UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CS. FISICAS Y MATEMATICAS

LNB/MWC/ESF/JSA/esf.

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIAPauta Evaluacion de Recuperacion - 520145

Problema 1: Determine la ecuacion del lugar geometrico de los puntos del planotales que su distancia a (−2, 1) es la mitad de la distancia a (4,−2). Identifique lacurva.

d((x, y), (−2, 1)) =1

2· d((x, y), (4,−2)) (4 pts.)

(x+ 4)2 + (y − 2)2 = 20 (4 pts.)

Es una circunferencia de centro (−4, 2) y radio√

20. (2 pts.)

Problema 2: Considere la funcion real definida por:

f(x) = ln(x2 − 6x)

a) Determine dominio de f .

x ∈ Dom(f)⇔ x(x− 6) > 0 (3 pts.)

⇔ x ∈]−∞, 0[∪]6,+∞[ (2 pts.)

b) Defina la inversa de f , si existe. En caso contrario defina una restriccion adecuadade f que tenga inversa y defina su inversa. Justifique todas sus afirmaciones.

y ∈ Rec(f)⇔ x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]6,+∞[ ∧ y = ln(x2 − 6x)

⇔ 3 +√

9 + ey > 6 ∨ 3−√

9 + ey < 0

⇔ y ∈ R (4 pts.)

f no es inyectiva, ya que si x = −1 y x = 7 entonces f(−1) = f(7) = ln(7). Portanto, restrinjimos el dominio a ]−∞, 0[ o a ]6,+∞[.Por argumentar que no es inyectiva, restringir el dominio y probar la inyectividad(4 pts.)

Finalmente, definimos la inversa de f como

f−1 : R→]−∞, 0[

donde f−1(x) = 3−√

9 + ey, o bien,

f−1 : R→]6,+∞[

donde f−1(x) = 3 +√

9 + ey.Por dar la definicion de la inversa (2 pts.).

Problema 3: Resuelva para x ∈ [0, 2π]:

sen4(3x) + 2cos2(3x) = 1

sen4(3x) + 2(1− sen2(3x)) = 1⇔ sen4(3x)− 2sen2(3x) + 1 = 0(5 pts.)

⇔ sen2(3x) = ±1

⇔ x =π

6,5π

6,3π

2,π

2,7π

6,11π

6(5 pts.)

Problema 4: Determine los siguientes lımites:

a)lımx→1

√2x2 + 1−

√3

x2 + x− 2= lım

x→1

√2x2 + 1−

√3

x2 + x− 2·√

2x2 + 1 +√

3√2x2 + 1 +

√3

= lımx→1

2(x+ 1)

x+ 2· 1√

2x2 + 1 +√

3

=2

3√

3(5 pts.)

b) lımx→−2

3√

3x+ 5 + 1√x+ 3− 1

= lımx→−2

3√

3x+ 5 + 1√x+ 3− 1

= lımx→−2

(3x+ 5 + 1)(√x+ 3 + 1)

(x+ 3− 1)( 3√

(3x+ 5)2 − 3√

3x+ 5 + 1)

= lımx→−2

3(√x+ 3 + 1)

3√

(3x+ 5)2 − 3√

3x+ 5 + 1

= 2 (5 pts.)

2

Problema 5: Considere la funcion real definida por:

f(x) =

√2x2 + 1−

√3

x− 1, si x < 0

ax+ b, si 0 ≤ x ≤ 2

3x2 + 3

x+ 1, si x > 2

a) Determine el valor de las constantes a y b de modo que f sea continua en R.Sabemos que f es continua en R−{0, 2}, por tanto analizamos la continuidaden esos puntos. (1 pto.)

lımx→0−

√2x2 + 1−

√3

x− 1= lım

x→0+(ax+ b) = f(0) = b

∧

lımx→2−

(ax+ b) = lımx→2+

3x2 + 3

x+ 1= f(2) = 2a+ b (4 pts.)

⇒ b =√

3− 1 ∧ a =6−√

3

2(2 pts.)

b)Determine una asıntota para el grafico de f .Asıntota Horizontal

lımx→−∞

√2x2 + 1−

√3

x− 1= lım

x→−∞−

√2 + 1

x2 +√3x

1− 1x

= −√

2 (6 ptos.)

Por tanto, y = −√

2 es una asıntota horizontal (2 ptos).

Asıntota Oblicua

lımx→+∞

3x2 + 3

x2 + x= 3 ∧ lım

x→+∞

3x2 + 3

x+ 1− 3x = lım

x→+∞

3− 3x

x+ 1= −3(6 ptos.)

Ecuacion de la asıntota oblicua y = 3x− 3 (2 ptos).

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