164 7931 -164 7931

100 100 3 1 05 -057 9501 -019 9492 -019 9487

1 -117 8780 -018 8779 -018 8771

2 -030 8346 -148 8358 -148 8358

5 1 05 025 9612 -052 9607 -052 9597

1 -027 9025 -027 9025 -027 9014

2 -036 8497 -038 8502 -038 8502

3 -038 8364 -046 8378 -046 8378

Media Global -049 8657 -111 8657 -043 8638


Tabla AIV4


α=1 α=5 α=10


ZW4 0 -002 7856 ZW4 0 -003 8373 ZW4 0 -043 8638

ZW3 0 -010 7882 ZW2 4 -045 8396 ZW2 0 -049 8657

ZW2 2 -041 7882 ZW3 4 -045 8396 ZW3 0 -111 8657

Tabla AIV5


α=1 α=5 α=10


40 40 ZW4 0 002 7379 ZW4 0 028 8005 ZW2 0 014 8359

ZW3 0 -004 7415 ZW2 2 -065 8042 ZW4 0 045 8321

ZW2 0 -047 7408 ZW3 2 -066 8044 ZW3 0 -128 8355

40 60 ZW4 0 004 7612 ZW4 0 007 8186 ZW4 0 -049 8484

ZW3 0 -007 7645 ZW2 2 -054 8215 ZW2 0 -058 8508

ZW2 0 -049 7646 ZW3 2 -055 8217 ZW3 0 -136 8509

40 100 ZW4 0 -006 7846 ZW4 0 -007 8363 ZW2 0 -034 8649

ZW3 0 -015 7874 ZW3 0 -065 8388 ZW4 0 -057 8629

ZW2 2 -040 7873 ZW2 0 -066 8388 ZW3 0 -133 8650

60 60 ZW4 0 -006 7859 ZW4 0 -009 8376 ZW4 0 -075 8644

ZW3 0 -011 7886 ZW3 0 -025 8397 ZW2 0 -104 8658

ZW2 0 -042 7886 ZW2 0 -026 8397 ZW3 0 -136 8659

60 100 ZW4 0 -005 8100 ZW4 0 -013 8562 ZW4 0 -054 8798

ZW3 0 -012 8119 ZW2 0 -025 8577 ZW2 0 -064 8808

ZW2 0 -037 8121 ZW3 0 -026 8577 ZW3 0 -077 8809

100 100 ZW4 0 000 8350 ZW4 0 -018 8754 ZW2 0 -041 8962

ZW3 0 -006 8363 ZW2 0 -024 8761 ZW3 0 -042 8962

ZW2 0 -030 8365 ZW3 0 -025 8763 ZW4 0 -042 8957




1 -022 7656 -022 7656 2 -078 6960 -078 6960 5 1 05 308 9143 308 9137 1 -041 8055 -041 8043 2 -047 7228 -047 7228 3 -071 7020 -052 7008 60 3 1 05 -040 8996 063 9132 1 -068 7709 -001 8017 2 -093 7005 -008 7429 5 1 05 324 9152 097 9300 1 -030 8061 041 8397 2 -071 7253 -045 7701 3 -056 7021 -046 7509 1 3 05 014 9140 -040 8996 1 -001 8025 -068 7709 2 -022 7437 -040 6997 1 5 05 097 9300 324 9152 1 011 8405 -030 8053 2 -045 7709 -045 7245 3 -046 7509 -056 7021 100 3 1 05 -043 9022 050 9290 1 -077 7742 -008 8394 2 -118 7042 -017 7930 5 1 05 325 9162 067 9464 1 -083 8078 -022 8749 2 -062 7266 -082 8172 3 -047 7037 -023 8022 1 3 05 007 9295 -043 9022 1 -008 8394 -077 7740 2 -017 7930 -118 7042 1 5 05 066 9466 325 9162 1 -022 8749 -083 8078 2 -082 8172 -062 7259 3 -023 8022 -047 7037

60 60 3 1 05 -040 9186 -040 9183 1 -017 8089 -017 8087 2 -048 7503 -044 7493 5 1 05 097 9317 123 9315 1 009 8431 017 8428 2 -056 7716 -054 7710 3 -046 7525 -046 7525 100 3 1 05 -013 9216 037 9339 1 -034 8143 -017 8469 2 -060 7538 -025 7982 5 1 05 089 9336 038 9489 1 -038 8460 002 8779 2 -058 7736 -031 8197 3 -110 7544 -018 8041 1 3 05 026 9343 -013 9216 1 -036 8476 -034 8142 2 -025 7982 -060 7531 1 5 05 038 9492 089 9336 1 002 8781 -038 8456 2 -031 8203 -058 7736 3 -018 8041 -090 7538

100 100 3 1 05 -019 9386 -019 9385 1 -019 8535 -019 8535 2 -036 8046 -033 8038 5 1 05 021 9513 021 9511 1 -032 8815 -032 8814 2 -026 8220 -026 8218 3 -027 8066 -023 8062

Media Global -003 8373 003 8370


Tabla AV1


(α=5)


20 005 -3111 8095 474 7619 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 -740 7143 -828 7619 068 7619 068 7619 068 7619 476 6667

02 -292 6667 -292 6667 063 6667 063 6667 179 6190 285 6190

03 -026 6190 -026 6190 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 -220 6190 -220 6190 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 -819 8537 -819 8537 020 8780 361 8537 361 8537 466 8293

01 -355 8049 -460 8293 081 8049 081 8049 081 8049 302 7805

02 -453 7805 021 7561 -012 7561 -012 7561 -012 7561 136 7317

03 -201 7317 115 7073 -057 7317 -057 7317 -057 7317 115 7073

04 -041 7073 -041 7073 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 -307 7317 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 -1444 8852 -059 8852 203 8852 203 8852 203 8852 011 8689

01 -087 8361 -176 8525 020 8525 020 8525 038 8361 305 8197

02 -276 8033 -029 8033 158 7869 158 7869 158 7869 085 7869

03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 010 7705

04 -163 7705 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 146 7377

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541

80 005 -426 9012 -426 9012 316 8889 316 8889 316 8889 270 8889

01 -503 8765 023 8642 126 8642 126 8642 126 8642 023 8642

02 -179 8272 -004 8272 152 8148 152 8148 152 8148 098 8148

03 -014 8025 -014 8025 128 7901 128 7901 128 7901 079 7901

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 097 7778

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 170 7654

100 005 -725 9109 014 9109 159 9109 159 9109 218 9010 086 9010

01 -176 8812 -176 8812 023 8812 216 8713 216 8713 163 8713

02 -169 8515 047 8416 033 8416 -095 8515 -095 8515 134 8317

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03 010 7705 010 7705 -001 7705 -001 7705 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541 146 7377

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541 227 7213

80 005 -545 9136 151 9012 -553 9136 034 9012 034 9012 151 9012

01 -121 8765 -121 8765 -060 8642 -060 8642 -060 8642 270 8519

02 -004 8272 -004 8272 -019 8272 -019 8272 -019 8272 152 8148

03 -014 8025 -014 8025 -021 8025 -021 8025 -021 8025 128 7901

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901 170 7654

100 005 014 9109 -153 9208 -131 9109 -131 9109 -131 9109 326 9010

01 057 8812 057 8812 023 8812 023 8812 023 8812 216 8713

02 047 8416 047 8416 033 8416 033 8416 033 8416 174 8317

03 002 8218 002 8218 -004 8218 -004 8218 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119 148 7921

200 005 -002 9403 -002 9403 033 9353 -034 9403 -034 9403 172 9353

01 016 9154 -091 9204 -015 9154 -015 9154 -015 9154 169 9104

02 -018 8905 -018 8905 -024 8905 -024 8905 -024 8905 085 8856

03 050 8706 -034 8756 047 8706 047 8706 047 8706 131 8657

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657 100 8557

Media Global -215 8102 018 8051 -082 8058 -039 8042 -038 8037 204 7880


Tabla AV2


n le 60 n ge 80


ZW0 21 -505 7516 ZE2 14 -173 8587


GW4 18 -394 7433 GW4 12 -119 8541


A5 0 236 7281 A3 0 -019 8587 A1 2 056 7496 A4 0 -019 8587 A4 8 -057 7486 A1 0 -020 8607 A3 8 -058 7496 A5 0 172 8479 A2 10 -113 7525 A0 2 -040 8602 A0 12 -389 7602 A2 2 -051 8592



n π ZE0 ZW2 ZW3 A1

20 005 -059 8095 074 7619 -059 8095 074 7619

01 -013 7143 076 6667 -013 7143 076 6667

02 000 5714 074 5238 000 5714 -041 5714

03 041 4762 -028 5238 041 4762 -028 5238

04 -001 4762 -001 4762 -001 4762 -001 4762

05 -018 4762 -018 4762 -018 4762 -018 4762

40 005 -039 8537 093 8049 066 8293 066 8293

01 -055 7805 085 7317 049 7561 -098 7805

02 006 6829 056 6585 020 6585 -009 6829

03 012 6341 012 6341 012 6341 -049 6585

04 -044 6341 006 6098 046 5854 006 6098

05 036 5854 -066 6341 036 5854 036 5854

60 005 002 8689 072 8525 002 8689 072 8525

01 -064 8197 062 7869 043 7869 025 8033

02 -046 7541 012 7377 042 7213 012 7377

03 030 6885 -006 7049 030 6885 -006 7049

04 -016 6885 -016 6885 -016 6885 -016 6885

05 -035 6885 -035 6885 038 6557 -035 6885

80 005 035 8765 079 8642 035 8765 -086 8765

01 -045 8395 057 8148 045 8148 -060 8395

02 024 7654 -011 7778 024 7654 -011 7778

03 000 7407 000 7407 000 7407 000 7407

04 017 7160 -019 7284 017 7160 -019 7284

05 003 7160 003 7160 003 7160 003 7160

100 005 -015 8911 085 8713 057 8812 -002 8911

01 -020 8515 035 8416 -003 8416 -024 8515

02 016 7921 012 7921 016 7921 -018 8020

03 -017 7723 015 7624 -017 7723 015 7624

04 -004 7525 -004 7525 -004 7525 -004 7525

05 -020 7525 -020 7525 -020 7525 -020 7525

200 005 -044 9254 050 9154 038 9154 -049 9254

01 -030 8955 036 8856 033 8856 -034 8955

02 -002 8557 -005 8557 -002 8557 -005 8557

03 -007 8358 015 8308 -007 8358 015 8308

04 -014 8259 -014 8259 -014 8259 007 8209

05 013 8159 013 8159 013 8159 013 8159

Media Global -011 7517 025 7413 015 7436 -006 7490


20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095 01 068 7619 068 7619 068 7619 068 7619

02 063 6667 063 6667 063 6667 063 6667

03 252 5714 252 5714 252 5714 -026 6190

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 020 8780 361 8537 361 8537 01 -067 8293 081 8049 081 8049 197 8049

02 -217 7805 -012 7561 -012 7561 021 7561

03 -057 7317 -057 7317 -057 7317 -057 7317

04 155 6829 155 6829 155 6829 -041 7073

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 203 8852 -258 9016 01 020 8525 020 8525 020 8525 020 8525

02 158 7869 158 7869 158 7869 -029 8033

03 -157 7869 -001 7705 -001 7705 010 7705

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 -019 7541 -019 7541 -019 7541

80 005 -131 9136 316 8889 316 8889 151 9012 01 126 8642 126 8642 126 8642 -121 8765

02 152 8148 152 8148 152 8148 -004 8272

03 128 7901 128 7901 128 7901 -014 8025

04 -016 7901 -016 7901 -016 7901 -016 7901

05 -067 7901 -067 7901 -067 7901 -067 7901

100 005 159 9109 159 9109 159 9109 -153 9208 01 -136 8911 023 8812 216 8713 057 8812

02 -095 8515 033 8416 -095 8515 047 8416

03 -128 8317 -004 8218 -004 8218 002 8218

04 -019 8119 -019 8119 -019 8119 -019 8119

05 -069 8119 -069 8119 -069 8119 -069 8119

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 -002 9403 01 061 9154 061 9154 061 9154 -091 9204

02 085 8856 085 8856 085 8856 -018 8905

03 -034 8756 -034 8756 -034 8756 -034 8756

04 -011 8657 -011 8657 -011 8657 -011 8657

05 -060 8657 -060 8657 -060 8657 -060 8657

Media Global 020 8055 079 8005 092 7997 018 8051

INF

ER

EN

CIA

S A

SINT

OacuteT

ICA

S SO

BR

E U

NA

CO

MB

INA

CIOacute

N L

INE

AL

DE

K 299

PR

OP

OR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

S

300

A

PEacute

ND

ICE

TA

BL

AS


20 005 245 8571 245 8571 245 8571 245 8571

01 568 7619 -330 8095 568 7619 568 7619

02 -559 7619 018 7143 018 7143 -013 7143

03 166 6667 166 6667 166 6667 166 6667

04 -075 6667 -075 6667 -075 6667 -075 6667

05 -153 6667 -153 6667 -153 6667 -153 6667

40 005 520 8780 -381 9024 520 8780 520 8780

01 433 8293 -143 8537 433 8293 -224 8537

02 283 7805 -160 8049 283 7805 283 7805

03 -186 7805 129 7561 -186 7805 -186 7805

04 256 7317 256 7317 256 7317 256 7317

05 193 7317 193 7317 193 7317 193 7317

60 005 -248 9180 213 9016 213 9016 -248 9180

01 -261 8852 132 8689 132 8689 -261 8852

02 265 8197 -081 8361 265 8197 -097 8361

03 -200 8197 073 8033 -200 8197 -200 8197

04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869

05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869

80 005 369 9136 -053 9136 369 9136 369 9136

01 109 8889 355 8765 109 8889 109 8889

02 -225 8642 053 8519 -225 8642 -225 8642

03 -118 8395 110 8272 -118 8395 -118 8395

04 138 8148 138 8148 138 8148 138 8148

05 071 8148 071 8148 071 8148 071 8148

100 005 -002 9307 310 9208 -002 9307 -002 9307

01 -301 9109 037 9010 364 8911 025 9010

02 -027 8713 188 8614 -027 8713 -027 8713

03 -009 8515 -009 8515 -009 8515 -009 8515

04 179 8317 -036 8416 179 8317 179 8317

05 114 8317 114 8317 114 8317 114 8317

200 005 292 9453 -046 9502 292 9453 -067 9502

01 -238 9353 007 9303 245 9254 000 9303

02 076 9055 -121 9104 076 9055 076 9055

03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955

04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856

05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856

Media Global 052 8360 038 8349 130 8326 044 8355

Tabla AV4


α=1 n le 60 n ge 80


ZE0 0 -015 6865 ZW3 0 013 8130 ZW3 0 018 6742 A1 0 -017 8178 ZW2 0 031 6704 ZW2 0 020 8122

α=5 n le 60 n ge 80


ZE0 4 026 7516 ZW3 0 069 8562

α=10 n le 60 n ge 80


ZW2 0 016 7911 ZE0 0 018 8818 A1 0 057 7897 A1 0 031 8812

ZW3 0 172 7852 R1 0 033 8815 ZE0 2 085 7901 ZW2 0 060 8787

INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

AC

IOacuteN

LIN

EA

L D

E K

301 P

RO

POR

CIO

NE

S IN

DE

PE

ND

IEN

TE

STabla AV5


=1


01 084 5455 -028 6364 -028 6364 084 5455 01 010 8169 012 8028 006 8169 010 8169 02 036 4545 036 4545 036 4545 036 4545 02 036 7465 014 7465 -006 7606 -016 7606 03 -006 3636 -006 3636 -006 3636 -006 3636 03 014 7183 002 7183 -026 7324 014 7183 04 -083 3636 083 1818 -083 3636 -083 3636 04 001 7042 001 7042 001 7042 001 7042 05 -115 3636 080 1818 080 1818 -115 3636 05 -015 7042 -015 7042 -015 7042 -015 7042

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60 005 213 9016 213 9016 -248 9180 -248 9180 200 005 -046 9502 292 9453 292 9453 -067 9502 01 132 8689 132 8689 -261 8852 -261 8852 01 007 9303 245 9254 -238 9353 000 9303 02 -081 8361 265 8197 265 8197 -097 8361 02 -121 9104 076 9055 076 9055 076 9055 03 073 8033 -200 8197 -200 8197 -200 8197 03 -048 8955 -048 8955 -048 8955 -048 8955 04 142 7869 142 7869 142 7869 142 7869 04 033 8856 033 8856 033 8856 033 8856 05 075 7869 075 7869 075 7869 075 7869 05 -036 8856 -036 8856 -036 8856 -036 8856 Media Global 054 8212 130 8192 066 8214 031 8230


Tabla AV6















INFE

RE

NC

IAS

AS

INT

OacuteT

ICA

S S

OB

RE

UN

A C

OM

BIN

AC

IOacuteN

LIN

EA

L D

E K

305

PR

OPO

RC

ION

ES

IND

EP

EN

DIE

NT

ES


n ZW2 ZW2c ZW3 ZW3c

20 005 341 8095 341 8095 341 8095 474 7619

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 400 5714

03 252 5714 252 5714 252 5714 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 130 5714

05 086 5714 086 5714 086 5714 086 5714

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 081 8049 345 7805 081 8049 345 7805

02 -012 7561 227 7317 -012 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 155 6829 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 402 8689 203 8852 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 336 8197

02 158 7869 158 7869 158 7869 158 7869

03 -001 7705 165 7541 -001 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 029 7541

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 316 8889 316 8889 316 8889 316 8889

01 126 8642 126 8642 126 8642 270 8519

02 152 8148 152 8148 152 8148 152 8148

03 128 7901 128 7901 128 7901 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 385 8911 159 9109 326 9010

01 023 8812 216 8713 216 8713 216 8713

02 033 8416 174 8317 -095 8515 174 8317

03 -004 8218 125 8119 -004 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 172 9353 172 9353

01 061 9154 061 9154 061 9154 169 9104

02 085 8856 085 8856 085 8856 085 8856

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 079 8005 211 7857 092 7997 221 7840

n ZE0 ZE0c A1 A1c

20 005 -255 8571 341 8095 341 8095 341 8095

01 068 7619 387 7143 068 7619 387 7143

02 063 6667 400 5714 063 6667 285 6190

03 252 5714 252 5714 -026 6190 252 5714

04 130 5714 130 5714 130 5714 276 5238

05 086 5714 086 5714 086 5714 382 4762

40 005 020 8780 361 8537 361 8537 361 8537

01 -067 8293 345 7805 197 8049 197 8049

02 -217 7805 227 7317 021 7561 227 7317

03 -057 7317 266 6829 -057 7317 266 6829

04 155 6829 155 6829 -041 7073 155 6829

05 115 6829 115 6829 115 6829 115 6829

60 005 203 8852 203 8852 -258 9016 402 8689

01 020 8525 336 8197 020 8525 216 8361

02 158 7869 158 7869 -029 8033 272 7705

03 -157 7869 165 7541 010 7705 165 7541

04 029 7541 029 7541 029 7541 258 7213

05 -019 7541 227 7213 -019 7541 227 7213

80 005 -131 9136 316 8889 151 9012 151 9012

01 126 8642 126 8642 -121 8765 270 8519

02 152 8148 152 8148 -004 8272 254 8025

03 128 7901 128 7901 -014 8025 128 7901

04 -016 7901 205 7654 -016 7901 205 7654

05 -067 7901 170 7654 -067 7901 170 7654

100 005 159 9109 159 9109 -153 9208 326 9010

01 -136 8911 216 8713 057 8812 057 8812

02 -095 8515 174 8317 047 8416 174 8317

03 -128 8317 125 8119 002 8218 125 8119

04 -019 8119 185 7921 -019 8119 185 7921

05 -069 8119 148 7921 -069 8119 148 7921

200 005 172 9353 172 9353 -002 9403 -002 9403

01 061 9154 061 9154 -091 9204 169 9104

02 085 8856 085 8856 -018 8905 163 8806

03 -034 8756 131 8657 -034 8756 131 8657

04 -011 8657 139 8557 -011 8657 139 8557

05 -060 8657 100 8557 -060 8657 100 8557 Media 020 8055 199 7868 018 8051 215 7840


Tabla AV8


n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 A1 0 -020 8607

ZE0c 0 241 7247 ZW2 0 065 8562

ZW2c 0 253 7237 ZW3 0 069 8562

ZW3c 0 261 7208 ZE0c 0 157 8488

A1c 0 268 7203 A1c 0 163 8478

A1 2 056 7496 ZW2c 0 170 8476

ZE0 4 026 7516 ZW3c 0 182 8472

Tabla AV9


n le 60 n ge 80


ZW2 0 093 7447 ZE0 0 013 8595

ZW3 0 114 7432 ZW2 0 065 8562

ZW5 0 192 7247 ZW3 0 069 8562

ZE0c 0 241 7247 ZW5 0 102 8502

ZE0 4 026 7516 ZE0c 0 157 8488

ZW0c 10 -279 7334 ZW0c 2 033 8491

A0 12 -389 7602 A0 2 -040 8602

ZW0 21 -505 7510 ZW0 10 -179 8607

TESIS_I

INDICE_4_FIN

PROacuteLOGO





CAPITULO V_9_FIN


CONCLUSIONES_9_FIN

Referencias_3




inferencias asintÓticas sobre una combinaciÓn lineal de …

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