i dentificaciÓn de s istemas señales determinísticos de tiempo discreto 1
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IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Señales determinísticos de tiempo discreto
1
CONTENIDO
Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto
Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas
La transformada discreta de Fourier Análisis de sistemas de tiempo discreto Los operadores de adelanto y de retardo Propiedades de las señales tratadas por
sistemas de tiempo discreto resumen
2
Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto
3
SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO Notacion:
u es la señal de tiempo continuo que, posiblemente, sea la causa de la señal de tiempo discreto
4
ud(k) := u(kTs)
Frecuencia de muestreo 2s sw T.
k =1, 2, ···.
PROPIEDADES DE LAS SEÑALES
Energia
Potencia
5
2u d
k
u k
1
2
0
1 N
u dk
P u kN
SERIES DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO Sea ud(k) una señal de tiempo discreto
periodica. La serie Fourier de tiempo discreto de la señal está dada por
6
0
0
21
0
N i lkN
d ll
u k a e
0
0
21
00
1 N i lkN
l dk
a u k eN
ω0 = 2π/(N0Ts) período N0
Los coeficientes son tambien periodicos
SERIES DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO Y CONTINUO
7
0
0
21
0
N i lkN
d ll
u k a e
0
0
21
00
1 N i lkN
l dk
a u k eN
0ikw tk
k
u t c e
0
00
1 ikw tk
T
c u t e dtT
Caso discreto Caso continuo
SEÑAL PERIÓDICA DE TIEMPO DISCRETO
8
Señal
0
0
21
00
1 N i lkN
l dk
a u k eN
periodicos !
Coeficientes de la serie
POTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS
9
0 11
22
0 00
1 NN
u d lk l
P u k aN
Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal
Solo N0 valores !!
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO La Transformada de Fourier para señales
muestreadas (de tiempo discreto) está dada por
10
: siwkTs d
k
U w u k e
22
s
s
iw k Tsd s
T
Tu k U w e dw
La transformada es una funcion continua en w
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO
La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por
11
: siwkTs d
k
U w u k e
22
s
s
iw k Tsd s
T
Tu k U w e dw
Ya que k es un entero, la transformada Us(ω) es una
función periódica de período 2π/Ts = ωs
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO
La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por
12
: siwkTs d
k
U w u k e
22
s
s
iw k Tsd s
T
Tu k U w e dw
La integral se puede tomar sobre cualquier rango de ω con longitud 2π/Ts,
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO
13
Señal Transformada
las señales en verde son las equivalentes para tiempo continuo
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO
Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs])
14
1
0
: s
NiwkT
N dk
U w u k e
Solo N valores !!
: siwkTs d
k
U w u k e
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS Para una señal periódica con período T0 los coeficientes
de la serie de Fourier pueden estar directamente relacionados con una transformada de Fourier de tiempo finito,
tomada durante un período de la señal periódica
15
0 0
0
1l Na U l w
N
0
0
21
0
N i lkN
d ll
u k a e
0
0
21
00
1 N i lkN
l dk
a u k eN
1
0
: s
NiwkT
N dk
U w u k e
TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS
16
Señal Transformada
POTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS
17
0 11
22
0 00
1 NN
u d lk l
P u k aN
0 0
0
1l Na U l w
N
0 0
0
1 122
020 00
1N N
u k Nk k
P a U kwN
La potencia de la señal se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier
Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas
18
DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA
Para una señal de energía ud(k)
19
Donde Ψu(ω) es la Densidad Espectral de Energía
22
s
su u
T
Tw dw
2
u sw U w
DENSIDAD ESPECTRAL POTENCIA
Para una señal de potencia
20
Donde Φu(ω) es la Densidad Espectral de Potencia
22
s
su u
T
TP w dw
21
u Nw U wN
PERIODOGRAMA
Para señales de potencia finita la cantidad
se denomina el periodograma de la señal de tiempo discreto (de tiempo finito).
21
21u Nw U w
N
DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES PERIÓDICAS
Para señales periódicas la densidad espectral de potencia puede ser calculada directamente en base a los coeficientes de Fourier de tiempo discreto
22
0 12
0
N
u ll
P a
2
0
2u k c
ks
w a w kwT
La transformada discreta de Fourier
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TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO
Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs])
24
1
0
: s
NiwkT
N dk
U w u k e
Solo N valores !!
: siwkTs d
k
U w u k e
TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO Si restringimos la atención a la situación de
señales de tiempo finito, la DTFT de tiempo finito esta dada por el par:
25
1
0
s
NiwkT
N dk
U w u k e
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
22
s
s
iw k Tsd s
T
Tu k U w e dw
TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO
26
1
0
s
NiwkT
N dk
U w u k e
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
Observese que mientras UN(ω) toma sus valores en una
región continua de ω, para reconstruir la señal original ud
sólo son necesarios N valores discretos de UN .
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Esta secuencia, UN(ω) , = 0, …N – 1}, se denomina la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal ud(k)
27
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
N s
lU w
N
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT)
28
1 2 .
0
lkN iN
d N s dk
lU l U w u k e
N
¿Qué se puede observar?
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT)
29
1 2 .
0
lkN iN
d N s dk
lU l U w u k e
N
Es periódica con un período de 2π/Ts.
1
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT)
30
1 2 .
0
lkN iN
d N s dk
lU l U w u k e
N
Constituye un mapeo uno a uno de una secuencia de longitud N de muestras en el dominio del tiempo a una secuencia de longitud N de
muestras en el dominio de la frecuencia
2
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT)
31
1 2 .
0
lkN iN
d N s dk
lU l U w u k e
N
Debido a razones de simetría, la DFT satisface UN(−ω) = UN(ω)∗
3
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier inversa
32
4
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
La DFT inversa, también define una secuencia en el dominio del tiempo fuera del intervalo [0, N − 1].
Induce una extensión periódica de la secuencia original ud(k), ya
que la señal reconstruida es periódica con período N
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA TS = 1
En muchas situaciones las señales de tiempo discreto son analizadas sin tener en cuenta el hecho que ellas provienen de señales muestreadas en tiempo continuo
33
1
0
Niwk
N dk
U w u k e
21
0
1 2 lN i kN
d Nl
lu k U e
N N
¿Preguntas?
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COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Para el calculo de la transformada discreta de Fourier, un computador digital únicamente trabaja con datos discretos de u(t), k = 0, …, N – 1.
Además debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, es decir,
35
d N s
lU l U w
N
0, , 1l N
COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Recalquemos que se debe calcular la
transformada sólo en valores discretos de w,
36
1 2 .
0
lkN iN
N s dk
lU w u k e
N
0, , 1l N
COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Es decir, para calcular la transformada es necesario usar solo las primeras N funciones exponenciales complejas periódicas
37
20
1k
iNe
2 k
i lNe 2
1k
i NNe , ,, ,
COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER INVERSA Tambien se observa que
La DFT inversa es un polinomio trigonométrico de interpolación de grado ≤ N – 1 para las señales discretas de tiempo finito .
38
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER
Se puede reformular la serie discreta Fourier en forma vectorial
Definiendo
39
11, , , , ,
Tk k l k N
N N N Nw k w w w
2 2 2cos sin
iN
Nw e iN N
FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER Entonces
40
Td N du k w k U
0 , , 1T
dU U U N
21
0
1 lN i kN
d N sl
lu k U w e
N N
FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER Considerando
se puede escribir
41
0 , , 1T
du u u N
0
1
N
d dN
N
w
u Uw k
w N
LA MATRIZ DE FOURIER Definimos la matriz de Fourier WN dada por
entonces
42
d N du W U
l kN NW w
FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER La transformada discreta de Fourier esta
dada en terminos de las matrices de Fourier se expresa por el par
43
1d N dU W u d N du W U
1 l kN NW w l k
N NW w
MATRIZ DE FOURIER PARA N = 4 Por ejemplo, para N = 4
44
2 34 4 4
4 2 4 64 4 43 6 94 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
w w w i iW
w w w
w w w i i
ud(k), k = 0, 1, 2, 3
CARGA COMPUTACIONAL DE LA TRANSFORMADA FOURIEREn general, el cálculo de todos los
coeficientes de Fourier discretos de una señal muestreada N veces requiere un total de N2 multiplicaciones complejas y sumas complejas
Similarmente, dados los coeficientes de Fourier, la reconstrucción de la señal muestreada requiere de N2 – N multiplicaciones complejas y N2 – N sumas complejas.
45
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
James Cooley y John Tukey descubrieron un algoritmo mucho más eficiente
La Transformada rápida de Fourier (FFT)
46
número de cálculos aproximado: disminuye en orden desde N2
a Nlog (N)
Requerimiento: N = 2n , n entero
Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto
47
EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Para un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u(t)
48
Y w G i U w
2
y uw G i w
2
y uw G i w
Transformada de Fourier
Densidad espectral de energía
Densidad espectral de potencia
Resumen
49
ANALISIS DE FOURIER PARA SEÑALES
50
FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for
Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003
Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003.
Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University. 2003.
Basile G. and Marro G., Controlled and Conditioned Invariants in Linear Systems Theory. Department of Electronics, Systems and Computer Science. University of Bologna, Italy. October 7, 2002
Tham M.T., Dynamic Models for Controller Design. Department of Chemical and Process Engineering. University of Newcastle upon Tyne. 1999
51
ULTIMA DIAPOSITIVA
52