hampiran solusi analitik pada model epidemik dengan

Halaman 1 dari 25

Perjanjian No: III/LPPM/2017-01/20-P

Hampiran Solusi Analitik pada Model Epidemik dengan Menggunakan

Metode Analisis Homotopi

Disusun Oleh:

Benny Yong, S.Si., M.Si.

Livia Owen, S.Si., M.Si.

Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat

Universitas Katolik Parahyangan

2017

Halaman 2 dari 25

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ........................................................................................................................ 2

ABSTRAK............................................................................................................................ 3

BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................................... 4

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................................... 6

BAB III. METODE PENELITIAN ..................................................................................... 11

BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN ............................................................................... 13

BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................................. 14

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN............................................................................. 24

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................... 25

Halaman 3 dari 25

ABSTRAK Banyak metode menyelesaikan masalah persamaan diferensial tak linear, salah satunya

adalah dengan menggunakan metode analisis homotopi. Solusi dari metode analisis homotopi

berupa deret pangkat dan kekonvergenan solusi sangat bergantung pada parameter bantu.

Keunggulan metode analisis homotopi dalam menentukan solusi analitik adalah jaminan

kekonvergenan dari solusi deret pangkat dengan memilih parameter bantu yang tepat. Semua

model epidemik melibatkan sistem persamaan diferensial tak linear. Solusi analitik pada

model epidemik jarang ditentukan karena kompleksitas dari penyelesaiannya. Kebanyakan,

penelitian model epidemik hanya melakukan kajian numerik dengan menggunakan metode

RK4 untuk melihat dinamika populasinya. Penelitian ini akan menentukan hampiran solusi

analitik pada beberapa model epidemik, seperti model SI, SIR, dan SEIR. Metode analisis

homotopi akan digunakan untuk menentukan hampiran solusi analitik pada persamaan-

persamaan diferensial tak linear untuk beberapa model epidemik tersebut. Simulasi numerik

akan dilakukan untuk menginvestigasi hasil dinamika sistem dari metode analisis homotopi

dengan metode RK4.

Kata-kata kunci: deret pangkat, model epidemik, metode RK4, metode analisis homotopi

Halaman 4 dari 25

BAB I. PENDAHULUAN

Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Beberapa metode itu antara lain adalah metode Euler, metode Taylor, metode titik tengah,

dan metode Runge-Kutta. Biasanya, permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial tak

linear diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 (RK4). Tidak seperti

pada metode Euler dimana truncation error terus membesar seiring dengan bertambahnya

iterasi, metode RK4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan

truncation error yang jauh lebih kecil. Solusi analitik dari persamaan diferensial tak linear

jarang ditentukan karena kompleksitas penyelesaiannya.

Metode analisis homotopi (MAH) adalah suatu metode analitik untuk menyelesaikan

persamaan diferensial tak linear. MAH memerlukan operator linear dan tak linear. Operator

tak linear ditentukan berdasarkan bentuk fungsi yang dimiliki persamaan diferensial tak

linear itu. Penggunaan MAH dilakukan dengan mendefinisikan suatu fungsi homotopi.

Fungsi homotopi ini memerlukan parameter bantu yang dapat digunakan untuk mengontrol

daerah kekonvergenan dari penyelesaian suatu pesamaan diferensial tak linear. Solusi yang

dihasilkan dari MAH berupa deret pangkat. MAH sangat efektif karena metode ini dapat

digunakan sebagai hampiran solusi analitik dari persamaan diferensial tak linear dengan galat

yang dihasilkan sangat kecil. MAH ini juga efisien karena kekonvergenan solusi diperoleh

dalam selang waktu yang kecil. MAH merupakan suatu metode analitik yang dapat

memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya.

Pemodelan matematika merupakan suatu cara memahami matematika melalui masalah dalam

kehidupan sehari-hari yang direpresentasikan dalam suatu model matematika. Model

matematika dapat dikaitkan dengan permasalahan di bidang teknik, ekonomi, politik, dan

biologi. Model epidemik merupakan model matematika yang dikaitkan dalam bidang biologi.

Beberapa model epidemik antara lain model Susceptible-Infected (SI), model Susceptible-

Infected-Recovered (SIR), model Susceptible-Exposed-Infected-Recovered (SEIR).

Susceptible adalah kelompok individu sehat yang rentan untuk terkena penyakit, Exposed

adalah kelompok individu yang telah terinfeksi tetapi belum tampak gejalanya, Infected

adalah kelompok individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit, dan Recovered

adalah kelompok individu yang telah sembuh dari penyakitnya.

Halaman 5 dari 25

Dinamika sistem dari model epidemik biasanya diselesaikan dengan menggunakan metode

numerik RK4. Penelitian ini akan membahas tentang formulasi MAH dalam menentukan

hampiran solusi analitik dari beberapa model epidemik. Hasilnya akan dibandingkan dengan

metode RK4. Simulasi numerik untuk parameter bantu akan dilakukan untuk melihat

pengaruh parameter ini terhadap model epidemik.

Hasil yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

1. Formulasi beberapa model epidemik dengan menggunakan MAH

2. Bentuk deret pangkat dari hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH untuk

beberapa hampiran sampai dengan diperoleh solusi yang konvergen

3. Perbandingan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH dan solusi

numerik dengan menggunakan metode RK4

4. Lain-lain: Makalah ilmiah dan terbentuknya subkelompok penelitian Matematika

Biologi (BioMat) dalam kelompok keahlian Matematika Industri di Program Studi

Matematika FTIS UNPAR

Halaman 6 dari 25

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada makalah Efelin, P., Yong, B., dan Owen, L. (2016), telah dibahas model epidemik untuk

penyakit SARS. Pada model tersebut ditinjau pengaruh vaksinasi dengan dua kondisi, yaitu

pemberian vaksin sebelum terjadinya wabah SARS dalam suatu populasi dan pemberian

vaksin selama terdapat penyakit SARS di dalam populasi itu. Model pertama yang digunakan

melibatkan individu rentan, individu terinfeksi tapi belum bisa menularkan, individu yang

diisolasi, individu terinfeksi yang sudah bisa menularkan dan belum terdiagnosa SARS,

individu pulih, dan individu meninggal karena penyakit SARS. Model kedua menambahkan

individu rentan yang telah divaksin. Kondisi ambang batas terjadinya wabah penyakit SARS

dinyatakan oleh bilangan reproduksi dasar yang ditentukan dengan menggunakan matriks

generasi.

Pada makalah Georli, M.A., Owen, L., dan Yong, B. (2015), telah dibahas model epidemik

SIR (Susceptible-Infected-Recovered) dengan laju insidensi yang tak linear dan adanya

perawatan. Pada model ini, laju perawatan diasumsikan sebanding dengan banyaknya

subpopulasi terinfeksi ketika banyaknya subpopulasi terinfeksi di bawah atau mencapai

kapasitas dan akan bernilai konstan ketika banyaknya subpopulasi terinfeksi melebihi

kapasitas. Perubahan titik kesetimbangan dan kestabilan pada model ini dilakukan melalui

analisis trace dan determinan matriks Jacobi. Simulasi numerik dilakukan dengan mengambil

nilai parameter yang berbeda-beda untuk melihat bifurkasi yang terjadi pada model ini. Hasil

simulasi numerik menunjukkan eksistensi dari bifurkasi Saddle-Node.

Pada makalah Octora, E., Yong, B., dan Owen, L. (2014), telah dipaparkan analisis mengenai

model S-I untuk satu dan dua wilayah. Transportasi antar wilayah merupakan salah satu

faktor yang mempengaruhi penyebaran penyakit. Penyebaran penyakit akan mengubah

dinamika populasi pada setiap wilayah. Dalam makalah ini, dibentuk suatu model

matematika penyebaran penyakit untuk satu dan dua wilayah yang bertujuan untuk melihat

bagaimana perbedaan dinamika populasi pada satu wilayah dan di setiap wilayah yang

diakibatkan oleh perpindahan populasi. Model matematika yang digunakan adalah model S-I

(Susceptible-Infected). Untuk model dua wilayah, diasumsikan populasi terinfeksi pada kedua

wilayah terisolasi sehingga perpindahan ke wilayah lain hanya terjadi dari populasi rentan.

Halaman 7 dari 25

Dari model S-I satu dan dua wilayah ini telah dicari titik kritis dan sifat kestabilannya serta

penyajian hasil simulasi numeriknya.

Pada makalah Rachmiawati, M., Yong, B., dan Martin, I. (2013), kajian peluang untuk

bilangan reproduksi dasar pada model epidemik SIR telah dibahas. Model SIR yang

digunakan dalam makalah ini ada dua macam yaitu model SIR tanpa perawatan penyakit dan

model SIR dengan perawatan penyakit. Dari kedua model SIR ini telah dicari titik

kesetimbangan dan analisis kestabilan titik kesetimbangan, kemudian disimulasikan bilangan

reproduksi dasar dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Hasil simulasi Monte

Carlo memberikan gambaran tentang efek dari perubahan parameter pada model SIR untuk

bilangan reproduksi dasar.

Pada makalah Yong, B. (2007), telah dibahas model epidemik untuk penyebaran HIV dalam

sistem penjara. Model epidemik yang digunakan adalah model SI. Hasil pembahasan

menunjukkan bahwa pemberian terapi antiretroviral (ARV) dapat melambatkan pertumbuhan

virus pada penderita HIV, walaupun tidak membunuh virus tersebut.

Pada makalah Yong, B. dan Owen, L. (2016), telah dikaji model epidemik dari penyakit

MERS-CoV pada dua wilayah. MERS-CoV pertama kali ditemukan di Arab Saudi dan

berdasarkan laporan WHO (World Health Organization), sejak September 2012 sampai

dengan 10 Juni 2015 telah ditemukan 1.257 kasus konfirmasi penyakit ini dengan 448 orang

mengalami kematian (CFR (Case Fatality Rate): 35,64%). Penyakit ini berpotensi menyebar

ke Indonesia mengingat jumlah jamaah umrah/haji asal Indonesia ke Arab Saudi meningkat

setiap tahunnya. Pada makalah ini telah disajikan suatu model deterministik penyebaran

penyakit menular MERS-CoV antar dua wilayah. Dari model yang dibentuk, diperoleh titik

kesetimbangan dan bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan

menggunakan matriks generasi. Pencarian bilangan reproduksi dasar dilakukan untuk melihat

parameter-parameter yang dapat dikontrol dan tidak dapat dikontrol. Kontrol paramater pada

model penyebaran penyakit menular MERS-CoV diharapkan dapat mencegah penyebaran

penyakit ini di Indonesia.

Pada makalah Liao, S.J. (2004), metode analisis homotopi dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah persamaan tak linear. Metode ini menggunakan pendekatan deret

pangkat sebagai solusi akhir dari hampiran solusi persamaan diferensial tak linear. Pada

Halaman 8 dari 25

selang waktu yang pendek, metode ini akan menghasilkan suatu solusi yang konvergen dan

hasilnya cukup baik terhadap hasil eksaknya. Parameter bantu yang termuat di dalam

formulasi metode ini sangat mempengaruhi kekonvergenan dari solusinya.

Pada penelitian sebelumnya, solusi model epidemik ditentukan dengan menggunakan metode

numerik. Liao menawarkan suatu metode analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial

tak linear. Pada penelitian ini, metode analisis homotopi akan diterapkan untuk

menyelesaikan beberapa model epidemik yang merupakan sistem persamaan diferensial yang

melibatkan paling sedikit satu persamaan diferensial tak linear. Hasil metode analitik akan

dibandingkan dengan metode numerik Runge-Kutta 4 (RK4) dan akan dilihat perbedaan

galatnya, apakah metode analitik ini lebih baik dan lebih mudah untuk diaplikasikan untuk

model epidemik atau tidak. Beberapa model epidemik yang akan digunakan adalah model SI,

SIR, dan SEIR.

Konsep dasar MAH adalah sebagai berikut. Misalkan 푁 adalah operator tak linear, 푡 adalah

variabel bebas, dan 휗(푡) adalah fungsi yang tidak diketahui dengan 휗 (푡) merupakan dugaan

nilai awal dari solusi eksak 휗(푡) pada persamaan

푁[휗(푡)] = 0 (2.1)

Saat 휗(푡) = 0, maka operator linear 퐿[휗(푡)] = 0. Definisikan sebuah persamaan homotopi 퐻

dimana terdapat parameter 휌 ∈ [0,1] , parameter bantu ℎ ≠ 0, dan fungsi bantu 퐻(푡) ≠ 0

yang ditulis sebagai persamaan berikut

(1 − 휌)퐿[휙(푡;휌)− 휗 (푡)] − 휌ℎ퐻(푡)푁[휙(푡;휌)] = 퐻[휙(푡;휌);휗 (푡),퐻(푡),ℎ,휌] (2.2)

Dugaan nilai awal 휗 (푡), operator linear 퐿, parameter bantu ℎ, dan fungsi bantu 퐻(푡) dapat

ditentukan dengan bebas. Pandang persamaan homotopi (2.2) bernilai nol, yaitu

퐻[휙(푡;휌);휗 (푡),퐻(푡),ℎ, 휌] = 0

maka persamaan

(1 − 휌)퐿[휙(푡;휌)− 휗 (푡)] = 휌ℎ퐻(푡)푁[휙(푡; 휌)] (2.3)

disebut sebagai persamaan deformasi orde nol. Saat 휌 = 0, maka persamaan (2.3) menjadi

퐿[휙(푡; 0)− 휗 (푡)] = 0

Halaman 9 dari 25

Karena 퐿[휗(푡)] = 0 ketika 휗(푡) = 0, maka

휙(푡; 0) = 휗 (푡) (2.4)

Saat 휌 = 1, maka persamaan (2.3) menjadi

ℎ퐻(푡)푁[휙(푡; 1)] = 0

sehingga

푁[휙(푡; 1)] = 0

Saat 휌 = 1, maka persamaan (2.1) menjadi

휙(푡; 1) = 휗(푡) (2.5)

Jadi, berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.5), peningkatan nilai 휌 dari 0 ke 1 akan menyatakan

perubahan dugaan nilai awal 휗 (푡) menjadi solusi eksak 휗(푡) . Solusi dari persamaan

diferensial dengan menggunakan MAH ini selanjutnya dapat ditentukan dengan

menggunakan pendekatan deret pangkat:

휙(푡;휌) = 휗 (푡) + ∑ 휗 (푡)휌 (2.6)

dengan

휗 (푡) =!

( ; ) (2.7)

Jika operator linear 퐿, dugaan nilai awal 휗 (푡), parameter bantu ℎ, dan fungsi bantu 퐻 telah

ditentukan dengan tepat, maka deret pangkat (2.6) akan konvergen saat 휌 = 1, yaitu

휙(푡; 1) = 휗 (푡) + 휗 (푡)

Sehingga dengan menurunkan persamaan (2.3) terhadap 휌 sebanyak 푚 kali dan

mensubstitusikan persamaan (2.7), diperoleh persamaan deformasi orde m

퐿 휗 (푡)− 휒 휗 (푡) = ℎ퐻(푡)ℜ (휗 (푡)) (2.8)

dengan

휒 = 0,푚 ≤ 11,푚 > 1

Halaman 10 dari 25

Dari persamaan (2.8) dapat ditentukan hampiran solusi analitik dari suatu persamaan

diferensial.

Berikut ini adalah peta dari penelitian yang telah dilakukan:

Yong, B. (2007). Model

Penyebaran HIV dalam

Sistem Penjara. Jurnal

MIPA: Matematika, Ilmu

Pengetahuan Alam, dan

Pengajarannya, 36(1),

pp. 31-47.

Rachmiawati, M., Yong, B., dan Martin, I. (2013). Kajian Peluang untuk Bilangan Reproduksi Dasar pada Model SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 8, pp. 102-110.

Georli, M.A., Owen, L., dan Yong, B. (2015). Bifurkasi Saddle-Node pada Model SIR dengan Laju Insidensi yang Tak Linear dan Adanya Perawatan. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 10, pp. 64-74.

Hmpiran Solusi

Analitik Model

Epidemik dengan

MAH

Octora, E., Yong, B.,

dan Owen, L. (2014).

Analisis Model S-I

untuk Satu dan Dua

Wilayah, Prosiding

Seminar Nasional

Matematika, 9, pp. 100-

110.

Efelin, P., Yong, B., dan Owen, L. (2016). Model Penyebaran Penyakit SARS dengan Pengaruh Vaksinasi. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 11, pp. 77-85.

Yong, B. dan Owen, L. (2016). Dynamical Transmission Model of MERS-CoV in Two Areas. AIP Conference Proceedings, 1716, http://dx.doi.org/10.1063/1.4942993

http://dx.doi.org/10.1063

Halaman 11 dari 25

BAB III. METODE PENELITIAN

Bagan alir dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

Sistematika dari usulan penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu:

Tahap 1: Pemilihan beberapa model epidemik dan studi pustaka metode analisis

homotopi

Tahap 2: Penetapan parameter dan kondisi awal dari model epidemik

Mulai

Pemilihan beberapa

model epidemik, seperti

model SI, SIR, dan SEIR

Studi pustaka tentang

metode analisis homotopi

Penetapan parameter dan

kondisi nilai awal dari

model epidemik

Penentuan solusi model

epidemik dengan metode

RK4 dan MAH

Kajian numerik dan

analisis hasil

Selesai

Solusi numerik

dengan metode

RK4

Hampiran solusi

analitik dengan

MAH

Halaman 12 dari 25

Tahap 3: Hampiran solusi analitik beberapa model epidemik dengan menggunakan

metode analisis homotopi dan membandingkan hasilnya dengan metode RK4

Tahap 4: Kajian numerik dan analisis hasil

Mulai tahap 3 dan 4 akan dilakukan diseminasi hasil-hasil yang diperoleh melalui seminar

intern, seminar nasional, atau seminar internasional.

Adapun luaran penelitian yang direncanakan adalah sebagai berikut:

Diperoleh hampiran solusi analitik beberapa model epidemik dengan menggunakan

metode analisis homotopi.

Publikasi pada jurnal internasional dan/atau jurnal nasional terakreditasi.

Dipresentasikan di seminar/konferensi tingkat nasional atau internasional.

Proposal lanjutan. Proposal lanjutan ini merupakan penggunaan metode lain untuk

menentukan hampiran solusi analitik model epidemik dan membandingkan metode

mana yang hasilnya lebih akurat dan efisien.

Halaman 13 dari 25

BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN

Kegiatan

Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November minggu minggu minggu minggu minggu minggu Minggu minggu minggu minggu minggu

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Diskusi Tinjauan Pustaka

Penyusunan Metode Penelitian

Pembuatan Program

Analisis Hasil dan Pembahasan

Penyusunan Laporan Penelitian

Keterangan: kebutuhan orang minggu dalam setiap aktivitas adalah 2 orang

Halaman 14 dari 25

BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN

Model epidemik yang dibahas pada penelitian ini adalah model SI, SIR, dan SEIR dalam

populasi tertutup. Pada setiap model akan ditentukan hampiran solusi analitiknya dengan

menggunakan metode analisis homotopi. Diagram kompartemen untuk ketiga model

epidemik disajikan pada Gambar 5.1 untuk model SI, Gambar 5.2 untuk model SIR, dan

Gambar 5.3 untuk model SEIR.

Gambar 5.1 Diagram kompartemen model epidemik SI

Pada model epidemik SI, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu I

dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari

kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu I sebesar 훽푆퐼 . Sehingga sistem

persamaan diferensialnya adalah

푑푆푑푡 = −훽푆퐼푑퐼푑푡 = 훽푆퐼

dengan kondisi nilai awal

푆 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁

Pilih parameter bantu ℎ = −1 dan fungsi bantu 퐻(푡) = −1. Hampiran solusi analitik dengan

menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SI adalah

푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏

퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡) − 퐼 (휏)− 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏

S I 훽

Halaman 15 dari 25

Gambar 5.2 Diagram kompartemen model epidemik SIR

Pada model epidemik SIR, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu I

dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari

kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu I sebesar 훽푆퐼. Kemudian, dalam

kelompok individu I, individu yang telah sembuh atau pulih dari penyakit akan memasuki

kelompok individu R dengan laju konstan 훾 . Sehingga sistem persamaan diferensialnya

adalah

⎩⎪⎨

⎪⎧

푑푆푑푡 = −훽푆퐼

푑퐼푑푡 = 훽푆퐼 − 훾퐼

푑푅푑푡 = 훾퐼


푆 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁 ,푅 (푡) = 푁


menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SIR adalah

푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏

퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡)− 퐼 (휏) − 훽 푆 (휏)퐼 (휏) + 훾퐼 (휏) 푑휏

푅 (푡) = 휒 푅 (푡) − [푅 (휏) − 훾퐼 (휏)]푑휏

S I 훽

R 훾

Halaman 16 dari 25

Gambar 5.3 Diagram kompartemen model epidemik SEIR

Pada model epidemik SEIR, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu

I dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari

kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu E sebesar 훽푆퐼 . Dalam kelompok

individu E, individu yang dapat menularkan penyakit akan memasuki kelompok individu I

dengan laju konsan 휔. Banyaknya individu E yang memasuki kelompok individu I adalah

sebesar 휔퐸. Kemudian, dalam kelompok individu I, individu yang telah sembuh atau pulih

dari penyakit akan memasuki kelompok individu R dengan laju konstan 훾. Sehingga sistem

persamaan diferensialnya adalah

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

푑푆푑푡 = −훽푆퐼

푑퐸푑푡 = 훽푆퐼 − 휔퐸

푑퐼푑푡 = 휔퐸 − 훾퐼

푑푅푑푡 = 훾퐼


푆 (푡) = 푁 ,퐸 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁 ,푅 (푡) = 푁


menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SEIR adalah

푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏

퐸 (푡) = 휒 퐸 (푡)− 퐸 (휏) − 훽 푆 (휏)퐼 (휏) + 휔퐸 (휏) 푑휏

S E 훽

I 휔

R 훾

Halaman 17 dari 25

퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡) − [퐼 (휏) −휔퐸 (휏) + 훾퐼 (휏)]푑휏

푅 (푡) = 휒 푅 (푡) − [푅 (휏) − 훾퐼 (휏)]푑휏

Gambar 5.4 merupakan hasil solusi numerik dengan menggunakan metode RK4 untuk model

epidemik SI. Sedangkan Gambar 5.5 merupakan hampiran solusi analitik dengan

menggunakan metode MAH untuk model epidemik SI. Parameter yang digunakan adalah

훽 = 0,01 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20 dan 푁 = 10.

Gambar 5.4 Solusi model epidemik SI dengan menggunakan metode RK4

Pada Gambar 5.5 dapat dilihat bahwa nilai parameter bantu yang menyebabkan

kekonvergenan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH terdapat pada ℎ ∈

[−1,−0,5].

Halaman 18 dari 25

(a)

(b)

Gambar 5.5 Solusi model epidemik SI dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai

nilai ℎ; (a) S dan (b) I

Perbandingan galat pada model SI untuk masing-masing kelompok individu dengan

menggunakan metode RK4 dan metode analisis homotopi (ℎ = −1) disajikan pada Tabel

5.1. Dapat dilihat pada Tabel 5.1, banyaknya individu S dan I dengan menggunakan MAH

nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 3.

Tabel 5.1 Perbandingan galat kelompok individu S dan I dengan menggunakan RK4 dan

MAH (ℎ = −1)

푡 SRK4 SMAH IRK4 IMAH

1 17,9112 17,9112 12,0888 12,0888

2 15,6981 15,6981 14,3019 14,3019

3 13,4541 13,4541 16,5459 16,5459

4 11,2779 11,2782 18,7221 18,7218

5 9,2568 9,2591 20,7432 20,7409

6 7,4537 7,4677 22,5463 22,5323

7 5,9019 5,9637 24,0981 24,0363

8 4,6072 4,8175 25,3928 25,1825

Halaman 19 dari 25

9 3,5546 4,1326 26,4454 25,8674

10 2,7167 4,0263 27,2833 25,9737


epidemik SIR. Sedangkan Gambar 5.7 merupakan hampiran solusi analitik dengan

menggunakan metode MAH untuk model epidemik SIR. Parameter yang digunakan adalah

훽 = 0,01 dan 훾 = 0,02 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20,푁 = 10, dan 푁 = 5,.

Gambar 5.6 Solusi model epidemik SIR dengan menggunakan metode RK4



[−1,−0,5].

Halaman 20 dari 25

(a)

(b)

(c)

Gambar 5.7 Solusi model epidemik SIR dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai

nilai ℎ; (a) S, (b) I, dan (c) R

Perbandingan galat pada model SIR untuk masing-masing kelompok individu dengan


5.2. Dapat dilihat pada Tabel 5.2, banyaknya individu S dan I dengan menggunakan MAH

nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 3 . Sedangkan untuk

banyaknya individu R dengan menggunakan MAH nilainya sama (dalam 4 desimal) dari

푡 = 1 sampai dengan 푡 = 5.

Halaman 21 dari 25

Tabel 5.2 Perbandingan galat kelompok individu S, I, dan R dengan menggunakan RK4 dan

MAH (ℎ = −1)

푡 SRK4 SMAH IRK4 IMAH RRK4 RMAH

1 17,9314 17,9314 11,8502 11,8502 5,2184 5,2184

2 15,7772 15,7772 13,7485 13,7485 5,4743 5,4743

3 13,6223 13,6223 15,6096 15,6096 5,7680 5,7680

4 11,5510 11,5511 17,3511 17,3510 6,0979 6,0979

5 9,6342 9,6344 18,9050 18,9049 6,4608 6,4608

6 7,9205 7,9201 20,2270 20,2278 6,8526 6,8521

7 6,4341 6,4235 21,2976 21,3105 7,2682 7,2660

8 5,1775 5,0998 22,1197 22,2064 7,7028 7,6938

9 4,1371 3,7581 22,7114 23,1214 8,1515 8,1205

10 3,2896 1,8389 23,1005 24,6440 8,6099 8,5171


epidemik SEIR. Sedangkan Gambar 5.9 merupakan hampiran solusi analitik dengan

menggunakan metode MAH untuk model epidemik SEIR. Parameter yang digunakan adalah

훽 = 0,01,훾 = 0,02, dan 휔 = 0,1 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20,푁 = 15,푁 = 10,

dan 푁 = 5,.

Gambar 5.8 Solusi model epidemik SEIR dengan menggunakan metode RK4

Halaman 22 dari 25



[−1,−0,5].

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 5.9 Solusi model epidemik SEIR dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai

nilai ℎ; (a) S, (b) E, (c) I, dan (d) R

Halaman 23 dari 25

Perbandingan galat pada model SEIR untuk masing-masing kelompok individu dengan


5.3. Dapat dilihat pada Tabel 5.3, banyaknya individu S dengan menggunakan MAH nilainya

sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 5. Untuk banyaknya individu E dan I

dengan menggunakan MAH nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan

푡 = 6. Sedangkan untuk banyaknya individu R dengan menggunakan MAH nilainya sama

(dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 8.

Tabel 5.3 Perbandingan galat kelompok individu S, E, I, dan R dengan menggunakan RK4

dan MAH (ℎ = −1)

푡 SRK4 SMAH ERK4 EMAH IRK4 IMAH RRK4 RMAH

1 17,9788 17,9788 15,4963 15,4963 11,3119 11,3119 5,2131 5,2131

2 15,9494 15,9494 15,9527 15,9527 12,6453 12,6453 5,4526 5,4526

3 13,9606 13,9606 16,3267 16,3267 13,9937 13,9937 5,7190 5,7190

4 12,0556 12,0556 16,5850 16,5850 15,3470 15,3470 6,0124 6,0124

5 10,2710 10,2710 16,7040 16,7040 16,6922 16,6922 6,3328 6,3328

6 8,6345 8,6344 16,6705 16,6705 18,0151 18,0151 6,6799 6,6799

7 7,1645 7,1643 16,4815 16,4818 19,3008 19,3007 7,0532 7,0532

8 5,8704 5,8692 16,1432 16,1447 20,5348 20,5345 7,4516 7,4516

9 4,7525 4,7474 15,6694 15,6756 21,7040 21,7030 7,8741 7,8740

10 3,8041 3,7859 15,0794 15,1009 22,7971 22,7943 8,3193 8,3189

Halaman 24 dari 25

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN

Beberapa kesimpulan dan saran dari hasil penelitian ini adalah:

1. MAH dapat digunakan untuk menentukan hampiran solusi analitik model epidemik

SI, SIR, dan SEIR.

2. Kekonvergenan hampiran solusi analitik model epidemik SI, SIR, dan SEIR dengan

MAH diperoleh cukup cepat.

3. Pemilihan parameter bantu sangat menentukan kekonvergenan hampiran solusi

analitik dari model epidemik SI, SIR, dan SEIR.

4. Sebagai bahan perbandingan, dapat digunakan metode lain selain MAH untuk

menentukan hampiran solusi analitik untuk model epidemik tersebut.

Halaman 25 dari 25

DAFTAR PUSTAKA Efelin, P., Yong, B., & Owen, L. (2016). Model Penyebaran Penyakit SARS dengan

Pengaruh Vaksinasi. Prosiding Seminar Nasional Matematika 11, (pp. 77-85).

Georli, M. A., Owen, L., & Yong, B. (2015). Bifurkasi Saddle-Node pada Model SIR dengan

Laju Insidensi yang Tak Linear dan Adanya Perawatan. Prosiding Seminar Nasional

Matematika 10, (pp. 64-74).

Liao, S. J. (2003). Beyond perturbation: introduction to the homotopy analysis method. Boca

Raton: Chapman and Hall/CRC Press.

Liao, S. J. (2004). On the homotopy analysis method for nonlinear problems . Applied

Mathematics and Computation, 147(2), 499-513.

Liao, S. J. (2011). Homotopy analysis method in nonlinear differential equations. Springer.

Octora, E., Yong, B., & Owen, L. (2014). Analisis Model S-I untuk Satu dan Dua Wilayah.

Prosiding Seminar Nasional Matematika 9, (pp. 100-110).

Rachmiawati, M., Yong, B., & Martin, I. (2013). Kajian Peluang untuk Bilangan Reproduksi

Dasar pada Model SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika 8, (pp. 102-110).

Yong, B. (2007). Model Penyebaran HIV dalam Sistem Penjara . Jurnal MIPA: Matematika,

Ilmu Pengetahuan Alam, dan Pengajarannya, 36(1), 31-47.

Yong, B., & Owen, L. (2016). Dynamical Transmission Model of MERS-CoV in Two Areas.

AIP Conference Proceedings. 1716. AIP Publishing. doi:10.1063/1.4942993

hampiran solusi analitik pada model epidemik dengan

Documents