hydraulik grundläggande ekvationer i · 2017-05-04 · vvr015 hydraulik/ grundläggande begrepp i...

HYDRAULIKGrundläggande ekvationer I

Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära

För VVR145, 23 mars, 2016

VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 2

NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View


Innehåll

1. Introduktion; tillämpningar2. Klassificering av flöden3. Visualisering4. Laminär/turbulent strömning5. Angreppssätt6. Kontinuitetsekvationen7. Exempel


1. Introduktion; tillämpningar

• Vattenförsörjning (ledningar, pumpar ...)• Avloppsvatten (ledningar, pumpar ...)• Vattenkraft (dammar, kanaler, tunnlar...)• Infrastruktur (hamnar, vägar, järnvägar ...)• Översvämning

(Se separat fil med bilder)


2. Klassificering av flöden

Flöden klassificeras mht variation i

Tid:• Stationär strömning (varierar ej med tiden)• Icke-stationär strömning (varierar med tiden)• Kvasi-stationär strömning (varierar obetydligt med tiden)

Rum:• Likformig strömning (varierar ej i strömningsriktningen)• Olikformig strömning (varierar i strömningsriktningen)


Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), likformig strömning

Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), olikformig strömning


Ex. Ickestationär (flöde Q varierari tiden), likformig strömning

Ex. Ickestationär, olikformigströmning


3. Visualisering

Strömlinje (streamline): En linje vars tangent i varje punkt har samma riktning som hastighetsvektorn.


Strömrör (streamtube): En grupp av strömlinjer som tillsammans spänner upp ett imaginärt rör.

Av definitionerna följer: inget flöde genom strömrörets ”väggar”


Strömnät (flow net): Strömlinjer och potentiallinjer. T.ex. för grundvattenströmning.

Partikelbana (pathline): Definieras av en partikel som passivt följer med i flödet.Stråklinje (streakline): Erhålles om man kontinuerligt injicerar färg i en punkt i ett flöde.


4. Laminär/turbulent strömning

Laminär strömning• Flöde längs parallella linjer i skikt (grekiska laminae)

• Skjuvspänning bestäms av viskositet genom 𝜏𝜏 = 𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Turbulent strömning• Oregelbundna, slumpmässiga rörelser• Skjuvspänning bestäms av turbulensens egenskaper• Strömingen genererar kraftig omblandning

(4.2)


Reynolds experiment illustrerar laminär/turbulent strömning

Strömningen visualiseras mha injicerat färgämne

Vid låga flöden: laminärt

Vid höga flöden: turbulent


Reynolds tal

• Reynolds generaliserade sina resultat genom att introducera ettdimensionslöst tal

Re VD VDρν µ

= =

Där

ν = µ/ρ, V=Q/A

ν = kinematisk viskositet (m2/s)µ = dynamisk viskositet (Ns/m2 = Pa s)D = längdskala (m) = (för rör) diameterV = medelhastighet (m/s)

(4.3)


Reynolds tal för rörströmning

• Laminar strömning: Re < 2000• Övergång: Re = 2000 to 4000• Turbulent strömning : Re > 4000

Två trösklar:Övre kritisk hastighet – övergång från laminär till turbulent strömningUndre kritisk hastighet– övergång från turbulent till laminär strömning


1. Parallella väggar Rc ≈ 1000 / D = avstånd mellan väggarna2. Bred kanal : Rc ≈ 500 /D = djup3. Strömning runt sfär : Rc ≈ 1 /D = sfärens diameter

Kritiskt Reynolds Rc

• Avgör vid vilka strömningsförhållanden som strömning gårfrån laminär till turbulent eller tvärtom

• Beror på geometrin

Re VD VDρν µ

= =


5. Angreppssätt

Lagrangesk betraktelse: Strömningen beskrivs med egenskaper för flödespartiklar (rörligt kooordinatsystem)

Eulersk betraktelse: Strömningen beskrivs via karakteristika i punkter (fixt kooordinatsystem)

Eulersk betraktelse är normalt mer användbar.


Fluidsystem och kontrollvolym

• Fluidsystem: viss “märkt” massa inom en sluten imaginär yta(Lagrangesk betraktelse)

• Kontrollvolym: viss fix volym inom en sluten imaginär (kontroll)yta(Eulersk betraktelse)


6. Kontinuitetsekvationen

m1 m2

Control volume

Fluid system volume

Baseras på principen om massans bevarande(conservation of mass)

• Stationär strömningρ1⋅V1⋅A1 = ρ2⋅V2⋅A2 (m1 = m2)

• Inkompressibel strömningV1⋅A1 = V2⋅A2 (4.4)or Q1 = Q2 (Q = V⋅A)

V: Medelhastighet (m/s)A: Tvärsnitts-area (m2) Q: Flöde (m3/s)


Kontinuitetsekvationen tillämpad på rörledningmed varierande diameter

• V1⋅A1 = V2⋅A2 eller Q1 = Q2

Q1=V1 ⋅ A1

Q1Q2

Q2=V2 ⋅ A2

Control volume


Strömning i grenledning

Q1 + Q2 + Q3 = 0eller

V1⋅A1 + V2⋅A2 + V3⋅A3 = 0(Q,V med olika tecken beroende

på flödesriktning)

Instationär kanalströmning

d(Vol)/dt = Q1– Q2Vol = Volym vatten i kanalenmellan sektion 1 och 2


7. Exempel


I1:When 0.0019 m3/s of water flow in a 76 mm pipeline at 20°C, is the flow laminar or turbulent?


I2:What is the maximum speed at which a spherical sand grain of diameter 0.254 mm may move through water (20°C) and the flow regime be laminar?


I4:Water flows in a pipeline composed of 75 mm and 150 mm pipe. Calculate the mean velocity in the 75 mm pipe when that in the 150 mm pipe is 2.5 m/s. What is its ratio to the mean velocity in the 150 mm pipe?


I5:Using the control volume in the fig. find the mixture flowrate and density if freshwater (ρ1 = 1000 kg/m3) enters section 1 at 50 l/s, while saltwater (ρ2 = 1030 kg/m3) enters section 2 at 25 l/s.


TACK FÖR IDAG!

HYDRAULIKGrundläggande ekvationer II

Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära

För VVR145, 30 mars, 2016


NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View


Innehåll

1. Bernoullis ekvation (B.E.)2. Tillämpning (Venturimeter)3. Giltighet B.E. och energi-ekvationen4. Korrektionsfaktor α5. Exempel


1. Bernoullis ekvation (B.E.)

H: energihöjd (m)z: vertikal nivå relativt godtycklig referensnivå (m)p: tryck (Pa)ρ : densitet (kg/m3)V: hastighet (m/s) g: gravitationsacceleration (m/s2)

𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 +𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

+𝑉𝑉2

2𝑔𝑔= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Härledning:- Baseras på Newton 2 (F = ma)- Se Hamill Proof 4.3

(4.23)


Bernoullis ekvation (B.E.)

De tre termerna i B.E. benämns:

H = (energi)höjd – ett mått på totalt (mekanisk) energiinnehållZ = geometrisk höjd – ett mått på lägesenergip/ ρg = tryckhöjd – ett mått på “tryckenergi”V2/2g = hastighetshöjd – ett mått på rörelseenergi

𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 +𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

+𝑉𝑉2

2𝑔𝑔= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

+ 𝑉𝑉2

2𝑔𝑔definierar energilinjen (energy line)

𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

definierar trycklinjen (hydraulic grade line)


𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

+ 𝑉𝑉2

2𝑔𝑔definierar energilinjen (energy line)

𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔

definierar trycklinjen (hydraulic grade line)


2. Tillämpning (Venturimeter) Jämför Figur 5.1 i boken !

H


B.E. 1 2

Kont. Ekv 1 2

V 1 A 1 = V 2 A 2

Med horis ledning z1 = z2 ger de två ekv ovan

z 1 +p 1ρg

+V12

2g= z 2 +

p 2ρg

+V22

2g

H =p 1ρg −

p 2ρg =

V22

2g −V12

2g

H

V 1 =2gH

A 1A 2

2− 1

Venturimeter forts.

Dvs eftersom Q = V1 A1 och A1, A2 är kändaså kan vi mäta flödet genom att mäta H

H =V12

2gA 1A 2

2

− 1


3. Giltighet B.E.

Bernoullis ekvation gäller• Längs en strömlinje• För en ideal fluid ( energiförluster försummas)• Stationärt flöde• Inkompressibelt flöde

Om vi inkluderar energiförluster och räknar över hela tvärsnitt så får vi Energiekvationen (mekanisk energi)

z 1 +p 1ρg +

�V12

2g = z 2 +p 2ρg +

�V22

2g + ℎ𝑓𝑓 12

Där hf 12 är energiförlust mellan 1 och 2, och hastigheterna är medelhastigheter i resp. sektion

(4.24)


4. Korrektionsfaktor α

Hastighetshöjden i e-ekv baseras på medelhastighet. Termen representerar transport av rörelseenergi. Den tecknas

312A

u dAρ∫

212

Quρ

3 2

2 3A A

u dA u dA

Qu u A

ρ ρα = =

ρ ρ

∫ ∫

Eftersom hastigheten varierar i tvärsnitt så gäller egentligen:

Korrektionsfaktorn α tar hänsyn till skillnaden enligt ovan

Se ekv 4.26: α = Σ(v3dA) / V3A

transport av rörelseenergi =


5. Exempel


I9:If crude oil flows through this pipeline and its velocity at A is 2.4 m/s, where is the oil level in the open tube C?

Z


I10*:Water is flowing. The flow picture is axisymmetric. Calculate the flowrateand manometer reading.

Z

1

B A

L R


I16* Channel and gate are 1 m wide (normal to the plane of the paper). Calculate q1, q2, and Q3.

Z2

3

1


TACK FÖR IDAG!

hydraulik grundläggande ekvationer i · 2017-05-04 · vvr015 hydraulik/ grundläggande begrepp i...

Documents