U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. GUA No 2. DEFORMACIN SIMPLE

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. TEMA N 2. DEFORMACIN SIMPLE

INTENSIVO2012Ing. Ramn E. Vilchez G. e-mail: revg_5@hotmail.comUniversidad Nacional Experimental Francisco de Miranda.

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. GUA No 2. DEFORMACIN SIMPLEWeb: http://resistenciadelosmaterialescs.blogspot.com

ContenidoPropiedades Mecnica de los Materiales:3Deformacin Simple ():5Deformacin Unitaria ():6Diagrama Esfuerzo- Deformacin.6La ley Hooke8Deformacin Axial:8Elementos estticamente indeterminados:9Deformacin que Causan los Cambios de Temperatura10Coeficiente de Expansin Trmico ():10Expansin Trmica:10Esfuerzo Trmico:11Problemas Propuestos12

Propiedades Mecnica de los Materiales:a) Resistencia mecnica: la resistencia mecnica de un material es su capacidad de resistir fuerzas o esfuerzos. Los tres esfuerzos bsicos son:

Esfuerzo de Tensin: es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material. Donde las fuerzas que actan sobre el mismo tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia fuera del material. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:

Figura N 1. Elemento sometido a TensinTTLoTTLf

Esfuerzo de compresin: es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga y acortar al miembro en s. Donde las fuerzas que actan sobre el mismo tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:

Esfuerzo cortante: este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza acta de forma tangencial al rea de corte. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:

Figura N 2. Elemento sometido a Cortante SimpleVVrea de corte

b) Rigidez: la rigidez de un material es la propiedad que le permite resistir deformacin.

c) Elasticidad: es la propiedad de un material que le permite regresar a su tamao y formas originales, al suprimir la carga a la que estaba sometido. Esta propiedad vara mucho en los diferentes materiales que existen. Para ciertos materiales existe un esfuerzo unitario ms all del cual, el material no recupera sus dimensiones originales al suprimir la carga. A este esfuerzo unitario se le conoce como Lmite Elstico.

Plasticidad: esto todo lo contrario a la elasticidad. Un material completamente plstico es aquel que no regresa a sus dimensiones originales al suprimir la carga que ocasion la deformacin.

d) Ductilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones plsticas al ser sometido a una fuerza de tensin.

e) Maleabilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones plsticas al ser sometido a una fuerza de compresin.f) Deformacin: son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento, cuando se le somete a la accin de una fuerza. Todo material cambia de tamao y de forma al ser sometido a cargaDeformacin Simple ():Se refiere a los cambios en las dimensiones de un miembro estructural cuando este se encuentra sometido a cargas externas.

Estas deformaciones sern analizadas en elementos estructurales cargados axialmente; es decir, las cargas estudiadas estarn comprendidas las de tensin y compresin.

Figura N 3. Deformacin SimpleUn ejemplo de ellos: Los miembros de una armadura. Las bielas de los motores de los automviles. Los rayos de las ruedas de bicicletas.

Todo miembro sometido a cargas externas se deforma debido a la accin de esas fuerzas. Deformacin Unitaria ():Se puede definir como la relacin existente entre la deformacin total y la longitud inicial del elemento, la cual permitir determinar la deformacin del elemento sometido a esfuerzos de tensin o compresin axial.

Entonces, la formula de la deformacin unitaria es:

En donde:: Deformacin Unitaria: Deformacin TotalL: Longitud inicial. Diagrama Esfuerzo- Deformacin.

abcde

Figura N 4. Diagrama Esfuerzo Vs. Deformacina) Lmite de proporcionalidad: se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado lmite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilneo, de donde se deduce la tan conocida relacin de proporcionalidad entre la tensin y la deformacin enunciada en el ao 1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, ms all la deformacin deja de ser proporcional a la tensin.

b) Limite de elasticidad o limite elstico: es la tensin ms all del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformacin residual llamada deformacin permanente.

c) Punto de fluencia: es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el fenmeno de la fluencia es caracterstico del acero al carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los que no manifiesta.

d) Esfuerzo mximo o esfuerzo de Rotura: es la mxima ordenada en la curva esfuerzo-deformacin.

e) Esfuerzo de Rotura: en el acero al carbono es algo menor que la tensin de rotura, debido a que la tensin este punto de rotura se mide dividiendo la carga por rea inicial de la seccin de la barra, lo que es ms cmodo, es incorrecto.

El error es debido al fenmeno denominado estriccin. Prximo a tener lugar la rotura, el material se alarga muy rpidamente y al mismo tiempo se estrecha, en una parte muy localizada de la probeta, de forma que la carga, en el instante de rotura, se distribuye realmente sobre una seccin mucho ms pequea.

Fenmeno de EstriccinFalla de la ProbetaEstado inicial sin cargaLa ley Hooke Expresa que la deformacin que experimenta un elemento sometido a carga externa es proporcional a esta.En el ao 1678 por Robert Hooke enuncia la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformacin. Pero fue Thomas Young, en el ao 1807, quien introdujo la expresin matemtica con una constante de proporcionalidad que se llama Mdulo de Young

En donde: : es el esfuerzo.: es la deformacin unitaria.E: mdulo de elasticidad Deformacin Axial:Recordando que la deformacin unitaria es la relacin que existe entre la deformacin total con respecto a su longitud inicial:

Y la Ley de Hooke es:

Igualando la ec. (a) y la (b) se obtiene:

Esta expresin es vlida bajo las siguientes hiptesis: La carga debe ser axial. La barra debe ser homognea y de seccin constante. El esfuerzo no debe sobre pasar el lmite de proporcionalidad. Elementos estticamente indeterminados: Son aquellos elementos cargados axialmente en los que las ecuaciones de equilibrio esttico no son suficientes para determinar las fuerzas, que actan en cada seccin. Lo que da por resultados que las reacciones o fuerzas resistivas excedan en nmero al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Estos casos se llaman estticamente indeterminados.

A continuacin se presentan unos principios generales para enfrentar estos tipos de problemas: 1. En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o parte de ella, aplicar las ecuaciones del equilibrio esttico.2. Si hay ms incgnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geomtricas entre las deformaciones elsticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas Deformacin que Causan los Cambios de TemperaturaLos elementos de mquinas cuando estn en funcionamiento sufren cambios de temperatura que provocan deformaciones en estos productos de estos diferenciales de temperatura.

Algunos ejemplos de ellos son: las piezas de los motores, hornos, mquinas herramientas (fresadoras, tornos, cortadoras), equipos de moldeo y extrusin de plstico.Los diferentes materiales cambian de dimensiones a diferentes tasas cuando se exponen a cambios de temperaturas.

La mayora de los metales se dilatan al aumentar la temperatura, aunque algunos se contraen y otros permanecen del mismo tamao. Estos cambios de dimensiones est determinado por el coeficiente de expansin trmica.

Coeficiente de Expansin Trmico (): Es la propiedad de un material que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un cambio unitario de temperatura.

Las unidades en que se exprese el coeficiente de expansin trmica son:

Expansin Trmica: Son las variaciones de dimensin en un material producto de los cambios de temperatura en el mismo. Y la ecuacin es la siguiente:

En donde:

Esfuerzo Trmico: Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento sometido a cambios de temperaturas se le sujetan de tal modo que impiden la deformacin del mismo, esto genera que aparezcan esfuerzos la pieza.

Recordando que:

Por la Ley de Hooke:

En donde:

Problemas Propuestos1) Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P= 6000 kgf, como se indica en la figura la seccin AB es 4 cm2 y la de BC es 6 cm2. si E= 2x106 kgf/cm2, determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto B.

Figura N 5. Problema # 1.

2)

Una barra prismtica de longitud L, seccin recta A y peso W se suspende verticalmente de uno de sus extremos. Demostrar que su alargamiento total es . Llamando w a su peso especfico demostrar tambin 3) Una varilla de acero que tiene una seccin constante de 3 cm2 y una longitud de 200 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 2500 kgf que pende de su extremo inferior. Si el acero pesa 790 kgf/m3 y E= 2,1x106 kgf/m2. determinar el alargamiento de la varilla.

4) Una barra de aluminio de seccin constante de 2 cm2 soporta unas fuerzas axiales aplicada en los puntos que indica la figura P-208. Si E= 7x105 kgf/m2. Determinar el alargamiento, o acortamiento total de la barra.

5) Un tubo de aluminio est firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce como muestra la figura P-108. se aplican cargas axiales en las posiciones sealadas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: la deformacin total no ha exceder de 0,18 cm, ni las tensiones ha de sobrepasar 1400 kgf/cm2 en el acero, 850 kgf/cm2 en el aluminio ni 1250 kgf/cm2 en el bronce. Se supone que el conjunto est convenientemente arriostrado para evitar la flexin lateral y que los mdulos de elasticidad son E=2x106 kgf/cm2 para el acero 7 x106 kgf/cm2 para el aluminio y 8x106 kgf/cm2 para el bronce.

Figura N 6. Problema # 5.6) Un bloque prismtico de hormign de peso W ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores estn al mismo nivel, tal como se indica en la Fig 7. Determinar la relacin de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

Figura N 7. Problema # 6.7) Un pilar de hormign de poca altura se refuerza axialmente con seis barras de acero de 6 cm2 de seccin colocada simtricamente en crculo alrededor del eje del pilar, como se indica en la figura N 8. Se le aplica una carga de 120 000 kgf. Determinar las tensiones en el hormign y el acero teniendo en cuenta los mdulos elsticos Ea=2,1x106 kgf/cm2 y Eh =1,4x105 kgf/cm2.

Figura N 8. Problema # 7.30 cm30 cm120 tonFig. APlaca de apoyo

8) En el problema anterior y suponiendo que las tensiones admisibles son 1300 kgf/cm2 en el acero y 60 kgf/cm2 en el hormign, determinar la mxima carga axial P que se puede aplicar.

9) Una cuadrada soporta una serie de cargas como se muestran en la figura N 9. calcule el esfuerzo y la deformacin en cada segmento de la barra. Todas las cargas actan a lo largo del eje central de la barra.

Figura N 9. Problema # 9.10) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N 10.

Figura N 10. Problema # 10 y 11.11) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N 10. el tubo es de acero cdula 40 de 1 plg.

12) Un tubo de acero como se muestra en la figura, utiliza dos cables por el cual se soporta un equipo. Sabiendo que el tubo es de acero cdula 40 de 1 . Determine el alargamiento del en punto C y los esfuerzos en seccin A-B y B-C.

Figura N 11. Problema 12.13) Una varilla de aleacin de aluminio 2014-T6 de una mquina se sujeta por sus extremos mientras se enfra a partir de 95 C. A qu temperatura el esfuerzo de tensin en la varilla seria igual a la mitad de la resistencia a la cadencia del aluminio si al principio se encuentra libre de esfuerzo?

14) Una barra de acero con su extremo superior fijo se somete a tres cargas axiales, como se muestra en la figura. El rea de su seccin circular es de 0.50 in2. determine la deflexin en el extrema libre.

Figura N 12. Problema # 8. 15) Una barra prismtica AD est sometida a las cargas P1, P2 y P3 que actan en los puntos B, C y D, respectivamente, como se ve en la figura. Cada segmento de la barra tiene 20 in de largo. La barra tiene un rea transversal de 1.40 in2 y est hecha de cobre con E= 17 000 ksi. a) determine el desplazamiento D en el extremo libre de la barra. b) Cul debe ser la carga P3 si se desea reducir el desplazamiento en el extremo D a la mitad de su valor original?

20 in20 in20 inP1: 3KP2: 3KP3:11 kN

16) Una placa de acero perfectamente rgida tiene una masa de 6000 kg, pende tres varillas simtricamente colocadas, como se muestra en la figura. Antes de colocar la placa las varillas en su parte inferior se encontraban en el mismo nivel. Determinar el esfuerzo en cada varilla despus de suspender la placa y una elevacin de temperatura de 55C

Placa RigidaAceroL = 600 mmL = 30 cmBronceWSabiendo que: rea del acero es 5 cm2 y del bronce 10 cm2, el modulo del elasticidad del acero Eac= 2,1x106 kgf/cm2 y el modulo del elasticidad del bronce Ebr= 8,4x105 kgf/cm2, el coeficiente de expansin del acero ac=1,17x10-5 C-1 y del bronce ac=1,8x10-5 C-1

17) Con los datos del problema anterior determine la elevacin de temperatura necesaria para que la carga aplicada sea soportada nicamente por las varillas de acero. 18) Para el sistema mostrado en la figura. Demuestre que el esfuerzo en la varilla 1 y la varilla dos es el siguiente:

, respectivamente.

121P

19) Una viga perfectamente rgida est articulada en un extremo y suspendida de dos varillas de igual seccin, pero de distinta longitud, como se indica en la figura Fig. P-251. Determinar la fuerza de traccin en cada varilla si W= 3300 kgf.

20) La viga horizontal ABCD est soportada por barras verticales BE y CF y est cargada por fuerzas verticales P1=100 k y P1=100 k y P2=90 k que actan en los puntos A y D, respectivamente (vea la figura). Las barras BE y CF son de acero (E=29,5x106 psi) y tienen reas transversales ABE=22,1 in2 y ACF=18,3 in2 . Las distancias entre puntos se muestran en la figura. Determine los desplazamientos verticales A, D de los puntos A y D, respectivamente.

6 ft6 ft8 ftP1P29 ft3 ftABCDEF21) Un alambre de acero y un alambre de cobre tienen iguales longitudes y soportan iguales cargas P (vea la figura). Los mdulos de elasticidad para el acero y cobre son Es= 29 x 106 psi y Ec= 18 x 106 psi, respectivamente. A) si los alambres tienen los mismos dimetros, Cul es la razn de alargamiento del alambre de cobre al alargamiento del alambre de acero? B) si los alambres se alargan la misma cantidad, Cul es la razn del dimetro del alambre de cobre al dimetro del alambre de acero?22) Una barra de acero de dimetro 0,375 in es sometida entre paredes rgidas (pero sin esfuerzos iniciales) con el dispositivo mostrado en la figura. Calcule la cada de temperatura T (grados Fahrenheit) para que el esfuerzo cortante promedio en el perno de 0,25 in de dimetro es de 7500 psi. (Para el acero use s= 6,5 x 10-6/F y Es= 30 x 106 psi).

23) Se tienen que montar un anillo de acero inoxidable AISI 301 en una flecha que est a una temperatura de 20 C y cuyo dimetro es de 55,2 mm. El dimetro interno del anillo es de 55,1 mm. A que temperatura se debe calentar el anillo para que su dimetro sea de 55,3 mm y se pueda deslizar en la flecha?24) Una barra larga rectangular de cobre sometida a una carga de tensin P, cuelga un pasador que sostiene dos postes de acero (vea la figura). La barra de cobre tiene una longitud de 26 ft, un rea transversal de 6,5 in2 y un mdulo de elasticidad Ec= 15 x 106 psi. cada poste tiene una altura de 35 in, un rea transversal de 8,4 in y un mdulo de elasticidad Es= 29 x 106 psi. Determine el desplazamiento hacia abajo del extremo inferior de la barra de cobre debido a una carga P= 85 k. b) Cul es la carga permisible mxima Pmx si el desplazamiento est limitado a 0,30 in?.

25) Una barra ABC de longitud L consiste en dos partes de igual longitud pero de diferentes dimetros (vea la figura). El segmento AB tiene un dimetro d1= 100 mm y el segmento BC tiene un dimetro d2= 60 mm. Ambos segmentos tienden longitud L/2 = 0.6 m. se perfora un agujero longitudinal de d a travs del segmento AB a lo largo de la mitad de su longitud. La barra es de plstico con un modulo de elasticidad E= 4 GPa. Las fuerzas de compresin P= 110 kN actan en los extremos de la barra. Si el acortamiento est limitado a 8.0 mm, Cul es el dimetro permisible mximo para el agujero?

26) Un cilindro de acero S se coloca dentro de un tubo de cobre C de la misma longitud (vea la figura). El coeficiente de expansin trmica c del cobre es mayor que el coeficiente s del acero. Despus de ensamblado, el cilindro y el tubo se comprimen entre placas rgidas por fuerzas P. obtenga una frmula para el incremento de T que har que el tubo de cobre soporte toda la carga.

PSCCP

"El xito es lo que nos da confianza para poner en prctica lo que el fracaso nos ha enseado."

Prof. Ing. Ramn E. Vilchez G. e-mail: revg_5@hotmail.comWeb: http://resistenciadelosmaterialesrevg.blogspot.comPgina 21