hcanales cap4

Author: richie-garibo

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  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

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    Capítulo 4 

    FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

    4.1 Introducción

    El flujo gradualmente variado  se define como aquel flujo que cambiagradualmente su tirante – y, por tanto, sus demás características hidráulicas  – a lolargo del canal. Esto implica que, si se toman dos secciones transversales queestán separadas una distancia Dx; entonces, la profundidad del agua “y”, esdiferente en cada sección (figura 4.1).

    Fig. 4.1. Perfil longitudinal de un flujo, en un canal abierto.

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    El desarrollo del flujo gradualmente variado (Chow) se remonta al sigloXVIII. Todas las teorías desarrolladas, en general, giran alrededor de la siguientesuposición básica:

    A . La pérdida de carga en una sección es la misma que para un flujo uniforme que

    tiene la velocidad y el radio hidráulico de la sección .De acuerdo con esta suposición, la ecuación del flujo uniforme puede

    utilizarse para evaluar la pendiente de energía de un flujo gradualmente variado,

    en una determinada sección, asimismo, el coeficiente de rugosidad usado para el

    flujo uniforme, es el mismo que se usa para el cálculo del flujo gradualmente

    variado. Aunque esta suposición no ha sido comprobada, ni experimental, niteóricamente; se cree que los errores que surgen de ella son pequeños.

     Además de la anterior suposición básica, también son utilizadas lassiguientes suposiciones donde se necesite una simplificación adicional en los

    análisis subsiguientes:

    B. La pendiente longitudinal del canal, So, es pequeña; lo que significa que:1. La profundidad del canal es la misma, sin importar el tipo de sección

    transversal que se use (normal o vertical).2. El factor de corrección cos(Ө) es unitario, ya que Ө 0.3. No ocurre atrapamiento de aire.

    C. El canal es prismático; es decir, existe alineamiento y forma constantes.

    D. La distribución de la velocidad en la sección de un canal es fija; porconsiguiente, el coeficiente de energía, α, es constante. 

    E. La conductividad K (sección 6-3, Chow) y el factor de sección Z (sección 4-3,Chow) son funciones exponenciales de la profundidad del flujo.

    F. El coeficiente de rugosidad, n, es independiente de la profundidad del flujo yconstante a través del tramo de canal bajo estudio.

    4.2 Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado

    Si se considera el perfil de un flujo gradualmente variado (Fig. 4.1), desarrolladoen una longitud elemental Dx. La carga total de energía, por encima de un nivel dereferencia (Datum), para la sección 1 es:

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       g 

    V  y z  H 

    2cos

    22       (4-1)

    donde H es la energía total, en m; z es la distancia vertical medida del nivel dereferencia al fondo del canal, en m; “

    y”  es la profundidad del agua, en m; Ө es el

    ángulo de inclinación del fondo del canal; α es el coeficiente de energía (Coriolis) yV la velocidad media del flujo a través de la sección del canal, en m/s.

     Al tomar el fondo del canal como el eje “x” y al derivar Ec.(4-1), conrespecto a x, se obtiene:

     

      

     

     g 

    dx

    dx

    dy

    dx

    dz 

    dx

    dH 

    2cos

    22      (4-2)

    Note usted que la pendiente se define como el seno del ángulo del fondodel canal  y se supone positiva, si desciende en la dirección del flujo y negativa, siasciende. Por consiguiente, de figura 4.1, la pendiente de energía es S f  = dH/dx yla pendiente del fondo del canal es S0 = seno(Ө) = -dz/dx. Así también la derivadade la carga de velocidad, con respecto a x, tomando en cuenta que dA=Tdy (verfigura anexa), es:

    222

    2 Fr 

     gD

     g 

    dx

     

      

            

     Al sustituir estos parámetros en ecuación (4-2) y resolver para dy/dx, se tiene:

      220

    cos   Fr 

    S S 

    dx

    dy   f  

       (4-3)

    donde Fr está dado por ecuación (3-3) ó (3-3.1) y S f  se obtiene de la ecuación deManning (suposición A), como sigue:

    2

    3/2

    2

    3/2    

      

     

     

      

     

     AR

    nQ

     R

    nV S   f  

      (4-4) 

    Ecuación (4-3) es la ecuación diferencial general del flujo gradualmente variado,conocida como ecuación dinámica del flujo gradualmente variado y representa la

    dA

    dA = TdySECCIÓN TRANSVERSAL

    ydy

    T

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     pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal . De manerainmediata se pueden hacer las siguientes observaciones:

    a) Si dy/dx >0, el perfil de la superficie libre diverge de la plantilla.b) Si dy/dx = 0, el perfil de la superficie libre es paralelo a la plantilla.

    c) Si dy/dx < 0, el perfil de la superficie libre converge de la plantilla.

    De acuerdo con las suposiciones, dadas en sección 4.1, puede escribirse que: d =

    y; cos(θ) =1; y por tanto, ecuación (4-3) se rescribe como:

    2

    0

    1   Fr 

    S S 

    dx

    dy   f  

      (4-5)

    Puesto que en la mayoría de los casos reales, la pendiente del fondo del

    canal es pequeña, se preferirá ecuación (4-5) en los cálculos del perfil longitudinal.El término α     dy g V d    /2/2 , en ecuación (4-2), representa el cambio en la

    carga de velocidad; sin embargo, si α fuera variable a lo largo del tramo de canalen consideración, entonces, el cambio en la carga de velocidad sería

      dy g V d    /2/2  .Otra forma de la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado stá

    dada por la ecuación (cuya demostración puede consultarse en ref. 2):

     

    2

    2

    0 /1

    /1

     Z  Z 

     K  K 

    S dx

    dy

    c

    n

      (4-6)

    donde

    Kn  es la conductividad para el flujo uniforme con una profundidad y n, es decir,partiendo de la ecuación de Manning

    3/2

    0

    2

     ARS 

    nQ  

    So

    Q Kn    (4-7.1)

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    )3/2(1  ARn

     K     (4-7.2)

    Zc  es el factor de sección para el cálculo del flujo crítico, para un gasto Q. Portanto, partiendo de la condición de fujo crítico, se puede escribir:

     / g 

    Q Zc    (4-7.3)

     D AT 

     A A Z      (4-7.4)

    4.3 Características de los perfiles de flujo

    La ecuación dinámica representa la pendiente de la superficie libre del agua, conrespecto a la longitud del canal. Por simplicidad se considera que el canal esprismático y el análisis se hará a partir de ecuación (4-6).

    Para coincidir en los términos usados, el perfil del flujo representa la curvade la superficie del agua. Representará una curva de remanso, si la profundidaddel flujo se incrementa en la dirección del mismo; por el contrario, representará

    una curva de caída, si la profundidad disminuye en el sentido del escurrimiento.Otra forma de identificar la curva definida, por el flujo, es observando el signo quetoma dy/dx; si es positivo, la curva es de remanso y, si es negativo, la curva es decaída.

    Puesto que para una curva de remanso, dy/dx = “+”(dy/dx >0), ecuación (4-6)conduce a los dos casos siguientes:

    1.   0/1   2   K  K n  y   0/1  2

      Z  Z c  

    2.   0/1  2

      K  K n  y   0/1  2

      Z  Z c  

    Como los valores de K y Z se incrementan o disminuyen continuamente con laprofundidad y ; el primer caso indica que y >y n  y y   > y c. Como y  > y c el flujo essubcrítico. Si y >y n > y c, el flujo subcrítico debe ocurrir en un canal  suave (es decir,un canal con pendiente subcrítica) Por otra parte, y   > y c >y n, el flujo subcríticodebe ocurrir en un canal empinado (es decir, un canal con pendiente supercrítica).

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    De igual manera el segundo caso indica que y   < y n  y y < y c. el flujocorrespondiente debe ser supercrítico. Éste ocurre en un canal suave si y n  > y c >yy en un canal empinado, si y c >y n>y .

    Para una curva de caída  dy/dx = “-“(dy/dx < 0), por lo que ecuación (4-6),

    conduce a los siguientes casos:

    1.   0/1   2   K  K n  y   0/1  2   Z  Z c  

    2.   0/1   2   K  K n  y   0/1  2

      Z  Z c  

    El primer caso indica que y c > y   > y n  y, por consiguiente, que el flujo essupercrítico en un canal empinado. Del mismo modo, el segundo caso indica quey n > y  > y c, o que el flujo es subcrítico en un canal suave.

    En el caso particular de que la superficie del agua sea paralela al fondo del

    canal, se tiene que dy/dx = 0 y   0/1   2   K  K n , o y = yn., lo que indica que el flujo

    es uniforme. El flujo es uniforme crítico si y  = yn = yc, uniforme subcrítico, si y  = yn > yc y uniforme supercrítico, si yc > yn = y .

    Para propósitos de análisis, la pendiente del canal se clasifica en  pendientefavorable y  pendiente no favorable, según que sea positiva (cae en dirección delflujo) o negativa, respectivamente. Una pendiente favorable (positiva) puede sercrítica, sueve (subcrítica) o inclinada (supercrítica). Una pendiente no favorable

    puede ser horizontal o adversa. Una pendiente horizontal indica que S0 = 0. Unapendiente adversa, es una pendiente negativa que aumenta en la dirección delflujo. Un resumen gráfico y de fácil manejo, se muestra en la figura 4.2 (ref. 1),donde se concentran los comentarios dados anteriormente.

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    4.4 Gasto de entrada a un canal que conecta un embalse

    Fig. 4.2 Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado

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     Como la energía en el embalse (Fig. 4.3) es constante al igual que la cresta deentrada, se propone el siguiente proceso:

    1) Se estima el tirante crítico como yc = 2/3E0  (E0  es el desnivel entre la

    superficie del agua en el embalse y la cresta vertedora).2) Con este tirante se calcula la pendiente crítica, Sc, despejada de laecuación de la velocidad de Manning.

    3) Si la pendiente crítica es menor que la pendiente longitudinal, S0 entoncesel agua ingresa al canal con el tirante crítico.

    4) Si la pendiente crítica calculada en el paso 2) es mayor que la pendiente S0,entonces se resuelve la ecuación de la energía, para encontrar el tirante deentrada.

    Para unidades en el sistema inglés, se puede usar el siguiente criterio paradeterminar la pendiente crítica (Henderson).

    9/223.21     qnS c   (4-8) 

    donde q = VcYc.

    Fig. 4.3 Ilustración de un embalse alimentando un canal rectangular

    Ejemplo de aplicación 4.1

    Un canal de rectangular de 3 m de ancho, factor de fricción n = 0.014 y pendientelongitudinal S0 = 0.001 es alimentado por un embalse cuyo nivel de superficie seencuentra 3 m arriba de la plantilla a la entrada del canal (E0 = 3 m). Encontrar elgasto que entra al canal.

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    Solución. Puesto que la energía específica a la entrada debe permanecerconstante, del estado crítico en la misma resulta que:

      m E  yc   233

    2

    3

    20    

    Como el número de Froude, para el estado crítico es unitario, entonces lavelocidad crítica es:

      sm gyv cc   /427.4281.9    

    y el gasto máximo que descargaría el canal es:

      sm x AV Q ccmáx   /563.26)23(427.4  3  

    Sin embargo, debe calcularse la pendiente crítica Sc (paso 2 del proceso), ycompararla con la pendiente longitudinal del canal (S0). Para el tirante críticoobtenido, el área hidráulica, perímetro mojado y radio hidráulico valen,respectivamente:

     A = 3x2 = 6 m2 P = 3 + 2x2 = 7 mR = 6/7 = 0.857 m

    por lo que la pendiente crítica, obtenida de la ecuación de la velocidad deManning, es:

    001.0004718.0857.0

    427.4014.0  2

    3/2

    2

    3/2 

     

      

     

     

      

     

      x

     R

    nV  s

    c

    cc  

    De acuerdo con este resultado, la pendiente S0 es suave y el caudal que ingresaal canal es menor que el gasto máximo, es decir el tirante de entrada tendrá queser mayor que el tirante crítico y el gasto de entrada será menor que el gastomáximo. En este caso, el tirante normal se presentará casi a la entrada del canal,

    por tanto debe cumplirse que:

     g 

    V  y   nn

    23

    2

     

    donde

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    3/23/2

    0

    3/2

    23

    32588.2

    014.0

    001.01

     

      

     

     

      

     

    n

    n

    n

    nnn

     y

     y

     P 

     AS  R

    nv

     

    Por ensaye y error se resolvió la ecuación anterior, obteniendo los resultados que

    se muestran en la tabla siguiente:

    Y  A  P  R  V  Q   E 

    (m)  (m2)  (m)  (m)  (m/s)  (m3/s)  (m) 

    2.5000  7.5000  8.0000  0.9375  2.1636  16.2273  2.7386 2.7000  8.1000  8.4000  0.9643  2.2047  17.8578  2.9477 2.7500  8.2500  8.5000  0.9706  2.2143  18.2675  2.9999 2.7501  8.2503  8.5002  0.9706  2.2143  18.2685  3.0000 

    Los resultados indican que el gasto que entrará al canal es Q = 18.2685 m3

    /s conun tirante de yn = 2.7501 m.

    Ejemplo de aplicación 4.2

    El canal mostrado en la figura es de sección rectangular, tiene una base de 30 ft,con n = 0.014. Encontrar la el gasto que ingresa al canal y calcular el perfillongitudinal incluyendo la localización del salto hidráulico, con respecto al punto B(elevaciones en pies).

    Solución. En esta parte solamente se calculará el gasto de ingreso, ya que másadelante se hará el cálculo del perfil longitudinal y la localización del saltohidráulico.

    La energía disponible es E0 = 7 ft, por consiguiente yc = 2/3(7) = 14/3 ft (4.67 ft =1.4224 m).

    Para este tirante la velocidad crítica resulta ser:

    A

    B

    C

    Elev 100

    Elev 90

    Elev A: 93, Elev B: 88, Elev C: 83

    S0 (AB) = 0.005 y S0(BC) = 0.001

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     sm x gyv cc   /73547.34224.181.9    

    De igual forma, el área crítica, perímetro mojado crítico y radio hidráulico críticoson, respectivamente:

     Ac = byc =9.144x1.4224 = 13.00643 m2 Pc = b + 2cyc = 9.144 +2(1.4224) = 11.9888 mRc = A/P = 1.08488 m

    Con esta información la pendiente crítica toma el vaor de:

    005.000245.008488.1

    73547.3014.0  2

    3/2 

     

      

     

      xS c  

    Como la pendiente del canal es mayor que la obtenida, la pendiente del canal seconsidera fuerte, por tanto el gasto ingresa al canal es el máximo e igual a: Q =Vc Ac = (3.73547)(13.00643) = 48.58513 m

    3/s y lo hace con el tirante crítico.

    4.5 Métodos de cálculo del flujo gradualmente variado

    Cualquier método de cálculo que se desarrolle, deberá resolver la ecuacióndinámica  del flujo gradualmente variado. Por lo que, el principal objetivo será ladeterminación de la forma del perfil del flujo. Aquí se presentarán y discutirán tresmétodos de cálculo: a) Integración gráfica, b) Integración directa y c) Métodos delpaso.

    Para calcular un perfil longitudinal es necesario conocer a priori  el tipo deperfil y tipo de flujo que se presentará, en la zona estudiada. En general, si el flujoes supercrítico, entonces, el cálculo se realiza en sentido del escurrimiento, pero siel flujo es subcrítico, el cálculo se realizará en sentido contrario a la dirección delflujo. Por ejemplo, para el caso de la figura 4.1 se supuso que el flujo essupercrítico, por tal motivo la sección “1” está localizada  aguas arriba de la sección

    “2”; mientras que para flujo subcrítico (Fr < 1), la sección “1” se localiza aguasdebajo de la sección “2”. 

    4.5.1 Método de Integración gráfica

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     Este método resuelve la ecuación dinámica  del flujo gradualmente variado,mediante un procedimiento gráfico. Para ello, considera dos seccionestransversales de un canal, separadas una distancia x , como se muestra en lafigura 4.4-a.

    Según la ecuación dinámica, la distancia x   entre dos seccionestransversales consecutivas de un canal, en las cuales se conocen los tirantes delagua, se calcula como:

        2

    1

    2

    112

     y

     y

     x

     xdy

    dy

    dxdx x x x   (4-9)

    El cociente dx/dy representa el recíproco de la ecuación dinámica y dependeúnicamente del tirante, por lo que, se dice que dicha relación es una función de“y”, escribiendo f(y) = dx/dy. De esa forma, ecuación anterior se escribe como:  

      2

    1

    )(12 y

     ydy y  f   x x x   (4-10)

    Para aplicar un proceso gráfico, con los dos primeros tirantes consecutivos:y1  e y2, se calcula f(y1) y f(y2), respectivamente, obteniendo la gráfica que semuestra en figura 4.4-b.

    Fig. 4.4 Perfil longitudinal y principio gráfico del método de integración

    Una vez hecho lo anterior se estima el área bajo la curva  generada,obteniendo así la distancia requerida. Este proceso se repite ahora para lostirantes y2  e y3, luego para y3  e y4  y así, sucesivamente, para cada pareja detirantes. La distancia total es la suma de las distancias parciales.

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     Ejemplo de aplicación 4.3 

    Un canal de sección trapezoidal con b = 20 pies (6.096 m), talud lateral 1V:2H (k =2), pendiente longitudinal So  = 0.0016 y una rugosidad n  = 0.025; conduce un

    gasto de 400 ft

    3

    /s (11.3267 m

    3

    /s). Calcule el perfil del remanso creado por unarepresa que embalsa el agua hasta una profundidad de 5 pies (1.524 m)inmediatamente detrás de la presa. Se supone que el extremo de aguas arriba delperfil es igual a una profundidad 1% mayor que el tirante normal. El coeficiente deenergía es α = 1.10. 

    Solución. Para conocer el tipo de perfil a formarse y sentido de cálculo, se requiereconocer el tirante normal, yn  y el tirante crítico, yc. De la teoría correspondiente,resultó que: 

    n y 1.024 m3/2

    0

     ARS 

    nQ  

    c y 0.674 mT  A

     g Q

      32

    /

      

    Dado que yn > yc, el perfil a formarse es de pendiente suave (tipo M, figura 4.2) ypor las características físicas del problema (la represa), se trata de un perfil tipo M1 y el cálculo se realizará en sentido contrario al sentido del flujo con tirante inicial y= 5 ft = 1.524 m y tirante final, y = 1%yn + yn = 1.034 m; por consiguiente, el perfilM1 tendrá tirantes definidos por el rango: 1.032 m < y < 1.524 m (tabla T1E6.2).

    Para calcular f(y) se puede usar ecuación (4-5) ó (4-6). En este caso se usó lasegunda cuyo recíproco es:

     

    2

    2

    0   /1

    /11)(

     K  K 

     Z  Z 

    S  y f 

    dy

    dx

    c

    c   (4-11)

    5 ft

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    que será sustituido en ecuación (4-10). Sin embargo, ecuación (4-11) se graficarápara valores de y vs f(y). Los valores de Kn y Zc, de acuerdo con ecuaciones (4-7.1) y (4-7.3), respectivamente.

    175.283

    0016.0

    327.11

    So

    Q Kn   793.3

    1.1/81.9

    327.11

    /

      g 

    Q Zc  

    por lo que, ecuación (4-10) queda, al sustituir los valores conocidos, como:

     

      2

    1

    1

    2

    2

    /175.2831

    /793.31625)(

     y

     y

     y

     y j

    i

    i

    dy K 

     Z dy y f  x   (4-12)

    donde la conductividad, K, y el factor de sección, Z, se calculan con ecuaciones(4-7.2) y (4-7.4), respectivamente. De acuerdo al tipo de perfil y variaciones deltirante, se proponen los siguientes valores:

    Tabla 1E6.2. Tirantes propuestos para calcular el perfil M1.Dx 0yi  1.524 1.45 1.40 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.034

    Para ilustrar el proceso se desarrolla el método para los dos primeros tirantes,calculando los elementos geométricos necesarios para resolver ecuación (4-12).

    Si y1 = 1.524 m

     A = (b ky)y = (6.096 + 2x1.524)(1.524) = 13.935 m2 

    P = b + 2y   21   k  = 6.096 +2(1.524) 221 = 12.912 m

    T = b + 2ky = 6.096 +2(2)(1.524) = 12.192 m

    079.1912.12

    935.13

     P 

     A R  m

    Por tanto, la conductividad y el factor de sección toman los valores de:

      480.586079.1935.13025.0

    11   3/2)3/2(   ARn

     K   

    898.14192.12

    935.13935.13  

     A A Z   

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    Finalmente, mediante ecuación (4-12), el valor de f(y = 1.524) es:

      154.762480.586/175.2831

    898.14/793.31

    0016.0

    1)524.1(

    2

    2

      f  

    dy

    dx 

    Por un proceso similar se obtuvo que, para y = 1.450 m

      869.801

    509.534/175.2831

    659.13/793.31

    0016.0

    1)450.1(

    2

    2

      f  

    dy

    dx 

    Con estos resultados la gráfica 4.4-b queda como se nuestra a continuación:

    La distancia que separa estos dos tirantes es, el área definida por el trapecio de la

    figura anterior, por tanto:

      87.57524.145.1869.801154.7622

    1 x  m

    Lo mismo se hace para cada par de tirantes, para obtener la distancia que lossepara. Los resultados se muestran en la siguiente tabla y la gráfica completa de yvs f(y), se ha dibujado más abajo donde se ha marcado el área del primer y últimopar de tirantes.

    Const. Kn = 283.175 Zc = 3.793 PERFIL M1  INTEGRACIÓN GRÁFICAY A P T R D K Z f(y) X Xacum

    (m) (m2) (m) (m) (m) (m) Ec(6-8.2) Ec(6-8.4) Ec.(6-11) (m) (m)

    1.524 13.935 12.912 12.192 1.079 1.143 586.512 14.899 762.16 0.00 0.00

    1.450 13.044 12.581 11.896 1.037 1.097 534.509 13.659 801.87 -57.87 -57.87

    1.400 12.454 12.357 11.696 1.008 1.065 500.791 12.852 838.74 -41.02 -98.88

    1.350 11.875 12.133 11.496 0.979 1.033 468.206 12.069 888.14 -43.17 -142.06

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    1.300 11.305 11.910 11.296 0.949 1.001 436.746 11.309 957.02 -46.13 -188.19

    1.250 10.745 11.686 11.096 0.919 0.968 406.402 10.574 1,058.48 -50.39 -238.57

    1.200 10.195 11.463 10.896 0.889 0.936 377.165 9.862 1,220.60 -56.98 -295.55

    1.150 9.655 11.239 10.696 0.859 0.903 349.028 9.174 1,516.18 -68.42 -363.97

    1.100 9.126 11.015 10.496 0.828 0.869 321.981 8.509 2,210.91 -93.18 -457.15

    1.034 8.442 10.720 10.232 0.787 0.825 287.937 7.668 14,390.42 -547.84 -1,004.99

    De estos resultados se concluye que la distancia que separa el tirante y = 1.524 mdel tirante y = 1.45 m, es de 57.87 m, medidos a partir de la represa. La distanciatotal es de 1, 005 m.

    Ejemplo de aplicación 4.4

    El agua fluye por debajo de una compuerta deslizante, como se muestra en lafigura, hacia un canal trapezoidal, con un ancho en la base de b = 20 pies, taludlateral 1V: 2H, pendiente longitudinal, S0 = 0.0036, coeficiente de energía α = 1.1 y

    un coeficiente de rugosidad de Manning, n = 0.025. La compuerta está reguladapara descargar un gasto de 400 ft3/s con una apertura de 0.55 pies, en la venacontracta. Calcule el perfil del flujo, si aguas abajo ocurre un salto hidráulico queinicia con un tirante de 1.60 pies. Finalmente estime la distancia, desde la venacontracta hasta el inicio del salto hidráulico.

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    Solución. De la teoría de flujo uniforme se encontró que y n  = 0.8162 m y de lacondición de régimen crítico, se obtuvo un tirante crítico, yc = 0.6743 m; por lo que,el tipo de perfil a formarse es de pendiente suave (M) y por las condiciones decontrol impuestas por la compuerta (apertura = 0.16764 m < yc), el perfilespecífico es tipo M3  y su cálculo se hace en sentido del flujo. Dado que seconoce el tirante inicial (yinicial  = 0.55 ft = 0.16764 m) y el tirante final (yfinal  =0.48768 m), el método apropiado, para la solución es integración gráfica o  pasodirecto. Aquí se aplicó el método de Integración Gráfica usando [Ec. (6-6)], paraencontrar las distancias parciales que separa los siguientes tirantes:

    L 0 Δ x 1  Δ x 2   Δ x 3  Δ x 4  Δ x 5   Δ x 6   Δ x 7  

    yi (m) 0.16764 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.48768

    De ecuación (4-6), el recíproco de la ecuación dinámica es:

      f  S S 

     Fr  y  f  

    dy

    dx

    0

    21)(   (4-13)

    con

    2

    3/23/2    

      

     

     

      

     

     AR

    nQ

     R

    nV S   f     (4-13.1)

     gD

    V  F r 

    22     y S0 = 0.0036

    Se organizó la tabla de cálculo E4.3, que permitió obtener f(y), procediendo deigual manera que con ecuación (4-7), usada en el problema 4.3. De esta forma,para cada tirante se calculó f(y) y, finalmente, para cada par de tirantesconsecutivos se estimó la integral por el método trapecial. Por ejemplo, para losdos primeros tirantes el área resultó ser:

     Área = ∆x1 =   15.316764.02.05724.999578.942

    1 m

    1.6 ft0.55 ft  

    20 ft

    12

    y

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    y  A  P  T  R(2/3)  Sf   Fr2  f(y)  Dx 

    (m)  (m2)  (m)  (m)  (m2/3)  (m) 

    0.16764  1.078  6.846  6.767  0.292  0.81112  77.678  94.9547  0.000 0.200  1.299  6.990  6.896  0.326  0.44791  45.240  99.5692  3.147 

    0.250  1.649  7.214  7.096  0.374  0.21100  22.767  104.9526  5.113 

    0.300  2.009  7.438  7.296  0.418  0.11382  12.949  108.4042  5.334 

    0.350  2.379  7.661  7.496  0.459  0.06742  8.013  109.8987  5.458 

    0.400  2.758  7.885  7.696  0.496  0.04275  5.275  109.1917  5.477 

    0.450  3.148  8.108  7.896  0.532  0.02856  3.641  105.7763  5.374 

    0.48768  3.449  8.277  8.047  0.558  0.02167  2.823  100.8797  3.893 

    33.797 

    De estos resultados, se sigue que las distancia que separa el tirante y 2 = 0.20 mdel tirante y1 = 0.16764 m, es de 3.15 m. La distancia total, desde la compuertahasta el inicio del salto hidráulico es: L = 33.80 m.

    Ejemplo de aplicación 4.5

    Un canal de sección trapecial tiene un ancho de plantilla de 5 m, talud lateral1V:1H y para una pendiente longitudinal de S0 = 0.0004, adopta un tirante normal

    de yn = 1.75 m, en flujo uniforme, para un factor de fricción de Manning n = 0.025. A partir de cierta sección en adelante, es necesario aumentar la pendientelongitudinal del canal a S0 = 0.17591.

    a) Calcular la distancia ∆x que deberá revestirse de concreto (n = 0.015),suponiendo que el material en que se excava el canal resiste una velocidadhasta de 1.50 m/s.

    b) Determinar la distancia L hasta la cual se deja sentir la influencia delcambio de pendiente.

    Los cálculos, en flujo uniforme, indican que el gasto es Q = 10.5953 m3/s y el

    tirante crítico, yc = 0.7323 m

    Solución. Puesto que yn > yc, el perfil que se desarrolla es tipo M2, por lo que se sucálculo se realiza en sentido contrario al del flujo, como se muestra en la figura; esdecir, yinicial = yc = 0.7323 m.

    a) Dada la condición de v = 1.5 m/s, de la ecuación de continuidad y lageometría de la sección transversal del canal, se puede escribir:

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       y yVAQ     55.15953.10

     

    Resolviendo por ensayo y error, se encontró un tirante de y = 1.14875 m.Entonces, el tramo ∆x tiene un tirante inicial y = 0.7323 m y un tirante final de y =

    1.14875 m. Para el cálculo de esa distancia, se usó el método de integracióngráfica mediante ecuación (4-6), obteniendo los siguientes valores:

    Y  A  P  T  V  Sf   Fr  f(Y)  Dx 

    (m)  (m2)  (m/s)  (--)  (--)  (m) 

    0.7323  4.198  7.071  6.465  2.524  0.0028731  1.000  0.042  0.000 0.8000  4.640  7.263  6.600  2.283  0.0021321  0.870  -140.840  -4.766 0.8500  4.973  7.404  6.700  2.131  0.0017370  0.790  -281.528  -10.559 0.9000  5.310  7.546  6.800  1.995  0.0014311  0.721  -465.757  -18.682 0.9500  5.653  7.687  6.900  1.874  0.0011911  0.661  -711.404  -29.429 1.0000  6.000  7.828  7.000  1.766  0.0010003  0.609  -1048.025  -43.986 1.0500  6.353  7.970  7.100  1.668  0.0008470  0.563  -1528.245  -64.407 

    1.14875  7.063  8.249  7.298  1.500  0.0006227  0.487  -3426.965  -244.664 

    -416.492 

    b) Para determinar la distancia L, se usará el mismo método partiendo de untirante inicial de y = 1.149 m y un tirante final y = 1.75 m (yn); tomando encuenta que cambia la rugosidad n = 0.025. Se obtuvieron los siguientesresultados:

    Y  A  P  T  Sf   Fr  f(y)  Δx 

    (m)  (m2)  (m)  (m)  Ec(6-6)  (m) 

    cálculo

    v=1.5 m/s

    ∆x 

    L

    n=0.025n = 0.015S0 = 0.0004

    So= 0.017591

    5

    yc yi+1 yn 

    1

    1

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    1.149  7.065  8.250  7.298  0.00173  0.487  -574.564  0.000 1.2000  7.440  8.394  7.400  0.00149  0.453  -729.605  -18.605 1.3000  8.190  8.677  7.600  0.00113  0.398  -1,153.385  -57.669 1.4000  8.960  8.960  7.800  0.00087  0.352  -1,848.183  -92.409 1.5000  9.750  9.243  8.000  0.00069  0.314  -3,136.781  -156.839 

    1.6000  10.560  9.525  8.200  0.00055  0.282  -6,202.703  -310.135 1.7320  11.660  9.899  8.464  0.00041  0.247  -63,140.354  -4,167.263 

    -4,802.921 

    Se concluye que L ≥ (4, 802.92 + 335.34 = 5,138.26 m), ya que por cuestionesprácticas se tomó el tirante final 1% menor que el tirante normal.

    4.5.2 Método del paso estándar

    Este método resulta de la aplicación de la ecuación de la energía, entre dossecciones transversales consecutivas de un canal, separadas una distancia Δx.Dichas secciones deben estar definidas según el sentido del escurrimiento delflujo, para régimen supercrítico (fig. 4.5-a) o en sentido contrario, si el flujo tienerégimen subcrítico (Fig. 4.5-b). Por considerarlo de interés y para mayor claridad,el análisis se realizó por separado.

    4.5.2.1 Flujo supercrítico

    De la aplicación de la ecuación de la energía (Fig. 4.5-a), entre las secciones

    transversales “1” y “2”, se tiene: 

    hr  g 

    V  P  z 

     g 

    V  P  z   

    22

    2

    22

    22

    2

    11

    11    

      

      

    Tomando como plano de referencia la elevación del punto “2”   (z2 = 0) y como lacarga de presión corresponde al tirante del flujo, además de que el coeficiente deenergía es constante y la pérdida de energía se aproxima como Δx.Sf m, laecuación anterior se transforma en:

      fmS  x g 

    V Y 

     g 

    V Y  xS    .

    22

    2

    22

    2

    110          (4-14)

    donde Sfm es la pendiente promedio de la línea de energía y puede estimarse de laecuación de la velocidad de Manning, obteniendo:

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     2

    3/2

    2

    3/2 

     

      

     

     

      

     

     AR

    nQ

     R

    nV S   f     (4-15)

    Fig. 4.5-a. Perfil longitudinal, para un canal abierto en flujo supercrítico

    Con esta definición, ecuación (4-14) se escribe ahora

    21

    2

    22

    2

    110

    222   

      f    f     S S 

     x

     g 

    V Y 

     g 

    V Y  xS         (4-16)

    y puesto que, los datos de la sección “1” son conocidos, puede separarse todo loque tenga subíndice “1” en el primer miembro de la ecuación, para quedar:

    2

    2

    221

    2

    110

    2222 

      f    f     S 

     x

     g 

    V Y S 

     x

     g 

    V Y  xS         (4-16-a)

    4.5.2.2 Flujo subcrítico

    En este caso, la sección “1” queda aguas abajo y la sección transversal “2” aguasarriba, como se muestra en figura 4.5-b. Por lo que la ecuación de la energía,aplicada para estas dos secciones, queda:

    X

    Y1  Y2 

    y

    0

    ∆x

     

    1 2

    V

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    hr  g 

    V  P  z 

     g 

    V  P  z   

    22

    2

    11

    11

    2

    22

    22    

      

      

    212

    1

    1

    2

    2

    20222    

      f    f     S S 

     x

     g 

    Y  g 

    Y  xS        

    Pasando al primer miembro los términos conocidos, se obtiene:

    2

    2

    221

    2

    110

    2222 

      f    f     S 

     x

     g 

    V Y S 

     x

     g 

    V Y  xS         (4-16-b)

    Fig. 4.5-b. perfil longitudinal de un canal abierto con flujo subcrítico

    El método tradicional que presentan la mayoría de los autores, para resolver lasecuaciones (4-16), consiste de los siguientes pasos:

      Para la sección transversal conocida, la “1” al inicio, se calcula la p arteizquierda de ecuación (4-16), obteniendo su valor numérico que en estapublicación se le llama “DATO”, con lo que dicha ecuación se transformaen:

    2

    2

    222

    22 

      f  S 

     x

     g 

    V Y  DATO       si, Fr >1 (4-17-a)

    X

    Y2  Y1 

    y

    0

    ∆x

     

    2 1

    V

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     ó

     DATOS  x

     g 

    V Y    f    

      2

    2

    222

    22    si, Fr

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    (m) (m2) (m) (m) (m) (m) (m) (m)1.4224 13.0064 11.9888 9.1440 1.0849 1.4224 0.00245 6.72 2.15896

    La Ec. (6-17-a) queda:

    2

    2

    222

    2215896.2   f  S  x

     g V Y       

    que resuelta por iteraciones (prueba de ensaye y error), y2 = 1.31033 m. Ahora,con este tirante se calcula DATO y se determina y3, como sigue:

    y A P T R D Sf ΔX DATO

    (m) (m2) (m) (m) (m) (m) (m) (m)1.3103 11.9817 11.7647 9.1440 1.0184 1.3103 0.00315 10.00 2.18266

    3

    23

    3322

    18266.2

      f  S  x

     g 

    V  y    

     

    Resolviendo, igual que en el caso anterior, y3 = 1.26294 m y así, sucesivamentehasta terminar con el cálcuo de todos los tirantres. Los resultados de este procesose muestran en el cuadro que se adjunta:

    Δx (m)  x (m)  y (m)  Δx (m)  x (m)  y (m) 6.72  0  1.4224  30  136.72  1.1438 

    10  6.72  1.3103  40  166.72  1.1375 10  16.72  1.2629  40  206.72  1.1324 10  26.72  1.2346  40  246.72  1.1296 10  36.72  1.2146  40  286.72  1.1279 20  46.72  1.1995  50  326.72  1.127 20  66.72  1.178  50  376.72  1.1264 20  86.72  1.1637  50  426.72  1.1261 30  106.72  1.1538  476.72  1.1259 

    Puesto que el tirante normal es yn  = 1.125759 m el flujo al final del tramo AB,prácticamente se normaliza, ya que llega con un tirante de y = 1.1259 m; existeuna diferencia de 0.000141 m.

    4.5.3 Método del pas o di rec to

    En este método se resuelve ecuación (4-16-a) o (4-16-b), si Fr >1 o Fr < 1,respectivamente. Para el análisis se considera que, una vez establecido el sentido

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    del cálculo, se despeja ∆x: Por ejemplo, si el flujo es supercrítico, es decir, elsentido de cálculo es en dirección al escurrimiento, de (4-16-a) se tiene que:

    21210

    2

    1  f    f     S S  x E  E  xS     

    de donde

    210

    12

    2

    1 f   f     S S S 

     E  E  x

      (4-18.1)

    donde Sfi está dada por ecuación (4-13.1) y representa la pendiente de la línea deenergía, en la sección “i”. 

    Sin embargo, si el flujo es subcrítico, entonces, se despeja el incremento dedistancia, de ecuación (4-16-b), quedando como:

    )1()2(021

    2  f    f     S S 

     x xS  E  E   

     

    de donde

    210

    21

    2

    1  f    f     S S S 

     E  E  x

      (4-18.2)

    Como aplicación se resuelve el problema 4.4, resuelto por integración gráficacuando se expuso dicho método (sección 4.5.1).

    Solución. De la discusión, en el problema de referencia, se concluyó que y n  =0.8162 m e yc = 0.6743 m; por lo que, el perfil es tipo M3, con yinicial = 0.55 ft =0.16764 m y yfinal = 0.48768 m y fueron propuestos ocho tirantes que se muestranen la tabla siguiente:

    I 1 2 3 4 5 6 7 8yi (m) 0.16764 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.48768Para encontrar las distancias parciales se usó Ec. (4-18.1), con la definición deenergía específica y la pendiente Sf, dada por Ec. (4-13.1).

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    210

    12

    2

    1 f   f     S S S 

     E  E  x

      (4-18.1)

    donde

     g 

    V  y E    iii

    2

    2

        y

    2

    3/2

    2

    3/2 

     

      

     

     

      

     

     AR

    nQ

     R

    nV S   f    

    Los cálculos se organizaron en la siguiente tabla de cálculo, donde se

    concentraron todos los elementos geométricos requeridos para resolver ecuación(4-18.1), tomando en cuenta las fórmulas que definen la geometría de la seccióntrapezoidal.

     A = (b + ky)y = (6.096 + 2y)y

    52096.612   2  yk  yb P     

    R = A/P

    Q   b  k  n  α  S0  MÉTODO(m3/s)  (m)  PASO  DIRECTO 

    11.327  6.096  2  0.025  1.1  0.00360 

    y  A  P  R  AR(2/3)  E  Sf   X  Xacum 

    (m)  (m2)  (m)  (m)  (m)  (m)  (m) 

    0.16764  1.078  6.846  0.157  0.314  6.356  0.81112  0.00  0.00 

    0.200  1.299  6.990  0.186  0.423  4.462  0.44791  3.03  3.03 

    0.250  1.649  7.214  0.229  0.616  2.895  0.21100  4.81  7.83 

    0.300  2.009  7.438  0.270  0.839  2.083  0.11382  5.12  12.95 

    0.350  2.379  7.661  0.310  1.091  1.621  0.06742  5.30  18.25 0.400  2.758  7.885  0.350  1.370  1.345  0.04275  5.36  23.61 

    0.450  3.148  8.108  0.388  1.676  1.176  0.02856  5.29  28.90 

    0.48768  3.449  8.277  0.417  1.924  1.093  0.02167  3.87  32.77 Podrá observar que los resultados son muy similares a los obtenidos por elmétodo de integración gráfica, por lo que en aplicaciones reales se deja alestudiante la decisión del método por aplicar.

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

    27/38

     

    Ejemplo 4.6

    Un canal trapecial, con ancho de plantilla igual a 2.50 m; talud lateral 1V:0.8H;conduce un gasto Q = 25 m3/s. El perímetro del canal tiene una rugosidad de n =0.012 y conecta dos depósitos, como se muestra en la figura E4.6, donde se hanincluido las pendientes longitudinales y las condiciones de descarga, del depósitosuperior, así como el tirante de llegada en el depósito de aguas abajo.

    TRAMO LONGITUD PENDIENTE A-B 200 0.025B-C 600 0.0002

    Solución. De las rutinas del tirante normal y tirante crítico, se obtuvieron lossiguientes valores numéricos:

    Tramo A-B Tramo B-C

    ynormal = 0.856 m ynormal = 3.190 mycrítico = 1.780 m ycrítico = 1.780 m

    De los resultados obtenidos se sigue que en el tramo A-B se formará un perfil tipoS2  (pendiente fuerte) y en el tramo B-C, los perfiles serán tipo M (pendientesuave) – del punto B al inicio del salto hidráulico, el perfil debe ser M

    3 y de ahí en

    adelante M2.

    Hecho este análisis, ya es posible calcular el perfil longitudinal que, en el casoparticular del tramo A-B se proponen dos longitudes de 25 m y tres de 50 m, conlo cual se hacen 200 m.

    BC

    FIG. E4.6. Perfil

    longitudinal

    yc 

    y = 2 m

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

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    Para el tramo B-C, al inicio se calcula el perfil M2  desde el punto C hasta elextremo de aguas arriba, es decir, hasta el punto B; debido a que no se conoce lalocalización del salto hidráulico; el perfil M3 se calcula desde un tirante inicial igualal que determine el perfil S2, en el punto B, hasta un tirante aproximadamenteigual al crítico. Para cada tirante del perfil M3, se calcula su tirante conjugado

    aplicando la función momentum, con la finalidad de localizar el punto donde iniciael salto hidráulico.

    Cálculo del perfil S2 (tramo A-B)- método del paso estándar

    Para la solución por el método del paso estándar (es el apropiado, debido a queson dadas las distancias), se aplica la ecuación (4-16-a), ya que el flujo essupercrítico. De las condiciones dadas, el tirante inicial es y = yCRITICO =1.780 m;por consiguiente, con este tirante la parte izquierda de la ecuación citada es:

    0346.3)00187172.0(225

    )985.6(225)1(780.1)025.0(25 2

    2

     g 

     

     A = ( b + ky)y = ( 2.5 +0.8x1.78)(1.78) =6.985 m2 

    P = b +2y   21   k  = 2.5 + 2(1.789) 28.01 =7.059 m

    R = A/P =6.985/7.059 = 0.9895 m

    00187172.0)9895.0(985.6

    25012.02

    3/2

    2

    3/2

     

     

     

     

     

     

      

     

      x

     AR

    nQS   f  

     

    Por tanto, ecuación (4-16-a) queda como:

    2

    2

    222

    220346.3

      f  S 

     x

     g 

    V Y       

    que resuelta por ensayo y error, para un ∆x1  = 25 m, se obtuvo un tirante y2  =1.2370 m, como se muestra a continuación.

    De las fórmulas para el área hidráulica, A; radio hidráulico, R y pendiente defricción, se tienen los siguientes resultados:

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

    29/38

    que al sustituir en ecuación anterior, queda:

      0334.30069.02

    25

    2

    7915.52370.1

    2

     g 

     

    prácticamente igual al valor de la parte izquierda; por lo que, el tirante que está a25 m a la derecha del tirante de 1.78 m, es y2 = 1.2370 m.

     Ahora, con este tirante se calculó la parte izquierda, de ecuación (4-16-a) y seresolvió, por ensayo y error, la ecuación resultante, para obtener el tirante y3.Tomando los datos de tabla anterior, se obtiene:

    3

    2

    3

    3322

    4848.3

      f  S  x

     g 

    V Y       

    La cual se resuelve para y3 =1.111 m.

    Repitiendo el proceso para cada tramo propuesto, se llegó a los siguientesresultados, para este tramo A-B:

    L ACUM (m) 0.00 25.00 50.00 100.00 150.00 200.00TIRANTE (m) 1.780 1.237 1.111 0.992 0.935 0.904

    Cálculo del perfil M3 (tramo B-C)- método de Integración gráfica.

    Se usa este método porque se conoce la variación de los tirantes de este perfil; asaber, el tirante inicial es y = 0.904 m y el tirante final es cercano al tirante crítico,según las características de los perfiles dadas en figura 4.2.

    Para la aplicación del método mencionado, se proponen los siguientes tirantes:Punto 1 2 3 4 5 6 7 8Y 0.904 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60x 0.00

    Cálculo del factor de sección y la conductividad:

    7670.17670002.025

    SoQ Kn , 9819.7

    1/81.925

    /

      g Q Zc ,

    por tanto,

      1 1

    2

    2

    /7670.17671

    /9819.71

    0002.0

    1)(

    i

    i

    i

    i

     y

     y

     y

     y j   dy

     K 

     Z dy y f   x  

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

    30/38

      A partir de este momento será suficiente calcular, para cada tirante, el valor quetoma f(y), después, integrar gráficamente, para cada pareja de tirantes. Porejemplo, para yinicial  = 0.904 m y el siguiente, es decir, para y = 1.00 m; seobtuvieron los valores de Z, K y f(y), que se agrupan en la siguiente tabla.

    Y A P T Z K f(y)0.904 2.914 4.815 3.946 2.504 173.710 446.7221.000 3.300 5.061 4.100 2.961 206.778 434.783

    El área se aproxima con el método trapecial siendo, para este par de tirantres:

     Área = ∆x =   3122.42904.00.1783.434722.4462

    1  m

    Y así para cada pareja de tirantes. Los resultados finales son

    Punto 1 2 3 4 5 6 7 8Y(m) 0.904 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60X(m) 0.00 42.31 84.85 125.13 162.33 195.50 223.50 244.94

    Cálculo del perfil conjugado de M3 (tramo B-C).

    Los tirantes conjugados se estiman con la ecuación del salto hidráulico (funciónmomentum). Por cuestiones prácticas, la ecuación del momentun se escribe de talforma que, en su parte izquierda quede el momentun conocido, es decir:

    2

    2

     

     

     

        A Z 

     gA

    Q DATO  g    (3-14-a)

    2

    2

    2

    11

    2

     A Z  gA

    Q A Z 

     gA

    Q g  g     

    que para una sección trapezoidal toma la forma de:

     

      bky

     y

    kyby g 

    Q32

    6  1

    2

    1

    2

    11

    2

      bky y

    kyby g 

    Q32

    6  2

    2

    2

    2

    22

    2

      (3-15-a)

    Los tirantes a sustituir, en la parte izquierda de ecuación anterior, son los quedefinen el perfil M3, es decir, Y = 0.904, 1.00, 1.10, 1.20, 1.30, 1.40, 1.50, 1.60 m.

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

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    En cada caso, se obtendrá un tirante conjugado. Por ejemplo, para y = 0.904 m, laparte izquierda de (3-14-a), conduce a:

     A1 = (2.50 + 0.8x0.904)(0.904) = 2.914 m2 

    1 gA 9.81*2.914 = 28.5863 m

    3

    /s2

     

        219.150.2*3904.0*8.0*26

    904.032

    6

    22

    1   bky

     y A Z  g   

      084.23219.15863.28

    252

    11

    2

      A Z  gA

    Q g  = M1 

    Por tanto, de (3-15-b) se tiene:

      5.76.16*8.05.2

    25084.23 2

    2

    2

    2

    22

    2

      y y

     y y g , y2 = 3.0237 m.

    De igual manera se procede para los otros tirantes del perfil M3; llegando a lossiguientes resultados:

     Y conj 3.0237 2.8338 2.6562 2.4954 2.3483 2.2129 2.0875 1.9709

    Y(m) 0.904 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60X(m) 0.00 42.31 84.85 125.13 162.33 195.50 223.50 244.94

    Cálculo del perfil M2 (tramo B-C).-método del paso estándar

    Como el perfil M2 es subcrítico (Fr < 1), para su cálculo se usa ecuación (4-16-b) ola Ec. (4-16-a) con Δx = - Δx, esto es:

    2

    2

    221

    2

    110

    2222 

      f    f     S 

     x

     g 

    V Y S 

     x

     g 

    V Y  xS        

    Se proponen seis longitudes de 50 m cada una y tres tramos de 100 m cada uno.

    La condición inicial es que y1  = 2.00 m. Por ello, con este valor del tirante secalcula la parte izquierda de (4-16-b) y la ecuación resultante se resolverá, para y2,en esta ocasión; después para y3; y, así sucesivamente.

    Para el primer tramo de ∆x = 50 m e y1 = 2.00 m

    Para facilidad de solución de Ec. (4-16-b), se propone se transcriba de la siguienteforma:

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    )1(

    2

    11

    22)(

      i  f  

    ii   S 

     x

     g 

    V Y i DATO       (4-16-c)

    donde

    0)(

    2

    .22

    )(   S  xS  x

     g 

    V  yi DATO i  f  

    ii  

          (4-16-d)

    Cálculo de elementos geométricos e hidráulicos, para obtener DATO(1):

    Y (m) A (m2) P (m) R (m) R2/3  Sf  2.00 8.200 7.622 1.076 1.050 0.001214

      4941.2)0002.0)(50(001214.02

    50

    2

    20.8/2512)(

    2

     g 

    i DATO  

    Con lo que ecuación (4-16-c) se escribió como:

    2

    3/2

    11

    2

    1

    2

    1.22

    4941.2  

      

     

    iii

    i R A

    nQ x

     gA

    QY   

    Resolviendo para el tirante, por prueba de ensaye y error, se obtiene y2 = 2.112 m

     Ahora, y2 = 2.112 m, es la sección conocida, por lo que, con este valor se calcula

    DATO(2) y se escribe ecuación (4-16-c), como una función de yi+2. En este casoquedó como:

     

      

     

      ,.22

    5336.2

    2

    3/2

    22

    2

    2

    2

    2

    iii

    i R A

    nQ x

     gA

    QY 

     

    y3 = 2.1861 m.

    Etc,En tabla siguiente se muestran todos los resultados obtenidos y la figura siguientelos perfiles calculados:X(m) 0 50 100 150 200 250 300 400 500 600Y(m) 2.000 2.112 2.1861 2.244 2.292 2.333 2.369 2.431 2.483 2.527

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

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    El punto donde se corta el perfil Conjugado de M3 y el perfil M2, se localiza el saltohidráulico.

    Ejemplo 4.7

    Un canal rectangular de 30 pies de ancho conduce un gasto de 450 pies 3/s. Lapendiente del canal es de 0.0017, su factor de rugosidad es n = 0.022. El canal esafluente de un río en donde la etapa existente de avenidas es de 12 pies por

    encima de la profundidad normal en el canal. Determínese la curva de remansoresultante, en el canal afluente, en cuatro puntos a lo largo del canal.

    Solución. De la condición de flujo uniforme, yn  = 0.899 m. De la teoría de flujocrítico, yc = 0.583 m. De estos resultados se concluye que el perfil a formarse es

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

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    tipo M y como el tirante, en el punto de afluencia es 12 pies mayor que el tirantenormal, es decir, yo = yn + 3.658 m = 4.240 m, perfil del remanso es M1.

    De la forma que piden la solución y, conociendo la variación del tirante, en elremanso, se proponen los siguientes tirantes: 4.24 m; 4.00 m; 3.50 m; 3.00m; 2.50

    m; 2.00 1.50 m y 1.00 m El método a usar es el de Integración Gráfica.Cálculo del factor de sección y la conductividad.

    053.309So

    Q Kn , 0684.4

    /

      g 

    Q Zc ,

    por tanto,

      1 1

    2

    2

    /053.3091

    /0684.41

    0017.0

    1)(

    i

    i

    i

    i

     y

     y

     y

     y j   dy

     K 

     Z dy y  f   x  

    Cálculo de la distancia que separa los tirantes y1 = 4.240 m e y2 = 4.00 m.

    Para y1 = 4.24 m

     A = by = 9.144*4.24 = 38.771 m2 

    P = b + 2y = 9.144 + 2(4.24) = 17.624 m

    833.7924.4771.38/     T  A A Z   m5/2 

      880.980,2624.17

    771.38771.38

    022.0

    1.

    1   3/23/2  

      

        R An

     Kn  

      083.593

    88.980,2/053.3091

    833.79/0684.41

    0017.0

    1)(

    2

    2

    1  

     y f    

    De la misma forma se calculó f(y) para cada tirante propuesto, llegando a lossiguientes resultados:

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

    35/38

     

    Se deja que el estudiante aplique el método del paso directo, para los mismostirantes.

    Ejemplo 4.8

    Un tubo de alcantarilla en concreto reforzado de 72 pulgadas de diámetro y 250pies de largo, está colocado en una pendiente de 0.02 con salida libre. Calcule elperfil del flujo si la alcantarilla descarga 252 pies3/s, y n = 0. 012 y α=1.0

    d0  Q N S0  α  L0NG Radio

    (m) (m3/s) (m) (m)

    1.829 7.136 0.012 0.020 1.000 76.200 0.914

    Solución . De la teoría de flujo uniforme yn  = 0.791 m y de la condiciónde flujocrítico se obtuvo yc  = 1.326 m. Como yc > yn, a pendiente es fuerte (S) y seformará un perfil S2, con tirante inicial yc. El cálculo se realiza en sentido delescurrimiento, por ser flujo supercrítico y, por tanto se usa ecuación (4-16-a).

    2

    2

    221

    2

    110

    2222 

      f    f     S 

     x

     g 

    V Y S 

     x

     g 

    V Y  xS         (4-16-a)

    Tomando el primer tramo de 6.2 m (Dx1), para los datos del problema, la parte

    izquierda toma el valor de:

    2

    3/2

    22

    2

    22

    22

    2

    2.6

    21

    365.1

    136.7*012.0

    2

    2.6

    2

    494.31326.102.02.6

     

      

     

     

      

     

     R A

    nQ

     g 

    V Y 

     g  

  • 8/18/2019 HCANALES CAP4

    36/38

    2

    3/2

    22

    2

    22

    2

    2.6

    21062.2

     

      

     

     R A

    nQ

     g 

    V Y   

    Resolviendo para el tirante, al final de la distancia de 6.2 m, se tiene que y2 = 1.11m (ver tabla de cálculo auxiliar, abajo).

    Fórmulas de la sección transversal:

       

    r  y sen  12  

        2

    08

    1d  sen A      

     01

    4

    1d 

     sen R  

     

      

     

     

     

     

    Tabla de cálculo auxiliar

    Y θ  A R V AR2/3  Sf DATO

    (m) (m2) (m) (m/s) (m8/3) (m)

    1.326 4.075 2.040 0.547 3.498 1.365 0.004 2.062

    1.110 3.573 1.668 0.511 4.277 1.066 0.006 2.062

    Si la segunda distancia parcial es Δx2 = 15 m y partiendo ahora con el tirante y =1.110 m (obtenido arriba), se encontró un tirante al final de esa distancia y 3  =0.989 m.

    El proceso se repite para otras distancias, llegando a los siguientes resultados:

    Distancia parcial (m) 6.20 15.00 15.00 20.00 20.00Distancia (m)  0.00 6.20 21.20 36.20 56.20 76.20

    Tirante (m)  1.326 0.110 0.989 0.931 0.885 0.857

    Problemas propuestos

    Problema 1. Un canal rectangular se 20 pies de ancho consta de tres tramos conpendientes diferentes (como se muestra en la figura). El canal tiene un coeficientede rugosidad n = 0.014 y conduce un caudal de 500 pies 3/s. Determine:

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    37/38

    Determine:

    1 El perfil (s) que se formarán en el canal.2 Calcule el perfil(s) identificado(s) en el punto anterior.

    Problema 2. Un canal rectangular de 30 ft (9.144 m) de ancho, n = 0.014;comunica dos embalses, como se muestra en la figura. Determinar: a) El gastoque ingresa al canal, b) El perfil ó los tipos de perfil(s) que se forma(n) y c)Realizar el cálculo de los perfiles.

    Problema 3. Calcular el perfil longitudinal que se desarrolla en un canal desección trapezoidal con b = 6 m, n = 0.025, k = 2, So = 0.001 y α= 1.02; queconduce un gasto de Q = 28 m3/s. Dicho canal termina en una caída libre, como semuestra en la figura.

    y

    6.096

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    38/38

     

    Problema 4. Para el ejempo 4.5 determine el perfil en el tramo de canal conpendiente longitudinal S0 = 0.017591

    Referencias bibliográficas

    1. HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS/Ven Te Chow/Mc Graw-Hill2. HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS/Richard H. French/Mc Graw Hill

    a

    á

     

    Sección a-á