i dentificaciÓn de s istemas identificacion de modelos no parametricos 1
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IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Identificacion de modelos no parametricos
1
CONTENIDO Modelos parametricos y no
parametricos Métodos de identificación Análisis de la respuesta transitoria Análisis de la correlación
Algunos comandos en MatlabEjemplos
Analisis de Fourier Analisis espectral
Algunos comandos en MatlabEjemplos
2
Métodos de Identificación
t tYU
U YProceso
Modelo
8
MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN
Métodos no paramétricos, que permiten obtener modelos no paramétricos del sistema bajo estudio.
Métodos paramétricos, que permiten obtener modelos paramétricos.
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MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS
Algunos de estos métodos son:
análisis de la respuesta transitoria, análisis de la correlación, análisis espectral, análisis de la respuesta en frecuencia, análisis de Fourier, etc.
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Análisis de la respuesta transitoria
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SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t
e es un ruido blanco
q es el operador retardo
v t H q e t
12
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA IMPULSO
Esta metodología de identificación consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso.
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
13
SALIDA PARA UNA ENTRADA U
La salida esta dada por
1k
y t g k u t k v t
En terminos de la respuesta al impulso
14
SALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO
y t g t v t Amplitud del pulso
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre 15
ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO El valor estimado de los coeficientes de la
respuesta impulso se determina a partir de:
con un error de estimación de: v(t)/α.
ˆ
y tg
¿Qué tan importante es el error de estimacion? 16
EJEMPLO 1
Respuesta impulsional del sistema
1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
Ver ident_elg_Ej1.m 17
EJEMPLO 1
Respuesta del sistema
0 5 10 15 20 25 30 35 40-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Respuesta impulsiva sin ruido
Respuesta impulsiva con ruido
18
PROBLEMAS DEL METODO DE LA RESPUESTA AL PULSO
Los problemas que se plantean en el análisis de la respuesta impulso son:
gran sensibilidad al ruido,
dificultades con las colas del impulso debido a su larga duración y bajas amplitudes,
queda restringido al estudio de sistemas estables.
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Análisis de la correlación
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SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t
e es un ruido blanco
q es el operador retardo
v t H q e t
24
ENTRADA AL SISTEMA
Se escoge como entrada al sistema u(t) un ruido blanco, cuya función de autocorrelacion es:
2
2 si 0
0 si 0u
u uR
25
RESPUESTA DEL SISTEMA
entonces en terminos de la respuesta al impulso la correlacion cruzada entre la entrada y la salida es:
yuR 0uR u g u du
26
ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impulso puede ponerse del
siguiente modo:
0 2
yu
u
Rg
27
ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impuso puede estimarse de
la estimacion de la correlacion-cruzada a partir de las N muestras
1
0
1ˆ :N
Nyu
t
R y t u tN
28
ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO En el caso de una entrada ruido blanco la
estimacion de la respuesta impulsiva es
0 2
ˆyu
u
Rg
Si la señal de entrada no es ruido blanco no es trivial como resolver el problema.
A continuacion se propone un metodo. 29
CASO DE ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA
Si la entrada es cuasi-estacionaria deterministica entonces se usa un filtro L(q) denominado “blanqueante”
30
ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA
fu t L q u t
2f f
f
y u
u
Rg
El filtro L(q) se implementa en el computador
fy t L q y t
31
Algunos comandos en Matlab
32
EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos
covf
cra
33
Ejemplos
34
EJEMPLO 2
Estimar la respuesta al impulso del sistema:
35
EJEMPLO 2
Respuestas al impulso real (escalones) y estimada (círculos) mediante análisis de correlación.
Ver ident_elg_Ej2.m 36
EJEMPLO 3
Se desea utilizar el análisis de correlación para estimar la respuesta impulso del sistema discreto con un periodo de muestreo de 1 segundo:
q^-1 + 0.5q^-2 y(t) = -------------------------------- u(t) + v(t) 1 - 1.5q^-1 + 0.7q^-2
Ver Problema 2.7 en [Escobet y Morcego, 2003]37
Análisis de Fourier
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es posible determinar la respuesta en
frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida:
Si la entrada tiene energía finita
YG i
U
39
ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En el caso de tener acceso a datos en un
intervalo de tiempo finito 0 < t < S , la transformada de Fourier de las señales son
0
Siwt
SY y t e dt 0
Siwt
SU u t e dt
40
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EMPÍRICA (ETFE) La denominada Estimación de la Función de
Transferencia Empírica (ETFE) se determina con
ˆ sS
s
YG i
U
41
PROPIEDADES DE LA ETFE se deduce que [Ljung94]
2ˆ Su gS
S S
Vc cG i G i
U U
uu t c 0
gg d c
42
PROPIEDADES DE LA ETFE
Para entrada periódica y S es un múltiplo del período:
ETFE está definida para un número fijo de frecuencias.
A estas frecuencias la ETFE converge al valor real y su varianza decrece en función de 1/N.
43
PROPIEDADES DE LA ETFE
Para entrada no periódica:
La ETFE converge asintoticamente a la función de transferencia cuando se incrementa el número de datos,
a mayor S mayor número de frecuencias evaluadas.
La variancia de ETFE no decrece al incrementar S, esta se mantiene constante e igual a la relación señal/ruido para cada frecuencia. 44
VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS DE FOURIER
Es un método fácil y eficiente, especialmente cuando se aplica la FFT.
Permite una buena estimación de G(jw) cuando la entrada es una señal periódica.
Para señales no periódicas la función obtenida es muy fluctuante.
45
Algunos comandos en Matlab
46
EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda del siguiente comando
etfe
47
Ejemplo
48
1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
EJEMPLO 4
Utilizando las técnicas frecuenciales del análisis de Fourier determinar la respuesta frecuencial del sistema descrito en el ejemplo 1.
Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003] 49
Análisis Espectral
50
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
0y t G q u t v t
v t H q e t
Las señales u y v no estan correlacionadas 51
ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
El espectro discreto es transformado por los sistemas lineales:
Entonces,
Φyu(ω) = G0(e iω)Φu(ω)
0
yui
u
G e
para aquellas frecuencias donde Φu(ω) > 0. 52
ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
un estimado de la respuesta en frecuencia es
ˆˆ
ˆyui
u
G e
Es necesario estimar las dos densidades espectrales
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ESTIMACION DE LAS DENSIDADES ESPECTRALES La densidad espectral de una señal cuasi-
estacionaria u esta definida por
Cuando el estimado se basa en una secuencia finita de datos
iu uR e
ˆ:N N iu uR e
54
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 1: estimacion de las funciones de correlación
1
0
1ˆ :N
Nu
t
R u t u tN
1
0
1ˆ :N
Nyu
t
R y t u tN
55
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 2: estimacion de las densidades espectrales
ˆˆM
N N iy y M
M
R W e
ˆˆM
N N iyu yu M
M
R W e
ˆˆM
N N iu u M
M
R W e
MW es una ventana de tiempo
56
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 3: estimacion de la funcion de transferencia,
ˆˆ
ˆyui
u
G e
57
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 3: estimacion del espectro del ruido y su funcion de transferencia,
2ˆˆ ˆ
ˆ
NyuN N
v y Nu
2
ˆˆ
Nvi
e
H e
donde e es una señal de ruido blanco con variancia 2e
v = He
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Algunos comandos en Matlab
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EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos
iddata
spa
plot, bode, nyquist
60
Ejemplos
61
EJEMPLO 5
Con datos de entrada-salida correspondientes a un secador de mano, obtener una estimacion de la respuesta en frecuencia .
Ver ident_elg_EjA3.m
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EJEMPLO 6
Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003]
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FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification
for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005.
Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003
Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003
López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002 64
ULTIMA DIAPOSITIVA
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