Gua

e nte didctica del doc

MatemticaBSICO

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Edicin Especial para el Ministerio de Educacin. Prohibida su Comercializacin.

Datos de catalogacin Autores: Randall I. Charles, Janet H. Caldwell, Mary Cavanagh, Dinah Chancellor, Juanita V. Copley, Warren D. Crown, Francis (Skip) Fennell, Alma B. Ramirez, Kay B. Sammons, Jane F. Schielack, William Tate, John A. Van de Walle. Matemtica 4 Educacin Bsica Gua didctica del docente - 1 Edicin Pearson Educacin de Chile Ltda. 2012 ISBN: 978-956-343-301-2 Formato: 21 x 27,5 cm Pginas: 280

Teachers Book Grade 4 Gua para el Profesor Nivel 4Spanish language edition published by Pearson Educacin de Chile Ltda., Copyright 2012 Pearson Education, Inc. or its affiliates. Authorized adaptation from the U.S. Spanish language edition, entitled: Scott Foresman-Addison Wesley enVisionMATHTM en espaol, Gua del maestro Grado 4, Copyright 2009 by Pearson Education, Inc. or its affiliates. Used by permission. All Rights Reserved. Pearson, Scott Foresman, and enVisionMATH are trademarks, in the U.S. and/ or other countries, of Pearson Education, Inc. or its affiliates. This publication is protected by copyright, and prior to any prohibited reproduction, storage in a retrieval system, or transmission in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or likewise, permission should be obtained from Pearson Education, Inc., Rights Management & Contracts, One Lake Street, Upper Saddle River, N.J. 07458 U.S.A. Edicin en espaol publicada por Pearson Educacin de Chile Ltda., Copyright 2012. Adaptacin autorizada de la edicin en espaol, titulada: Scott ForesmanAddison Wesley enVisionMATHTM en espaol, Gua del maestro Grado 4, Copyright 2009 publicada por Pearson Education, Inc. o sus filiales. Autorizacin de publicacin. Todos los derechos reservados. Pearson, Scott Foresman y enVisionMATH son marcas registradas de Pearson Education, Inc. o sus filiales, en U.S.A. y/o en otros pases. Esta publicacin est protegida por derechos de propiedad intelectual. Queda estrictamente prohibida su reproduccin total o parcial por ningn medio, ya sea por algn medio electrnico o mecnico incluyendo fotocopiado, grabacin o cualquier otro sistema de almacenamiento de datos sin la previa autorizacin del Departamento de Administracin de Derechos y Contratos de Pearson Education, Inc., One Lake Street, Upper Saddle River, N.J. 07458 U.S.A.

Adaptacin: Mara Rodrguez Revisor didctico: Ximena Carreo. Edicin y Arte Gerente Editorial: Cynthia Daz Edicin: Lissette Vaillant E-mail de contacto: lissette.vaillant@pearson.com Correccin de estilo y ortotipogrfica: Equipo editorial Diseo: Equipo de diseo y editorial Pearson Chile Diagramacin: Francisca Urza Bancos fotogrficos: Latinstock; Corbis, Science Photo Library Ilustradores: Estefani Rodrguez / lvaro Martnez Asesor cartgrafico: Jorge Torres CifuenteAutorizada su circulacin por resolucin N 22 del 11 de enero del 2013 de la Direccin Nacional de Fronteras y Lmites del Estado. La edicin y circulacin de mapas, cartas geogrficas u otros impresos y documento que se refieran o relacionen con los lmites y fronteras de Chile, no comprometen, en modo alguno, al Estado de Chile, de acuerdo con el Art 2, letra g) del DFL N 83 de 1979 del Ministerio de Relaciones Exteriores

PRIMERA EDICIN, 2012 D.R. 2012 por Pearson Educacin de Chile Ltda. Jos Ananas 505, Macul Santiago de Chile N de registro propiedad intelectual: 221.317 Nmero de inscripcin ISBN: 978-956-343-301-2 Impreso en Chile en RR Donnelley

Gua didctica del docente El proyecto didctico Matemtica 4 bsico es una obra colectiva Se termin de imprimir esta 1 edicin de 11.00 ejemplares, en el mes creada por encargo de la Editorial Pearson Chile, por un equipo de diciembre del ao 2012. de profesionales en distintas reas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamento Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pedaggico de Pearson Chile. pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin Especialistas en Matemtica responsables de los contenidos y su revisin tcnico-pedaggica: Obra original: Randall I. Charles, Janet H. Caldwell, Mary Cavanagh, Dinah Chancellor, Juanita V. Copley, Warren D. Crown, Francis (Skip) Fennell, Alma B. Ramirez, Kay B. Sammons, Jane F. Schielack, William Tate, John A. Van de Walle.de informacin en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

En un mundo globalizado como el de hoy, que cambia a gran velocidad, buscamos nuevas experiencias que den sentido a nuestra vida. Sin embargo, es en nuestra propia experiencia de aprendizaje donde descubrimos la grandeza del ser humano. Tienen ante ustedes el Texto del estudiante y la Gua didctica del docente, que luego de acuciosas investigaciones, entrega a nuestros nios un material donde podrn explorar significativas experiencias de aprendizaje interactivo, convirtindolos en protagonistas de la aventura de adquirir nuevos conocimientos de manera ldica y profunda. El aprendizaje significativo, simple y ldico facilita la adquisicin y desarrollo de habilidades y estrategias que les permitir comprender mejor el mundo en el que vivimos y, en consecuencia, colaborar en su mejoramiento.

NDICEPropuesta didctica ......................................................................6 Gua de implementacin y sntesis.......................................... 14 Estructura del texto .................................................................... 18 Manual de resolucin de problemas ....................................... 20 Leccin 3.10: Dividir con 1 .............................88 Leccin 3.11: Familias de operaciones con 2, 3, 4 y 5..........................90 Leccin 3.12: Familias de operaciones con 6, 7, 8 y 9 ..........................92 Leccin 3.13: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo y escribir una ecuacin ...........................94 Enlace con lgebra .........................................96 Conectndonos con otras asignaturas.............. 97 Cunto aprend! ............................................98

Planificacin unidad 1 ....................................28 Unidad 1 Numeracin ....................................30 Leccin 1.1: Miles .......................................32 Leccin 1.2: Nmeros ms grandes..............34 Leccin 1.3: Comparar nmeros ...................36 Leccin 1.4: Ordenar nmeros .....................38 Leccin 1.5: Dinero......................................40 Leccin 1.6: Resolucin de problemas: Hacer una lista organizada ........42 Ampliacin ....................................................44 Conectndonos con otras asignaturas ..............45 Cunto aprend! .............................................46

Planificacin unidad 4 ..................................100 Unidad 4 Cuerpos y figuras geomtricas ......102 Leccin 4.1: Grfico de coordenadas ..........104 Leccin 4.2: Localizacin y grficos ............106 Leccin 4.3: Redes de los cuerpos geomtricos: modelos planos..108 Leccin 4.4: Vistas de los cuerpos geomtricos: perspectiva ........110 Leccin 4.5: Polgonos ...............................112 Leccin 4.6: Traslaciones...........................114 Leccin 4.7: Reflexiones ............................116 Leccin 4.8: Rotaciones.............................118 Leccin 4.9: Simetra .................................120 Leccin 4.10: Medir y dibujar ngulos ...........122 Leccin 4.11: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo ......................124 Haz un alto y practica ...................................126 Conectndonos con otras asignaturas ............127 Cunto aprend! ...........................................128

Planificacin unidad 2 ....................................48 Unidad 2 Adicin y sustraccin de nmeros naturales ....................................50 Leccin 2.1: Usar el clculo mental ..............52 Leccin 2.2: Sumar nmeros naturales .........54 Leccin 2.3: Restar nmeros naturales .........56 Leccin 2.4: Sustracciones de nmeros con ceros .................................58 Leccin 2.5: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo y escribir una ecuacin ...........................60 Enlace con lgebra .........................................62 Conectndonos con otras asignaturas ..............63 Cunto aprend! .............................................64

Planificacin unidad 3 ....................................66 Unidad 3 Multiplicacin y divisin: significados y operaciones bsicas ................68 Leccin 3.1: Significados de la multiplicacin ........................... 70 Leccin 3.2: Patrones de las operaciones bsicas ................................... 72 Leccin 3.3: Propiedades de la multiplicacin 74 Leccin 3.4: El 3 y el 4 como factores .......... 76 Leccin 3.5: El 6, el 7 y el 8 como factores ... 78 Leccin 3.6: El 10, el 11 y el 12 como factores ..........................80 Leccin 3.7: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo y escribir una ecuacin ..................................82 Leccin 3.8: Significados de la divisin .........84 Leccin 3.9: Relacionar la multiplicacin y la divisin ..............................86

Planificacin unidad 5 ..................................130 Unidad 5 Medicin ......................................132 Leccin 5.1: La media hora y el cuarto de hora ..................................134 Leccin 5.2: La hora ..................................136 Leccin 5.3: Unidades de tiempo ...............138 Leccin 5.4: Medicin de longitud ..............140 Leccin 5.5: Usar centmetros .................... 142 Leccin 5.6: rea ......................................144 Leccin 5.7: rea de cuadrados y rectngulos ............................146

Leccin 5.8: Volumen de prismas rectangulares .........................148

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Unidad 1 - Numeracin ndice

Leccin 5.9: Resolucin de problemas: Resolver un problema ms sencillo y hacer una tabla .......150 Hacia el mundo digital ..................................152 Conectndonos con otras asignaturas ............153 Cunto aprend! ...........................................154

Conectndonos con otras asignaturas ............215 Cunto aprend! ........................................... 216

Planificacin unidad 6 ..................................156 Unidad 6 Patrones y relaciones....................158 Leccin 6.1: Patrones que se repiten ..........160 Leccin 6.2: Secuencias numricas ............162 Leccin 6.3: Traducir palabras a expresiones ...........................164 Leccin 6.4: Patrones geomtricos .............166 Leccin 6.5: Igual o desigual ...................... 170 Leccin 6.6: Resolucin de problemas: Representarlo y razonar .......... 172 Cunto aprend! ........................................... 174

Planificacin unidad 9 ..................................218 Unidad 9 Fracciones ....................................220 Leccin 9.1: Regiones y conjuntos ..............222 Leccin 9.2: Fracciones impropias y nmeros mixtos .....................224 Leccin 9.3: Fracciones en la recta numrica ...............................226 Leccin 9.4: Adicin y sustraccin en fracciones con el mismo denominador ..........................228 Leccin 9.5: Resolucin de problemas: Escribir para explicar ..............232 Cunto aprend! ...........................................234

Planificacin unidad 7 .................................. 176 Unidad 7 Multiplicacin ............................... 178 Leccin 7.1: Usar el clculo mental para multiplicar ..............................180 Leccin 7.2: Clculo mental y estimacin de productos ..........................182 Leccin 7.3: Descomponer para multiplicar ..............................184 Leccin 7.4: Multiplicar nmeros de 2 dgitos por nmeros de 1 ...................186 Leccin 7.5: Multiplicar nmeros de 2 y 3 dgitos por nmeros de 1 ........188 Leccin 7.6: Multiplicar nmeros de 3 dgitos por nmeros de 1 dgito ..........190 Leccin 7.7: Resolucin de problemas: Problemas de dos preguntas ...192 Leccin 7.8: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo y escribir una oracin numrica .............194 Enlace con lgebra .......................................196 Conectndonos con otras asignaturas ........... 197 Cunto aprend! ...........................................198

Planificacin unidad 10 ................................236 Unidad 10 Nmeros decimales.....................238 Leccin 10.1: Fracciones y nmeros decimales ..............................240 Leccin 10.2: Valor de posicin decimal ....... 242 Leccin 10.3: Comparar y ordenar nmeros decimales ..............................244 Leccin 10.4: Ubicar fracciones y nmeros decimales en una recta numrica ...............................246 Leccin 10.5: Adicin y sustraccin de decimales ..............................248 Leccin 10.6: Resolucin de problemas: Hacer un dibujo ......................250 Haz un alto y practica ...................................252 Conectndonos con otras asignaturas ............253 Cunto aprend! ...........................................254

Planificacin unidad 8 ..................................200 Unidad 8 Divisin ........................................202 Leccin 8.1: Estimar cuocientes .................204 Leccin 8.2: Relacionar modelos y smbolos ................................206 Leccin 8.3: Dividir nmeros de dos dgitos ................................... 210 Leccin 8.4: Resolucin de problemas: Problemas de varios pasos .....212 Ampliacin .................................................. 214

Planificacin unidad 11 ................................256 Unidad 11 Grficos y probabilidad................258 Leccin 11.1: Datos de encuestas ...............260 Leccin 11.2: Interpretar grficos .................262 Leccin 11.3: Diagramas de puntos .............264 Leccin 11.4: Localizacin ...........................266 Leccin 11.5: Encontrar combinaciones ........268 Leccin 11.6: Resultados y experimentos ..... 270 Leccin 11.7: Resolucin de problemas: Razonar ................................. 272 Cunto aprend! ........................................... 274 Pruebas fotocopiables ............................................................. 276 Solucionario pruebas fotocopiables ......................................298 Solucionario de resolucin de ejercicios variados ..............300 Hoja de resolucin de problemas ..........................................301 Sitios Web ..................................................................................302

ndice

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Propuesta didcticaEl texto de matemtica que aqu presentamos, ha sido elaborado a partir de las ltimas propuestas realizadas por el Ministerio de Educacin de Chile (Mineduc). En relacin con el marco de la buena enseanza, la evaluacin para el aprendizaje, el ajuste curricular, y en el propsito formativo de esta asignatura. Por todos estos antecedentes, resulta fundamental que el y la docente considere este texto como un apoyo para los procesos de enseanzaaprendizaje de sus alumnos y no solamente como un manual de ejercicios descontextualizados. En el texto, el papel del docente como mediador de los aprendizajes es clave para el logro de los objetivos planteados en cada unidad. De esta manera, antes de empezar a usar el texto con los estudiantes, los invitamos a leer y reflexionar detenidamente en la propuesta didctica. decisiones coherentes con sus palabras y acciones, y una de las cosas ms importantes en esta dimensin es que trabaja con todos los alumnos, no solo con los mejores. Esto ltimo es fundamental, ya que los docentes muchas veces no ven a gran parte de sus estudiantes, hacindolos invisibles ante s mismos (lo que genera problemas de autoestima). As, el profesor debe estar atento a todos sus estudiantes conscientemente, especialmente a aquellos con mayores problemas, ms tmidos o de capacidad media.

Interaccin dialgicaEs importante que exista una interaccin constante en la clase, ya sea entre pares de alumnos, en grupos pequeos de alumnos y a nivel de grupo curso, promoviendo continuamente la interaccin: estudiante-estudiante, profesor-estudiante; estudiante- contenido. Es importante resaltar el binomio estudiante-estudiante, ya que es uno de los ms olvidados por los docentes y que, paradjicamente, promueve la motivacin y el aprendizaje ms profundo y significativo segn la investigacin pedaggica (Cazden, 1990; Wells, 2001). En relacin con la importancia de la interaccin, resaltamos la propuesta dialgica entregada por el ajuste en relacin con el sector. Esto significa que los y las estudiantes elaboran discursos extensos y que buscan una respuesta activa del otro sobre lo que hacen. Esta perspectiva dialgica es clave para el logro de los objetivos del texto, ya que es comn que la interaccin en la sala de clases es normalmente limitada, donde los estudiantes responden a coro, con respuestas cerradas o de corta extensin (Candela, 2001). Frente a esta realidad, el docente puede promover la interaccin autntica mediante discursos extendidos por parte de los y las estudiantes, ya que as se desarrolla el pensamiento matemtico, a la vez que se potencia la dimensin tica del dilogo y el respeto al otro.

MARCO PARA LA BUENA ENSEANZAEl Marco para la Buena Enseanza es un documento elaborado por el Mineduc, con la colaboracin de la Asociacin Chilena de Municipalidades y del colegio de profesores, y que sirve para optimizar los procesos de enseanza-aprendizaje dentro del aula. El marco recoge diversas investigaciones basadas en experiencias concretas dentro de la clase, que sirven como elementos de reflexin y de gua especfica para mejorar los procesos de enseanza-aprendizaje de los y las estudiantes. En el presente texto del estudiante, se han considerado principalmente aquellos aspectos que son fundamentales para el sector de matemtica. Por ello, destacamos que lo desarrollado aqu, est basado en el Marco Curricular, pero tambin en nuestra propia experiencia docente y sus reflexiones derivadas, as como investigacin y teora pedaggica complementaria.

Clima del aulaEs relevante que el docente sea consciente que sus expectativas y palabras calan fuerte en los y las estudiantes, por eso, los profesores deben confiar en las capacidades de los alumnos para crear un ambiente afectivo que posea reglas claras y simples. Para crear un clima de aula adecuado, el docente se centra ms en las fortalezas que en las debilidades, escucha atentamente las dudas, creencias y requerimientos de los alumnos y toma6

Aprovechamiento pedaggicoEs relevante crear situaciones interesantes y productivas que aprovechen el tiempo en forma efectiva. Para lograr que los y las estudiantes participen activamente en las actividades de la clase, el docente tiene que involucrarse en lo que est enseando y explicitar los objetivos de aprendizaje y los procedimientos para el desarrollo de las actividades. Esto significa poner en prctica una estructura clara de inicio, desarrollo y cierre.

Propuesta didctica

Por otra parte, el aprovechamiento pedaggico tiene relacin con la capacidad de planificar en funcin de la realidad y del diagnstico de los y las estudiantes, saber distribuir adecuadamente a los y las estudiantes en la sala, identificar claramente a los y las estudiantes que tienen problemas de aprendizaje y saber cules son estos problemas para actuar en consecuencia.

Desarrollo de habilidades de pensamientoEl desarrollo de habilidades es uno de los aspectos clave en la propuesta del ajuste curricular. Esto significa que el clima de aula, la estructura de la clase y la interaccin dialgica potencian esta dimensin. Para lograr plenamente el desarrollo de habilidades, el docente tiene que reflexionar continuamente sobre qu est enseando y cmo lo est haciendo, preguntndose si lo que ensea es realmente relevante para el alumno, para su realidad y para el desarrollo de competencias transversales como: analizar, reflexionar, resolver problemas, plantear soluciones, comprender globalmente, comparar procesos o procedimientos, pensar crtica y autnomamente, entre otras habilidades propias del sector de matemtica y que se relacionan con lo propuesto para los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT).

analizar la informacin cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicacin, razonamiento y abstraccin e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexin sistemtica. La matemtica contribuye a que los alumnos valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para resolver problemas y analizar situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad matemtica, tales como la exploracin sistemtica de alternativas, la aplicacin y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisin en el lenguaje y la perseverancia en la bsqueda de caminos y soluciones. La matemtica es en s misma un aspecto importante de la cultura humana: es una disciplina cuya construccin emprica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los ms variados mbitos. Adems, aprender matemtica es fundamental para la formacin de ciudadanos crticos y adaptables; capaces de analizar, sintetizar, interpretar y enfrentar situaciones cada vez ms complejas; dispuestos a resolver problemas de diversos tipos, ya que les permite desarrollar capacidades para darle sentido al mundo y actuar en l. La matemtica les ayudar a resolver problemas cotidianos, a participar responsablemente en la dinmica social y cvica, y les suministrar una base necesaria para su formacin tcnica o profesional. Su aprendizaje involucra desarrollar capacidades cognitivas clave, como visualizar, representar, modelar y resolver problemas, simular y conjeturar, reconocer estructuras y procesos. Asimismo, ampla el pensamiento intuitivo y forma el deductivo y lgico. La matemtica constituye un dominio privilegiado para perfeccionar y practicar el sentido comn, el espritu crtico, la capacidad de argumentacin, la perseverancia y el trabajo colaborativo. Est siempre presente, en la vida cotidiana, explcita o implcitamente, y juega un papel fundamental en la toma de decisiones. Es una herramienta imprescindible en las ciencias naturales, la tecnologa, la medicina y las ciencias sociales, entre otras. Es, asimismo, un lenguaje universal que trasciende fronteras y abre puertas para comunicarse con el mundo. Propuesta didctica7

LA EVALUACIN PARA EL APRENDIZAJELa evaluacin para el aprendizaje es parte de la perspectiva constructivista de la educacin, que considera que la enseanza y aprendizaje de conceptos y habilidades est indisolublemente unido a la evaluacin. De este modo, la evaluacin es parte del aprendizaje, en cuanto lo retroalimenta y sirve para entender los avances de los estudiantes.

LA PROPUESTA DE AJUSTE CURRICULAR PARA MATEMTICAEl propsito formativo de esta asignatura es enriquecer la comprensin de la realidad, facilitar la seleccin de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crtico y autnomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar. La matemtica proporciona herramientas conceptuales para

La matemtica, no es un cuerpo fijo e inmutable de conocimientos, hechos y procedimientos, que se aprenden a recitar. Hacer matemticas no consiste simplemente en calcular las respuestas a problemas propuestos, usando un repertorio especfico de tcnicas probadas. En otras palabras, es una ciencia que exige explorar y experimentar, descubriendo patrones, configuraciones, estructuras y dinmicas. Se trata de una disciplina creativa, multifactica en sus aspectos cognitivos, afectivos y sociales, que es accesible a los nios desde la educacin bsica; que puede brindar momentos de entusiasmo al estudiante cuando se enfrenta a un desafo, de alegra y sorpresa cuando descubre una solucin a simple vista, o de triunfo cuando logra resolver una situacin difcil. Los estudiantes de todas las edades necesitan dar sentido a los contenidos matemticos que aprenden, para que puedan construir su propio significado de la matemtica. Especialmente en los primeros niveles, esto se logra de mejor manera cuando los estudiantes exploran y trabajan primero manipulando una variedad de materiales concretos y didcticos. La formacin de conceptos abstractos comienza a partir de las experiencias y acciones concretas con objetos. Por ejemplo, en el caso de las operaciones, el uso de material concreto facilita la comprensin de las relaciones reversibles entre otros, dndose la oportunidad de comprobar numerosas veces la permanencia de algunos hechos. El trnsito hacia la representacin simblica es ms slido si luego se permite una etapa en que lo concreto se representa icnicamente, con imgenes y representaciones pictricas, para ms tarde avanzar progresivamente hacia un pensamiento simblico-abstracto. Las metforas, las representaciones y las analogas juegan un rol clave en este proceso de aprendizaje que da al alumno la posibilidad de construir sus propios conceptos matemticos. De esta manera, la matemtica se vuelve accesible para todos. Los Objetivos de Aprendizaje de Matemtica mantienen permanentemente esa progresin de lo concreto a lo pictrico (icnico) y a lo simblico (abstracto) en ambos sentidos que se denomina con la sigla COPISI. Para desarrollar los conceptos y habilidades bsicas en matemtica, es necesario que el alumno los descubra, explorando y trabajando primeramente en mbitos numricos pequeos, siempre con material concreto. Mantenerse dentro de un mbito numrico ms bajo hace posible visualizar las cantidades y de esta manera, comprender mejor lo que son y lo que se hace con ellas. As se

construye una base slida para comprender los conceptos de nmero y su operatoria y tambin los conceptos relacionados con geometra, medicin y datos. La resolucin de problemas es el foco de la enseanza de la matemtica. Se busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de accin que posibiliten a los estudiantes procesar informacin proveniente de la realidad y as profundizar su comprensin acerca de ella y de los conceptos aprendidos. Contextualizar el aprendizaje mediante problemas reales relaciona la matemtica con situaciones concretas, y facilita as un aprendizaje significativo de contenidos matemticos fundamentales. Resolver problemas da al estudiante la ocasin de enfrentarse a situaciones desafiantes que requieren, para su resolucin variadas habilidades, destrezas y conocimientos que no siguen esquemas prefijados y de esta manera contribuye a desarrollar confianza en las capacidades propias de aprender y de enfrentar situaciones, lo que genera, actitudes positivas hacia el aprendizaje. La resolucin de problemas permite, adems, que el profesor perciba el tipo de pensamiento matemtico de sus alumnos cuando ellos seleccionan diversas estrategias cognitivas y las comunican. De este modo, obtiene evidencia muy relevante para apoyar y ajustar la enseanza a las necesidades de ellos. Los Objetivos de Aprendizaje se orientan tambin a desarrollar en los estudiantes las destrezas de clculo. A pesar de que existen hoy mtodos automticos para calcular, las destrezas de clculo, particularmente el clculo mental, son altamente relevantes en la enseanza bsica, pues constituyen un medio eficaz para el desarrollo de la atencin, la concentracin y la memoria, y originan una familiaridad progresiva con los nmeros, que permite que los alumnos puedan luego jugar con ellos. Adems, a medida que los estudiantes progresan en sus estrategias de clculo, son capaces de aplicarlas flexiblemente a la solucin de situaciones numricas, y luego comparar, discutir y compartir las estrategias que cada uno utiliz para llegar al resultado. La comprensin de los algoritmos y la aplicacin de operaciones para resolver problemas se facilitan y se hacen ms slidas cuando se ha tenido la oportunidad de ejercitar destrezas de clculo mental. En la educacin bsica, las herramientas tecnolgicas (calculadoras y computadores) contribuyen al ambiente de aprendizaje, ya que permiten

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Propuesta didctica

explorar y crear patrones, examinar relaciones en configuraciones geomtricas y ecuaciones simples, ensayar respuestas, testear conjeturas, organizar y mostrar datos y abreviar la duracin de clculos laboriosos necesarios para resolver ciertos tipos de problemas. Sin embargo, aunque la tecnologa se puede usar de 1 a 4 bsico para enriquecer el aprendizaje, se espera que los estudiantes comprendan y apliquen los conceptos involucrados antes de usar estos medios.

predicciones eficaces en variadas situaciones concretas. Se espera, adems, que desarrollen la capacidad de verbalizar sus intuiciones y concluir correctamente, y tambin de detectar afirmaciones errneas.

ModelarModelar es el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemticos identificando patrones caractersticos de situaciones, objetos o fenmenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos. El objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante construya una versin simplificada y abstracta de un sistema, usualmente ms complejo, pero que capture los patrones claves y los exprese mediante lenguaje matemtico. A travs del modelamiento matemtico los estudiantes aprenden a usar una variedad de representaciones de datos y a seleccionar y aplicar mtodos matemticos apropiados y herramientas para resolver problemas del mundo real. Aunque construir modelos suele requerir el manejo de conceptos y mtodos matemticos avanzados, en este currculum se propone comenzar por actividades de modelacin tan bsicas como formular una ecuacin que involucra adiciones para expresar una situacin de la vida cotidiana del tipo: Invitamos 11 amigos, 7 ya llegaron, cuntos faltan? Un modelo posible sera 7 + = 11. La complejidad de las situaciones a modelar depender del nivel en que se encuentren los estudiantes.

ORGANIZACIN CURRICULAR A. HABILIDADESEn la educacin bsica se busca desarrollar el pensamiento matemtico. En este desarrollo, estn involucradas cuatro habilidades interrelacionadas: resolver problemas, representar, modelar y argumentar y comunicar. Todas ellas tienen un rol importante en la adquisicin de nuevas destrezas y conceptos y en la aplicacin de conocimientos para resolver los problemas propios de la matemtica (rutinarios y no rutinarios) y de otros mbitos.

Resolver problemasResolver problemas es tanto un medio como un fin para lograr una buena educacin matemtica. Se habla de resolver problemas, en lugar de simples ejercicios, cuando el estudiante logra solucionar una situacin problemtica dada, contextualizada o no, sin que se le haya indicado un procedimiento a seguir. A travs de estos desafos, los alumnos experimentan, escogen o inventan. Aplican diferentes estrategias (ensayo y error, transferencia desde problemas similares ya resueltos, etc.), comparan diferentes vas de solucin, y evalan las respuestas obtenidas y su pertinencia.

RepresentarAl metaforizar, el estudiante transporta experiencias y objetos de un mbito concreto y familiar a otro ms abstracto y nuevo, en que habitan los conceptos que est recin construyendo o aprendiendo. Por ejemplo: Los nmeros son cantidades, los nmeros son posiciones en la recta numrica, sumar es juntar, restar es quitar, sumar es avanzar, restar es retroceder, dividir es repartir en partes iguales. En tanto, el alumno representa para entender mejor y operar con conceptos y objetos ya construidos. Por ejemplo, cuando representa las fracciones con puntos en una recta numrica, o una ecuacin como x + 2 = 5 por medio de una balanza en equilibrio con una caja de peso desconocido x y 2 kg en un platillo y 5 kg en el otro.

Argumentar y comunicarLa habilidad de argumentar se aplica al tratar de convencer a otros de la validez de los resultados obtenidos. La argumentacin y discusin colectiva sobre la solucin de problemas, escuchar y corregirse mutuamente, la estimulacin a utilizar un amplio abanico de formas de comunicacin de ideas, metforas y representaciones, favorece el aprendizaje matemtico. En la enseanza bsica, se apunta principalmente a que los alumnos establezcan progresivamente deducciones que les permitirn hacer

Propuesta didctica

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Manejar una variedad de representaciones matemticas de un mismo concepto y transitar fluidamente entre ellas, permitir a los estudiantes lograr un aprendizaje significativo y desarrollar su capacidad de pensar matemticamente. Durante la educacin bsica, se espera que aprendan a usar representaciones pictricas como diagramas, esquemas y grficos, para comunicar cantidades, operaciones y relaciones, y que luego conozcan y utilicen el lenguaje simblico y el vocabulario propio de la disciplina. Fuente: www.mineduc.cl

Los patrones (observables en secuencias de objetos, imgenes o nmeros que presentan regularidades) pueden ser representados en forma concreta, pictrica y simblica, y los estudiantes deben ser capaces de transportarlos de una forma de representacin a otra, extenderlos, usarlos y crearlos. La percepcin de los patrones les permite predecir y tambin fundamentar su razonamiento al momento de resolver problemas. Una base slida en patrones facilita el desarrollo de un pensamiento matemtico ms abstracto en los niveles superiores, como es el pensamiento algebraico

Geometra B. EJES TEMTICOSLa presente propuesta de estructura recoge los principales elementos del espritu que anima al ajuste curricular. A lo largo de sus unidades, mediante el desarrollo de un proyecto concreto, de corte comunicativo y prctico, se pretende movilizar estrategias y habilidades de los diversos ejes del sector. Los conceptos se presentan en cinco ejes temticos: En este eje se espera que los estudiantes aprendan a reconocer, visualizar y dibujar figuras, y a describir las caractersticas y propiedades de figuras 3D y figuras 2D en situaciones estticas y dinmicas. Se entregan conceptos para entender la estructura del espacio y describir con un lenguaje ms preciso lo que ya conocen en su entorno. El estudio del movimiento de los objetos la reflexin, la traslacin y la rotacin busca desarrollar tempranamente el pensamiento espacial de los alumnos.

Nmeros y operacionesEste eje abarca tanto el desarrollo del concepto de nmero como tambin la destreza en el clculo mental y el uso de algoritmos. Una vez que los alumnos asimilan y construyen los conceptos bsicos, con ayuda de metforas y representaciones, aprenden los algoritmos de la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin, incluyendo el sistema posicional de escritura de los nmeros. Se espera que desarrollen las estrategias de clculo mental, comenzando con mbitos numricos pequeos y ampliando estos en los cursos superiores, y que se aproximen a los nmeros racionales (como fracciones, decimales y porcentajes) y sus operaciones. En todos los ejes, y en especial en el de Nmeros, el aprendizaje debe iniciarse haciendo a los alumnos manipular material concreto o didctico, pasando luego a una representacin pictrica que finalmente se reemplaza por smbolos.

MedicinEste eje pretende que los estudiantes sean capaces de identificar las caractersticas de los objetos y cuantificarlos, para poder compararlos y ordenarlos. Las caractersticas de los objetos ancho, largo, alto, peso, volumen, etc. permiten determinar medidas no estandarizadas. Una vez que los alumnos han desarrollado la habilidad de hacer estas mediciones, se espera que conozcan y dominen las unidades de medida estandarizadas. Se pretende que sean capaces de seleccionar y usar la unidad apropiada para medir tiempo, capacidad, distancia y peso, usando las herramientas especficas de acuerdo con lo que se est midiendo.

Datos y probabilidadesEste eje responde a la necesidad de que todos los estudiantes registren, clasifiquen y lean informacin dispuesta en tablas y grficos, y que se inicien en temas relacionados con el azar. Estos conocimientos les permitirn reconocer grficos y tablas en su vida cotidiana. Para lograr este aprendizaje, es necesario que conozcan y apliquen encuestas y cuestionarios por medio de la formulacin de preguntas relevantes, basadas en sus experiencias e intereses, y despus registren lo obtenido y hagan predicciones a partir de ellos. Fuente: www.mineduc.cl

Patrones y lgebraEn este eje se pretende que los estudiantes expliquen y describan relaciones de todo tipo, como parte del estudio de la matemtica. Los estudiantes buscarn relaciones entre nmeros, formas, objetos y conceptos, lo que los facultar para investigar las formas, las cantidades y el cambio de una cantidad en relacin con otra.10

Propuesta didctica

C. ACTITUDESLos Objetivos de Aprendizaje de Matemtica promueven un conjunto de actitudes para todo el ciclo bsico, que derivan de los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT). Dada su relevancia para el aprendizaje en el contexto de cada disciplina, estas se deben desarrollar de manera integrada con los conocimientos y habilidades propios de la asignatura. Las actitudes aqu definidas son Objetivos de Aprendizaje, que deben ser promovidos para la formacin integral de los estudiantes en la asignatura. Los establecimientos pueden planificar, organizar, desarrollar y complementar las actitudes propuestas segn sean las necesidades de su propio proyecto y su realidad educativa. Las actitudes a desarrollar en la asignatura de matemtica son las siguientes: Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metdico El desarrollo de los objetivos de aprendizaje requiere de un trabajo meticuloso con los datos e informacin, para poder operar con ellos de forma adecuada. Esto tiene que comenzar desde los primeros niveles, sin contraponerlo con la creatividad y flexibilidad. Abordar de manera flexible y creativa la bsqueda de soluciones a problemas Desde los Objetivos de Aprendizaje se ofrecen oportunidades para desarrollar la flexibilidad y la creatividad por medio de la bsqueda de soluciones a problemas; entre ellas, explorar diversas estrategias, escuchar el razonamiento de los dems y usar el material concreto de diversas maneras. Manifestar curiosidad e inters por el aprendizaje de las matemticas Esta actitud se debe promover por medio del trabajo que se realice para alcanzar los objetivos de la asignatura. Dicho trabajo debe poner el acento en el inters por las matemticas, tanto por su valor en tanto forma de conocer la realidad, como por su relevancia para enfrentar diversas situaciones y problemas. Manifestar una actitud positiva frente a s mismo y sus capacidades Las bases promueven una actitud de confianza en s mismo que aliente la bsqueda de soluciones, la comunicacin de los propios razonamientos y la formulacin de dudas y observaciones. A lo largo del desarrollo de la asignatura, se debe incentivar la confianza en

las propias capacidades, al constatar y valorar los logros personales en el aprendizaje. Esto fomenta en el alumno una actitud activa hacia el aprendizaje, que se traduce en elaborar preguntas y buscar respuestas. Asimismo, da seguridad para participar en clases, pues refuerza sus conocimientos y aclara dudas. Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia Las bases curriculares requieren que los estudiantes cultiven el esfuerzo y la perseverancia, conscientes de que el logro de ciertos aprendizajes puede implicar mayor dedicacin y esfuerzo. Por otra parte, es relevante que el alumno aprenda a reconocer errores y a utilizarlos como fuente de aprendizaje, desarrollando la capacidad de autocrtica y de superacin. Esto lo ayudar a alcanzar los aprendizajes de la asignatura y a enriquecer su vida personal. Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa Se espera que los estudiantes presenten y escuchen opiniones y juicios de manera adecuada para enriquecer los propios conocimientos y aprendizajes y los de sus compaeros. Fuente: www.mineduc.cl

ORGANIZACIN DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE Visin globalEl texto del estudiante de Matemtica para cuarto bsico, se estructura en once unidades integradas a lo largo de las cuales se propone cubrir los objetivos de aprendizaje verticales y transversales establecidos para este sector y nivel. Esta propuesta se basa en mostrar al alumno los contenidos de manera cercana a travs de problemas resueltos y aplicaciones, sin perder la rigurosidad matemtica que permite la correcta escritura y comunicacin de ideas y resultados. Adems cada leccin del texto, y por consecuencia cada contenido tratado, tiene una amplia variedad tanto de ejercicios como de problemas y aplicaciones, con el fin de promover una practica continua en el estudiante. El texto presenta siete unidades destinadas al desarrollo del eje nmeros y operaciones, una para el eje de geometra, una para el eje de medicin, una para el eje patrones y lgebra y una para el eje de datos y probabilidad. Cada unidad se compone de una secuencia de cuatro secciones claramente identificables. Propuesta didctica11

Aprendizaje visual, Prctica guiada, Prctica independiente y Resolucin de problemas. En ese contexto, la exposicin del contenido y las actividades son motivadas por las necesidades propias del objetivo a lograr.

Estructura de las unidades Macro lecciones1. Introduccin de la Unidad En las dos primeras pginas se presenta el ttulo de la unidad, imgenes que plantean preguntas relacionadas con el tema a tratar cuyo propsito didctico es el de motivar a los estudiantes y actividades breves de repaso cuyo objetivo es el de activar conocimientos previos y detectar necesidades de refuerzo de los estudiantes. 2. Lecciones, presentadas en pginas binarias, estn formadas por: Aprendizaje visual, puente de aprendizaje interactivo que presenta el contenido de la leccin. Otro ejemplo presenta un ejemplo adicional al del puente de aprendizaje visual o bien presenta una estrategia adicional relacionada con el aprendizaje visual. Prctica guiada que plantea ejercicios resueltos de aplicacin del contenido presentado en el puente de aprendizaje visual. Prctica independiente que plantea ejercicios adicionales de aplicacin del contenido presentado en el puente de aprendizaje visual. Resolucin de problemas que presenta problemas para ser resueltos utilizando variadas destrezas matemticas.

Hacia el mundo digital Presenta ejercicios para ser resuelto usando algn medio digital (calculadora, programa Excel, etools, etc.) Conectndonos con la realidad Presenta situaciones en varios mbitos de la vida real para aplicar los conocimientos adquiridos. 3. Cunto aprend! que presenta ejercicios, en formato de SIMCE destinados a comprobar el logro de aprendizajes y destrezas. La metacognicin es un elemento presente a lo largo del texto. Continuamente se plantean preguntas sobre el conocimiento (qu conozco del tema?, qu conclusiones puedo sacar?, etc.); sobre el proceso (qu habilidades he desarrollado? qu pasos debo seguir para?, etc.) sobre las actitudes (en qu soy sistemtico? cunto inters tengo en la tarea?, cumpl con los tiempos?). Esto de visualiza concretamente en la seccin Cunto aprend! en donde se invita a los estudiantes a reflexionar acerca de cmo aprender a aprender.

ORGANIZACIN DEL CUADERNO DE EJERCITACINEste cuaderno presenta ejercicios y problemas adicionales y paralelos al contenido presentado en el texto del estudiante.

ORGANIZACIN DE LA GUA DIDCTICA DEL DOCENTELa gua didctica del docente es un instrumento que sirve para: a) situar al docente en una perspectiva global en relacin al enfoque utilizado en el texto para el estudiante, en relacin con el ajuste curricular y con el propio enfoque propuesto por la autora; b) guiar metodolgicamente el proceso de enseanza y aprendizaje; c) dar las pautas y guas para el proceso evaluativo; d) y entregar instrumentos de evaluacin complementarios. Esta gua est realizada de la siguiente manera: 1. Gua de implementacin y sntesis Breve gua que explica en detalle el objetivo y forma de trabajar cada seccin de esta propuesta didctica.

Micro leccionesEntre lecciones, aparecen otras lecciones que son: Enlace con lgebra Proveen ms refuerzo algebraico y prctica con andamiaje. Estas lecciones proveen una base slida para desarrollar conceptos algebraicos. Ampliacin Entrega un contenido complementario al de la unidad. Haz un alto y practica Presenta actividades adicionales de ejercitacin.

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Propuesta didctica

2. Propuesta de planificacin Se presenta un cuadro sinptico de la unidad, con el objetivo de situar al profesor rpidamente sobre qu trata la unidad, el eje central de la misma, los objetivos de aprendizaje verticales y transversales, recursos utilizados para la clase y para la evaluacin y tiempos aproximados para el desarrollo de la misma. 3. Objetivos Se plantea el objetivo de aprendizaje para cada leccin. 4. Contexto matemtico Provee de una breve ampliacin del contenido,

provee conclusiones provenientes de investigaciones matemticas. 5. Sugerencias metodolgicas Se integran las indicaciones acerca de qu tratan las secciones en la que est organizado el texto, las respuestas y las rbricas o indicadores para las respuestas abiertas de las actividades propuestas, considerando la evaluacin como parte del proceso de aprendizaje. 6. Evaluacin final Cada unidad presenta una evaluacin final con preguntas cerradas, con formato Simce.

Gua de implementacin y sntesis

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Gua de implementacin y sntesisINVESTIGACINUna base de investigacin que asegura que el programa funcione para todos los estudiantes. El programa de Matemtica 4 bsico, est adaptado de enVisionMATH est basado en la investigacin sobre el aprendizaje de las matemticas y sobre datos recolectados en la clase que validan la confiabilidad del programa. En el desarrollo del programa se integraron cuatro fases de investigacin diferentes. 1. Investigacin continua 2. Base de investigacin cientfica 3. Investigacin formativa 4. Investigacin resumen importante en cun bien los estudiantes aprendan el contenido (Shavelson, 1983)

Matemtica 4 bsico provee:Una manera de ensear todos los estndares mediante lecciones que pueden ser enseadas al ritmo de una por clase.

ESTRUCTURA DE LA ENSEANZA Conocimientos esencialesLa investigacin dice que la enseanza para el conocimiento resulta en un mejor desempeo que es ms perdurable en el tiempo (Pesek and Kirshner, 2000)

CURRICULUM PERSONALIZADO EnfocadoUnidades organizadas para ayudar a los docentes a ensear lo que quieran en el momento que quieran. La investigacin dice que es mejor ensear los contenidos nuevos conectndolos a conocimientos previos con un foco permanente en el tiempo (Empson, 2003)

Matemtica 4 bsico provee:Conocimientos esenciales enunciados explcitamente en la Gua para el profesor, en la seccin Cierre y evaluacin que son la base conceptual del programa y mantienen la consistencia conceptual a los largo de las lecciones, unidades y niveles.

Repaso en espiral diarioLa investigacin dice que la prctica distribuida (repaso en el tiempo) conduce a dominar el mejoramiento y la mantencin del nivel de aprendizaje (Cotton, 2001)

Matemtica 4 bsico provee:11 unidades temticas coherentes y presentadas en grupos de lecciones digeribles que comparten foco comn.

Matemtica 4 bsico provee: Problema del da que permite el dominio de la prctica continua mediante una variedad de tipos de problemas.

FlexibleLa investigacin dice que la informacin del desempeo del estudiante puede influir las decisiones de enseanza tales como decisiones acerca de cmo secuenciar el contenido (Cotton, 2001)

Aprendizaje visualLa investigacin dice que los estudiantes obtienen mejor provecho al ver las ideas matemticas demostradas con imgenes (Schwartz and Heiser, 2006). La instruccin efectiva se enfoca en ideas al mismo tiempo que muestra las conexiones entre las ideas (Hiebert and Lindquist, 1990). Una buena estrategia instruccional incluye que el profesor realice preguntas gua (Carpenter and Fennema, 1992). Las imgenes son tiles cuando proveen representaciones visuales de conceptos matemticos o ilustran relaciones en el contexto de un problema. (Mayer, 1989)

Matemtica 4 bsico provee:Una secuencia flexible con temas que estn organizados e identificados con un cdigo de color que son los suficientemente cortas para que el docente las reorganice en un currculum que se asemeje a la secuencia preferida de acuerdo al nivelo de su clase, escuela o ambiente.

Con diferentes ritmosLa investigacin dice que el ritmo con el cual se presenta el contenido nuevo puede ser un factor

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Gua de implementacin y sntesis

Matemtica 4 bsico provee: Puente de aprendizaje visual que es un puente pictrico que ayuda a los estudiantes a enfocarse en solo una idea a la vez a la vez que presenta las conexin entre las ideas dentro de una secuencia. Esto es especialmente til para los nios visuales. Preguntas gua escritas en cursivas que le ayudan a guiar a los estudiantes a travs de los ejemplos y le dan a usted una oportunidad de revisar la comprensin de los estudiantes. Imgenes con un propsito en todas las lecciones que ilustran los conceptos matemticos y muestran informacin de problemas matemticos en contextos del mundo real.

Matemtica 4 bsico provee: Sabes cmo?, comprendes? en las lecciones del Texto para el estudiante que le ayudan a evaluar no solo las destrezas sino tambin la comprensin conceptual. Comprobacin rpida al final de cada leccin con temes de opcin mltiple y escritura para explicar que le ayudan a monitorear el progreso de los estudiantes. Rbricas para determinar el nivel de los estudiantes. Sugerencias para la instruccin diferenciada.

Instruccin diferenciadaLa investigacin dice que dar acceso a todos los estudiantes al mismo contenido pero se debe nivelar la instruccin de acuerdo a cunto apoyo necesita cada uno de los estudiantes (Cotton, 2001)

Diagramas de barrasLa investigacin dice que un diagrama de barras puede ser clave para el xito en la resolucin de problemas. Los diagramas de barras ayudan a los estudiantes a comprender las relaciones entre las cantidades involucradas en el problema y esto ayuda a los estudiantes a elegir la operacin correcta para resolver el problema (Diezmann and English, 2001)

Matemtica 4 bsico provee: Actividades niveladas incluyendo tareas de nivel de Refuerzo que deben ser dirigidas y un nivel de tareas de Ampliacin que puede ser realizadas sin la direccin del docente.

Matemtica 4 bsico provee: Una introduccin a los diagramas de barra que se puede encontrar en el Manual de Resolucin de problemas. Instruccin focalizada en los diagramas de barra en lecciones de resolucin de problemas con encabezados como Haz un dibujo! y Escribe una oracin numrica. Refuerzo con diagramas de barra en lecciones regulares donde los diagramas de barra facilitan el apoyo del Puente de aprendizaje visual y en los ejercicios de prctica. 12 banderas en total

ENSEANZA DIFERENCIADA Tareas niveladasLa investigacin dice que los estudiantes aprenden menor cuando ellos estn interesados en lo que estn haciendo y se involucran en actividades con otros estudiantes (Schwartz et al., 1999)

Matemtica 4 bsico provee: Actividades complementarias cuya realizacin requiere de materiales simples y que permiten el trabajo individual, en pares y grupos y que pueden ser utilizadas cuando lo estime conveniente. Este tipo de actividades incluye entre otros: Usar dibujos, fotografas, organizadores, redes de palabras y/o nmeros; respuesta fsica total y uso de la pantomima; enlace con contextos familiares y conocimientos previos.

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Evaluacin y sugerenciasLa investigacin dice que la evaluacin continua previere los conceptos errneos y provee informacin valiosa para guiar la instruccin orientada a la informacin (Vye et al.,1998)

Gua de implementacin y sntesis

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RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y EL LGEBRA Proceso de resolucin de problemasLa investigacin dice que la instruccin explcita en procesos matemticos ayuda a los estudiantes a resolver problemas eficientemente. (Mayer and Wittrock, 1996)

Diagramas de barra que ayudan a los estudiantes a mostrar las representaciones de las relaciones cuantitativas para una variedad de problemas. Manual de resolucin de problemas que se encuentra al inicio del texto para el estudiante y que es un recurso al cual se puede consultar durante el ao. Incluye: Proceso de resolucin de problemas Usar de diagramas Estrategia de resolucin de problemas Escribir para explicar Resolucin de problemas: Hoja de anotaciones

Matemtica 4 bsico provee: Habilidades y Estrategias de resolucin de problemas enseadas en lecciones de resolucin de problemas: - Informacin que falta o que sobra - Problemas de dos preguntas - Problemas de varios pasos - Es razonable? - Hacer generalizaciones y comprobarlas - Escribir para explicar - Mostrar cul es el problema Hacer un dibujo Hacer una lista organizada Hacer una tabla Hacer un grfico Representar/usar objetos - Buscar un patrn - Intentar, revisar, corregir - Escribir una oracin numrica - Razonar - Empezar por el final - Resolver un problema ms sencillo Fases en un proceso de resolucin de problemas que se ensean en las lecciones de resolucin de problemas.

Prctica de resolucin de problemasLa investigacin dice que los estudiantes necesitan prctica con una variedad de tipos de problemas (Nesher, 1988)

Matemtica 4 bsico provee: Ejercicios de prctica de resolucin de problemas en todo el texto, incluyendo: - Pensar en el proceso - Es razonable? - Escribir para explicar - Dibjalo - Escribe un problema - Enfoque en la estrategia Resolucin de problemas: Hoja de anotaciones que ayuda a los estudiantes a llevar un registro de sus respuestas.

lgebraLa investigacin dice que el buen desarrollo conceptual en lgebra resulta en un mejor desempeo en lgebra a futuro. (Behr, Harel, Post, and Lesh, 1992)

Lee y comprende Qu me piden que encuentre? Qu s?

Planea y resuelve Qu estrategia o estrategias debo usar? Puedo mostrar el problema? Cmo puedo resolver el problema? Cul es la respuesta?

Matemtica 4 bsico provee: Conexiones con lgebra, pginas que entregan ms oportunidades de refuerzo y prctica con andamiaje. Unidades y lecciones de lgebra que proveen slidas bases para los conceptos algebraicos. Ejercicios de lgebra integrados a las lecciones regulares que conectan el lgebra a otros ejes y refuerzan el pensamiento algebraico.

Vuelve atrs y comprueba Comprob mi trabajo? Es razonable mi respuesta?

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Gua de implementacin y sntesis

EVALUACIN E INTERVENCINLa investigacin dice que el monitoreo frecuente del progreso provee a los estudiantes de valiosa retroalimentacin y correcciones inmediatas, al mismo tiempo, provee al profesor de informacin acerca de los estudiantes que pueden ayudarle a guiar su proceso de enseanza. (Black and Black, 1998)

Matemtica 4 bsico provee:Monitoreo frecuente continuo. Recursos para la evaluacin continua y para la intervencin.

Evaluacin frecuente: oportunidades de evaluacin como las siguientes: Al inicio de cada unidad: Repasa lo que sabes Durante la leccin: Lo entiendes? Explcalo Errores e intervencin Al final de cada unidad: Cunto aprend! Pruebas fotocopiables

Gua de implementacin y sntesis

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Estructura del textoIntroduccinExplicacin de esta propuesta didctica de este proyecto que da cuenta de los lineamientos entregados por el Ministerio de Educacin.

Propuesta didcticaEl texto de matemtica que aqu presentamos, ha sido elaborado a partir de las ltimas propuestas realizadas por el Ministerio de Educacin de Chile (Mineduc). En relacin con el marco de la buena enseanza, la evaluacin para el aprendizaje, el ajuste curricular, y en el propsito formativo de esta asignatura. Por todos estos antecedentes, resulta fundamental que el y la docente considere este texto como un apoyo para los procesos de enseanzaaprendizaje de sus alumnos y no solamente como un manual de ejercicios descontextualizados. En el texto, el papel del docente como mediador de los aprendizajes es clave para el logro de los objetivos planteados en cada unidad. De esta manera, antes de empezar a usar el texto con los estudiantes, los invitamos a leer y reflexionar detenidamente en la propuesta didctica. decisiones coherentes con sus palabras y acciones, y una de las cosas ms importantes en esta dimensin es que trabaja con todos los alumnos, no solo con los mejores. Esto ltimo es fundamental, ya que los docentes muchas veces no ven a gran parte de sus estudiantes, hacindolos invisibles ante s mismos (lo que genera problemas de autoestima). As, el profesor debe estar atento a todos sus estudiantes conscientemente, especialmente a aquellos con mayores problemas, ms tmidos o de capacidad media. Por otra parte, el aprovechamiento pedaggico tiene relacin con la capacidad de planificar en funcin de la realidad y del diagnstico de los y las estudiantes, saber distribuir adecuadamente a los y las estudiantes en la sala, identificar claramente a los y las estudiantes que tienen problemas de aprendizaje y saber cules son estos problemas para actuar en consecuencia. analizar la informacin cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicacin, razonamiento y abstraccin e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexin sistemtica. La matemtica contribuye a que los alumnos valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para resolver problemas y analizar situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad matemtica, tales como la exploracin sistemtica de alternativas, la aplicacin y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisin en el lenguaje y la perseverancia en la bsqueda de caminos y soluciones. La matemtica es en s misma un aspecto importante de la cultura humana: es una disciplina cuya construccin emprica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los ms variados mbitos. Adems, aprender matemtica es fundamental para la formacin de ciudadanos crticos y adaptables; capaces de analizar, sintetizar, interpretar y enfrentar situaciones cada vez ms complejas; dispuestos a resolver problemas de diversos tipos, ya que les permite desarrollar capacidades para darle sentido al mundo y actuar en l. La matemtica les ayudar a resolver problemas cotidianos, a participar responsablemente en la dinmica social y cvica, y les suministrar una base necesaria para su formacin tcnica o profesional. Su aprendizaje involucra desarrollar capacidades cognitivas clave, como visualizar, representar, modelar y resolver problemas, simular y conjeturar, reconocer estructuras y procesos. Asimismo, ampla el pensamiento intuitivo y forma el deductivo y lgico. La matemtica constituye un dominio privilegiado para perfeccionar y practicar el sentido comn, el espritu crtico, la capacidad de argumentacin, la perseverancia y el trabajo colaborativo. Est siempre presente, en la vida cotidiana, explcita o implcitamente, y juega un papel fundamental en la toma de decisiones. Es una herramienta imprescindible en las ciencias naturales, la tecnologa, la medicina y las ciencias sociales, entre otras. Es, asimismo, un lenguaje universal que trasciende fronteras y abre puertas para comunicarse con el mundo.

Desarrollo de habilidades de pensamientoEl desarrollo de habilidades es uno de los aspectos clave en la propuesta del ajuste curricular. Esto significa que el clima de aula, la estructura de la clase y la interaccin dialgica potencian esta dimensin. Para lograr plenamente el desarrollo de habilidades, el docente tiene que reflexionar continuamente sobre qu est enseando y cmo lo est haciendo, preguntndose si lo que ensea es realmente relevante para el alumno, para su realidad y para el desarrollo de competencias transversales como: analizar, reflexionar, resolver problemas, plantear soluciones, comprender globalmente, comparar procesos o procedimientos, pensar crtica y autnomamente, entre otras habilidades propias del sector de matemtica y que se relacionan con lo propuesto para los Objetivos de Aprendizaje Transversales (OAT).

Interaccin dialgicaEs importante que exista una interaccin constante en la clase, ya sea entre pares de alumnos, en grupos pequeos de alumnos y a nivel de grupo curso, promoviendo continuamente la interaccin: estudiante-estudiante, profesor-estudiante ; estudiante- contenido. Es importante resaltar el binomio estudiante-estudiante, ya que es uno de los ms olvidados por los docentes y que, paradjicamente, promueve la motivacin y el aprendizaje ms profundo y significativo segn la investigacin pedaggica (Cazden, 1990; Wells, 2001). En relacin con la importancia de la interaccin, resaltamos la propuesta dialgica entregada por el ajuste en relacin con el sector. Esto significa que los y las estudiantes elaboran discursos extensos y que buscan una respuesta activa del otro sobre lo que hacen. Esta perspectiva dialgica es clave para el logro de los objetivos del texto, ya que es comn que la interaccin en la sala de clases es normalmente limitada, donde los estudiantes responden a coro, con respuestas cerradas o de corta extensin (Candela, 2001). Frente a esta realidad, el docente puede promover la interaccin autntica mediante discursos extendidos por parte de los y las estudiantes, ya que as se desarrolla el pensamiento matemtico, a la vez que se potencia la dimensin tica del dilogo y el respeto al otro.

MARCO PARA LA BUENA ENSEANZAEl Marco para la Buena Enseanza es un documento elaborado por el Mineduc, con la colaboracin de la Asociacin Chilena de Municipalidades y del colegio de profesores, y que sirve para optimizar los procesos de enseanza-aprendizaje dentro del aula. El marco recoge diversas investigaciones basadas en experiencias concretas dentro de la clase, que sirven como elementos de reflexin y de gua especfica para mejorar los procesos de enseanza-aprendizaje de los y las estudiantes. En el presente texto del estudiante, se han considerado principalmente aquellos aspectos que son fundamentales para el sector de matemtica. Por ello, destacamos que lo desarrollado aqu, est basado en el Marco Curricular, pero tambin en nuestra propia experiencia docente y sus reflexiones derivadas, as como investigacin y teora pedaggica complementaria.

LA EVALUACIN PARA EL APRENDIZAJELa evaluacin para el aprendizaje es parte de la perspectiva constructivista de la educacin, que considera que la enseanza y aprendizaje de conceptos y habilidades est indisolublemente unido a la evaluacin. De este modo, la evaluacin es parte del aprendizaje, en cuanto lo retroalimenta y sirve para entender los avances de los estudiantes.

Clima del aulaEs relevante que el docente sea consciente que sus expectativas y palabras calan fuerte en los y las estudiantes, por eso, los profesores deben confiar en las capacidades de los alumnos para crear un ambiente afectivo que posea reglas claras y simples. Para crear un clima de aula adecuado, el docente se centra ms en las fortalezas que en las debilidades, escucha atentamente las dudas, creencias y requerimientos de los alumnos y toma6

Aprovechamiento pedaggicoEs relevante crear situaciones interesantes y productivas que aprovechen el tiempo en forma efectiva. Para lograr que los y las estudiantes participen activamente en las actividades de la clase, el docente tiene que involucrarse en lo que est enseando y explicitar los objetivos de aprendizaje y los procedimientos para el desarrollo de las actividades. Esto significa poner en prctica una estructura clara de inicio, desarrollo y cierre.

LA PROPUESTA DE AJUSTE CURRICULAR PARA MATEMTICAEl propsito formativo de esta asignatura es enriquecer la comprensin de la realidad, facilitar la seleccin de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crtico y autnomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar. La matemtica proporciona herramientas conceptuales para

Propuesta didctica

Propuesta didctica

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Gua de implementacin y sntesisGua de implementacin y sntesisINVESTIGACINasegura que el Una base de investigacin que estudiantes. programa funcione para todos los est adapEl programa de Matemtica 4 bsico, en la investitado de enVisionMATH est basado matemticas y gacin sobre el aprendizaje de las que validan sobre datos recolectados en la clase la confiabilidad del programa. cuaintegraron se programa del En el desarrollo tro fases de investigacin diferentes. 1. Investigacin continua 2. Base de investigacin cientfica 3. Investigacin formativa 4. Investigacin resumen ser un factor presenta el contenido nuevo puede aprenimportante en cun bien los estudiantes dan el contenido (Shavelson, 1983)

Matemtica 4 bsico provee:es un puente x Puente de aprendizaje visual que a enfocarpictrico que ayuda a los estudiantes que presense en solo una idea a la vez a la vez dentro de una ta las conexin entre las ideas til para los secuencia. Esto es especialmente nios visuales. que le ayux Preguntas gua escritas en cursivas travs de los dan a guiar a los estudiantes a de ejemplos y le dan a usted una oportunidad revisar la comprensin de los estudiantes. las lecciox Imgenes con un propsito en todas y nes que ilustran los conceptos matemticos matemtimuestran informacin de problemas cos en contextos del mundo real.

Matemtica 4 bsico provee:las lecciones x Sabes cmo?, comprendes? en le ayudan a del Texto para el estudiante que tambin la evaluar no solo las destrezas sino comprensin conceptual. cada leccin x Comprobacin rpida al final de escritura para con temes de opcin mltiple y el progreso explicar que le ayudan a monitorear de los estudiantes. de los estux Rbricas para determinar el nivel diantes. diferenciada. x Sugerencias para la instruccin

Matemtica 4 bsico provee:los estndares Una manera de ensear todos ser enseadas mediante lecciones que pueden al ritmo de una por clase.

Breve pauta para trabajar cada una de las secciones de esta propuesta.

ESTRUCTURA DE LA ENSEANZA Conocimientos esencialespara el La investigacin dice que la enseanza desempeo conocimiento resulta en un mejor (Pesek and que es ms perdurable en el tiempo Kirshner, 2000)

Instruccin diferenciadaa todos los La investigacin dice que dar acceso pero se debe estudiantes al mismo contenido a cunto apoyo nivelar la instruccin de acuerdo (Cotton, necesita cada uno de los estudiantes 2001)

Diagramas de barrasde barras La investigacin dice que un diagrama la resolucin puede ser clave para el xito en barras ayudan de problemas. Los diagramas de las relaciones a los estudiantes a comprender en el problema entre las cantidades involucradas a elegir la opey esto ayuda a los estudiantes problema (Diezracin correcta para resolver el mann and English, 2001)

CURRICULUM PERSONALIZADO Enfocadoa los docenUnidades organizadas para ayudar momento que tes a ensear lo que quieran en el quieran. ensear los La investigacin dice que es mejor a conocimiencontenidos nuevos conectndolos en el tiempo tos previos con un foco permanente (Empson, 2003)

Matemtica 4 bsico provee:explcitaConocimientos esenciales enunciados en la seccin mente en la Gua para el profesor, conceptual Cierre y evaluacin que son la base condel programa y mantienen la consistencia unidades y ceptual a los largo de las lecciones, niveles.

Matemtica 4 bsico provee:tareas de nix Actividades niveladas incluyendo dirigidas y un vel de Refuerzo que deben ser puede ser nivel de tareas de Ampliacin que realizadas sin la direccin del docente.

Repaso en espiral diariodistribuida La investigacin dice que la prctica el mejo(repaso en el tiempo) conduce a dominar de aprendizaje ramiento y la mantencin del nivel (Cotton, 2001)

Matemtica 4 bsico provee:de barra que x Una introduccin a los diagramas de Resolucin se puede encontrar en el Manual de problemas. de bax Instruccin focalizada en los diagramas de problemas rra en lecciones de resolucin dibujo! y Escon encabezados como Haz un cribe una oracin numrica. en lecciones x Refuerzo con diagramas de barra barra faciliregulares donde los diagramas de visual y tan el apoyo del Puente de aprendizaje en los ejercicios de prctica. 12 banderas en total

Matemtica 4 bsico provee:y presentadas 11 unidades temticas coherentes que comparten en grupos de lecciones digeribles foco comn.

ENSEANZA DIFERENCIADA Tareas niveladasaprenLa investigacin dice que los estudiantes en lo den menor cuando ellos estn interesados en actividaque estn haciendo y se involucran et al., 1999) des con otros estudiantes (Schwartz

Matemtica 4 bsico provee:

Flexible

del desLa investigacin dice que la informacin las decisioempeo del estudiante puede influir acerca nes de enseanza tales como decisiones (Cotton, 2001) de cmo secuenciar el contenido

dominio de la x Problema del da que permite el variedad de tiprctica continua mediante una pos de problemas.

Aprendizaje visual

Matemtica 4 bsico provee:

que estn orUna secuencia flexible con temas cdigo de color ganizados e identificados con un para que el que son los suficientemente cortas que se docente las reorganice en un currculum de acuerdo al asemeje a la secuencia preferida nivelo de su clase, escuela o ambiente.

Con diferentes ritmos

con el cual se La investigacin dice que el ritmo

obtieLa investigacin dice que los estudiantes matemtinen mejor provecho al ver las ideas (Schwartz and cas demostradas con imgenes se enfoca Heiser, 2006). La instruccin efectiva las coen ideas al mismo tiempo que muestra and Lindquist, nexiones entre las ideas (Hiebert inclu1990). Una buena estrategia instruccional (Cargua preguntas realice ye que el profesor imgenes son penter and Fennema, 1992). Las visuales tiles cuando proveen representaciones relaciones de conceptos matemticos o ilustran 1989) en el contexto de un problema. (Mayer,

Matemtica 4 bsico provee:realizacin x Actividades complementarias cuya que permiten requiere de materiales simples y grupos y que el trabajo individual, en pares y estime convepueden ser utilizadas cuando lo incluye entre niente. Este tipo de actividades otros: Usar dibujos, fotografas, organizadores, frespuesta nmeros; y/o redes de palabras enlace con sica total y uso de la pantomima; previos. contextos familiares y conocimientos

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Evaluacin y sugerenciascontinua La investigacin dice que la evaluacin y provee inforpreviere los conceptos errneos orientamacin valiosa para guiar la instruccin da a la informacin (Vye et al.,1998)

Gua de implementacin y sntesis14

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Gua de implementacin y sntesis

Propuesta de planificacin de la unidadSinopsis de la unidad detallando los objetivos de aprendizaje verticales y transversales, recursos, tipos de evaluacin, tiempo estimado para su desarrollo y para la evaluacin.

Unidad

1Eje centralNmeros y operaciones

Numeracin

Planificacin de la unidadObjetivos de Aprendizaje Para trabajarTexto para el estudiante pp. 22-39 Cuaderno de ejercicios pp. 6-9 - Ampliacin - Conectndonos con la realidad CD Rom

y Representar y describir nmeros del 0 al 10 000: - contndolos de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000. - leyndolos y escribindolos. - representndolos en forma concreta, pictrica y simblica. - comparndolos y ordenndolos en la recta numrica o en la tabla posicional. - identificando el valor posicional de los dgitos hasta la decena de mil. - componiendo y descomponiendo nmeros naturales hasta 10 000 en forma aditiva, de acuerdo a su valor posicional. y Describir y aplicar estrategias de clculo mental: - conteo hacia delante y atrs. - doblar y dividir por 2. - por descomposicin. y Resolver problemas rutinarios y no rutinarios en contextos cotidianos que incluyen dinero, seleccionando y utilizando la operacin apropiada. Habilidades Resolver problemas y Resolver problemas dados o creados. y Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar. y Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas milares. siArgumentar y comunicar y Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensin. y Descubrir regularidades matemticas la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los mltiplos y comunicarlas a otros. y Hacer deducciones matemticas. y Comprobar una solucin y fundamentar su razonamiento. y Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores. Objetivos de Aprendizaje y Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metdico: Transversales y Abordar de manera flexible y creativa la bsqueda de soluciones a problemas. y Manifestar curiosidad e inters por el aprendizaje de las matemticas.

Recursos, evaluacin y tiempo Para evaluary Evaluacin diagnstica Repasa lo que sabes (Texto para el estudiante) y Evaluacin formativa Cunto aprend! (Texto para el estudiante) y Evaluacin sumativa Pruebas fotocopiables (Gua didctica del docente)

Tiempo estimadoPara la unidad 16 a 18 horas Para la prueba sumativa 2 horas

Modelar y Aplicar, seleccionar, modificar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones con nmeros y fracciones, la ubicacin en la recta naturales numrica y en el plano, y el anlisis de datos. y Expresar, a partir de representaciones pictricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas lenguaje matemtico. en y Identificar regularidades en expresiones numricas y geomtricas. Representar y Utilizar formas de representacin adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje tcnico especfico con los smbolos matemticos correctos. y y Crear un problema real a partir de una expresin matemtica, una ecuacin o una representacin. y Transferir una situacin de un nivel de representacin a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictrico y de pictrico a lo simblico, y viceversa). lo y Manifestar una actitud positiva frente a s mismo y sus capacidades. y Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia. y Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

Fuente: www.mineduc.cl28

Unidad 1 - Numeracin Planificacin de la unidad

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18

Estructura del texto

Presentacin de la unidadPresenta el objetivo, indicaciones y respuestas de Repasa lo que sabes y presenta el contexto matemtico de la unidad.

Una maneraLeccin

Otra manera Los mismos patos de goma p pueden ordenarse de otra manera.Cada grupo tiene 4 patos de goma.

3.1ObjetivoReconocer la multiplicacin como una suma repetida de grupos iguales, usada en matrices y comparaciones.Lo entenders! Se debe multiplicar para encontrar el total cuando hay grupos o filas iguales.

Signicados de la multiplicacinCmo se usa la multiplicacin combinan grupos iguales? cuando se4 filas de 3

Suma repetida: Multiplicacin:

Hay 4 filas. Cada fila tiene 3 patos de goma. 3 3 3 3 12suma 4 filas de 3

3? Cuntos patos hay en 4 filas de la Para encontrar el total, multiplica el cantidad de grupos iguales por nmero de elementos que hay en cada grupo. Los objetos que se ordenan en filas iguales forman una matriz o arreglo bidimensional.

4 3 12

factores producto

Respuestas 1. a) 5 + 5 = 10; 2 por 5 = 10; b) 3 + 3 + 3 = 9; 3 por 3 = 9 2. Revise los dibujos de los estudiantes. 3. Suma; 2 + 2 + 2 = 6. Prctica independiente Los estudiantes pueden escribir la suma repetida o la multiplicacin incorrecta (3 + 3 + 3 o 3 por 3) para encontrar el nmero de puntos del ejercicio 4. b) Recuerde a los estudiantes que deben contar los puntos de cada grupo. Respuestas 4. a) 4 + 4 + 4 + 4 = 16; 4 por 4 = 16 b) 6 + 6 + 6 = 18; 3 por 6 = 18 c) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12; 6 por 2 = 12 5. a) 4 por 3 = 12 b) 5 por 5 = 25 c) 3 por 8 = 24 Resolucin de problemas Los estudiantes deben usar la estimacin o las operaciones inversas para comprobar si el resultado es razonable. Ejercicio 8 Gue a los estudiantes para ayudarlos a determinar qu oracin numrica usar. Qu saben? [Las bolitas estn ordenadas en 5 columnas de 4 filas]. Qu se les pide que encuentren? [Qu oracin numrica representa mejor el orden de las bolitas de Ignacio?]. Respuestas 6. 10 por 2 = 20 7. Felipe tiene razn. Hay 3 grupos de 6, no 6 grupos de 3 8. B

Presentacin de la leccinPropuesta de indicaciones para facilitar la presentacin de contenidos y actividades de la leccin. Estas incluyen la presentacin de: objetivo de aprendizaje, contexto matemtico, posibles errores y dificultades, sugerencias metodolgicas paso a paso para guiar a los estudiantes, respuestas a los ejercicios y problemas, actividad de refuerzo, cierre y propuesta de actividad complementaria.75

problema El producto es la respuesta a un de multiplicacin. Los factores son para los nmeros que se multiplican encontrar el producto.

Suma repetida: Multiplicacin:

4 4 4 12 3 4 12

Hay 12 patos de goma en total.

Contexto matemticoEl modelo de matriz y el modelo de rea, an cuando estn ntimamente relacionados, son diferentes. Ambos muestran una ordenacin de objetos en filas y columnas. En el modelo de la matriz los objetos estn separados en filas y columnas. En el modelo de rea, un rectngulo se muestra con bloques de unidades dentro del rectngulo. El nmero de filas puede ser el ancho del rectngulo y el nmero de bloques de unidades en cada fila (es decir, el nmero de columnas) puede ser la longitud del rectngulo. El producto del nmero de filas (ancho) y el nmero de bloques de unidades en cada fila (longitud) es el rea del rectngulo (en unidades cuadradas) as como el producto de las dimensiones. Los modelos de rea para la multiplicacin son particularmente tiles cuando se desarrolla el significado de la multiplicacin fraccin/decimal.Otro ejemplo

Prctica independiente Cmo puedes usar la multiplicacin el nmero de un grupo? cuando solo conoces4

Renato reuni 5. Renato y Eva renen ranas de plstico. ranas reuni Eva? Eva reuni 3 veces ms que l. CuntasA 3 ranas B 5 ranas C 10 ranas D 15 ranasRanas de Renato Ranas de Eva

Escribe una adicin y una multiplicacin b) a)

para cada dibujo. c)

5

cada adicin. Escribe una multiplicacin para b) 5 5 5 5 5 25 a) 3 3 3 3 12Resolucin de problemas

c) 8 8 8 24

Renato. Eva reuni 3 veces ms ranas que Multiplica por 3: 3 5 15 correcta es la D. Eva reuni 15 ranas. La opcin

6

Prctica guiada&02KDFHUOR" 1 /R(17,(1'(6" 2

Sergio est poniendo la mesa para una cena familiar. Tiene que poner dos tenedores en cada puesto. Irn a cenar diez personas. Escribe una multiplicacin que muestre cuntos tenedores necesita Sergio.8

7

Razonamiento. Felipe escribi 3 6 para describir el nmero total de clips que se muestran. scar escribi 6 3. Quin tiene razn? Explcalo.

Escribe una suma y una multiplicacin para cada dibujo. a) b)

3

Ema encontr 2 grupos de 4 polillas. Haz un dibujo que muestre 2 grupos de 4. Luego, dibuja una matriz que muestre 2 4. Cmo podras usar la suma repetida para encontrar el nmero 2? total de objetos en 3 grupos de

muestra el diseo de la Ignacio orden las bolitas como bolitas? representa mejor el orden de las derecha. Qu oracin numricaA B C D

3 grupos de 9 4 grupos de 5 2 grupos de 13 4 grupos de 7Multiplicacin: significados y operaciones cas bsicas

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62

Unidad 3 Un

Sugerencias metodolgicas Aprendizaje visual Nombren otros objetos que podran ordenarse en filas iguales. [Las respuestas variarn]. Si el nmero de patos en cada fila no fuera el mismo, podran multiplicar para encontrar el total? [No]. (2) Cules son los factores en la multiplicacin? [4 y 3]. Cul es el producto? [12]. Posibles errores y dificultades Algunos estudiantes pueden tener problemas para recordar la palabra matriz. Recuerde a los estudiantes que al formar el plural,

matriz, se ordenan los objetos en filas iguales. deben cambiar la z a c. Para formar una ejemordenar los patos en una matriz? [S, por (3) Se les ocurre una manera diferente de Por de 12 patos]. Sera igual el producto? [S]. plo: 2 filas de 6 patos cada una, o 1 fila otro orden? [Porque sigue habiendo 12 patos]. qu debe ser igual el producto en cualquier Otro ejemplo de ranas que reuni Eva]. Qu datos coQu se les pide que encuentren? [El nmero 3 veces ms]. Por qu es necesaria la multiplinocen? [Rudi reuni 5 ranas y Eva tiene cuntas veces ms. Eva tiene 3 veces cacin? [La multiplicacin se usa para encontrar ms, por tanto se multiplica por 3]. Prctica guiada si los dibujos estn ordenados en filas Recuerde a los estudiantes que deben observar que hay en cada grupo o fila antes de sumar o en grupos, y contar el nmero de objetos o multiplicar.

Cierre y evaluacin

incluyen la unin o separacin de grupos Algunos problemas de la vida diaria, que con la multiplicacin. La suma repetida iguales o la comparacin, se pueden resolver la iguales y son dos formas de pensar en y las matrices incluyen la unin de grupos que los grupos iguales se pueden multiplicacin. Diga: En esta leccin, aprendieron de una multiplicacin. ordenar en filas para encontrar el producto

Leccin 3.1 y operaciones bsicas

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Unidad 3 - Multiplicacin: significados

Pruebas fotocopiablesAl final del texto se presenta una propuesta de una prueba por unidad (sumativa) y las respuestas a las mismas.

Estructura del texto

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Manual de resolucin de problemas

Segn la investigacin: para que la resolucin de problemas tenga xito, es esencial que el ambiente de la clase sirva de apoyo. Se espera que los estudiantes Desarrollen una solucin personalmente significativa. Expliquen su razonamiento y lo justifiquen ante sus compaeros y el profesor. Escuchen las explicaciones y las justificaciones de los dems, y traten de entenderlas; y Hagan preguntas y presenten objeciones si no entienden o estn en desacuerdo. (Rasmussen, Chris, Erna Yakel y Karen King, Social and Sociomathematical Norms in the Mathematics Classroom. En H. Schoen y R. Charles (Eds.) (2003) Teaching Mathematics Through Problem Solving. Reston, VA: NCTM, pp. 143154.) Recuerde lo siguiente Es til pensar en la resolucin de problemas de manera sistemtica. El proceso que se presenta aqu ofrece una forma sistemtica de pensar en la resolucin de problemas. No piense en este proceso como si fueran pasos. Los pasos sugieren que, cuando usted est en uno, no est en el otro, y esto no es cierto. Por el contrario, valo como fases en la resolucin de problemas. Las lecciones de resolucin de problemas de Matemtica 4 Bsico resaltan estas fases. El proceso de Resolucin de problemas no es un algoritmo para resolver problemas; el cumplimiento de estas fases no garantiza que se llegue a una respuesta correcta. No hay algoritmos para resolver problemas como s los hay para multiplicar.

Usa este Manual de resolucin de problemas a lo largo del ao como ayuda para resolver problemas.

Lee y comprende ? Qu trato de encontrar? t Decir qu informacin pide la pregunta.

hay ms Casi siempre resolver de de una manera a! un problem

? Qu s? t Decir el problema en mis propias palabras. t Identificar hechos y detalles clave.

`5PEPTQPEFNPTUFOFS VOCVFOEPNJOJPEFMB SFTPMVDJOEFQSPCMFNBT

Planea y resuelve ? Qu estrategia o estrategias debo probar? ? Puedo representar el problema? t Tratar de hacer un dibujo. t Tratar de hacer una lista, unat .PTUSBSMPRVFTBCFT t )BDFSVOEJCVKP t )BDFSVOBMJTUBPSHBOJ[BEB t )BDFSVOBUBCMB t )BDFSVOBHSGJDB t 3FQSFTFOUBSMP6TBSPCKFUPT t #VTDBSVOQBUSO t *OUFOUBSSFWJTBSZDPSSFHJS t &TDSJCJSVOBFDVBDJO t 3B[POBS t &NQF[BSQPSFMGJOBM t 3FTPMWFSVOQSPCMFNBNT TFODJMMP

tabla o una grfica.t Tratar de representarlo o usar objetos. ? Cmo resolver el problema? ? Cul es la respuesta? t Decir la respuesta en una oracin

completa.

Vuelve atrs y comprueba ? Revis mi trabajo? t Comparar mi trabajo con la informacin del problema. t Estar seguro de que todos los clculos son correctos. ? Es razonable mi respuesta? t Hacer una estimacin para ver si mi respuesta tiene sentido. t Estar seguro de que se respondi a la pregunta.14 14 Manual de resolucin de problemas

No te rindas!

Sugerencias metodolgicasUse el Proceso de resolucin de problemas para ayudar a los estudiantes cuando estn en aprietos. En las situaciones apropiadas, anime a los estudiantes a estimar las soluciones antes de encontrar una solucin exacta. Antes de empezar a escribir, recuerde a los estudiantes que deben determinar si un problema necesita una respuesta exacta o si es suficiente una estimacin.

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Manual de resolucin de problemas

Usar diagramas de barrasUsa un diagrama de barras para mostrar cmo se relaciona lo que sabes con lo que quieres encontrar. Luego, escoge una operacin para resolver el problema.Problema 1

Las ilu str me ayu aciones da entend n a er!

Problema 2

Carmen ayuda en la florera de su familia durante el verano. Lleva un registro de cuntos clientes entraron a la tienda. Cuntos clientes en total entraron a la tienda el lunes y el mircoles?ClientesDas Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Clientes 124 163 151 206 259

Juan est ahorrando para comprar un polern. Tiene $3 600. Cunto dinero ms necesita para comprar el polern?

$6 4 0 0$

&+

Diagrama de barrasTOTAL: Nmero total de horas que trabaj

Diagrama de barras

?124 151

TOTAL: Costo el polern

6 400 3 600 ?

PARTE: PARTE: Clientes Clientes el lunes el mircoles

PARTE: PARTE: Cantidad Cantidad que tiene que necesita

124 151 Puedo sumar para encontrar el total.

6 400 3 600 Puedo restar para encontrar la parte que falta.Manual de resolucin de problemas

Segn la investigacin: si se alienta a los estudiantes a comprender y a representar significativamente problemas verbales matemticos antes que a traducir directamente los elementos de los problemas a las correspondientes operaciones matemticas, pueden resolver con mayor xito estos problemas y pueden comprender mejor los conceptos matemticos que tienen incorporados. (S. J. Pape (2004). Middle school childrens problem-solving behavior: A cognitive analysis from a Redding comprehension perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 187219.) Se obtiene un mejor desempeo en la resolucin de problemas si se ensea a los nios el proceso de usar diagramas para resolver problemas que si se les ensea cualquier otra estrategia. (Yancey, A. V., Thompson, C. S. y Yancey, J. S. (1989). Children must learn to draw diagrams. Arithmetic Teacher, 36 (7), 1523.) Recuerde lo siguiente: Matemtica 4 Bsico usa diagramas de barras para mostrar a los estudiantes cmo se relacionan las cantidades que aparecen en los problemas verbales y qu operacin u operaciones se pueden usar. Todos los diagramas de barras incluyen partes y un total. Lo conocido y lo desconocido, y la relacin entre las cantidades determinan la operacin u operaciones apropiadas.

15 15

Los problemas verbales tienen estructuras diferentes que dependen de la situacin y de lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, el problema 2 es diferente de una simple situacin de restar. Matemtica 4 Bsico expone a los estudiantes a una variedad de estructuras de problemas.

Sugerencias metodolgicas No apresure a los estudiantes para que empiecen a crear sus propios diagramas de barras. Los estudiantes diferirn en la cantidad de ejemplos que necesitan antes de crear diagramas de barras por s solos. El ancho de las partes de los diagramas de barras para ejercicios como los problemas 1 y 2 se puede mostrar proporcionalmente. No es esencial que los estudiantes muestren las partes proporcionalmente cuando crean diagramas de barras, pero se debe comentar esta idea.

Manual de resolucin de problemas

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Segn la investigacin cuando a los nios se les dan instrucciones explcitas sobre las estrategias de resolucin de problemas, pueden aprender cmo y cundo usarlas para resolver problemas satisfactoriamente. (Randall I. Charles y Frank K. Lester, Jr. An Evaluation of a Process-Oriented Mathematical Problem-Solving Instructional Program in Grades 5 and 7, Journal for Research in Mathematics Education 15, n. 1 (1984), pp. 1534.) Recuerde lo siguiente Matemtica 4 Bsico ayuda a los estudiantes a comprender cmo usar las estrategias de resolucin de problemas y cundo usarlas. Las estrategias de resolucin de problemas forman parte del lenguaje de las matemticas y se deben usar en las lecciones de conceptos y destrezas, no solo en las lecciones de resolucin de problemas. Algunas estrategias son particularmente buenas para ayudar a los estudiantes a comprender los problemas, mostrando lo conocido y lo desconocido, y cmo se relaciona la informacin que hay en el problema. Las estrategias de Representar el problema incluyen hacer un dibujo, hacer una tabla, hacer una lista organizada, representarlo o usar objetos, y hacer un grfico.

Estrategias de resolucin de problemasEstrategiaHacer un dibujo

EjemploLa carrera era de 5 kilmetros. Haba marcadores en la s