guías de laboratorio de introducción a la cristalografia (nueva)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

LABORATORIO DE FÍSICA Y QUÍMICA

GUÍAS DE LABORATORIO DE INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA

Lic. Carlos Quiñones Monteverde

CALLAO – PERÚ

2014

2

GUÍAS DE LABORATORIO DE INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA

DERECHOS RESERVADOS. Este manual ni parte de él puede ser reproducido o

transmitido de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo

fotocopia o grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el

permiso escrito del autor.

3

ÍNDICE

Índice 3

Presentación 5

Laboratorio Nº 1: Introducción al CaRIne Crystallography 3.0 7

Laboratorio Nº 2: Introducción al Powder Cell 2.3 for Windows 12

Laboratorio Nº 3: Planos Cristalinos 17

Laboratorio Nº 4: Cálculos Cristalográficos 21

Laboratório Nº 5: Índices de los planos y las direcciones 27

Laboratorio Nº 6: Proyección Estereográfica 31

Laboratorio Nº 7: Ley de Bragg 36

Laboratorio Nº 8: Difracción de rayos X 40

Referencias Bibliográficas 47

5

PRESENTACIÓN

Como un complemento a las lecciones teóricas, en la segunda edición de este

manual se presentan algunas aplicaciones experimentales que podrían simularse con

un computador personal cuando no se cuenta con la infraestructura, el equipamiento

y los materiales que permitan realizar la parte experimental de la asignatura

Introducción a la Cristalografía.

Estas aplicaciones experimentales han sido diseñadas para ser resueltas usando el

CaRIne Crystallography 3.0 – software que puede obtenerse gratuitamente en la

versión de prueba 4.0 para el entorno de Windows en la dirección siguiente:

http://pros.orange.fr/carine.crystallography/ - y el PowderCell 2.3 for Windows,

otro software de gran uso en Cristalografía, que puede obtenerse gratuitamente de la

siguiente dirección electrónica: ftp://ftp.bam.de/Powder_Cell/.

En cada experiencia simulada se da una introducción teórica de los conceptos

fundamentales que rigen la misma, se incluyen las directivas para realizar el trabajo

y poder obtener los resultados con el equipo y el software que se dispone. Al

concluir, se propone la tarea que deba realizar y presentar el estudiante con el

software aplicativo en uso.

Los experimentos están diseñados para un trabajo en clase de 90 minutos, sin

embargo, se requiere que el estudiante haya leído previamente información

referencial concerniente a dicho experimento.

El CaRIne Crystallography 3.0 y el PowderCell 2.3 for Windows están diseñados

para operar en una computadora personal que cuente con el sistema operativo

Windows XP o una versión posterior, con la siguiente configuración mínima:

Computadora personal compatible con un microprocesador Pentium.

Unidad DVD-RAM para la instalación del software.

Disco duro con no menos de 4 Mb de espacio disponible.

64 Mb de memoria.

Monitor de color VGA de alta resolución con tarjeta gráfica.

Mouse de puntero compatible con Windows.

Bellavista 2014

El Autor

http://pros.orange.fr/carine.crystallography/

ftp://ftp.bam.de/Powder_Cell/

7

LABORATORIO Nº 1

INTRODUCCIÓN AL CARINE CRYSTALLOGRAPHY 3.0

OBJETIVOS.-

Familiarizarse con el uso del programa CaRIne Crystallography 3.0.

Identificar y describir las funciones de los elementos de la pantalla principal.

Construir la celda unidad de cristales cúbicos usando este programa aplicativo.

GENERALIDADES.-

El CaRIne Crystallography 3.0 es una herramienta informática que permite la

creación, visualización y modificación simulada de estructuras cristalinas. Realiza

diversos cálculos cristalográficos de los diferentes modelos simulando una variedad

de condiciones experimentales.

La Figura 1.1 muestra la ventana principal del CaRIne Crystalloghraphy 3.0 en la

que se pueden observar algunas de sus aplicaciones y en la que, además, se pueden

desplegar un conjunto de menús que permiten principalmente:

controlar automáticamente, entre otras:

la apertura o creación de celdas cristalográficas,

Figura 1.1.- Ventana principal del CaRIne Crystalloghraphy 3.0 con aplicaciones

8

la rotación de las celdas para una mejor visualización de los planos

cristalográficos

la traslación de los planos

calcular:

las distancias entre los átomos de la celda,

el ángulo entre las direcciones de los planos,

el volumen y la densidad de la celda unitaria.

crear:

Proyecciones estereográficas.

Registros de difracción de rayos x para diferentes longitudes de onda.

Las características de los cristales

pueden ser fácilmente explicadas

asumiendo una estructura reticular para

las sustancias cristalinas. La estructura

de un cristal es representada

diagramaticamente en la forma de una

red espacial, como se muestra en la

Figura 1.2. Es decir la red cristalina

espacial viene representada por un

conjunto de traslaciones en las tres

direcciones del espacio, de tal forma

que el cristal puede considerarse como un apilamiento, en tres dimensiones, de

paralelepípedos idénticos. Cada paralelepípedo, de una forma y tamaño

determinados se denomina celda unidad. Su tamaño viene determinado por la

longitud de sus tres aristas a, b y c y la forma por el valor de los ángulos entre

dichas aristas , y , como se observa en la Figura 1.3. La cara unidad es el plano

diagonal de este paralelepípedo.

La celda unitaria es entonces el agrupamiento

más pequeño de átomos que conserva la

geometría de la estructura cristalina y que al

apilarse en unidades repetitivas forma un

cristal con dicha estructura.

Las unidades axiales a, b y c se asocian a los

ejes X(I), Y(II) y Z(III), respectivamente, y

los ángulos interaxiales se definen como sigue: entre los ejes Y(II) y Z(III),

entre los ejes X(I) y Z(III) y entre los ejes X(I) y Y(II).

Z

Y

X Figura 1.2.- La red espacial

a

b

c

Figura 1.3.- Celda unitaria

9

Para crear una celda unidad con CaRIne Crystallography 3.0, debe conocerse la

posición de cada átomo en la celda, lo que requiere obtener esta información de una

bibliografía especializada. Es posible acceder a los parámetros de la celda así como

también a la lista de átomos del elemento en cualquier momento, usando la función

Creation / List del Menú Cell. Una manera rápida de predefinir los parámetros de

la celda, de acuerdo al sistema cristalino al que pertenece el cristal, es usando las

funciones redes de Bravais del menú Cell antes de usar la función Creation /List.

PROCEDIMIENTO.-

1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando open

cell del menú File, aperturar el archivo correspondiente a la celda ya creada de

un compuesto, a fin de activar algunos comandos de la barra de menús.

2. Colocar el puntero del mouse en cada uno de los menús de la barra de menús y

observar, en cada caso, el despliegue del cuadro de comandos.

3. Observar y registrar la lista de comandos e intentar definir la función de cada

uno de ellos aplicándoselos a la celda aperturada.

4. Usando el comando Creation del menú Cell, hacer aparecer la caja de diálogo

Cell Creation/Cell List, que se muestra en la Figura 1.4.

5. La caja de diálogo de la celda unidad comprende de seis textos para los

parámetros de celda (a, b, c, , , ), una lista de posiciones atómicas, siete

textos para entrar en las posiciones (símbolo químico, nivel de oxidación, X, Y,

Z, R y el factor de ocupación). Un botón permite modificar el color de un

Figura 1.4.- Caja de diálogo Cell Creation

10

átomo y cuatro botones permiten agregar, modificar o borrar una posición

atómica.

6. Hacer click en el botón Mendeleev para obtener la Tabla Periódica, mostrada

en la Figura 1.5, donde se puede seleccionar el elemento a considerar. Una vez

seleccionado el elemento hacer click en OK. La Tabla de Mendeleev puede

usarse para dar sus características separadamente (el símbolo químico, nivel de

oxidación, radio, color y ocupación).

7. Escribir el valor de las coordenadas X, Y y Z y hacer click en el botón Add.

8. Cuando se han completado de definir todas las posiciones de los átomos hacer

click en el botón Apply. Luego hacer click en OK.

TAREA.-

1. Identificar los elementos de la pantalla principal del programa CaRIne

Crystalloghraphy 3.0.

2. En relación a la pregunta 1, indicar y describir las funciones de los comandos

de los menús:

File Cell Calcul Crystal Window

Edit hkl/uvw Specials View ?

3. Identificar y definir las funciones de cada uno de los íconos de acceso directo

de la barra de herramientas.

Figura 1.5.- Tabla Periódica

11

4. Considerando que el ClNa tiene una estructura cúbica de constante de red 0

A63,5 , que contiene cuatro átomos Cl en las posiciones 000, 02

1

2

1 ,

2

10

2

1 y

2

1

2

10 y cuatro átomos Na en las posiciones

2

1

2

1

2

1 ,

2

100 , 0

2

10 y 00

2

1 ,

construir su celda unitaria.

5. Construir la celda unitaria del CsCl, en cuya estructura existe sólo una

molécula por celda, con átomos Cs en los vértices 000 y átomos Cl en las

posiciones centradas en el cuerpo 2

1

2

1

2

1 de la red espacial cúbica simple y

constante de red 0

A11,4 .

6. Construir la celda unitaria del ZnS, en cuya estructura existen cuatro moléculas

de ZnS por celda, con átomos Zn en las posiciones 000,

2

1

2

10 ,

2

10

2

1 , 02

1

2

1 y

átomos S en las posiciones 4

1

4

1

4

1 , 4

3

4

3

4

1 , 4

3

4

1

4

3 , 4

1

4

3

4

3 de la red espacial

cúbica cara centrada y constante de red 0

A41,5 .

12

LABORATORIO Nº 2

INTRODUCCIÓN AL POWDER CELL 2.3 FOR WINDOWS

OBJETIVOS.-

Familiarizarse con el uso del programa Powder Cell 2.3 for Windows.

Identificar y describir las funciones de los elementos de la pantalla principal.

Construir la celda unidad de cristales cúbicos usando este programa aplicativo.

GENERALIDADES.-

El programa Powder Cell for Windows 2.3 está pensado para realizar la simulación

del difractograma que se obtendría en un experimento de difracción de rayos X de

un material cristalino. Simultáneamente, realiza la visualización de la estructura

cristalina del material. Asimismo, con la ayuda de este programa se pueden cambiar

algunos de los parámetros que describen sus estructuras cristalinas - parámetros de

la celda elemental, grupo espacial de simetría o coordenadas de los átomos

constituyentes - para estudiar como se modifica el difractograma correspondiente.

Powder Cell for Windows 2.3 es muy útil para ilustrar de forma sencilla la relación

Figura 2.1.- Ventana principal del PowderCell 2.3 for Windowscon aplicaciones

13

que existe entre la estructura interna de un material cristalino y el diagrama de

difracción de rayos X o de neutrones.

Además, Powder Cell for Windows 2.3 permite realizar un estudio bastante

completo de un modelo, ya que calcula los parámetros geométricos generales de la

estructura (distancias y ángulos de enlace, ángulos de torsión interatómicos, etc) o

de los átomos.

En este programa, inclusive, se puede variar interactivamente la disposición espacial

o la naturaleza química de los átomos seleccionados en la estructura y analizar los

cambios que ello provocaría en el diagrama de difracción.

La Figura 2.1 muestra la ventana principal del programa Powder Cell for Windows

2.3 en el que se pueden observar algunas de sus aplicaciones y, en la que, además,

se puede desplegar un conjunto de menús que permiten, principalmente, controlar

automáticamente, entre otras: la apertura o creación de celdas cristalinas y la

rotación de las celdas para una mejor visualización de los planos cristalinos.

Asimismo, permite calcular las distancias entre los átomos de una celda unitaria, el

ángulo entre las direcciones de los planos de una celda unitaria. Por otro lado,

permite crear registros de difracción de rayos x de los cristales para diferentes

longitudes de onda.

Como ya se ha indicado, las características de los cristales pueden ser fácilmente

explicadas asumiendo una estructura reticular para las sustancias cristalinas. La

estructura de un cristal es representada diagramaticamente en la forma de una red

espacial, como se mostró en la Figura 1.2 y el tamaño de la celda unidad viene

determinado por la longitud de sus tres aristas a, b y c y su forma por el valor de los

ángulos entre dichas aristas , y , como se observó en la Figura 1.3.

Para crear una celda unidad con Powder Cell for Windows 2.3, debe conocerse la

posición de cada átomo en la celda, lo que requiere obtener esta información de una

bibliografía especializada. Es posible acceder a los parámetros de la celda así como

también a la lista de átomos del elemento en cualquier momento, usando la función

edit initial data del Menú Structure.

PROCEDIMIENTO.-

1. Cargar el programa Powder Cell for Winows 2.3 y usando el comando Load

del menú File, abrir el archivo correspondiente a la celda ya creada de un

compuesto, a fin de activar algunos comandos de la barra de menús.

2. Colocar el puntero del ratón en cada uno de los menús de la barra de menús y

observar, en cada caso, el despliegue del cuadro de comandos.

14

3. Observar y registrar la lista de comandos e intente definir la función de cada

uno de ellos aplicándoselos a la celda aperturada.

4. Seleccionar el menú Structure de la barra de menús y hacer click en el

comando edit inicial data para hacer aparecer la caja de diálogo structure

data que se muestra en la Figura 2.2. Otra forma de acceder a la ventana de

diálogo structure data es haciendo click en el segundo ícono de acceso directo

de la barra de herramientas general.

5. La caja de diálogo struture data comprende dos casilleros para indicar el

grupo espacial, seis casilleros para las constantes de la red (a, b, c, , , ), una

lista de posiciones atómicas que comprenden además el nombre del elemento,

el número atómico, el símbolo químico, el símbolo Wyckoff, el factor de

ocupación y el factor isotrópico de temperatura B. Los botones + atom y -

atom permiten agregar o quitar átomos, respectivamente.

6. Para completar la lista de posiciones atómicas, es necesario conocer el número

atómico del elemento, el cual puede determinarse de la ventana structure

representation options de la función structure representation del menú

Options que se muestra en la Figura 2.3, donde se puede seleccionar la forma

del trazo de los enlaces y los enlaces especiales, las líneas de las celdas y los

factores de perspectiva y tamaño.

Otra forma de acceder a la ventana structure representation options es

haciendo click en el quinto ícono de acceso directo de la barra de herramientas

general.

Figura 2.2.- Caja de diálogo structure data

15

7. Llenar los valores de los seis casilleros para las constantes de la red (a, b, c, ,

, ).

8. Escribir el número atómico del elemento y observar que aparece su símbolo

químico en el espacio correspondiente; a continuación ingresar las coordenadas

x, y y z. Repetir para todas las posiciones de los átomos de los elementos

considerados.

9. Cuando se han completado de ingresar todas las posiciones de los átomos de

los elementos, hacer click en OK. El programa completará por defecto los

casilleros correspondientes al símbolo Wyckoff, al factor de ocupación y al

factor isotrópico de temperatura B.

10. Haciendo uso de la barra de rotaciones, realizar los giros convenientes de la

celda creada alrededor de los ejes coordenados a fin de presentar una mejor

imagen espacial.

TAREA.-

1. Identificar y describir los elementos de la pantalla principal del programa

Powder Cell for Windows 2.3.

2. En relación a la pregunta 1, identificar y describir las funciones principales de

los menús:

Figura 2.3.- Ventana structure representation options

16

File Options Windows Structure Diffraction

Special Select Refinement Help

3. Identificar y describir las funciones de cada uno de los íconos de acceso directo

de la barra de herramientas.

4. Considerando que el ClNa tiene una estructura cúbica de constante de red 0

A63,5 , que contiene cuatro átomos Cl en las posiciones 000, 02

1

2

1 ,

2

10

2

1 y

2

1

2

10 y cuatro átomos Na en las posiciones

2

1

2

1

2

1 ,

2

100 , 0

2

10 y 00

2

1 ,

construir su celda unitaria.

5. Construir la celda unitaria del CsCl, en cuya estructura existe sólo una molécula

por celda, con átomos Cs en los vértices 000 y átomos Cl en las posiciones

centradas en el cuerpo 2

1

2

1

2

1 de la red espacial cúbica simple y constante de

red 0

A11,4 .

6. Construir la celda unitaria del ZnS, en cuya estructura existen cuatro moléculas

de ZnS por celda, con átomos Zn en las posiciones 000,

2

1

2

10 ,

2

10

2

1 , 02

1

2

1 y

átomos S en las posiciones 4

1

4

1

4

1 , 4

3

4

3

4

1 , 4

3

4

1

4

3 , 4

1

4

3

4

3 de la red espacial

cúbica cara centrada y constante de red 0

A41,5 .

7. De lo observado en el Laboratorio 1, ¿Qué similitudes y diferencias encuentra

usted entre los Programas Powder Cel 2.3 for Windows y CaRIne

Crystallography 3.1?

17

LABORATORIO Nº 3

PLANOS CRISTALINOS

OBJETIVOS.-

Visualizar e identificar planos cristalinos usando el programa aplicativo CaRIne

Crystallography 3.0, realizando representaciones gráficas de los mismos.

Usar el Programa informático Powder Cell 2.3 for Windows para identificar y

dibujar planos cristalinos.

GENERALIDADES.-

La orientación de un plano en una red se describe usando los índices de Miller,

definidos como los recíprocos de los interceptos

fraccionales que el plano hace con cada uno de los

ejes cristalográficos. En general, los índices de un

plano se representan por )hk( , e indican que el

plano hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y /1

con los ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c,

el plano hace interceptos a/h, b/k y /c , como

muestra la Figura 3.1.

Paralelo a cualquier plano, en cualquier red existe

todo un conjunto de planos paralelos y equidistantes,

uno de los cuales pasa a través del origen del sistema

de ejes cristalográficos; los índices de Miller )hk( usualmente se refieren a aquel

plano del conjunto que está más cerca al origen.

PROCEDIMIENTO.-

1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando Open

cell del menú File, aperturar el archivo correspondiente a la celda ya creada del

ClNa.

2. De la pantalla obtenida, como la mostrada en la Figura 3.2, identificar los

valores de a, b, c, α, β, γ y el sistema cristalino al que pertenece el cristal.

3. Usando los controles correspondientes de la caja Rotations, que aparece en la

pantalla, realizar rotaciones apropiadas en la celda respecto a cada uno de los

ejes X, Y, Z de tal forma que se muestre la mejor presentación posible de la

celda que permita una buena observación de los planos representados.

Figura 3.1.- Interceptos según Miller

18

4. Seleccionar choice of (hkl) planes del menú hkl/uvw y asignar valores

correspondientes a los índices h, k y , luego hacer Ok para visualizar el plano

elegido. De ser necesario corrija la posición de la celda para una mejor

visualización del plano.

5. Capturar una imagen para cada plano e indicar los índices que le corresponden.

6. Repetir el procedimiento indicado para los planos solicitados de las celdas

creadas para el CsCl

7. Repetir el procedimiento indicado para los planos solicitados de las celdas

creadas para el ZnS.

8. Cargar el programa Powder Cell for Windows 2.3 y usando el comando Load

del menú File, aperturar el archivo correspondiente a la celda ya creada del

ClNa.

9. Seleccionar la función Atom del menú Select, como muestra la Figura 3.3.

10. Ubicar el puntero sobre un átomo que constituye un determinado plano y hacer

click izquierdo para seleccionarlo, observando su cambio de color.

Figura 3.2.- Pantalla de una celda de ClNa

19

11. Repetir el paso anterior para cada uno de los átomos que constituyen el plano

elegido y orientar convenientemente la celda para una mejor visión del plano.

12. Capturar una imagen para cada plano e indicar los índices que le corresponden.

13. Repetir el procedimiento indicado en los pasos 9 al 12 para los otros planos

solicitados de las celdas ya creadas en el programa.

TAREA.-

1. Usando CaRIne Crystalloghraphy 3.0, realizar representaciones gráficas de los

planos cristalográficos del ClNa que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .


planos cristalográficos del CsCl que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .


planos cristalográficos del ZnS que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .

Figura 3.3.- Menú Select del programa Powder Cell 2.3

20

4. Usando Powder Cell 2.3 for Windows dibujar y representar gráficamente los

planos cristalográficos del ClNa que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .


planos cristalográficos del CsCl que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .


planos cristalográficos del ZnS que se indican: (100), (010), (001), (111),

)111( , )101( , (211), )210( .

21

LABORATORIO Nº 4

CÁLCULOS CRISTALOGRÁFICOS

OBJETIVO.-

Realizar cálculos en una celda cristalina cúbica unidad usando el programa CaRIne

Crystallography 3.0.

GENERALIDADES.-

Las redes son conjuntos de puntos imaginarios

que tienen una relación fija en el espacio

constituyendo un armazón sobre el cual se

construye el cristal. En la Figura 4.1 tres

conjuntos de planos - cada uno de ellos

paralelos e igualmente espaciados - dividen el

espacio en un conjunto de celdas idénticas en

tamaño, forma y orientación: celda unitaria.

Cada celda es un paralelepípedo. Los planos

que dividen el espacio se interceptarán unos

con otros en un conjunto de líneas y éstas a su

vez se interceptarán en un conjunto de puntos: puntos de la red.

El tamaño y forma de una celda unitaria es

descrito por tres vectores a

, b

y c

dibujados

desde una esquina de la celda tomada como

origen, como se muestra en la Figura 4.2. Los

tres vectores definen los ejes cristalográficos de

la celda y pueden ser descritos en términos de

sus longitudes a, b y c y los ángulos , y

entre ellos.

El volumen V de la celda unitaria queda definido por el triple producto escalar de la

forma:

cb.aV

(4.1)

La densidad de la celda unitaria se determina según:

N

1i

3ir

V3

4 (4.2)

Donde V es el volumen de la celda, N el número de átomos que contiene y ir el radio

del i-ésimo átomo de la celda unitaria.

Figura 4.2.- Celda unitaria

Figura 4.1.- Red puntual

22

Según Bravais existen catorce redes puntuales posibles, en las que cada punto tiene

alrededores idénticos, las cuales pueden ser celdas simples o primitivas y celdas no

primitivas. Las celdas primitivas tienen sólo un punto de red por celda mientras que

las celdas no primitivas tienen más de uno.

El número de puntos de red por celda es dado por:

8

N

2

NNN cf

i (4.3)

Donde: iN número de puntos interiores en la celda, fN número de puntos en las

caras y cN número de puntos en las esquinas.

La dirección de cualquier línea en una red puede ser descrita por las coordenadas de

cualquier punto sobre una línea paralela a la línea dada y que pase por el origen del

sistema de ejes cristalográficos. Así [uvw] son los índices de la dirección de la línea,

donde los valores de u, v y w son el conjunto de los más pequeños números enteros en

los que se pueden expresar las coordenadas del punto sobre la línea. Índices negativos

son escritos con una barra sobre el número.

Los índices de Miller de un plano se representan por los enteros de la forma )hk( , e

indican que el plano hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y /1 con los ejes, y, si las

longitudes axiales son a, b, y c, el plano hace interceptos a/h, b/k y /c , como se

mostró en la Figura 3.1.

El principio fundamental de la estructura cristalina es que los átomos de un cristal son

puestos en el espacio ya sea sobre los puntos de una red de Bravais o en alguna

relación fija a esos puntos. Los átomos de un cristal serán arreglados periódicamente

en tres dimensiones y este arreglo de átomos exhibirá muchas de las propiedades de

una red de Bravais, en particular muchos de sus elementos de simetría.

Los cristales más simples son aquellos formados al ubicar átomos de la misma clase

en los puntos de una red de Bravais. La estructuras cristalinas más complejas pueden

tener dos o más átomos de la misma clase asociados con cada punto de la red de

Bravais.

PROCEDIMIENTO.-


cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa.

23

2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón

izquierdo del mouse, desplegar los comandos que ofrece el software, como se

observa en la ventana de la Figura 4.3 y elegir la acción que desea realizar a

continuación.

3. Seleccionar Distance between atoms, hacer click con el botón izquierdo del

mouse en un átomo y luego repetir la acción para otro átomo. Aparecerá un

cuadro de mensaje presentando las coordenadas de los átomos seleccionados y

el valor de la distancia en Anstromgs. Para salir hacer click en OK.

4. Seleccionar angle between 2 directions, escribir las direcciones deseadas en el

cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las

direcciones seleccionadas y el ángulo entre ellas.

Si selecciona angle between 2 directions with mouse, deberá hacer click con

el botón izquierdo del mouse en dos átomos cualesquiera de una dirección

determinada y luego repetir la acción para otros dos átomos cualesquiera de

otra dirección. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las direcciones

seleccionadas y el ángulo entre ellas.

Figura 4.3.- Comandos del menú Calcul

24

5. Seleccionar angle between 2 planes, escribir los índices de los planos deseados

en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando

los planos seleccionados y el ángulo entre ellos.

6. Seleccionar angle between plane and direction, escribir los índices del plano

y la dirección deseados en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro

de mensaje presentando los planos seleccionados y el ángulo entre ellos.

7. Seleccionar Unit cell volume para obtener el volumen de la celda unitaria.

8. Seleccionar Unit cell density para obtener la densidad de la celda unitaria.

9. Seleccionar Plane spacing list, elegir una radiación determinada y hacer click

en Create List. Definir el rango y hacer click en OK. Creada la lista, hacer

click en Compute. Imprimir o anotar los valores de dhkl, (hkl), 222 kh ,

Teta, Fs2, P e I%.

TAREA.-

1. Para la celda del ClNa, haciendo uso del programa CaRIne Crystallography

3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos:

La distancia entre los átomos de Na que ocupan las posiciones (1/2,0,0) y

(1,1,1/2).

El ángulo entre las direcciones [102] y [212] de la celda.

El ángulo entre los planos (110) y (210) de la celda.

El ángulo entre el plano (210) y la dirección [212].

El volumen de la celda unitaria.

La densidad de la celda unitaria.

2. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre los dos átomos de

Na que ocupan las posiciones (1/2,0,0) y (1,1,1/2) de la celda del ClNa y

comparar el resultado con la hallada en la pregunta 1.

3. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre las direcciones [102] y

[212] de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta 1.

4. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre los planos (110) y

(210) de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta 1.

5. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre el plano (210) y la

dirección [212] de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la

pregunta 1.

25

6. Mediante la ecuación 4.1, determinar el volumen de la celda unitaria del ClNa y

contrastar su valor con el hallado en la pregunta 1.

7. Determinar la densidad de la celda unitaria usando la ecuación 4.2 y contrastar

su valor con el hallado en la pregunta 1.

8. Obtener la lista del espaciado entre planos de la forma )hk( de la celda del

ClNa; donde 1,k,h1 y calcular los valores correspondientes de dhkl,

(hkl), 222 lkh , Teta, Fs

2, P e I%, para las longitudes de onda de las

radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. Compare los resultados y explique.

9. Para la celda del CsCl, haciendo uso del programa informático CaRIne

Crystallography 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos:

La distancia entre el átomo de Cl que ocupa la posición (1,0,0) y el átomo

de Cs que ocupa la posición (1/2,1/2,1/2).

El ángulo entre las direcciones [111] y [011] de la celda.

El ángulo entre los planos )101( y )101( de la celda.

El ángulo entre el plano )011( y la dirección ]111[ .

El volumen de la celda unitaria.

La densidad de la celda unitaria.

10. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre el átomo de Cl que

ocupa la posición (1,0,0) y el átomo de Cs que ocupa la posición (1/2,1/2,1/2) y

comparar el resultado con la hallada en la pregunta 9.

11. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre las direcciones [111] y

[011] de la celda de CsCl y comparar su valor con el hallado en la pregunta 9.

12. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre los planos )101( y

)101( de la celda de CsCl y comparar su valor con el hallado en la pregunta 9.

13. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre el plano )011( y la

dirección ]111[ de la celda de CsCl y comparar su valor con el hallado en la

pregunta 9.

14. Mediante la ecuación 4.1, determinar el volumen de la celda unitaria del CsCl y


15. Determinar la densidad de la celda unitaria del CsCl usando la ecuación 4.2 y


26

16. Obtener la lista del espaciado entre planos arbitrarios de la celda del CsCl;

donde 1,k,h1 y calcular los valores correspondientes de dhkl, (hkl), 222 lkh , Teta, Fs

2, P e I%, para las longitudes de onda de las radiaciones

de Fe, Co, Cu y Mo. Comparar los resultados y explicar.

27

LABORATORIO N° 5

ÍNDICES DE LOS PLANOS Y LAS DIRECCIONES

OBJETIVO.-

Determinar índices de planos y direcciones en un cristal cúbico usando el programa

informático CaRIne Crystallography 3.0.

GENERALIDADES.-

La dirección de cualquier línea en una red puede ser descrita por las coordenadas de

cualquier punto sobre una línea paralela a la

línea dada y que pase por el origen del sistema

de ejes cristalográficos, como se muestra en la

Figura 5.1. Así [uvw] son los índices de la

dirección de la línea, donde los valores de

u x / a , v y / b y w z / c son el conjunto

de los más pequeños números enteros en los que

se pueden expresar las coordenadas del punto

sobre la línea. Índices negativos son escritos con

una barra sobre el número.

Los índices de Miller de un plano se representan por

los enteros de la forma )hk( , e indican que el plano

hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y /1 con los

ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c, el plano

hace interceptos a/h, b/k y /c , como se observa en la

Figura 5.2.

Los planos de un cristal están arreglados en zonas.

Los planos de una zona son planos que son todos

paralelos a una línea – el eje de zona – y la zona se

especifica dando los índices del eje de la zona. Si el eje

de una zona tiene índices [uvw], entonces cualquier

plano de índices )hk( que pertenece a esa zona satisface la relación:

0wvkuh (5.1)

Una aplicación de la ecuación 5.1 permite determinar los índices [uvw] del eje de

zona a la cual pertenecen dos planos de índices )kh( 111 y )kh( 222 , a partir de la

expresión:

(xyz)

x y

z

II [010]

III [001]

I [100]

a b c

Figura 5.1.- Índices de una línea.

Figura 5.2.- Interceptos

según Miller

28

]uvw[

khkh

khkh

222222

111111

(5.2)

que esquematiza el siguiente procedimiento:

1. Se escriben los índices de cada plano dos veces; los índices de un plano en una

fila y los índices del otro plano en otra fila debajo de los primeros.

2. Se eliminan las dos columnas de los extremos.

3. Se multiplican en cruz los índices que quedan y se restan los productos.

Otra aplicación de la ecuación 5.1 permite determinar los índices (hk ) del plano que

contiene a dos rectas de índices 1 1 1[u v w ] y

2 2 2[u v w ] , a partir de la expresión:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

u v w u v w

u v w u v w

(hk )

(5.3)

que esquematiza el siguiente procedimiento:

1. Se escriben los índices de cada recta dos veces; los índices de una recta en una fila

y los índices de la otra recta en otra fila, debajo de los primeros.

2. Se eliminan las dos columnas de los extremos.

3. Se multiplican en cruz los índices que quedan y se restan los productos.

PROCEDIMIENTO.-


cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa.

2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón

izquierdo del mouse, desplegar los comandos que ofrece el programa, como se

observa en la ventana de la Figura 5.3 y elegir la acción que desea realizar a

continuación.

3. Para determinar los índices del eje de zona de dos planos, hacer click izquierdo

en Zone axis of 2 planes para hacer aparecer el cuadro de diálogo Zone Axis

of 2 Planes que se muestra en la Figura 5.4.

29

4. Escribir, en los espacios designados como Plane, los índices de dos planos y

hacer click en el comando Compute para que el programa muestre, en el

espacio designado como Zone axis, los índices del eje de zona de los planos.

Hacer click en OK para salir.

5. Para determinar los índices del plano que contiene a dos rectas, hacer click

izquierdo en Plane // to 2 directions para hacer aparecer el cuadro de diálogo

Plane // 2 directi… que se muestra en a Figura 5.5.

6. Escribir, en los

espacios designados

como Direction, los

índices de las dos

direcciones y hacer

click en el comando

Compute para que el

programa muestre, en

el espacio designado

como Plane (hkl), los

índices del plano que

contiene a las dos direcciones. Hacer click en OK para salir.

Figura 5.3.- Comandos del menú Calcul

Figura 5.4.- Cuadro de

diálogo Zone Axis of 2

Planes

Figura 5.5.- Cuadro de diálogo Plane // 2

directions

30

TAREA.-

1. Haciendo uso del Programa informático CaRIne Crystallography 3.0, determinar

los índices [uvw] de los ejes de zona que le corresponden a los planos: (a) (100)

y (110), (b) (320) y (110) (c) (231) y (012) del ClNa.

2. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación 5.2, determinar

los índices [uvw] del eje de la zona a la que pertenecen los planos (100) y (110).

Comparar su resultado con el obtenido en la pregunta 1.

3. Determinar el rasgo característico de los índices de los planos de las zonas

[111] y [001].

4. Demostrar que los planos )011( , )121( y )123( pertenecen a la zona [111].

5. ¿Todos los siguientes planos pertenecen a la misma zona: )101( , )113( , )231( ?

Si es así, ¿Cuál es el eje de zona? Dar los índices de cualquier otro plano que

pertenezca a esta zona.

6. Haciendo uso del Programa informático CaRIne Crystallography 3.0, determinar

los índices )kh( del plano que contiene a las líneas de direcciones [100] y

[110] del ClNa.

7. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación 5.3, determinar

los índices del plano al que pertenecen las direcciones [100] y [110]. Comparar su

resultado con el obtenido en la pregunta 6.

8. En los cristales cúbicos la dirección ]hk[ es siempre perpendicular al plano

)hk( que tiene los mismos índices; esto es, por ejemplo, la dirección [100] es

perpendicular al plano (100). ¿Esta regla es, en general, cierta en otros sistemas

cristalinos? Justificar su respuesta.

31

LABORATORIO Nº 6

PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA

OBJETIVOS.-

Obtener la proyección estereográfica de un cristal cúbico usando el programa

aplicativo CaRIne Crystallography 3.0.

Resolver ejercicios en la proyección estereográfica usando los comandos de la

función Stereo Projection del menú Specials.

GENERALIDADES.-

La proyección estereográfica es usada para mostrar la simetría de las caras externas

del cristal y la de la estructura interna y se determina a partir de la proyección esférica.

La proyección estereográfica también se usa para orientar un cristal.

Todos los planos de un cristal se pueden

representar por un conjunto de normales

al plano trazados desde un punto al

interior del cristal. Si una esfera de

referencia se dibuja alrededor de este

punto, las normales a los planos

interceptarán a la superficie de la esfera

en un conjunto de puntos llamados polos.

Esta es la proyección esférica del cristal y

se muestra en la Figura 6.1. El lugar de

los polos en la esfera se puede fijar

mediante las siguientes coordenadas

esféricas: la distancia polar - medida

según un meridiano cualquiera a partir

del 0º en el polo norte hasta 180º en el

polo sur - y la longitud , que se mide

según el ecuador a partir del meridiano

que se toma como cero.

Para pasar de la esfera al dibujo plano el procedimiento más cómodo para las

diferentes representaciones y cálculos gráficos es la proyección estereográfica.

Si los polos de una proyección esférica se proyectan sobre un plano paralelo a un

plano tangente a la esfera de referencia se obtiene una proyección estereográfica,

como se muestra en la Figura 6.2. Como plano de proyección se toma un plano

Figura 6.1.- Proyección esférica

32

diametral de la esfera, es decir, un plano que la corte por el centro y forme en ella

un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección.

El punto de vista se ubica en uno de los polos de este círculo. Las rectas que unen el

punto de vista O con los polos de las caras proyectados en la esfera, cortan el plano

de proyección y estos puntos de intersección forman la proyección estereográfica

del cristal. Los polos de las caras que se hallan en el círculo fundamental, son al

mismo tiempo sus propias proyecciones.

La proyección estereográfica posee

dos propiedades que tienen gran

importancia en la representación

gráfica de los cristales:

1. Un círculo trazado en la esfera se

representa en la proyección

estereográfica también por un

círculo.

2. El ángulo entre dos arcos de

círculos máximos de la esfera es

igual al ángulo entre las

proyecciones estereográficas de

los mismos arcos.

Un instrumento muy útil para la solución de problemas que incluyen la proyección

estereográfica es la net de Wulff, la cual es la proyección de una esfera escalada con

paralelos de latitud y longitudes sobre un plano paralelo al eje norte-sur de la esfera.

Las líneas de latitud sobre una net de Wulff son círculos pequeños que se extienden de

lado a lado y las líneas de longitud – meridianos - son círculos grandes que conectan

los polos norte y sur de la net.

PROCEDIMIENTO.-

1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando la función Open

cell del menú File, abrir el archivo correspondiente a la celda del ClNa.

2. Seleccionar la función Stereo Projection del menú Specials para desplegar la

ventana de comandos, como se muestra en la Figura 6.3.

3. Hacer click izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la

ventana Stereographics Projection Prefs que se muestra en la Figura 6.4,

Figura 6.2.- Relación entre la Proyección esférica y la estereográfica.

33

donde podrá definir los índices de las direcciones, los polos y las trazas de la

proyección.

4. Hacer click en el botón Directions y definir el rango de los índices de las

direcciones, según 1w,v,u1 . Hacer click en OK.

5. Hacer click en el botón Poles y definir el rango de los índices de los polos,

según 1,k,h1 . Hacer click en OK.

6. Hacer click en Traces y definir el rango de los índices de los polos a unir

mediante trazos, según 1,k,h1 . Hacer click en OK.

7. Definidos los índices de las direcciones, de los polos y de los polos a unir

mediante las trazas, en la ventana Stereographics Projection Prefs hacer click

en OK.

8. Seleccionar la función Stereo Projection del menú Specials y elegir la opción

Creation para visualizar la proyección estereográfica.

Figura 6.3.- Ventana de comandos de la función Stereo Projection

34

9. Seleccionar el comando ? Angle with mouse de la función Stereo Projection

del menú Specials para determinar, con la ayuda del cursor del transportador,

los valores de las coordenadas y de los polos en la proyección

estereográfica.

10. Seleccionar el comando ? Pole with mouse de la función Stereo Projection

del menú Specials para asignar los índices de los polos en los puntos de

intersección entre dos trazas de la proyección estereográfica.

11. Seleccionar el comando ? Trace from 1 Pole de la función Stereo Projection

del menú Specials para adicionar o quitar una traza correspondiente a un polo

de la proyección.

12. Seleccionar el comando Add spot

(teta,phi) de la función Stereo

Projection del menú Specials para

adicionar una señal en una posición

determinada de la proyección,

haciendo click izquierdo con el mouse

para abrir la caja de diálogo Add spot

(teta,phi) que se muestra en la Figura

6.5. Ingresar una etiqueta y elegir un

color y un símbolo y luego seleccionar

OK.

13. Usando la ventana Ster. Proj., que se muestra en la Figura 6.6, se podrán usar

directamente los comandos la función Stereo Projection del menú Specials.

Figura 6.4.- Ventana Stereographics Projection Prefs

Figura 6.5.- Caja de diálogo Add

spot (teta,phi)

35

Sugerencia.-

Para activar la ventana Ster. Proj. seleccionar el comando P.S. Tools del menú

Window.

TAREA.-

1. Obtener la proyección estándar (001) del cristal cúbico ClNa, mostrando todos

los polos de la forma {100}, {110}, {111} y las trazas entre ellos.

2. Ubicar el cursor del transportador sobre cada uno de los 17 polos de la

proyección estereográfica obtenida para determinar sus coordenadas y .

Mostrar sus resultados en una tabla de valores.

3. Determinar los índices de los 12 polos que corresponden a las intersecciones de

dos trazas en la proyección estereográfica usando la operación del desarrollo

periódico del complejo de caras.

4. Ubicando el cursor del transportador en la intersección de dos trazas de la

proyección estereográfica y haciendo click izquierdo con el mouse sobre ellos

asignar los índices correspondientes a los polos. Comparar sus resultados con

los obtenidos en la pregunta anterior.

5. Usando el mouse obtener la traza correspondiente al polo (121) e identificar los

polos por los que pasa la curva. Verificar analíticamente que estos polos

pertenecen efectivamente a la zona [121].

6. Identificar directamente en la proyección estereográfica, qué planos pertenecen

a las zonas ]121[ y ]211[ .

7. Identificar los ejes de simetría del cristal en la proyección

estereográfica adicionando un símbolo y una etiqueta en

cada caso.

8. Obtener la proyecciones estándar (011), (010) y (111) del

cristal cúbico ClNa, mostrando todos los polos de la

forma {100}, {110}, {111} y las trazas entre ellos.

9. Describir y aplicar la función de cada uno de los

elementos de la ventana Ster. Proj. que se muestra en la

Figura 6.6. Dar ejemplos ilustrados de la aplicación de

estas funciones en una proyección estereográfica. Figura 6.6.- Ventana

Ster. Proj.

36

LABORATORIO Nº 7

LEY DE BRAGG

OBJETIVOS.-

Registrar la intensidad de los rayos X difractados por un monocristal con

estructura cúbica simple como una función del ángulo de difracción.

Verificar experimentalmente la ley de Bragg.

Determinar experimentalmente la distancia interplanar de un monocristal.

GENERALIDADES.-

El análisis de rayos X policromáticos es posible mediante el uso de un monocristal.

Cuando rayos X de longitud incide sobre un monocristal bajo un ángulo de

inclinación , la interferencia constructiva después de la dispersión solamente

ocurre cuando la diferencia de recorrido de las ondas reflejadas parciales desde los

planos de la red es uno o más longitudes de onda. Esta situación es explicada por la

ecuación de Bragg que puede deducirse de manera muy sencilla.

En la Figura 7.1 se muestra una sección de un cristal con sus átomos dispuestos

sobre un conjunto de planos paralelos A, B, C, D, ……, normales al plano del

dibujo y espaciados una distancia d. Asumamos que un haz de rayos X -

perfectamente monocromáticos, perfectamente paralelos y de longitud de onda -

incide sobre el cristal bajo un ángulo - llamado el ángulo de Bragg – que se mide

entre el haz incidente y el plano particular del cristal en consideración.

Normal al plano

Figura 7. 1.- Difracción de los rayos X por un cristal

37

Los rayos 1 y 1a en el haz incidente golpean los átomos K y P en el primer plano de

átomos y son dispersados en todas las direcciones. Solamente en las direcciones 1’ y

1a’, sin embargo, estos haces dispersados están completamente en fase y son

capaces de reforzarse unos a otros; debido a que la diferencia en su longitud de

recorrido entre los frentes de onda XX’ y YY’ es igual a

0cosPKcosPKPRQK (7.1)

Similarmente, los rayos dispersados por todos los átomos en el primer plano en una

dirección paralela a 1’ están fase y adicionan sus contribuciones al haz difractado.

Los rayos 1 y 2 son dispersados por los átomos K y L, y la diferencia de recorrido

para los rayos 1K1’ y 2L2’ es

sendsendLNML (7.2)

Ésta es también la diferencia de recorrido para el solapamiento de los rayos

dispersados por S y P en la dirección mostrada, puesto que en esta dirección no

existe diferencia de recorrido entre los rayos dispersados por S y L o P y K. Los

rayos dispersados 1’ y 2’ estarán completamente en fase si esta diferencia de

recorrido es igual a un número entero n de longitudes de onda, o si

send2n (7.3)

Esta relación fue formulada por W.L. Bragg y se conoce como ley de Bragg.

Establece la condición esencial que debe ser satisfecha si ocurre la difracción. n es

el orden de la reflexión; puede tomar cualquier valor entero consistente con sen

sin exceder la unidad y es igual al número de longitudes de onda en la diferencia de

recorrido entre rayos dispersados por planos adyacentes. Por lo tanto, para valores

fijos de y d, pueden haber varios ángulos de incidencia 1, 2, 3 … a los cuales

puede ocurrir la difracción, correspondiendo a n = 1, 2, 3, …

En una reflexión de primer orden (n = 1), los rayos dispersados 1’ y 2’ de la Figura

7.1 difieren en longitud de recorrido (y en fase) en una longitud de onda, los rayos

1’ y 3’ en dos longitudes de onda, los rayos 1’ y 4’ en tres longitudes de onda, y así

sucesivamente a través del cristal. Los rayos dispersados por todos los átomos en

todos los planos están por lo tanto completamente en fase y se refuerzan unos a

otros (interferencia constructiva) para formar un haz difractado en la dirección

mostrada. En todas las otras direcciones del espacio los haces dispersados está fuera

de fase y se anulan unos a otros (interferencia destructiva). El haz difractado es

bastante fuerte comparado a la suma de todos los rayos dispersados en la misma

dirección debido al reforzamiento que ocurre, pero extremadamente débil

comparado al haz incidente debido a que los átomos de un cristal dispersan una

pequeña fracción de la energía incidente sobre ellos.

38

EQUIPOS Y MATERIALES.-

Unidad de rayos X Goniómetro

Cristal de KBr (100) d = 3.2910-10

m Tubo de rayos X con ánodo de Cu

Computador personal Tubo contador tipo B

PROCEDIMIENTO.-

1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y montar el experimento como

se muestra en la Figura 7.2.

2. Fijar el diafragma tubular de 2 mm de diámetro en la salida del tubo de rayos X

y montar el monocristal de KBr en el soporte del goniómetro. Cerrar y asegurar

la puerta.

3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure.

Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro

rojo en el panel de botones.

4. En el cuadro de diálogo introducir los siguientes valores:

Tipo de medida : espectro Corriente de emisión : 1 mA

Registro de datos : ángulo cristal Tiempo de integración : 2 s

Tensión constante : 35 kV Modo rotación :acoplado 2:1

Cristal : KBr Ángulo de arranque : 3º

Absorbedor : sin absorbedor Ángulo de parada : 75º

Filtro : sin filtro Incremento del ángulo : 0,1º

Figura 7.2.- Montaje experimental para el análisis de rayos X

39

5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar

medida. Cuando termine el registro, archivar el espectro obtenido y apagar el

equipo de rayos X.

6. Registrar en la Tabla 1 los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de

intensidad Kα y Kβ de los cuatro primeros órdenes del espectro característico del

cobre usando como analizador el monocristal de KBr.

Tabla 1

n 1 2 3 4 Rad.

K

K

TAREA.-

1. Usando los valores de la Tabla 1, construir una Tabla que muestre los valores del

producto n en función del seno del ángulo correspondiente a las líneas de

intensidad Kα o Kβ de los cuatro primeros órdenes del espectro característico del

cobre usando como analizador el monocristal de KBr.

2. Construir la gráfica n vs seno . ¿Demuestra el comportamiento gráfico que se

verifica experimentalmente la ley de Bragg?

3. Determinar la ecuación experimental que relaciona a las variables n y seno ,

realizando el ajuste correspondiente.

4. A partir de la ecuación experimental, ¿Cómo puede determinar el valor

experimental de la distancia interplanar d del monocristal de KBr? ¿Cuál es el

error experimental en la determinación de d?

5. Considerando que el fabricante proporciona el valor d = 3.2910-10

m para la

distancia interplanar del monocristal de KBr, ¿Cuáles son los errores absoluto,

relativo y porcentual por comparación? A la luz de estos resultados, ¿estima

usted que el experimento se ha realizado con éxito?

6. Si en el experimento se hubiera usado un monocristal analizador de LiF, que

según el fabricante tiene el valor d = 2.01410-10

m, ¿se hubieran obtenido más

o menos órdenes de difracción? Justificar su respuesta.

40

LABORATORIO Nº 8

DIFRACCIÓN DE RAYOS X

OBJETIVOS.-

Obtener e interpretar registros de difracción de rayos X de cristales cúbicos

usando el programa Powder Cell 2.3 for Windows.

Determinar la constante red de los cristales.

Determinar el tipo de red de Bravais.

GENERALIDADES.-

Cuando los rayos X son dispersados por el entorno ordenado de un cristal, tienen

lugar interferencias - tanto constructivas como destructivas - entre los rayos

dispersados ya que las distancias entre los centros de dispersión son del mismo

orden de magnitud que la longitud de onda de la radiación. El efecto acumulativo de

esta dispersión desde los centros regularmente espaciados del cristal es la

difracción.

Los requisitos para la difracción de rayos X son:

(1) que el espaciado entre capas de

átomos sea aproximadamente el

mismo que la longitud de onda de

la radiación.

(2) que los centros de dispersión

estén distribuidos en el espacio de

una manera muy regular.

La difracción de los rayos X por los

cristales fue estudiada por W. L. Bragg

quien estableció que para un haz

monocromático de rayos X, de

longitud de onda proveniente de un

blanco T de un ánodo de una fuente S

de rayos X, habrá sólo ciertos valores

del ángulo de incidencia , según la

configuración de la Figura 8.1,

determinados por la distancia d entre

los planos del cristal C, a los cuales ocurrirá difracción, de acuerdo a la relación:

send2n (8.1)

Figura 8.1.- Configuración de Bragg en el difractómetro de rayos X

41

Donde n es el orden de la difracción.

La relación que predice el ángulo de difracción para cualquier conjunto de planos se

obtiene combinando la ley de Bragg y la ecuación de los espaciados de los planos.

Para un cristal cúbico: 2

222

2 a

)kh(

d

1 (8.2)

por lo que: )kh(a4

sen 2222

22

(8.3)

De donde: 2

22

222

2

a4s

sen

)kh(

sen

(8.4)

Puesto que la suma )kh(s 222 es siempre un número entero y 22 a4/ es una

constante para cualquier patrón, el problema del indexado del patrón de una sustancia

cúbica es hallar un conjunto de enteros s que conduzcan a un cociente constante

cuando se dividen uno a uno los valores observados de 2sen . Una vez que los

enteros s se encuentran, los índices hk de cada línea se pueden escribir por

inspección o de una Tabla de formas cuadráticas de los índices de Miller.

Si no se puede hallar un conjunto de enteros que satisfagan la ecuación (8.4), entonces

la sustancia en estudio no pertenece al sistema cúbico y deben probarse otras

posibilidades.

Cada uno de los cuatro tipos comunes de redes cúbicas es reconocida por una

secuencia característica de las líneas de difracción, y éstas a su vez pueden ser

descritas por sus valores secuenciales s, a saber:

Cúbica simple : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, …

Cúbica centrada en el cuerpo : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

Cúbica centrada en las caras : 3, 4, 8, 11, 12, 16, …

Cúbica diamante : 3, 8, 11, 16, …

El diagrama de difracción de una sustancia cristalina, obtenido por el registro de los

haces difractados en un contador G y su desplazamiento angular 2 respecto al

centro del goniómetro, está constituido por una serie de líneas distribuidas en un

registro. Teniendo en cuenta que las posiciones de estas líneas y sus intensidades

relativas dependen de la periodicidad y posiciones de los átomos en la sustancia y

que cada sustancia posee una distribución característica de sus átomos, da como

resultado que su diagrama de difracción sea único, no existiendo dos sustancias que

posean exactamente el mismo diagrama de difracción.

42

Por otro lado, para una masa m de átomos o moléculas contenidas en un volumen V

de la celda unidad, se tiene que su densidad es dada por: VN

MN

V

m

0

.

Luego, el número N de átomos o moléculas en la celda unidad es: M

aNN

3

0 (8.4)

Donde: 0N es el Número de Avogadro, a es la constante de red y M es el peso

atómico o molecular.

PROCEDIMIENTO.-

1. Cargar el programa Powder Cell 2.3 for Windows y usando el comando Load

del menú File, abrir el archivo correspondiente a la celda del CsCl.

2. Seleccionar la función Diffraction ON en el menú Diffraction de la barra de

menús o en el ícono de acceso directo indicado por un círculo en la Figura 8.2.

3. Seleccionar la función Experiment del menú Diffraction para hacer aparecer

el cuadro de diálogo powder diffraction y fijar las condiciones experimentales,

como muestra la Figura 8.3: radiación K1Cu, geometría Bragg Brentano,

rango 2 de 16º a 80º, etc. Hacer click en OK.

4. En el patrón de difracción obtenido, identificar los valores 2 de los picos de

intensidad y registrar en la Tabla Nº 1 los valores proporcionados por el

programa de los índices de Miller y las distancias interplanares de los planos

que producen la difracción de los rayos X.

Figura 8.2.- Menú Diffraction e ícono de acceso directo

43

Tabla Nº 1

Pico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

hkl

d

5. Repetir los pasos 1 – 4 para el cristal de Fe, considerando un barrido 2 de 40º

a 140º y registrando los valores en la Tabla Nº 2. El cristal es cúbico con

parámetro de red 2,8664 A y en cada celda existen dos átomos en las posiciones

000 y ½ ½ ½ .

Tabla Nº 2

Pico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

hkl

d

6. Repetir los pasos 1 – 4 para el cristal NaCl, considerando un barrido 2 de 20º a

100º registrando los valores en la Tabla Nº 3.

Figura 8.3.- Cuadro de diálogo powder diffraction

44

Tabla Nº 3

Pico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

hkl

d

TAREA.-

1. Del registro de difracción del CsCl, identificar y registrar el valor de para

cada pico de intensidad y completar las 2 columnas siguientes de la Tabla Nº 4.

Tabla Nº 4

Pico i i

2sen 1

2

i

2

sen

sen

222 kh hk d a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2. Analizar los cocientes

1

2

i

2 sen/sen para asignar los índices de Miller a cada

pico de intensidad. Completar las columnas 5 y 6 de la Tabla Nº 4 y comparar

los valores con los de la Tabla Nº 1.

3. Considerando que la longitud de onda de la radiación usada es 1,540598 A,

usando la ecuación 8.1 determinar la distancia interplanar d de cada plano que

ha producido un pico de intensidad. Comparar los valores con los valores de d

de la Tabla Nº 1.

4. Usando la ecuación 8.3 y los valores de la Tabla Nº 4, determinar el valor

medio del parámetro de red del CsCl.

5. Tomando en cuenta las reflexiones, determinar el tipo de red del CsCl.

6. Considerando que el CsCl tiene una densidad de 3,99 g/cm3 y una masa molar

de 168,36 g/mol, usando la ecuación 8.4 determinar el número de átomos o

45

moléculas por celda unidad. ¿Corrobora su valor que el tipo de red del CsCl

corresponde al encontrado en la pregunta 5?

7. Del registro de difracción del Fe, identificar y registrar el valor de para cada

pico de intensidad y completar las 2 columnas siguientes de la Tabla Nº 5.

Tabla Nº 5

Pico i i

2sen 1

2

i

2

sen

sen

222 kh hk d a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


1

2

i







de la Tabla Nº 2.


medio del parámetro de red del Fe.

11. Tomando en cuenta las reflexiones, determinar el tipo de red del Fe.

12. Considerando que el Fe tiene una densidad de 7,87 g/cm3 y una masa atómica

de 55,845, usando la ecuación 8.4 determinar el número de átomos o moléculas

por celda unidad. ¿Corrobora su valor que el tipo de red del Fe corresponde al

encontrado en la pregunta 11?

13. Del registro de difracción del NaCl, identificar y registrar el valor de para

cada pico de intensidad y completar las 2 columnas siguientes de la Tabla Nº 6.

46

Tabla Nº 6

Pico i i

2sen 1

2

i

2

sen

sen

222 kh hk d a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


1

2

i







de la Tabla Nº 3.


medio del parámetro de red del NaCl.

17. Tomando en cuenta las reflexiones, determinar el tipo de red del NaCl.

18. Considerando que el NaCl tiene una densidad de 2,16 g/cm3 y una masa molar

de 58,44 g/mol, usando la ecuación 8.4 determinar el número de átomos o

moléculas por celda unidad. ¿Corrobora su valor que el tipo de red del NaCl

corresponde al encontrado en la pregunta 17?

47

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Winston, Inc. New York 1994.

Borchardt-Ott Walter; Crystallography: An Introduction; Third Edition,

Springer, New York, 2011.

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1996.

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1971.

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Crystallography, Oxford University Press 1994.

Gonzales Nevill – Szwacka Teresa; Basic Elements of Crystallography, Pan

Stanford Publishing Pte. Ltd, Singapore, 2010.

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Phillips, F.C.; Introducción a la Cristalografía; Paraninfo, Madrid 1991.

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1993.

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University Press, 1997.

48

Oficina de Impresiones y Publicaciones de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao

guías de laboratorio de introducción a la cristalografia (nueva)

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