148

Chng IV

H PHNG TRNH TUYN TNH

M U

Ni dung gio trnh ton trng Ph thng l cc tp hp s, a thc, phn thc, hm s v phng trnh, trong c phng trnh bc nht. mi ch nghin cu cch gii h phng trnh bc nht hai n.

Mt trong nhng phng hng m rng ton hc ph thng l tng qut ho h phng trnh bc nht. l h phng trnh tuyn tnh. Chng ny s trnh by l thuyt tng qut v h phng trnh ny. Ta s thy y khng i hi mt iu kin no v s phng trnh, s n. L thuyt ny rt quan trng v n c hon thin nh khng gian vect v nh thc. N c nhiu ng dng khng nhng trong nhiu ngnh ton hc khc nh: i s, Hnh hc; Gii tch; L thuyt phng trnh vi phn, phng trnh o hm ring; Quy hoch tuyn tnh, m cn trong nhiu lnh vc khoa hc khc v c trong kinh t.

Ni dung ca chng ny l:

iu kin c nghim ca mt h phng trnh tuyn tnh tng qut,

- Phng php gii;

- H phng trnh tuyn tnh thun nht;

- Mi lin h gia nghim ca h tng qut vi h thun nht.

cng l nhng vn m bn c cn nm vng. Bn c cn gii nhiu bi tp c k nng gii cc h phng trnh v c th vn dng chng trong khi nghin cu cc mn khoa hc khc hoc ng dng vo thc t.

hiu c cn k l thuyt h phng trnh tuyn tnh, bn c cn nm vng nhng iu c bn v khng gian vect nh c s, hng ca h vect, hng ca ma trn. gii c cc h phng trnh tuyn tnh cn c k nng tnh nh thc.

149

1. PHNG TRNH TUYN TNH - PHNG PHP GAUSS

Trc ht, ta nhc li nh ngha h phng trnh tuyn tnh c ni n mc 6.1, Ch.I.

1.1. nh ngha.

1) H phng trnh tuyn tnh n n l h c dng:

trong x1, x2,..., xn l cc n; aij, bi thuc trng s K, vi i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}.

aij c gi l h s ca n xj, bi c gi l hng t t do.

2) Mt nghim ca h (1) l mt b n s (c1, c2,..., cj,..., cn) thuc trng K sao cho khi thay xj = cj th mi ng thc trong h (1) u l nhng ng thc s ng.

3) Ma trn

c gi l ma trn cc h s ca h phng trnh.

Ma trn

c gi l ma trn b sung ca h phng trnh.

4) Hai h phng trnh tuyn tnh c gi l tng ng nn

150

chng c cng mt tp nghim.

Ta c th vit gn h phng trnh (1) di dng:

Nu coi mi ct ca ma trn B nh mt vect trong khng gian Km, chng hn:

th c th vit h (1) di dng:

v gi l dng vect ca h (1). Nh vy, vi ngn ng khng gian vect gii h phng trnh (1) l tm cc h s x; trong cch biu din tuyn tnh qua h vect { 1 , 2,..., n}.

Nu xt nh x tuyn tnh a xc nh bi h vect ct a = { 1, 2, n} ca ma trn A, nh nh ngha v d 4, mc 2.1, Ch.III v coi = (x1, x2,..., xn) nh mt vect n th h phng trnh (1) c dng:

A ( ) =

l dng nh x tuyn tnh ca h (1). Gii h phng trnh (1) cc ngha l tm tp cc vect c dng = (c1, c2,..., cn) K

n sao cho a( )

= , hay tm a-1( ).

1.2. Gii h phng trnh tuyn tnh bng phng php Gauss (kh dn n s)

trng Ph thng ta bit gii h phng trnh bng phng php cng i s. Phng php ny da vo nh l sau y v bin i tng ng h phng trnh.

nh l.

1) Nu i ch mt phng trnh trong h th c mt h tng ng vi h cho.

2) Nu nhn mt phng trnh vi mt s khc 0 th c mt h tng ng vi h cho.

151

3) Nu nhn mt phng trnh vi mt si khc 0 ri cng vo mt phng trnh trong h th c mt h tng ng vi h cho.

Chng minh. Xin dnh cho bn c.

Da vo nhng php bin i ny ta c th kh dn n s ca h; ni chnh xc hn l, bin h cho thnh mt h tng ng, trong cc phng trnh cng v cui th s n cng t.

V d 1. Gii h phng trnh:

Gii

Nhn hai v ca phng trnh (1) ln lt vi - 2, - 3 ri cng l lt vo phng trnh (2) v phng trnh (3), ta c h:

Nhn hai v ca phng trnh (4) vi - 4 ri cng vo phng trnh

(5) c:

T (6) suy ra x3 = - 2. Thay x3 = - 2 vo phng trnh (4) ta tnh c x2 = 0. Thay x2 = 0, x3 = - 2 Vo phng trnh (1) ta tm c x1 = 1. H c nghim duy nht (1, 0, - 2).

Phng php gii trn y c gi l phng php kh dn n s do K. Gauss xut nn cn gi l phng php Gauss.

C th, khi thc hin phng php ny ta ch thc hin cc php bin i sau y trn cc dng ca ma trn b sung B ca h phng trnh:

a) i ch hai dng cho nhau;

b) Nhn cc thnh phn ca mt dng vi cng mt s khc 0;

152

c) Nhn cc thnh phn ca mt dng vi cng mt s ri cng vo mt dng khc.

l nhng php bin i s cp trn ma trn ni n mc 7.4, Ch.II.

Chng hn, gii h phng trnh trong v d 1, ta trnh by nh sau:

(Phn ca ma trn ng bn tri gch thng ng l ma trn A)

Nhn dng th nht ln lt vi - 2, - 3, ri ln lt cng vo dng th hai v dng th ba:

Nhn dng th hai vi - 4 ri cng vo dng th ba:

Ma trn cui cng chnh l ma trn b sung ca h phng trnh cui cng.

V d 2. Gii h phng trnh:

153

Gii

i ch dng th nht v dng th hai cho nhau:

Nhn dng th nht ln lt vi - 4, - 2, - 4, ri ln lt cng vo cc dng th hai, th ba, th t:

Nhn dng th ba vi - 1 ri cng ln lt vo dng th hai v dng

Nhn dng th hai vi - 5 ri cng vo dng th ba:

Ma trn ny l ma trn b sung ca h phng trnh:

154

R rng mi nghim ca h ba phng trnh u ca h ny u l nghim ca phng trnh cui cng. Do ch cn gii h gm ba phng trnh u.

H c nghim duy nht: (1, 2, -1).

V d 3. Gii h phng trnh:

Gii

i ch dng th nht vi dng th ba ri tip tc bin i ta c:

Ma trn cui cng ng vi h phng trnh:

155

Ta li ch cn gii h gm hai phng trnh u ca h ny.

Vit n di dng:

Nu cho x3 = c3, x4 = c4, vi c3, c4 thuc trng s K th v phi ca mi phng trnh trong h ny l mt s v h tr thnh mt h Cramer

v nh thc ca n l 20

11

= - 2 0. Do x1, x2 c xc nh duy

nht bi cc ng thc:

Nh vy h phng trnh c nghim l :

V c3, c4 c th nhn gi tr tu trong K nn h c v s nghim v ni (*) l nghim tng qut ca h.

Nu cho c3, c4 mt gi tr c th th ta c mt nghim ring ca h. Chng hn, vi c3 = 0, c4 = 1, ta c mt nghim ring l (-1, - 2, 0, 1).

V d 4. Gii h phng trnh:

Gii

Bn c hy t tm hiu nhng php bin i sau:

156

Ma trn cui cng ng vi h phng trnh tng ng vi h phng trnh cho m phng trnh cui cng l: 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = - 1 2. Phng trnh ny v nghim. Vy h cho v nghim.

1.3. Thc hin phng php Gauss trn my tnh in t

Qua cc v d trn, ta thy vic gii h phng trnh tuyn tnh bng phng php Gauss c thc hin bng cch a ma trn b sung B ca h v dng m ta tm gi l dng thu gn. Do gii h phng trnh tuyn tnh bng phng php ny trn my tnh thc cht l yu cu my tnh a ma trn B v dng thu gn.

V d 1. Gii h phng trnh:

Gii

To ma trn b sung B ri thu gn:

{{1, - 5, 4, - 7}, {2, - 9, -1, 4}, {3, - 11, - 7, 17}} //RowReduce// MatrixForm

Mn hnh xut hin:

Out[] =

157

vy nghim ca h phng trnh l (1, 0, - 2) v ma trn ny ng vi h Phng trnh:

Ta tip tc gii li cc h phng trnh trong cc v d 2, 3, 4 ca mc 1, 2.

V d 2. Gii h phng trnh:

Gii.

{{4, 2, 1, 7}, {1, -1, 1, -2}, {2, 3, - 3, 11}, {4, 1, - 7}}//RowReduce// MatrixForm

Mn hnh xut hin:

Out[] =

Nghim ca h l: (1, 2, -1).

V d 3. Gii h phng trnh:

Gii

{{3,-1,-1,2,1},{1,-1,-2,4,5}, {1,1,3,-6,-9},

158

{12,-2,1,-2,-10}}//RowReduce//MatrixForm

Mn hnh xut hin:

Ma trn ny ng v h phng trnh:

Cho x3 = c3, x4 = c4, suy ra nghim tng qut ca h l:

V d 4. Gii h phng trnh:

{{4,2,1,-3,7},{1,-1,1,2,5},{2,3,-3,1,3},{4,1,-1,5,1}}

//RowReduoe//MatrixForm

Mn hnh xut hin:

Out[] =

159

H v nghim v ma trn ny cho thy phng trnh cui l 0x1 + 0x2 + 0x3 + ox4 = 1.

2. DIU KIN H PHNG TRNH TUYN TNH C NGHIM

Ta dng phng php Gauss gii mt h phng trnh tuyn tnh tu . Song trong trng hp tng qut ta cha tr li cu hi: Vi iu kin no th h (1) c nghim? nh l sau cho ta cu tr li.

2.1. iu kin c nghim

iu kin ny lin quan n hng ca ma trn A v ma trn b sung B ca h phng trnh, cho nn ta cn nh li rng: Hng ca mt h vect bng s chiu ca khng gian sinh bi h vect y; hng ca ma trn bng hng ca h vect ct ca n.

nh l Kronerker-Capelli. H phng trnh tuyn tnh (1) c nghim khi v ch khi hng(A) = hng(B).

Chng minh. Ta k hiu a = { 1, 2, ,..., n} l h vect ct ca

ma trn A, b = { 1, 2, ,..., n , } l h vect ct ca ma trn b sung B ca h phng trnh (1), U l khng gian sinh bi h vect a, W l khng gian sinh bi h vect b. V a b nn U W.

Gi s h c nghim (c1, c2,..., cn). Khi = c1 1+ c2 2 +...+

cn n. iu ny c ngha l ta thm vo h a vect l t hp tuyn tnh ca h a c h b. Theo mnh mc 7.1, Ch.II, hng(A) = hng(a) = hng(b) = hng(B).

Gi s hng(A) - hng(B). Th th hng(a) - hng(b). Suy ra dimU = dimW. V U W nn theo nh l 1, mc 5.2, Ch.II, U = W.

160

Do U. V th tn ti b n s

(c1, c2,..., cn) sao cho = c1 l + c2 2 +... + cn n. Vy h (1) c nghim.

V d 1. Mi h Cramer u c nh thc |A| 0. Do hng(a) = n. Ma trn B ch c n dng v |A| cng l nh thc con cp cao nht khc 0 ca B. V th hng(A) = hng(B). Vy mi h Cramer u c nghim.

V d 2. Xt h phng trnh trong v d 3 ca mc 1.3. Cc php bin i s cp a cc ma trn A v B v dng thu gn sau y:

Theo nh l mc 7.4, Ch.II, cc php bin i s cp khng lm thay i hng ca ma trn. Do ma trn ny cho thy hng(A) = 2 = hng(B). Vy h cho c nghim.

V d 3. Xt h phng trnh trong v d 4 ca mc 1.3. Cc php bin i s cp a cc ma trn A v B v dng thu gn sau y:

Ta thy hng(a) = 3, hng(b) = 4. H v nghim.

2.2. Gii h phng trnh tuyn tnh bng nh thc

By gi ta nghin cu cch gii h phng trnh tuyn tnh (1) bng nh thc.

Ta bit nh thc con cp cao nht khc 0 ca ma trn A cho ta bit s chiu v c s ca khng gian sinh bi h vect dng ca ma trn

161

A. Gi s hng(A) = hng(B) = r, v khng lm mt tnh tng qut, ta c th gi thit nh thc con cp cao nht khc 0 ca A v B l:

Nu r = n th h phng trnh cho l mt h Cramer, n c nghim duy nht.

Nu r < n th ta xt h phng trnh gm r phng trnh u.

Mi vect dng ca ma trn b sung B u l t hp tuyn tnh ca r vect dng u. V th mi nghim ca h (3) cng l nghim ca mi phng trnh t th r + 1 n th m; do l nghim ca h (1). Ngc li, hin nhin mi nghim ca h (1) l m