HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI•INTERPOLASI

Pendahuluan• Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit (biasanya

disajikan dalam bentuk tabel) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium.

• Contoh:

– Masalah yang muncul :• ingin mengetahui waktu patahan y jika diberi tegangan x sebesar 12

kg/mm2 pada baja – Solusi: mencari fungsi yang dengan mencocokkan titik-titik data

dalam tabel ( pencocokan kurva)

Tegangan yg diberikan,x,kg/mm2 5 10 15 20 25 30 35 40

Waktu patah, y, jam 40 30 25 40 18 20 22 15

Pendahuluan• Pencocokan kurva untuk

– mencari nilai fungsi– menghitung nilai turunan

• Contoh:– Diketahui fungsi – Hitung turunan fungsi di atas jika x = a f’(a) = ?– SULIT???

• Pendekatan dilakukan dengan menyederhanakan fungsi f(x) menjadi polinom pn(x) yang berderajat ≤ n

5

22/1

21)42()(

x

xxInxf

nnn

n

xaxaxaxaaxp

inihaldalamxpxf

...)(

:)()(

33

2210

Interpolasi

• Jika data memiliki ketelitian tinggi, kurva dibuat melalui setiap titik menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi

Interpolasi Linier• adalah interpolasi dua buah titik dengan

sebuah garis lurus– misal titik (x0, y0) dan (x1, y1)

• Polinom yg terbentuk persamaan garis lurus )(

)()()( 0

01

0101 xx

xxyyyxp

y

x

(x0,y0)

(x1,y1)

Contoh :

Taksirlah logaritma natural dari 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7919595, dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718.

Penyelesaian :

35835190.0)12(16

07917595.10)2(1

p

%3.48%100 0.69314718

35835190.0- 0.69314718 xerror

Interpolasi Linier

Interpolasi Kuadratik• Misal dipergunakan tiga titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat

p2(x) = a0 + a1x + a2x2 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:

– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0

2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1

2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2

2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan

metode eliminasi Gauss

Interpolasi Kuadratik• Polinom p2(x) ditentukan dengan:

– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0

2 = y0 a0 + a1x1 + a2x1

2 = y1 a0 + a1x2 + a2x2

2 = y2 – hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan

metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p2(x)

Interpolasi Kuadratik• Contoh:

Diberikan titik In(8,0)=2,0794, In(9,0)=2,1972, dan In(9,5)=2,2513. Tentukan nilai In(9,2)!

• PENYELESAIAN– SPL yang terbentuk:

a0 + 8,0a0 + 64,00a2 = 2,0794 a0 + 9,0a1 + 81,00a2 = 2,1972 a0 + 9,5a1 + 90,25a2 = 2,2513

– Eliminasi Gauss

0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81

5,11719,025,265,101178,000,170,100794,200,640,81

2513,225,905,911972,200,810,910794,200,640,81

2313

12

RRRRRR

Interpolasi Kuadratik• PENYELESAIAN

– Eliminasi Gauss

– Diperoleh:• 0,57a2 = -0,0048 a2 = -0,0064• 1,0a1 + 17,00a1 = 0,1178

1,0a1 + 17,00(-0,0064) = 0,1178 a1 = 0,2266• a0 + 8,0a1 + 64,00a2 = 2,0794

a0 + 8,0(0,2266) + 64,00(-0,0064) = 2,0794 a0 = 0,6762– Substitusi ke persamaan polinom

• p2(x) = 0,6762 + 0,2266x1 – 0,0064x2

– sehingga p2(9,2) = 0,6762 + 0,2266(9,2) – 0,0064(9,2)2

= 2,2192

0048,075,0001178,000,170,100794,200,640,81

Interpolasi Kubik• Misal dipergunakan empat titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2), dan

(x3,y3)• Polinom yg menginterpolasi polinom kuadrat

p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 …………(1)• Polinom p2(x) ditentukan dengan:

– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0

2 + a3x03 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1

3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2

2 + a3x23 = y2

a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3

3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan

metode eliminasi Gauss

Interpolasi Kubik• Polinom p3(x) ditentukan dengan:

– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x0

2 + a3x03 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1

3 = y1 a0 + a1x2 + a2x2

2 + a3x23 = y2

a0 + a1x3 + a2x33 + a3x3

3 = y3 – hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan

metode eliminasi Gauss– Substitusikan denga persamaan p3(x)

• Dengan cara yang sama, bisa dibuat polinom interpolasi berderajat n untuk n yang lebih tinggi pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn

• Polinom p2(x) ditentukan dengan:– substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1) diperoleh 2 persamaan

a0 + a1x0 + a2x02 + a3x0

3 + … +anx0n = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1

3 + … +anx1n = y1

a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2

3 + … +anx2n = y2

a0 + a1x3 + a2x32 + a3x3

3 + … +anx3n = y3

…. …. … a0 + a1xn + a2xn

2 + a3xn3 + … +anxn

n = y3 – hitung a0,a1,a2,a3,…,an dari sistem persamaan di atas dengan

metode eliminasi Gauss– Substitusi denga persamaan pn(x)

Polinom Lagrange

• Interpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan

Polinom Newton