E U R P A I U N I STRUKTURLIS ALAPOK

BMEEOVVAI13 segdle t a BME p tmrnk i Kar ha l lgat i rszre

HH II DD RR OO LL GG II AA

IIII..

Az ptsz- s az ptmrnk kpzs szerkezeti s tartalmi fejlesztse

HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

Tartalomjegyzk

1. de Mr lovagtl a hidrolgiai statisztikig

2. A valsznsgi vltoz eloszlsvizsglata 3. Eloszlsfggvnyek meghatrozsa 4. Az eloszlsfggvnyek hidrolgiai alkalmazsa 5. Valsznsgi vltozk egyttes vizsglata: korrelcianalzis 6. Valsznsgi vltozk kztti kapcsolat szorossgnak mrse 7. Idsoranalzis, determinisztikus komponensek 8. Idsoranalzis, sztochasztikus sszetevk. Elrejelzs 9. Grafikus eloszlsvizsglatok 10. Emprikus rvzszmts 11. rvzszmts hidrolgiai statisztikai mdszerekkel 12. A vztrozs alapfogalmai 13. Integrlgrbs trozmretezs 14. Folyk rhullmainak elrejelzse

Hidrolgia II. B M E E O V V AI13

A tantrgy tanknyve: Kontur I.-Koris K.-Winter J.: Hidrolgiai szmtsok. (3. javtott s

bvtett kiads). Linogrf Kiad. 2003. ISBN 963 05 6502 1

1. de Mr lovagtl a hidrolgiai statisztikig A Hidrolgia I. trgy a hidrolgiai krfolyamat fizikai trgyalsmdjt tartalmazza, ezrt fizikai hidrolginak is nevezzk. Jelen Hidrolgia II. a mszaki tervezs hidrolgiai alapadatait lltja el, ezrt joggal nevezhetjk mszaki hidrolginak. A mszaki hidrolgia f fejezetei a kvetkezk: a./ rvzszmts, b./ Vztrozs, c./ Hidrolgiai elrejelzsek. Valamennyi ffejezetben kzs megoldsi eszkz a hidrolgiai statisztika. Ezrt tantrgyunk els rszben tlnyomrszt ezzel foglalkozunk, s a tovbbiakban meggyzdhetnk ennek fontossgrl. A tanulmnyokhoz hasznlhat irodalmak: Kontur I.-Koris K.-Winter J.: Hidrolgiai szmtsok. (Tanknyv.) Linogrf Kiad, 2003. Koris K.: Hidrolgiai szmtsi segdlet. (Adatgyjtemny...) Sz: 91250 (Egyetemi jegyzet.) Megyetemi Kiad, 2005. Zsuffa I.: Mszaki hidrolgia. I.-IV. Megyetemi Kiad, 1999. Chow, W. T.: Handbook of Applied Hydrology. McGraw-Hill Book Company. New York, San Francisco, Toronto, London, etc. 1964. A valsznsgszmts s matematikai statisztika a matematika viszonylag fiatal ga. Nhny kultrtrtneti megjegyzs: XVI.-XVII. szzadban kezd kifejldni, a szerencsejtkokkal kapcsolatos nyersi eslyek vizsglatval kapcsolatban. (de Mr lovag bartjhoz Pascalhoz fordul tancsrt, aki levelezik Fermat-al, mely levelezs indtja el az j matematikai tudomnygat a valsznsgszmtst.) XVII. szzad: J. Bernoulli a nagy szmok trvnyt vizsglja, lerja a binomilis eloszlst. XVIII. szzad: Laplace kidolgozza a valsznsgszmts klasszikus elmlett. A norml eloszls. XIX. szzad: Poisson: Poisson eloszls, Gauss: mrsi hibk norml eloszlsa, a legkisebb ngyzetek mdszernek kidolgozsa. A Szentptervri iskola mkdse: Csebisev, Markov, Ljapunov. A gyripar fellendlsvel kialakul a matematikai statisztika. XX. szzad: Kolmogorov (1933) a valsznsgszmts aximarendszere, modern megalapozsa. A sztochasztikus folyamatok elmletnek kifejldse. Informcielmlet: Shannon, Wiener. Matematikai logika, jtkelmlet: Neumann J. Vilghr magyar matematikusok: Jordan K., Plya Gy. Wald . Neumann J. Rnyi A. Prkopa A.

1

Hidrolgia II. B M E E O V V AI13

A hidrolgiban esemnyeket vizsglunk. Az esemnyek trvnyszersgeit az esemnyalgebra rja le. Matematikai alap: a Boole-algebrk. Konkrt Boole-algebrk: - halmazalgebra, - esemnyalgebra, - logikai algebra, - kapcsolsalgebra. A valsznsgszmts A valsznsgszmts a termszetben s a trsadalomban elfordul vletlen tmegjelensgek vizsglatval foglalkozik. Feladata a vletlen tmegjelensgek objektv trvnyszersgeinek feltrsa. (Vletlenszer=sztochasztikus, teljesen determinlt=kauzlis.) Vletlen jelensgrl vagy esemnyrl akkor beszlnk, ha a hat tnyezket teljeskren nem tudjuk figyelembe venni, vagy amiatt, mert azokat nem ismerjk, vagy mert szmuk igen nagy, vagy mindkett. A vletlen jelensgeknl gy a figyelembevett krlmnyek tbbfle kimenetelt engednek meg, nem hatrozzk meg az esemnyt egyrtelmen. (A vletlen esemnynek is persze vannak okai.) A tmegjelensg. Az olyan jelensgeket, amelyek nagy szmban lpnek fel, vagy azonos krlmnyek mellett tetszs szerint tbbszr megismtelhetk (ksrlet), tmegjelensgnek nevezzk. A vletlen esemnyekhez hozzrendelhet azok valsznsge, melyet szlelsek alapjn, vagy ksrletek vgzsvel hatrozunk meg. A relatv gyakorisg s valsznsg A relatv gyakorisg esemnyeknl (ksrleteknl, mrseknl):

r = nk = kedvez esetek szma/sszes esetek szma

A valsznsg az a szmrtk, amely krl valamely meghatrozott krlmnyek kztt vizsglt vletlen esemny relatv gyakorisgnak ingadozsa viszonylagos stabilitst mutat. (Nagy szmok trvnye.) Ms szavakkal: a valsznsg a relatv gyakorisg hatrrtke:

P(A) = nk

nlim

A valsznsgi vltoz A valsznsgi vltoz () az esemnytren rtelmezett olyan vals rtk fggvny, melynl azon esemny, hogy a vizsglt vltoz rtke (azaz a vizsglt esemny) az ba, intervallumba esik (a

Hidrolgia II. B M E E O V V AI13

2. A valsznsgi vltoz eloszlsvizsglata A mrsek vagy ksrletek, azaz az esemnyek rtkelse szempontjbl kt esetet klnbztetnk meg. a./ Egy valsznsgi vltoz vizsglata:

),,,,,,( 321 ni xxxxx KK . A valsznsgi vltozt eloszlsvizsglatnak s idsor-analzisnek vethetjk al.

b./ Tbb valsznsgi vltoz egyttes vizsglata:

ni

ni

yyyyyxxxxxKKKK

321

321

::

Tbb valsznsgi vltoz egyttes vizsglatakor vgezhetnk korrelci- s regresszi-analzist.

Egy valsznsgi vltoz eloszlsvizsglatval a tervezs hidrolgiai alapadatt jelent mrtkad rtkek meghatrozsra van md. Ezzel szemben az idsor-analzisnek elssorban operatv felhasznlsa van, pldul elrejelzsek ksztsnl. Emprikus srsg- s eloszlsfggvny Ha az egyes adatok (vagy adatcsoportok) gyakorisgt az adatok (osztlykzk) fggvnyben brzoljuk, a gyakorisgi brt kapjuk. A relatv gyakorisgi brt empirikus srsgfggvnynek (egyes szerzk intervallum gyakorisgi brnak) nevezik. Az az alatti terlet nagysga mindig 1. A srsgfggvny integrlja az eloszlsfggvny.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7Q [m3/s]

k [d

b]

0

5

10

15

20

25

30

35

40

p [%

]

A srsgfggvny egy ordintja azt mutatja meg, hogy az illet osztlykzbe hny adat esik (milyen srn helyez-kednek el az adatok).

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7Q [m3/s]

k [d

b]

0102030405060708090100

p f%

]

Az eloszlsfggvny egy ordintja azt mutatja meg, hogy az osztlykzbe es vagy annl kisebb rtk hnyszor fordul el.

Azonban nem minden esetben lehetsges osztlykzket kpezni. Egyes esetekben minden adatot egyedileg vizsglunk. Ha pldul a ),,,,,,( 321 ni xxxxx KK valsznsgi vltoz vi jellemz hidrolgiai adat, annak szma nem tbb szz, hanem 30-50, mivel gyakran 30-50 ves adatsorokkal dolgozunk. Ekkor minden adat azonos sly, a gyakorisg 1/n minden xi rtkre. Ekkor az empirikus eloszlsfggvny meghatrozshoz nagysg szerinti sorrendbe lltjuk az xi rtkeket a xmin legkisebb rtktl a xmax legnagyobb rtkig. Ez a mvelet az adatsor rendezst jelenti, amit kapunk: rendezett minta.

3

Hidrolgia II. B M E E O V V AI13

A rendezett minta alapjn az i. adathoz tartoz pi valsznsg:

pi = i/n, ahol n az adatsor elemeinek a szma. Ekkor az F(x) eloszlsfggvny a kvetkez kplet szerint alakul:

( )