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1

“Ideas para tus

asesorías de

Matemáticas”

Secundaria

Estrategias didácticas

2

Matemáticas

Clave del tema SEC.1.M.001.001 Material

Objetivo Cartulina

Plumones

Tijeras Identificar el mínimo común múltiplo

de dos números.

Tema:

Los números naturales y sus operaciones: potenciación, múltiplos,

conteo, divisores y criterios de divisibilidad.

Actividad didáctica

“Los múltiplos”

1. Previamente es necesario llevar unas tarjetas de 3 x 3 cm

(anexo) cada una de ellas tendrá un múltiplo de un número (por

ej. 0, 5, 10, 15, etc.). Trabajarán en equipos de máximo tres

personas, a cada equipo proporcionar dos juegos de tarjetas (en

desorden), por ejemplo los múltiplos del 8 y del 5, en donde las

tarjetas de los múltiplos en común sean de color diferente al resto.

2. La instrucción será colocar de forma ascendente los múltiplos

de los números que se les haya asignado. En seguida hacer la

reflexión del por qué algunos están de otro color, en ese momento

se introducir el concepto de mínimo común múltiplo.

3. Pedir que resuelvan algunos ejercicios sobre este tema en su

cuaderno, primero encontrarán los múltiplos de cada uno de los

números, señalarán con un color los que estén en ambas tablas y

luego encontrarán el mínimo común múltiplo.

Consejos (tips)

El tema propuesto para realizar la dinámica de “Los múltiplos” se

puede correlacionar con el tema: SEC.2.M.001.001 Los números

naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios

(operaciones básicas).

3

Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos

Tarjetas para obtener el mínimo común múltiplo de 5 y 8.

Tarjetas para obtener el mínimo común múltiplo de 15 y 10.

4

Números

naturales

Son infinitos

Se pueden ordenar

Todos tienen un sucesor

Todos tienen un antecesor, excepto el cero

Múltiplo: se

obtiene al

multiplicar el

número por otro

cualquiera.

Mínimo común

múltiplo (m.c.m.) de

dos números: es el

menor número que

es múltiplo de los

dos, diferente de

cero.

Divisor: se obtiene al

dividir el número se

obtiene residuo cero.

Un número es divisible por:

2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

3 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 3.

4 si sus dos últimas cifras son

múltiplos de 4.

5 si termina en 5 ó 0.

10 si termina en 0.

5


Objetivo Cartulina

Tijeras Realizar sumas y restas de fracciones

con diferente denominador.

Tema:

Los números decimales y fraccionarios: clasificación de fracciones

y operaciones básicas.


“Las fracciones”

1. Para esta actividad usar círculos y rectángulos divididos en

medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, etc. (anexo) pueden estar

elaborados de cartón, cartulina o fomi. Dividir al grupo en parejas,

entregar el material y pedir que escojan una fracción, por

ejemplo 1/2, para que busquen con que otra se puede obtener la

misma medida (2/4, 3/6, etc.), en ese momento se introducir el

concepto de fracción equivalente.

2. Los mismos equipos realizarán sumas de fracciones con

diferente denominador empleando el material anterior,

empezarán por encontrar un denominador común y así formar

fracciones equivalentes que se puedan sumar fácilmente:

3. Los alumnos copiarán los ejercicios en su cuaderno y resolverán

otros propuestos por el asesor.

Consejos (tips)

El tema propuesto para realizar la dinámica de “Las fracciones” se

puede correlacionar con el tema: SEC.2.M.001.001 Los números

naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios


6


Figuras para realizar las operaciones.

7

Fracción

Parte de una unidad

Elementos:

6 numerador (núm. de partes que se toman de la unidad)

9 denominador (núm. de partes en que se divide la unidad)

Propia: 1/3

Impropia: 5/4

Mixta: 7

25

Las fracciones equivalentes

son aquellas que representan

el mismo valor.

Multiplicación: multiplicar los

numeradores y multiplicar los

denominadores.

División:

- numerador: producto del

numerador de la primera y el

denominador de la segunda.

- denominador: producto del

denominador de la primera y el

numerador de la segunda.

Suma o resta con:

-mismo denominador: sumar o restar los numeradores;

el denominador es el mismo.

-diferente denominador: buscar fracciones equivalentes

para tener mismo denominador.

8


Objetivo Cuadrículas de 10 x 10

cuadritos

Colores Obtener el porcentaje de un valor

dado.

Tema:

Razones y proporciones: porcentajes y variación proporcional.


“El porcentaje”

1. Se necesitarán unas cuadrículas de 10 x 10 cuadritos (anexo),

los alumnos podrán trabajar de manera individual, a cada uno

dar una o varias cuadrículas, en ellas colorearán los cuadritos

necesarios para indicar el porcentaje indicado por el asesor.

2. En seguida, cada uno expresará el porcentaje en decimales y

llenarán una tabla en donde se indique el porcentaje, su

representación en fracción y en decimal.

Porcentaje Representación

fraccional

Representación

decimal

56% 100

56 0.56

3. Proporcionar un listado de ejercicios, para que los realicen en su

cuaderno, de cálculo de porcentajes.

Consejos (tips)

El tema propuesto para realizar la dinámica de “El porcentaje” se

puede correlacionar con varios temas de geografía y ciencias

naturales donde se hable de porcentajes.

9


Cuadrículas de 10 x 10 cuadritos.

Variación

proporcional

Directa: las cantidades

aumentan o disminuyen al

mismo tiempo.

Inversa: cuando una de las

cantidades aumenta o disminuye, la

otra disminuye o aumenta

respectivamente.

Porcentaje: expresa un

número como una fracción

con denominador 100, se

representa con el signo %.

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Objetivo Regla de fomi con

orificios

Canicas Reducir expresiones aritméticas que

impliquen números con signos.

Tema:

Números con signo, patrones y fórmulas: sucesiones de números y

expresiones generales.


“Salto de la rana”

1. Mediante ilustraciones explicar la existencia y aplicación de los

números negativos.

2. Formar al grupo en parejas, entregar una regla graduada de

fomi con orificios (anexo) y una canica (que simbolizará una

rana). Con el material realizarán operaciones sencillas de suma y

resta de números negativos, moviendo la canica de posición,

dando saltos a la derecha o a la izquierda simbolizando el valor

positivo o negativo.

3. Proporcionar un listado de ejercicios, para que los realicen en su

cuaderno.

Consejos (tips)

En el lugar de canicas se puede utilizar botones.


Regla graduada con orificios.

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Establecer la operación a realizar.

Colocar la “rana” en la posición del -3.

Realizar dos saltos hacia la derecha (+2), la respuesta es el lugar

en donde cayó la “rana”.

Caso I. Los sumandos son

positivos: la suma se

realiza como se conoce.

Caso II. Los sumandos son

negativos: la suma se

realiza como se conoce,

sólo que el signo es

negativo.

Caso III. Los sumandos son de

diferente signo: el valor es igual

al valor absoluto del número

mayor menos el valor absoluto

del número menor.

La suma de dos números

negativos es un número

negativo.

Ejemplo: -67 – 22 = -89

La suma de dos números

positivos es un número

positivo.

Ejemplo: 67 + 22 = 89

El signo del resultado es igual al

del número con mayor valor

absoluto.

Ejemplo: 33 – 22 = 11, -7.5 + 2.01 =

-5.24.

Suma de dos números con signo

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Objetivo Dibujos de balanzas y

pesas

Hojas de rotafolio Resolver ecuaciones de primer

grado.

Tema:

Conceptos generales de álgebra y ecuaciones de primer grado.


“La balanza”

1. Formar equipos de máximo tres personas y entregar el material

para esta actividad (anexo). Dibujar en hojas de rotafolio los

ejercicios a resolver: ¿Cuál es el peso del objeto representado por

el rectángulo?

2. Para llegar al resultado podrán cambiar objetos de mayor valor,

por ejemplo “500”, por la cantidad de objetos de menor valor que

sea equivalente, por ejemplo cinco de a “100”.

3. Explicar la relación de la balanza con una ecuación lineal y la

forma de resolverse, proporcionar individualmente ejercicios para

que los resuelvan en su cuaderno.

Consejos (tips)

Se pueden simbolizar dos camiones de carga en vez de

balanzas, pensando en que los dos lleven siempre la misma

carga

Se puede relacionar con despejes de fórmulas en Física, en

SEC.2.N.002.001y SEC.2.N.002.002.

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Material para la balanza.

Ejemplos de ejercicios.

1. ¿Cuál es el peso del objeto representado por el rectángulo en

cada caso?

2. ¿Cuál es el peso de los rectángulos que se encuentran en las

balanzas?

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3. ¿Cuál es el peso de los rectángulos que se encuentran en la

balanza?

a)

b)

Ecuación de primer grado:

ax + b = c

Valor numérico: resultado de sustituir

valores en cada una de las variables.

Ejemplo:

Sea 7p + 8, si p = 45,

7p + 8 = 7(45) + 8 = 315 + 8 = 323

Ecuación: igualdad entre

expresiones algebraicas.

Ejemplos:

5x + 8 = 22, 7x = 3x - 100

Expresión algebraica: números, símbolos (literales o variables), signos de

operaciones aritméticas y paréntesis.

Ejemplos: a) x + y -3, b) 5x2 + 3x3y3z.

Ejemplo:

4x - 12 = 4

4x = 4 + 12

4x = 16

x = 4

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Objetivo Imágenes de

cuadriláteros

Hojas de rotafolio

Plumones

Identificar algunas propiedades de

los cuadriláteros.

Tema:

Propiedades de las figuras geométricas y tipos de líneas

(paralelas, perpendiculares, oblicuas, mediatrices y bisectrices) y

ángulos.


“Los cuadriláteros”

1. Integrar equipos de máximo tres personas, proporcionar a los

equipos imágenes en las que se muestren cuadriláteros en

contextos de la vida cotidiana.

2. Pedirás que llenen una tabla con las siguientes casillas:

Dibujo Nombre

Número

de

lados

¿Sus

lados

son

iguales?

¿Sus

lados

opuestos

son

iguales?

¿Sus

ángulos

son

iguales?

¿Sus

ángulos

opuestos

son

iguales?

¿Cuántos

ángulos

rectos

tiene?

3. Grupalmente compararán los resultados, explicarás las

propiedades generales de los cuadriláteros al mismo tiempo que

mostrarás una tabla o esquema en una hoja de rotafolio.

Consejos (tips)

Este tema se puede relacionar con SEC.1.M.002.003

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Cuadriláteros

Paralelogramos:

Tienen dos pares

de lados paralelos.

Trapezoides:

No tienen lados

paralelos.

Trapecios:

Tienen dos lados

paralelos y los

otros dos no.

Rectángulo: Tiene

cuatro ángulos

iguales (son rectos).

Cuadrado: Tiene

lados iguales y

ángulos iguales.

Rombo: Tiene cuatro

lados iguales.

Rectángulo: Tiene un lado

perpendicular a las bases, tiene

dos ángulos rectos.

Isósceles: Tiene lados no

paralelos iguales.

Escaleno: Tiene lados no paralelos

de diferente tamaño y ninguno es

perpendicular a las bases.

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Objetivo Papel de china

Tijeras Identificar los ejes de simetría de

figuras y conocer las propiedades

de figuras simétricas axialmente.

Tema:

Ejes de simetría y simetría axial.


“Papel picado”

1. Para esta actividad se necesitará cuadrados de papel de china

con una medida de 30 cm de lado. Se puede aplicar

individualmente o en parejas. Pedir que doblen a la mitad los

cuadrados y recorten el papel, para realizar figuras como

cuadrados, rombos, etc.

2. Solicitar que encuentren los ejes de simetría de las figuras.

3. Encaminar a los alumnos a formar también figuras simétricas

axialmete, mediante una imagen explicar grupalmente las

propiedades generales de las figuras que tienen simetría axial.

Consejos (tips)

Se pueden generar más figuras doblando el papel

diagonalmente.

En lugar de papel de china se pueden usar hojas de máquina

e inclusive periódico.

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Simetría axial: transformación

en el plano, un cambio que

hace corresponder a cada

punto C con otro punto C´, de

tal manera estos estén a la

misma distancia de la recta E.

SIMETRÍA

Figura simétrica: se puede

encontrar una línea

imaginaria que la corte en

dos partes iguales.

Eje de simetría: línea

imaginaria que divide una

figura en dos partes iguales,

en donde al hacer un

doblez cada punto de un

lado coincida con otro del

otro lado.

El eje E es la línea en la

que hay qué basarse para

reproducir la figura con

simetría axial.

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Objetivo Tarjetas con ejercicios

de cálculo de

perímetros y áreas Calcular el perímetro y superficie de

figuras geométricas.

Tema:

Perímetro y superficie: unidades de longitud.


“Perímetros y áreas”

1. A cada alumno asignar una tarjeta, en ella se mostraran figuras

geométricas de preferencia tres o cuatro diferentes. Pedir que

calculen el perímetro y el área de cada una de las figuras.

Deberán de realizar en ellas todas las operaciones.

2. Cuando ellos terminen la intercambiarán con uno de sus

compañeros para revisar las fórmulas y operaciones. Al finalizar la

regresaran al compañero.

3. Dar a conocer el perímetro y área de cada figura para que

comprueben los resultados, observar cuales son los errores más

frecuentes que cometen para corregirlos.

Consejos (tips)

En las tarjetas se podrán colocar sólo una figura o varias.

Este tema lo puedes relacionar con SEC.2.M.002.003, el cálculo

del área y perímetro es esencial para calcular volumen.

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Ejercicios de cálculo de perímetros y áreas.

2

ap2l

b = base,

h = altura.

hb2

hb

2

hbB

SUPERFICIE

Triángulo Pentágono Cuadrado Paralelogramo

y rectánguloTrapecio

h = altura,

B = base mayor,

b = base menor.

p = perímetro,

a = apotema l = ladob = base,

h = altura.

rL 2

2rA 1416.3

longitud o

perímetro de la

circunferencia

área o

superficie de

un círculo

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Clave del tema SEC.1.M.003.001y

SEC.1.M.003.002

Material

Objetivo Caja de zapatos

Canicas de colores Obtener la frecuencia absoluta y

relativa de una serie de datos.

Obtener la probabilidad de un

evento aleatorio.

Tema:

Gráficas y tablas.

Probabilidad: escala entre 0 y 1, mayor o menor ocurrencia.


“Frecuencia y probabilidad”

1. Formar equipos de máximo cuatro participantes, cada uno de

ellos deberán tener el siguiente material: una caja de zapatos,

cuatro canicas rojas, dos verdes, diez blancas y cuatro azules.

Realizarán una tabla en la que se exprese la frecuencia absoluta.

Al finalizar expresarán en fracción el número de canicas que hay

de cada color con respecto a la unidad, por ejemplo: existen 4

canicas rojas de 20, 4/20. Hacer notar que lo que acaban de

calcular es la frecuencia relativa.

2. Aumentarán en la tabla dos columnas, una para la frecuencia

relativa y otra para el porcentaje (4/20 equivale a 20%), llenarán

las columnas.

3. A cada equipo proporcionar una hoja (anexo) donde se

indique las actividades a seguir y las preguntas a responder

respecto a la probabilidad, pedir que contesten y realicen las

actividades señaladas. Grupalmente se compararán resultados.

Dar a resolver problemas que impliquen el cálculo de

probabilidades.

Consejos (tips)

Se pueden utilizar lunetas o dulces en lugar de las canicas.

Este tema se relaciona con SEC.3.M.003.002.

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Actividades de la hoja:

- Pongan las canicas en la caja y revuélvanlas.

- Si se saca una canica sin ver, ¿de cuál color es más probable

que salga?

- Si se saca una canica sin ver, ¿de cuál color es menos probable

que salga?

- Uno de ustedes saque una canica sin ver.

- ¿Cuál es el color de la canica?

- ¿El color de la canica es del color qué se esperaba?

- Si se saca una canica sin ver, ¿cuál es la probabilidad de

obtener una blanca?

- Si se saca una canica sin ver, ¿cuál es la probabilidad de

obtener una verde?

absoluta:

número de veces que aparece el

valor correspondiente en los datos.

relativa:

frecuencia absoluta entre el

número total de datos.

La suma de las frecuencias

absolutas es igual al número total

de datos.

La suma de las frecuencias

relativas es igual a uno.

FRECUENCIA

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Pictograma BarrasSectores circulares

Gráficas de variación: imágenes que permiten visualizar las

semejanzas y diferencias que existen entre los datos.

Evento seguro:

siempre sucede

Evento determinista:

se sabe lo que va

suceder

Evento imposible:

nunca sucede

Evento al azar:

no se sabe lo que va a

suceder

Probabilidad:

Número de eventos probables

Número de casos totales

Evento muy probable:

su probabilidad muy

cercana a 1 (100%)

Evento poco probable:

su probabilidad muy

cercana a 0 (0%)

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Objetivo Tarjetas con los números

primos Obtener la factorización prima de un

número dado.

Tema:

Los números naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios



“Los múltiplos”

1. Dividir al grupo en parejas y repartir un paquete de tarjetas

(anexo) con los números primos y el signo “x” (“por”), deberán ser

varias de cada una. Anotar varios números en el pizarrón o en

hojas de rotafolio y le pedir que expresen los números como

producto sólo de los que tienen en las tarjetas.

2. Tal vez algunos se den cuenta que sólo se usaron números

primos, enfatizar el por qué a la descomposición se le llama

factorización prima. Pedir que pasen a su cuaderno los ejercicios.

3. Explicar cómo obtener la factorización prima de un número de

acuerdo al algoritmo que se encuentra en el material educativo.

Colocar una línea al lado derecho del

número, en este caso el 36, buscar un

número primo que lo divida; el residuo se

coloca debajo del número. Se sigue el

procedimiento hasta que el residuo sea

uno.

36 = 2 2 3 3 = 22 32

Consejos (tips)

Este tema se puede manejar como antecedente del la

factorización SEC.3.M.001.001

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Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos

Tarjetas con los números primos.

Número primo: solamente es

divisible de manera exacta

por la unidad y él mismo.

Factorización prima: expresión como

producto de números primos.

Factor primo: cada uno de

los primos que pertenecen

a la factorización prima.

ejemplo: m.c.m. de 12, 40 y 42

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números

naturales.

Número compuesto: se

expresa como el producto

de dos números.

Paso 1. Descomposición prima de cada

uno de los números naturales.

12 = 3 x 4= 2 x 22

40 = 5 x 8 = 5 x 23

42 = 6 x 7 = 2 x 3 x 7

Paso 2. Cada primo que aparezca al

menos en una descomposición con su

mayor exponente.

23, 3, 5, y 7

Paso 3. Multiplicación de los números

anteriores.

m.c.m. (12, 40, 42) =

23 x 3 x 5 x 7 = 840

Números naturales

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Objetivo Tablas de potencias

Cuadros de

multiplicación Utilizar las leyes de la potenciación

en la realización de ejercicios.

Tema:

Potenciación, radicación y notación científica.


“Las potencias”

1. Introducir el concepto de potenciación mediante el cálculo de

áreas y de volúmenes, por ejemplo: Se tiene un cuadrado cuyo

lado mide 2 cm, el área es igual a 2 x 2 = 22. Si ahora se tiene un

cubo cuyas aristas miden 2 cm su volumen es 2 x 2 x 2 = 23.

2. Pedir que completen unas tablas de potencias (anexo) de los

números 2 y 3, luego utilizando los resultados solicitar que realicen

multiplicaciones como 22 x 23, de este modo se puede llegar a

generalizar que: 2n x 2m = 2 n + m y an x am = a n + m. Utilizar los

cuadros de multiplicación de los números 2 y 3 (anexo) para

reafirmar lo aprendido.

3. De forma similar se puede llegar a la generalización de

mn

m

n

bb

b , (an)m = a(n)(m) y (ab)n = an bn. Puede facilitar la

aplicación de las reglas un organizador gráfico en el que se

relacione el producto y la división de las potencias con la suma y

resta de los exponentes respectivamente, así como se relacionar

la multiplicación de los exponentes en la potencia de una

potencia.

Consejos (tips)

Se puede relacionar con la obtención de volúmenes cuando

los lados sean monomios, SEC.2.M.002.003

27


Tablas de potencias.

Potencia Producto Resultado Potencia Producto Resultado

21 2 2 31 3 3

22 2 x 2 4 32 3 x 3 9

23 33

24 34

25 35

Cuadros de multiplicación.

x 21 22 23 24 25 x 31 32 33 34 35

21 31 36

22 32

23 25 33

24 34

25 35

a2 x a3 = a2 + 3 = a5

a7 ÷ a4 = a7 - 4 = a3

(a2)3 = a2 x 3 = a6

+

-

x

÷( ) x

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Objetivo Problemas de variación

proporcional:

- directa

- indirecta

Tablas y gráficas

Resolver problemas de variación

proporcional directa, así como

indirecta.

Tema:

Razones y proporciones directas e inversas: factor de

proporcionalidad.


“La velocidad”

1. En problemas sencillos de proporcionalidad se puede encontrar

el factor de proporcionalidad por medio de tablas, un ejemplo de

proporcionalidad directa es: Un automóvil recorre 120 km por

hora. Si mantiene una velocidad constante, ¿cuál es la distancia

kilómetros que recorrerá pasado 6 horas?

Proporcionar problemas similares al anterior y pedir que los

resuelvan por medio de la realización de sus tablas y sus gráficas

correspondientes:

Tiempo 1 2 3 4 5 6

Distancia 120 240

2. Por medio de las tablas anteriores explicar cómo identificar el

factor de proporcionalidad, en el caso anterior es la razón 1/120, y

así resolver por medio de la igualación de razones (método de los

productos cruzados, regla de tres).

3. Para el caso de la proporcionalidad inversa explicar que el

producto entre las dos cantidades siempre es igual, aplicando

esta propiedad se resuelven los problemas (anexo).

29

Consejos (tips)

Este tema se puede relacionar con Física, SEC.2.N.002.002


Problema ejemplo de proporcionalidad inversa.

Dos obreros tardan seis días en construir una barda, ¿cuántos días

tardarán tres obreros?

La tabla es:

Número de obreros 1 2 3 4

Días para realizar la obra 12 6 ?

Al ser inversa entonces los productos son iguales:

1 x 12 = 12,

2 x 6 = 12

3 x ? = 12,

el factor de proporcionalidad es 12.

Entonces 2 x 6 = 3 x ?, 12 = 3 x ?, ? = 4.

Tres obreros tardan 4 días en construir la barda.

Si una cantidad

aumenta o

disminuye la otra

aumenta o

disminuye

respectivamente

Proporcionalidad

directa

inversa

Y

----- = factor de proporcionalidad

X

Si una cantidad

aumenta o

disminuye la otra

disminuye o

aumenta

respectivamente

Cantidades

Y

X

...

...

Tablas

y x = factor de proporcionalidad

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Objetivo Tarjetas con una regla

para completar una

sucesión

Tarjetas con los términos

de una sucesión

Construir una sucesión de números

negativos a partir de una regla dada

y obtener la regla que genera una

sucesión de números negativos.

Tema:

Operaciones de números con signo: operaciones básicas y

sucesiones.


“Sucesiones”

1. Formar equipos, con no más de tres integrantes, cada equipo

nombrará un representante. De una urna, sin ver, el representante

tomará una tarjeta (anexo), éstas indican una regla (-2n, -3n,

etc.), a partir de ella construirán una sucesión de mínimo diez

números.

2. Al terminar el representante tomará otra tarjeta y harán lo

mismo. Al finalizar pedir que pasen a completar una tabla en

donde se indicará la regla y los primeros diez términos de la

sucesión.

3. De igual manera la urna contendrá tarjetas en las que se

indiquen los primeros números de una sucesión y los equipos

encontrarán la regla que ésta sigue.

Consejos (tips)

Se pude comenzar con sucesiones sencillas y figurativas.

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Tarjetas con una regla para completar una sucesión.

Tarjetas con los términos de una sucesión.

Jerarquía de operaciones

Primer paso. Operaciones dentro de los paréntesis

Segundo paso. Operaciones dentro los corchetes

Tercer paso. Operaciones dentro las llaves

( )

[ ]

{ }

32


Objetivo Hojas con ejercicios

propuestos Reducir términos semejantes en una

expresión algebraica.

Tema:

Lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado: operaciones

elementales, función lineal y sistema de ecuaciones.


“Perímetros”

1. Pedir al grupo que forme parejas, entregar una hoja con

ejercicios que impliquen el cálculo del perímetro de polinomios, la

medida de los lados de estos serán monomios o binomios (anexo).

2. Grupalmente verificarán los resultados obtenidos en los

ejercicios anteriores.

3. Gráficamente generalizar la igualdad ax + bx = (a + b)x por

medio de ejemplos (3x+ 2x = 5x)(anexo).

Consejos (tips)



Ejercicios ejemplo:

1. a) ¿Cuál es el perímetro de un

gallinero cuadrado que mide un metro

por lado?

b) ¿Cuál es el perímetro de un gallinero cuadrado que mide:

- “a” metros por lado?

- “a + 2” metros por lado?

2. a) ¿Cuál es el perímetro para

cada uno de los siguientes

polígonos regulares?

b) ¿Cuál es el perímetro para cada uno de los siguientes

polígonos irregulares?

33

Generalización gráfica de ax + bx = (a + b)x

Expresión algebraica:

combinación de letras y

números que representan las

operaciones: suma, resta,

multiplicación y división.

Ecuación:

igualdad de

dos expresiones

algebraicas.

Ecuaciones de primer

grado: igualdades

algebraicas con

incógnitas cuyo

exponente es 1.

1. Se despeja una variable de

cualquier ecuación (la más fácil).

2. Se sustituye la variable en la otra

ecuación.

3. Se determina el valor de la variable.

4. El valor encontrado se sustituye en

cualquiera de las ecuaciones.

5. Se determina el valor de la variable

que falta.

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Método de sustitución

1. Se despeja una incógnita (y) de las

dos ecuaciones.

2. Se construye para cada ecuación

una tabla de valores.

3. Se representan gráficamente en el

plano cartesiano.

4. El punto de corte es el valor solución

de las incógnitas (x, y). Si las rectas son

paralelas, el sistema no tiene solución.

Método grafico

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Objetivo Polígonos regulares

Transportador

Tijeras

Colores

Obtener la suma de los ángulos

interiores de un polígono.

Tema:

Clasificación de triángulos y ángulos, rectas de un triángulo y

suma de los ángulos interiores de un polígono.


“Los cuadriláteros”

1. Facilitar a los alumnos algunos triángulos, cuadriláteros,

pentágonos (regulares o irregulares, siempre convexos) para que

marquen con un color cada uno los ángulos y los recorten como

se muestra en el anexo.

2. Pedir que acomoden los ángulos en forma adyacente. Lo

anterior con el fin de que obtener la suma de las medidas de los

ángulos interiores (anexo).

3. Comparar, grupalmente, los resultados e introducir la fórmula

para calcular la suma de las medidas de los ángulos de un

polígono de N lados: 180°(N - 2).

Consejos (tips)

También se puede dividir a los polígonos en triángulos, según la

cantidad de triángulos en que se divida se puede saber la

suma de los ángulos interiores del polígono.

35


Corte y acomodo en forma adyacente de los ángulos.

Línea recta que pasa

por uno de sus

vértices y es

perpendicular a la

recta que pasa por

los otros dos vértices.

Línea recta que

divide a un

ángulo en dos

iguales.

Línea recta

perpendicular

trazada en el

punto medio

de uno de sus

lados.

El punto donde

se intersecan

es llamado

circuncentro.

El punto donde

se intersecan

es llamado

ortocentro.El punto donde

se intersecan

es llamado

incentro.

Triángulo

Altura

Bisectriz Mediatriz

36


Objetivo Imagen de dos rectas

paralelas cortadas por

una transversal

Plástico transparente

Identificarán las relaciones entre los

ángulos que se forman al cortar dos

rectas paralelas por una transversal.

Tema:

Dos rectas paralelas cortadas por una transversal: relaciones entre

los ángulos.


“Transparencia”

1. Formar equipos, a cada uno entregar una imagen de dos

rectas paralelas cortadas por una transversal (anexo). Los ángulos

deberán estar enumerados al contrario del sentido de las

manecillas de reloj.

2. Solicitar a los alumnos que

a) marquen en un plástico transparente (pueden recortar una

bolsa de plástico) un cruce.

b) coloquen encima del otro cruce el cruce marcado. Lo anterior

con el fin de que puedan observar qué ángulos tienen las mismas

medidas, por ejemplo: el ángulo 1 coincidirá exactamente con el

ángulo 5 (ángulos correspondientes).

3. Luego pedir que contesten algunas preguntas como: ¿Cómo

son entre si las medidas de los ángulos 1 y 5?, ¿cómo son entre si

las medidas de los ángulos 2 y 6?, ¿cuáles ángulos son opuestos

por el vértice?, ¿cuál es la suma de los ángulos 1, 2, 3, y 4?, etc.

de esa manera explicar las relaciones entre los ángulos que se

forman al cortarse dos rectas paralelas por una transversal.

Consejos (tips)

Sería mejor el uso de un acetato o mica transparente, pero la

bolsa de plástico es suficiente.

37


Imagen de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Ángulos

complementarios: su suma es igual a 900

conjugados: su suma es igual a 3600

suplementarios: su suma es igual a 1800

38


Objetivo Redes de una pirámide

y un prisma con la

misma base y altura

Tijeras, pegamento

Arroz

Calcular el volumen de prismas y

pirámides.

Tema:

Simetría central y volumen (unidades de volumen, capacidad,

desarrollos planos).


“Volumen de pirámides y prismas”

1. Para que los alumnos hagan la comprobación de que el

volumen de una pirámide es la tercera parte de un prisma con la

misma base y altura, usarán un prisma y una pirámide que

cumplan con las condiciones y trasvasarán arena, arroz o algún

otro material.

2. Formar equipos y entregar en cartón para recortar y pegar,

formando un prisma y una pirámide, que tengan igual base y

misma altura. Por ejemplo: el prisma con 12 cm de altura y por

base un cuadrado cuyos lados midan de 8 cm, los lados de la

pirámide serán triángulos con 12.6 cm de altura y base de 8 cm

(anexo).

Solicitar que los alumnos llenen la pirámide de arena, arroz o fríjol y

vacíen su contenido en el prisma y repetirán la operación hasta

que el prisma se llene.

3. Al finalizar la actividad hacer preguntas como: ¿Una pirámide y

un prisma con la misma base pueden tener igual volumen?, ¿por

qué?; ¿cómo es el volumen del prisma en relación con la

pirámide? etc. Pedir que calculen el volumen de cada cuerpo

geométrico y comparen sus resultados.

Consejos (tips)

En vez de arena o arroz se puede usar frijol o maíz.

39


Redes de una pirámide y un prisma con la misma base y altura.

Cuerpo

geométrico

son triángulos y se unen

en un punto común

llamado cúspide

Prisma

Pirámide

son dos, iguales y

paralelas entre sí

son cuadrados o

rectángulos

sólo una y es un

polígono regular

Bases Caras laterales

40


Objetivo Plástico transparente

Plumones Calcular la probabilidad de un

evento por medio de un diagrama

de árbol.

Tema:

Conteo (principios multiplicativos) y cálculo de probabilidades.


“Diagrama de árbol”

1. Formar equipos, solicitar anoten los posibles resultados del

lanzamiento de una moneda en dos ocasiones, puede ser que

anoten (águila, águila), (águila, sol), etc., pedir entonces que

realicen el diagrama de árbol (anexo).

2. En cada una de las ramas deberán colocar la fracción

correspondiente, si se divide en dos es 1/2, si se divide en tres es

1/3, etc. Pedir que coloquen un plástico transparente sobre el

diagrama de árbol, marquen con un plumón las ramas para

seguir el camino de un evento, por ejemplo para (águila, sol),

marcar la rama que llega a “águila”, luego la rama que llega a

“sol”. Al final multiplicarán las fracciones por las que tuvieron que

pasar, de esta manera estarán calculando la probabilidad de

que al lanzar una moneda dos veces caiga (águila, sol).

3. Solicitar más probabilidades del mismo ejercicio e inclusive usar

otro como: María tiene cinco blusas de color rojo, azul, verde,

naranja y amarillo, además dos pantalones de color blanco y

negro. Si tomó al azar una blusa y un pantalón ¿cuál es la

probabilidad de la combinación sea blusa roja, pantalón negro?

Consejos (tips)


41


Diagramas de árbol

águila

sol

águila

sol

águila

sol

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

rojo

blusas

azul

verde

naranja

amarillo

blanco

negro

blanco

negro

blanco

negro

blanco

negro

blanco

negro

pantalones

1

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

42


Objetivo Cinta métrica

Obtener las medidas de tendencia

central de un conjunto de datos.

Tema:

Representación gráfica de la información y medidas de

tendencia central.


“Estaturas del grupo”

1. Para llevar a cabo esta actividad es necesario medir o calcular

las estaturas de cada uno de los alumnos. Pedir que, por parejas,

calculen el promedio de las estaturas. Compararán el resultado

con otros equipos. En caso que se presente un resultado erróneo

diagnosticar el problema y ayudar a resolverlo.

2. Al finalizar pedir que calculen la mediana y al terminar

verificarán resultados.

3. De igual manera solicitar que encuentren la moda.

Consejos (tips)

Con esta misma actividad se puede ver frecuencia absoluta y

relativa, así como las gráficas.

En lugar de las estaturas se puede usar los datos de la edad,

número de hijos, etc.


Promedio o media

Moda

Mediana

Suma de los valores entre

el número total.

valor central de la

sucesión ordenada

de menor a mayor.

valor que más se repite

Medidas

de tendencia

central

43


Objetivo Tarjetas de “x2”, “x” y “1”

Realizar productos notables y

factorizar trinomios.

Tema:

Productos notables y factorización.


“Rompecabezas”

1. Para esta actividad se necesitan tarjetas de: “x2”, “x” y “1”.

La tarjeta “x2” : es un cuadrado,

La tarjeta “x” : es un rectángulo cuyo lado mayor mide lo mismo

que uno de los lados del cuadrado “x2” y la medida del lado

menor no debe ser un divisor de la del mayor.

La tarjeta “1” es un cuadrado cuyas medidas son iguales al lado

menor del rectángulo “x” (anexo).

Un juego de tarjetas debe contener mínimo cuatro de “x2”, ocho

de “x” y ocho de “1”.

2. Dividir al grupo en equipos, a cada equipo

proporcionar un jugo de tarjetas. Pedir que formen

un cuadrado de con una de “x2”, cuatro de “x” y

cuatro de “1”. Ellos podrán generar el cuadrado

como la imagen de la izquierda, en donde podrán

observar que:

(x + 2)(x + 2) = x2 + 4x + 4.

3. Los ejercicios propuestos al principio deben ser fáciles, es

importante informar qué fichas exactamente tienen que usar y si

van a formar un cuadrado (factores iguales) o un rectángulo

(factores diferentes). En esta estrategia sólo se pueden usar

factores que tengan signo positivo.

Algunos ejercicios propuestos: x2 + 2x + 1, x2 + 4x + 4, x2 + 3x + 3, x2

+ 2x + 1, x2 + 5x + 4, 2x2 + 3x + 1, 3x2 + 4x + 3, 4x2 + 4x + 1.

44

Consejos (tips)

Deberás de realizar los ejercicios antes de proponérselos a los

alumnos.


Tarjetas para la actividad.

Álgebra: rama de las matemáticas, en ella se usan símbolos para representar

relaciones aritméticas.

Símbolos algebraicos: se

representan por números, letras

y signos que constituyen las

diversas operaciones

aritméticas.

Expresión algebraica:

consta de símbolos

algebraicos.

Variable: representa

cualquier número: x,

y, s, t, etc.

Constante:

representan un único

número, éste no

cambia.

Monomio o término:

expresión algebraica

en la que no aparecen

sumas ni restas.

BInomio:

consta de

dos

términos.

Polinomio:

consta de

dos o más

términos.

45


Objetivo Problemas que

impliquen cuadráticas

para su solución Resolver ecuaciones cuadráticas por

medio de la factorización.

Tema:

Ecuaciones cuadráticas.


“La cuadráticas”

1. Es necesario indicar primero las diferencias y similitudes de una

ecuación cuadrática y una lineal. Introducir la forma de resolver

ecuaciones cuadráticas a partir de problemas.

2. Un primer problema será para resolver una cuadrática de la

forma x2 = a2 (anexo). Los siguientes problemas deben implicar

resolver ecuaciones de la forma (x + a)2 = b2 (anexo).

3. Luego plantear problemas en que la cuadrática se pueda

resolver por medio de la factorización, enfatizando que cuando el

producto de dos números es cero, uno de ellos debe ser igual a

cero.

Consejos (tips)

En cada uno de los problemas es necesario utilizar imágenes

para que los alumnos puedan relacionar los datos visualmente.

46


Forma x2 = a2

1) Un terreno cuadrado mide 225 metros

cuadrados de área, ¿cuál es la medida de sus

lados?

2) Luisa tiene un pedazo de cartón cuadrangular

que mide 25 cm2 de área. ¿Cuánto medirá de

lado?

Forma (x + a)2 = b2

1) Un terreno cuadrado mide 225 metros cuadrados de área, de

lado mide x + 3, ¿cuál es la medida de sus lados?

2) Pepe tiene un pedazo de cartón cuadrangular que mide 36

cm2 de área. Si de lado mide x + 1, ¿cuánto medirá de lado?

Forma factorización

1) Sea la ecuación (x + 3) (x - 5) = 0

R. Cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe

ser igual a cero. Así que x + 3 = 0 ó x – 5 = 0; entonces x = -2

ó x = 4.

2) El área de un terreno es de 120 m2, sus

dimensiones están dadas en la figura de la

izquierda, ¿cuánto mide su ancho y su largo?

R. La ecuación del área es x (x -– 2) = 120, es decir, x2 – 2x – 120 =

0, (x – 10)(x + 12) = 0, x = 10 ó x = -12.

Al sustituir 12 ó 13 el resultado es el mismo, el rectángulo mide 12

cm y 13 cm de lado.

47

a2

ac4bbx

2

0cbxax2

Tienen dos soluciones

iguales o diferentes

Solución por medio

de la factorización

Solución por medio de la

fórmula general

Sustituir los valores a, b y

c en:Pasos:

- igualar la ecuación a cero,

- factorizar como productos de binomios,

- igualar cada binomio a cero y

- despejar la variable.

Ecuaciones cuadráticas

48


Objetivo Problemas de sistemas

de ecuaciones lineales Resolver un sistema de dos

ecuaciones lineales.

Tema:

Modelización.


“Acertijos”

1. Empezar la sesión con un problema: Juan y Pedro son

hermanos, la suma de sus edades es de 30 años, ¿cuál será su

edad? Pedir a los alumnos que den las posibles soluciones, para

este problema existen varias soluciones. Se puede denotar la

expresión anterior algebraicamente como P + J = 30.

2. Dar otra condición para el problema: La edad de Juan es dos

veces la edad de Pedro. Se puede denotar algebraicamente

como J = 2P, es decir 2P – J = 0. Solicitar que de las soluciones

propuestas anteriormente busquen las que cumplan ésta nueva

condición.

3. Con la introducción anterior y con el mismo problema explicar

los pasos del método de suma y resta. Asimismo representar

gráficamente varios sistemas de dos ecuaciones lineales para

representar un sistema con solución, uno sin solución y con una

infinidad de soluciones.

Consejos (tips)


Se puede relacionar las soluciones con la forma gráfica.

49


tiene solución si las rectas se

cruzan en un punto, donde éste

representa la solución.

Un sistema

de dos

ecuaciones

lineales:

no tiene solución si las rectas

son paralelas, no tienen puntos

en común.

tiene una infinidad de soluciones

si las rectas coinciden en todos

sus puntos.

50


Objetivo Imágenes de ángulos

centrales y sus inscritos

Transportador

Tijeras

Verificar que un ángulo central mide

el doble que el ángulo inscrito

donde los dos abarcan el mismo

arco.

Tema:

Congruencia de triángulos, circunferencia y rectas.


“Los ángulos”

1. Grupalmente dar a conocer, por medio de imágenes, los tres

tipos de ángulos que se forman dentro de una circunferencia:

ángulo inscrito, ángulo central, ángulo semi-inscrito.

2. Formar equipos, a cada uno de ellos proporcionar una o varias

imágenes de ángulos centrales y ángulos inscritos donde los dos

abarcan el mismo arco. Pedir que corten el ángulo central, lo

doblen a la mitad y esta mitad la coloquen en el ángulo inscrito

(anexo), esto lo harán con cada una de las imágenes. Lo anterior

con la finalidad de que observen que el ángulo central mide el

doble del ángulo inscrito. Para mayor exactitud pueden hacer uso

del transportador

3. En seguida dar a resolver problemas

geométricos: a) ¿Cuál es la medida

del ángulo BAC?

b) ¿Cuál es la medida de “y”?

Consejos (tips)

Se puede introducir expresiones algebraicas en estos ejercicios.

51


Imágenes de ángulos centrales y sus inscritos.

Pasos

52

Figuras congruentes:

tienen la misma

forma y las mismas

dimensiones, es decir

son idénticas.

Criterios de congruencia de triángulos

LLL

lado, lado, lado

ALA

ángulo, lado, ángulo

LAL

lado, ángulo, lado

Regiones de la circunferencia

fronteraexterior Interior

Un punto está a

mayor distancia

del centro que lo

que mide el

radio.

Un punto está a

menor distancia

del centro que

lo que mide el

radio.

Un punto está a

igual distancia

del centro que

lo que mide el

radio.

53


Objetivo Dibujo-Esquema del

triángulo de Pitágoras

recortable

Tijeras

Resolver problemas que impliquen el

teorema de Pitágoras.

Tema:

Semejanza (criterios de triángulos, teorema de Tales) y

trigonometría (teorema de Pitágoras, razones trigonométricas).


“Pitágoras”

1. Formar equipos de no más de cuatro personas, a cada uno

proporcionar un dibujo (anexo) para que recorten las áreas

numeradas del I al IV y el cuadrado pequeño, luego solicitar que

los recortes los sobrepongan al cuadrado grande, llenando el

área, todo con el fin de comprobar el teorema de Pitágoras.

2. Enseguida dar a conocer el teorema de Pitágoras, enfatizando

que sólo se cumple éste en triángulos rectángulos.

3. Dar algunos ejemplos y luego pedir que realicen ejercicios

similares.

Consejos (tips)

El despejar la fórmula del teorema de Pitágoras se les puede

complicar, para ello es mejor dar las fórmulas despejadas y

que comprendan en qué casos usarlas.

54


Dibujo-Esquema del triángulo de Pitágoras recortable.

Pasos:

1. Recortar

2. Rellenar el área del

cuadrado grande

Dos figuras son semejantes si cada

uno de sus lados correspondientes

son proporcionales y sus ángulos

correspondientes son iguales. - Los tres lados de uno son

proporcionales a los tres lados del otro.

- Dos ángulos de uno son iguales a dos

ángulos del otro.

- Dos lados de uno son proporcionales a

dos lados del otro y el ángulo

comprendido entre éstos es igual.

Criterios de semejanza de

triángulos

Si en un triángulo una recta es

paralela a uno de sus lados, ésta

divide a los otros dos lados en

segmentos proporcionales y los

triángulos formados son semejantes.

55


Objetivo Hojas con figuras

geométricas

Popotes

Pagamento

Plastilina

Palillo o regla

Describir los cuerpos geométricos

que se generarían al girar algunas

figuras planas, así como Identificar

las figuras planas que se forman al

realizar cortes de cuerpos

geométricos.

Tema:

Poliedros, cónicas y esferas: características, secciones y volumen

de cilindros y conos.


“Secciones de cuerpos geométricos”

1. A cada uno de los alumnos proporcionar una hoja con un

triángulo, un rectángulo y un círculo. Pedir que recorten cada

figura y la peguen por el centro a un popote (anexo). En seguida

girarán el popote y describirán “lo que se forma”, dibujarán en su

cuaderno la imagen de la figura y a un lado lo que se obtiene al

girar.

2. Pedir que realicen algunos cuerpos geométricos con plastilina,

como un cilindro, un cono, un prisma cuadrangular, una pirámide

triangular y una esfera. Usando un palillo o una regla realizarán

varios cortes paralelos a las bases y en caso de la esfera cortes

paralelos al primero que realicen.

3. De acuerdo a lo que observaron anteriormente llenarán una

tabla cuyas entradas serán: el cuerpo geométrico, qué figura se

obtuvo en cada corte y si al variar el lugar del corte se observó

algún cambio en el tamaño de las figuras resultantes.

56

Consejos (tips)

Para los cortes se puede usar las tijeras o un cuchillo, teniendo

cuidado para no cortarse.


Cuerpos geométricos de

plastilina.

El volumen de un cuerpo

geométrico es la cantidad

de unidades cúbicas que

hay en el espacio que

ocupa.

Volumen = Área de la base x altura

Fórmulas Cuerpos geométricos

Prisma

Cono

V = AbH

Pirámide V = AbH/3

Cilindro V = AbH = πr2 H

V = AbH/3 = πr2 H/3

Ab = área del polígono de la base,

H = altura del prisma

57


Objetivo Gráficas formadas por

secciones rectas y curvas

que modelan situaciones

de movimiento y llenado

de recipientes.

Interpretar y elaborar gráficas

formadas por secciones rectas y

curvas que modelan situaciones de

movimiento, llenado de recipientes,

etcétera.

Tema:

Funciones lineales y no lineales.


“Gráficas”

1. Por medio de uno o varios ejemplos explicar cómo trazar las

gráficas correspondientes de tiempo y distancia de situaciones

como: velocidad constante, sin movimiento, movimiento

acelerado (ir cada vez más aprisa), movimiento desacelerado (ir

cada vez más lento).

2. Un problema ejemplo es: Luis para trasladarse

del círculo de estudio a su casa salió caminando

a velocidad constante, luego descansó un

tiempo, después caminó cada vez más

despacio.

3. Proporcionar unos ejercicios para que realicen

las respectivas gráficas.

Consejos (tips)

Es necesario además explicar ejemplos que impliquen el

llenado de recipientes.

Puede ser que en parejas trabajen mejor.

58


Función: relación en la

que a cada elemento

del eje de las “X”

(dominio) le corresponde

un único elemento del

eje de las “Y”

(contradominio).

Si al trazar rectas paralelas al eje de las “Y”,

sólo cortan la gráfica en un punto, ésta sí es

función.

Ejemplos de funciones:

Recta. Su ecuación tiene la forma y = mx + b donde m y b

son constantes. Dos puntos distintos en el plano determinan

una sola recta.

Parábola. Su ecuación es de la forma y = ax2 + b, donde a y

b son constantes. Al punto de coordenadas donde la gráfica

de la parábola exactamente “da la vuelta" se le llama

vértice.

Hipérbola. Su ecuación tiene la forma y = a/x donde a es una

constante.

59


Objetivo Tablas en de consumo

de agua, de gas, de

energía eléctrica, de

despensa, etc.

Calcular la moda, la mediana y la

media de una población.

Tema:

Probabilidad y medidas de tendencia central.


“Medidas de tendencia central”

1. Formar equipos, entregar tablas en donde estén los datos

como: consumo de agua, de gas, de energía eléctrica, de

despensa, etc., de uno o dos bimestres. Pedir que obtengan la

moda, la mediana y la media (promedio).

2. Pedir que intercambien las respuestas por equipos para su

revisión.

3. En plenaria se verificar los resultados obtenidos, si alguno es

equivocado se debe de corregir.

Consejos (tips)


60


Promedio o media

Moda

Suma de los valores entre

el número total.

Valor central de la

sucesión ordenada

de menor a mayor.

Valor que más se repite.

Medidas

de tendencia

central

Evento determinista: se conoce el

resultado aún antes de realizarlo.

Evento aleatorio: no se conoce de

antemano el resultado que se

obtendrá.

Espacio muestral: conjunto de

posibles resultados. Cada uno de

esos resultados recibe el nombre de

muestra o valor muestral. Probabilidad empírica o

experimental clásica:

es la frecuencia relativa

de repetir un

experimento muchas

veces.

número de casos favorables

Probabilidad clásica = --------------------------------------------------

número total de resultados posibles

“ideas para tus - .:: inaeba || aula...

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