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Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya 1

APUNTES DE

HIDROGEOLOGÍA

Tema 3

Profesor: Fermín Villarroya Gil

Departamento de Geodinámica

Facultad de Ciencias Geológicas

Universidad Complutense

Madrid

Año 2006




TEMA 3. REDES DE FLUJO.

Ecuación general del flujo en medios porosos. Régimen permanente y transitorio. Superficies piezométricas:

obtención e interpretación.

7.-ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD

Es la expresión matemática del principio de conservación de la masa ode la energía. Fue enunciada por Lavosier: “La materia ni se crea ni sedestruye, simplemente se transforma”.Esta ecuación de la continuidad se puede deducir. En este caso vamos

a esbozarla aplicándola a un volumen infinitesimal (Fig. 10) de unacuífero y le aplicaremos ese principio en cada una de las tres caras delos tres ejes (x, y, z) del espacio:Las dimensiones del elemento diferencial de acuífero serán dx, dy, dz y

le aplicaremos el principio de conservación de la masa: E -S = ∆S,

siendo ∆S la variación experimentada por el almacenamiento de aguaen la celdilla.




Según la dirección x tendremos unas entradas por la cara dy dz

Qx= dy*dz*k δh/δx

Si expresamos el caudal como

dV x

/dt= dQx

= dy*dz* k*δh/δx, de donde las entradas por la cara dy dz, es decir Vx será igual a

dV x= dy*dz* k*δh/δx *dt

Si el volumen se multiplica por ρ se obtendrá la masa:




ρ dV x= dy*dz* k*δh/δx *dt*ρ

Por otro lado, lo que sale por la otra cara dy dz en x + ∆x será:

dV (x+dx)= k( δh/δx) (x+dx)*dy*dz*dt

Para restar una función en x por otra de x + dx hay que aplicar eldesarrollo de Taylor.Realizando las mismas operaciones en cada cara del cubo elemental sellega a la siguiente expresión:

[δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2 + δ

2 h/δ z2] *T = S* δ h/δ t (1)

el primer miembro de la ecuación representa las entradas menos lassalidas al sistema y el miembro segundo representa la variación delalmacenamiento. La ecuación (1) es la ecuación de la continuidad enrégimen variable o transitorio pues la h depende del tiempo.

7.1.- Régimen permanente. Régimen transitorio ó variable

Si la h (el potencial) es constante a lo largo del tiempo (por ejemplobombeo en las proximidades de un lago), el acuífero actúa como unamera cañería: toda el agua que se extrae proviene del lago y la h en elacuífero permanece constante. A esto se llama régimen permanente yaque la h no depende del tiempo, porque es constante.En estas circunstancias en (1) tendremos que δ h/δ t es cero ya que laderivada de una constante es cero y la ecuación de la continuidadquedaría finalmente así:

[ δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y 2 + δ

2 h/δ z2 ] T = S * 0 = 0, lo que implica que

[ δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y 2 + δ

2 h/δ z2 ] valga cero ya que la T nunca es cero.Esto se puede escribir abreviadamente así V 2 h = 0, que es laexpresión de la ecuación de la continuidad en régimen permanente.




Si los niveles bajan (varía la "h" por lo tanto) el régimen se denominatransitorio y la ecuación de la continuidad adopta la formulación (1)porque la h depende del tiempo.El flujo con arreglo a (1) puede ser unidireccional, bidimensional o

tridimensional.La ecuación de la continuidad es una ecuación diferencial en derivadasparciales y de segundo orden. Al resolverla, es decir, al integrarla,obtenemos infinitas soluciones.Si ponemos condiciones de contorno, limitaremos las infinitassoluciones y así obtendremos las soluciones que la resuelven aplicada aun caso concreto.Las dos condiciones o límites de contorno son:

a) Límites ó bordes impermeables , y le indicaremos a la ecuación que enesa dirección las E - S =0.

b) Bordes o límites permeables. Límite de nivel constante (contacto delacuífero con el mar o un lago). La "h" permanece constante y existe un flujo permanente de agua en condiciones de equilibrio através de ese límite.

Definimos línea de corriente como aquella línea que es tangenteconstantemente al vector velocidad.

Línea equipotencial (o isopieza) es el lugar geométrico de los puntos enlos cuales la h es constante.Los bordes impermeables se comportarán como líneas de corriente.Los bordes de nivel constante son líneas equipotenciales. Esto es muy importante tenerlo en cuenta a la hora de elaborar mapas de isopiezas y redes de flujo, tal como se verá más adelante.Los vectores v e i sólo varían en su módulo y tienen la mismadirección y el sentido contrario.

Dado que el valor máximo del gradiente (i) se produce cuando éste esperpendicular a las equipotenciales, se deduce que las líneas decorriente y las equipotenciales tienen que ser perpendiculares entre sí y la velocidad que es paralela al gradiente es también perpendicular a lasequipotenciales.Una vez fijados los límites de contorno hay que resolver la ecuación dela continuidad para ello hay tres métodos:




a).- Métodos analíticos: son los métodos de hidráulica de pozos (Theis, Jacob, etc.).b).- Métodos numéricos: consiste en pasar de un medio continuo aincrementos finitos o mensurables, es decir, pasar de una solución

continua a otra discreta. Cuanto más pequeños sean los incrementosque se utilicen, más ajustadas serán las soluciones. Es decir, pasaríamosde la ecuación de la continuidad a un sistema de ecuaciones. Esto loresuelven los modelos digitales en pocos segundos.c).- Métodos gráficos: redes de flujo.

8.- REDES DE FLUJO

Es una malla formada por la intersección de dos familias de curvas queson por un lado las equipotenciales y por otro las líneas de corriente. Ambas son perpendiculares entre sí.Las redes de flujo sirven para resolver la ecuación de la continuidad enrégimen permanente. Es decir, las redes de flujo nos definen laecuación de la continuidad cuando la ecuación de la continuidadcumple la expresión:

[δ2 h/δ x2 + δ2 h/δ y2+ δ

2 h/δ z2] *T = S * 0 = 0

Definiremos las condiciones de contorno:a) Los bordes impermeables son líneas de corriente.b) Los bordes permeables son los límites con masas de agua (lagos,

etc). Son superficies de potencial constante; son superficiesequipotenciales, por lo tanto.

c) La superficie piezométrica es otra condición de contorno. Esta vez porque sabemos la h en cada uno de sus puntos.

d) Rezumes, manantiales, zona estancamiento…son puntossingulares a tener muy en cuenta.

En una red de flujo podemos definir una serie de elementos que sellaman tubos de flujo que es un volumen de acuífero encerradototalmente por líneas de corriente que se adaptan a una directrizdeterminada, pero que puede ser irregular.




Los tubos de flujo tienen la propiedad de que en cualquier secciónperpendicular del tubo, el caudal es constante, y esto se podríademostrar por el teorema de Gauss.

Si se aplica la ley de continuidad y la ley de Darcy a un tubo de flujotendremos (Fig.11):




Q= a* b* k* h1-h2/∆l= a* b* k* ∆h/∆l. (2)

Si conocemos la escala, la ecuación anterior se resuelve fácilmente.Encima, para simplificar, intentaremos pintar la red como cuadroscurvilíneos. La red puede ser más o menos tupida, pero siemprecuadrática curvilínea.Un buen criterio para controlar si dibujamos correctamente la red deflujo es tener presente que se habrá pintado cuadrados curvilíneos si 1,2, 3, 4 son ángulos rectos y si las diagonales se cortan también en

ángulos rectos. Igualmente debe poderse inscribir un círculo tangente alos cuatro lados (Fig. 12).Si la red es cuadrada a = l (ele) y si el tubo de flujo tiene el espesorunidad (b = 1), la expresión (2) quedará:

Q= 1(m)* k (m/d)* ∆h (m) (3)




Al ser k constante y el ∆h constante, conduce que a por todos lostubos de flujo circula el mismo caudal. La velocidad en el interior decada tubo puede variar, pero el caudal es el mismo en todos los tubosde flujo.

Una vez acabado el problema, al multiplicar por b se obtendrá elcaudal total.

8.1.-Aplicaciones de la red de flujo

a) con la red de flujo se calcula el caudalb) con la red de flujo se calculan las subpresiones que soportan los

cimientos.

Ya que h= z + p/γ la presión provocada por el agua será:

p=(h-z) γ c) para hallar el Q total bastaría calcular el caudal en un único tubo

de flujo, sumar todos los tubos y multiplicar por el espesorsaturado.

d) aplicando Darcy a un tubo de flujo se puede calcular la k en otropunto del tubo de flujo

e) permite el cálculo del tiempo de circulación del agua en elacuífero

f) permite calcular la velocidad del agua subterránea

8.2.-Ejemplo: red de flujo en una presa

Dadas las condiciones reflejadas en la figura 13, se pide saber el caudalsubterráneo que pierde la presa y el estado de presiones en los puntosseñalados. La permeabilidad es de 75 m/d y la anchura de la presa es

de 100 m.Consideraciones:

a) Hay que fijar un origen de alturas z=0. Hemos elegido el fondodel acuífero aluvial.

b) Se trabaja siempre a escala y con la escala horizontal=escala vertical.



Apuntes de Hidrogeología 2006 Prof. Fermín Villarroya10

c) Definimos los límites impermeables, que serán líneas decorriente: el fondo del acuífero, la presa (todo el contorno de labase de la presa es, por tanto, una línea de flujo).

d) Definimos los límites permeables, que son el lecho del embalse y

el lecho del río.

Todos los puntos del fondo del embalse tienen una h = 19 m, y los dellecho del río inmediatamente aguas debajo de la presa es de 13 m ( apesar de que la "z" es de 12 m en ambos casos).

Se dibuja la primera línea de flujo que será más o menos paralela alborde de la presa, que se recuerda que es una línea de flujo y ahora se

intenta dibujar cuadrados curvilíneos y no rombos. A continuación setraza un primer esbozo de la equipotencial, y así sucesivamente por"ensayo y error" procurando tener muy presentes los criterios.

Finalmente resultan dibujados cinco tubos de flujo y en todos seobtiene el mismo caudal.La pérdida de carga por debajo de la presa es de 6 m (la diferenciaentre los 19 m de potencial en el fondo del embalse y los 13 m depotencial del lecho del río, aguas debajo de la presa).

Luego en 13 saltos (trece equipotenciales) se pasa de 19 a 13. Cadasalto vale (6/13=0,46 m).El caudal que pasa por un tubo de flujo (de 1 m de anchura), aplicandola fórmula (3) resulta:

q 1= 1* k* ∆h= 75 m/ día * 6/13= 34,5 m3/día.

En un perfil de anchura unidad el caudal es:

Q = nº de tubos de flujo (5)* 34,5= 172,5 m3/día. El caudal total pordebajo de la presaQt= 100 (anchura)* 5*75*0,46 = 17250 m3/día.




Sólo hay una red de flujo que cumpla la solución de la ecuación de lacontinuidad. Podrá ser más ó menos tupida y con más saltos, perodebe ser siempre cuadrada curvilínea.

Estado de presiones: En el punto C de cota 10,5 m, se cumplirá que p= γ (h-z) = 1000

kg/m3 [14,62-10,5]= 4120 kg/m2, ya que la isopieza que pasa por C vale 14,62 m.Si se mide el estado de presiones en diversos puntos se comprobaráque la presión hidrostática disminuye en el sentido de aguas abajo. Poreso, el perfil de las presas comienza siendo grueso y se adelgazaenseguida.

9.- SUPERFICIES PIEZOMÉTRICAS Ó MAPAS DE ISOPIEZAS.

Recibe el nombre de superficie piezométrica el lugar geométrico querecoge todos los niveles piezométricos de un acuífero.Si el acuífero es libre, la superficie piezométrica es el lugar geométricode todos los puntos del nivel freático.La condición necesaria y suficiente para que un acuífero tenga unaúnica superficie piezométrica es que el flujo sea horizontal, o lo que eslo mismo que la "h" no varíe con la profundidad. Así en un acuíferocautivo (Fig.14):




Independientemente de la profundidad que alcance el pozo, la h esconstante. En este caso la superficie piezométrica será única.

Si el flujo no es horizontal, como en la figura 15, entonces con

la profundidad varía la h, luego hay infinitos mapas de la superficiepiezométrica, como por ejemplo ocurre en el acuífero del terciariodetrítico de Madrid. En este caso es más correcto hablar de mapa del

límite superior de la zona saturada. Se obtendría a partir de nivelessacados de pozos excavados a “pico y pala” de poca profundidad.

9.1.- Mapas de superficies piezométricas




El lugar geométrico de los puntos de un acuífero que tienenidéntico potencial hidráulico (igual h) o energía, se denominanisopiezas. Por lo tanto, una isopieza es una equipotencial.

Para obtener la superficie piezométrica hay que realizar una serie detareas

- En el campo (inventario de puntos de agua)- En el gabinete (confección del mapa de isopiezas)

9.1.1 Breve descripción de cómo se efectúa un inventario de puntos de agua.

Esta es una labor fundamental, pero suele ser poco grata, lenta y prolija. Consiste en recorrer el terreno recogiendo datos de sondeos,pozos, manantiales y similares (fig 16). Hay que hacerse con los datostécnicos del diseño de esas captaciones así como datos de laexplotación (caudales, consumos…). Previamente es necesarioconsultar los archivos de datos que pudiesen existir en laConfederación pertinente, IGME, organismos de administracionesautonómicas y locales, archivos de empresas constructoras, etc. El

verdadero conocimiento del acuífero se adquiere en el terreno con la

inspección ocular de los terrenos y las instalaciones y las encuestasdirectas a los usuarios.

Es muy importante la correcta medición "in situ" del nivel del agua enel pozo y anotar todas las características del pozo así como lascircunstancias de la medición (niveles estáticos o dinámicos, dificultadde la medida, nombre y teléfono de la persona que facilita o puedeproporcionar información o permitir visitas sucesivas a la captación

etc.). De capital importancia es conocer los caudales de explotación y los descensos que produce. De esta forma obtendremos el caudalespecífico (q) (caudal que se obtiene por unidad de descenso del niveldel agua dentro del pozo o durante el bombeo).




Simultáneamente puede obtenerse muestras de agua para posterioresanálisis químicos así como la medición de parámetros físico-químicosinestables de las aguas (temperatura, pH, conductividad, contenido enoxígeno y alcalinidad, fundamentalmente). Para cada punto obtenido se

elabora una ficha similar a la que se adjunta en la Fig.16 así como uncuadro resumen con las principales características. Finalmente lalocalización de cada punto de agua se expresa en el correspondientemapa de inventario. Hay que volver a insistir que sin un inventario bienhecho no se puede realizar un estudio hidrogeológico correcto.

9.1.2 Confección del mapa de isopiezas

Con el inventario obtendremos el valor absoluto del nivel del agua encada captación por lo que estamos en condiciones de elaborar el mapade isopiezas. Eventualmente habría que rechazar datos erróneos odatos mezclados de acuíferos diferentes. Esto se detecta fácilmente porel tenor de los valores de los niveles (puede darse el caso de haberinventariado inadvertidamente captaciones pertenecientes a diferentesacuíferos: superpuestos, locales, colgados…). Un hidrogeólogo con noexcesiva experiencia debe ser capaz de discernir prontamente estaposibilidad.

El trazado de las isopiezas es similar a como trazaríamos curvas denivel a partir de valores de la topografía y hay que tener en cuenta quelas isopiezas son perpendiculares a los bordes impermeables, y paralelas a los permeables o de nivel constante. Las líneas de flujo setrazan perpendiculares a las líneas equipotenciales o isopiezas (fig 17).




En todo momento hay que dibujar isopiezas coherentes con latopografía: no puede haber agua subterránea por encima de lasuperficie topográfica. Por lo tanto las curvas de nivel ayudan a trazar

las líneas equipotenciales aún en lugares donde no hay datos,inflexionando y curvando las isopiezas todo lo que haga falta paraasegurarnos este hecho. Solo en el caso de acuíferos confinados osemiconfinados puede darse el hecho de que las isopiezas estén porencima del terreno.

En definitiva los criterios para realizar un mapa de isopiezas son (fig 17):

a) Trazar las equipotenciales perpendiculares a los límites

impermeables.b) Las equipotenciales deben pasar por el nacimiento de

manantiales o nacimientos de arroyos. Las equipotenciales sonparalelas a los límites permeables.




c) Cotas de los ríos y de las isopiezas. Las cotas de los ríos (si hay conexión hidráulica) deben corresponder con la superficiefreática.

d) Trazar las líneas de corriente perpendiculares a las isopiezas.

e) En principio, un buen mapa se hace con una densidad de 1 pto/por cada 4 cm2 de mapa, independientemente de la escala delmapa.

9.1.3 Causas de la fluctuación de los niveles del agua en un pozo.

La h varía con el tiempo, luego cada mapa debe llevar la fecha y se

deben medir los niveles en el menor plazo de tiempo posible.Dado que h= z + p/ γ, si la h varía con el tiempo es porque aquí laúnica variable posible es p (presión hidráulica) que en efecto puede

variar por:Paso de un ferrocarril sobre el acuífero.Recarga del acuífero.Descarga del acuífero.

Variación de la presión atmosférica.Balance de mareas, etc.

9.2.- Interpretación y aplicaciones de los mapas de isopiezas

Un mapa de isopiezas, si está bien hecho, es muy útil porque aportauna riqueza de datos muy valiosa:

-Las líneas de corriente definen tubos de flujo y aplicandoDarcy podemos obtener los caudales circulantes.-Podemos analizar la relación acuífero-río. Si la cota del río es

la de la isopieza esto indica que hay conexión. Las relacionesentre un río y un acuífero pueden ser de efluencia (ríoganador) ó de influencia (río perdedor). En el caso de un ríoperdedor la recarga que se produce al acuífero inferior esindependiente de lo profundo que se encuentre el nivelfreático. El caudal dependerá de (Fig. 18)




Q= A k´∆h /b´

siendo k´ y de b´ la permeabilidad y el espesor de la capa de

limos que tapizan el lecho del cauce, respectivamente. ∆h esel espesor de la lámina de agua del canal más b´. Como se

ve en la figura, el caudal no depende de la distancia "d" (estoes el denominado efecto "ducha").-Conociendo la distribución del potencial se puede definir la

dirección y sentido del movimiento del agua subterránea en elacuífero.-Puede calcularse el tiempo de circulación-Pueden distinguirse las zonas de recarga o alimentación-Pueden distinguirse las zonas de descarga (conos debombeo)-Divisorias hidrogeológicas




-Los manantiales son puntos importantes que delatan laexistencia de una superficie freática.

Se deduce que es muy importante dedicar el tiempo necesario paraobtener datos de calidad y posteriormente hacer una cuidadosa

confección e interpretación de los datos.

10.- EL PERFIL HIDROGEOLÓGICO

Un buen estudio hidrogeológico debe materializarse gráficamentemediante un perfil hidrogeológico. No se puede afirmar que unacuífero es bien conocido si no es posible dibujar un perfilhidrogeológico. Básicamente un perfil hidrogeológico consta de un

perfil geológico con escala vertical realzada (por ejemplo 1/500,1/1000) frente a escalas horizontales (1/5000, ó 1/10000, porejemplo). En dichos perfiles (fig 19) se debe expresar el nivel freático opotenciométrico, así como datos hidrogeológicos que usualmenteaparecen en cajetines con su leyenda correspondiente.

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