Il ragionamento non monotono

The ABC murder story (The Web of Belief, Quine & Ullian, 1978)

• Abbot, Babbit e Cabbot sono sospettati di omicidio

• Abbot ha un alibi: era registrato in un elegante Hotel ad Albany

• Babbit ha un alibi: il cognato dice che era da lui a Brooklyn

• Cabbot dice che era ad assistere ad una gara di sci, ma abbiamo solo la sua parola

Quindi crediamo:

1 - che A non abbia commesso il crimine2 - che neanche B lo abbia commesso3 - che uno dei tre lo abbia commesso

A questo punto C esibisce una registrazione di un TG in cui lo si vede tra il pubblico alla gara di sci…

quindi crediamo anche

4 - che C sia innocente

The ABC murder storyLe credenze 1, 2, 3 e 4 sono palesemente

inconsistenti.Quale evidenza supporta ciascuna?Potremmo rinunciare alla credenza

supportata dall’evidenza più debole…

The ABC murder storyLa 1 deriva da una serie di credenze a

proposito dell’affidabilità dei registri degli alberghi eleganti.

La 2 si basa sulla credibilità del cognato di B.

La 3 si basa sull’analisi dei possibili moventi e sull’assenza di segni di rapina, entrambe evidenze non conclusive.

La 4 è supportata da una evidenza conclusiva (il TG).

The ABC murder storyDobbiamo scegliere a quale delle nostre

credenze rinunciare.Sembra che le evidenze più deboli siano

quelle che supportano 2 e 3.Se rinunciamo a 2 dovremmo poi

incriminare il cognato di B per falsa testimonianza…

Se rinunciamo a 3 dobbiamo cercare un altro sospetto…

The ABC murder storyLe credenze che abbiamo esplicitato (da 1

a 4) implicano una serie di credenze implicite sui cognati, sugli Hotel, sui Tg ecc.

Avremmo un qualche vantaggio rielencando ‘sullo stesso piano’ tutte le credenze esplicite e quelle -finora- implicite?

Probabilmente no, perchè le credenze implicite fanno riferimento ad altre credenze implicite…

Una buona strategia:Quando una serie di credenze si accumula

fino al punto da rivelarsi contraddittoria

1) Esaminiamo tutti i sottoinsiemi delle credenze che mantengono la contraddizione.

2) Individuiamo il più piccolo insieme di credenze contraddittorie.

3) A questo punto sappiamo di dover eliminare una o più credenze da questo sottoinsieme.

Quando la conoscenza è incertaEsistono diversi metodi per trattare

formalmente questo tipo di problemi:

1) Il ragionamento non monotono

2) Il ragionamento statistico

Il ragionamento non monotonoIn questo tipo di ragionamento ad

ogni istante di tempo una formula può essere o VERA o FALSA.

Tuttavia l’insieme di assiomi e di regole di inferenza utilizzate può essere aggiornato in qualsiasi momento per permettere al sistema di trattare ‘nuove informazioni’.

Il ragionamento statisticoPrevede la possibilità di assegnare

ad una formula una stima numerica del suo grado di certezza.

La conoscenza nel ragionamento classico

Prop.1: È esaustiva relativamente ad un certo dominio di interesse: tutto ciò che serve per risolvere il problema è assunto come noto o deducibile da ciò che è noto.

Prop.2: È consistente.

Monotonicità

Prop.3: L’unico modo per modificare la conoscenza è di ampliare l’insieme dei fatti noti.

Se questo ampliamento può essere fatto senza introdurre incoerenze, e quindi senza che sia necessario eliminare alcunchè dall’insieme delle conoscenze, allora si dice che si ha monotonicità.

Nonmonotonicità

I sistemi di ragionamento non monotono sono pensati per trattare situazioni in cui la conoscenza manca di una o tutte le 3 Proprietà di cui sopra.

Alcune questioni cruciali (1)

Come possiamo ampliare la nostra base di conoscenza in modo che sia possibile fare deduzioni anche a partire dall’assenza di conoscenza?

In primo luogo è necessario distinguere tra:

“Si sa che P” e “Non si sa se P”

Inferenza nonmonotona

Una inferenza ottenuta a partire da “Si sa che P” è trattabile in modo

classico mentre l’inferenza da una proposizione tipo “Non si sa se P” non lo è, e si definisceInterferenza nonmonotona

“Defeasible reasoning”

Nel r.nm. se un insieme di assiomi T implica una proposizione w, l’insieme di assiomi (T+N) ottenuto da T aggiungendo nuovi assiomi N, può non implicare più w.

Il risultato di una inferenza valida può quindi essere ‘disfatto’ a causa dell’ampiamento della base di conoscenza.

Problemi nelle dimostrazioni!!!

Alcune questioni cruciali (2)

Come è possibile procedere adeguatamente all’aggiornamento della base di conoscenza attraverso l’aggiunta o la rimozione di conoscenze?

Si può tenere nota di tutte le derivazioni, chiamate in questo contesto giustificazioni.

Alcune questioni cruciali (2)

All’aggiunta di una nuova evidenza si procede a marcare tutte le giustificazioni che dipendono crucialmente dall’assenza di quell’evidenza.

Tali giustificazioni sono ritenute quindi invalide.

NB: si può usare lo stesso metodo per il ragionamento temporale.

Alcune questioni cruciali (3)

Come è possibile usare la conoscenza per risolvere il conflitto tra evidenze contraddittorie?

Quando le inferenze sono basate sull’assenza di conoscenza è molto frequente dedurre sistemi che sono localmente consistenti ma globalmente inconsistenti.

Non esiste un metodo generale per trattare questo problema.

Scegliere un modello

Dato un insieme S di formule ben formate(wwf’s= well formed formulas), si dice

interpretazione di S un dominio di oggetti D insieme ad una funzione che assegna ad ogni predicato una relazione tra oggetti ed ad ogni termine un elemento di D.

Una interpretazione che soddisfa un insieme S di wff’s si definisce modello di S.

Le logiche nonmonotone

Un formalismo nonmonotono deve fornire un insieme di principi per:

1 - permetterci di dire che preferiamo un modello ad un altro

2 - fornirci uno schema implementabile3 - realizzare una forma di ragionamento

che corrisponda alla nostra intuizione di come si trattano questo tipo di problemi.

Il ragionamento per default

NML = Nonmonotonic logic (McDermott & Doyle, 1980)

Ad L2 è aggiunto l’operatore M che si legge “è consistente”.

Il ragionamento per default

NML = Nonmonotonic logic (McDermott & Doyle, 1980)

Esempio: x,y: Parenti(x,y) M D’accordo(x,y) Difenderà(x,y)

Si legge:Chiunque siano x ed y, se x ed y sono parenti e

il fatto che vadano d’accordo è consistente con l’insieme delle credenze allora x difenderà y.

Dimostrare per assurdo

Per dimostrare la consistenza di una proposizione P con l’insieme delle credenze si procede per assurdo ovvero:

si cerca di dimostrare P, se non si riesce si assume P come FALSA e si deriva la consistenza di P.

(Nozione di negazione come failure; definizione euristica del livello di effort)

Decidibilità in NML

Come si dimostra un teorema in NML?

Dato un insieme S di wff’s l’insieme dei teoremi deducibili da S è definito come l’intersezione degli insiemi dei teoremi deducibili da ogni sottoinsieme di S (Metodo conservativo).

Default Logic (Reiter, 1980)

Questo formalismo introduce una nuova classe di regole di inferenza:

A : BC

“Se A è dimostrabile ed è consistente assumere B allora C”

Tutte le conclusioni così ottenute sono considerate estensioni valide della base di conoscenza. Un teorema può essere dimostrato in base ad una qualsiasi estensione.

Assunzione di mondo chiusoCWA (Reiter, 1978)

Si assume che tutto ciò che non è esplicitamente affermato come VERO sia FALSO (ragionamento minimalista).

É un tipo di assunzione che funziona bene nel ragionamento con database che si ritengono essere completi relativamente agli oggetti che descrivono.

Ragionamento Abduttivo

È un ragionamento di senso comune che è logicamente fallace ma utile in molti dominii (es: diagnosi medica):

AB B A

Si può utilizzare formalmente nell’ambito del ragionamento statistico.