guía de inecuaciones

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

125

Las inecuaciones son expresiones donde dos términos se comparan por medio

de símbolos particulares, por esto las inecuaciones se le llama también

desigualdades.

Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solución

de una desigualdad se da por un intervalo. También analizaremos las

propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas.

Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de

inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables,cuadráticas con una

variables y mixtas; que pueden ser lineal y cuadrática con una incógnita.

Las desigualdades son la base para abordar temáticas más avanzadas como la

programación lineal y la investigación de operaciones en general, área de las

matemáticas muy importante para la optimización en problemas de ingeniería,

administración, economía y otras.

Para desarrollar la temática de inecuaciones, es importante tener en cuenta el

concepto de comparación entre dos expresiones algebraicas. Dichos signos son

≤≥<> ,,, . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor o igual

respectivamente. A las dos primeras se les llama desigualdades estrictas.

Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de desigualdades permitirá

adquirir conocimientos sólidos que conllevan a resolver problemas del mundo

real en donde se necesitan las desigualdades.

INECUACIONES

Introducción

UNAD

126

Objetivo general

. Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones, sus propiedades,

principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear

situaciones descriptivas con desigualdades.

Objetivos específicos

. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades.

. Reconocer una inecuación lineal, sus carcterísticas y la forma de resolución.

. Identificar inecuaciones cuadráticas y la forma de resolverlas.

. Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones

ESIGUALDAD

Una desigualdad es una expresión de la forma , donde ( )xP es un

polinomio; al igual que ( )xQ , pero también uno de ellos puede ser un término

independiente. la expresión indica que ( )xP es menor que ( )xQ . Otras

formas de expresar desigualdades:

( ) ( )xQxP > : indica que ( )xP es mayor que ( )xQ

( ) ( )xQxP ≤ : indica que ( )xP es menor o igual que ( )xQ

( ) ( )xQxP ≥ : indica que ( )xP es mayor o igual que ( )xQ

Por ejemplo si decimos: 2a > , está indicando que cualquier valor mayor que

dos satisface la expresión dada. Cuando decimos , nos indica que cual-

quier valor menor que cinco satisface la expresión, pero además cinco también lo

satisface.

D

( ) ( )xQxP <

5a ≤


127

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c números reales, entonces:

1. cbcaentonces,baSi +<+<

Demostración:

Como ba < , por deinifición ab − es positivo, como ( ) ( ) abcacb −=+−+ ,

entonces ( ) ( )cacb +−+ es positivo, así: cbca +<+ .

2. cbcaentonces,baSi −<−<

Demostración:

Para el mismo argumento de la propiedad uno, tenemos: ( ) ( )cbca −+<−+ ,

así: cbca −<−

3. cbcaentonces,0cybaSi ⋅<⋅><

Demostración:

Como ba < , entonces ab − es positivo; como c es positivo, el producto ( ) c.ab −

espositivo, luego cacb ⋅−⋅ es positivo, por lo tanto cbca ⋅<⋅ .

4. cbcaentonces,0cybaSi ⋅>⋅<<

Demostración:

Hacer la demostración individual, en grupo colaborativo, como último recurso

con el tutor.

5. Tricotomía: sea a y b números reales, una de las siguientes expresiones

se cumple: baobaoba >=< ¿qué pasa cuando b = 0? ¡Analícelo!

u

UNAD

128

I

u

6. La No negatividad: para cualquier número real a;

0a2 ≥

7. Para cualquier número real a:

0a

1entonces,0aSi

0a

1entonces,0aSi

<<

>>

Se recomienda que plantee ejemplos que ilustren las 7 propiedades de las

desigualdades, por lo menos dos de cada una. Esto le permitirá comprender la

esencia de las mismas.

NTERVALOS

Podríamos preguntarnos cómo gráfico: 4x1;5x,2x,3x <<−−<≤> . la

respuesta está en los intervalos. Un intervalo es un segmento de recta que

contiene los valores que satisfacen la desigualdad, limitado por dos extremos.

Veamos las clases de intervalos.

Intervalo cerrado

Son todos aquellos donde los extremos hacen parte del intervalo, La notación

se hace con paréntesis angular: [ ]b,a , en desigualdad bxa ≤≤ y

gráficamente.

vemos que hay dos formas de presentación gráficas.

[ ]a b a b

/////////////// //////////


129

u

u

Intervalo abierto

Son todos aquellos donde los extremos no hacen parte del intervalo. La notación

se hace con paréntesis circular ( )b,a , en desigualdad bxa << y gráficamente.

Intervalo semiabierto

Ocurre cuando uno de los extremos no hacen parte del intervalo. Se conocen

como semiabiertos de izquierda o semiabierto a derecha.

( ]

[ ) bxa;b,a

bxa;b,a

<≤

≤<

Operaciones con intervalos

Las operaciones realizadas entre conjuntos, tales como: unión, intersección,

diferencia, diferencia simétrica y complemento, se puede trasladar a los

intervalos, ya que los intervalos se puede considerar como un conjunto de

números.

Unión: sean los intervalos ( ) ( )d,cRyb,aS == , entonces: RS∪ sea la unión

de los elementos de S y los de R.

u

a b a b

( )

a b a b

( ]

[a b a b

)

a b c d

( ) ( )/////////////// ////////// /////////////// //////////

///////////////

///////////////

//////////

////////// )(

UNAD

130

(

//////////

u

(

Sea [ ) ( ] RShallar,10,0Ry2,4S ∪=−=

Solución:

[ ]10,4RS −=∪ , gráficamente

Dado ( ) ( ) qphallar,10,2qy20,8p ∪=−=

Solución: vemos que los extremos de la unión son ( )20,8− , gráficamente

La solución nos hace ver que pq⊂ (q contenido en p).

Intrersección

Se busca identificar los elementos comunes en los intervalos que participan en la

operación.

( ) ( )30,10By18,2A == . la intersección será el conjunto de [ ]18,10

La solución es donde se cruzan las líneas.

Ejemplo 1

-4 0 2 10

)[ ]

Ejemplo 2

(-8 0 2 10 20

)( )

(0 2 10 18 30

) )

//////////////////// ////////// //////////

//////////////////// ////////////////////xxxxxx


131

Las demás oepraciones son similares a como se hace en los conjuntos. Para el fin

de las desigualdades, las operaciones más importantes son la unión y la

intersección.

sea [ ) ( ]10,1vy5,4u =−= . Hallar la unión, intersección,

diferencia uvyvu −− y la diferencia simétrica.

Solución:

.

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ] [ ]01,51,4vu

01,5uv

1,4vu

5,1vu

10,4vu

∪−=∆

=−

−=−

=∩

−=∪

NECUACIONES LINEALES

Las inecuaciones lineales que vamos a analizar en este aparte son de dos tipos:

una inecuación con una incógnita y dos inecuaciones con dos incógnitas.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Son inecuaciones de la forma cbax <+ , puede ser con cualquiera de los signos

de comparación. Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la

I

[

[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)xxxxxx

](-4 0 1 5 10

)xxxxxx

u

////////////////////

////////////////////

////////////////////

UNAD

132

(

variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y las leyes

matemáticas básicas; como la de los signos, términos semejantes y demás.

Resolver la desigualdad: 114x3 <+−

Solución: la idea es despejar x dejándola al lado derecho de la desigualdad.

aplicamos la propiedad 2.

3/7x3

7

3

x3

luego,3porosdimdivi,7x341144x3

−>⇒−

>−−

−<−⇒−<−+−

La solución será todo valor mayor de 3/7−

para comprobar reemplazamos cualquier valor de intervalo solución en la

intersección original; por ejemplo 0.

( ) 11411403 <⇒<+−

observamos que la solución No incluye el extremo, ya que es una desigualdad

estricta.

Hallar el conjunto solución de la desigualdad: ( ) ( )1x3x5x2 +≥++

Solución: primero hacemos la multiplicación, luego:

310luego,3x310x33x3x10x2 ≥+≥+⇒+≥++

como la desigualdad es verdadera, ésta es equivalente a la desigualdad original.

Ejemplo 1

3/7− 0 α)

Ejemplo 2


133

Como la expresión es verdadera independiente del valor de x, nos indica que

cualquier valor es solución de la desigualdad.

Probemos; tenemos 3 valores para x.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 121913335323x

31010305020x

5416210412325222x

≥⇒+≥++⇒=

≥⇒+≥++⇒=

−≥⇒+−≥−+−⇒+−≥−+−⇒−=

como es obvio los extremos son abiertos ya que infinito es una símbolo más no

una cantidad.

Resolver: 12

x345 <

−≤−

Solución: como debemos despejar x y por ser una desigualdad compuesta,

aplicamos las propiedades para tal fin.

( )21

2

2x3425 ⋅<

⋅−≤⋅− , multiplicamos todo por 2 para que la expresión

quede entera.

2x3410 <−≤− , ahora restamos 4− a todo

2x31442x344410 −<−≤−⇒−<−−≤−−

Nos falta solo eliminar el 3− que acompaña a la x, luego dividimos todo por

3− , ojo el signo de la desigualdad cambia, recordemos la propiedad 7.

(α− 0 α+

)

Ejemplo 3

UNAD

134

3/14x3/23

2

3

x3

3

14≤<⇒

−

−>

−

−≥

−

−

La solución será todos los x entre 2/3 y 14/3, vemos que incluye el extremo superior.

Hallar los valores de x que satisfacen la expresión.

02x

1>

−

Solución: para que la función sea mayor que cero, como el numerador siempre

es positivo, entonces el denominador debe ser mayor que cero, esto sucede

cuando: 2x02x >⇒>− .

La solución son todos los valores mayores que 2.

Resolver la desigualdad: ( ) ( )1y332y5 −>−+

Solución: como ya sabemos la técnica, procedemos secuencialmente a despejar

la incógnita. Entonces:

10y27377y237y2:Obtenemos

3y3y37y3y53y37y53y3310y5

−>⇒−−>−+⇒−>+

−−>+−⇒−>+⇒−>−+

0 2/3 2 4 14/3

Ejemplo 4

( ) 0 2 α

Ejemplo 5


135

I

5y2

10

2

y2:últimopor −>⇒−> en este caso el signo de la desigualdad no

cambia, ya que se dividió por un valor

positivo.

La solución son los valores mayores de 5− ( )α,5

Hallar el conjunto solución para la expresión:

2

1x

3

1x +≤

+

Solución: lo primero que debemos hacer es transformar las fracciones a

enteros, ya que los denominadores son constantes. Luego:

( ) ( )

x1:Finalmente

33x323x23x2x32x2x2

:Ahora.3x32x21x31x2

≤−

−+≤−⇒+≤⇒+−≤+−

+≤+⇒+≤+

La solución son todos los valores mayores o iguales a 1− .

NECUACIONES RACIONALES

Las inecuaciones racionales son aquellas donde el numerador y denominador

de la fracción que la define son polinomios lineales, se pueden esquematizar

así:

( )( ) ( ) ≥≤>≠< ,,conserpuede,0xQparacxQ

xP

[

Ejemplo 6

-2 -1 0 1 2

)α

UNAD

136

Resolver inecuaciones de éste tipo, se puede hacer por dos métodos, el que relaciona

el valor de la desigualdad respecto a cero, llamada por conectivos lógicos y el otro

se le llama por diagrama de signos.

Con ejemplos modelos ilustrar los métodos propuestos.

Resolver la inecuación: 03x

2x>

+

+

Solución: resolvámoslo por los dos métodos:

Método de conectivos lógicos: como la desigualdad está comparada con

cero, entonces; para que la fracción sea mayor que cero, hay dos posibilidades:

a. 03x,,02x >+∧>+ . dicho en otras palabras cuando el numerador es

positivo y el denominador positivo, el cociente será mayor que cero.

Resolviendo:

3x,,2x −>∧−> . Obtenemos dos intervalos que debemos intersectar, ya que

la ∧ , indica intersección.

b. 03x,,02x <+∧<+ . Cuando el numerador es negativo y el denominador

negativo, el cociente será positivo.

Ejemplo 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 α)(

-3 -2 -1 0 1 2 3 α( )

-3 -2 -1 0 1 2 3

( )

( )α−−> ,2;2x

( )α−−> ,3;3x

( )α− ,2:Soluciónxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


137

)

3x03x;2x02x −<⇒<+−<⇒<+

Luego, para la fracción puede ocurrir: b,,a ∨ . Quiere decir que para que la

fracción sea positiva, puede ocurrir a ó b. Siendo ∨ , la disyunción, que indica

unión.

Con este principio la solución general es la unión de las dos soluciones obtenidas

en las posibildiades propuestas.

Solución: ( ) ( ) α<<−−<<α−α−∪−α− x2y3x;,23

La solución la dimos en forma de conjunto, en forma de desigualdad y en forma

gráfica.

Método de diagrama de signos: existe método que es relativamente más

corto que el anterior. Graficamos cada parte de la fracción y determinamos en

donde ésta es positiva y negativa en la recta real, por último hacemos ley de

signos para cociente que cumple la desigualdad. Veamos.

3críticopunto3x03x

2críticopunto2x02x

−−=⇒=+

−−=⇒=+

Luego miramos como es 2x + y después de 2− , igual para 3x + .

(

( )

( )

(

α− -2 0

)(

α− -3 0

α− -3 0

( )2;2x −α−−<

( )3;3x −α−−<

( )3,:Solución −α−

α− -3 -2 0

)α

//////////

//////////

xxxxxxx

xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx

UNAD

138

2x +

3x +

Solución:

La ley de signos para cociente produce que entre ( )3−α− la función sea

positiva, entre ( )2,3 −− la fracción sea negativa y entre ( )α− ,2 la fracción sea

positiva.

Como la expresión original nos dice que la fracción debe ser positiva, entonces

la solución será la parte positiva de los intervalos; luego, la solución es:

( ) ( )α−∪−α− ,23,

vemos que las soluciones son iguales.

Hallar el conjunto solución para la expresión: 06x2

12x3<

+

−

Solución:

Método conectivos lógicos: para que la fracción sea menor que cero, se

pueden presentar dos posibilidades.

a. 06x2,,012x3 <+∧>− , porque positivo sobre negativo produce un

cociente negativo

3x6x206x2

4x12x3012x3

−<⇒−<⇒<+

>⇒>⇒>−

++++++−−−

αα− 02−

++++++−−−

αα−

0

Las x menores que 2− ,

son negativos y los

mayores que 2− ,

positivos

Las x menores que 3− ,

son negativos y los

mayores que 3− ,

positivos

Ejemplo 2

++−−+ 23


139

(

)(

b. 06x2,,012x3 >+∧<− , porque negativo sobre positivo produce

cociente negativo.

3x6x206x2

4x12x3012x3

−>⇒−>⇒>+

<⇒<⇒<−

Método diagrama de signos: despejamos la incógnita en numerador y

denominador para identificar los puntos críticos.

críticopunto,3x6x206x2

críticopunto,4x12x3012x3

−=⇒−=⇒=+

=⇒=⇒=−

Ahora, para 12x3 − :

para 6x2 + :

Cociente:

+++++++++−−−−

(

( 0 4 α

)

α− -3 0

-3 0 4 α( ) ( )

( )α>− ,4;012x3

( )3,,06x2 −α−<+

{ }φvacío:Solución

α− 0 4

-3 0 α

-3 0 4

)

)

( )xxx x xxxxxx

( )4,;012x3 α−<−

( )α−>+ ,3;06x2

( )4,3:Solución −

+++−−−−−−−−

0 4

-3 0

+++−−−−−++

//////////

//////////

////////// //////////

UNAD

140

xxxxx

como la fracción debe ser menor que cero, se toma el cociente que sea negativo

Solución: ( ) 4x3;4,3 <<−−

Hallar la solución de la desigualdad.

03x

8x4≥

+

−

Solución:

Método conectivos lógicos:

a. 3xy2x:8x403xy08x4 −>≥≥⇒>+≥− , no puede ser igual

porque incluiría el denominador y no habría solución.

b. 3xy2x:8x403xy08x4 −<≤≤⇒<+≤−

( ]//////////////////

)

Ejemplo 3

(

0 2 α

-3 0 α

-3 0 αxxxxxxxxx

[ )//////////////////

)

( [ )

[ )α≥− ,2;08x4

(

α− 0 2

α− -3 0

α− -3 0

)(

( ]2,;08x4 α−≤−

( ]3,;03x −α−<+

( )3,:Solución −α−

( )α−>+ ,3;03x

( )α,2:Solución


141

Solución total: ( ) [ )α∪−α− ,23,

Método diagrama de signos:

críticopunto3x03x

críticopunto2x8x408x4

−=⇒=+

=⇒=⇒=−

8x4para −

3xpara +

Cociente

Como el cociente de la fracción debe ser positiva o igual a cero, se escoge donde

se obtiene cociente positivo.

Solución: ( ) [ )α∪−α− ,23.

Resolver 21x2

4x<

−+

Solución: antes de aplicar cualquiera de los métodos descritos, debemos llevar

la fracción a comparación con cero, veamos como se hace.

+++++++++−−−

xxxxx

α− -3 0 2 α

)( [ )xxxxxxxxx

20

03−

03− 2

Ejemplo 4

++++++++−−−−−

++++++−−+

UNAD

142

++++++++−−−−−−

−−−++++++++++

( )0

1x2

1x224x02

1x2

4x2

1x2

4x<

−−−+

⇒<−−+

⇒<−+

operando y simplidicando:

01x2

6x3≤

−+−

Con esta última fracción si aplicamos cualquiera de los métodos propuestos,

para este caso vamos a aplicar el diagrma de signos.

Dejamos como ejercicio que usted estimado estudiante lo resuelva por conectivos

lógicos y compara resultados.

punto2/1x1x201x2

2x6x306x3

=⇒=⇒=−

=⇒−=−⇒=+−

6x3para +−

1x2para −

cociente

Solución: ( ) [ )α∪+α− ,22/1,

0 2

0 1/2

−−−+++++−−

0 1/2 2

punto crítico

unto crítico


143

EJERCICIOS: INECUACIONES LINEALES Y RACIONALES

1. Dada la desigualdad 42 −>− cuál será la desigualdad obtenida si:

a. Se suma 4− Rta: 86 −>−

b. Se resta 10 Rta: 148 −>−

c. Se multiplica por 3− Rta: 5218 <

2. Expresar las siguientes desigualdades como intervalo y hacer la gráfica.

a. 4x < Rta: ( )4,α−

b. 3x −≥ Rta: [ )α− ,3

c. 2x5 ≤<− Rta: ( ]2,5−

d. 8x0 ≤≤ Rta: [ ]8,0

3. Expresar los siguientes intervalos como desigualdad.

a. ( )4,3− Rta. 4x3 ≤<−

b. ( ) [ ]56, −−α− Rta: desarrollar con el tutor

c. [ ] ( )04,2 −− Rta. desarrollar con el tutor

4. Resolver los siguientes desigualdades lineales.

a. 75x2 ≥+ Rta: ( ]1,;1x α−≤

b.6

x2

3

x+≥ Rta: [ )α≥ ,12;12x

c. 75

3x23 <

−≤ Rta: [ )19,9;19x9 <≤

UNAD

144

d. x2

14x

3

19 −≥+ Rta: [ )α− ,6

5. Resolver las siguientes desigualdades racionales.

a. 02x3

4≥

+Rta: 3/2x −>

b. 0x1

1x<

−+

Rta: ( ) ( )α∪−α− ,11,

c.( )( )

0x

1x1x<

+−Rta: ( ) ( )1,01, ∪−α−

d. 25x2

2x3−≥

+

−Rta: ( ) [ )α−∪−α− ,7/82/5,

e. 3R7

R7>

+Rta: 4/21R >


145

I NECUACIONES CUADRÁTICAS

Las desigualdades cuadráticas son de la forma 0cbxax2 <++ ,

0cbxax2 >++ ; también puede ser ≥≤ ó , con 0a ≠ .

La resolución de este tipo de inecuaciones, se puede hacer por los métodos ya

descritos en desigualdades racionales.

Como ya sabemos resolver una expresión cuadrática, solo la conjugamos con

las desigualdades.

Resolver la inecuación: 06xx2 ≤−−

Solución: primero expresamos el trinomio como factores lineales. Luego

aplicando el método de conectivos lógicos, debemos definir la siguiente

propiedad:

Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba <∧<∨>∧>>⋅

Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba >∧<∨<∧><⋅

Aplicando el ejemplo propuesto:

( ) ( ) 02x3x06xx2 ≤+−⇒≤−− . Para que esto ocurra:

a. 2x,,3x02x,,03x −≤∧≥⇒≤+∧≥−

Ejemplo 1

0 3 α[ )//////////////

( ]α− -2 0

0

[ )α≥ ,3;3x

( ]2,;2x −α−−≤

{ }φvacío:Solución

UNAD

146

+++++++−−−

b. 2x,,3x02x,,03x −≥∧≤⇒≥+∧≤−

Solución total: [ ] { } [ ]3,23,2 −=φ∪−

Hallar la solución para la desigualdad:

012x4x2 >−−

Solución: usemos para este ejercicio el método de diagrama de signos, primero

expresamos el polinomio como producto de factores lineales.

( ) ( )

( ) ( )

críticopunto,2x2xpara

críticopunto,6x6xpara

02x6x

:luego,2x6x12x4x2

−=⇒+

=⇒−

>+−

+−=−−

6x − :

2x + :

producto:

+++−−−−−−−

[ )

α− 0 3

-2 0

( ]/////////////////////////

[ ]-2 0 3

( ]3,;3x α−≤

[ ]3,2:Solución −

Ejemplo 2

+−−−−+

0 6

-2 0

-2 6

xxxxxxx xxxxx


147

+++++++++

++++++−−−−

++++−−−−−−

como la desigualdad debe ser mayor que cero; es decir, positiva, se selecciona los

intervalos que dieron positivo el producto.

Solución: ( ) ( )α∪−α− ,62, , otra forma de dar la solución.

α<<−<<α− x6y2x

Aunque el ejemplo que proponemos en seguida no es cuadrático, pero se puede

resolver de igual manera que polinomios cuadráticos.

Hallar la solución de: xx4 ≤

Solución: recordemos que debemos llevar la desigualdad a compararla con cero,

luego:

( ) 01xx1xx01xx0xx 234 ≤

++−→≤

−⇒≤−

Resolvamóslo por diagrama de signos:

puntos críticos: 1xy0x == ¡verifíquenlo!

El trinomio 1xx2 ++ , no tiene solución real, pero podemos ver que esta expresión

siempre será positiva para todo Rx ∈ .

Entonces:

:x

:1x −

1xx2 ++

Ejemplo 3

0

0 1

0 1

UNAD

148

+++−−+++producto:

Indica incluye extremo

Indica no incluye extremo

Solución: [ ] 1x0:decires;1,0 ≤≤ .

Observación: los ejemplos modelos muestran que las inecuaciones racionales y

cuadráticas (también polinómicas) se pueden resolver por el método de conectivos

lógicos o diagramas de signos, también llamado técnica del cementerio; por aquello

de las cruces. Cualquiera de los métodos es válido, pero en muchos casos es más

práctico el diagrama de signos, como lo veremos a continuación.

NECUACIONES MIXTAS

Se le ha denominado a aquellas inecuaciones que son racionales, pero el numerador

y denominador son polinomios cuadráticos o de mayor grado. Para este tipo de

desigualdades el método más adecuado es el de diagrama de signos.

Hallar la solución para: 0xx

6xx

2

2

<−

−−

Solución: expresamos la fracción como productos lineales.

( ) ( )( )1xx

2x3x

−+−

Ahora se identificamos los puntos críticos:

1x01xy0x

2x02xy3x03x

=⇒=−=

−=⇒=+=⇒=−

0 1

Ejemplo 1

I


149

+++−−−++−−++

+++++++−−−−−−−−−

++++++++++++−−−−−

+++++++++−−−−−−−

3x − :

2x + :

x:

1x − :

producto:

como la desigualdad indica que la fracción es negativa; entonces la solución

es: ( ) ( )3,10,2 ∪−

Resolver: 21x

2xx2

≤−−−

Solución: llevamos la fracción a compararla com cero; luego:

01x

x3x0

1x

2x22xx02

1x

2xx 222

≤−−

⇒≤−

+−−−⇒≤−

−−−

Ahora expresamos el numerador como factores lineales:

( )0

1x

3xx≤

−−

+++−−−−−−−−−−−−

0 3

-2 0

0

0 1

-2 0 1 3

Ejemplo2

UNAD

150

+++−−−+++−−−

En seguida, podemos aplicar el diagrama de signos.

críticopunto,1x01x

críticopunto,3x03x

críticopunto0x

=⇒=−

=⇒=−

=

por las condiciones de la desigualdad, 1x ≠ .

:x

3x − :

1x − :

producto:

Solución: ( ] ( ]3,10, ∪α−

3x1y0x ≤<≤<α−

En la medida que se estudien detalladamente los ejemplos modelos y se

resuelvan los ejercicios propuestos, se podrá comprender, interiorizar y aplicar

las temáticas de inecuaciones, en cualquier contexto.

0 3

0 1 3

0 1

0

α−+++++−−−−−−−−−

++++++++++−−−−

+++++++++−−−−−


151

EJERCICIOS: INECUACIONES MIXTAS

1. ( )( )( ) 0x41x2x <−−+ Rta: ( ) ( )α− ,41,2 U

2. 12x2x2 2 <− Rta: ( )3,2−

3. ( ) 8x4x2

1+>− Rta: ( )20,−α−

4. 0x3x2x 23 ≥−− Rta: [ ] [ ]α+∪− ,30,1

5. 23 xx > Rta: α<< x1

Hallar el conjunto solución de las inecuaciones racionales polinómicas

propuestas a continuación:

6. 12x

4x≤

−+

Rta: 2x <<α−

7.1x

1x

1x

5x2

−+

>++

Rta: ( ) ( ) ( )α∪−∪−α− ,21,13,

8. 0x2x

xx

2

2

≤+

−Rta: ( ) ( ]1,00,2 ∪−

9. 010x3x

2x

2>

−−

−Rta: ( ) ( )α∪− ,52,2

10.( ) ( )( )

010x3x

5x4x3x

2

22

>−−

+−+Rta: ( ) ( ] [ ) ( )α∪∪−∪−α− ,44,33,55,

UNAD

152

Para resolver problemas con inecuaciones, aparece una inquietud nueva y es

el planteamiento de la desigualdad, lo cual se hace por medio de una lectura

y análisis cuidadoso del problema, se debe comprender términos como: a lo

más, mínimo, máximo, que son quienes darán las condiciones para plantear

la inecuación.

Por favor lea el problema las veces que sea necesarias hasta que sea bien

comprendido, ya que así es posible plantear la inecuación.

Esperando que los ejemplos modelos seleccionados sean suficientes para

enfrentarse a cualquier situación.

La función utilidad al valor x unidades está dado por:

120x7xP 2 −+= , ¿cuál será el mínimo de unidades para que no haya pérdida,

tampoco ganancia?

Solución: para que no haya pérdida, ni ganancia, 0P = . Entonces.

( ) ( ) 015x8x120x7x0 2 =−+⇒−+=

por la ley de producto nulo:

15x015xy8x08x =⇒=−−=⇒=+

En número de unidades que se debe producir para que no haya pérdida ni

ganancia es de 15.

ROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA

VARIABLE

Ejemplo 1

P


153

Para el problema del ejemplo 1, cual será el número mínimo de unidades para

obtener ganancia.

Solución: para obtener ganancia 0P > , luego:

( ) ( )

críticopunto,15x015x

críticopunto,8x08x

signosdemagradiapor,015x8x

oresolviend,0120x7x2

=⇒=−

−=⇒=+

>−+

>−+

8x + :

15x − :

producto:

Solución: ( ) ( )α∪−α− ,158,

por las condiciones del problema es obvio que la solución debe ser positiva.

Entonces para obtener utilidad se deben producir más de 15 unidades; es decir,

mínimo 16 unidades.

-8 0 15

+++−−−−−+

0 15

++++++++−−

-8 0

Ejemplo 2

++−−−−−−−

UNAD

154

En una clase de matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras

cuatro evaluaciones de 60, 80, 78, 82, faltando el examen. Para obtener una

calificación de aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser mayor o igual a

80 y menor que 95, ¿cuál debe ser la nota mínima que necesita el estudiante

para aprobar el curso?

Solución: según las condiciones del problema, el promedio de las notas es:

5

x84788568 ++++, este promedio debe estar entre 80 y 90 para aprobar, luego:

160x85

:luego,315475x300300315400

475x315400

955

x8278806080

<≤

−<+−≤−

<+≤

<++++

≤

para aprobar el curso, el estudiante debe obtener mínimo 85 de calificación en el

examen.

En la fabricación de un equipo para calentamiento, la renta obtenida por venta de

x unidades es de 450x. El costo de producción para x equipos es 200x + 750,

¿cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad?

Solución: la utilidad se mide así: ingresos- egresos, luego.

( ) ( ) 0750x200x450 >+−

Ejemplo 3

Ejemplo 4


155

xxxxx

0750x2500750x200x450 >−⇒>−− , luego:

3250

750x750x250 =>⇒> , por consiguiente:

3x > . Se deben fabricar mínimo 4 equipos para obtener utilidad.

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg.

La distancia y de la pelota al suelo después de t segundos es: 2t16t80y −= .

¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 96 metros de altura?

Solución: como entonces,96yademásyt16t80y 2 >−=

096t16t8096t16t80 22 >−−⇒>− , luego por cambio de signo:

096t80t16 2 <+− , dividiendo por 16 tenemos:

06t5t2 <+− , factorizamos

( )( ) 02t3t <−− , resolvemos por conectivos lógicos

a. 02t,,03t <−∧>− , recordemos mayor y menor, produce menor

2t,,3t <∧>

No hay solución, ya que la intersección es { }φ

b. 02t,,03t >−∧>− , para este caso, menor y mayor da menor

2t,,3t >∧<

La solución es ( )3,2 , luego la pelota estará a más de 96 metros entre 2 y 3

segundos.

Ejemplo 5

( ) ( )////////////////α− 0 3 α

( ) 0 2 3

UNAD

156

Lea cuidadosamente cada problema y resuélvalos con todos los pasos necesarios.

1. El costo de producir x unidades está dada por la expresión:

x6xc 2 += , la utilidad por concepto de ventas está dada por xx2u 2 += ,

¿cuántas unidades se deben vender para obtener la utilidad?

Rta: 5x >

2. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya función altura está dada

por t147t8.9h 2 +−= , donde h en metros y t en segundos. ¿En qué intervalo

de tiempo el objeto estará por encima de 529,2m?

Rta: 9t6 <<

3. Según la ley de Boyle, para un gas específico a temperatura constante; se

tiene la relción 200V.P = . Donde P es presión en p si y V volumen en 3lgp

¿En qué intervalo se desplaza la presión; si el volumen se encuentra entre

25 y 50 plg?

Rta: 8p4 ≤≤

4. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37°C; si una

temperatura x difiere a lo normal en menos en 2°, se considera anormal,

¿cuál será el intervalo de temperatura para que considere anormal?

Rta:C37x

yC35x

°=

°≤

5. La función ingreso por venta de un producto está dado por la

ecuación2x

5

1x40 − . El costo de producir una unidad del artículo es de

$28, ¿cuántos relojes se deben vender para que la utilidad sea de $100?

Rta: 50x10 <<

EJERCICIOS: PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA VARIABLE


157

NECUACIONES CON DOS VARIABLESI

Las inecuaciones con dos variables son aquellas de tipo:

Rksiendo,kbyax,lbxax 2 ∈>−<+ .

Inicialmente analizaremos la técnica de resolución de este tipo de inecuaciones

y posteriormente algunas aplicaciones.

Resolver una inecuación con las variables es hallar, un conjunto de puntos

en el plano, que llamaremos R que satisfagan la desigualdad.

Vamos a describir una metodología general para resolver desigualdades con

dos variables:

1. Dada la desigualdad, graficar la ecuación que aparece al cambiar de >< ó

a =. Si la desigualdad es >< ó ,usar líneas interrumpidas;pero si la

desigualdad es ≥≤ ó , usar líneas continuas.

2. La gráfica divide el plano en 2 semiplanos, se prueba un punto ( )y,x de cada

semiplano, para determinar cuál de ellos la desigualdad es verdadera.

3. El punto que haga verdadera la desigualdad incluye el semiplano que lo

contiene, luego dicho semiplano será la solución, generalmente se subraya

o sombrea.

Resolver la desigualdad 2y >

Solución: primero hacemos y = 2 y graficamos

Ejemplo 1

UNAD

158

Solución el semiplano superior.

Resolver el sistema x2y ≥

Solución: primero hacemos x2y = y graficamos ( ) ( )2,1,0,0 que satisfecen la

ecuación propuesta.

2y =

x

y

.P

.Q

Ahora reemplazamos un punto en

los dos semiplanos obtenidos.

( )3,2P para este punto 2y > . La

desigualdad se hace verdadera

( )1,1Q , para este punto 2y < , no

es verdadera

Ejemplo 2

x

y

Q1

2

3

1 3

Como tenemos los dos semiplanos,

reemplazamos un punto en cada

uno de estos.

( ) ( ) 4y22yLuego.2,2P −=⇒−=−

entonces 4y −≥ es verdadero, ya

que 2y = .

( )1,3Q . Luego ( ) 6y32y =⇒=

6y ≥ , es falso porque 1y =Solución el semiplano que contiene

a P

P

2 1


159

Hallar el conjunto solución de: 2y2x <+

Solución: primero planteamos la ecuación 0y2x =+ , para

1y,2xpara,0y;0x −==== .

Escogemos dos puntos, uno por encima

y otro por debajo de la recta, digamos

( ) ( )2,2Qy2,2P −− .

Ahora para P tenemos:

( ) ( ) 2222 <−+− verdadero

La solución será el semiplano que

contiene a Q.

Recordemos que la línea es inte-

rrumpida porque la desigualdas es

estricta.

Enseguida veremos la resolución de unn sistema de desigualdades.

Resolver el sistema: 4yx2y2yx ≤−>+

Solución: como en los casos anteriores.

x

y

P

Q

Ejemplo 3

Ejemplo 4

UNAD

160

Para 4yx2 ≤− , escogemos los puntos ( ) ( )2,2qy4,3p −−− . Ahora:

para ( ) ( ) 4432:p ≤−− , falso

para q: ( ) ( ) 4222 ≤−−− , verdadero

La solución será el semiplano que contiene a q.

Hallar la solución para: 2y4x >+

Solución: 0y4x 2 >>+ , graficamos

para p: 0142 >−+ , verdadero

para q: ( ) 0344 2 >−+− , falso

( )1,2p

x

( )3,4Q −

4−2−

2

x

y

y

.P

q. .a4yx2 =−→

2yx =+→

4yx2y2yx =−=+ para

graficar.

Para 2yx >+ . Escogemos los

puntos ( ) ( )1,2by2,2a −− ,

para 222:a >+ , verdadero

para 212:b >−− , falso

La solución será el semiplano

que contiene el punto a.

.b

Ejemplo 4


161

Solución es la región que contiene p, es decir la parte interna de la curva.

Hallar la solución común para el sistema:

6yx2;4yx;0y;0x ≤−<+≥≥

Solución: graficar 6yx2y4yx,0y,0x =−=+== , obtenemos 4 rectas

que encierran una región del plano, dicha región será la solución común.

ISTEMA DE INECUACIONES; PROBLEMAS

Para raesolver problemas que involucran inecuaciones, lo fundamental es plantear

las desigualdades, ya que la resolución de éstas se puede hacer como lo planteamos

anteriormente.

Una almacén vende dos clases de artículos, la demanda exige tener al menos

tres artículos, tipo A que tipo B. Además se debe tener al menor 12 artículos tipo

B. El espacio permite tener máximo 80 artículos exhibidos.

Ejemplo 6

x

y

6yx2 =−→

4yx =+→0y =→

Gráficamente, la solución es

la región que rodea las 4

rectas.

Por favor estimado estu-

diante verifique las 4

soluciones individuales.

Ejemplo 1

S

UNAD

162

70

50

30

Plantear elsistema de desigualdades y describir la región solución del sistema.

Solución: si leemos cuidadosamente el problema, podemos plantear:

x = cantidad artículo A

y = cantidad artículo B

y3x ≥ tener tres veces de artículos tipo A que B

12y ≥ tener al menos 12 artículos tipo B

36x ≥ tener tres veces artículos tipo A

80yx ≤+ capacidad de exhibición en la tienda

La compañía π desea comprar cable tipo AA y tipo BB para instalaciones

telefónicas, para el cual cuenta con un capital que oscila entre 600 y 1.200

millones de pesos. El valor de la unidad de cable tipo AA es de 400 mil pesos y

de tipo BB es de 300 mil pesos. La compañía requiere al menor dos veces más

cable tipo BB que tipo AA. ¿Cuál será la zona de solución del sistema y enumerar

2 posibles propuesta de compra?

Solución: se x = cable tipo AA y y = cable tipo BB, según el problema:

°1

x

y

36x =→

y3x =→

Región de la solución

12y =

10 30 50 70

Ejemplo 1

80yx =+→


163

y

.P

Q

.

.

.x

a. 600y300x400 ≥+ valor mínimo de capital para la compra

b. 200.1y300x400 ≤+ valor máximo de capital para la compra

c. x2y ≥ requerimiento de cable

Vamos a resolver cada desigualdad por separado y al final las agrupamos para

tener la solución total. Entonces:

a. 6y3x4600y300x400 =+⇒=+

b. 12y3x4200.1y300x400 =+⇒=+

.x

y

.P

Q..

Tenemos dos puntos para graficar

la recta:

para 23/6y;0x ===

para 4/6x;0y ==

Veamos si el punto

( ) ( )2,2Qo3,2p − es solución de la

desigualdad.

para ( ) ( ) 63324:p ≥+ , verdadero

para ( ) ( ) 62324:Q ≥−+− , falso

como p es solución, el semiplano

que contiene p es la solución.

para 4y;0x ==

para 3x;0y ==

sea ( ) ( )2,2Qy2,4p −

para ( ) ( ) 122344:p ≤+ , falso

para ( ) ( ) 122324:Q ≤−+ ,

verdadero

UNAD

164

c. x2y =

Agrupando las tres gráficas:

y

.PQ

..

. x

para 0y;0x ==

para 4y;2x ==

sea ( ) ( )2,2Qy2,3p −

para ( )222:p ≥ , falso

para ( )222:Q −≥+ , verdadero

Solución el semiplano que contiene

a Q

y

..

. x

. .

12y3x4 ≤+

6y3x4 ≥+

La región R solución, está demarcada por las líneas oblicuas.

Una posible solución es:

( )2,2/1 ,ya que está dentro de R

Otra posible solución es: ( )2,1 .

Así las demás posibles soluciones

x2y ≥


165

EJERCICIOS: SISTEMA DE INECUACIONES

Para los siguientes problemas, leerlos cuidadosamente y resolverlos. Las

respuestas dadas son matemáticas; las gráfics no, por lo cual se deben compartir

con sus compañeros y su tutor.

1. x2y4y3yx3 <−<+ Rta: hacer la gráfica

2. 10y5x2y0xy <+<− Rta: hacer la gráfica

3. 22y2x3y19y3xy2yy1x ≤+≤+≥≥ Rta: hacer la gráfica

4. Un negociante de fina raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se

debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener

disponible al menos 6 casas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas

cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea

mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar el

sistema de desigualdades y hacer la gráfica.

Rta:600A20c30

10A2c;2A;6c

≤+

≥−≥≥

5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.00 barriles por día, el petróleo es de

dos tipos A y B del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500

barriles, si hay una utilidad de 7 dólares por barril para A y 3 dólares por barril para

B. ¿Cuál será la utilidad máxima por día?

Rta: 3.500 tipo A y 1.500 tipo B

6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el modelo pieduro

de una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando una utilidad de 13

mil pesos, para satisfacer la demanda la empresa debe producir diriamente

del modelo pieduro entre 20 y 100 inclusive, mientras que del modelo

pieblando entre 10 y 70, inclusive, por las condiciones de la fábrica el total de

producción diaria debe ser máximo de 150. ¿Cuántos balones se deben fabricar

en un día para obtener la máxima utilidad?

Rta: 100 balones pieduro y 50 balones pie blando

UNAD

166

CUACIONES E INECUACIÓN CON VALORABSOLUTO

El valor absoluto es una figura matemática que se creó con el fin de relacionar

un valor con una distancia. En los casos de matemática básica se estudia el

concepto de valor absoluto de un número. Vamos a estudiarlo con algo de detalle.

Valor absoluto: la definición del valor absoluto de un número x,

esquematizado así: x , es como sigue:

<−

=

>

=

0xsix

0xsi0

0xsix

x

Esta definición quiere decir que el valor absoluto de una cantidad positiva, es

positivo. El valor absoluto de una cantidad negativa, es negativo, y el valor

absoluto de cero es cero.

Como vemos el valor absoluto está relacionado con una medida de distancia,

ya que el valor absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.

Hallar el valor absoluto de π− ,5,10

Solución:

( )

positivovalorunesqueya;

55ndosimplifica;negativoes5porque,55

positivoes10porque,1010

ππ=π

=−−−−=−

=

E

Ejemplo 1


167

E

Determinar el valor absoluto de: π−− 2,5e . e = número de Euler cuyo valor es

2,71828... y =π 3,141592

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) negativoes2queya,222

negativoes5eporque;e55e5e

π−−π=π−−=π−

−−=−−=−

Con este concepto de valor absoluto, podemos abordar los temas siguientes:

CUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ya sabemos resolver ecuaciones; además, se hizo un análisis de valor absoluto:

Ahora vamos a combinar los dos conceptos.

De la misma definición de valor absoluto, podemos definir una técnica para resolver

ecuaciones con valor absoluto.

Sea 0xtodopara,ax,v,ax:entonces,ax ≠−=== , como vamos a resolver

este tipo de ecuaciones se resuelve aplicando la definición.

Hallar la solución para la ecuación:

83x =−

Solución: aplicando la definición expuesta anteriormente:

Ejemplo 2

Ejemplo 1

UNAD

168

11y5:essoluciónLa

538x83x

1138x83x

oresolviend,83x,v,83x

−

−=+−=⇒−=−

=+=⇒=−

−=−=−

podemos comprobarlo:

( )

88311

88835

==−

=−−=−=−−

Resolver: 124

8x2=

−

Solución: aplicamos las dos posibilidades

124

8x2,v,12

4

8x2−=

−=

−

Resolviendo:

20x40848x2488x2124

8x2

28x56848x2488x2124

8x2

−=⇒−=+−=⇒−=−⇒−=−

=⇒=+=⇒=−⇒=−

La solución es 28y28− , por favor comprobar las soluciones.

Ejemplo 2


169

En los ejemplos propuestos, observamos que se obtienenn dos soluciones, una

positiva y una negativa. por consiguiente para ecuaciones de primer grado

con valor absoluto, la solución es doble.

Resolver: 218x8x2 =−−

Solución:

Ejemplo 3

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

244;244,10,2:estotalsoluciónla

244x

244x

2441

244

2

288x

2

2648

2

1288

12

161488x

:cuadráticaecuaciónlapor

016x8x0218x8x218x8x)b

2x02xy10x010x

nuloproductodelleylapor,02x10x

:osFactorizam.020x8x0218x8x)a

:solvemosRe.218x8x)b,v,218x8x)a

2

1

2

222

22

22

−+−

−=

±=

±=±

=±

=

−±=

±=

−−−±−−=

=−−⇒=+−−⇒−=−−

−=⇒=+=⇒=−

=+−

=−−⇒=−−−

−=−−=−−

para ecuaciones de segundo grado con valor absoluto, se tienen 4 soluciones.

UNAD

170

Resolver la ecuación: x34x2 =−

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 1xy4x01x4x4x3x)b

1xy4x01x4x4x3x)a

:osFactorizam

04x3xx34x)b

04x3xx34x)a

2

2

22

22

=−=⇒=−+=−+

−==⇒=+−=−−

=−+⇒−=−

=−−⇒=−

Los valores negativos No satisfacen la igualdad, luego las únicas soluciones son 1

y 4.

Para terminar las ecuaciones con valor absoluto, es pertinente recordar algunas

propiedades:

1. yxyx ⋅=⋅

2.y

x

y

x=

3.nn xx =

Estas propiedades nos puede servir en muchas situaciones.

Ejemplo 4


171

NECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En la naturaleza existen muchos fenómenos que suceden bajo ciertos límites o

mejor en un intervalo determinado, las inecuaciones con valor absoluto, es el

dispositivo matemático que ayuda a resolver tales fenómenos. Por ejemplo la

temperatura corporal, la resitencia de un cable, otros.

Para resolver inecuaciones con valor absoluto, recurrimos a las siguientes

propiedades.

1. axa:entonces,ax <<−<

Esta propiedad no dice que cuando el valor absoluto de la variable es menor

que un valor fijo, éste se encuentra en el intervalo entre el negativo y positivo

del valor definido.

2. axóax:entonces,ax >−<>

Para este caso el valor absoluto de la variable es mayor que un valor

fijo, ésta puede ser menor que el negativo o mayor que el positivo del

valor fijado.

Las dos propiedades se definieron para desigualdades estrictas, pero se pueden

definir para las no estrictas; es decir: ≥≤ ó .

Si observamos detalladamente las gráficas al asociar las dos propiedades

obtenemos la recta real.

Resolver 8x <

- a 0 a

- a 0 a

Ejemplo 1

I

UNAD

172

Solución: aplicando la propiedad uno, tenemos:

8x8 <<− . Esto significa que cualquier valor entre 8y8− es solución de la

desigualdad, probemos con dos ejemplos.

( ) 8quemenores5quevemos;555 =−−=−

22 = ; obviamente 2 es mejor que 8

Hallar el conjunto solución para: 6x >

Solución: aplicando la propiedad dos, tenemos: 6x,v,6x >−< . Tenemos

dos intervalos, luego por la disyunción los unimos.

La solución es: ( ) ( )α∪−α− ,66, , probemos con un valor en cada intervalo.

( ) 777 =−−=− , vemos que 7 es mayor que 6, entonces dicho intervalo es

solución.

88 = , también 8 es mayor que 6.

Hallar la solución de: 46x2 ≤−

Solución: por la propiedad uno.

46x24 ≤−≤− , como estudiamos despejar la incógnita en las desigualdades

compuestas, tenemos:

Ejemplo 2

()////////////// //////////////

- 6 0 6

Ejemplo 3


173

+−−++++

+−−−−−−

+++−−−−

5x12

10

2

x2

2

2

:ahora,10x226466x264

≤≤⇒≤≤

≤≤⇒+≤+−≤+−

La solución son todos los valores que están entre 1 y 5: [ ]5,1

Resovler 24x

x≥

−

Solución: aunque resolver esta desigualdad es algo extensa, pero no difícil,

con la ventaja que los pasos para resolverla ya los conocemos, veamos:

a. 24x

x.b,v,2

4x

x≥

−−≤

−

Resolvemos a y luego b, para finalmente unir las dos soluciones-

a.

signosdemagradiapor,04x

8x3

04x

8x2x02

4x

x2

4x

x

≤−−

≤−−+

⇒≤+−

⇒−≤−

8x3 − :

4x − :

cociente:

La solución: [ )4,3/8 . Justifique porque el intervalo es cerrado en el límite

inferior y abierto en el superior.

Ejemplo 4

0 8/3

0 4

0 8/3 4

UNAD

174

−−++−−−−

++++−−−−−−

−−++++++++

04x

8x

04x

8x2x02

4x

x2

4x

x

≥−+−

≥−+−

⇒≥−−

⇒≥−

8x +− :

4x − :

cociente:

La solución es: ( ]8,4 . Justificar igual que en la solución aterior.

solución total: [ ) ( ]8,44,3/8 ∪

La solución No incluye el 4, ¿por qué?

0 8

0 4

0 4 8

[ )( ]//////// /////////////0 2 4 6 8 10

b.


175

EJERCICIOS: ECUACIONES- INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

.

1qq

1x23x

25

2

3

x

541

53x2

=−

−=+

=+

=−

=+

11.El peso de llenado de un recipiente que contiene granos debe cumplir p=

peso en gramos. Un tarro se pesa y marca 17 gr. Dicho tarro está en el rango

del peso.

Rta: No; el rango debe ser ( )05,1695,15 −

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2

1q:Rta

3/2x;4x:Rta

5

24x;

5

36x:Rta

2/3y;1y:Rta

1x;4x:Rta

−=

−==

=−

=

=−=

=−=

( )

( ) ( )

−<<−

=

α∪−α−

<<−−

5

31,

5

29:Rta

1x4:Rta

2/7w:Rta

,216,:Rta

7x7:7,7:Rta

Hallar la solución de las siguientes desigualdades:

10

13x

2

1

21x

2x

07w2

33

7y

7z

<−

>+−

≤−

>+

<

UNAD

176

guía de inecuaciones

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