METODE NUMERIKTKM4104

Kuliah ke-2

DERET TAYLOR DAN

ANALISIS GALAT

DERET TAYLOR

o Deret Taylor adalah alat yang utama untukmenurunkan suatu metode numerik.

o Deret Taylor berguna untuk menghampirifungsi ke dalam bentuk polinom

o Fungsi yang rumit menjadi sederhana denganderet Taylor

DERET TAYLOR

Definisi :

Andai kata f dan semua turunannya, f ’,f ’’,f ’’’,…menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo danxє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

DERET TAYLOR

Jika (x-xo)=h, maka :

Contoh :

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitarxo=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f ’’’(x) = - cos(x)

f ’(x) = -cos(x) f(4)(x) = sin(x)

f ’’(x) = - sin(x) dst.

DERET TAYLOR

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.

Contoh 1 :

f(x)= sin(x) dimana xo = 0

...)1sin(24

)1cos(6

)1sin(2

)1cos()1sin( )sin( )(432

hhh

hxxf

...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf

Penyelesaian :

Contoh 2 : f(x)=ex dimana xo=0

Penyelesaian :

)0cos(6

)0sin(2

)0cos()0sin( )sin( )(32 hh

hxxf

...!4

)0(

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0()( 0

430

200

e

xxe

xe

xeexf x

...1206

)sin( )(53

xx

xxxf

...!4!3!2

1)(43

02

xx

ex

xexf x

DERET TAYLOR

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhinggabanyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu.

Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakanderet Taylor terpotong yg dinyatakan:

)()(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0

' xRxfn

xxxf

xxxf

xxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1(

)()( )1(

)1(

residusisagalatdisebutxcxcfn

xxxR o

nn

on

DERET TAYLOR

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai sukuorder ke-n dapat ditulis :

dimana :

)()()( xRxPxf nn

DERET TAYLOR

)(!

)()(

1

o

kn

k

k

on xf

k

xxxP

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

n

on

Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde

ke-n

Penyelesaian :

)1sin(!4

)1()1cos(

!3

)1()1sin(

!2

)1()1cos(

!1

)1()1sin()(

432

4

xxxxxP

)cos(!5

)1()(

)!14(

)1()(

5)14(

)14(

4 cx

cfx

xRGalat

DERET TAYLOR

a. Apa itu galat?

b. Mengapa harus ada galat?

c. Bagaimana menghitung galat?

d. Bagaimana galat timbul?

ANALISIS GALAT

oSolusi dengan metode numerik adalahsolusi hampiran (aproksimasi) terhadapsolusi eksak

oGalat (ε) adalah perbedaan antara solusihampiran dengan solusi eksak.

oDefinisi: ε= a - â

ANALISIS GALAT

ANALISIS GALAT

^

aaMutlakGalat

%100 : xa

relatifGalat R

%100 : ^

x

a

hampiranrelatifGalat RA

Misalkan :

Contoh :

: , ^

makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha

galatdisebutaa ^

45,10 10,5; ^

aa 05,05,1045,10

ANALISIS GALAT

Contoh :

Diketahui : a= 10/3; â = 3,333

Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak !

(c). Galat relatif !

(d). Galat relatif hampiran !

Penyelesaian :

(a). Galat : ε = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000

= 1/3000 = 0,000333

(b).

(c).

(d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran(iteration), εRA dihitung dengan cara :

dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang

ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01%100%x (10/3)

0,000333 100%x : relatifGalat

aR

999

1100%x

3,333

0,000333 100%x :hampiran relatifGalat

^

aRA

1

1

r

rrRA

a

aa

000333,0^

aaMutlakGalat

Proses lelaran dihentikan bila :

|εRA| < εS

εS = Toleransi galat yang dispesifikasikan

Semakin kecil εS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya

Contoh :

Diketahui : Xr+1=(Xr3 + 3)/6; r =0,1,2,3

Xo= 0,5; εs= 0,00001

Hitung : εRA !

Penyelesaian :

Xo = 0,5

X1 = 0,4791667;

X2 = 0,4816638;

X3 = 0,4813757;

X4 = 0,4814091;

X5 = 0,4814052;

sRA

043478,0X

)XX(

1

o1

sRA

0051843,0X

)XX(

2

12

sRA

0005984,0X

)XX(

3

23

sRA

0000693,0X

)XX(

4

34

! ,0000081,0X

)XX(

5

45 berhentisRA

Secara umum terdapat dua sumber utamapenyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu :

1. Galat pemotongan (truncation error)

2. Galat pembulatan (round-off error)

Ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental

2. Galat pemrograman

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

o Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagaipengganti formula eksak.

o Ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti denganformula yg lebih sederhana

o Tipe galat pemotongan bergantung pada metodekomputasi yg digunakan untuk penghampiran shgkadang-kadang disebut juga galat metode.

GALAT PEMOTONGAN

Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis xi+1

Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !

Penyelesaian :

f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)

f ’(x) = - sin(x)

f ’’(x) = - cos(x)

h

xfxfx iif

)()()( 1

1

'

Maka :

Galat pemotongan :

......!10!8!6!4!2

1)cos()(108642

xxxxx

xxf

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

n

on

Nilai hampiran Galat pemotongan

)cos(!5

)()!14(

)0()(

5)14(

)14(

4 cx

cfx

xR

Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kitaperoleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnyaterkecuali informasi bahwa c terletak pada selangtertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilaimaksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selangyg diberikan, yaitu :

)!1(

)x-(x )()(

)1(

o)1(

ncfxR

nn

xcx

n Makso

Contoh-1 :

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) danberi-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !

Penyelesaian :

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f’(x) = 1/x f’(x) = 1

f’’(x) = -1/x2 f’(x) = -1

f’’’(x) = 2/x3 f’’’’(x) = 2

f(4)(x) = - 6/x4 f(4)(x) = -6

f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c) = 24/c5

Deret Taylor :

Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-tongan < 0,0000034.

)(4

)1(

3

)1(

2

)1()1()ln( 4

432

xRxxx

xx

)(4

)1,0(

3

)1,0(

2

)1,0(1,0)9,0ln( 4

432

xR

)(1053583,0)9,0ln( 4 xR

0000034,05!

(-0,1)x

c

24)9,0(

5

519,0

4

Maksc

R

Contoh-2 :

Hampiri nilai secara numerik, yaitu :

dengan deret Maclaurin orde 8 !

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dxex

1

0

2 2

)( xexf

2

)( xexf

!4!3!21

86422 xxx

xex

dxxxx

xdxex )!4!3!2

1(861

0

1

0

422

4617724,1216

1

42

1

10

1

3

11

0

1

21642103

9753

x

xxxxxx

o Perhitungan dgn metode numerik hampir selalumenggunakan bilangan nyata

o Dengan aplikasi computer, semua bilangan riiltdk dapat disajikan secara tepat

o Keterbatasan komputer dalam menyajikanbilangan riil menghasilkan galat yang disebutgalat pembulatan.

GALAT PEMBULATAN

Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.

Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajianbilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point)

Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point)

Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03

0,1714 x 10-13 atau

0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebutjuga “Angka Bena” (significant figure).

Adalah angka bermakna, angka penting atauangka yg dapat digunakan dgn pasti.

Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)

0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)

0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)

0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

ANGKA BENA

Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakanjumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

Contoh :

Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karenakita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

9800667,024

)2,0(

2

)2,0(1)2,0(

42

Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

GALAT TOTAL